slides of my talk at the MCqMC 2016 conference, Stanford University, Aug 15-19

1. Folding Markov chains:
the origaMCMC
Christian P. Robert
Universit´e Paris-Dauphine PSL and University of Warwick
bayesianstatistics@gmail.com
Joint on-goin’ work with R. Douc and G. Roberts
1 / 25

2. Outline
Introduction
Motivating example
Folding the Markov chain
Convergence
Improving the acceptance rate
Asymptotic variance
Practicals [under development]
2 / 25

3. Introduction
Introduction
Motivating example
Folding the Markov chain
Convergence
Practicals [under development]
3 / 25

4. motivating example
Consider the target
π(x) =
1
(1 + x2)π
standard Cauchy distribution
Basic Metropolis-Hastings algorithm with uniform proposal
zt ∼ U(xt − , xt + ) cannot be geometrically ergodic
[Mengersen and Tweedie (1996)]
−8 −6 −4 −2 0
0200040006000800010000
x
t
Dynamics of a standard random-walk
Metropolis–Hastings algorithm when
targeting a Cauchy distribution, based on
104 iterations and a uniform scale of ε = .1.
4 / 25

5. motivating example
Consider the target
π(x) =
1
(1 + x2)π
standard Cauchy distribution
Basic Metropolis-Hastings algorithm with uniform proposal
zt ∼ U(xt − , xt + ) cannot be geometrically ergodic
[Mengersen and Tweedie (1996)]
−8 −6 −4 −2 0
0200040006000800010000
x
t
Dynamics of a standard random-walk
Metropolis–Hastings algorithm when
targeting a Cauchy distribution, based on
104 iterations and a uniform scale of ε = .1.
4 / 25

6. new proposal
Metropolis-Hastings alternative:
1. the current value xt of the Markov chain is first inverted into
yt = 1/xt if found outside (−1, 1),
2. then moved by a random walk on (−1, 1) to
zt ∼ U(yt − , yt + ), which value is accepted or not
according to the standard Metropolis-Hastings ratio,
3. and outcome inverted into xt+1 = 1/yt+1 with probability 1/2
simple version of the folding algorithm, with folding set the unit
interval (−1, 1)
5 / 25

7. new proposal
Metropolis-Hastings alternative:
1. the current value xt of the Markov chain is first inverted into
yt = 1/xt if found outside (−1, 1),
2. then moved by a random walk on (−1, 1) to
zt ∼ U(yt − , yt + ), which value is accepted or not
according to the standard Metropolis-Hastings ratio,
3. and outcome inverted into xt+1 = 1/yt+1 with probability 1/2
simple version of the folding algorithm, with folding set the unit
interval (−1, 1)
5 / 25

8. new proposal
Metropolis-Hastings alternative:
1. the current value xt of the Markov chain is first inverted into
yt = 1/xt if found outside (−1, 1),
2. then moved by a random walk on (−1, 1) to
zt ∼ U(yt − , yt + ), which value is accepted or not
according to the standard Metropolis-Hastings ratio,
3. and outcome inverted into xt+1 = 1/yt+1 with probability 1/2
simple version of the folding algorithm, with folding set the unit
interval (−1, 1)
5 / 25

9. validation
simple version of the folding algorithm, with folding set the unit
interval (−1, 1)
Cauchy target still stationary for this distribution
probability 1/2 resulting from Jacobian rather than from
P(|X| < 1) = 1/2
not-so-simple [but still-manageable] probabilty if chosing
folding interval (−2, 2) and inversion yt = 4/xt
fundamental reason is that Cauchy is invariant by inversion
resulting Markov chain is uniformly ergodic
6 / 25

10. validation
simple version of the folding algorithm, with folding set the unit
interval (−1, 1)
Cauchy target still stationary for this distribution
probability 1/2 resulting from Jacobian rather than from
P(|X| < 1) = 1/2
not-so-simple [but still-manageable] probabilty if chosing
folding interval (−2, 2) and inversion yt = 4/xt
fundamental reason is that Cauchy is invariant by inversion
resulting Markov chain is uniformly ergodic
6 / 25

11. simulation outcome
−4 −2 0 2 4
02000400060008000
x
t
x
Density
−20 −10 0 10 20
0.000.050.100.150.200.25
Figure : (Left) Folded Markov chain for Cauchy target with same scale
of the random walk. (Right) Empirical distribution of the Markov chain
and fit to the Cauchy target
7 / 25

12. folding the Markov chain
Consider target π on state space X
Let A0, A1, . . . , AM be a finite partition of the state space and
create differentiable bijections g1, . . . , gM from A0 to A1, . . . , AM,
respectively. Set X = A0 as the folded space
Define the distribution
π (x ) = π(x ) + π(g1x ) |dx g1 (x )| + . . . + π(gMx ) |dx gM (x )|
on X
c π (·) is a proper density on X
8 / 25

13. folding the Markov chain
Consider target π on state space X
Let A0, A1, . . . , AM be a finite partition of the state space and
create differentiable bijections g1, . . . , gM from A0 to A1, . . . , AM,
respectively. Set X = A0 as the folded space
Define the distribution
π (x ) = π(x ) + π(g1x ) |dx g1 (x )| + . . . + π(gMx ) |dx gM (x )|
on X
c π (·) is a proper density on X
8 / 25

14. unfolding the folded Markov chain
Simulating from π is equivalent to simulating from π:
Lemma
If x ∼ π , then
x =



x with probability π(x )/π (x )
g1x with probability π(g1x ) |dx g1 (x )| /π (x )
· · ·
gMx with probability π(gMx ) |dx gM (x )| /π (x )
is distributed from the target π.
c build MCMC sampler aiming at π
9 / 25

15. unfolding the folded Markov chain
Simulating from π is equivalent to simulating from π:
Lemma
If x ∼ π , then
x =



x with probability π(x )/π (x )
g1x with probability π(g1x ) |dx g1 (x )| /π (x )
· · ·
gMx with probability π(gMx ) |dx gM (x )| /π (x )
is distributed from the target π.
c build MCMC sampler aiming at π
9 / 25

16. Cauchy example validated
For the Cauchy example:
A0 = (−1, 1), A1 = (−1, 1)c, g1x = 1/x
and
π (x) = π(x ) + π(g1x ) |dx g1 (x )|
=
1
(1 + x2)π
+
1
(1 + 1/x2)π
1
x2
=
2
(1 + x2)π
unfolding by x =
x w.p. 1/2
1/x w.p. 1/2
10 / 25

17. Cauchy example validated
For the alternative
A0 = (−2, 2), A1 = (−2, 2)c, g1x = 4/x
and
π (x) = π(x ) + π(g1x ) |dx g1 (x )|
=
1
(1 + x2)π
+
1
(1 + 4/x2)π
4
x2
=
1
(1 + x2)π
+
4
(4 + x2)π
unfolding by x =
x w.p. π(x )/π (x )
1/x w.p. 4π(4/x )/(x )2π (x )
10 / 25

18. Convergence
Introduction
Convergence
Improving the acceptance rate
Asymptotic variance
Practicals [under development]
11 / 25

19. improving the acceptance rate
Define folded transition kernel, K (x , dy ) as
k (x , y ) =
M
i=0
π(gi x ) |dx gi (x )|
π (x )
M
j=0
k(gi x , gj y ) |dx gj (y )|
Kernel considers all
possible images in
original space X and
brings them into
the folded space
X
(1)
k
X
,(1)
k
X
(1)
k+1
X
,(1)
k+1
Q Q
H K, π
12 / 25

20. improving the acceptance rate
Define folded transition kernel, K (x , dy ) as
k (x , y ) =
M
i=0
π(gi x ) |dx gi (x )|
π (x )
M
j=0
k(gi x , gj y ) |dx gj (y )|
Kernel considers all
possible images in
original space X and
brings them into
the folded space
X
(0)
k
X
,(0)
k
X
(0)
k+1
X
,(0)
k+1
Q Q
H Q KQ, π
12 / 25

21. improving the acceptance rate
Define folded transition kernel, K (x , dy ) as
k (x , y ) =
M
i=0
π(gi x ) |dx gi (x )|
π (x )
M
j=0
k(gi x , gj y ) |dx gj (y )|
Proposition
If α(x, y), resp. α (x , y ), is Metropolis–Hasting acceptance
probability for the original, resp. folded, proposal kernel K then
E[α (X , Y )] ≥ E[α(X, Y )]
when expectations computed under respective stationary
distributions, π (x )K (x , y ) and π(x)K(x, y)
12 / 25

22. asymptotic variance
Given (X, X) and (X , X ),
define the folding mapping
ϕ : X → X and write
Q(x, dx ) = δϕ(x)(dx )
X
(1)
k
X
,(1)
k
X
(1)
k+1
X
,(1)
k+1
Q Q
H K, π
13 / 25

23. asymptotic variance
Given (X, X) and (X , X ),
define the folding mapping
ϕ : X → X and write
Q(x, dx ) = δϕ(x)(dx )
For π target probability on
(X, X), set
π = π ◦ ϕ−1
and define kernel Q on X × X
by
π(dx)Q(x, dx ) = π (dx )Q (x , dx)
X
(1)
k
X
,(1)
k
X
(1)
k+1
X
,(1)
k+1
Q Q
H K, π
X
(0)
k
X
,(0)
k
X
(0)
k+1
X
,(0)
k+1
Q Q
H Q KQ, π
13 / 25

24. asymptotic variance
Given (X, X) and (X , X ), define the folding mapping ϕ : X → X
and write
Q(x, dx ) = δϕ(x)(dx )
set π = π ◦ ϕ−1 and define kernel Q on X × X by
π(dx)Q(x, dx ) = π (dx )Q (x , dx)
Lemma
for all (f , g) ∈ L2(π) × L2(π ),
f ; Qg π = Q f ; g π where f ; g µ = µ(fg)
If K is π-reversible, then, Q KQ is π -reversible, since
f ; Q KQg π = Qf ; KQg π = KQf ; Qg π = Q KQf ; g π
13 / 25

25. comparing two π-reversible Markov chains
Let P0 and P1 be two π-reversible Markov kernels.
easy-to-check conditions on P0 and P1 ensuring that for all f in
some ”class of functions”,
v(f , P0) ≥ v(f , P1)
where we have defined, for a Markov chain (X()
k)k∈N with
π-reversible transition kernel P and initial distribution π,
v(f , P) := lim
n→∞
1
n
Var
n−1
k=0
f (Xk) = lim
n→∞
√
nVarˆπn(f )
14 / 25

26. two notions
Definition
1. P1 dominates P0 on the off-diagonal, i.e. P1 P0, if
∀(x, A), P1(x, A {x}) ≥ P0(x, A {x}) .
2. P1 dominates P0 in the covariance ordering, i.e. P1 P0, if
∀f ∈ L2
(π), f ; P1f π ≤ f ; P0f π
where f ; g π = π(dx)f (x)g(x).
Theorem
P1 P0 ⇒ P1 P0 ⇒ v(f , P0) ≥ v(f , P1) ∀f ∈ L2(π) .
[Peskun (1973) and Tierney (1998)]
15 / 25

27. two notions
Definition
1. P1 dominates P0 on the off-diagonal, i.e. P1 P0, if
∀(x, A), P1(x, A {x}) ≥ P0(x, A {x}) .
2. P1 dominates P0 in the covariance ordering, i.e. P1 P0, if
∀f ∈ L2
(π), f ; P1f π ≤ f ; P0f π
where f ; g π = π(dx)f (x)g(x).
Theorem
P1 P0 ⇒ P1 P0 ⇒ v(f , P0) ≥ v(f , P1) ∀f ∈ L2(π) .
[Peskun (1973) and Tierney (1998)]
15 / 25

28. two notions
Definition
1. P1 dominates P0 on the off-diagonal, i.e. P1 P0, if
∀(x, A), P1(x, A {x}) ≥ P0(x, A {x}) .
2. P1 dominates P0 in the covariance ordering, i.e. P1 P0, if
∀f ∈ L2
(π), f ; P1f π ≤ f ; P0f π
where f ; g π = π(dx)f (x)g(x).
Theorem
P1 P0 ⇒ P1 P0 ⇒ v(f , P0) ≥ v(f , P1) ∀f ∈ L2(π) .
[Peskun (1973) and Tierney (1998)]
15 / 25

29. induced kernel
Given a proposition kernel K and the target distribution π, write
H K, π the Metropolis-Hastings kernel defined by:
H K, π (x, A {x}) = K(x, dy)α(x, y)IA{x}(y)
where 


α(x, y) = 1 ∧ r(x, y)
r(x, y) = dµ
dν (x, y)
µ(dxdy) = π(dy)K(y, dx)
ν(dxdy) = π(dx)K(x, dy)
16 / 25

30. two approximate expectations
1. Let {X
(1)
k } a Markov chain of transition kernel H K, π . The
Rao-Blackwellised approximation is defined by
ˆπ
(1)
n (h) =
1
n
n
k=1
QQ h(X
(1)
k ) (1)
2. Let {X
,(0)
k } a Markov chain of transition kernel H Q KQ, π
and consider the Rao-Blackwellised approximation
ˆπ
(0)
n (h) =
1
n
n
k=1
Q h(X
,(0)
k ) (2)
17 / 25

31. two approximate expectations
1. Let {X
(1)
k } a Markov chain of transition kernel H K, π . The
Rao-Blackwellised approximation is defined by
ˆπ
(1)
n (h) =
1
n
n
k=1
QQ h(X
(1)
k ) (1)
2. Let {X
,(0)
k } a Markov chain of transition kernel H Q KQ, π
and consider the Rao-Blackwellised approximation
ˆπ
(0)
n (h) =
1
n
n
k=1
Q h(X
,(0)
k ) (2)
17 / 25

32. comparison
Theorem
For h real-valued measurable function on (X, X) such that
πh2 < ∞ and
{X
(1)
k , k ∈ N} Markov chain with kernel H K, π starting
from π
{X
,(0)
k , k ∈ N} Markov chain with kernel H Q KQ, π
starting from π
Then,
lim
n→∞
nVar(ˆπ
(0)
n (h)) ≤ lim
n→∞
nVar(ˆπ
(1)
n (h))
with ˆπ
(0)
n (h) and ˆπ
(1)
n (h) defined in (2) and (1)
18 / 25

33. comparison
Theorem
For h real-valued measurable function on (X, X) such that
πh2 < ∞ and
{X
(1)
k , k ∈ N} Markov chain with kernel H K, π starting
from π
{X
,(0)
k , k ∈ N} Markov chain with kernel H Q KQ, π
starting from π
Then,
lim
n→∞
nVar(ˆπ
(0)
n (h)) ≤ lim
n→∞
nVar(ˆπ
(1)
n (h))
with ˆπ
(0)
n (h) and ˆπ
(1)
n (h) defined in (2) and (1)
18 / 25

34. Practicals
Introduction
Convergence
Practicals [under development]
19 / 25

35. folding set
Unless target distribution simple enough for informed choice,
natural choice for A0 is HPD region
Hα = {x ∈ X; π(x) ≥ α}
as
π [and hence π] lower bounded on Hα
resulting Hα compact
some transition kernels produce uniform ergodic chains
partition of X into A0, Ac
0 with natural stereoscopic projection
[provided A0 star-convex]
g1(x ) =
2
|x |2
x
20 / 25

36. practical implementation
While Hα usually unavailable, approximations can be found from
preliminary MCMC runs when π(x) or unnormalised version of it
can be computed
preliminary run produces simulations with [relative] values of
π, π(x1), . . . , π(xN)
derivation of higher density values [and potential clustering]
choice of an HPD approximation as ball and g1 as natural
projection
reevaluation of the folding set after further simulations
note: black box compatibility with MCMC code
21 / 25

37. practical implementation
While Hα usually unavailable, approximations can be found from
preliminary MCMC runs when π(x) or unnormalised version of it
can be computed
preliminary run produces simulations with [relative] values of
π, π(x1), . . . , π(xN)
derivation of higher density values [and potential clustering]
choice of an HPD approximation as ball and g1 as natural
projection
reevaluation of the folding set after further simulations
note: black box compatibility with MCMC code
21 / 25

38. Cauchy illustration
preliminary run produces
simulations with values of
π(x)
derivation of higher density
values and clustering
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q q q
q
q
q
q
q
q
qqq qqq q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
qq
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
qq
q
qq
qq
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qqq
−1.5 −1.0 −0.5 0.0
0.100.150.200.250.30
x
π(x)
22 / 25

39. Cauchy illustration
preliminary run produces
simulations with values of
π(x)
derivation of higher density
values and clustering
choice of an HPD
approximation as ball and g1
as natural projection
potential reevaluation of the
folding set after further
simulations
x
Density
−0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2
0.00.51.01.52.0
22 / 25

40. Cauchy illustration
preliminary run produces
simulations with values of
π(x)
derivation of higher density
values and clustering
q
q
qqq
q
q
q
qqq
q
q
qqq
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qqq
qq
qq
q
qq
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
qq
q
q
qq
qq
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qqq
qqq q
qq
q
q
q
qqq
qqq
qq
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
qq
q
q
q
q
q
q
qq
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
qqq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
qq
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
1.0 1.5 2.0 2.5
0.050.100.150.20
x
π(x)
22 / 25

41. Cauchy illustration
preliminary run produces
simulations with values of
π(x)
derivation of higher density
values and clustering
choice of an HPD
approximation as ball and g1
as natural projection
potential reevaluation of the
folding set after further
simulations
x
Density
0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
01234
22 / 25

42. Cauchy illustration
preliminary run produces
simulations with values of
π(x)
derivation of higher density
values and clustering
choice of an HPD
approximation as ball and g1
as natural projection
potential reevaluation of the
folding set after further
simulations
x
Density
1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
0246810
qMC version using sobol(1e5,3)
22 / 25

43. Gaussian sugarloaf
Target
π(x) ∝ ϕ(x; µ, Σ) × exp{−α/||x − x0||2
}
23 / 25

44. Gaussian sugarloaf
Target
π(x) ∝ ϕ(x; µ, Σ) × exp{−α/||x − x0||2
}
preliminary run produces
simulations with values of
π(x)
derivation of higher density
values and clustering
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
qq q
qq
q
q
q q
qq qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q q
qq
q
q
qqq qq
qq
qqq qqq
qq q
q q
qqqqq
qq
q
qq
q qq qq
qq
q
q
qq q
q
q
q q
q
q
qq
qq
qqq
qq
q
q
qqq
q
q
qqq
q q
qq
q q
qq q
q
qq
qqq
qqqq qq
qqqq
q
q
qq
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
qq
q q q q
q
q
q q
q
q
q
q q
q
q q
q
q
q
qq
q
q
qq qq
q
qq
qq
q
q q
q qq
q q
q
qq q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q q
q q
q
qq
qq
q
q
qq
qq
q
q q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q q
qq
qq
qqqqqq
q
q
qqqqq
q
qq
qq
q
q q
q q
q q
q q
q q
qq
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
−1.0 −0.5 0.0 0.5
−1012
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q q
q
qqq
q
q
q
qqq
q
q
q
q
qqqq
q
q
q
qq
q
q
q
q
qq
qq
q
qqqq
qqqqqq
q
q
qq
q
q
qqq
q
q
q
qq
qqq
qqqqqq
qqq
q
q
qqqq
q
qqq
qq
qqqqq
q
qqq
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
qqq
qqq
qqq
qq
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
qq
q
q
q
qqq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
qq
q
q
q
q
qq
qq
q
qq
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
−1 0 1 2
−1.5−1.0−0.50.00.5
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q q
q q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q qq
q
qq
q q
qq
q
q
q
q
q
q
q qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
qqq
qq
q
qqq
q
qqqq
q
q
q
qq
q
q
qqq
qq
q
qq
qq
q
qqq
q
q
q
qq
qq
qq
qqq
q
qq
qqqqq
q
qqq
q
q
q
qqqqq
q
qq
qqq q
qq
q q
q
q
qqq qqqq
q
qq
q q q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q qq
q
q
q
q
q
q
q qq
qq
q
q
qq
q q
q
qq
q
q
qq
q q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q q
q
q
q q
qq
q
qqq
q q
q
qq q
q q
q qq q
qq
q
q
qqq
q q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
qqq qqq
q
q
qq
q
qq
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5
−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.50.0
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q q
q q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q q
q q
qq
q
q
q
q
q
q
q q q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qqq
q q
q
qqq
q
qqqq
q
q
q
qq
q
q
qqq
q q
q
qq
qq
q
qq q
q
q
q
qq
qq
qq
qqq
q
qq
qqqq q
q
qq q
q
q
q
qqq qq
q
qq
qq qq
qq
qq
q
q
qqq qq q q
q
q q
qqq
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q q q
q
q
q
q
q
q
qqq
qq
q
q
q q
q q
q
qq
q
q
qq
q q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q q
q
q
q
qq
q
q
qq
q q
q
qqq
qq
q
qqq
qq
q q q q
q q
q
q
qqq
qq
q
q
q
q q
q
q
qq
q
q
qqqqq q
q
q
qq
q
qq
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
qq
q
q q
q
q q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
qq
q
q
−1.0 −0.5 0.0 0.5
−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.50.0
23 / 25

45. Gaussian sugarloaf
Target
π(x) ∝ ϕ(x; µ, Σ) × exp{−α/||x − x0||2
}
preliminary run produces
simulations with values of
π(x)
derivation of higher density
values and clustering
choice of an HPD
approximation as ball and g1
as natural projection
potential reevaluation of the
folding set after further
simulations
x
Density
−4 −2 0 2 4
0.00.10.20.3
x
Density
−4 −2 0 2 4
0.00.10.20.30.4
x
Density
−4 −2 0 2 4
0.00.10.20.30.4
x
Density
−4 −2 0 2 4
0.000.100.200.30
23 / 25

46. Gaussian sugarloaf
Target
π(x) ∝ ϕ(x; µ, Σ) × exp{−α/||x − x0||2
}
preliminary run produces
simulations with values of
π(x)
derivation of higher density
values and clustering
choice of an HPD
approximation as ball and g1
as natural projection
potential reevaluation of the
folding set after further
simulations
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqq
qq
qqqq
qq
q
q
qq
q
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqq
qq
qqqqqqq
qq
qq
qq
qqq
qqqqqqqqqqqqqq
qqqq
qqq
q
qq
q
q
qqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qq
qq
q
q
q
qqqqqqq
qqqqqq
qq q
qq
qqqqqqqqqq
q
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqq
qq
q
qqqqq
qqqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qqq
qqq
qqqqq
qqq
q
q
qqq
q
qq
qqqq
qqq
qqqqq
q
q
qqq
q
qqq
q
q
q
q
q
q qq
qq
qqq
q
qq
qq
q
q
q q
q
q
q
q
qq
q
q q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
qqqq
qqqqqq
qqqqqqqqqqqq
qqqq
qq
qqqqqqqqq
qqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qq
qqqqqqqqqq
qqq
q
qq
q
qqq
qqqqq
q
q
qqq
qqq
qqqqqqqq
qqqq
qqqqqq
q
qqqqqqq
qqqqqq
q
qqqq
qqqqq
qq
q
q
q
q
q
q
qqqq
q
q
qq
q
q
qq
qq
q
qqq
qq
qq
qq
q
q
qqqq
qq
q q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
qq
q q
q
q
qq
q
q
q
qq
qq
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq q
q
q
q
qq
q
qqq
qqq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
qq
q
qq
q
qqq
q q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
qqqqq
q
q
qqqqq
qqqq
qqq
q
qqqqqq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qqqq
qqqqqqqqqqq
qqqqqqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
qq
q
qq
qq
q
qqqq
qq
qq
q
qq
q
qq
q
qq
q
qqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqq
qqq
qqqq
qqq
q
qqq
qqq
qqqqqqqqq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqq
qqqqqqqq
qqqq
qqqqqqq
q
qqqq
qq
q
q
qqqq
qq
q
q
q
q
q
q
q
qqq q
q qq
q
qq
q
qq
qqqq
q
q
q
q
q
qq
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
qqqqqq
qqqq
q
q
qqqqq
q
q
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qqqqqqqqq
q
qqq
qq
qqq
q
q
q
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqq
q
qq
qq
q
q
qq
q
qq
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
qq
q
qq
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqqq
q
q
q
q
qqq
q
q
q q
q
q
q
q
q
qq
q
qq qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
qq
qqq
q
q
q
q
qq
q
qq
q q
q
q
q
qq
qqq
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
qqq
q
qqq
q
q
qq
q
qqqq
q
q
qqq
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
qq
qq
qq
q
qq
qq
qqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
q
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqq
q
q
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qqqqqqqq
qq
q
qq
qqqq
qqq
qqq
q
qqq
qqqq
q
qqq
q
q
q
qq
q
q
qq
q
qq
qqqq
qq
qq
qqqqq
q
qq
q
q q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
qq
qq
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
qq
q
q
qq
q
q
q
qq
q
qq
q
qq
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
qqq
q
qq
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqq
qqqq
q
q
qq
q
qqqqq
q
qq
q
q
q
q
q
qqqqq
q
q
q
qq
qqqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
0 20 40 60
−50−40−30−20−10010
q qq
qq
qq
q
qq
q
qq
qqq
q qqq
qq
qq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
qqqq
qqqqqqq
qqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qqq
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
q
q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqq
qqqqqq
q
q
qqqqqqqqq
qq
qqqqqq
q
qqqq
q
qq
q
q
q
qqqq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
qq
qq
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqq
qqqq
qq qqqq
q
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqq
qq
q
q
q q
qqq
qqqq
qq
qqq
qq
q
qq
qqq
q
q
qq
qqq q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qqqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qqq
q
qqqqq
qqqq
q q
q qqq
q
q
qq
q
q
q
qq
q
qqq
qq
q
q
q
qq
qq
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
qqq
q
q q
q
qqqqqq
qq
qqqq
qq
qqqqq
qq
qq qqq
q
q
q
q
q
qq
qq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
q
qq
q
q
qq
qq
q qq
qqqqqq
qq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqq
qq
qq
q q
q
qqq
qqqqqq
qqqqqqqqqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qqqq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
qqqqqqqqqq
q
qq qq
qq
q
qq
q
q
qq
qq
q
qqq
qq
q
qq
qq
q
qq
qq
qq
qq
q
q
q
q
qqq qq
q q
q q
q q q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
qqq
qqqq
qqqqqq
qqqqqq
q
q
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qqqqq
qq
q
qq qqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqq
qqqqqqq
qqqqqqqqqq
qqq q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
qqq
q
qqqq
qq
qqqqq
q
q
qqq
q
qq
q
qqqqqq q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q q
qq
q q
q
q q
q
qq
q
q q
qqq
q q
q
qq q q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq q
qq
qq
q
qq
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
qq
qq qq
q
q qqqq
q
q q
qqq
q
q
qq
qq
q
qq
qqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qqqqqqqqqq
q
qq
q
qqq
qq
qq
q
qq
q
qq
qqq
q
q
q
q
q
q
q
qqqq
qqqq
qqq
qq
qq
q q
q
q
q
q qq
q
q
q
q
q
qqq
q qq qqq
qq
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
qq
q
qqq
qq
q
qq
q
q q
qq qq
qq
q
q
qq
q
q
q q
q q
q
qq
q
q
q
q
qqq
qq qqq
q
q
qqqq
qqqqqq
q
q
qq
q qq
q
q
q
qqqqq
q
q
q
q qq q
q
q
q
q
q
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
−50 −40 −30 −20 −10 0 10
−20−10010203040
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qqq
qqq
qq
qqqqqq
q
qqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qqqqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
qqq
qq
qqqqqqq
qqqqqqq
qq
q
q
qq
qqqq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqq
qq
q
q
q
qq
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqq
q
qqqq
qq
qqqq
qq
q
qqq
q
qq
q
q
q
qqq
qqq
q
q
q
qqqqq
qqqq
qqq
q
qq
q
q
qqq
qq
q
q
q
q
q
qq qqq
q
qq
q q
q
q
qq
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qqqqqq
qqqqqqq
qq
qq
qq
q
q
qqqqq
qqqqqqqqqqqq
qqqqqqqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
q
q
qq
qqqqqq
qqqq
q
qqqqqqqq
qqqq
qqq
qqqqq
q
qqqqqqqqqq
q
q
qqq
qqqqq
qqq
qqqqqqq
qq
qqqq
qqqq
q
q
q
q
q
qqq
q
qqq
q
qqq
q
q
q
qq
q
q
q
qq
qqqq
q
qq
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
q
qq
q q q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
q
qq
q
q
q
qqq
q
q
qq
q
q
qqq
qq
q
q
q
q
q
qq q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qqq
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
qqqqq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqqq
q
qqq
qq
q
q
q q
qq
qqq
q
q
q
qqqq
qq
qqqqq
qqqqqqq
qq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqq
qq
qqq
q
qqqq
q
qq
qqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
q
q
q
qqqq
q
qqq
qqqqqqqqqqqqq
q
q
q
qqqq
q
q
qqq
qq
qq
qqqqq
q
q
qqqqqq
q
qqq
q
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqq
qq
qqq
q
qq
qqq
qq
qq
qq
qqqq
qqqq
qq
qqqqq
qqq
qq
q
q
q
qqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqqq
qqqqqq
qqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qqqq
qq
qq
qqqqqqq
q
q
qqq
qqq
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
qqq
qq
qq
q
qq
q
qqqqq
q
q
q
qq
qq
qq
q
qq
qq
qq
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
qq
q
qqqqqq
qq
qq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
q
q
q
qqq
qq
qq
qq
qqqqq
q
q
q
qq
q
qq
qq
q
qqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqq
qqqq
qq
qqqq
qqqqq
qq
q
q
q
qq
qq qq
q
q
qq
q
q
q
q
qqq
q
qq
q
qqq
q
q
q
qq
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
qqq
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
qq
q
q
q
q
qq q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qqq
qq
qq
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
qqq
q
qq
qqqqq
q
q
q
qqq
qq
qq
q
q
qqq
qqqqqq
qqq
q
q
q
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqq
qqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqq
qqqqq
qqqq
q
qqqq
qqq
qq
qq
q
q
q
qq
qqqqq
qqq
q
q
qq
q
q
q
q
qqq
qq
qq
qqq
q
qq
q
q
q
qq
qq
q
qq
q
qqqq
qq
q
q
qq
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qqq
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
qq
qq
q
qqqqqq
qq
qq
q
qqq
q
q
qq
q
qq
q
qqqq
q
q
q
qqq
qq
q
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
−20 −10 0 10 20 30 40
−10010203040
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
qqq
qqq
qq
qqqqqq
q
qqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qqqqq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
qqq
qq
qqqqqqq
qqqqqqq
q q
q
q
qq
qqqq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqq
qq
q
q
q
qq
qqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqq
q
qqqq
qq
qqqq
qq
q
qqq
q
qq
q
q
q
qqq
qqq
q
q
q
qqqqq
qqqq
qqq
q
qq
q
q
qq q
q q
q
q
q
q
q
qq qq q
q
q q
qq
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
qqqqqq
qqqqqqq
qq
qq
qq
q
q
qqqqq
qqqqqqqqqqqq
qqqqqqqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqq
q
q
qq
qqqqqq
qqqq
q
qqqqqqqq
qqqq
qqq
qqqqq
q
qqqqqqqqqq
q
q
qqq
qqqqq
qqq
qqqqqqq
qq
qqqq
qqqq
q
q
q
q
q
qqq
q
qqq
q
qqq
q
q
q
qq
q
q
q
qq
qqqq
q
qq
q
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
qq
q
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
qq
qq q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qqq
q
q
qq
q
q
qqq
qq
q
q
q
q
q
qqq
q
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qqq
q
q
q
q
qq
qq
q
q
q
qqqqq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qqqqq
q
qqq
qq
q
q
qq
qq
qqq
q
q
q
qqqq
qq
qqqqq
qqqqqqq
qq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqq
qq
qqq
q
qqqq
q
qq
qqq
qqqq
qqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
q
q
q
qqqq
q
qqq
qqqqqqqqqqqqq
q
q
q
qqqq
q
q
qqq
qq
qq
qqqqq
q
q
qqqqqq
q
qqq
q
qqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqq
qq
qqq
q
qq
qqq
qq
qq
qq
qqqq
qqqq
qq
qqqqq
qqq
qq
q
q
q
qqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
q
q
q
q
q
qqqqqqqqqqqq
qqqqqq
qqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qq
qq
qqqq
qq
qq
qqqqqqq
q
q
qqq
qqq
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q q
q
qq
q
qq q
qq
qq
q
qq
q
qqq qq
q
q
q
qq
qq
qq
q
qq
q q
qq
q
q
q
q
q
q
qqq
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
qq
qq
q
qqqqqq
qq
qq
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
q
q
q
q
qqq
qq
qq
qq
qqqqq
q
q
q
qq
q
qq
qq
q
qqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqq
qq
qqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqq
qqqq
qq
qqqq
qqqqq
qq
q
q
q
qq
qqqq
q
q
qq
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q
qqq
q
q
q
q q
q
q
qq
qq
q
q
q
q
q
qqq
q q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
qq
q
q
qq
qq
q
q
q
q
qqq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
qqq
qq
qq
q
q
qq
q
q
q
q
qq
q
q
qqq
q
qqq
q
qq
qqqqq
q
q
q
qqq
qq
qq
q
q
qqq
qqqqqq
qqq
q
q
q
q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqq
qqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
qqqqqqq
qqqqq
qqqq
q
qqqq
qqq
qq
qq
q
q
q
qqq
qqqq
qqq
q
q
qq
q
q
q
q
qqq
qq
qq
qqq
q
qq
q
q
q
qq
q q
q
qq
q
qqq q
qq
q
q
qq
qq
qq
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q qq
qq
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
qqq
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
qq
q
qq
q
q
q
q
qq
qq
q
qqqqqq
qq
qq
q
qqq
q
q
qq
q
qq
q
qqqq
q
q
q
qqq
qq
q
qq
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
0 20 40 60
−10010203040
23 / 25

47. keep folding: the origaMCMC
When A0 shows too much variability of π , it can be folded again:
the procedure can be iterated or a more elaborated partition can
be constructed by clustering
cost of unfolding possibly a deterent
over-concentration not an issue with projected proposal
plus other proposals may be included
possible connection with Wang-Landau flat histogram
algorithm, although Jacobian may prevent flatness (and
become a liability)
[Jacob & Ryder, 2014]
24 / 25

48. keep folding: the origaMCMC
When A0 shows too much variability of π , it can be folded again:
the procedure can be iterated or a more elaborated partition can
be constructed by clustering
cost of unfolding possibly a deterent
over-concentration not an issue with projected proposal
plus other proposals may be included
possible connection with Wang-Landau flat histogram
algorithm, although Jacobian may prevent flatness (and
become a liability)
[Jacob & Ryder, 2014]
24 / 25

49. further questions
1. Folding increases the acceptance probabilities and improve the
asymptotic covariance. What about achieving geometric
ergodicity?
2. Folding is only possible if folding and unfolding the Markov
chains is not costly. What about a computing time criterion?
3. Domination results are obtained with the kernel induced on
the folded space [black box]. What about selecting more
appropriate [black/white box] folded kernels?
25 / 25

50. further questions
1. Folding increases the acceptance probabilities and improve the
asymptotic covariance. What about achieving geometric
ergodicity?
2. Folding is only possible if folding and unfolding the Markov
chains is not costly. What about a computing time criterion?
3. Domination results are obtained with the kernel induced on
the folded space [black box]. What about selecting more
appropriate [black/white box] folded kernels?
25 / 25

51. further questions
1. Folding increases the acceptance probabilities and improve the
asymptotic covariance. What about achieving geometric
ergodicity?
2. Folding is only possible if folding and unfolding the Markov
chains is not costly. What about a computing time criterion?
3. Domination results are obtained with the kernel induced on
the folded space [black box]. What about selecting more
appropriate [black/white box] folded kernels?
25 / 25