This document contains examples and exercises related to logic, algebraic expressions, and systems of equations. For logic, it provides truth tables to evaluate different logical statements and identify tautologies. For algebraic expressions, it gives multi-step equations to solve for variables. And for systems of equations, it uses substitution, elimination and other methods to solve 2x2 and 3x3 systems algebraically and verify the solutions.

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
Nombre: Karla Flores
Lizbeth Panchi
Curso: Primero B
Tema: Tautología, expresión algébrica, sistema de ecuación
Objetivo: Elaborar ejercicios prácticos sobre trabajo, potencia y energía a partir de las
explicaciones brindadas por el docente.
Equivalencia lógica
1)(p∧¬q) ↔ ¬ (¬p∨q)
p q ¬p ¬q (p∧¬q) ↔ (¬p∨q) ¬ (¬p∨q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
Cumple tautología
2) (p→q) ` (¬p∨q)
p q (p→q)  ` (¬p ∨ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
CUMPLE TAUTOLOGIA
3) p ¬(¬p)
p  ¬ (¬p)
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
CUMPLE TAUTOLOGIA
4) ¬(p→q) p∧¬q
p q ¬ (p→q)  p ∧ ¬q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V

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PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
Cumple tautologia
Implicación lógica
1)(p ∧ q)  (p ∨ q)
p q (p ∧ q)  (p ∨ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
F
Cumple tautología
2) (p ∧ q)  (p↔ q)
p q (p ∧ q)  (p↔ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
Cumple tautología
3) [(p q) ∧(q r) ]  (p r)
p q r (p q) ∧ (q r)  (p r)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
Cumple tautología
4) ¬p →(¬p∨q)
p q ¬p → ¬p ∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
F
Cumple tautología
Contradicción

3. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
1) [¬p∧`(p∨q)] ∧(p q)
p q ¬p ∧ (p∨q) ∧ (p q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
Contradicción
3. [(𝒑 → 𝒒)^(𝒒 → 𝒓)]^~(𝒑 → 𝒓)
p q r 𝒑 → 𝒒 ^ 𝒒 → 𝒓 ^ ~(𝒑
→ 𝒓)
𝒑 → 𝒓
V V V V V V F F V
V V F V F F F V F
V F V F F V F F V
V F F F F V F V F
F V V V V V F F V
F V F V F F F F V
F F V V V V F F V
F F F V V V F F V
Contradicción
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
1)3X – 2X -1 = 3X – 5X – X +24
3x -2x -3x +5x +x = 1 +24
4x = 25
𝑋 =
25
4
2)14X –(3X-2) – (5X+2-(X-1)) =0
14X – 3X – 5X +X =-2+2 +1
7X= 1
𝑋 =
1
7
3)
1
3X − 3
+
1
4X + 4
=
1
12X − 12
1
3X − 3
+
1
4(X + 1)
=
1
4(3X − 3)

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FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
4 (𝑋 + 1) + 3𝑋 − 3 − (𝑋 + 1)
4(X + 1)(3X − 3)
= 0
4𝑋 + 4 + 3𝑋 − 3 − 𝑋 − 1
4(X + 1)3(𝑋 − 3)
= 0
6𝑋
4(X+1)3(X−1)
=0
𝑋
2(X + 1)(𝑋 − 1)
= 0
X=0
4)
3
2X + 1
−
2
2X − 1
=
𝑋 + 3
4𝑥2 − 1
3
2X + 1
+
2
2𝑋 − 1
−
𝑋 + 3
(2X − 1)(2𝑋 + 1)
3 (2𝑋 − 1) − 2(2𝑋 + 1) − (𝑋 + 3)
(2X − 1)(2X + 1)
= 0
𝑋 − 8
(2𝑋 − 1)(2𝑋 + 1)
= 0
X= 8
5)Se desea repartir 180.000 dólares entre Ay B de modo que la parte de A sea la
mitad de la de B y un tercio de C
A+B+C= 180000
X+2X+3X=180000
6X=180000
X=60000 2X= 60000 3X=90000
A=60000 B= 60000 C=90000
6)
2
X − 1
+
3
X − 5
=
5
x + 2
2(𝑋 − 5) + 3(𝑋 − 1)
(X − 1)(X − 5)
=
5
x + 2
5X -13(X+2) = (X2-5X-1X+5)5
5X2-13X+10X-26 = 5X2-25X-5X+25
3X-26 = -30X +25

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27X = 51
𝑋 =
17
9
SISTEMA DE ECUACIONES
Ejercicio 1
10x +9y=8
8x-15y=-1
Método sustitución
8x -15y = -1 10 * (
15𝑦−1
8
)+9y=8
8x=15y-1
150𝑦−10
8
+ 9𝑦 = 8
𝑋 =
15𝑦−1
8
222y=74
10x + 3=8 𝑦 =
1
3
10x= 5
X=
1
2
Método de igualación
10x+9y=8 8x – 15y =-1
𝑋 =
8−9𝑦
10
𝑋 =
15𝑦−1
8
8−9𝑦
10
=
15𝑦−1
8
8(8-9y) = 10(15y -1) 10x + 9(
1
3
)=8
64-72y = 150y -10 10x +3=8
222y = 74 10x=5
𝑦 =
1
3
X=
1
2
Método de reducción
−80x − 72y = −64
80𝑥 − 150𝑦 = −10
−222𝑦 = −74

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PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
𝑦 =
1
3
10x + 9 *
1
3
= 8
10x + 3 =8
10x = 5
X=
1
2
Ejercicio 2
Método de sustitución

3𝑥
2
+ 𝑦 = 11
 𝑥 +
𝑦
2
= 7
𝑥 = 7 −
𝑦
2
𝑥 =
14−𝑦
2
3 (
14 − 𝑦
2
)
2
+ 𝑦 = 11
42 − 3𝑦
2
2
+ 𝑦 = 11
−3𝑦 + 42
4
+ 𝑦 = 11
−3𝑦 + 42 + 4𝑦
4
= 11
𝑦 + 42
4
= 11
𝑦
4
+
42
4
= 11
𝑦
4
= 11 −
21
2
𝑦
4
=
22 − 21
2
𝑦
4
=
1
2
𝑦 = 4 (
1
2
)
𝑥 = 7 −
2
2
𝑥 = 7 − 1
𝑥 = 6

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PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
𝑦 =
4
2
;
Método de igualación
𝑥 +
𝑦
2
= 7
𝑥 = 7 −
𝑦
2
𝑥 =
14−𝑦
2
3𝑥
2
+ 𝑦 = 11
3𝑥
2
= −𝑦 + 11
3𝑥 = 2(−𝑦 + 11)
𝑥 =
−2𝑦+22
3
14 − 𝑦
2
=
−2𝑦 + 22
3
3(14 − 𝑦) = 2(−2𝑦 + 22)
42 − 3𝑦 = −4𝑦 + 44
−3𝑦 + 4𝑦 = 44 − 42
𝑦 = 2
Método de reducción
2 (
3𝑥
2
+ 𝑦) = 2(11)
2 (𝑥 +
𝑦
2
) = 2(7)
(−1) − 𝑥 = −6 (−1)
𝑥 = 6
Método de sustitución

10
𝑥
+
9
𝑦
= 2

7
𝑥
−
6
𝑦
=
11
2
𝑦 = 2
𝑥 =
14 − 𝑦
2
𝑥 =
14 − 2
2
𝑥 =
12
2
𝑥 = 6
3𝑥 + 2𝑦 = 22
2𝑥 + 2 .
𝑦
2
= 14
3𝑥 + 2𝑦 = 22
−2(2𝑥 + 𝑦) = −2(14)
3𝑥 + 2𝑦 = 22
−4𝑥 − 2𝑦 = −28
-x =-6
3(6) + 2𝑦 = 22
18 + 2𝑦 = 22
2𝑦 = 22 − 18
2𝑦 = 4
𝑦 =
4
2
𝑦 = 2
10
𝑥
+
9
𝑦
= 2
10
14𝑦
12 + 11𝑦
+
9
𝑦
= 2

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PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
7
𝑥
−
6
𝑦
=
11
2
7 = 𝑥 (
6
𝑦
+
11
2
)
7
6
𝑦
+
11
2
= 𝑥
7
12 + 11𝑦
2𝑦
= 𝑥
14𝑦
12 + 11𝑦
= 𝑥
𝑥 =
14𝑦
12 + 11𝑦
𝑥 =
14(−3)
12 + 11(−3)
𝑥 =
−42
12 − 33
𝑥 =
−42
−21
𝑥 = 2
Método de igualación
7
𝑥
−
6
𝑦
=
11
2
7 = 𝑥 (
6
𝑦
+
11
2
)
7
6
𝑦
+
11
2
= 𝑥
7
12 + 11𝑦
2𝑦
= 𝑥
14𝑦
12 + 11𝑦
= 𝑥
10
𝑥
+
9
𝑦
= 2
10
𝑥
= 2 −
9
𝑦
10 = 𝑥 (2 −
9
𝑦
)
10
2 −
9
𝑦
= 𝑥
10
2𝑦 − 9
𝑦
= 𝑥
10𝑦
2𝑦 − 9
= 𝑥

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FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
10𝑦
2𝑦 − 9
=
14𝑦
12 + 11𝑦
10𝑦(12 + 11𝑦) = 14𝑦(2𝑦 − 9)
120𝑦 + 110𝑦2
= 28𝑦2
− 126𝑦
110𝑦2
− 28𝑦2
+ 120𝑦 + 126𝑦 = 0
82𝑦2
+ 246𝑦 = 0
82𝑦(𝑦 + 3) = 0
82𝑦 = 0
𝑦 = 0
𝑦 + 3 = 0
𝑦 = −3
Método de reducción
3 (
7
𝑥
−
6
𝑦
) = 3 (
11
2
)
2 (
10
𝑥
+
9
𝑦
) = 2(2)
Método de sustitución

1
𝑥
+
2
𝑦
=
7
6

2
𝑥
+
1
𝑦
=
1
3
𝑥 =
10𝑦
2𝑦 − 9
𝑥 =
10(−3)
2(−3) − 9
𝑥 =
−30
−15
𝑥 = 2
21
𝑥
−
18
𝑦
=
33
2
20
𝑥
+
18
𝑦
= 4
41
𝑥
=
41
2
41 = 𝑥 (
41
2
)
41
41
2
= 𝑥
𝑥 =
82
41
𝑥 = 2
10
𝑥
+
9
𝑦
= 2
10
2
+
9
𝑦
= 2
10𝑦 + 18
2𝑦
= 2
2(2𝑦) = 10𝑦 + 18
4𝑦 − 10𝑦 = 18
−6𝑦 = 18
−𝑦 =
18
6
(−1) − 𝑦 = 3(−1)
𝑦 = −3

10. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
2
𝑥
+
1
𝑦
=
1
3
2
𝑥
=
1
3
−
1
𝑦
2 = 𝑥 (
𝑦 − 3
3𝑦
)
(
2
𝑦−3
3𝑦
) = 𝑥
𝑥 =
6𝑦
𝑦−3
𝑥 =
6 (
3
2
)
3
2
− 3
𝑥 =
18
2
3 − 6
2
𝑥 =
18
2
−3
2
𝑥 =
36
−6
𝑥 = −6
Método de igualación
1
𝑥
=
7
6
−
2
𝑦
1
6𝑦
𝑦 − 3
=
7
6
−
2
𝑦
𝑦 − 3
6𝑦
+
2
𝑦
=
7
6
𝑦2
− 3𝑦 + 12𝑦
6𝑦2
=
7
6
6(𝑦2
− 3𝑦 + 12𝑦) = 7(6𝑦2
)
6𝑦2
− 18𝑦 + 72𝑦 = 42𝑦2
0 = −6𝑦2
+ 18𝑦 − 72𝑦 + 42𝑦2
36𝑦2
− 54𝑦 = 0
𝑦(36𝑦 − 54) = 0
𝑦 = 0
36𝑦 − 54 = 0
36𝑦 = 54
𝑦 =
54
36
𝑦 =
3
2

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PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA

6𝑦
𝑦−3
=
6𝑦
7𝑦−12
6𝑦(7𝑦 − 12) = 6𝑦(𝑦 − 3)
42𝑦2
− 72𝑦 = 6𝑦2
− 18𝑦
42𝑦2
− 72𝑦 − 6𝑦2
+ 18𝑦 = 0
36𝑦2
− 54𝑦 = 0
9𝑦(4𝑦 − 6) = 0
9𝑦 = 0
𝑦 = 0
4𝑦 − 6 = 0
4𝑦 = 6
𝑦 =
6
4
𝑦 =
3
2

1
𝑥
=
7
6
−
2
𝑦
1 = 𝑥 (
7
6
−
2
𝑦
)
1 = 𝑥 (
7𝑦 − 12
6𝑦
)
(
1
7𝑦 − 12
6𝑦
) = 𝑥
𝑥 =
6𝑦
7𝑦 − 12

2
𝑥
+
1
𝑦
=
1
3
2
𝑥
=
1
3
−
1
𝑦
2 = 𝑥 (
𝑦 − 3
3𝑦
)
(
2
𝑦 − 3
3𝑦
) = 𝑥
𝑥 =
6𝑦
𝑦 − 3
𝑥 =
6𝑦
7𝑦 − 12
𝑥 =
6 (
3
2
)
7 (
3
2
) − 12
𝑥 =
9
21
2
− 12
𝑥 =
9
2
21 − 24
2
𝑥 =
9
−3
2
𝑥 =
18
−3
𝑥 = −6

12. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
Método de reducción
1
𝑥
+
2
𝑦
=
7
6
−2 (
2
𝑥
+
1
𝑦
) = −2 (
1
3
)
ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO
x+4y-z=6 ecuacion 1
2x+5y-7z= -9 ecuacion 2
3x-2y+z=2 ecuacion 3
Resolución
Suma entre ecuación 1 y 2
(-1)(2x+5y-7z=-9) (2)(x+4y-z=6)
2x+8y-2z=12
-2x-5y+7z=9
3y+5z=21 ecuacion 4
Suma entre ecuación 1 y 3
(3)(x+4y-z=6) (-1)(3x-2y+z=2)
3x+12y-3z=18
-3x+2y-z=-2
14y-4z=16 ecuacion 5
Suma entre ecuación 4 y 5
1
𝑥
+
2
𝑦
=
7
6
−
4
𝑥
−
2
𝑦
= −
2
3
−
3
𝑥
=
1
2
−
3
𝑥
=
1
2
−3
1
2
= 𝑥
𝑥 = −6
1
𝑥
+
2
𝑦
=
7
6
−
1
6
+
2
𝑦
=
7
6
−𝑦 + 12
6𝑦
=
7
6
6(−𝑦 + 12) = 7(6𝑦)
−6𝑦 + 72 = 42𝑦
72 = 42𝑦 + 6𝑦
72 = 48𝑦
𝑦 =
72
48
𝑦 =
3
2

13. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
(4)(3y+5z=21) (5)(14y-4z=16)
12y+20z=84
70y-20z=80
82y =164
y= 2
reemplazar y en la ecuación 4
3(2)+5z=21
6+5z=21
5z=21-6
5z=15
z=3
reemplazar y, x en la ecuación 1
x+4(2)-3=6
x+5=6
x=6-5
x= 1
reemplazar los valores en las ecuaciones
ecuación 1
x+4y-z=6
1+4(2)-3=6
9-3=6
6=6
Ecuación 2
2x+5y-7z=-9
2(1)+5(2)-7(3)=-9
12-21=-9
-9=-9
Ecuación 3
3x-2y+z=2
3(1)-2(2)+3=2

14. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
6-4=2
2=2
Ejercicio 2
x+y+z=6 ecuacion 1
x-y+2z= 5 ecuacion 2
x- y+3z=10 ecuacion 3
Resolución
Suma entre ecuación 1 y 2
(3)(x+y+z=6)
3x+3y+3z=18
x-y-3z=10
4x-2y=28 ecuacion 4
Suma entre ecuación 1 y 3
(2)(x+y+z=6) (-1)(x-y+2z=5)
2x+2y-2z=12
-x+y-2z=-5
X+3y=17 ecuacion 5
Suma entre ecuación 4 y 5
(3)(4x-2y=28) (2)(x+3y=17)
12x+6y=84
2x-6y=14
14x =98
x= 7
reemplazar y en la ecuación 4
4(7)-2y=28
28+2y=28
2y=28-28
2y=0
y=0
reemplazar y, x en la ecuación 1

15. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
7+0+z=6
z=6-7
z= -1
reemplazar los valores en las ecuaciones
ecuación 1
x+y+z=6
7+0-1=6
7-1=6
6=6
Ecuación 2
x-y+2z=5
7+0+2(-1)=5
7-2=5
5=5
Ecuación 3
x-y-3z=10
7-0-3(-1)=10
7+3=10
10=10
Ejercicio 3
2x+y-3z=-1 ecuacion 1
x-3y-2z= -12 ecuacion 2
3x-2y-z=-5 ecuacion 3
Resolución
Suma entre ecuación 1 y 2
(-1)(2x+y-3z=-1) (2)(x-3y-2z=-12)
-2x-y+3z=+1
2x-6y-4z=-24
-7y-z=-23 ecuacion 4
Suma entre ecuación 1 y 3

16. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
(3)(2x+y-3z=-1) (-2)(3x-2y-z=-5)
6x+3y-9z=-3
-6x+4y+2z=+10
7y-7z=7 ecuacion 5
Suma entre ecuación 4 y 5
(7)(-7y-z=-23) (-1)(7y-7z=7)
-49y-7z=-161
-7y+7z=-7
-56y =-168
y= 3
reemplazar y en la ecuación 4
-7(3)-z=-23
-21-z=-23
z=-21+23
z=2
reemplazar y, x en la ecuación 1
2x+3-3(2)=-1
2x-3=-1
2x=-1+3
x= 1
reemplazar los valores en las ecuaciones
ecuación 1
2x+y-3z=-1
2(1)+3-3(2)=-1
5-6=-1
-1=-1
Ecuación 2
x-3y-2z= -12
1-3(3)-2(2)=-12
1-13=-12

17. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
-12=-12
Ecuación 3
3x-2y-z=-5
3(1)-2(3)-2=5
3-8=-5
-5=-5
Ejercicio 4
5x-2y+z=24 ecuacion 1
2x+5y-2z= -14 ecuacion 2
x-4y+3z=26 ecuacion 3
Resolución
Suma entre ecuación 1 y 2
(-2)(5x-2y+z=24) (5)(2x+5y-2z=-14)
-10x+4y-2z=-48
10x+25y-10z=-70
29y-12z=-118 ecuacion 4
Suma entre ecuación 1 y 3
(-1)(5x-2y+z=24) (5)(x-4y+3z=26)
-5x+2y-z=-24
5x-20y+15z=+130
-18y+14z=106 ecuacion 5
Suma entre ecuación 4 y 5
(7)(29y-12z=-118) (6)(-18y+14z=106)
203y-84z=-826
-108y+84z=636
95y =-190
y= -2
reemplazar y en la ecuación 4
29(-2)-12z=-118
-58-12z=-118

18. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
12z=-118+58
12z=60
z=5
reemplazar y, x en la ecuación 1
5x-2(-2)+5=24
5x+9=24
5x=24-9
x= 3
reemplazar los valores en las ecuaciones
ecuación 1
5x-2y+z=24
5(3)-2(-2)+5=24
24=24
Ecuación 2
2x+5y-2z= -14
2(3)+5(-2)-2(5)=-14
6-20=-14
-14=-14
Ecuación 3
x-4y+3z=26
3-4(-2)+3(5)=26
26=26
Ecuaciones con radicales de 1er grado
Ejercicio 1
√𝒙 + 𝟕 + √𝒙 − 𝟏 − 𝟐√𝒙 + 𝟐 = 𝟎
√𝒙 + 𝟕 + √𝒙 − 𝟏 = 𝟐√𝒙 + 𝟐
(√𝒙 + 𝟕 + √𝒙 − 𝟏)
𝟐
= (𝟐√𝒙 + 𝟐)
𝟐
(√𝒙 + 𝟕)
𝟐
+ 𝟐(√𝒙 + 𝟕)(√𝒙 − 𝟏) + (√𝒙 − 𝟏)
𝟐
= 𝟒(𝒙 + 𝟐)
𝒙 + 𝟕 + 𝟐√𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕 + 𝒙 − 𝟏 = 𝟒𝒙 + 𝟖

19. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
𝟐√𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕 = 𝟒𝒙 + 𝟖 − 𝒙 − 𝟕 − 𝒙 + 𝟏
𝟐√𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕 = 𝟐𝒙 + 𝟐
𝟐√𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕 = 𝟐(𝒙 + 𝟏)
√𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕 = 𝒙 + 𝟏
(√𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟕)
𝟐
= (𝒙 + 𝟏)𝟐
𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙 − 𝟕 = 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏
𝟔𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟕 + 𝟏
𝟒𝒙 = 𝟖
𝒙 = 𝟐
Ejercicio 2
√𝒙 + 𝟒 − √𝒙 − 𝟏 =
𝟐
√𝒙 − 𝟏
(√𝒙 − 𝟏)(√𝒙 + 𝟒 − √𝒙 − 𝟏) = (
𝟐
√𝒙 − 𝟏
) (√𝒙 − 𝟏)
(√(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟏)) − (√𝒙 − 𝟏)
𝟐
= 𝟐
√𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒 − (𝒙 − 𝟏) = 𝟐
√𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒 − 𝒙 + 𝟏 = 𝟐
√𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝟐 + 𝒙 − 𝟏
√𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝒙 + 𝟏
(√𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒)
𝟐
= (𝒙 + 𝟏)𝟐
𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 − 𝟒 = 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏
𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 = 𝟒 + 𝟏
𝒙 = 𝟓
Ejercicio 3
√𝒙 − 𝟒 + √𝒙 + 𝟒 − 𝟐√𝒙 − 𝟏 = 𝟎
√𝒙 − 𝟒 + √𝒙 + 𝟒 = 𝟐√𝒙 − 𝟏
(√𝒙 − 𝟒 + √𝒙 + 𝟒)
𝟐
= (𝟐√𝒙 − 𝟏)
𝟐

20. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
(√𝒙 − 𝟒)
𝟐
+ 𝟐(√𝒙 − 𝟒)(√𝒙 + 𝟒) + (√𝒙 + 𝟒)
𝟐
= 𝟒(𝒙 − 𝟏)
𝒙 − 𝟒 + 𝟐√𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 + 𝒙 + 𝟒 = 𝟒𝒙 − 𝟒
𝟐√𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟒𝒙 − 𝟒 − 𝒙 − 𝒙
𝟐√𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟐𝒙 − 𝟒
𝟐√𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝟐(𝒙 − 𝟐)
√𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 = 𝒙 − 𝟐
(√𝒙𝟐 − 𝟏𝟔)
𝟐
= (𝒙 − 𝟐)𝟐
𝒙𝟐
− 𝟏𝟔 = 𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟒
𝟒𝒙 = 𝟏𝟔 + 𝟒
𝟒𝒙 = 𝟐𝟎
𝒙 = 𝟓
Ejercicio 4
√𝒙 + √𝒙 + 𝟓 =
𝟏𝟎
√𝒙
(√𝒙)(√𝒙 + √𝒙 + 𝟓) = (
𝟏𝟎
√𝒙
)(√𝒙)
(√(𝒙)(𝒙 + 𝟓)) + (√𝒙)
𝟐
= 𝟏𝟎
√𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + (𝒙) = 𝟏𝟎
√𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝒙 = 𝟏𝟎
√𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 = 𝟏𝟎 − 𝒙
√𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 = 𝟏𝟎 − 𝒙
(√𝒙𝟐 + 𝟓𝒙)
𝟐
= (𝟏𝟎 − 𝒙)𝟐
𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝒙𝟐
𝟓𝒙 + 𝟐𝟎𝒙 = 𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟓𝒙 = 𝟏𝟎𝟎
𝒙 = 𝟒
Ecuaciones de segundo grado

21. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
Ejercicio 1
3𝑥2
− 5𝑥 + 2 = 0
Fórmula cuadrática
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
5±√(−5)2−4(3)(2)
2(3)
𝑥 =
5 ± √25 − 24
6
𝑥 =
5 ± √1
6
𝑥 =
5 ± 1
6
𝑥1 =
5 − 1
6
𝑥1 =
4
6
𝑥1 =
2
3
𝑥2 =
5 + 1
6
𝑥2 =
6
6
𝑥2 = 1
Ejercicio 2
5𝑥2
− 7𝑥 − 90 = 0
Fórmula cuadrática
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
7±√(−7)2−4(5)(−90)
2(5)
𝑥 =
7 ± √49 + 1800
10
𝑥 =
7 ± √1849
10
Factorización
(𝟑𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎
𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟎
𝟑𝒙 = 𝟐
𝒙𝟏 =
𝟐
𝟑
𝒙 − 𝟏 = 𝟎
𝒙𝟐 = 𝟏
𝑥 − 5 = 0
𝑥2 = 5
Factorización
(5𝑥 + 18)(𝑥 − 5) = 0
5𝑥 + 18 = 0
5𝑥 = −18
𝑥1 = −
18
5

22. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
𝑥 =
7 ± 43
10
𝑥1 =
7 − 43
10
𝑥1 =
−36
10
𝑥1 = −
18
5
𝑥2 =
7 + 43
10
𝑥2 =
50
10
𝑥2 = 5
Ejercicio3
𝑥2
− 3𝑥 − 10 = 0
Fórmula cuadrática
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
3 ± √(−3)2 − 4(1)(−10)
2(1)
𝑥 =
3 ± √9 + 40
2
𝑥 =
3 ± √49
2
𝑥 =
3 ± 7
2
𝑥1 =
3 − 7
2
𝑥1 =
−4
2
𝑥1 = −2
𝑥2 =
3 + 7
2
𝑥2 =
10
2
𝑥2 = 5
Ejercicio 4
𝒙 − 𝟓 = 𝟎
𝒙𝟐 = 𝟓
Factorización
(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟓) = 𝟎
𝒙 + 𝟐 = 𝟎
𝒙𝟏 = −𝟐

23. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
𝑥2
− 2𝑥 − 15 = 0
Fórmula cuadrática
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
2 ± √(−2)2 − 4(1)(−15)
2(1)
𝑥 =
2 ± √4 + 60
2
𝑥 =
2 ± √64
2
𝑥 =
2 ± 8
2
𝑥1 =
2 − 8
2
𝑥1 =
−6
2
𝑥1 = −3
𝑥2 =
2 + 8
2
𝑥2 =
10
2
𝑥2 = 5
Ecuaciones incompletas
Ejercicio 1
(𝑥 − 3)2
− (2𝑥 + 5)2
= −16
(𝑥2
− 6𝑥 + 9) − (4𝑥2
+ 20𝑥 + 25) = −16
𝑥2
− 6𝑥 + 9 − 4𝑥2
− 20𝑥 − 25 = −16
−3𝑥2
− 26𝑥 − 16 = −16
−3𝑥2
− 26𝑥 = 0
(−1) − 𝑥(3𝑥 + 26) = 0(−1)
𝑥(3𝑥 + 26) = 0
𝑥 = 0
3𝑥 + 26 = 0
3𝑥 = 26
𝒙 − 𝟓 = 𝟎
𝒙𝟐 = 𝟓
Factorización
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟓) = 𝟎
𝒙 + 𝟑 = 𝟎
𝒙𝟏 = −𝟑

24. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR.
FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.
PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES QUÍMICA Y BIOLOGÍA
𝑥 =
26
3
Ejercicio 2
5
2𝑥2
−
1
6𝑥2
=
7
12
5
2𝑥2
−
1
6𝑥2
−
7
12
= 0
30 − 2 − 7𝑥2
12𝑥2
= 0
30 − 2 − 7𝑥2
= 0
28 − 7𝑥2
= 0
−7𝑥2
= −28
−7𝑥2
−7
=
−28
−7
Ejercicio 3 Ejercicio 4
1
6
=
3𝑥2
2
6(3𝑥2) = 2
18𝑥2
= 2
18𝑥2
− 2 = 0
18𝑥2
− 2
2
=
0
2
9𝑥2
− 1 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
0 ± √0 − 4(9)(−1)
2(9)
𝑥 =
±6
18
𝑥1 =
−6
18
𝑥1 = −
1
3
𝑥2 =
6
18
𝑥2 =
1
3
𝑥2
= 4
𝑥 = ±√4
𝑥 = ±2
𝑥1 = −2
𝑥2 = 2
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 2(𝑥2
− 13)
𝑥2
− 1 = 2𝑥2
− 26
𝑥2
− 2𝑥2
= −26 + 1
(−1) − 𝑥2
= −25(−1)
𝑥2
= 25
𝑥 = ±√25
𝑥 = ±5
𝑥1 = −5
𝑥2 = 5