Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοηθήματα Γ΄ λυκείου Φυσική 2015 |

Ôï âéâëßï “ÖõóéêÞ ãéá íá áñéóôåýóåéò”“ÖõóéêÞ ãéá íá áñéóôåýóåéò” ðåñéÝ÷åé óôï Á’ êáé Â’ ìÝñïò
üôé åßíáé áðáñáßôçôï íá ãíùñßæåéò áðü ôçí Á’ êáé Â’ Ëõêåßïõ ãéá íá
êáôáëÜâåéò êáé íá áíôéìåôùðßóåéò ìå áðüëõôç åðéôõ÷ßá ôá èÝìáôá ôùí
Ðáíåëëáäéêþí åîåôÜóåùí ôçò Ã’ Ëõêåßïõ.
Óôï Ã’ ìÝñïò ãßíïíôáé “ðñïåêôÜóåéò”“ðñïåêôÜóåéò” óôçí ýëç ôçò Ã’ Ëõêåßïõ.
Ìå áõôÞ ôçí õðïäïìÞ èá ìðïñåßò íá áíôéìåôùðßóåéò üëç ôçí
õðüëïéðç ýëç ôçò Ã’ Ëõêåßïõ ÷ùñßò êåíÜ.
Ôéò ãíþóåéò ðïõ áðïêôÜò óå êÜèå êåöÜëáéï èá ôéò ÷ñçóéìïðïéåßò ãéá ôç
ëýóç áóêÞóåùí êáé óôá õðüëïéðá êåöÜëáéá, ðåôõ÷áßíïíôáò Ýôóé ôç
ëåãüìåíç “ìåôáöïñÜ ìÜèçóçò”“ìåôáöïñÜ ìÜèçóçò” áðü ôÜîç óå ôÜîç êáé áðü êåöÜëáéï óå
êåöÜëáéï, ðïõ åßíáé ôï “êëåéäß”“êëåéäß” ãéá íá áñéóôåýóåéò óôç öõóéêÞ.
ÊáëÞ åðéôõ÷ßáÊáëÞ åðéôõ÷ßá
Å×ÅÔÅ ÄÉÊÉÏÅ×ÅÔÅ ÄÉÊÉÏ
ÍÁ ÍÏÉÙÈÅÔÅÍÁ ÍÏÉÙÈÅÔÅ ÓÉÃÓÉÃÏÕÑÉÁÏÕÑÉÁ
ÅÉÓÔÅ ÓÔÏ ÐÉÓÔÏÐÏÉÇÌÅÍÏÅÉÓÔÅ ÓÔÏ ÐÉÓÔÏÐÏÉÇÌÅÍÏ
ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ
... Ìå ôï ßäéï ðñüãñáììá äïõëåéÜò
ðïõ ìáò ÊÁÈÉÅÑÙÓÅ ìå åðéôõ÷ßåò
óôéò êáëýôåñåò ó÷ïëÝò ôùí ÁÅÉ...
3333
×ÑÏÍÉÁ×ÑÏÍÉÁ
www.orosimo.com
Exofilo_Fisikis.qxp 29/6/2007 2:55 Page 1

KéíÞóåéò • Ôáëáíôþóåéò • ÅíÝñãåéá • ÏñìÞ • Å.Ï.Ê. • Ðåäßï Çëåê-
ôñéêü • È.Ì.Ê.Å. • Êñïýóåéò • Å.Ï.Ì.Ê. • ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý •
Á.Ä.Ì.Å • ÊõêëéêÞ Êßíçóç • Íüìïé Íåýôùíá • ÅíÝñãåéá Çëåêôñé-
êïý Ðåäßïõ • Á.Ä.Å • ÔñéâÞ • ÅíÝñãåéá Ìáãíçôéêïý Ðåäßïõ • Á.-
Ä.Ï. • Á.Ä.Ì.Å • ÂÜñïò • ÁíôéóôÜôåò • È.Ì.Ê.Å. • ÏñìÞ • Íüìïò
ÏÇÌ • Á.Ä.Ï. • Êñïýóç • ÅðáãùãÞ • Á.Ä.Å • ÅíÝñãåéá Ìáãíçôé-
êïý Ðåäßïõ • ÊõêëéêÞ Êßíçóç • ÁõôåðáãùãÞ • Ôáëáíôþóåéò • ¸ñãï
• ÁõôåðáãùãÞ • KéíÞóåéò • Ôáëáíôþóåéò • ÅíÝñãåéá • ÏñìÞ • Å-
.Ï.Ê. • Ðåäßï Çëåêôñéêü • È.Ì.Ê.Å. • Êñïýóåéò • Å.Ï.Ì.Ê. • Äéá-
öïñÜ Äõíáìéêïý • Á.Ä.Ì.Å • ÊõêëéêÞ Êßíçóç • Íüìïé Íåýôùíá •
ÅíÝñãåéá Çëåêôñéêïý Ðåäßïõ • Á.Ä.Å • ÔñéâÞ • ÅíÝñãåéá Ìáãíçôé-
êïý Ðåäßïõ • Á.Ä.Ï. • Á.Ä.Ì.Å • ÂÜñïò • ÁíôéóôÜôåò • È.Ì.Ê.Å. •
ÏñìÞ • Íüìïò ÏÇÌ • Á.Ä.Ï. • Êñïýóç • ÅðáãùãÞ • Á.Ä.Å • Å-
íÝñãåéá Ìáãíçôéêïý Ðåäßïõ • ÊõêëéêÞ Êßíçóç • ÁõôåðáãùãÞ •
Ôáëáíôþóåéò • ¸ñãï • ÁõôåðáãùãÞ • KéíÞóåéò • Ôáëáíôþóåéò • Å-
íÝñãåéá • ÏñìÞ • Å.Ï.Ê. • Ðåäßï Çëåêôñéêü • È.Ì.Ê.Å. • Êñïýóåéò
• Å.Ï.Ì.Ê. • ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý • Á.Ä.Ì.Å • ÊõêëéêÞ Êßíçóç •
Íüìïé Íåýôùíá • ÅíÝñãåéá Çëåêôñéêïý Ðåäßïõ • Á.Ä.Å • ÔñéâÞ •
ÅíÝñãåéá Ìáãíçôéêïý Ðåäßïõ • Á.Ä.Ï. • Á.Ä.Ì.Å • ÂÜñïò • Áíôé-
óôÜôåò • È.Ì.Ê.Å. • ÏñìÞ • Íüìïò ÏÇÌ • Á.Ä.Ï. • Êñïýóç • Åðá-
ãùãÞ • Á.Ä.Å • ÅíÝñãåéá Ìáãíçôéêïý Ðåäßïõ • ÊõêëéêÞ Êßíçóç •
ÁõôåðáãùãÞ • Ôáëáíôþóåéò • ¸ñãï • ÁõôåðáãùãÞ • KéíÞóåéò • Ôá-
ëáíôþóåéò • ÅíÝñãåéá • ÏñìÞ • Å.Ï.Ê. • Ðåäßï Çëåêôñéêü • È.Ì.Ê.Å.
• Êñïýóåéò • Å.Ï.Ì.Ê. • ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý • Á.Ä.Ì.Å • Êõêëé-
êÞ Êßíçóç • Íüìïé Íåýôùíá • ÅíÝñãåéá Çëåêôñéêïý Ðåäßïõ • Á.-
Ä.Å • ÔñéâÞ • ÅíÝñãåéá Ìáãíçôéêïý Ðåäßïõ • Á.Ä.Ï. • Á.Ä.Ì.Å •
ÂÜñïò • ÁíôéóôÜôåò • È.Ì.Ê.Å. • ÏñìÞ • Íüìïò ÏÇÌ • Á.Ä.Ï. •
Êñïýóç • ÅðáãùãÞ • Á.Ä.Å • ÅíÝñãåéá Ìáãíçôéêïý Ðåäßïõ • Êõ-
êëéêÞ Êßíçóç • ÁõôåðáãùãÞ • Ôáëáíôþóåéò • ¸ñãï • ÁõôåðáãùãÞ

∆ιδάσκονται στην A΄ Λυκείου
∆ιδάσκονται ή Χρειάζονται
στην Β΄ Λυκείου
∆ιδάσκονται ή Χρειάζονται
στην Γ΄ Λυκείου

Áíôß Ð Ñ Ï Ë Ï Ã Ï Õ
Ôï âéâëßï áõôü èá áðïôåëÝóåé ãéá üðïéïí ôï ÷ñçóéìïðïéÞóåé óùóôÜ, ëüãù
ôçò äïìÞò ôïõ, ðõîßäá êáé óçìåßï áíáöïñÜò ãéá ôéò áðáñáßôçôåò ãíþóåéò
ðïõ ðñÝðåé íá äéáèÝôåé ï ìáèçôÞò ãéá íá öôÜóåé óôéò ðáíåëëáäéêÝò åîåôÜ-
óåéò ôçò Ã’ Ëõêåßïõ ÷ùñßò êåíÜ.
Tåëåéþíïíôáò ôçí Á’ êáé Â’ Ëõêåßïõ èá Ý÷åé äéäá÷èåß êáé ôéò áðáñáßôçôåò
“ðñïåêôÜóåéò” áðü ôçí ýëç ôçò Ã’ Ëõêåßïõ
To âéâëßï ðåñéÝ÷åé:
Á: ¾ëç Á’ Ëõêåßïõ, áíáãêáßá ãéá ôçí Â’, Ã’ Ëõêåßïõ.
Â: ¾ëç Â’ Ëõêåßïõ, áíáãêáßá ãéá ôçí Ã’ Ëõêåßïõ.
Ã: ÂáóéêÜ óçìåßá ýëçò ôçò Ã’ Ëõêåßïõ. Áðáñáßôçôá áðü Á’ Ëõêåßïõ êáé
Â’ Ëõêåßïõ.
Ïé ÷ñùìáôéêïß óõíäõáóìïß ðïõ öáßíïíôáé óôï ðëÜé ôùí óåëßäùí âïçèïýí
ôïí ìáèçôÞ íá ãíùñßæåé ìå ìéá ìáôéÜ ôçí ôÜîç óôçí ïðïßá áíáöÝñåôáé ç ýëç
ðïõ ðáñïõóéÜæåôáé.
ÓõãêåêñéìÝíá:
Α Β Γ
Α΄ Λυκείου Β΄ Λυκείου Γ΄ Λυκείου
∆ιδάσκονται Χρειάζονται Χρειάζονται
Β΄ Λυκείου Γ΄ Λυκείου
∆ιδάσκονται Χρειάζονται
Ôï âéâëßï áõôü ìðïñåß êáé ðñÝðåé íá äéáâáóôåß, áðü ìáèçôÝò êáé ôùí
ôñéþí ôÜîåùí ôïõ Ëõêåßïõ.
Åðßóçò ôï âéâëßï áõôü åßíáé “åñãáëåßï” ãéá ôïõò êáèçãçôÝò ðïõ èÝëïõí íá
ðñïåôïéìÜóïõí ôïõò ìáèçôÝò ôïõò ãéá íá áíôéìåôùðßóïõí ìå åðéôõ÷ßá ôéò
ðáíåëëáäéêÝò åîåôÜóåéò ôçò Ã’ Ëõêåßïõ.
ÓõããñáöéêÞ ïìÜäá ÐÁ.ÓÕ.Ö
ÔÌÇÌÁ ÖÕÓÉÊÙÍ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Μαθηµατικά Φυσικής ........................................................................ σελ. 7
Κεφάλαιο 1
Ευθύγραµµες Κινήσεις ......................................................................σελ. 27
• Λυµένες Ασκήσεις ..............................................................................σελ. 32
• Προτεινόµενες Ασκήσεις για Λύση ....................................................σελ. 38
Κεφάλαιο 2
∆υναµική.............................................................................................σελ. 40
Κεφάλαιο 3
Κυκλική Κίνηση ................................................................................σελ. 71
Κεφάλαιο 4
Ορµή....................................................................................................σελ. 84

Κεφάλαιο 5
Έργο Ενέργεια ....................................................................................σελ. 97
• Λυµένες Ασκήσεις ............................................................................ σελ. 110
• Προτεινόµενες Ασκήσεις για Λύση ..................................................σελ. 125
Κεφάλαιο 6
Ταλαντώσεις.....................................................................................σελ. 129
• Λυµένες Ασκήσεις ............................................................................σελ. 137
Κεφάλαιο 7
Ηλεκτροµαγνητισµός ......................................................................σελ. 145
• Λυµένες Ασκήσεις ............................................................................σελ. 159
Λύσεις Ασκήσεων ............................................................................σελ. 176

7
Μαθηµατικά Φυσικής
Ορισµοί: ν
ν φορές
α α·α·α...·α
−
= α-ν
= ν
1
α
, α ≠ 0 α0
= 1, α ≠ 0
Ιδιότητες:
1) αµ
αν
= αµ+ν
2)
µ
µ ν
ν
α
α
α
−
= 3) (αµ
)ν
= αµ·ν
4) (αβ)ν
= αν
βν
5)
ν ν
ν
α α
β β
 
= 
 
6)
ν ν
α β
β α
−
   
=   
  
∆ υ ν ά µ ε ι ς
1) (α ±±±±± β)2
= α2
+ β2
±±±±± 2αβ
2) (α ±±±±± β)3
= α3
±±±±± 3α2
β + 3αβ2
±±±±± β3
3) α2
- β2
= (α + β)(α - β)
4) α3
- β3
= (α - β)(α2
+ αβ + β2
) και αν
- βν
= (α - β)(αν-1
+ αν-2
β + αν-3
β2
+ ... + βν-1
)
5) α3
+ β3
= (α + β)(α2
- αβ + β2
) και αν
+βν
= (α + β)(αν-1
- αν-2
β + αν-3
β2
+ ... + βν-1
)
6) α3
+ β3
+ γ3
- 3αβγ = 1/2(α + β + γ)[(α - β)2
+ (β - γ)2
+ (γ - α)2
]
7) α3
+ β3
+ γ3
= 3αβγ ⇔ α + β + γ = 0 ή α = β = γ
Τ α υ τ ό τ η τ ε ς
Ορισµός: Αν x ∈ R, τότε:
x, x 0
| x | =
x, x 0
≥

− <
Ιδιότητες: Για x, y ∈ R: A Γ→
|x|2
= |x2
| = x2
|xy| = |x||y|
| x | x
| y | y
=
Α π ό λ υ τ ε ς Τ ι µ έ ς
| x | | y | | x y | | x | | y |− ≤ ± ≤ +



 →
±= →= <
>
αδύνατη
αxα|x| 0α
0α



 →
+≤≤− →≤ <
>
αδύνατη
αxαα|x| 0α
0α



 →
≥−≤ →≥ <
>
αόριστη
αxήαxα|x| 0α
0α

8
Maθηµατικά Φυσικής
Τ ρ ι γ ω ν ο µ ε τ ρ ί α
Α. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας
α
ηµθ
β
=
α
εφθ
γ
=
γ
συνθ
β
=
γ
σφθ
α
=
Β. Βασικές τριγωνοµετρικές σχέσεις
1) |ηµθ| ≤ 1
2) |συνθ| ≤ 1
3) ηµ2
θ + συν2
θ = 1
Γ. Τριγωνοµετρικός κύκλος
y
ηµθ
ρ
x
συνθ
ρ
y
εφθ
x
x
σφθ
y
=
=
=
=
Ορισµός: Έστω x ≠ 0, ν ∈ N*. Για ν 2κ 1= + τότε xν
= α ⇔ ν
αx =
Για ν 2κ= και ν
α 0 x α≥ ⇔ = ±
Ιδιότητες: Για α, β ≥ 0 έχουµε:
1) ννν
αββα =
2)
ν
ν
ν
α α
, β 0
ββ
= ≠
3) ν νν βαβα =
Ρ ί ζ ε ς
4) νµν µ
αα =
5) ν µνρ µρ
αα =
6)
µ
ν µ ν
α α=
7) |α|αR,αΓια 2
=∈
8) ( )
2
α α=
4)
ηµθ π
εφθ , x κπ (κ Ζ)
συνθ 2
= ≠ + ∈
5)
συνθ
σφθ , x κπ (κ Ζ)
ηµθ
= ≠ ∈
6) εφθ · σφθ = 1
Για ρ 1=
y ηµθ
x συνθ
=
=

9
∆. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί βασικών γωνιών
Ε. Βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις
1) Ζκθ,π2κπx
Ζκθ,2κπxηµθ=ηµx



∈−+=
∈+=⇔ 3) εφx = εφθ ⇔⇔⇔⇔⇔ x = κπ + θ, κ∈∈∈∈∈Ζ
2) συνx = συνθ ⇔ x = 2κπ ± θ, κ∈Ζ 4) σφx = σφθ ⇔⇔⇔⇔⇔ x = κπ + θ, κ∈∈∈∈∈Ζ
ΣΤ. Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο
Μετασχηµατισµός γινοµένου
σε άθροισµα
1) 2ηµασυνβ = ηµ(α+β) + ηµ(α-β)
2) 2συνασυνβ = συν(α-β) + συν(α+β)
3) 2ηµαηµβ = συν(α-β) - συν(α+β)
Μετασχηµατισµός αθροίσµατος
σε γινόµενο
1)
Α Β Α Β
ηµΑ ηµΒ 2ηµ συν
2 2
+ −
+ =
2)
Α Β Α Β
ηµΑ ηµΒ 2ηµ συν
2 2
− +
− =
3)
Α Β Α Β
συνΑ συνΒ 2συν συν
2 2
+ −
+ =
4)
Α Β Α Β
συνΑ συνΒ 2ηµ ηµ
2 2
− +
− = −
Νόµος ηµιτόνων για τρίγωνο Νόµος συνηµιτόνων για τρίγωνο
α β γ
ηµΑ ηµΒ ηµΓ
= =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
α β γ 2αβσυνΑ
β α γ 2αγσυνΒ
γ α β 2αβσυνΓ
= + −
= + −
= + −

10
Τριγωνοµετρικοί αριθµοί
αθροισµάτων γωνιών
1) ηµ(α+β) = ηµασυνβ + συναηµβ
2) ηµ(α-β) = ηµασυνβ - συναηµβ
3) συν(α+β) = συνασυνβ - ηµαηµβ
4) συν(α-β) = συνασυνβ + ηµαηµβ
5)
εφα εφβ
εφ(α β)
1 εφαεφβ
+
+ =
−
6)
εφα εφβ
εφ(α β)
1 εφαεφβ
−
− =
+
7)
σφασφβ 1
σφ(α β)
σφβ σφα
−
+ =
+
8)
σφασφβ 1
σφ(α β)
σφβ σφα
+
− =
−
Τριγωνοµετρικοί αριθµοί
διπλάσιας γωνίας
1) ηµ2α = 2ηµασυνα
2) συν2α = συν2
α - ηµ2
α
= 2συν2
α - 1
= 1 - 2ηµ2
α
3) 2
2εφα
εφ2α
1 εφ α
=
−
Τύποι αποτετραγωνισµού
1) 2 1 συν2α
ηµ α
2
−
=
2) 2 1 συν2α
συν α
2
+
=
3)
2 1 συν2α
εφ α
1 συν2α
−
=
+
Λ ο γ ά ρ ι θ µ ο ι
Ορισµός: logα
θ = x ⇔⇔⇔⇔⇔ αx
= θ, θ > 0, α > 0, α ≠≠≠≠≠ 1
Iσχύει: i) logα
αx
= x ii) θα θlogα
= v) 1 α
α
log θ log θ= −
iii) logα
1 = 0 iv) logα
α = 1
Για α > 0, α ≠≠≠≠≠ 1, θ1
> 0, θ2
> 0, θ > 0
Ιδιότητες:
1) logα
θ1
θ2
= logα
θ1
+ logα
θ2
2) logα
1
2
θ
θ
= logα
θ1
- logα
θ2
3) logα
θκ
= κ logα
θ
∆εκαδικοί λογάριθµοι:
logθ = x ⇔⇔⇔⇔⇔ 10x
= θ
Φυσικοί λογάριθµοι:
lnθ = x ⇔⇔⇔⇔⇔ ex
= θ
Tύπος αλλαγής βάσης:
α
β
α
log θ
log θ
log β
= για α, β > 0, α, β ≠≠≠≠≠ 0, θ > 0

11
Ε µ β α δ ά β α σ ι κ ώ ν ε π ί π ε δ ω ν σ χ η µ ά τ ω ν
1) Τετράγωνο
Ε = α2
2) Ορθογώνιο
Ε = αβ
3) Παραλληλόγραµµο
Ε = αυ
4) Τραπέζιο
β Β
E υ
2
+
= ⋅
5) Τριγώνου
1
Ε βυ
2
=
1
E αβηµΓ
2
=
Ε µ β α δ ά & ό γ κ ο ι β α σ ι κ ώ ν σ τ ε ρ ε ώ ν
1) Σφαίρα:
Ε = 4πr2
V = 4/3 πr3
3) Κύλινδρος:
Ε = 2πr2
+ 2πrh
V = h · πr2
4) Oρθογώνιο παρ/πεδο
Ε = 2(αβ + βγ + αγ)
V = α · β · γ
5) Πυραµίδα:
(περίµ.βάσ.) · h
Ε εµβ.βάσ.
2
(εµβ.βάσ.) · υ
V
3
= +
=
6) Κώνος:
2
2
Ε λπr πr
πr h
V
3
= +
=
2) Κύβος:
Ε = 6α2
V = α3

12
Για να κάνουµε τη γραφική παράσταση ενός µεγέθους, σε συνάρτηση µε ένα άλλο
πρώτα πρέπει να βρούµε ποιά σχέση συνδέει τα δύο µεγέθη µεταξύ τους.
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων που συναντάµε πιο συχνά είναι:
y α= (y είναι σταθερή συνάρτηση)
Η γραφική παράσταση είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα Οx.
y αx= (y είναι ανάλογο του x), α 0≠
H γραφική παράσταση είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Γραφικές Παραστάσεις Συναρτήσεων

13
y αx β= + (y είναι γραµµική συνάρτηση του x), α 0≠
Η γραφική παράσταση είναι ευθεία που διέρχεται από το σηµείο ( )0,β . Για β 0> .
2
y αx , α 0= ≠
Η γραφική παράσταση είναι παραβολή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
2
y αx βx, α 0, β 0= + ≠ >
Η γραφική παράσταση είναι κλάδος παραβολής που διέρχεται από την αρχή των
αξόνων.

14
α
y , x 0
x
= ≠
Η γραφική παράσταση είναι υπερβολή που έχει ασύµπτωτες τους άξονες Οx και Οy.
( )
α
y β 0 , x β, α 0
x β
= > ≠ − ≠
+
Η γραφική παράσταση είναι υπερβολή που έχει ασύµπτωτη τον άξονα Οx και τέµνει
τον Οy στα σηµεία: α/β και α/β− (α > 0 και α < 0 αντίστοιχα).
2
α
y , x 0, α 0
x
= ≠ ≠
Η γραφική παράσταση είναι κλάδος υπερβολής δευτέρου βαθµού που έχει ασύµ-
πτωτες τους άξονες Οx και Οy.

15
Ε κ θ ε τ ι κ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η
Τύπος f(x) = αx
α > 0, α ≠≠≠≠≠ 1,
Αν 0 < α < 1 Αν α > 1
Πεδίο ορισµού R R
Σύνολο τιµών (0,+∞)+∞)+∞)+∞)+∞) (0,+∞)+∞)+∞)+∞)+∞)
Μονοτονία Γνησίως φθίνουσα Γνησίως αύξουσα
Ασύµπτωτες άξονας xx΄ άξονας xx΄
Γραφική
παράσταση
Λ ο γ α ρ ι θ µ ι κ ή σ υ ν ά ρ τ η σ η
Τύπος f(x) = logα
x α > 0, α ≠ 1, x > 0
Αν 0 < α < 1 Αν α > 1
Πεδίο ορισµού (0,+∞)+∞)+∞)+∞)+∞) (0,+∞)+∞)+∞)+∞)+∞)
Σύνολο τιµών R R
Μονοτονία Γνησίως φθίνουσα Γνησίως αύξουσα
Ασύµπτωτες άξονας yy΄ άξονας yy΄
Γραφική
παράσταση

16
y ηµx, x R= ∈
Η µονοτονία της συνάρτησης
Γραφική παράσταση
y συνx, x R= ∈
Η µονοτονία της συνάρτησης
ηµx
y εφx , x R, συνx 0
συνx
= = ∈ ≠
Η γραφική
παράσταση λέγεται
ηµιτονοειδής καµπύλη

17
συνx
y σφx , x R, ηµx 0
ηµx
= = ∈ ≠
( )y ρ ηµ ωx= ⋅
Επειδή 1 ηµx 1− ≤ ≤ έχουµε ( )1 ηµ ωx 1− ≤ ≤
και για ρ 0> είναι:
( ) ( )ρ ρηµ ωx ρ ρ f y ρ− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤
Άρα η µέγιστη τιµή της y είναι το ρ και η ελάχιστη
τιµή της είναι το -ρ. Το ω καθορίζει την περίοδο Τ
της y που είναι:
2π
Τ
ω
= .
Oρισµός Περιόδου Τ: ( ) ( )f x T f x+ =
( )y ρ συν ωx= ⋅
( )y ρ ηµ ωx , ρ 0= ⋅ <

18
( )2
y ρ ηµ ωx , ρ 0= ⋅ >
( )2
y ρ συν ωx , ρ 0= ⋅ >
y β ρ ηµωx, ρ 0, β ρ= + ⋅ > >

19
Κλίση γραφικής παράστασης
Η κλίση της καµπύλης στο σηµείο Α είναι η εφθ.
Για να βρούµε τη κλίση µιας
γραφικής παράστασης, η οποία
γενικά είναι καµπύλη, σε ένα
σηµείο της Α, εργαζόµαστε ως
εξής:
Φέρουµε ευθεία (ε) εφαπτό-
µενη στη γραφική παράστα-
ση στο σηµείο Α.
Η εφαπτοµένη της γωνίας που
σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε το ο-
ριζόντιοάξοναείναιηκλίσητης
καµπύλης. Στη Φυσική οι συ-
ναρτήσεις που χρησιµοποιούµε εκφράζουν φυσικά µεγέθη. Οι βαθµολογηµένοι άξο-
νες έχουν µονάδες. Έτσι γενικεύεται η ιδέα της εφαπτοµένης ως προς την καθαρά γεωµετρι-
κή της έννοια. Οπότε η κλίση
∆y
εφθ
∆x
= = , δείχνει πως µεταβάλλεται το φυσικό
µέγεθος γρήγορα, αργά, θετικά ή αρνητικά.
Η κλίση έχει διαστάσεις
Η κλίση της γραφικής παράστασης στη Φυσική
µπορεί να έχει φυσικό νόηµα και να εκφράζει κά-
ποιο φυσικό µέγεθος.
• Η κλίση της γραφικής παράστασης ενός µεγέ-
θους Α σε συνάρτηση µε το χρόνο, σε ένα ση-
µείο της, εκφράζει το ρυθµό µεταβολής
∆Α
∆t
του
µεγέθους.
Άρα
∆A
εφθ
∆t
= εκφράζει το ρυθµό µεταβολής.
Εµβαδόν σε διάγραµµα
Το εµβαδόν του τµήµατος, το οποίο περικλείεται
µεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα
x x′ µεταξύ των τιµών 1x και 2x γενικεύεται στη
Φυσική, επειδή οι βαθµολογηµένοι άξονες έχουν
µονάδες. Άρα:
“Το εµβαδό του φυσικού µεγέθους ισούται µε την
αριθµητική τιµή του εφόσον ορίζεται”.
∆y
εφθ
∆x
=

20
Εφαρµογή 1ο
Έστω ένα κινητό που εκτελεί ευθύγραµµη οµα-
λή κίνηση. Η µετατόπιση x που διανύει σε συ-
νάρτηση µε το χρόνο t δίνεται από τη σχέση
x υ t= ⋅ όπου υ το µέτρο της ταχύτητας του κι-
νητού. Η γραφική παράσταση της παραπάνω
σχέσης φαίνεται στο σχήµα. Η κλίση της γρα-
φικής παράστασης είναι:
( )
( )
ΑΒ
εφθ
ΟΒ
=
Παρατηρούµε ότι εδώ η κλίση έχει φυσικό νόηµα
γιατί τα ΑΒ και ΟΒ δεν είναι καθαροί αριθµοί.
Συγκεκριµένα η κλίση ( )εφθ ισούται αριθµητι-
κά µε το µέτρο της ταχύτητας υ του κινητού.
∆x
εφθ υ
∆t
= =
Εφαρµογή 2ο
Aν σε µια ευθύγραµµη κίνηση η ταχύτητα υ του
κινητού είναι ανάλογη του χρόνου και η γραφική
της παράσταση είναι όπως στο σχήµα τότε το
εµβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παρά-
σταση και τον άξονα του χρόνου µεταξύ των τι-
µών 1t 2s= και 2t 4s= ισούται αριθµητικά µε
την µετατόπιση
( )
αριθ
τραπ
β Β 4 8
∆x Ε υ 4 2 m 12m
2 2
+ +
= = ⋅ = ⋅ − =

21
Γωνία
• Γωνία. Είναι αδιάστατο µέγεθος.
Η γωνία που σχηµατίζουν δυο τεµνόµενες ευθείες ορίζεται ως εξής:
Ισχύει:
s
φ
r
=
φ : η επίκεντρη γωνία, που αντιστοιχεί σε τόξο s
s: το µήκος του αντίστοιχου τόξου
r : η αντίστοιχη ακτίνα
• Μονάδες γωνίας.
Αν s r= τότε φ 1= . Αυτή η γωνία ορίζεται ως 1
ακτίνιο (rad) και αντιστοιχεί σε τόξο µήκους όσο
η ακτίνα του κύκλου στο οποίο ορίζεται.
Μοίρα: 1ο
(1 µοίρα) το
1
360
του κύκλου.
Για τη γωνία του σχήµατος ισχύει:
( )1 2
1 2
s s
φ rad
r r
= = .
• Σχέση µοίρας και ακτινίου (rad).
Αν στη σχέση
S
φ
r
= το S 2πr= , το µήκος ολόκληρης της περιφέρειας ( )o
360 , παίρ-
νουµε φ 2π= rad.
∆ηλαδη: σε 360ο
αντιστοιχούν σε 2π rad.
360° αντίστοιχουν 2π rad µ - σε µοίρες
µ << α α - σε ακτίνια
Εάν άγνωστο
α180
µ
π
µ π
α
180
° =
°
=
• Μήκος τόξου σε σχέση µε τη γωνία: S φ r= ⋅ (η γωνία φ σε rad).

22
∆ιανύσµατα
1. Ορισµός ∆ιανύσµατος
Υπάρχουν µεγέθη όπως ο χρόνος, η θερµοκρασία, η µάζα, η πυκνότητα κ.λ.π., που
προσδιορίζονται από το µέτρο τους και από την αντίστοιχη µονάδα µέτρησης π.χ.
o
18 C . Τα µεγέθη αυτά λέγονται µονόµετρα ή βαθµωτά. Υπάρχουν όµως µεγέθη όπως
η µετατόπιση, η επιτάχυνση, η ταχύτητα, η δύναµη κ.λ.π. που για να τα προσδιορίσου-
µε χρειαζόµαστε, εκτός από το µέτρο τους και τη µονάδα µέτρη-
σης, την διεύθυνση και τη φορά τους. Τα µεγέθη αυτά λέγονται
διανυσµατικά ή διανύσµατα.
∆ιάνυσµα ορίζεται ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα
του οποίου το ένα άκρο θεωρούµε ότι είναι η αρχή και το άλλο το
τέλος. Το διάνυσµα µε αρχή το Α και τέλος το Β συµβολίζεται µε
AB . Πολλές φορές συµβολίζουµε τα διανύσµατα µε µικρά ή κε-
φαλαία γράµµατα π.χ. υ , x , E , F κ.λ.π.
Στοιχεία διανύσµατος:
α. Το µέτρο του είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ και συµβολίζεται µε
AB . Αν το διάνυσµα AB έχει µέτρο 1, λέγεται µοναδιαίο.
β. Τη διεύθυνση του ή τον φορέα του η οποία είναι η ευθεία στην οποία βρίσκεται το
διάνυσµα.
γ. Τη φορά του δηλαδή την κατεύθυνση του διανύσµατος πάνω στην διεύθυνσή του.
• Αν η αρχή και το τέλος ενός διανύσµατος συµπίπτουν, τότε
το διάνυσµα λέγεται µηδενικό π.χ. AA .
• ∆ύο µη µηδενικά διανύσµατα λέγονται οµόρροπα αν έχουν
την ίδια φορά είτε έχουν τον ίδιο φορέα είτε έχουν παράλλη-
λους φορείς π.χ. τα διανύσµατα AB και Γ∆ και γράφουµε
AB Γ∆↑↑ .
• ∆ύο µη µηδενικά διανύσµατα λέγονται αντίρροπα αν έχουν
αντίθετη φορά, είτε έχουν τον ίδιο φορέα είτε έχουν παράλ-
ληλους φορείς π.χ. τα διανύσµατα ΚΛ και ΜΝ και γρά-
φουµε ΚΛ ΜΝ↓↑ .
• ∆ύο µη µηδενικά διανύσµατα AB και Γ∆ που έχουν τον
ίδιο ή παράλληλους φορείς ονοµάζονται παράλληλα ή συγ-
γραµµικά διανύσµατα. Τότε λέµε ότι έχουν την ίδια διεύθυν-
ση και γράφουµε AB// Γ∆ .

23
• ∆ύο οµόρροπα διανύσµατα είναι ίσα αν έχουν το ίδιο µέτρο.
Τότε γράφουµε AB Γ∆= .
• ∆ύο αντίρροπα διανύσµατα είναι αντίθετα αν έχουν το ίδιο µέτρο.
Τότε γράφουµε AB Γ∆= − .
• Έστω δύο µη µηδενικά διανύσµατα µε αρχή ένα σηµείο Ο όπου α ΟΑ= και β ΟΒ= .
Ονοµάζουµε γωνία των διανυσµάτων α και β την κυρτή γω-
νία ΑΟΒ και τη συµβολίζουµε µε ( )α,β ή ( )β,α ή απλά θ µε
0 θ π≤ ≤ .
Ισχύει φ 0= αν α β (οµόρροπα)
φ π= αν α β (αντίρροπα)
π
φ
2
= αν α β⊥ (κάθετα)
2. Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων
Πρόσθεση διανυσµάτων
• Έστω δύο διανύσµατα α , β . Με αρχή ένα σηµείο Ο γράφου-
µε το διάνυσµα ΟΑ α= και µε αρχή το Α γράφουµε το διάνυ-
σµα AB β= . Το διάνυσµα γ ΟΒ= λέγεται άθροισµα των α
και β και γράφουµε: γ ΟΒ ΟΑ AB α β= = + = + ή γ α β= + .
• Το άθροισµα δύο διανυσµάτων βρίσκεται και µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου.
Αν µε αρχή το σηµείο Ο πάρουµε τα διανύσµατα ΟΑ α= και ΟΒ β= , τότε το άθροι-
σµα α β+ ορίζεται από τη διαγώνιο ΟΓ του παραλληλογράµµου που έχει προσκείµε-
νες πλευρές τις ΟΑ και ΟΒ.
Το µέτρο του αθροίσµατος:
2 2
γ α β 2 α β συνφ= + + ⋅ ⋅
Η κατεύθυνση του αθροίσµατος:
β ηµφ
εφθ
α β συνφ
⋅
=
+ ⋅

24
∆ιερεύνηση
α. ∆ιανύσµατα οµόρροπα ( )ο ο
φ 0 συν0 1= ⇒ =
γ α β= +
µέτρο:
2 2
ο
γ α β 2 α β συν0= + + ⋅ ⋅ ή ( ) ( )
2
γ α β= + ή γ α β= +
κατεύθυνση: των διανυσµάτων α , β
β. ∆ιανύσµατα αντίρροπα ( )ο ο
φ 180 συν180 1= ⇒ = −
γ α β= +
Αν α β>
µέτρο:
2 2
ο
γ α β 2 α β συν180= + + ⋅ ⋅ ή ( ) ( )
2
γ α β= − ή γ α β= −
κατεύθυνση: του διανύσµατος µε το µεγαλύτερο µέτρο (του α )
γ. ∆ιανύσµατα κάθετα ( )ο ο
φ 90 συν90 0= ⇒ =
γ α β= +
µέτρο:
2 2
ο
γ α β 2 α β συν90= + + ⋅ ⋅
ή
2 2
γ α β= +
κατεύθυνση:
β
εφθ
α
=
• Μέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων
Από την τριγωνική ανισότητα γνωρίζουµε ότι:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ΟΑ ΑΒ ΟΒ ΟΑ ΑΒ− ≤ ≤ +
Άρα α β α β α β− ≤ + ≤ +
• Επιλογή σηµείου αναφοράς
Κάθε διάνυσµα α ΑΒ= µπορεί να εκφραστεί µε την βο-
ήθεια άλλων επιλεγµένων για µας διανυσµάτων σε σχέ-
ση µε διακεκριµένο σηµείο Ο που εµείς καθορίζουµε σύµ-
φωνα µε τις ανάγκες µας.
ΑΒ ΟΒ ΟΑ= − ή α ΟΒ ΟΑ= −
γιατί ΟΑ ΑΒ ΟΒ+ = άρα ΑΒ ΟΒ ΟΑ= −

25
Aφαίρεση διανυσµάτων
Η διαφορά α β− του διανύσµατος β από το διάνυσµα α ορίζεται ως το άθροισµα των
διανυσµάτων α και β− .
( )δ α β α β= − = + −
µέτρο: ( )
2 2
ο
δ α β 2 α β συν 180 φ= + − + ⋅ − ⋅ −
κατεύθυνση:
( )
( )
ο
ο
β ηµ 180 φ
εφθ
α β συν 180 φ
− ⋅ −
=
+ − ⋅ −
3. Συντεταγµένες στο επίπεδο
• Άξονας
Πάνω σε µια ευθεία x΄x επιλέγουµε δύο σηµεία Ο και Α ,
ώστε το διάνυσµα ΟΑ να έχει µέτρο 1 και να βρίσκεται
στην ηµιευθεία Οx. Λέµε τότε ότι έχουµε έναν άξονα µε
αρχή το Ο και µοναδιαίο διάνυσµα ΟΑ i= . Η ηµιευθεία Οx λέγεται θετικός ηµιάξον-
ας Οx. Αν πάρουµε ένα σηµείο Κ στον άξονα x΄x, επειδή OK //i θα υπάρχει ένας
πραγµατικός αριθµός x ώστε OK x i= ⋅ . Τον αριθµό αυτόν x τον ονοµάζουµε τετµηµέ-
νη του Κ.
• Σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο (ορθοκανονικό)
Πάνω σ’ ένα επίπεδο σχεδιάζουµε δύο κάθετους άξονες
x΄x και y΄y µε κοινή αρχή το Ο και µοναδιαία διανύ-
σµατα τα i και j . Λέµε τότε ότι έχουµε έναν ορθοκα-
νονικό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο (καρτεσια-
νό επίπεδο), yΟx. Πάνω στο επιπεδο yΟx παίρνουµε
ένα σηµείο Κ. Προβάλουµε το σηµείο Κ στους άξονες
x΄x και y΄y . Αν 1K η προβολή του Κ στον x΄x µε τετµη-
µένη x και 2K η προβολή του Κ στον y΄y µε τετµηµένη
y τότε ο x λέγεται τετµηµένη και ο y τεταγµένη του
Κ. Οι δύο αυτοί αριθµοί λέγονται συντεταγµένες του
Κ(x,y). Έτσι κάθε σηµείο oρίζεται µε ένα ζεύγος συντεταγµένων.

26
Εφαρµογή
1. Έστω δύο διανύσµατα α , β µε α 4= και β 3= . Να υπολογίσετε το άθροισµα
α β+ αν η γωνία των δύο διανυσµάτων είναι:
α. φ 0=
β. φ π=
γ.
π
φ
2
=
δ. για τυχαία φ
Απάντηση
α. Αν γ α β= + και φ 0= (οµόρροπα) τότε:
το µέτρο: γ α β 7= + = και το γ έχει την κατεύθυνση των διανυσµάτων.
β. Αν γ α β= + και φ π= (αντίρροπα) τότε:
το µέτρο: γ α β 1= − = και το γ έχει την κατεύθυνση του α
(µεγαλύτερο µέτρο).
γ. Αν γ α β= + και
π
φ
2
= (κάθετα) τότε:
το µέτρο:
2 2
γ α β 5= + =
η κατεύθυνση:
β 3
εφθ
4α
= =
δ. γ α β= + για τυχαία φ το µέτρο
2 2
γ α β 2 α β συνφ= + + ⋅ η κατεύθυνση
β ηµφ
εφθ
α β συνφ
=
+
Αν οι γωνίες είναι ίσες το παραλληλόγραµµο είναι ρόµβος και ως γνωστών οι διαγώ-
νιες ρόµβου είναι και διχοτόµοι των γωνιών του.

27
1. Ευθύγραµµες Κινήσεις
ΧρειάζονταιστηνΓ΄ΛυκείουΧρειάζονταιστηνΒ΄Λυκείου∆ιδάσκονταιστηνA΄Λυκείου
Χρονική στιγµή - χρονική διάρκεια - θέση - µετατόπιση - διάστηµα
Η χρονική στιγµή t προσδιορίζει το πότε συµβαίνει ένα γεγονός ενώ η χρονική
διάρκεια 2 1∆t t t= − που είναι η διαφορά δύο χρονικών στιγµών καθορίζει το πόσο
διαρκεί ένα φαινόµενο. Μονάδα στο S.I.: 1s.
Η µετατόπιση είναι η µεταβολή του διανύσµατος της θέσης 2 1∆x x x= − . Είναι ένα
διάνυσµα µε αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική. Μονάδα στο S.I.: 1m.
Ταχύτητα
Η µέση (διανυσµατική) ταχύτητα εκφράζεται µε το πηλίκο της µετατόπισης
προς το χρονικό διάστηµα στο οποίο πραγµατοποιήθηκε.
Eίναι ο ρυθµός µεταβολής της θέσης. Moνάδα στο S.I.: 1m/s.
2 1
µ
2 1
∆x x - x
υ = =
∆t t - t
Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση
Κίνηση κατά την οποία το κινητό κινούµενο ευθύγραµµα δια-
τηρεί σταθερό το διάνυσµα της ταχύτητας. Έτσι σε ίσα χρονικά
διαστήµατα οι µετατοπίσεις του είναι ίσες.
Η µέση και η στιγµιαία ταχύτητα ταυτίζονται στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Έτσι:
( )0 0
∆x
υ = ∆x = υ ∆t x - x = υ t - t
∆t
⇒ ⋅ ⇒
και τελικά προκύπτει η εξίσωση της κίνησης : ( )0 0x = x + υ t - t
Αν τη χρονική στιγµή 0t 0= (αρχικός χρόνος) είναι 0x 0= (αρχική θέση) τότε: x υ t= ⋅
Επιτάχυνση
Η επιτάχυνση είναι ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας σε µια συγκε-
κριµένη χρονική στιγµή.
∆υ
α =
∆t
µονάδα στο S.I.: 1m / s2
.
∆ιάστηµα
∆ιάστηµα είναι το µήκος της τροχιάς ενός κινητού. Σε ευθύ-
γραµµη κίνηση που γίνεται προς µια κατεύθυνση η µετατόπιση
ταυτίζεται µε το διάστηµα. Μονάδα S.I.: 1m.

28
Ευθύγραµµες Κινήσεις
∆ιδάσκονταιστηνΑ΄ΛυκείουΧρειάζονταιστηνΒ΄ΛυκείουΧρειάζονταιστηνΓ΄Λυκείου
∆ιαγράµµατα ευθύγραµµης οµαλής κίνησης: ( )υ σταθερό=
(1): Επιτάχυνσης - χρόνου α = f(t):
α 0=
(2): Ταχύτητας - χρόνου ( )υ f t= :
υ = σταθερό
Το εµβαδόν που περικλείεται ανάµεσα στη γραφική
παράσταση και τον άξονα των χρόνων είναι ίσο αριθ-
µητικά µε την µετατόπιση ∆x του κινητού στο χρο-
νικό διάστηµα ∆t. Όταν η ταχύτητα είναι θετική το
εµβαδόν θα λαµβάνεται µε θετικό πρόσηµο και η µε-
τατόπιση θα προκύπτει θετική. Όταν η ταχύτητα είναι
αρνητική το εµβαδόν θα λαµβάνεται µε αρνητικό πρό-
σηµο και η µετατόπιση θα προκύπτει αρνητική.
(3) θέσης - χρόνου ( )x f t= :
Αν x = υt και υ > 0.
Η κλίση της ευθείας αριθµητικά,
είναι ίση µε την ταχύτητα της κίνησης.
∆x x 0 x
εφω υ
∆t t 0 t
−
= = = =
−
Αν 0x x υt= + και υ 0>
0 0
0
x x x x∆x
εφω υ
∆t t t t
− −
= = = =
−
υ σταθ.=
0x x υt= +

29
Ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση
Κίνηση στην οποία το κινητό κινούµενο ευθύγραµµα µεταβάλλει
την ταχύτητά του µε σταθερό ρυθµό. ∆ηλαδή σε ίσα χρονικά δια-
στήµατα παρατηρούνται ίσες µεταβολές της ταχύτητας. Η επιτά-
χυνση της κίνησης διατηρείται σταθερή.
Εξίσωση ταχύτητας:
( )
( )
0 0
0 0
∆υ
α ∆υ α ∆t υ υ α t t
∆t
υ υ α t t
= ⇒ = ⋅ ⇒ − = − ⇒
= + −
Αν τη χρονική στιγµή 0t 0= είναι 0υ υ= τότε:
0υ υ αt= +
Αν τη χρονική στιγµή 0t 0= είναι 0υ 0= : υ αt=
Αν η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνό-
µενη: 0υ υ αt= −
Εξίσωση µετατόπισης:
2
0
1
∆x υ ∆t α∆t
2
= ⋅ +
Αν τη χρονική στιγµή t0
= 0 είναι x = 0 τότε:
2
0
1
x υ t αt
2
= ⋅ +
Αν τη χρονική στιγµή t0
= 0 είναι x0
= 0 και υ0
= 0:
21
x t
2
= α
Αν η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυ-
νόµενη: 2
0
1
x υ t αt
2
= ⋅ −
Οι εξισώσεις της ευθύγραµµης οµαλά επιβραδυνόµενης κίνησης στην οποία
το κινητό σταµατά είναι (ανεξάρτητη του χρόνου):
0 0
υ υ αt υ
t και
υ 0 α
= − 
=
= 
0υ
t 2 2 2α
2 0 0 0 0
0 0 2
υ υ υ υ1 1
x υ t αt x υ α x
2 α 2 α α 2α
=
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒
2
0υ
x
2α
=
2
0
1
x υ t αt
2
= ⋅ +
2
0
1
x υ t αt
2
= ⋅ −

30
Εξίσωση ανεξάρτητη του χρόνου στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση
0υ υ α t= + ⋅
2
0
1
x υ t α t
2
= ⋅ + ⋅
Από την πρώτη σχέση επιλύοντας ως προς το χρόνο: 0υ υ
t
α
−
=
Και µε αντικατάσταση στη δεύτερη:
2
0 0
0
υ υ υ υ1
x υ α
α 2 α
− − 
= ⋅ + ⋅ ⇒ 
 
2 2 2
0 0 0 0υ υ υ υ 2υ υ υ
x
α 2α
⋅ − − ⋅ +
= + ⇒
2 2
0υ υ
x
2α
−
=
Γνώσεις που περιέχουν τα διαγράµµατα της ευθύγραµµης οµαλά επιταχυνό-
µενης κίνησης
(1) ∆ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου α = f(t):
Το εµβαδόν που περικλείεται µεταξύ της γρα-
φικής παράστασης και του άξονα των χρόνων
αριθµητικά είναι ίσο µε την µεταβολή της τα-
χύτητας για το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα.
( )
αρ
2 1Ε α ∆t α t t ∆υ= ⋅ = − =
(2) ∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου ( )υ f t= :
Αν 0υ υ αt= + και 0υ 0> , α 0>
Η κλίση της ευθείας αριθµητικά είναι ίση µε
την επιτάχυνση της κίνησης
0 0
0
υ υ υ υ∆υ
εφω α
∆t t t t
− −
= = = =
−
Αν υ αt= και α 0>
∆υ υ 0
εφω α
∆t t 0
−
= = =
−
Σε κάθε διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου απο-
δεικνύεται ότι το εµβαδόν που περικλείεται α-
νάµεσα στην καµπύλη και στον άξονα των χρό-
νων αριθµητικά είναι ίσο µε την µετατόπιση
∆x για το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα.

31
(3) ∆ιάγραµµα θέσης - χρόνου x = f(t):
2
0
1
x υ t αt
2
= ⋅ + ή 21
x αt
2
= , αν 0υ 0=
Η κλίση της καµπύλης αριθµητικά είναι ίση
µε την ταχύτητα την συγκεκριµένη χρονική
στιγµή. Παρατηρούµε ότι η κλίση αυξάνεται.
Γνώσεις που περιέχουν τα διαγράµµατα της ευθύγραµµης οµαλά επιβραδυ-
νόµενης κίνησης
Θεωρούµε την ταχύτητα θετική και την επιτάχυνση αρνητική (επιβράδυνση).
(1) ∆ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου ( )α f t= :
αρ
E α ∆t ∆υ=− ⋅ =
αριθµ.
∆υ α∆t
∆υ Ε
= −
=
(2) ∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου ( )υ f t= :
0υ 0> , α 0<
00 υ∆υ
α εφω
∆t t 0
−
= = = −
−
αριθµ.
∆x E=
(3) ∆ιάγραµµα θέσης - χρόνου ( )x f t= :
2
0
1
x υ t αt
2
= ⋅ −
Η κλίση της καµπύλης (στιγµιαία ταχύτη-
τα) µειώνεται.
Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνοµένη κί-
νηση ισχύουν:
0υ υ αt= − και 2
0
1
x υ t αt
2
= ⋅ − ,
όπου α: µέτρο της επιβράδυνσης

32
Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση
Παράδειγµα 1.1
∆ύο φίλοι ταξιδεύουν µε το
τρένο Intercity για την
Θεσσαλονίκη, µελετώντας
το πληροφοριακό ένθετο
του ΟΣΕ για τις γέφυρες
που συναντούν στη δια-
δροµή. Όταν φθάνουν στο Μπράλο, αποφασίζουν να υπολογίσουν την ταχύτητα
του τρένου και το µήκος του. Παρατηρούν πως όταν το τρένο περνά από µία
γέφυρα µήκους 1x 1000m= , την διασχίζει σε χρόνο 1t 80s= , ενώ όταν περνά από
µία άλλη γέφυρα µήκους 2x 800m= , την διασχίζει σε χρόνο 2t 70s= . Πόσο υπο-
λόγισαν την ταχύτητα και το µήκος του τρένου;
Λύση
Αν είναι το µήκος του τρένου και υ η ταχύτητά του, τότε για να διανύσει µία γέφυρα
µήκους 1x απαιτείται χρόνος t1, που αντιστοιχεί στο χρονικό διάστηµα από τη στιγµή
που η µηχανή εισέρχεται στη γέφυρα µέχρι που το τελευταίο βαγόνι φεύγει από τη
γέφυρα. ∆ηλαδή, η απόσταση που διανύει το τρένο στον ίδιο χρόνο είναι 1x+ .
Καθώς εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ισχύουν:
1η γέφυρα: ( )1 1x υ t 1+ = ⋅
2η γέφυρα: ( )2 2x υ t 2+ = ⋅
Αφαιρούµε κατά µέλη (1) – (2): ( ) 1 2
1 2 1 2
1 2
x x
x x υ t t υ 20m/s
t t
−
− = − ⇔ = =
−
Ενώ από (1) έχουµε: 1 1υ t x 600m= ⋅ − = .
Συνάντηση κινητών
∆ύο πλοία που το καθένα έχει ταχύτητα
km
υ 30
h
= κινούνται αντίθετα σε γειτονικές
παράλληλες ευθύγραµµες τροχιές. Ένας αιγαι-
όγλαρος που πετά µε σταθερή ταχύτητα 1
km
υ 40
h
= φεύγει από το ένα πλοίο και
κατευθύνεται προς το άλλο, όταν αυτά απέχουν 6 km, φτάνοντας στο άλλο πλοίο
πετά πάλι προς το πρώτο κ.ο.κ. Ποια συνολική απόσταση θα διανύσει το πουλί
πριν συναντηθούν τα πλοία;
Λυµένες Ασκήσεις

33
Λύση
Αν τα πλοία απέχουν απόσταση s, κινούνται ευθύγραµµα οµαλά το ένα προς το άλλο
διανύοντας µέχρι να συναντηθούν αποστάσεις s1 και s2.
1s υ t= ⋅ 2s υ t= ⋅
Από το σχήµα προκύπτει:
1 2
s 6km 1
s s s s υt υt t t h
km2υ 102 30
h
= + ⇔ = + ⇔ = = ⇔ =
⋅
Στον ίδιο χρόνο το πουλί πετά µε σταθερή ταχύτητα 1υ διασχίζοντας διάστηµα
1 1
km 1
s υ t 40 h 4km
h 10
= ⋅ = ⋅ =
Γραφικές παραστάσεις
Για κινητό που κινείται ευθύγραµµα και την
χρονική στιγµή 0t 0= βρίσκεται στη θέση
0x 0= και έχει ταχύτητα 0υ 10m/s= δίνεται
το διπλανό διάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου.
Με τη βοήθεια του διαγράµµατος να υπολο-
γιστεί η ταχύτητα του κινητού τη χρονική
στιγµή t 8s= και να γίνουν τα διαγράµµατα
ταχύτητας - χρόνου και θέσης - χρόνου.
Λύση
Για το χρονικό διάστηµα 1 1 0∆t t t 3 0 3s= − = − = το κινητό επιταχύνεται οµαλά. Η
µεταβολή της ταχύτητας είναι ίση αριθµητικά µε το εµβαδό του σχήµατος ΟΑΒΓ.
Είναι 2
1∆υ 5m/s 3s 15m/s= ⋅ = , αλλά 1 1 0∆υ υ υ= − οπότε : 1 1 0υ ∆υ υ 25m /s= + =
Για το χρονικό διάστηµα ( )2 2 1∆t t t 5 3 s 2s= − = − = το κινητό κινείται ευθύγραµµα
οµαλά µε ταχύτητα 2 1υ υ 25m /s= = . 2∆υ 0= .
Τέλος για το χρονικό διάστηµα
( )3 3 2∆t t t 8 5 s 3s= − = − =
το κινητό επιβραδύνεται οµαλά.
Η µεταβολή της ταχύτητας ισούται µε:
αριθµ.
3 ∆ΖΗΘ 3 2∆υ E υ υ 30m/s= − ⇒ − = −
3υ 5m /s⇒ = −
Το αρνητικό πρόσηµο στην τελική τιµή της τα-
χύτητας σηµαίνει ότι το κινητό έχει αντιστρέ-
ψει την φορά κίνησής του. Ουσιαστικά επιτα-
χύνεται πλέον κατά την αρνητική κατεύθυνση του άξονα.

34
Από το διάγραµµα της προηγούµενης σελίδας:
1
10 25
∆x 3m 52,5m
2
+
= ⋅ =
2∆x 25 2m 50m= ⋅ =
3
25 2,5
∆x m 31,25m
2
⋅
= =
( )
4
0,5 5
∆x 1,25m
2
⋅ −
= = −
Σχεδιάζουµε το διπλανό διάγραµµα.
Γραφικές παραστάσεις
Το διάγραµµα ( )υ f t= του σχήµατος προκύπτει από την κίνηση µιας Porsche
911. Αν για 0t 0= είναι 0x 0= .
α. Υπολογίστε από το διάγραµµα την συνο-
λική µετατόπιση που διανύει.
β. Σχεδιάστε το διάγραµµα ( )α f t=
γ. Γράψτε την εξίσωση x(t) για κάθε φάση
της κίνησης και κάντε το διάγραµµά της.
δ. Ποια είναι η µέση ταχύτητα από 0 έως 50s
ε. Ποια απόσταση διανύει µεταξύ των χρο-
νικών στιγµών 10s έως 40s.
Λύση
α. Στο διάγραµµα ( )υ f t= το εµβαδόν µας δείχνει την µετατόπιση του κινητού:
( ) ( )
ολ εµβ
β Β 25 50
x E υ 50 1875 m
2 2
+ +
= = ⋅ = ⋅ =
β. Στο διάγραµµα ( )υ f t= η κλίση µας δείχνει την επιτάχυνση.
Από 0s έως 15s (ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη)
1 2
m
50 0
∆υ msα 3,33
∆t 15s 0 s
−
= = =
−
Από 15s έως 40s (ευθύγραµµη οµαλή)
( )
( )2
m
50 50
∆υ sα 0
∆t 40 15 s
−
= = =
−

35
Από 40s έως 50s (ευθύγραµµη οµαλά επι-
βραδυνόµενη)
( )
( )3 2
m
0 50
∆υ msα 5
∆t 50 40 s s
−
= = = −
−
Το εµβαδόν στο διάγραµµα ( )α f t= µας
δείχνει τη µεταβολή της ταχύτητας ∆υ.
γ. Επειδή 0x 0=
Από 0s έως 15s:
2 2 2
1 1 1 2
1 1 10 m
∆x α t 15 s 375m
2 2 3 s
= = ⋅ =
Από 15s έως 40s: 2 2 2
m
∆x υ t 50 25s 1.250m
s
= = ⋅ =
Από 40s έως 50s: 2 2 2
3 0 3 3 3 2
1 m 1 m
∆x υ t α t 50 10s 5 10 s 250m
2 s 2 s
= − = ⋅ − ⋅ =
Η κλίση στο διάγραµµα x(t) µας δείχνει την ταχύτητα. Το εµβαδόν στο διάγραµα
x(t) δεν έχει φυσική σηµασία.
δ. ολ
µ
ολ
s 1875m m
υ 37,5
t 50s s
= = =
ε. Για το t 10s= :
2
10 m 100 m m
υ α t 10s 33,33
3 s 3 s s
= ⋅ = ⋅ = = .
Η µετατόπιση ισούται µε το άθροισµα του
τραπεζίου Ε1 και του ορθογωνίου Ε2.
( )
1 2
33,33 50
x E E 5m 25 50m 1458,33m
2
+
= + = ⋅ + ⋅ =

36
∆ιαδοχικές κινήσεις
Η απόσταση των σταθµών του µετρό Ακρόπολη - Σύνταγµα είναι 1880m. Οι
συρµοί του µετρό έχουν µέγιστη επιτάχυνση και αντίστοιχα επιβράδυνση 2
m
5
s
,
ενώ η µέγιστη επιτρεπόµενη ταχύτητα στη συγκεκριµένη διαδροµή είναι
km
72
h
.
Ποιος είναι ο ελάχιστος χρόνος που µπορεί ένας συρµός του µετρό να διανύσει
την παραπάνω διαδροµή;
Λύση
Ο συρµός του µετρό διανύει την απόσταση µε τρεις διαδοχικές κινήσεις, όπου η τελική
ταχύτητα της προηγούµενης κίνησης είναι αρχική της επόµενης.
α. Αρχικά κάνει ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη µε 0υ 0= µε τελική ταχύτητα το
όριο της ταχύτητας
• 1
km 1000m m
υ 72 72 20
h 3600s s
= = =
• 1
1 1 1 1
1
2
m
20
υ sυ α t t 4s
mα 5
s
= ⇔ = = =
•
2
1 1 1
1
x α t 40m
2
= =
β. Ευθύγραµµη οµαλή µε ταχύτητα 2 1
m
υ υ 20
s
= =
• ( )2 2 2x υ t 1=
γ. Ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη και σταµατά
µε 0 2
m
υ υ 20
s
= =
0
3
3
2
m
20
υ st 4s
mα 5
s
= = =
2
2
0
3
3
2
m
20
υ sx 40m
m2α 2 5
s
 
 
 = = =
⋅
Οι εξισώσεις της ευθ. οµαλά
επιβραδυνόµενης κίνησης
που το κινητό σταµατά είναι:
0 0
υ υ αt υ
t
υ 0 α
= − 
=
= 
2
0
1
x υ t αt
2
= − ⇒
2
0 0
0 2
υ υ1
x υ α
α 2 α
= − ⇒
2 2 2
0 0 0υ υ υ
x x
α 2α 2α
= − ⇒ =

37
Χρόνος αντίδρασης
Η γραφική παράσταση ( )υ f t= ενός αυτοκι-
νήτου φαίνεται στο διπλανό διάγραµµα. Ο ο-
δηγός του οποίου ο χρόνος αντίδρασης (ο χρό-
νος µέχρι να πατήσει φρένο) είναι 0,4s αντι-
λαµβάνεται το κόκκινο φανάρι σε απόσταση
50m. Αν εφφ=5, θα σταµατήσει έγκαιρα;
Λύση
• Στο τρίγωνο ΑΒΓ:
ΑΓ 20
εφφ 20
5 t 4,4sΓΒ t 0,4
t 0,4
εφφ 5

= = 
= ⇒ =− 
−= 
• Το εµβαδόν του διαγράµµατος ( )υ f t= ισούται αριθµητικά µε τη µετατόπιση:
( )
εµβ.
β Β 0,4 4,4
x E υ 20m 48m
2 2
+ +
= = ⋅ = ⋅ =
Άρα προλαβαίνει να σταµατήσει.
• Η εφφ εφθ α= − = −
γιατί η κλίση εφθ του διαγράµµατος ( )υ f t= µας δείχνει την επιτάχυνση
(επιβράδυνση).
Όµως ολ 1 2 3x x x x= + + ⇒
2 ολ 1 3x x x x= − − ⇒
2x 1800m=
Από (1) έχουµε 2
2
2
x 1800m
t 90s
mυ 20
s
= = =
Άρα min 1 2 3t t t t 98s= + + =

38
Προτεινόµενες Ασκήσεις για Λύση
∆ύο κινητά Α και Β κινούνται ευθύγραµ-
µα οµαλά πάνω στον ίδιο δρόµο και προς
την ίδια κατεύθυνση, το πρώτο µε ταχύ-
τητα 1υ 144Km / h= και το δεύτερο µε τα-
χύτητα 2υ 72Km / h= . Τη στιγµή 0t 0=
το πρώτο κινητό βρίσκεται 1000 m πίσω
από το δεύτερο.
α. Ποια χρονική στιγµή και σε πόση από-
σταση από την αρχική θέση του κινη-
τού Α θα συναντηθούν τα δύο κινητά;
β. Ποια χρονική στιγµή θα απέχουν s =
500m για δεύτερη φορά;
Απάντηση:
α. t 50s, x 2000m= = β. t 75s′ =
Για ένα κινητό που κινείται ευθύγραµµα
το διάγραµµα θέσης - χρόνου δίνεται στο
διπλανό σχήµα.
Να υπολογιστούν :
α. Η µετατόπιση του κινητού στο χρονικό
διάστηµα από t 0= µέχρι t 5s= .
β. Το διάστηµα που διήνυσε το κινητό σε
5 sec.
γ. Να γίνει το διάγραµµα ταχύτητας - χρό-
νου.
Απάντηση:
α. ∆x 10m= −
β. ολS 30m=
γ. 1 2 3υ 10m /s, υ 0, υ 10m /s= = = −
Μοτοσικλέτα κινείται µε σταθερή ταχύτητα
υΜ
= 20 m/s. Κάποια χρονική στιγµή που βρί-
σκεται πριν από ένα φανάρι, σε απόσταση d
= 80 m από αυτό, αυτοκίνητο που βρίσκεται
στο φανάρι ξεκινάει προς την ίδια κατεύθυν-
ση έχοντας σταθερή επιτάχυνση 4 m/s2
, προ-
πορευόµενο της µοτοσυκλέτας. Να βρεθεί η
ελάχιστη απόσταση στην οποία η µοτοσικλέ-
τα θα πλησιάσει το αυτοκίνητο.
Απάντηση: mind 30m=
Αυτοκίνητοεπιταχύνεταιοµαλάσεευθύγραµ-
µο δρόµο µε επιτάχυνση µέτρου 2
4m/s . Αν
το αυτοκίνητο σε κάποιο χρονικό διάστηµα
µετατοπίζεται κατά x 100m= και αποκτά
ταχύτητα 2υ 30m /s= να βρεθεί η ταχύτη-
τα στην αρχή του χρονικού διαστήµατος κα-
θώς και το χρονικό διάστηµα αυτό.
Απάντηση: 1υ 100m s, t 5s= =
Αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα 20 m/s.
Ο οδηγός , του οποίου ο χρόνος αντίδρα-
σης είναι 0,5 s, αντιλαµβάνεται κόκκινο
φανάρι σε απόσταση 50 m.
α. Αν η επιβράδυνση του αυτοκινήτου έχει
τιµή 4 m/s2
, θα προλάβει το αυτοκίνη-
το να σταµατήσει πρίν το φανάρι;
β. Αν όχι, ποια θα έπρεπε να είναι η τιµή
της επιβράδυνσης για να σταµατήσει
έγκαιρα;
Απάντηση:
α. 2 2 2 2∆x 40m, ∆x 50m ∆x ∆x′ ′= = ⇒ > .
Άρα δεν προλαβαίνει να σταµατήσει.
β. 2
1α 5m/s=

39
Κινητό έχει αρχική ταχύτητα υ0 και αρχί-
ζει να επιβραδύνεται µε επιβράδυνση στα-
θερού µέτρου α = 2 m/s2 µε αποτέλεσµα
να ακινητοποιείται µετά από χρονικό
διάστηµα ∆t = 8 s. Να γίνει το διάγραµµα
υ-t και να υπολογιστούν:
α. η µετατόπιση του κατά τη διάρκεια του
4ου δευτερολέπτου
β. η συνολική του µετατόπιση
Απάντηση:
α. ∆x 9m=
β. oλ∆x 64m=
Σώµα που κινείται ευθύγραµµα µε σταθε-
ρή επιτάχυνση α = 10 m/s2
, τη χρονική
στιγµή t = 0 έχει ταχύτητα υ0
= 20 m/s.
Να βρείτε στη διάρκεια ποιου δευτερολέπ-
του έχει µετατοπιστεί κατά ∆x = 85 m.
Απάντηση:
Στη διάρκεια του 7ου δευτερολέπτου.
Αυτοκίνητο Α κινείται µε σταθερή επιτά-
χυνση 2
1α 2m/s= και αρχική ταχύτητα
0υ 10m /s= . Την ίδια στιγµή, που θεωρεί-
ται η αρχή των χρόνων 0t 0= , ένα αυτοκί-
νητο Β που ξεκινά απ’ την ηρεµία και βρί-
σκεται 18m µπροστά απ’ το Α επιταχύνε-
ται µε σταθερή επιτάχυνση 2
2α 3m/s= κι-
νούµενο προς την ίδια κατεύθυνση. Να
βρεθεί πότε το Α θα συναντήσει το Β για
πρώτη φορά και σε πόση απόσταση απ’ την
αρχική θέση του Α που θεωρείται και η
αρχή των θέσεων x 0= .
Απάντηση: 2 A∆t 2s, ∆x 24m= =
Το παρακάτω διάγραµµα δίνει την ταχύ-
τητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραµ-
µα και την χρονική στιγµή 0t 0= βρίσκε-
ται στη θέση 0x 0= . Να βρεθεί:
α. Τι κινήσεις κάνει. Να υπολογισθεί το
∆x, σε κάθε κίνηση.
β. Να γίνει διάγραµµα α(t), x(t).
Απάντηση:
α. 1 2
3 4
x 50m, x 125m
x 162,5m, x 137,5m
= =
= =
Ποδηλάτης ξεκινά από την ηρεµία (t0
=0,
υ0
=0) κινείται ευθύγραµµα οµαλά επιτα-
χυνόµενα και µετά από 5s αποκτά ταχύ-
τητα 10m/s. Στην συνέχεια κινείται ευθύ-
γραµµα οµαλά για 12s, µετά επιβραδύνε-
ται µε σταθερή επιβράδυνση 2 m/s2
, επει-
δή χτυπά το κινητό του και σταµατάει για
5s επειδή απαντά στο κινητό του. Στη συ-
νέχεια, επιστρέφει στην αρχική θέση που
ξεκίνησε µε σταθερή ταχύτητα, µέσα σε
10s. Να γίνει διάγραµµα α(t), υ(t), x(t).

40
2. ∆υναµική
∆ύναµη
∆ύναµη ονοµάζεται η αιτία που µπορεί να παραµορφώσει ένα σώµα ή να µεταβάλλει
την κινητική του κατάσταση.
Η δύναµη είναι διανυσµατικό µέγεθος. Τα χαρακτηριστικά της δύναµης είναι το µέτρο
της, η κατεύθυνση της (διεύθυνση και φορά) και το σηµείο εφαρµογής της.
Μονάδα µέτρησης της δύναµης είναι το 2
1N 1kg m/s= ⋅ .
Ελαστική και Πλαστική παραµόρφωση
Ελαστική λέγεται η παραµόρφωση σώµατος όταν το σώµα επανέρχεται στην αρχική
του κατάσταση µόλις πάψει να ασκείται η δύναµη που είχε προκαλέσει την παραµόρ-
φωση.
Πλαστική λέγεται η παραµόρφωση που διατηρείται και µετά την παύση της δύναµης.
Νόµος του Hooke
Ο Νόµος Hooke για τις ελαστικές παραµορφώσεις
Οι ελαστικές παραµορφώσεις είναι ανάλογες των δυνάµεων που τις προκαλούν.
F κ x= ⋅
x: η παραµόρφωση του ελατηρίου σε σχέση µε το φυσικό του µήκος
κ: η σταθερά του ελατηρίου η οποία εκφράζει τη σκληρότητά του και µετριέται σε Ν/m.
Συνισταµένη δύναµη
Συνισταµένη δύο ή περισσοτέρων δυνάµεων ονοµάζεται ή δύναµη που τις αντικαθι-
στά και επιφέρει στο ίδιο σώµα το ίδιο αποτέλεσµα µ’ αυτές. Οι επιµέρους δυνάµεις
λέγονται συνιστώσες. Η διαδικασία εύρεσης της συνισταµένης λέγεται σύνθεση.
∆ιανυσµατικά γράφουµε πάντα: 1 2F F F ...FνΣ = + +
1ος Νόµος του Νεύτωνα
Αν η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται σε ένα σώµα είναι µηδέν τότε
το σώµα ισορροπεί δηλαδή ηρεµεί ή κινείται ευθύγραµµα και οµαλά.
Ισχύει: Αν 1 2F 0 F F ... 0Σ = ⇒ + + =
τότε υ 0= ή υ = σταθερή
Στο διπλανό σχήµα, για να ισορροπεί το σώµα θα
πρέπει η συνισταµένη των δύο δυνάµεων να είναι
αντίθετη της τρίτης.

41
∆υναµική
Αδράνεια
Αδράνεια ονοµάζεται η ιδιότητα των σωµάτων να τείνουν να διατηρούν την κινητική
τους κατάσταση.
Ορισµός της αδρανειακής µάζας
Μέτρο της αδράνειας των σωµάτων είναι η αδρανειακή µάζα
F
m =
α
Όταν η συνισταµένη δύναµη είναι διάφορη του µηδενός τότε η αδράνεια των σωµά-
των εκδηλώνεται σαν αντίσταση στην αιτία που µεταβάλλει την κινητική κατάσταση.
Παρά την αδράνεια πάντως η κινητική κατάσταση θα µεταβληθεί.
Θεµελιώδης Νόµος της µηχανικής ή 2ος Νόµος του Νεύτωνα
ΣF mα= ή
ΣF
α
m
=
Η επιτάχυνση α έχει την κατεύθυνση της συνισταµένης δύναµης
Η επιτάχυνση α είναι ανάλογη της δύναµης για την ίδια µάζα και αντιστρό-
φως ανάλογη της µάζας για την ίδια δύναµη.
Ορισµός του βάρους του σώµατος στη Γη
Βάρος σώµατος στη Γη, ονοµάζεται η δύναµη που δέχεται το σώµα από τη Γη.
mgΒ = όπου m η βαρυτική µάζα του σώµατος
B
m
g
= .
Η αδρανειακή και η βαρυτική µάζα πειραµατικά διαπιστώθηκε ότι είναι ίσες.
Eλεύθερη πτώση
Η κίνηση που εκτελεί ένα σώµα όταν αφήνεται να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα από
κάποιο ύψος µε την επίδραση µόνο του βάρους του. Το βάρος λαµβάνεται σταθερό και
οι αντιστάσεις αέρα αµελητέες.
Eξισώσεις και διαγράµµατα υ-t, α-t, s-t στην ελεύθερη πτώση
Εξισώσεις
υ = gt
α = g
21
S = gt
2

42
∆υναµική
∆ιαγράµµατα στην ελεύθερη πτώση
Παράγοντες που καθορίζουν την τιµή της επιτάχυνσης της βαρύτητας
Γεωγραφικό πλάτος
Η επιτάχυνση της βαρύτητας αυξάνεται από τον ισηµερινό ( )2
g 9,78m/s= προς
τους πόλους ( )2
g 9,83m/s= .
Ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης.
Μειώνεται µε την αύξηση του ύψους.
3ος Νόµος δράσης - αντίδρασης του Νεύτωνα
Όταν δύο σώµατα Α και Β αλληλεπιδρούν και το σώµα Α ασκεί µία δύναµη στο σώµα Β,
τότε και το σώµα Β ασκεί στο σώµα Α δύναµη ίσου µέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης.
Σχηµατικά ισχύει:

43
∆υναµική
Παραδείγµατα δράσης - αντίδρασης
1. Βάρος σώµατος:
Β : Η δύναµη που ασκεί η Γη στο σώµα
B΄: Η δύναµη που ασκεί το σώµα στη Γη.
Ισχύει: B B΄= −
Τα σώµατα κινούνται προς τη Γη και όχι η Γη προς τα
σώµατα λόγω της µικρής τους µάζας συγκριτικά µε τη µάζα
της Γης.
2. ∆ύναµη από το δάπεδο (κάθετη αντίδραση):
N : ∆ύναµη από το δάπεδο στο σώµα
N΄: ∆ύναµη από το σώµα στο δάπεδο
Ισχύει: N N΄= −
3. Τάση νήµατος:
'
1F : Η δύναµη που ασκεί ο άνθρωπος στο σχοινί
1F : Η δύναµη που ασκεί το σχοινί στον άνθρωπο - αντίδραση της 1F΄
2F΄ : Η δύναµη που ασκεί ο κάβος στο σχοινί
2F : Η δύναµη που ασκεί το σχοινί στον κάβο -
αντίδραση της 2F΄
Ισχύει: 1 1F F΄= − και 2 2F F΄= −
Επίσης για σχοινί χωρίς µάζα (αµελητέα) ισχύει για τα µέτρα τους: 1 2F F= . Έτσι
1 1 2 2F F΄ F F ΄= = = . Η βάρκα και ο άνθρωπος κινούνται προς την προκυµαία λόγω της 1F .
Σύνθεση δύο οµοεπίπεδων δυνάµεων, που οι διευθύνσεις τους σχηµατίζουν
γωνία φ µεταξύ τους
Ισχύει: 1 2F F F= +
Για το µέτρο της 2 2
1 2 1 2F: F F F 2FF συνφ= + +
Για την κατεύθυνση της 2
1 2
F ηµφ
F:εφθ
F F συνφ
=
+
όπου θ η γωνία που σχηµατίζει η F µε την F1
.

44
∆υναµική
Σύνθεση δύο οµοεπίπεδων δυνάµεων µε κάθετες διευθύνσεις
Ισχύει: 1 2F F F= +
Μέτρο της F:
2 2
1 2F F F= +
Κατεύθυνση της F : 2
1
F
εφθ
F
=
Σύνθεση οµοεπίπεδων δυνάµεων µε ίδια κατεύθυνση
Υπολογισµός συνισταµένης
1. ∆ύο δυνάµεων ίδιας κατεύθυνσης (οµόρροπες)
Ισχύει: 1 2F F F= + και µέτρου 1 2F F F= +
Η συνισταµένη έχει την ίδια κατεύθυνση µε τις
συνιστώσες και µέτρο το άθροισµα των µέτρων τους.
2. ∆ύο δυνάµεις αντίθετης κατεύθυνσης (αντίρροπες)
Ισχύει: 1 2F F F= + και µέτρου 1 2F F F= −
Η συνισταµένη έχει την κατεύθυνση της µεγα-
λύτερης και µέτρο τη διαφορά των µέτρων των
συνιστωσών.
3. Τρεις ή περισσότερες δυνάµεις.
Ισχύει: 1 2 3F F F FΣ = + +
Επιλέγουµε αυθαίρετα µια φορά σα θετική
Όσες δυνάµεις έχουν τη θετική φορά λαµ-
βάνονται µε θετική αλγεβρική τιµή και όσες έχουν την αρνητική φορά λαµ-
βάνονται µε αρνητική αλγεβρική τιµή.
Προσθέτουµε τις αλγεβρικές τιµές των δυνάµεων. Αν η συνισταµένη προκύψει
θετική θα έχει θετική φορά. Αν όχι, αρνητική.

45
∆υναµική
Ανάλυση δυνάµεων σε δύο συνιστώσες
Συνήθως η ανάλυση γίνεται σε δύο κάθετες συ-
νιστώσες:
x
x
F
συνθ F Fσυνθ
F
= ⇒ =
y
y
F
ηµθ F Fηµθ
F
= ⇒ =
Η γωνία θ θεωρείται γνωστή.
Σύνθεση περισσότερων από δύο δυνάµεων (Αναλυτικά)
Για να βρούµε τη συνισταµένη περισσοτέρων των δύο δυνάµεων ακολουθούµε τα πα-
ρακάτω βήµατα.
α. Επιλέγουµε ένα ορθογώνιο σύστηµα αξόνων µε αρχή το σηµείο εφαρµογής των
δυνάµεων. Η επιλογή του συστήµατος είναι αυθαίρετη έτσι ώστε να χρειάζονται όσο
το δυνατόν λιγότερες αναλύσεις.
β. Αναλύουµε όσες δυνάµεις δεν είναι πάνω στους
άξονες σε συνιστώσες: 1x 1F Fσυνθ= , 1y 1F Fηµθ= ,
2x 2F F συνφ= , 2y 2F F ηµφ=
γ. Υπολογίζουµε τη συνισταµένη ( )x yΣF κ' ΣF σε κάθε άξονα προσθέτοντας αλγεβρικά
τις συνιστώσες (ή τις δυνάµεις) που βρίσκονται πάνω σε κάθε άξονα ξεχωριστά:
2xx 1xΣF F F= − , y 2y1y 3ΣF F F F= + −
δ. Οι δυνάµεις xΣF και yΣF είναι κάθετες µεταξύ
τους.
Έτσι για τη συνισταµένη ισχύει:
Για το µέτρο 2 2
x yΣF ΣF ΣF= +
Για την κατεύθυνση
y
x
ΣF
εφω
ΣF
=

46
∆υναµική
Ορισµός της στατικής τριβής. Από τι εξαρτάται;
Είναι η δύναµη που αναπτύσσεται από ένα σώµα
Α σε ένα σώµα Β όταν λόγω της επίδρασης εξω-
τερικής δύναµης F στο Β αυτό τείνει να κινηθεί
ως προς το Α χωρίς να το καταφέρνει.
Για το µέτρο της µέγιστης στατικής τριβής ισχύει:
σ max σT µ Ν= όπου σµ ο συντελεστής οριακής στα-
τικής τριβής που εξαρτάται από τη φύση των ε-
πιφανειών που έρχονται σε επαφή και Ν η κά-
θετη αντίδραση.
Ισορροπία τριών οµοεπίπεδων δυνάµεων
Όταν υλικό σηµείο ισορροπεί υπό την επίδραση τριών
οµοεπιπέδων δυνάµεων η συνισταµένη των δύο από
αυτές θα πρέπει να είναι αντίθετη της τρίτης.
1 2 3ΣF 0 F F F 0= ⇒ + + = ⇒
1 2 3 12 3F F F F F+ = − ⇒ = −
Ισορροπία δύο δυνάµεων
Για τα µέτρα των δυνάµεων ισχύει
1 2 1 2ΣF 0 F F 0 F F= ⇒ − = ⇒ =
Αναλυτική µέθοδος για ισορροπία τριών ή περισσοτέρων οµοεπίπεδων δυνάµεων
α. Επιλέγουµε αυθαίρετα κατάλληλο ορθογώνιο σύστηµα xΟy αξόνων. Η επιλογή γί-
νεται έτσι ώστε να χρειάζονται όσο το δυνατόν λιγότερες αναλύσεις δυνάµεων.
β. Αναλύουµε όσες δυνάµεις δεν είναι πάνω στους άξονες.
γ. Εφαρµόζουµε συνθήκη ισορροπίας σε κάθε άξονα.
x 1x 2xΣF 0 F F ... 0= ⇒ + + = (1)
y 1y 2yΣF 0 F F ... 0= ⇒ + + = (2)
δ. Οι σχέσεις (1), (2) είναι ικανές και αναγκαίες ώστε ένα σώµα να ισορροπεί.
∆ηλαδή: x
y
ΣF 0
υ 0 ή υ σταθ.
ΣF 0
= 
⇒ = =
= 
και όταν υ 0= η υ = σταθερό τότε: xΣF 0=

47
∆υναµική
Γενικά για τη στατική τριβή ισχύει: σ σmax0 Τ T≤ ≤
Η στατική τριβή:
α. Είναι ανεξάρτητη από το εµβαδόν της επιφάνειας συνεπαφής.
β. Έχει µεταβλητό µέτρο. Ελάχιστη τιµή µηδέν και µέγιστη σ max σT µ Ν= .
γ. Εξαρτάται από τα υλικά που έρχονται σε επαφή.
δ. Η µέγιστη τιµή της που λέγεται και οριακή στατική τριβή εξαρτάται από τη
δύναµη Ν που δρα κάθετα από τη µια επιφάνεια στην άλλη και το συντελεστή
οριακής στατικής τριβής . σmax ορ ορT Τ µ Ν= = .
Ορισµός της τριβής ολίσθησης. Από τί εξαρτάται; Τι γνωρίζουµε για τον συντε-
λεστή τριβής ολίσθησης;
Είναι µια δύναµη που αναπτύσσεται ανάµεσα σε
δύο σώµατα που βρίσκονται σε επαφή και το ένα
ολισθαίνει ως προς το άλλο.
Έχει πάντοτε φορά αντίθετη από την ταχύτητα του
σώµατος (ως προς το σώµα που ασκεί την τριβή). Το
µέτρο της είναι σταθερό και ίσο µε Τ µ N= ⋅ όπου µ
ο συντελεστής τριβής ολίσθησης που είναι καθαρός
αριθµός. Η διεύθυνσή της είναι παράλληλη µε τη δια-
χωριστική επιφάνεια των δύο σωµάτων.
Η τριβή ολίσθησης:
α. Το µέτρο της είναι σταθερό και ανεξάρτητο της ταχύτητας µε την οποία κινείται το
ένα σώµα ως προς το άλλο (για µικρές ταχύτητες).
β. Το µέτρο της ανεξάρτητο από το εµβαδό συνεπαφής (για µικρές ταχύτητες).
γ. Το µέτρο της εξαρτάται από τα υλικά που έρχονται σε επαφή.
δ. Το µέτρο της εξαρτάται από το µέτρο της κάθετης δύναµης στήριξης (κάθετη αντίδραση).
Ποιες είναι οι δυνατές περιπτώσεις εφαρµογής του 2ου Νόµου του Νεύτωνα;
Με τον όρο ισορροπεί εννοούµε ότι υ 0= (ηρεµεί) η υ = σταθ (ευθ. οµαλή κίνηση)
Σχέση ∆υνάµεων Είδος Κίνησης στον Είδος Κίνησης στον
άξονα xx΄ άξονα yy΄
xΣF 0= και yΣF 0= xα 0= Ισορροπεί yα 0= Ισορροπεί
xΣF 0≠ και yΣF 0=
x
x
ΣF
α
m
= yα 0= Ισορροπεί
Επιταχύνεται
xΣF 0= και yΣF 0≠ xα 0= Ισορροπεί
y
y
ΣF
α
m
=
Επιταχύνεται
xΣF 0≠ και yΣF 0≠
x
x
ΣF
α
m
= y
y
ΣF
α
m
=
Επιταχύνεται Επιταχύνεται

48
∆υναµική
Ο 2ος Νόµος του Νεύτωνα σε ∆ιανυσµατική και σε Αλγεβρική µορφή
Από το 2ο Νόµο του Νεύτωνα γνωρίζουµε ότι για ένα σώµα στο οποίο ασκούνται
πολλές οµοεπίπεδες δυνάµεις ισχύει ότι:
x x
y y
ΣF mα
ΣF mα
ΣF mα
 =
= ⇔ 
=
Γνωρίζουµε επίσης ότι εάν είναι γνωστές οι συνιστώσες για τα µέτρα τους ισχύει:
2 2
x yΣF ΣF ΣF= +
Αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων
Η αρχή διατυπώνεται ως εξής:
“Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις, κάθε µία από
αυτές εκτελείται εντελώς ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και η θέση στην οποία
φτάνει το κινητό µετά από χρόνο t, είναι η ίδια είτε οι κινήσεις εκτελούνται ταυτό-
χρονα, είτε εκτελούνται διαδοχικά, σε χρόνο t η κάθε µία”.
Για τον υπολογισµό της ταχύτητας και της µετατόπισης σε κάποιο χρόνο t, γράφουµε το
διανυσµατικό άθροισµα των ταχυτήτων και µετατοπίσεων αντίστοιχα, που θα είχε το
κινητό αν εκτελούσε κάθε µία κίνηση ανεξάρτητα για χρόνο t.
1 2υ υ υ= + και 1 2x x x= +
Όταν ρίχνουµε ένα σώµα από ύψος h οριζόντια
µε ταχύτητα υ0
αγνοούµε την αντίσταση του αέρα,
τότε η κίνηση που µελετάµε ονοµάζεται οριζό-
ντια βολή. Είναι µια σύνθετη κίνηση που αποτε-
λείται από δύο απλές κινήσεις:
• µια κατακόρυφη, που είναι ελεύθερη πτώση
(λόγω βαρύτητας)
• µια οριζόντια, που είναι ευθύγραµµη οµαλή (ε-
πειδή δεν ασκείται δύναµη στην οριζόντια διεύ-
θυνση).
Οι εξισώσεις κίνησης στην οριζόντια βολή
οριζόντιος άξονας xx΄: xα 0= , x 0υ υ= , 0x υ t= ⋅
κατακόρυφος άξονας yy΄: yα g= , yυ g t= ⋅ , 21
y g t
2
= ⋅

49
∆υναµική
Οι εξισώσεις τροχιάς - χρόνου - βεληνεκούς - ταχύτητας, στην οριζόντια βολή
Η εξίσωση της τροχιάς: 2
2
0
g
y x
2υ
=
Η εξίσωση της µορφής 2
y xκ= ⋅ , είναι εξίσωση παραβολής, γι’ αυτό και η τροχιά του
σώµατος στην οριζόντια βολή είναι παραβολή.
Η εξίσωση του χρόνου:
2h
t
g
=
Η εξίσωση του βεληνεκούς: max 0
2h
x = υ
g
Η εξίσωση της ταχύτητας:
Εξίσωση της ταχύτητας για οποιαδήποτε χρονι-
κή στιγµή: 2 2
x yυ υ υ= +
Ταχύτητα που θα έχει το σώµα, όταν θα φτάσει στο
έδαφος: 2 2 2
0υ υ g t= + για yυ g t= ⋅
Η κατεύθυνση ορίζεται:
y
x
υ
εφω
υ
=
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ
α. ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ µε την ε-
πίδραση τριών οµοεπιπέδων δυνάµεων µπορούµε να εργαστούµε και µε τους
δύο τρόπους που αναφέρθηκαν παραπάνω
Εφαρµογή
Το σώµα του σχήµατος ισορροπεί µε την επί-
δραση οριζόντιας δύναµης F . Το σώµα είναι
δεµένο στο άκρο σχοινιού το άλλο άκρο του
οποίου είναι στερωµένο σε οροφή. Να βρεθεί η
τάση του σχοινιού και το βάρος του σώµατος.
∆ίνονται µάζα σώµατος m και γωνία φ.
Μ ε θ ο δ ο λ ο γ ί α Α σ κ ή σ ε ω ν

50
∆υναµική
1ος τρόπος
Επιλέγουµε κατάλληλους ορθογώνιους άξονες
x΄x και y΄y και αναλύουµε την τάση του σχοι-
νιού σ’ αυτούς.
xΤ T ηµφ= ⋅
yΤ Τ συνφ= ⋅
Επειδή το σώµα ισορροπεί θα ισχύουν οι σχέ-
σεις:
x x
F
ΣF 0 F T 0 F Tηµφ T
ηµφ
= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = (1)
y yΣF 0 T B 0 B Tσυνφ= ⇒ − = ⇒ = (2)
Η (2) λόγω της (1):
F F
B συνφ B
ηµφ εφφ
= ⋅ ⇒ =
2ος τρόπος
Επειδή το σώµα ισορροπεί η συνισταµένη των F και B θα είναι αντίθετη της
τάσης T .
ΣF 0 F B T 0 F B T Σ T= ⇒ + + = ⇒ + = − ⇒ = −
Αλγεβρικά ΣF 0 Σ Τ 0 Σ Τ= ⇒ − = ⇒ = (3)
Από το σχήµα:
F F
εφφ B
B εφφ
= ⇒ =
( )3
F F F
ηµφ Σ T
Σ ηµφ ηµφ
= ⇒ = ⇒ =
Παρατήρηση: Ο δεύτερος τρόπος συνήθως οδηγεί σε πιο γρήγορη λύση. Επειδή
όµως χρησιµοποιείται µόνο για ισορροπία τριών δυνάµεων η ανάλυση σε άξονες
είναι προτιµότερη.
β. ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο (ΛΕΙΟ)
Εφαρµογή
Το σώµα του σχήµατος έχει βάρος Β 100Ν=
και ισορροπεί σε λείο κεκλιµένο επίπεδο µε την
επίδραση δύναµης F παράλληλης στο κεκλιµέ-
νο επίπεδο. Αν ο
φ 30= να υπολογιστεί η F και
η δύναµη Ν από το δάπεδο στο σώµα.

51
∆υναµική
Αναλύουµε το βάρος του σώµατος σε ορθογώνιους άξονες τον xx΄ παράλληλο
στο κεκλιµένο επίπεδο και τον yy΄ κάθετο σ’ αυτό.
Έτσι yΒ Βσυνφ=
xΒ Βηµφ=
Από τις συνθήκες ισορροπίας του σώµατος
παίρνουµε:
x xΣF 0 F B 0 F Bηµφ 100 1/ 2N 50Ν= ⇒ − = ⇒ = = ⋅ =
y yΣF 0 Ν Β 0
N Bσυνφ 100 3 / 2N 50 3N
= ⇒ − = ⇒
= = =
Εφαρµογή
Οι δυνάµεις 1F και 2F µε µέτρα 1F 3N= και 2F 4N= α-
σκούνται στο ίδιο υλικό σηµείο όπως φαίνεται στο σχή-
µα. Να βρεθεί 3F που πρέπει να ασκηθεί στο υλικό σηµείο
ώστε αυτό να ισορροπεί.
Επιλέγουµε κατάλληλους ορθογώνιους άξονες
x΄x και y΄y. Η κατεύθυνση 3F φαίνεται στο σχή-
µα. Την αναλύουµε στους άξονες και υπολογί-
ζουµε τις συνιστώσες.
Από την ισορροπία του σώµατος έχουµε:
(1) x 1 3xΣF 0 F F 0= ⇒ − = ⇒ 3x 1FF = (ή φορά της
3xF προφανώς αντίθετη της 1F ).
(2) y 3y 2 3y 2ΣF 0 F F 0 F F= ⇒ − = ⇒ = (η φορά της
3yF αντίθετη της 2F )
Από τις (1) και (2) βρίσκουµε : 3xF 3N= και 3yF 4N=
Τελικά: 2 2 2 2
3 3x 3yF F F 3 4 N 5N= + = + = ,
3y
3x
F 4
εφθ
F 3
= =

52
∆υναµική
Το σώµα του διπλανού σχήµατος ισορροπεί υπό την επίδραση των δυνάµεων
1F και 2F . Η 1F σχηµατίζει µε το οριζόντιο επίπεδο γωνία ο
φ 30= προς τα πάνω
και έχει µέτρο 1F 20N= . Να βρεθούν:
α. Το µέτρο της κάθετης δύναµης Ν .
β. Το µέτρο της δύναµης 2F .
∆ίνονται: m 2kg= , 2
m
g 10
s
= .
Λύση
ο
1x 1 1
3N
F F συνφ F συν30 20 10 3Ν
2
= ⋅ = ⋅ = =
ο
1y 1 1
1
F F ηµφ F ηµ30 20 N 10Ν
2
= ⋅ = ⋅ = =
α. ( )y 1y 1yΣF 0 N F B 0 N mg F 2 10 10 N 10N= ⇒ + − = ⇒ = − = ⋅ − =
β. x 1x 2 2ΣF 0 F F 0 F 10 3N= ⇒ − = ⇒ =
Σώµα ισορροπεί σε λείο κεκλιµένο επίπεδο υπό την επίδραση δύναµης F , η οπ-
οία είναι παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο µε φορά προς τα πάνω και τιµή 10Ν.
Ποια είναι η µάζα του σώµατος και ποια η τιµή της κάθετης δύναµης που δέχε-
ται το σώµα από το επίπεδο;
∆ίνονται ο
φ 30= , 2
m
g 10
s
=
Λύση
xB B ηµφ mgηµφ= ⋅ =
yB B συνφ mgσυνφ= ⋅ =
x xΣF 0 F B 0 F mgηµφ= ⇒ − = ⇒ = ⇒
F 10
m kg 2kg
1g ηµφ 10
2
= = =
⋅ ⋅
y yΣF 0 N B 0 N mgσυν30= ⇒ − = ⇒ = ⇒
3N
N 2 10 10 3N
2
= ⋅ ⋅ =
Λυµένες Ασκήσεις

53
∆υναµική
∆ΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο
1. Όταν σώµα κινείται υπό την επίδραση δύο δυνάµεων που δεν είναι α-
ντίθετες τότε υπολογίζουµε τη συνισταµένη των δυνάµεων και στη συνέ-
χεια την επιτάχυνση που έχει την κατεύθυνση της.
Μέτρο: 2 2
1 2 1 2ΣF F F 2FF συνφ= + +
Κατεύθυνση: 1
2 1
Fηµφ
εφθ
F Fσυνφ
=
+
και
ΣF
ΣF mα α
m
= ⇒ =
Αν ΣF σταθερή, τότε το σώµα θα εκτελέσει κίνηση ευθύγραµµη οµαλά µετα-
βαλλόµενη κατά την κατεύθυνση της συνισταµένης, µε εξισώσεις κίνησης:
0υ υ αt= ± ,
2
0
1
x υ t αt
2
= ±
ΜE TΡΙΒΗ
ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΗ ΛΕΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙ∆ΡΑΣΗ
Ή ΟΧΙ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ∆ΥΝΑΜΗΣ F .
α. Χωρίς την επίδραση δύναµης F .
Στον άξονα yy΄ το σώµα ισορροπεί:
yΣF 0 N B N mg= ⇒ = =⇒ (1)
Στον άξονα xx΄ το σώµα θα εκτελέσει κίνηση
ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη λόγω της
τριβής. Για το µέτρο της επιβράδυνσης ισχύει:
xΣF mα T mα µN mα= ⇒ = ⇒ =
και λόγω της (1) µmg mα α µg= ⇒ = .
β. Με την επίδραση οριζόντιας δύναµης F .
Άξονας yy΄: yΣF 0 N B N mg= ⇒ = ⇒ = (1)
Άξονας xx΄: xΣF mα F Τ mα= ⇒ − = ⇒
( )
F µΝ mα F µmg mα
1
⇒ − = ⇒ − =
από όπου υπολογίζουµε την επιτάχυνση α της
κίνησης.

54
∆υναµική
Αν F Τ> η κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη
Αν F T= η κίνηση ευθύγραµµη οµαλή
Αν F T< η κίνηση οµαλά επιβραδυνόµενη.
Στα παραπάνω υποθέτουµε ότι την στιγµή που ασκείται η F το σώµα έχει ήδη
ταχύτητα 0υ .
∆ιαφορετικά αν είναι ακίνητο τη στιγµή που εφαρµόζουµε την F το σώµα θα
κινηθεί µόνο αν σmaxF T> .
γ. Με την επίδραση δύναµης F που σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο
επίπεδο προς τα πάνω.
Για τον άξονα yy΄ ισχύει:
y yΣF 0 F N B N mg Fηµφ= ⇒ + = ⇒ = − (1)
(πάντοτε από την σχέση ισορροπίας του άξο-
να yy΄ υπολογίζουµε την κάθετη αντίδραση
Ν ).
Για τον άξονα xx΄:
xxΣF mα F T mα Fσυνφ µN mα= ⇒ − = ⇒ − =
και λόγω της (1)
Fσυνφ µ(mg Fηµφ) mα− − = από όπου υπολογίζουµε την επιτάχυνση της κίνη-
σης (ή την επιβράδυνση).
ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΗ ΛΕΙΟ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙ∆ΡΑΣΗ
ΤΗΣ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ∆ΥΝΑΜΗΣ F ΠΑΡΑΛΛΗΛΗΣ ΜΕ ΤΟ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ
ΕΠΙΠΕ∆Ο
α. Κίνηση προς τα πάνω
Άξονας yy΄: yyΣF 0 N B 0= ⇒ − = ⇒
yN B N mgσυνφ= ⇒ = (1)
Άξονας xx΄:
( )1
xxΣF mα F T B mα= ⇒ − − = ⇒
F µmgσυνφ mgηµφ mα− − =
Η αλγεβρική τιµή της α εξαρτάται από το µέ-
τρο των δυνάµεων F , xΒ , T . Αν F 0= τότε
mα µmgσυνφ mgηµφ α µgσυνφ gηµφ= + ⇒ = + (µέτρο της επιβράδυνσης).

55
∆υναµική
β. Κίνηση προς τα κάτω ( )F υ↑↑
Άξονας yy΄: yyΣF 0 N B N mgσυνφ= ⇒ = ⇒ = (1)
Άξονας xx΄:
( )1
xF B T mα+ − = ⇒
F mgηµφ µmgσυνφ mα+ − = (2)
Η δύναµη F µπορεί να είναι αντίρροπη της τα-
χύτητας.
ΓΩΝΙΑ ΤΡΙΒΗΣ
Είναι η ελάχιστη γωνία κεκλιµένου επιπέδου
για την οποία ένα σώµα είναι έτοιµο να ολι-
σθήσει µε την επίδραση του βάρους του.
y x
y y y
B Bσυνφ Β Bηµφ
ΣF 0 N B 0 N B
N Bηµφ
Ν mgηµφ
= =
= − = =
=
=
Τη στιγµή που για την γωνία φ το σώµα είναι
έτοιµο να ολισθήσει η στατική τριβή έχει πάρει τη µέγιστη τιµή της
σ σmax σT Τ µ Ν= =
Θα ισχύει: xΣF 0= (οριακά)
x σmax σ
σ σ
Β Τ mgηµφ µ Ν
mgηµφ µ mgσυνφ εφφ µ
= ⇒ = ⇒
= ⇒ =
Η γωνία φ λέγεται γωνία τριβής.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
ΓΙΑ ΛΕΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ ΚΑΙ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΙΣΧΥΕΙ Η Ι∆ΙΑ
ΜΕΘΟ∆ΟΛΟΓΙΑ ΜΟΝΟ ΤΟ T 0= .

Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοηθήματα Γ΄ λυκείου Φυσική 2015 |

Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοηθήματα Γ΄ λυκείου Φυσική 2015 |

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοηθήματα Γ΄ λυκείου Φυσική 2015 |

Similar to Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοηθήματα Γ΄ λυκείου Φυσική 2015 | (20)

Ορόσημο Φροντιστήριο (Αθήνα). Βοηθήματα Γ΄ λυκείου Φυσική 2015 |