concepto

1. Profundizar y contextualizar el conocimiento
Presentado por:
Flor Marina Ariza Ramírez
Licenciatura en Matemáticas
Escuela Ciencias de la Educación (ECCEDU)
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Acacias/22/mayo del 2021

3. LAS ECUACIONES
A través de la historia, las ecuaciones han sido de gran importancia en las
Matemáticas y otras ciencias, desde los babilonios, pasando por los egipcios y los
griegos, hasta nuestra época, las ecuaciones han sido el pan de cada día para
resolver problemas donde se requiere saber el valor de una “incógnita”
Ejemplo: Si tenemos: 2x + 5 = 9
Se debe buscar el valor de x que al multiplicarlo por 2 y sumado con 5 nos
resulte nueve. Es así que para x = 2, si lo reemplazamos en la igualdad 2(2) + 5 =
9, ésta será verdadera. Entonces, resolver una ecuación es hallar el valor o
valores de la incógnita que hagan verdadera dicha igualdad.

4. Para resolver ecuaciones, existen diversas técnicas matemáticas que depende del tipo
de ecuación, pero siempre se debe tener presente el principio de operaciones
opuestas: Suma – Resta, Producto – Cociente, Potenciación – radicación, potenciación
– Logaritmación.
Constante:
Son términos que toman valores fijos, en álgebra se utilizan por lo general las
primeras letras del alfabeto: a, b, c,… Todos los números en esencia son constantes,
por ejemplo en la expresión 𝑎𝑥2+bx+c los términos a, b, c son constantes.
Incógnita (Variable):
Se considera todo aquello que no se conoce; pero se puede identificar utilizando
principios matemáticos, en Matemáticas por lo general se utilizan las últimas letras
del alfabeto x, y, z, w…., para el caso de 𝑎𝑥2+bx+c , la incógnita es x, otro ejemplo
es:
𝑎𝑥2
+bxy +𝑐𝑦2
=0, las incógnitas son x e y.

5. SUMAY PRODUCTO:
Sean a, b, c y d números reales; tal que a = b y c = d. entonces:
1. a + c = b + d
2. a + c = b + c
3. a x c = b x d
4. a x c = b x c
Ejemplo 1:
Sea la siguiente expresión:
a = 2 y c = 5,
aplicar la ley de suma y producto.
Solución:
Siguiendo el orden:
a + c = 2 + 5
a *c = 2 *5
Así b = 2 y d = 5.

6. RESTAY COCIENTE:
Al restar dos números, la diferencia siempre es un valor único. Sean a, b, c y d
números reales; tal que a = b y c = d. entonces:
5. a - c = b - d
6. a - c = b – c
7. a / c = b / d Para c ≠ 0
8. a / c = b / c Para c ≠ 0
Ejemplo 2: Sea la siguiente expresión:
a = 8 y c = 4, aplicar la ley de resta y cociente.
Solución:
Siguiendo el orden:
a - c = 8 - 4
a/c = 8/4 Luego b = 8 y d = 4.

7. POTENCIAY RAIZ:
Sean a, b, c y d números reales; tal que a = b y c = d. Para a ≠ 0 y c ≠ 0, entonces:
9. 𝑎𝑐 = 𝑏𝑑
10. 𝑐𝑎 = 𝑑𝑎
11. Para 𝑎 = 𝑏a ≥ 0 además c є Z+ y c ≥ 2
Ejemplo : Sea la siguiente expresión:
a = 9 y c = 2, aplicar la ley de potencia y raíz.
Solución: Siguiendo el orden:
𝑎𝑐 = 92
𝑐𝑎 = 2𝑎
3
𝑎 =
2
9
Luego b = 9.

8. Ecuaciones de Primer Grado con Una Incógnita
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son de la forma , siendo a, b y c las
constantes y x la incógnita. El valor de a puede ser un número real; diferente de cero.
Ejemplos:
este tipo de ecuaciones 3x - 5 = 0 que corresponde a una ecuación de coeficiente
entero y expresión entera.
ecuación de coeficiente racional y expresión entera.
1
3
𝑥 −
2
5
= 0
ecuación de coeficiente entero y expresión racional.
3𝑥−2
5
= 8
se caracterizan porque la incógnita tiene como exponente la unidad; por lo cual, la
solución es única, esto quiere decir que éste tipo de ecuaciones tienen “Una Sola
solución”.

9. Ecuaciones de Primer Grado con Dos Incógnitas
son una herramienta muy importante para resolver situaciones que se presentan en
todas las áreas del saber. Este tipo de ecuaciones es de dos clases:
El primero
es donde se tiene una ecuación con dos incógnitas; donde se hará una breve
descripción.
El segundo
es cuando se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas, lo cual se estudiará en
detalle.
Ejemplo:
Para la ecuación 2x + 3y = 8 ¿cuál será el par (x, y) que satisfaga dicha ecuación?

10. Solución:
Por simple inspección se puede ver que x = 1 y y = 2, satisfacen la igualdad.
2(1) + 3(2) = 8.
Entonces la solución (x, y) = (1, 2)
Pero se puede encontrar más soluciones, por ejemplo (4, 0), (-2, 4), (-5, 6),… como se dijo al
principio, pueden existir infinitas soluciones.
Cuando se tiene un sistema de la forma:
𝑎1𝑥1+ 𝑏1 𝑦1= 𝑐1
𝑎2𝑥2+ 𝑏2 𝑦2= 𝑐2
Donde a1, a2, b1, b2, c1, c2 son constantes; además a1 ≠ 0 ó b1 ≠ 0 Al igual que a2 ≠ 0 ó b2 ≠ 0, se
dice que estamos frente a un sistema de ecuaciones simultáneas, donde la solución obtenida para x e
y, debe satisfacer simultáneamente las dos ecuaciones.

11. MÉTODOGRAFICO
El método se basa en que en el plano de coordenadas rectangulares, una ecuación
de la forma ax +by = c, está representada por una recta cuyos puntos son parejas
ordenadas de números reales, donde la primera componente corresponde a x y la
segunda componente a y
Primero
las rectas se corten en un punto, lo que indica que la solución es única y será el
punto de corte.
Segundo
las dos rectas coincidan, luego hay infinitas soluciones.
Tercero
las rectas sean paralelas, lo que indica es que NO hay solución.

12. L1 y L2, corresponden a las ecuaciones uno y dos del sistema.
El método es adecuado cuando hay soluciones enteras, ya que los puntos de corte
son bien definidos. El procedimiento básico consisten en despejar y en las dos
ecuaciones y, darle valores arbitrarios a x para obtener parejas (x, y), por lo general
se asignas números enteros cercanos a cero; para facilitar el proceso y hacer la
gráfica. Así se obtienen dos parejas de números, que corresponde a dos puntos en el
plano (x1, y1) y (x2, y2), con lo cual se puede graficar una recta (Axioma Euclidiano)

13. Ejemplo
Según el procedimiento para la primera ecuación:
3x-2y=5 → 𝑦 =
5−3𝑦
−2
Tomemos dos valores, por ejemplo x = 3, entonces: y = [5 – 3(3)]/-2 = 2. El punto es
(3, 2) Otro valor x = 5, entonces: y = [5 – 3(5)]/-2 = 5. El punto es (5, 5) Los puntos
para graficar la primera recta son: (3, 2) y (5, 5).
Para la segunda ecuación 5x-y=6 → 𝑦 = 5𝑥 − 6
Los valores: x = 1, entonces: y = 5(1) – 6 = -1. El punto es (1, -1) El otro valor x = 2,
entonces y = 5(2) – 6 = 4, el punto es (2, 4) Los puntos para graficar la segunda recta
son: (1, -1) y (2, 4)

14. Graficando
Según la gráfica, el punto de corte es (1, -1)
Luego la solución son: x = 1, y = -1.

15. Ejemplo
Dado el sistema de ecuaciones, hallar la solución correspondiente.
2x + y =5
4x + 2y = 8
Solución:
Como en el caso anterior, se despeja y, dando valores arbitrarios a x.
Se toma la primera ecuación:
2x + y =5→ y = 5- 2x
Para x = 1, entonces y = 5 – 2(1) = 3, el punto es (1, 3)
Para x = 4, entonces y = 5 – 2(4) = -3 el punto es (4, -3)
En seguida la segunda ecuación: 4x + 2y =8→ y=
8−4𝑥
2

16. Para x = 2, entonces y = [8 – 4(2)]/2 = 0, el punto es (2, 0)
Para x = 3, entonces y = [8 – 4(3)]/2 = -2, el punto es (3, -2)
Graficamos:
Como las rectas son paralelas, no hay puntos de corte, por consiguiente
el sistema NO tiene solución.

17. REFERENTES
https://repository.unad.edu.co/bitstream/handle/10596/11583/Modulo_Algebra_T
rigonometria_y_Geometria_Analitica_2017.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/40539?page=51
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/769