Recommended
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY và ứng dụng trong giải tích phức.pptx
Similar to CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY và ứng dụng trong giải tích phức.pptx (20)
CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY và ứng dụng trong giải tích phức.pptx
- 1. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: Lương Lê Hải Hàm biến số phức
- 2. ĐỊNH LÍ 2.4 Giả sử hàm 𝑓 𝑧 giải tích trong miền giới nội 𝐷 và liên tục trên biên 𝜕𝐷. Khi đó giá trị 𝒇 𝒛𝟎 tại điểm bất kỳ 𝒛𝟎 ∈ 𝑫 được biểu diễn thông qua công thức tích phân Cauchy: 𝒇 𝒛𝟎 = 𝟏 𝟐𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇 𝒛 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛
- 3. Chia miền 𝐷 thành hai miền 𝐷1 và 𝐷2 sao cho biên 𝐶𝑟 của 𝐷2 nằm trong 𝐷1. 𝐷2 là một hình tròn 𝑧0, 𝑟 . Khi này miền 𝐷1 nhị liên và 𝐷2 đơn liên. Theo định lý Cauchy cho miền đa liên, ta có: 𝑰 = 𝝏𝑫𝟏 𝒇 𝒛 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 = 𝑪𝒓 𝒇 𝒛 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 Chứng minh trực quan công thức tích phân Cauchy
- 4. Ta có thể hiểu như sau: 𝐼 = 𝜕𝐷 = 𝐶𝑟 Nghĩa là tích phân 𝐼 luôn bằng với tích phân dọc theo một đường tròn 𝑧0, 𝑟 bất kể 𝒓 bằng bao nhiêu. Ta sẽ xét một đường tròn có bán kính rất nhỏ vì 𝑓(𝑧) trong miền đó sẽ có giá trị xấp xỉ 𝑓 𝑧0 , nghĩa là 𝑓 𝑧 → 𝑓 𝑧0 khi 𝑧 → 𝑧0: Chứng minh trực quan công thức tích phân Cauchy
- 5. 𝐼 = 𝐶𝑟 = lim 𝑧→𝑧0 𝐶𝑟 f z z − z0 dz = lim 𝑧→𝑧0 𝐶𝑟 f z0 z − z0 dz = f z0 lim 𝑧→𝑧0 𝐶𝑟 1 z − z0 dz 𝑓 𝑧0 2𝜋𝑖 Chứng minh trực quan công thức tích phân Cauchy
- 6. Tích phân trong giới hạn vừa rồi có giá trị bằng 𝟐𝛑𝒊, không phụ thuộc 𝒛𝟎. Vậy: 𝐼 = 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓 𝑧0 = 𝜕𝐷 𝑓 𝑧 𝑧 − 𝑧0 𝑑𝑧 Hay 𝑓 𝑧0 = 1 2𝜋𝑖 𝜕𝐷 𝑓(𝑧) 𝑧 − 𝑧0 𝑑𝑧 Chứng minh trực quan công thức tích phân Cauchy
- 7. Công thức Cauchy để tính tích phân 𝑰 = 𝒈 𝒛 𝒅𝒛 với 𝑔 𝑧 có những điểm bất thường 𝒛𝟎 khiến hàm không giải tích tại điểm đó, nếu 𝐈 có thể đưa về dạng 𝒇 𝒛 𝒛−𝒛𝟎 𝒅𝒛 sao cho 𝒇(𝒛) giải tích trong khắp miền cần khảo sát (và liên tục trên biên). ỨNG DỤNG
- 8. TÍNH TÍCH PHÂN THEO CÔNG THỨC CAUCHY Bước 1 Vẽ miền D Bước 2 Tìm các điểm bất thường của hàm ban đầu bằng cách tìm các không điểm của mẫu số, từ đó xác định được điểm z0 thuộc D Bước 3 Tìm hàm f(z) (là phần còn lại của các hàm ban đầu sau khi đã tách z-z0) Bước 4 Thực hiện tính toán, tích phân đã cho 𝑰 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇 𝒛𝟎
- 9. Nhắc lại một số kiến thức toán thường dùng Phương trình đường tròn tâm a bán kính r là 𝒛 − 𝒂 = 𝒓
- 10. 𝒂 𝒃 𝒄 = 𝒂 𝒃 ⋅ 𝒄 𝒅 𝒅𝒛 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒛 𝒅 𝒅𝒛 𝒔𝒊𝒏𝒉 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 Đạo hàm của hàm Hyperbolic Nhắc lại một số kiến thức toán thường dùng
- 11. Bài 1: Tính tích phân sau trên 𝐶: 𝑧 − 𝑖 = 1 𝑰 = 𝑪 𝒅𝒛 𝒛𝟐 + 𝟏
- 12. 𝑧 − 𝑖 = 1 → 𝑧 − 0 + 1𝑖 = 1 Đường tròn tâm 𝐸 0; 1 bán kính 𝑟 = 1 Xét 𝑧2 + 1 = 0 → 𝑧1 = 𝑖 𝑧2 = −𝑖 Ta nhận thấy điểm 𝑧1 = 𝑖 nằm trong đường tròn 𝐶: 𝑧 − 𝑖 = 1 Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇 𝒛 = 𝟏 𝒛+𝟏 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 𝑖 ≤ 1 𝝏𝑫 𝒇 𝒛𝟎 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇 𝒛𝟎
- 13. Theo công thức tích phân Cauchy, ta có: 𝐼 = 𝐶 𝑑𝑧 𝑧2 + 1 = 𝐶 𝑑𝑧 (𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 𝑖) 𝐼 = 𝐶: 𝑓 𝑧 𝑧 − 𝑖 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓 𝑖 = 𝜋 𝑓 𝑖 = 1 2𝑖 𝑰 = 𝝅
- 14. Bài 2: Tính tích phân trên 𝐶: 𝑧 = 2 𝑱 = 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒊𝒛 𝒛𝟐 + 𝟒𝒛 + 𝟑 𝒅𝒛
- 15. 𝑧 = 2 → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 2 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 2 Xét 𝑧2 + 4𝑧 + 3 = 0 → 𝑧1 = −1 𝑧2 = −3 Ta nhận thấy chỉ có điểm 𝑧1 = −1 nằm trong đường tròn 𝐶: 𝑧 = 2 𝐽 = 𝐶 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑖𝑧 𝑧2 + 4𝑧 + 3 𝑑𝑧 = 𝐶 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑖𝑧 (𝑧 + 1)(𝑧 + 3) 𝑑𝑧
- 16. Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇 𝒛 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒊𝒛 𝒛+𝟑 giải tích trong hình tròn 𝑧 ≤ 2 Theo công thức tích phân Cauchy, ta có: 𝐽 = 𝐶 𝑓 𝑧 𝑧 + 1 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓 −1 = 𝜋𝑖 ⋅ cos 1 𝑓 −1 = cosh −𝑖 2 cos(𝑖𝑧) = cosh 𝑧 𝑱 = 𝝅𝒊 ⋅ 𝒄𝒐𝒔 𝟏
- 17. Bài 3: Tính tích phân 𝐶: 𝑧 − 1 = 2 𝑱 = 𝑪 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛 𝟐 𝒛𝟐 + 𝟐𝒛 − 𝟑 𝒅𝒛
- 18. 𝑧 − 1 = 2 → 𝑧 − 1 + 0𝑖 = 2 Đường tròn tâm 𝐸 1; 0 bán kính 𝑟 = 2 Xét 𝑧2 + 2𝑧 − 3 = 0 → 𝑧1 = 1 𝑧2 = −3 Ta nhận thấy chỉ có điểm 𝑧1 = 1 nằm trong đường tròn 𝐶: 𝑧 − 1 = 2 𝐽 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑧 2 𝑧2 + 2𝑧 − 3 𝑑𝑧 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑧 2 (𝑧 − 1)(𝑧 + 3) 𝑑𝑧
- 19. Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇 𝒛 = 𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒛 𝟐 𝒛+𝟑 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 2 Theo công thức tích phân Cauchy, ta có: 𝐽 = 𝐶 𝑓 𝑧 𝑧 − 1 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓 1 = 𝜋 2 𝑖 𝑓 1 = 1 4 𝑱 = 𝝅 𝟐 𝒊
- 20. Bài 4: Tính tích phân sau 𝐶: 𝑧 = 5 𝑨 = 𝑪 𝟐𝒛 − 𝟕𝒊 𝒛𝟐 − 𝒊𝒛 + 𝟐 𝒅𝒛
- 21. 𝑧 = 5 → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 5 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 5 𝑋é𝑡 𝑧2 − 𝑖𝑧 + 2 = 0 ∎ Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −9 ; Δ < 0 Với công thức nghiệm 𝑧 = −𝑏 ± 𝑖 −Δ 2𝑎 → 𝑧1 = −𝑖 𝑧2 = 2𝑖 Ta nhận thấy điểm 𝑧1 = −𝑖; 𝑧2 = 2𝑖 đều nằm trong đường tròn z = 5. Ta không thể tính trực tiếp công thức tích phân Cauchy được.
- 22. Trong lân cận của hai điểm 𝑧1 = −𝑖 và 𝑧2 = 2𝑖 ta vẽ hai đường tròn nhỏ 𝛾1 và 𝛾2 nằm hoàn toàn trong 𝐶: 𝑧 = 5. Trong miền tam liên được giới hạn bởi ba đường tròn 𝐶, 𝛾1 và 𝛾2 thì hàm số dưới dấu tích phân luôn giải tích. Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇𝟏 𝒛 = 𝟐𝒛−𝟕𝒊 𝒛−𝟐𝒊 và 𝒇𝟐 𝒛 = 𝟐𝒛−𝟕𝒊 𝒛+𝒊 lần lượt giải tích trong hình tròn 𝛾1và 𝛾2 Theo công thức tích phân Cauchy, ta có: 𝐴 = 𝐶 2𝑧 − 7𝑖 (𝑧 + 𝑖)(𝑧 − 2𝑖) 𝑑𝑧 𝐴 = 𝛾1 𝑓1 𝑧1 𝑧 + 𝑖 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2 𝑧2 𝑧 − 2𝑖 𝑑𝑧 𝐴1 𝐴2
- 23. → 𝐴 = 𝛾1 𝑓1 𝑧1 𝑧 + 𝑖 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2 𝑧2 𝑧 − 2𝑖 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓1 −𝑖 = 6𝜋𝑖 𝑓1 −𝑖 = 3 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓2 2𝑖 = −2𝜋𝑖 𝑓2 2𝑖 = −1 𝑨 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟔𝝅𝒊 − 𝟐𝝅𝒊 = 𝟒𝝅𝒊
- 24. Bài 5: Tính tích phân sau 𝐶: 𝑧 − 3 = 3 𝐾 = 𝐶 sin 𝜋𝑧2 + cos 𝜋𝑧2 𝑧2 − 3𝑧 + 2 𝑑𝑧
- 25. 𝑧 − 3 = 3 → 𝑧 − 3 + 0𝑖 = 3 Đường tròn tâm 𝐸 3; 0 bán kính 𝑟 = 5 𝑋é𝑡 𝑧2 − 3𝑧 + 2 = 0 → 𝑧1 = 1 𝑧2 = 2 𝐼 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑧2 + 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑧2 𝑧 − 1 𝑧 − 2 𝑑𝑧 Ta thấy điểm 𝑧1 = 1; 𝑧2 = 2 đều nằm trong đường tròn z − 3 = 3. Ta không thể tính trực tiếp công thức tích phân Cauchy được.
- 26. Trong lân cận của hai điểm 𝑧1 = 1 và 𝑧2 = 2 ta vẽ hai đường tròn nhỏ 𝛾1 và 𝛾2 nằm hoàn toàn trong 𝐶: 𝑧 − 3 = 3. Trong miền tam liên được giới hạn bởi ba đường tròn 𝐶, 𝛾1 và 𝛾2 thì hàm số dưới dấu tích phân luôn giải tích. Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇𝟏 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛𝟐+𝒄𝒐𝒔 𝝅𝒛𝟐 𝒛−𝟐 và 𝒇𝟐 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛𝟐+𝒄𝒐𝒔 𝝅𝒛𝟐 𝒛−𝟏 lần lượt giải tích trong hình tròn 𝛾1và 𝛾2 𝐾 = 𝛾1 𝑓1(𝑧) 𝑧 − 1 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2(𝑧) 𝑧 − 2 𝑑𝑧 𝐾1 𝐾2
- 27. 𝐾 = 𝛾1 𝑓1(𝑧) 𝑧 − 1 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2(𝑧) 𝑧 − 2 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓1 1 = 2𝜋𝑖 𝑓1 1 = 1 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓2 2 = 2𝜋𝑖 𝑓2 2 = 1 𝑲 = 𝑲𝟏 + 𝑲𝟐 = 𝟐𝝅𝒊 + 𝟐𝝅𝒊 = 𝟒𝝅𝒊
- 28. HỆ QUẢ CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY Giả sử hàm 𝑓(𝑧) giải tích trong miền giới nội 𝐷 và liên tục trên biên 𝜕𝐷. Khi đó, hàm 𝑓(𝑧) có đạo hàm mọi cấp tại điểm 𝒛𝟎 bất kì trong miền 𝐷 và được biểu diễn qua công thức tích phân Cauchy: 𝒇 𝒏 𝒛𝟎 = 𝒏! 𝟐𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 (𝒏 = 𝟏, 𝟐, … ) Chú ý: Hệ quả công thức tích phân Cauchy được dùng khi mẫu số của hàm số trong dấu tích phân có lũy thừa lớn hơn 1. Với lũy thừa là 1 thì ta dùng công thức tích phân Cauchy bình thường.
- 29. Ví dụ: Tính tích phân sau 𝐶: 𝑧 + 2 − 𝑖 = 3 𝑰 = 𝑪 𝒊𝒛𝟑 + 𝒛𝟐 (𝒛 + 𝟏 + 𝒊)𝟐 𝒅𝒛
- 30. 𝑧 + 2 − 𝑖 = 3 → 𝑧 − −2 + 𝑖 = 3 Đường tròn tâm E −2; 1 bán kính 𝑟 = 3 𝐼 = 𝐶=𝜕𝐷 𝑓(𝑧) (𝑧 − 𝑧0)𝑛+1 𝑑𝑧 𝐼 = 𝐶 𝑖𝑧3 + 𝑧2 [𝑧 − −1 − 𝑖 ]1+1 𝑑𝑧 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒊𝒛𝟑 + 𝒛𝟐 giải tích trong hình tròn 𝑧 + 2 − 𝑖 ≤ 3. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 1
- 31. 𝑓 𝑧 = 𝑖𝑧3 + 𝑧2 𝑑𝑓 𝑑𝑧 𝑓′ 𝑧 = 3𝑧2𝑖 + 2𝑧 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇(𝒏) 𝒛𝟎 𝒏! → 𝑓′ −1 − 𝑖 = −8 − 2𝑖 𝐼 = 𝐶 𝑖𝑧3 + 𝑧2 [𝑧 − −1 − 𝑖 ]1+1 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓′ −1 − 𝑖 1! 𝑰 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ −𝟖 − 𝟐𝒊 𝟏! = 𝟒𝝅 − 𝟏𝟔𝝅𝒊
- 32. Bài 1: Tính tích phân 𝐶: 𝑧 − 1 = 1 𝐼 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑧 𝑧2 − 1 2 𝑑𝑧
- 33. 𝑧 − 1 = 1 → 𝑧 − 1 + 0𝑖 = 1 Đường tròn tâm E 1; 0 bán kính 𝑟 = 1 𝑋é𝑡 z2 − 1 = (𝑧 − 1)(𝑧 + 1) → 𝑧1 = 1 𝑧2 = −1 𝐼 = 𝐶 sin 𝜋z 𝑧 − 1 2 𝑧 + 1 2 𝑑𝑧 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛 (𝒛+𝟏)𝟐 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 1/2. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 1
- 34. Ta thấy rằng hàm số 𝑓 𝑧 = sin 𝜋𝑧 𝑧+1 2 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 1, nên ta có thể áp dụng công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) khi 𝑛 = 1 𝑰 = 𝑪 𝒔𝒊𝒏 𝝅𝒛 (𝒛 + 𝟏)𝟐 𝒛 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒛 𝑓′ 1 = − 𝜋 4 𝐼 = 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓′ 1 𝑰 = −𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝝅 𝟒 = − 𝝅𝟐 𝟐 𝒊 𝑓 𝑧 = sin 𝜋𝑧 𝑧 + 1 2 𝑓′ 𝑧 = 𝜋 1 + 𝑧 cos 𝜋𝑧 − 2 sin 𝜋𝑧 𝑧 + 1 3 𝑑𝑓 𝑑𝑧
- 35. Bài 2: Tính tích phân C: z = 2 𝐽 = 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧
- 36. Khai triển hàm 𝟏 𝒛+𝟏 𝟑(𝒛−𝟏) thành các hàm phân thức hữu tỉ tối giản. Sử dụng khai triển trên, ta có: 𝑱 = 𝟏 𝟖 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 − 𝟏 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟖 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟒 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟐 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟐 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒅𝒛 1 𝑧 + 1 3 𝑧 − 1 = 1 8 ∙ 1 𝑧 − 1 − 1 8 ∙ 1 𝑧 + 1 − 1 4 ∙ 1 𝑧 + 1 2 − 1 2 ∙ 1 (𝑧 + 1)3
- 37. Hai tích phân đầu tiên được tính bằng công thức tích phân Cauchy: 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 − 1 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 cosh 1 , 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 cosh 1 Hai tích phân cuối được tính bằng công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 2 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖(cosh 𝑧)′ 𝑧=−1 = −2𝜋𝑖 sinh 1 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 2! (cosh 𝑧)" 𝑧=−1 = 𝜋𝑖 cosh 1 𝑱 = 𝟏 𝟖 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 − 𝟏 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟖 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟒 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟐 𝒅𝒛 − 𝟏 𝟐 𝑪 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒅𝒛
- 38. Từ đó, ta có 𝐽 = 2𝜋𝑖 cosh 1 8 − 2𝜋𝑖 cosh 1 8 + 2𝜋𝑖 sinh 1 4 − 𝜋𝑖 cosh 1 2 = sinh 1 − cosh 1 2 𝜋𝑖 𝑰 = − 𝝅𝒊 𝟐𝒆
- 39. Phương trình 𝑧 + 1 2 𝑧 − 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt là 𝑧 = −1 và 𝑧 = 1. Trong lân cận của hai điểm này vẽ hai đường tròn nhỏ 𝛾1 và 𝛾2 hoàn toàn nằm trong hình tròn 𝑧 ≤ 2. Trong miền tam liên được giới hạn bởi 3 đường tròn 𝜸𝟏, 𝜸𝟐 và 𝐂: 𝒛 = 𝟐 thì hàm số dưới dấu tích phân luôn giải tích. Theo định lý Cauchy đối với miền đa liên, ta có: 𝐽 = 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧 CÁCH 2
- 40. 𝐽 = 𝐶 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧 𝑱 = 𝜸𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 + 𝜸𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 𝐽1 𝐽2
- 41. 𝑱 = 𝜸𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 + 𝜸𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 = 𝑱𝟏 + 𝑱𝟐 𝐽1 = 𝛾1 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧 = 𝛾1 cosh 𝑧 𝑧 − 1 𝑧 + 1 3 𝑑𝑧 Trong tích phân này hàm 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑧 𝑧−1 giải tích trong miền 𝛾1 nên theo công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm, ta có: 𝐽1 = 2𝜋𝑖 2! cosh 𝑧 𝑧 − 1 ′′ 𝑧=−1 = −𝜋𝑖 2𝑒−1 + cosh 1 4 Xét tích phân đầu tiên
- 42. 𝑱 = 𝜸𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 + 𝜸𝟐 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒛 𝒛 + 𝟏 𝟑 𝒛 − 𝟏 ⅆ𝒛 = 𝑱𝟏 + 𝑱𝟐 𝐽1 = 𝛾2 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3(𝑧 − 1) 𝑑𝑧 = 𝛾2 cosh 𝑧 𝑧 + 1 3 𝑧 − 1 𝑑𝑧 = 2𝜋𝑖 cosh 𝑧 (𝑧 + 1)3 𝑧=1 = 𝜋𝑖 cosh 1 4 Xét tích phân thứ hai: 𝑱 = −𝝅𝒊 𝟐𝒆−𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝟏 𝟒 + 𝝅 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝟏 𝟒 = − 𝝅𝒊 𝟐𝒆
- 43. HỆ QUẢ (ĐỊNH LÍ LIOUVILLE) Nếu hàm 𝑓(𝑧) giải tích và bị chặn trên toàn mặt phẳng phức thì 𝑓(𝑧) là hàm hằng. Ví dụ: Chứng minh hàm 𝑓 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 𝑧 không bị chặn. Ta có: 𝑓 0 = 0, 𝑓 𝜋 2 = 1 nên 𝑓 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑧 không là hàm hằng. Vậy 𝑓 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛 𝑧 không bị chặn.
- 45. 4 1 2 3 4 5
- 46. Quay lại Câu 1: Điều kiện của 𝒇 𝒛 để sử dụng công thức tích phân Cauchy là gì? Hàm 𝑓 𝑧 giải tích trong miền giới nội 𝐷 và liên tục trên biên 𝜕𝐷 Bạn được 3 điểm
- 47. Quay lại Câu 2: Tính tích phân: 𝑰 = 𝑪: 𝒛+𝟐−𝟐𝒊 =𝟑 𝒊𝒛𝟑 + 𝟐 𝒛 + 𝟏 − 𝟑𝒊 𝒅𝒛 A. = −𝟓𝟐𝝅 + 𝟒𝟎𝝅𝒊 Bạn được 5 điểm B. = −𝟓𝟐𝝅 − 𝟒𝟎𝝅𝒊 C. = 𝟓𝟐𝝅 − 𝟒𝟎𝝅𝒊
- 48. Quay lại Câu 3: Công thức tích phân Cauchy? 𝒇 𝒛𝟎 = 𝟏 𝟐𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇 𝒛 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 Bạn được 2 điểm
- 49. Quay lại Câu 4: Tính tích phân 𝐾 = 𝑧 =2 sin 𝑖𝑧 𝑧2 − 4𝑧 + 3 𝑑𝑧 A. −𝝅 𝒆 − 𝒆−𝟏 Bạn được 8 điểm B. −𝝅𝒆 C. 𝝅(𝒆 − 𝒆−𝟏 )
- 50. Quay lại Câu 5: Tính tích phân: 𝑰 = 𝑪: 𝒛+𝟑𝒊 =𝟐 𝒛 + 𝟐 − 𝟑𝒊 𝒛 + 𝟐𝒊 𝟐(𝒛 − 𝟏) 𝒅𝒛 Bạn được 10 điểm 𝑰 = 𝑪 𝒛 + 𝟐 − 𝟑𝒊 𝒛 + 𝟐𝒊 𝟐 𝒛 − 𝟏 𝒅𝒛 𝑪 𝒛 + 𝟐 − 𝟑𝒊 𝒛 − 𝟏 𝒛 − (−𝟐𝒊) 𝟏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 𝒇′ 𝒛𝟎 = − 𝟔𝝅 𝟐𝟓 + 𝟒𝟐𝝅 𝟐𝟓 𝒊
- 52. Bài 1: Tính tích phân 𝐶: 𝑧 = 5 𝑩 = 𝑪 𝟏 𝒛𝟐 + 𝟏𝟔 𝒅𝒛
- 53. 𝑧 = 5 → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 5 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 5 𝑋é𝑡 z2 + 16 = 0 → 𝑧1 = 4i 𝑧2 = −4i 𝐵 = 𝐶 1 (z − 4i)(z + 4i) 𝑑𝑧 Ta thấy điểm 𝑧1 = 4i; 𝑧2 = −4i đều nằm trong đường tròn z = 5. Ta không thể tính trực tiếp công thức tích phân Cauchy được.
- 54. Trong lân cận của hai điểm 𝑧1 = 4𝑖 và 𝑧2 = −4𝑖 ta vẽ hai đường tròn nhỏ 𝛾1 và 𝛾2 nằm hoàn toàn trong 𝐶: 𝑧 = 5. Trong miền tam liên được giới hạn bởi ba đường tròn 𝐶, 𝛾1 và 𝛾2 thì hàm số dưới dấu tích phân luôn giải tích. Hàm 𝑓 𝑧 có dạng: 𝒇𝟏 𝒛 = 𝟏 𝒛+𝟒𝒊 và 𝒇𝟐 𝒛 = 𝟏 𝒛−𝟒𝒊 lần lượt giải tích trong hình tròn 𝛾1và 𝛾2 Theo công thức tích phân Cauchy, ta có: 𝐵 = 𝛾1 𝑓1(𝑧) 𝑧 − 4𝑖 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2(𝑧) 𝑧 + 4𝑖 𝑑𝑧 𝐵1 𝐵2
- 55. B = 𝛾1 𝑓1(𝑧) 𝑧 − 4i 𝑑𝑧 + 𝛾2 𝑓2(𝑧) 𝑧 + 4i 𝑑𝑧 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓1 4i = 𝜋 4 𝑓1 4i = 1 8i 2𝜋𝑖 ⋅ 𝑓2 −4i = − 𝜋 4 𝑓2 −4i = − 1 8i 𝑩 = 𝑩𝟏 + 𝑩𝟐 = 𝝅 𝟒 − 𝝅 𝟒 = 𝟎 𝝏𝑫 𝒇 𝒛𝟎 𝒛 − 𝒛𝟎 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇 𝒛𝟎
- 56. Bài 2: Tính tích phân 𝐶: 𝑧 − 1 = 1/2 𝑰 = 𝑪 𝒆𝒊𝒛 𝒛𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒛
- 57. 𝑧 − 1 = 1/2 → 𝑧 − 1 + 0𝑖 = 1/2 Đường tròn tâm 𝐸 1; 0 bán kính 𝑟 = 1/2 𝑋é𝑡 𝑧2 − 1 2 = 𝑧 − 1 2 𝑧 + 1 2 𝐼 = 𝐶 𝑒𝑖𝑧 𝑧 − 1 2 𝑧 + 1 2 𝑑𝑧 → 𝑧1 = 1 𝑧2 = −1 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒆𝒊𝒛 𝒛+𝟏 𝟐 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 1/2. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 1
- 58. Ta thấy 𝑓 𝑧 = 𝑒𝑖𝑧 𝑧+1 2 giải tích trong hình tròn 𝑧 − 1 ≤ 1/2. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 1 𝐼 = 𝐶 𝑒𝑖𝑧 𝑧 + 1 2 𝑧 − 1 2 𝑑𝑧 𝑓′ 𝑧 = 𝑖𝑒𝑖𝑧[𝑧 + 1 + 2𝑖 ] 𝑧 + 1 3 𝑓′ 1 = 𝑒𝑖 − 1 4 + 𝑖 4 𝑰 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇′ 𝟏 = − 𝟏 𝟐 − 𝒊 𝟐 𝝅𝒆𝒊 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇(𝒏) 𝒛𝟎 𝒏!
- 59. Bài 3: Tính tích phân 𝐶: 𝑧 = 2 𝑲 = 𝑪 𝒛𝟒 𝒛 − 𝒊 𝟑 𝒅𝒛
- 60. 𝑧 = 2 → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 2 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 2 𝑋é𝑡 𝑧 − 𝑖 3 = 0 → 𝑧0 = 𝑖 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒛𝟒 giải tích trong hình tròn 𝑧 ≤ 2. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 2 𝐾 = 𝐶 𝑧4 𝑧 − 𝑖 3 𝑑𝑧
- 61. 𝐾 = 𝐶 𝑧4 𝑧 − 𝑖 3 𝑑𝑧 𝑓′′ 𝑧 = 12𝑧2 𝑓′′ 𝑖 = −12 𝑲 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇′′ 𝒊 𝟐! = −𝟏𝟐𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇(𝒏) 𝒛𝟎 𝒏!
- 62. Bài 4 : Tính tích phân 𝐶: 𝑧 = 1 𝑳 = 𝑪 𝒆𝟐𝒛 𝒛𝟒 𝒅𝒛
- 63. 𝑧 = 1 → 𝑧 − 0 + 0𝑖 = 1 Đường tròn tâm 𝑂 0; 0 bán kính 𝑟 = 1 𝑋é𝑡 𝑧4 = 0 → 𝑧0 = 0 Ta thấy 𝒇 𝒛 = 𝒆𝟐𝒛 giải tích trong hình tròn 𝑧 ≤ 1. Nên ta có thể áp dụng hệ quả công thức tích phân Cauchy đối với 𝑓 𝑛 (𝑧) với 𝑛 = 3 𝐿 = 𝐶 𝑒2𝑧 𝑧4 𝑑𝑧
- 64. 𝑓(3) 𝑧 = 8𝑒2𝑧 𝐿 = 𝐶 𝑒2𝑧 𝑧4 𝑑𝑧 𝑓(3) 0 = 8 𝑳 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇 𝟑 𝟎 𝟑! = 𝟖 𝟑 𝝅𝒊 𝝏𝑫 𝒇(𝒛) (𝒛 − 𝒛𝟎)𝒏+𝟏 𝒅𝒛 = 𝟐𝝅𝒊 ⋅ 𝒇(𝒏) 𝒛𝟎 𝒏!