Chứng Minh 3 Điểm Thẳng Hàng Phương Pháp Thêm Điểm

1. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 1
CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG
PHƯƠNG PHÁP THÊM ĐIỂM
Nội dung phương pháp : Khi chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng , khi đã biết
mối quan hệ nào đó của C,D,E . Ví dụ như C là trung điểm của DE chẳng hạn , ta
sẽ thêm một điểm C’ là giao của AB với một đường DE đã chứa điểm C . Ta sẽ
tìm cách chứng minh C’ cũng là trung điểm của DE , tức là C’ trùng với C. Đó là
điều phải chứng minh , phương pháp thêm điểm là như vậy . Dưới đây là hình
minh họa và các ví dụ để các em tiện theo dõi nhé .
BÀI TOÁN MINH HỌA :
Bài 1:
Cho tam giác ABC, về phía tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân tại A.
Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng ba
điểm M,A,H thẳng hàng.
Lời giải:

2. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 2
Vẽ EK AH
 tại K, DN AH
 tại N, AH cắt DE tại M
Xét tam giác HAB  0
( 90 )
AHB  và tam giac NDA  0
( 90 )
DNA  có:
AB = AD ( tam giác ABC vuông cân tại A)
 
BAH NDA
 ( cùng với góc DAN)
Do đó HAB NDA

  ( cạnh huyền – góc nhọn)
Tương tự KAE HCA

  ( cạnh huyền – góc nhọn) KE AH
 
Ta có DN = KE = AH
,
KE AH DN AH
   KE // DN
Xét tam giác /
M DN và tam giác /
M EK có :    
/ / / /
, ,
NDM KEM DN KE DNM EKM
  
Do đó / / / /
( . . )
M DN M EK g c g M D M E
  
 
M là trung điểm của DE nên M/
= M
Vậy ba điểm M,A,H thẳng hàng.
Bài 2:
Cho tam giác ABC,đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở D, E.
Trên các đoạn thẳng BC, DE lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BC = 3BM, DE = 3DN.
Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi N/
là giao điểm của AM và DE

3. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 3
Xét tam giác ABC có DE // BC (gt)
DE AD
BC AB
 
Xét tam giác ABM có DN/
// BC
/
DN AD
BM AB
 
Do đó:
/
DE DN
BC BM
 , mà BC = 3BM (gt), DE = 3 DN (gt)
DE DN
BC BM
 
Nên có
/
/
DN DN
N N
BM BM
  
Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Bài 3:
Cho hai đường tròn (O;R) và (O/
;R) tiếp xúc ngoài nhau tại A. BC, DE là các tiếp tuyến chung
ngoài của hai đường tròn (O) và (O/
) (B, D ( )
O
 ; /
( ))
E O
 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BC và DE.
Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi / /
,
M N lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn (O) và (O/
)
với BC, DE.

4. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 4
Ta có / / / /
,
M C M A M A M B
  ( Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau )
/ /
M C M B
 
Do đó /
M M
 . Tương tự /
N N

Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 4:
Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF (E nằm giữa A
và F,  
AF
B FAC
 ). Vẽ đường thẳng qua E vuông s BC góc với OB cắt BC tại M, BF tại N.
Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm F, M, I thẳng hàng.
Lời giải:
Vẽ OK EF
 tại K => K là trung điểm của EF.
   0
90
ABO AKO ACO
  
, , , ,
A B K C O
 cùng thuộc một đường tròn.
 
BAK MCK
 
Mà  
, / /
AB OB EN OB AB EN BAK MEK
    
Ta có   
( )
MCK MEK BAK
 
 tứ giác EMKC nội tiếp
 
ECM EKM
 
Mà  
ECM EFB
 , nên  
EKM EFB
  MK // BN
Tam giác EFN có KM // NF, EK = KF => EM = MN

5. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 5
Gọi I/
là giao điểm của FM và AB
/ /
/ / /
EM MN FM
AI I B
AI I B FI
 
   
 
 
. Vậy I = I/
Do đó: F, M, I thẳng hàng.
Bài 5:
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD, CE. Gọi M là
giao điểm của các tiếp tuyến vẽ từ B, từ C của đường tròn (O), N là trung điểm của đoạn thẳng
DE.
Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng.
Lời giải:
Qua M vẽ đường thẳng song song với DE cắt AB, AC lần lượt ở K, S.
Gọi Cx là tia đối của tia CM. Ta có   0
90
BEC BDC
 
Tứ giác BEDC nội tiếp
   
,
ADE ABC AED ACB
  
Mà    
,
ADE MSC AED BKM
  ( đồng vị và DE // KS)
Ta có  
ACx ABC
 ( hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

6. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 6
 
ACx MCS
 ( đối đỉnh )
Do đó  
MCS MSC

MCS
 cân tại M
MC = MS
Tương tự MB = MK
Mà MB = MC ( MB, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O))
Do đó MK = MS
Gọi M/
là giao điểm của AN và KS
/
AKM
 có EN // KM/
/ /
EN AN
KM AM
 
/
AM S
 có ND // M/
S / /
ND AN
SM AM
 
Nên / / /
EN ND AN
KM SM AM
 
 
 
 
Mà EN = ND, do đó KM/
= SM/
. Ta có M/
= M
Vậy A, M, N thẳng hàng.
Bài 6:
Cho tam giác nhọn ABC nọi tiếp đường tròn (O;R). AD, BE là các đường cao của tam giác
ABC. Các tiếp tuyến tại A, B của (O) ắt nhau ở M, N là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng ba điểm M, N, C thẳng hàng.
Lời giải:

7. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 7
Qua M vẽ đương thẳng song song với DE cắt BC, AC lần lượt ở K, I.
Gọi Bx là tia đối của tia BM
  0
90
AEB ADB
 
 Tứ giác ABDE nội tiếp
 
CDE BAE
 
 
CDE BKM
 (KI //AB)
   
,
BAC CBx CBx MBK
 
Do đó  
BKM MBK

MKB
 cân tại M => MB = MK
Tương tự MA = MI mà MA = MB
Do vậy MI = MK (1)
Gọi N/
là giao điểm của CM và DE
Tam giác CMI có N/
E // MI
/ /
N E CN
MI CM
  (2)
Tam giác CKM có N/
D // KM
/ /
N D CN
MK CM
  (3)
Từ (1), (2), (3) có N/
E // N/
D
Do đó N/
= N
Vậy ba điểm M, N, C thẳng hàng.
Bài 7:
Cho đường tròn (O;R) , A là điểm nằm trên đường tròn (O), H là điểm ở bên trong đường tròn
(O) sao cho AH = R 2 . Đường thẳng vuông góc với AH tại H cắt đường tròn (O) tại B, C.
Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt ở D, E ( khác A).
Chứng minh rằng D, E, O thẳng hàng.
Lời giải:

8. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 8
Xét đường tròn đường kính AH có   
0
90 ,
AEH ADE AHE
 
Mà 

AHE C
 ( cung phụ với góc EHC) do đó 

ADE C

Mặt khác


1
2
C AOB
 và OA = OB (= R)
 tam giác OAB cân tại O
  0
1
90
2
DAO AOB
  
Nên   0
90
DAO ADE AO DE
     (1)
Vẽ AK DE
 tại K
Xét tam giác AED và tam giác ABC có:

EAD ( chung ),  
ADE ACB

Do đó ( . )
EAD ABC g g
 
Bán kính đường tròn (AED) là
2
2
R
Bán kính đường tròn (ABC) là R.
Nên ta có
2
AK
AH R
 . Mà 2( )
AH R gt AK R
   (2)
Từ (1) và (2) ta có K = O
Vậy D, E, O thẳng hàng.

9. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 9
Bài 8:
Cho tam giác ABC ( AB > AC) nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho
BD = AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại H. Tia phân giác góc BAC cắt
đường tròn (O) tại E và cắt DH tại F ( E khác A). Gọi M là trung điểm củ AD. Tia CF cắt đường
tròn (O) tại N. Chứng minh rằng :
a) E, D, N thẳng hàng.
b) C, M, N thẳng hàng.
Lời giải:
a) Ta có:  
ADF ABC
 (đồng vị và DH // BC)
mà  
ANF ABC
 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Do đó:  
ADF ANF
 => Tứ giác AFDN nội tiếp
 
FND FAD

Mà  
CAE FAD
 (AE là tia phân giác của góc BAC)
Và  
CAE CNE
 ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)
Do đó:  
FND CNE
  Hai tia ND, NE trùng nhau
Vậy ba điểm E, D, N thẳng hàng.
b) Gọi K là giao điểm của CN và AB

10. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 10
Tam giác ACK có AF là đường phân giác
KF AK
CF AC
  (1)
Tam giác KBC có DF // BC
KF KD
CF BD
  ( định lý Talét) (2)
Mà AC = BD (gt)
Từ (1), (2) và (3) có AK = KN => K là trung điểm của AD nên K = M.
Vậy C, M, N thẳng hàng.
Bài 9:
Cho tam giác ABC (AB < BC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm trên cạnh BC sao cho
MC = AB. Vẽ đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại N, cắt tia phân giác của góc
ABC tại I. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh rằng ba điểm A, I, K thẳng
hàng.
Lời giải:
Gọi T là giao điểm của AI và BC.
Tam giác TAC có MI // AC
TI TM
AI MC
  (1)
Tam giác BAT có BI là đường phân giác (gt)
TI BT
AI AB
  (2)
Mà MC = AB (3)
Tải bản FULL (16 trang): https://bit.ly/3a57EUC
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

11. Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn Page 11
Từ (1), (2) và (3) ta có BT = TM => T là trung điểm của BM nêm T = K
Vậy ba điểm A, I, K thẳng hàng.
Bài 10:
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Một đường thẳng song song với BC cắt AB,
AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.
Lời giải:
Gọi K là giao điểm của AM và DE, N là giao điểm của OM và DE
Tam giác ABM có DN // BM
AN DN
AM BM
 
Tam giác ACM có NE // MC
AN NE
AM MC
 
Mà BM = MC. Do đó DN = NE => N là trung điểm của DE.
Mặt khác xét tam giác OMC có DK // MC
DK OK
MC OM
 
Tam giác OBM có KE // BM
KE OK
BM OM
 
Do đó DK = KE => K là trung điểm của DE. Do vậy N = K
Ta có A, N, O, M thẳng hàng.
3869873