1. Kelompok 4:
Dinda Anggi Arvianti
Dinna Prastica
Putri Munggarani
Restu Alawiyah
Shelly Nadia
Siti kartika
Wisa sulastri

2. Definisi fungsi
Misalkan A dan B dua himpunan tidak kosong.
Suatu fungsi dari A ke B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap
anggota di A dengan tepat satu anggota di B dan ditulis: f: A → B yang
dibaca: f sebuah fungsi dari A ke B atau f memetakan A ke B.

3. Himpunan A disebut daerah asal atau daerah definisi atau domain yang
merupakan himpunan semua nilai yang mungkin sebagai input, himpunan B
disebut daerah kawan atau kodomain, dan himpunan semua peta di B disebut
daerah hasil atau range dari fungsi yang merupakan himpunan semua nilai
output.
Jika suatu fungsi diartikan sebagai persamaan, variabel dari domain yang
berfungsi sebagai input disebut variabel bebas. Sebagai contoh, persamaan
y= 3x – 2 memiliki variabel bebas x. Variabel yang menyatakan anggota dari
range yang berfungsisebagai output disebut variabel bergantung, persamaan
y = 3x – 2 memiliki variabel bergantung y. Domain dari fungsi f dinotasikan
sebagai Df, kodomain dari fungsi f dinotasikan sebagai Kf, dan range dari
fungsi f dinotasikan sebagai Rf.

4. A. Cara menyatakan fungsi
Fungsi f : A → B dapat dinyatakan dalam tiga bentuk berikut ini.
Fungsi yang dinyatakan dalam diagram panah sering disebut
sebagai pemetaan (mapping).
Pada diangram panah di samping dapat dituliskan formula dari
fungsi f, yaitu
y = f(x)
Bentuk y = f(x) dikenal sebagai rumus fungsi.
1. Diagram panah
2. Himpunan pasangan terurut
Fungsi sebagai himpunan pasangan terurut dari dua bilangan
real x dan y adalah himpunan (x,y) dengan x ϵ Df paling
banyak muncul satu kali dalam setiap pemetaan dan setiap x
harus mempunyai pasangan didaerah kodomainnya.

5. 3. Grafik Fungsi
Fungsi yang dinyatakan dalam bentuk grafik sering disebut grafik
fungsi. Grafik dari fungsi f(x) pada koordinat Cartisius terbentuk atas
titik-titik (x,y) yang beraturan sedemikian sehingga x ϵ Df dan y = f(x)
ϵ Rf.

6. B. Domain dan Range suatu fungsi
Penentuan domain dan range suatu fungsi yang rumusnya diketahui
tergantung pada pendefinisian rumus itu dalam kondisi yang
terdefinisi
Nilai Fungsi
Jika f suatu fungsi dan x suatu input untuk fungsi, maka nilai
outputnya ditulis f(x), yang berarti f dari x atau nilai dari f pada x.
Sebagai contoh dari notasi itu, perhatikan fungsi
f(x) = x² - 3x + 1
f(-2) menyatakan output dari hasil input x = -2 pada f(x)
f(-2) = (-2) ² - 3(-2) + 1
= 4 + 6 + 1
f(-2) = 11

7. Dalam melakukan pencarian nilai fungsi, harus dihindari beberapa
kesalahan yang sering dilakukan, karena ketentuan itu tidak berlaku
secara umum.
Kesalahan yang harus dihindari Contoh masalah : f(x) = x + 1, a = 2, b = 3
f(a + b) = f(a) + f(b)
f(ab) = f(a) . f(b)
f(
1
𝑎
) =
1
𝑓(𝑎)
𝑓(𝑎)
𝑓(𝑏)
=
𝑎
𝑏
f(2 + 3) = f(5) = 6, f(2) + f(3) = 3 + 4 = 7 ,
ini berarti f(2 + 3) ≠ f(2) + f(3)
f(2 . 3) = f(6) = 7, f(2) . f(3) = 3 . 4 = 12,
ini berarti f(2 . 3) ≠ f(2) . f(3)
f(
1
2
) =
1
2
+ 1 =
3
2
;
1
𝑓(2)
=
1
2+1
=
1
3
ini berarti f(
1
2
) ≠
1
𝑓(2)
𝑓(2)
𝑓(3)
=
2+ 1
3+1
=
3
4
, ini berarti
𝑓(2)
𝑓(3)
≠
2
3

8. Fungsi Surjektif
Fungsi f : A → B disebut “fungsi into” atau “fungsi ke dalam B” , apabila
range dari f(Rf) merupakan himpunan bagian dari kodomain f(Kf), ditulis: Rf
⊂ Kf . Jika Rf = Kf , yaitu setiap anggota di B mempunyai pasangan/kawan
(prepeta) anggota di A (daerah asal/domain fungsi f), maka f : A → B
disebut “fungsi onto” atau “fungsi surjektif” atau “fungsi kepada B”.
Fungsi Injektif
Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu apabila
anggota yang berbeda di B (Rf) mempunyai pasangan/kawan (prapeta)
yang berbeda di A (Df). Hal ini berarti, jika dua anggota yang berbeda di A
tidak boleh mempunyai pasangan/peta yang sama di B. Secara matematis,
dapat didefinisikan sebagai berikut.
Fungsi f : A → B disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu apabila f(𝑎1) =
f(𝑎2), maka 𝑎1=𝑎2 atau ekuivalen dengan apabila 𝑎1≠𝑎2, maka f(𝑎1) ≠ (𝑎2),
untuk sembarang 𝑎1 dan 𝑎2 ϵ A.

9. Fungsi Bijektif
Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif atau fungsi berkorespondensi
satu satu apabila anggota-angota A dan B dapat dipasangkan
sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan satu
anggota B dan sedemikian juga sebaliknya. Hal ini berarti n(A) = n
(B). Secara matematis pendefisian diatas dapat ditulis sebagai berikut
:
Fungsi f : A → B disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut
merupakan fungsi surjektif dan sekaligus sebagai fungsi injektif.

10. Dengan domain : D g ০ ƒ = 𝑥 ∈ Dƒ ƒ(x) ∈ Dg
Dua buah fungsi ƒ dan g dapat di komposisikan dengan suatu “aturan tertentu”
yang disebut dengan “komposisi suatu fungsi”
h(x) = (ƒ ০ g)(x) = ƒ(g (x))
h(x) = (g ০ ƒ)(x) = g (ƒ(x))
Fungsi ƒ ০ g : Jika fungsi ƒ dan g memenuhi Rg ∩ Dƒ ≠ ∅ , maka terdapat
suatu fungsi h dari himpunan bagian Dg ke himpunan bagian Rƒ, yang
dinyatakan oleh h = ƒ ০ g Dengan aturan :
Fungsi g ০ ƒ : jika fungsi ƒ dan g memenuhi Rƒ ∩ Dg ≠ ∅ , maka terdapat
suatu fungsi h dari himpunan bagian Dƒ ke himpunan bagian Rg yang dinyatakan
h = g ০ ƒ Dengan aturan:
Dengan domain : D ƒ ০ g = 𝑥 ∈ Dg g (x) ∈ Dƒ

11. Misalkan, suatu fungsi real ƒ dan g yang difinisikan dengan rumus berikut ini:
ƒ(x) = 𝑥2
→ Fungsi dengan mengkuadratkan setiap nilai x
dan
g (x) = x + 1 → Fungsi dengan menambahkan 1 pada setiap nilai x
Kita dapat menemukan fungsi baru yaitu dengan menambahkan 1 pada setiap
nilai x di g dan kemudian dikuadratkan di ƒ . Fungsi baru itu disebut dengan
komposisi ƒ melanjutkan g dengan notasi ‘’ ƒ ০ g ‘’. Komposisi ƒ ০ g tersebut
dapat diperlihatkan dengan diagram dibawah ini
x ●
g(x)
x + 1
●
f(g(x))
(x + 1)
●
g ƒ
ƒ ০ g

12. Fungsi komposisi ƒ ০ g (‘’komposisi ƒ melanjutkan g’’ atau ‘’g
dilanjutkan ƒ’’) didefinisikan sebagai (ƒ ০ g)(x) = ƒ(g(x)).
Pada gambar 6.1 pada (1) dan (2) setiap anggota A mempunyai tepat
satu pasang di C, maka ƒ ০ g terdefinisi jika range g (Rg)
merupakan domain ƒ (Dƒ).

13. ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
AA
A A
B
B B
BC
CC
C
g ƒ
g ƒ
g ƒ
g ƒ

14. Contoh: Proyek perintis 1981
-4
-1
0
2
3
-5
1
3
7
9
P Q
f
f: P → Q dengan P = {pǀp ∈ bilangan bulat}
f: P → Q adalah hubungan fungsional. Kalau pada peta
diatas hubungan semua p ∈ P dengan q ∈ Q
dilanjutkan, maka hubungan p dan q ditulis
sebagai...
A. q = p + 3
B. q = p + 5
C. q = 2p + 3
D. q = p - 1
E. q = 2p + 1

15. 1. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi umumnya tidak komutatif
Sifat-sifat fungsi komposisi:
(g ০ ƒ) (x) ≠ (ƒ ০ g) (x)
2. Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif
3. Terdapat fungsi identitas I (x) = x
sedemikian sehingga
(ƒ ০(g ০ h)) (x) = {(ƒ ০ g) ০ h} (x)
(ƒ ০ I) (x) = ( I ০ ƒ)(x) = ƒ(x)
Menentukan rumus komposisi
untuk menentukan rumus fungsi komposisi (ƒ ০ g)(x) adalah dengan
mensubsitusikan g(x) sebagai fungsi pertama ke x pada ƒ(x) sebagai fungsi
ke dua.

16. Contoh soal : (EBTANAS 1990)
Fungsi f : R → R dan g : R → R
Diketahui : f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x²+2x-3.
nilai dari (ƒ ০ g) (2) = ??
Jawab :
(ƒ ০ g) (x) = f (g(x))
=f (x²+2x-3)
=2 (x²+2x-3)-3
=(2x²+4x-6)-3
=2x²+4x-9
(ƒ ০ g) (2) = 2(2)² +4 (2)-9
= 8+8-9
= 7

17. ●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
ƒ
A B
ƒ
A B
ƒ
A B
ƒ
A B
gambar 6.3

18. Dari fungsi tersebut kita dapat membentuk relasi baru yaitu h : B → A pada
diagram panah pada gambar 6.3
Relasi baru tersebut dinamakan invers fungsi ƒ. Bila kita perhatikan relasi-
relasi tersebut,relasi yang merupakan fungsi adalah pada (1) dan (3).
Dengan demikian,fungsi pada gambar (1) dan (3) tersebut mempunyai fungsi
invers. suatu fungsi ƒ : A → B akan mempunyai fungsi invers ƒˉ¹ B → A, jika
fungsi ƒ merupakan fungsi yang bijektif atau berkorespondasi satu-satu.
Jika ƒˉ¹ adalah fungsi invers dari ƒ, maka untuk setiap x ∈ Dƒ dan setiap y ∈
Rƒ sedemikian sehingga berlaku y=ƒ(x) → x=ƒˉ¹(y). Nilai fungsi ƒ dinyatakan
dengan ƒ(x) = y dan nilai fungsi inversnya dinyatakan dengan ƒˉ¹(y)=x

19. Menentukan rumus fungsi invers
Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers ƒˉ¹ bila rumus
fungsi ƒ(x) diketahui sebagai berikut:
1. Mengubah persamaan y = ƒ(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y
2. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan ƒˉ¹ (y)
3. Mengganti y pada ƒˉ¹ (y) dengan x, sehingga diperoleh ƒˉ¹ (x)

20. Contoh :
Diketahui f(x) = 30x + 20 dan g(x) = 15x – 10
(f o g)ˉ¹ (x) = ??
Jawab:
(f o g)(x) = f(g(x))
= f (15x – 10)
= 30 (15x – 10) + 20
= 450x – 300 + 20
= 450x – 280
(f o g)ˉ¹ (x) = (f o g)(x)
= 450x – 280
y = 450x – 280
450x = y + 280
x =
y+280
450
(f o g)ˉ¹ (x) =
x+280
450

21. Apabila fungsi komposisi dari fungsi f dan g adalah fungsi h, ditulis h = f o
g, maka fungsi invers dari fungsi komposisi adalah hˉ¹ = (f o g)ˉ¹
Perhatikan gambar berikut:
f o g
g f
(f o g)ˉ¹
gˉ¹ fˉ¹
Dari gambar disamping
diperoleh bahwa:
Rumus fungsi invers dari dari
komposisi yang lain adalah:
(f o g)ˉ¹ = gˉ¹ o fˉ¹
(g o f)ˉ¹ = fˉ¹ o gˉ¹
(f o g o h)ˉ¹ = hˉ¹ o gˉ¹ o fˉ¹

22. Contoh: UMPTN1992
Fungsi f : R → R dan g : R → R ditentukan oleh
f(x) = 2x + 5
g(x) = x + 2
Maka (f o g)ˉ¹ (x) memetakan x ke...
Cara 1
(f o g) = f(g(x))
= f(x + 2)
= 2(x + 2) + 5
= 2x + 4 + 5
= 2x + 9
(f o g) = 2x + 9
y = 2x + 9
2x = y – 9
x =
y −9
2
(f o g)ˉ¹ =
x −9
2

23. Cara 2
y = 2x + 5
2x = y – 5
x =
y −5
2
fˉ¹ (x) =
x −5
2
(f o g)ˉ¹ = gˉ¹ o fˉ¹
= gˉ¹ (
x −5
2
)
=
x −5
2
-
4
2
=
x −9
2