1. OPTIMISASI EKONOMI
n TRt - TCt
Nilai perusahaan = ∑ ≈ Present value
t =1 (1 + r)
t
Memaksimumkan persamaan merupakan pekerjaan yang kompleks sebab
mencakup faktor-faktor penentu penerimaan, biaya, & tingkat diskonto (discount
rate) untuk setiap tahun pada masa yang akan datang. Dalam pembuatan
keputusan manajerial, hal-hal penting yang harus diperhatikan adalah faktor
yang mempengaruhi harga, kuantitas & saling keterkaitan antara faktor-faktor
tersebut, a.l produk yang dirancang perusahaan, pengolahan, penjualan,
strategi marketing yang digunakan, kebijakan harga yang ditetapkan,
bentuk perekonomian yang sedang dihadapi, serta sifat persaingan yang
dihadapinya di pasar → hubungan penerimaan yang mencakup permintaan &
penawaran → kompleksitas dalam analisis pengambilan keputusan.
MODEL PERSAMAAN
TR = P x Q
TR = penerimaan total
P = harga tiap unit yang terjual
Q = kuantitas unit yang terjual
Hubungan antara TR dengan Jumlah Unit yang Terjual (Q) :
TR = Rp 150 x Q

2. GRAFIK HUBUNGAN ANTARA TR dengan Q
Penerimaan (Rp/t)
900
750
600
450
300
150
Jumlah yang terjual
Jumlah unit Total penerimaan
yang terjual (TR)
1 Rp150
2 Rp300
3 Rp450
4 Rp600
5 Rp750
6 Rp900

3. 0 1 2 3 4 5 6 (unit/waktu)
HUBUNGAN ANTARA NILAI TOTAL, RATA-RATA DAN MARGINAL
→ Tujuan analisis ini adalah menentukan nilai dari variabel-variabel independen
yang bisa mengoptimalkan fungsi tujuan dari para pembuat keputusan.
Dalam hal ini; Hubungan Marginal didefinisikan sebagai perubahan variabel
dependen dari suatu fungsi yang disebabkan oleh perubahan salah satu variabel
independen sebesar satu unit.
Dalam fungsi TR, penerimaan marginal (MR) adalah perubahan penerimaan total
yang disebabkan oleh perubahan satu unit barang yang terjual.
Oleh karena proses optimisasi mencakup analisis diferensi atau perubahan-
perubahan, maka konsep marginal ini menjadi sangat penting yaitu menganalisis
suatu fungsi tujuan dengan melihat perubahan berbagai variabel independen
serta pengaruhnya terhadap variabel dependen → menyelidiki pengaruh
marginal dari perubahan variabel-variabel independen tersebut terhadap variabel
dependennya.
Hubungan antara Nilai Total, Marginal dan Rata-rata
Untuk Sebuah Fungsi Laba

4. Hubungan antara Nilai Total, Marginal dan
Rata-rata secara Geometris
(a) Laba Total
Laba (Rp/t)
e
d
Unit output
yang
Laba Laba Laba
terjual (Q) Total Marginal Rata-rata
0 Rp- - -
1 Rp19 Rp19 Rp19
2 Rp52 Rp33 Rp26
3 Rp93 Rp41 Rp31
4 Rp136 Rp43 Rp34
5 Rp175 Rp39 Rp35
6 Rp210 Rp35 Rp35
7 Rp217 Rp7 Rp31
8 Rp208 Rp-9 Rp26

5. Laba total
c
93 N
b
a
0 T 3 output (unit/t)
(b) Laba Marginal dan Rata-rata
Laba (Rp/t)
Laba marginal C
D
A B
Laba rata-rata
O Q1 Q2 Q3 output (unit/t)
Hubungan antara nilai total, marginal & rata-rata ditunjukkan sebuah grafik
hubungan antara laba dengan output dimana setiap titik pada kurva tsb
menunjukkan kombinasi output laba total(a); data laba marginal & laba rata-rata
pada gambar (b).
Secara geometris hubungan ini ditunjukkan oleh SLOPE (lereng) dari sebuah
garis titik asal (origin) menuju titik potong pada sebuah kurva laba total. Slope
yaitu suatu ukuran kemiringan dari sebuah garis, & didefinisikan sebagai

6. tingginya kenaikan (atau penurunan) per unit barang sepanjang garis horisontal.
Slope dari sebuah garis lurus yang melalui titik asal ditentukan dengan
pembagian koordinat Y pada setiap titik pada garis tsb dengan koordinat X yang
cocok → slope dari garis OB bisa dihitung lewat pembagian Rp. 93,- (koordinat Y
pada titik B) dengan 3 (koordinat X pada titik B → laba total dibagi dengan
jumlah total output yang ada → pengertian laba rata-rata. Setiap titik sepanjang
sebuah nilai total, nilai rata-rata yang cocok ditunjukkan oleh slope dari sebuah
garis lurus dari titik asal menuju titik tertentu (b); setiap titik pada kurva laba rata-
rata adalah sama dengan laba total dibagi dengan kuantitas output.
Slope-slope kurva non linier dapat diperoleh lewat penggambaran sebuah garis
singgung pada kurva tsb lewat suatu titik yang diinginkan & kemudian
menentukan slope dari garis singgung tsb. Laba marginal pada titik A adalah
sama dengan slope pada kurva laba total pada titik tsb, yaitu sama dengan
slope dari garis singgung TAN → gambar (a). Oleh karena itu, setiap titik
sepanjang sebuah kurva total, nilai marginal yang sesuai ditunjukkan oleh
sebuah garis yang digambarkan bersinggungan dengan kurva nilai total pada titik
tsb.
Kurva laba total naik dari titik asal menuju titik C; oleh karena garis-garis yang
digambarkan yang bersinggungan dengan kurva laba total menjadi lebih curam
jika titik singgung tsb mendekati titik C, maka laba marginal menaik sampai titik
singgung tsb. Kurva laba marginal meningkat sampai pada tingkat output Q1,
sama dengan titik C pada kurva laba total → gambar (b). Pada titik C tsb disebut
titik belok (inflection point), slope kurva laba total adalah maksimum→ titik laba
marginal juga maksimum. Antara titik C & E, laba total terus meningkat sebab
laba marginal masih tetap positif walaupun sudah menurun. Pada titik E kurva
laba total ber-slope nol & hal tsb berarti tidak terjadi kenaikan maupun
penurunan laba → laba marginal pada titik E tsb (output Q3) sama dengan nol &
laba total menjadi maksimum. Setelah melampaui titik E kurva laba total ber-
slope negatif & laba marginal menjadi negatif.
Pada gambar (b), pada tingkat output yang rendah, dimana kurva laba marginal

7. terletak diatas kurva laba rata-rata, maka kurva laba rata-rata sedang menaik;
walaupun laba marginal mencapai titik maksimum pada output Q1 & kemudian
menurun, tetapi kurva laba rata-rata terus meningkat sepanjang kurva laba
marginal masih diatasnya. Pada tingkat output Q2, laba marginal sama dengan
laba rata-rata & pada saat itu laba rata-rata mencapai nilai maksimumnya.
Setelah melalui output Q2, kurva laba marginal terletak di bawah kurva laba rata-
rata & kurva laba rata-rata tsb mulai menurun.
Penurunan Kurva Total dari Kurva Marginal atau Rata-Rata
Pada gambar (b), Laba total adalah laba rata-rata dikalikan dengan jumlah
output, laba total yang sesuai dengan output Q1; ex adalah laba rata-rata (A)
dikalikan output (Q1), laba total tsb sama dengan luas bidang segi empat
OABQ1. Hubungan ini berlaku untuk semua titik sepanjang kurva laba rata-rata.
Hubungan yang sama terjadi antara laba marginal dengan laba total; mengingat
bahwa laba total adalah sama dengan jumlah semua laba marginal, maka laba
total untuk setiap tingkat output adalah sama dengan jumlah marginal sampai
dengan tingkat output tsb. Secara geometris, laba total tsb ditunjukkan oleh
daerah di bawah kurva laba marginal dari sumbu Y sampai kuantitas output yang
ditentukan. Pada tingkat output Q1, laba total sama dengan bidang di bawah
kurva laba marginal yaitu bidang OCQ1.
Nilai rata-rata/marginal/total ini merupakan dasar bagi prinsip-prinsip penting
ekonomi mikro; ex dalam maksimisasi laba jangka pendek kurva biaya marginal
(marginal cost = MC) & kurva penerimaan marginal (marginal revenue = MR)
diturunkan dari nilai rata-rata atau total. Laba akan maksimum jika laba marginal
(MR-MC) sama dengan nol. Jadi, laba akan maksimum jika MR=MC.
KALKULUS DIFERENSIAL
Konsep Turunan
Perubahan Y yaitu ΔY dibagi dengan perubahan X yaitu ΔX menunjukkan

8. perubahan variabel dependen yang disebabkan oleh perubahan satu unit nilai X.
Fungsi Y = f(X) menunjukkan perubahan nilai variabel independen (X) dengan
notasi ΔX & perubahan variabel dependen (Y) dengan notasi ΔY.
ΔY
Marginal Y =
ΔX
Y (variabel dependen)
Y4 D
Y3 C
Y2 B
Y1 A
X (variabel
0 X1 X2 X3 X4 independen)
Nilai-nilai X yang dekat dengan titik asal; perubahan X yang relatif kecil akan
menyebabkan perubahan Y yg cukup besar. Nilai ΔY/ΔX = (Y2-Y1)/(X2-X1), yang
relatif besar menunjukkan bahwa suatu kenaikan kecil dari X akan menyebabkan
kenaikan yang besar pada Y; keadaan ini terbalik jika nilai X semakin menjauhi
titik asal sepanjang sumbu X. Suatu kenaikan besar dari X, ex : dari X3 ke X4
hanya akan menghasilkan suatu kenaikan kecil pada Y, dari Y3 ke Y4, maka
ΔY/ΔX juga menjadi kecil.
♛ Hubungan marginal antara X dengan Y selalu berubah pada setiap titik yang

9. berbeda pada kurva tsb; jika kurva tsb relatif curam, maka variabel
dependen Y sangat responsif terhadap perubahan variabel independen;
tetapi jika kurva tsb relatif datar, maka respon dari variabel dependen Y
tidak begitu berarti terhadap perubahan X.
Secara konseptual, suatu turunan (derivative) merupakan suatu spesifikasi yang
tepat dari hubungan marginal secara umum, ΔY/ΔX. Notasi matematis untuk
sebuah turunan yaitu :
dY ΔY Notasi tsb dibaca : "turunan Y pada X = limit dari
= lim ΔY/ΔX, jika X mendekati nol"
dX X→0 ΔX
Konsep turunan sebagai limit dari suatu rasio adalah sama dengan slope dari
sebuah kurva pada sebuah titik. Slope rata-rata dari kurva tsb antara titik A & D
dihitung dengan cara berikut & yang ditunjukkan sebagai slope dari garis yang
menghubungkan kedua titik tsb.
Slope rata-rata dari kurva tsb bisa dihitung sepanjang
ΔY Y4 - Y1 interval-interval X yg semakin mengecil & ditunjukkan
= oleh garis-garis penghubung lainnya, ex: yang meng
ΔX X4 - X1 hubungkan titik B & C dengan D.
Pada limitnya, jika X mendekati nol, maka perbandingan ΔY/ΔX sama dengan
slope dari sebuah garis yang bersinggungan dengan kurva tsb pada titik D.
Slope dari garis singgung ini didefinisikan sebagai turunan (dY/dX) fungsi tsb
pada titik D; slope tsb menunjukkan perubahan marginal Y yg disebabkan oleh
suatu perubahan X yang sangat kecil pada titik tsb.

10. KAIDAH-KAIDAH PENURUNAN SUATU FUNGSI
Kaidah Konstanta
Turunan dari sebuah konstanta selalu nol, oleh karena itu jika Y sama dengan
sebuah kosntanta, maka :
dY
= 0
dX
Kaidah Pangkat
Turunan dari fungsi pangkat seperti Y = aX
b
, dimana a & b merupakan
konstanta adalah sama dengan pangkat (exponent) b dikalikan dengan koefisien
a dikalikan dengan variabel X pangkat b-1.
dY
Y = aX
b
≈ = b.a.X
(b-1)
dX
Contoh : Y = 2X
3
, maka :
dY
= 3.2X
(3-1)
→ = 6X
2
dX
Kaidah Penjumlahan & Selisih
U = g(X) : U adalah g fungsi X
V = h(X) : V adalah h fungsi X

11. Turunan dari suatu penjumlahan (atau selisih) sama dengan jumlah (atau selisih)
dari turunan secara individual. OLeh karena itu, jika Y = U + V , maka :
dY dU dV
= +
dX dX dX
Contoh ;
U = g(X) = 2X
2
, V = h(X) = -X
3
Y = U + V = 2X
2
- X
3
→ 2.2 X
(2-1)
- 1.3 X
(3-1)
dY
= 4X - 3X
2
dX
Kaidah Perkalian
Turunan dari perkalian antara dua fungsi adalah sama dengan fungsi yang
pertama dikalikan dengan turunan fungsi yang kedua, ditambah dengan fungsi
yang kedua dikalikan dengan turunan fungsi yang pertama. Oleh karena itu, jika
Y = U x V, maka :
dY dV dU contoh : Y = 3X
2
(3-X) ; berarti :
= U + V U = 3X
2
& V = (3-X)
dX dX dX jadi :
dY dV dU
= 3X
2
( ) + (3-X) ( )
dX dX dX
= 3X
2
(-1) + (3-X) (6X)
= -3X
2
+ 18X - 6X
2

12. = 18X - 9X
2
Kaidah Hasil Bagi
Turunan dari hasil bagi dari suatu fungsi adalah sama dengan penyebut dikalikan
dengan turunan pembilang, dikurangi dengan pembilang dikalikan dengan
turunan penyebut, & kemudian semuanya dibagi dengan penyebut kuadrat.
dU dV
V. - U.
dY dX dX
=
dX V
2
Contoh : U = 2X - 3, & V = 6X
2
; maka :
2X - 3
Y =
6X
2
dY 6X
2
. 2 - (2X-3) 12X 12X
2
- 24X
2
+ 36X 36X - 12X
2
= → →
dX 36X
4
36X
4
36X
4
→ 3 - X
3X
3
Kaidah Rantai
Turunan sebuah fungsi dari sebuah fungsi diperoleh dengan cara; jika Y = f(U)
dimana U = g(X), maka :

13. dY dY dU
= x
dX dU dX
Contoh : Y = 2U - U
2
, & U = 2X
3
, maka didapatkan persamaan dengan cara :
Langkah 1
dY
= 2 - 2U
dU
Dengan mensubstitusikan nilai U diperoleh :
dY
= 2 - 2(2X
3
) → 2 - 4X
3
dX
Langkah 2
dU
= 6X
2
dX
Langkah 3
dY dY dU
= x → (2 - 4X
3
) 6X
2
→ 12X
2
- 24X
5
dX dU dX

14. Contoh 2 :
Y = √ X
2
- 1 ; misalkan U = X
2
- 1, maka Y = √U = U
1/2
dY 1 1
= U
-1/2
→ dengan mensubstitusikan X
2
- 1 ke dalam U
dU 2 2 U
1/2
pada turunan tsb, maka diperoleh :
dY 1 dU
= → karena U = X
2
- 1, maka = 2X
dU 2(X
2
- 1)
1/2
dX
Dengan menggunakan kaidah rantai, maka :
dY dY dU 1 X
= x = 2X =
dX dU dX 2(X
2
- 1)
1/2
√ X
2
- 1
Contoh 3 :
1
Y = ; misalkan U = X
2
- 2, maka Y = 1/U, dengan menggunakan
X
2
- 2 kaidah hasil bagi dapat diperoleh :

15. dY U.0 - 1.1 1
= = -
dU U
2
U
2
Dengan mensubstitusikan (X
2
- 2) ke dalam U dapat diperoleh :
dY 1
= -
dU (X
2
- 2)
2
dU
karena U = X
2
- 2, maka : = 2X
dX
dY dY dU 1
= x = - 2X
dX dU dX (X
2
- 2)
2
2X
= -
(X
2
- 2)
2
PENGGUNAAN TURUNAN UTK
MEMAKSIMUMKAN/MEMINIMUMKAN FUNGSI
Proses optimisasi seringkali mengharuskan seseorang untuk mendapatkan nilai
maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Jika suatu fungsi berada pada
keadaan maksimum atau minimum, maka slope atau nilai marginalnya pasti nol.
Turunan suatu fungsi ditunjukkan oleh slope atau nilai marginalnya pada suatu
titik tertentu. Oleh karena itu, maksimisasi atau minimisasi dari suatu fungsi
terjadi jika turunannya sama dengan nol.

16. Ex : ᄌ = -10.000 + 400Q - 2Q
2
d ᄌ
Laba marginal (M) = = 400 - 4Q
dQ
= 400 - 4Q = 0
Q = 100 unit
PEMBEDAAN NILAI MAKSIMUM dengan NILAI MINIMUM
Konsep turunan kedua (second-order derivative) digunakan untuk membedakan
nilai maksimum dengan nilai minimum dari suatu fungsi. Turunan ini merupakan
turunan dari turunan pertama. Jika laba total ditunjukkan persamaan ᄌ = a - bQ
+ cQ
2
- dQ
3
, maka turunan pertamanya yang merupakan fungsi laba marginal
adalah :
d ᄌ
= M ᄌ = -b + 2cQ - 3dQ
2
dQ
Turunan kedua dari fungsi laba total adalah turunan dari suatu fungsi laba
marginal diatas yaitu :
d
2
ᄌ M ᄌ
= = 2c - 6dQ
dQ
2
dQ

17. P (Rp/t) B
B
inflection laba total (ᄌ) = a - bQ + cQ2 -dQ3
point
0 output (unit/t)
QB
QA
A
Rp/unit
0 output (unit)
d ᄌ
= -b - 2cQ - 3dQ2
dQ
Laba marginal
Jika turunan pertama menunjukkan slope fungsi laba total, maka turunan kedua
tsb menunjukkan slope dari turunan pertama tsb yakni slope dari kurva laba
marginal, kita menggunakan turunan kedua tsb untuk membedakan titik

18. maksimum & minimum. Jika turunan kedua dari sebuah fungsi negatif, maka titik
yang ditentukan adalah maksimum, demikian sebaliknya.
Laba mencapai titik minimum pada titik A sebab laba marginal yang tadinya
negatif & karena itu menyebabkan laba total turun, tiba-tiba menjadi positif →
slopenya positif. Keadaan yang berlawanan terjadi pada titik maksimum; nilai
laba marginal tsb adalah positif tetapi menurun hingga suatu titik dimana fungsi
laba total mencapai maksimum, & negatif setelah titik tsb → slopenya negatif
pada titik maksimum fungsi total.
Ex : Laba total (ᄌ) = -3.000 - 2.400Q + 350Q
2
- 8.333Q
3
Turunan pertama
d ᄌ
Laba marginal (M ᄌ) = = -2.400 + 700Q - 25Q
2
dQ
Laba total akan maksimum atau minimum pada titik-titik dimana turunan pertama
tsb (laba marginal) sama dengan nol, maka :
d ᄌ
= -2.400 + 700 Q - 25Q
2
dQ
Dengan menggunakan rumus abc, maka didapatkan nilai-nilai output yang
memenuhi persamaan kedua yaitu : 4 & 24 → titik-titik laba maksimum atau
minimum. Turunan kedua dari fungsi laba total tsb didapat dari mencari turunan
dari fungsi laba marginal :
d
2
ᄌ dM ᄌ
= = 700 - 50Q
dQ
2
dQ

19. Pada tingkat output atau Q = 4; Pada tingkat output atau Q = 24;
d
2
ᄌ dM ᄌ
= = 700 - 50.4 = 500 ♛» 700 - 50.24 = -500
dQ
2
dQ
Penggunaan Turunan untuk Memaksimumkan Selisih Antara Dua
Fungsi
Salah satu kaidah dalam ekonomi mikro yaitu MR = MC agar laba maksimum
dapat tercapai, sebenarnya timbul berdasarkan pada azas optimisasi kalkulus
tsb. Azas tsb timbul dari adanya kenyataan bahwa jarak antara dua fungsi akan
maksimum pada titik dimana slope kedua fungsi tsb adalah sama.
Rp/t TR, TC & Laba
Maksimum
total cost
total revenue
A marginal cost
Output (unit/t)
QA QB marginal revenue
Laba total = TR - TC, & oleh karena itu sama dengan jarak vertikal antara kedua
kurva tsb akan maksimum pada tingkat output QB dimana slope dari kurva TR &
TC tsb adalah sama. Karena slope kurva TR & TC masing-masing menunjukkan
MR & MC, maka MR = MC.

20. Alasan bahwa QB merupakan tingkat output yang memaksimumkan laba bisa
tampak dengan memperhatikan bentuk dari kurva TR & TC di sebelah akan titik
A. Pada titik A, TR = TC, berarti disitu terjadi titik impas (BEP), & oleh sebab itu
titik A tsb menunjukkan tingkat output yang menghasilkan laba sama dengan nol.
Pada tingkat-tingkat output setelah QA, TR meningkat lebih cepat dari TC,
dengan kata lain, MR > MC.
Jika slope TR = slope TC, maka kedua kurva tsb akan sejajar. Keadaan tsb
terjadi pada tingkat output QB. Setelah melampaui QB, slope kurva TC > TR (MC
> MR), maka jarak antara kedua kurva tsb mengecil & laba total menurun.
Ex :
TR = 41,5Q - 1,1Q
2
TC = 150 + 10Q - 0,5Q
2
+ 0,02Q
3
ᄌ = TR - TC
= 41,5Q - 1,1Q
2
- (150 + 10Q - 0,5Q
2
+ 0,02Q
3
)
= 41,5Q - 1,1Q
2
- 150 - 10Q + 0,5Q
2
- 0,02Q
3
= -150 + 31,5Q - 0,6Q
2
- 0,02Q
3
Laba marginal atau turunan pertama dari fungsi laba tsb adalah :
d ᄌ
M ᄌ = = 31,5 - 1,2Q - 0,06Q
2
dQ
Dengan menentukan laba marginal sama dengan nol & menggunakan rumus
abc, maka akar-akarnya adalah Q1 = -35 & Q2 = +15. Karena output yang negatif
tidak mungkin terjadi, maka Q1 bukan merupakan tingkat output yang bisa
digunakan.
Turunan kedua akan menentukan titik laba maksimum & titik laba minimum ;

21. d
2
ᄌ dM ᄌ
= = 1,2 - 0,12Q
dQ
2
dQ
Hubungan MR = MC dengan maksimisasi laba, ᄌ = TR - TC, maka persamaan
umum laba marginal adalah :
d ᄌ dTR dTC
M ᄌ = = -
dQ dQ dQ
Jika dTR/dQ merupakan MR, & dTC/dQ merupakan MC, maka : M ᄌ = MR-
MC
Karena maksimisasi setiap fungsi mengharuskan turunan pertama sama dengan
nol, maka maksimisasi laba akan terjadi jika ;
M ᄌ = MR - MC = 0 atau MR = MC
Dari contoh diatas maka MR & MC didapat dari turunan fungsi TR & TC ;
dTR
MR = = 41,5 - 2,2Q
dQ
dTC
MC = = 10 - Q + 0,06Q
2
dQ
Pada tingkat output yang memaksimumkan laba, maka MR = MC ;

22. 41,5 - 2,2Q = 10 - Q + 0,06Q
2
-31,5 + 1,2Q + 0,06Q2 = 0
Akhirnya diperoleh Q1 = -35 & Q2 = 15
Rp/t
500 MR pada Q = 15
400 break event point atas
BEP
300 bawah
200 MC pada Q = 15
MC
100 MR = MC pada Q = 15
MR
0 Output (unit/t)
6 12 15 18 24 30
Rp/t
Marginal profit = 0
pada Q = 15
200
total
100 profit
Output (unit/t)

23. 6 12 15 18 24 30
OPTIMISASI FUNGSI DENGAN VARIABEL MAJEMUK
Konsep diferensiasi terhadap 3 variabel atau lebih; fungsi permintaan akan suatu
produk dimana kuantitas yang diminta (Q) ditentukan oleh harga (P) yang telah
ditetapkan, tingkat pengeluaran iklan (A), maka fungsi tsb adalah :
Q = f(P,A)
Dengan menggunakan fungsi permintaan diatas, maka dapat diperoleh dua
turunan parsial, yaitu :
1. Turunan parsial Q pada harga (P) = δQ/δP
2. Turunan parsial Q pada pengeluaran iklan (A) = δQ/δA
Kaidah untuk menentukan turunan parsial adalah sama dengan kaidah dalam
turunan yang sederhana. Karena konsep turunan parsial menggunakan suatu
asumsi bahwa semua variabel, kecuali satu variabel dimana turunan tsb
diturunkan, tidak berubah. Ex ; Y = 10 - 4X + 3XZ - Z
2
; dalam fungsi tsb terdapat
dua variabel independen yaitu X & Z, oleh karena itu dua turunan parsial dapat
dihitung.
Y = 10 - 4X + 3XZ -Z
2
Karena Z dianggap konstan, maka turunan parsial Y pada X adalah :
δY
= 0 - 4 + 3Z - 0

24. δX
= -4 + 3Z
Dalam menentukan turunan parsial Y & Z, X dianggap konstan, maka :
Y = 10 - 4X + (3X)Z -Z
2
& turunan parsial Y pada Z adalah :
δY
= 0 - 0 + 3X - 2Z → 3X - 2Z
δX
Ex 2 : 2X + 4X
2
Z - 3XZ
2
- 2Z
3
;
maka turunan parsial Y pada X adalah :
δY
= 2 + 8XZ - 3Z
2 -
0
δX
& turunan parsial Y pada Z adalah :
δY
= 0 + 4X
2
- 6XZ - 6Z
2
δX
Maksimisasi Fungsi dengan VAriabel MAjemuk
Syarat maksimisasi (atau minimisasi) dari fungsi dengan variabel majemuk
merupakan perluasan secara langsung dari fungsi dengan variabel tunggal. S