Практические работы по математике

1. МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ:
«Практические работы по
математике»

2. 2
Содержание:
Пояснительная записка....................................................................................... 3
Практическая работа №1 по теме: «Построение сечений»................................. 4
Практическая работа №2 по теме: «Площади поверхностейи объёмы
многогранников» ................................................................................................ 9
Практическая работа №3 по теме: «Действия над векторами»..........................14
Практическая работа № 4 по теме: «Решение алгебраических уравнений и
неравенств»........................................................................................................18
Практическая работа № 5 по теме: «Корни и степени».....................................23
Практическая работа № 6 по теме: «Логарифмы и их свойства» ......................26
Практическая работа №7 по теме: «Основы тригонометрии»...........................29
Практическая работа № 8 по теме: «Правила дифференцирования».................33
Практическая работа № 9 по теме: «Нахождение первообразныхи вычисление
интегралов»........................................................................................................36
Список литературы............................................................................................39

3. 3
Пояснительная записка.
Данное пособие включает в себя следующие разделы дисциплины:
 Взаимное расположениепрямых и плоскостейв пространстве;
 Геометрическиетела и поверхности. Объемы и площади поверхностей
геометрическихтел;
 Приближенные вычисления и вычислительныесредства;
 Показательная, логарифмическая, степенная функции;
 Тригонометрическиефункции;
 Производная иее приложение;
 Интеграл и его приложения.
Выполнение практических работ позволяет отработать умения, навыки по
каждому разделу, определить уровень усвоения материала.
Использование заданий должно содействовать развитию технического
мышления, стимулированию их активности и самостоятельности на занятиях.
Оценка знаний выставляется в зависимости от количества правильных
ответов на вопросы заданий.

4. 4
Практическая работа №1
по теме: «Построение сечений»
Цель работы: отработать навыки построения отрезков,сечений;
Выполняя данную работу, студент дол ж ен
зн а т ь:понятиеи свойствамногогранников:тетраэдра, параллелепипеда;
понятие сечения многогранника;взаимноерасположениепрямыхи плоскостей;
ум ет ь :соединятьточкиотрезкамилежащими в однойплоскости;строить
сечения тетраэдра, параллелепипеда.
Последовательность выполнения:
задания выполнять желательно в указанном порядкепо заданному алгоритму.
Справочный материал:
1. Тетраэдр имеет 4 грани. В сеченияхмогут получиться:треугольники,
четырехугольники
2. Параллелепипед имеет 6 граней. В его сеченияхмогут получиться:
треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники.
3. Для построения сечения нужно построить точкипересечения секущей
плоскостис ребрами и соединить их отрезками.
4. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскостиоднойграни.
5. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным
отрезкам.
6. Если в плоскостиграни отмечена только одна точка, принадлежащая
плоскостисечения, то надо найти точкипересечения уже построенных прямых
с другимипрямыми, лежащими в тех же гранях.

5. 5
1 ВАРИАНТ
А1. Каково взаимное расположение прямых: A1D и MN,
A1D и B1C, MN и A1B1
А2 . N и P – середины ребер тетраэдра ВD и ВС.
Определите взаимное расположение: NP и СD, прямой
NP и плоскости АСD.
А3. Постройте точку пересечения прямых: МN и A1А,
MN и A1B1, Постройтепрямую проходящую через точку
С1 параллельную прямой MN.
А4. Постройте сечение проходящее через прямую СDи
точку О.
А5 Построить сечение тетраэдра, проходящее через
точки М, N и К являющиеся серединами отрезков ВD,
AD, и СD.

6. 6
В1. Построить сечение параллелепипеда, проходящее
через точки М, N и С1
В2. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки М, N и К. Если К –
середина отрезка ВА.
С1. Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N и К
С2. Построить сечение тетраэдраDАВС, проходящее через точки М, N и К.
Если N – принадлежит плоскости АВС.
Критерии оценивания:
«5» выполнить задания В,С с грамотным оформлением условий, чертежей и
решений задач;
«4» выполнить задание А3, А4, А5 и В;
«3» выполнить задание А.

7. 7
2 ВАРИАНТ
А1F и E – середины ребер куба. Определите взаимное расположениепрямых
FEи АС, AB1 и DC1,
A1D1 и FE. MN
А2. F и E– середины ребер тетраэдра DC и AС. Определите взаимное
расположение:FE и DA, прямой FE и плоскостиАСD.
А3. Постройтеточку пересечения прямых:КN и A1D1, NК и D1D, Постройте
прямую проходящуючерез точку М параллельную
прямойКN.
А4. Постройтесечение проходящее через прямуюСАи точку
О.
А5 Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки М,
N и К являющиеся серединами отрезков ВС, AС, и СD.

8. 8
В1. Построить сечение. параллелепипеда, проходящее
через точки М, N и К
В2. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки М, N и К. Если К –
середина отрезка ВС.
С1. Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N и К
С2. Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки М, N и К. Если М –
принадлежит плоскости ВСD.
Критерии оценивания:
«5» выполнить задания В,Сс грамотным оформлением условий, чертежей и
решений задач;
«4» выполнить задание А3, А4, А5 и В;
«3» выполнить задание А.

9. 9
Практическая работа №2
по теме: «Площади поверхностей и объемымногогранников»
Цель работы:научиться строить изображение призмы, вычислять площадь
поверхности призмы; научиться строить изображение пирамиды, вычислять
площадь поверхности пирамиды.
Выполняя данную работу, студент дол ж ен
зн а т ь:формулы площадей и объемов многогранников;формулы площадей и
объемов тел вращения;
ум ет ь :вычислятьплощадимногоугольников;определять вид
геометрическоготела, его свойства;применять формулыдля вычисления
площадей и объемов геометрическихтел.
Справочный материал
Треугольник
Прямоугольный треугольник
1. Сумма острых углов:
2. ТеоремаПифагора:
3. Радиус описанной (R)и
Прямоугольник
Диагональ:
Радиус описаннойокружности:
Периметр:
Площадь:

10. 10
вписанной (r) окружности:
(mс – медиана, проведенная к
гипотенузе)
4. Площадь:
Соотношениямеждусторонами и
углами:
Параллелограмм
Сумма углов:
Соотношениесторон и диагоналей:
Периметр:
Площадь:
𝑆 = 𝑎ℎ = 𝑎𝑏sin 𝛼 =
1
2
𝑑1𝑑2 sin 𝜑
Трапеция
Средняялиния ( m ):
Площадь:
Правильный многоугольник
Сумма внутренних углов
правильногоn-угольника:
Sn = 1800 • (n-2)
Площадь правильногоn-угольника:
Pn – периметр

11. 11
Призма:
Sбок=Росн·h, Sполн= Sбок + 2Sосн, V = Sосн·h.
Прямоугольный параллелепипед, куб:
Sбок=Росн·h, Sполн= Sбок + 2Sосн, V = abc.
Пирамида:
Sбок= cумма площадей боковыхграней, Sполн= Sбок +Sосн,
V =
𝟏
𝟑
Sосн·h.
Правильнаяпирамида:
Sбок =
𝟏
𝟐
Росн·ha (ha-апофема), Sполн= Sбок +Sосн, V =
𝟏
𝟑
Sосн·h.
Круг
Длина окружности и дуги:
Lокр= 2π r
Lдуги = Lокр * nо / 360
Площадь круга и сектора:
Sкруга = π r2
S сект. = Sкруга *nо / 360
Ромб
Диагонали ромба взаимно
перпендикулярны.
Соотношениядиагоналей и
стороны:
Радиус вписанной окружности:
Площадь:

12. 12
1ВАРИАНТ
А1. . Построить изображениепирамиды, дать новоеназвание.
А2. Указать ее элементы.
а) выяснить и назовите какая фигура лежит в основании пирамиды, вершину
пирамиды, боковые ребра, высоту пирамиды;
б) какую пирамиду называют правильной?
в) установить вид пирамиды;
г) что называется апофемой правильной пирамиды?
д) запишите формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды.
г) произвести необходимые измерения, нанести их на чертеж.
А3.Вычислить площадь основания (выяснить какая фигура лежит в основании,
подобрать нужную формулу, подставить данные, произвести вычисления);
А4.Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды( выяснить является
пирамида правильной или вычислять площадь каждой боковой грани,
применить нужную формулу, подставить данные, произвести вычисления)
А5. Вычислить площадь полной поверхности пирамиды и объём.
В.Рабочим необходимо оклеить комнату обоями. Длина комнаты 5м, ширина
4м и высота 3м.
а) Вычислить площадь оклеиваемой поверхности.
б) Вычислить площадь одного рулона, если длина обоев в рулоне-12м, ширина
рулона 1м.
в) Сколько рулонов обоев нужно купить, если рисунок не подбирать.
С.Высота наклонной призмы 5. Найдите боковое ребро, если оно наклонено к
плоскости основания под углом 30°
Критерии оценивания:
«5» выполнить все задания работы с грамотным оформлением условий,
чертежей и решений задач;
«4» выполнить задание А, В с грамотным оформлением условий, чертежей и
решений задач;
«3» выполнить задание А с оформлением условия, чертежа и решения задачи.

13. 13
2ВАРИАНТ
А1.. Начертить изображения призмы, дать полное название.
А2.Указать ее элементы.
а) выяснить и назовите какая фигура лежит в основании, вершины призмы,
боковые рёбра, боковые грани призмы, высоту призмы, диагонали, которые
можно провести
б) какую призму называют правильной?
в) установить вид призмы;
г) запишите формулу площади боковой поверхности правильной призмы;
д) произвести необходимые измерения, нанести их на чертеж.
А3. Вычислить площадь основания (выяснить какая фигура лежит в основании
призмы, подобрать нужную формулу, подставить данные, произвести
вычисления).
А4. Вычислить площадь боковой поверхности призмы ( выяснить является
призма прямой, применить нужную формулу, подставить данные, произвести
вычисления).
А5. Вычислить объём и площадь полной поверхности призмы.
В.Рабочим необходимо покрасить помещение краской. Длина помещения 6м,
ширина 5м и высота 3м.
а) Вычислить площадь окрашиваемой поверхности.
б) Сколько килограмм краски нужно купить, если 1 килограмм расходуется на 2
м2.
в) Вычислить необходимоеколичество банок краски, если вес краски в одной
банке составляет 5 кг.
С.Площади основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды
равен 36см2
и 64см2
а апофема-10см. Найти полную поверхность пирамиды.
Критерии оценивания:
«5» выполнить все задания работы с грамотным оформлением условий,
чертежей и решений задач;
«4» выполнить задание А, В с грамотным оформлением условий, чертежей и
решений задач;
«3» выполнить задание А с оформлением условия, чертежа и решения задачи.

14. 14
Практическая работа №3
по теме: «Действия над векторами»
Цель работы: отработать навыки действий с векторами;
Выполняя данную работу, студент дол ж ен
зн а т ь:понятия:вектор, коллинеарные векторы, равны, противоположно
направленные векторы, противоположныевекторы, компланарныевекторы,
соноправленныевекторы;правиласложения и вычитания векторов;
ум ет ь :строитьсуммуи разность векторов;находить равные,
противоположнывекторы;
Последовательность выполнения:
задания выполнять желательно в указанном порядкепо заданному алгоритму.
Справочный материал
Вектор характеризуется следующими элементами: начальнойточкой(точкой
приложения); направлением; длиной («модулем вектора»).
От любой точки можно отложить вектор, равныйданному, и притом только
один, используя параллельный перенос.
Два вектора называютсяравными, если они совмещаются параллельным
переносом.
АВСD — параллелограмм,А𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
Два ненулевыхвектора называются коллинеарными, еслиони лежат на
однойпрямойили на параллельных прямых.
Если векторы𝑎 и 𝑏
⃗ коллинеарны и их лучи одинаково направлены,
то векторы 𝑎 и 𝑏
⃗ называются сонаправленными. Обозначаются𝑎 ↑↑
𝑏
⃗ .Если векторы 𝑎 и 𝑑 коллинеарны, а их лучи не являются
сонаправленными, то векторы 𝑎 и 𝑑 называются противоположно
направленными. Обозначаются 𝑎 ↑↓ 𝑑.
Свойство коллинеарных векторов
Если векторы 𝑎 и 𝑏
⃗ коллинеарны и𝑎 ≠ 0 , то существует число k такое,
что 𝑏
⃗⃗⃗ = 𝑘𝑎. причем если k > 0, то векторы 𝑎 и 𝑏
⃗ сонаправленные, если k < 0,
то противоположнонаправленные.

15. 15
Сложение векторов
Правило треугольника.Каковы бы ни были точкиА, В, С, имеет место
векторноеравенство:𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
Правило параллелограмма. Если векторы 𝑎 и 𝑏
⃗ неколлинеарны, их можно
отложить от однойточки, достроивзатем параллелограмм. Диагональ
параллелограмма есть сумма двух векторов 𝑎 и 𝑏
⃗ .
Вычитание векторов
Правило треугольника.Каковы бы ни были точкиА, В, С, имеет место
векторноеравенство:𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗

16. 16
1 ВАРИАНТ
А1. Назовите все векторы, образованныерёбрами
параллелепипедаАBCDA1B1C1D1, которые:
а) равны вектору 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ ;
б) противоположны вектору𝐷1𝐶1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
в) равны вектору−ВС1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
А2. Дан параллелепипед АBCDA1B1C1D1. Постройтесумму и разность заданных
векторов.
А) 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴1𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
б) 𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴1𝐷1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
в) 𝐵1𝐶1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
г) 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐷𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
д) 𝐵1𝐴1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
е) С1𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
А3. Изобразитететраэдр ABCD и упростите выражение:
𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗
А4.Упростите выражение:
а) 𝑀𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝑅
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐾𝑆
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑁𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑅𝐾
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑆𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗
б) 𝐸𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑃𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗
В1. Дан параллелепипед АBCDA1B1C1D1. Упроститевыражение:
𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷1𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵1𝐷1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
В2. Начертите треугольник АВС и постройтевекторы АВ
⃗⃗⃗⃗⃗ +
1
2
ВС
⃗⃗⃗⃗⃗ и
1
5
(𝐵А
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵С
⃗⃗⃗⃗⃗ )
С. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке М. Докажите, что
𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ .
Критерии оценивания:
«5» выполнить все задания работы с грамотным оформлением условий,
чертежей и решений задач В,С;
«4» выполнить задание А3, А4 и В;
«3» выполнить задание А.

17. 17
2 ВАРИАНТ
А1. Назовите все векторы, образованныерёбрами
параллелепипедаАBCDA1B1C1D1, которые:
а) равны вектору 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ ;
б) противоположны вектору𝐴1𝐷1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;
в) равны вектору −𝐶𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
А2. Дан параллелепипед АBCDA1B1C1D1. Постройтесумму и разность заданных
векторов.
А) 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐴1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
б) 𝐷𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷1
⃗⃗⃗⃗ 𝐶1
в) 𝐵1𝐶1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵1𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
г) 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
д) 𝐶1𝐷1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
е) 𝐴1𝐵1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
А3. Изобразитететраэдр ABCD и упростите выражение:
𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗
А4.Упростите выражение:
а) 𝐾𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝐾
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
б) 𝑀𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐾𝐸
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐾𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
В1. Дан параллелепипед АBCDA1B1C1D1. Упроститевыражение:
𝐵1𝐷1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶1𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶1𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴1𝐷1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
В2. Начертите треугольник АВС и постройтевекторы −1,5(АВ
⃗⃗⃗⃗⃗ + ВС
⃗⃗⃗⃗⃗ –0,5𝐴С
⃗⃗⃗⃗⃗ ).
С. В прямоугольникеABCDдиагонали пересекаются в точке О. Докажите, что
C
D
A
D
D
O
C
D
O
A 


 .|𝐴𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝐷𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ |
.
Критерии оценивания:
«5» выполнить все задания работы с грамотным оформлением условий,
чертежей и решений задач В,С;
«4» выполнить задание А3, А4 и В;
«3» выполнить задание А.

18. 18
Практическая работа № 4
по теме: «Решение алгебраических уравнений и неравенств»
Цель работы: закрепить навыки по действию с дробями, приближенным
вычислениям, вычислениям процентов, правилокругления десятичных дробей,
решению рациональных уравнений.
Выполняя данную работу, студент дол ж ен
зн а т ь:правиласложения, вычитания, умножения, деления действительных
чисел;методы решения уравнений;методы решения неравенств;основные
методы решения уравнений и неравенств.
ум ет ь :применятьметоды решения уравнений и неравенств.
Справочный материал:
1. Определениеуравнения. Корниуравнения.
Равенство с переменной𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)называется уравнением с одной
переменной 𝒙. Всякое значение переменной, при котором выражения
𝑓(𝑥)и𝑔(𝑥) принимают равные числовыезначения, называется корнем
уравнения.
2. Равносильностьуравнений.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.
Равносильнымисчитаются уравнения, каждое из которыхне имеет корней.
В процессерешения уравнения его заменяют более простым, но
равносильным данному:
 Утверждение 1. Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из
однойчасти в другую, изменив его знак, то получится уравнение,
равносильноеданному.
 Утверждение 2. Если обе частиуравнения умножить или разделить на
одно и то же отличноеот нуля число, то получится уравнение,
равносильноеданному.
3. Линейныеуравнения.
Линейным уравнением называется уравнение вида 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 или любое
другоеуравнение, приводимоек такому виду . где
a— коэффициент при неизвестной, b— свободныйчлен (любое число).
Решить уравнение значитнайти такое число (корень уравнения), что при п 4.
Квадратныеуравнения.
Уравнение вида 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, где a, b, c – действительные числа (a ≠ 0),
называют квадратным уравнением.
Для решения квадратного уравнения используютдискриминант 𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐.
Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет действительных корней;
если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один действительныйкорень, которыйнаходят
по формуле 𝑥 =
−𝑏
2𝑎
;
если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два действительныхкорня, которыенаходят по
формуле 𝑥1/2 =
−𝑏±√𝐷
2𝑎
.
5. Неполныеквадратныеуравнения.

19. 19
Если в квадратном уравнении 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 коэффициент b или свободный
член с равен 0, то квадратное уравнение называю неполным.
Алгоритм решения линейного неравенства
1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в
правую и привести подобныеслагаемые. Должно получиться неравенство
одного из следующих видов:
ax<b, ax≤b, ax>b, ax≥b
1. Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить,
необходимо поделить левую и правую часть неравенства на
коэффициент a.
 Если a>0 то неравенство приобретает вид x≤ba.
 Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный,
неравенство приобретает вид x≥ba.
1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице
числовых промежутков.
Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
1. Решить уравнение ax2+bx+c=0 и найти корни x1 и x2.
1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.
Если знак неравенства строгий >,<, точки будут выколотые.
Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).
1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого
промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в
выражение ax2+bx+c вместо x.
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных
интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных
интервалах знаки будут чередоваться.
Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

20. 20
Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.
Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.
1. Записать ответ.
Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от
знака в исходном неравенстве):
f(x)g(x)<0
f(x)g(x)≤0
f(x)g(x)>0
f(x)g(x)≥0
1. Приравнять числитель дроби к нулю f(x)=0. Найти нули числителя.
1. Приравнять знаменатель дроби к нулю g(x)=0. Найти нули
знаменателя.
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все
9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-
то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на
ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак
неравенства.
1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.
Вне зависимости от знака неравенствапри нанесении на ось x нули
знаменателя всегда выколотые.
Если знак неравенства строгий,при нанесении на ось x нули
числителя выколотые.
Если знак неравенства нестрогий,при нанесении на ось x нули
числителя жирные.
1. Расставить знаки на интервалах.
1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.
Алгоритм решения системы неравенств
1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
1. Решить второенеравенство системы, изобразитьего графически на оси x.
1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго
неравенств пересекаются. Записать ответ.

21. 21
Критерии оценивания:
«5» выполнить задания В, С;
«4» выполнить задания А3, А4, В;
«3» выполнить задания А.
1 ВАРИАНТ
А1. Упростите выражения:(b + c)(b – c) – b(b – 2c)
А2. Вычислите: 4
2
3
+ 1
1
3
∙ 3 − 5
1
6
А3. Решите уравнения:
а) 3 + х = 8х – (3х + 7);
б)
5х+3
2
=
2х−7
4
;
в) 5х2 – 8х + 3 = 0.
А4. Решите неравенства:
а)8 + 5х ≤ 21+6х; в)2х2 - 7х + 6 ≥ 0;
б)
5+6х
2
< 3; г) (х + 5)(х− 3) ≥ 0.
В1. Упростите выражения:
𝑏
𝑎2−𝑎𝑏
÷
𝑏2
𝑎2−𝑏2
В2. Решите уравнения:
а) 16х3 – 32х2 – х + 2 = 0
б)
2х−1
х+7
=
3х+4
х−1
В3. Решите неравенства:
а) х(х + 7)(2х + 4)(4− х) < 0; б)
6х+1
3+х
≥ 0.
С1. Решите системууравнений:{
6
х−у
−
8
х+у
= −2
9
х−у
+
10
х+у
= 8
С2. Решите систему неравенства:{𝑥2
− 10х + 9 ≤ 0
10 − 3х < 0

22. 22
Критерии оценивания:
«5» выполнить задания В, С;
«4» выполнить задания А3, А4, В;
«3» выполнить задания А.
2 ВАРИАНТ
А1. Упростите выражения:(a - c)(a + c) – c(3a –c)
А2Вычислите:2∙ 2
2
5
− 2
1
2
∙ 4 +
13
15
А3. Решите уравнения:
а) 6х - 8 = 10х – (4 – х);
б)
3х−4
5
=
2х+1
2
;
в) 2х2 – 9х + 10 = 0;
А4. Решите неравенства:
а) 30 + 5х ≥ 18 – 7х
б)
3х−1
4
> 2
в) х2
- 8х + 12≤ 0
г)(х + 6)(х− 2) ≥ 0
В1. Упростите выражения:
𝑎2
𝑎2−с2
÷
𝑎
𝑐2+𝑎𝑐
В2. Решите уравнения:
а) х6 – х4 + 5х2 – 5 = 0
б)
2х+3
2х−1
=
х−5
х+3
В3. Решите неравенства:
а) х(х + 1)(3х + 15)(8− х) > 0
б)
5х−15
х−4
≤ 0
С1. Решите системууравнений:{
4
х−у
+
12
х+у
= 3
8
х−у
−
18
х+у
= −1
С2. Решите системунеравенства:{x2
− 5х+ 4 ≤ 0
9 − 4х < 0

23. 23
Практическая работа № 5
по теме: «Корни и степени»
Цель работы:отработать навыки действий со степенями с рациональным
показателем;закрепить навыки решения показательных уравнений и
неравенств.
Выполняя данную работу, студент дол ж ен
зн а т ь:свойствастепени с целым и дробным показателем;свойствакорня n-ой
степени;свойствапоказательной и степенной функции;основныеметоды
решения уравнений и неравенств.
ум ет ь :вычислятьзначения степенных и иррациональных
выражений;выполнять действия на преобразования степенныхи
иррациональныхвыражений;применять методы решения уравнений и
неравенств.
Последовательность выполнения:
задания выполнять желательно в указанном порядке.
Справочный материал:
Решение уравнений.
При решении показательных и иррациональных уравнений воспользоваться
методами:приведение к общему основанию;вынесение общего множителя за
скобки;метод замены переменной;возведение в степень обеих частей
уравнения.
Решение неравенств.
Воспользоваться свойством показательной функции у = 𝑎𝑥
:
 при 0 <a< 1, функция убывает => знак неравенства меняется на
противоположный;
 при a>1, функция возрастает => знак неравенства не меняется.
Свойства степени с
действительным показателем:
am
∙ an
= am+n
a1
= a
am
÷ an
= am−n
a0
= 1
(am
)n
=am∙n
√am
n
= a
m
n
(a ∙ b)m
= am
∙ bm
a−1
=
1
a
a−n
=
1
an
(
a
b
)
n
= (
b
a
)
−n
Свойства корня n-ой степени:
 
   
0
,
.
5
0
.
4
)
0
(
.
3
)
0
(
.
2
.
1











a
a
a
k
a
a
k
a
a
b
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n
nk k
n
nk
n k
n
n
n
n
n
n

24. 24
1 ВАРИАНТ
А1. Вычислить:
а) √−3
3
∙ √9
3
+ √24
4
;
б) 8
1
2:(8
1
6 ∙ 9
3
2)
А2. Решите уравнения:
a) 53−2х
= 125; б) √4х − 8 = 6;
в) (
1
16
)
7−х
= 64х+5
; г) √6х − 5 = 2√х.
А3. Решите неравенства:
а)73−х
<
1
49
;б)(
1
3
)
−4х−1
≥ (
1
9
)
х+2
в) 271+х
< (
1
9
)
2−х
В1. Упростить выражение:
a)
𝑔2(𝑝𝑔2)3
𝑝2
;
б) 2·√8𝑥𝑦−12
4
∙ √2𝑥3𝑦−20
4
В2. Решите уравнения:
а) √х + 1 + √х − 1 =√2;
б) 3х−1
+ 3х−2
+ 3х−3
= 3159;
В3. Решите неравенства:
0,04х
− 1,2 ∙ 0,2х
+ 0,2 > 0
С. Решить системууравнений:
{
2x
+ 2y
= 6
3 ∙ 2x
− 2y
= 10
Критерии оценивания:
На оценку «5» - выполнить все задания В, С;
На оценку «4» - выполнить задания А3, В;
На оценку «3» - выполнить задания А.

25. 25
2 ВАРИАНТ
А1. Вычислить:
а) √8
5
∙ √−4
5
+ √36
6
;
б) 3
1
2 ∙ 3
1
2 ∙ (0,25)
1
4.
А2. Решите уравнения:
a) (
1
3
)
4−2х
= 81; б) √60 − 2х = 5;
в) (
1
25
)
2−х
= 125х+1
; г) √х + 34 = 3√2х.
А3. Решите неравенства:
а) 51−2х
≤
1
125
; б)(
1
4
)
3х−1
≤ (
1
2
)
6х−3
;
в) 1001+2х
< 0,14−х
.
В1. Упростить выражение:
a)
𝑎3(𝑎𝑏2)4
𝑎5
;
б) 2·√16𝑎𝑏12
3
÷ √2𝑎4𝑏9
3
.
В2. Решите уравнения:
а)√х − 2 + 2√х + 6 =4 ;
б) 2 ∙ 3х+3
− 5 ∙ 3х−2
= 1443
В3. Решите неравенства:
9х
− 6 ∙ 3х
< 27
С. Решить системууравнений:
{2x+1
− 3y
= −
3y
− 2x
= 2
Критерии оценивания:
На оценку «5» - выполнить все задания В, С;
На оценку «4» - выполнить задания А3, В;
На оценку «3» - выполнить задания А.

26. 26
Практическая работа № 6
по теме: «Логарифмы и их свойства»
Цель работы: отработать навыки действий с логарифмами; закрепить навыки
решения логарифмических уравнений и неравенств
Выполняя данную работу, студент дол ж ен
зн а т ь:свойствалогарифмов;свойствалогарифмической функции;основные
методы решения уравнений и неравенств.
ум ет ь :вычислятьзначения логарифмическихвыражений;выполнять
действия на преобразования логарифмическихвыражений;применять методы
решения уравнений и неравенств.
Последовательность выполнения:
задания выполнять желательно в указанном порядке.
Справочный материал
Определениелогарифма:
logb
a = c(a > 0, b > 0, b ≠ 1), тогдаитолькотогда,
когдаbc
= a
Основноелогарифмическое тождество:blogb a
= a
Свойства логарифмов:
loga 1 = 0 loga a = 1 loga am
= m
loga
1
a
= −1 logam a =
1
m
logam an
=
n
m
Основные соотношения:
logс(a ∙ b) =logc a +logc blogc ak
= k ∙ logc a
logc (
a
b
) =logc a −logc b logb a =
logc a
logc b
Нахождение области определенияфункции.
Учитывать свойства логарифмической функции при нахождении области
определения функции.
Решение уравнений.
При решении логарифмических уравнений воспользоваться
методами:потенцирования;по определению;метод замены
переменной;логарифмирования.
Решение неравенств.
Воспользоваться свойством логарифмической функцииу = logа х
 при 0 <a< 1, функция убывает => знак неравенства меняется на
противоположный;
 при a>1, функция возрастает => знак неравенства не меняется.

27. 27
1 ВАРИАНТ
А1. Вычислить:
а) log3 27 − log1
7
7;
б)lg4 + lg25;
в)3log38−log3 4
.
А 2. Найти область определенияфункции:
у = log2(3х− 15)
А3. Решите уравнения:
)
8
5
(
log
)
4
3
(
log
)
2
)
10
(
log
)
7
7
5





x
x
б
х
а
А4. Решите неравенства:
)
1
(
log
)
5
3
(
log
)
2
)
1
(
log
)
2
)
1
(
log
)
5
1
5
1
3
1
3









x
x
в
x
б
x
а
В1. Упростить выражение:
4log23+log2 5
В2. Решите уравнения:
0
6
log
5
log
)
8
log
)
1
(
log
)
1
(
log
)
2
2
2
5
5
5







x
x
б
x
x
а
В3. Решите неравенства:
log2(7 − х) + log2 х ≥ 1 + log2 3
С. Решить системууравнений:
{
log64 х −log64 у =
1
3
log9(х − у) =
1
2
Критерии оценивания:
«5» - выполнить все задания В, С;
«4» - выполнить задания А1, А2,В;
«3» - выполнить задания А.

28. 28
2 ВАРИАНТ
А1. Вычислить:
а) log2 16 + log1
3
9;
б)log6 48 − log6 8;
в)7log75+log7 2
.
А 2. Найти область определенияфункции:
у = log4(−2х − 14)
А3. Решите уравнения:
)
5
7
(
log
)
3
5
(
log
)
2
)
12
(
log
)
3
3
3





x
x
б
x
а
А4. Решите неравенства:
)
1
(
log
)
5
2
(
log
)
2
)
1
2
(
log
)
2
)
5
(
log
)
3
,
0
3
,
0
2
1
2








x
x
в
x
б
x
а
В1. Упростить выражение:
5log5 √27−log5 √3
В2. Решите уравнения:
0
4
lg
3
lg
)
9
log
)
2
1
(
log
)
4
(
log
)
2
2
2
2







x
x
в
x
x
а
В3. Решите неравенства:
log1
2
х + log1
2
(10 − х) ≥ −1 + log1
2
4,5
С. Решить системууравнений:
{
log1
3
(3х− у) = log1
3
(х + 4)
log9(х2
− у + х) = log9 х2
Критерии оценивания:
«5» - выполнить все задания В, С;
«4» - выполнить задания А1, А2,В;
«3» - выполнить задания А.

29. 29
Практическая работа №7
по теме: «Основы тригонометрии»
Цель работы: отработать навыки работы с таблицей значений
тригонометрических функций; закрепить навыки применения
тригонометрических формул при вычислении значений тригонометрических
функций и преобразовании выражений, содержащих тригонометрические
функции.
Выполняя данную работу, студент дол ж ен
зн а т ь: основныетригонометрическиетождества;формулы сложения
тригонометрическихфункций; формулы двойного аргумента; формулы
приведения; формулы суммы, разноститригонометрическихфункций.
ум ет ь : различать тригонометрическиеформулы;применять
тригонометрическиеформулы припреобразования ивычислениизначений
выражений;
Методические указания:
Перевести из градусноймеры в радианную, и из радианнойв градусную
меру.Использовать формулы:𝒏𝟎
=
𝝅𝒏
𝟏𝟖𝟎𝟎
радиан;
𝒎 радиан =
𝒎 ∙ 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝝅
градусов
При выполнении задания использовать тригонометрическиеформулы
приведения.
Справочный материал
Основные формулы тригонометрии:
𝑠𝑖𝑛2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 = 1; 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = ±√1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 ;
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = ± √1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼
2
𝑡𝑔𝛼 =
𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼
;𝑐𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝑡𝑔𝛼 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 1; 𝑐𝑡𝑔𝛼 =
1
𝑡𝑔𝛼
𝑡𝑔2
𝛼 + 1 =
1
𝑐𝑜𝑠2 𝛼
; с𝑡𝑔2
𝛼 + 1 =
1
𝑠𝑖𝑛2 𝛼
Формулы сложения:
𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽;
𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽;
𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽;
𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽;
𝑡𝑔(𝛼 − 𝛽) =
𝑡𝑔 𝛼−𝑡𝑔 𝛽
1+𝑡𝑔 𝛼∙𝑡𝑔 𝛽
;

30. 30
𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) =
𝑡𝑔 𝛼+𝑡𝑔 𝛽
1−𝑡𝑔 𝛼∙𝑡𝑔 𝛽
.
Формулы суммы и разности:
𝑠𝑖𝑛 𝛼 +𝑠𝑖𝑛𝛽 = 2𝑠𝑖𝑛
𝛼 + 𝛽
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝛼 − 𝛽
2
;
𝑠𝑖𝑛 𝛼 −𝑠𝑖𝑛𝛽 = 2𝑠𝑖𝑛
𝛼 − 𝛽
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝛼 + 𝛽
2
;
𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 2 𝑐𝑜𝑠
𝛼 + 𝛽
2
∙ 𝑐𝑜𝑠
𝛼 − 𝛽
2
;
𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛽 = −2 𝑠𝑖𝑛
𝛼 − 𝛽
2
∙ 𝑠𝑖𝑛
𝛼 + 𝛽
2
Формулы двойногоаргумента:
𝑠𝑖𝑛 2𝛼 = 2 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛼;
𝑐𝑜𝑠 2𝛼 =𝑠𝑖𝑛2
𝛼 − 𝑐𝑜𝑠2
𝛼;𝑐𝑜𝑠2𝛼 =1 − 2 𝑠𝑖𝑛2
𝛼 ; 𝑐𝑜𝑠 2𝛼 =2𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 1;
𝑡𝑔2𝛼 =
2𝑡𝑔𝛼
1−𝑡𝑔2𝛼
.
0; 2𝝅
0,360˚
𝝅/6
30˚
𝝅/4
45˚
𝝅/3
60˚
𝝅/2
90˚
𝝅
180˚
sin 𝜶
0
𝟏
𝟐
√𝟐
𝟐
√𝟑
𝟐
1 0
cos𝜶
1 √𝟑
𝟐
√𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
0 -1
tg𝜶
0 √𝟑
𝟑
1 √𝟑 - 0
ctg𝜶
- √𝟑 1 √𝟑
𝟑
0 -

31. 31
1 ВАРИАНТ
А1. Перевестииз одной меры измерениявдругую:
а) 200;
б)
5𝜋
3
;
в)6.
А2. Найти значение выражения:
a) 3 sin
𝜋
6
+ 5cos
𝜋
3
− tg
𝜋
3
𝑐tg
𝜋
4
б)2cos 150
∙ sin150
А3. Упростите выражение:
а) sin2
α + cos2
α + 𝑡𝑔2
𝛽
б) sin(𝛼 − 300
) + cos(600
+ 𝛼)
А 4. Упростите выражение:
а) формулы суммы и разностиаргументов:
cos (
𝜋
6
+ 𝛼) −
√3
2
cos 𝛼
б) формулы двойного аргумента:
1 − cos 2𝛼
sin2α
в) формулы суммы и разноститригонометрическихфункций:
cos 3𝛼 −cos 𝛼
sin 3𝛼 +sin 𝛼
В1. Используяформулы вычислить:
а)sin 3300
+ tg 2400
;
б)
sin 700+sin 100
cos700−cos 100
.
В2. Найти значение sinα, cosα еслиtgα =
1
3
,
𝜋
2
<∝< 𝜋.
В3. Упростите выражение:   .
sin
cos
sin
cos
sin
-
cos 2
2
2
4
4










С. Докажите тождество:
sin3 190−sin3 190
sin 190 − cos 190
= 1.
Критерии оценивания:
«5» необходимо выполнить задания В,С работы с грамотным оформлением
условий и решений задач;
«4» необходимо выполнить задания А2, А3 и по выбору два задания В;
«3» необходимо выполнить задание А.

32. 32
2 ВАРИАНТ
А1. Перевестииз одной меры измеренияв другую:
а) 400;
б)
3𝜋
8
;
в) 4.
А2. Найдите значениевыражения
a) tg
𝜋
4
𝑐tg
𝜋
6
− sin
𝜋
4
+ 3cos
𝜋
4
б)cos2
22,50
− sin2
22,50
А3. Упростите выражение:
а) tg α ∙ ctg α − 𝑠𝑖𝑛2
𝛽
б) sin(450
− 𝛼) − co 𝑠 (450
+ 𝛼)
А 4. Упростите выражение:
а) формулы суммы и разностиаргументов:
sin (
𝜋
4
+ 𝛼) −
1
√2
cos 𝛼
б) формулы двойного аргумента:
sin2α
1 + cos 2𝛼
в) формулы суммы и разноститригонометрическихфункций:
sin 4𝛼 −sin 2𝛼
cos 4𝛼 +cos 2𝛼
В1. Используяформулывычислить:
а) cos 3150
+ ctg 1500
;
б)
sin 800+sin 100
cos800+cos100
.
В2. Найти значение sinα, ctgα если
cos2α =
3
4
,
3𝜋
2
< 2 ∝< 2𝜋.,
В3. Упростите выражение:
1−𝑠𝑖𝑛4∝
𝑠𝑖𝑛2∝(1+𝑠𝑖𝑛2∝)
С. Докажите тождество:
𝑐𝑜𝑠2∝
𝑐𝑡𝑔2∝−𝑡𝑔2∝
=
1
4
𝑠𝑖𝑛2
2 ∝.
Критерии оценивания:
«5» необходимо выполнить задания В,С работы с грамотным оформлением
условий и решений задач;
«4» необходимо выполнить задания А2, А3 и по выбору два задания В;
«3» необходимо выполнить задание А.

33. 33
Практическая работа № 8
по теме: «Правила диффиринцирования»
Цель работы: отработать навыки правил дифференцирования и закрепить
алгоритм составления уравнения касательной, нахождения скорости, ускорения
тела.
Выполняя данную работу, студент дол ж ен
зн а т ь: таблицу производных;основныеправиладифференцирования;
правила дифференцирования сложныхфункций; уравнение касательной к
графику функции; формулы вычисления скорости, ускорения тела в момент
времени.
ум ет ь : вычислять производныепростыхи сложныхфункций; находить
скорость, ускорениетела; составлять уравнение касательной к графику
функции .
Справочный материал:
Решение уравнения f/
(x) = 0 и неравенства f/
(x) >0выполните по алгоритму:
1. Найдите производную функции;
2. Приравняйте производную к нулю и решите получившееся уравнение;
Составьте и решите получившееся неравенство
Угловой коэффициенткасательной к графику функции в точке x0: k=f/
(x0).
Уравнение касательной к графику функции в точке x0:y =f(x0)+f/
(x0)(x–x0).
Выполните задание по алгоритму:
1. Найдите значение функции в заданной точке f(x0);
2. Найдите производную функции f/ (x);
3. Найдите значение производной функции в заданной точке f/ (x0);
2. Составьте уравнение касательной.
Скорость иускорениетела, движущегося прямолинейно в момент времени t:
V (t) = S/
(t), a (t) = V/
(t)
Производные элементарныхфункций: Правила вычисления
производных:
1. (с),
= 0
(с − число)
2. (х), = 1
3. (сх),
= с
4. (хn), = nxn-1
5. (
1
𝑥
)
,
= −
1
𝑥2
6. (
1
𝑥𝑛
)
,
=
1
𝑥𝑛+1
7. (√𝑥)
,
=
1
2√𝑥
8. (𝑎𝑥),
= 𝑎𝑥
ln 𝑎
9. (𝑒𝑥),
= 𝑒𝑥
10.(lg𝑥),
=
1
𝑥
𝑙𝑔𝑒
11.(𝑙𝑛 𝑥),
=
1
𝑥
12.(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥),
=
1
𝑥𝑙𝑛𝑎
13.(𝑐𝑜𝑠𝑥),
= −𝑠𝑖𝑛𝑥
14.(𝑡𝑔𝑥),
=
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
15.(𝑠𝑖𝑛𝑥),
= 𝑐𝑜𝑠𝑥
16.(𝑐𝑡𝑔𝑥),
= −
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥
1. (𝑢 + 𝑣),
= 𝑢,
+ 𝑣,
2. (𝑢 − 𝑣),
= 𝑢,
− 𝑣,
3. (𝑢 ∙ 𝑣),
= 𝑢,
𝑣 + 𝑢𝑣,
4. (
𝑢
𝑣
)
,
=
𝑢,𝑣−𝑢𝑣,
𝑣2
5. (𝑐𝑢),
= 𝑐𝑢,
6. (
𝑢
𝑐
)
,
=
𝑢,
𝑐
(𝒖(𝒗)),
= 𝒖,(𝒗) ∙ 𝒗,
− производная сложной функции

34. 34
1 ВАРИАНТ
А1. Найдите производныефункций:
а) у =2х2+ 6 – 3х;
б) 6
6
5
9 x
x
у 
 ;
в) 2
sin
3
6



 x
x
у ;
г) )
7
)(
4
( 3
2


 x
x
у ;
д) x
x
у sin
6

 ;
е) x
e
x
у  .
А2. Найдите угловойкоэффициент касательной к графику функции:
f(x) = 5cosx-3х+6, в точке х0 =
𝜋
2
А3. Решите уравнение f '(x) = 0
f(x) =
4
3
x3+ x2+12
А4. Решите неравенство f'(x) > 0
f(x) = 8x2 +
2
3
x3-6
В1. Дана функция f x =3x3+3x2 – 2x – 2. Напишите уравнение
касательной к графику функции y  f x , в точке с абсциссойх0= 1.
В2. Вычислите ускорение точки, движущейся прямолинейно в момент
времени 2
3
2
3
)
( t
t
t
S 
 в момент времениt = 4 с
С1.Найдите производныесложныхфункций:
a)у = √ex
б) у =𝑠𝑖𝑛3
(𝑥)
С2. При каких значениях х производная принимаетположительные
значения:
𝑓(𝑥) =
3х2
+ 2
х − 1
Критерии оценивания:
На оценку «5» - выполнить все задания В,С;
На оценку «4» - выполнить задания В;
На оценку «3» - выполнить задания А

35. 35
2 ВАРИАНТ
А1. Найдите производныефункций:
а)у = 6х3 + 2х - 3;
б) x
x
у cos
3
4
2 3


 ;
в)y = х5 +
1
х
;
г) )
3
)(
2
1
( 3
x
x
у 

 ;
д) x
x
у cos
3

 ;
е)
x
x
у
ln

.
А2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции:
f(x) = 3sinx+2х-7, в точке х0 = 𝜋
А3. Решите уравнение f '(x) = 0
f(x) =
𝑥3
3
-1,5x2- 4x
А4. Решите неравенства f'(x) > 0
f(x) = 2x3 - 3x2+5
В1. Даны функции f x 2х3x22x  3 Напишите уравнение касательной к
графику функции y  f x , в точке с абсциссойх0= 1.
В2. Вычислите ускорение точки, движущейся прямолинейно в момент
времени 7
2
)
( 2
3


 t
t
t
S в момент времениt = 3
С1.Найдите производныесложныхфункций:
а) у = tg(5x)
б) у =ln(𝑐𝑜𝑠 𝑥)
С2. При каких значениях х производная принимаетотрицательные
значения:
𝑓(𝑥) =
1 − 3х
х2 + 1
Критерии оценивания:
На оценку «5» - выполнить все задания В,С;
На оценку «4» - выполнить задания A1,В;
На оценку «3» - выполнить задания А.

36. 36
Практическая работа № 9
по теме: «Нахождение первообразных и вычисление интегралов».
Цель работы: закрепить навыки нахождения первообразных, вычисления
определенного интеграла.
Выполняя данную работу, студент дол ж ен
зн а т ь: формулы табличных первообразных;формулу Ньютона – Лейбница.
ум ет ь : с помощьюформул, перечисленныхвыше, решать задачи.
Справочный материал
1. Таблица первообразных элементарных функций:
 Таблица первообразных
Функция f
k
(постоя
н-
ная)
хn
x x2
x3
1
√𝑥
(𝑘𝑥 + 𝑏)𝑝
p≠ 1, 𝑘 ≠ 0
1
𝑘𝑥 + 𝑏
k≠ 0
1
𝑥
x> 0
𝑒𝑥 𝑒𝑘𝑥+𝑏
Общий
вид
первообраз
ных
F + c
kx
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
𝑥2
2
𝑥3
3
𝑥4
4
2√𝑥
(𝑘𝑥 + 𝑏)𝑝+1
𝑘(𝑝 + 1)
1
𝑘
ln(𝑘𝑥 + 𝑏) lnx 𝑒𝑥 1
𝑘
𝑒𝑘𝑥+𝑏

 Первообразная тригонометрических функций
Функция f Sin x Cos x
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥
Sin(kx+b) Cos(kx+b)
Общий
вид
первообраз
ных
F + c
-cosx sinx tgx -ctgx -
1
𝑘
cos(𝑘𝑥 + 𝑏)
1
𝑘
sin(𝑘𝑥 + 𝑏)
1. Определённыйинтеграл:
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) 𝒃
𝒂
⁄ = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
𝒃
а
2. Формула площади криволинейной трапеции:
𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
а
3. Формула пути, пройденноготелом за промежуток времени:
𝑺 = ∫ 𝒗 𝒅𝒙
𝒕𝟐
𝒕𝟏

37. 37
1 ВАРИАНТ
А1. Докажите, что функция F(x) является первообразнойдля f(x):
1. 𝐹(𝑥) =
𝑥4
4
−
𝑥6
6
+ 2𝑥,
𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥5
+ 2
2. 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 −
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
+ 𝑒𝑥
,
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 + 𝑒𝑥
А2. Найдите общийвид первообразныхF(х) для функции f (х):
1. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
+ 6𝑥 − 4
2. 𝑓(𝑥) =
4
√𝑥
−
1
𝑥
+ 5
3. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
−
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥
+ х
А3.Вычислите определённыеинтегралы:
1. ∫ 𝑥3
𝑑𝑥
2
−1
2. ∫ (4𝑥3
− 2𝑥 + 1)𝑑𝑥
3
0
3. ∫ (
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
)𝑑𝑥
𝜋
𝜋
3
В1.Найдите ту первообразную функции, график которойпроходитчерез
точку М: 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 2𝑥, М( 2, 4)
В2. Вычислите определённые интегралы:
а) ∫ √1 + 2х
3
𝑑𝑥
0
−1
б) ∫
𝑑𝑥
4х + 1
1
2
0
С .Точкадвижется по координатнойпрямой, ее скоростьзаданаформулой
V = 1 + 2t, t–время движения. Найдите закон движения, если известно, что в
момент времени t = 2 координататочки равнялась числу 5.
Критерии оценивания:
На оценку «5» - необходимо выполнить всезадания работы с грамотным
оформлением условий, чертежей и решений задач А,В,С;
На оценку «4» - выполнить задания А,В;
На оценку «3» - выполнить задания А.

38. 38
2 ВАРИАНТ
А1. Докажите, что функция F(x) является первообразнойдля f(x):
1. 𝐹(𝑥) =
𝑥5
5
−
𝑥8
8
− 3𝑥,
𝑓(𝑥) = 𝑥4
− 𝑥7
− 3
2. 𝐹(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 −
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥
+ 𝑒𝑥
,
𝑓(𝑥) = −𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑒𝑥
А2.Найдите общий вид первообразных F(х) для функции f (х):
1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥3
− 4𝑥 + 3
2. 𝑓(𝑥) =
6
√𝑥
+
1
𝑥
− 3
3. 𝑓(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
+ 𝑒𝑥
−
3
𝑥4
А3. Вычислите определённые интегралы:
1. ∫ 𝑥4
𝑑𝑥
2
−1
2. ∫ (8𝑥3
+ 2𝑥 − 1)𝑑𝑥
3
0
3. ∫ (
1
𝑠𝑖𝑛2𝑥
)𝑑𝑥
𝜋
𝜋
4
В1.Найдите ту первообразную функции, график которойпроходитчерез
точку М: 𝑓(𝑥) = 6𝑥2
+ 4𝑥 − 3, М( 1, 3)
В2. Вычислите определённые интегралы:
а) ∫ √2х − 1
3
𝑑𝑥
1
0
б) ∫
𝑑𝑥
5х + 6
0
−1
С . Точка движется по координатнойпрямой, ее скорость заданаформулой
V= 4 + 4t, t– время движения. Найдите закон движения, если известно, что в
момент времени t = 5 координататочки равнялась числу 8.
Критерии оценивания:
На оценку «5» - необходимо выполнить всезадания работы с грамотным
оформлением условий, чертежей и решений задач А,В,С;
На оценку «4» - выполнить задания А,В;
На оценку «3» - выполнить задания А.

39. 39
Список литературы
1. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: учебник для для
общеобразоват. учреждений: базовыйи углубленный уровень /
Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М. В. Ткачева [и др.]. – 4-е изд. – М.:
Просвещение, 2017. – 463 с.
2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: учебник для для
общеобразоват. учреждений: базовыйи углубленный уровень. - М.:
Просвещение
3. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл.: учебник для для
общеобразоват. учреждений: базовыйи углубленный уровень /
Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М. В. Ткачева [и др.]. – М.: Просвещение,
2014. – 463 [1] с.
4. Математика в школе : научно-теоретическийи методическийжурнал. –
Москва : ООО «Школьная пресса». – 2015-2019.
5. Бутузов, В. Ф. Геометрия. Рабочая тетрадь 11 класс : учебное пособие
для общеобразоват. Организаций : базовый и углубленный уровни /В. Ф.
Бутузов, Ю. А. Глазков, И. И. Юдина. – 11-е изд. – Москва :
Просвещение, 2017. – 75 с. : ил.
6. Геометрия : 10-11 кл.: учебник для общеобразоват. организаций: базовый
и углубл. уровни / Л. С.Атанасян [и др.]. – 4-е изд. – Москва:
Просвещение, 2017. – 256 с.
7. Геометрия : 10-11 кл.: учебник для общеобразоват. организаций: базовый
и углубл. уровни / Л. С.Атанасян [и др.]. – 3-е изд. – М.: Просвещение,
2016. – 255 [1] с.
8. Глазков, Ю.А. Геометрия. Рабочая тетрадь. 10 класс : учебное пособие
для общеобразоват. Организаций:базовыйи углубленный уровни / Ю. А.
Глазков, И. И. Юдина, В. Ф. Бутузов. – 11-е изд.. – Москва :
Просвещение, 2017 . – 95 с. : ил.
9. Зив, Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы.10 класс : учебное
пособиедля общеобразоват. организаций: базовыйи углубленный. – 16-е
изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 157 с. : ил.
10.Зив, Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы.11 класс : учебное
пособиедля общеобразоват. организаций: базовыйи углубленный. – 15-е
изд. – Москва : Просвещение, 2017. – 127 с. : ил.
11.Математика в школе : научно-теоретическийи методическийжурнал. –
Москва : ООО «Школьная пресса». – 2015-2019.