2. 2
สารบัญ
หน่วยที่ หน้า
1. BASIC CONCEPTS 3
2.BASIC LAWS 10
3.Nodal Analysis 15
4.CIRCUIT THEOREMS 24
5.OP AMP 32

3. 3
หน่วยที่ 1
BASIC CONCEPTS
วงจรไฟฟ้า (Electric circuit)
วงจรไฟฟ้าหรือ โครงข่ายไฟฟ้า (Electric network) ก็คือการเชื่อมต่อกันของ อุปกรณ์ไฟฟ้า (Electric element) ตั้งแต่ 2 ตัวขึ้นไป
รูปที่ 1.1 วงจรไฟฟ้าอย่างง่ายที่ประกอบด้วยถ่านไฟฉาย
หน่วย SI (International System of Units)
หน่วยที่ใช้เป็นมาตรฐานในทางวิศวกรรมคือ หน่วย SI มีปริมาณพื้นฐานอยู่ 6 หน่วยดังแสดงในตาราง
ปริมาณ หน่วย สัญลักษณ์ ความยาว (Length) เมตร (Meter) m น้าหนัก (Mass) กิโลกรัม (kilogram) kg เวลา (Time) วินาที (Second) s กระแสไฟฟ้า (Electric Current) แอมแปร์ (Ampere) A อุณหภูมิ (Temperature) เคลวิน (Kelvin) K ความเข้มการส่องสว่าง (Luminous intensity) แคนเดอลา (Candela) cd

4. 4
คาอุปสรรคในหน่วย SI (SI Prefixes) ตัวคูณ คาอุปสรรค สัญลักษณ์ 109 Giga G 106 Mega M 103 Kilo K 102 Hecto H 101 Deka da 10-1 Deci d 10-2 Centi c 10-3 milli m 10-6 micro μ 10-9 nano n 10-12 pico p 10-15 femto f
ประจุไฟฟ้า (Electric Charge)
ประจุไฟฟ้าคือคุณสมบัติทางไฟฟ้าของอนุภาค ในสสารมีหน่วยเป็น คูลอมบ์ (Coulomb,C) โดย ประกอบด้วยประจุบวกและประจุลบ ซึ่งประจุชนิด เดียวกันจะผลักกันแต่ประจุต่างชนิดกันจะดูดกัน ประจุไฟฟ้านี้จะใช้อักษรย่อเป็น q หรือ Q
อนุภาคที่เล็กที่สุดของสสารซึ่งก็คืออะตอม (atom) ซึ่งในอะตอมแต่ละอะตอมจะ ประกอบด้วย อิเล็กตรอน (Electrons) โปรตอน (Protons) และนิวตรอน (Neutron) โดยที่ อิเล็กตรอนจะมีประจุขนาด -1.6021x10-19 คู ลอมบ์ โปรตอนจะมีประจุขนาด +1.6021x10-19 คูลอมบ์ ส่วนนิวตรอนจะไม่มีประจุ
รูปที่ 1.2 องค์ประกอบต่างๆของอะตอม
Charles- Augustin de Coulomb French physicist.(1736- 1806)

5. 5
กระแสไฟฟ้า (Electric Current)
กระแสไฟฟ้าใช้ตัวอักษร i หรือ I คืออัตราการ เคลื่อนที่ของประจุไฟฟ้าในหนึ่งหน่วยเวลา มีหน่วย เป็น แอมแปร์ (Ampere,A)
หรือเราสามารถหาประจุที่มีการส่งผ่านในช่วงเวลา t0 ถึง t ได้โดย
ไฟฟ้ากระแสตรง (Direct Current,DC)
คือ กระแสไฟฟ้าที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงตามเวล
ไฟฟ้ากระแสสลับ (Alternating Current,AC)
คือกระแสไฟฟ้าที่มีการเปลี่ยนแปลงตามเวลาเป็น รูปแบบฟังก์ชันไซน์
รูปที่ 1.3 ไฟฟ้ากระแสตรงและไฟฟ้ากระแสสลับ
Andre-Marie Ampere French physicist.(1775- 1836)
ในการเขียนค่าของกระแสไฟฟ้านั้นที่สาคัญคือเรื่องของทิศทาง เช่นในรูป 1.4(a) กระแสขนาด 3A เคลื่อนที่จากทางซ้ายไปทางขวา ซึ่งกระแสเดียวกันนี้ สามารถเขียนแสดงได้อีกรูปแบบหนึ่งคือรูปที่ 1.4(b) คือกระแสขนาด -3A เคลื่อนที่จากทางขวาไปทางซ้าย
รูปที่ 1.4 กระแสขนาดเท่ากันที่แสดงในสองรูปแบบ

6. 6
แรงดัน (Voltage)
แรงดันนี้ใช้อักษรย่อเป็น v หรือ V มีหน่วยเป็น โวลต์ (Volts,V) ซึ่งแรงดันคืองาน(Work) ที่ใช้ใน การเคลื่อนประจุ 1 คูลอมบ์จากจุดหนึ่งไปยังอีก จุดหนึ่ง
โดย w คืองาน มีหน่วยเป็น จูล (Joules,J)
สมมติว่าเรามีอุปกรณ์ไฟฟ้าตัวหนึ่งที่ต่ออยู่ที่ขั้ว a และ b งานที่ใช้เคลื่อนประจุ 1 คูลอมบ์ ผ่าน อุปกรณ์นั้นจากขั้ว a ไปยังขั้ว b เราเรียกว่าแรงดัน ระหว่างขั้ว a และขั้ว b หรือใช้อักษรย่อคือ vab ดังแสดงในรูปที่ 1.5(a) จากรูปจะเห็นว่า เครื่องหมายบวกและลบจะแสดงถึงว่าขั้วบวกมี แรงดันมากกว่าขั้วลบเท่ากับ vab โวลต์ รูปที่ 1.5(a) และ 1.5(b) แสดงถึงแรงดันที่มีค่าเท่ากัน ที่แสดงด้วยการเขียนตาแหน่งของขั้วบวกและลบ ที่ต่างกัน หรือกล่าวได้ว่า vab เท่ากับ -vba
รูปที่ 1.5 แรงดันขนาดเท่ากันที่ตกคร่อมอุปกรณ์ ไฟฟ้าหนึ่งแสดงในสองรูปแบบ
Alessandro Volta Italian physicist.(1745 - 1827)
James Prescott Joule English physicist.(1818 - 1889)
พลังงานและกาลังงาน (Power and Energy)
กาลังงานใช้อักษรย่อเป็น p หรือ P คืออัตราการใช้ พลังงาน มีหน่วยเป็นวัตต์ (Watt,W)
หรือ
James Watt Scottish engineer.(1736- 1819)

7. 7
การหาค่ากาลังงานนั้นจะกาหนดให้ทิศทางของกระแสไหลจากขั้วบวก ของแรงดันไปยังขั้วลบดังรูป 1.6 เราเรียกการกาหนดขั้วของแรงดัน และทิศทางของกระแสแบบนี้ว่า "การกาหนดเครื่องหมายแบบอุปกรณ์ พาสซีฟ" (passive sign convention)
รูปที่ 1.6 ขั้วของแรงดันและทิศทางของกระแสที่ใช้หาค่ากาลังงาน
ค่าของกาลังงานที่อุปกรณ์ไฟฟ้าใดๆนั้นสามารถเป็นได้ทั้งค่าบวกและลบขึ้นอยู่ กับค่าของแรงดันและกระแส โดยถ้ากาลังงานที่อุปกรณ์ไฟฟ้าใดๆมีค่าเป็นบวก จะเรียกว่าอุปกรณ์ไฟฟ้านั้น ดูดกลืนกาลังงาน (Absorbing power) แต่ถ้า กาลังงานที่อุปกรณ์ไฟฟ้าใดๆมีค่าเป็นลบจะเรียกว่าอุปกรณ์ไฟฟ้านั้น จ่ายกาลัง งาน (Delivering power หรือ Supplying power)
ส่วนพลังงานที่อุปกรณ์ไฟฟ้าหนึ่งๆใช้ไปในช่วงเวลา t0 ถึง t ใดๆคือ
พลังงานนั้นมีหน่วยเป็นจูล แต่บางครั้งในทางไฟฟ้ากาลังมักจะใช้หน่วยเป็น วัตต์ชั่วโมง (watt-hour ,Wh) โดย
1 Wh = 3600
อุปกรณ์ไวงานและอุปกรณ์เฉื่อยงาน (Active and Passive elements)
อุปกรณ์แบบเฉื่อยงาน (Passive element) คืออุปกรณ์ที่รับพลังงานเพียง อย่างเดียวไม่สามารถจ่ายพลังงานได้ หรือมีพลังงานเป็นบวกตลอดเวลา นั่นเอง จะได้ว่าอุปกรณ์เฉื่อยงานต้องเป็นไปตามสมการ
ตัวอย่างของอุปกรณ์แบบเฉื่อยงานก็คือตัวต้านทาน ตัวเก็บประจุและตัว เหนี่ยวนาเป็นต้น
ส่วนอุปกรณ์แบบไวงาน (Active element) ก็คืออุปกรณ์ที่สามารถจ่าย พลังงานได้นั่นเอง คืออุปกรณ์ที่มีค่าพลังงานเป็นบวกได้ ตัวอย่างของอุปกรณ์ แบบไวงานก็เช่นแบตเตอรี่ เครื่องกาเนิดไฟฟ้าเป็นต้น

8. 8
แหล่งจ่ายแรงดันและแหล่งจ่ายกระแส (Voltage and Current source)
แหล่งจ่ายแรงดันแบบอิสระ(Independent voltage source) ยกตัวอย่างเช่น แบตเตอรี่หรือ เครื่องกาเนิดไฟฟ้า ก็คืออุปกรณ์สองขั้วหนึ่งที่มีแรงดันระหว่างขั้วทั้ง สองเป็นค่าหนึ่ง โดยสามารถมีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านตัวเองเท่าไรก็ได้ ดังแสดง สัญลักษณ์ในรูปที่ 1.7 โดยในรูป 1.7(a) เป็นสัญลักษณ์ของแหล่งจ่ายแรงดันแบบ อิสระแบบทั่วๆไป ส่วนในรูป 1.7(b) เป็นสัญลักษณ์ของแหล่งจ่ายแรงดันแบบอิสระที่ เป็นแหล่งจ่ายไฟตรงหรือแบตเตอรี่นั่นเอง
รูปที่ 1.7 (a) สัญลักษณ์ของแหล่งจ่ายแรงดัน รูปที่ 1.7 (b) สัญลักษณ์ของแหล่งจ่ายแรงดันไฟตรง
ส่วนแหล่งจ่ายกระแสแบบอิสระ (Independent current source) ก็คืออุปกรณ์สอง ขั้วชนิดหนึ่ง ที่มีกระแสไหลผ่านตัวเองเป็นค่าหนึ่งโดยสามารถมีแรงดันตกคร่อม ตัวเองเท่าไรก็ได้ ดังแสดงสัญลักษณ์ในรูปที่ 1.8 โดยลูกศรในสัญลักษณ์แสดงทิศ ทางการไหลของกระแส
รูปที่ 1.8 สัญลักษณ์ของแหล่งจ่ายกระแส
แหล่งจ่ายแบบไม่อิสระ (Dependent source)
แหล่งจ่ายอีกชนิดหนึ่งคือแหล่งจ่ายแบบไม่อิสระ เป็นแหล่งจ่ายที่มีค่าเปลี่ยนแปลง ไปตามกระแส หรือแรงดันที่จุดหนึ่งๆในวงจรแบ่งได้เป็น 4 ชนิดคือ
1. แหล่งจ่ายแรงดันควบคุมด้วยแรงดัน (Voltage Controlled Voltage Source ,VCVS)
2. แหล่งจ่ายแรงดันควบคุมด้วยกระแส (Current Controlled Voltage Source ,CCVS)
3. แหล่งจ่ายกระแสควบคุมด้วยแรงดัน (Voltage Controlled Current Source ,VCCS)

9. 9
4. แหล่งจ่ายกระแสควบคุมด้วยกระแส (Current Controlled Current Source ,CCCS) สัญลักษณ์ของแหล่งจ่ายแบบไม่อิสระทั้งสี่แสดงดังรูปที่ 1.8
รูปที่ 1.9 แหล่งจ่ายแบบไม่อิสระ
แหล่งจ่ายทั้งสี่ดังรูป 1.9 แรงดัน v x และกระแส i x คือแรงดันหรือกระแสที่ทา หน้าที่ควบคุมแหล่งจ่ายนั้นๆส่วนค่า A จะเป็นตัวเลขที่แสดงอัตราขยายของ แหล่งจ่ายนั้น

10. 10
หน่วยที่ 2.
BASIC LAWS
กฎของโอห์ม (Ohm's Law)
วัสดุต่างๆจะมีคุณสมบัติในการต้านทานการ เคลื่อนที่ของประจุไฟฟ้า หรือกล่าวได้ว่า ต้านทาน การไหลของกระแสไฟฟ้า คุณสมบัตินี้ จะแตกต่างกันออกไปขึ้นอยู่กับวัสดุ โดยเราเรียก คุณสมบัติ ในการต้านทานการเคลื่อนที่ของประจุ ไฟฟ้านี้ว่า "ความต้านทานไฟฟ้า" (Resistance) เขียนเป็นสัญลักษณ์ได้คือ R มีหน่วยเป็นโอห์ม (Ω, Ohms)
อุปกรณ์ไฟฟ้าที่ใช้ในการต้านทานการไหลของ กระแสไฟฟ้านี้เราเรียกว่า "ตัวต้านทาน" (Resistor) มีสัญลักษณ์ดังรูปที่ 2.1
รูปที่ 2.1 สัญลักษณ์ของตัวต้านทาน
กฎของโอห์มกล่าวว่า
"แรงดันที่ตกคร่อมตัวต้านทานมีค่าแปรผันตรงกับ กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานนั้น"
โดยต้องกาหนดขั้วของแรงดันและทิศทางของ กระแส ตามรูปแบบการกาหนดเครื่องหมายแบบ อุปกรณ์พาสซีฟดังรูป 2.1 ด้วย กาลังงานที่ตัวต้านทานจะหาได้จาก
Georg Simon Ohm German physicist.(1789- 1854)

11. 11
การลัดวงจร (Short circuit)
คือการที่ค่าตัวต้านทานที่เท่ากับศูนย์ ซึ่งจากกฎของโอห์มถ้าค่า R = 0 จะได้ v = 0 นั่นเองโดยที่กระแส i มีค่าเท่าไรก็ได้
รูปที่ 2.2 การลัดวงจร
การเปิดวงจร (Open circuit)
คือการที่ค่าตัวต้านทานที่เท่ากับอนันต์ ซึ่งจากกฎของโอห์มถ้าค่า R = ∞ จะ ได้ i = 0 นั่นเองโดยที่แรงดัน v มีค่าเท่าไรก็ได้
รูปที่ 2.3 การเปิดวงจร
ความนาไฟฟ้า (Conductance)
ความนาไฟฟ้า ใช้อักษรย่อเป็น G มีหน่วยเป็นซี เมน (Siemens, S) เป็นความสามารถในการ นากระแสไฟฟ้าของอุปกรณ์ ซึ่งก็คือส่วนกลับของ ความต้านทานนั่นเอง
จะได้กฎของโอห์มในรูปของความนาเป็น
และค่ากาลังงานคือ
Ernst Werner von Siemens German inventor. (1816-1892)

12. 12
กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff's Current Law, KCL)
รูปที่ 2.4 ตัวอย่างของกระแสที่ไหลเข้าที่โนดใดๆ
Gustav Robert Kirchhoff German physicist.(1824- 1887)
กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์หรือเรียกสั้นๆว่า KCL กล่าวว่า
"ผลรวมทางพีชคณิตของกระแสที่ไหลเข้าโนดใดๆเท่ากับศูนย์"
จากรูป 2.4 จะได้ว่า
กระแส และ กระแส มีค่าติดลบเนื่องจากเป็นกระแสที่ไหลออกจากโนด
กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ (Kirchhoff's Voltage Law, KVL)
รูปที่ 2.5 ตัวอย่างของวงจรที่มีหนึ่งวงรอบปิด

13. 13
กฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์หรือเรียกสั้นๆว่า KVL กล่าวว่า
"ผลรวมทางพีชคณิตของแรงดันรอบวงรอบปิด (loop) ใดๆเท่ากับศูนย์"
จากรูป 2.5 จะได้ว่า
เครื่องหมายบวกหรือลบของแรงดันพิจารณาจากเครื่องหมายที่พบก่อนตาม ทิศทางที่กาหนด เช่นวงจรในรูปที่ 2.5 ในทิศทางตามเข็มนาฬิกาเริ่มต้นจาก แหล่งจ่ายแรงดัน ซึ่งจะเห็นว่า และ ตามทิศทางดังกล่าวจะพบ เครื่องหมาย
ตัวต้านทานต่ออนุกรม (Series resistors)
ตัวต้านทานที่ต่ออนุกรมกันจะได้ค่าความต้านทานรวมเป็นผลรวมของค่าความ ต้านทานแต่ละตัว
รูปที่ 2.6 ตัวต้านทานอนุกรมกัน N ตัว
การแบ่งแรงดัน (Voltage division)
ตัวต้านทานที่ต่ออนุกรมกันโดยมีแรงดันตกคร่อมรวมเป็น v จะได้แรงดันที่ตก คร่อมตัวต้านทานแต่ละตัวเป็นการแบ่งมาจากแรงดันรวมคือ
รูปที่ 2.7 การแบ่งแรงดัน

14. 14
โดยแรงดันที่ตกคร่อมตัวต้านทานแต่ละตัวหาได้จาก
ตัวต้านทานต่อขนาน (Parallel resistors)
ตัวต้านทานที่ต่อขนานกันจะได้ค่าส่วนกลับของความต้านทานรวมเป็นผลรวมของ ส่วนกลับของค่าความต้านทานแต่ละตัว หรือกล่าวได้ว่าค่าความนารวมเป็นผลรวม ของ ค่าความนาแต่ละตัวนั่นเอง
หรือ
รูปที่ 2.8 ตัวต้านทานขนานกัน N ตัว
การแบ่งกระแส (Current division)
ตัวต้านทานที่ต่อขนานกันโดยมีกระแสที่ไหลในวงจรรวมเป็น i จะได้กระแสที่ไหล ผ่านตัวต้านทานแต่ละตัวเป็นการแบ่งมาจากกระแสรวมคือ
รูปที่ 2.9 การแบ่งกระแส
โดยกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานแต่ละตัวหาได้จาก

15. 15
หน่วยที่ 3
Nodal Analysis
การวิเคราะห์แบบโนด (Nodal Analysis)
ถ้ากาหนดให้โนดใดโนดหนึ่งในวงจรเป็นโนดอ้างอิง (Reference Node) โดยโนดอ้างอิงนี้
จะกาหนดให้มีแรงดันโนดเท่ากับ 0 โวลต์ ซึ่งปกติแล้วจะให้โนดใดเป็นโนดอ้างอิงก็ได้
แต่ถ้าวงจรนั้นมีกราวน์ (ground) จะให้โนดกราวน์เป็นโนดอ้างอิง
รูปที่ 3.1 สัญลักษณ์ของกราวน์
แรงดันที่โนดใดๆในวงจรนั้นเมื่อเทียบกับโนดอ้างอิง จะกาหนดให้เป็นแรงดันประจาโนดคือ
แรงดันโนด (Node voltage)
รูปที่ 3.2 แรงดันโนด
กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานเมื่อเขียนเป็นสมการที่สัมพันธ์กับแรงดันโนดจะได้ป็น ผลต่างของแรงทั้งสองโนดที่ตัวต้านทานต่ออยู่หารด้วยค่าความต้านทานตามกฎของโอห์ม โดยผลต่างของแรงดันคือผลลบของแรงดันโนดตามทิศทางของกระแส เช่นรูปที่ 3.3 จะเขียนสมการได้ดังนี้
และ

16. 16
รูปที่ 3.3 กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานในทิศทางต่างๆ
ขั้นตอนการวิเคราะห์แบบโนด (Nodal Analysis) 1. กาหนดโนดอ้างอิง 2. กาหนดแรงดันโนดที่โนดต่างๆที่เหลือในวงจรที่ไม่ใช่โนด อ้างอิง (เช่นกาหนดให้แรงดันที่โนดหนึ่งเท่ากับ แรงดันที่ อีกโนดหนึ่งเป็น เป็นต้น) โดยถ้าวงจรมีทั้งหมด N โนด จะมีตัวแปรแรงดันเป็น N - 1 ตัวแปร 3. ใช้สมการ KCL หาผลรวมของกระแสที่ไหลเข้าหรือออกที่ โนดต่างๆ (จานวน N - 1 โนด) โดยใช้กฎของโอห์มแสดง กระแสที่ไหลผ่านอุปกรณ์ในรูปของตัวแปรแรงดันโนด (โดย ปกติจะกาหนดให้กระแสที่ไหลออกจากโนดมีค่าเป็นบวกส่วน กระแสที่ไหลเข้าโนดมีค่าเป็นลบ) 4. แก้สมการเพื่อหาตัวแปรแรงดันโนด ( , เป็นต้น)
ตัวอย่างการวิเคราะห์แบบโนด
รูปที่ 3.4 ตัวอย่างวงจรที่ใช้การวิเคราะห์แบบโนด
วงจรในรูปที่ 3.4 ได้กาหนดโนดอ้างอิงไว้ที่โนดด้านล่างสุดของวงจรซึ่งมีแรงดันโนดเป็น
0 โวลต์ โดยอีกสองโนดที่เหลือได้กาหนดให้มีแรงดันโนดเป็น และ ตามลาดับ

17. 17
ดังนั้นจะเขียนสมการ KCL ที่โนด ได้เป็น
หมายเหตุ
กาหนดให้กระแสที่ไหลออกจากโนดมีค่าเป็นบวก ส่วนกระแสที่ไหลเข้าโนดมีค่าเป็นลบ
และสมการ KCL ที่โนด เป็น
และเมื่อแก้สมการ KCL ที่โนดทั้งสองก็จะได้คาตอบคือแรงดันที่โนด และ
การวิเคราะห์แบบโนดกรณีที่มีแหล่งจ่ายแรงดัน
วิธีการวิเคราะห์แบบโนดนั้นใช้หลักการของ KCL ซึ่งจาเป็นต้องทราบค่าของกระแส ที่ไหลผ่านอุปกรณ์ต่างๆในวงจร แต่สาหรับแหล่งจ่ายแรงดันนั้นเราจะไม่ทราบว่ามี กระแสไหลผ่านเท่าใด ดังนั้นสาหรับวงจรที่ประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดันนั้น จะใช้ การสร้างพื้นผิวปิดล้อมรอบแหล่งจ่ายแรงดัน และอุปกรณ์ต่างๆที่ต่อขนานกับ แหล่งจ่ายแรงดันนั้น ซึ่งเราเรียกพื้นผิวปิดนี้ว่าซูปเปอร์โนด (Super nodes)

18. 18
เนื่องจากว่าซูปเปอร์โนดนี้ประกอบด้วยโนดภายในมากกว่า 1 โนด จากนั้นก็ทาการ เขียนสมการ KCL สาหรับพื้นผิวปิดนั้นโดยไม่สนใจกระแสที่ไหลภายในพื้นผิวปิด ข้อ ควรระวังก็คือเนื่องจาก ซูปเปอร์โนดนั้นประกอบด้วยโนดภายในมากกว่า 1 โนด ดังนั้นที่ซูปเปอร์โนดนั้นจะมีค่าแรงดันโนดหลายค่า
รูปที่ 3.5 ตัวอย่างวงจรที่มีแหล่งจ่ายแรงดัน
ในวงจรจะมีแหล่งจ่ายแรงดันสองแหล่งดังนั้นจะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง แหล่งจ่ายแรงดันและแรงดันโนดเป็น
และ
เขียนสมการ KCL ที่โนด ได้
ส่วนสมการ KCL ที่โนด คือ

19. 19
ส่วนที่ซูปเปอร์โนดทั้งสองจะต้องเขียนสมการ KCL ด้วย แต่เขียนสมการ KCL เฉพาะซูปเปอร์โนดที่ไม่ได้เชื่อมต่อกับกราวน์เท่านั้น ดังนั้นในที่นี้จึงมีซูปเปอร์โนด เดียวที่ต้องเขียนสมการคือ ซูปเปอร์โนดที่ประกอบด้วยแหล่งจ่าย
รูปที่ 3.6 ส่วนหนึ่งของวงจรรูปที่ 3.5
เขียนสมการที่ซูปเปอร์โนด ได้
สรุปได้ว่าจากวงจรนี้จะมีสมการสองสมการที่มาจากความสัมพันธ์ระหว่างแหล่งจ่าย แรงดันกับแรงดันโนด อีกสองสมการจากสมการ KCL ที่ไนด และอีกหนึ่งสมการจาก สมการ KCL ที่ซูปเปอร์โนด รวมทั้งหมด 5 สมการ ซึ่งสามารถใช้หาคาตอบคือ ถึง ได้ ขั้นตอนการวิเคราะห์แบบโนดกรณีมีแหล่งจ่ายแรงดัน 1. กาหนดโนดอ้างอิง 2. กาหนดแรงดันโนดที่โนดต่างๆที่เหลือในวงจรที่ไม่ใช่โนด อ้างอิง (เช่นกาหนดให้แรงดันที่โนดหนึ่งเท่ากับ แรงดันที่ อีกโนดหนึ่งเป็น เป็นต้น) โดยถ้าวงจรมีทั้งหมด N โนด จะมีตัวแปรแรงดันเป็น N - 1 ตัวแปร 3. สร้างพื้นผิวปิดล้อมรอบแหล่งจ่ายแรงดัน และอุปกรณ์ต่างๆที่ ต่อขนานกับแหล่งจ่ายแรงดันนั้น ซึ่งเราเรียกพื้นผิวปิดนี้ว่า ซูปเปอร์โนด 4. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างแหล่งจ่ายแรงดันและ แรงดันโนด 5. ใช้สมการ KCL หาผลรวมของกระแสที่ไหลเข้าหรือออกที่

20. 20
โนดต่างๆ และที่ซูปเปอร์โนดที่ไม่ได้เชื่อมต่อกับกราวน์ โดย ใช้กฎของโอห์มแสดงกระแสที่ไหลผ่านอุปกรณ์ในรูปของตัว แปรแรงดันโนด (โดยปกติจะกาหนดให้กระแสที่ไหลออกจาก โนดมีค่าเป็นบวกส่วนกระแสที่ไหลเข้าโนดมีค่าเป็นลบ) 6. แก้สมการทั้งหมดเพื่อหาตัวแปรแรงดันโนด ( , เป็นต้น)
การวิเคราะห์แบบเมช (Mesh Analysis)
เมช (mesh) นั้นหมายถึงวงรอบปิดใดๆในวงจรที่ไม่มีวงรอบปิดอื่นใดในนั้น พิจารณา วงจรในรูป 3.7 วงรอบปิด A และ B ก็คือเมช ส่วนวงรอบปิด C ไม่ถือว่าเป็นเมช เนื่องจากประกอบด้วยวงรอบปิด A และ B อยู่ภายใน
รูปที่ 3.7 ตัวอย่างของวงรอบปิด
วงจรที่จะนามาวิเคราะห์โดยวิธีเมชนั้นต้องเป็นวงจรที่มีลักษณะเป็นระนาบ (Planar circuit) ซึ่งหมายถึงวงจรที่สามารถเขียนได้โดยไม่ต้องมีอุปกรณ์ใดซ้อนทับกันดัง ตัวอย่างในรูปที่ 3.8
รูปที่ 3.8 ตัวอย่างของวงจรที่มีลักษณะเป็นระนาบและไม่เป็นระนาบ
ขั้นตอนการวิเคราะห์แบบเมช (Mesh Analysis) 1. กาหนดกระแสเมชในแต่ละเมช ( เช่น , เป็นต้น) 2. เขียนสมการ KVL ของแต่ละเมช โดยใช้กฎของโอห์มแสดง แรงดันที่ตกคร่อมตัวต้านทานต่างๆในรูปของกระแสเมช 3. แก้สมการเพื่อหาตัวแปรกระแสเมช

21. 21
ตัวอย่างการวิเคราะห์แบบเมช
รูปที่ 3.9 ตัวอย่างการวิเคราะห์แบบเมช
พิจารณารูปที่ 3.9 กาหนดเมชสองเมชซึ่งมีกระแสเมชเป็น และ ตามลาดับ ส่วน กระแส , และ เป็นกระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานทั้งสาม โดยกระแสเมชและ กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทานทั้งสามมีความสัมพันธ์กันคือ
ดังนั้นจะได้สมการ KVL ที่เมช คือ
และสมการ KVL ที่เมช คือ
เมื่อแก้สมการ KVL ที่เมชทั้งสองก็จะได้คาตอบคือกระแสเมช และ

22. 22
การวิเคราะห์แบบเมชกรณีที่มีแหล่งจ่ายกระแส
เนื่องจากเราไม่ทราบค่าของแรงดันที่ตกคร่อมแหล่งจ่ายกระแสซึ่งจะทาให้ไม่ สามารถเขียนสมการ KVL รอบเมชนั้นได้ แต่อย่างไรก็ตามเราจะทราบความสัมพันธ์ ระหว่างกระแสเมชและแหล่งจ่ายกระแสของวงจรรูป 3.10 ดังนี้
และ
รูปที่ 3.10 วงจรที่มีแหล่งจ่ายกระแส
จากนั้นทาการถอดเอาแหล่งจ่ายกระแสในวงจรนั้นออกไป เช่นวงจรรูปที่ 3.10 เมื่อ ถอดแหล่งจ่ายกระแสออกจะได้ดังรูปที่ 3.11ซึ่งเมื่อถอดแหล่งจ่ายกระแสออกไปแล้ว จะเกิดเมชใหม่ขึ้นมา เราเรียกเมชใหม่นี้ว่าซูปเปอร์เมช (Supermesh)
รูปที่ 3.11 วงจรรูปที่ 3.10 เมื่อถอดแหล่งจ่ายกระแสออก

23. 23
เขียนสมการ KVL รอบซูปเปอร์เมชได้
สรุปได้ว่าจากวงจรนี้จะมีสมการสองสมการที่มาจากความสัมพันธ์ระหว่าง แหล่งจ่ายกระแสและกระแสเมช และอีกหนึ่งสมการจากสมการ KVL ที่ ซูปเปอร์เมช รวมทั้งหมด 3 สมการ ซึ่งสามารถใช้หาคาตอบคือ ถึง ได้
ขั้นตอนการวิเคราะห์แบบเมชกรณีมีแหล่งจ่ายกระแส 1. กาหนดกระแสเมชในแต่ละเมช 2. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างแหล่งจ่ายกระแสและ กระแสเมช 3. ถอดแหล่งจ่ายกระแสทั้งหมดในวงจรออก 4. เขียนสมการ KVL รอบแต่ละเมช และแต่ละซูปเปอร์เมชของ วงจรที่ถอดแหล่งจ่ายกระแสออกแล้ว 5. แก้สมการเพื่อหาตัวแปรกระแสเมชทั้งหมด

24. 24
หน่วยที่ 4
CIRCUIT THEOREMS
วงจรเชิงเส้น (Linear Circuits)
ความเป็นเชิงเส้นของอุปกรณ์เชิงเส้นใดๆก็คืออุปกรณ์นั้นสามารถอธิบายได้ด้วย ความสัมพันธ์ ที่เป็นเชิงเส้นของอินพุตและเอาต์พุตของอุปกรณ์นั้น พิจารณา ความสัมพันธ์ตามกฎของโอห์มของตัวต้านทาน โดยมีกระแสไฟฟ้าเป็นอินพุตและมี แรงดันเป็นเอาต์พุตจะได้
การที่จะบอกได้ว่าความสัมพันธ์ใดเป็นความสัมพันธ์แบบเชิงเส้นนั้น ความสัมพันธ์นั้น จะต้องมีคุณสมบัติสองประการคือ
- คุณสมบัติการสเกล (Scaling property)
- คุณสมบัติการบวก (Additivity property) คุณสมบัติการสเกล
รูปที่ 4.1 คุณสมบัติการสเกล
คือคุณสมบัติที่อินพุตถูกคูณด้วยค่าคงที่ เอาต์พุตจะถูกคูณด้วยค่าคงที่นั้นด้วย พิจารณาตัวต้านทานถ้ากระแสไฟฟ้ามีค่าเพิ่มขึ้นเป็น k เท่าจะได้แรงดันที่ เอาต์พุตคือ
ดังนั้นสมการตามกฎของโอห์มมีคุณสมบัติการสเกล

25. 25
คุณสมบัติการบวก
รูปที่ 4.2 คุณสมบัติการบวก
คือคุณสมบัติที่ผลตอบสนอง(เอาต์พุต)ที่เกิดจากอินพุตแต่ละตัวรวมกัน จะมีค่า เท่ากับผลรวมของผลตอบสนองที่เกิดจากแต่ละอินพุต
ดังนั้นสมการตามกฎของโอห์มมีคุณสมบัติการบวก
พบว่าสมการตามกฎของโอห์มมีคุณสมบัติการสเกลและการบวก จึงสรุปได้ว่าสมการ ตามกฎของโอห์มเป็นสมการเชิงเส้น และตัวต้านทานเป็นอุปกรณ์เชิงเส้น เนื่องจาก ตัวต้านทานสามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้น
"อุปกรณ์เชิงเส้น คืออุปกรณ์ที่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้น"
วงจรใดๆที่ประกอบด้วยอุปกรณ์เชิงเส้น แหล่งจ่ายแบบไม่อิสระที่เป็นเชิงเส้นและ แหล่งจ่ายแบบอิสระ วงจรนั้นก็จะมีความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตของวงจร เป็นเชิงเส้นด้วย เราเรียกวงจรแบบนี้ว่าวงจรเชิงเส้น (Linear circuit)
"วงจรเชิงเส้น คือวงจรที่มีความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุตเป็นแบบเชิงเส้น"
รูปที่ 4.3 วงจรเชิงเส้นที่มีอินพุตเป็นแรงดันและมีเอาต์พุตเป็นกระแส

26. 26
พิจารณาวงจรในรูปที่ 4.3 ซึ่งเป็นวงจรเชิงเส้นที่มีอินพุตเป็นแรงดัน และมีเอาต์พุต เป็นกระแส สมมติว่าแรงดัน มีค่าเป็น 10V จะมีกระแส เป็น 2A โดยอาศัยหลัก ของความสัมพันธ์ที่เป็นเชิงเส้นถ้าเปลี่ยนแรงดัน ลดลง 10 เท่า เป็น 1V จะได้ ค่ากระแส ลดลง 10 เท่าด้วยเป็น 0.2A หรือในทางกลับกันถ้าต้องการกระแส เป็น 1mA ต้องเปลี่ยนแรงดัน เป็น 5mV เป็นต้น
ทฤษฎีการทับซ้อน (Superposition)
หลักการทับซ้อนกล่าวว่าผลตอบสนองของวงจร (แรงดันหรือกระแส) ของวงจรเชิง เส้นใดๆ เกิดจากผลรวมทางพีชคณิตของผลตอบสนองที่เกิดจากแหล่งจ่ายอิสระแต่ ละตัว โดยเมื่อคิดผลตอบสนองของวงจรซึ่งเกิดจากแหล่งจ่ายอิสระตัวหนึ่ง เราต้อง ให้แหล่งจ่ายอิสระตัวอื่นๆในวงจรมีค่าเท่ากับศูนย์ หรือก็คือกาจัดแหล่งจ่ายนั้นออก จากวงจร ถ้าเป็นแหล่งจ่ายกระแสเมื่อเราให้มีค่าเป็นศูนย์แอมป์แปร์ก็คือไม่มีกระแส ไหลก็เปรียบเสมือนเปิดวงจร (open circuit) แต่ถ้าเป็นแหล่งจ่ายแรงดันที่มีค่าเป็น ศูนย์โวลต์ก็เปรียบเสมือนกับการลัดวงจร (short circuit) นั่นเอง
รูปที่ 4.4 การกาจัดแหล่งจ่ายอิสระ

27. 27
ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีการทับซ้อน
พิจารณาวงจรรูปที่ 4.5 เป็นวงจรที่มีแหล่งจ่ายอิสระสองตัวคือแหล่งจ่ายแรงดันหนึ่ง ตัว และแหล่งจ่ายกระแสหนึ่งตัว ให้หาค่ากระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 4 โอห์มโดย ใช้ทฤษฎีการทับซ้อน
รูปที่ 4.5 วงจรที่มีแหล่งจ่ายอิสระสองตัว
เมื่อหาค่ากระแสที่เป็นผลมาจากแหล่งจ่ายแรงดันก็ทาการกาจัดแหล่งจ่ายกระแส ออกไป โดยการเปิดวงจรจะได้วงจรดังรูปที่ 4.6
รูปที่ 4.6 วงจรรูปที่ 4.5 เมื่อกาจัดแหล่งจ่ายกระแส
จะได้กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 4 โอห์มที่เกิดจากแหล่งจ่ายแรงดันเป็น
เมื่อหาค่ากระแสที่เป็นผลมาจากแหล่งจ่ายกระแสก็ทาการกาจัดแหล่งจ่ายแรงดัน ออกไป โดยการลัดวงจรจะได้วงจรดังรูปที่ 4.7
รูปที่ 4.7 วงจรรูปที่ 4.5 เมื่อกาจัดแหล่งจ่ายแรงดัน

28. 28
จะได้กระแสที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 4 โอห์มที่เกิดจากแหล่งจ่ายกระแสเป็น
ดังนั้นจะได้กระแสรวมที่ไหลผ่านตัวต้านทาน 4 โอห์มที่เกิดจากแหล่งจ่ายทั้ง สอง คือผลรวมของกระแสที่เกิดจากแหล่งจ่ายแต่ละตัว คือ
ขั้นตอนการหาผลตอบสนองของวงจรโดยอาศัยหลักการทับซ้อน 1. กาจัดแหล่งจ่ายอิสระทุกตัวในวงจรให้เหลือแหล่งจ่ายอิสระไว้เพียงตัว เดียว โดยการกาจัดแหล่งจ่ายแรงดันอิสระทาได้โดยการลัดวงจร ส่วน การกาจัดแหล่งจ่ายกระแสอิสระทาได้โดยการเปิดวงจร จากนั้นจึงหา ค่าผลตอบสนอง (กระแสหรือแรงดัน) ที่เกิดจากแหล่งจ่ายตัวนั้น 2. ทาซ้าขั้นตอนที่ 1 โดยเปลี่ยนไปหาผลตอบสนองที่เกิดจากแหล่งจ่าย อิสระตัวอื่นจนครบทุกตัว 3. หาผลรวม(ทางพีชคณิต)ของผลตอบสนองที่เกิดจากแหล่งจ่ายอิสระ แต่ละตัว
ทฤษฎีบทของเทวินินและนอร์ตัน (Thevenin & Norton's Theorems)
วงจรเชิงเส้นใดๆจะสามารถทาการเปลี่ยนเป็น วงจรสมมูลที่ง่ายต่อการวิเคราะห์วงจรมากขึ้น โดยประกอบด้วยแหล่งจ่ายแรงดันอนุกรมกับตัว ต้านทาน ที่เรียกว่าวงจรสมมูลของเทวินิน (Thevenin's equivalent circuit) ดังรูปที่ 4.9(a) หรือวงจรที่ประกอบด้วยแหล่งจ่ายกระแส ขนานกับตัวต้านทาน ที่เรียกว่าวงจรสมมูลของ นอร์ตัน (Norton's equivalent circuit) ดังรูปที่ 4.9(b)
รูปที่ 4.8 วงจรเชิงเส้นใดๆที่จะทาการแปลงเป็น วงจรสมมูล
Leon Charles Thevenin French engineer.(1857– 1926)
Edward Lawry Norton American engineer.(1898- 1983)

29. 29
โดย
คือแรงดันขณะที่กระแส i = 0A
คือกระแสขณะที่แรงดัน v = 0V
คือความต้านทานที่มองเข้าไปในในวงจร ขณะที่กาจัดแหล่งจ่ายอิสระทุกตัว ค่าทั้งสามนี้มีความสัมพันธ์กันคือ
รูปที่ 4.9 วงจรสมมูลของเทวินินและนอร์ตัน
รูปที่ 4.10 การหาค่าต่างๆในวงจรสมมูล

30. 30
ตัวอย่างการหาวงจรสมมูลของเทวินินและนอร์ตัน
รูปที่ 4.11 วงจรตัวอย่างการหาวงจรสมมูลของเทวินินและนอร์ตัน
แรงดัน หาได้โดยวัดแรงดันที่ตกคร่อมขั้ว a-b
กระแส หาได้โดยลัดวงจรที่ขั้ว a-b และวัดกระแสที่ไหลผ่านจากขั้ว a ไปยังขั้ว b นี้
ตัวต้านทาน หาได้โดยการกาจัดแหล่งจ่ายอิสระทั้งหมด ในที่นี้มีแหล่งจ่ายแรงดัน จึงกาจัดโดยการลัดวงจร และหาความต้านทานรวมที่ได้ที่ขั้ว a-b

31. 31
ได้วงจรสมมูลของเทวินินและวงจรสมมูลของนอร์ตันของวงจรรูป 4.11 ดังรูปที่ 4.12
รูปที่ 4.12 วงจรสมมูลของเทวินินและวงจรสมมูลของนอร์ตันของวงจรรูป 4.11

32. 32
หน่วยที่ 5
OP AMP
ออปแอมป์ (Operational Amplifiers,Op-Amp)
ออปแอมป์เป็นอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ที่ทาหน้าที่เป็นวงจรขยายแรงดัน โดย ออปแอมป์มีโครงสร้างภายในเป็นวงจรที่ซับซ้อน ประกอบไปด้วย ตัวต้านทาน, ทรานซิสเตอร์, ตัวเก็บประจุ และไดโอด จานวนมาก โดยมีสัญลักษณ์ดังรูปที่ 5.1 แต่เพื่อความง่ายในการศึกษาเบื้องต้นนี้ เราจะแทนออปแอมป์ด้วยวงจร สมมูลดังรูปที่ 5.2
รูปที่ 5.1 สัญลักษณ์ของออปแอมป์
รูปที่ 5.2 วงจรสมมูลของออปแอมป์แบบง่าย
ออปแอมป์จะมีขั้วอินพุต(ป้อนเข้า) 2 ขั้ว นั่นคือ ขั้วอินพุตบวกเรียกว่า Non-inverting terminal และขั้วอินพุตลบเรียกว่า Inverting terminal และขั้วเอาต์พุต(ป้อนออก) 1 ขั้ว จากวงจรสมมูลของออปแอมป์) ส่วนทางด้านอินพุตของออปแอมป์จะ ประกอบด้วยตัวต้านทาน RIN ซึ่งเป็นความต้านทานทางด้านอินพุตของออปแอมป์ โดยจะมีแรงดันตกคร่อมระหว่างขั้วอินพุตบวกและขั้วอินพุตลบ เท่ากับ vd ส่วน ทางด้านเอาต์พุตจะประกอบด้วยตัวต้านทาน RO เป็นความต้านทานที่มองเข้าไปทาง ขั้วเอาต์พุตของออปแอมป์ และแหล่งจ่ายแรงดันที่ควบคุมด้วยแรงดันที่มีค่าเท่ากับ Avd ค่า A นี้เรียกว่าอัตราขยายวงเปิด (Open loop gain) ของออปแอมป์

33. 33
ออปแอมป์แบบอุดมคติ (Ideal Op-Amp)
เพื่อความง่ายในการวิเคราะห์วงจรเราจะกาหนดให้ออปแอมป์เป็นอุดมคติซึ่งจะ มีคุณสมบัติดังนี้
- อัตราขยายวงเปิดมีค่าเป็นอนันต์
- ความต้านทานอินพุตมีค่าเป็นอนันต์
- ความต้านทานเอาต์พุตมีค่าเป็นศูนย์
รูปที่ 5.3 ออปแอมป์แบบอุดมคติ
เนื่องจากออปแอมป์ในอุดมคติมีความต้านทานทางด้านอินพุตมีค่าเป็นอนันต์ ดังนั้น กระแสที่ไหลเข้าทางขั้วอินพุตทั้งสองจึงมีค่าเท่ากับศูนย์
การต่อออปแอมป์เพื่อใช้งานเป็นวงจรขยายเพื่อให้มีเสถียรภาพนั้น เราจะต่อออป แอมป์ให้มีการป้อนกลับแบบลบ (Negative feedback) ซึ่งจะขอไม่กล่าวถึง รายละเอียดเรื่องเสถียรภาพและการป้อนกลับแบบลบในที่นี้ แต่สาหรับออปแอมป์ แล้วการป้อนกลับแบบลบคือ มีการต่อขั้วเอาต์พุตกลับมายังขั้วอินพุตลบของออป แอมป์ ซึ่งอาจจะผ่านวงจรหรืออุปกรณ์หนึ่งก่อนก็ได้ เมื่อออปแอมป์มีการป้อนกลับ แบบลบแล้วจะได้ว่า แรงดันระหว่างขั้วอินพุตของออปแอมป์มีค่าประมาณศูนย์คือ
หรืออาจกล่าวได้ว่าแรงดันที่ขั้วบวกกับแรงดันที่ขั้วลบของออปแอมป์มีค่าเท่ากัน

34. 34
วงจรขยายแบบกลับขั้ว (Inverting Amplifiers)
รูปที่ 5.4 วงจรขยายแบบกลับขั้ว
KCL ที่โนด :
แต่ จะได้
หรือ
จะพบว่าวงจรขยายแบบกลับขั้วนี้มีอัตราส่วนของแรงดันเอาต์พุตต่อแรงดันอินพุต (หรือเรียกว่าอัตราขยาย) มีค่าที่ติดลบ โดยค่าอัตราขยายนี้จะขึ้นกับค่าความต้านทาน ที่ใช้ในวงจร ส่วนค่าติดลบหมายถึง การที่เราป้อนสัญญาณอินพุตมีค่าเป็นบวก สัญญาณทางเอาต์พุตจะมีค่าเป็นลบ หรือในทางตรงข้ามถ้าเราป้อนสัญญาณอินพุตมี ค่าเป็นลบสัญญาณทางเอาต์พุตจะมีค่าเป็นบวก

35. 35
วงจรขยายแบบไม่กลับขั้ว (Non-inverting Amplifiers)
รูปที่ 5.5 วงจรขยายแบบไม่กลับขั้ว
KCL ที่โนด :
แต่ จะได้
หรือ
จะพบว่าวงจรขยายแบบไม่กลับขั้วนี้มีอัตราส่วนของแรงดันเอาต์พุตต่อแรงดันอินพุต มีค่าเป็นบวก โดยค่าอัตราขยายนี้จะขึ้นกับค่าความต้านทานที่ใช้ในวงจร ส่วนค่าที่ เป็นบวกหมายถึง การที่เราป้อนสัญญาณอินพุตมีค่าเป็นบวกสัญญาณทางเอาต์พุตจะ มีค่าเป็นบวกด้วย หรือในทานองเดียวกันถ้าเราป้อนสัญญาณอินพุตมีค่าเป็นลบ สัญญาณทางเอาต์พุตจะมีค่าเป็นลบด้วย วงจรตามแรงดัน (Voltage Follower)
กรณีที่วงจรขยายแบบไม่กลับขั้วกรณีที่มีค่า (ลัดวงจร) และ (เปิดวงจร) จะได้วงจรเป็นดังรูปที่ 5.6 โดยวงจรนี้จะมีอัตราขยายเป็น 1 ซึ่งก็คือ นั่นเอง เราจะเรียก วงจรนี้ว่าวงจรตามแรงดันหรือวงจรบัฟเฟอร์ (Buffer)

36. 36
รูปที่ 5.6 วงจรตามแรงดัน
วงจรขยายผลบวก (Summing Amplifiers)
รูปที่ 5.7 วงจรขยายผลบวก
KCL ที่โนดอินพุตลบของออปแอมป์ :
จะได้
ถ้า จะได้
จะพบว่าวงจรขยายผลบวกมีค่าเอาต์พุตเป็นผลบวกของแรงดันอินพุตแต่ละค่า ซึ่งมี อัตราขยายเป็นลบที่มีค่าขึ้นกับค่าความต้านทานที่ใช้ในวงจร

37. 37
วงจรขยายผลต่าง (Difference Amplifiers)
รูปที่ 5.8 วงจรขยายผลต่าง
KCL ที่โนดอินพุตลบของออปแอมป์ :
KCL ที่โนดอินพุตบวกของออปแอมป์ :
แก้สมการทั้งสองได้
ถ้า จะได้
จะพบว่าวงจรขยายผลต่างมีค่าเอาต์พุตเป็นผลลบของแรงดันอินพุต ซึ่งมีอัตราขยาย เป็นลบที่มีค่าขึ้นกับค่าความต้านทานที่ใช้ใน