8.sayisal turevintegral

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.,2007 1
8. SAYISAL TÜREV ve İNTEGRAL
=Değişimin matematiği
Mühendisler değişen sistemler ve süreçlerle sürekli
olarak uğraşmak zorunda oldukları için türev ve
integral kavramları mesleğimizin temel araçları
arasındadır.
Bağımlı değişkenin / bağımsız değişken
x∆
t∆
X∆ t∆

Serhat YILMAZ, Elektronik ve Hab,Kocaeli Ün.2
x
xfxxf
x
f ii
∆
−∆+
=
∆
∆ )()(
Türev Tanımı: (matematikte),
fark (difference) yaklaşımı idi
x
xfxxf
x
xf
xf ii
x ∆
−∆+
=
∂
∂
=
→∆
)()()(
)(' lim0
• Diferansiyel, farkları belirlemek, ayırmak anlamına gelir

Mühendislikte türev
VL=L , ic=C
•Mühendislikte bir çok yasa ve genelleştirme,
fiziksel dünyada karşılıkları olan değişimlerin
tahmin edilmesi esasına dayanmaktadır.
•Newton’un ikinci yasası temel bir örnek olup, bir cismin konumuyla
değil, konumunun zamana göre değişimiyle ilgilenmektedir
v= dX/dt
•Isı geçişleri, sıcaklık farkına bağlı olarak, akım yasası potansiyel farkına
bağlı olarak ifade edilir.
• Benzer şekilde, L,C elemanlarının uç denklemleri;

İntegral Tanımı
 Yüksek matematikte diferansiyelin
ters işlemi; integraldir
Sum [ f(x)dx dilimleri ]
Birleştirme, biraraya getirme, toplama(sum)
f(xi)dx
…
…
…
…
f(x)
f(xi)dx ∫
200
0
dx)x(f
S

Mühendislikte integral: (fonksiyonun-
eğrinin altında kalan alan)
(a) (b) (c)

8.1) Sayısal Türev
8.1.1. İki noktalı basit türev yaklaşımları
a) Geri Fark Yaklaşımı
(8.4)
Geri Fark Formülü
Şekil.8.2. Geri Fark Yaklaşımı

8.1.1. İki noktalı basit türev yaklaşımları
a) İleri Fark Yaklaşımı
(8.5)
İleri Fark Formülü
Şekil.8.3. İleri Fark Yaklaşımı
b) Merkez Fark Yaklaşımı
(8.6)
Merkez Fark Formülü
Şekil.8.4. Merkez Fark Yaklaşımı

Örnek: y=x2
işlevinin x=2’deki türevini h=0.1 kullanarak
her üç yöntemle yaklaşık olarak bulunuz.
a) İleri fark yöntemiyle
b) Geri fark yöntemiyle
c) Merkez fark yöntemiyle

8.1.2. Taylor Serisi yardımıyla
çok noktalı türev yaklaşımları
 İki noktalı türev yaklaşımları
!
)(
.................................
!2
)(''
!1
)('
)()(
21
n
xfhxfhxfh
xfhxf i
nn
ii
ii +++=+
!2
)(''
!1
)('
)()(
21
ii
ii
xfhxfh
xfhxf ++=+
( ) ( )
!2
)(''2
!1
)('2
)()2(
21
xfhxfh
xfhxf ii ++=+
-4
+

2
)(''
4)('4)(4)(4
2
i
iii
xfh
xhfxfhxf −−−=+−
2
)(''4
)('2)()2(
2
xfh
xhfxfhxf iii ++=+
=
veya kısaca
=
+
İki noktalı türev yaklaşımları : Taylor serisi için ileri fark yöntemi
Taylor serisi için ileri fark formülü

b) Aynı işlemler, geriye (xi-1 noktasına ) doğru yapılırsa
fi
xi+1xi
h
fi+1
fi-1
h
xi-1 xi+2xi-2
fi-2
fi+2
Şekil.8.5. Taylor Serisi yardımıyla iki noktalı türev yaklaşımları

( ) ( )
!2
)x(''fh
!1
)x('fh
)x(f)hx(f i
2
i
1
ii
−
+
−
+=−
( ) ( )
!2
)(''2
!1
)('2
)()2(
21
xfhxfh
xfhxf ii
−
+
−
+=−
=
İki noktalı türev yaklaşımları : Taylor serisi için geri fark yöntemi
Taylor serisi için geri fark formülü

Üç noktalı türev yaklaşımları
Taylor serileri 3. dereceden kuvvetlerine kadar açılarak ve yine taraf tarafa yok etme işlemleri
kullanılarak 1. 2. ve 3. dereceden türevleri yaklaşık olarak bulunabilir. Buradan
= (8.15)
= (8.16)
= (8.17)
Ödev: Taylor serisine açarak bu denklemleri ispatlayın

Örnek: f(x)=ex-2
işlevinin x=2 noktasındaki
yaklaşık türevini gördüğümüz yöntemlerle
bulunuz. ( h=0,1 Analitik çözüm: )1e)2('f 22
== −
Çözüm:
• İki noktalı ileri farkla çözüm
,
= olduğundan, = =0.9964
• Basit ileri farkla çözüm;
= 1,0517

• İki noktalı geri farkla çözüm
,
= olduğundan, = =0.99705
• Basit geri farkla çözüm;
=
Merkez farkla çözüm;
= 1,001
Örnek (devam)

8.2) Sayısal İntegral
x= t
f(x)=T
Şekil.8.6. Bir sisteme ait 1’er dakika aralıklarla alınmış ayrık sıcaklık verileri

Örnek:
x f(x)
0.25 2.599
0.75 2.414
1.25 1.945
1.75 1.993
( ) dxe
x
x x5.0
2
0
2/3
sin5.01
1cos2
∫ +
++
x
f(x)
0 0.25 0.75 1.25 1.75

8.2.1. Basit İntegral Yaklaşımları
Alt Değer Yaklaşımı
xi+h
f(xi)
f (xi+h)
xi
f (x)
x
Şekil.8.8. Alt Değer Yaklaşımı
( ) ( )hxfIdxxf iA
hx
x
i
i
=≡∫
+

Üst Değer Yaklaşımı
xi+h
f(xi)
f (xi+h)
xi
f (x)
x
( ) ( )hhxfIdxxf iÜ
hx
x
i
i
+=≡∫
+
xi +h
f(xi )
f(xi +h)
xi xi+h/2
f(x)
x
f(xi+h/2)
Orta Nokta Yaklaşımı
h
h
xfI iÜ 





+=
2

8.2.2. Newton-Cotes Formülleri
=ao+a1x+........anxn
( ) ( )dxxfdxxfI
b
a
n
b
a
∫∫ ≅=
= f(a)+
8.2.2.1. Trapez (Yamuk) Kuralı
f1(x)
b,f(b)
a, f(a) doğrusal interpolasyon
I= ∫
b
a
[f(a)+ )(
)()(
ax
ab
afbf
−
−
−
]dx
I=(b-a)*
2
)()( afbf +

b
f(a)
f (b)
a Taban
f (x)
x
Trapez (Yamuk) Kuralı
I=Taban * ortalama yükseklik
I=(b-a)*
2
)()( afbf +

Trapez kuralı’nın tekli uygulaması
 Örnek:
f(x) = 0.2+25x-200x2
+675x3
-900x4
+400x5
işlevinin x=0’dan 0.8’e kadar trapez kuralı ile
integralini alın.
(İntegralin analitik çözümü:1.640533)
Çözüm: İşlevin verilen noktalardaki değerleri;
f(0)=0.2, f(0.8)=0.232 bulunur . Eşitlikte yerine koyulursa
I=(b-a)* bulunur.
Hata
Et=1.640533-0.1728=1.467733
Sonuç %89.5 bağıl hatayla bulunmuştur.
f(x)
-
-
-
2.0-
-
-
-
0
Hata
İntegral Tahmini .
0.8 x
-Şekil.8.12. Aralığın büyük seçilmesi sonucu
integral hatası(Chapra S.,Canale,R., 2003)

Trapez kuralı’nın çoklu uygulaması
f2
xn-1x2.......
h
fn-1
f1
I2
x1 xnx0
f0
fn
I1
I1= , I2=
Şekil.8.13. Çoklu uygulamalarda trapez kuralı
I=I1+I2+................In Burada
I=
I=
Trapez kuralının çoklu uygulaması için genelleştirilmiş formül
1980’lerde Türkçemize giren deyim; “toplanıp Voltranı
oluşturmak”

Kalbin pompaladığı kan debisini ölçmek için kullanılan standart teknik, Hamilton tarafından geliştirilen
indikatör seyrelmesidir. Küçük bir sondanın bir ucu radyal bir atardamara sokulur ve diğer ucu kan içindeki
boyanın (indikatör) derişikliğini otomatik olarak kaydedebilen bir yoğunluk ölçere bağlanır. Bilinen miktarda
boya (5.6 mg) hızlı bir şekilde enjekte edilir ve Tablo’daki veriler alınır.
Boya seyrelmesinde elde edilen bu sonuçların grafiği Şekil’de görülmektedir. Derişim 15 sn civarında en yüksek
değere ulaşmakta, daha sonra düşmektedir ve bu düşüşü yeniden dolaşan boya nedeniyle bir artış izlemektedir.
Yeniden dolaşımın etkisini gözardı etmek için
analistler derişim eğrisini düz bir doğru şeklinde
uzatırlar. Bu durumda derişim ( fD(t) ): t=23.
saniyede 1.1, t=25. saniyede 0.9, t=27. saniyede
0.45 ve t=29. saniyede 0 olmaktadır. Daha
sonra kalp çıktısı (cardiac output) şöyle
hesaplanabilmektedir;
C= , Burada C kalp debisi [L/dakika],
M=enjekte edilen boya miktarı (mg),
60=dakikayı saniyeye çeviren katsayı (s/dakika)
ve A= eğrinin (Analistler tarafından düzeltilmiş
haliyle!) altında kalan alandır ((mg/L)*s).
t1=5. ile t13=29. saniyeler arasında, 2s adım
büyüklüğüyle, trapez kuralınının çoklu uygulamasını kullanarak bu hastanın kalp debisini hesaplayın.
(Trapez formülü : I= )
Örnek:

Çözüm:adım büyüklüğü h=2 sn I= idi.
 f1= f(5)=0, f2= f(7)=0.1, f3= f(9)=0.11, f4= f(11)=0.4,
f5= f(13)=4, f6=f(15)=9, f7=f(17)=7.9, f8=f(19)=4.1,
f9=f(21)=2.2, f10=f(23)=1.1, f11=f(25)=0.9,
f12=f(27)=0.45, fn= f13=f(29)=0
)f2ff(
2
h 1n
2k
kn1 ∑
−
=
++
)f2ff(
2
2
IAdt)t(f
12
2k
k131
29
5
D ∑∫ =
++===
L/dk5.55188dakika/s60*
s*)L/mg(52.60
mg6.5
60*
A
M
C:Debi ===
= 0+0+2*(0.1+0.11+0.4+4+9+7.9+4.1+2.2+1.1+0.9+0.45) =60.52 mg/L

Soru:a) Aynı veriler ve yöntemi kullanarak kalp debisini hesaplayacak bir
bilgisayar algoritması oluşturun.
b) ve programını yazın
a)
İlk Değerleri Ata
M, n,h, Toplam
H
k=k+1
k=2
?)1n(k −≤E
Yoğunlukölçerden alınıp düzeltilen
tüm verileri gir f1……..fn
∑
−
=
)1n(
2k
kf = Toplam








++= ∑
−
=
)1n(
2k
kn1 f*2ff
2
h
A
Toplam=Toplam+f(k)
C=(M/A)*60
b)

8.2.2.2.Simpson Kuralları
f(x)
x
Şekil.8.14. 2. dereceden polinom
f(x)
x
Şekil.8.15. 3. dereceden polinom

Simpson’un 1/3 Kuralı
( ) ( )dxxfdxxfI
b
a
2
b
a
∫∫ ≅=
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
dxxf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
I
x
xo
∫ 





−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
2
)()()( 2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
( )xf2
x1, f(x1)
2. Dereceden Lagrange İnterpolasyon Polinomu
x2, f(x2)
x3, f(x3)
( )[ ])()(4
3
210 xfxfxf
h
I ++≅
Simpson’un 1/3 Kuralı (İkinci Newton Cotes İntegral Formülü)
h= 2
ab − ( )[ ]
  

yükseklikOrtalama
Taban
xfxfxf
abI
6
)()(4
)( 210 ++
−≅
a=x0, b=x2’dir. x1 ise a ve b’nin ortasındaki nokta

Simpson’un 1/3 Kuralının Tekli Uygulaması:
 Örnek: f(x)=0.2+25x-200x2
+675x3
-900x4
+400x5
işlevini a=0’dan b=0.8’e kadar
Simpson’un 1/3 kuralıyla sayısal olarak integre edin. (İntegralin tam
değeri:1.640533 idi)
Çözüm: f(0)=0.2, f(0.4)=2.456, f(0.8)=0.232 ‘dir. Integral değeri
Bu değer yamuk yöntemiyle çözüme göre daha doğru bir sonuç bulmuştur.
Et=1.640533-1.367467=0.2730667, yüzde bağıl hatası %16.6’dır.

Simpson’un 1/3 Kuralının Çoklu Uygulaması:
I=I1+I2+................In
I=
h=
n
ab −
I=
( )[ ]
  

yükseklikOrtalama
Taban
xfxfxf
abI
6
)()(4
)( 210 ++
−≅

Örnek: : f(x) = 0.2+25x-200x2
+675x3
-900x4
+400x5
işlevinin a=0’dan b=0.8’e kadar
Simpson’un 1/3 kuralını kullanarak n=4 aralık için integre edin. (İntegralin tam
değeri:1.640533 idi)
Çözüm: n=4, h=(0.8-0)/4=0.2 x0=0, x1=0.2, x2=0.4, x3=0.6, x4=0.8
f(0)=0.2 f(0.2)=1.288
f(0.4)=2.456 f(0.6)=3.464
f(0.8)=0.232
Et=1.640533-1.623467=0.017067. Bağıl yüzde hatası %1.04 bulunur.

İlk Değerleri Ata
n, b, a, h, ToplamTekler=0,
ToplamÇiftler=0, f0
H
i=i+1
i=1
?ni ≤E
h=0.2 aralıklarla tüm noktalarda sırayla
fonksiyonun aldığı değerler bulunur
f1, f2.........fn= f(0.2)........f(0.8)
H
i=i+1
i=1
?2/ni ≤ETek x sayıları için fonksiyonların aldığı
değerlerin toplamını bul
ToplamTekler=ToplamTekler+f(i)
H
i=i+1
i=1
?2/)2( −≤ niEÇift x sayıları için fonksiyonların aldığı
değerlerin toplamını bul
ToplamCiftler=ToplamCiftler+f(i)
∑=
−
2/
1
12
n
i
if =Toplam Tek Sayılar
∑
−
=
2/)2(
1
2
n
i
if = Toplam Çift Sayılar
( )












+++
−=
∑ ∑=
−
=
−
n
ffff
abI
n
i
n
i
iin
3
24
2/
1
2/)2(
1
2120
Program Algoritması
Simpson’un 1/3 kuralının
çoklu uygulaması için örnek algoritma

Program
Kodları

Simpson’un 3/8 Kuralı
Diğer iki yöntemin türetilmesine benzer şekilde, üçüncü dereceden bir Lagrange polinomu
dört noktadan geçirilebilir ve integrali alınacak f(x) işlevi yerine kullanılabilir.
Üçüncü dereceden Lagrange polinomunun integrali;
veya
Simpson’un 3/8 kuralı (3. Newton Cotes integral formülü):

Sayısal Türev ve İntegralin Elektrik-Elektronik Mühendisliğinde Uygulamaları
Bir periyot boyunca salınan bir elektrik akımının ortalama değeri sıfır olabilir. Örneğin
akımın basit bir sinüsle tanımlandığını varsayalım: i(t)=sin(2 /T). Burada T periyottur. Bu
işlevin ortalama değeri aşağıdaki eşitlikle hesaplanabilir.
i= =
Burada net sonucun sıfır olması gerçeğine karşın, bu akım bir iş yapabilir ve ısı üretebilir.
Ortalama değeri sıfır olsa da bu tür etkilerinden dolayı etkili veya etkin akım değeri olarak
adlandırılır. Bu nedenle elektik mühendisleri bu tür bir akımı genellikle aşağıdaki eşitlikle
tanımlarlar. (RMS: Roots of mean square:karesel ortalamanın karekökü) :
IRMS=
Burada i(t): t anındaki anlık akımdır.

Ödev: T=1sn için şekilde görülen dalganın etkin akımını trapez ve Simpson 1/3 kurallarıyla 4
aralık için bulun. Bağıl yüzde hatayı bulun. (Gerçek değer 15.41261, % )
Şekil.8.18. Yarım periyot için sinüzoidal akım işareti

Şekilde değişimi verilen akımın etkin değerini Simpson’un 1/3 integral formülünü kullanarak h= adımı ile
hesaplayınız. Burada akım; şekilden de görüldüğü gibi ve katlarında periyodik olarak başlayan (iletime
geçen), genliği 1.45A, periyodu olan sinüzoidal bir işarettir. Dolayısıyla taralı bölgeler simetrik ve
alanları eşittir.
ietkin= , A=(b-a) ,h= , Radyan= )
Soruyu çözecek a) algoritmayı oluşturun b) programı yazın.
Ödev.2.
Kaynaklar
• Müh. İçin Say. Yöntemler, CAPRA,S
ve diğ., Literatür Yayınları
• Sayısal Çözümleme,Aktaş Z., ODTÜ
Yayınları
• Applied Num. Analysis, Gerald,C.F. ve
diğ. Addison Wesley Pub.
• Sayısal Çözümleme Ders Notları,
Bilgin, M.Z., Kocaeli Ün., Elektrik
Müh. Bölümü

8.sayisal turevintegral

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to 8.sayisal turevintegral

Similar to 8.sayisal turevintegral (15)

8.sayisal turevintegral

Editor's Notes