1. This document discusses different methods for counting line segments, triangles, squares, and quadrilaterals using formulas. 2. For line segments, the formula is n(n+1)/2, where n is the number of segments in a line. This is applied individually to each line and summed. 3. For triangles, the formula is n(n+1)/2 multiplied by the number of symmetrical bases. This is applied to each base and multiplied by the total number of bases. 4. For squares, the formula is n(n+1)/2(2n+1), where n is the number of squares in a line. This is applied individually to each line and summed

1. Segmentos
Cuadrados
Triángulos
Cuadriláteras

2. SEGMENTOS
(contar)

3. 1
1
1
2
3
6
5
2
10
7
8 9
1 + +
2 3
2
4
5
3
1
= 3
6 = 6
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
SEGMENTOS
(contar)
Es fácil ontar
segmentos cuando
son pocos
Es fácil contar
segmentos cuando
son pocos
¿Pero qué Podemos
hacer cuando son
muchos?
Observe
esto
Si sumamos la
secuencia de números
que contiene una linea
segmentada
Ahora
utilizaremos
una fórmula
Obtendremos
el total de
segmentos
Esta linea contiene 4
segmentos cortos.
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
𝟒 𝟒 + 𝟏
𝟐
= 𝟏𝟎
Apliquemos
la fórmula
Sutituyamos
valores
Este es el
resultado
Este es el
resultado
Ahora contemos los
demás segmentos

4. Segmentos
(contar segmentos con la fórmula)
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
1 2 3 4 6
5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
22
18
19 20
21
23
24
25 26
27 28
29 30 31 32
Contar de
esta forma
sería muy
tedioso
Pero
tenemos
una
fórmula
Tenemos
32
segmentos
Tenemos
una fórmula
sustituimos
Realizamos
la operación
Este es el
resultado

5. Segmentos
(contar segmentos con la fórmula)
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
𝟒 × 𝟓 = 𝟏𝟎
𝟐
𝟒 × 𝟓
𝟐
= 𝟏𝟎
𝟒 × 𝟓
𝟐
= 𝟏𝟎
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
+ (15x3)
1
2
3
4
2 3 4 5
(10x4) = 40 + 45 = 85
𝟒 × 𝟒 = 𝟏𝟔
----------------
𝟏𝟔 × 𝟏𝟕
𝟐
= 𝟏𝟑𝟕
𝟒 × 𝟓
𝟐
= 𝟏𝟎
Podríamos asumir
erróneamente, que porque
temenos 4 segmentos y 4
lineas, podríamos multiplicar
el total de cada linea para
obtener el total de
segmentos
Y que por lo tanto, si
sustituimos los valores en la
fórmula, este sería el
resultado
Pero esto es
no es así
La forma correcta es
aplicar la fórmula a
cada linea
La forma correcta es
aplicar la fórmula a
cada linea
Se suman los
resultados
Este es el total
de segmentos
Se multiplica
el resultado de
las lineas
convergentes
y paralelas
Se multiplica
el resultado de
las lineas
convergentes
y paralelas

6. 𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
¿La fórmula
también aplica para
contar triángulos?
Sí

7. 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4
𝟓 𝟓 + 𝟏
𝟐
=
𝟓 × 𝟔
𝟐
=
𝟑𝟎
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
5
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟏𝟓 × 𝟓 = 𝟕𝟓
Triángulos
(contar)
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
Se cuentan los
segmentos de la
primera base
Se aplica la fórmula
Aplicamos lo mismo
para las otra bases
Se multiplica el resultado de cada
base por el total de bases
Este es el
resultado
En figuras que guardan simetría se
puede modificar la fórmula. m es
igual a la cantidad de bases
simétricas que tiene el triángulo
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
× 𝒎
2
1
3
4
5
𝟓 𝟓 + 𝟏
𝟐
𝟓 𝟓 + 𝟏
𝟐
× 𝟓
𝟓 𝟔
𝟐
× 𝟓 = 𝟕𝟓
Si
aplicamos la
fórmula
Si
resolvemos
la fórmula

8. Triángulos
(contar)
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1 2
3 4
1 2 3
5
4 5
1
2
3
1
1
2
3
2
1
2
3
3
1
2
3
𝟔𝟎 + 𝟑𝟎 =
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟔 × 𝟓 = 𝟑𝟎
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔 𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟏𝟓 × 𝟒 = 𝟔𝟎
𝟗𝟎
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
La fórmula
también aplica
para este
triángulo
Contamos los
segmentos de la
primera base y
aplicamos la
fórmula
Hacemos lo
mismo con el
resto de las
bases
Multiplicamos
los resultados
por el total de
bases
Repetimos toda
la operación
con las bases
del otro
triángulo
Multiplicamos
los resultados
por el total de
bases
Sumamos el resultado
de ambas
multiplicaciones
Este es
el total
𝟓 𝟓 + 𝟏
𝟐
× 𝟒 +
𝟑 𝟑 + 𝟏
𝟐
× 𝟓 = 𝟗𝟎
Aquí también aplica la fórmula modificada. Sin
embargo, por ser dos triángulos se aplica la
fórmula dos veces y se suma

9. Triángulos
(Contar)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3
6 7 𝟕 × 𝟖
𝟐
= 𝟐𝟖
𝟒 × 𝟓
𝟐
= 𝟏𝟎
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟓 × 𝟔
𝟐
= 𝟏𝟓
𝟐𝟖 + 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 + 𝟔 = 𝟓𝟗
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
La fórmula también aplica
para estos triángulos
Se cuentan los
segmentos de la
primera base
Se aplica la fórmula
a la base
Aplica los
mismo para
las otras
bases
Se suma el resultado de cada base
para obtener el total de triángulos
Este es el
resultado

10. Cuadrados
(contar) 1 2 3 4 5
2
3
4
5
𝟓𝟐
𝟒𝟐
𝟑𝟐
𝟐𝟐
𝟏𝟐
𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟏
𝟔
𝟓 𝟔 𝟏𝟎 + 𝟏
𝟔
𝟓 𝟔 𝟏𝟏
𝟔
=
𝟓 × 𝟏𝟏 = 𝟓𝟓
𝟐𝟓
𝟏𝟔
𝟗
𝟒
𝟏
55
+
Hagamos la multiplicación
empezando por los últimos
números de cada linea y
continuamos con los anterioree
Como multiplicamos
números iguales, los
podemos representar así
Al realizar la operación
obtenemos estos
resultados
Sumamos y obtenemos el
total de cuadrados que
contiene la forma
¡Tenemos
formula!
𝟓 𝟓 + 𝟏 𝟐 × 𝟓 + 𝟏
6
Sustituimos el total de
cuadros de cada linea.
Como es un cuadrado no
importa el orden del total
cuadrados de las lineas ya
que es el mismo
Reducimos la
ecuación
Reducimos
aún más
Realizamos la operación y
obtenemos el resultado

11. Cuadrados en Formas
Rectángulares
(contar)
22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33
1 2 3 4 5 6 7
2
3
34 35 36 37 38
𝟕 × 𝟑 + 𝟔 × 𝟐 + 𝟓 × 𝟏 = 𝟐𝟏 +𝟏𝟐 + 𝟓 = 𝟑𝟖
= 𝟑𝟖
Si contamos los
cuadrados de la
primera linea
obtendremos 7
cuadrados
La misma
cantidad nos
arrojará el
contéo en cada
una de las otras
dos lineas
= 𝟕
= 𝟕
= 𝟕
= 𝟐𝟏 Sumemos
Ahora contemos
los cuadrados
más grandes
Ahora
utilizaremos
un método
más corto
Tenemos 21 cuadrados
a la vista
Obtenemos
un total de
38
cuadrados
en la forma
Enumeremos la
primera columna
horizontal y la
primera vertical
+
Se multiplica
el último
número de
cada linea
Se multiplica
el penúltimo
número de
cada linea
Se multiplica el
antepenúltimo
número de cada
linea
Nota: esto se
repite hasta
agotar
alguna de las
lineas como
en este caso
Se suma el resultado
de cada multiplicación y
se obtiene el total de
cuadrados

12. Cuadrados en Formas
Rectángulares
(Contar)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
9 × 4 + 8 × 3 + 7 × 2 + 6 × 1 = 80
1 2 3 4
2
3
4
5
6
7
7 × 4 + 6 × 3 + 5 × 2 + 4 × 1 = 60
1 2 3 4
2
3
4
𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟏
𝟔
80 + 60 – 30 = 110
Primero, vamos a utilizar el método de
conteo de cuadrados en rectángulos, ya
que tenemos dos rectángulos
Primero, vamos a utilizar el método de
contéo de cuadrados en rectángulos, ya
que tenemos dos rectángulos
Hagamos lo
mismo con el
segundo
rectángulo
Ahora hagamos
toda la
operación con
el primer
rectángulo
𝟒 𝟒 + 𝟏 𝟐[𝟒] + 𝟏
𝟔
𝟒 𝟓 𝟖 + 𝟏
𝟔
𝟒 × 𝟓 × 𝟗
𝟔
=
Pero… este cuadro lo
contamos dos veces,
lo temenos que restar
Usemos la
fórmula
Se aplica la
fórmula, se
simplifica,
Se obtiene el
resultado
30
Este es el resultado de
todas las operaciones

13. Cuadriláteros
(Contar)
1 2 3 4 5 6 7
2
3
𝟕 𝟕 + 𝟏
𝟐
= 𝟐𝟖
𝟕 × 𝟖
𝟐
= 𝟐𝟖
𝟕 × 𝟖
𝟐
= 𝟐𝟖
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟑 × 𝟒
𝟐
= 𝟔
𝟑 𝟑 + 𝟏
𝟐
= 𝟔
𝟐𝟖 × 𝟔 = 𝟏𝟔𝟖
Para contar
CUADRILÁTEROS
existe una fórmula
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
×
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
Se pudiera pensar que
como en los triángulo, se
cuenta cada linea para
aplicar la fórmula
Pero esto no es correcto
Solo se cuenta una linea vertical y una
horizontal, se aplica la fórmula, y se realiza la
operación par obtener el resultado
Este es el total de
cuadriláteros en la
forma

14. Ángulos
(Contar) 1
2
3
4
5
6
𝒏 𝒏+𝟏
𝟐
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
− 𝟏
6 × 7
2
= 𝑠
6 6 + 1
2
= 𝑠
𝟒𝟐
𝟐
= 𝟐𝟏
6 7
2
= 𝑠
𝒏 𝒏 + 𝟏
𝟐
= 𝒔
Para contar ángulos también
se utiliza la misma fórmula
Para encontrar n contamos
los segmentos
Sustituimos la cantidades y
resolvemos la ecuación
Pero… estas
dos líneas
forman un
ángulo recto
¿Y si nos
preguntaron
cuantos
ángulos
agudos hay?
No hay
problema,
encorchamos
toda la
fórmula y le
restamos 1
𝟒𝟐
𝟐
= 𝟐𝟏 −𝟏 =
Este es el
resultado
𝟐𝟎

15. Ángulos
(Contar)
1
2
3
1 2 3
21
4
4
22
23 24
Tenemos dos
formas
encontradas
Entonces
aplicaremos
la fórmula
dos veces
𝒏 𝒏+𝟏
𝟐
+
𝒏 𝒏+𝟏
𝟐
𝟑(𝟑 + 𝟏)
𝟐
= 𝟔 +
𝟑(𝟑 + 𝟏)
𝟐
= 𝟔 = 𝟏𝟐
𝟒(𝟒 × 𝟏)
𝟐
= 𝟏𝟎
𝟒(𝟒 × 𝟏)
𝟐
= 𝟏𝟎
+ = 𝟐𝟎
Se cuenta los
segmentos de cada
forma
Se despeja la fórmula
Si agregamos un cuadrilátero
alrededor, aumentan los segmentos y
aumentan los ángulos
En las esquinas se forman cuatro
ángulos más, aunque estos son
ángulos rectos
Si los contamos, este sería el
total de ángulos
Este sería el
resultado
Este sería el
resultado

16. Contar Ángulos en
Paralelas con Secante(s)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Para estas
figuras
simplemente
se cuentas
los vértices

17. Contar Ángulos en
Paralelas con Secante
(con un cuadrilátero)
1
2
3
4
6
7
8
9 10 11 12 13 14
15 16
5
17 18 19 20
Al igual que la figura
anterior se cuentan los
vértices
…y si se agrega un
cuadrilátero también se
cuentan los vértices
agregados

18. ¿Te animas a hacerlo por tu
cuenta?

19. Gracias por tu
atención.
Amor y salud