ميكانيكا الهندسة1

1. ‫الرحيم‬ ‫الرحمن‬ ‫هللا‬ ‫بسم‬
‫البدري‬ ‫عبدهللا‬ ‫الشيخ‬ ‫جامعة‬
‫الهندسة‬ ‫كلية‬
‫مذكرة‬:
‫إبراهيم‬ ‫حسن‬ ‫عبدالقادر‬ ‫محمد‬ :‫محاضر‬

2. (‫محاضرة‬1)
‫مقدمة‬
Introduction
‫الهندسة‬ ‫ميكانيكا‬Engineering Mechanics
.‫خارجية‬ ‫لقوي‬ ‫معرضة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ ‫حركة‬ ‫أو‬ ‫سكون‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫التي‬ ‫باألجسام‬ ‫يهتم‬ ‫العلوم‬ ‫من‬ ‫قسم‬ ‫هي‬
Engineering Mechanics : may be defined as a science which describes and
predicts the condition of rest or motion of bodies under the action of forces.
‫الميكانيكا‬ ‫علم‬ ‫ندرس‬ ‫لماذا‬
‫األنشائي‬ ‫والتحليل‬ ‫بالتصميم‬ ‫المتعلقة‬ ‫الالحقة‬ ‫الدراسات‬ ‫من‬ ‫للعديد‬ ‫األساس‬ ‫العلم‬ ‫يعتبر‬ ‫ألنه‬
Why we study mechanics?
This science form the groundwork for further study in the design and analysis
of structures
‫ثالثة‬ ‫إلي‬ ‫الميكانيكا‬ ‫تقسيم‬ ‫يمكن‬ ‫عامة‬ ‫بصورة‬‫أقسام‬‫رئيسية‬
1/‫الصلبة‬ ‫االجسام‬ ‫ميكانيكا‬
2/‫المرنه‬ ‫االجسام‬ ‫ميكانيكا‬
3/‫الموائع‬ ‫ميكانيكا‬

3. ‫الصلبة‬ ‫األجسام‬ ‫ميانيكا‬ ‫علم‬ ‫علي‬ ‫سنركز‬ ‫المقرر‬ ‫هذا‬ ‫في‬.‫قبل‬ ً‫ال‬‫أو‬ ‫معرفته‬ ‫ويجب‬ ‫أساسي‬ ‫علم‬ ‫وهو‬‫دراسة‬
‫الموائع‬ ‫وميكانيكا‬ ‫المرنه‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬.
:‫الصلبة‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬-(Rigid Bodies Mechanics)
‫الهندسية‬ ‫المعدات‬ ‫من‬ ‫العديد‬ ‫وتحليل‬ ‫لتصميم‬ ‫ضرورية‬ ‫هي‬, ‫الميكانيكية‬ ‫المكونات‬ , ‫االنشائية‬ ‫(االجزاء‬ ‫مثل‬
‫الكهربائية‬ ‫األجهزة‬
: ‫الصلبة‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬ ‫أقسام‬-
‫نوعين‬ ‫إلي‬ ‫الصلبة‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬ ‫تنقسم‬
1/‫األستاتيكا‬Statics
2/‫الديناميكا‬Dynamics
:‫اإلستاتيكا‬-Statics
‫منتظمة‬ ‫بسرعة‬ ‫حركة‬ ‫أو‬ ‫سكون‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫التي‬ ‫المتزنه‬ ‫األجسام‬ ‫تعالج‬
: ‫الديناميكا‬-Dynamics
‫الديناميكا‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫اإلستاتيكا‬ ‫أن‬ ‫نعتبر‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ .‫تباطؤ‬ ‫أو‬ ‫بتسارع‬ ‫المتحركة‬ ‫باألجسام‬ ‫يهتم‬ ‫علم‬
‫صفر‬ ‫هو‬ ‫تسارعها‬ ‫التي‬.

4. ‫للميكانيكا‬ ‫التاريخي‬ ‫التطور‬Historical Development
‫من‬ ً‫ا‬‫أنطالق‬ ‫سهولة‬ ‫بكل‬ ‫رياضية‬ ‫صيغ‬ ‫ألي‬ ‫تحويله‬ ‫يمكن‬ ‫مبدأها‬ ‫أن‬ ‫بسبب‬ ً‫ا‬‫جد‬ ً‫ا‬‫قديم‬ ‫تطور‬ ‫األستاتيكا‬ ‫موضوع‬
.‫المؤثره‬ ‫والقوي‬ ‫الهندسية‬ ‫القياسات‬
( ‫أرخميدس‬ ‫كتابات‬287_ 212 B.C):-
‫المنحدر‬ ‫المستوى‬ , ‫الرافعة‬ ‫البكرات‬ ‫خاللها‬ ‫من‬ ‫درس‬ ‫الرفع‬ ‫بمبدأ‬ ‫تهتم‬ ‫التي‬
‫العالم‬ ً‫ا‬‫أيض‬Wrench‫إلي‬ ‫االحتياجات‬ ‫فيها‬ ‫كانت‬ ‫التي‬ ‫األزمان‬ ‫(في‬ ‫القديمة‬ ‫العصور‬ ‫كتابات‬ ‫في‬ ‫سجل‬
‫للزمن‬ ‫الدقيقة‬ ‫القياسات‬ ‫دقة‬ ‫علي‬ ‫يعتمد‬ ‫الديناميكا‬ ‫مبدأ‬ .)‫المباني‬ ‫إلنشاء‬ ‫فقط‬ ‫محدودة‬ ‫الهندسة‬.
( ‫جاليلي‬ ‫جاليولو‬1564 - 1642):-
‫حي‬ . ‫الميكانيكا‬ ‫علم‬ ‫حقل‬ ‫في‬ ‫المساهمين‬ ‫وأول‬ ‫أعظم‬ ‫من‬ ‫واحد‬ ‫هو‬‫تستخدم‬ ‫تجارب‬ ‫علي‬ ‫عمله‬ ‫أشتمل‬ ‫ث‬
.‫الساقطة‬ ‫واألجسام‬ ‫البسيط‬ ‫البندول‬
( ‫نيوتن‬ ‫أسحق‬1642 - 1727):-
‫األساسية‬ ‫الثالثة‬ ‫الحركة‬ ‫لقوانين‬ ‫وضعه‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫نيوتن‬ ‫أسحق‬ ‫قدمها‬ ‫الديناميكا‬ ‫في‬ ‫مساهمة‬ ‫وأعظم‬ ‫أكبر‬
‫العام‬ ‫األرضية‬ ‫الجازبية‬ ‫وقانون‬.
:‫األول‬ ‫القانون‬-
‫غير‬ ‫خارجيه‬ ‫قوه‬ ‫عليه‬ ‫تؤثر‬ ‫مالم‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫في‬ ‫المنتظمة‬ ‫الحركة‬ ‫أو‬ ‫السكون‬ ‫حيث‬ ‫من‬ ‫حالته‬ ‫في‬ ‫الجسم‬ ‫يظل‬
.‫متزنة‬
First Law: A particle originally at rest, or moving in a straight line with constant
velocity, tends to remain in this state provided the particle is not subjected to an
unbalanced force.
: ‫الثاني‬ ‫القانون‬-
‫مع‬ ‫يتناسب‬ ‫ومقدارها‬ ‫القوه‬ ‫أتجاه‬ ‫نفس‬ ‫في‬ ‫تكون‬ ‫بعجلة‬ ‫يتحرك‬ ‫فأنه‬ ‫متزنة‬ ‫غير‬ ‫خارجيه‬ ‫لقوه‬ ‫الجسم‬ ‫تعرض‬ ‫أذا‬
‫المسلطه‬ ‫القوه‬.

5. Second Law: A particle acted upon by an unbalanced force F experiences an
acceleration a that has the same direction as the force and a magnitude that is
directly proportional to the force.
: ‫الثالث‬ ‫القانون‬-
‫االتجاه‬ ‫في‬ ‫ومتعاكسة‬ ‫المقدار‬ ‫في‬ ‫متساوية‬ ‫تكون‬ ‫جسمين‬ ‫أي‬ ‫بين‬ ‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫فعل‬ ‫من‬ ‫المتبادله‬ ‫القوه‬
Third Law: The mutual forces of action and reaction between two particles are
equal and opposite.
:‫األرضية‬ ‫للجاذبية‬ ‫نيوتن‬ ‫قانون‬-
ً‫ا‬‫رياضي‬ ‫عنه‬ ‫عبر‬ ‫الذي‬ .‫جسيمين‬ ‫أي‬ ‫بين‬ ‫األرضية‬ ‫الجذب‬ ‫قوة‬ ‫يحكم‬ ‫قانون‬ ‫وضع‬ ‫نيوتن‬
𝐹 = 𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑟2
F≡‫الجسيمين‬ ‫بين‬ ‫التجاذب‬ ‫قوة‬
G≡‫األرضية‬ ‫للجاذبية‬ ‫العام‬ ‫الثابت‬
2,m1m≡‫الجسيمين‬ ‫كتلة‬
r≡‫الجسيمين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫من‬ ‫قريب‬ ‫كان‬ ‫الجسيمين‬ ‫موقع‬ ‫أن‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫الجسيمين‬ ‫بين‬ ‫الجذب‬ ‫لقوة‬ ‫مناسب‬ ‫أعاله‬ ‫القانون‬
‫القوة‬ ‫وهذه‬ .‫والجسيم‬ ‫األرضية‬ ‫الكرة‬ ‫بين‬ ‫مقدارها‬ ‫يقاس‬ ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫قوة‬ ‫ذلك‬ ‫ماعدا‬ ‫في‬‫تأثير‬ ‫عن‬ ‫الناتجة‬
.‫بالوزن‬ ‫تعرف‬ ‫الجسيم‬ ‫علي‬ ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬
‫كتلته‬ ‫جسيم‬ ‫وزن‬ ‫إليجاد‬ ‫تقديري‬ ‫رياضي‬ ‫تعبير‬ ‫نيوتن‬ ‫وطور‬m
𝑊 = 𝐺
𝑚𝑀𝑒
𝑟2
W≡‫الجسيم‬ ‫وزن‬
eM≡‫األرضية‬ ‫الكرة‬ ‫كتلة‬

6. m≡‫الجسيم‬ ‫كتلة‬
r≡‫األرضية‬ ‫والكرة‬ ‫الجسيم‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
g≡‫أعال‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫جزء‬ ‫يمثل‬ ‫ثابت‬‫ه‬
𝑔 = 𝐺
𝑀𝑒
𝑟2
‫الثابت‬ ‫تعويض‬ ‫بعد‬ ‫الجسيم‬ ‫وزن‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬g‫الوزن‬ ‫معادلة‬ ‫في‬
W = mg
( ‫مثل‬ ‫العلماء‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫بواسطة‬ ‫لتطبيقاتها‬ ‫مهمة‬ ‫تقنيات‬ ‫طورت‬ ‫قصيرة‬ ‫بفتره‬ ‫القوانين‬ ‫هذه‬ ‫وضع‬ ‫بعد‬Euler,
D’Alembert,Lagrange) ‫وآخرين‬.
( ‫أساسية‬ ‫مفاهيم‬Fundamental Concepts)
: ‫الجسيم‬-particle
‫لذلك‬ .‫محورها‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ ‫مهم‬ ‫غير‬ ‫األرضية‬ ‫الكره‬ ‫حجم‬ ‫مثال‬ ‫تجاهله‬ ‫يمكن‬ ‫حجمه‬ ‫لكن‬ ‫كتلة‬ ‫له‬ ‫شئ‬ ‫أي‬
.‫محورها‬ ‫حركة‬ ‫دراسة‬ ‫عند‬ ‫كجسيم‬ ‫األرضية‬ ‫الكره‬ ‫تعتبر‬
‫أبعاده‬ ‫تجاهل‬ ‫يمكن‬ ‫جسم‬ ‫هو‬ ‫آخر‬ ‫بمعنى‬ ‫ــ‬
‫الجاسئ‬ ‫الجسم‬Rigid Body:-
‫ك‬ ‫يعتبر‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬‫بعضها‬ ‫من‬ ‫واحده‬ ‫مسافة‬ ‫علي‬ ‫الجسيمات‬ ‫كل‬ ‫بقاء‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫الجسيمات‬ ‫من‬ ‫كبير‬ ‫عدد‬ ‫إتحاد‬
‫القوي‬ ‫من‬ ‫تأثير‬ ‫هنالك‬ ‫وليس‬ ‫ثابتة‬ ‫أنها‬ ‫نفترض‬ ‫جسم‬ ‫أي‬ ‫مادة‬ ‫خواص‬ ‫أن‬ ‫بسبب‬ ‫مهم‬ ‫النموذج‬ ‫هذا‬ .‫البعض‬
‫عليه‬ ‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫المسلطه‬.
:‫المركزة‬ ‫القوة‬-Concentrator Force
‫إذ‬ ‫أثرها‬ ‫يتبين‬ ‫المركزة‬ ‫القوة‬.‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫يعمل‬ ‫أنه‬ ‫يفترض‬ ‫حمل‬ ‫هنالك‬ ‫كان‬ ‫ا‬
ً‫ا‬‫جد‬ ‫صغيرة‬ ‫تكون‬ ‫الحمل‬ ‫عليها‬ ‫يؤثر‬ ‫التي‬ ‫المساحة‬ ‫بأن‬ ‫المركزة‬ ‫القوة‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫الحمل‬ ‫يتضح‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬
‫واألرض‬ ‫السيارة‬ ‫إطار‬ ‫بين‬ ‫التالمس‬ ‫قوة‬ ‫مثال‬ .‫للجسم‬ ‫الكلي‬ ‫الحجم‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
:‫الطول‬Length
‫المسافة‬ ‫لقياس‬ ‫وحدة‬( ‫قياسه‬ ‫وحدة‬ ‫منحنى‬ ‫خط‬ ‫أو‬ ‫مستقيم‬ ‫لخط‬ ‫الطولية‬m , ft)
:‫الكتلة‬Mass

7. ‫قياسها‬ ‫وحدة‬ ‫للمقارنة‬ ‫تستخدم‬ ‫وهي‬ ‫المادة‬ ‫كمية‬ ‫تقييس‬ ‫هي‬
(kg , Slug)
:‫القوة‬Force
‫اآلخر‬ ‫علي‬ ‫األجسام‬ ‫أحد‬ ‫بواسطة‬ ‫يبذل‬ ‫دفع‬ ‫أو‬ ‫سحب‬ ‫تعتبر‬ ‫هي‬
( ‫قياسها‬ ‫وحدة‬N , Ib)
:‫المساحة‬Area
‫م‬ ‫عن‬ ‫عباره‬‫قياسها‬ ‫وحدة‬ ‫لسطح‬ ‫أو‬ ‫لشكل‬ ‫بعدين‬ ‫قياس‬
(m2 ,ft2)
:‫الحجم‬Volume
‫قياسه‬ ‫وحدة‬ ‫مادة‬ ‫به‬ ‫توجد‬ ‫لحيز‬ ‫أبعاد‬ ‫ثالثة‬ ‫مقياس‬ ‫عن‬ ‫عباره‬
m3
:‫الوزن‬Weight
‫قياسه‬ ‫وحدة‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلي‬ ‫الجسم‬ ‫تجذب‬ ‫التي‬ ‫القوة‬
(N , Ib)
:‫الميكانيكا‬ ‫في‬ ‫أساسية‬ ‫كميات‬ ‫أربعة‬-
1/‫الكتلة‬
2/‫الطول‬
3/‫الزمن‬
4/‫القوة‬

8. ‫هما‬ ‫المقرر‬ ‫لهذا‬ ‫دراستنا‬ ‫خالل‬ ‫لهما‬ ‫سنتعرض‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬ ‫نظامان‬ ‫هنالك‬
1/‫للوحدات‬ ‫التقليدي‬ ‫أو‬ ‫البيرطاني‬ ‫النظام‬(BSU)
( ‫بالقدم‬ ‫الطول‬ *ft( ‫بالثواني‬ ‫الزمن‬ * )S( ‫بالرطل‬ ‫القوة‬ * )Ib)
2/( ‫للوحدات‬ ‫المتري‬ ‫أو‬ ‫العالمي‬ ‫النظام‬SI)
( ‫بالمتر‬ ‫الطول‬ *m( ‫بالثواني‬ ‫الزمن‬ * )S( ‫بالنيوتن‬ ‫القوة‬ * )N)
‫البيرطاني‬ ‫النظام‬ ‫عن‬ ‫عديدة‬ ‫بمحاسن‬ ‫يتميز‬ ‫العالمي‬ ‫النظام‬
1/‫العالم‬ ‫أنحاء‬ ‫جميع‬ ‫في‬ ‫واسعة‬ ‫بصورة‬ ‫يستخدم‬
2/( ‫للطول‬ ‫أساسية‬ ‫وحدة‬ ‫يستخدم‬m( ‫األساسية‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫يستخدم‬ ‫البيرطاني‬ ‫النظام‬ )mile , yard,
ft, inch)
3/‫ويسهل‬ ‫األستخدام‬ ‫سهل‬ ‫يجعله‬ ‫وهذا‬ ‫العشرة‬ ‫مضاعفات‬ ‫علي‬ ‫مبني‬ ‫الوحدات‬ ‫إشتقاق‬ ‫للوحدات‬ ‫العالمي‬ ‫النظام‬
‫تعلمه‬

9. ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫الخطاف‬A‫عند‬ ‫تتقابل‬ ‫كلها‬ ‫قوي‬ ‫لثالث‬ ‫معرض‬
‫النقطة‬A‫نفترض‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫الجسيم‬ ‫علي‬ ‫المؤثرة‬ ‫القوى‬ ‫لتحليل‬
‫جسيم‬ ‫يمثل‬ ‫الخطاف‬ ‫أن‬
‫أن‬ ‫يمكن‬‫جاسئ‬ ‫كجسم‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبينة‬ ‫القطار‬ ‫عجلة‬ ‫أن‬ ‫نعتبر‬
.‫القضيب‬ ‫من‬ ‫مركزه‬ ‫قوة‬ ‫عليه‬ ‫مسلطة‬

10. (‫محاضرة‬2)
‫القوى‬ ‫وتحليل‬ ‫محصلة‬
Resolution & Resultant Force
‫والمتجه‬ ‫القياسية‬ ‫الكمية‬(Scalar & Vector quantity)
‫متجه‬ ‫أو‬ ‫مقدار‬ ‫بأعتبارها‬ ‫تقاس‬ ‫الهندسة‬ ‫ميكانيكا‬ ‫في‬ ‫الفيزيائية‬ ‫الكميات‬ ‫كل‬
( :‫القياسية‬ ‫الكمية‬Scalar quantity)
.‫مقدارها‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫كاملة‬ ‫بصورة‬ ‫تحديدها‬ ‫يمكن‬ ‫سالبة‬ ‫أو‬ ‫موجبة‬ ‫فيزيائية‬ ‫كمية‬ ‫أي‬ ‫هي‬
( ‫الطول‬ : ‫لها‬ ‫مثال‬Length( ‫الكتلة‬ , )Mass( ‫والزمن‬ )Time.)
‫الكمية‬( :‫المتجهة‬Vector quantity)
‫كاملة‬ ‫بصورة‬ ‫لوصفها‬ ‫واإلتجاه‬ ‫المقدار‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫تتطلب‬ ‫فيزيائية‬ ‫كمية‬ ‫أي‬ ‫هي‬.
( ‫القوة‬ : ‫لها‬ ‫مثال‬Force( ‫الوضع‬ , )Position( ‫والعزم‬ )Torque)
( :‫القوة‬Force)
‫لها‬ ‫المعرض‬ ‫الجسم‬ ‫حركة‬ ‫أو‬ ‫سكون‬ ‫حالة‬ ‫يغير‬ ‫فعل‬ ‫هي‬
‫يشمل‬ ‫أن‬ ‫يجب‬ ‫للقوة‬ ‫الكامل‬ ‫الوصف‬:‫التالي‬
1/‫مقدارها‬
2/‫وإشارتها‬ ‫إتجاهها‬
3/‫تأثيرها‬ ‫نقطة‬
( ‫القوى‬ ‫تحليل‬Resolution of Force)
‫القوة‬ ‫خذ‬F‫أتجاهها‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضحة‬ϴ:‫مركبتين‬ ‫إلي‬ ‫نحللها‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬-
1/( ‫األفقية‬ ‫المركبة‬Fx( ‫محور‬ ‫أتجاه‬ ‫في‬ )x)

11. 2/( ‫العمودية‬ ‫المركبة‬Fy‫أتجاه‬ ‫في‬ )( ‫محور‬Y)
‫أ‬ ‫الشكل‬ ‫من‬‫دناه‬
‫هي‬ ‫األفقية‬ ‫المركبة‬
𝐹𝑋 = 𝐹. 𝐶𝑜𝑠𝜃
‫هي‬ ‫العمودية‬ ‫المركبة‬
𝐹𝑌 = 𝐹. 𝑆𝑖𝑛𝜃
‫للمركبتين‬ ‫القوي‬ ‫محصلة‬
𝐹 = √𝐹𝑥
2
+ 𝐹𝑦
2

12. ‫القوي‬ ‫محصلة‬ ‫إتجاه‬
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐹𝑦
𝐹𝑥
:‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫قانون‬ ‫بأستخدام‬ ‫قوتين‬ ‫محصلة‬
‫القوتان‬1F‫و‬2F:‫اآلتية‬ ‫الخطوات‬ ‫بأتباع‬ ‫لهما‬ ‫القوة‬ ‫محصلة‬ ‫إيجاد‬ ‫يتم‬ ‫الشكل‬ ‫في‬
1/‫القوة‬ ‫سهم‬ ‫رأس‬ ‫من‬1F‫لـ‬ ‫موازي‬ ‫خط‬ ‫أرسم‬2F‫القوة‬ ‫سهم‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫آخر‬ ‫وخط‬2F‫خط‬ ‫أرسم‬
‫لـ‬ ‫موازي‬1F‫عمل‬ ‫خطي‬ ‫مع‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫مكونان‬ ,‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫يتقاطعان‬ ‫الخطان‬ ‫هذان‬
‫القوتين‬.
2/‫مح‬ ‫يمثل‬ ‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫قطر‬‫القوتين‬ ‫صلة‬RF‫القوة‬ ‫متجهي‬ ‫بجمع‬ ‫المحصلة‬ ‫إيجاد‬ ‫يتم‬
‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫لقانون‬ ً‫ا‬‫وفق‬.
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2
:‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫قانون‬ ‫بأستخدام‬ ‫القوة‬ ‫مركبات‬ ‫إيجاد‬

13. :‫المثلث‬ ‫قانون‬ ‫بأستخدام‬ ‫قوتين‬ ‫محصلة‬ ‫إيجاد‬-
‫القوة‬ ‫ذيل‬ ‫توصيل‬ ‫يتم‬2F‫القوة‬ ‫رأس‬ ‫مع‬1F‫ذيل‬ ‫من‬ ‫الممتد‬ ‫الخط‬ ‫هي‬ ‫المحصلة‬ ‫تكون‬1F‫رأس‬ ‫إلي‬2F‫ومن‬ .
( ‫الزاوية‬ ‫تمام‬ ‫جيب‬ ‫قانون‬ ‫وبأستخدام‬ ‫المثلث‬ ‫الشكل‬Cosine Law‫المحصلة‬ ‫تكون‬ )RF
( ‫الزاوية‬ ‫جيب‬ ‫قانون‬ ‫من‬ ‫يحدد‬ ‫المحصلة‬ ‫إتجاه‬Sine Law.‫الجيب‬ ‫قانون‬ ‫من‬ ‫يحدد‬ ‫المركبتين‬ ‫مقدار‬ .)

14. 𝐹1
sin 𝛼
=
𝐹2
sin 𝛿
=
𝐹𝑅
sin 𝜃
‫قوى‬ ‫لمجموعة‬ ‫المحصلة‬ ‫إيجاد‬:
‫هي‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫هنالك‬ ‫كان‬ ‫إذا‬1F,2F,3F‫القو‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫لتحديد‬ .‫جسيم‬ ‫علي‬ ‫مسلطة‬‫ى‬‫كل‬
.‫مركبتين‬ ‫إلي‬ ‫تحلل‬ ‫أن‬ ‫يجب‬ ‫حدا‬ ‫علي‬ ‫قوة‬

15. ‫القوى‬ ‫محصلة‬
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3
𝐹𝑅 = 𝐹1𝑥 𝑖 + 𝐹1𝑦 𝑗 − 𝐹2𝑥 𝑖 + 𝐹2𝑦 𝑗 + 𝐹3𝑥 𝑖 − 𝐹3𝑦 𝑗
𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑋 𝑖 + 𝐹𝑅𝑌 𝑗
‫كالتالي‬ ‫إيجادها‬ ‫يمكن‬ ‫القوى‬ ‫محصلة‬
𝐹𝑅 = √𝐹𝑅𝑋
2
+ 𝐹𝑅𝑌
2
‫أدناه‬ ‫بالمعادلة‬ ‫يحسب‬ ‫المحصلة‬ ‫إتجاه‬
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐹𝑅𝑌
𝐹𝑅𝑋
‫قوى‬ ‫مجموعة‬ ‫عليه‬ ‫مسلطة‬ ‫لجسيم‬ ‫مثال‬
‫بحاصل‬ ‫تحدد‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫الحديدية‬ ‫الدعامة‬ ‫علي‬ ‫تعمل‬ ‫التي‬ ‫األربعة‬ ‫األسالك‬ ‫قوى‬ ‫محصلة‬‫الجبري‬ ‫المجموع‬
‫لمركبتي‬X‫و‬Y‫من‬ ‫الحديدية‬ ‫الدعامة‬ ‫علي‬ ‫الشد‬ ‫تأثير‬ ‫تمثل‬ ‫هذه‬ ‫األربعة‬ ‫القوى‬ ‫محصلة‬ ‫حدا‬ ‫علي‬ ‫قوة‬ ‫لكل‬
.‫األربعة‬ ‫األسالك‬

16. ( ‫مثال‬1)
( ‫القوة‬ ‫مركبتي‬ ‫أوجد‬F = 100N‫بزاوية‬ ‫تعمل‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ )o
30.‫األفقي‬ ‫علي‬
‫الحل‬
ϴ= F CosXF
= 100* Cos 30XF
N86.6=XF
ϴ= F SinYF
= 100* Sin 30YF
50N=YF
( ‫مثال‬2:)-
( ‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬F = 300N‫النقطة‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ )A‫و‬B‫مقدار‬ ‫حدد‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضحتان‬
‫مركبتي‬F‫إتجاه‬ ‫في‬X‫و‬Y.
‫الحل‬

17. )‫(إتجاهها‬ ‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫زاوية‬ ‫نحدد‬ϴ
𝐿 𝐴𝐵 = √(−7 − 8)2 + (−2 − 6)2 = 17
𝐿 𝐴𝐶 = √(−7 − 8)2 = 15
LBC = 8
FX = F . Cosϴ
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐿 𝐵𝐶
𝐿 𝐴𝐶
= 𝑡𝑎𝑛−1
8
15
= 28.07°
FX = 300*Cos 28.07 = 264.7N
FY = F * Sin ϴ
FY = 300* Sin28.07 = 141.165N
( ‫مثال‬3:)-
‫لقوتين‬ ‫معرض‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضح‬ ‫الشنكل‬1F‫و‬2F.‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫وإتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬
‫الحل‬

18. 𝐹𝑅 = √1002 + 1502 − 2 ∗ 100 ∗ 150 ∗ 𝐶𝑜𝑠115
FR = 212.6 N
( ‫قانون‬ ‫من‬Sin Law‫المحصلة‬ ‫إتجاه‬ ‫علي‬ ‫نتحصل‬ )
𝐹𝑅
𝑆𝑖𝑛𝜃
=
𝐹2
𝑆𝑖𝑛𝛿
212.6
𝑆𝑖𝑛115
=
150
𝑆𝑖𝑛𝛿
δ= 39.75⁰
∅ = 39.75 + 15 = 54.75°
‫هو‬ ‫المحصلة‬ ‫إتجاه‬o
54.75
‫مثال‬(4:)-
‫مركبتي‬ ‫حدد‬X‫و‬Y‫للقوة‬1F‫و‬2F‫أوجد‬ .‫القوة‬ ‫متجهي‬ ‫معادلة‬ ‫أكتب‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الذراع‬ ‫علي‬ ‫المسلطة‬
.‫المحصلة‬ ‫وإتجاه‬ ‫مقدار‬

19. ‫الحل‬
‫القوة‬ ‫مركبتي‬1F
𝐹1X = −200 Cos (60) = −100 N
𝐹1Y = 200 Sin (60) = 173.21 N
‫القوة‬ ‫تأثير‬ ‫زاوية‬2F

20. 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
12
13
, 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠−1
12
13
= 22.62°
𝐹2X = 260 Cos (22.62) = 240 N
𝐹2Y = −260 Sin (22.62) = − 100 N
‫قوة‬ ‫لكل‬ ‫المتجه‬ ‫معادلة‬
𝐹1 = (−100𝑖 + 173𝑗)𝑁
𝐹2 = (240𝑖 − 100𝑗)𝑁
‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫وإتجاه‬ ‫مقدار‬
𝐹𝑅𝑋 = ∑ 𝐹𝑋 = −100 + 240 = 140 𝑁
𝐹𝑅𝑌 = ∑ 𝐹𝑌 = 173.21 − 100 = 73.21 𝑁
𝐹𝑅 = √𝐹𝑅𝑋
2
+ 𝐹𝑅𝑌
2
𝐹𝑅 = √1402 + 73.212
157.99 N=RF
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐹𝑅𝑌
𝐹𝑅𝑋

21. 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
73.21
140
= 27.61°
Ex5 :
The 624 N force is a resultant of two force P & Q shown in fig. determine these
forces .

22. (‫محاضرة‬3)
)‫القوة(العزوم‬ ‫عزم‬
Moment of Force
‫مقدمة‬Introduction
‫حول‬ ‫للدوران‬ ‫يميل‬ ‫الجسيم‬ ‫تجعل‬ ‫أن‬ ‫القوة‬ ‫لهذه‬ ‫يمكن‬ .‫جسم‬ ‫علي‬ )‫(تسلط‬ ‫قوه‬ ‫تبذل‬ ‫عندما‬‫نقطة‬
.)‫(العزوم‬ ‫القوه‬ ‫عزم‬ ‫يسمي‬ ً‫ا‬‫أحيان‬ ‫للدوران‬ ‫الميول‬ ‫هذا‬ .‫القوه‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫علي‬ ‫ليست‬
:‫القوه‬ ‫عزم‬The Moment of Force
‫القو‬ ‫مقدرة‬ ‫هو‬‫ة‬.‫خط‬ ‫أو‬ ‫محور‬ ‫أو‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫ألتواء‬ ‫أو‬ ‫دوران‬ ‫أنتاج‬ ‫علي‬
‫القوة‬ ‫خذ‬F‫والنقطة‬O‫العزم‬ .‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضح‬ ‫المظلل‬ ‫المستوى‬ ‫علي‬ ‫التي‬0M‫(حول‬
‫النقطة‬O‫النقطة‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫أو‬O‫العزم‬ ‫هذا‬ ‫أن‬ ‫نجد‬ )‫المظلل‬ ‫المستوى‬ ‫علي‬ ‫ويتعامد‬
.‫متجهة‬ ‫كمية‬ ‫هو‬

23. ‫القوة‬ ‫مقدار‬ ‫مع‬ ً‫ا‬‫طردي‬ ‫يتناسب‬ ‫العزم‬ ‫مقدار‬F‫العزم‬ ‫ذراع‬ ‫أو‬ ‫العمودية‬ ‫والمسافة‬d.
‫أو‬ ‫كبيرة‬ ‫قوة‬ ‫أن‬ ‫أي‬‫أكبر‬ ‫عزم‬ ‫يعطي‬ ‫أطول‬ ‫عزم‬ ‫ذراع‬.
‫أ‬ ‫الشكل‬ ‫في‬‫دناه‬‫القوة‬ ‫أثرت‬ ‫إذا‬F‫بزاوية‬ ‫المفتاح‬ ‫علي‬◦
≠90ϴ‫في‬ ‫صعوبة‬ ‫يجد‬ ‫الشخص‬ ‫أن‬ ‫نجد‬
‫أقصر‬ ‫أصبح‬ ‫العزم‬ ‫ذراع‬ ‫ألن‬ ‫وذلك‬ ‫القلووظ‬ ‫مسمار‬ ‫فك‬d´ = d sinϴ
‫القوة‬ ‫أثرت‬ ‫أذا‬F‫أ‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبينة‬‫دناه‬‫الق‬ ‫تأثير‬ ‫خط‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ‫المفتاح‬ ‫علي‬ ‫شد‬ ‫كقوة‬‫بمركز‬ ‫يمر‬ ‫وة‬
‫الدوران‬O‫بمحور‬ ‫أو‬Z‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫أن‬ ‫نجد‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬F‫حول‬O‫هو‬Zero

24. (:‫العزم‬ ‫مقدار‬oM)Moment Magnitude
:ً‫ا‬‫رياضي‬
‫المسلطة‬ ‫القوة‬ = ‫القوة‬ ‫عزم‬X‫العمودية‬ ‫المسافة‬
𝑀0 = 𝐹 ∗ 𝑑
d≡‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫العمودية‬ ‫المسافة‬ ‫أو‬ ‫العزم‬ ‫ذراع‬O.‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫إلي‬
:‫العزم‬ ‫وحدات‬Units of Moment
(Ib.ft)or(N.m)‫(نيوتن.متر‬ ‫أو‬ )‫(رطل.قدم‬ )
:‫العزم‬ ‫إتجاه‬Direction of Moment
‫موجب‬ ‫العزم‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫عكس‬ ‫الدوران‬ ‫إتجاه‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
‫سالب‬ ‫العزم‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫مع‬ ‫الدوران‬ ‫إتجاه‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
‫العزم‬ ‫محصلة‬:Resultant of Moment
‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضح‬ ‫قوى‬ ‫الثالث‬ ‫خذ‬1F,2F,3F‫النقطة‬ ‫حول‬ ‫يدور‬ ‫الجسيم‬ ‫تجعل‬ ‫التي‬O
:‫هو‬ ‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫عزوم‬ ‫محصلة‬ ‫فأن‬
( 𝑀 𝑅)0 = ∑ 𝐹 ∗ 𝑑
( 𝑀 𝑅)0 = 𝐹1 𝑑1 − 𝐹2 𝑑2 + 𝐹3 𝑑3

25. :‫عملي‬ ‫مثال‬
‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫أن‬ ‫تتطلب‬ ‫الصورة‬ ‫في‬ ‫المبين‬ ‫الخشبي‬ ‫اللوح‬ ‫علي‬ ‫من‬ ‫المسمار‬ ‫أزالة‬ ‫علي‬ ‫القدرة‬HF
‫النقطة‬ ‫حول‬O‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫يكون‬ ‫أن‬NF‫النقطة‬ ‫حول‬O.
‫القوة‬ ‫لذلك‬ ‫مثال‬ .‫دوران‬ ‫يسبب‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫ليس‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬F‫أ‬ ‫الشكل‬ ‫في‬‫دناه‬‫العارضة‬ ‫تجعل‬ ‫أن‬ ‫تحاول‬
‫الدعامة‬ ‫عند‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫مع‬ ‫تدور‬A‫بعزم‬MA = F dA‫يمكن‬ ‫الحقيقي‬ ‫الدوران‬ ‫لكن‬ .
‫الدعامة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫يحدث‬ ‫أن‬B.‫موجودة‬ ‫غير‬

26. ( ‫مثال‬1:)
‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫حدد‬F=225 N‫النقاط‬ ‫حول‬A,B‫و‬C.
‫الحل‬
= 225*0.6 = 135N.mA= F * dAM
= 225 * 0.4 = 90N.mB= F * dBM
= 225 * 0.8 = 180N.mC= F * dCM

27. ( ‫مثال‬2:)-
‫النقطة‬ ‫حول‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫حدد‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫حالة‬ ‫لكل‬O.
‫الحل‬
= 100 * 2 =200N.m0M
= 50 * 0.75 =37.5N.m0M
)=229Ib.fto
= 40 * (4 + 2*cos 300M
)=42.4Ib.fto
= 60 * (1 sin450M
1) = 21 KN.m-= 7 * (40M

28. ( ‫مثال‬3:)
‫النقطة‬ ‫حول‬ ‫العزم‬ ‫محصلة‬ ‫أحسب‬O.‫أدناه‬ ‫المبين‬ ‫للذراع‬

29. (‫محاضرة‬4)
‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬
Moment of Couple
:‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬Moment of a Couple
.‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫هو‬ ‫العزوم‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬
:‫اإلزدواج‬Couple
‫نفس‬ ‫في‬ ‫التشتركان‬ ‫اإلتجاه‬ ‫في‬ ‫متعاكستين‬ ‫لكنهما‬ ‫المقدار‬ ‫نفس‬ ‫لهما‬ ‫متوازتين‬ ‫قوتين‬ ‫بأنه‬ ‫يعرف‬
( ‫عمودية‬ ‫بينهما‬ ‫والمسافة‬ ‫العمل‬ ‫خط‬d).
.ً‫ا‬‫صفر‬ ‫ليست‬ ‫هي‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫محصلة‬ ‫لكن‬ ‫صفر‬ ‫هي‬ ‫اإلزدواج‬ ‫في‬ ‫القوة‬ ‫محصلة‬ ‫تكون‬
‫ميول‬ ‫أو‬ ‫دوران‬ ‫ينتج‬ ‫هو‬ ‫لإلزدواج‬ ‫الوحيد‬ ‫األثر‬ ‫ويكون‬‫معين‬ ‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫للدوران‬‫اليحدث‬ ‫لكنه‬
.‫أزاحة‬

30. ‫نقطة‬ ‫أي‬ ‫حول‬ ‫األزدواج‬ ‫قوى‬ ‫من‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫عزوم‬ ‫مجموع‬ ‫بتحديد‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬
‫خذ‬ ‫مثال‬ . ‫أفتراضية‬Ar‫و‬Br‫للنقاط‬ ‫الموضع‬ ‫متجهي‬A‫و‬B‫النقطة‬ ‫من‬O‫علي‬ ‫تقعان‬ ‫اللتان‬
‫عمل‬ ‫خط‬F‫و‬–F.
‫حول‬ ‫األزدواج‬ ‫عزم‬O‫كالتالي‬ ‫يحدد‬
‫النقطتين‬ ‫بين‬ ‫الموضع‬ ‫متجه‬ ‫علي‬ ‫فقط‬ ‫يعتمد‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫أن‬ ‫تبين‬ ‫النتيجة‬ ‫هذه‬r‫المفهوم‬ ‫وهذا‬
.‫محور‬ ‫أو‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫العزم‬ ‫إيجاد‬ ‫علي‬ ‫يعتمد‬ ‫الذي‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫بمفهوم‬ ‫شبيه‬ ‫ليس‬
:‫المقدار‬ ‫معادلة‬Scalar formulation
‫كاآلتي‬ ‫مقداره‬ ‫يعرف‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬
𝑀 = 𝐹 ∗ 𝑑
F≡‫اإلزدواج‬ ‫في‬ ‫واحده‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬
d≡‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫العزم‬ ‫ذراع‬ ‫أو‬ ‫العمودية‬ ‫المسافة‬
:‫المتجه‬ ‫معادلة‬Vector Formulation
M = r X F

31. F≡‫اإلزدواج‬ ‫في‬ ‫واحده‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬
r≡‫اإلزدواج‬ ‫قوتين‬ ‫بين‬ ‫الموضع‬ ‫متجه‬
‫إتجاه‬‫عزم‬:‫اإلزدواج‬Resultant of Couple Moment
‫بالموجب‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫عكس‬
‫بالسالب‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫مع‬
‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫محصلة‬:Resultant of Couple Moment
𝑀 𝑅 = 𝑀1 + 𝑀2 … … … …
‫في‬ ‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫العمودية‬ ‫المسافة‬ ‫في‬ ‫واحده‬ ‫قوة‬ ‫بضرب‬ ‫حدا‬ ‫علي‬ ‫أزدواج‬ ‫كل‬ ‫عزم‬ ‫إيجاد‬ ‫يتم‬
‫العزوم‬ ‫مجموعة‬ ‫بجمع‬ ‫المحصلة‬ ‫ايجاد‬ ‫يتم‬ . ‫اإلزدواج‬( ‫اإلشارة‬ ‫مراعاة‬ ‫مع‬-‫عقارب‬ ‫مع‬ )
.‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫عكس‬ )+( ‫الساعة‬
:‫اإلزدواج‬ ‫لعزم‬ ‫عملي‬ ‫مثال‬-
‫المطلوبة‬ ‫القدرة‬ ‫ألن‬ ‫القديمة‬ ‫السيارات‬ ‫في‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫أضحت‬ ‫السيارة‬ ‫في‬ ‫القيادة‬ ‫عجلة‬
‫القيادة‬ ‫عجلة‬ ‫أطار‬ ‫علي‬ ‫كبير‬ ‫إزدواج‬ ‫عزم‬ ‫تسليط‬ ‫السائق‬ ‫من‬ ‫التتطلب‬ ‫للتوجيه‬.

32. ‫علي‬ ‫الشكل‬ ‫في‬‫وذلك‬ ‫الشمال‬ ‫علي‬ ‫التي‬ ‫للفه‬ ‫مماثله‬ ‫لفه‬ ‫إلحداث‬ ‫أكبر‬ ‫قوتين‬ ‫إلي‬ ‫نحتاج‬ ‫اليمين‬
‫عزم‬ ‫إلحداث‬ ‫بالتالي‬ ‫أقل‬ ‫أصبح‬ ‫العزم‬ ‫ذراع‬ ‫أن‬ ‫أي‬ .‫بينهما‬ ‫المسافة‬ ‫صغرت‬ ‫السائق‬ ‫يدي‬ ‫بسبب‬
‫اإلزدواج‬ ‫قوة‬ ‫زيادة‬ ‫يجب‬ ‫مماثل‬.

33. ( ‫مثال‬1:)-
‫ا‬ ‫علي‬ ‫المؤثر‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫محصلة‬ ‫وإتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫لترس‬
‫الحل‬
M = F*d
M = 600 Cos 30o
* 0.2– 600 Sin 30o
*0.2
M = 43.92 N.m

34. ( ‫مثال‬2:)-
‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبين‬ ‫اللوح‬ ‫علي‬ ‫المؤثرة‬ ‫إزدواجات‬ ‫للثالث‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫محصلة‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬.
‫الحل‬
𝑀 𝑅 = −𝐹1 𝑑1 + 𝐹2 𝑑2 − 𝐹3 𝑑3
MR = -200 *4 + 450*3 – 300*5
MR = -950 Ib .ft

35. (‫مثال‬3:)-
‫معدني‬ ‫للوح‬ ‫لتثقيب‬ ‫أستخدمت‬ ‫المثاقيب‬ ‫من‬ ‫عدد‬6‫عزم‬ ‫يسلط‬ ‫مثقاب‬ ‫كل‬ ‫واحد‬ ‫زمن‬ ‫في‬ ‫ثقوب‬
‫مقداره‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫اللوح‬ ‫علي‬ ‫إزدواج‬5N.m‫بأصغر‬ ‫المعادل‬ ‫اإلزدواج‬ ‫حدد‬ .
‫عند‬ ‫تعمل‬ ‫ممكنة‬ ‫قوى‬
1/A‫و‬C
2/A‫و‬D
3/‫اللوح‬ ‫علي‬
‫الحل‬
1/A‫و‬C
Mc = 5 N.m * 6 holes = 30N.m
Mc = F * d
30 = F * 0.3
F = 100 N
2/A‫و‬D

36. 3/‫اللوح‬ ‫علي‬

37. (‫محاضرة‬5)
‫األجسام‬ ‫إتزان‬
Equilibrium of Bodies
‫مقدمة‬Introduction
‫أفضل‬ .‫الجسم‬ ‫هذا‬ ‫علي‬ ‫المؤثره‬ ‫القوى‬ ‫لمعرفة‬ ‫كامل‬ ‫وصف‬ ‫إلي‬ ‫تحتاج‬ ‫جسم‬ ‫أي‬ ‫إتزان‬ ‫معادالت‬
.‫الجسم‬ ‫لهذا‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫رسم‬ ‫هي‬ ‫الجسم‬ ‫هذا‬ ‫علي‬ ‫المؤثره‬ ‫القوى‬ ‫لمعرفة‬ ‫طريقة‬
:‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬Free Body Diagrams
‫الضرو‬ ‫من‬ ‫الرسم‬ ‫هذا‬ ‫في‬‫الخارجي‬ ‫المحيط‬ ‫في‬ ‫المؤثره‬ ‫اإلزدواج‬ ‫وعزوم‬ ‫القوى‬ ‫كل‬ ‫توضيح‬ ‫ري‬
.‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫تطبيق‬ ‫عند‬ ‫اإلعتبار‬ ‫في‬ ‫تؤخذ‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫القوى‬ ‫هذه‬ .‫للجسم‬‫مخطط‬ ‫في‬ ‫القوى‬
‫معروفة‬ ‫قوى‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬‫أفعال‬ ‫ردود‬ ‫مثل‬ ‫القيمة‬ ‫معروفة‬ ‫غير‬ ‫وقوى‬ ‫القيمة‬
.‫الدعامات‬
‫الدعامات‬ ‫فعل‬ ‫ردود‬:Support Reactions
‫قوى‬ ‫لنظام‬ ‫المعرضة‬ ‫الجاسئة‬ ‫لألجسام‬ ‫الدعامات‬ ‫من‬ ‫مختلفة‬ ‫أنواع‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫يوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬
.‫األبعاد‬ ‫ثنائي‬

39. ‫الدعامات‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫يوضح‬ ‫ملخص‬ ‫جدول‬

40. :‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫رسم‬ ‫خطوات‬
1/‫محور‬ ‫خذ‬x‫و‬y.‫مناسب‬ ‫إتجاه‬ ‫أي‬ ‫في‬
2/‫تبين‬ ‫التي‬ ‫الخارجية‬ ‫الحدود‬ ‫أرسم‬‫الجسم‬ ‫شكل‬
3/‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫تعمل‬ ‫التي‬ ‫اإلزدواج‬ ‫وعزوم‬ ‫القوى‬ ‫جميع‬ ‫وضح‬
4/‫لـ‬ ‫بالنسبة‬ ‫إتجاهاتها‬ ‫وعين‬ ‫األحمال‬ ‫جميع‬ ‫سمي‬x‫و‬y‫الغير‬ ‫اإلزدواج‬ ‫وعزوم‬ ‫القوى‬
.‫فرضها‬ ‫يمكن‬ ‫العمل‬ ‫إتجاه‬ ‫معروفة‬ ‫لكنها‬ ‫المقدار‬ ‫معروفة‬
5/.‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫لحساب‬ ‫الضرورية‬ ‫الجسم‬ ‫أبعاد‬ ‫بين‬
( ‫مثال‬1:)-
‫أرس‬‫العارضة‬ ‫كتلة‬ .‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبينة‬ ‫المنتظمة‬ ‫للعارضة‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫م‬100 kg.
:‫:الحل‬

41. (‫مثال‬2)
‫علي‬ ‫عمودية‬ ‫قوة‬ ‫يسلط‬ ‫المشغل‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبينة‬ ‫القدم‬ ‫لرافعة‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫أرسم‬
‫الياي‬ ‫تمدد‬ ‫خذ‬ . ‫البدال‬1.5in‫عند‬ ‫القصيرة‬ ‫الوصلة‬ ‫في‬ ‫والقوة‬B‫هي‬20Ib.
:‫:الحل‬

42. :‫اإلتزان‬ ‫معادالت‬Equilibrium Equations
‫المستوى‬ ‫في‬ ‫قوى‬ ‫لنظام‬ ‫معرض‬ ‫جسم‬ ‫هنالك‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬X‫ـ‬Y‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫تحلل‬ ‫القوى‬ ‫هذه‬x
‫و‬y.‫الثنائية‬ ‫األبعاد‬ ‫في‬ ‫اإلتزان‬ ‫شروط‬ ‫ومن‬ .
∑ 𝐹𝑋 = 0
∑ 𝐹𝑌 = 0
∑ 𝑀 𝑜 = 0
∑ 𝐹𝑋 = 0
∑ 𝑀𝐴 = 0
∑ 𝑀 𝐵 = 0

43. ∑ 𝑀𝐴 = 0
∑ 𝑀 𝐵 = 0
∑ 𝑀 𝐶 = 0
:‫اإلتزان‬ ‫معادالت‬ ‫تطبيق‬ ‫خطوات‬-
1/‫للعزم‬ ‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫طبق‬= 0oM∑‫نقطة‬ ‫حول‬o.
2/‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫المؤثره‬ ‫للقوى‬ ‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫تطبيق‬ ‫عند‬
= 0XF∑‫و‬= 0YF∑
3/‫أن‬ ‫يوضح‬ ‫هذا‬ .‫إزدواج‬ ‫عزوم‬ ‫أو‬ ‫قوة‬ ‫المقدار‬ ‫سالبة‬ ‫كمية‬ ‫إلي‬ ‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫حل‬ ‫أفضى‬ ‫إذا‬
‫تم‬ ‫الذي‬ ‫اإلتجاه‬ ‫عكس‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزوم‬ ‫أو‬ ‫القوى‬ ‫لهذه‬ ‫اإلتجاه‬ ‫أن‬ ‫تعني‬ ‫السالبة‬ ‫اإلشارة‬ ‫هذه‬
.‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫في‬ ‫إفتراضه‬
( ‫مثال‬1:)-
‫ذو‬ ‫تثبيت‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫الناشئة‬ ‫العارضة‬ ‫علي‬ ‫األفعال‬ ‫لردود‬ ‫والرأسية‬ ‫األفقية‬ ‫المركبتين‬ ‫حدد‬
‫عند‬ ‫منزلق‬ ‫مفصل‬B‫عند‬ ‫منزلقة‬ ‫وبكرة‬A‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضحة‬.‫العارضة‬ ‫وزن‬ ‫تجاهل‬ ‫أدناه‬
:‫الحل‬:
‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫أرسم‬

44. ‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫إتزان‬ ‫معادلة‬X
∑ 𝐹𝑋 = 0
600 𝐶𝑜𝑠45° − 𝐵 𝑋 = 0
= 424 NXB
‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫إليجاد‬yA‫حول‬ ‫العزوم‬ ‫نأخذ‬B
∑ 𝑀 𝐵 = 0
−𝐴 𝑦 ∗ 7 − 600𝐶𝑜𝑠45° ∗ 0.2 + 600𝑆𝑖𝑛45° ∗ 5 + 100 ∗ 2 = 0
= 319 NyA
‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫إليجاد‬yB‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫مجموع‬ ‫نوجد‬Y
∑ 𝐹𝑌 = 0
319 − 600 𝑆𝑖𝑛45° − 100 − 200 + 𝐵𝑦 = 0
= 405 NyB

45. (‫محاضرة‬6)
‫الفراغ‬ ‫في‬ ‫القوى‬
Three-Dimensional Force Systems
‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫مركباتها‬ ‫إلي‬ ‫القوى‬ ‫نحلل‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ .)‫الفراغ‬ ‫(في‬ ‫اإلبعاد‬ ‫ثالثى‬ ‫القوى‬ ‫نظام‬ ‫حالة‬ ‫في‬i,
j‫و‬k.
∑ 𝐹𝑋 𝑖 + ∑ 𝐹𝑌 𝑗 + ∑ 𝐹𝑍 𝑘 = 0
‫نوجد‬ ‫أن‬ ‫نحتاج‬ ‫أعاله‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لتحقيق‬
0=XF∑,= 0YF∑,0=ZF∑
‫عند‬ ‫الحلقة‬A‫الحديدية‬ ‫السالسل‬ ‫من‬ ‫قوى‬ ‫وثالثة‬ ‫الشنكل‬ ‫من‬ ‫لقوة‬ ‫معرضة‬B,C‫و‬D‫فإذا‬ .
‫الوزن‬ ‫هو‬ ‫عليها‬ ‫والحمل‬ ‫المغنطيسية‬ ‫كانت‬W‫هي‬ ‫الشنكل‬ ‫في‬ ‫القوة‬ ً‫ا‬‫إذ‬ .W‫معادالت‬ ‫وثالثة‬
‫الحديدية‬ ‫السالسل‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫إيجاد‬ ‫بغرض‬ ‫للحلقة‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫علي‬ ‫تطبق‬ ‫إتزان‬.

46. ‫القوى‬ ‫مسائل‬ ‫حل‬ ‫خطوات‬‫الفراغ‬ ‫في‬:Procedure for Analysis
:‫اآلتية‬ ‫الخطوات‬ ‫بإتباع‬ ‫نحلها‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫لجسيم‬ ‫الثالثية‬ ‫األبعاد‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫إتزان‬ ‫مسائل‬
:‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬-
1/‫محاور‬ ‫حدد‬X,Y,Z‫مناسب‬ ‫إتجاه‬ ‫أي‬ ‫في‬
2/‫القيمة‬ ‫معروفة‬ ‫الغير‬ ‫القوى‬ ‫وأفرض‬ ‫القيمة‬ ‫المعروفة‬ ‫القوى‬ ‫سمي‬
3/‫فرضها‬ ‫يمكن‬ ‫القيمة‬ ‫معروفة‬ ‫الغير‬ ‫القوى‬ ‫إشارات‬

47. :‫اإلتزان‬ ‫معادالت‬-
1/‫كمقدار‬ ‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫إستخدام‬=0XF∑,= 0yF∑,= 0ZF∑
‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫مركباتها‬ ‫إلي‬ ‫قوة‬ ‫أي‬ ‫تحليل‬ ‫السهولة‬ ‫من‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫حالة‬ ‫في‬X,Y,Z.
2/‫األ‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫نظام‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫بمعادلة‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫معقد‬ )‫الفراغ‬ ‫(في‬ ‫الثالثية‬ ‫بعاد‬
‫نوجد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫متجه‬∑F = 0.
(‫مثال‬1:)-
‫مقداره‬ ‫حمل‬90Ib‫عند‬ ‫مثبت‬ ‫بسلك‬ ‫معلق‬ ‫الشنكل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ .‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضح‬ ‫بشنكل‬ ‫معلق‬
D‫و‬C‫عند‬ ‫وياي‬B‫كزازته‬k= 500 Ib/ft‫عند‬ ‫األفعال‬ ‫ردود‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬ .D‫و‬C‫و‬B
.‫اإلتزان‬ ‫إلحداث‬ ‫الياي‬ ‫في‬ ‫التمدد‬ ‫مقدار‬ ‫وأوجد‬

48. :‫:الحل‬
‫أعاله‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
∑ 𝐹𝑋 = 0
𝐹𝐷 𝑆𝑖𝑛 30 − 𝐹𝐶 (
4
5
) = 0 → (1)
∑ 𝐹𝑌 = 0
−𝐹𝐷 𝐶𝑜𝑠30 + 𝐹𝐵 = 0 → (2)
∑ 𝐹𝑍 = 0
𝐹𝐶 (
3
5
) − 90 = 0 → (3)
( ‫المعادلة‬ ‫من‬3)
FC = 150 Ib
( ‫في‬ ‫عوض‬1)

49. 𝐹𝐷 𝑆𝑖𝑛 30 − 150 (
4
5
) = 0
240 Ib=DF
( ‫في‬ ‫عوض‬2)
−240 𝐶𝑜𝑠 30 + 𝐹𝐵 = 0
‫الياي‬ ‫التمدد‬ ‫مقدار‬
AB= k XBF
ABX*500=207.85
0.4157 ft=ABX
(‫مثال‬2:)-
‫كتلته‬ ‫صندوق‬ ‫لرفع‬ ‫مستخدم‬ ‫حبل‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫الشد‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬100kg.‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫مبين‬

50. :‫:الحل‬
𝐹𝐵 = 𝐹𝐵 𝑖
𝐹𝐶 = 𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 120 𝑖 + 𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 135 𝑗 + 𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠60𝑘
D(-1,2,2)A(0,0,0)
‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬DF‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫هو‬A‫و‬D.
𝐹𝐷 =
𝑑 𝑋
𝑑
𝐹𝐷 𝑖 +
𝑑 𝑌
𝑑
𝐹𝐷 𝑗 +
𝑑 𝑍
𝑑
𝐹𝐷 𝑘
dX = -1-0= -1 , dY = 2-0=2 , dZ =2-0 =2
𝑑 = √ 𝑑 𝑋
2
+ 𝑑 𝑌
2
+ 𝑑 𝑍
22
𝑑 = √(−1)2 + 22 + 222
= 3
𝐹𝐷 = −0.333 𝐹𝐷 𝑖 + 0.667 𝐹𝐷 𝑗 + 0.667𝐹𝐷 𝑘
W= -100 * 9.81 k = -981k
‫اإلتزان‬ ‫لحدوث‬
k = 0zj+ ∑FYi+ ∑FXF∑
= 0XF∑

51. 𝐹𝐵 + 𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 120 − 0.333𝐹𝐷 = 0 → (1)
∑FY =0
𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 135 + 0.667𝐹𝐷 = 0 → (2)
∑FZ = 0
𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 60 + 0.667 𝐹𝐷 − 981 = 0 → (3)
FC = 810.7N , FD = 859.34N , FB = 691.5N
(‫مثال‬3)
‫الدعامة‬ ‫السلك‬ ‫في‬ ‫الشد‬AB‫هو‬10KN‫حدد‬ .‫متجه‬ ‫معادلة‬ ‫صورة‬ ‫في‬ ‫هذه‬ ‫الشد‬ ‫قوة‬ ‫أكتب‬ .
‫الزوايا‬Xϴ,Yϴ,Zϴ‫الشد‬ ‫يصنعها‬ ‫التي‬T‫محور‬ ‫مع‬X,Y,Z.
:‫:الحل‬

52. ‫مخطط‬ ‫من‬‫أعاله‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬
‫هو‬ ‫الشد‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬
10 KNT =
‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫في‬ ‫الشد‬ ‫لقوة‬ ‫المتجه‬ ‫معادلة‬
𝑇 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑋 𝑖 + 𝑇 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑌 𝑗 + 𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑍 𝑘 = 0
𝑇 (
𝑑 𝑋
𝑑
𝑖 +
𝑑 𝑌
𝑑
𝑗 +
𝑑 𝑍
𝑑
𝑘) = 0
A(4,0,5) B(0,7.5,0)
dX = 4-0= 4 , dY = 0-7.5= -7.5 , dZ = 5-0= 5
𝑑 = √42 + (−7.5)2 + 522
= 9.861
‫هي‬ ‫الشد‬ ‫لقوة‬ ‫المتجه‬ ‫معادلة‬
10 (
4
9.861
𝑖 −
7.5
9.861
𝑗 +
5
9.861
𝑘) = 0
‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫الشد‬ ‫قوة‬ ‫تصنعها‬ ‫التي‬ ‫الزوايا‬
𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑋 =
𝑑 𝑋
𝑑
∴ 𝜃 𝑋 = 𝐶𝑜𝑠−1
4
9.861
= 66.07°
𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑌 =
𝑑 𝑌
𝑑
∴ 𝜃 𝑌 = 𝐶𝑜𝑠−1
7.5
9.861
= 40.5°
𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑍 =
𝑑 𝑍
𝑑
∴ 𝜃 𝑍 = 𝐶𝑜𝑠−1
5
9.861
= 59.5°

53. (‫محاضرة‬7)
‫الفراغ‬ ‫في‬ ‫العزوم‬
Three-Dimensional Moment of Force
‫القوة‬ ‫عزم‬F‫النقطة‬ ‫حول‬O‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫أو‬O‫علي‬ ً‫ا‬‫عمودي‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫ويكون‬
‫النقطة‬ ‫عليه‬ ‫الذي‬ ‫المستوى‬O‫والقوة‬F.‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ .
𝑀 𝑂 = 𝑟 × 𝐹
r≡‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫علي‬ ‫تقع‬ ‫نقطة‬ ‫ألي‬ ‫الموضع‬ ‫متجه‬F
F≡‫القوة‬ ‫متجه‬
:‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫متجه‬ ‫مقدار‬-Magnitude of Force Moment Vector
‫المتجهين‬ ‫ضرب‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫العزم‬ ‫متجه‬ ‫مقدار‬
ϴ= Fd = F rsinOM

54. ‫متساوي‬ ‫عزم‬ ‫عنها‬ ‫سينتج‬ ‫أنها‬ ‫نجد‬ .‫عملها‬ ‫خط‬ ‫طول‬ ‫علي‬ ‫نقطة‬ ‫أي‬ ‫عند‬ ‫تسلط‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫القوة‬
‫النقطة‬ ‫حول‬O.‫القوة‬ ‫إنتقالية‬ ‫بمبدأ‬ ‫تعرف‬ ‫الخاصية‬ ‫هذه‬ .
𝑀 𝑂 = 𝑟1 × 𝐹 = 𝑟2 × 𝐹 = 𝑟3 × 𝐹
𝑀 𝑂 = 𝑟 × 𝐹 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
z,ry,rxr≡‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫المركبات‬x,y,z‫الموضع‬ ‫لمتجه‬
z,Fy,FxF≡‫القوة‬ ‫مركبات‬F‫إتجاه‬ ‫في‬x,y,z.
𝑀 𝑂 = (𝑟𝑦 𝐹𝑧 − 𝑟𝑧 𝐹𝑦)𝑖 − ( 𝑟𝑥 𝐹𝑧 − 𝑟𝑧 𝐹𝑥) 𝑗 + (𝑟𝑥 𝐹𝑦 − 𝑟𝑦 𝐹𝑥)𝑘
‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫العزم‬ ‫مركبة‬ ً‫ال‬‫مث‬ ‫المعادلة‬ ‫لهذه‬ ‫التفسير‬i‫القوى‬ ‫عزم‬ ‫من‬ ‫نحددها‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬xF,yF,zF
‫محور‬ ‫حول‬x‫القوة‬ .xF‫محور‬ ‫حول‬ ‫عزم‬ ‫لها‬ ‫ليس‬x.

55. :‫الفراغ‬ ‫في‬ ‫العزم‬ ‫محصلة‬-Resultant Moment of a System of Forces
𝑀 𝑅𝑜 = ∑(𝑟 × 𝐹)

56. (‫مثال‬1:)-
‫القوة‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫العزم‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬F‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬O‫إيجابتك‬ ‫عن‬ ‫عبر‬ .‫كمعادلة‬
.‫متجه‬
:‫:الحل‬
‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫عملها‬ ‫خط‬ ‫التي‬ ‫القوة‬ ‫متجه‬ ‫معادلة‬ ‫نوجد‬ ً‫ال‬‫أو‬A,B
A(0,0,12) B(4,12,0)

57. 12m-12 =-= 0z0 = 12m , d-= 12y0= 4m , d-= 4xd
𝑑 = √(4)2 + 122 + (−12)2
d= 17.436m
𝐹 = 𝐹(
𝑑 𝑥
𝑑
𝑖 +
𝑑 𝑦
𝑑
𝑗 +
𝑑 𝑧
𝑑
𝑘)
𝐹 = 2(
4
17.436
𝑖 +
12
17.436
𝑗 −
12
17.436
𝑘)
𝐹 = 0.4588 𝑖 + 1.3765 𝑗 − 1.3765 𝑘
= {4i +12j}mB= {12k}m rAr
𝑀 𝑂 = 𝑟𝐴 × 𝐹 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
=
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 12
0.4588 1.3765 −1.3765
12*0.4588]j +-1.3765)-[0*(–12*1.3765]i-1.3765))-= [(0*(oM
[0*1.3765 – 0*0.4588]k
16.518i + 5.51j } kN.m-= {oM
(‫مثال‬2:)-
‫عند‬ ‫الفلنشة‬ ‫حول‬ ‫الناتج‬ ‫العزم‬ ‫محصلة‬ ‫حدد‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضح‬ ‫ذراع‬ ‫علي‬ ‫تعمالن‬ ‫قوتين‬O.
.‫متجه‬ ‫كمعادلة‬ ‫إيجابتك‬ ‫عن‬ ‫عبر‬

58. :‫:الحل‬
60i + 40j +20k} Ib-= {1F
30k} Ib-= {80i + 40j2F
‫أعاله‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
= {5j} ftAr
2k}ft-= {4i +5jBr
𝑀 𝑅𝑜 = ∑(𝑟 × 𝐹) = 𝑟𝐴 × 𝐹1 + 𝑟𝐵 × 𝐹2
𝑀 𝑂 =
𝑖 𝑗 𝑘
0 5 0
−60 40 20
+
𝑖 𝑗 𝑘
4 5 −2
80 40 −30
MRo= [5*20-0*40]i – [0*20-0*(-60)]j + [0*40-5*(-60)]k + [ 5*(-30)-
(2*(-40))]i –[4*(-30) – (-2*80)]j + [ 4*40 -5*80]k
MRo= 100i -0j +300k-230i +40j-240k
MRo= {-130i +40j +60k} Ib.ft

59. (‫مثال‬3:)-
‫قوة‬F‫النقطة‬ ‫حول‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫حدد‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضحة‬ ‫مثلثية‬ ‫دعامة‬ ‫نهاية‬ ‫علي‬ ‫تعمل‬O.
:‫:الحل‬
‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
‫القوة‬ ‫متجه‬ ‫معادلة‬ ‫نوجد‬ ً‫ال‬‫أو‬
j}No
400Cos30–io
F = {400Sin30
‫الموضع‬ ‫متجه‬
r= {0.4i – 0.2j}m

60. 𝑀 𝑂 = 𝑟 × 𝐹 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
=
𝑖 𝑗 𝑘
0.4 −0.2 0
200 −346.4 0
0.2*200)]k-(-346.4)-0j +[0.4*(–= 0ioM
98.6k} N.m-= {oM
‫العزم‬ ‫متجه‬ ‫معادلة‬ ‫هي‬ ‫أعاله‬ ‫المعادلة‬
‫هو‬ ‫العزم‬ ‫مقدار‬
98.6N.m-=oM

61. (‫محاضرة‬8)
‫األحتكاك‬
Friction
‫تلك‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫مسافة‬ ‫تقطع‬ ‫فإنها‬ ‫أملس‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫تتدحرج‬ ‫الزجاج‬ ‫من‬ ‫صغيرة‬ ‫كرة‬ ‫تركنا‬ ‫فإذا‬
‫نضطر‬ ‫بينما‬ ، ‫أملس‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫جسم‬ ّ‫جر‬ ‫سهولة‬ ‫ندرك‬ ‫خشن.كذلك‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫تقطعها‬ ‫التي‬
‫أن‬ ‫اإلنسان‬ ‫استطاع‬ ‫لما‬ ‫االحتكاك‬ ‫قوى‬ ‫خشن.ولوال‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫ه‬ ّ‫جر‬ ‫في‬ ‫أكبر‬ ‫مجهود‬ ‫لبذل‬
‫أثن‬ ‫بتوازنه‬ ‫يحتفظ‬‫حول‬ ‫تدور‬ ‫ولظلت‬ ، ‫األمام‬ ‫إلى‬ ‫السيارات‬ ‫إطارات‬ ‫تحركت‬ ‫ولما‬ ، ‫السير‬ ‫اء‬
‫،وهي‬ ‫بقوة‬ ‫الوراء‬ ‫إلى‬ ‫األرض‬ ‫دفع‬ ‫تحاول‬ ‫فإنك‬ ‫تسير‬ ‫موضعها.وعندما‬ ‫من‬ ‫تنتقل‬ ‫أن‬ ‫دون‬ ‫نفسها‬
‫انعدام‬ ‫السير.وعند‬ ‫تستطيع‬ ‫ولذلك‬ ، ‫األمام‬ ‫نحو‬ ‫فتدفعك‬ ‫قدميك‬ ‫على‬ ‫فعل‬ ‫برد‬ ‫تقوم‬ ‫بالمقابل‬
‫االحتكاك‬–‫عل‬ ‫أرض‬ ً‫ال‬‫مث‬‫الصابون‬ ‫سائل‬ ‫يها‬–‫حركة‬ ‫تشبيه‬ ‫نتحرك.ويمكننا‬ ‫أن‬ ‫نستطيع‬ ‫ال‬ ‫فإننا‬
‫أو‬ ‫البرميل‬ ‫تدوير‬ ‫يستطيع‬ ‫حيث‬ ‫أوكرة‬ ‫برميل‬ ‫على‬ ‫السيرك‬ ‫رجل‬ ‫بحركة‬ ‫األرض‬ ‫على‬ ‫اإلنسان‬
.‫عليهما‬ ‫والسير‬ ‫بقدميه‬ ‫الكرة‬

62. ‫ه‬: ‫وهما‬ ‫االحتكاك‬ ‫من‬ ‫نوعان‬ ‫ناك‬
1–: ‫الجاف‬ ‫االحتكاك‬
‫سطوح‬ ‫بين‬ ‫ينشأ‬ ‫الذي‬ ‫وهو‬. ‫المتالمسة‬ ‫الصلبة‬ ‫األجسام‬
2–: ‫الرطب‬ ‫االحتكاك‬
. ‫جريانها‬ ‫عند‬ ‫والغازات‬ ‫السوائل‬ ‫طبقات‬ ‫بين‬ ‫ينشأ‬ ‫الذي‬ ‫وهو‬
.‫اآلخر‬ ‫علي‬ ‫أحدهما‬ ‫يتحرك‬ ‫متالمسين‬ ‫سطحين‬ ‫حركة‬ ‫تعيق‬ ‫قوة‬ ‫هو‬ ‫األحتكاك‬
‫السطحي‬ ‫بين‬ ‫التالمس‬ ‫نقاط‬ ‫عند‬ ‫األحتكاك‬ ‫لسطح‬ ‫مماس‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫تكون‬ )‫األحتكاك‬ ‫(قوة‬ ‫القوة‬ ‫هذه‬‫عكس‬ ‫وأتجاهها‬ ‫ن‬
.‫الحركة‬ ‫إتجاه‬
‫األحتكاك‬ ‫عنه‬ ‫وينتج‬ ‫ألتصاقهما‬ ‫يسبب‬ ‫بعضهما‬ ‫علي‬ ‫المتحركين‬ ‫السطحين‬ ‫نتؤات‬ ‫بين‬ ‫التالمس‬
:‫علي‬ ‫يعتمد‬ ‫األحتكاك‬ ‫مقدار‬-
1/‫السطح‬ ‫خشونة‬

63. 2/‫آخر‬ ‫علي‬ ‫سطح‬ ‫أي‬ ‫تدفع‬ ‫التي‬ ‫القوة‬ ‫مقدار‬
:‫الجاف‬ ‫األحتكاك‬ ‫نظرية‬-
‫فهمها‬ ‫يمكن‬ ‫الجاف‬ ‫األحتكاك‬ ‫نظرية‬.‫لميزان‬ ‫األفقية‬ ‫السحب‬ ‫كتل‬ ‫تسببه‬ ‫الذي‬ ‫األثر‬ ‫بتوضيح‬
‫التي‬ ‫األحتكاك‬ ‫قوي‬ ‫بسبب‬ ‫إتزان‬ ‫في‬ ‫الوزن‬ ‫ذراع‬ ‫تحمل‬ ‫الصغيرة‬ ‫البكرة‬ ‫أن‬ ‫بحيث‬ ‫مصمم‬ ‫الجهاز‬
‫النقاط‬ ‫عند‬ ‫تتولد‬A,B,C.
‫في‬ ‫موضحة‬ ‫األحتكاك‬ ‫قوة‬ ‫ومحصلة‬ ‫المتحرك‬ ‫السطح‬ ‫علي‬ ‫الثابت‬ ‫السطح‬ ‫من‬ ‫الطبيعي‬ ‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫محصلة‬ ‫أثر‬
‫بـ‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬N‫و‬F.‫سطح‬ ‫علي‬ ‫منزلقه‬ ‫لكتلة‬ ‫أدناه‬

64. :‫الحركي‬ ‫لألحتكاك‬ ‫أمثلة‬
:‫التدحرجي‬ ‫األحتكاك‬-‫السطح‬ ‫خالل‬ ‫الجسم‬ ‫يدفع‬
:‫األنزالقي‬ ‫األحتكاك‬-‫والسطح‬ ‫العجلة‬ ‫بين‬
‫األ‬:‫المائعي‬ ‫حتكاك‬-‫مائع‬ ‫خالل‬ ‫ينتقل‬ ‫جسم‬ ‫حركة‬ ‫يعيق‬

65. ‫الحركة‬ ‫لبدء‬ ‫الزمة‬ ‫قوة‬ ‫أصغر‬ ‫يساوي‬ ‫الضاغطة‬ ‫القوة‬ ‫في‬ ‫اإلستاتيكي‬ ‫اإلحتكاك‬ ‫معامل‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫أما‬.

66. ( ‫مثال‬1)
‫كتلته‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبين‬ ‫الصندوق‬20kg.‫إتزان‬ ‫في‬ ‫الصندوق‬ ‫يبقي‬ ‫كيف‬ ‫حدد‬ .
‫الحل‬
‫للصندوق‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫نرسم‬

67. (‫مثال‬2)
‫بزاوية‬ ‫القالب‬ ‫أرضية‬ ‫ترتفع‬ ‫عندما‬ ‫موضح‬ ‫كما‬ϴ=25‫الغازية‬ ‫المشروبات‬ ‫بيع‬ ‫ماكينة‬ ‫تبدأ‬
.‫األرضية‬ ‫علي‬ ‫باألنزالق‬‫سطح‬ ‫بين‬ ‫األستاتيكي‬ ‫األحتكاك‬ ‫معامل‬ ‫حدد‬.‫القالب‬ ‫وأرضية‬ ‫الماكينة‬
‫الحل‬

69. (‫محاضرة‬9)
‫اإل‬‫الثالثية‬ ‫األبعاد‬ ‫في‬ ‫تزان‬
Equilibrium in Three Dimensions
‫وغير‬ ‫معروفة‬ ‫لقوى‬ ‫معرض‬ ‫يكون‬ ‫إتزان‬ ‫وضع‬ ‫في‬ ‫الذي‬ ‫الجاسئ‬ ‫الجسم‬ ‫أن‬ ‫الذكر‬ ‫أسلفنا‬ ‫كما‬
‫القوى‬ ‫وأن‬ .‫معروفة‬.‫الدعامات‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫هي‬ ‫الغالب‬ ‫في‬ ‫تكون‬ ‫معروفة‬ ‫الغير‬
.‫األبعاد‬ ‫ثالثية‬ ‫لقوى‬ ‫المعرض‬ ‫الجاسئ‬ ‫للجسم‬ ‫الدعامات‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫يبين‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬

71. ‫اإلتزان‬ ‫معادالت‬Equations of Equilibrium
‫كاآلتي‬ ‫متجه‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫رياضي‬ ‫عنهما‬ ‫يعبر‬ ‫ربما‬ ‫الجاسئ‬ ‫الجسم‬ ‫إلتزان‬ ‫شرطين‬
∑F = 0
= 0oM∑
∑F≡‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫العاملة‬ ‫الخارجية‬ ‫القوى‬ ‫كل‬ ‫متجه‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬
oM∑≡‫محور‬ ‫حول‬ ‫القوى‬ ‫وعزوم‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزوم‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬O‫الجسم‬ ‫خارج‬ ‫أو‬ ‫علي‬
:‫اإلتزان‬ ‫متجه‬ ‫معادالت‬-
∑ 𝐹 = ∑ 𝐹𝑋 𝑖 + ∑ 𝐹𝑌 𝑗 + ∑ 𝐹𝑍 𝑘 = 0
∑ 𝑀 = ∑ 𝑀 𝑋 𝑖 + ∑ 𝑀 𝑌 𝑗 + ∑ 𝑀 𝑍 𝑘 = 0
= 0X= 0 ∑MXF∑
= 0YM∑= 0YF∑
= 0Z= 0 ∑MZF∑
(‫مثال‬1:)-Example (1)
‫كتلته‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضح‬ ‫منتظم‬ ‫لوح‬100kg‫إذا‬ .‫حوافه‬ ‫علي‬ ‫إزدواج‬ ‫وعزم‬ ‫لقوة‬ ‫معرض‬
‫عند‬ ‫بروله‬ ‫أفقي‬ ‫مستوى‬ ‫في‬ ‫مثبت‬ ‫كان‬A‫عند‬ ‫وكرة‬ ‫صحن‬ ‫ودعامة‬B‫عند‬ ‫وسلك‬C‫حدد‬ .
.‫النقاط‬ ‫هذه‬ ‫عند‬ ‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫مركبات‬

72. :‫:الحل‬
‫أعاله‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
= 0XF∑
= 0XB
= 0YF∑
= 0YB
∑FZ = 0
𝐴 𝑍 + 𝐵 𝑍 + 𝑇𝐶 − 300 − 981 = 0 → (1)
∑MX = 0
𝑇𝐶 ∗ 2 − 981 ∗ 1 + 𝐵 𝑍 ∗ 2 = 0 → (2)
∑MY = 0

73. 300 ∗ 1.5 + 981 ∗ 1.5 − 200 − 𝐵 𝑍 ∗ 3 − 𝐴 𝑍 ∗ 3 = 0 → (3)
( ‫المعادلة‬ ‫من‬1( ‫و‬ )2( ‫و‬ )3)
= 791 NZA
217.17 N-=zB
= 707.67 NCT
(‫مثال‬2:)-Example (2)
‫عند‬ ‫والصحن‬ ‫الكرة‬ ‫لدعامة‬ ‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫مركبات‬ ‫حدد‬A‫عند‬ ‫كريات‬ ‫ذو‬ ‫عمود‬ ‫محمل‬ ‫ودعامة‬B
‫عند‬ ‫اإلنزالقية‬ ‫والدعامة‬C‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الذراع‬ ‫علي‬ ‫المسلطة‬
:‫:الحل‬
∑FX = 0
𝐴 𝑋 + 𝐵 𝑋 = 0 → (1)
= 0YF∑

74. = 0YA
= 0ZF∑
𝐴 𝑍 − 900 + 𝐵 𝑍 + 𝐹𝐶 = 0 → (2)
= 0YM∑
−900 ∗ 0.4 + 𝐹𝐶 ∗ 0.6 = 0 → (3)
= 600NCF
= 0XM∑
−900 ∗ 0.4 + 𝐵 𝑍 ∗ 0.8 + 𝐹𝐶 ∗ 1.2 = 0 → (4)
450N-=ZB
( ‫المعادلة‬ ‫من‬2)
= 750NZA
∑MZ = 0
−𝐵 𝑋 ∗ 0.8 = 0 → (5)
= 0XB-
‫من‬(‫المعادلة‬1)
+ 0 = 0XA
= 0XA

75. ‫محاضر‬(10)
‫الجملونات‬ ‫تحليل‬

87. ‫محاضرة‬(11)
‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
Moment of Inertia for Area
‫شكل‬ ‫علي‬ ‫تكون‬ ‫مقطعها‬ ‫مساحة‬ ‫شكل‬ ‫واألعمدة‬ ‫العارضات‬ ‫مثل‬ ‫األنشائية‬ ‫األجزاء‬ ‫من‬ ‫عدد‬I,L,C.....
. ‫المصمته‬ ‫والدائرية‬ ‫المربعة‬ ‫المقاطع‬ ‫أستخدام‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫األنابيب‬ ‫من‬ ‫يصنع‬ ‫بعضها‬‫دائما‬ ‫النستخدم‬ ‫لماذا‬
‫مصمته‬ ‫ودائرية‬ ‫مستطيلة‬ , ‫مربعة‬ ‫مقطع‬ ‫مساحة‬‫س‬ً‫ا‬‫الحق‬ ‫األجابة‬ ‫تتم‬
‫نفس‬ ‫ولها‬ ‫واحدة‬ ‫مادة‬ ‫من‬ ‫مصنوعة‬ ‫أنها‬ ‫وأفترض‬ ‫المساحات‬ ‫متساوية‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫مختلفة‬ ‫مقاطع‬ ‫ثالث‬ ‫خذ‬
‫طول‬ ‫وحدة‬ ‫لكل‬ ‫الكتلة‬
‫عمودية‬ ‫قوة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬F.‫ولماذا‬ ‫أنحراف‬ ‫وأقل‬ ‫داخلية‬ ‫أجهادات‬ ‫أقل‬ ‫به‬ ‫ستحدث‬ ‫الذي‬ ‫المقطع‬ ‫ماهو‬
‫محور‬ ‫حول‬ ‫للعارضة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫تسمي‬ ‫خاصية‬ ‫علي‬ ‫يعتمد‬ ‫الجواب‬X.
‫المقطع‬ ‫أن‬ ‫الواضح‬ ‫ومن‬A‫عن‬ ً‫ا‬‫بعد‬ ‫األكثر‬ ‫مساحته‬ ‫ألن‬ ‫للمساحة‬ ‫ذاتي‬ ‫قصور‬ ‫عزم‬ ‫أعلي‬ ‫لديه‬
‫محور‬X‫المقطع‬ ‫يكون‬ ‫لذلك‬A‫أنحراف‬ ‫وأقل‬ ‫أجهاد‬ ‫أقل‬

88. σ =
𝑀. 𝑌
I
σ≡‫األجهاد‬
M≡‫األنحناء‬ ‫عزم‬
Y≡‫أتجاه‬ ‫في‬ ‫األنحراف‬ ‫مسافة‬Y
I≡‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
.‫األنحراف‬ ‫وقل‬ ‫األجهاد‬ ‫قل‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫زاد‬ ‫أذا‬ ‫أنه‬ ‫نالحظ‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬
:‫للمساحة‬ ‫المتوازية‬ ‫المحاور‬ ‫نظرية‬Parallel Axis Theorem for an Area
‫ا‬ ‫نظرية‬‫موازي‬ ‫محور‬ ‫أي‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫إليجاد‬ ‫تستخدم‬ ‫المتوازية‬ ‫لمحاور‬
‫المساحة‬ ‫هذه‬ ‫مركز‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ ‫لمحور‬.
‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أن‬ ‫نجد‬ ‫أعاله‬ ‫الشكل‬ ‫من‬dA( ‫محور‬ ‫حول‬X‫عنه‬ ‫يعبر‬ )
𝑑𝐼 𝑋 = (𝑦 + 𝑑𝑦́ )
2
. 𝑑𝐴

89. ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫يمثل‬ ‫أعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫األول‬ ‫التكامل‬( ‫المركز‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬X́,)X́I.
( ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬x)
( ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬y)
‫للمساحة‬ ‫الزاوي‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫تعطي‬ ‫أعاله‬ ‫الثالثة‬ ‫المعادالت‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬
‫عزم‬ ‫يساوي‬ ‫حيث‬ً‫ا‬‫زائد‬ ‫المساحة‬ ‫مركز‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ ‫موازي‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬
‫المحورين‬ ‫بين‬ ‫العمودية‬ ‫المسافة‬ ‫مربع‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫مضروب‬ ‫المساحة‬.
( ‫مثال‬1):-
‫حول‬ ‫أدناه‬ ‫المبين‬ ‫للمستطيل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬
( ‫بالمركز‬ ‫يمر‬ ‫محور‬ )‫(أ‬x́)
‫محور‬ )‫(ب‬xb‫للسطح‬ ‫مالمس‬ ‫يمر‬

90. ‫محور‬ )‫(ج‬ź‫عمودي‬‫المستوى‬ ‫علي‬x́ – ý( ‫المركز‬ ‫خالل‬ ‫ويمر‬C)
:‫:الحل‬
𝐼̅ 𝑋́ = ∫ 𝑦́2
. 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦́. (𝑏 ∗ 𝑑𝑦́)
ℎ
2
−
ℎ
2𝐴
𝐼̅ 𝑋́ = 𝑏 ∫ 𝑦́2
. 𝑑𝑦́
ℎ
2
−
ℎ
2
𝐼̅𝑋 ́ = 𝑏 [
𝑦́3
3
]
−
ℎ
2
ℎ
2
𝐼̅𝑋 ́ =
𝑏ℎ3
12
‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمستطيل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬(Xb)
𝐼 𝑋𝑏 = 𝐼̅𝑋 ́ + 𝐴. 𝑑2
𝑦
𝐼̅𝑋 ́ =
𝑏ℎ3
12
+ 𝑏 ∗ ℎ ∗ (
ℎ
2
)
2

91. 𝐼 𝑋𝑏 =
𝑏ℎ3
3
‫محور‬ ‫حول‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ź‫المستوى‬ ‫علي‬ ‫عمودي‬X́-Ý‫المركز‬ ‫خالل‬ ‫ويمر‬C‫(عزم‬
.‫للمساحة‬ )‫(الزاوي‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬
𝐽̅𝐶 = 𝐼̅𝑋 ́ + 𝐼̅𝑦 ́
𝐽̅𝐶 =
𝑏ℎ3
12
+
ℎ𝑏3
12

92. ( ‫مثال‬2):-
( ‫محور‬ ‫حول‬ ‫المظللة‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫حدد‬x)
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. 𝑑𝐴
𝐴
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. (100 − 𝑋). 𝑑𝑦
200
0
𝑋 =
𝑦2
400
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. (100 −
𝑦2
400
) . 𝑑𝑦
200
0
𝐼 𝑋 = [
100 ∗ 𝑦3
3
−
𝑦5
5 ∗ 400
]
0
200
𝐼 𝑋 = 106.7 ∗ 106
𝑚𝑚4

93. ( ‫مثال‬3):
‫محور‬ ‫حول‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬x‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الدائرية‬ ‫للمساحة‬.
:‫:الحل‬
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. 𝑑𝐴
𝐴
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. (2𝑋 ∗ 𝑑𝑦)
𝐴
𝑋 = √ 𝑎2 − 𝑦2
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. (2√ 𝑎2 − 𝑦2) . 𝑑𝑦
𝑎
−𝑎
𝐼 𝑋 =
𝜋𝑎4
4

95. :‫المركبة‬ ‫للمساحات‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬-Moments of Inertia for Composite
Areas
.‫ودوائر‬ ‫مثلثات‬ ,‫مستطيالت‬ ‫مثل‬ ‫األشكال‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫تتكون‬ ‫المركبة‬ ‫المساحات‬‫عزم‬
‫عزم‬ .‫محور‬ ‫حول‬ ‫يحدد‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫أو‬ ‫معروف‬ ‫يكون‬ ‫األشكال‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫شكل‬ ‫لكل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬
‫يساوي‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫األشكال‬ ‫هذه‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫المكونة‬ ‫المركبة‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬
.‫األشكال‬ ‫لكل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫لعزم‬ ‫الجبري‬ ‫المجموع‬
( ‫مثال‬4):
‫الشكل‬ ‫مقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬‫محور‬ ‫حول‬ ‫أدناه‬x‫و‬y‫بالمركز‬ ‫تمر‬ ‫التي‬.
:‫:الحل‬
‫المستطيل‬A‫و‬D

96. 𝐼 𝑋 = 𝐼̅𝑋 ́ + 𝐴. 𝑑2
𝑦
𝐼 𝑋 =
𝑏ℎ3
12
+ (𝑏 ∗ ℎ). 𝑑2
𝑦
𝐼 𝑋 =
100 ∗ 3003
12
+ (100 ∗ 300). (200)2
𝐼 𝑋 = 1.425 ∗ 109
𝑚𝑚4
‫المستطيل‬B
𝐼 𝑋 =
𝑏ℎ3
12
𝐼 𝑋 =
600 ∗ 1003
12
𝐼 𝑋 = 0.05 ∗ 109
𝑚𝑚4
‫المقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
𝐼 𝑋 = 2 ∗ 1.425 ∗ 109
+ 0.05 ∗ 109
𝐼 𝑋 = 2.9 ∗ 109
𝑚𝑚4

97. ‫مثال‬
‫العارضة‬ ‫مقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬T‫حول‬
‫محور‬X́‫المقطع‬ ‫بمركز‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬
‫الحل‬
1
2

98. 𝑌̅ =
∑ 𝑌̅ 𝐴
𝐴
𝑌̅ =
15 ∗ 30 ∗ 150 + 150 ∗ 30 ∗ 105
2 ∗ 30 ∗ 150
Y̅ = 60mm
𝐼 𝑋̅ = 𝐼̅𝑋 ́ + 𝐴. 𝑑2
𝑦
𝐼 𝑋̅ =
150 ∗ 303
12
+ 30 ∗ 150 ∗ (60 − 15)2
𝐼 𝑋̅ = 9.45 ∗ 106
𝑚𝑚4
𝐼 𝑋̅ =
30 ∗ 1503
12
+ 30 ∗ 150 ∗ (105 − 60)2
𝐼 𝑋̅ = 17.55 ∗ 106
𝑚𝑚4
‫المقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الكلي‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
𝐼 𝑋̅ = 9.45 ∗ 106
+ 17.55 ∗ 106
= 27 ∗ 106
𝑚𝑚4