Questões de matemática da prova da FUVEST.

1. FUVEST 2013 - ABERTA
1
01. (Fuvest 2013) Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação
de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os
dados, que são honestos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem
satisfeitas:
1) o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xantipa;
2) algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa.
a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?
b) No caso em que Xantipa tira 5 e 4, qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?
02. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB 2,
= AD 3
= e AE 4.
=
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?

2. FUVEST 2013 - ABERTA
2
03. (Fuvest 2013) O número N de átomos de um isótopo radioativo existente em uma amostra diminui com o tempo t, de
acordo com a expressão ( ) t
0
N t N e ,
λ
−
= sendo N0 o número de átomos deste isótopo em t 0
= e λ a constante de
decaimento. Abaixo, está apresentado o gráfico do log10N em função de t, obtido em um estudo experimental do
radiofármaco Tecnécio 99 metaestável (99m
Tc), muito utilizado em diagnósticos do coração.
a) o valor de log10N0;
b) o número N0 de átomos radioativos de 99m
Tc
c) a meia-vida (T1/2) do 99m
Tc.
Note e adote: A meia-vida (T1/2) de um isótopo radioativo é o intervalo de tempo em que o número de átomos desse
isótopo existente em uma amostra cai para a metade; 10
log 2 0,3;
= 10
log 5 0,7.
=
04. (Fuvest 2013) Um empreiteiro contratou um serviço com um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00 a
serem igualmente divididos entre eles. Como três desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido igualmente entre
os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$ 600,00 além do
combinado no acordo original.
a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço?
b) Quanto recebeu cada um deles?

3. FUVEST 2013 - ABERTA
3
05. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a
altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa
o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e
vertical do teleférico, em metros, até este momento.
a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20 m?
b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A ao
pico B?
06. (Fuvest 2013) Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo
do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado.
As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então,
AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado que AB 4
= e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do
a) paralelogramo ABCD;
b) triângulo BB’C’;
c) quadrilátero A’B’C’D’.

4. FUVEST 2013 - ABERTA
4
07. (Fuvest 2013) Considere o polinômio ( ) 4
p x x 1.
= +
a) Ache todas as raízes complexas de p(x).
b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.
08. (Fuvest 2013) Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano
vertical, perpendicular ao plano do chão.
Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação
dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço 1
OP tem comprimento 6 e o braço 1 2
P P tem comprimento
2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma altura menor do que P1 e a distância de O a P2 é 2 10. Sendo Q
o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine
a) o seno e o cosseno do ângulo 2
ˆ
P OQ entre a reta 2
OP

e o plano do chão;
b) a medida do ângulo 1 2
ˆ
OP P entre os braços do guindaste;
c) o seno do ângulo 1
ˆ
P OQ entre o braço 1
OP e o plano do chão.

5. FUVEST 2013 - ABERTA
5
QUESTÃO 1
a)
16 2
P .
216 27
= =
b)
43
P .
216
=
QUESTÃO 2
a) ( )
A 3 2 /2 3.
= ⋅ =
b) ( )
V 1/3 3 4 4.
= ⋅ ⋅=
c) √61
d)
12√61
√61
QUESTÃO 3
a) 6
b) 1000000
c) t = 6 horas
QUESTÃO 4
a) 6
b) 1800 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
QUESTÃO 5
a) 𝑥𝑥 = 60 𝑚𝑚
b) 𝑡𝑡 = 200√10
QUESTÃO 6
a) A = 12
b) A = 12
c) S(A’B’C’D’) = 60
QUESTÃO 7
a)
2 2i 2 2i
x ou x
2 2
− + − −
= =
b)
2 2
2 2
P(x) (x 1) ( 2 x)
P(x) (x 2 x 1)(x 2 x 1)
= + − ⋅
= − ⋅ + + ⋅ +
QUESTÃO 8
a) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐�𝑃𝑃2𝑂𝑂
�𝑄𝑄� =
3√10
10
b) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 1 2 1
ˆ
OP P 90 , pois OP P P OP
=
° =
+
c) sen�𝑃𝑃1𝑂𝑂
�𝑄𝑄� =
3
5