Trigonometria

1. é. í. çÅÌØÆÁÎÄ, ó. í. ìØ×Ï×ÓËÉÊ, á. ì. ÏÏÍ
òéçïîïíåòéñ
éÚÄÁÎÉÅ ÔÒÅÔØÅ, ÉÓÒÁ×ÌÅÎÎÏÅ
éÚÄÁÔÅÌØÓÔ×Ï íãîíï
íÏÓË×Á 2008

2. ïÇÌÁ×ÌÅÎÉÅ
1. ðÅÒ×ÏÅ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï Ó ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÅÊ
§ 1. ëÁË ÉÚÍÅÒÉÔØ ËÒÕÔÉÚÎÕ . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. óÉÎÕÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. éÚÍÅÒÅÎÉÅ ÕÇÌÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 2. ÁÎÇÅÎÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 3. ëÏÓÉÎÕÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§ 4. íÁÌÙÅ ÕÇÌÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. îÁÞÁÌØÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

3. ÉÊ
§ 5. þÁÓÙ, ÉÌÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÀ . 21
5.1. þÁÓÙ É ÒÏ

4. ÅÓÓÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2. óËÏÒÏÓÔØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§ 6. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

5. ÉÊ . . . . . 26
6.1. ïÓØ ÔÁÎÇÅÎÓÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2. úÎÁËÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

6. ÉÊ . . . . . . 32
§ 7. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§ 8. ðÅÒÉÏÄÙ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

7. ÉÊ . . . . . . . 36
§ 9. æÏÒÍÕÌÙ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
§10. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ . . . . 45
§11. çÒÁÆÉËÉ ÓÉÎÕÓÁ É ËÏÓÉÎÕÓÁ . . . . . . . . . . . . . . 55
§12. çÒÁÆÉËÉ ÔÁÎÇÅÎÓÁ É ËÏÔÁÎÇÅÎÓÁ . . . . . . . . . . . . 62
§13. þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ sin x +
os x? . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3. òÅÛÅÎÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ×
§14. ÅÏÒÅÍÁ ËÏÓÉÎÕÓÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§15. ÷ÏËÒÕÇ ÌÏÝÁÄÉ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ . . . . . . . . . . . . 71
3

8. §16. ÅÏÒÅÍÁ ÓÉÎÕÓÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4. æÏÒÍÕÌÙ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÉÈ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÑ
§17. ÷ÅËÔÏÒÙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
17.1. îÁÒÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÏÔÒÅÚËÉ É ×ÅËÔÏÒÙ . . . . . . . . 81
17.2. óÌÏÖÅÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÏ× . . . . . . . . . . . . . . . . 87
17.3. ÷ÙÞÉÔÁÎÉÅ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ ÎÁ ÞÉÓÌÏ . . . . . . . . 90
17.4. ï ×ÅËÔÏÒÁÈ × ÆÉÚÉËÅ . . . . . . . . . . . . . . . 94
§18. óËÁÌÑÒÎÏÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§19. ÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÌÏÖÅÎÉÑ . . . . . . 99
§20. æÏÒÍÕÌÁ ×ÓÏÍÏÇÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÕÇÌÁ, ÉÌÉ ÓÌÏÖÅÎÉÅ ËÏ-
ÌÅÂÁÎÉÊ ÒÁ×ÎÏÊ ÞÁÓÔÏÔÙ . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§21. ä×ÏÊÎÙÅ, ÔÒÏÊÎÙÅ É ÏÌÏ×ÉÎÎÙÅ ÕÇÌÙ . . . . . . . . 111
§22. ðÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ × ÓÕÍÍÕ
É ÓÕÍÍÙ × ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . 118
§23. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

9. ÉÊ . . . . 126
5. ÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÑ ÄÌÑ ÁÂÉÔÕÒÉÅÎÔÏ×
§24. ëÁË ÒÅÛÁÔØ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ . . . . 137
§25. ïÔÂÏÒ ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ËÒÕÇÅ . . . . . 151
§26. ëÁË ÒÅÛÁÔØ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á . . . 159
§27. úÁÄÁÞÉ ÎÁ Ï×ÔÏÒÅÎÉÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6. ëÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ
§28. þÔÏ ÔÁËÏÅ ËÏÍÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ . . . . . . . . . . . . . 168
§29. íÏÄÕÌØ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ ËÏÍÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ . . . . . . . 173
§30. ðÏËÁÚÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎË

10. ÉÑ É ÆÏÒÍÕÌÁ üÊÌÅÒÁ . . . . . 182
ïÔ×ÅÔÙ É ÕËÁÚÁÎÉÑ Ë ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÚÁÄÁÞÁÍ 189
ðÒÅÄÍÅÔÎÙÊ ÕËÁÚÁÔÅÌØ 196
4

11. ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ
þÔÏ ÔÁËÏÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÑ? óËÕÞÎÙÅ É ÎÉËÏÍÕ ÎÅ ÎÕÖÎÙÅ ÆÏÒ-
ÍÕÌÙ | ÓËÁÖÕÔ ÏÞÔÉ ×ÓÅ ÓÔÁÒÛÅËÌÁÓÓÎÉËÉ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ, ÍÙ
ÈÏÔÉÍ ×ÁÓ × ÜÔÏÍ ÒÁÚÕÂÅÄÉÔØ.
þÔÏÂÙ ×ÚÇÌÑÎÕÔØ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÀ Ï-ÎÏ×ÏÍÕ, ÍÙ ÒÁÓÓËÁ-
ÚÙ×ÁÅÍ Ï ÎÅÊ €Ó ÎÕÌс. ðÏÜÔÏÍÕ ÞÉÔÁÔØ ÏÓÏÂÉÅ ÌÕÞÛÅ Ó ÓÁÍÏÇÏ
ÎÁÞÁÌÁ É ÏÄÒÑÄ, ÈÏÔÑ ËÏÅ-ÞÔÏ ×Ù, ÓËÏÒÅÅ ×ÓÅÇÏ, ÕÖÅ ÚÎÁÅÔÅ.
îÁÛÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÙ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍ ÉÚ ÛËÏÌØÎÙÈ
ÕÞÅÂÎÉËÏ×, ÎÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÄÏÓÌÏ×ÎÏ Ó ÎÉÍÉ ÓÏ×ÁÄÁÀÔ.
îÅ ÎÁÄÏ ÓÔÒÅÍÉÔØÓÑ ÅÒÅÒÅÛÁÔØ ×ÓÅ ÚÁÄÁÞÉ ÉÚ ËÎÉÇÉ (ÍÙ ÓÏ-
ÚÎÁÔÅÌØÎÏ ÏÍÅÓÔÉÌÉ ÉÈ Ó ÚÁÁÓÏÍ), ÎÏ ÓËÏÌØËÏ-ÔÏ ÚÁÄÁÞ ÏÓÌÅ
ËÁÖÄÏÇÏ ÁÒÁÇÒÁÆÁ ÏÒÅÛÁÔØ ÓÔÏÉÔ. åÓÌÉ ÚÁÄÁÞÉ Ë ÁÒÁÇÒÁÆÕ
ÓÏ×ÓÅÍ ÎÅ ×ÙÈÏÄÑÔ, ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ-ÔÏ ×Ù ÎÅ ÕÓ×ÏÉÌÉ, É ÅÓÔØ ÓÍÙÓÌ
ÅÒÅÞÉÔÁÔØ ÜÔÏÔ ÁÒÁÇÒÁÆ.
âÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ ÏÔÍÅÞÅÎÙ Ú×ÅÚÄÏÞËÏÊ, ÂÏÌÅÅ ÔÒÕÄÎÙÊ
ÔÅËÓÔ ÎÁÅÞÁÔÁÎ ÍÅÌËÉÍ ÛÒÉÆÔÏÍ. ðÒÉ ÅÒ×ÏÍ ÞÔÅÎÉÉ ×ÓÅ ÜÔÏ
ÍÏÖÎÏ ÒÏÕÓÔÉÔØ.
ÅÅÒØ ÂÏÌÅÅ ÏÄÒÏÂÎÏ Ï ÓÏÄÅÒÖÁÎÉÉ ËÎÉÇÉ. ÷ ÅÒ×ÙÈ Ä×ÕÈ
ÇÌÁ×ÁÈ ÒÅÞØ ÉÄÅÔ Ï ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÏÎÑÔÉÑÈ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ (ÔÏÞÎÅÅ
ÇÏ×ÏÒÑ, Ï ÔÏÊ ÅÅ ÞÁÓÔÉ, × ËÏÔÏÒÏÊ ÎÅ ÕÞÁÓÔ×ÕÀÔ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÌÏÖÅ-
ÎÉÑ). ÒÅÔØÑ ÇÌÁ×Á (€òÅÛÅÎÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏׁ) ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÒÉ-
ÍÅÎÅÎÉÑÍ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ Ë ÌÁÎÉÍÅÔÒÉÉ. (éÍÅÊÔÅ × ×ÉÄÕ, ÞÔÏ
ÒÅÛÅÎÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× | ÎÅ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÒÁÚÄÅÌ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ; ÎÅ
ÓÌÅÄÕÅÔ ÄÕÍÁÔØ, ÞÔÏ, ÒÏÒÁÂÏÔÁ× ÔÏÌØËÏ ÎÁÛÕ ËÎÉÖËÕ, ×Ù ÕÖÅ
ÎÁÕÞÉÔÅÓØ ÒÅÛÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÚÁÄÁÞÉ.)
þÅÔ×ÅÒÔÁÑ ÇÌÁ×Á ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁÍ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÉÈ ÓÌÅÄ-
ÓÔ×ÉÑÍ. üÔÏ |

12. ÅÎÔÒÁÌØÎÁÑ ÞÁÓÔØ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ (É ËÎÉÇÉ), É
ÉÍÅÎÎÏ ÚÄÅÓØ ÓÏÓÒÅÄÏÔÏÞÅÎÙ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒ-
ÍÕÌÙ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ, ÞÔÏ ÏÓÌÅ ÉÚÕÞÅÎÉÑ ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Ù ×Ù ÏÊÍÅÔÅ,
ÏÔËÕÄÁ ÏÎÉ ÂÅÒÕÔÓÑ, É ÎÁÕÞÉÔÅÓØ × ÎÉÈ ÏÒÉÅÎÔÉÒÏ×ÁÔØÓÑ. íÙ ÎÁ-
ÞÉÎÁÅÍ ÜÔÕ ÇÌÁ×Õ Ó ÁÒÁÇÒÁÆÏ×, × ËÏÔÏÒÙÈ ÒÁÓÓËÁÚÁÎÏ Ï ×ÅËÔÏÒÁÈ
ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ, Á ÓÁÍÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÉÌÌÀÓÔÒÉÒÕ-
ÅÍ ÒÉÍÅÒÁÍÉ ÉÚ ÆÉÚÉËÉ.
ÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÑ Ï ÔÒÁÄÉ

13. ÉÉ ÚÁÎÉÍÁÅÔ ÂÏÌØÛÏÅ ÍÅÓÔÏ × ÍÁÔÅ-
ÒÉÁÌÁÈ ËÏÎËÕÒÓÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÏ× × ×ÕÚÙ; ÞÔÏÂÙ ÎÁÕÞÉÔØÓÑ Õ×ÅÒÅÎÎÏ
5

14. ÒÅÛÁÔØ ÜËÚÁÍÅÎÁ

15. ÉÏÎÎÙÅ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ, ÎÕÖÎÁ ÔÒÅ-
ÎÉÒÏ×ËÁ. ÷ ÑÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÏÉÓÙ×ÁÅÍ ÔÉÉÞÎÙÅ ÒÉÅÍÙ ÒÅÛÅÎÉÑ
ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×. íÎÏÇÉÅ ÉÚ ÚÁÄÁÞ
Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÍÁÔÅÒÉÁÌÏ× ÒÉÅÍÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÏ× × íÏ-
ÓËÏ×ÓËÉÊ ÇÏÓÕÄÁÒÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÕÎÉ×ÅÒÓÉÔÅÔ É ×ÅÄÕÝÉÅ ×ÕÚÙ.
úÁËÌÀÞÉÔÅÌØÎÁÑ ÛÅÓÔÁÑ ÇÌÁ×Á, ÎÁÒÏÔÉ×, ÏÓ×ÑÝÅÎÁ ÔÅÍÅ, ÎÅ
×ÈÏÄÑÝÅÊ × ÒÏÇÒÁÍÍÕ ×ÓÔÕÉÔÅÌØÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÏ×, ÎÏ ÔÅÓÎÏ Ó×Ñ-
ÚÁÎÎÏÊ Ó ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÅÊ | ËÏÍÌÅËÓÎÙÍ ÞÉÓÌÁÍ. íÙ ÎÁÄÅÅÍÓÑ,
ÞÔÏ ÎÁÛÉ ÞÉÔÁÔÅÌÉ ÏÌÕÞÁÔ ÕÄÏ×ÏÌØÓÔ×ÉÅ ÏÔ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Á Ó ÜÔÉÍ
ËÒÁÓÉ×ÙÍ É ×ÁÖÎÙÍ ÒÁÚÄÅÌÏÍ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ.
ðÒÉ ÎÁÉÓÁÎÉÉ ÑÔÏÊ ÇÌÁ×Ù ÎÁÍ ÏÍÏÇÌÉ ÂÅÓÅÄÙ Ó ö. í. òÁÂ-
ÂÏÔÏÍ; ÞÁÓÔØ ÚÁÄÁÞ Ë ÜÔÏÊ ÇÌÁ×Å ÍÙ ÏÚÁÉÍÓÔ×Ï×ÁÌÉ ÉÚ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ-
ÇÏ €óÂÏÒÎÉËÁ ÚÁÄÁÞ Ï ÍÁÔÅÍÁÔÉËÅ ÄÌÑ ËÏÎËÕÒÓÎÙÈ ÜËÚÁÍÅÎÏ× ×
×ÕÚف ÏÄ ÒÅÄÁË

16. ÉÅÊ í. é. óËÁÎÁ×É. íÎÏÇÉÅ ÚÁÄÁÞÉ Ï ÌÁÎÉÍÅ-
ÔÒÉÉ ×ÚÑÔÙ ÉÚ ÓÂÏÒÎÉËÏ× é. æ. ûÁÒÙÇÉÎÁ. ïÂÓÕÖÄÅÎÉÅ ÒÉÍÅÒÏ×
ÉÚ ÆÉÚÉËÉ É ËÏÍÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÍÎÏÇÉÍ ÏÂÑÚÁÎÏ ÚÁÓÌÕÖÅÎÎÏ Ï-
ÕÌÑÒÎÙÍ €æÅÊÎÍÁÎÏ×ÓËÉÍ ÌÅË

17. ÉÑÍ Ï ÆÉÚÉËŁ.
òÁÂÏÔÁ ÎÁÄ ÜÔÏÊ ËÎÉÇÏÊ ÎÉËÏÇÄÁ ÎÅ ÂÙÌÁ ÂÙ ÚÁ×ÅÒÛÅÎÁ, ÅÓÌÉ
ÂÙ ÍÙ ÎÅ ÏÝÕÝÁÌÉ ÏÓÔÏÑÎÎÏÇÏ ×ÎÉÍÁÎÉÑ É ÏÄÄÅÒÖËÉ É ÎÅ ÏÌØ-
ÚÏ×ÁÌÉÓØ ÏÍÏÝØÀ ÍÎÏÇÉÈ É ÍÎÏÇÉÈ ÌÀÄÅÊ. ðÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÌÕÞÁÅÍ
×ÙÒÁÚÉÔØ ÉÍ ×ÓÅÍ ÇÌÕÂÏËÕÀ ÂÌÁÇÏÄÁÒÎÏÓÔØ. ïÓÏÂÅÎÎÏ ÔÅÌÏ ÍÙ
ÈÏÔÉÍ ÏÂÌÁÇÏÄÁÒÉÔØ î. â. ÷ÁÓÉÌØÅ×Á, ö. í. òÁÂÂÏÔÁ É á. ûÅ-
ÎÑ, ÏÔÒÁÔÉ×ÛÉÈ ÍÎÏÇÏ ÓÉÌ É ×ÒÅÍÅÎÉ ÎÁ ÕÌÕÞÛÅÎÉÅ ÒÕËÏÉÓÉ
ÜÔÏÇÏ ÏÓÏÂÉÑ.
ðÒÅÄÉÓÌÏ×ÉÅ ËÏ ×ÔÏÒÏÍÕ É ÔÒÅÔØÅÍÕ ÉÚÄÁÎÉÑÍ
éÚÄÁÎÉÅ 2003 ÇÏÄÁ ÇÏÔÏ×ÉÌÏÓØ ÂÅÚ ÕÞÁÓÔÉÑ é. í. çÅÌØÆÁÎÄÁ É
á. ì. ÏÏÍÁ, ÏÜÔÏÍÕ ÏÔÌÉÞÉÑ ÏÔ ÅÒ×ÏÇÏ ÉÚÄÁÎÉÑ ÎÅ×ÅÌÉËÉ (ÓÁ-
ÍÏÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ | ÉÎÏÅ ÉÚÌÏÖÅÎÉÅ ÄÉÓÔÒÉÂÕÔÉ×ÎÏÓÔÉ ÓËÁÌÑÒ-
ÎÏÇÏ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ × § 18). óÁÍÏ ÓÏÂÏÊ ÒÁÚÕÍÅÅÔÓÑ, ÞÔÏ ×ÓÑ ÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏÓÔØ ÚÁ ÜÔÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÌÅÖÉÔ ÔÏÌØËÏ ÎÁ ÍÎÅ. ÷ ÔÒÅÔØÅÍ
ÉÚÄÁÎÉÉ ÉÓÒÁ×ÌÅÎ ÒÑÄ ÏÛÉÂÏË É ÄÏÂÁ×ÌÅÎÙ ÕËÁÚÁÎÉÑ É ÒÅÛÅÎÉÑ
Ë ÎÅËÏÔÏÒÙÍ ÚÁÄÁÞÁÍ.
ó. ìØ×Ï×ÓËÉÊ
6

18. çÌÁ×Á 1
ðÅÒ×ÏÅ ÚÎÁËÏÍÓÔ×Ï
Ó ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÅÊ
§1. ëÁË ÉÚÍÅÒÉÔØ ËÒÕÔÉÚÎÕ
ëÌÁÓÓÉÆÉËÁ

19. ÉÑ ÕÇÌÏ× ÉÚ ËÎÉÇÉ Ï ÁÌØÉ-
ÎÉÚÍÕ:
€ðÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎρ | 60 ÇÒÁÄÕÓÏ×;
€íÏÊ ÄÏÒÏÇÏÊ ÓÜÒ, ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÅÒÅÎÄÉËÕ-
ÌÑÒÎÏ! | 65 ÇÒÁÄÕÓÏ×;
€îÁ×ÉÓÁÀÝŁ| 70 ÇÒÁÄÕÓÏ×.
äÖ. ìÉÔÔÌ×ÕÄ. €íÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÁÑ ÓÍÅÓ؁
1.1. óÉÎÕÓ
ðÕÓÔØ ÞÅÌÏ×ÅË ÏÄÎÉÍÁÅÔÓÑ × ÇÏÒÕ. âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÓËÌÏÎ
ÇÏÒÙ | ÜÔÏ ÇÉÏÔÅÎÕÚÁ AB ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC
(ÒÉÓ. 1.1). íÏÖÎÏ ÒÅÄÌÏÖÉÔØ Ï ËÒÁÊÎÅÊ ÍÅÒÅ Ä×Á ÓÏÓÏÂÁ ÉÚ-
ÍÅÒÅÎÉÑ ËÒÕÔÉÚÎÙ ÏÄßÅÍÁ: 1) ÉÚÍÅÒÉÔØ ×ÙÓÏÔÕ ÏÄßÅÍÁ (ÏÔ-
ÒÅÚÏË BC ÎÁ ÒÉÓ. 1.1Á); 2) ÒÏ×ÅÓÔÉ ÄÕÇÕ Ó

20. ÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ á
(ÒÉÓ. 1.1Â) É ÉÚÍÅÒÉÔØ ÅÅ ÄÌÉÎÕ.
ëÏÎÅÞÎÏ, ÓÁÍÁ Ï ÓÅÂÅ ×ÙÓÏÔÁ ÏÄßÅÍÁ ÎÉÞÅÇÏ ÎÅ ÈÁÒÁËÔÅÒÉ-
ÚÕÅÔ: ÅÓÌÉ ×Ù ÄÏÌÇÏ ÉÄÅÔÅ Ï ÓËÌÏÎÕ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÏÄÎÑÔØÓÑ ×ÙÓÏËÏ
ÄÁÖÅ ÒÉ ÏÌÏÇÏÍ ÓËÌÏÎÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ÎÕÖÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÏÔÎÏ-
ÛÅÎÉÅ ÄÌÉÎÙ ÏÄßÅÍÁ Ë ÄÌÉÎÅ ÕÔÉ (ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
7

21. A
B
C A
B
C
Á) Â)
òÉÓ. 1.1.
ÄÌÉÎÙ ÄÕÇÉ Ë ÒÁÄÉÕÓÕ)1
. üÔÉ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÏÔ ÄÌÉÎÙ ÕÔÉ ÕÖÅ ÎÅ
ÚÁ×ÉÓÑÔ.
÷ÏÔ ÆÏÒÍÁÌØÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÔÏÇÏ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÌÉÎÙ ÏÄß-
ÅÍÁ Ë ÄÌÉÎÅ ÕÔÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÜÔÏÊ ÄÌÉÎÙ. ðÕÓÔØ ÞÅÌÏ×ÅË ÒÏÛÅÌ ÎÅ
×ÅÓØ ÕÔØ, Á ÄÏÛÅÌ ÔÏÌØËÏ ÄÏ ÔÏÞËÉ B′
(ÒÉÓ. 1.2). ÏÇÄÁ ËÒÕÔÉÚÎÁ ÏÄß-
ÅÍÁ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ AB′
ÒÁ×ÎÁ B′
C′
=AB′
, Á ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ AB ÒÁ×ÎÁ BC=AB.
A
B
C
B′
C′
òÉÓ. 1.2.
ïÄÎÁËÏ B′
C′
k BC ËÁË Ä×Á ÅÒÅÎÄÉËÕ-
ÌÑÒÁ Ë ÏÄÎÏÊ ÒÑÍÏÊ, ÔÁË ÞÔÏ ∠AC′
B =
= ∠ACB = 90◦
, ∠AB′
C′
= ∠ABC. óÔÁÌÏ
ÂÙÔØ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ABC É AB′
C′
ÏÄÏÂ-
ÎÙ Ï Ä×ÕÍ ÕÇÌÁÍ, É BC=AB = B′
C′
=AB′
.
ÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ×ÙÓÏÔÙ ÏÄß-
ÅÍÁ Ë ÄÌÉÎÅ ÕÔÉ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÄÌÉÎÙ Õ-
ÔÉ. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÌÉÎÙ ÄÕÇÉ
Ë ÒÁÄÉÕÓÕ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÄÉÕÓÁ, ÔÁËÖÅ
ÍÏÖÎÏ, ÎÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÁÄÏ ÆÏÒÍÁÌØÎÏ ÏÒÅÄÅÌÉÔØ, ÞÔÏ ÔÁËÏÅ ÄÌÉÎÁ ÄÕÇÉ.
÷ ÜÔÏÊ ËÎÉÖËÅ ÍÙ ÜÔÉÍ ÚÁÎÉÍÁÔØÓÑ ÎÅ ÂÕÄÅÍ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óÉÎÕÓÏÍ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÍ ÔÒÅ-
ÕÇÏÌØÎÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÁÔÅÔÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ,
ÌÅÖÁÝÅÇÏ ÒÏÔÉ× ÕÇÌÁ, Ë ÇÉÏÔÅÎÕÚÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÒÉÓ. 1.3).
ïÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÕÇÏÌ, ÜÔÏ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ.
1
æÉÚÉË ÏÂßÑÓÎÉÌ ÂÙ ÜÔÏ ÔÁË: ×ÙÓÏÔÁ ÏÄßÅÍÁ ÉÍÅÅÔ ÒÁÚÍÅÒÎÏÓÔØ ÄÌÉÎÙ,
Á ËÒÕÔÉÚÎÁ | ÂÅÚÒÁÚÍÅÒÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
8

22. A
B
C
A
B
O
òÉÓ. 1.3. sin = BC=AB. òÉÓ. 1.4. òÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÕÇÌÁ
AOB | ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÄÌÉÎÙ ÄÕÇÉ
AB Ë ÒÁÄÉÕÓÕ AO.
1.2. éÚÍÅÒÅÎÉÅ ÕÇÌÏ×
÷ÔÏÒÁÑ ÉÚ ××ÅÄÅÎÎÙÈ ÎÁÍÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉË ËÒÕÔÉÚÎÙ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÒÁÄÉÁÎÎÏÊ ÍÅÒÏÊ ÕÇÌÁ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. òÁÄÉÁÎÎÏÊ ÍÅÒÏÊ ÕÇÌÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ
ÄÌÉÎÙ ÄÕÇÉ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÚÁËÌÀÞÅÎÎÏÊ ÍÅÖÄÕ ÓÔÏÒÏÎÁÍÉ ÕÇÌÁ
É Ó

23. ÅÎÔÒÏÍ × ×ÅÒÛÉÎÅ ÕÇÌÁ, Ë ÒÁÄÉÕÓÕ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ
(ÒÉÓ. 1.4).
ïÔ ÒÁÄÉÕÓÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ.
îÁÒÉÍÅÒ, ËÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ €ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÕÇÌÁ ÒÁ×ÎÁ
A
B
O
òÉÓ. 1.5.
1=2, ÉÌÉ €×ÅÌÉÞÉÎÁ ÕÇÌÁ ÒÁ×ÎÁ 1=2 ÒÁ-
ÄÉÁÎÁ, ÉÌÉ ÏÒÏÓÔÕ €ÕÇÏÌ ÒÁ×ÅÎ 1=2
ÒÁÄÉÁÎÁ, ÜÔÏ ÚÎÁÞÉÔ, ÞÔÏ ÚÁËÌÀÞÅÎÎÁÑ
×ÎÕÔÒÉ ÎÅÇÏ ÄÕÇÁ ×Ä×ÏÅ ËÏÒÏÞÅ ÒÁÄÉÕ-
ÓÁ. åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÅÎ 1, ÔÏ
ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÕÇÌÁ ÒÁ×ÎÁ ÄÌÉÎÅ ÄÕÇÉ.
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÒÁÄÉÁÎÎÕÀ ÍÅÒÕ ÒÑÍÏÇÏ
ÕÇÌÁ. ÷ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÎÁÛÉÍ ÏÒÅÄÅ-
ÌÅÎÉÅÍ ÒÏ×ÅÄÅÍ ÄÕÇÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁ-
ÄÉÕÓÁ r Ó

24. ÅÎÔÒÏÍ × ×ÅÒÛÉÎÅ ÒÑÍÏ-
ÇÏ ÕÇÌÁ (ÒÉÓ. 1.5). äÕÇÁ AB ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ
ÞÅÔ×ÅÒÔØ ×ÓÅÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ëÏÌØ ÓËÏÒÏ
ÄÌÉÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁÄÉÕÓÁ r ÒÁ×ÎÁ 2r,
9

25. ÄÌÉÎÁ ÎÁÛÅÊ ÄÕÇÉ ÒÁ×ÎÁ 2r=4 = r=2, Á ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÒÑÍÏÇÏ
ÕÇÌÁ ÒÁ×ÎÁ (r=2)=r = =2 ≈ 1;57.
ïÂÅ ××ÅÄÅÎÎÙÅ ÎÁÍÉ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ËÒÕÔÉÚÎÙ (ÓÉÎÕÓ É ÒÁ-
ÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÕÇÌÁ) ÉÍÅÀÔ ÔÏ ÒÅÉÍÕÝÅÓÔ×Ï ÅÒÅÄ ÒÉ×ÙÞÎÙÍ
ÉÚÍÅÒÅÎÉÅÍ ÕÇÌÏ× × ÇÒÁÄÕÓÁÈ, ÞÔÏ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÙÍÉ; ÒÏ
ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ ÕÇÌÏ× × ÇÒÁÄÕÓÁÈ ÜÔÏÇÏ ÎÅ ÓËÁÖÅÛØ: ËÁË ÂÙ ×Ù ÓÔÁÌÉ
ÏÂßÑÓÎÑÔØ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔÅÌÀ ×ÎÅÚÅÍÎÏÊ

26. É×ÉÌÉÚÁ

27. ÉÉ, ÏÞÅÍÕ ÏÄÉÎ
ÇÒÁÄÕÓ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÉÍÅÎÎÏ ÏÄÎÕ ÄÅ×ÑÎÏÓÔÕÀ ÒÑÍÏÇÏ ÕÇÌÁ? ëÓÔÁ-
ÔÉ, ×Ï ×ÒÅÍÑ ÷ÅÌÉËÏÊ ÆÒÁÎ

28. ÕÚÓËÏÊ ÒÅ×ÏÌÀ

29. ÉÉ, ËÏÇÄÁ ÙÔÁÌÉÓØ
ÉÚÍÅÎÉÔØ ×ÓÅ, ×ËÌÀÞÁÑ ËÁÌÅÎÄÁÒØ É ÎÁÚ×ÁÎÉÑ ÉÇÒÁÌØÎÙÈ ËÁÒÔ,
ÂÙÌÁ ÒÅÄÌÏÖÅÎÁ É ÎÏ×ÁÑ ÅÄÉÎÉ

30. Á ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ ÕÇÌÏ× | ÏÄÎÁ ÓÏÔÁÑ
ÒÑÍÏÇÏ ÕÇÌÁ, ÞÔÏ ÎÉÞÕÔØ ÎÅ ÈÕÖÅ É ÎÅ ÌÕÞÛÅ ÏÄÎÏÊ ÄÅ×ÑÎÏÓÔÏÊ.
÷ÙÑÓÎÉÍ, ËÁË Ó×ÑÚÁÎÙ ÍÅÖÄÕ ÓÏÂÏÊ ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ É ÇÒÁÄÕÓÎÁÑ
ÍÅÒÙ ÕÇÌÁ. ëÁË ÍÙ ÕÖÅ ÚÎÁÅÍ, ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÒÑÍÏÇÏ ÕÇÌÁ ÒÁ×ÎÁ
2
ÒÁÄÉÁÎ. ÁË ËÁË ÕÇÏÌ 1◦ × 90 ÒÁÚ ÍÅÎØÛÅ ÒÑÍÏÇÏ ÕÇÌÁ, ÔÏ É ÅÇÏ
ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ × 90 ÒÁÚ ÍÅÎØÛÅ ÒÁÄÉÁÎÎÏÊ ÍÅÒÙ ÒÑÍÏÇÏ ÕÇÌÁ,
ÔÏ ÅÓÔØ ÒÁ×ÎÁ
2
: 90 = =180 ≈ 0;017. õÇÏÌ × k ÇÒÁÄÕÓÏ× ÉÍÅÅÔ
ÍÅÒÕ (=180)k ÒÁÄÉÁÎ. þÔÏÂÙ ÕÚÎÁÔØ, ÓËÏÌØËÏ ÇÒÁÄÕÓÏ× ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ÕÇÏÌ × 1 ÒÁÄÉÁÎ, ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ ÔÁËÏÅ k, ÞÔÏ (=180)k = 1. óÔÁÌÏ
ÂÙÔØ, × ÏÄÎÏÍ ÒÁÄÉÁÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ 180= ≈ 57;29◦.
úÁÄÁÞÁ 1.1. úÁÏÌÎÉÔÅ ÕÓÔÙÅ ÍÅÓÔÁ × ÔÁÂÌÉ

31. Å, ÏÓÌÅ ÞÅÇÏ ×Ù-
ÕÞÉÔÅ ÔÁÂÌÉ

32. Õ ÎÁÉÚÕÓÔØ:
ÇÒÁÄÕÓÙ 30◦ 45◦ 60◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 360◦
ÒÁÄÉÁÎÙ
úÁÄÁÞÁ 1.2. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÕÇÌÏ× 10◦, 30◦, 60◦ ÎÁÊÄÉÔÅ ÒÉÂÌÉ-
ÖÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÉÎÕÓÁ É ÒÁÄÉÁÎÎÏÊ ÍÅÒÙ (Ó Ä×ÕÍÑ ÚÎÁÞÁÝÉÍÉ

33. ÉÆÒÁÍÉ). îÁ ÓËÏÌØËÏ ÒÏ

34. ÅÎÔÏ× ÏÔÌÉÞÁÀÔÓÑ ÓÉÎÕÓ É ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ
ÍÅÒÁ ÄÌÑ ÜÔÉÈ ÕÇÌÏ×?
úÁÄÁÞÁ 1.3. ðÕÓÔØ ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ ÒÁ×ÎÁ . äÏËÁ-
ÖÉÔÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï: sin (ÓÌÏ×ÁÍÉ: ÓÉÎÕÓ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ ÍÅÎØÛÅ
ÅÇÏ ÒÁÄÉÁÎÎÏÊ ÍÅÒÙ).
õËÁÚÁÎÉÅ. óÍ. ÒÉÓ. 1.6.
10

35. 1
A
B
C
òÉÓ. 1.6. òÉÓ. 2.1. ÁÎÇÅÎÓ.
§2. ÁÎÇÅÎÓ
÷ ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÎÁÕÞÉÌÉÓØ ÉÚÍÅÒÑÔØ ËÒÕÔÉÚÎÕ Ó Ï-
ÍÏÝØÀ ÓÉÎÕÓÁ ÕÇÌÁ. åÓÔØ É ÄÒÕÇÏÊ ÓÏÓÏÂ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ ËÒÕÔÉÚÎÙ,
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ, ËÁË ÏËÁ ÅÝÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÁÌØÔÅÒÎÁÔÉ×Õ ÓÉÎÕÓÕ.
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÓÅÂÅ, ÞÔÏ ÞÅÌÏ×ÅË, ÏÄÎÉÍÁÑÓØ Ï ÔÒÏÅ, ÒÉÂÌÉ-
ÖÁÅÔÓÑ Ë ËÒÕÔÏÍÕ ÂÅÒÅÇÕ (ÒÉÓ. 2.1). åÓÌÉ ÉÚÍÅÒÑÔØ ËÒÕÔÉÚÎÕ
ÏÄßÅÍÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ×ÙÓÏÔÙ ÏÄßÅÍÁ Ë ÄÌÉÎÅ ÕÔÉ,
ÔÏ ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÙÊ ÎÁÍ ÓÉÎÕÓ. äÁ×ÁÊÔÅ ÔÅÅÒØ ×ÍÅÓÔÏ
ÄÌÉÎÙ ÒÏÊÄÅÎÎÏÇÏ ÞÅÌÏ×ÅËÏÍ ÕÔÉ ÉÚÍÅÒÑÔØ, ÎÁÓËÏÌØËÏ ÏÎ ÒÉ-
ÂÌÉÚÉÌÓÑ Ë ÂÅÒÅÇÕ Ï ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌÉ. éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ AC | ÒÏÅË

36. ÉÀ ÕÔÉ ÎÁ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØ. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å
ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ ËÒÕÔÉÚÎÙ ×ÏÚØÍÅÍ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ BC=AC. üÔÏ ÏÔ-
ÎÏÛÅÎÉÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁÎÇÅÎÓÏÍ ÕÇÌÁ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÁÎÇÅÎÓÏÍ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÍ ÔÒÅ-
ÕÇÏÌØÎÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÁÔÅÔÁ ÜÔÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ,
ÌÅÖÁÝÅÇÏ ÒÏÔÉ× ÕÇÌÁ, Ë ËÁÔÅÔÕ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÒÉÌÅÖÁÝÅÍÕ
Ë ÕÇÌÕ (ÒÉÓ. 2.1).
ëÁË É ÓÉÎÕÓ ÕÇÌÁ, ÔÁÎÇÅÎÓ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÑÍÏÕÇÏÌØ-
ÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÜÔÏÔ ÕÇÏÌ.
ïÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ÔÁÎÇÅÎÓ ÕÇÌÁ ÔÁË: tg (ÞÉÔÁÅÔÓÑ €ÔÁÎÇÅÎÓ
ÁÌØÆÁ).
úÁÄÁÞÁ 2.1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÔÁÎÇÅÎÓ ÕÇÌÁ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÚÍÅÒÏ×
ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÜÔÏÔ ÕÇÏÌ.
úÁÄÁÞÁ 2.2. äÌÑ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ ÞÔÏ ÂÏÌØÛÅ: sin ÉÌÉ
tg ?
11

37. ÷ÙÑÓÎÉÍ, ËÁË Ó×ÑÚÁÎÙ ÓÉÎÕÓ É ÔÁÎÇÅÎÓ ÕÇÌÁ. ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉ-
ÍÅÒ, ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÔÁÎÇÅÎÓ ÕÇÌÁ ; ËÁË ÎÁÊÔÉ ÅÇÏ ÓÉÎÕÓ? ÷ÏÓÏÌØÚÕÅÍ-
ÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ tg ÇÏÄÉÔÓÑ ÌÀÂÏÊ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË Ó ÕÇÌÏÍ ; ×ÙÂÅÒÅÍ ÔÏÔ ÉÚ ÎÉÈ, ÞÔÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎ ÎÁ
ÒÉÓ. 2.2. ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ðÉÆÁÇÏÒÁ ÅÇÏ ÇÉÏÔÅÎÕÚÁ ÒÁ×ÎÁ
p
1 + tg2
,
ÔÁË ÞÔÏ
1
tg sin =
tg
p
1 + tg2
:
òÉÓ. 2.2.
úÁÄÁÞÁ 2.3. ðÕÓÔØ | ÏÓÔÒÙÊ ÕÇÏÌ; ×Ù×ÅÄÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ, ×ÙÒÁÖÁ-
ÀÝÕÀ tg ÞÅÒÅÚ sin .
úÁÄÁÞÁ 2.4. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÉÚ ÕÇÌÏ× 10◦, 30◦, 60◦ ÎÁÊÄÉÔÅ ÒÉÂÌÉ-
ÖÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÉÈ ÔÁÎÇÅÎÓÁ. þÔÏ ÂÏÌØÛÅ: ÔÁÎÇÅÎÓ ÉÌÉ ÒÁÄÉÁÎ-
ÎÁÑ ÍÅÒÁ? é ÎÁ ÓËÏÌØËÏ ÒÏ

38. ÅÎÔÏ× ÂÏÌØÛÅ?
éÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ×Ù ÄÏÌÖÎÙ ÂÙÌÉ Õ×ÉÄÅÔØ, ÞÔÏ ÔÁÎÇÅÎ-
ÓÙ ÆÉÇÕÒÉÒÏ×Á×ÛÉÈ × ÎÅÊ ÕÇÌÏ× ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÉÈ ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ.
îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÜÔÏ ×ÅÒÎÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÏÓÔÒÙÈ ÕÇÌÏ×. îÁÇÌÑÄÎÏ ÜÔÏ
ÍÏÖÎÏ ÏÑÓÎÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÉÓ. 2.3Á. îÁ ÎÅÍ AC = 1, ÔÁË ÞÔÏ
ÄÌÉÎÁ ÄÕÇÉ CMC′ ÒÁ×ÎÁ 2 (ÍÙ ÓÞÉÔÁÅÍ, ÞÔÏ ÕÇÏÌ ÉÚÍÅÒÅÎ × ÒÁ-
ÄÉÁÎÁÈ), Á ÄÌÉÎÁ ÌÏÍÁÎÏÊ CBC′ ÒÁ×ÎÁ 2 tg . éÚ ÒÉÓÕÎËÁ ÑÓÎÏ,
ÞÔÏ ÄÌÉÎÁ ÌÏÍÁÎÏÊ CBC′ ÂÏÌØÛÅ, ÞÅÍ ÄÌÉÎÁ ÄÕÇÉ CMC′,1
ÔÁË
ÞÔÏ 2 tg 2, ÏÔËÕÄÁ tg .
áËËÕÒÁÔÎÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÇÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×Ù ÕÚÎÁÅÔÅ,
ÒÅÛÉ× ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ ÚÁÄÁÞÕ.
úÁÄÁÞÁ 2.5. äÏËÁÖÉÔÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï tg .
õËÁÚÁÎÉÅ. óÒÁ×ÎÉÔÅ ÌÏÝÁÄØ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABC É ÓÅËÔÏÒÁ AMC
(ÒÉÓ. 2.3Â). ðÌÏÝÁÄØ ÓÅËÔÏÒÁ ÒÁ×ÎÁ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ ÄÌÉÎÙ
ÄÕÇÉ, ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÀÝÅÊ ÜÔÏÔ ÓÅËÔÏÒ, ÎÁ ÒÁÄÉÕÓ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ.
1
÷ÅÒÅ×ÏÞËÕ CBC′
ÎÁÄÏ ÕËÏÒÏÔÉÔØ, ÞÔÏÂÙ ÏÎÁ ÏÂÌÅÇÁÌÁ ÄÕÇÕ CMC′
×ÌÏÔ-
ÎÕÀ.
12

39. A B
C
C′
M
A
B
C
M
1
Á) Â)
òÉÓ. 2.3. tg .
§3. ëÏÓÉÎÕÓ
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ëÏÓÉÎÕÓÏÍ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ × ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÍ ÔÒÅ-
ÕÇÏÌØÎÉËÅ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ËÁÔÅÔÁ, ÒÉÌÅÖÁÝÅÇÏ Ë ÕÇÌÕ
, Ë ÇÉÏÔÅÎÕÚÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÒÉÓ. 3.1).
A
B
C
òÉÓ. 3.1.
os = AC=AB.
ïÔ ×ÙÂÏÒÁ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÇÏ ÕÇÏÌ
, ÜÔÏ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ.
ëÏÓÉÎÕÓ ÕÇÌÁ ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
os (€ËÏÓÉÎÕÓ ÁÌØÆÁ).
úÁÄÁÞÁ 3.1. äÏËÁÖÉÔÅ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ:
A
B
C
90◦ −
Á) sin(90◦ − ) =
os ;
Â)
os(90◦ − ) = sin ;
×) tg = sin=
os .
13

40. A
B C
D
√
2
1
1
45◦
A
B
C
D
60◦
30◦
√
3
2
1=2
òÉÓ. 3.2. æÕÎË

41. ÉÉ ÕÇÌÁ 45◦. òÉÓ. 3.3. õÇÌÙ 30◦ É 60◦.
úÁÄÁÞÁ 3.2. äÏËÁÖÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ: sin2
+
os2
= 1.
õËÁÚÁÎÉÅ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ðÉÆÁÇÏÒÁ.
úÁÄÁÞÁ 3.3. ðÕÓÔØ | ÏÓÔÒÙÊ ÕÇÏÌ. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÆÏÒÍÕÌÕ, ×ÙÒÁÖÁ-
ÀÝÕÀ
os ÞÅÒÅÚ tg :
os = 1=
p
1 + tg2
.
õËÁÚÁÎÉÅ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÒÉÓ. 2.2 ÉÚ ÒÅÄÙÄÕÝÅÇÏ ÁÒÁÇÒÁÆÁ.
úÁÄÁÞÁ 3.4. âÏËÏ×ÁÑ ÓÔÏÒÏÎÁ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÒÁ×-
ÎÁ a, ÕÇÏÌ ÒÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ ÒÁ×ÅÎ . îÁÊÄÉÔÅ: Á) ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ; Â) ×Ù-
ÓÏÔÕ, ÏÕÝÅÎÎÕÀ ÎÁ ÂÏËÏ×ÕÀ ÓÔÏÒÏÎÕ; ×) ×ÙÓÏÔÕ, ÏÕÝÅÎÎÕÀ ÎÁ
ÏÓÎÏ×ÁÎÉÅ.
îÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÒÏÓÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÅÊ Ï ×ÅÌÉÞÉÎÅ
ÕÇÌÁ ÎÁÊÔÉ ÔÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÅÇÏ ÓÉÎÕÓÁ ÉÌÉ ËÏÓÉÎÕÓÁ. ÅÍ ÎÅ
ÍÅÎÅÅ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÕÇÌÏ× ÔÏÞÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÉÎÕÓÁ, ËÏÓÉÎÕÓÁ
É ÔÁÎÇÅÎÓÁ ÌÅÇËÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ. óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ ÄÌÑ ÕÇÌÏ× 30◦, 45◦ É 60◦.
îÁÞÎÅÍ Ó ÕÇÌÁ 45◦. þÔÏÂÙ ÏÓÞÉÔÁÔØ ÅÇÏ ÓÉÎÕÓ, ËÏÓÉÎÕÓ É ÔÁÎ-
ÇÅÎÓ, ÎÁÄÏ, ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÎÁÛÉÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑÍ, ×ÚÑÔØ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË Ó ÕÇÌÏÍ 45◦. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å ÔÁËÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÍÏÖÎÏ
×ÚÑÔØ ÏÌÏ×ÉÎËÕ Ë×ÁÄÒÁÔÁ ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1 (ÒÉÓ. 3.2).
éÚ ÔÅÏÒÅÍÙ ðÉÆÁÇÏÒÁ ÑÓÎÏ, ÞÔÏ ÄÉÁÇÏÎÁÌØ ÜÔÏÇÏ Ë×ÁÄÒÁÔÁ
ÒÁ×ÎÁ
√
2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÉÚ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ACD ÏÌÕÞÁÅÍ:
14

42. sin 45◦
= CD=AC = 1=
√
2 =
√
2=2;
os 45◦
= AD=AC =
√
2=2;
tg 45◦
= CD=AD = 1:
ÅÅÒØ ÚÁÊÍÅÍÓÑ ÕÇÌÁÍÉ 30◦ É 60◦. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎ-
ÎÉÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÓÏ ÓÔÏÒÏÎÏÊ 1 É ÏÕÓÔÉÍ × ÎÅÍ ×ÙÓÏÔÕ (ÒÉÓ. 3.3).
üÔÁ ×ÙÓÏÔÁ ÒÁÚÄÅÌÉÔ ÅÇÏ ÎÁ Ä×Á ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ
Ó ÇÉÏÔÅÎÕÚÏÊ 1 É ÏÓÔÒÙÍÉ ÕÇÌÁÍÉ 60◦ É 30◦; ÒÉ ÜÔÏÍ AD =
= 1=2 (×ÙÓÏÔÁ BD × ÒÁ×ÎÏÓÔÏÒÏÎÎÅÍ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÔÁË-
ÖÅ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÏÊ É ÍÅÄÉÁÎÏÊ). ðÏ ÔÅÏÒÅÍÅ ðÉÆÁÇÏÒÁ ÎÁÈÏÄÉÍ
BD =
√
AB2 − AD2 =
√
3=2. ÅÅÒØ, ËÏÇÄÁ ÄÌÉÎÙ ×ÓÅÈ ÓÔÏÒÏÎ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ABD ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ, ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ×ÙÉÓÁÔØ:
sin 30◦
= AD=AB = 1=2; sin 60◦
= BD=AB =
√
3=2;
os 30◦
= BD=AB =
√
3=2;
os 60◦
= AD=AB = 1=2;
tg 30◦
= AD=BD = 1=
√
3 =
√
3=3; tg 60◦
= BD=AD =
√
3:
ëÓÔÁÔÉ, ÔÏÔ ÆÁËÔ, ÞÔÏ sin 30◦ = 1=2, ÂÙÌ ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ×ÁÍ É ÒÁÎØ-
ÛÅ, ÔÏÌØËÏ × ÄÒÕÇÏÍ ÏÂÌÉÞØÅ, ËÁË ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÔÏÍ, ÞÔÏ ËÁÔÅÔ,
ÌÅÖÁÝÉÊ ÒÏÔÉ× ÕÇÌÁ 30◦, ÒÁ×ÅÎ ÏÌÏ×ÉÎÅ ÇÉÏÔÅÎÕÚÙ.
A
B
C
M
72◦
72◦
36◦
36◦
36◦
òÉÓ. 3.4.
ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÊ ÒÉÍÅÒ Ñ×ÎÏÇÏ
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÓÉÎÕÓÁ É ËÏÓÉÎÕÓÁ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓ-
ÓÍÏÔÒÉÍ ÒÁ×ÎÏÂÅÄÒÅÎÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC
Ó ÕÇÌÏÍ ÒÉ ÏÓÎÏ×ÁÎÉÉ 72◦
É ÕÇÌÏÍ ÒÉ ×ÅÒÛÉ-
ÎÅ 36◦
(ÒÉÓ 3.4). ðÒÏ×ÅÄÅÍ × ÎÅÍ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÕ
AM ÕÇÌÁ A É ÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ×ÓÅ ÕÇÌÙ. éÚ ÒÉÓÕÎËÁ
×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ ABM É ACM ÒÁ×ÎÏ-
ÂÅÄÒÅÎÎÙÅ É AC = AM = BM. åÓÌÉ AB =
a, ÔÏ AC = 2a
os72◦
, MC = 2AC
os 72◦
=
4a
os2 72◦
; ÔÁË ËÁË AB = BC = MC + BM =
MC + AC, ÏÌÕÞÁÅÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
a = 4a
os2
72◦
+ 2a
os72◦
;
ÏÔËÕÄÁ 4
os2 72◦
+ 2
os 72◦
− 1 = 0. òÅÛÁÑ ÜÔÏ (Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÅ) ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
os 72◦
, ÏÌÕÞÁÅÍ
os 72◦
=
√
5 − 1
4
:
15

43. úÁÄÁÞÁ 3.5. îÁÊÄÉÔÅ
os 36◦
.
úÁÄÁÞÁ 3.6. ÷ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ×ÉÓÁÎ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË. îÁÊÄÉÔÅ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÙ Ë ÒÁÄÉÕÓÕ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ.
íÏÖÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉË ÍÏÖÎÏ ÏÓÔÒÏÉÔØ
Ó ÏÍÏÝØÀ

44. ÉÒËÕÌÑ É ÌÉÎÅÊËÉ × ÔÏÍ É ÔÏÌØËÏ × ÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ
ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÅÇÏ ÓÔÏÒÏÎÙ Ë ÒÁÄÉÕÓÕ ÏÉÓÁÎÎÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÍÏÖÎÏ ×Ù-
ÒÁÚÉÔØ ÞÅÒÅÚ

45. ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÞÅÔÙÒÅÈ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÉÈ ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÊ É ÉÚ×ÌÅÞÅÎÉÑ Ë×ÁÄÒÁÔÎÏÇÏ ËÏÒÎÑ. òÅÛÉ× ÚÁÄÁÞÕ 3.6, ×Ù ÕÂÅÄÉÔÅÓØ,
ÞÔÏ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉË ÉÍÅÎÎÏ ÔÁËÏ×. ÷ 1796 ÇÏÄÕ ë. æ. çÁÕÓÓ
ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ×ÙÑÓÎÉÌ, ËÁËÉÅ ÒÁ×ÉÌØÎÙÅ ÍÎÏÇÏÕÇÏÌØÎÉËÉ ÍÏÖÎÏ Ï-
ÓÔÒÏÉÔØ Ó ÏÍÏÝØÀ

46. ÉÒËÕÌÑ É ÌÉÎÅÊËÉ (ÂÕÄÕÝÅÍÕ ×ÅÌÉËÏÍÕ ÎÅÍÅ

47. ËÏÍÕ
ÍÁÔÅÍÁÔÉËÕ ÂÙÌÏ ÔÏÇÄÁ ×ÓÅÇÏ 19 ÌÅÔ, É ÜÔÏ ÂÙÌÁ ÅÇÏ ÅÒ×ÁÑ ÎÁÕÞÎÁÑ
ÒÁÂÏÔÁ). ÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÏËÁÚÁÌÏÓØ, ÞÔÏ

48. ÉÒËÕÌÅÍ É ÌÉÎÅÊËÏÊ ÍÏÖÎÏ Ï-
ÓÔÒÏÉÔØ ÒÁ×ÉÌØÎÙÊ 17-ÕÇÏÌØÎÉË.
äÌÑ ÒÁËÔÉÞÅÓËÉÈ ÒÉÍÅÎÅÎÉÊ ÎÕÖÎÙ ÎÅ ÓÔÏÌØËÏ ÔÏÞÎÙÅ ÆÏÒ-
ÍÕÌÙ, ÓËÏÌØËÏ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÉÎÕÓÏ× É ËÏÓÉÎÕÓÏ× ËÏÎ-
ËÒÅÔÎÙÈ ÕÇÌÏ×. ÷ ÒÅÖÎÉÅ ×ÒÅÍÅÎÁ ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÓÏÂÉÒÁÌÉÓØ × ÔÁ-
ÂÌÉ

49. Ù ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

50. ÉÊ. ðÒÉÍÅÒ ÔÁËÏÊ ÔÁÂÌÉ

51. Ù ÍÙ
ÒÉ×ÏÄÉÍ ÎÉÖÅ. éÚÌÉÛÎÅ ÏÂßÑÓÎÑÔØ, ÞÔÏ ÔÁÂÌÉ

52. Ù, ÉÓÏÌØÚÏ×Á×-
ÛÉÅÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ, ÄÁ×ÁÌÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË-

53. ÉÊ ÎÅ ÞÅÒÅÚ 5◦, Á Ó ÇÏÒÁÚÄÏ ÂÏÌÅÅ ÍÅÌËÉÍ ÛÁÇÏÍ. ÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ
×ÒÅÍÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÁÂÌÉ

54. Ù ÕÔÒÁÔÉÌÉ ÂÙÌÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ:
ÞÔÏÂÙ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏ ÎÁÊÔÉ ÓÉÎÕÓ ÉÌÉ ËÏÓÉÎÕÓ ÕÇÌÁ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ
ÎÁÖÁÔØ ÎÅÓËÏÌØËÏ ËÌÁ×ÉÛ ÎÁ ÍÉËÒÏËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÅ ÉÌÉ ËÏÍØÀ-
ÔÅÒÅ.
úÁÄÁÞÁ 3.7. îÁÊÄÉÔÅ Ó ÏÍÏÝØÀ ÔÁÂÌÉ

55. Ù 3.1 ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÚÎÁ-
ÞÅÎÉÅ
os 25◦.
§4. íÁÌÙÅ ÕÇÌÙ
÷ ÒÉÎ

56. ÉÅ ÍÏÖÎÏ ÂÙÌÏ ÂÙ ÍÅÒÉÔØ ×ÓÅ ÕÇÌÙ × ÒÁÄÉÁÎÁÈ. îÁ ÒÁË-
ÔÉËÅ ÛÉÒÏËÏ ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ É ÇÒÁÄÕÓÎÏÅ ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ ÕÇÌÏ×, ÈÏÔÑ
Ó ÞÉÓÔÏ ÍÁÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÊ ÔÏÞËÉ ÚÒÅÎÉÑ ÏÎÏ ÎÅÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ. ðÒÉ
ÜÔÏÍ ÄÌÑ ÍÁÌÙÈ ÕÇÌÏ× ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÓÅ

57. ÉÁÌØÎÙÅ ÅÄÉÎÉ

58. Ù: ÕÇÌÏ-
×ÁÑ ÍÉÎÕÔÁ É ÕÇÌÏ×ÁÑ ÓÅËÕÎÄÁ. õÇÌÏ×ÁÑ ÍÉÎÕÔÁ | ÜÔÏ 1=60 ÞÁÓÔØ
16

59. ÁÂÌÉ

60. Á 3.1. úÎÁÞÅÎÉÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

61. ÉÊ (Ó Ä×ÕÍÑ
ÚÎÁËÁÍÉ ÏÓÌÅ ÚÁÑÔÏÊ)
5◦ 10◦ 15◦ 20◦ 25◦ 30◦ 35◦ 40◦
sin 0;09 0;17 0;26 0;34 0;42 0;50 0;57 0;64
tg 0;09 0;18 0;27 0;36 0;47 0;58 0;70 0;84
45◦ 50◦ 55◦ 60◦ 65◦ 70◦ 75◦ 80◦ 85◦
sin 0;71 0;77 0;82 0;87 0;91 0;94 0;97 0;98 0;99
tg 1;00 1;19 1;43 1;73 2;14 2;75 3;73 5;67 11;43
ÇÒÁÄÕÓÁ; ÕÇÌÏ×ÁÑ ÓÅËÕÎÄÁ | ÜÔÏ 1=60 ÞÁÓÔØ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÍÉÎÕÔÙ. åÓ-
ÌÉ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ×ÅÌÉÞÉÎÁ ÕÇÌÁ ÒÁ×ÎÁ 129 ÇÒÁÄÕÓÁÍ, 34 ÍÉÎÕÔÁÍ É 16
ÓÅËÕÎÄÁÍ, ÔÏ ÉÛÕÔ: 129◦34′16′′.
úÁÄÁÞÁ 4.1. îÁ ËÁËÏÊ ÕÇÏÌ Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÚÁ ÏÄÎÕ ÓÅËÕÎÄÕ:
Á) ÞÁÓÏ×ÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ ÞÁÓÏ×;
Â) ÍÉÎÕÔÎÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ ÞÁÓÏ×;
×) ÓÅËÕÎÄÎÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ ÞÁÓÏ×?
òÅÛÅÎÉÅ. òÁÚÂÅÒÅÍ ÔÏÌØËÏ ÕÎËÔ Á). ðÏÌÎÙÊ ÏÂÏÒÏÔ ÞÁÓÏ×ÁÑ
ÓÔÒÅÌËÁ ÄÅÌÁÅÔ ÚÁ 12 ÞÁÓÏ×; ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÚÁ ÞÁÓ ÏÎÁ Ï×ÏÒÁÞÉ×Á-
ÅÔÓÑ ÎÁ 360=12 = 30◦. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÚÁ ÍÉÎÕÔÕ ÞÁÓÏ×ÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ
Ï×ÅÒÎÅÔÓÑ ÎÁ ÕÇÏÌ, × 60 ÒÁÚ ÍÅÎØÛÉÊ, ÞÅÍ ÚÁ ÞÁÓ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÁ
30′; × Ó×ÏÀ ÏÞÅÒÅÄØ, ÚÁ ÓÅËÕÎÄÕ ÓÔÒÅÌËÁ Ï×ÅÒÎÅÔÓÑ ÎÁ ÕÇÏÌ, × 60
ÒÁÚ ÍÅÎØÛÉÊ, ÞÅÍ ÚÁ ÍÉÎÕÔÕ, ÔÏ ÅÓÔØ ÎÁ 30′′. ÅÅÒØ ×Ù ×ÉÄÉÔÅ,
ÎÁÓËÏÌØËÏ ÍÁÌÁ ÕÇÌÏ×ÁÑ ÓÅËÕÎÄÁ: ×ÅÄØ ÄÁÖÅ ÕÇÏÌ, × ÔÒÉÄ

62. ÁÔØ ÒÁÚ
ÂÏÌØÛÉÊ (Ï×ÏÒÏÔ ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ÚÁ ÓÅËÕÎÄÕ ×ÒÅÍÅÎÉ) ÍÙ ÎÅ
× ÓÏÓÔÏÑÎÉÉ ÚÁÍÅÔÉÔØ.
ðÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ Ï ÕÇÌÏ×ÏÊ ÍÉÎÕÔÅ ÄÁÅÔ ÔÁËÏÊ ÆÁËÔ: €ÒÁÚÒÅ-
ÛÁÀÝÁÑ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔ؁ ÞÅÌÏ×ÅÞÅÓËÏÇÏ ÇÌÁÚÁ (ÒÉ ÓÔÏÒÏ

63. ÅÎÔÎÏÍ
ÚÒÅÎÉÉ É ÈÏÒÏÛÅÍ ÏÓ×ÅÝÅÎÉÉ) ÒÁ×ÎÁ ÒÉÍÅÒÎÏ ÏÄÎÏÊ ÕÇÌÏ×ÏÊ ÍÉ-
ÎÕÔÅ. üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ Ä×Å ÔÏÞËÉ, ËÏÔÏÒÙÅ ×ÉÄÎÙ ÏÄ ÕÇÌÏÍ 1′
ÉÌÉ ÍÅÎØÛÅ, ÎÁ ÇÌÁÚ ×ÏÓÒÉÎÉÍÁÀÔÓÑ ËÁË ÏÄÎÁ.
17

64. 1′
òÉÓ. 4.1. òÁÚÒÅÛÁÀÝÁÑ ÓÏÓÏÂÎÏÓÔØ.
A
B
C D
E
òÉÓ. 4.2. íÁÌÙÅ ÕÇÌÙ.
ðÏÓÍÏÔÒÉÍ, ÞÔÏ ÍÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ Ï ÓÉÎÕÓÅ, ËÏÓÉÎÕÓÅ É ÔÁÎÇÅÎÓÅ
ÍÁÌÙÈ ÕÇÌÏ×. åÓÌÉ ÎÁ ÒÉÓ. 4.2 ÕÇÏÌ ÍÁÌ, ÔÏ ×ÙÓÏÔÁ BC, ÄÕÇÁ BD
É ÏÔÒÅÚÏË BE, ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒÎÙÊ AB, ÏÞÅÎØ ÂÌÉÚËÉ. éÈ ÄÌÉÎÙ |
ÜÔÏ sin, ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ É tg . óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ÍÁÌÙÈ ÕÇÌÏ×
ÓÉÎÕÓ, ÔÁÎÇÅÎÓ É ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÙ ÄÒÕÇ ÄÒÕÇÕ:
åÓÌÉ | ÍÁÌÙÊ ÕÇÏÌ, ÉÚÍÅÒÅÎÎÙÊ × ÒÁÄÉÁÎÁÈ, ÔÏ sin ≈ ;
tg ≈ .
úÁÄÁÞÁ 4.2. úÁÉÛÉÔÅ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÓÉÎÕÓÁ É ÔÁÎ-
ÇÅÎÓÁ ÍÁÌÙÈ ÕÇÌÏ×, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ ÕÇÏÌ ÉÚÍÅÒÑÅÔÓÑ × ÇÒÁÄÕÓÁÈ.
ïÔ×ÅÔ. sin◦ ≈ =180.
÷ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÙ ÓÌÏÖÎÅÅ, ÞÅÍ ÄÌÑ ÒÁÄÉÁÎÎÏÊ ÍÅÒÙ | ÅÝÅ
ÏÄÉÎ ÄÏ×ÏÄ × ÅÅ ÏÌØÚÕ!
úÁÄÁÞÁ 4.3. ðÏÄ ËÁËÉÍ ÕÇÌÏÍ ×ÉÄÎÏ ÄÅÒÅ×Ï ×ÙÓÏÔÏÊ 10 ÍÅÔÒÏ×
Ó ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ × 800 ÍÅÔÒÏ×? äÁÊÔÅ ÏÔ×ÅÔ: Á) × ÒÁÄÉÁÎÁÈ; Â) × ÕÇÌÏ-
×ÙÈ ÍÉÎÕÔÁÈ.
18

65. úÁÄÁÞÁ 4.4. þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, ÒÁ×ÎÏÅ ÏÄÎÏÊ ÍÉÎÕÔÅ ÄÕÇÉ
ÚÅÍÎÏÇÏ ÍÅÒÉÄÉÁÎÁ? òÁÄÉÕÓ úÅÍÌÉ ÒÁ×ÅÎ ÒÉÍÅÒÎÏ 6370 ËÍ.
òÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÉÄÅÔ ÒÅÞØ × ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÒÉÍÅÒÎÏ ÒÁ×-
ÎÏ ÍÏÒÓËÏÊ ÍÉÌÅ (ÉÍÅÎÎÏ ÔÁË É ÏÑ×ÉÌÁÓØ ÜÔÁ ÍÅÒÁ ÄÌÉÎÙ).
1′′
òÉÓ. 4.3. ðÁÒÓÅË.
úÁÄÁÞÁ 4.5. ÷ ÁÓÔÒÏÎÏÍÉÉ ÒÉÍÅÎÑÅÔÓÑ ÅÄÉÎÉ

66. Á ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ ÒÁÓ-
ÓÔÏÑÎÉÊ, ÎÁÚÙ×ÁÅÍÁÑ ÁÒÓÅË. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ × 1
ÁÒÓÅË | ÜÔÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ, Ó ËÏÔÏÒÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓ ÚÅÍÎÏÊ ÏÒÂÉÔÙ1
×É-
ÄÅÎ ÏÄ ÕÇÌÏÍ 1′′ (ÒÉÓ. 4.3). óËÏÌØËÏ ËÉÌÏÍÅÔÒÏ× × ÏÄÎÏÍ ÁÒÓÅËÅ?
(òÁÄÉÕÓ ÚÅÍÎÏÊ ÏÒÂÉÔÙ ÒÁ×ÅÎ ÒÉÍÅÒÎÏ 150 ÍÉÌÌÉÏÎÁÍ ËÉÌÏÍÅ-
ÔÒÏ×.)
÷
ò
õ
òÉÓ. 4.4. æÏÒÍÕÌÁ ÔÙÓÑÞÎÙÈ.
úÁÄÁÞÁ 4.6. ÷ÏÅÎÎÙÅ ÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÅÄÉÎÉ

67. ÅÊ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ ÕÇÌÏ×, ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÍÏÊ €ÔÙÓÑÞÎÁс. ðÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, ÔÙÓÑÞÎÁÑ | ÜÔÏ 1=3000
ÒÁÚ×ÅÒÎÕÔÏÇÏ ÕÇÌÁ. ÁËÏÅ ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ ÕÇÌÏ× ×ÏÅÎÎÙÅ ÒÉÍÅÎÑÀÔ
1
áÓÔÒÏÎÏÍÙ ÏÒÁ×ÉÌÉ ÂÙ ÎÁÓ: ÎÅ ÒÁÄÉÕÓ (ÏÒÂÉÔÁ úÅÍÌÉ | ÎÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ,
Á ÜÌÌÉÓ), Á ÂÏÌØÛÁÑ ÏÌÕÏÓØ (ÏÌÏ×ÉÎÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÍÅÖÄÕ ÎÁÉÂÏÌÅÅ ÕÄÁÌÅÎ-
ÎÙÍÉ ÄÒÕÇ ÏÔ ÄÒÕÇÁ ÔÏÞËÁÍÉ ÏÒÂÉÔÙ).
19

68. × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÅ ÄÌÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÄÏ ÕÄÁÌÅÎÎÙÈ
ÒÅÄÍÅÔÏ×: ò = (÷=õ)·1000. úÄÅÓØ ò | ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÄÏ ÒÅÄÍÅÔÁ,
÷ | ÅÇÏ ×ÙÓÏÔÁ, õ | ÕÇÏÌ, ÏÄ ËÏÔÏÒÙÍ ÏÎ ×ÉÄÅÎ, ÉÚÍÅÒÅÎÎÙÊ
× ÔÙÓÑÞÎÙÈ (ÒÉÓ. 4.4). ÏÞÎÁ ÌÉ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ? ðÏÞÅÍÕ ÅÊ ÍÏÖ-
ÎÏ ÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÎÁ ÒÁËÔÉËÅ? þÅÍÕ ÒÁ×ÎÏ ÞÉÓÌÏ , Ï ÍÎÅÎÉÀ
×ÏÅÎÎÙÈ?
íÙ ×ÉÄÉÍ, ÞÔÏ ÆÏÒÍÕÌÙ sin ≈ , tg ≈ ×ÅÒÎÙ Ó ÈÏ-
ÒÏÛÅÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÌÑ ÍÁÌÙÈ ÕÇÌÏ×. ðÏÓÍÏÔÒÉÍ, ÞÔÏ ÒÏÉÚÏÊ-
ÄÅÔ, ÅÓÌÉ ÕÇÏÌ ÎÅ ÓÔÏÌØ ÍÁÌ. äÌÑ ÕÇÌÁ × 30◦ ÔÏÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
ÓÉÎÕÓÁ ÒÁ×ÎÏ 0;5, Á ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÒÁ×ÎÁ =6 ≈ 0;52. ïÛÉÂ-
ËÁ (ÉÌÉ, ËÁË ÅÝÅ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØ), ËÏÔÏÒÕÀ ÄÁÅÔ ÆÏÒÍÕÌÁ
sin ≈ , ÒÁ×ÎÁ ÒÉÍÅÒÎÏ 0;02, ÞÔÏ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ 4% ÏÔ ÚÎÁÞÅ-
ÎÉÑ ÓÉÎÕÓÁ. íÏÖÎÏ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØ ÒÉ
ÔÁËÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ (ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔÉ Ë ÚÎÁÞÅÎÉÀ ÓÉÎÕÓÁ)
ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ 4%. äÌÑ ÕÇÌÏ×, ÍÅÎØÛÉÈ 10◦, ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÇÒÅÛ-
ÎÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ sin ≈ ÍÅÎØÛÅ ÏÄÎÏÇÏ ÒÏ

69. ÅÎÔÁ. þÅÍ ÍÅÎØ-
ÛÅ ÕÇÏÌ , ÔÅÍ ÍÅÎØÛÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ
sin ≈ .
óÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ É ÄÒÕÇÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÉÅ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÓÉ-
ÎÕÓÙ É ÔÁÎÇÅÎÓÙ | É ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÍÁÌÙÈ ÕÇÌÏ× | Ó ÈÏÒÏÛÅÊ ÔÏÞ-
ÎÏÓÔØÀ. îÁÒÉÍÅÒ, ÆÏÒÍÕÌÁ sin ≈ − 3
=6 (ÎÁÏÍÉÎÁÅÍ, ÞÔÏ
ÉÚÍÅÒÑÅÔÓÑ × ÒÁÄÉÁÎÁÈ!) ÄÁÅÔ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÕÀ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØ ÍÅ-
ÎÅÅ 1% ÕÖÅ ÄÌÑ ×ÓÅÈ ÕÇÌÏ×, ÎÅ ÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÝÉÈ 50◦. ðÏÚÄÎÅÅ ÍÙ
Õ×ÉÄÉÍ, ËÁË Ï

70. ÅÎÉÔØ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØ ÎÁÛÉÈ ÆÏÒÍÕÌ.
úÁÄÁÞÁ 4.7. ðÕÓÔØ | ÏÓÔÒÙÊ ÕÇÏÌ, ÉÚÍÅÒÅÎÎÙÊ × ÒÁÄÉÁÎÁÈ. äÏ-
ËÁÖÉÔÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
os 1 − 2
.
õËÁÚÁÎÉÅ. ÷ÏÓÏÌØÚÕÊÔÅÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
os =
p
1 − sin2
, ÎÅÒÁ-
×ÅÎÓÔ×ÏÍ sin É ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
√
t t (ÄÌÑ 0 t 1).
úÁÄÁÞÁ 4.8. äÌÑ ËÏÓÉÎÕÓÏ× ÍÁÌÙÈ ÕÇÌÏ× × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÂÌÉÖÅÎ-
ÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÂÒÁÔØ 1. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÒÉ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÕÇÌÁ
ÍÅÎÅÅ 5◦ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÁÑ ÏÇÒÅÛÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ ÒÉÂÌÉÖÅÎÉÑ ÂÕÄÅÔ
ÍÅÎÅÅ 1%.
20

71. çÌÁ×Á 2
îÁÞÁÌØÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á
ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ
ÆÕÎË

72. ÉÊ
§5. þÁÓÙ, ÉÌÉ ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÊ ×ÚÇÌÑÄ ÎÁ
ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÀ
5.1. þÁÓÙ É ÒÏ

73. ÅÓÓÙ
äÏ ÓÉÈ ÏÒ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÑ ÂÙÌÁ ÄÌÑ ÎÁÓ ÎÁÕËÏÊ Ï ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑÈ
ÓÔÏÒÏÎ × ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÈ. éÍÅÎÎÏ Ó ÜÔÏÇÏ ÒÁÚ×ÉÔÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅ-
ÔÒÉÉ É ÎÁÞÉÎÁÌÏÓØ (ÓÌÏ×Ï €ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉс ÏÚÎÁÞÁÅÔ × ÅÒÅ×Ï-
ÄÅ Ó ÄÒÅ×ÎÅÇÒÅÞÅÓËÏÇÏ €ÉÚÍÅÒÅÎÉÅ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏׁ). ðÏÚÄÎÅÅ, ÏÄ-
ÎÁËÏ, ÁË

74. ÅÎÔÙ ÓÍÅÓÔÉÌÉÓØ, É ÓÅÊÞÁÓ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÀ ÒÁ×ÉÌØÎÅÅ
ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÎÁÕËÕ ÎÅ Ï ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁÈ, Á Ï ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ
ÒÏ

75. ÅÓÓÁÈ. þÔÏÂÙ ÏÎÑÔØ, ÒÉ ÞÅÍ ÔÕÔ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÒÏ

76. ÅÓÓÙ,
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÏÓÔÅÊÛÉÊ ÉÚ ÎÉÈ | Ä×ÉÖÅÎÉÅ ÓÔÒÅÌÏË ÞÁÓÏ×.
úÁÄÁÞÁ 5.1. ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÓÔÒÅÌËÉ ÞÁÓÏ× ÉÍÅÀÔ ÄÌÉÎÕ
1 ÓÍ (×ÉÄÉÍÏ, ÜÔÏ ÖÅÎÓËÉÅ ÎÁÒÕÞÎÙÅ ÞÁÓÉËÉ). ëÁËÏÊ ÕÔØ ÒÏÈÏ-
ÄÉÔ ÚÁ ÓÕÔËÉ: Á) ÓÅËÕÎÄÎÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ; Â) ÍÉÎÕÔÎÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ; ×) ÞÁ-
ÓÏ×ÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ? (íÙ ÉÍÅÅÍ × ×ÉÄÕ, ËÏÎÅÞÎÏ, ÕÔØ, ÒÏÈÏÄÉÍÙÊ
ËÏÎ

77. ÏÍ ÓÔÒÅÌËÉ.)
21

78. 0
1
2
3
ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ ÈÏÄÁ
òÉÓ. 5.1. þÁÓÙ ÆÉÒÍÙ €ÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉс. äÌÉÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÉÚ ÔÒÅÈ
ÄÕÇ ÒÁ×ÎÁ 1.
úÁÄÁÞÁ 5.2. óÅËÕÎÄÎÁÑ ÓÔÒÅÌËÁ ÞÁÓÏ× ÉÍÅÅÔ ÄÌÉÎÕ 1 ÓÍ. þÁÓÙ
ÚÁ×ÅÌÉ × 12 ÞÁÓÏ× ÄÎÑ 1 ÑÎ×ÁÒÑ. ÷ ËÏÔÏÒÏÍ ÞÁÓÕ É ËÁËÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
ÕÔØ, ÒÏÊÄÅÎÎÙÊ ËÏÎ

79. ÏÍ ÓÅËÕÎÄÎÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, ÓÏÓÔÁ×ÉÔ 1 ËÍ? ó
ËÁËÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÎÁÄÏ ÚÎÁÔØ ÒÏÊÄÅÎÎÙÊ ÓÔÒÅÌËÏÊ ÕÔØ, ÞÔÏÂÙ
ÉÍÅÔØ ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔØ ÏÔ×ÅÔÉÔØ ÎÁ ×ÏÒÏÓ Ï ÄÁÔÅ?
þÁÓÙ ÎÁÍ ÅÝÅ ÓÏÓÌÕÖÁÔ ÄÏÂÒÕÀ ÓÌÕÖÂÕ, ÎÏ ÞÔÏÂÙ ÎÅ ×ÈÏÄÉÔØ
× ÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÅ Ó ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÏÊ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÅÊ É ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÍÉ,
ÎÁÍ ÎÕÖÎÙ ÞÁÓÙ ÎÅ ÓÏ×ÓÅÍ ÏÂÙÞÎÙÅ. îÁÛÉ €ÞÁÓÙ ÄÌÑ ÌÀÂÉÔÅ-
ÌÅÊ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉɁ (ÒÉÓ. 5.1) ÉÍÅÀÔ ×ÓÅÇÏ ÏÄÎÕ ÓÔÒÅÌËÕ. üÔÁ
ÓÔÒÅÌËÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ × ÏÂÒÁÔÎÏÍ (Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÏÂÙÞÎÙÍÉ ÞÁÓÁÍÉ)
ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ. ÷ ÍÏÍÅÎÔ ÕÓËÁ ÞÁÓÏ× ÓÔÒÅÌËÁ ÕËÁÚÙ×ÁÅÔ ×ÒÁ×Ï
(ÔÕÄÁ, ÇÄÅ ÎÁ ÏÂÙÞÎÙÈ ÞÁÓÁÈ ÎÁÉÓÁÎÁ

80. ÉÆÒÁ 3). úÁ ÞÁÓ ÓÔÒÅÌËÁ
Ï×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ 1 ÒÁÄÉÁÎ.
âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÄÌÉÎÁ ÓÔÒÅÌËÉ ÒÁ×ÎÁ 1. ÏÇÄÁ, ÓÏÇÌÁÓ-
ÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÒÁÄÉÁÎÎÏÊ ÍÅÒÙ ÕÇÌÁ, ÄÌÉÎÁ ÄÕÇÉ, ÏÉÓÙ×ÁÅÍÏÊ
ËÏÎ

81. ÏÍ ÓÔÒÅÌËÉ ÚÁ ÞÁÓ, ÒÁ×ÎÁ 1, ÚÁ Ä×Á ÞÁÓÁ | 2 É Ô. Ä.
ïÂßÑÓÎÉÍ ÔÅÅÒØ, ËÁËÏÅ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÜÔÉ ÞÁÓÙ ÉÍÅÀÔ Ë ÓÉÎÕÓÁÍ
É ËÏÓÉÎÕÓÁÍ. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÒÁÓÏÌÏ-
ÖÅÎÎÕÀ, ËÁË ÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓ. 5.2Á.
ëÁËÏ×Ù ÂÕÄÕÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÎ

82. Á ÓÔÒÅÌËÉ × ÍÏÍÅÎÔ t (ÞÅÒÅÚ
t ÞÁÓÏ× ÏÓÌÅ ÚÁÕÓËÁ)? éÚ ÒÉÓ. 5.2 ÑÓÎÏ, ÞÔÏ, ÏËÁ ÓÔÒÅÌËÁ ÎÅ
ÕÓÅÌÁ ×ÙÊÔÉ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÅÒ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ, ÅÅ ËÏ-
22

83. 0
1
2
3
A
M
P
sin t
os t
1
Á) Â)
òÉÓ. 5.2. þÁÓÙ É ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÑ.
ÏÒÄÉÎÁÔÙ ÂÕÄÕÔ (
os t; sin t) (ÉÍÅÀÔÓÑ × ×ÉÄÕ ËÏÓÉÎÕÓ É ÓÉÎÕÓ ÕÇÌÁ
× t ÒÁÄÉÁÎ). ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÉÚ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÏÇÏ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ MAP
×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ
os ∠MAP = AP, sin ∠MAP = MP, Á ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ
ÕÇÌÁ ∠MAP ÒÁ×ÎÁ t.
ðÕÓÔØ ÔÅÅÒØ ÓÔÒÅÌËÁ ×ÙÛÌÁ ÚÁ ÒÅÄÅÌÙ ÅÒ×ÏÊ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÏÊ
ÞÅÔ×ÅÒÔÉ (ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÒÏÊÄÅÎÎÙÊ ÅÊ ÕÔØ t ÒÅ×ÙÓÉÌ =2).
æÏÒÍÁÌØÎÏ ÍÙ ÎÅ ÍÏÖÅÍ ÓËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ËÏÎ

84. Á ÓÔÒÅÌËÉ
ÒÁ×ÎÙ (
os t; sin t), ÔÁË ËÁË t ÂÏÌØÛÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÁÄÉÁÎÎÏÊ ÍÅÒÏÊ
ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ, Á ÓÉÎÕÓ É ËÏÓÉÎÕÓ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÏÓÔÒÙÈ
ÕÇÌÏ×. ïÄÎÁËÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÏÂÏÂÝÉÔØ ÎÁÛÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ. íÏÖÎÏ
ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ËÏÓÉÎÕÓ ÞÉÓÌÁ t ËÁË ÁÂÓ

85. ÉÓÓÕ ËÏÎ

86. Á ÓÔÒÅÌËÉ × ÔÏÔ
ÍÏÍÅÎÔ, ËÏÇÄÁ ÒÏÊÄÅÎÎÏÅ ÜÔÉÍ ËÏÎ

87. ÏÍ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ ÓÏÓÔÁ×ÉÔ t.
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÓÉÎÕÓ t ÏÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÏÒÄÉÎÁÔÁ ËÏÎ

88. Á ÓÔÒÅÌËÉ
× ÔÏÔ ÖÅ ÍÏÍÅÎÔ. ëÁË ÍÙ ×ÉÄÅÌÉ, × ÔÅÈ ÓÌÕÞÁÑÈ, ËÏÇÄÁ t Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÒÁÄÉÁÎÎÏÊ ÍÅÒÏÊ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ, ÎÏ×ÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÏÇÌÁÓÕÀÔÓÑ
Ó ÒÅÖÎÉÍÉ.
úÁÄÁÞÁ 5.3. ëÁË ÂÙ ×Ù ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÓÉÎÕÓ É ËÏÓÉÎÕÓ ÏÔÒÉ

89. ÁÔÅÌØ-
ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ t?
úÁÄÁÞÁ 5.4. îÁÊÄÉÔÅ:
Á)
os(=2) É sin(=2); Â)
os É sin;
×)
os(3=2) É sin(3=2); Ç)
os(5=2) É sin(5=2).
23

90. ÷ ÓÌÅÄÕÀÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÄÁÄÉÍ ÂÏÌÅÅ ÆÏÒÍÁÌØÎÙÅ ÏÒÅ-
ÄÅÌÅÎÉÑ ÓÉÎÕÓÁ É ËÏÓÉÎÕÓÁ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ É ÎÁÞÎÅÍ ÓÉ-
ÓÔÅÍÁÔÉÞÅÓËÏÅ ÉÚÕÞÅÎÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ. îÏ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ×ÁÖÎÙÅ
Ó×ÏÊÓÔ×Á ÓÉÎÕÓÁ É ËÏÓÉÎÕÓÁ ÍÏÖÎÏ Õ×ÉÄÅÔØ ÕÖÅ ÓÅÊÞÁÓ.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÚÁ ×ÒÅÍÑ 2 ÓÔÒÅÌËÁ ÎÁÛÉÈ ÞÁÓÏ× ÄÅÌÁÅÔ ÏÌÎÙÊ
ËÒÕÇ É ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÎÁ ÒÅÖÎÅÍ ÍÅÓÔÅ. ðÏÜÔÏÍÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÅÅ
ËÏÎ

91. Á × ÍÏÍÅÎÔÙ t É t + 2 ÏÄÉÎÁËÏ×Ù. äÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ:
os(t + 2) =
os t;
sin(t + 2) = sint:
ëÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÆÕÎË

92. ÉÉ ÓÉÎÕÓ É ËÏÓÉÎÕÓ ÉÍÅÀÔ ÅÒÉÏÄ 2.
úÁÄÁÞÁ 5.5. ëÁË ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÓÔÒÅÌËÉ ÚÁ ×ÒÅÍÑ ? þÅÍÕ
ÒÁ×ÎÙ
os(t + ) É sin(t + )?
5.2. óËÏÒÏÓÔØ
ðÏÓÍÏÔÒÉÍ ÔÅÅÒØ, ËÁË ÉÚÍÅÎÑÀÔÓÑ
os t É sin t ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ t.
óÄÅÌÁÅÍ ÜÔÏ ÄÌÑ ËÏÓÉÎÕÓÁ (ÓÉÔÕÁ

93. ÉÑ Ó ÓÉÎÕÓÏÍ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÁ).
óÔÒÅÌËÁ ÞÁÓÏ× ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ ×ÒÁÝÁÅÔÓÑ, ÒÉ ÜÔÏÍ × ÔÏÔ ÍÏÍÅÎÔ,
ËÏÇÄÁ ËÏÎÅ

94. ÓÔÒÅÌËÉ ÒÏÛÅÌ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ t, ÒÏÅË

95. ÉÑ ÜÔÏÇÏ ËÏÎ

96. Á
ÎÁ ÏÓØ ÁÂÓ

97. ÉÓÓ ÏÔÍÅÞÁÅÔ ÞÉÓÌÏ
os t (ÒÉÓ. 5.3Á). ÷ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÁ
ÒÏÅË

98. ÉÑ ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ ËÏÌÅÂÁÎÉÑ ÏÔ 1 ÄÏ −1 É ÏÂÒÁÔÎÏ. äÁÌÅÅ, Ä×É-
ÖÅÎÉÅ ËÏÎ

99. Á ÓÔÒÅÌËÉ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÏ, ÎÏ Ä×ÉÖÅÎÉÅ
ÅÇÏ ÒÏÅË

100. ÉÉ ÒÁ×ÎÏÍÅÒÎÙÍ ÕÖÅ ÎÅ ÂÕÄÅÔ. þÔÏÂÙ ÜÔÏ Õ×ÉÄÅÔØ,
ÎÁÎÅÓÅÍ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÏÌÏÖÅÎÉÑ ËÏÎ

101. Á ÓÔÒÅÌËÉ ÞÅÒÅÚ ÒÁ×ÎÙÅ
ÒÏÍÅÖÕÔËÉ ×ÒÅÍÅÎÉ, Á ÎÁ ÏÓØ ÁÂÓ

102. ÉÓÓ | ÉÈ ÒÏÅË

103. ÉÉ (ÒÉÓ. 5.3Â).
èÏÒÏÛÏ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ×ÂÌÉÚÉ ËÏÎ

104. Ï× ÏÔÒÅÚËÁ [−1; 1℄ ÔÏÞËÉ ÉÄÕÔ ÇÕ-
ÝÅ, ÞÅÍ × ÅÇÏ ÓÅÒÅÄÉÎÅ. ïÄÎÁËÏ ÏÔÍÅÞÅÎÎÙÅ ÔÏÞËÉ | ÎÅ ÞÔÏ ÉÎÏÅ,
ËÁË ÒÏÅË

105. ÉÉ ËÏÎ

106. Á ÓÔÒÅÌËÉ ÞÅÒÅÚ ÒÁ×ÎÙÅ ÒÏÍÅÖÕÔËÉ ×ÒÅÍÅ-
ÎÉ. óÔÁÌÏ ÂÙÔØ, × ÓÅÒÅÄÉÎÅ ÏÔÒÅÚËÁ [−1; 1℄ ÎÁÛÁ ÔÏÞËÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ
ÂÙÓÔÒÅÅ, ÞÅÍ Õ ÅÇÏ ËÒÁÅ×. üÔÏ É ÏÎÑÔÎÏ: × Ó×ÏÉÈ ËÏÌÅÂÁÎÉÑÈ Ï
ÏÔÒÅÚËÕ ÎÁÛÁ ÔÏÞËÁ × ËÏÎ

107. ÁÈ ÒÁÚ×ÏÒÁÞÉ×ÁÅÔÓÑ, Á ÞÔÏÂÙ ÒÁÚ×ÅÒ-
ÎÕÔØÓÑ, ÎÁÄÏ ÓÎÁÞÁÌÁ ÚÁÔÏÒÍÏÚÉÔØ.
úÁÄÁÞÁ 5.6. Á) åÓÌÉ ÄÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ

108. ÅÌÏÇÏ n ÎÁÊÔÉ ÞÉÓÌÏ sin(n=30),
ÓËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÏÌÕÞÉÔÓÑ?
24

109. os t
t
1
−1
Á) Â)
òÉÓ. 5.3. ëÁË ÍÅÎÑÅÔÓÑ ËÏÓÉÎÕÓ.
Â*) ëÁËÉÍ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÞÉÓÌÏ a, ÞÔÏÂÙ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ ×ÉÄÁ
os(na), ÇÄÅ n ÒÏÂÅÇÁÅÔ ×ÓÅ

110. ÅÌÙÅ ÞÉÓÌÁ, ÂÙÌÏ ËÏÎÅÞÎÏ?
×**) óÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉ ÔÁËÏÅ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n, ÞÔÏ |
os n|
1=1000?
äÁ×ÁÊÔÅ ÏÄÓÞÉÔÁÅÍ ÏÔÏÞÎÅÅ, Ó ËÁËÏÊ ÓËÏÒÏÓÔØÀ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÒÏÅË-

111. ÉÑ ËÏÎ

112. Á ÓÔÒÅÌËÉ. âÕÄÅÍ ÏÑÔØ-ÔÁËÉ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÒÏÅË

113. ÉÀ ÎÁ ÇÏ-
ÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÕÀ ÏÓØ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ËÏÓÉÎÕÓÕ. íÙ ÓÞÉÔÁÌÉ, ÞÔÏ ÓÔÒÅÌ-
ËÁ Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 1 ÒÁÄ/ÞÁÓ É ÉÍÅÅÔ ÄÌÉÎÕ 1, ÔÁË ÞÔÏ ÅÅ ËÏÎÅ

114. Ä×ÉÖÅÔÓÑ ÓÏ ÓËÏÒÏÓÔØÀ 1. ðÕÓÔØ × ÄÁÎÎÙÊ ÍÏÍÅÎÔ ÓÔÒÅÌËÁ Ï×ÅÒÎÕÔÁ ÎÁ
ÕÇÏÌ t (ÒÉÓ. 5.4) þÅÒÅÚ ÍÁÌÅÎØËÏÅ ×ÒÅÍÑ ËÏÎÅ

115. ÓÔÒÅÌËÉ ÅÒÅÍÅÓÔÉÔÓÑ
ÉÚ ÔÏÞËÉ A × ÔÏÞËÕ B, Á ÅÇÏ ÒÏÅË

116. ÉÑ | ÉÚ ÔÏÞËÉ M × ÔÏÞËÕ N. îÁÊÄÅÍ
ÏÔÒÅÚÏË MN. äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÕÇÏÌ CAB ÍÏÖÎÏ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏ
ÓÞÉÔÁÔØ ÒÑÍÙÍ, ÔÁË ËÁË ÈÏÒÄÁ AB ÍÁÌÁ. ðÏÜÔÏÍÕ
∠BAK ≈ =2 − ∠CAK = =2 − t
(ÕÇÌÙ ÉÚÍÅÒÑÀÔÓÑ × ÒÁÄÉÁÎÁÈ). óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
MN ≈ AB
os(=2 − t) = AB · sin t:
äÁÌÅÅ, ÔÁË ËÁË ÈÏÒÄÁ AB ÍÁÌÁ, ÅÅ ÄÌÉÎÁ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏ ÒÁ×ÎÁ ÄÌÉÎÅ ÄÕ-
ÇÉ AB, ÔÏ ÅÓÔØ . óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, MN ≈ · sin t, É ÓÒÅÄÎÑÑ ÓËÏÒÏÓÔØ
ÒÏÅË

117. ÉÉ ËÏÎ

118. Á ÓÔÒÅÌËÉ ÎÁ ÕÞÁÓÔËÅ ÏÔ M ÄÏ N ÒÉÂÌÉÚÉÔÅÌØÎÏ ÒÁ×ÎÁ
MN= = sin t. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ ÞÅÍ ÍÅÎØÛÅ , ÔÅÍ ÍÅÎØÛÅ ÏÛÉÂËÉ ÎÁ-
ÛÉÈ ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ É ÔÅÍ ÂÌÉÖÅ ÓÒÅÄÎÑÑ ÓËÏÒÏÓÔØ Ë sin t.
25

119. A
K
B
C M
N
t
òÉÓ. 5.4.
ëÁË ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÍÇÎÏ×ÅÎÎÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÒÏÅË

120. ÉÉ ËÏÎ

121. Á ÓÔÒÅÌËÉ × ÔÏÔ ÍÏ-
ÍÅÎÔ, ËÏÇÄÁ ÓÔÒÅÌËÁ ÒÏÛÌÁ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ t, ÒÁ×ÎÁ sin t. ÏÞÎÅÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÜÔÁ
ÍÇÎÏ×ÅÎÎÁÑ ÓËÏÒÏÓÔØ ÒÁ×ÎÁ − sin t, ÔÁË ËÁË ÒÉ ×ÏÚÒÁÓÔÁÎÉÉ ÒÏÊÄÅÎ-
ÎÏÇÏ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÑ ÏÔ t ÄÏ t+ ÒÏÅË

122. ÉÑ ËÏÎ

123. Á ÓÔÒÅÌËÉ Ä×ÉÖÅÔÓÑ Ï ÏÓÉ
ÁÂÓ

124. ÉÓÓ × €ÏÔÒÉ

125. ÁÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉɁ (ÏÔ Â
ÏÌØÛÉÈ ÞÉÓÅÌ Ë ÍÅÎØÛÉÍ).
çÏ×ÏÒÑ Ï-ÕÞÅÎÏÍÕ, ÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÔ ÆÕÎË

126. ÉÉ y =
os t | ÜÔÏ ÆÕÎË

127. ÉÑ
y = − sin t.
§6. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

128. ÉÊ
÷ ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÍÙ ÁËËÕÒÁÔÎÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÒÉ-
ÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

129. ÉÊ.
äÌÑ ÜÔÏÇÏ ××ÅÄÅÍ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÕÀ ÓÉÓÔÅÍÕ ËÏÏÒ-
ÄÉÎÁÔ É ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÒÁÄÉÕÓÁ 1 Ó

130. ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ
ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (ÒÉÓ. 6.1Á).
ÁËÏÊ ÞÅÒÔÅÖ ÒÉÎÑÔÏ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ËÒÕ-
ÇÏÍ (ÉÌÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØÀ). ÏÞËÕ Ó ËÏÏÒÄÉ-
ÎÁÔÁÍÉ (1; 0), ÌÅÖÁÝÕÀ ÎÁ ÜÔÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÂÕÄÅÍ ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÎÁ-
ÞÁÌÏÍ ÏÔÓÞÅÔÁ ÉÌÉ ÔÏÞËÏÊ ÎÏÌØ (ÎÅ ÕÔÁÊÔÅ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ ËÏÏÒ-
ÄÉÎÁÔ!). îÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ Ä×ÉÖÅÎÉÑ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ ÂÕÄÅÍ
ÎÁÚÙ×ÁÔØ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ (ÒÉÓ. 6.1Â).
ÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÓÌÕÖÉÔ ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ÎÁ-
26

131. ÎÏÓÉÔØ ÎÁ ÎÅÅ ÞÉÓÌÁ. üÔÏ ÄÅÌÁÅÔÓÑ ÔÁË. ðÕÓÔØ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ t.
îÁÞÁ× Ó ÎÁÞÁÌÁ ÏÔÓÞÅÔÁ, ÒÏÊÄÅÍ Ï ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖ-
ÎÏÓÔÉ ÕÔØ ÄÌÉÎÏÊ |t|: ÅÓÌÉ t 0 | × ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅ-
ÎÉÉ, ÅÓÌÉ t 0 | × ÏÔÒÉ

132. ÁÔÅÌØÎÏÍ (×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÎÁÍ ÒÉÄÅÔÓÑ ÒÉ
ÜÔÏÍ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÒÁÚ ÒÏÊÔÉ Ï ÏÄÎÏÍÕ É ÔÏÍÕ ÖÅ ÍÅÓÔÕ). ÏÞËÁ,
× ËÏÔÏÒÏÊ ÍÙ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÌÉÓØ, É ÅÓÔØ ÔÏÞËÁ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÞÉÓÌÕ t.
ðÏ-ÄÒÕÇÏÍÕ ÔÏÞËÕ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÞÉÓÌÕ t,
ÍÏÖÎÏ ÓÅÂÅ ÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË ×ÔÏÒÏÊ ËÏÎÅ

133. ÎÁÍÏÔÁÎÎÏÊ ÎÁ ÏËÒÕÖ-
ÎÏÓÔØ ÎÅÒÁÓÔÑÖÉÍÏÊ ÎÉÔÉ ÄÌÉÎÙ |t|, ÏÄÉÎ ËÏÎÅ

134. ËÏÔÏÒÏÊ ÚÁËÒÅ-
ÌÅÎ × ÎÁÞÁÌÅ ÏÔÓÞÅÔÁ, ÉÌÉ ËÁË ÏÌÏÖÅÎÉÅ ÓÔÒÅÌËÉ ÞÁÓÏ×, Ï ËÏÔÏ-
ÒÙÈ ÍÙ ÇÏ×ÏÒÉÌÉ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ, × ÍÏÍÅÎÔ t.
îÁ ÒÉÓ. 6.2 ÏÔÍÅÞÅÎÏ, ËÁËÁÑ ÔÏÞËÁ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÕ =2
(ÄÌÉÎÁ ÄÕÇÉ ÏÔ 0 ÄÏ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ ÓÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ËÁË ÒÁÚ 1=4 ×ÓÅÊ ÄÌÉÎÙ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, Ô. Å. 2=4 = =2). ÷ÒÏÞÅÍ, × ÔÕ ÖÅ ÔÏÞËÕ ÏÁÄÕÔ
É ÞÉÓÌÁ
2
+ 2,
2
− 2,
2
+ 4 | ÒÉ Ä×ÉÖÅÎÉÉ Ï ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ
ÍÙ ÓÄÅÌÁÅÍ ÏÄÉÎ ÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÌÉÛÎÉÈ ËÒÕÇÏ×, ÎÏ ÏÓÔÁÎÏ×ÉÍÓÑ
×ÓÅ × ÔÏÊ ÖÅ ÔÏÞËÅ.
úÁÄÁÞÁ 6.1. îÁÎÅÓÉÔÅ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ËÒÕÇ ÞÉÓÌÁ 3=2,
=4, −=4, −=2, −7=4, −7=2. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË Õ ×ÁÓ
ÏÌÕÞÉÌÏÓØ?
úÁÄÁÞÁ 6.2. îÁÎÅÓÉÔÅ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÏÞËÉ,
(1; 0) ÎÁÞÁÌÏ
ÏÔÓÞÅÔÁ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ
ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÅ
Á) Â)
òÉÓ. 6.1. ÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ËÒÕÇ.
27

135. 2
;
2
± 2;
2
± 4; :::
òÉÓ. 6.2.
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÞÉÓÌÁÍ n=2 ÄÌÑ ×ÓÅÈ

136. ÅÌÙÈ n. óËÏÌØËÏ ÒÁÚÌÉÞ-
ÎÙÈ ÔÏÞÅË Õ ×ÁÓ ÏÌÕÞÉÌÏÓØ?
úÁÄÁÞÁ 6.3. ÷ÙÏÌÎÉÔÅ ÚÁÄÁÎÉÅ ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÞÉÓÅÌ:
Á) −=4 + n; Â) =3 + 2n (n | ÌÀÂÏÅ

137. ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ).
úÁÄÁÞÁ 6.4. ÷ ËÁËÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ ÂÕÄÅÔ ÎÁÈÏÄÉÔØÓÑ ÔÏÞËÁ ÔÒÉÇÏÎÏ-
ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÞÉÓÌÕ 1000?
úÁÄÁÞÁ 6.5. óËÏÌØËÏ ÔÏÞÅË ÏÌÕÞÉÔÓÑ, ÅÓÌÉ ÎÁÎÅÓÔÉ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏ-
ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ËÒÕÇ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ×ÉÄÁ 73n=107, ÇÄÅ n|

138. ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ?
úÁÄÁÞÁ 6.6. ëÁËÉÍ ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÞÉÓÌÏ a, ÞÔÏÂÙ ÓÒÅÄÉ ÔÏÞÅË, ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÞÉÓÌÁÍ ×ÉÄÁ 2an ÒÉ ×ÓÅÈ

139. ÅÌÙÈ n, ÂÙÌÏ ÂÙ
ËÏÎÅÞÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ?
úÁÄÁÞÁ 6.7. ðÕÓÔØ ÞÉÓÌÕ t ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÁ P. úÁÉÛÉÔÅ ËÁËÏÅ-ÎÉÂÕÄØ ÄÒÕÇÏÅ ÞÉÓÌÏ, ËÏ-
ÔÏÒÏÍÕ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ:
Á) ÔÁ ÖÅ ÓÁÍÁÑ ÔÏÞËÁ P;
Â) ÔÏÞËÁ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÔÏÞËÅ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉ-
ÎÁÔ;
×) ÔÏÞËÁ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÔÏÞËÅ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ ÁÂÓ

140. ÉÓÓ;
Ç) ÔÏÞËÁ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÔÏÞËÅ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ ÏÒÄÉÎÁÔ;
28

141. Ä) ÔÏÞËÁ, ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÎÁÑ ÔÏÞËÅ P ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÂÉÓÓÅËÔÒÉÓÙ
ÅÒ×ÏÇÏ É ÔÒÅÔØÅÇÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÈ ÕÇÌÏ×.
úÁÄÁÞÁ 6.8. ëÁË ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ËÒÕÇÅ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÞÉÓÌÁÍ ÉÚ ÒÏÍÅÖÕÔËÏ×: Á) [0; =2℄;
Â) [=2; 2℄; ×) (−; ); Ç) (2; 9).
t
0
t
òÉÓ. 6.3.
åÓÌÉ 0 t =2, ÔÏ ÞÉÓÌÏ t ÎÁ ËÒÕÇÅ ÂÕÄÅÔ
ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÏ ÔÁË, ÞÔÏ ÏÔÒÅÚÏË, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÓÏÏÔ-
×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÔÏÞËÕ Ó ÎÁÞÁÌÏÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÓÏÓÔÁ×ÉÔ
ÕÇÏÌ t ÒÁÄÉÁÎ Ó ÏÓØÀ ÁÂÓ

142. ÉÓÓ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, × ÜÔÏÍ
ÓÌÕÞÁÅ ÄÌÉÎÁ ÄÕÇÉ ÏÔ 0 ÄÏ t ÂÕÄÅÔ ËÁË ÒÁÚ ÒÁ×ÎÁ t
(ÒÉÓ. 6.3).
ÅÅÒØ ×ÓÅ ÇÏÔÏ×Ï ÄÌÑ ÔÏÇÏ, ÞÔÏÂÙ ××ÅÓÔÉ ÏÓÎÏ×-
ÎÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÉ.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ëÏÓÉÎÕÓÏÍ ÞÉÓÌÁ t ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÂÓ

143. ÉÓÓÁ ÔÏÞËÉ ÎÁ
ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ËÒÕÇÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÞÉÓÌÕ t.
åÓÌÉ t| ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ, ÔÏ ËÏÓÉÎÕÓ ÜÔÏÇÏ ÕÇÌÁ
× ÎÁÛÅÍ ÒÅÖÎÅÍ ÓÍÙÓÌÅ ÒÁ×ÅÎ ËÏÓÉÎÕÓÕ ÞÉÓÌÁ t × ÎÏ×ÏÍ ÓÍÙÓÌÅ.
ëÏÓÉÎÕÓ ÞÉÓÌÁ t ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
os t.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. óÉÎÕÓÏÍ ÞÉÓÌÁ t ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ ÎÁ
ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ËÒÕÇÅ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÞÉÓÌÕ t.
åÓÌÉ t | ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ, ÔÏ ÓÉÎÕÓ ÜÔÏÇÏ ÕÇÌÁ
× ÎÁÛÅÍ ÒÅÖÎÅÍ ÓÍÙÓÌÅ ÒÁ×ÅÎ ÓÉÎÕÓÕ ÞÉÓÌÁ t × ÎÏ×ÏÍ ÓÍÙÓÌÅ.
óÉÎÕÓ ÞÉÓÌÁ t ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ sin t.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. ÁÎÇÅÎÓÏÍ ÞÉÓÌÁ t ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÔÎÏÛÅÎÉÅ ÓÉÎÕÓÁ
ÞÉÓÌÁ t Ë ÅÇÏ ËÏÓÉÎÕÓÕ.
åÓÌÉ t| ÒÁÄÉÁÎÎÁÑ ÍÅÒÁ ÏÓÔÒÏÇÏ ÕÇÌÁ, ÔÏ ÔÁÎÇÅÎÓ ÜÔÏÇÏ ÕÇÌÁ
× ÎÁÛÅÍ ÒÅÖÎÅÍ ÓÍÙÓÌÅ ÒÁ×ÅÎ ÔÁÎÇÅÎÓÕ ÞÉÓÌÁ t × ÎÏ×ÏÍ ÓÍÙÓÌÅ
(ÔÁË ËÁË ÄÌÑ ÏÓÔÒÙÈ ÕÇÌÏ× ×ÅÒÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ tg t = sin t=
os t).
ÁÎÇÅÎÓ ÞÉÓÌÁ t ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ tg t.
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÉÎÕÓÁ É ËÏÓÉÎÕÓÁ, ËÏÔÏÒÙÅ ×Ù ÓÅÊÞÁÓ ÒÏÞÉÔÁ-
ÌÉ, | ÜÔÏ ÔÅ ÖÅ ÓÁÍÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ, ÞÔÏ ÂÙÌÉ ÄÁÎÙ × ÒÅÄÙÄÕÝÅÍ
29

144. ÁÒÁÇÒÁÆÅ, ÔÏÌØËÏ ÓÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÂÏÌÅÅ ÁËËÕÒÁÔÎÏ. ÷ ÒÅÄÙ-
ÄÕÝÅÍ ÖÅ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÂÙÌÏ ÏÂßÑÓÎÅÎÏ, ÏÞÅÍÕ ÄÌÑ ÏÓÔÒÙÈ ÕÇÌÏ×
ÜÔÉ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÏÇÌÁÓÕÀÔÓÑ Ó ÒÅÖÎÉÍÉ.
ëÒÏÍÅ ÓÉÎÕÓÁ, ËÏÓÉÎÕÓÁ É ÔÁÎÇÅÎÓÁ ÉÓÏÌØÚÕÀÔÓÑ ÔÁËÖÅ É ÍÅ-
ÎÅÅ ÕÏÔÒÅÂÉÔÅÌØÎÙÅ ÆÕÎË

145. ÉÉ ËÏÔÁÎÇÅÎÓ, ÓÅËÁÎÓ É ËÏÓÅËÁÎÓ, ËÏ-
ÔÏÒÙÅ ÏÒÅÄÅÌÑÀÔÓÑ ÔÁË:
tg t =
os t
sin t
;
se
t =
1
os t
;
ose
t =
1
sin t
:
ÅÅÒØ, ËÏÇÄÁ ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË

146. ÉÉ
ÞÉÓÌÏ×ÏÇÏ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ, ÍÏÖÎÏ ÕÚÎÁÔØ, ÞÅÍÕ ÒÁ×ÎÙ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉ-
ÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË

147. ÉÉ ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÓÔÒÙÈ, ÎÏ É ÒÑÍÏÇÏ É ÔÕÙÈ ÕÇÌÏ×:
ÎÁÄÏ ÅÒÅ×ÅÓÔÉ ×ÅÌÉÞÉÎÕ ÕÇÌÁ × ÒÁÄÉÁÎÙ É ×ÚÑÔØ ÓÉÎÕÓ, ËÏÓÉÎÕÓ
ÉÌÉ ÔÁÎÇÅÎÓ ÏÔ ÏÌÕÞÉ×ÛÅÇÏÓÑ ÞÉÓÌÁ.
úÁÄÁÞÁ 6.9. úÁÏÌÎÉÔÅ ÕÓÔÙÅ ÍÅÓÔÁ × ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÔÁÂÌÉ

148. Å:
0◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦
sin
os
tg |
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ÷ ÇÒÁÆÅ ÄÌÑ tg 90◦ ÍÙ ÓÒÁÚÕ ÏÓÔÁ×ÉÌÉ ÒÏÞÅÒË, ÔÁË
ËÁË, Ï ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ, tg 90◦ = sin 90◦=
os 90◦, ÎÏ
os 90◦ = 0, ÔÁË
ÞÔÏ tg 90◦ ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎ.
úÁÄÁÞÁ 6.10. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ ËÏÔÁÎÇÅÎÓ, ÓÅËÁÎÓ É ËÏÓÅËÁÎÓ ÏÓÔÒÙÈ
ÕÇÌÏ× Ó ÏÍÏÝØÀ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÈ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÏ× (ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ ÔÏ-
ÍÕ, ËÁË ÍÙ ÏÒÅÄÅÌÑÌÉ ÓÉÎÕÓ, ËÏÓÉÎÕÓ É ÔÁÎÇÅÎÓ).
úÁÄÁÞÁ 6.11. ïÄÎÁ ÉÚ ×ÅÒÛÉÎ ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÛÅÓÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ, ×É-
ÓÁÎÎÏÇÏ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ, ÒÁÓÏÌÏÖÅÎÁ × ÎÁ-
ÞÁÌÅ ÏÔÓÞÅÔÁ. îÁÊÄÉÔÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÏÓÔÁÌØÎÙÈ ÅÇÏ ×ÅÒÛÉÎ.
30

149. úÁÄÁÞÁ 6.12. ÏÔ ÖÅ ×ÏÒÏÓ, ÞÔÏ É × ÒÅÄÙÄÕÝÅÊ ÚÁÄÁÞÅ, ÎÏ ÄÌÑ
ÒÁ×ÉÌØÎÏÇÏ ÑÔÉÕÇÏÌØÎÉËÁ (ÕËÁÚÁÎÉÅ: ÓÍ. ÚÁÄÁÞÕ 3.5).
úÁÄÁÞÁ 6.13. ÷ ÚÁÄÁÞÅ 4.8 ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÒÉÂÌÉ-
ÖÅÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÓÉÎÕÓÁ ÍÁÌÏÇÏ ÕÇÌÁ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÞÉÓÌÏ 1,
ÔÏ ÅÓÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÆÕÎË

150. ÉÉ ËÏÓÉÎÕÓ × ÎÕÌÅ. þÔÏ, ÅÓÌÉ × ËÁÞÅÓÔ×Å
ÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÇÏ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÄÌÑ ÓÉÎÕÓÁ ÍÁÌÏÇÏ ÕÇÌÁ , ÎÅ ÍÕÄÒÓÔ×ÕÑ
ÌÕËÁ×Ï, ×ÚÑÔØ 0 = sin 0? þÅÍ ÜÔÏ ÌÏÈÏ?
M
M
x
òÉÓ. 6.4. ÏÞËÁ M Ä×ÉÖÅÔÓÑ Ï

151. ÉËÌÏÉÄÅ.
úÁÄÁÞÁ 6.14. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ËÏÌÅÓÏ ÒÁÄÉÕÓÁ 1, ËÁÓÁÀÝÅÅÓÑ ÏÓÉ ÁÂ-
Ó

152. ÉÓÓ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ (ÒÉÓ. 6.4). ðÒÅÄÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ËÏÌÅÓÏ
ÏËÁÔÉÌÏÓØ Ï ÏÓÉ ÁÂÓ

153. ÉÓÓ × ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÓÏ ÓËÏ-
ÒÏÓÔØÀ 1 (Ô. Å. ÚÁ ×ÒÅÍÑ t ÅÇÏ

154. ÅÎÔÒ ÓÍÅÝÁÅÔÓÑ ÎÁ t ×ÒÁ×Ï).
Á) îÁÒÉÓÕÊÔÅ (ÒÉÍÅÒÎÏ) ËÒÉ×ÕÀ, ËÏÔÏÒÕÀ ÂÕÄÅÔ ÏÉÓÙ×ÁÔØ
ÔÏÞËÁ M, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÏÌÅÓÏ ËÁÓÁÅÔÓÑ ÍÏÍÅÎÔ ÏÓÉ ÁÂÓ

155. ÉÓÓ ×
ÍÏÍÅÎÔ ÎÁÞÁÌÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ.
Â) îÁÊÄÉÔÅ, ËÁËÏ×Ù ÂÕÄÕÔ ÁÂÓ

156. ÉÓÓÁ É ÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ M ÞÅÒÅÚ
×ÒÅÍÑ t ÏÓÌÅ ÎÁÞÁÌÁ Ä×ÉÖÅÎÉÑ.
6.1. ïÓØ ÔÁÎÇÅÎÓÏ×
óÉÎÕÓ É ËÏÓÉÎÕÓ ÍÙ × ÜÔÏÍ ÁÒÁÇÒÁÆÅ ÏÒÅÄÅÌÉÌÉ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÉ, ËÁË ÏÒÄÉÎÁÔÕ É ÁÂÓ

157. ÉÓÓÕ ÔÏÞËÉ, Á ÔÁÎÇÅÎÓ | ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÉ,
ËÁË sin t=
os t. íÏÖÎÏ, ÏÄÎÁËÏ, É ÔÁÎÇÅÎÓÕ ÒÉÄÁÔØ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ.
äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÒÏ×ÅÄÅÍ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (1; 0) (ÎÁ-
ÞÁÌÏ ÏÔÓÞÅÔÁ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ) ËÁÓÁÔÅÌØÎÕÀ
31

158. P
M
N
O
S
tg t
òÉÓ. 6.5. ïÓØ ÔÁÎÇÅÎÓÏ×. ÏÞËÁ M ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÕ t
Ë ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ | ÒÑÍÕÀ, ÁÒÁÌÌÅÌØÎÕÀ ÏÓÉ
ÏÒÄÉÎÁÔ. îÁÚÏ×ÅÍ ÜÔÕ ÒÑÍÕÀ ÏÓØÀ ÔÁÎÇÅÎÓÏ× (ÒÉÓ. 6.5). îÁÚ×Á-
ÎÉÅ ÜÔÏ ÏÒÁ×ÄÙ×ÁÅÔÓÑ ÔÁË: ÕÓÔØ M | ÔÏÞËÁ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉ-
ÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÞÉÓÌÕ t. ðÒÏÄÏÌÖÉÍ ÒÁÄÉ-
ÕÓ SM ÄÏ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ Ó ÏÓØÀ ÔÁÎÇÅÎÓÏ×. ÏÇÄÁ ÏËÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ
ÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ ÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÒÁ×ÎÁ tg t.
÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÉ NOS É MPS ÎÁ ÒÉÓ. 6.5, ÏÞÅ×ÉÄ-
ÎÏ, ÏÄÏÂÎÙ. ïÔÓÀÄÁ
tg t =
sin t
os t
=
MP
PS
=
NO
OS
=
NO
1
= NO;
ÞÔÏ É ÕÔ×ÅÒÖÄÁÌÏÓØ.
åÓÌÉ ÔÏÞËÁ M ÉÍÅÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (0; 1) ÉÌÉ (0; −1), ÔÏ ÒÑ-
ÍÁÑ SM ÁÒÁÌÌÅÌØÎÁ ÏÓÉ ÔÁÎÇÅÎÓÏ×, É ÔÁÎÇÅÎÓ ÎÁÛÉÍ ÓÏÓÏÂÏÍ
ÏÒÅÄÅÌÉÔØ ÎÅÌØÚÑ. üÔÏ É ÎÅ ÕÄÉ×ÉÔÅÌØÎÏ: ÁÂÓ

159. ÉÓÓÁ ÜÔÉÈ ÔÏÞÅË
ÒÁ×ÎÁ 0, ÔÁË ÞÔÏ
os t = 0 ÒÉ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ t,
É tg t = sin t=
os t ÎÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎ.
6.2. úÎÁËÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

160. ÉÊ
òÁÚÂÅÒÅÍÓÑ, ÒÉ ËÁËÉÈ ÚÎÁÞÅÎÉÑÈ t ÓÉÎÕÓ, ËÏÓÉÎÕÓ É ÔÁÎÇÅÎÓ ÏÌÏ-
ÖÉÔÅÌØÎÙ, Á ÒÉ ËÁËÉÈ | ÏÔÒÉ

161. ÁÔÅÌØÎÙ. óÏÇÌÁÓÎÏ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÀ,
32

162. sin t 0
sin t 0
os t 0
os t 0
Á) Â)
òÉÓ. 6.6. úÎÁËÉ ÓÉÎÕÓÁ É ËÏÓÉÎÕÓÁ.
tg t 0
tg t 0
+
−
−
+
+
−
−
+
òÉÓ. 6.7. úÎÁËÉ ÔÁÎÇÅÎÓÁ.
sint | ÜÔÏ ÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ,
ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÞÉÓÌÕ t. ðÏÜÔÏÍÕ sint 0, ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ t ÎÁ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÌÅÖÉÔ ×ÙÛÅ ÏÓÉ ÁÂÓ

163. ÉÓÓ, É sin t 0, ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ t ÎÁ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÌÅÖÉÔ ÎÉÖÅ ÏÓÉ ÁÂÓ

164. ÉÓÓ (ÒÉÓ. 6.6Á). îÁ ÒÉÓ. 6.6 ÁÎÁ-
ÌÏÇÉÞÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÏ, ËÏÇÄÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ É ËÏÇÄÁ ÏÔÒÉ-

165. ÁÔÅÌÅÎ
os t. õ×ÉÄÅÔØ, ËÏÇÄÁ ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, Á ËÏÇÄÁ ÏÔÒÉ

166. ÁÔÅÌÅÎ
tg t, ÒÏÝÅ ×ÓÅÇÏ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÓÉ ÔÁÎÇÅÎÓÏ×: tg t ÏÌÏÖÉÔÅÌÅÎ, ÅÓÌÉ
ÔÏÞËÁ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÞÉÓÌÕ t, ÌÅÖÉÔ × ÅÒ×ÏÊ
ÉÌÉ ÔÒÅÔØÅÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ, É ÏÔÒÉ

167. ÁÔÅÌÅÎ, ÅÓÌÉ ÜÔÁ ÔÏÞËÁ ÌÅÖÉÔ ×Ï
×ÔÏÒÏÊ ÉÌÉ ÞÅÔ×ÅÒÔÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ. óÈÅÍÁÔÉÞÅÓËÉ ÜÔÏ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÏ
ÎÁ ÒÉÓ. 6.7.
33

168. úÁÄÁÞÁ 6.15. îÁÒÉÓÕÊÔÅ ËÁÒÔÉÎËÉ, ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÅ ÒÉÓ. 6.7, ÄÌÑ ÚÎÁ-
ËÏ×
tg t.
úÁÄÁÞÁ 6.16. Á) éÚÏÂÒÁÚÉÔÅ ÎÁ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË t,
ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×:



sint 0;
0 6 t 6 4:
Â) òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÞÉÓÅÌ ÎÁ ÞÉÓÌÏ×ÏÊ ÏÓÉ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×Ï-
ÒÑÀÝÉÈ ÓÉÓÔÅÍÅ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×:



sin x 6 0;
0 6 x 6 20:
îÁÊÄÉÔÅ ÓÕÍÍÕ ÄÌÉÎ ÏÔÒÅÚËÏ×, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÏÉÔ ÜÔÏ ÍÎÏÖÅ-
ÓÔ×Ï.
§7. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ
÷ § 3 ÍÙ ÕÓÔÁÎÏ×ÉÌÉ ÄÌÑ ÏÓÔÒÙÈ ÕÇÌÏ× ÔÁËÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ:
sin2
+
os2
= 1:
M
os
sin
òÉÓ. 7.1.
üÔÁ ÖÅ ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÅÒÎÁ É × ÓÌÕÞÁÅ,
ËÏÇÄÁ | ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅ-
ÌÅ, ÕÓÔØ M | ÔÏÞËÁ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅ-
ÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Õ-
ÀÝÁÑ ÞÉÓÌÕ (ÒÉÓ. 7.1). ÏÇÄÁ M ÉÍÅ-
ÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ x =
os , y = sin.
ïÄÎÁËÏ ×ÓÑËÁÑ ÔÏÞËÁ (x; y), ÌÅÖÁÝÁÑ
ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÅÄÉÎÉÞÎÏÇÏ ÒÁÄÉÕÓÁ
Ó

169. ÅÎÔÒÏÍ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÕÄÏ×ÌÅ-
Ô×ÏÒÑÅÔ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÀ x2
+y2
= 1, ÏÔËÕÄÁ
os2
+ sin2
= 1, ÞÔÏ É ÔÒÅÂÏ×ÁÌÏÓØ.
34

170. éÔÁË, ÆÏÒÍÕÌÁ
os2 + sin2
= 1 ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏ-
ÓÔÉ. íÏÖÅÔ ÏËÁÚÁÔØÓÑ, ÞÔÏ ÔÅÍ ÓÁÍÙÍ ÄÌÑ ÏÓÔÒÙÈ ÕÇÌÏ× ÍÙ ÄÁÌÉ ÎÏ×ÏÅ
ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÜÔÏÊ ÆÏÒÍÕÌÙ (Ï ÓÒÁ×ÎÅÎÉÀ Ó ÕËÁÚÁÎÎÙÍ × § 3, ÇÄÅ ÍÙ
ÏÌØÚÏ×ÁÌÉÓØ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ðÉÆÁÇÏÒÁ). ïÔÌÉÞÉÅ, ÏÄÎÁËÏ, ÞÉÓÔÏ ×ÎÅÛÎÅÅ:
ÒÉ ×Ù×ÏÄÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ x2 + y2 = 1 ÉÓÏÌØÚÕÅÔÓÑ ÔÁ ÖÅ ÔÅ-
ÏÒÅÍÁ ðÉÆÁÇÏÒÁ.
äÌÑ ÏÓÔÒÙÈ ÕÇÌÏ× ÍÙ ÏÌÕÞÁÌÉ É ÄÒÕÇÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÎÁÒÉ-
ÍÅÒ
os = 1=
p
1 + tg2
. äÌÑ ÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÈ ÕÇÌÏ× ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
× ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ ×ÅÒÎÁ ÂÙÔØ ÎÅ ÍÏÖÅÔ: ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÏÂÝÅÒÉÎÑÔÏÍÕ Ï-
ÎÉÍÁÎÉÀ ÓÉÍ×ÏÌÁ
√
, ÒÁ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ×ÓÅÇÄÁ ÎÅÏÔÒÉ

171. ÁÔÅÌØÎÁ, × ÔÏ
×ÒÅÍÑ ËÁË ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ ×ÏÌÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ É ÏÔÒÉ

172. ÁÔÅÌØÎÏÊ. þÔÏ-
ÂÙ ÆÏÒÍÕÌÁ ÂÙÌÁ ×ÅÒÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ , ÎÁÄÏ ÅÅ ×ÏÚ×ÅÓÔÉ × Ë×ÁÄÒÁÔ.
ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
os2
= 1=(1 + tg2
). äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÜÔÁ
ÆÏÒÍÕÌÁ ×ÅÒÎÁ ÒÉ ×ÓÅÈ :1
1=(1 + tg2
) = 1
1 +
sin2
os2
=
os2
sin2
+
os2
=
os2
:
úÁÄÁÞÁ 7.1. ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ×ÓÅ ÆÏÒÍÕÌÙ, ÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÎÉÖÅ, ÉÚ ÏÒÅ-
ÄÅÌÅÎÉÊ É ÆÏÒÍÕÌÙ sin2
+
os2
= 1 (ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ ÍÙ ÕÖÅ
ÄÏËÁÚÁÌÉ):
sin2
+
os2
= 1; tg =
sin
os
;
tg =
os
sin
;
1 + tg2
=
1
os2
; sin2
=
tg2
1 + tg2
; tg ·
tg = 1;
1 +
tg2
=
1
sin2
;
os2
=
tg2
1 +
tg2
.
üÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ÏÚ×ÏÌÑÀÔ, ÚÎÁÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÏÄÎÏÊ ÉÚ ÔÒÉÇÏÎÏ-
ÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

173. ÉÊ ÄÁÎÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ, ÏÞÔÉ ÎÁÊÔÉ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØ-
ÎÙÅ. ðÕÓÔØ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÍÙ ÚÎÁÅÍ, ÞÔÏ sin x = 1=2. ÏÇÄÁ
os2
x =
= 1 − sin2
x = 3=4, ÔÁË ÞÔÏ
os x ÒÁ×ÅÎ ÉÌÉ
√
3=2, ÉÌÉ −
√
3=2.
þÔÏÂÙ ÕÚÎÁÔØ, ËÁËÏÍÕ ÉÍÅÎÎÏ ÉÚ ÜÔÉÈ Ä×ÕÈ ÞÉÓÅÌ ÒÁ×ÅÎ
os x,
ÎÕÖÎÁ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÁÑ ÉÎÆÏÒÍÁ

174. ÉÑ.
úÁÄÁÞÁ 7.2. ðÏËÁÖÉÔÅ ÎÁ ÒÉÍÅÒÁÈ, ÞÔÏ ÏÂÁ ×ÙÛÅÕËÁÚÁÎÎÙÈ ÓÌÕ-
ÞÁÑ ×ÏÚÍÏÖÎÙ.
1
äÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ tg ÏÒÅÄÅÌÅÎ, Ô. Å.
os 6= 0.
35

175. úÁÄÁÞÁ 7.3. Á) ðÕÓÔØ tg x = −1. îÁÊÄÉÔÅ sin x. óËÏÌØËÏ ÏÔ×ÅÔÏ× Õ
ÜÔÏÊ ÚÁÄÁÞÉ?
Â) ðÕÓÔØ × ÄÏÏÌÎÅÎÉÅ Ë ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÕÎËÔÁ Á) ÎÁÍ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÞÔÏ
sinx 0. óËÏÌØËÏ ÔÅÅÒØ ÏÔ×ÅÔÏ× Õ ÚÁÄÁÞÉ?
úÁÄÁÞÁ 7.4. ðÕÓÔØ sin x = 3=5, x ∈ [=2; 3=2℄. îÁÊÄÉÔÅ tg x.
úÁÄÁÞÁ 7.5. ðÕÓÔØ tg x = 3,
os x sin x. îÁÊÄÉÔÅ
os x, sin x.
úÁÄÁÞÁ 7.6. ðÕÓÔØ tg x = 3=5. îÁÊÄÉÔÅ
sin x + 2
os x
os x − 3 sin x
.
úÁÄÁÞÁ 7.7. äÏËÁÖÉÔÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á:
Á)
tg +
tg

176. tg + tg

177. =
tg
tg

178. ; Â)
tg sin
tg + sin
=
tg − sin
tg sin
;
×) sin +
os
tg + sin tg +
os =
1
sin
+
1
os
.
úÁÄÁÞÁ 7.8. õÒÏÓÔÉÔÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ:
Á) (sin +
os )2
+ (sin −
os )2
;
Â) (tg +
tg )2
+ (tg −
tg )2
;
×) sin (2 +
tg )(2
tg + 1) − 5
os .
§8. ðÅÒÉÏÄÙ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

179. ÉÊ
þÉÓÌÁÍ x, x + 2, x − 2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÏÄÎÁ É ÔÁ ÖÅ ÔÏÞËÁ ÎÁ
ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ (ÅÓÌÉ ÒÏÊÔÉ Ï ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉ-
ÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÌÉÛÎÉÊ ËÒÕÇ, ÔÏ ÒÉÄÅÛØ ÔÕÄÁ, ÇÄÅ ÂÙÌ).
ïÔÓÀÄÁ ×ÙÔÅËÁÀÔ ÔÁËÉÅ ÔÏÖÄÅÓÔ×Á, Ï ËÏÔÏÒÙÈ ÕÖÅ ÛÌÁ ÒÅÞØ
× § 5:
sin(x + 2) = sin(x − 2) = sin x;
os(x + 2) =
os(x − 2) =
os x:
÷ Ó×ÑÚÉ Ó ÜÔÉÍÉ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÁÍÉ ÍÙ ÕÖÅ ÕÏÔÒÅÂÌÑÌÉ ÔÅÒÍÉÎ €Å-
ÒÉÏā. äÁÄÉÍ ÔÅÅÒØ ÔÏÞÎÙÅ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
36

180. ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. þÉÓÌÏ T 6= 0 ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÅÒÉÏÄÏÍ ÆÕÎË

181. ÉÉ f, ÅÓ-
ÌÉ ÄÌÑ ×ÓÅÈ x ×ÅÒÎÙ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á f(x − T) = f(x + T) = f(x)
(ÏÄÒÁÚÕÍÅ×ÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ x + T É x − T ×ÈÏÄÑÔ × ÏÂÌÁÓÔØ ÏÒÅ-
ÄÅÌÅÎÉÑ ÆÕÎË

182. ÉÉ, ÅÓÌÉ × ÎÅÅ ×ÈÏÄÉÔ x). æÕÎË

183. ÉÀ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ
ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÅÒÉÏÄ (ÈÏÔÑ ÂÙ ÏÄÉÎ).
ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË

184. ÉÉ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ×ÏÚÎÉËÁÀÔ ÒÉ ÏÉÓÁ-
ÎÉÉ ËÏÌÅÂÁÔÅÌØÎÙÈ ÒÏ

185. ÅÓÓÏ×. ï ÏÄÎÏÍ ÉÚ ÔÁËÉÈ ÒÏ

186. ÅÓÓÏ× ÒÅÞØ
ÕÖÅ ÛÌÁ × § 5. ÷ÏÔ ÅÝÅ ÒÉÍÅÒÙ:
1) ðÕÓÔØ ' = '(t) | ÕÇÏÌ ÏÔËÌÏÎÅÎÉÑ ËÁÞÁÀÝÅÇÏÓÑ ÍÁÑÔÎÉËÁ
ÞÁÓÏ× ÏÔ ×ÅÒÔÉËÁÌÉ × ÍÏÍÅÎÔ t. ÏÇÄÁ ' | ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ
ÆÕÎË

187. ÉÑ ÏÔ t.
2) îÁÒÑÖÅÎÉÅ (€ÒÁÚÎÏÓÔØ ÏÔÅÎ

188. ÉÁÌÏׁ, ËÁË ÓËÁÚÁÌ ÂÙ ÆÉÚÉË)
ÍÅÖÄÕ Ä×ÕÍÑ ÇÎÅÚÄÁÍÉ ÒÏÚÅÔËÉ × ÓÅÔÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÔÏËÁ,
ÅÓÌÉ ÅÇÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÆÕÎË

189. ÉÀ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎË

190. ÉÅÊ1
.
3) ðÕÓÔØ ÍÙ ÓÌÙÛÉÍ ÍÕÚÙËÁÌØÎÙÊ Ú×ÕË. ÏÇÄÁ ÄÁ×ÌÅÎÉÅ ×ÏÚ-
ÄÕÈÁ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ | ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË

191. ÉÑ ÏÔ ×ÒÅÍÅÎÉ.
åÓÌÉ ÆÕÎË

192. ÉÑ ÉÍÅÅÔ ÅÒÉÏÄ T, ÔÏ ÅÒÉÏÄÁÍÉ ÜÔÏÊ ÆÕÎË

193. ÉÉ
ÂÕÄÕÔ É ÞÉÓÌÁ −T, 2T, −2T,. . . | ÏÄÎÉÍ ÓÌÏ×ÏÍ, ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ nT,
ÇÄÅ n |

194. ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÎÅ ÒÁ×ÎÏÅ ÎÕÌÀ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÒÏ×ÅÒÉÍ,
ÎÁÒÉÍÅÒ, ÞÔÏ f(x + 2T) = f(x):
f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x):
ïÒÅÄÅÌÅÎÉÅ. îÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÅÒÉÏÄÏÍ ÆÕÎË

195. ÉÉ
f ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ | × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÉÉ Ó ÂÕË×ÁÌØÎÙÍ ÓÍÙÓÌÏÍ ÓÌÏ× |
ÔÁËÏÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ T, ÞÔÏ T | ÅÒÉÏÄ f É ÎÉ ÏÄÎÏ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÍÅÎØÛÅÅ T, ÅÒÉÏÄÏÍ f ÕÖÅ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ.
1
ëÏÇÄÁ ÇÏ×ÏÒÑÔ €ÎÁÒÑÖÅÎÉÅ × ÓÅÔÉ 220 ×ÏÌØԁ, ÉÍÅÀÔ × ×ÉÄÕ ÅÇÏ €ÓÒÅÄ-
ÎÅË×ÁÄÒÁÔÉÞÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉŁ, Ï ËÏÔÏÒÏÍ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ × § 21. óÁÍÏ ÖÅ
ÎÁÒÑÖÅÎÉÅ ×ÓÅ ×ÒÅÍÑ ÍÅÎÑÅÔÓÑ.
37

196. ðÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË

197. ÉÑ ÎÅ ÏÂÑÚÁÎÁ ÉÍÅÔØ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏ-
ÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ (ÎÁÒÉÍÅÒ, ÆÕÎË

198. ÉÑ, Ñ×ÌÑÀÝÁÑÓÑ ÏÓÔÏÑÎÎÏÊ,
ÉÍÅÅÔ ÅÒÉÏÄÏÍ ×ÏÏÂÝÅ ÌÀÂÏÅ ÞÉÓÌÏ É, ÓÔÁÌÏ ÂÙÔØ, ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÅÒÉÏÄÁ Õ ÎÅÅ ÎÅÔ). íÏÖÎÏ ÒÉ×ÅÓÔÉ ÒÉÍÅÒÙ
É ÎÅÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

199. ÉÊ, ÎÅ ÉÍÅÀÝÉÈ ÎÁÉÍÅÎØ-
ÛÅÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÅÒÉÏÄÁ. ÅÍ ÎÅ ÍÅÎÅÅ × ÂÏÌØÛÉÎÓÔ×Å ÉÎ-
ÔÅÒÅÓÎÙÈ ÓÌÕÞÁÅ× ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ Õ ÅÒÉÏ-
ÄÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

200. ÉÊ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ.
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ ËÁË ÓÉÎÕÓÁ,
ÔÁË É ËÏÓÉÎÕÓÁ ÒÁ×ÅÎ 2. äÏËÁÖÅÍ ÜÔÏ, ÎÁÒÉÍÅÒ, ÄÌÑ ÆÕÎË

201. ÉÉ
y = sin x. ðÕÓÔØ ×ÏÒÅËÉ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÍÙ ÕÔ×ÅÒÖÄÁÅÍ, Õ ÓÉÎÕÓÁ
ÅÓÔØ ÔÁËÏÊ ÅÒÉÏÄ T, ÞÔÏ 0 T 2. ðÒÉ x = =2 ÉÍÅÅÍ sin x =
= 1. âÕÄÅÍ ÔÅÅÒØ Õ×ÅÌÉÞÉ×ÁÔØ x. ÷ ÔÏÞËÅ x+ T ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÉÎÕÓÁ
ÄÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ÔÁËÖÅ ÒÁ×ÎÏ 1. îÏ × ÓÌÅÄÕÀÝÉÊ ÒÁÚ ÓÉÎÕÓ ÂÕÄÅÔ
ÒÁ×ÅÎ 1 ÔÏÌØËÏ ÒÉ x = (=2) + 2. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÒÉÏÄ ÓÉÎÕÓÁ ÂÙÔØ
ÍÅÎØÛÅ 2 ÎÅ ÍÏÖÅÔ. äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÄÌÑ ËÏÓÉÎÕÓÁ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ.
îÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ ÆÕÎË

202. ÉÉ, ÏÉÓÙ×ÁÀÝÅÊ
ËÏÌÅÂÁÎÉÑ (ËÁË × ÎÁÛÉÈ ÒÉÍÅÒÁÈ 1{3), ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÏÓÔÏ ÅÒÉ-
ÏÄÏÍ ÜÔÉÈ ËÏÌÅÂÁÎÉÊ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÞÉÓÌÏ 2 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÅÒÉÏÄÏÍ ÓÉÎÕÓÁ É ËÏÓÉÎÕÓÁ,
ÏÎÏ ÂÕÄÅÔ ÔÁËÖÅ ÅÒÉÏÄÏÍ ÔÁÎÇÅÎÓÁ É ËÏÔÁÎÇÅÎÓÁ. ïÄÎÁËÏ ÄÌÑ
ÜÔÉÈ ÆÕÎË

203. ÉÊ 2 | ÎÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÅÒÉÏÄ: ÎÁÉÍÅÎØÛÉÍ ÏÌÏÖÉ-
ÔÅÌØÎÙÍ ÅÒÉÏÄÏÍ ÔÁÎÇÅÎÓÁ É ËÏÔÁÎÇÅÎÓÁ ÂÕÄÅÔ . ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ,
ÔÏÞËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÞÉÓÌÁÍ x É x + ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅ-
ÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÒÏÔÉ×ÏÏÌÏÖÎÙ: ÏÔ ÔÏÞËÉ x ÄÏ
ÔÏÞËÉ x + 2 ÎÁÄÏ ÒÏÊÔÉ ÒÁÓÓÔÏÑÎÉÅ , × ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÒÁ×ÎÏÅ Ï-
ÌÏ×ÉÎÅ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. ÅÅÒØ, ÅÓÌÉ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÏÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ
ÔÁÎÇÅÎÓÁ É ËÏÔÁÎÇÅÎÓÁ Ó ÏÍÏÝØÀ ÏÓÅÊ ÔÁÎÇÅÎÓÏ× É ËÏÔÁÎÇÅÎÓÏ×,
ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á tg(x+) = tg x É
tg(x+) =
tg x ÓÔÁÎÕÔ ÏÞÅ×ÉÄÎÙÍÉ
(ÒÉÓ. 8.1). ìÅÇËÏ ÒÏ×ÅÒÉÔØ (ÍÙ ÒÅÄÌÏÖÉÍ ÜÔÏ ÓÄÅÌÁÔØ × ÚÁÄÁ-
ÞÁÈ), ÞÔÏ | ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ
ÔÁÎÇÅÎÓÁ É ËÏÔÁÎÇÅÎÓÁ.
ïÄÎÏ ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ Ï Ï×ÏÄÕ ÔÅÒÍÉÎÏÌÏÇÉÉ. þÁÓÔÏ ÓÌÏ×Á €ÅÒÉÏÄ
ÆÕÎË

204. ÉɁ ÕÏÔÒÅÂÌÑÀÔ × ÚÎÁÞÅÎÉÉ €ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ
ÅÒÉÏā. ÁË ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÁ ÜËÚÁÍÅÎÅ Õ ×ÁÓ ÓÒÏÓÑÔ: €ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ
100 ÅÒÉÏÄÏÍ ÆÕÎË

205. ÉÉ ÓÉÎÕÓ?, ÎÅ ÔÏÒÏÉÔÅÓØ Ó ÏÔ×ÅÔÏÍ, Á ÕÔÏÞ-
38

206. tg x = tg(x + ) = tg(x − )
x
x − ; x +
òÉÓ. 8.1. ðÅÒÉÏÄ ÔÁÎÇÅÎÓÁ É ËÏÔÁÎÇÅÎÓÁ.
ÎÉÔÅ, ÉÍÅÅÔÓÑ × ×ÉÄÕ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ ÉÌÉ
ÒÏÓÔÏ ÏÄÉÎ ÉÚ ÅÒÉÏÄÏ×.
ÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË

207. ÉÉ | ÔÉÉÞÎÙÊ ÒÉÍÅÒ ÅÒÉÏÄÉ-
ÞÅÓËÉÈ ÆÕÎË

208. ÉÊ: ÌÀÂÕÀ €ÎÅ ÏÞÅÎØ ÌÏÈÕÀ ÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎË-

209. ÉÀ ÍÏÖÎÏ × ÎÅËÏÔÏÒÏÍ ÓÍÙÓÌÅ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉ-
ÞÅÓËÉÅ.
úÁÄÁÞÁ 8.1. îÁÊÄÉÔÅ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÅ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÅ ÅÒÉÏÄÙ ÆÕÎË-

210. ÉÊ:
Á) y = sin 3x; Â) y =
os
x
2
; ×) y =
os x;
Ç) y =
os x +
os(1;01x).
úÁÄÁÞÁ 8.2. úÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÎÁÒÑÖÅÎÉÑ × ÓÅÔÉ ÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ ÔÏËÁ ÏÔ
×ÒÅÍÅÎÉ ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ U = U0 sin !t (ÚÄÅÓØ t | ×ÒÅÍÑ, U |
ÎÁÒÑÖÅÎÉÅ, U0 É ! | ÏÓÔÏÑÎÎÙÅ ×ÅÌÉÞÉÎÙ). þÁÓÔÏÔÁ ÅÒÅÍÅÎ-
ÎÏÇÏ ÔÏËÁ | 50 ç

211. (ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÒÑÖÅÎÉÅ ÓÏ×ÅÒÛÁÅÔ 50
ËÏÌÅÂÁÎÉÊ × ÓÅËÕÎÄÕ).
Á) îÁÊÄÉÔÅ !, ÓÞÉÔÁÑ, ÞÔÏ t ÉÚÍÅÒÑÅÔÓÑ × ÓÅËÕÎÄÁÈ;
Â) îÁÊÄÉÔÅ (ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ) ÅÒÉÏÄ U ËÁË ÆÕÎË-

212. ÉÉ ÏÔ t.
úÁÄÁÞÁ 8.3. Á) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ
ËÏÓÉÎÕÓÁ ÒÁ×ÅÎ 2;
Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ ÔÁÎÇÅÎ-
ÓÁ ÒÁ×ÅÎ .
39

213. úÁÄÁÞÁ 8.4. ðÕÓÔØ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ ÆÕÎË

214. ÉÉ
f ÒÁ×ÅÎ T. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÏÓÔÁÌØÎÙÅ ÅÅ ÅÒÉÏÄÙ ÉÍÅÀÔ ×ÉÄ
nT ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ

215. ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ n.
úÁÄÁÞÁ 8.5. äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÕÎË

216. ÉÉ ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ Å-
ÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍÉ:
Á) y = x2
; Â) y = sin(x2
);
×) y = x + sin x; Ç) y = sin|x|;
Ä*) y =
os x +
os(kx), ÇÄÅ k | ÉÒÒÁ

217. ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
úÁÄÁÞÁ 8.6. þÉÓÌÁ 5 É 8 Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÒÉÏÄÁÍÉ ÆÕÎË

218. ÉÉ f. äÏËÁ-
ÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÞÉÓÌÏ 1 | ÔÏÖÅ ÅÅ ÅÒÉÏÄ.
úÁÄÁÞÁ 8.7. æÕÎË

219. ÉÑ y = f(x) ÉÍÅÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ
ÅÒÉÏÄ 2, Á ÆÕÎË

220. ÉÑ y = g(x) ÉÍÅÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ
ÅÒÉÏÄ 6. íÏÖÅÔ ÌÉ ÆÕÎË

221. ÉÑ y = f(x) + g(x) ÉÍÅÔØ ÎÁÉÍÅÎØÛÉÊ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÊ ÅÒÉÏÄ 3?
úÁÄÁÞÁ 8.8. ïÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎË

222. ÉÀ f ÔÁË:
f(x) =



1; ÅÓÌÉ x| ÒÁ

223. ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ;
0; ÅÓÌÉ x| ÉÒÒÁ

224. ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ×ÓÑËÏÅ ÒÁ

225. ÉÏÎÁÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ ÂÕÄÅÔ ÅÒÉÏÄÏÍ ÆÕÎË-

226. ÉÉ f (ÏÔÓÀÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ Õ ÎÅÅ ÎÅÔ ÎÁÉÍÅÎØÛÅÇÏ ÏÌÏÖÉÔÅÌØ-
ÎÏÇÏ ÅÒÉÏÄÁ).
§9. æÏÒÍÕÌÙ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ
îÁÎÅÓÅÍ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ ÔÏÞËÕ M, ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÞÉÓÌÕ x. åÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ ÂÕÄÕÔ (
os x; sin x).
ïÕÓÔÉÍ ÉÚ ÔÏÞËÉ M ÅÒÅÎÄÉËÕÌÑÒ ÎÁ ÏÓØ ÁÂÓ

227. ÉÓÓ. õ ÎÁÓ
ÏÌÕÞÉÔÓÑ ÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÙÊ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË (ÎÁ ÒÉÓ. 9.1Á ÏÎ ÚÁÛÔÒÉ-
ÈÏ×ÁÎ).
ÅÅÒØ Ï×ÅÒÎÅÍ ÜÔÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ÎÁ 90◦ ÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ
ÓÔÒÅÌËÉ. ïÎ ÚÁÊÍÅÔ ÏÌÏÖÅÎÉÅ, ÏËÁÚÁÎÎÏÅ ÎÁ ÒÉÓ. 9.1Â. ÏÞËÁ
40

228. 1
os x
M
sin x 1
os x
M
sin x
M′
os x
1
Z
− sin x
Á) Â)
òÉÓ. 9.1. ÏÞËÁ M ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÕ x, ÔÏÞËÁ M′ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Õ-
ÅÔ ÞÉÓÌÕ x + =2.
M ÎÁ ÜÔÏÍ ÒÉÓÕÎËÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÞÉÓÌÕ x + =2 (ÔÁË ËÁË ÕÇÏÌ
MZM′, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ÒÑÍÏÊ) É ÉÍÅÅÔ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ (− sin x;
os x).
ðÏÓËÏÌØËÕ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏ-
ÓÔÉ | ÜÔÏ ËÏÓÉÎÕÓ É ÓÉÎÕÓ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÇÏ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÞÉÓÌÁ,
ÏÌÕÞÁÅÍ ÔÁËÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ:
os(x + =2) = − sin x;
sin(x + =2) =
os x:
ðÏÄÅÌÉÍ ÜÔÉ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ÏÄÎÏ ÎÁ ÄÒÕÇÏÅ. ðÏÌÕÞÉÔÓÑ ×ÏÔ ÞÔÏ:
tg(x + =2) = −
tg x;
tg(x + =2) = − tg x:
óÔÒÏÇÏ ÇÏ×ÏÒÑ, ÍÙ ÄÏËÁÚÁÌÉ ÜÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ÌÉÛØ × ÏÄÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ|
ÅÓÌÉ ÔÏÞËÁ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÞÉÓÌÕ x, ÌÅÖÉÔ × ÅÒ×ÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ.
ðÒÏ×ÅÒØÔÅ ÓÁÍÉ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ×ÅÒÎÙ É × ÄÒÕÇÉÈ ÓÌÕÞÁÑÈ.
éÔÁË, ÓÒÁ×ÎÉ× Ä×Á ÏÌÏÖÅÎÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ ÎÁ ÒÉÓ. 9.1Â, ÍÙ
ÏÌÕÞÉÌÉ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÆÏÒÍÕÌ. ðÒÉËÌÁÄÙ×ÁÔØ ÜÔÏÔ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË
Ë ÏÓÑÍ ÍÏÖÎÏ É ÒÁÚÎÙÍÉ ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÏÓÏÂÁÍÉ, É ËÁÖÄÙÊ ÉÚ ÜÔÉÈ
ÓÏÓÏÂÏ× ÄÁÅÔ Ó×ÏÊ ÎÁÂÏÒ ÆÏÒÍÕÌ. îÁ ÒÉÓ. 9.2 ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÒÁÚÎÙÅ
ÓÏÓÏÂÙ ÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, Á ÏÄ ÎÉÍÉ ×ÙÉÓÁÎÙ ÓÏ-
ÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ.
41

229. x
x +
os(x + ) = −
os x;
sin(x + ) = − sin x;
tg(x + ) = :::
x
− x
os( − x) = :::;
sin( − x) = sin x;
tg( − x) = :::
x
?
os(:::) = :::;
sin(:::) = :::;
tg(:::) = :::
x
−x
os(−x) =
os x;
sin(−x) = − sin x;
tg(−x) = − tg x.
x
3=2 − x
os(3=2 − x) = :::;
sin(3=2 − x) = :::;
tg(3=2 − x) = :::
x
?
os(:::) = sin x;
sin(:::) = :::;
tg(:::) = :::
òÉÓ. 9.2. æÏÒÍÕÌÙ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ.
42

230. úÁÄÁÞÁ 9.1. úÁÏÌÎÉÔÅ ÕÓÔÙÅ ÍÅÓÔÁ × ÏÄÉÓÑÈ Ë ÞÅÒÔÅÖÁÍ ÎÁ
ÒÉÓ. 9.2.
æÏÒÍÕÌÙ, ËÏÔÏÒÙÅ ÍÙ ÏÌÕÞÉÌÉ Ó ÏÍÏÝØÀ ÅÒÅËÌÁÄÙ×ÁÎÉÑ
ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ, ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ. ÏÞÎÅÅ ÇÏ×Ï-
ÒÑ, ÕÓÔØ Õ ÎÁÓ ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ a, ÒÁ×ÎÏÅ n=2 ÄÌÑ ËÁËÏÇÏ-ÔÏ

231. ÅÌÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ n. æÏÒÍÕÌÁÍÉ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÆÏÒÍÕÌÙ, Ó×ÑÚÙ×Á-
ÀÝÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË

232. ÉÉ ÏÔ x + a, x − a ÉÌÉ a − x Ó
ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÆÕÎË

233. ÉÑÍÉ ÏÔ x. ëÁË ×ÉÄÉÔÅ, ÜÔÉÈ ÆÏÒÍÕÌ
ÍÎÏÇÏ, É ÚÁÕÞÉ×ÁÔØ ÉÈ ÎÁÉÚÕÓÔØ ÂÙÌÏ ÂÙ ÎÅÒÁÚÕÍÎÏ. îÁ ÒÁËÔÉ-
ËÅ, ÅÓÌÉ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÏÓÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ, ÕÄÏÂ-
ÎÏ ÎÁÒÉÓÏ×ÁÔØ ËÁÒÔÉÎËÕ ÎÁÏÄÏÂÉÅ ÔÅÈ, ÉÚ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎ
ÒÉÓ. 9.2, É ÏÓÍÏÔÒÅÔØ Ï ÎÅÊ, ËÁË ÄÏÌÖÎÁ ×ÙÇÌÑÄÅÔØ ÆÏÒÍÕÌÁ.
ëÒÏÍÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÔØ É ÍÎÅÍÏÎÉÞÅÓËÏÅ ÒÁ×ÉÌÏ, ÏÚ×ÏÌÑÀÝÅÅ ×ÙÉ-
ÓÁÔØ ÌÀÂÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÜÔÏ ÒÁ×ÉÌÏ.
1) ðÕÓÔØ × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÓÔÏÉÔ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎË

234. ÉÑ ÏÔ
x + a, x − a ÉÌÉ a − x, ÇÄÅ a = n=2. åÓÌÉ ÕËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ
× ÞÉÓÌÅ a

235. ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ (a = 0, , −, 2, −2,. . . ), ÔÏ
× ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÎÁÄÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÔÕ ÖÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ
ÆÕÎË

236. ÉÀ, ÞÔÏ É × ÌÅ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ. åÓÌÉ ÖÅ ÕËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ × ÞÉ-
ÓÌÅ a ÎÅ

237. ÅÌÏÅ, Á €ÏÌÕ

238. ÅÌÏŁ ÞÉÓÌÏ ÒÁÚ (a = =2, −=2, 3=2,
5=2,. . . ), ÔÏ ÎÁÄÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÓÉÎÕÓ ÎÁ ËÏÓÉÎÕÓ, Á ÔÁÎÇÅÎÓ ÎÁ
ËÏÔÁÎÇÅÎÓ (É ÎÁÏÂÏÒÏÔ).
2) åÓÌÉ ÒÉ x, ÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÍ ÅÒ×ÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ, ÌÅ×ÁÑ ÞÁÓÔØ
ÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÁ, ÔÏ ÅÒÅÄ ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔØÀ ÎÁÄÏ ÏÓÔÁ×ÉÔØ ÚÎÁË
ÌÀÓ, × ÒÏÔÉ×ÎÏÍ ÓÌÕÞÁÅ | ÚÎÁË ÍÉÎÕÓ.
x
3=2 + x
òÉÓ. 9.3.
÷ÏÔ ËÁË Ï ÜÔÉÍ ÒÁ×ÉÌÁÍ ÏÌÕÞÁÅÔÓÑ
ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÌÑ sin(3=2 + x): 3=2 ÓËÏÂËÁÈ ÕËÁ-
ÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ ÎÁÚ×ÁÎÉÅ ÆÕÎË

239. ÉÉ ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÔÁË
ÞÔÏ × ÒÁ×ÏÊ ÞÁÓÔÉ ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ËÏÓÉÎÕÓ;
ÔÁË ËÁË ÒÉ x, ÌÅÖÁÝÅÍ × ÅÒ×ÏÊ ÞÅÔ×ÅÒÔÉ,
sin(3=2+x) ÏÔÒÉ

240. ÁÔÅÌÅÎ (ÒÉÓ. 9.3), ÅÒÅÄ ËÏ-
ÓÉÎÕÓÏÍ ÂÕÄÅÔ ÓÔÏÑÔØ ÚÎÁË ÍÉÎÕÓ. ÷ ÉÔÏÇÅ:
sin(3=2 + x) = −
os x.
43

241. ó ÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË-

242. ÉÉ ÌÀÂÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ
ÆÕÎË

243. ÉÉ ÞÉÓÅÌ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; =2℄ (ÏÔ 0◦ ÄÏ 90◦, ÅÓÌÉ
ÉÚÍÅÒÑÔØ ÕÇÌÙ × ÇÒÁÄÕÓÁÈ). ðÏÜÔÏÍÕ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÔÁÂÌÉ-

244. Ù ÓÏÓÔÁ×ÌÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ ÄÌÑ ÕÇÌÏ× ÏÔ 0◦ ÄÏ 90◦; × ÓÏ×ÒÅÍÅÎÎÙÈ
ËÁÌØËÕÌÑÔÏÒÁÈ É ËÏÍØÀÔÅÒÁÈ ÒÏÇÒÁÍÍÙ, ×ÙÞÉÓÌÑÀÝÉÅ ÔÒÉÇÏ-
ÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎË

245. ÉÉ, ÔÁËÖÅ ÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ €ÒÉ×ÏÄÑԁ ÁÒ-
ÇÕÍÅÎÔ Ë ÒÏÍÅÖÕÔËÕ [0; =2℄.
éÚ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÆÏÒÍÕÌ ÒÉ×ÅÄÅÎÉÑ ÓÔÏÉÔ, ×ÏÚÍÏÖÎÏ, ÏÔÍÅÔÉÔØ
ÔÁËÉÅ:
sin
2
− x
=
os x;
os
2
− x
= sin x;
tg
2
− x
=
tg x;
tg
2
− x
= tg x:
üÔÉ ÆÏÒÍÕÌÙ ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ €ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ ÄÏÏÌÎÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÕÇÌÁ;
ÄÌÑ ÏÓÔÒÙÈ ÕÇÌÏ× ÏÎÉ ÎÁÍ ÕÖÅ ÚÎÁËÏÍÙ.
ðÏÌÅÚÎÏ ÔÁËÖÅ ÚÁÏÍÎÉÔØ, ËÁË ÍÅÎÑÀÔÓÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ
ÆÕÎË

246. ÉÉ ÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÚÎÁËÁ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ:
sin(−x) = − sinx;
os(−x) =
os x;
tg(−x) = − tg x;
tg(−x) = −
tg x:
éÎÙÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, ÓÉÎÕÓ, ÔÁÎÇÅÎÓ É ËÏÔÁÎÇÅÎÓ | ÎÅÞÅÔÎÙÅ ÆÕÎË-

247. ÉÉ, ËÏÓÉÎÕÓ | ÞÅÔÎÁÑ ÆÕÎË

248. ÉÑ.
úÁÄÁÞÁ 9.2. õÒÏÓÔÉÔÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ:
Á) sin(x − =2); Â) sin(x − 1998); ×) sin(x − 1991=2);
Ç) sin(x − 3=2); Ä) sin(2 − x); Å) tg(x − =2);
Ö) sin(x − 111); Ú)
os(x + 7=2); É) tg(−x − 3=2).
úÁÄÁÞÁ 9.3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ:
Á)
os(13=6); Â) sin(44=3); ×)
os(−21=2);
Ç) tg(77=4); Ä) sin(123=2); Å) sin(−19=3);
Ö) sin 3540◦; Ú) tg(−1050◦); É)
os 1575◦;
Ë) sin(−1200◦).
44

249. úÁÄÁÞÁ 9.4. ÷ÙÒÁÚÉÔÅ ÞÅÒÅÚ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎË

250. ÉÀ ÞÉÓ-
Ì
Á, ÌÅÖÁÝÅÇÏ ÎÁ ÏÔÒÅÚËÅ [0; =2℄:
Á) tg 19;3; Â) tg 10; ×) sin 46=9;
Ç)
os 114; Ä) sin(−9); Å) sin 22=7.
úÁÄÁÞÁ 9.5. ïÒÅÄÅÌÉÔÅ ÚÎÁËÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ:
Á) sin(127=5); Â)
os(−26;17); ×) tg 83;1;
Ç)
os 17; Ä) sin(−46).
úÁÄÁÞÁ 9.6. ðÕÓÔØ ÎÁ ÌÏÓËÏÓÔÉ ÚÁÄÁÎÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ É ÔÏÞ-
ËÁ M Ó ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍÉ (a; b). úÁÉÛÉÔÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÔÏÞËÉ, × ËÏ-
ÔÏÒÕÀ M ÅÒÅÈÏÄÉÔ ÒÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÈ:
Á) ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ ÁÂÓ

251. ÉÓÓ;
Â) ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÓÉ ÏÒÄÉÎÁÔ;
×) ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ;
Ç) Ï×ÏÒÏÔÅ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÎÁÞÁÌÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÎÁ 90◦ × ÏÌÏÖÉ-
ÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÒÁ×ÌÅÎÉÉ;
Ä) ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÒÑÍÏÊ Ó ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ y = x.
§10. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
âÕÄÅÍ ÕÞÉÔØÓÑ ÒÅÛÁÔØ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ. îÁÞÎÅÍ
Ó ÓÁÍÏÇÏ ÒÏÓÔÏÇÏ: ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ sin x = 1. íÙ ÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ sin x|
ÏÒÄÉÎÁÔÁ ÔÏÞËÉ x ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ. îÁ ÎÅÊ
ÅÓÔØ ÔÏÌØËÏ ÏÄÎÁ ÔÏÞËÁ Ó ÏÒÄÉÎÁÔÏÊ 1 | ÔÏÞËÁ M ÎÁ ÒÉÓ. 10.1Á.
ïÄÎÏ ÉÚ ÞÉÓÅÌ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÔÏÞËÅ M, | ÜÔÏ ÞÉÓÌÏ =2. ëÒÏ-
ÍÅ =2 ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ, ÏÞÅ×ÉÄÎÏ, ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ×ÉÄÁ =2+
2n, ÇÄÅ n|

252. ÅÌÏÅ ÞÉÓÌÏ, É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ. ÷ÍÅÓÔÏ €n|

253. ÅÌÏÅ ÞÉÓÌρ
ÒÉÎÑÔÏ ÉÓÁÔØ €n ∈ Z (ÂÕË×ÁÌØÎÙÊ ÅÒÅ×ÏÄ: €n ÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ×ÓÅÈ

254. ÅÌÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÍÏÍÕ Z). éÔÁË, ÒÅÛÅÎÉÑ
45

255. M M
N
Á) Â)
òÉÓ. 10.1. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ.
ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ sin x = 1 ÍÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÔÁË: x = =2 + 2n;n ∈ Z.
íÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÒÅÛÅÎÉÑ ÜÔÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ É × ×ÉÄÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á:
n
2
+ 2n; n ∈ Z
o
:
íÏÖÎÏ, ÎÁËÏÎÅ

256. , ÎÁÉÓÁÔØ ÔÁË:
ïÔ×ÅÔ:
2
+ 2n; n ∈ Z:
òÅÛÉÍ ÅÝÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ
os x = 0. ÁË ËÁË
os x| ÁÂÓ

257. ÉÓÓÁ ÔÏÞ-
ËÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ x, ÎÁ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ËÒÕÇÅ ÞÉÓÌÕ x
ÍÏÇÕÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Ï×ÁÔØ ÔÏÞËÉ M É N (ÒÉÓ. 10.1Â), É ÔÏÌØËÏ ÏÎÉ.
ÏÞËÅ M, ËÁË ÍÙ ÔÏÌØËÏ ÞÔÏ ×ÙÑÓÎÉÌÉ, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÞÉÓÌÁ ×É-
ÄÁ =2 + 2n;n ∈ Z. ÏÞËÅ N ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ, × ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, ÞÉÓÌÏ
−=2, Á ÚÎÁÞÉÔ, É ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ ×ÉÄÁ −=2 + 2m (m ∈ Z).
íÏÖÎÏ ÚÁÉÓÁÔØ ÏÂÁ ÜÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á ÞÉÓÅÌ ÏÄÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ,
Á ÉÍÅÎÎÏ x = =2 + n (n ∈ Z). õÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÜÔÁ ÆÏÒÍÕÌÁ ÄÁÅÔ
× ÔÏÞÎÏÓÔÉ ×ÓÅ ÞÉÓÌÁ, ËÏÔÏÒÙÍ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÅÔ ÔÏÞËÁ M ÉÌÉ N ÎÁ
ÒÉÓ 10.1Â.
òÅÛÅÎÉÑ ÜÔÉÈ É ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙÈ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ
ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÙ ÎÁ ÒÉÓ. 10.2.
ðÒÅÖÄÅ ÞÅÍ ÞÉÔÁÔØ ÄÁÌØÛÅ, ÕÂÅÄÉÔÅÓØ, ÞÔÏ ÒÅÛÅÎÉÑ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ ÎÁ ÒÉÓ 10.2 ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ ÒÉÓÕÎËÁÍ.
46

258. sin x = 1; x =
2
+ 2n;n ∈ Z
sin x = 0; x = n;n ∈ Z
sin x = −1; x = −
2
+ 2n;n ∈ Z
os x = 1; x = 2n;n ∈ Z
os x = 0; x =
2
+ n;n ∈ Z
os x = −1; x = + 2n;n ∈ Z
òÉÓ. 10.2. ðÒÏÓÔÅÊÛÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ: ÓÉÓÔÅÍÁÔÉÚÁ