The document discusses solving second-degree polynomial equations by completing squares. It begins by reviewing that a second-degree polynomial can be written as ax2 + bx + c = 0. If the equation is not a perfect square trinomial, the technique of completing squares can be used. This involves adding or subtracting the same quantity to both sides of the equation to complete a perfect square of the form (x + p)2 = q. Several examples are worked through step-by-step to demonstrate solving equations using this method.

2. Equação polinomial do 2º grau –
Parte 3 – Aula 15
Professora: Viviane Leal Valentim
MATEMÁTICA – 9º ANO (EFAF)

3. Habilidades: Descritas, para consulta, no final da apresentação.
Objetivos:
• Identificar equações polinomiais do 2º grau completas ou
incompletas.
• Resolver equações completas pela técnica de completar
quadrados.
Objetos de estudo:
• Equações de 2º grau.
• Operações com polinômios.
Equação polinomial de 2º grau (EF09MA09)

4. Vimos até aqui
3. Se 𝑏 ou 𝑐 for zero, dizemos que a equação é incompleta.
4. Há vários métodos de resolução de equações. Vimos os seguintes:
• se 𝑏 = 0, resolvemos como nas equações de 1º grau.
• se a equação for um trinômio quadrado perfeito ou incompleta
com 𝑐 = 0, podemos fatorar.
5. Veremos agora o caso “se for completa e não for trinômio quadrado
perfeito”.
1. Uma equação de 2° grau é escrita na forma 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0.
2. Se a equação não estiver na forma acima, podemos reescrever o polinômio usando
suas operações.
Elaborado especialmente para o CMSP.

5. E quando não der para fatorar?
Pelas peças, falta o quadrado de lado 3 para
completar um TQP, então vou adicioná-lo nos
dois lados da equação.
𝑥2 − 6𝑥 = 16
Quando a equação é completa e não for trinômio quadrado perfeito (TQP),
podemos usar a técnica de completar quadrados. Veja:
𝑥2
− 6𝑥 + 9 = 16 + 9
𝑥 − 3 2 = 25
𝑥
3
𝑥
3
𝑥
3
𝑥
3
Elaborado especialmente para o CMSP.

6. Continuação: E quando não der para fatorar?
𝑥2
− 6𝑥 + 9 = 16 + 9
𝑥 − 3 2 = 25
𝑥 − 3 = 5
𝑥 = 5 + 3
𝑥 = 8
𝑥 − 3 = −5
𝑥 = −5 + 3
𝑥 = −2
ou
Elaborado especialmente para o CMSP.

7. Verifico que não é TQP, vou
montar as peças para achar qual
está faltando para completar um
quadrado.
𝑥
2
𝑥
2
Atividade 2a – p. 78
Aprender Sempre, 2021. Caderno do Aluno, Matemática, 9° ano, v. 3, p. 78.
a. É possível, com dois números inteiros, resolver a igualdade 𝑥2
+ 4𝑥 = 12.
Quais podem ser esses números?
Pelas peças, falta o quadrado de
lado 2, então vou adicioná-lo nos
dois lados da equação.
𝑥
2
𝑥 2
𝑥2 + 4𝑥 + 𝟒 = 12 + 𝟒
𝑥 + 2 2
= 16

8. 𝑥2 + 4𝑥 + 𝟒 = 12 + 𝟒
𝑥 + 2 2 = 16
𝑥 + 2 = +4
𝑥 = 4 − 2
𝑥 = 2
𝑥 + 2 = −4
𝑥 = −4 − 2
𝑥 = −6
ou
𝑥
2
𝑥 2
Aprender Sempre, 2021. Caderno do Aluno, Matemática, 9° ano, v. 3, p. 78.
Continuação: Atividade 2a – p. 78

9. Pelas peças, falta o quadrado
de lado 1 para completar um
TQP, então vou adicioná-lo nos
dois lados da equação.
𝑥
1
𝑥
1
Atividade 4b – p. 79
4. Resolva as equações a seguir:
𝑥2
− 2𝑥 − 3 = 0 𝑥2 − 2𝑥 = 3
𝑥2
− 2𝑥 + 1 = 3 + 1
𝑥 − 1 2
= 4
𝑥
1
𝑥
1
Aprender Sempre, 2021. Caderno do Aluno, Matemática, 9° ano, v. 3, p. 79.

10. 𝑥2
− 2𝑥 + 1 = 3 + 1
𝑥 − 1 2 = 4
Resolução: Atividade 4b – p. 79
𝑥 − 1 = 2
𝑥 = 2 + 1
𝑥 = 3
𝑥 − 1 = −2
𝑥 = −2 + 1
𝑥 = −1
ou
Aprender Sempre, 2021. Caderno do Aluno, Matemática, 9° ano, v. 3, p. 79.

11. Atividade 3 – p. 82
3. Se o quadrado de um número menos dez vezes esse mesmo número é
igual a –21, determine esse número.
𝑛2 − 10𝑛 = −21
Verifico que não é trinômio quadrado
perfeito. Vou completar com o
quadrado que falta para chegar em um
produto. Nesse caso, falta o quadrado
de lado 5.
Número: n
𝑛
5
𝑛
5
𝑛
5
𝑛
5
Aprender Sempre, 2021. Caderno do Aluno, Matemática, 9° ano, v. 3, p. 82.

12. 𝑛2
− 10𝑛 + 𝟐𝟓 = −21 + 𝟐𝟓
𝑛 − 5 2
= 4
𝑛 − 5 = 2
𝑛 = 2 + 5
𝑛 = 7
Resolução: Atividade 3 – p. 82
𝑛2 − 10𝑛 = −21
ou 𝑛 − 5 = −2
𝑛 = −2 + 5
𝑛 = 3
Pode ser o
número 3 ou
o 7.
Aprender Sempre, 2021. Caderno do Aluno, Matemática, 9° ano, v. 3, p. 82.

13. (EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões
algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para
resolver e elaborar problemas que possam ser representados por
equações polinomiais do 2º grau.
Habilidade
Aprender Sempre, 2021. Caderno do Professor, Matemática, 9° ano, v. 3.

14. Materiais desta aula
• Efeitos sonoros: www.freesound.org. Para consultar toda a lista de efeitos, acesse:
https://freesound.org/people/Trilhas_Vanzolini/downloaded_sounds/.