Anexos: https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_w0&ab_channel=julioprofe https://www.youtube.com/watch?v=m_5-WS9Nd68&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex https://www.youtube.com/watch?v=m_5-WS9Nd68&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

1. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sede Barcelona-Edo. Anzoátegui
Profesor:
Pedro Beltrán
Alumna:
Romina Méndez
Arquitectura-3er semestre
C.I: 28.649.607

2. En la matemática básica una de las materias fundamentales para su formación, es sin duda, el cálculo integral
de funciones de varias variables reales y no sólo en las facultades de matemáticas, sino también en las de
ciencias y en las escuelas técnicas. Además de ser imprescindible en muchas otras materias, como la teoría de la
probabilidad, el análisis de Fourier, las ecuaciones diferenciales y funcionales, etc. De esa forma en esta
presentación se trabajaran contenidos como: Límite y continuidad de una función en el Espacio R3, Derivación
de funciones de varias variables (en el Espacio R3 ),derivadas parciales ,diferencial total, gradientes,
divergencia y Rotor, plano tangente y recta normal, etc. También de los teoremas de integración reiterada y
del cambio de variables para integrales múltiples, se desarrollan otros temas, como la integración de funciones
dependientes de parámetros y las integrales de línea y superficie. Con el fin de adecuar los temas a los
conocimientos de los alumnos a los que va dirigido el libro, se compaginan los conceptos teóricos con las
demostraciones prácticas, reelaborando muchas de las pruebas y distribuyendo los temas de forma que sean
más cómodos de estudiar.
INTRODUCCIÓN

3.  Límites de funciones de varias variables.
En este apartado se estudia el concepto de límite de una función de varias variables y algunas de las técnicas
utilizadas en su cálculo. Después, basándose en este concepto, se establece la definición de función continua y
cómo estudiar la continuidad de una función de varias variables. En principio se comienza con campos escalares
y después se extiende la definición a los campos vectoriales.
 Límite de un campo escalar.
Antes de comenzar con los campos escalares conviene recordar la definición de límite en un punto de una
función real de variable real y= f(x) de la forma:
donde D=(a,b) es un intervalo abierto.
Límite y continuidad de una función en
el Espacio R3

4. Derivación de funciones de varias variables
En este apartado se presentan los conceptos básicos que aparecen en la derivación de
funciones de varias variables. La idea es establecer un método para estudiar sus variaciones y
también definir el concepto de diferenciabilidad. Por último, se presenta la forma de resolver
algunos problemas de optimización, en varias variables, sencillos.
Antes de comenzar con la derivación de funciones de varias variables conviene recordar este
concepto en el contexto de las funciones reales de una variable real. Así, dada una función de la
forma
Derivadas parciales
se define la derivada de f en 𝑋0 como el limite:

5. En análisis matemático, la diferencial total de una función real de diversas variables reales
corresponde a una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son
los del gradiente de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser
tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es el
número de variables dependientes de la función.
Por ejemplo, si z=z(x, y) una función diferenciable entonces el diferencial total de z es:
Representación
En cálculo vectorial, la diferencial total de una función se puede representar de la
siguiente manera:
Donde f es una función 𝑓 = 𝑓 (𝑥1, 𝑥2,….. 𝑥𝑛)
Diferencial total
se puede representar de la siguiente manera:

6. -Derivada total
La derivada total viene de derivar una función f que tiene variables (x,y,z) que
dependen de otras variables x= x(t), y=y(t), z= z(t). En ese caso, se puede derivar la
función respecto a t, y se obtiene que:

7. Ejemplos
Ejemplo 2:
Ejemplo 1:
Una función sencilla Un ejemplo algo mas complejo y mas
ilustrativo podría ser

8. Gradientes
En matemáticas, el ‘gradiente’ es una generalización multivariable de la derivada. Mientras que
una derivada se puede definir solo en funciones de una sola variable, para funciones de varias
variables, el gradiente toma su lugar. El gradiente es una función de valor vectorial, a diferencia
de una derivada, que es una función de valor escalar.
Al igual que la derivada, el gradiente representa la pendiente de la línea tangente a la gráfica de
una función. Más precisamente, el gradiente apunta a los puntos de la gráfica a los cuales la
gráfica tiene un mayor incremento. La magnitud del gradiente es la pendiente de la gráfica en
esa dirección.
Los componentes del gradiente en coordenadas son los coeficientes de las variables presentes
en la ecuación del espacio tangente al gráfico. Esta propiedad de caracterización del degradado
permite que se defina independientemente de la elección del sistema de coordenadas, como
un campo vectorial cuyos componentes en un sistema de coordenadas se transformarán cuando
se pase de un sistema de coordenadas a otro.

9. Se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P (campo escalar de 3
variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la
presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una
montaña como campo escalar, que asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud
(campo escalar de 2 variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de
máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las líneas de contorno
(líneas «equiescalares») del mapa. El gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones
coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto es:
1

10. Interpretación del gradiente
De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la
curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo, temperatura),
etc. Algunos ejemplos son:
● Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo escalar,
de tal manera que en cualquier punto (x,y,z), la temperatura es Ø (x,y,z). Asumiremos
que la temperatura no varía con respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la
habitación, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura
aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuan rápido aumenta la
temperatura en esa dirección.
● Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y). El
gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor grado de
inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se encuentra
la pendiente.

11. Divergencia y Rotor
Divergencia
La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la
superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será
positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la
que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente
igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido.1 Llamado también campo solenoidal.
La divergencia de un campo vectorial
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del
campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

12. Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del
campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se
dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que
tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que
dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas fuentes y las
negativas sumideros del campo eléctrico

13. Rotor
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales definidos en un
abierto de 𝑅3
que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre
la que se integra se reduce a un punto:
Aquí, es el área de la superficie apoyada en la curva C, que se reduce a un punto. El resultado de este
límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal
a y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán
calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares
Aunque el que el rotacional de un campo alrededor de un punto sea distinto de cero no implica que las
líneas de campo giren alrededor de ese punto y lo encierren.

14. Por ejemplo:
El campo de velocidades de un fluido que circula por una tubería (conocido
como perfil de Poiseuille) posee un rotacional no nulo en todas partes, salvo en
el eje central, pese a que la corriente fluye en línea recta:
La idea es que si colocamos una rueda de paletas infinitamente pequeña en el
interior del campo vectorial, esta rueda girará, aunque el campo tenga siempre
la misma dirección, debido a la diferente magnitud del campo a un lado y a otro
de la rueda.

15. Plano tangente y recta normal
Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las
tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.
Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano
tangente.
Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del
plano tangente en un punto P(𝑥0
, 𝑦0
,𝑧0
) de la superficie viene definido por la ecuación:
Y la recta normal por:

16. Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la
ecuación del plano tangente en el punto P(𝑥0
, 𝑦0
,𝑧0
) viene definida por
y la ecuación de la recta normal:
La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una
función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no
sobre la superficie.

17. Ejemplo: Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación
en el punto P(1,2,3).
Solución:
Hallamos las derivadas parciales:
En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:
Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es:
y la ecuación de la recta normal es:

18. Regla de la cadena
La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene
aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Descripción de la regla
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez
depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser
calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de
cambio de u con respecto a x.
Descripción algebraica
En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si f es
diferenciable en x y g es una función diferenciable en f(x), entonces la función compuesta
(g o f) (x)= g (f (x) ), es diferenciable en x, y

19. La regla de la cadena sirve para derivar la composición de funciones. La derivada de la composición
es
Es decir
Ejemplo 1
a)Sea la función
b)Es composición de las siguientes funciones:
c)ya que
d)O, equivalentemente, f=p(q)f=p(q).
e)Las derivadas son
f)Por tanto, por la regla de la cadena,

20. Jacobiano
La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de
una función.
De manera que la fórmula de la matriz Jacobiana es la siguiente:
Por tanto, las matrices Jacobianas siempre tendrán tantas filas como funciones
escalares (f1, f2,……fm) tenga la función, y el número de columnas coincidirá con el
número de variables (𝑋1 ,𝑋2,…𝑋𝑛)

21. Ejemplo de cómo calcular la matriz Jacobiana
Determina la matriz Jacobiana en el punto (1,2) de la siguiente función:
Lo primero que debemos hacer es calcular todas las derivadas parciales de primer orden de la
función:
Ahora aplicamos la fórmula de la matriz Jacobiana. En este caso la función tiene dos variables y dos
funciones escalares, por lo que la matriz Jacobiana será una matriz cuadrada de dimensión 2×2:

22. Una vez tenemos la expresión de la matriz Jacobiana, la evaluamos en el punto
(1,2):
Y, finalmente, realizamos las operaciones y obtenemos la solución:

23. Máximos relativos
Si 𝑓 es una función derivable en 𝑎 ∊ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 , entonces a es un máximo relativo o local si:
-𝑓1
(a) ═0
-𝑓2
(a)<0
Mínimos relativos
Si 𝑓 es una función derivable en 𝑎 ∊ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 , entonces a es un mínimo relativo o local si:
-𝑓1
(a) ═0
-𝑓2
(a)>0
Extremos relativos
En términos simples se trata de puntos donde una función adquiere un máximo o mínimo valor
posible, esto es en comparación a los puntos de un entorno cercano a ellos, a este tipo de puntos
los llamaremos extremos relativos.
Si 𝑓 es una función en 𝑎 ∊ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 , entonces 𝑎 es un extremo relativo o local si:
-𝑓1
(a) ═0
-𝑓2
(a)≠0

24. Cálculo de máximos y mínimos
Consideremos a la siguiente función 𝑓 𝑥 = 𝑥3
- 3𝑥 + 2
Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos
1.- Hallamos la primera derivada de la función y calculamos sus raíces
Primero la derivada de la función
Ahora sus raíces, resolviendo la ecuación
Entonces sus raíces son

25. 2.-Realizamos la segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella y sus raíces
Calculamos la segunda derivada de la función
Evaluaremos las raíces obtenidas en la segunda derivada
3.- Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos

26. Multiplicadores de Lagrange
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, es un procedimiento para encontrar los
máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema
restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas
ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada
restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange.
El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos
estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones
implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una
función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a
las variables independientes de la función sean iguales a cero.
El método de los multiplicadores de Lagrange
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ 𝑅𝑛
}. Se definen s restricciones 𝑔𝑘 (x) = 0, k=1,..., s, y
se observa (si las restricciones son satisfechas) que:
Se procede a buscar un
extremo para h
Lo que es equivalente a

27. Integración de funciones de varias variables

28. Integrales dobles y triples. Integral en línea
Integral doble
Sea f(x,y) una función continua para los valores de x,y que pertenecen a R. Para un y fijo
obtenemos la función F(x)=f(x,y) que también es continua y por tanto integrable en [a,b], por
tanto, la función obtenida, G(y), es continua y por tanto integrable en [c,d] de tal forma que
podemos definir la integral doble de la función f(x,y) el rectángulo R=[a,b]x[c,d] como:
Ejemplo
Calcular la integral doble ∫∫xy dx dy en el rectángulo R= [0,1]x[0,2].

29. Integral triple
Si f es una función acotada y, existe el los entonces se dice que f
es integrable, y al valor de este límite se le llama integral triple sobre R, y se representa
Se cumplen las mismas propiedades que en la integral doble.
1. Toda función continua es integrable
2. Linealidad, monotonía y aditividad
3. Teorema de Fubini para integrales triples por el cual toda integral triple se puede
hallar por integración reiterada.

30. Teorema de Gauss
Sea V un volumen cerrado en el espacio, y S su frontera parametrizada (es decir, su "piel"),
entonces, si 𝐹: 𝑉∁𝑅3 → 𝑅3 , es una función diferenciable en V
Con este teorema, podemos convertir complicadas integrales de superficies, en integrales de
volúmenes.
-Calcular div(F).
-Encontrar la región de integración V (un volumen, es decir, variables).
-Calcular la integral con 3 variables.

31. Teorema de Ampere
La circulación del vector campo magnético a lo largo de una curva cerrada que
rodea a un conductor por el que circula una corriente de intensidad I, es igual al
producto de la constante µo (permeabilidad magnética del vacío) por la intensidad
que penetra en el área limitada por la curva.
• μ0 es la permeabilidad del vacío
• dl es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto
• IT es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la
trayectoria, y será positiva o negativa según el sentido con el que atraviese a la
superficie.

32. Teorema de Stokes
Sea S una superficie del espacio y C su frontera (o límites), y sea 𝐹: 𝑆∁𝑅3 → 𝑅3
una función diferenciable en , entonces
Este teorema nos puede resolver problemas de integración cuando la curva en la
que tenemos que integrar es complicada.
También nos dice que si F tiene rotacional 0 en S, entonces su integral a lo largo
de la curva C es cero.
Procedimiento
-Encontrar la región de integración S parametrizada (una superficie, es decir, 2
variables).
-Calcular rot(F) .
-Calcular la integral de 2 variables del rotacional de F.

33. Teorema de Green
Sea 𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝐹𝑥 𝑥, , 𝐹𝑦 𝑥, 𝑦 ) una función diferenciable de dos variables en el
plano, y sea D una región del plano real. Sea C la frontera de D. Entonces:

34. Después de una extensa investigación sobre la derivación e integración de funciones
de varias variables, se pudo llegar a explorar el contenido de diversas maneras,
partiendo de analizar sus diversas definiciones y las formulas que normalmente son
utilizadas en estos tipos de problemas, hasta lograr conseguir el mayor
entendimiento y comprensión de los mismos. Con la finalidad de que posteriormente
se pongan en práctica todos y cada uno de los temas de la información recolectada.
CONCLUSION

35. ANEXOS
● https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_w0&ab_channel=julioprofe
● https://www.youtube.com/watch?v=m_5-
WS9Nd68&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex
● https://www.youtube.com/watch?v=m_5-
WS9Nd68&ab_channel=Matem%C3%A1ticasprofeAlex

36. ● https://portal.uah.es/portal/page/portal/GP_EPD/PG-MA-ASIG/PG-ASIG-
32395/TAB40335/VariasVariables02L%EDmites%20y%20continuidad.pdf
● https://portal.uah.es/portal/page/portal/GP_EPD/PG-MA-ASIG/PG-ASIG-
32395/TAB40335/Variasvariables03derivacion.pdf
● http://www.eco.uc3m.es/docencia/matematicasii/notas/cap2.pdf
● http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_vv.htm
● https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_total#:~:text=En%20an%C3%A1lisis%20matem%C3%A1tic
o%2C%20la%20diferencial,del%20gradiente%20de%20la%20funci%C3%B3n.
● https://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente
● https://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matem%C3%A1tica)
● https://es.wikipedia.org/wiki/Rotacional
● https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadena
● https://www.problemasyecuaciones.com/funciones/derivadas/reglas-derivacion-cadena-
ejemplos-suma-resta-producto-cociente-derivadas.html
BIBLIOGRAFIA