Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.docx

THÁI NGUYÊN - 2019
Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
PHẠM THỊ THU TRANG
TÍNH BẤT KHẢ QUY
CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
PHẠM THỊ THU TRANG
TÍNH BẤT KHẢ QUY
CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn

1
Mnc lnc
L i cảm ơn 2
M đau 3
1 Tiêu chuan Eisenstein và tiêu chuan rút gon theo module
m t so nguyên to 5
1.1 Tiêu chuȁn Eisenstein và m®t so mở r®ng . . . . . . . . . . 6
1.2 Tiêu chuȁn rút gon theo module m®t so nguyên to và bài
toán ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Giá trị khả nghịch, giá trị nguyên to và tính bat khả quy 16
2.1 Giá trị khả nghịch và tính bat khả quy . . . . . . . . . . . 16
2.2 Giá trị nguyên to và tính bat khả quy . . . . . . . . . . . . 21
2.3 M®t tiêu chuȁn mới ve tính bat khả quy . . . . . . . . . . . 27
2.4 Giá trị nguyên to tại đoi so đủ lớn và tính bat khả quy . . . 32
Ket lu n 37
Tài li u tham khảo 38

2
L i cảm ơn
Trước tiên tôi xin gải lời cảm ơn chân thành và sâu sac nhat tới GS.TS
Lê Thị Thanh Nhàn. M c dù rat b n r®n trong công vi c, song ngay tà
nhǎng ngày đau tiên Cô đã luôn t n tình chỉ bảo, hướng dan và đưa ra
nhǎng lời khuyên có ích giúp tôi hoàn thi n lu n văn này.
Tôi cũng xin gải lời cảm ơn tới các thay, cô cán b® khoa Toán - Tin,
trường Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc Thái Nguyên, Ban giám hi u và các
đong nghi p trường Trung hoc phő thông Hoành Bo - Tỉnh Quảng Ninh
cùng các bạn t p the lớp Cao hoc Toán K11D, đã không chỉ trang bị cho
tôi nhǎng kien thác bő ích mà còn luôn luôn giúp đơ tôi, tạo đieu ki n cho
tôi trong thời gian theo hoc tại trường.
Cuoi cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biet ơn đen gia đình, bạn bè,
nhǎng người đã không ngàng ủng h®, đ®ng viên, ho trợ và tạo moi đieu
ki n giúp tôi vượt qua nhǎng khó khăn đe hoàn thi n lu n văn.

3
M đau
Tính bat khả quy của đa thác với h so nguyên trên trường các so phác
C và trên trường các so thực R đã được giải quyet tà the k 19 thông qua
Định lý cơ bản của Đại so. Tuy nhiên, tính bat khả quy của đa thác với
h so nguyên trên trường các so hǎu t Q đen nay van đang thách thác
các nhà Toán hoc trên the giới.
Trong lu n văn này, tác giả trình bày lại m®t so tiêu chuȁn bat khả quy
của đa thác trên trường so hǎu t Q với h so nguyên trong các bài báo
gan đây [8] và [11].
Lu n văn gom 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày hai tiêu
chuȁn bat khả quy női tieng. Phan 1.1 trình bày Tiêu chuȁn Eisenstein và
các mở r®ng. Phan 1.2 trình bày tiêu chuȁn rút gon theo module m®t so
nguyên to và phát bieu đảo của tiêu chuȁn này. N®i dung chương 1 được
viet theo bài báo [11] cuả R. Thangadurai năm 2007.
Chương 2 trình bày các tiêu chuȁn bat khả quy trên trường các so hǎu
t Q liên quan đen các giá trị khả nghịch và giá trị nguyên to của đa thác
với h so nguyên. Phan 2.1 trình bày các tiêu chuȁn ve sự liên quan giǎa
giá trị khả nghịch với tính bat khả quy của đa thác. Phan 2.2 trình bày ve
moi quan h giǎa giá trị nguyên to và tính bat khả quy. Các ket quả ở hai
phan này cũng được viet dựa theo bài báo [11] của R. Thangadurai năm
2007. Phan 2.3 trình bày m®t tiêu chuȁn bat khả quy mới trên trường Q
các so hǎu t liên quan đen đa thác có các h so nguyên tăng dan theo chỉ
so và có h so cao nhat nguyên to ho c nh n ít nhat m®t giá trị nguyên
to. Ket quả của phan này được viet dựa theo bài báo [8] của A. Jakhar và
N. Sangwan năm 2018. Phan 2.4 trình bày ve giá trị nguyên to tại đoi so
đủ lớn và tính bat khả quy của đa thác với h so nguyên. N®i dung của
phan này được viet trên cơ sở n®i dung bài báo [11] của R. Thangadurai
năm 2007.

4
Trong lu n văn này, các tiêu chuȁn trong các phan 2.1 ve giá trị khả
nghịch và tính bat khả quy; phan 2.2 ve giá trị nguyên to và tính bat khả
quy; phan 2.3 ve tiêu chuȁn mới cho tính bat khả quy là nhǎng ket quả
chưa được trình bày trong bat cá lu n văn thạc sĩ nào trước đây.
Hơn the, trong các phan 1.1, 1.2, 2.4, m c dù có m®t so ket quả đã
quen biet và được trình bày trong m®t vài lu n văn trước đây (xem [1],
[2]), nhưng cách cháng minh và ví du hau như là mới, do chính tác giả
lu n văn tự tính toán. Đ c bi t neu trong lu n văn [2], Nguyen Văn L p
cháng minh đa thác x4
− 2x2
+ 9 là bat khả quy trên Q nhưng không bat
khả quy trên Zp với moi so nguyên to p bang cách sả dụng kien thác ve
nhóm, thì trong lu n văn này cháng minh đa thác x4
+1 bat khả quy trên
Q nhưng khả quy trên Zp với moi so nguyên to p bang cách sả dụng kien
thác ve trường hǎu hạn.
Thái Nguyên, ngày 25 tháng 5 năm 2019
Tác giả lu n văn
Phạm Thị Thu Trang

5
Chương 1
Tiêu chuan Eisenstein và tiêu chuan
rút gon theo module m t so nguyên
to
M®t đa thác với h so trên m®t trường được goi là bat khả quy neu nó
có b c dương và không phân tích được thành tích của hai đa thác có b c
thap hơn. M®t đa thác b c dương với h so trên m®t trường là khả quy
neu nó là tích của hai đa thác với b c thap hơn.
Chú ý rang tính bat khả quy của đa thác phụ thu®c vào trường cơ sở.
Chȁng hạn, đa thác x2
− 2 là bat khả quy trên trường Q các so hǎu t ,
nhưng không bat khả quy trên trường R các so thực. Đa thác x2
+ 1 bat
khả quy trên trường R nhưng không bat khả quy trên trường C các so
phác.
Tính bat khả quy trên trường các so phác và trên trường các so thực đã
được làm rõ nhờ Định lý cơ bản của Đại so: Moi đa thúc b¾c dương với h
so phúc đeu có ít nhat m®t nghi m phúc. Vì the các đa thác bat khả quy
trên C là và chỉ là các đa thác b c nhat. Các đa thác bat khả quy trên R
là và chỉ là các đa thác b c nhat ho c đa thác b c hai có bi t thác âm.
Câu hỏi được đ t ra là khi nào đa thác f (x) đã cho là khả quy hay bat
khả quy trên Q? Cho đen nay, không có đieu ki n can và đủ nào có the áp
dụng được cho tat cả các đa thác, mà ta chỉ có m®t so tiêu chuȁn đe kiem
tra tính bat khả quy của m®t so trường hợp cụ the.
Rõ ràng moi đa thác b c nhat đeu bat khả quy trên Q. Các đa thác b c
hai và b c ba là bat khả quy trên Q neu và chỉ neu nó không có nghi m

6
hǎu t . Đoi với đa thác b c lớn hơn 3, neu đa thác có nghi m hǎu t thì
nó không bat khả quy. Tuy nhiên đieu ngược lại không đúng. Chȁng hạn,
đa thác (x2
+ 1)2
không có nghi m hǎu t , nhưng không bat khả quy.
Trong chương này, chúng tôi trình bày hai tiêu chuȁn női tieng ve tính
bat khả quy trên trường các so hǎu t Q của đa thác với h so nguyên
dựa theo bài báo [11] của R. Thangadurai. Phan thá nhat dành đe trình
bày Tiêu chuȁn Eisensrein và m®t so mở r®ng của nó. Mở r®ng thá nhat
được phát hi n bởi H. Chao trong bài báo A Generalization of Eisenstein’s
Criterion, Mathematics Magazine, Vol. 47 (1974), 158-159 và mở r®ng thá
hai được đưa ra bởi S. H. Weintraub trong bài báo A mild generazation of
Eisenstein criterion, Proceedings of the American Mathematical Society,
Vol. 141 (2013), 1159-1160. Phan tiep theo trình bày m®t trong nhǎng tiêu
chuȁn bat khả quy phő bien nhat, đó là tiêu chuȁn rút gon theo module
m®t so nguyên to. Phát bieu đảo của tiêu chuȁn này không còn đúng nǎa,
chúng tôi đưa ra m®t cháng minh chi tiet đe minh hoa đieu này.
1.1 Tiêu chuan Eisenstein và m t so m r ng
Trong mục này, chúng tôi trình bày lại tiêu chuȁn Eisenstein và m®t so
mở r®ng liên quan ve tính bat khả quy của các đa thác với h so nguyên
trên trường các so hǎu tỉ Q. Đây là m®t trong nhǎng tiêu chuȁn quen
thu®c thường được sả dụng khi làm các bài toán ve tính bat khả quy của
đa thác trên Q.
Cho
f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0
là đa thác b c n với ai ∈ Z, an /= 0.
Tiêu chuȁn bat khả quy được biet đen nhieu nhat hi n nay là tiêu chuȁn
Eisenstein, được phát bieu như sau.
1.1.1 Định lj 1. Cho đa thúc f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0
là đa thúc với h so nguyên có b¾c n > 0. Neu ton tại m®t so nguyên to
p sao cho p ‡ an, p | ai với moi i = 0, 1, . . . , n − 1 và p2
‡ a0, thì đa thúc
f(x) bat khả quy trên Q.
Chúng minh. Giả sả f(x) khả quy trên Q. Theo Bő đe Gauss, ton tại bieu

7
dien f (x) = g(x)h(x), trong đó g(x) = bmxm
+ · · · + b1x + b0 ∈ Z[x] và
h(x) = ckxk
+ · · · + c1x + c0 ∈ Z[x] với deg g(x) = m, deg h(x) = k và
m, k < n. Do p là ước của a0 = b0c0 nên p | b0 ho c p | c0. M t khác, p2
không là ước của a0 nên trong hai so b0 và c0, chỉ có m®t và chỉ m®t so chia
het cho p. Giả thiet p | c0. Khi đó b0 không chia het cho p. Vì an = bmck
và p ‡ an nên bm và ck đeu không chia het cho p. Do đó ton tại so r bé
nhat sao cho cr không là b®i của p. Ta có
ar = b0cr + (b1cr−1 + b2cr−2 + · · · + brc0).
Vì r ≤ k < n nên p | ar. Theo cách chon r ta có
p | b1cr−1 + b2cr−2 + · · · + brc0.
Suy ra p | b0cr, đieu này là vô lí vì cả hai so b0 và cr đeu không là b®i của
p. V y f(x) là bat khả quy trên Q.
Các đa thác thỏa mãn Định lý 1 được goi là đa thúc Eisenstein. Chȁng
hạn, đa thác x5
− 4x4
+ 18x3
+ 24x2
+ 4x + 6 là đa thác Eisenstein vì nó
bat khả quy theo Tiêu chuȁn Eisenstein với p = 2.
Thông thường, Tiêu chuȁn Eisenstein không áp dụng được trực tiep cho
đa thác f(x), mà chúng ta có the áp dụng cho đa thác f(x + a) với a
là hang so nào đó. Chú ý rang đa thác f(x) là bat khả quy trên Q neu
và chỉ neu đa thác f(x + a) là bat khả quy trên Q với moi so nguyên a.
Do v y, chúng ta co gang tìm hang so a với hy vong khi bien đői đa thác
f (x + a) ta được m®t đa thác mới thỏa mãn các đieu ki n của Tiêu chuȁn
Eisenstein. Dưới đây là m®t ví dụ ve tính bat khả quy của đa thác chia
đường tròn thá p với p là m®t so nguyên to.
1.1.2 Ví dn 1. Cho p là so nguyên to. Khi đó đa thác chia đường tròn
thá p
f(x) = xp−1
+ xp−2
+ · · · + x + 1
là bat khả quy trên Q.
Chúng minh. Đa thác f (x) = xp−1
+ xp−2
+ · · · + x + 1 có các h so đeu
bang 1 nên không the áp dụng trực tiep Tiêu chuȁn Eisenstein đe xét tính
bat khả quy của f(x).

8
p p
p
Chú ý rang f(x) =
xp
− 1
x − 1
. Suy ra, chon a = 1 ta có
(x + 1)p
− 1 p−1 1 p−2 p−2 p−1
f(x + 1) =
x
= x + Cpx + . . . + Cp x + Cp ,
trong đó Ck
=
p!
là so tő hợp ch p k của p phan tả. Do p nguyên
(p − k)!k!
to nên Ck
là b®i của p với moi k = 1, 2, . . . , p − 2 và Cp−1
= p không là
b®i của p2
. Vì v y f (x + 1) là bat khả quy theo Tiêu chuȁn Eisenstein (áp
dụng cho so nguyên to p). Do đó f(x) bat khả quy trên Q.
Như v y, thông qua tiêu chuȁn Eisenstein, tà bài toán ban đau ve xét
tính bat khả quy của đa thác b c n với h so nguyên, ta đưa ve bài toán
phân tích n h so của đa thác mới f(x + a), sau khi bien đői đa thác
f(x + a) can tìm ra ước chung nguyên to phù hợp của các h so, trà h
so cao nhat, của đa thác f (x + a). Hien nhiên, chúng ta co gang bien đői
đa thác đe tạo ra đa thác mới với h so lớn hơn, nhưng nhi m vụ sau đó
là tính toán và kiem tra các ước nguyên to chung của các h so thỏa mãn
đieu ki n trong Tiêu chuȁn Eisenstein. Tuy nhiên, chúng ta chưa chac chan
ve sự ton tại của phép bien đői đe đa thác ban đau chuyen thành đa thác
mới có the áp dụng tiêu chuȁn Eisenstein, tác là chưa chac đã tìm được
so nguyên a đe đa thác f (x + a) áp dụng được Tiêu chuȁn Eisenstein áng
với m®t so nguyên to p nào đó. Ví dụ, người ta đã chỉ ra rang đa thác
x4
− 10x2
+ 1 là bat khả quy trên Q nhưng không tìm được so nguyên a
đe đa thác
(x + a)4
− 10(x + a)2
+ 1
bat khả quy theo Tiêu chuȁn Eisenstein với m®t so nguyên to p nào đó.
Trong phan cuoi của mục này, chúng ta nhac lại m®t so mở r®ng của
Tiêu chuȁn Eisenstein. Trước het chúng ta nhac lại tiêu chuȁn bat khả
quy của H. Chao trong bài báo A Generalization of Eisenstein’s Criterion,
Mathematics Magazine, Vol. 47 (1974), 158-159.
1.1.3 Định lj 2. Cho f(x) = anxn
+ . . . + a1x + a0 là đa thúc b¾c n với
h so nguyên. Giả sủ p là m®t so nguyên to sao cho có hai chí so t /= k
thóa mãn: p không là ước của at, p là ước của ai với moi i /= t và p2
không
là ước của ak. Khi đó neu f(x) là tích của hai đa thúc với h so nguyên,
thì m®t trong hai đa thúc đó có b¾c lớn hơn ho¾c bang | t − k |.

9
Chúng minh. Xem [1].
Trước khi đưa ra m®t so ví dụ minh hoa cho vi c áp dụng tiêu chuȁn
trong Định lý 2, chúng ta chú ý đieu ki n ve nghi m hǎu t của đa thác
với h so nguyên như sau: Neu r/s là phân so toi giản và là nghi m của
đa thác f(x) với h so nguyên, thì r phải là ước của h so tự do và s là
ước của h so cao nhat.
Định lý trên là m®t mở r®ng không tam thường của Tiêu chuȁn Eisen-
stein. Chú ý rang neu f (x) là đa thác với h so nguyên phân tích được
thành tích của hai đa thác với h so hǎu t g(x) và h(x), thì nó phân tích
được thành tích của hai đa thác với h so nguyên g1(x) và h1(x), trong
đó deg g(x) = deg g1(x) và deg h(x) = deg h1(x), xem Bő đe Gauss ([3,
Định lý 2.3.2]). Vì the, khi t = n và k = 0, thì định lý trên trở thành Tiêu
chuȁn Eisenstein. Khi t = 0 và k = n thì moi đa thác thỏa mãn đieu ki n
trong định lý trên van là đa thác bat khả quy trên Q.
1.1.4 Ví dn 2. Các đa thác sau là bat khả quy trên Q.
(i) f(x) = 18x100
− 50x2
+ 40x + 1.
(ii) g(x) = 322x4
+ 256x2
+ 5x + 2.
Chúng minh.
(i) Áp dụng Định lý 2 với t = 0, k = 100 và p = 2, ta suy ra f (x) bat khả
quy trên Q.
(ii) Áp dụng Định lý 2 với t = 1, k = 4 và p = 2, ta suy ra rang neu h(x)
là m®t đa thác với h so nguyên và là ước của g(x), thì h(x) phải có b c
lớn hơn ho c bang 3 ho c h(x) có b c nhỏ hơn ho c bang 1. De thay rang
neu g(x) có nhân tả b c 1 thì nó phải có nghi m hǎu t , và nghi m đó chỉ
có the là 1, −1, 2, −2. Rõ ràng tat cả các so trên đeu không là nghi m của
g(x), vì the nó không có nhân tả b c 1. Suy ra h(x) có b c 4 ho c có b c
0. Vì the g(x) bat khả quy trên Q.
S. H. Weintraub trong bài báo: A mild generazation of Eisenstein crite-
rion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 141 (2013),
1159-1160 đã đưa ra môt mở r®ng của Tiêu chuȁn Eisenstein, được phát
bieu như sau.
1.1.5 Định lj 3. Cho f(x) = anxn
+. . .+a1x+a0 là đa thúc b¾c n với h
so nguyên. Giả sủ p là m®t so nguyên to sao cho p không là ước của an, p

10
là ước của ai với moi i /= n và p2
không là ước của ak với 0 ≤ k ≤ n − 1
.
Goi k0 là so bé nhat trong các so k thóa mãn đieu ki n trên. Khi đó neu
f(x) = g(x)h(x) là tích của hai đa thúc với h so nguyên, thì
min{deg g(x), deg h(x)} ≤ k0.
Chúng minh. Xem [1].
Định lý trên cũng là m®t mở r®ng không tam thường của Tiêu chuȁn
Eisenstein. Khi k0 = 0, thì ta nh n được Tiêu chuȁn Eisenstein. Khi k0 = 1
và f (x) không có nghi m hǎu t , thì f (x) cũng bat khả quy theo định lý
trên. Khi k0 = 2 và f (x) không có nhân tả b c hai, thì f (x) cũng bat khả
quy.
1.1.6 Ví dn 3. Đa thác f(x) = x4
− 14x2
+ 4 là bat khả quy trên Q.
Chúng minh. Áp dụng Định lý 3 với n = 4, k0 = 2 và p = 2, ta suy ra rang
neu f (x) = g(x)h(x) là tích của hai đa thác với h so nguyên, thì g(x)
ho c h(x) có b c nhỏ hơn ho c bang 2. Không mat tính tőng quát ta giả
sả h(x) có b c nhỏ hơn ho c bang 2. Xét trường hợp h(x) có b c 1. Khi đó
f (x) có nghi m hǎu t , và nghi m đó chỉ có the là 1, −1, 2, −2, 4, −4. Rõ
ràng tat cả các so trên đeu không là nghi m của f(x), vì the h(x) không
the có b c 1. Giả sả h(x) có b c 2. Theo Bő đe Gauss, ta có the viet
x4
− 14x2
+ 4 = (x2
+ ax + b)(x2
+ cx + d)
với a, b, c, d là các so nguyên. Đong nhat h so cả hai ve ta được
a + c = 0, b + d + ac = −14, ad + bc = 0, bd = 4.
Suy ra (b, d) chỉ có the là m®t trong các c p sau
(1, 4), (−1, −4), (2, 2), (−2, −2), (4, 1), (−4, −1).
Kiem tra tat cả các trường hợp trên ta đeu thay ho c các đȁng thác không
thỏa mãn, ho c a không là so hǎu t . Vì the h(x) chỉ có the có b c 0. Suy
ra f(x) bat khả quy trên Q.

11
1.2 Tiêu chuan rút gon theo module m t so nguyên to và bài
toán ngư c
M®t tiêu chuȁn xét tính bat khả quy trên Q cũng rat quen biet, được
goi là tiêu chuȁn rút gon theo module m®t so nguyên to.
Trước khi phát bieu tiêu chuȁn rat quen thu®c này, chúng ta can nhac
lại m®t so ký hi u.
Cho n > 1 là m®t so tự nhiên. Ký hi u Zn là vành các so nguyên
modulo n. Khi đó Zn là m®t trường (tác là moi phan tả khác 0 trong Zn
đeu có nghịch đảo) khi và chỉ khi n là so nguyên to. Chȁng hạn, Z5 là m®t
trường, Z4 không là trường. Ta quy ước viet đa thác f(x) ∈ Zp[x], với p
là so nguyên to, là đa thác thu được bang cách chuyen h so của f(x) vào
trường Zp. Chȁng hạn, neu f(x) = 10x2
+ 8, thì f(x) = 3x2
+ 1 ∈ Z7[x].
Tiêu chuȁn rút gon theo module m®t so nguyên to được phát bieu như
sau.
1.2.1 Định lj 4. Cho f (x) là đa thúc với h so nguyên. Neu ton tại
so nguyên to p sao cho f (x) bat khả quy trên trường Zp và deg f (x) =
deg f(x), thì f(x) bat khả quy trên Q.
Chúng minh. Vì đa thác f (x) bat khả quy trên Zp nên deg f (x) > 0. Suy
ra deg f (x) > 0. Giả sả f (x) khả quy trên Q. Theo Bő đe Gauss, f (x) có
phân tích f (x) = g(x)h(x) trong đó g(x), h(x) ∈ Z[x] và g(x), h(x) có b c
nhỏ hơn b c của f (x). Chú ý rang f (x) = g(x)h(x). Do đó deg f (x) =
deg g(x) + deg h(x). Rõ ràng ta có deg g(x) ≥ deg g(x) và deg h(x) ≥
deg h(x). Do đó f (x) phân tích được thành tích của hai đa thác g(x), h(x)
có b c thap hơn. Đieu này mâu thuan với tính bat khả quy của f (x) trên
Zp.
Tiêu chuȁn rút gon theo module m®t so nguyên to là m®t tiêu chuȁn
rat hǎu hi u đe kiem tra tính bat khả quy của đa thác với h so nguyên.
Có nhǎng đa thác có the áp dụng trực tiep tiêu chuȁn này, chȁng hạn với
các đa thác b c ba, người ta thường rút gon theo modulo m®t so nguyên
to p roi kiem tra đa thác trong Zp[x] có nghi m trong Zp hay không. Ví
dụ, đa thác
f(x) = x3
+ 591x2
+ 3801
+ 24240

12
là bat khả quy trên Q. Th t v y, trong vành Z2[x], đa thác f(x) = x3
+
x2
+ 1 không có nghi m trong Z2, vì the đa thác f(x) bat khả quy trên
Z2. Do deg f (x) = 3 = deg f (x), nên f (x) bat khả quy trên Q theo Định
lý 1.2.1. Chú ý rang vi c kiem tra nghi m hǎu t của đa thác f (x) ở trên
là van đe không khả thi bang các công cụ thông thường.
1.2.2 Ví dn 4. Xét tính bat khả quy của đa thác f(x) = 5x2
+ 20x + 19.
Chúng minh. Vì f(x) = 2x2
+2x+1 ∈ Z3[x] không có nghi m trong Z3 và
deg f(x) = 2 nên f(x) bat khả quy trên Z3. Rõ ràng deg f(x) = deg f(x)
nên f(x) bat khả quy trên Q theo Định lý 1.2.1.
1.2.3 Ví dn 5. Xét tính bat khả quy của đa thác sau
g(x) = 6x4
+ 10x3
− 9x2
+ 11x + 1.
Chúng minh. Vì g(x) = x4
+ x2
+ x + 1 ∈ Z5[x] không có nghi m trong Z5
nên nó không có nhân tả b c m®t. Giả sả g(x) khả quy trên Z5. Khi đó
g(x) = (x2
+ ax + b)(x2
+ cx + d)
với a, b, c, d ∈ Z5. Đong nhat h so ở hai ve của đȁng thác này ta được
a + c = 0, b + ac + d = 1, ad + bc = 1, bd = 1.
Vì bd = 1 và vai trò của b, d là như nhau nên không mat tính tőng quát
ta có the giả thiet (b, d) = (1, 1) ho c (b, d) = (2, 3) ho c (b, d) = (4, 4).
Neu (b, d) = (1, 1) thì các phương trình đau và cuoi cho ta a + c = 0 và
a + c = 1, vô lí. Neu (b, d) = (2, 3) thì các phương trình đau và cuoi cho
ta a = 1, c = 4, và do đó phương trình thá hai cho ta 4 = ac = 1, vô lí.
Neu (b, d) = (4, 4) thì các phương trình đau và cuoi cho ta a + c = 0 và
4(a + c) = 1, vô lí. Vì v y h(x) bat khả quy trên Z5. Vì deg h(x) = 4 =
deg h(x) nên theo Định lý 1.2.1 đa thác h(x) bat khả quy trên Q.
Đieu ngược lại của Định lý 4 là không đúng, nghĩa là, neu f (x) bat khả
quy trên Q thì chưa chac nó đã bat khả quy trên Zp với m®t so nguyên to
p nào đó. D. Hilbert là người đau tiên chỉ ra ví dụ ve m®t đa thác với h
so nguyên bat khả quy trên Q nhưng không bat khả quy trên Zp với moi
so nguyên to p. Trong lu n văn thạc sĩ của Nguyen Văn L p (xem [2]) đã
đưa ra cháng minh chi tiet rang đa thác x4
− 2x2
+ 9 là bat khả quy trên

13
Q nhưng không bat khả quy trên Zp với moi so nguyên to p. Cháng minh
trình bày trong [2] phải sả dụng nhǎng kien thác khá sâu ve lý thuyet
nhóm.
Trong lu n văn này, chúng tôi làm rõ ket quả của D. Hilbert bang cách
chỉ ra rang đa thác x4
+ 1 bat khả quy trên Q, nhưng không bat khả quy
trên Zp với moi p nguyên to. Cháng minh ket quả này dựa theo bài báo
[8] bang cách sả dụng nhǎng kien thác ve mở r®ng trường. Vì the, trước
het chúng ta can trình bày m®t so kien thác ve mở r®ng trường.
1.2.4 Định nghĩa 1. Cho K là m®t trường và F là m®t trường cháa K.
Khi đó ta nói F là môt mớ r®ng trường của K và ta viet là F/K. Xét F
như m®t không gian vec tơ trên trường K. Neu chieu của K-không gian
véc tơ F là n thì ta nói mở r®ng trường F/K có b¾c n.
Chȁng hạn, cho K = Q và
F = Q[
√
2] = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q}.
Khi đó F là K-không gian véc tơ chieu là 2 với m®t cơ sở là {1,
√
2}. Vì
the b c của mở r®ng F/K là 2.
1.2.5 M nh đe 1. Cho K là m®t trường và f (x) ∈ K[x] là m®t đa thúc
bat khả quy trên K. Cho deg f (x) = n và α là m®t nghi m trong m®t mớ
r®ng trường nào đó của K. Khi đó
K[α] = {g(α) | g(x) ∈ K[x]}
là m®t mớ r®ng trường của K, b¾c của mớ r®ng là n và h {1, α, . . . , αn−1
}
là m®t cơ sớ của K[α].
Chúng minh. . Xem [3, M nh đe 2.4.2]
Ví dụ, cho K = Q và f(x) = x5
− 2. Khi đó f(x) bat khả quy trên
Q theo Tiêu chuȁn Eisenstein với p = 2. Goi α là môt nghi m của f (x)
trong C (chú ý rang f (x) luôn có nghi m trong C theo Định lý cơ bản của
Đại so). Khi đó Q[α] là m®t mở r®ng b c 5 của Q và h {1, α, α2
, α3
, α4
}
là m®t cơ sở của Q[α].
1.2.6 M nh đe 2. Cho K là m®t trường và f (x) ∈ K[x]. Khi đó ton tại
duy nhat m®t trường toi thieu chúa K và chúa tat cả các nghi m của f(x).
Chúng minh. Xem [3, Định lý 2.4.7]

14
p
Cho K là m®t trường và f (x) ∈ K[x] là đa thác có b c n. Trường toi
thieu cháa K và cháa đủ n nghi m của f (x) (luôn ton tại theo m nh đe
trên) được goi là trường phân rã của f(x) trên K. Ví dụ, cho K = R và
f (x) = x2
+ 1. Khi đó f (x) bat khả quy trên R. Các nghi m của f (x)
là i và −i. Do đó C là trường toi thieu cháa R và cháa các nghi m của
f(x), nói cách khác C là trường phân rã của f(x) trên R. Cho K = Q và
f(x) = x2
− 2. Khi đó Q[
√
2] là trường toi thieu cháa Q và các nghi m
của f(x), do đó nó là trường phân rã của f(x) trên Q.
Ket quả dưới đây cho ta cau trúc của trường hǎu hạn.
1.2.7 M nh đe 3. Các phát bieu sau là đúng.
(i) Neu K là trường hũu hạn có q phan tủ thì q là lũy thùa của m®t so
nguyên to.
(ii) Neu q là lũy thùa của m®t so nguyên to, thì ton tại duy nhat m®t
trường có q phan tủ.
(iii) Giả sủ q = pk
với k là m®t so tự nhiên và p là so nguyên to. Khi đó
trường phân rã của đa thúc xpk
− x ∈ Z [x] chính là tâp tat cả các
nghi m của đa thúc xpk
− x trong m®t mớ r®ng nào đó của Zp.
Chúng minh. Xem [3, M nh đe 2.4.10].
Bây giờ chúng ta sả dụng các ket quả trên ve mở r®ng trường đe cháng
minh khȁng định của D. Hilbert ve sự ton tại m®t đa thác với h so nguyên
bat khả quy trên Q, nhưng khả quy trên moi trường Zp với p nguyên to.
1.2.8 Định lj 5. Đa thúc f(x) = x4
+ 1 bat khả quy trên Q nhưng khả
quy trên Zp với moi so nguyên to p.
Chúng minh. Với p = 2, rõ ràng f(x) = x4
+ 1 ≡ (x2
+ 1)2
∈ Z2[x]. Suy
ra đa thác f(x) khả quy trên Z2.
Cho p ≥ 3 là so nguyên to bat kỳ. Khi đó, p là so lẻ. Viet p = 2k + 1,
ta có p2
− 1 = 4k(k + 1) là so chia het cho 8. Chú ý rang neu n là ước của
m với n, m là hai so nguyên dương, thì xn
− 1 là ước của xm
− 1. Suy ra
(x8
− 1) | (xp2
−1
− 1).
Nhân cả hai ve với x ta suy ra
x(x4
+ 1)(x4
− 1) | (xp2
− x).

15
2
Vì the f(x) = x4
+ 1 là ước của đa thác xp2
— x. Ký hi u Fp2 là trường
phân rã của đa thác xp2
− x trên trường Z (luôn ton tại theo M nh đe 2).
p2
Khi đó Fp2 chính là t p nghi m của đa thác x − x trong m®t mở r®ng
nào đó của Zp (xem M nh đe 3). Vì Fp2 có p2
phan tả và Zp có p phan tả
nên Fp2 là Zp-không gian véc tơ chieu 2.
Ta cháng minh Định lý bang phương pháp phản cháng.
Giả sả f(x) = x4
+ 1 bat khả quy trên K := Zp với so nguyên to p ≥ 3
nào đó. Ta can tìm mâu thuan.
Goi α là m®t nghi m của f(x). Khi đó α cũng là nghi m của đa thác
xp2
− x. Vì the α là phan tả của trường phân rã F của đa thác xp
− x
p2
trên K. Đ t K1 = K[α]. Khi đó K1 là trường trung gian giǎa K và Fp2 .
Vì f (x) bat khả quy trên K và deg f (x) = 4, nên theo M nh đe 1, K1 là
m®t không gian véc tơ có chieu bang 4 trên K. Như v y, không gian véc
tơ con K1 là K- không gian véc tơ chieu 4, trong khi đó không gian véc tơ
cháa K1 là Fp2 lại là K- không gian véc tơ chieu 2, đieu này là vô lý.
1.2.9 Chú j. Năm 2005, E. Diver, P. A. Leonard và K. S. Williams trong
bài báo Irreducible quartic polynomials with factorizations modulo p, Amer.
Math. Monthly, 112, No.10, 876-890, đã đưa ra đieu ki n can và đủ cho
đa thác b c 4 với h so nguyên là bat khả quy trên Q nhưng khả quy
trên Zp với moi so nguyên to p. Ket quả này đã được Nguyen Văn L p
trình bày lại trong lu n văn thạc sĩ của mình (xem [2]). Cũng năm 2005,
R. Guralnick, M. Schacher, J. Sonn trong bài báo Irreducible polynomials
which are locally reducible everywhere đã chỉ ra rang, với moi hợp so n ≥ 4,
ton tại m®t đa thác bat khả quy f (x) ∈ Z[x] có b c n mà khả quy trên
trường Zp với moi so nguyên to p.
p

16
Chương 2
Giá trị khả nghịch, giá trị nguyên
to và tính bat khả quy
Mục tiêu thá nhat của chương này là trình bày hai tiêu chuȁn bat khả
quy trên trường các so hǎu t Q liên quan đen các giá trị khả nghịch và
giá trị nguyên to của đa thác với h so nguyên.
Mục tiêu thá hai của chương này là trình bày m®t tiêu chuȁn mới ve
tính bat khả quy trên trường Q của đa thác với h so nguyên sao cho các
h so tăng dan theo b c và có h so cao nhat nguyên to ho c nh n ít nhat
m®t giá trị nguyên to.
Các ket quả ở chương này m®t phan dựa theo bài báo [11] của R.
Thangadurai năm 2007 và m®t phan được viet dựa theo bài báo [8] của
A. Jakhar và N. Sangwan năm 2018: An irreducibility criterion for integer
polynomials, Amer. Math. Monthly, 125, 464-465.
Ket quả chính của Chương 2 là Định lý 6, Định lý 7, Định lý 8, Định
lý 9, Định lý 10, Định lý 11 và Định lý 12.
2.1 Giá trị khả nghịch và tính bat khả quy
Cho f (x) = anxn
+ . . . + a1x + a0 có b c n với h so nguyên. Ký hi u
so lan đa thác f(x) nh n giá trị khả nghịch trên t p so nguyên là u(f),
tác là
u(f) := Card{m ∈ Z | f(m) ∈ {1, −1}}.
Chȁng hạn, neu f(x) = x4
+ 1, thì u(f) = 1. Th t v y, f(x) > 1 với moi
x khác 0 và f(x) = 1 khi và chỉ khi x = 0. Neu g(x) = x2
+ x + 1 thì

17
−
Y
−
Y
(x bi), trong đó r(x) là đa thác với h so nguyên,
i=1
(x bi), trong đó r(x) là đa thác với
i=1
u(g) = 2. Th t v y, ta luôn có g(x) > 0 với moi x. Hơn nǎa, g(x) = 1 khi
và chỉ khi x = 0 ho c x = −1.
Neu f(x) nh n giá trị 1 tại các so nguyên x = bi với i = 1, 2, . . . , m,
Q
m
m
f(x) = r(x) (x − bi) + 1,
i=1
trong đó r(x) ∈ Z[x].
Tương tự, neu f(x) nh n giá trị −1 tại các so nguyên x = bi với i =
Q
m
m
f(x) = r(x) (x − bi) − 1,
i=1
trong đó r(x) ∈ Z[x].
2.1.1 M nh đe 4. Neu f(x) nh¾n giá tr +1 (tương úng −1) tại m > 3
giá tr nguyên khác nhau của bien x, thì f(x) không the nh¾n giá tr −1
(tương úng +1).
Chúng minh. Giả sả m > 3 và b1, b2, . . . , bm là các so nguyên đôi m®t phân
bi t sao cho f(bi) = 1 với moi i = 1, . . . , m. Khi đó
f(x) = (x − b1)(x − b2) . . . (x − bm)g(x) + 1
với g(x) ∈ Z[x]. Giả sả bm+1 là so nguyên sao cho f(bm+1) = −1. Khi đó,
thay x = bm+1 vào đȁng thác trên ta nh n được
−1 = (bm+1 − b1)(bm+1 − b2) . . . (bm+1 − bm)g(bm+1) + 1.
Suy ra
(bm+1 − b1)(bm+1 − b2) . . . (bm+1 − bm)g(bm+1) = −2.
Do đó, các hi u so bm+1 − bi là ước của −2, vì the nó chỉ có the là ±1 ho c
±2. Vì các bi là đôi m®t phân bi t nên m ≤ 4. Neu m = 4, thì ta có
(−1)(−2)(1)(2)g(bm+1) = −2.
thì f(x) − 1 = r(x)
tác là
1, 2, . . . , m, thì f(x) + 1 = r(x)
h so nguyên, tác là

18
1
Suy ra g(bm+1) = −
2
, đieu này là vô lý. Do đó m ≤ 3. Trường hợp còn lại
được cháng minh tương tự.
Chúng ta có the xem chi tiet hơn M nh đe 4 trong m®t bài báo đăng
trên tạp chí női tieng “Annals of Math.” xuat bản năm 1993 của hai nhà
toán hoc H. L. Dorwart và O. Ore.
2.1.2 M nh đe 5. Neu f(x) có b¾c n và n ≥ 4, thì u(f) ≤ n.
Chúng minh. Giả sả u(f ) > n, n ≥ 4. Khi đó u(f ) ≥ 5. Suy ra f (x) nh n
giá trị 1 ít nhat 3 lan ho c f(x) nh n giá trị −1 ít nhat 3 lan. Không mat
tính tőng quát ta có the giả thiet f(x) nh n giá trị bang 1 ít nhat 3 lan.
Giả sả f(x) nh n giá trị 1 lớn hơn 3 lan. Theo M nh đe 4, f(x) không
nh n giá trị −1, suy ra f(x) nh n giá trị 1 lớn hơn n lan, đieu này là vô
lý vì deg f = n (đa thác có b c n có nhieu nhat n nghi m, suy ra đa thác
b c n nh n cùng m®t giá trị tại nhieu nhat n điem). Do đó f(x) nh n giá
trị bang 1 tại đúng 3 lan. Giả sả f(x) nh n giá trị −1 tại m lan, thì
m = u(f) − 3 > n − 3 ≥ 2.
Goi b1, b2, b3 là các giá trị nguyên đôi m®t khác nhau sao cho
f(b1) = f(b2) = f(b3) = 1.
Goi c1, c2, . . . cm, m ≥ 2 sao cho
f(c1) = f(c2) = · · · = f(cm) = −1.
Suy ra
f(x) = (x − b1)(x − b2)(x − b3)g(x) + 1,
với g(x) là đa thác có h so nguyên. Thay x = ci với i = 1, 2 ta có
−2 = (ci − b1)(ci − b2)(ci − b3)g(ci).
Không mat tính tőng quát ta giả thiet b1 < b2 < b3. Khi đó ci − b1, ci − b2,
ci − b3 là ba ước khác nhau của −2, vì the m®t trong 3 ước đó phải là 2
ho c −2, và hai ước còn lại là 1 và −1. Giả sả áng với c1, m®t trong ba
ước đó là 2. Khi đó c1 − b1 = 2, c1 − b2 = 1 và c1 − b3 = −1. Neu áng
với c2, m®t trong các ước đó cũng là 2 thì ta phải có c2 − b1 = 2 và do
đó c2 = c1, vô lý. Suy ra áng với c2, m®t trong các ước đó là −2. Suy ra

19
c2 − b3 = −2, do đó c2 = b2, vô lý vì f (c2) = −1 trong khi đó f (b2) = 1.
Trường hợp áng với c1, m®t trong ba ước bang −2, ta l p lu n tương tự
và dan đen mâu thuan. V y m nh đe được cháng minh.
2.1.3 M nh đe 6. Neu f (x) là đa thúc với h so nguyên có b¾c n thì ta
luôn có u(f) ≤ 2n.
Chúng minh. Goi m1 là so lan f(x) nh n giá trị 1 và m2 là so lan f(x)
nh n giá trị −1. Khi đó u(f) = m1 +m2. Ta có mi ≤ n vì đa thác f(x)−1
và đa thác f(x) + 1 đeu có không quá n nghi m. Vì the u(f) ≤ 2n.
Định lý sau đ y là ket quả chính của mục này, đưa ra m®t tiêu chuȁn bat
khả quy trên Q của đa thác với h so nguyên dựa theo moi quan h giǎa b c
của đa thác và so lan nh n giá trị khả nghịch của đa thác. R. Thangadurai
trong bài báo Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are Integers,
đăng trên tạp chí Mathematics Newsletter tháng 9 năm 2007, ở trang 30,
đã phát bieu như sau.
2.1.4 Định lj 6. Cho f(x) là đa thúc có h so nguyên. Neu f(x) có b¾c
n ≥ 8 và f (x) nh¾n giá tr 1 lớn hơn n/2 lan ho¾c f (x) nh¾n giá tr −1
lớn hơn n/2 lan thì f(x) bat khả quy trên Q.
Chúng minh. Ta cháng minh phản cháng. Giả sả f (x) không bat khả quy
trên Q. Theo Bő đe Gauss, f (x) = g(x)h(x) trong đó g(x) và h(x) là các
nhân tả không tam thường của f(x), tác là g(x) và h(x) đeu là đa thác
b c dương với h so nguyên. Vì b c của f(x) là tőng của b c của g(x) và
h(x), nên không mat tính tőng quát ta có the giả thiet g(x) có b c m với
m ≥ n/2 ≥ 4. Theo giả thiet, f (x) nh n giá trị 1 tại u(f ) lan ho c f (x)
nh n giá trị −1 tại u(f) lan. Không mat tính tőng quát ta có the giả thiet
f(x) nh n giá trị −1 tại u(f) lan.
Ta khȁng định g(x) nh n giá trị 1 tại u(g) lan ho c g(x) nh n giá trị
−1 tại u(g) lan. Neu g(x) nh n giá trị 1 tại ít nhat 4 lan ho c g(x) nh n
giá trị −1 tại ít nhat 4 lan thì khȁng định trên suy ra ngay tà M nh đe 4.
Giả sả ngược lại, tác là g(x) nh n giá trị 1 nhỏ hơn 4 lan và cũng nh n
giá trị −1 nhỏ hơn 4 lan. Chú ý rang u(g) ≥ u(f) và u(h) ≥ u(f) bởi vì
neu f(x) nh n giá trị ±1 tại x = a thì g(x) và h(x) cũng nh n giá trị ±1
tại x = a. Do đó theo giả thiet ta có u(g) ≥ u(f ) > n/2. Suy ra u(g) ≥ 5.
Không mat tính tőng quát ta có the giả thiet g(x) nh n giá trị 1 tại đúng

20
3 lan. Khi đó g(x) nh n giá trị −1 tại ít nhat 2 lan. Theo l p lu n tương
tự như trong cháng minh M nh đe 5, ta thay đieu này không the xảy ra.
V y khȁng định được cháng minh.
Theo khȁng định trên, ta có the giả thiet g(x) nh n giá trị 1 tại u(g)
lan với u(g) > n/2. Goi a1, a2, . . . au(f) là các so nguyên phân bi t sao
cho f(ai) = 1 với moi i. Theo khȁng định trên g(ai) = 1 với moi i. Vì
f(ai) = g(ai)h(ai) nên h(ai) = 1 với moi i. Như v y h(x) nh n giá trị
bang 1 tại ít nhat u(f) lan. Vì u(f) > n/2 nên deg h(x) ≥ u(f) > n/2.
Suy ra deg h(x) + deg g(x) > deg f(x). Đieu này là vô lý.
Cháng minh tương tự, neu g(x) nh n giá trị −1 lớn hơn n/2 lan, thì
h(x) cũng nh n giá trị −1 lớn hơn n/2 lan, và vì the tőng b c của g(x) và
b c của h(x) lớn hơn n, vô lý. Do v y f(x) là bat khả quy trên Q.
2.1.5 Ví dn 6. Xét tính bat khả quy của các đa thác sau trên Q:
(i) f(x) = x9
− 13x7
+ 37x5
− 13x3
+ 36x + 1.
(ii) g(x) = (x − 1)(x2
− 1) − 1.
Chúng minh.
(i) Ta có f (x) − 1 = (x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)x(x4
+ 1). Vì the f (x)
nh n giá trị 1 tại đúng 5 điem. Vì deg f(x) = 9 và 5 > 9/2 nên theo Định
lý 6 ta suy ra f(x) bat khả quy trên Q.
(ii) Ta có g(x) + 1 = (x − 1)(x2
− 1). Vì the g(x) nh n giá trị −1 tại đúng
2 điem. deg g(x) = 3 và 2 > 3/2, nhưng g(x) không bat khả quy trên Q
theo Định lý 6. Th t v y, ta có g(0) = 0 do đó g(x) khả quy trên Q.
Rõ ràng đa thác g(x) trong Ví dụ 6 có so lan nh n giá trị −1 lơn hơn
deg g(x)/2 nhưng không bat khả quy theo Định lý 6 bởi vì deg g(x) < 8.
Chú ý rang vi c xét tính bat khả quy của đa thác f(x) nói trên bang
Tiêu chuȁn Eisenstein ho c bang phương pháp rút gon theo module m®t
so nguyên to đeu không khả thi. Tuy nhiên neu sả dụng Định lý 6 thì
vi c xét tính bat khả quy của đa thác này quy ve vi c phân tích đa thác
f (x) − 1 thành nhân tả, và đa thác f (x) − 1 có 5 nghi m nguyên nên vi c
phân tích là de dàng.
Trong phan cuoi của mục này, chúng tôi trình bày khái ni m và m®t so
ket quả ve đa thác béo liên quan đen giá trị khả nghịch của đa thác.

21
2.1.6 Định nghĩa 2. Đa thác g(x) ∈ Z[x] được goi là béo neu
l(g) := u(g) − deg g(x) > 0.
Chȁng hạn, đa thác f(x) = 2x2
−4x+1 là béo vì deg f(x) = 2 và u(f) = 3.
Đa thác g(x) = x2
+ 3x + 1 là đa thác béo vì deg g(x) = 2 và u(g) = 4.
Đa thác h(x) = x4
+ 3x2
+ 2 không béo vì deg h(x) = 4 và u(h) = 0.
Đa thác t(x) = x3
− x2
+ x + 1 không béo vì deg t(x) = 3 và u(t) = 1.
2.1.7 M nh đe 7. Neu f(x) là đa thúc béo, thì deg f(x) ≤ 3.
Chúng minh. Giả sả deg f(x) ≥ 4.
Theo M nh đe 5, ta có u(f) ≤ deg f(x). Mà f(x) là đa thác béo nên
u(f) > deg f(x). Do đó deg f(x) ≤ 3.
Năm 1993, hai nhà toán hoc H.L. Dorwart và O. Ore trong bài báo
Criteria for the irreducibility of polynomial, Annals of Math. 34, No. 1,
81-94, đã cháng minh rang neu f (x) là m®t đa thác béo có b c n, thì
f(x) = ±hi(±x±a), trong đó a là m®t so nguyên và hi(x), i = 1, 2, . . . , 5
được cho dưới đây
h1(x) = x(x − 1)(x − 3) + 1, n = 3, u(f) = 4.
h2(x) = (x − 1)(x − 2) − 1, n = 2, u(f) = 4.
h3(x) = 2x(x − 2) + 1, n = 2, u(f) = 3.
h4(x) = 2x − 1, n = 1, u(f) = 2.
h5(x) = x − 1, n = 1, u(f) = 2.
2.2 Giá trị nguyên to và tính bat khả quy
Mục tiêu của phan này là trình bày m®t so tiêu chuȁn bat khả quy trên
Q của đa thác với h so nguyên trong moi quan h với giá trị nguyên to
của đa thác.
Kí hi u
P(f) := Card{n ∈ Z : f(n) = ±p, trong đó p là so nguyên to}.
Khi đó P (f ) là so lan f (x) nh n giá trị nguyên to ho c so đoi của so
nguyên to. Chú ý rang P(f) = ∞ với vô hạn đa thác f(x) ∈ Z[x]. Th t
v y, Định lý Dirichlet phát bieu rang neu a, b là hai so tự nhiên nguyên to

22
cùng nhau, thì ton tại vô hạn so nguyên to trong dãy so {an + b}n∈N. Vì
v y có vô hạn đa thác dạng f(x) = ax + b với a, b là các so nguyên sao
cho gcd(a, b) = 1, và các đa thác này thỏa mãn P(f) = ∞.
Định lý sau đây là m®t trong hai ket quả chính của mục này, chỉ ra
rang neu f (x) nh n giá trị nguyên to tại nhieu hơn 2 lan b c của nó
thì f(x) bat khả quy trên Q. Định lý này được viet dựa theo phát bieu
của R. Thangadurai trong bài báo Irreducibility of Polynomials Whose
Coefficients are Integers, Mathematics Newsletter, Vol 17, ở trang 31. Tiêu
chuȁn này theo nghĩa nào đó là khá de sả dụng đe xét tính bat khả quy.
2.2.1 Định lj 7. Cho f (x) là đa thúc có h so nguyên với b¾c là n > 0.
Neu P(f) > 2n thì f(x) bat khả quy trên Q.
Chúng minh. Ta cháng minh bang phản cháng. Giả sả f (x) không bat
khả quy. Theo Bő đe Gauss, ta có phân tích f(x) = g(x)h(x) trong đó
g(x), h(x) ∈ Z[x] và b c của g(x), b c của h(x) đeu dương. Giả sả P (f) =
m. Khi đó ton tại các so nguyên b1, b2, . . . , bm sao cho f(bi) là so nguyên
to ho c là so đoi của so nguyên to.
Giả sả p = f(n) = g(n)h(n) là m®t so nguyên to. Khi đó, ho c g(n) =
±1 ho c h(n) = ±1. Do v y, g(bi) = ±1 ho c h(bi) = ±1 với moi i =
1, 2, . . . , m. Suy ra u(h) + u(g) ≥ P (f ) > 2n theo giả thiet. Giả sả
deg g(x) = r. Khi đó deg h(x) = n−r. Theo M nh đe 2.1.3, ta có u(g) ≤ 2r
và u(h) ≤ 2(n − r). Suy ra u(g) + u(h) ≤ 2n, đieu này là vô lý. Do đó
f(x) bat khả quy.
H quả sau đây được suy ra trực tiep tà Định lý 7.
2.2.2 H quả 1. Cho f(x) là đa thúc có h so nguyên với b¾c là n > 0.
Neu P(f) = ∞ thì f(x) bat khả quy trên Q.
2.2.3 Ví dn 7. Các đa thác sau là bat khả quy trên Q.
(i) f(x) = x4
− 10x2
+ 11.
(ii) g(x) = x4
− 3x − 3.
(iii) h(x) = 3x2
+ 11x + 121.
Chúng minh.
(i) Ta có f(0) = 2, f(1) = 2, f(−1) = 2, f(3) = 2, f(−3) = 2,
f(2) = 17, f(−2) = 17, f(4) = 107, f(−4) = 107. Vì 2, 17, 107 là các so

23
nguyên to nên f (x) nh n giá trị nguyên to tại ít nhat 9 lan. Vì b c của đa
thác là 4 nên theo Định lý 7, đa thác f(x) bat khả quy trên Q.
(ii) Ta có g(0) = 3, g(1) = −5, g(2) = 7, g(−2) = 19, g(4) = 241,
g(−4) = 271, g(5) = 613, g(−5) = 643, g(7) = 2377.
Vì 3, −5, 7, 19, 241, 271, 613, 643, 2377 là các so nguyên to ho c so đoi
của so nguyên to và deg g(x) = 4 nên theo Định lý 7, đa thác g(x) là bat
khả quy trên Q.
(iii) Ta có h(−7) = 191, h(−6) = 163, h(−1) = 113, h(3) = 181, h(5) =
251. Vì 113, 163, 181, 191, 251 là các so nguyên to nên h(x) nh n giá trị
nguyên to tại ít nhat 5 lan. Vì b c của đa thác là 2 nên theo Định lý 7,
đa thác h(x) bat khả quy trên Q.
Chú ý rang, đa thác g(x) trong Ví dụ 7 là bat khả quy theo Tiêu chuȁn
Eisenstein với p = 3. Tính bat khả quy của h(x) có the suy ra tà thực te
h(x) không có nghi m hǎu t (h so tự do của h(x) có các ước: ±1, ±11,
±121 nên vi c tìm nghi m của h(x) tương đương với vi c tìm giá trị của
h(x) tại nhǎng ước này). Tuy nhiên tính bat khả quy của đa thác f(x)
trong Ví dụ 7 không the suy ra tà Tiêu chuȁn Eisenstein và cũng không
the suy ra tà phương pháp rút gon theo module m®t so nguyên to.
Định lý sau đây cũng là ket quả được viet dựa theo n®i dung bài báo
của R. Thangadurai Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are
Integers, Mathematics Newsletter, Vol 17, ở trang 31. Đây là ket quả chính
thá hai của mục này, cho ta m®t tiêu chuȁn bat khả quy của đa thác dựa
trên so lan nh n giá trị nguyên to, giá trị đoi nguyên to ho c giá trị khả
nghịch. Theo nhieu nghĩa nào đó, đây cũng là m®t tiêu chuȁn hǎu hi u đe
xét tính bat khả quy của đa thác.
2.2.4 Định lj 8. Cho f(x) là đa thúc có b¾c n với h so nguyên. Neu ton
tại n+1 so nguyên m1, m2, . . . , mn+1 sao cho |mi −mj| > 2 với moi i j
và f(mi) là so nguyên to, so đoi của so nguyên to ho¾c so khả ngh ch, thì
Chúng minh. Ta cháng minh bang phản cháng. Giả sả f (x) không bat
khả quy trên Q. Theo Bő đe Gauss, f(x) = g(x)h(x), trong đó g(x), h(x)
là các đa thác b c dương có h so nguyên. Xét tại các so nguyên mi, vì
f(mi) = g(mi)h(mi) là so nguyên to, so đoi của so nguyên to ho c khả

24
i j i j
nghịch, nên m®t trong hai so g(mi) ho c h(mi) phải khả nghịch, tác là
g(mi) = ±1 ho c h(mi) = ±1 với moi i.
Ta khȁng định không ton tại i =
/ j sao cho g(mi) = 1 và g(mj) = −1.
Th t v y, giả sả ngược lại. Viet
g(x) = bdxd
+ bd−1xd−1
+ · · · + b0.
Lay hi u g(mi) − g(mj) ta được
bd(md
− md
) + bd−1(md−1
− md−1
) + · · · + b1(mi − mj) = 2.
Rõ ràng ve trái của đȁng thác trên là b®i của mi − mj. Vì the mi − mj là
ước của 2, đieu này mâu thuan với giả thiet |mi − mj| > 2. Do đó khȁng
định được cháng minh.
Theo khȁng định trên, g(x) neu nh n giá trị 1 thì không nh n giá trị
−1 tại các so m1, m2, . . . , mn+1 và ngược lại. Vì the tại n + 1 so này, g(x)
nh n nhieu nhat là d lan với d là b c của g(x). Tương tự, ta có the chỉ ra
rang tại các so m1, m2, . . . , mn+1, h(x) nh n giá trị khả nghịch tại nhieu
nhat d′ lan, trong đó d′ là b c của h(x). Suy ra so lan h(x) nh n giá trị
khả nghịch ho c g(x) nh n giá trị khả nghịch tại các so m1, m2, . . . , mn+1
nhieu nhat là d + d′ lan. Vì the
n = d + d′ ≥ n + 1,
nên đieu này là vô lý. V y f(x) bat khả quy trên Q.
2.2.5 Ví dn 8. Đa thác f (x) = x6
− 3x5
− 87x4
+ 118x3
+ 21x − 1 là bat
khả quy trên Q.
Chúng minh. Ta có
f(−22) = 107187629,
f (−8) = −58601,
f (−4) = −23269,
f(0) = −1,
f(12) = 634859,
f(18) = 19888469,
f(30) = 588786929.

25
M t khác deg f (x) = 6 và ton tại bảy so m1 = −22, m2 = −8, m3 = −4,
m4 = 0, m5 = 12, m6 = 18 và m7 = 30 thỏa mãn tính chat hi u giǎa hai
so bat kỳ có giá trị tuy t đoi lớn hơn 2. Hơn nǎa giá trị f(x) tại bảy so
này đeu là so nguyên to, so đoi của so nguyên to ho c khả nghịch. Theo
Định lý 8, đa thác f(x) bat khả quy trên Q.
Chú ý rang tính bat khả quy của đa thác f (x) trong Ví dụ 8 không the
suy ra tà các tiêu chuȁn đã trình bày ở phan trước: Tiêu chuȁn Eisenstein
và các mở r®ng; tiêu chuȁn rút gon theo module m®t so nguyên to; tiêu
chuȁn bat khả quy liên quan đen so lan đa thác nh n giá trị khả nghịch
(Định lý 6).
Các Định lý 9 và Định lý 10 được trình bày dưới đây được phát bieu
dựa trên n®i dung bài báo Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients
are Integers của R. Thangadurai trên tạp chí Mathematics Newsletter, 17,
(2007), 29-37.
2.2.6. Định lj 9. Cho f(x) là đa thúc b¾c n > 0 với h so nguyên. Neu
P(f) + 2u(f) ≥ n + 4 thì f(x) bat khả quy trên trường các so hũu ty Q.
Chúng minh. Ta cháng minh bang phương pháp phản cháng.
Giả sả đa thác f(x) không bat khả quy trên Q. Theo Bő đe Gauss,
f(x) có phân tích f(x) = g(x)h(x), trong đó g(x) và h(x) là các đa thác
có b c dương với h so nguyên. Không làm mat tính tőng quát, giả sả
l(g) ≥ l(h), trong đó l(g) = u(g) − deg g(x), l(h) = u(h) − deg h(x) như
Định nghĩa 2. Ta sě cháng minh
l(g) + l(h) ≥ P(f) + 2u(f) − n.
Giả sả m ∈ Z sao cho f (m) là m®t so nguyên to. Ta có f (m) = g(m)h(m).
Suy ra g(m) ho c h(m) nh n giá trị 1 ho c −1. Trong khi đó với moi m ∈ Z
sao cho f (m) là khả nghịch ta cũng có g(m) ho c h(m) nh n giá trị khả
nghịch. Do đó
Ta có
u(g) + u(h) ≥ P (f) + 2u(f).
l(g) + l(h) = u(g) − deg g(x) + u(h) − deg h(x) = u(g) + u(h) − n
≥ P (f) + 2u(f) − n.

26
Theo giả thiet P (f ) + 2u(f ) ≥ n + 4, suy ra P (f ) + 2u(f ) − n ≥ 4. Do
v y, ta được l(g) + l(h) ≥ 4. Neu l(g) > 0 và l(h) > 0 thì theo Định
nghĩa 2, ta có đa thác g(x), h(x) là đa thác béo. Theo M nh đe 7 , ta
có deg g(x), deg h(x) ≤ 3 kéo theo tőng của chúng không the ≥ 7. Do
đó, chỉ có g(x) ho c h(x) là đa thác béo. Không làm mat tính tőng quát,
giả sả g(x) là đa thác béo. Vì h(x) không là đa thác béo và n ≥ 7 nên
deg h(x) ≥ 4 và l(h) ≤ 0. Không nhǎng the, vì l(g) + l(h) ≥ 4, ta có
l(g) = u(g) − deg g(x) ≥ 4 suy ra u(g) ≥ 4 + deg g(x), mâu thuan vì
deg g(x) ≤ 3 và u(g) ≤ 2 deg g(x). Do đó f (x) phải bat khả quy trên
trường các so hǎu t Q.
2.2.7. Ví dn 9. Đa thác f (x) = x4
− 5x2
+ 3 là đa thác bat khả quy trên
trường các so hǎu t Q.
Chúng minh. Ta có deg f(x) = 4 và f(x)+1 = (x−1)(x+1)(x−2)(x+2).
Vì the f(x) nh n giá trị bang −1 tại đúng 4 điem.
Vì f(4) = f(−4) = 179 là so nguyên to, nên f(x) nh n giá trị nguyên
to tại ít nhat 2 lan. Như v y ta có
P(f) + 2u(f) ≥ 2 + 2.4 = 10 > deg f(x) + 3.
V y đa thác f(x) là bat khả quy trên Q theo Định lý 2.2.6.
2.2.8. Định lj 10. Cho f(x) là đa thúc với h so nguyên có b¾c n ≥ 7.
Neu P(f) ≥ n + 3 thì f(x) bat khả quy trên trường các so hũu ty Q.
Chúng minh. Neu P(f) ≥ n + 4 thì rõ ràng
P (f) + 2u(f) ≥ n + 4.
Trong trường hợp này, theo Định lý 9, đa thác f(x) bat khả quy. Vì v y,
ta chỉ can cháng minh định lý trong trường hợp P(f) = n + 3.
Giả sả đieu ngược lại, tác là f(x) không bat khả quy. Khi đó theo Bő
đe Gauss, ta viet được f (x) = g(x)h(x) trong đó g(x), h(x) là các đa thác
với h so nguyên có b c dương. Theo cháng minh Định lý 9 ta có
l(g) + l(h) ≥ P(f) + 2u(f) − n,
trong đó l(g) và l(h) được xác định như trong Định nghĩa 2.

27
Vì P(f) = n + 3 nên
l(g) + l(h) ≥ n + 3 + 2u(f) − n = 3 + 2u(f).
Do đó l(g) ho c l(h) phải dương. Vì deg f(x) ≥ 7 theo giả thiet, nên theo
M nh đe 7, g(x) ho c h(x) phải là đa thác béo.
Không mat tőng quát, giả sả g(x) là đa thác béo. Khi đó, h(x) không
là đa thác béo. Vì the l(g) ≥ 1 và l(h) ≤ 0. Suy ra l(g) + l(h) ≤ l(g).
Tuy nhiên ta có
l(g) + l(h) ≥ P (f) + 2u(f) − n ≥ n + 3 − n = 3.
Do đó l(g) ≥ 3. Suy ra u(g) ≥ deg g(x) + 3. Tuy nhiên theo các l p lu n
như trong phan cuoi cháng minh Định lý 6 ta suy ra u(g) ≤ deg g(x) + 1,
mâu thuan với u(g) ≥ deg g(x) + 3. Do đó đa thác f(x) là bat khả quy
trên Q.
2.2.9. Ví dn 10. Đa thác f (x) = x7
− 14x5
+ 49x3
− 36x + 11 bat khả
quy trên Q.
Chúng minh. Ta có n = deg f(x) = 7.
f(0) = 11, f(1) = 11, f(−1) = 11, f(2) = 11, f(−2) = 11,
f(3) = 11, f(−3) = 11, f(4) = 5051, f(7) = 604811, f(17) = 390700811.
Trong đó 11, 5051, 604811, 390700811 là nhǎng so nguyên so. Như v y
f (x) nh n giá trị nguyên to tại ít nhat 10 lan, hay P (f ) ≥ 10 = n + 3.
Do đó P(f) ≥ n + 3.
Theo Định lý 10, đa thác f(x) = x7
− 14x5
+ 49x3
− 36x + 11 bat khả
quy trên Q.
2.3 M t tiêu chuan m i ve tính bat khả quy
Mục tiêu của phan này là trình bày m®t tiêu chuȁn mới ve tính bat
khả quy trên trường Q của đa thác với h so nguyên sao cho các h so
tăng dan theo b c và nh n ít nhat m®t giá trị nguyên to. Các ket quả của
phan này được viet chủ yeu dựa theo bài báo của A. Jakhar và N. Sangwan
năm 2018: An irreducibility criterion for integer polynomials, Amer. Math.
Monthly, 125, 464-465. Ket quả chính của phan 2.3 là Định lý 11.

28
t
Goi C là t p các điem phía trong hình tròn phác bán kính là đơn vị, tác
là
C := {z ∈ C : |z| < 1},
trong đó C là trường so phác.
Trước khi phát bieu ket quả chính của mục này, chúng ta can m®t so
ket quả bő trợ sau đây.
Cháng minh m nh đe sau đây được trình bày trong tài li u “A Class of
Irreducible Polynomials” của tác giả J. Harrington, L. Jones [M nh đe 2.3,
trang 113-119] được xuat bản năm 2013.
2.3.1 M nh đe 8. Cho f(x) = anxn
+ · · · + a0 ∈ Q[x] và giả sủ ai
0, aj 0 với 0 ≤ i < j ≤ n. Giả sủ
Σ
|al| ≤ q |at|
trong đó 0 ≤ t ≤ n, t =
/ i, t /= j và q ∈ R với 0 < q ≤ 1. Neu f(x) có m®t
nghi m α với
α ∈ {z ∈ C | q ≤ |z| ≤ 1}
thì bat đȁng thúc trên trớ thành đȁng thúc và α2(j−i)
= 1.
Bây giờ chúng ta sě cháng minh hai m nh đe cơ sở mà ket quả của chúng
đ®c l p với nhau và khá thú vị.
2.3.2 M nh đe 9. Cho đa thúc f(x) = anxn
+ · · · + a0 ∈ Z[x] sao cho
0 < a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ ak−1 < ak < ak+1 ≤ . . . ≤ an−1 ≤ an
với chí so k thóa mãn 0 ≤ k ≤ n − 1. Khi đó tat cả các nghi m của f(x)
đeu thu®c t¾p C.
Chúng minh. Đau tiên ta cháng minh f(x) có tat cả các nghi m đeu thu®c
t p
{z ∈ C : |z| ≤ 1}.
Giả sả ngược lại, f(x) có m®t nghi m α sao cho |α| > 1. Khi đó α là
nghi m của
F(x) = (x − 1)f(x) = anxn+1
+ (an−1 − an)xn
+ · · · + (a0 − a1)x − a0.
Chú ý rang module của tích hai so phác bang tích của hai module của
hai so phác đó. Hơn nǎa, module của tőng hai so phác luôn nhỏ hơn ho c
t
0≤l≤n; l

29
Y
bang tőng hai module của hai so phác đó. Vì the theo giả thiet của M nh
đe và giả thiet |α| > 1 ta có
|anα
n+1
| ≤ a0 + (a1 − a0)|α| + · · · + (an − an−1)|α|
< a0|α|n
+ (a1 − a0)|α|n
+ · · · + (an − an−1)|α|n
= |anαn
|,
đieu này là mâu thuan vì an > 0. Do đó tat cả các nghi m của f (x) phải
thu®c hình tròn bán kính đơn vị.
Đe cháng minh các nghi m α của f(x) đeu thu®c C, ta chỉ ra |α| /= 1
.
Giả sả |α| = 1. Hien nhiên các h so của xk
và xk+1
trong F (x) là âm,
ngoại trà h so an là dương. Do v y, giả thiet của M nh đe 8 được thỏa
mãn với t = n + 1, i = k, j = k + 1 và q = 1. Cũng theo M nh đe 8, ta có
α2
= 1, không the xảy ra bởi vì de thay f(1) và f(−1) đeu khác 0 theo
giả thiet ban đau. V y tat cả các nghi m của f(x) đeu thu®c C.
2.3.3 M nh đe 10. Cho đa thúc f(x) ∈ Z[x] là m®t đa thúc có tat cả các
nghi m nam trong t¾p C. Neu ton tại so nguyên m với |m| ≥ 2 sao cho
|f(m)| là so nguyên to, thì f(x) là bat khả quy trên Q.
Chúng minh. Giả sả ngược lại, đa thác f(x) không bat khả quy trên Q.
Khi đó, theo Bő đe Gauss, ta có phân tích f (x) = g(x)h(x), trong đó
g(x), h(x) ∈ Z[x]. Theo giả thiet, |f(m)| là so nguyên to nên ít nhat
|g(m)| ho c |h(m)| bang 1. Không mat tőng quát, giả sả |g(m)| = 1. Giả
sả deg g(x) = k. Theo Định lý cơ bản của Đại so, g(x) phải có k nghi m
trong C, moi nghi m tính với so b®i của nó. Goi α1, . . . , αk là các nghi m
của g(x). Khi đó chúng cũng là nghi m của f(x) và
k
g(x) = c (x − αi),
i=1
trong đó c là h so cao nhat của g(x). Theo giả thiet ve các nghi m của
f(x) ta có αi ∈ C, |αi| < 1 với moi 1 ≤ i ≤ k. Theo giả thiet, |m| ≥ 2.
Chú ý rang module của hi u hai so phác lớn hơn ho c bang hi u của hai
module của hai so phác đó. Vì the ta có
k k k
|g(m)| = |c
Y
(m − αi)| ≥ |c|
Y
(|m| − |αi|) > |c|
Y
(|m| − 1) ≥ 1,
suy ra |g(m)| > 1, đieu này là mâu thuan.
i=1
i=1
i=1
n

30
n
a0 /= 0, nên tat cả các nghi m của đa thác g(x) := xn
f nam trong
Bang các l p lu n tương tự như trong cháng minh M nh đe 10, ta thu
được ket quả sau.
2.3.4 M nh đe 11. Cho đa thúc f(x) ∈ Z[x] có tat cả các nghi m trong
t¾p {z ∈ C : |z| > 1}. Neu |f(0)| là m®t so nguyên to thì f(x) bat khả quy
trên Q.
Bây giờ chúng ta cháng minh ket quả chính của phan này, nói ve m®t
tiêu chuȁn mới cho tính bat khả quy trên Q của các đa thác với h so
nguyên thỏa mãn tính chat: các h so của nó tăng dan theo b c và đa thác
nh n ít nhat m®t giá trị nguyên to.
2.3.5 Định lj 11. Cho đa thúc f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0
với h so nguyên thóa mãn m®t trong các đieu ki n:
(i) 0 ≤ a0 ≤ a1 ≤ . . . ≤ ak−1 < ak < ak+1 ≤ . . . ≤ an với các giá tr của
so k thóa mãn 0 ≤ k ≤ n − 1;
(ii) |an| > |an−1| + · · · + |a0| với a0 0.
Giả sủ |an| là m®t so nguyên to ho¾c |f(m)| là m®t so nguyên to với so
nguyên m thóa mãn |m| ≥ 2. Khi đó f(x) bat khả quy trên Q. Hơn nũa,
neu |m| = ar
với a và r là hai so tự nhiên thì f(xr
) là bat khả quy trên Q.
Chúng minh. Chú ý rang neu đa thác f (x) thỏa mãn đieu ki n (i) của
định lý, thì theo M nh đe 9, tat cả các nghi m của f (x) đeu nam phía
trong đường tròn đơn vị, tác là đeu nam trong t p C = {z ∈ C : |z| < 1}.
Hien nhiên neu đieu ki n (ii) được thỏa mãn và |α| ≥ 1 thì tà tính chat
của module của hi u hai so phác, ta suy ra
|f(α)| ≥ |an||α| −
n−1
j=0
|aj||α|j
≥ |α|n
|an| −
n−1
j=0
|aj| > 1.
Vì the f(α) /= 0. Do v y, trong trường hợp f(x) thỏa mãn đieu ki n (ii)
của định lý thì tat cả nghi m của f(x) phải nam trong C. T heo giả thiet
t p {z ∈ C : |z| > 1}. Do đó khi |an| = |g(0)| là m®t so nguyên to thì
theo M nh đe 2.3.4, g(x) bat khả quy trên Q. Suy ra f (x) bat khả quy
trên Q. Neu ton tại m®t so nguyên m với |m| ≥ 2 sao cho |f(m)| nguyên
to thì f(x) bat khả quy trên Q theo M nh đe 10. Ta chỉ còn phải cháng
Σ Σ
1
x

31
n−1 1 0
n−1 1 0
0 k− 2 + 1
1
k k+1 n−1
2
minh rang neu |m| là m®t lũy thàa b c r của m®t so nguyên, thì f(xr
)
bat khả quy trên Q. Vì tat cả các nghi m của f(x) nam trong t p C, tác
là đeu có module nhỏ hơn 1, nên neu β là nghi m của f(xr
), thì βr
phải
là nghi m của f(x), tác là β là m®t căn b c r của α với α là nghi m của
f(x). Suy ra, module của β phải nhỏ hơn 1. Vì v y, tat cả các nghi m của
f(xr
) cũng nam trong C. Tương tự, tat cả các nghi m của f(−xr
) cũng
nam trong C. Vì |f(m)| là m®t so nguyên to, nên theo M nh đe 10 ta thu
được ket quả mong muon.
2.3.6 H quả 2. Giả sủ 22n
+ 1 là m®t so nguyên to. Khi đó đa thúc
f(x) = (22n
+ 1)xn
+ a xn−1
+ · · · + a x + a ,
với
1 ≤ a0 ≤ . . . ≤ ak−1 < ak < ak+1 ≤ . . . ≤ an−1
n
≤ 2 + 1
và 1 ≤ k ≤ n − 1 bat khả quy trên Q
Chúng minh. Ta có 22n
+ 1 là m®t so nguyên to. Khi đó đa thác
f(x) = (22n
+ 1)xn
+ a xn−1
+ · · · + a x + a
với
1 ≤ a ≤ . . . ≤ a < a < a ≤ . . . ≤ a ≤ 2n
và 1 ≤ k ≤ n − 1 thỏa mãn đieu ki n (i) của Định lý 11. Do đó f (x) là
đa thác bat khả quy trên Q.
2.3.7 Ví dn 11. Đa thác f(x) = 11x5
+ 3x4
− 2x3
+ x + 1 là đa thác bat
khả quy trên Q.
Chúng minh. Đa thác f (x) = 11x5
+ 3x4
− 2x3
+ x + 1 có a5 = 11, a4 = 3,
a3 = −2, a2 = 0, a1 = 1, a0 = 1. Các h so này thỏa mãn
|a5| > |a4| + |a3| + |a2| + |a1| + |a0|.
Hơn nǎa, a5 = 11 và f(2) = 389 là các so nguyên to. Như v y f(x) thỏa
mãn đieu ki n (ii) của Định lý 11 với m = 2. Do đó f(x) là đa thác bat
khả quy trên Q.
2.3.8 Ví dn 12. Đa thác g(x) = 64x5
+ 2x4
− 5x3
+ 2x2
− 9 bat khả quy
trên trường các so hǎu t Q.

32
a
. .
i
1
1/(r+1)
. .
Chúng minh. Đa thác g(x) = 64x5
+ 2x4
− 5x3
+ 2x2
− 1 có a5 = 64,
a4 = 2, a3 = −5, a2 = 2, a1 = 0, a0 = −9. Các h so này thỏa mãn
|a5| > |a4| + |a3| + |a2| + |a1| + |a0|.
Chon m = 2, ta có
g(2) = 64.25
+ 2.24
− 5.23
+ 2.22
− 1 = 211
− 9 = 2039
là m®t so nguyên to. Như v y g(x) thỏa mãn đieu ki n (ii) của Định lý 11
với m = 2. Do đó g(x) là đa thác bat khả quy trên Q.
2.4 Giá trị nguyên to tại đoi so đủ l n và tính bat khả quy
Chúng ta định nghĩa “chieu cao” cuả f(x)
H = max . i .
1
0≤i≤n−1 an
và
H = max a 1/(n−i)
.
2
0≤i≤n−1
.
an
.
Vì đa thác f(x) cho trước nên ta hoàn toàn xác định được H1, H2 và r.
Goi
H = min{H1/(r+1)
+ 1, 2H2}.
Neu các nghi m của f (x) nam trong giới hạn trên m t phȁng phác thì
chúng ta có the cháng minh các tiêu chuȁn bat khả quy sả dụng các đieu
ki n trên. Do đó, đau tiên chúng ta đưa ra m®t so c n cho nghi m phác
bat kỳ của f(x) theo các định lý dưới đây.
2.4.1 M nh đe 12. Goi f(x) là đa thúc b¾c n với h so nguyên.
f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0
Giả sủ an−k = 0 với moi k = 1, 2, . . . , r trong đó 0 ≤ r ≤ n − 1. Neu
α ∈ C là m®t nghi m của f(x) thì
|α| < H1 + 1.

33
1
1
Chúng minh. Goi α ∈ C là m®t nghi m của f(x). Vì α là m®t nghi m của
f(x) và an−k = 0 với moi k = 1, 2, . . . , r nên ta có
−anαn
= an−r−1αn−r−1
+ · · · + a1α + a0
⇒ −αn
=
an−r−1
αn−r−1
+ · · · +
a1
α +
a0
.
Do đó
|α| ≤ H1 |α|n−r−1
an
+ . . . + |α| + 1
an
= H1
an
|α|n−r
− 1
|α| − 1
Neu |α| ≤ 1 thì hien nhiên |α| < H1/(r+1)
+ 1 vì H1 > 0. Neu |α| > 1,
theo bat phương trình trên ta có
|α|n
(|α| − 1) ≤ H1(|α|n−r
− 1) < H1|α|n−r
r
Vì
ta có
⇒ |α| (|α| − 1) < H1.
(|α| − 1)r+1
≤ |α|r
(|α| − 1),
(|α| − 1)r+1
≤ H1
và suy ra |α| < H1/(r+1)
+ 1.
Neu r = 0 trong phát bieu của M nh đe 12 thì ta có an−1 0. Cháng
minh đieu này được đe c p đen trong cuon sách “Exercises de mathéma-
tiques” được xuat bản năm 1857 của nhà toán hoc A.L. Cauchy, trang
176.
2.4.2 M nh đe 13. Goi f(x) là đa thúc b¾c n với h so nguyên
f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0.
Neu α ∈ C là m®t nghi m của f(x) thì |α| < 2H2.
Chúng minh. Goi bi =
ai
an
với moi i = 1, 2, . . . , n − 1. Kí hi u
c := max {|bi|1/(n−i)
}
0≤i≤n−1
α
và η = . Đe cháng minh m nh đe, ta chỉ can chỉ ra rang |η| < 2 cũng
c
như c = H2.
n
.

34
an
1/(r+1)
n
c cn n
cn cn cn
n
Theo định nghĩa, ta có |
ai
| ≤ cn−i
với moi i = 1, 2, . . . , n − 1. Khi đó
a ηn
+
bn−1
ηn−1
+ · · · +
b0
= a
1
αn
+
bn−1
αn−1
+ · · · +
b0
1
=
cn
(an
1
αn
+ an−1αn−1
+ · · · + a0)
Vì an /= 0, ta c
ó
=
cn
f(α) = 0.
b b
ηn
+ n−1
ηn−1
+ · · · + 0
= 0.
c cn
Vì |bi| ≤ cn−i
nên ta được
|η|n
≤ 1 + |η| + |η|2
+ . . . + |η|n−1
.
Neu |η| ≥ 2, theo bat đȁng thác trên ta có
|η| ≤
|η|n
− 1
|η| − 1
|η|n
|η| − 1
kéo theo |η| < 2, mâu thuan với đieu giả sả trên. Suy ra |η| < 2, tác là
|α| < 2c. Vì c = H2 nên ta thu được |α| < H2.
2.4.3 Định lj 12. Giả sủ f(x) là đa thúc với h so nguyên b¾c n
f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0.
Neu ton tại so nguyên m ≥ H + 1 sao cho f(m) nguyên to thì f(x) bat
khả quy trên trường so hũu ty Q.
Chúng minh. Giả sả f(x) là đa thác b c n với h so nguyên. Chon α ∈ C
là m®t nghi m của f(x). Theo M nh đe 12 và M nh đe 13, ta có
|α| < H1 + 1 và |α| < 2H2.
Do đó
|α| < H.
Ta cháng minh bang phương pháp phản cháng. Giả sả f (x) = g(x)h(x)
trong đó g(x), h(x) là các đa thác với h so nguyên có b c dương. Vì
f (m) là so nguyên to nên f (m) = g(m)h(m) suy ra g(m) ho c h(m)
bang ±1. Không mat tính tőng quát, giả sả g(m) = ±1. Viet lại đa thác
< ,

35
Q
1
10 10 10 10
2
10 10 10 10 10
1 2
10 10 10 5
g(x) = c i(x − αi) trong đó αiC là các nghi m của g(x) và c là h so cao
nhat của g(x). Vì αi là các nghi m của g(x) nên αi cũng là các nghi m
của f(x), ta có |αi| < H. Do đó
1 = |g(m)| = |c|
Y
|m − αi| ≥
Y
(m − |αi|) >
Y
(m − H) ≥ 1.
Đieu này là mâu thuan. Do đó f(x) là đa thác bat khả quy trên Q.
2.4.4 Ví dn 13. Đa thác f(x) = 10x5
+ 3x4
+ 2x3
+ x + 1 là đa thác bat
khả quy trên Q.
Chúng minh. Đa thác f(x) có a5 = 10, a4 = 3, a3 = 2, a2 = 0, a1 = 1,
a0 = 1. Suy ra r = 0. Theo cách định nghĩa H1, H2 và H ở đau mục 2.4,
ta có
H = max
1
;
2
;
3
=
3
,
H = max (
1
)1/5
, (
1
)1/4
, (
2
)1/2
, (
3
)1/1
=
3
,
H = min{H1/(r+1)
+ 1, 2H } = min
3
+ 1, 2.
3
= 2.
3
=
3
.
Chon m = 2. Rõ ràng m > H + 1 và f (2) = 389 là so nguyên to. Theo
Định lý 12, f(x) là đa thác bat khả quy trên Q.
Năm 1980, J. Brillhart trong bài báo Note on Irreducibility Testing, đăng
trên tạp chí Math. of computation, 35, 152, 1379 - 1381, đã chỉ ra rang
tính bat khả quy của đa thác có the suy ra tà giá trị nguyên to của đa
thác tại môt vị trí đoi so đủ lớn.
2.4.5 Định lj 13. Cho f (x) là đa thúc với h so nguyên có b¾c dương.
Neu f (x) nh¾n giá tr nguyên to tại m®t so nguyên đủ lớn, thì đa thúc
Chúng minh. Th t v y, giả sả f (x) không bat khả quy. Khi đó f (x) có
phân tích f (x) = g(x)h(x) trong đó g(x) và h(x) là các đa thác có b c
dương với h so nguyên. Goi {bi} và {b′
j} lan lượt là t p tat cả các nghi m
nguyên của đa thác g(x)±1 và h(x)±1. Khi đó hai t p {bi} và {b′
j} là hai
t p hǎu hạn. Kí hi u M1 = max |bi|, M2 = max |b′
j| và M := max M1, M2.
Giả sả ton tại so nguyên m sao cho |m| > M và f(m) là so nguyên to,
i i i

36
thì g(m) ho c h(m) phải nh n giá trị 1 ho c −1, tác là m ∈ {bi} ho c
m ∈ {bj}. Đieu này là vô lý. Do đó f(x) bat khả quy trên Q.
Theo H quả 1, neu P (f ) = ∞ thì f (x) bat khả quy. Đieu ngược lại
không đúng. Nghĩa là, neu f (x) bat khả quy, nhìn chung ta không suy ra
được P(f) = ∞. Sau đây là m®t ví dụ.
2.4.6 Ví dn 14. Đa thác f(x) = xn
+ 105x + 12 bat khả quy trên Q và
f(x) không nh n giá trị nguyên to ho c so đoi của so nguyên to (tác là
P(f) = 0).
Chúng minh. Đa thác f (x) = xn
+ 105x + 12 bat khả quy theo tiêu chuȁn
Eisenstein với p = 3. Ta có phân tích
f(x) = x(xn−1
+ 105) + 12.
Với moi so nguyên m bat kỳ, ta có f(m) = m(mn−1
+ 105) + 12 luôn là
so chȁn. Giả sả ton tại so nguyên m đe f(m) = 2. Khi đó
m(mn−1
+ 105) + 12 = 2.
Suy ra m là ước của 10. Thả tat cả các trường hợp m là ước của 10 ta thay
đȁng thác trên đeu không thỏa mãn. V y f (x) không nh n giá trị bang 2.
Do đó f(m) luôn là hợp so với moi so nguyên m, tác là P(f) = 0.

37
Ket lu n
Trong lu n văn này chúng tôi đã trình bày nhǎng n®i dung sau ve tính
bat khả quy của đa thác với h so nguyên:
• Cháng minh Tiêu chuȁn Eisenstein (Định lý 1) và m®t so mở r®ng
(Định lý 2, Định lý 3).
• Cháng minh tiêu chuȁn rút gon theo module môt so nguyên to (Định
lý 4) và bài toán ngược.
• Cháng minh các đinh lý ve moi liên h giǎa giá trị khả nghịch, giá trị
nguyên to và tính bat khả quy của đa thác.
• Cháng minh các định lý ve moi liên h giǎa giá trị nguyên to tại đoi
so đủ lớn và tính bat khả quy.
• Cháng minh định lý ve moi liên h giǎa tính bat khả quy và giá trị
nguyên to.
• Ví dụ minh hoa cho các định lý, các m nh đe.

38
Tài li u tham khảo
Tieng Vi t
(i) Nguyen Khac Hưởng (2018), Tiêu chuȁn Eisenstein ve tính bat khả
quy của đa thúc, Lu n văn Thạc sĩ, Trường Đại hoc Khoa hoc - Đại
hoc Thái Nguyên.
(ii) Nguyen Văn L p (2015), Ve đa thúc khả quy trên Zp nhưng bat khả
quy trên Q, Lu n văn Thạc sĩ, Trường Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc
Thái Nguyên.
(iii) Lê Thị Thanh Nhàn (2015), Giáo trình Lý thuyet đa thúc, Nhà
xuat bản Đại hoc quoc gia Hà N®i.
Tieng Anh
(iv) H. Chao (1974), A Generalization of Eisenstein’s Criterion,
Mathe- matics Magazine, Vol. 47, 158-159.
(v) E. Diver, P. A. Leonard and K. S. Williams (2005), Irreducible quartic
polynomials with factorizations modulo p, Amer. Math. Monthly, 112,
No.10, 876-890.
(vi) M. Filaseta (1982), A further generalization of an irreducibility
theo- rem of A.Cohn, Canad. J. Math., 34, 1390-1395.
(vii) R. Guralnick, M. Schacher, J. Sonn (2005) Irreducible
polynomials which are locally reducible everywhere, Proc. Amer.
Math. Ann., 133,No. 11, 3171-3177.
(viii) A. Jakhar and N. Sangwan (2018), An irreducibility criterion
for integer polynomials, Amer. Math. Monthly, 125, 464-465.

39
(ix) J. Harrington and L. Jones (2013), A Class of Irreducible
Polynomi- als,Colloq. Math. 132, 113-119.
(x) M. Ram Murty (2002), Prime numbers and irreducible polynomials,
Amer. Math. Mothlly, 109 , No. 5, 452-458.
(xi) R. Thangadurai (2007), Irreducibility of Polynomials Whose Coeffi-
cients are Integers, Mathematics Newsletter, 17, 29-37.
(xii) , S. H. Weintraub (2013), A mild generazation of Eisenstein criterion,
Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 141, 1159-
1160.

Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.docx

Similar to Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.docx (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.docx