الهندسة الميكانيكية هي علم يدرس حالة الأجسام في السكون أو الحركة تحت تأثير القوى، وتتكون من عدة أقسام رئيسية منها الميكانيكا الصلبة والمرنة والموائع. تتضمن دراسة الميكانيكا الإحصائية والديناميكية، حيث يتعامل الإحصائي مع الأجسام المتوازنة والديناميكي مع الأجسام المتحركة. كما أن قوانين نيوتن للحركة تشكل الأساس لفهم القوى وتأثيراتها على الأجسام.

1. ‫الرحيم‬ ‫الرحمن‬ ‫هللا‬ ‫بسم‬
‫البدري‬ ‫عبدهللا‬ ‫الشيخ‬ ‫جامعة‬
‫الهندسة‬ ‫كلية‬
‫مذكرة‬:
‫إبراهيم‬ ‫حسن‬ ‫عبدالقادر‬ ‫محمد‬ :‫محاضر‬

2. (‫محاضرة‬1)
‫مقدمة‬
Introduction
‫الهندسة‬ ‫ميكانيكا‬Engineering Mechanics
.‫خارجية‬ ‫لقوي‬ ‫معرضة‬ ‫تكون‬ ‫عندما‬ ‫حركة‬ ‫أو‬ ‫سكون‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫التي‬ ‫باألجسام‬ ‫يهتم‬ ‫العلوم‬ ‫من‬ ‫قسم‬ ‫هي‬
Engineering Mechanics : may be defined as a science which describes and
predicts the condition of rest or motion of bodies under the action of forces.
‫الميكانيكا‬ ‫علم‬ ‫ندرس‬ ‫لماذا‬
‫األنشائي‬ ‫والتحليل‬ ‫بالتصميم‬ ‫المتعلقة‬ ‫الالحقة‬ ‫الدراسات‬ ‫من‬ ‫للعديد‬ ‫األساس‬ ‫العلم‬ ‫يعتبر‬ ‫ألنه‬
Why we study mechanics?
This science form the groundwork for further study in the design and analysis
of structures
‫ثالثة‬ ‫إلي‬ ‫الميكانيكا‬ ‫تقسيم‬ ‫يمكن‬ ‫عامة‬ ‫بصورة‬‫أقسام‬‫رئيسية‬
1/‫الصلبة‬ ‫االجسام‬ ‫ميكانيكا‬
2/‫المرنه‬ ‫االجسام‬ ‫ميكانيكا‬
3/‫الموائع‬ ‫ميكانيكا‬

3. ‫الصلبة‬ ‫األجسام‬ ‫ميانيكا‬ ‫علم‬ ‫علي‬ ‫سنركز‬ ‫المقرر‬ ‫هذا‬ ‫في‬.‫قبل‬ ً‫ال‬‫أو‬ ‫معرفته‬ ‫ويجب‬ ‫أساسي‬ ‫علم‬ ‫وهو‬‫دراسة‬
‫الموائع‬ ‫وميكانيكا‬ ‫المرنه‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬.
:‫الصلبة‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬-(Rigid Bodies Mechanics)
‫الهندسية‬ ‫المعدات‬ ‫من‬ ‫العديد‬ ‫وتحليل‬ ‫لتصميم‬ ‫ضرورية‬ ‫هي‬, ‫الميكانيكية‬ ‫المكونات‬ , ‫االنشائية‬ ‫(االجزاء‬ ‫مثل‬
‫الكهربائية‬ ‫األجهزة‬
: ‫الصلبة‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬ ‫أقسام‬-
‫نوعين‬ ‫إلي‬ ‫الصلبة‬ ‫األجسام‬ ‫ميكانيكا‬ ‫تنقسم‬
1/‫األستاتيكا‬Statics
2/‫الديناميكا‬Dynamics
:‫اإلستاتيكا‬-Statics
‫منتظمة‬ ‫بسرعة‬ ‫حركة‬ ‫أو‬ ‫سكون‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫التي‬ ‫المتزنه‬ ‫األجسام‬ ‫تعالج‬
: ‫الديناميكا‬-Dynamics
‫الديناميكا‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬ ‫اإلستاتيكا‬ ‫أن‬ ‫نعتبر‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ .‫تباطؤ‬ ‫أو‬ ‫بتسارع‬ ‫المتحركة‬ ‫باألجسام‬ ‫يهتم‬ ‫علم‬
‫صفر‬ ‫هو‬ ‫تسارعها‬ ‫التي‬.

4. ‫للميكانيكا‬ ‫التاريخي‬ ‫التطور‬Historical Development
‫من‬ ً‫ا‬‫أنطالق‬ ‫سهولة‬ ‫بكل‬ ‫رياضية‬ ‫صيغ‬ ‫ألي‬ ‫تحويله‬ ‫يمكن‬ ‫مبدأها‬ ‫أن‬ ‫بسبب‬ ً‫ا‬‫جد‬ ً‫ا‬‫قديم‬ ‫تطور‬ ‫األستاتيكا‬ ‫موضوع‬
.‫المؤثره‬ ‫والقوي‬ ‫الهندسية‬ ‫القياسات‬
( ‫أرخميدس‬ ‫كتابات‬287_ 212 B.C):-
‫المنحدر‬ ‫المستوى‬ , ‫الرافعة‬ ‫البكرات‬ ‫خاللها‬ ‫من‬ ‫درس‬ ‫الرفع‬ ‫بمبدأ‬ ‫تهتم‬ ‫التي‬
‫العالم‬ ً‫ا‬‫أيض‬Wrench‫إلي‬ ‫االحتياجات‬ ‫فيها‬ ‫كانت‬ ‫التي‬ ‫األزمان‬ ‫(في‬ ‫القديمة‬ ‫العصور‬ ‫كتابات‬ ‫في‬ ‫سجل‬
‫للزمن‬ ‫الدقيقة‬ ‫القياسات‬ ‫دقة‬ ‫علي‬ ‫يعتمد‬ ‫الديناميكا‬ ‫مبدأ‬ .)‫المباني‬ ‫إلنشاء‬ ‫فقط‬ ‫محدودة‬ ‫الهندسة‬.
( ‫جاليلي‬ ‫جاليولو‬1564 - 1642):-
‫حي‬ . ‫الميكانيكا‬ ‫علم‬ ‫حقل‬ ‫في‬ ‫المساهمين‬ ‫وأول‬ ‫أعظم‬ ‫من‬ ‫واحد‬ ‫هو‬‫تستخدم‬ ‫تجارب‬ ‫علي‬ ‫عمله‬ ‫أشتمل‬ ‫ث‬
.‫الساقطة‬ ‫واألجسام‬ ‫البسيط‬ ‫البندول‬
( ‫نيوتن‬ ‫أسحق‬1642 - 1727):-
‫األساسية‬ ‫الثالثة‬ ‫الحركة‬ ‫لقوانين‬ ‫وضعه‬ ‫خالل‬ ‫من‬ ‫نيوتن‬ ‫أسحق‬ ‫قدمها‬ ‫الديناميكا‬ ‫في‬ ‫مساهمة‬ ‫وأعظم‬ ‫أكبر‬
‫العام‬ ‫األرضية‬ ‫الجازبية‬ ‫وقانون‬.
:‫األول‬ ‫القانون‬-
‫غير‬ ‫خارجيه‬ ‫قوه‬ ‫عليه‬ ‫تؤثر‬ ‫مالم‬ ‫مستقيم‬ ‫خط‬ ‫في‬ ‫المنتظمة‬ ‫الحركة‬ ‫أو‬ ‫السكون‬ ‫حيث‬ ‫من‬ ‫حالته‬ ‫في‬ ‫الجسم‬ ‫يظل‬
.‫متزنة‬
First Law: A particle originally at rest, or moving in a straight line with constant
velocity, tends to remain in this state provided the particle is not subjected to an
unbalanced force.
: ‫الثاني‬ ‫القانون‬-
‫مع‬ ‫يتناسب‬ ‫ومقدارها‬ ‫القوه‬ ‫أتجاه‬ ‫نفس‬ ‫في‬ ‫تكون‬ ‫بعجلة‬ ‫يتحرك‬ ‫فأنه‬ ‫متزنة‬ ‫غير‬ ‫خارجيه‬ ‫لقوه‬ ‫الجسم‬ ‫تعرض‬ ‫أذا‬
‫المسلطه‬ ‫القوه‬.

5. Second Law: A particle acted upon by an unbalanced force F experiences an
acceleration a that has the same direction as the force and a magnitude that is
directly proportional to the force.
: ‫الثالث‬ ‫القانون‬-
‫االتجاه‬ ‫في‬ ‫ومتعاكسة‬ ‫المقدار‬ ‫في‬ ‫متساوية‬ ‫تكون‬ ‫جسمين‬ ‫أي‬ ‫بين‬ ‫فعل‬ ‫ورد‬ ‫فعل‬ ‫من‬ ‫المتبادله‬ ‫القوه‬
Third Law: The mutual forces of action and reaction between two particles are
equal and opposite.
:‫األرضية‬ ‫للجاذبية‬ ‫نيوتن‬ ‫قانون‬-
ً‫ا‬‫رياضي‬ ‫عنه‬ ‫عبر‬ ‫الذي‬ .‫جسيمين‬ ‫أي‬ ‫بين‬ ‫األرضية‬ ‫الجذب‬ ‫قوة‬ ‫يحكم‬ ‫قانون‬ ‫وضع‬ ‫نيوتن‬
𝐹 = 𝐺
𝑚1 𝑚2
𝑟2
F≡‫الجسيمين‬ ‫بين‬ ‫التجاذب‬ ‫قوة‬
G≡‫األرضية‬ ‫للجاذبية‬ ‫العام‬ ‫الثابت‬
2,m1m≡‫الجسيمين‬ ‫كتلة‬
r≡‫الجسيمين‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
.‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫من‬ ‫قريب‬ ‫كان‬ ‫الجسيمين‬ ‫موقع‬ ‫أن‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫الجسيمين‬ ‫بين‬ ‫الجذب‬ ‫لقوة‬ ‫مناسب‬ ‫أعاله‬ ‫القانون‬
‫القوة‬ ‫وهذه‬ .‫والجسيم‬ ‫األرضية‬ ‫الكرة‬ ‫بين‬ ‫مقدارها‬ ‫يقاس‬ ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫قوة‬ ‫ذلك‬ ‫ماعدا‬ ‫في‬‫تأثير‬ ‫عن‬ ‫الناتجة‬
.‫بالوزن‬ ‫تعرف‬ ‫الجسيم‬ ‫علي‬ ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬
‫كتلته‬ ‫جسيم‬ ‫وزن‬ ‫إليجاد‬ ‫تقديري‬ ‫رياضي‬ ‫تعبير‬ ‫نيوتن‬ ‫وطور‬m
𝑊 = 𝐺
𝑚𝑀𝑒
𝑟2
W≡‫الجسيم‬ ‫وزن‬
eM≡‫األرضية‬ ‫الكرة‬ ‫كتلة‬

6. m≡‫الجسيم‬ ‫كتلة‬
r≡‫األرضية‬ ‫والكرة‬ ‫الجسيم‬ ‫بين‬ ‫المسافة‬
g≡‫أعال‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬ ‫جزء‬ ‫يمثل‬ ‫ثابت‬‫ه‬
𝑔 = 𝐺
𝑀𝑒
𝑟2
‫الثابت‬ ‫تعويض‬ ‫بعد‬ ‫الجسيم‬ ‫وزن‬ ‫عن‬ ‫التعبير‬ ‫يمكن‬g‫الوزن‬ ‫معادلة‬ ‫في‬
W = mg
( ‫مثل‬ ‫العلماء‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫بواسطة‬ ‫لتطبيقاتها‬ ‫مهمة‬ ‫تقنيات‬ ‫طورت‬ ‫قصيرة‬ ‫بفتره‬ ‫القوانين‬ ‫هذه‬ ‫وضع‬ ‫بعد‬Euler,
D’Alembert,Lagrange) ‫وآخرين‬.
( ‫أساسية‬ ‫مفاهيم‬Fundamental Concepts)
: ‫الجسيم‬-particle
‫لذلك‬ .‫محورها‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬ ‫مهم‬ ‫غير‬ ‫األرضية‬ ‫الكره‬ ‫حجم‬ ‫مثال‬ ‫تجاهله‬ ‫يمكن‬ ‫حجمه‬ ‫لكن‬ ‫كتلة‬ ‫له‬ ‫شئ‬ ‫أي‬
.‫محورها‬ ‫حركة‬ ‫دراسة‬ ‫عند‬ ‫كجسيم‬ ‫األرضية‬ ‫الكره‬ ‫تعتبر‬
‫أبعاده‬ ‫تجاهل‬ ‫يمكن‬ ‫جسم‬ ‫هو‬ ‫آخر‬ ‫بمعنى‬ ‫ــ‬
‫الجاسئ‬ ‫الجسم‬Rigid Body:-
‫ك‬ ‫يعتبر‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬‫بعضها‬ ‫من‬ ‫واحده‬ ‫مسافة‬ ‫علي‬ ‫الجسيمات‬ ‫كل‬ ‫بقاء‬ ‫حالة‬ ‫في‬ ‫الجسيمات‬ ‫من‬ ‫كبير‬ ‫عدد‬ ‫إتحاد‬
‫القوي‬ ‫من‬ ‫تأثير‬ ‫هنالك‬ ‫وليس‬ ‫ثابتة‬ ‫أنها‬ ‫نفترض‬ ‫جسم‬ ‫أي‬ ‫مادة‬ ‫خواص‬ ‫أن‬ ‫بسبب‬ ‫مهم‬ ‫النموذج‬ ‫هذا‬ .‫البعض‬
‫عليه‬ ‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫المسلطه‬.
:‫المركزة‬ ‫القوة‬-Concentrator Force
‫إذ‬ ‫أثرها‬ ‫يتبين‬ ‫المركزة‬ ‫القوة‬.‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫يعمل‬ ‫أنه‬ ‫يفترض‬ ‫حمل‬ ‫هنالك‬ ‫كان‬ ‫ا‬
ً‫ا‬‫جد‬ ‫صغيرة‬ ‫تكون‬ ‫الحمل‬ ‫عليها‬ ‫يؤثر‬ ‫التي‬ ‫المساحة‬ ‫بأن‬ ‫المركزة‬ ‫القوة‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫الحمل‬ ‫يتضح‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬
‫واألرض‬ ‫السيارة‬ ‫إطار‬ ‫بين‬ ‫التالمس‬ ‫قوة‬ ‫مثال‬ .‫للجسم‬ ‫الكلي‬ ‫الحجم‬ ‫مع‬ ‫بالمقارنة‬
:‫الطول‬Length
‫المسافة‬ ‫لقياس‬ ‫وحدة‬( ‫قياسه‬ ‫وحدة‬ ‫منحنى‬ ‫خط‬ ‫أو‬ ‫مستقيم‬ ‫لخط‬ ‫الطولية‬m , ft)
:‫الكتلة‬Mass

7. ‫قياسها‬ ‫وحدة‬ ‫للمقارنة‬ ‫تستخدم‬ ‫وهي‬ ‫المادة‬ ‫كمية‬ ‫تقييس‬ ‫هي‬
(kg , Slug)
:‫القوة‬Force
‫اآلخر‬ ‫علي‬ ‫األجسام‬ ‫أحد‬ ‫بواسطة‬ ‫يبذل‬ ‫دفع‬ ‫أو‬ ‫سحب‬ ‫تعتبر‬ ‫هي‬
( ‫قياسها‬ ‫وحدة‬N , Ib)
:‫المساحة‬Area
‫م‬ ‫عن‬ ‫عباره‬‫قياسها‬ ‫وحدة‬ ‫لسطح‬ ‫أو‬ ‫لشكل‬ ‫بعدين‬ ‫قياس‬
(m2 ,ft2)
:‫الحجم‬Volume
‫قياسه‬ ‫وحدة‬ ‫مادة‬ ‫به‬ ‫توجد‬ ‫لحيز‬ ‫أبعاد‬ ‫ثالثة‬ ‫مقياس‬ ‫عن‬ ‫عباره‬
m3
:‫الوزن‬Weight
‫قياسه‬ ‫وحدة‬ ‫األرض‬ ‫سطح‬ ‫إلي‬ ‫الجسم‬ ‫تجذب‬ ‫التي‬ ‫القوة‬
(N , Ib)
:‫الميكانيكا‬ ‫في‬ ‫أساسية‬ ‫كميات‬ ‫أربعة‬-
1/‫الكتلة‬
2/‫الطول‬
3/‫الزمن‬
4/‫القوة‬

8. ‫هما‬ ‫المقرر‬ ‫لهذا‬ ‫دراستنا‬ ‫خالل‬ ‫لهما‬ ‫سنتعرض‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬ ‫نظامان‬ ‫هنالك‬
1/‫للوحدات‬ ‫التقليدي‬ ‫أو‬ ‫البيرطاني‬ ‫النظام‬(BSU)
( ‫بالقدم‬ ‫الطول‬ *ft( ‫بالثواني‬ ‫الزمن‬ * )S( ‫بالرطل‬ ‫القوة‬ * )Ib)
2/( ‫للوحدات‬ ‫المتري‬ ‫أو‬ ‫العالمي‬ ‫النظام‬SI)
( ‫بالمتر‬ ‫الطول‬ *m( ‫بالثواني‬ ‫الزمن‬ * )S( ‫بالنيوتن‬ ‫القوة‬ * )N)
‫البيرطاني‬ ‫النظام‬ ‫عن‬ ‫عديدة‬ ‫بمحاسن‬ ‫يتميز‬ ‫العالمي‬ ‫النظام‬
1/‫العالم‬ ‫أنحاء‬ ‫جميع‬ ‫في‬ ‫واسعة‬ ‫بصورة‬ ‫يستخدم‬
2/( ‫للطول‬ ‫أساسية‬ ‫وحدة‬ ‫يستخدم‬m( ‫األساسية‬ ‫الوحدات‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫يستخدم‬ ‫البيرطاني‬ ‫النظام‬ )mile , yard,
ft, inch)
3/‫ويسهل‬ ‫األستخدام‬ ‫سهل‬ ‫يجعله‬ ‫وهذا‬ ‫العشرة‬ ‫مضاعفات‬ ‫علي‬ ‫مبني‬ ‫الوحدات‬ ‫إشتقاق‬ ‫للوحدات‬ ‫العالمي‬ ‫النظام‬
‫تعلمه‬

9. ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫الخطاف‬A‫عند‬ ‫تتقابل‬ ‫كلها‬ ‫قوي‬ ‫لثالث‬ ‫معرض‬
‫النقطة‬A‫نفترض‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫الجسيم‬ ‫علي‬ ‫المؤثرة‬ ‫القوى‬ ‫لتحليل‬
‫جسيم‬ ‫يمثل‬ ‫الخطاف‬ ‫أن‬
‫أن‬ ‫يمكن‬‫جاسئ‬ ‫كجسم‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبينة‬ ‫القطار‬ ‫عجلة‬ ‫أن‬ ‫نعتبر‬
.‫القضيب‬ ‫من‬ ‫مركزه‬ ‫قوة‬ ‫عليه‬ ‫مسلطة‬

10. (‫محاضرة‬2)
‫القوى‬ ‫وتحليل‬ ‫محصلة‬
Resolution & Resultant Force
‫والمتجه‬ ‫القياسية‬ ‫الكمية‬(Scalar & Vector quantity)
‫متجه‬ ‫أو‬ ‫مقدار‬ ‫بأعتبارها‬ ‫تقاس‬ ‫الهندسة‬ ‫ميكانيكا‬ ‫في‬ ‫الفيزيائية‬ ‫الكميات‬ ‫كل‬
( :‫القياسية‬ ‫الكمية‬Scalar quantity)
.‫مقدارها‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫كاملة‬ ‫بصورة‬ ‫تحديدها‬ ‫يمكن‬ ‫سالبة‬ ‫أو‬ ‫موجبة‬ ‫فيزيائية‬ ‫كمية‬ ‫أي‬ ‫هي‬
( ‫الطول‬ : ‫لها‬ ‫مثال‬Length( ‫الكتلة‬ , )Mass( ‫والزمن‬ )Time.)
‫الكمية‬( :‫المتجهة‬Vector quantity)
‫كاملة‬ ‫بصورة‬ ‫لوصفها‬ ‫واإلتجاه‬ ‫المقدار‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫تتطلب‬ ‫فيزيائية‬ ‫كمية‬ ‫أي‬ ‫هي‬.
( ‫القوة‬ : ‫لها‬ ‫مثال‬Force( ‫الوضع‬ , )Position( ‫والعزم‬ )Torque)
( :‫القوة‬Force)
‫لها‬ ‫المعرض‬ ‫الجسم‬ ‫حركة‬ ‫أو‬ ‫سكون‬ ‫حالة‬ ‫يغير‬ ‫فعل‬ ‫هي‬
‫يشمل‬ ‫أن‬ ‫يجب‬ ‫للقوة‬ ‫الكامل‬ ‫الوصف‬:‫التالي‬
1/‫مقدارها‬
2/‫وإشارتها‬ ‫إتجاهها‬
3/‫تأثيرها‬ ‫نقطة‬
( ‫القوى‬ ‫تحليل‬Resolution of Force)
‫القوة‬ ‫خذ‬F‫أتجاهها‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضحة‬ϴ:‫مركبتين‬ ‫إلي‬ ‫نحللها‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬-
1/( ‫األفقية‬ ‫المركبة‬Fx( ‫محور‬ ‫أتجاه‬ ‫في‬ )x)

11. 2/( ‫العمودية‬ ‫المركبة‬Fy‫أتجاه‬ ‫في‬ )( ‫محور‬Y)
‫أ‬ ‫الشكل‬ ‫من‬‫دناه‬
‫هي‬ ‫األفقية‬ ‫المركبة‬
𝐹𝑋 = 𝐹. 𝐶𝑜𝑠𝜃
‫هي‬ ‫العمودية‬ ‫المركبة‬
𝐹𝑌 = 𝐹. 𝑆𝑖𝑛𝜃
‫للمركبتين‬ ‫القوي‬ ‫محصلة‬
𝐹 = √𝐹𝑥
2
+ 𝐹𝑦
2

12. ‫القوي‬ ‫محصلة‬ ‫إتجاه‬
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐹𝑦
𝐹𝑥
:‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫قانون‬ ‫بأستخدام‬ ‫قوتين‬ ‫محصلة‬
‫القوتان‬1F‫و‬2F:‫اآلتية‬ ‫الخطوات‬ ‫بأتباع‬ ‫لهما‬ ‫القوة‬ ‫محصلة‬ ‫إيجاد‬ ‫يتم‬ ‫الشكل‬ ‫في‬
1/‫القوة‬ ‫سهم‬ ‫رأس‬ ‫من‬1F‫لـ‬ ‫موازي‬ ‫خط‬ ‫أرسم‬2F‫القوة‬ ‫سهم‬ ‫رأس‬ ‫من‬ ‫آخر‬ ‫وخط‬2F‫خط‬ ‫أرسم‬
‫لـ‬ ‫موازي‬1F‫عمل‬ ‫خطي‬ ‫مع‬ ‫أضالع‬ ‫متوازي‬ ‫شكل‬ ‫مكونان‬ ,‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫يتقاطعان‬ ‫الخطان‬ ‫هذان‬
‫القوتين‬.
2/‫مح‬ ‫يمثل‬ ‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫قطر‬‫القوتين‬ ‫صلة‬RF‫القوة‬ ‫متجهي‬ ‫بجمع‬ ‫المحصلة‬ ‫إيجاد‬ ‫يتم‬
‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫لقانون‬ ً‫ا‬‫وفق‬.
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2
:‫األضالع‬ ‫متوازي‬ ‫قانون‬ ‫بأستخدام‬ ‫القوة‬ ‫مركبات‬ ‫إيجاد‬

13. :‫المثلث‬ ‫قانون‬ ‫بأستخدام‬ ‫قوتين‬ ‫محصلة‬ ‫إيجاد‬-
‫القوة‬ ‫ذيل‬ ‫توصيل‬ ‫يتم‬2F‫القوة‬ ‫رأس‬ ‫مع‬1F‫ذيل‬ ‫من‬ ‫الممتد‬ ‫الخط‬ ‫هي‬ ‫المحصلة‬ ‫تكون‬1F‫رأس‬ ‫إلي‬2F‫ومن‬ .
( ‫الزاوية‬ ‫تمام‬ ‫جيب‬ ‫قانون‬ ‫وبأستخدام‬ ‫المثلث‬ ‫الشكل‬Cosine Law‫المحصلة‬ ‫تكون‬ )RF
( ‫الزاوية‬ ‫جيب‬ ‫قانون‬ ‫من‬ ‫يحدد‬ ‫المحصلة‬ ‫إتجاه‬Sine Law.‫الجيب‬ ‫قانون‬ ‫من‬ ‫يحدد‬ ‫المركبتين‬ ‫مقدار‬ .)

14. 𝐹1
sin 𝛼
=
𝐹2
sin 𝛿
=
𝐹𝑅
sin 𝜃
‫قوى‬ ‫لمجموعة‬ ‫المحصلة‬ ‫إيجاد‬:
‫هي‬ ‫قوى‬ ‫ثالث‬ ‫هنالك‬ ‫كان‬ ‫إذا‬1F,2F,3F‫القو‬ ‫هذه‬ ‫محصلة‬ ‫لتحديد‬ .‫جسيم‬ ‫علي‬ ‫مسلطة‬‫ى‬‫كل‬
.‫مركبتين‬ ‫إلي‬ ‫تحلل‬ ‫أن‬ ‫يجب‬ ‫حدا‬ ‫علي‬ ‫قوة‬

15. ‫القوى‬ ‫محصلة‬
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3
𝐹𝑅 = 𝐹1𝑥 𝑖 + 𝐹1𝑦 𝑗 − 𝐹2𝑥 𝑖 + 𝐹2𝑦 𝑗 + 𝐹3𝑥 𝑖 − 𝐹3𝑦 𝑗
𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑋 𝑖 + 𝐹𝑅𝑌 𝑗
‫كالتالي‬ ‫إيجادها‬ ‫يمكن‬ ‫القوى‬ ‫محصلة‬
𝐹𝑅 = √𝐹𝑅𝑋
2
+ 𝐹𝑅𝑌
2
‫أدناه‬ ‫بالمعادلة‬ ‫يحسب‬ ‫المحصلة‬ ‫إتجاه‬
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐹𝑅𝑌
𝐹𝑅𝑋
‫قوى‬ ‫مجموعة‬ ‫عليه‬ ‫مسلطة‬ ‫لجسيم‬ ‫مثال‬
‫بحاصل‬ ‫تحدد‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫الحديدية‬ ‫الدعامة‬ ‫علي‬ ‫تعمل‬ ‫التي‬ ‫األربعة‬ ‫األسالك‬ ‫قوى‬ ‫محصلة‬‫الجبري‬ ‫المجموع‬
‫لمركبتي‬X‫و‬Y‫من‬ ‫الحديدية‬ ‫الدعامة‬ ‫علي‬ ‫الشد‬ ‫تأثير‬ ‫تمثل‬ ‫هذه‬ ‫األربعة‬ ‫القوى‬ ‫محصلة‬ ‫حدا‬ ‫علي‬ ‫قوة‬ ‫لكل‬
.‫األربعة‬ ‫األسالك‬

16. ( ‫مثال‬1)
( ‫القوة‬ ‫مركبتي‬ ‫أوجد‬F = 100N‫بزاوية‬ ‫تعمل‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ )o
30.‫األفقي‬ ‫علي‬
‫الحل‬
ϴ= F CosXF
= 100* Cos 30XF
N86.6=XF
ϴ= F SinYF
= 100* Sin 30YF
50N=YF
( ‫مثال‬2:)-
( ‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬F = 300N‫النقطة‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ )A‫و‬B‫مقدار‬ ‫حدد‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضحتان‬
‫مركبتي‬F‫إتجاه‬ ‫في‬X‫و‬Y.
‫الحل‬

17. )‫(إتجاهها‬ ‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫زاوية‬ ‫نحدد‬ϴ
𝐿 𝐴𝐵 = √(−7 − 8)2 + (−2 − 6)2 = 17
𝐿 𝐴𝐶 = √(−7 − 8)2 = 15
LBC = 8
FX = F . Cosϴ
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐿 𝐵𝐶
𝐿 𝐴𝐶
= 𝑡𝑎𝑛−1
8
15
= 28.07°
FX = 300*Cos 28.07 = 264.7N
FY = F * Sin ϴ
FY = 300* Sin28.07 = 141.165N
( ‫مثال‬3:)-
‫لقوتين‬ ‫معرض‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضح‬ ‫الشنكل‬1F‫و‬2F.‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫وإتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬
‫الحل‬

18. 𝐹𝑅 = √1002 + 1502 − 2 ∗ 100 ∗ 150 ∗ 𝐶𝑜𝑠115
FR = 212.6 N
( ‫قانون‬ ‫من‬Sin Law‫المحصلة‬ ‫إتجاه‬ ‫علي‬ ‫نتحصل‬ )
𝐹𝑅
𝑆𝑖𝑛𝜃
=
𝐹2
𝑆𝑖𝑛𝛿
212.6
𝑆𝑖𝑛115
=
150
𝑆𝑖𝑛𝛿
δ= 39.75⁰
∅ = 39.75 + 15 = 54.75°
‫هو‬ ‫المحصلة‬ ‫إتجاه‬o
54.75
‫مثال‬(4:)-
‫مركبتي‬ ‫حدد‬X‫و‬Y‫للقوة‬1F‫و‬2F‫أوجد‬ .‫القوة‬ ‫متجهي‬ ‫معادلة‬ ‫أكتب‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الذراع‬ ‫علي‬ ‫المسلطة‬
.‫المحصلة‬ ‫وإتجاه‬ ‫مقدار‬

19. ‫الحل‬
‫القوة‬ ‫مركبتي‬1F
𝐹1X = −200 Cos (60) = −100 N
𝐹1Y = 200 Sin (60) = 173.21 N
‫القوة‬ ‫تأثير‬ ‫زاوية‬2F

20. 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =
12
13
, 𝜃 = 𝐶𝑜𝑠−1
12
13
= 22.62°
𝐹2X = 260 Cos (22.62) = 240 N
𝐹2Y = −260 Sin (22.62) = − 100 N
‫قوة‬ ‫لكل‬ ‫المتجه‬ ‫معادلة‬
𝐹1 = (−100𝑖 + 173𝑗)𝑁
𝐹2 = (240𝑖 − 100𝑗)𝑁
‫القوتين‬ ‫محصلة‬ ‫وإتجاه‬ ‫مقدار‬
𝐹𝑅𝑋 = ∑ 𝐹𝑋 = −100 + 240 = 140 𝑁
𝐹𝑅𝑌 = ∑ 𝐹𝑌 = 173.21 − 100 = 73.21 𝑁
𝐹𝑅 = √𝐹𝑅𝑋
2
+ 𝐹𝑅𝑌
2
𝐹𝑅 = √1402 + 73.212
157.99 N=RF
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝐹𝑅𝑌
𝐹𝑅𝑋

21. 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
73.21
140
= 27.61°
Ex5 :
The 624 N force is a resultant of two force P & Q shown in fig. determine these
forces .

22. (‫محاضرة‬3)
)‫القوة(العزوم‬ ‫عزم‬
Moment of Force
‫مقدمة‬Introduction
‫حول‬ ‫للدوران‬ ‫يميل‬ ‫الجسيم‬ ‫تجعل‬ ‫أن‬ ‫القوة‬ ‫لهذه‬ ‫يمكن‬ .‫جسم‬ ‫علي‬ )‫(تسلط‬ ‫قوه‬ ‫تبذل‬ ‫عندما‬‫نقطة‬
.)‫(العزوم‬ ‫القوه‬ ‫عزم‬ ‫يسمي‬ ً‫ا‬‫أحيان‬ ‫للدوران‬ ‫الميول‬ ‫هذا‬ .‫القوه‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫علي‬ ‫ليست‬
:‫القوه‬ ‫عزم‬The Moment of Force
‫القو‬ ‫مقدرة‬ ‫هو‬‫ة‬.‫خط‬ ‫أو‬ ‫محور‬ ‫أو‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫ألتواء‬ ‫أو‬ ‫دوران‬ ‫أنتاج‬ ‫علي‬
‫القوة‬ ‫خذ‬F‫والنقطة‬O‫العزم‬ .‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضح‬ ‫المظلل‬ ‫المستوى‬ ‫علي‬ ‫التي‬0M‫(حول‬
‫النقطة‬O‫النقطة‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫أو‬O‫العزم‬ ‫هذا‬ ‫أن‬ ‫نجد‬ )‫المظلل‬ ‫المستوى‬ ‫علي‬ ‫ويتعامد‬
.‫متجهة‬ ‫كمية‬ ‫هو‬

23. ‫القوة‬ ‫مقدار‬ ‫مع‬ ً‫ا‬‫طردي‬ ‫يتناسب‬ ‫العزم‬ ‫مقدار‬F‫العزم‬ ‫ذراع‬ ‫أو‬ ‫العمودية‬ ‫والمسافة‬d.
‫أو‬ ‫كبيرة‬ ‫قوة‬ ‫أن‬ ‫أي‬‫أكبر‬ ‫عزم‬ ‫يعطي‬ ‫أطول‬ ‫عزم‬ ‫ذراع‬.
‫أ‬ ‫الشكل‬ ‫في‬‫دناه‬‫القوة‬ ‫أثرت‬ ‫إذا‬F‫بزاوية‬ ‫المفتاح‬ ‫علي‬◦
≠90ϴ‫في‬ ‫صعوبة‬ ‫يجد‬ ‫الشخص‬ ‫أن‬ ‫نجد‬
‫أقصر‬ ‫أصبح‬ ‫العزم‬ ‫ذراع‬ ‫ألن‬ ‫وذلك‬ ‫القلووظ‬ ‫مسمار‬ ‫فك‬d´ = d sinϴ
‫القوة‬ ‫أثرت‬ ‫أذا‬F‫أ‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبينة‬‫دناه‬‫الق‬ ‫تأثير‬ ‫خط‬ ‫أن‬ ‫أي‬ ‫المفتاح‬ ‫علي‬ ‫شد‬ ‫كقوة‬‫بمركز‬ ‫يمر‬ ‫وة‬
‫الدوران‬O‫بمحور‬ ‫أو‬Z‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫أن‬ ‫نجد‬ ‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬F‫حول‬O‫هو‬Zero

24. (:‫العزم‬ ‫مقدار‬oM)Moment Magnitude
:ً‫ا‬‫رياضي‬
‫المسلطة‬ ‫القوة‬ = ‫القوة‬ ‫عزم‬X‫العمودية‬ ‫المسافة‬
𝑀0 = 𝐹 ∗ 𝑑
d≡‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫العمودية‬ ‫المسافة‬ ‫أو‬ ‫العزم‬ ‫ذراع‬O.‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫إلي‬
:‫العزم‬ ‫وحدات‬Units of Moment
(Ib.ft)or(N.m)‫(نيوتن.متر‬ ‫أو‬ )‫(رطل.قدم‬ )
:‫العزم‬ ‫إتجاه‬Direction of Moment
‫موجب‬ ‫العزم‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫عكس‬ ‫الدوران‬ ‫إتجاه‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
‫سالب‬ ‫العزم‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫مع‬ ‫الدوران‬ ‫إتجاه‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
‫العزم‬ ‫محصلة‬:Resultant of Moment
‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الموضح‬ ‫قوى‬ ‫الثالث‬ ‫خذ‬1F,2F,3F‫النقطة‬ ‫حول‬ ‫يدور‬ ‫الجسيم‬ ‫تجعل‬ ‫التي‬O
:‫هو‬ ‫القوى‬ ‫هذه‬ ‫عزوم‬ ‫محصلة‬ ‫فأن‬
( 𝑀 𝑅)0 = ∑ 𝐹 ∗ 𝑑
( 𝑀 𝑅)0 = 𝐹1 𝑑1 − 𝐹2 𝑑2 + 𝐹3 𝑑3

25. :‫عملي‬ ‫مثال‬
‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫أن‬ ‫تتطلب‬ ‫الصورة‬ ‫في‬ ‫المبين‬ ‫الخشبي‬ ‫اللوح‬ ‫علي‬ ‫من‬ ‫المسمار‬ ‫أزالة‬ ‫علي‬ ‫القدرة‬HF
‫النقطة‬ ‫حول‬O‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫يكون‬ ‫أن‬NF‫النقطة‬ ‫حول‬O.
‫القوة‬ ‫لذلك‬ ‫مثال‬ .‫دوران‬ ‫يسبب‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫ليس‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬F‫أ‬ ‫الشكل‬ ‫في‬‫دناه‬‫العارضة‬ ‫تجعل‬ ‫أن‬ ‫تحاول‬
‫الدعامة‬ ‫عند‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫مع‬ ‫تدور‬A‫بعزم‬MA = F dA‫يمكن‬ ‫الحقيقي‬ ‫الدوران‬ ‫لكن‬ .
‫الدعامة‬ ‫كانت‬ ‫إذا‬ ‫يحدث‬ ‫أن‬B.‫موجودة‬ ‫غير‬

26. ( ‫مثال‬1:)
‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫حدد‬F=225 N‫النقاط‬ ‫حول‬A,B‫و‬C.
‫الحل‬
= 225*0.6 = 135N.mA= F * dAM
= 225 * 0.4 = 90N.mB= F * dBM
= 225 * 0.8 = 180N.mC= F * dCM

27. ( ‫مثال‬2:)-
‫النقطة‬ ‫حول‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫حدد‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫حالة‬ ‫لكل‬O.
‫الحل‬
= 100 * 2 =200N.m0M
= 50 * 0.75 =37.5N.m0M
)=229Ib.fto
= 40 * (4 + 2*cos 300M
)=42.4Ib.fto
= 60 * (1 sin450M
1) = 21 KN.m-= 7 * (40M

28. ( ‫مثال‬3:)
‫النقطة‬ ‫حول‬ ‫العزم‬ ‫محصلة‬ ‫أحسب‬O.‫أدناه‬ ‫المبين‬ ‫للذراع‬

29. (‫محاضرة‬4)
‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬
Moment of Couple
:‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬Moment of a Couple
.‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫هو‬ ‫العزوم‬ ‫من‬ ‫خاصة‬ ‫حالة‬
:‫اإلزدواج‬Couple
‫نفس‬ ‫في‬ ‫التشتركان‬ ‫اإلتجاه‬ ‫في‬ ‫متعاكستين‬ ‫لكنهما‬ ‫المقدار‬ ‫نفس‬ ‫لهما‬ ‫متوازتين‬ ‫قوتين‬ ‫بأنه‬ ‫يعرف‬
( ‫عمودية‬ ‫بينهما‬ ‫والمسافة‬ ‫العمل‬ ‫خط‬d).
.ً‫ا‬‫صفر‬ ‫ليست‬ ‫هي‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫محصلة‬ ‫لكن‬ ‫صفر‬ ‫هي‬ ‫اإلزدواج‬ ‫في‬ ‫القوة‬ ‫محصلة‬ ‫تكون‬
‫ميول‬ ‫أو‬ ‫دوران‬ ‫ينتج‬ ‫هو‬ ‫لإلزدواج‬ ‫الوحيد‬ ‫األثر‬ ‫ويكون‬‫معين‬ ‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫للدوران‬‫اليحدث‬ ‫لكنه‬
.‫أزاحة‬

30. ‫نقطة‬ ‫أي‬ ‫حول‬ ‫األزدواج‬ ‫قوى‬ ‫من‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫عزوم‬ ‫مجموع‬ ‫بتحديد‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬
‫خذ‬ ‫مثال‬ . ‫أفتراضية‬Ar‫و‬Br‫للنقاط‬ ‫الموضع‬ ‫متجهي‬A‫و‬B‫النقطة‬ ‫من‬O‫علي‬ ‫تقعان‬ ‫اللتان‬
‫عمل‬ ‫خط‬F‫و‬–F.
‫حول‬ ‫األزدواج‬ ‫عزم‬O‫كالتالي‬ ‫يحدد‬
‫النقطتين‬ ‫بين‬ ‫الموضع‬ ‫متجه‬ ‫علي‬ ‫فقط‬ ‫يعتمد‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫أن‬ ‫تبين‬ ‫النتيجة‬ ‫هذه‬r‫المفهوم‬ ‫وهذا‬
.‫محور‬ ‫أو‬ ‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫العزم‬ ‫إيجاد‬ ‫علي‬ ‫يعتمد‬ ‫الذي‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫بمفهوم‬ ‫شبيه‬ ‫ليس‬
:‫المقدار‬ ‫معادلة‬Scalar formulation
‫كاآلتي‬ ‫مقداره‬ ‫يعرف‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬
𝑀 = 𝐹 ∗ 𝑑
F≡‫اإلزدواج‬ ‫في‬ ‫واحده‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬
d≡‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫العزم‬ ‫ذراع‬ ‫أو‬ ‫العمودية‬ ‫المسافة‬
:‫المتجه‬ ‫معادلة‬Vector Formulation
M = r X F

31. F≡‫اإلزدواج‬ ‫في‬ ‫واحده‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬
r≡‫اإلزدواج‬ ‫قوتين‬ ‫بين‬ ‫الموضع‬ ‫متجه‬
‫إتجاه‬‫عزم‬:‫اإلزدواج‬Resultant of Couple Moment
‫بالموجب‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫عكس‬
‫بالسالب‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫مع‬
‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫محصلة‬:Resultant of Couple Moment
𝑀 𝑅 = 𝑀1 + 𝑀2 … … … …
‫في‬ ‫القوتين‬ ‫بين‬ ‫العمودية‬ ‫المسافة‬ ‫في‬ ‫واحده‬ ‫قوة‬ ‫بضرب‬ ‫حدا‬ ‫علي‬ ‫أزدواج‬ ‫كل‬ ‫عزم‬ ‫إيجاد‬ ‫يتم‬
‫العزوم‬ ‫مجموعة‬ ‫بجمع‬ ‫المحصلة‬ ‫ايجاد‬ ‫يتم‬ . ‫اإلزدواج‬( ‫اإلشارة‬ ‫مراعاة‬ ‫مع‬-‫عقارب‬ ‫مع‬ )
.‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫عكس‬ )+( ‫الساعة‬
:‫اإلزدواج‬ ‫لعزم‬ ‫عملي‬ ‫مثال‬-
‫المطلوبة‬ ‫القدرة‬ ‫ألن‬ ‫القديمة‬ ‫السيارات‬ ‫في‬ ‫تلك‬ ‫من‬ ‫أصغر‬ ‫أضحت‬ ‫السيارة‬ ‫في‬ ‫القيادة‬ ‫عجلة‬
‫القيادة‬ ‫عجلة‬ ‫أطار‬ ‫علي‬ ‫كبير‬ ‫إزدواج‬ ‫عزم‬ ‫تسليط‬ ‫السائق‬ ‫من‬ ‫التتطلب‬ ‫للتوجيه‬.

32. ‫علي‬ ‫الشكل‬ ‫في‬‫وذلك‬ ‫الشمال‬ ‫علي‬ ‫التي‬ ‫للفه‬ ‫مماثله‬ ‫لفه‬ ‫إلحداث‬ ‫أكبر‬ ‫قوتين‬ ‫إلي‬ ‫نحتاج‬ ‫اليمين‬
‫عزم‬ ‫إلحداث‬ ‫بالتالي‬ ‫أقل‬ ‫أصبح‬ ‫العزم‬ ‫ذراع‬ ‫أن‬ ‫أي‬ .‫بينهما‬ ‫المسافة‬ ‫صغرت‬ ‫السائق‬ ‫يدي‬ ‫بسبب‬
‫اإلزدواج‬ ‫قوة‬ ‫زيادة‬ ‫يجب‬ ‫مماثل‬.

33. ( ‫مثال‬1:)-
‫ا‬ ‫علي‬ ‫المؤثر‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫محصلة‬ ‫وإتجاه‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫لترس‬
‫الحل‬
M = F*d
M = 600 Cos 30o
* 0.2– 600 Sin 30o
*0.2
M = 43.92 N.m

34. ( ‫مثال‬2:)-
‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبين‬ ‫اللوح‬ ‫علي‬ ‫المؤثرة‬ ‫إزدواجات‬ ‫للثالث‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزم‬ ‫محصلة‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬.
‫الحل‬
𝑀 𝑅 = −𝐹1 𝑑1 + 𝐹2 𝑑2 − 𝐹3 𝑑3
MR = -200 *4 + 450*3 – 300*5
MR = -950 Ib .ft

35. (‫مثال‬3:)-
‫معدني‬ ‫للوح‬ ‫لتثقيب‬ ‫أستخدمت‬ ‫المثاقيب‬ ‫من‬ ‫عدد‬6‫عزم‬ ‫يسلط‬ ‫مثقاب‬ ‫كل‬ ‫واحد‬ ‫زمن‬ ‫في‬ ‫ثقوب‬
‫مقداره‬ ‫الساعة‬ ‫عقارب‬ ‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫اللوح‬ ‫علي‬ ‫إزدواج‬5N.m‫بأصغر‬ ‫المعادل‬ ‫اإلزدواج‬ ‫حدد‬ .
‫عند‬ ‫تعمل‬ ‫ممكنة‬ ‫قوى‬
1/A‫و‬C
2/A‫و‬D
3/‫اللوح‬ ‫علي‬
‫الحل‬
1/A‫و‬C
Mc = 5 N.m * 6 holes = 30N.m
Mc = F * d
30 = F * 0.3
F = 100 N
2/A‫و‬D

36. 3/‫اللوح‬ ‫علي‬

37. (‫محاضرة‬5)
‫األجسام‬ ‫إتزان‬
Equilibrium of Bodies
‫مقدمة‬Introduction
‫أفضل‬ .‫الجسم‬ ‫هذا‬ ‫علي‬ ‫المؤثره‬ ‫القوى‬ ‫لمعرفة‬ ‫كامل‬ ‫وصف‬ ‫إلي‬ ‫تحتاج‬ ‫جسم‬ ‫أي‬ ‫إتزان‬ ‫معادالت‬
.‫الجسم‬ ‫لهذا‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫رسم‬ ‫هي‬ ‫الجسم‬ ‫هذا‬ ‫علي‬ ‫المؤثره‬ ‫القوى‬ ‫لمعرفة‬ ‫طريقة‬
:‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬Free Body Diagrams
‫الضرو‬ ‫من‬ ‫الرسم‬ ‫هذا‬ ‫في‬‫الخارجي‬ ‫المحيط‬ ‫في‬ ‫المؤثره‬ ‫اإلزدواج‬ ‫وعزوم‬ ‫القوى‬ ‫كل‬ ‫توضيح‬ ‫ري‬
.‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫تطبيق‬ ‫عند‬ ‫اإلعتبار‬ ‫في‬ ‫تؤخذ‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫القوى‬ ‫هذه‬ .‫للجسم‬‫مخطط‬ ‫في‬ ‫القوى‬
‫معروفة‬ ‫قوى‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬‫أفعال‬ ‫ردود‬ ‫مثل‬ ‫القيمة‬ ‫معروفة‬ ‫غير‬ ‫وقوى‬ ‫القيمة‬
.‫الدعامات‬
‫الدعامات‬ ‫فعل‬ ‫ردود‬:Support Reactions
‫قوى‬ ‫لنظام‬ ‫المعرضة‬ ‫الجاسئة‬ ‫لألجسام‬ ‫الدعامات‬ ‫من‬ ‫مختلفة‬ ‫أنواع‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫يوضح‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬
.‫األبعاد‬ ‫ثنائي‬

39. ‫الدعامات‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫يوضح‬ ‫ملخص‬ ‫جدول‬

40. :‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫رسم‬ ‫خطوات‬
1/‫محور‬ ‫خذ‬x‫و‬y.‫مناسب‬ ‫إتجاه‬ ‫أي‬ ‫في‬
2/‫تبين‬ ‫التي‬ ‫الخارجية‬ ‫الحدود‬ ‫أرسم‬‫الجسم‬ ‫شكل‬
3/‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫تعمل‬ ‫التي‬ ‫اإلزدواج‬ ‫وعزوم‬ ‫القوى‬ ‫جميع‬ ‫وضح‬
4/‫لـ‬ ‫بالنسبة‬ ‫إتجاهاتها‬ ‫وعين‬ ‫األحمال‬ ‫جميع‬ ‫سمي‬x‫و‬y‫الغير‬ ‫اإلزدواج‬ ‫وعزوم‬ ‫القوى‬
.‫فرضها‬ ‫يمكن‬ ‫العمل‬ ‫إتجاه‬ ‫معروفة‬ ‫لكنها‬ ‫المقدار‬ ‫معروفة‬
5/.‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫لحساب‬ ‫الضرورية‬ ‫الجسم‬ ‫أبعاد‬ ‫بين‬
( ‫مثال‬1:)-
‫أرس‬‫العارضة‬ ‫كتلة‬ .‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبينة‬ ‫المنتظمة‬ ‫للعارضة‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫م‬100 kg.
:‫:الحل‬

41. (‫مثال‬2)
‫علي‬ ‫عمودية‬ ‫قوة‬ ‫يسلط‬ ‫المشغل‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبينة‬ ‫القدم‬ ‫لرافعة‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫أرسم‬
‫الياي‬ ‫تمدد‬ ‫خذ‬ . ‫البدال‬1.5in‫عند‬ ‫القصيرة‬ ‫الوصلة‬ ‫في‬ ‫والقوة‬B‫هي‬20Ib.
:‫:الحل‬

42. :‫اإلتزان‬ ‫معادالت‬Equilibrium Equations
‫المستوى‬ ‫في‬ ‫قوى‬ ‫لنظام‬ ‫معرض‬ ‫جسم‬ ‫هنالك‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬X‫ـ‬Y‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫تحلل‬ ‫القوى‬ ‫هذه‬x
‫و‬y.‫الثنائية‬ ‫األبعاد‬ ‫في‬ ‫اإلتزان‬ ‫شروط‬ ‫ومن‬ .
∑ 𝐹𝑋 = 0
∑ 𝐹𝑌 = 0
∑ 𝑀 𝑜 = 0
∑ 𝐹𝑋 = 0
∑ 𝑀𝐴 = 0
∑ 𝑀 𝐵 = 0

43. ∑ 𝑀𝐴 = 0
∑ 𝑀 𝐵 = 0
∑ 𝑀 𝐶 = 0
:‫اإلتزان‬ ‫معادالت‬ ‫تطبيق‬ ‫خطوات‬-
1/‫للعزم‬ ‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫طبق‬= 0oM∑‫نقطة‬ ‫حول‬o.
2/‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫المؤثره‬ ‫للقوى‬ ‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫تطبيق‬ ‫عند‬
= 0XF∑‫و‬= 0YF∑
3/‫أن‬ ‫يوضح‬ ‫هذا‬ .‫إزدواج‬ ‫عزوم‬ ‫أو‬ ‫قوة‬ ‫المقدار‬ ‫سالبة‬ ‫كمية‬ ‫إلي‬ ‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫حل‬ ‫أفضى‬ ‫إذا‬
‫تم‬ ‫الذي‬ ‫اإلتجاه‬ ‫عكس‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزوم‬ ‫أو‬ ‫القوى‬ ‫لهذه‬ ‫اإلتجاه‬ ‫أن‬ ‫تعني‬ ‫السالبة‬ ‫اإلشارة‬ ‫هذه‬
.‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫في‬ ‫إفتراضه‬
( ‫مثال‬1:)-
‫ذو‬ ‫تثبيت‬ ‫محور‬ ‫من‬ ‫الناشئة‬ ‫العارضة‬ ‫علي‬ ‫األفعال‬ ‫لردود‬ ‫والرأسية‬ ‫األفقية‬ ‫المركبتين‬ ‫حدد‬
‫عند‬ ‫منزلق‬ ‫مفصل‬B‫عند‬ ‫منزلقة‬ ‫وبكرة‬A‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضحة‬.‫العارضة‬ ‫وزن‬ ‫تجاهل‬ ‫أدناه‬
:‫الحل‬:
‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫أرسم‬

44. ‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫إتزان‬ ‫معادلة‬X
∑ 𝐹𝑋 = 0
600 𝐶𝑜𝑠45° − 𝐵 𝑋 = 0
= 424 NXB
‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫إليجاد‬yA‫حول‬ ‫العزوم‬ ‫نأخذ‬B
∑ 𝑀 𝐵 = 0
−𝐴 𝑦 ∗ 7 − 600𝐶𝑜𝑠45° ∗ 0.2 + 600𝑆𝑖𝑛45° ∗ 5 + 100 ∗ 2 = 0
= 319 NyA
‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫إليجاد‬yB‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫مجموع‬ ‫نوجد‬Y
∑ 𝐹𝑌 = 0
319 − 600 𝑆𝑖𝑛45° − 100 − 200 + 𝐵𝑦 = 0
= 405 NyB

45. (‫محاضرة‬6)
‫الفراغ‬ ‫في‬ ‫القوى‬
Three-Dimensional Force Systems
‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫مركباتها‬ ‫إلي‬ ‫القوى‬ ‫نحلل‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ .)‫الفراغ‬ ‫(في‬ ‫اإلبعاد‬ ‫ثالثى‬ ‫القوى‬ ‫نظام‬ ‫حالة‬ ‫في‬i,
j‫و‬k.
∑ 𝐹𝑋 𝑖 + ∑ 𝐹𝑌 𝑗 + ∑ 𝐹𝑍 𝑘 = 0
‫نوجد‬ ‫أن‬ ‫نحتاج‬ ‫أعاله‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫لتحقيق‬
0=XF∑,= 0YF∑,0=ZF∑
‫عند‬ ‫الحلقة‬A‫الحديدية‬ ‫السالسل‬ ‫من‬ ‫قوى‬ ‫وثالثة‬ ‫الشنكل‬ ‫من‬ ‫لقوة‬ ‫معرضة‬B,C‫و‬D‫فإذا‬ .
‫الوزن‬ ‫هو‬ ‫عليها‬ ‫والحمل‬ ‫المغنطيسية‬ ‫كانت‬W‫هي‬ ‫الشنكل‬ ‫في‬ ‫القوة‬ ً‫ا‬‫إذ‬ .W‫معادالت‬ ‫وثالثة‬
‫الحديدية‬ ‫السالسل‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫إيجاد‬ ‫بغرض‬ ‫للحلقة‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫علي‬ ‫تطبق‬ ‫إتزان‬.

46. ‫القوى‬ ‫مسائل‬ ‫حل‬ ‫خطوات‬‫الفراغ‬ ‫في‬:Procedure for Analysis
:‫اآلتية‬ ‫الخطوات‬ ‫بإتباع‬ ‫نحلها‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫لجسيم‬ ‫الثالثية‬ ‫األبعاد‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫إتزان‬ ‫مسائل‬
:‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬-
1/‫محاور‬ ‫حدد‬X,Y,Z‫مناسب‬ ‫إتجاه‬ ‫أي‬ ‫في‬
2/‫القيمة‬ ‫معروفة‬ ‫الغير‬ ‫القوى‬ ‫وأفرض‬ ‫القيمة‬ ‫المعروفة‬ ‫القوى‬ ‫سمي‬
3/‫فرضها‬ ‫يمكن‬ ‫القيمة‬ ‫معروفة‬ ‫الغير‬ ‫القوى‬ ‫إشارات‬

47. :‫اإلتزان‬ ‫معادالت‬-
1/‫كمقدار‬ ‫اإلتزان‬ ‫معادلة‬ ‫إستخدام‬=0XF∑,= 0yF∑,= 0ZF∑
‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫مركباتها‬ ‫إلي‬ ‫قوة‬ ‫أي‬ ‫تحليل‬ ‫السهولة‬ ‫من‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫حالة‬ ‫في‬X,Y,Z.
2/‫األ‬ ‫في‬ ‫القوى‬ ‫نظام‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫بمعادلة‬ ‫قوة‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫معقد‬ )‫الفراغ‬ ‫(في‬ ‫الثالثية‬ ‫بعاد‬
‫نوجد‬ ‫ذلك‬ ‫بعد‬ ‫متجه‬∑F = 0.
(‫مثال‬1:)-
‫مقداره‬ ‫حمل‬90Ib‫عند‬ ‫مثبت‬ ‫بسلك‬ ‫معلق‬ ‫الشنكل‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ .‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضح‬ ‫بشنكل‬ ‫معلق‬
D‫و‬C‫عند‬ ‫وياي‬B‫كزازته‬k= 500 Ib/ft‫عند‬ ‫األفعال‬ ‫ردود‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬ .D‫و‬C‫و‬B
.‫اإلتزان‬ ‫إلحداث‬ ‫الياي‬ ‫في‬ ‫التمدد‬ ‫مقدار‬ ‫وأوجد‬

48. :‫:الحل‬
‫أعاله‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
∑ 𝐹𝑋 = 0
𝐹𝐷 𝑆𝑖𝑛 30 − 𝐹𝐶 (
4
5
) = 0 → (1)
∑ 𝐹𝑌 = 0
−𝐹𝐷 𝐶𝑜𝑠30 + 𝐹𝐵 = 0 → (2)
∑ 𝐹𝑍 = 0
𝐹𝐶 (
3
5
) − 90 = 0 → (3)
( ‫المعادلة‬ ‫من‬3)
FC = 150 Ib
( ‫في‬ ‫عوض‬1)

49. 𝐹𝐷 𝑆𝑖𝑛 30 − 150 (
4
5
) = 0
240 Ib=DF
( ‫في‬ ‫عوض‬2)
−240 𝐶𝑜𝑠 30 + 𝐹𝐵 = 0
‫الياي‬ ‫التمدد‬ ‫مقدار‬
AB= k XBF
ABX*500=207.85
0.4157 ft=ABX
(‫مثال‬2:)-
‫كتلته‬ ‫صندوق‬ ‫لرفع‬ ‫مستخدم‬ ‫حبل‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫الشد‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬100kg.‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫مبين‬

50. :‫:الحل‬
𝐹𝐵 = 𝐹𝐵 𝑖
𝐹𝐶 = 𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 120 𝑖 + 𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 135 𝑗 + 𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠60𝑘
D(-1,2,2)A(0,0,0)
‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬DF‫بالنقطتين‬ ‫يمر‬ ‫هو‬A‫و‬D.
𝐹𝐷 =
𝑑 𝑋
𝑑
𝐹𝐷 𝑖 +
𝑑 𝑌
𝑑
𝐹𝐷 𝑗 +
𝑑 𝑍
𝑑
𝐹𝐷 𝑘
dX = -1-0= -1 , dY = 2-0=2 , dZ =2-0 =2
𝑑 = √ 𝑑 𝑋
2
+ 𝑑 𝑌
2
+ 𝑑 𝑍
22
𝑑 = √(−1)2 + 22 + 222
= 3
𝐹𝐷 = −0.333 𝐹𝐷 𝑖 + 0.667 𝐹𝐷 𝑗 + 0.667𝐹𝐷 𝑘
W= -100 * 9.81 k = -981k
‫اإلتزان‬ ‫لحدوث‬
k = 0zj+ ∑FYi+ ∑FXF∑
= 0XF∑

51. 𝐹𝐵 + 𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 120 − 0.333𝐹𝐷 = 0 → (1)
∑FY =0
𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 135 + 0.667𝐹𝐷 = 0 → (2)
∑FZ = 0
𝐹𝐶 𝐶𝑜𝑠 60 + 0.667 𝐹𝐷 − 981 = 0 → (3)
FC = 810.7N , FD = 859.34N , FB = 691.5N
(‫مثال‬3)
‫الدعامة‬ ‫السلك‬ ‫في‬ ‫الشد‬AB‫هو‬10KN‫حدد‬ .‫متجه‬ ‫معادلة‬ ‫صورة‬ ‫في‬ ‫هذه‬ ‫الشد‬ ‫قوة‬ ‫أكتب‬ .
‫الزوايا‬Xϴ,Yϴ,Zϴ‫الشد‬ ‫يصنعها‬ ‫التي‬T‫محور‬ ‫مع‬X,Y,Z.
:‫:الحل‬

52. ‫مخطط‬ ‫من‬‫أعاله‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬
‫هو‬ ‫الشد‬ ‫قوة‬ ‫مقدار‬
10 KNT =
‫العامة‬ ‫الصورة‬ ‫في‬ ‫الشد‬ ‫لقوة‬ ‫المتجه‬ ‫معادلة‬
𝑇 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑋 𝑖 + 𝑇 𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑌 𝑗 + 𝑇 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑍 𝑘 = 0
𝑇 (
𝑑 𝑋
𝑑
𝑖 +
𝑑 𝑌
𝑑
𝑗 +
𝑑 𝑍
𝑑
𝑘) = 0
A(4,0,5) B(0,7.5,0)
dX = 4-0= 4 , dY = 0-7.5= -7.5 , dZ = 5-0= 5
𝑑 = √42 + (−7.5)2 + 522
= 9.861
‫هي‬ ‫الشد‬ ‫لقوة‬ ‫المتجه‬ ‫معادلة‬
10 (
4
9.861
𝑖 −
7.5
9.861
𝑗 +
5
9.861
𝑘) = 0
‫المحاور‬ ‫مع‬ ‫الشد‬ ‫قوة‬ ‫تصنعها‬ ‫التي‬ ‫الزوايا‬
𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑋 =
𝑑 𝑋
𝑑
∴ 𝜃 𝑋 = 𝐶𝑜𝑠−1
4
9.861
= 66.07°
𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑌 =
𝑑 𝑌
𝑑
∴ 𝜃 𝑌 = 𝐶𝑜𝑠−1
7.5
9.861
= 40.5°
𝐶𝑜𝑠𝜃 𝑍 =
𝑑 𝑍
𝑑
∴ 𝜃 𝑍 = 𝐶𝑜𝑠−1
5
9.861
= 59.5°

53. (‫محاضرة‬7)
‫الفراغ‬ ‫في‬ ‫العزوم‬
Three-Dimensional Moment of Force
‫القوة‬ ‫عزم‬F‫النقطة‬ ‫حول‬O‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫أو‬O‫علي‬ ً‫ا‬‫عمودي‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫ويكون‬
‫النقطة‬ ‫عليه‬ ‫الذي‬ ‫المستوى‬O‫والقوة‬F.‫الحالة‬ ‫هذه‬ ‫في‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ .
𝑀 𝑂 = 𝑟 × 𝐹
r≡‫القوة‬ ‫عمل‬ ‫خط‬ ‫علي‬ ‫تقع‬ ‫نقطة‬ ‫ألي‬ ‫الموضع‬ ‫متجه‬F
F≡‫القوة‬ ‫متجه‬
:‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫متجه‬ ‫مقدار‬-Magnitude of Force Moment Vector
‫المتجهين‬ ‫ضرب‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫العزم‬ ‫متجه‬ ‫مقدار‬
ϴ= Fd = F rsinOM

54. ‫متساوي‬ ‫عزم‬ ‫عنها‬ ‫سينتج‬ ‫أنها‬ ‫نجد‬ .‫عملها‬ ‫خط‬ ‫طول‬ ‫علي‬ ‫نقطة‬ ‫أي‬ ‫عند‬ ‫تسلط‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫القوة‬
‫النقطة‬ ‫حول‬O.‫القوة‬ ‫إنتقالية‬ ‫بمبدأ‬ ‫تعرف‬ ‫الخاصية‬ ‫هذه‬ .
𝑀 𝑂 = 𝑟1 × 𝐹 = 𝑟2 × 𝐹 = 𝑟3 × 𝐹
𝑀 𝑂 = 𝑟 × 𝐹 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
z,ry,rxr≡‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫المركبات‬x,y,z‫الموضع‬ ‫لمتجه‬
z,Fy,FxF≡‫القوة‬ ‫مركبات‬F‫إتجاه‬ ‫في‬x,y,z.
𝑀 𝑂 = (𝑟𝑦 𝐹𝑧 − 𝑟𝑧 𝐹𝑦)𝑖 − ( 𝑟𝑥 𝐹𝑧 − 𝑟𝑧 𝐹𝑥) 𝑗 + (𝑟𝑥 𝐹𝑦 − 𝑟𝑦 𝐹𝑥)𝑘
‫إتجاه‬ ‫في‬ ‫العزم‬ ‫مركبة‬ ً‫ال‬‫مث‬ ‫المعادلة‬ ‫لهذه‬ ‫التفسير‬i‫القوى‬ ‫عزم‬ ‫من‬ ‫نحددها‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬xF,yF,zF
‫محور‬ ‫حول‬x‫القوة‬ .xF‫محور‬ ‫حول‬ ‫عزم‬ ‫لها‬ ‫ليس‬x.

55. :‫الفراغ‬ ‫في‬ ‫العزم‬ ‫محصلة‬-Resultant Moment of a System of Forces
𝑀 𝑅𝑜 = ∑(𝑟 × 𝐹)

56. (‫مثال‬1:)-
‫القوة‬ ‫من‬ ‫الناتج‬ ‫العزم‬ ‫مقدار‬ ‫حدد‬F‫نقطة‬ ‫حول‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬O‫إيجابتك‬ ‫عن‬ ‫عبر‬ .‫كمعادلة‬
.‫متجه‬
:‫:الحل‬
‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
‫بالنقطة‬ ‫يمر‬ ‫عملها‬ ‫خط‬ ‫التي‬ ‫القوة‬ ‫متجه‬ ‫معادلة‬ ‫نوجد‬ ً‫ال‬‫أو‬A,B
A(0,0,12) B(4,12,0)

57. 12m-12 =-= 0z0 = 12m , d-= 12y0= 4m , d-= 4xd
𝑑 = √(4)2 + 122 + (−12)2
d= 17.436m
𝐹 = 𝐹(
𝑑 𝑥
𝑑
𝑖 +
𝑑 𝑦
𝑑
𝑗 +
𝑑 𝑧
𝑑
𝑘)
𝐹 = 2(
4
17.436
𝑖 +
12
17.436
𝑗 −
12
17.436
𝑘)
𝐹 = 0.4588 𝑖 + 1.3765 𝑗 − 1.3765 𝑘
= {4i +12j}mB= {12k}m rAr
𝑀 𝑂 = 𝑟𝐴 × 𝐹 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
=
𝑖 𝑗 𝑘
0 0 12
0.4588 1.3765 −1.3765
12*0.4588]j +-1.3765)-[0*(–12*1.3765]i-1.3765))-= [(0*(oM
[0*1.3765 – 0*0.4588]k
16.518i + 5.51j } kN.m-= {oM
(‫مثال‬2:)-
‫عند‬ ‫الفلنشة‬ ‫حول‬ ‫الناتج‬ ‫العزم‬ ‫محصلة‬ ‫حدد‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضح‬ ‫ذراع‬ ‫علي‬ ‫تعمالن‬ ‫قوتين‬O.
.‫متجه‬ ‫كمعادلة‬ ‫إيجابتك‬ ‫عن‬ ‫عبر‬

58. :‫:الحل‬
60i + 40j +20k} Ib-= {1F
30k} Ib-= {80i + 40j2F
‫أعاله‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
= {5j} ftAr
2k}ft-= {4i +5jBr
𝑀 𝑅𝑜 = ∑(𝑟 × 𝐹) = 𝑟𝐴 × 𝐹1 + 𝑟𝐵 × 𝐹2
𝑀 𝑂 =
𝑖 𝑗 𝑘
0 5 0
−60 40 20
+
𝑖 𝑗 𝑘
4 5 −2
80 40 −30
MRo= [5*20-0*40]i – [0*20-0*(-60)]j + [0*40-5*(-60)]k + [ 5*(-30)-
(2*(-40))]i –[4*(-30) – (-2*80)]j + [ 4*40 -5*80]k
MRo= 100i -0j +300k-230i +40j-240k
MRo= {-130i +40j +60k} Ib.ft

59. (‫مثال‬3:)-
‫قوة‬F‫النقطة‬ ‫حول‬ ‫القوة‬ ‫عزم‬ ‫حدد‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضحة‬ ‫مثلثية‬ ‫دعامة‬ ‫نهاية‬ ‫علي‬ ‫تعمل‬O.
:‫:الحل‬
‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
‫القوة‬ ‫متجه‬ ‫معادلة‬ ‫نوجد‬ ً‫ال‬‫أو‬
j}No
400Cos30–io
F = {400Sin30
‫الموضع‬ ‫متجه‬
r= {0.4i – 0.2j}m

60. 𝑀 𝑂 = 𝑟 × 𝐹 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝑟𝑥 𝑟𝑦 𝑟𝑧
𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧
=
𝑖 𝑗 𝑘
0.4 −0.2 0
200 −346.4 0
0.2*200)]k-(-346.4)-0j +[0.4*(–= 0ioM
98.6k} N.m-= {oM
‫العزم‬ ‫متجه‬ ‫معادلة‬ ‫هي‬ ‫أعاله‬ ‫المعادلة‬
‫هو‬ ‫العزم‬ ‫مقدار‬
98.6N.m-=oM

61. (‫محاضرة‬8)
‫األحتكاك‬
Friction
‫تلك‬ ‫من‬ ‫أكبر‬ ‫مسافة‬ ‫تقطع‬ ‫فإنها‬ ‫أملس‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫تتدحرج‬ ‫الزجاج‬ ‫من‬ ‫صغيرة‬ ‫كرة‬ ‫تركنا‬ ‫فإذا‬
‫نضطر‬ ‫بينما‬ ، ‫أملس‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫جسم‬ ّ‫جر‬ ‫سهولة‬ ‫ندرك‬ ‫خشن.كذلك‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫تقطعها‬ ‫التي‬
‫أن‬ ‫اإلنسان‬ ‫استطاع‬ ‫لما‬ ‫االحتكاك‬ ‫قوى‬ ‫خشن.ولوال‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫ه‬ ّ‫جر‬ ‫في‬ ‫أكبر‬ ‫مجهود‬ ‫لبذل‬
‫أثن‬ ‫بتوازنه‬ ‫يحتفظ‬‫حول‬ ‫تدور‬ ‫ولظلت‬ ، ‫األمام‬ ‫إلى‬ ‫السيارات‬ ‫إطارات‬ ‫تحركت‬ ‫ولما‬ ، ‫السير‬ ‫اء‬
‫،وهي‬ ‫بقوة‬ ‫الوراء‬ ‫إلى‬ ‫األرض‬ ‫دفع‬ ‫تحاول‬ ‫فإنك‬ ‫تسير‬ ‫موضعها.وعندما‬ ‫من‬ ‫تنتقل‬ ‫أن‬ ‫دون‬ ‫نفسها‬
‫انعدام‬ ‫السير.وعند‬ ‫تستطيع‬ ‫ولذلك‬ ، ‫األمام‬ ‫نحو‬ ‫فتدفعك‬ ‫قدميك‬ ‫على‬ ‫فعل‬ ‫برد‬ ‫تقوم‬ ‫بالمقابل‬
‫االحتكاك‬–‫عل‬ ‫أرض‬ ً‫ال‬‫مث‬‫الصابون‬ ‫سائل‬ ‫يها‬–‫حركة‬ ‫تشبيه‬ ‫نتحرك.ويمكننا‬ ‫أن‬ ‫نستطيع‬ ‫ال‬ ‫فإننا‬
‫أو‬ ‫البرميل‬ ‫تدوير‬ ‫يستطيع‬ ‫حيث‬ ‫أوكرة‬ ‫برميل‬ ‫على‬ ‫السيرك‬ ‫رجل‬ ‫بحركة‬ ‫األرض‬ ‫على‬ ‫اإلنسان‬
.‫عليهما‬ ‫والسير‬ ‫بقدميه‬ ‫الكرة‬

62. ‫ه‬: ‫وهما‬ ‫االحتكاك‬ ‫من‬ ‫نوعان‬ ‫ناك‬
1–: ‫الجاف‬ ‫االحتكاك‬
‫سطوح‬ ‫بين‬ ‫ينشأ‬ ‫الذي‬ ‫وهو‬. ‫المتالمسة‬ ‫الصلبة‬ ‫األجسام‬
2–: ‫الرطب‬ ‫االحتكاك‬
. ‫جريانها‬ ‫عند‬ ‫والغازات‬ ‫السوائل‬ ‫طبقات‬ ‫بين‬ ‫ينشأ‬ ‫الذي‬ ‫وهو‬
.‫اآلخر‬ ‫علي‬ ‫أحدهما‬ ‫يتحرك‬ ‫متالمسين‬ ‫سطحين‬ ‫حركة‬ ‫تعيق‬ ‫قوة‬ ‫هو‬ ‫األحتكاك‬
‫السطحي‬ ‫بين‬ ‫التالمس‬ ‫نقاط‬ ‫عند‬ ‫األحتكاك‬ ‫لسطح‬ ‫مماس‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫تكون‬ )‫األحتكاك‬ ‫(قوة‬ ‫القوة‬ ‫هذه‬‫عكس‬ ‫وأتجاهها‬ ‫ن‬
.‫الحركة‬ ‫إتجاه‬
‫األحتكاك‬ ‫عنه‬ ‫وينتج‬ ‫ألتصاقهما‬ ‫يسبب‬ ‫بعضهما‬ ‫علي‬ ‫المتحركين‬ ‫السطحين‬ ‫نتؤات‬ ‫بين‬ ‫التالمس‬
:‫علي‬ ‫يعتمد‬ ‫األحتكاك‬ ‫مقدار‬-
1/‫السطح‬ ‫خشونة‬

63. 2/‫آخر‬ ‫علي‬ ‫سطح‬ ‫أي‬ ‫تدفع‬ ‫التي‬ ‫القوة‬ ‫مقدار‬
:‫الجاف‬ ‫األحتكاك‬ ‫نظرية‬-
‫فهمها‬ ‫يمكن‬ ‫الجاف‬ ‫األحتكاك‬ ‫نظرية‬.‫لميزان‬ ‫األفقية‬ ‫السحب‬ ‫كتل‬ ‫تسببه‬ ‫الذي‬ ‫األثر‬ ‫بتوضيح‬
‫التي‬ ‫األحتكاك‬ ‫قوي‬ ‫بسبب‬ ‫إتزان‬ ‫في‬ ‫الوزن‬ ‫ذراع‬ ‫تحمل‬ ‫الصغيرة‬ ‫البكرة‬ ‫أن‬ ‫بحيث‬ ‫مصمم‬ ‫الجهاز‬
‫النقاط‬ ‫عند‬ ‫تتولد‬A,B,C.
‫في‬ ‫موضحة‬ ‫األحتكاك‬ ‫قوة‬ ‫ومحصلة‬ ‫المتحرك‬ ‫السطح‬ ‫علي‬ ‫الثابت‬ ‫السطح‬ ‫من‬ ‫الطبيعي‬ ‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫محصلة‬ ‫أثر‬
‫بـ‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬N‫و‬F.‫سطح‬ ‫علي‬ ‫منزلقه‬ ‫لكتلة‬ ‫أدناه‬

64. :‫الحركي‬ ‫لألحتكاك‬ ‫أمثلة‬
:‫التدحرجي‬ ‫األحتكاك‬-‫السطح‬ ‫خالل‬ ‫الجسم‬ ‫يدفع‬
:‫األنزالقي‬ ‫األحتكاك‬-‫والسطح‬ ‫العجلة‬ ‫بين‬
‫األ‬:‫المائعي‬ ‫حتكاك‬-‫مائع‬ ‫خالل‬ ‫ينتقل‬ ‫جسم‬ ‫حركة‬ ‫يعيق‬

65. ‫الحركة‬ ‫لبدء‬ ‫الزمة‬ ‫قوة‬ ‫أصغر‬ ‫يساوي‬ ‫الضاغطة‬ ‫القوة‬ ‫في‬ ‫اإلستاتيكي‬ ‫اإلحتكاك‬ ‫معامل‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫أما‬.

66. ( ‫مثال‬1)
‫كتلته‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫المبين‬ ‫الصندوق‬20kg.‫إتزان‬ ‫في‬ ‫الصندوق‬ ‫يبقي‬ ‫كيف‬ ‫حدد‬ .
‫الحل‬
‫للصندوق‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫نرسم‬

67. (‫مثال‬2)
‫بزاوية‬ ‫القالب‬ ‫أرضية‬ ‫ترتفع‬ ‫عندما‬ ‫موضح‬ ‫كما‬ϴ=25‫الغازية‬ ‫المشروبات‬ ‫بيع‬ ‫ماكينة‬ ‫تبدأ‬
.‫األرضية‬ ‫علي‬ ‫باألنزالق‬‫سطح‬ ‫بين‬ ‫األستاتيكي‬ ‫األحتكاك‬ ‫معامل‬ ‫حدد‬.‫القالب‬ ‫وأرضية‬ ‫الماكينة‬
‫الحل‬

69. (‫محاضرة‬9)
‫اإل‬‫الثالثية‬ ‫األبعاد‬ ‫في‬ ‫تزان‬
Equilibrium in Three Dimensions
‫وغير‬ ‫معروفة‬ ‫لقوى‬ ‫معرض‬ ‫يكون‬ ‫إتزان‬ ‫وضع‬ ‫في‬ ‫الذي‬ ‫الجاسئ‬ ‫الجسم‬ ‫أن‬ ‫الذكر‬ ‫أسلفنا‬ ‫كما‬
‫القوى‬ ‫وأن‬ .‫معروفة‬.‫الدعامات‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫هي‬ ‫الغالب‬ ‫في‬ ‫تكون‬ ‫معروفة‬ ‫الغير‬
.‫األبعاد‬ ‫ثالثية‬ ‫لقوى‬ ‫المعرض‬ ‫الجاسئ‬ ‫للجسم‬ ‫الدعامات‬ ‫فعل‬ ‫رد‬ ‫يبين‬ ‫أدناه‬ ‫الجدول‬

71. ‫اإلتزان‬ ‫معادالت‬Equations of Equilibrium
‫كاآلتي‬ ‫متجه‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫رياضي‬ ‫عنهما‬ ‫يعبر‬ ‫ربما‬ ‫الجاسئ‬ ‫الجسم‬ ‫إلتزان‬ ‫شرطين‬
∑F = 0
= 0oM∑
∑F≡‫الجسم‬ ‫علي‬ ‫العاملة‬ ‫الخارجية‬ ‫القوى‬ ‫كل‬ ‫متجه‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬
oM∑≡‫محور‬ ‫حول‬ ‫القوى‬ ‫وعزوم‬ ‫اإلزدواج‬ ‫عزوم‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬O‫الجسم‬ ‫خارج‬ ‫أو‬ ‫علي‬
:‫اإلتزان‬ ‫متجه‬ ‫معادالت‬-
∑ 𝐹 = ∑ 𝐹𝑋 𝑖 + ∑ 𝐹𝑌 𝑗 + ∑ 𝐹𝑍 𝑘 = 0
∑ 𝑀 = ∑ 𝑀 𝑋 𝑖 + ∑ 𝑀 𝑌 𝑗 + ∑ 𝑀 𝑍 𝑘 = 0
= 0X= 0 ∑MXF∑
= 0YM∑= 0YF∑
= 0Z= 0 ∑MZF∑
(‫مثال‬1:)-Example (1)
‫كتلته‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫موضح‬ ‫منتظم‬ ‫لوح‬100kg‫إذا‬ .‫حوافه‬ ‫علي‬ ‫إزدواج‬ ‫وعزم‬ ‫لقوة‬ ‫معرض‬
‫عند‬ ‫بروله‬ ‫أفقي‬ ‫مستوى‬ ‫في‬ ‫مثبت‬ ‫كان‬A‫عند‬ ‫وكرة‬ ‫صحن‬ ‫ودعامة‬B‫عند‬ ‫وسلك‬C‫حدد‬ .
.‫النقاط‬ ‫هذه‬ ‫عند‬ ‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫مركبات‬

72. :‫:الحل‬
‫أعاله‬ ‫الحر‬ ‫الجسم‬ ‫مخطط‬ ‫من‬
= 0XF∑
= 0XB
= 0YF∑
= 0YB
∑FZ = 0
𝐴 𝑍 + 𝐵 𝑍 + 𝑇𝐶 − 300 − 981 = 0 → (1)
∑MX = 0
𝑇𝐶 ∗ 2 − 981 ∗ 1 + 𝐵 𝑍 ∗ 2 = 0 → (2)
∑MY = 0

73. 300 ∗ 1.5 + 981 ∗ 1.5 − 200 − 𝐵 𝑍 ∗ 3 − 𝐴 𝑍 ∗ 3 = 0 → (3)
( ‫المعادلة‬ ‫من‬1( ‫و‬ )2( ‫و‬ )3)
= 791 NZA
217.17 N-=zB
= 707.67 NCT
(‫مثال‬2:)-Example (2)
‫عند‬ ‫والصحن‬ ‫الكرة‬ ‫لدعامة‬ ‫الفعل‬ ‫رد‬ ‫مركبات‬ ‫حدد‬A‫عند‬ ‫كريات‬ ‫ذو‬ ‫عمود‬ ‫محمل‬ ‫ودعامة‬B
‫عند‬ ‫اإلنزالقية‬ ‫والدعامة‬C‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الذراع‬ ‫علي‬ ‫المسلطة‬
:‫:الحل‬
∑FX = 0
𝐴 𝑋 + 𝐵 𝑋 = 0 → (1)
= 0YF∑

74. = 0YA
= 0ZF∑
𝐴 𝑍 − 900 + 𝐵 𝑍 + 𝐹𝐶 = 0 → (2)
= 0YM∑
−900 ∗ 0.4 + 𝐹𝐶 ∗ 0.6 = 0 → (3)
= 600NCF
= 0XM∑
−900 ∗ 0.4 + 𝐵 𝑍 ∗ 0.8 + 𝐹𝐶 ∗ 1.2 = 0 → (4)
450N-=ZB
( ‫المعادلة‬ ‫من‬2)
= 750NZA
∑MZ = 0
−𝐵 𝑋 ∗ 0.8 = 0 → (5)
= 0XB-
‫من‬(‫المعادلة‬1)
+ 0 = 0XA
= 0XA

75. ‫محاضر‬(10)
‫الجملونات‬ ‫تحليل‬

87. ‫محاضرة‬(11)
‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
Moment of Inertia for Area
‫شكل‬ ‫علي‬ ‫تكون‬ ‫مقطعها‬ ‫مساحة‬ ‫شكل‬ ‫واألعمدة‬ ‫العارضات‬ ‫مثل‬ ‫األنشائية‬ ‫األجزاء‬ ‫من‬ ‫عدد‬I,L,C.....
. ‫المصمته‬ ‫والدائرية‬ ‫المربعة‬ ‫المقاطع‬ ‫أستخدام‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫األنابيب‬ ‫من‬ ‫يصنع‬ ‫بعضها‬‫دائما‬ ‫النستخدم‬ ‫لماذا‬
‫مصمته‬ ‫ودائرية‬ ‫مستطيلة‬ , ‫مربعة‬ ‫مقطع‬ ‫مساحة‬‫س‬ً‫ا‬‫الحق‬ ‫األجابة‬ ‫تتم‬
‫نفس‬ ‫ولها‬ ‫واحدة‬ ‫مادة‬ ‫من‬ ‫مصنوعة‬ ‫أنها‬ ‫وأفترض‬ ‫المساحات‬ ‫متساوية‬ ‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫مختلفة‬ ‫مقاطع‬ ‫ثالث‬ ‫خذ‬
‫طول‬ ‫وحدة‬ ‫لكل‬ ‫الكتلة‬
‫عمودية‬ ‫قوة‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬F.‫ولماذا‬ ‫أنحراف‬ ‫وأقل‬ ‫داخلية‬ ‫أجهادات‬ ‫أقل‬ ‫به‬ ‫ستحدث‬ ‫الذي‬ ‫المقطع‬ ‫ماهو‬
‫محور‬ ‫حول‬ ‫للعارضة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫تسمي‬ ‫خاصية‬ ‫علي‬ ‫يعتمد‬ ‫الجواب‬X.
‫المقطع‬ ‫أن‬ ‫الواضح‬ ‫ومن‬A‫عن‬ ً‫ا‬‫بعد‬ ‫األكثر‬ ‫مساحته‬ ‫ألن‬ ‫للمساحة‬ ‫ذاتي‬ ‫قصور‬ ‫عزم‬ ‫أعلي‬ ‫لديه‬
‫محور‬X‫المقطع‬ ‫يكون‬ ‫لذلك‬A‫أنحراف‬ ‫وأقل‬ ‫أجهاد‬ ‫أقل‬

88. σ =
𝑀. 𝑌
I
σ≡‫األجهاد‬
M≡‫األنحناء‬ ‫عزم‬
Y≡‫أتجاه‬ ‫في‬ ‫األنحراف‬ ‫مسافة‬Y
I≡‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
.‫األنحراف‬ ‫وقل‬ ‫األجهاد‬ ‫قل‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫زاد‬ ‫أذا‬ ‫أنه‬ ‫نالحظ‬ ‫المعادلة‬ ‫من‬
:‫للمساحة‬ ‫المتوازية‬ ‫المحاور‬ ‫نظرية‬Parallel Axis Theorem for an Area
‫ا‬ ‫نظرية‬‫موازي‬ ‫محور‬ ‫أي‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫إليجاد‬ ‫تستخدم‬ ‫المتوازية‬ ‫لمحاور‬
‫المساحة‬ ‫هذه‬ ‫مركز‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ ‫لمحور‬.
‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أن‬ ‫نجد‬ ‫أعاله‬ ‫الشكل‬ ‫من‬dA( ‫محور‬ ‫حول‬X‫عنه‬ ‫يعبر‬ )
𝑑𝐼 𝑋 = (𝑦 + 𝑑𝑦́ )
2
. 𝑑𝐴

89. ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫يمثل‬ ‫أعاله‬ ‫للمعادلة‬ ‫األول‬ ‫التكامل‬( ‫المركز‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬X́,)X́I.
( ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬x)
( ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬y)
‫للمساحة‬ ‫الزاوي‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫تعطي‬ ‫أعاله‬ ‫الثالثة‬ ‫المعادالت‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬
‫عزم‬ ‫يساوي‬ ‫حيث‬ً‫ا‬‫زائد‬ ‫المساحة‬ ‫مركز‬ ‫خالل‬ ‫يمر‬ ‫موازي‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬
‫المحورين‬ ‫بين‬ ‫العمودية‬ ‫المسافة‬ ‫مربع‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫مضروب‬ ‫المساحة‬.
( ‫مثال‬1):-
‫حول‬ ‫أدناه‬ ‫المبين‬ ‫للمستطيل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬
( ‫بالمركز‬ ‫يمر‬ ‫محور‬ )‫(أ‬x́)
‫محور‬ )‫(ب‬xb‫للسطح‬ ‫مالمس‬ ‫يمر‬

90. ‫محور‬ )‫(ج‬ź‫عمودي‬‫المستوى‬ ‫علي‬x́ – ý( ‫المركز‬ ‫خالل‬ ‫ويمر‬C)
:‫:الحل‬
𝐼̅ 𝑋́ = ∫ 𝑦́2
. 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦́. (𝑏 ∗ 𝑑𝑦́)
ℎ
2
−
ℎ
2𝐴
𝐼̅ 𝑋́ = 𝑏 ∫ 𝑦́2
. 𝑑𝑦́
ℎ
2
−
ℎ
2
𝐼̅𝑋 ́ = 𝑏 [
𝑦́3
3
]
−
ℎ
2
ℎ
2
𝐼̅𝑋 ́ =
𝑏ℎ3
12
‫محور‬ ‫حول‬ ‫للمستطيل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬(Xb)
𝐼 𝑋𝑏 = 𝐼̅𝑋 ́ + 𝐴. 𝑑2
𝑦
𝐼̅𝑋 ́ =
𝑏ℎ3
12
+ 𝑏 ∗ ℎ ∗ (
ℎ
2
)
2

91. 𝐼 𝑋𝑏 =
𝑏ℎ3
3
‫محور‬ ‫حول‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ź‫المستوى‬ ‫علي‬ ‫عمودي‬X́-Ý‫المركز‬ ‫خالل‬ ‫ويمر‬C‫(عزم‬
.‫للمساحة‬ )‫(الزاوي‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬
𝐽̅𝐶 = 𝐼̅𝑋 ́ + 𝐼̅𝑦 ́
𝐽̅𝐶 =
𝑏ℎ3
12
+
ℎ𝑏3
12

92. ( ‫مثال‬2):-
( ‫محور‬ ‫حول‬ ‫المظللة‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫حدد‬x)
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. 𝑑𝐴
𝐴
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. (100 − 𝑋). 𝑑𝑦
200
0
𝑋 =
𝑦2
400
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. (100 −
𝑦2
400
) . 𝑑𝑦
200
0
𝐼 𝑋 = [
100 ∗ 𝑦3
3
−
𝑦5
5 ∗ 400
]
0
200
𝐼 𝑋 = 106.7 ∗ 106
𝑚𝑚4

93. ( ‫مثال‬3):
‫محور‬ ‫حول‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬x‫أدناه‬ ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫الدائرية‬ ‫للمساحة‬.
:‫:الحل‬
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. 𝑑𝐴
𝐴
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. (2𝑋 ∗ 𝑑𝑦)
𝐴
𝑋 = √ 𝑎2 − 𝑦2
𝐼 𝑋 = ∫ 𝑦2
. (2√ 𝑎2 − 𝑦2) . 𝑑𝑦
𝑎
−𝑎
𝐼 𝑋 =
𝜋𝑎4
4

95. :‫المركبة‬ ‫للمساحات‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬-Moments of Inertia for Composite
Areas
.‫ودوائر‬ ‫مثلثات‬ ,‫مستطيالت‬ ‫مثل‬ ‫األشكال‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫تتكون‬ ‫المركبة‬ ‫المساحات‬‫عزم‬
‫عزم‬ .‫محور‬ ‫حول‬ ‫يحدد‬ ‫أن‬ ‫يمكن‬ ‫أو‬ ‫معروف‬ ‫يكون‬ ‫األشكال‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫شكل‬ ‫لكل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬
‫يساوي‬ ‫محور‬ ‫حول‬ ‫األشكال‬ ‫هذه‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫المكونة‬ ‫المركبة‬ ‫للمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬
.‫األشكال‬ ‫لكل‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫لعزم‬ ‫الجبري‬ ‫المجموع‬
( ‫مثال‬4):
‫الشكل‬ ‫مقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬‫محور‬ ‫حول‬ ‫أدناه‬x‫و‬y‫بالمركز‬ ‫تمر‬ ‫التي‬.
:‫:الحل‬
‫المستطيل‬A‫و‬D

96. 𝐼 𝑋 = 𝐼̅𝑋 ́ + 𝐴. 𝑑2
𝑦
𝐼 𝑋 =
𝑏ℎ3
12
+ (𝑏 ∗ ℎ). 𝑑2
𝑦
𝐼 𝑋 =
100 ∗ 3003
12
+ (100 ∗ 300). (200)2
𝐼 𝑋 = 1.425 ∗ 109
𝑚𝑚4
‫المستطيل‬B
𝐼 𝑋 =
𝑏ℎ3
12
𝐼 𝑋 =
600 ∗ 1003
12
𝐼 𝑋 = 0.05 ∗ 109
𝑚𝑚4
‫المقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
𝐼 𝑋 = 2 ∗ 1.425 ∗ 109
+ 0.05 ∗ 109
𝐼 𝑋 = 2.9 ∗ 109
𝑚𝑚4

97. ‫مثال‬
‫العارضة‬ ‫مقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬ ‫أوجد‬T‫حول‬
‫محور‬X́‫المقطع‬ ‫بمركز‬ ‫يمر‬ ‫الذي‬
‫الحل‬
1
2

98. 𝑌̅ =
∑ 𝑌̅ 𝐴
𝐴
𝑌̅ =
15 ∗ 30 ∗ 150 + 150 ∗ 30 ∗ 105
2 ∗ 30 ∗ 150
Y̅ = 60mm
𝐼 𝑋̅ = 𝐼̅𝑋 ́ + 𝐴. 𝑑2
𝑦
𝐼 𝑋̅ =
150 ∗ 303
12
+ 30 ∗ 150 ∗ (60 − 15)2
𝐼 𝑋̅ = 9.45 ∗ 106
𝑚𝑚4
𝐼 𝑋̅ =
30 ∗ 1503
12
+ 30 ∗ 150 ∗ (105 − 60)2
𝐼 𝑋̅ = 17.55 ∗ 106
𝑚𝑚4
‫المقطع‬ ‫لمساحة‬ ‫الكلي‬ ‫الذاتي‬ ‫القصور‬ ‫عزم‬
𝐼 𝑋̅ = 9.45 ∗ 106
+ 17.55 ∗ 106
= 27 ∗ 106
𝑚𝑚4