Теория и технология обучения решению математических задач в начальной школе

1. Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
ФГБОУ ВО «Ярославский государственный педагогический
университет им. К. Д. Ушинского»
И. В. НАЛИМОВА, О. С. КИПЯТКОВА
ТЕОРИЯ И ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Учебно-методическое пособие
Ярославль
2019

2. 3
СОДЕРЖАНИЕ
1. Определение понятия «задача». Классификация
математических задач ...................................................................... 4
2. Методы решения математических задач............................... 8
3. Содержание деятельности учителя и учащихся
в процессе решения задач.............................................................. 17
4. Ознакомление с понятием «задача» .................................... 24
5. Обучение решению простых задач...................................... 31
6. Обучение решению составных задач .................................. 45
7. Обучение решению типовых задач...................................... 51
8. Обучение решению задач на движение............................... 63
9. Обучение решению комбинаторных задач......................... 73
Задания для самостоятельной работы ..................................... 87
Библиографический список...................................................... 94

3. 4
1. Определение понятия «задача».
Классификация математических задач
Обучение решению задач в начальных классах является тради-
цией русской методической школы. Первый русский учебник по
математике для детей младшего школьного возраста Л. Ф. Маг-
ницкого «Арифметика» (1703) содержал практически все виды
задач, включаемые сегодня в учебники математики начальных
классов. В то же время решение задач является наиболее про-
блемной частью изучения математики для большинства детей.
Термин «задача» используется в жизни и науке очень широко.
Этим термином обозначаются многие и весьма различные поня-
тия. Разные авторы, по-своему трактуют это понятие.
Моро М. И., Пышкало А. М.
«Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на
который может быть получен с помощью арифметического дей-
ствия».
Бантова М. А.
«Задача – это жизненная ситуация, которая связана с числами
и требует выполнения арифметических действий».
Белошистая А. В.
«Под задачей понимается специальный текст, в котором обри-
сована некая житейская ситуация, охарактеризованная числен-
ными компонентами. Ситуация обязательно содержит опреде-
ленную зависимость между этими численными компонентами.
Таким образом задачу можно рассматривать как словесную мо-
дель реальной действительности»
Известный педагог – математик О. С. Шатуновский в 1940
году дал такое определение задачи: «Задача – есть изложение
требования «найти» по «данным» вещам другие «искомые» ве-
щи, находящиеся друг к другу и к данным вещам в указанных
соотношениях».
Для целей построения системы школьных математических за-
дач, необходимо такое определение задачи, которое было бы неза-
висимым от того, кто конкретно будет решать ту или иную задачу.
Общее во всех трактовках понятия задачи: 1) структура зада-
чи (задача состоит из данных или известных, из искомых или
неизвестных, их свойств или отношений между ними, из требо-

4. 5
вания найти искомое); 2) за родовое понятие при определении
берется понятие, относящиеся к структуре задачи.
Различие выражается главным образом в том, что в одних
определениях в качестве родового понятия берется структура
задачи в целом, в других конечная ее цель – требование найти
искомое. Поэтому структуру задачи есть смысл считать исход-
ным положением при определении понятия «задача».
Любая задача состоит из следующих элементов:
1. данные и их свойства;
2. отношения между данными;
3. искомые и их свойства;
4. отношения между данными и искомыми;
5. указания на необходимость найти искомое.
1–4 – это условие задачи, а 5 – требование задачи.
Требование задачи в начальной школе чаще всего выражается
вопросительным предложением.
Условие – та часть текста, в которой задана сюжетная ситуа-
ция, численные компоненты этой ситуации и связи между ними.
В стандартной формулировке условие выражается одним или
несколькими повествовательными предложениями, содержащи-
ми численные компоненты.
Требование – та часть текста, в которой указана (названа) ис-
комая величина. В стандартной формулировке учебников началь-
ных классов требование обычно выражено вопросом, начинаю-
щимся словом «Сколько?» и заканчивающимся знаком вопроса.
Именно на эти внешние частные признаки условия и требования
привыкают ориентироваться дети. При таком подходе у ребенка
формируется негибкий стереотип восприятия этих признаков за-
дачи, и любое незначительное видоизменение структуры текста
может представлять для ребенка значительные трудности.
Например, следующие тексты будут создавать проблему при
работе над задачей, если ребенок привык к стандартным форму-
лировкам:
Сколько литров молока надо отлить из 20-ти литрового би-
дона, чтобы в нем осталось 8 литров?
Задача начинается с вопроса, который соединен с условием в
сложное предложение через запятую.

5. 6
Найти скорость катера, который за 3 часа удалился от при-
стани по течению на 120 км.
В формулировке требования отсутствует слово «сколько» и
знак вопроса. Вопрос «замаскирован» в условии, которое разби-
то на два повествовательных предложения.
Такие тексты в методике обучения математике младших
школьников принято называть трансформированными.
Работа с данными заключается в обучении их распознаванию.
Если задача сформулирована стандартным образом, то данные в
ней обозначены числами и их легко выделить из текста. Числен-
ные значения величин и численные характеристики множеств
обычно обозначены числами. Численные характеристики отно-
шений между ними могут быть обозначены не числом, а словом,
например: «в два раза больше», «столько же, сколько в первом» и
т. п. В этом случае обучающиеся могут терять данные и вообще
не воспринимать эти численные характеристики как данные.
Провоцируется такая ситуация тем, что все тексты в начальной
школе содержат данные, выраженные численно, а тексты задач
первого года обучения содержат только численные данные.
В этом случае ребенок (особенно плохо читающий) «выхватыва-
ет» числа из контекста, и выполняет с ними действия, практиче-
ски независимо от ситуации.
Если данные и искомые, а также отношения между ними в
некоторой задаче можно выразить математическим языком, то
такую задачу называют математической.
Задачи, содержащиеся в различных курсах математики и ис-
пользуемые в качестве средства изучения математической тео-
рии, называются учебными.
Учебные математические задачи по характеру требования де-
лятся на четыре группы: задачи на нахождение объекта, на дока-
зательство, на исследование, на преобразование.
Большинство задач, решаемых в начальной школе, – задачи на
нахождение объекта. При чем только те из них, в которых дан-
ные и искомые выражены натуральными числами, а отношения
между ними выражены через арифметические действия. В таких
задачах искомое находится в линейной зависимости от данных.
Поэтому их можно назвать линейными.

6. 7
Зависимость между данными и искомыми числами в задачах
может быть выражена в четырех основных формах: аналитиче-
ски, таблично, графически и текстом. Поэтому все линейные за-
дачи можно разделить на четыре группы: аналитические, таб-
личные, графические и текстовые.
Приведем примеры таких задач из начального курса матема-
тики:
Аналитическая: найдите значение выражения а : 7, если а = 7,
а = 49, а = 0.
Табличная:
Слагаемое 8 9
Слагаемое 3 6
Сумма 15 17
Текстовая: Юра нашел 16 грибов, а Витя на 6 грибов меньше.
Сколько всего грибов нашли мальчики?
Графическая: сравните длину ломаной и отрезка. На сколько
сантиметров длина ломаной больше чем длина отрезка?
Все текстовые линейные задачи подразделяются на отвлечен-
ные и сюжетные. Отвлеченной называется задача, сформулиро-
ванная на математическом языке с употреблением специальной
математической терминологии. Например, «Делимое выражено
суммой чисел 39 и 16. Делитель равен 5. Найдите частное». Под
сюжетной – понимается такая задача, в которой данные или ис-
комые числа являются численностями некоторых конкретных
множеств или значениями величин, указанных в задаче, отноше-
ния между ними выражены необязательно в математической
терминологии. Например, «Из 12 мотков шерсти получается три

7. 8
одинаковых детских свитера. Сколько мотков шерсти потребует-
ся на 5 таких свитеров?»
Задачи, для решения которых, используется одно действие,
называются простыми, задачи, для решения которых требуется
больше одного действия, называются составными.
Вопрос о роли задач в начальном курсе математики теорети-
чески является дискуссионным, поскольку с одной стороны обу-
чение решению задач рассматривается как цель обучения (каж-
дый ученик должен уметь решать задачи!), а с другой стороны –
процесс обучения решению задач рассматривается как способ
математического в частности, и интеллектуального в целом раз-
витии ребенка.
Сторонники первого подхода придерживаются четкой иерар-
хии в построении системы обучения решению задач: в нараста-
нии сложности задач (сначала простые задачи, затем составные в
2 действия и т. д.), а также в четком разграничении типов задач с
целью прочного усвоения детьми способов решения этих типов.
Другой подход требует при подборе задач ориентироваться
на определенные интеллектуальные действия, которые могут
быть сформированы при работе над той или иной задачей. Этот
подход учит детей выполнять семантический и структурный
анализ текста задачи вне зависимости от ее типа и количества
действий, выявлять взаимосвязи между условием и требованием,
данными и искомым и описывать их каким-то образом – либо
через промежуточную модель, либо сразу в математических
символах в виде записи решения.
2. Методы решения математических задач
Существуют различные методы решения текстовых задач:
арифметический, алгебраический, геометрический, логический,
практический и др. В основе каждого метода лежат различные
виды математических моделей. Например, при алгебраическом
методе решения задачи составляются уравнения или неравен-
ства, при геометрическом – строятся диаграммы или графики.
Решение задачи логическим методом начинается с составле-
ния алгоритма.
Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рам-
ках выбранного метода допускает решение с помощью различ-

8. 9
ных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на
требование одной и той же задачи можно получить, составив и
решив совершенно разные уравнения, используя логический
метод – построив разные алгоритмы. Ясно, что и в этих случаях
мы также имеем дело с различными методами решения кон-
кретной задачи, которые будем называть способами решения.
Арифметический метод. Решить задачу арифметическим ме-
тодом – значит найти ответ на требование задачи посредством
выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту
же задачу во многих случаях можно решить различными ариф-
метическими способами. Задача считается решенной различны-
ми способами, если ее решения отличаются связями между
данными и искомыми, положенными в основу решений, или
последовательностью использования этих связей.
Задача. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента,
занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 сту-
дента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнасти-
кой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются
танцами и художественной гимнастикой отдельно, если из-
вестно, что каждый студент занимается только чем-то одним?
Решение.
1-й способ.
1) 82 + 32 + 78 = 192 (чел.) – удвоенное число студентов,
поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной
гимнастикой;
2) 192 : 2 = 96 (чел.) – поют в хоре, занимаются танцами и
художественной гимнастикой;
3) 96 – 32 = 64 (чел.) – поют в хоре;
4) 96 – 78 = 18 (чел.) – занимаются танцами;
5) 96 – 82 = 14 (чел.) – занимаются художественной гимна-
стикой.
2-й способ.
1) 82 – 32 = 50 (чел.) – на столько больше студентов поют в
хоре, чем занимаются художественной гимнастикой;
2) 50 + 78 = 128 (чел.) – удвоенное число студентов, пою-
щих в хоре;
3) 128 : 2 = 64 (чел.) – поют в хоре;

9. 10
4) 78 – 64 = 14 (чел.) – занимаются художественной гимна-
стикой;
5) 82 – 64 = 18 (чел.) – занимаются танцами.
Ответ: 64 студента поют в хоре, 14 студентов занимаются худо-
жественной гимнастикой, 18 студентов занимаются танцами.
Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим мето-
дом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и ре-
шив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту
же задачу можно также решить различными алгебраическими спо-
собами. Задача считается решенной различными способами, если
для ее решения составлены различные уравнения или системы
уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат раз-
личные соотношения между данными и искомыми.
Задача. Рабочий может сделать определенное число дета-
лей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей
больше, то справится с заданием за два дня. Какова первона-
чальная производительность рабочего дня и сколько деталей
он должен сделать?
Решение.
1-й способ.
Пусть д./день – первоначальная производительность ра-
бочего. Тогда д./день – новая производительность,
д. – число деталей, которые он должен сделать. По усло-
вию получаем уравнение , решив которое
найдем . Первоначальная производительность рабоче-
го 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.
2-й способ.
Пусть д. – число деталей, которые должен сделать рабо-
чий. Тогда д./день – новая производительность,
д./день – первоначальная производительность рабочего. По
условию получаем уравнение , решив которое
найдем . Рабочий должен сделать 60 деталей, его пер-
воначальная производительность 20 деталей в день.
Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.
Геометрический метод. Решить задачу геометрическим мето-
дом – значит найти ответ на требование задачи, используя гео-
метрические построения или свойства геометрических фигур.

10. 11
Одну и ту же задачу можно также решить различными геометри-
ческими способами. Задача считается решенной различными спо-
собами, если для ее решения используются различные построения
или свойства фигур.
Задача. Из двух городов А и В, расстояние между которыми
250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость дви-
жения первого равна 20км/ч, второго – 30 км/ч. Через сколько
часов туристы встретятся?
Решение:
1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде
диаграммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а
длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Отложим на верти-
кальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать
расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось
времени через точку В. Затем на вертикальных прямых станем от-
кладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч,
3 ч и т. д. Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.
2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали
отложим время движения (в часах), по вертикали – расстояние (в
километрах). Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км,
а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Построим графики,
характеризующие движение каждого туриста. Движение первого
1
2 3 4 5
2
1
3 54
ч
ч
0
км
В
А
40
80
120
160
200
240

11. 12
туриста определяется функцией , второго –
. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через
сколько часов туристы встретятся. Из чертежа видно, что ее значе-
ние равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А
произойдет встреча. Ее значение равно 100.
3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изоб-
ражается отрезком , а скорость сближения – отрезком . То-
гда площадь прямоугольника (она равна ) соот-
ветствует расстоянию между городами и (пройденный путь
есть произведение скорости движения на время движения). Учи-
тывая, что туристы сближаются каждый час на
, расстояние между городами равно , имеем урав-
нение , решив которое находим . Итак,
туристы встретятся через 5 ч.
Ответ: через 5 ч.
200
160
120
80
40
0
5432
y
1
x, ч
О
y=20x
240

12. 13
Логический метод. Решить задачу логическим методом – это
значит найти ответ на требование задачи, как правило, не вы-
полняя вычислений, а только используя логические рассуждения.
Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы»,
классическим представителем которых является задача о волке,
козе и капусте, или задачи «на взвешивание».
Задача. Из девяти монет одна фальшивая (более легкая). Как
двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую
монету?
Решение.
Ход рассуждений оформим в виде блок-схемы.
Начало
Положить на
две чаши весов
по три монеты
Положить на две чаши
весов по одной из
оставшихся трех монет
Из более легкой
стопки положить на
весы по одной моне-
те на каждую чашу
Весы в
равно-
весии?
Оставшаяся
монета фаль-
шивая
Более легкая (фальши-
вая) монета на чаше,
которая выше
Да
Нет
Да
Нет
Конец
Весы в
равно-
весии?

13. 14
Практический метод. Решить задачу практическим методом –
значит найти ответ на требование задачи, выполнив практиче-
ские действия с предметами или их копиями (моделями, маке-
тами и т. п.).
Задача. Некто истратил 30 р. своих денег, после чего удвоил
оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять
удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него
осталось 70 р. Сколько денег было вначале?
Решение.
Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возь-
мем оставшееся количество денег и выполним обратные опера-
ции в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 р., добавляем к
ним истраченные 90 р. (160 р.), затем делим эту сумму пополам
и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили
оставшиеся деньги (80 р.). После этого добавляем 60 р. и нахо-
дим, сколько денег было до того. Как истратили 60 р. (140 р.).
Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до то-
го, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 р.), прибав-
ляем истраченные в первый раз 30 р. и находим первоначальное
количество денег (100 р.).
Ответ: первоначально было 100 р.
Иногда в ходе решения задачи применяются несколько ме-
тодов: алгебраический и арифметический; геометрический,
алгебраический и арифметический; арифметический и практи-
ческий и т. п. В этом случае считают, что задача решается комби-
нированным (смешанным) методом. Методы решения могут
быть разными, но способ решения, лежащий в их основе, мо-
жет быть один.
В начальном курсе математики преобладает арифметический
метод решения задач, аналитический применяется значительно
реже в силу недостаточного опыта обращения учащихся с урав-
нениями.
Несомненно, процесс алгебраического решения задач способ-
ствует формированию умственной дисциплины, но без предше-
ствующего этапа арифметического рассуждения алгебраические
приемы могут привести к буквенному и словесному формализму.
Опыт арифметического решения задач дает возможность разъяс-

14. 15
нить школьникам не только формальную операционную сторону
дела, но и показать содержательность аналитического метода.
Помимо указанных, в школьной практике используются и
другие методы, позволяющие включить в содержание начально-
го курса математики задачи, традиционно решаемые на следую-
щих ступенях обучения. Это графический и практический ме-
тод, метод подбора, последовательного или упорядоченного
перебора, метод «предположение ответа». Решение может
быть оформлено в виде последовательности действий, в вопрос-
но-ответной форме, в виде таблицы, чертежа, схематичного ри-
сунка, графа.
Задача. Из двух пунктов навстречу друг другу выехали два
велосипедиста. Первый проехал 1/3 пути, второй – 5/8 пути.
Произошла ли встреча велосипедистов?
Данная задача легко решается арифметически: сложив две
дроби и оценив полученное значение путем сравнения с едини-
цей, ответим на вопрос задачи. Однако алгоритм сложения дро-
бей с разными знаменателями младшему школьнику неизвестен.
Решим задачу графическим методом.
Изобразим расстояние между пунктами отрезком, численное
значение длины которого делится одновременно на 3 и на 8 – для
конкретной задачи удобнее построить отрезок длиной 24 еди-
ничных отрезка.
Опираясь на чертеж, можно сформулировать ответ: «Встреча
не произошла».
Приведем пример задачи, которую можно решить, выполняя
действия с предметами – практическим методом.
Задача. В гараже 20 автомашин – легковых и грузовых, при-
чем на каждую легковую приходится 4 грузовые. Сколько легко-
вых и сколько грузовых машин в гараже?
Изобразим каждую машину символом. Известно, что на каж-
дую легковую машину приходятся 4 грузовые. Поэтому каждому

15. 16
символу, обозначающему легковую машину, поставим в соответ-
ствие четыре таких же символа – грузовые машины.
Практическое решение задачи оформляется в виде символиче-
ского рисунка, схемы или таблицы.
При решении сложных, нестандартных задач учащиеся чаще
обращаются к методам перебора (полной индукции) и подбора.
Задача. Можно ли найти два натуральных числа, из которых
одно больше другого на 4, а их произведение равно 48?
При решении этой задачи на начальной ступени рекомендуют
воспользоваться методом полной индукции – рассмотреть все
возможные варианты пар чисел, значение произведений которых
равно 48, а затем выбрать подходящий (если таковой имеется).
Заметим, что математически данная задача решается состав-
лением уравнения по ее условию ( ) и его реше-
нием.
Задача. В коллекции есть шестиногие жуки и восьминогие
пауки – всего восемь штук. Если пересчитать все ноги в коллек-
ции, то их окажется 54. Сколько в коллекции жуков и сколько
пауков?
В данной задачной ситуации наиболее удачным следует счи-
тать подбор, начиная со среднего варианта – 4 жука и 4 паука.
А затем, оттолкнувшись от полученного результата, выходят на
решение. Менее удачным представляется последовательный пе-
ребор всех вариантов, особенно в случае с большими числовыми
значениями известных величин.
Особо остановимся на методе решения линейных задач, кото-
рый можно назвать «предположением ответа» (метод «одного
ложного предположения»).
Суть его в следующем. Выдвигается гипотеза: пусть ответ за-
дачи будет таким-то. Путем рассуждений и вычислений проверя-
ется принятая гипотеза: выполняются ли при ней условия зада-
чи. В случае, когда оно не удовлетворяет условиям задачи, нахо-
дят отклонение гипотезы от точного ответа: если отклонение

16. 17
отрицательно, то есть гипотеза меньше ответа, оно прибавляется
к гипотезе; если гипотеза больше ответа, то есть отклонение по-
ложительно, то оно вычитается из гипотезы; если отклонения
нет, гипотеза принимается за ответ задачи.
Задача. Отец обещал сыну за каждую решенную правильно
задачу опускать в копилку 10 пфеннигов. За каждую неправиль-
но решенную задачу сын должен возвращать отцу по 5 пфенни-
гов. После того, как было решено 20 задач, у сына в копилке ока-
залось 80 пфеннигов. Сколько задач сын решил неправильно и
сколько без ошибок?
Предположим, что 10 задач решено верно. Узнаем, сколько
денег в копилке окажется при этом: пфен-
нигов. Получили, что (отклонение отрицательно). При
принятой гипотезе количество денег бы уменьшилось на
пфеннигов. За каждую правильно решенную зада-
чу вернем по пфеннигов. Теперь узнаем, на сколько
принятая гипотеза меньше истинного ответа: зада-
чи, поэтому количество задач, решенных без ошибок составит
задач, а неправильно решенных или
задач. Способом установления соответствия между
данными и искомыми легко определяется правильность решения
предложенной задачи: пфеннигов.
3. Содержание деятельности учителя и учащихся
в процессе решения задач
До 60-х годов прошлого столетия методика обучения решению
задач сводилась к следующему: объясняли задачу, отрабатывали ее
в течение 5–6 уроков, то есть применяли метод натаскивания.
С развитием методики появилась понятие «анализ задачи».
Решить задачу – значит раскрыть связи между данными и иско-
мым, заданные условием задачи, на основе чего выбрать, а затем
выполнить арифметическое действия и дать ответ на вопрос задачи.
Согласно этому определению, для полноценной работы над
задачей ребенок должен:
1) уметь хорошо читать и понимать смысл прочитанного;
2) уметь анализировать текст задачи, выявляя ее структуру
и взаимоотношения между данными и искомым;

17. 18
3) уметь правильно выбирать и выполнять арифметическое
действия (и следовательно, быть хорошо знакомым с ними);
4) уметь записывать решение задачи с помощью соответ-
ствующей математической символики.
Решение текстовых задач осуществляется поэтапно. В мето-
дической литературе чаще всего предлагается такой план работы
над задачей:
1. Подготовительный этап.
2. Ознакомление с содержанием задачи. Разъяснение тек-
ста задачи.
3. Анализ (разбор) задачи. Поиск пути ее решения.
4. Составление плана решения.
5. Выполнение решения задачи.
6. Проверка правильности решения задачи.
7. Работа после решения задачи.
Опишем содержание каждого этапа процесса решения задачи.
Первый этап. Подготовительная работа проводится при ре-
шении составных задач. В эту работу включают: решение про-
стых задач, входящих в составную, повторение вычислительных
приемов, которые встретятся при решении составной задачи.
Подготовительная работа может включаться в содержание этапа
актуализации знаний или проводиться непосредственно перед
решением задачи.
Второй этап. Сначала учеников знакомят с содержанием за-
дачи. Текст задачи читает каждый ученик. На этом этапе важно
научить детей правильно читать задачу: делать ударение на чис-
ловых данных и опорных словах, выделять интонацией вопрос
задачи. Если в тексте есть неизвестные ученикам слова, то их
значение необходимо объяснить.
Третий этап. Перед тем как приступить к решению задачи,
ученик должен усвоить и понять условие задачи, определить
требование, то есть проанализировать текст задачи. В условии
необходимо определить все данные, которые можно перевести
на язык математики. Например, неделя – 7 суток; месяц – 30 (31)
день; квартал – 3 месяца и т. п. Возможны различные варианты
организации деятельности учащихся над текстом задачи. Чаще
всего учителя используют беседу по тексту задачи.

18. 19
Чтобы помочь детям установить зависимость между данны-
ми, входящими в задачу, выполняют наглядную интерпретацию
задачи или моделируют текст задачи. Существуют такие виды
наглядной интерпретации: краткая запись условия задачи, иллю-
страция, предметное воссоздание условия задачи.
Опишем каждый вид интерпретации.
Краткая запись условия задачи. Формы краткой записи: с
помощью опорных слов, таблица, схема, чертеж.
Приведем примеры.
А) С помощью опорных слов
Пример 1. Таня прочитала 5 страниц, а Сережа – на 4 страни-
цы больше. Сколько страниц прочитал Сережа?
Таня – 5 с.
Сережа – ?, на 4 с. больше.
В краткой записи условия задачи не допускается использова-
ние математических знаков отношений «больше» (>), «меньше»
(<), также нет необходимости в приведенной выше краткой за-
писи чертить стрелку.
Пример 2. В поезде было 12 вагонов. На станции несколько
вагонов отцепили, и в поезде осталось 10 вагонов. Сколько ваго-
нов отцепили?
Было – 12 в.
Отцепили – ?
Осталось – 10 в.
В этом случае в качестве опорных (главных) слов применены
глаголы, глаголы пишутся полным словом.
Пример 3. В понедельник в киоске продали 34 журнала, во втор-
ник на 6 журналов больше, чем в понедельник, а в среду
в 2 раза меньше, чем во вторник. Сколько журналов продали в среду.
Понедельник – 34 ж.
Вторник – ?, на 6 ж. больше,
Среда – ?, в 2 раза меньше,
Поскольку в данном примере сравниваются величины, кото-
рых больше двух, то чертят стрелку, которая показывает связь
между данными и искомым; в этом случае в краткой записи по-
является два знака вопроса и главный – обводят.

19. 20
Б) Таблица
При помощи таблицы записывают условия задач, содержа-
щие величины. Обязательно условие всех типовых задач
оформляют в виде таблицы. Название величин пишется полно-
стью, сокращений не допускается.
Например, за 4 карандаша заплатили 36 рублей. Сколько
стоят 5 таких карандашей?
Цена Количество Стоимость
одинаковая 4 к. 36 р.
5 к. ?
В) Схема
В понедельник в киоске продали 34 журнала, во вторник на
6 журналов больше, чем в понедельник, а в среду в 2 раза мень-
ше, чем во вторник. Сколько журналов продали в среду?
П.
Вт.
Ср.
Чертеж отличается от схемы тем, что при составлении черте-
жа выбирается масштаб.
Иллюстрация. Например, «У дома росло 2 сосны, а у моста –
на 4 сосны больше. Сколько сосен росло у моста?»
Предметное воссоздание условия задачи. При использовании
данной формы наглядной интерпретации ответ задачи может быть
получен пересчетом. Поэтому данный вид интерпретации лучше
применить на этапе проверки правильности решения задач в пер-
вом классе. Например, «У Коли было 7 наклеек, а у Васи на
3 наклейки больше. Сколько наклеек у Васи?» Учитель на доске
34 ж.
6 ж.
??

20. 21
выставляет 7 квадратов, что обозначает наклейки Коли, а под ними
количество наклеек Васи, то есть на 3 квадрата больше.
Данный вид интерпретации позволяет ученикам найти ответ
задачи путем пересчета, не выбирая арифметическое действие,
что методически неправильно. Поэтому целесообразно приме-
нять предметное воссоздание условия задачи при проверке пра-
вильности решения задачи в первом классе.
После выполнения наглядной интерпретации на третьем эта-
пе работы над задачей происходит поиск пути решения задачи.
Поиск решения простых задач состоит в выборе арифметическо-
го действия, с помощью которого решается задача. Поиск пути
решения составных задач осуществляется аналитическим или
синтетическим методом. Методы поиска решения составных
задач будут рассмотрены в разделе, посвященном методике обу-
чения решению составных задач.
Четвертый этап. План решения – это перечень арифметиче-
ских действий, которым решается задача.
Пятый этап. Решение задачи – это выполнение арифметиче-
ских действий, выбранных при составлении плана решения. При
письменном решении используют такие формы записи решения
задачи:
1) составление по задаче числового выражения и нахождение
его значения;
2) запись в виде отдельных действий с пояснениями и без них;
3) запись в виде отдельных действий по вопросам.
Если ученик записывает решение задачи по действиям с по-
яснениями, то пояснения необходимо делать в каждом дей-
ствии, тогда ответ допускается записывать кратко. Полный ответ
записывается, если решение оформлено в виде числового выра-
жения или по действиям без пояснений.

21. 22
Шестой этап. Правильность решения текстовой задачи
можно проверить, используя виды проверки: составление и ре-
шение обратной задачи, установление соответствия между чис-
лами, полученными в результате решения и данными числами,
решение задачи другим способом, прикидка ответа.
При проверке правильности решения задачи при помощи об-
ратной задачи ученики должны выполнить ряд действий: под-
ставить в текст задачи найденное число; выбрать новое искомое;
сформулировать новую задачу; решить составленную задачу;
соотнести полученный результат с тем данным, которое исклю-
чили. Если при этом числовые значения окажутся одинаковыми,
то можно говорить о правильности решения задачи. Смысл про-
верки способом установления соответствия между числами, по-
лученными в результате решения и данными числами состоит,
не только в выполнении арифметических действий над числами,
полученными в ответе, но и в обосновании с помощью этих
действий логических рассуждений того, что если считать полу-
ченный результат верным, то все отношения и зависимости
между данным и искомым будут выполнены. Рассуждения ведут
по тексту задачи.
Говорить о решении задачи различными способами можно
только в том случае, если решения отличаются связями между
данными и искомыми, положенными в основу решения.
Применение способа проверки – прикидки ответа, дает ответ
на вопрос: «Правильно ли решена задача?» лишь в случае несо-
ответствия полученного ответа установленным границам.
В этом случае делается вывод о том, что задача решена неверно.
В случае соответствия можно говорить лишь о вероятности того,
что задача решена верно. Окончательный вывод делается на ос-
нове других способов проверки.
Работа после решения задачи предполагает применение раз-
личных методических приемов: изменение условия задачи или
вопроса, нахождение ответа по условию на дополнительные во-
просы, составление похожей задачи и т. п.
Приведем пример работы над задачей.
Задача. В школьном автобусе ехали 9 мальчиков и 4 девочки.
На остановке трое из них вышли. Сколько детей осталось в ав-
тобусе?

22. 23
1. Подготовительный этап.
Ученикам на этапе актуализации знаний предлагают решить
задачи и выполнить задания:
А) На полке было 5 книг со сказками и 9 книг со стихами.
Сколько всего книг было на полке?
Б) На полке стояло 14 книг. Две книги взяли. Сколько книг
осталось?
В)
Выполните действия:
2. Ознакомление с текстом задачи. Ученики читают текст.
3. Анализ условия задачи. Поиск путей решения задачи.
Беседа.
- Что известно в условии задачи?
- Повторите вопрос?
- Сколько мальчиков ехало в автобусе?
- Сколько ехало девочек?
- Сколько детей вышло на остановке?
- Как вы думаете, могли выйти только мальчики? Почему? А
только девочки? Почему? А могли выйти и мальчики, и девочки?
Составляется краткая запись условия задачи:
Ехали – 9 ч. и 4 ч.
Вышли – 3 ч.
Осталось – ? ч.
Зная, что в автобусе ехали 9 мальчиков и 4 девочки, что мож-
но узнать? Каким действием?
Зная, сколько человек всего ехало в автобусе и сколько чело-
век вышло, что можно узнать? Каким действием?
4. План: 1) +
2) –
Первым действием найдем, сколько человек ехало в автобусе,
вторым действием ответим на вопрос задачи.
5. Решение задачи.
1) 9 + 4 = 13 (ч.) – ехали.
2) 13 – 3 = 10 (ч.) – осталось.
Ответ: 10 человек.
6. Проверка правильности решения задачи.
9 + 3 9 + 5 7 + 6
12 – 6 13 – 7 15 – 9

23. 24
Обратная задача. В школьном автобусе ехали 9 мальчиков и
4 девочки. На остановке несколько детей вышли и в автобусе
осталось 10 человек. Сколько детей вышло?
(9 + 4) – 10 = 3 (ч.)
Мы нашли, что на остановке вышло 3 человека, это и дано в
условии задачи, следовательно, задачу решили верно.
Решение другим способом.
Второй способ: (9 – 3 ) + 4 = 10 (ч.)
Ответ: 10 человек осталось в автобусе.
Третий способ:
1. Сколько девочек осталось в автобусе?
4 – 3 = 1 (ч.)
2. Сколько человек осталось в автобусе?
9 + 1 = 10 (ч.)
Ответ: 10 человек осталось в автобусе.
Во всех способах решения задачи получили число 10 человек,
следовательно, задачу решили верно.
Соответствие между данными и полученными числами.
Мы нашли, что в автобусе осталось 10 человек, 3 человека
вышли, значит, в автобусе было 13 человек, из них 4 девочки,
значит мальчиков 9 человек, что совпадает с условием задачи.
Следовательно, задачу решили верно.
Прикидка ответа.
Количество оставшихся в автобусе детей не должно превы-
шать 13 человек. Получили 10 человек, задача предположитель-
но решена верно
4. Ознакомление с понятием «задача»
Подготовительная работа к ознакомлению учащихся
с понятием «задача»
Необходимое для самостоятельной работы над текстом зада-
чи – умение хорошо читать формируется у многих детей не в
полной мере даже к концу первого класса, поэтому учителю при
обучении таких детей приходится целиком и полностью рабо-
тать с ними на «слух».
В этой ситуации важнейшее значение приобретает умение
ребенка не только внимательно слушать предлагаемый текст, но

24. 25
и правильно представлять себе ситуацию заданную условием.
Именно ориентируясь на свое представление о заданной ситуа-
ции, ребенок будет выбирать арифметическое действие, требу-
ющееся для решения задачи.
В этой связи, прежде чем приступить к знакомству с текстовой
задачей, следует сформировать у ребенка целый комплекс базовых
умений. К ним относятся – умение слушать и понимать тексты раз-
личных структур, умение правильно представлять и моделировать
ситуации, предлагаемые педагогом, умение правильно выбирать
действие в соответствии с ситуацией, а также умение составлять
математические выражения, умение выполнять простые вычисле-
ния. Перечисленные умения формируются в результате деятельно-
сти с различными предметными множествами.
Выполнение заданий с множествами помогает ученикам осо-
знать конкретный смысл действий сложения и вычитания.
Сформулируем основные условия корректной методической
подготовки ребенка к обучению решению задач:
Первым необходимым условием является обучение ребенка
моделированию различных ситуаций (объединение совокупно-
стей, удаление части, увеличение на несколько предметов, срав-
нение и т. п.) на различной предметной наглядности символиче-
ского характера.
Второе условие – обучение ребенка выбору соответствующих
арифметических действий и составлению математических вы-
ражений в соответствии с ситуацией, заданной текстом.
Третье условие – следует убедиться, что ребенок достаточно
уверенно пользуется приемом отсчитывания и присчитывания, так
как для получения результата арифметического действия следует
это действие выполнять, а не получать ответ пересчетом.
Правильный выбор арифметического действия для решения
задачи во многом зависит от умения учащихся переводить раз-
личные реальные явления и связи между ними на язык матема-
тических символов. В связи с этим полезно использовать на уро-
ках задания, связанные с составлением рассказа по картинке, и
записи его с помощью математических символов.
Например:
Составь рассказ по картинке, который соответствовал бы за-
писи □ + □ = □.

25. 26
Рассказ на первых порах не должен содержать вопроса, так как
цель такого задания – учить ребенка составлять математическое
выражение или равенство в соответствии с заданной ситуацией.
Ситуация задана рисунком, что облегчает ученику ее восприятие.
Более сложный вариант такого задания: составить рассказ по
одной картинке в соответствии с разными видами записей (сло-
жение и вычитание).
□ + □ = □
□ – □ = □
Составить рассказ с действием вычитания может вызвать
трудности у учеников. В качестве помощи к данному заданию
можно использовать соответствующие записи: «составь рассказ
в соответствии с записью 5 – 2».
В дальнейшем можно предлагать детям более абстрактный
вариант рисунка.
Например:
Составить сюжетные рассказы по модели, вложив в нее свое
содержание:

26. 27
Такие задания будут одновременно готовить ребенка к пони-
манию схематических моделей ситуаций задач в дальнейшем.
Все эти задания следует рассматривать как подготовку к зна-
комству с задачей.
Первое знакомство учеников с текстовой задачей
Термин задача чаще всего вводится в первом классе. Первые
задачи – простые задачи на нахождение суммы и остатка.
Успешная работа с текстом задачи зависит от того, насколько
хорошо у обучающихся сформировано представление о структу-
ре задачи, из каких составных частей она состоит и какую ин-
формацию несет каждая часть. Ученик должен найти условие и
вопрос задачи, как бы они не располагались в тексте.
При введении термина «задача» следует показать, прежде
всего, отличие задачи от других заданий. С этой целью на уроке
можно предложить учащимся сравнить два таких задания:
Первое задание. Учащимся предлагается рассмотреть рису-
нок, на котором нарисованы 3 зеленые и 1 красная машины.
Учитель по этой иллюстрации задает вопросы: «Что вы видите
на картинке?» (машины) «Сколько красных машин? Сколько
зеленых? Сколько всего машин?» После ответов учеников, учи-
тель подчеркивает, что в этом задании все известно: и сколько
зеленых машин и сколько красных и сколько всего машин. По-
сле этого предлагается выполнить другое задание:
Второе задание. Учитель рассказывает: «Нина и Лена пошли
в лес за грибами. Для грибов они взяли корзинку. Нина нашла
три подосиновика (учитель кладет их в корзинку так, чтобы дети
не видели грибы, на доске записывается число 3), а Лена нашла
один гриб (кладем один гриб в корзинку, на доску пишем число
1). Сколько грибов нашли девочки?»

27. 28
После демонстрации задания ведется его обсуждение. Что из-
вестно в этом задании? (Нина нашла три гриба, а Лена один
гриб). Что неизвестно? (Сколько всего грибов нашли девочки?)
Чтобы ответить на поставленный вопрос, надо выполнить дей-
ствие, сложить или вычесть? Какое же действие надо выпол-
нить, чтобы узнать, сколько всего грибов нашли девочки.
Это задание называется – задачей. Задача состоит из условия:
«Нина нашла 3 гриба, а Лена 1 гриб» и вопроса: «Сколько гри-
бов нашли девочки вместе?» В условии говорится о данных чис-
лах, а в вопросе – о том, что неизвестно.
Повторите еще раз условие задачи и вопрос.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо решить задачу, вы-
полнить действие. Какое же действие надо выполнить? Как это
записать? (3 + 1). 3 + 1 – это решение задачи.
Вычислите. (3 + 1 = 4).
Проверим, правильно ли мы решили задачу, посчитаем,
сколько грибов в корзинке (4). Значит, задачу решили верно.
Число 4 – ответ задачи, оно показывает, сколько всего грибов в
корзинке. Повторите ответ задачи.
Делается обобщение: задача состоит из условия и вопроса.
Чтобы ответить на вопрос надо выполнить решение, то есть
действие над данными числами, и дать ответ на вопрос.
Рассмотренная задача относится к задачам на нахождение
суммы.
Аналогично вводится задача на нахождение остатка.
На этом этапе формирования умения решать задачу, можно
предложить такую работу:
Послушайте задачу. Сначала я читаю условие, а вы на партах
выкладывайте те числа, которые встретятся в условии. «На та-
релке лежало 5 яблок. 1 яблоко съели.» А теперь послушайте
вопрос: «Сколько яблок осталось на тарелке?» Какой знак выбе-
рите, чтобы решить задачу, «+» или «-»? Почему? Больше или
меньше стало яблок, когда 1 съедят? Какое же решение задачи?
Запишите с помощью карточек? Проверьте, правильно ли реши-
ли задачу. Яблоки будем обозначать кругами. Комментируйте
действия. Учитель по комментарию учеников выкладывает на
доске круги. Правильно ли мы решили задачу? Каков же ответ
задачи? Чтобы вы правильно сформулировали ответ, я еще раз

28. 29
прочту вопрос: «Сколько яблок осталось на тарелке?» Дайте от-
вет задачи: «4 яблока осталось на тарелке».
Послушайте другую задачу и скажите, чем она похожа на
первую и что в ней изменилось. «На тарелке лежало 5 яблок. Оля
положила еще одно яблоко. Сколько яблок стало на тарелке?»
По мере формирования у учащихся умений, необходимых для
решения задачи, учитель может ввести схему, обобщающую
знания о ней и порядке работы над ней.
Результатом описанной работы будет сформированное уме-
ние отличать задачу от других заданий.
Подчеркивая обязательность вопроса, можно сравнить ее с
рассказом. Ученикам читают два текста. Например: «На клумбе
расцвели 7 тюльпанов, за ночь распустилось еще 3 тюльпана.
Стало очень красиво». «На клумбе расцвели 7 тюльпанов, за
ночь распустилось еще 3 тюльпана. Сколько всего тюльпанов
расцвело на клумбе?»
– Чем похожи эти тексты? Чем отличаются? Какой из них
можно назвать задачей? Какой нет? Почему?
При работе над задачами необходимо обратить внимание на
то, что в ней всегда должно быть не менее двух чисел и вопрос,
соответствующий смыслу задачи. Доказать необходимость дан-
ных компонентов учитель может, предлагая следующие задания:
«В аквариуме плавали 3 рыбки, купили еще несколько рыбок и
пустили в аквариум. Сколько всего рыбок плавает в аквариуме?»
Ученики должны заметить, что в тексте не сказано, сколько еще
рыбок пустили в аквариум. Поэтому нельзя выполнить арифмети-
ческое действие и предложенный текст нельзя назвать задачей.
Для того, чтобы текст превратился в задачу его надо допол-
нить. Приведем пример таких текстов.
– Бабушка пришила сначала 5 пуговиц, а потом остальные.
Сколько всего пуговиц пришила бабушка?
Условие
Решение Проверка Ответ
Вопрос
Задача

29. 30
– Девочка взяла в библиотеке 6 книг, несколько книг она
прочитала. Сколько книг ей осталось прочитать?
Как дополнить тексты, чтобы получилась задача?
Итак, ученики убеждаются, что действительно в тексте долж-
но быть не менее двух чисел. Далее можно предложить такие
задания:
«Ранним утром дети вышли на прополку моркови, Петина
бригада прополола 3 грядки, а Сережина – 5 грядок. Сережиной
бригаде вручили приз». «Столяр починил сначала 3 стула, а на
следующий день еще 4 стула. Столяра поблагодарили».
– Задачи ли это?
В текстах нет вопроса, поэтому они не являются задачами.
Однако не каждый вопрос соответствует требованиям задачи.
Приведем примеры.
– В кормушке было насыпано пшено. Сначала прилетели к
кормушке 5 воробьев, а потом 2 синицы. Сколько пшена они
склевали?
– В туристический поход пошли 4 мальчика и 5 девочек.
Сколько километров они прошли?
Следует показать отличие задачи от загадки, в которой есть
числа: «Два конца, два кольца и посередине – гвоздик. Что это?»
Для проверки сформированности понятия «задача» ученикам
можно предложить из указанных текстов определить, какой яв-
ляется задачей, а какой нет.
1. Для букета сорвали 7 ромашек и 3 колокольчика. Сколь-
ко всего цветов сорвали для букета?
2. В корзине лежало 10 огурцов. 4 огурца вынули.
3. Маша нашла 4 белых гриба и 3 подберезовика. Сколько
подберезовиков нашла Маша?
4. Ученики первого класса должны сделать 9 новогодних
игрушки. Они уже сделали 6 игрушек. Сколько игрушек им
осталось сделать?
5. На столе лежали вилки, ложки и ножи. Сколько всего на
столе ложек, вилок и ножей?
Итак, на первых шагах обучения решению текстовых задач
ученики выполняют такую работу над задачей:
– изучают задачу: учитель читает текст; ученики повторя-
ют задачу по частям; ученики полностью повторяют задачу;

30. 31
– устанавливают зависимость искомого от данного и на
основании этой зависимости выбирают действие;
– оформляют решение задачи;
– доказывают, что полученное число является ответом на
вопрос задачи.
5. Обучение решению простых задач
Обучение решению простых задач на сложение и вычитание
Простые задачи на сложение и вычитание в зависимости от
тех понятий, которые формируются при их решении, можно раз-
делить на 3 группы. К первой относятся задачи, раскрывающие
смысл действий (на нахождение суммы и остатка). Ко второй –
те, при решении которых ученики усваивают связь между ком-
понентами и результатами действий (на нахождение слагаемого,
уменьшаемого, вычитаемого). К третьей – задачи, связанные с
отношением «больше», «меньше» (на увеличение, уменьшение
числа на несколько единиц и разностное сравнение). Остано-
вимся на последней группе.
Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц
На подготовительном этапе задач рассматриваемого вида ис-
пользуются задания, в процессе выполнения которых ученики
усваивают смысл отношений «больше на», «меньше на».
Например, положите на парту 3 квадрата, под ними положите
кругов на 1 больше. Что значит на 1 круг больше? (Это столько
же квадратов и еще один круг).
Затем вводится задача.
«Сестра посадила 3 куста смородины, а брат на 2 куста боль-
ше, чем сестра. Сколько кустов смородины посадил брат?»
- Давайте изобразим кусты – треугольниками.
Сколько кустов посадила сестра? (3)
Известно ли количество кустов, которые посадил брат? (нет).
Что сказано в условии про количество кустов, которые поса-
дил брат? (Их на 2 куста больше).
Получили иллюстрацию:
С
. Б
.

31. 32
- Что значит на 2 куста больше? (Это столько же сколько
сестра и еще 2). Каким же действием решается задача. (Сложе-
нием).
Решение: 3 + 2 = 5 (к.)
К этой же задаче можно построить другие модели:
- графические:
А) Схема
Б) Чертеж
- запись с помощью опорных слов:
Для того, чтобы ученики лучше усвоили реальный смысл
рассматриваемых отношений, сравнивают задачи на увеличение
и на уменьшение на несколько единиц с одинаковыми числами,
на нахождение суммы и на увеличение числа, на нахождение
остатка и уменьшение числа.
1. Вова нарисовал 9 домиков, а Лида – на 4 домика меньше.
Сколько домиков нарисовала Лида.
2. Вова нарисовал 9 домиков, а Лида на 4 домика больше.
Сколько домиков нарисовала Лида?
3. В саду собрали 10 кг смородины, а малины на 3 кг мень-
ше, чем смородины. Сколько килограммов малины собрали в
саду?
3 к.
2 к.
?
1 к.
С
. Б
.
С. – 3 к.
Б. – ?, на 2 к. больше

32. 33
В саду собрали 10 кг ягод. 3 кг ягод сварили. Сколько кило-
граммов ягод осталось?
4. Сережа нарисовал 5 красных кругов, а синих на 3 круга
больше. Сколько синих кругов нарисовал Сережа?
Сережа нарисовал 5 красных круга и 3 синих. Сколько всего
кругов нарисовал Сережа?
Задачи на разностное сравнение
Основная трудность для учеников при решении задач данно-
го вида заключается в осознании того факта, что для нахождения
результата при сравнении чисел используется действие вычита-
ние. В связи с этим, прежде чем приступить к решению таких
задач, необходимо провести большую подготовительную рабо-
ту. К подготовительным заданиям относят:
1) сравнение количества предметов одного множества:
На наборное полотно выставлено 4 синих и 3 красных круга.
- Сколько всего кругов выставлено на наборном полотне? (7).
- Сколько из них синих? (4)
- Сколько красных кругов? (3)
- На сколько больше всех кругов, чем синих? (на три)
Затем учитель показывает поставленные на наборном по-
лотне 8 кругов, из них 3 синих. Красные круги закрыты полос-
кой бумаги.
- Сколько всего кругов? (8)
- Сколько синих кругов? (3)
- Как узнать, на сколько больше всех кругов, чем синих? (из 8
вычесть 3)
- Сколько получили? (5) Что обозначает число 5? (число 5
обозначает, что всех кругов на 5 больше чем синих)
2) Сравнение количества предметов двух множеств.
На наборном полотне выставлены предметные картинки: в
одном ряду 7 яблок, в другом 3 груши.

33. 34
Ученики пересчитывают яблоки и груши. Учитель дает зада-
ние, узнать, на сколько больше яблок, чем груш. Ученики уста-
навливают, что из всех яблок надо выделить столько же сколько
груш и от 7 вычесть выделенную часть, то есть 3. 7 – 3 = 4 (яб.)
Узнали, что яблок на 4 больше, чем груш.
После выполнения подобных заданий делается обобщение,
чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше друго-
го, надо из большего числа вычесть меньшее. Далее ученики
решают задачи, опираясь на это правило.
Задача. Над поляной летали 5 бабочек и 3 стрекозы. На
сколько больше бабочек летало чем стрекоз?
Условие задачи можно записать с помощью опорных слов
или сделать схему.
Запись опорных слов
Схема
5 – 3 = 2 (н.)
Ответ: на 2 бабочки больше летало над поляной.
Задачи на разностное сравнение являются обратными по от-
ношению к задачам на увеличение или уменьшение числа на
несколько единиц, поэтому полезно их сравнить.
В целях обобщения способов решения задач, связанных с по-
нятием, целесообразно использовать прием сопоставления и ре-
шения учениками всех шести видов, пар или троек задач с со-
хранением одного и того же сюжета и чисел.
Предлагают задания:
1. Миша нашел 7 белых грибов. Маша – 8 лисичек. Подумай!
На какие вопросы ты ответишь, выполнив действия: 7 + 8; 8 – 7.
Б
.
С
.
?
Б. – 5 н.
на ? больше
С. – 3 н.

34. 35
2. Прочитай условие задачи: «Зайчик съел 5 морковок утром,
а в обед еще - 4».
Подумай! На какие вопросы ты сможешь ответить, пользуясь
условием?
- Сколько всего морковок съел зайчик?
- На сколько больше морковок зайчик съел утром, чем в
обед?
- Сколько яблок съел зайчик?
- Сколько морковок у зайчика осталось?
3. Подумай! Что нужно изменить в текстах задач, чтобы вы-
ражение 9 – 6 было решением каждой?
а) В саду 9 кустов красной смородины, а кустов черной смо-
родины на 6 больше. Сколько кустов черной смородины в саду?
б) В гараже 9 легковых машин и 6 грузовых. Сколько всего
машин в гараже?
в) на одной скамейке сидело 9 девочек, это на 6 меньше, чем
на второй. Сколько девочек сидело на второй скамейке?
4. В коробке на 4 карандаша больше, чем в пенале. Сколько
карандашей в пенале?
- Почему нельзя решить эту задачу? Выберите данные, кото-
рыми можно дополнить условие этой задачи, чтобы ответить на
ее вопрос, выполнив сложение (вычитание):
- в пенале 7 карандашей;
- в пенале на 6 карандашей меньше;
- в коробке 9 карандашей;
- всего в коробке и пенале 14 карандашей.
Обучение решению простых задач на умножение и деление
Простые задачи на умножение и деление, в зависимости от
тех понятий, которые формируются при их решении, можно раз-
делить на три группы:
К первой относятся задачи на умножение и деление, которые
раскрывают конкретный смысл действий (на нахождение произ-
ведения, деление по содержанию и деление на равные части).
Ко второй – те, при решении которых учащиеся усваивают
связь между компонентами и результатами действий умножения
и деления (на нахождение множителя, делимого, делителя).

35. 36
К третьей – связанные с понятием отношения (на увеличение или
уменьшение числа в несколько раз, на кратное сравнение чисел).
С простыми задачами, связанными с действиями умножения
и деления, знакомят учащихся во втором классе.
Задачи на нахождение произведения
Подготовительная работа к введению этих задач начинается в
первом классе при изучении сложения и вычитания. Можно
предложить такую последовательность:
1. Решение задач на нахождение суммы одинаковых слагае-
мых практически, используя метод предметного моделирования.
- Положите на парту 2 квадрата 3 раза. Сколько всего квадра-
тов положили?
- Как получили?
2 + 2+ 2 = 6
- Что можно сказать о слагаемых суммы?
- Сколько в этой сумме одинаковых слагаемых?
2. Решение сюжетных задач.
В трех коробках по 4 карандаша. Сколько всего карандашей в
коробках?
Под руководством учителя моделируют задачу.
- Сколько всего карандашей в 3 коробках? (12)
- Как получили? (4+4+4+4 = 12 (к.))
- Что можно сказать о слагаемых суммы?
- Сколько в этой сумме одинаковых слагаемых?
3. Составление задач по их решению.
6 + 6 = 12
Составьте задачу.

36. 37
4. Выбор выражений, соответствующих условию задачи.
Оля, Вера, Таня и Лена собирали грибы. Оля нашла столько
же грибов, сколько Вера, Таня столько же, сколько Оля; Лена
столько же сколько Таня. Сколько всего грибов нашли девочки?
8 + 4 + 7 + 5 10 + 10 + 10 7 + 7 + 7 + 7
- Какое из выражений могло бы быть решением этой задачи?
При ознакомлении с решением задач на нахождение произве-
дения действием умножения учащимся необходимо уяснить, что
сумму одинаковых слагаемых можно заменить произведением.
Ученики должны усвоить новую запись и понять, что обозначает
каждое число в ней.
Рассмотрим задачу: Четырем учащимся дали по 2 тетради
каждому. Сколько всего тетрадей раздали ученикам? (Раздают-
ся тетради четырем ученикам, каждому по две)
- Как вы понимаете «дали каждому»?
- Как записать решение задачи?
2 + 2 + 2 + 2 = 8 (т.)
-Замените действие сложения действием умножения. Запи-
шите решение.
2 ∙ 4 = 8 (т.)
- Что показывает каждое число в записи решения?
Решение задач на первых порах следует записывать сложени-
ем и умножением, чтобы ученики лучше усвоили смысл каждого
компонента. Переходить к записи умножения можно тогда, ко-
гда сами ученики будут сразу же предлагать ее, минуя запись
суммы. С целью предупреждения ошибок на перестановку мно-
жителей в записи решения можно предложить задания:
1. Составь задачу по выражению: 3 ∙ 4.
2. Выбери решение к задаче: у трех учеников по 5 тетрадей.
Сколько тетрадей у учеников?
Решения: 5 ∙ 3; 3∙ 5; 3 + 5.
Выберите схему к задаче и решите ее: В четырех пучках по 5
морковок. Сколько всего морковок в пучках?

37. 38
А)
Б)
В)
Задачи на деление по содержанию
Подготовительная работа начинается в первом классе. На
этом этапе можно применить следующие виды заданий:
1. Практическое выполнение заданий вида:
а) возьмите 8 кругов и разложите их по 2. Сколько раз по два
круга получилось?
б) 12 карандашей разложили в коробки по 6 карандашей в
каждую. Сколько потребовалось коробок?
Ученики выполняют соответствующие операции и находят
результат, сосчитав сколько раз по 2 круга, получили или сколь-
ко потребовалось коробок. При этом обращают внимание уча-
щихся, что карандашей в коробках поровну.
5 м.
5 м.
5 м.
5 м.
?
2 м.
3 м.
4 м.
5 м.
5 м. 5 м.
?