Tứ giác nội tiếp

1. Khóa học online Chuyên toán 9 Thầy Hồng Trí Quang
DẤU HIỆU 4. SỬ DỤNG DẤU HIỆU TÍCH ĐỂ CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Thầy Hồng Trí Quang
Bài giảng thuộc chuyên đề Tứ giác nội tiếp trong khóa học Luyện thi chuyên toán, thi học sinh
giỏi toán 9.
Trong chương trình toán nâng cao hình học lớp 9, chứng minh tứ giác và sử dụng tứ giác nội
tiếp là rất quan trọng. Trong đó dấu hiệu tích là dấu hiệu để nhận biết và chứng minh nhanh tứ
giác nội tiếp mà các bạn chưa khai thác. Một vài ví dụ dưới đây sẽ chỉ cho các bạn thấy ứng
dụng đơn giản mà tuyệt vời này.
Tính chất tích
Thuận. Nếu hai đường thẳng chứa các dây AB, CD của một đường tròn cắt nhau tại một điểm M
(nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn) thì: . .MAMB MC MD
Đảo. Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại điểm M và . .MAMB MC MDthì bốn điểm A,
B, C, D thuộc cùng một đường tròn.
Hướng dẫn. Sử dụng tam giác đồng dạng để chứng minh.
Chú ý. Nếu M nằm ngoài đường tròn (O), cát tuyến MAB và tiếp tuyến MP thì 2
.MAMB MP
Bài 1. Cho đường tròn (O), điểm K nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB và cát
tuyến KCD với đường tròn. Gọi M là giao điểm của OK và AB. Chứng minh rằng:
a) CMOD là tứ giác nội tiếp
b) Đường thẳng AB chứa tia phân giác của góc CMD.
C M O
K
A
B D

2. Khóa học online Chuyên toán 9 Thầy Hồng Trí Quang
Hướng dẫn
a) 2
. . MAMO MA MC MD nên tứ giác OMCD nội tiếp
b) Để chứng minh CMB DMB ta chứng minh CMK DMO
Thật vậy   CMK ODC OCD DMO
Bài 2. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) và
cát tuyến ADC. B là điểm trên cung CM (không chứa D). Gọi H là giao điểm của MN và BD, E
là giao điểm của CH và đường tròn (O).
a) Gọi K là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác (AMN). Chứng minh tứ giác
AEKC và HKCD nội tiếp.
b) Chứng minh rằng A, E, B thẳng hàng.
Hướng dẫn. Bỏ a
a) Xét . . .HKHE HC HM HN HA 
2
. . .AH AK AF AO AN AC AD  
b) 0
180AEC BEC HKC EDC    . Đpcm
Bài 3. Hsg TP HN. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC.
Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm của hai đường
thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a) Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên đường tròn.
b) Gọi N là trung điểm BC, chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c) Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC
I
H
O
G
A
B
F
N
K
H
E
I
N
C

3. Khóa học online Chuyên toán 9 Thầy Hồng Trí Quang
Hướng dẫn
a) Dễ dàng nhận thấy tứ giác AFHE nội tiếp,
tức A, F, H, E đã nằm trên 1 đường tròn.
Ta chứng minh tứ giác AMFH,
AMFE hoặc MEHF nội tiếp sẽ có đpcm.
Ta chứng minh AMFE nội tiếp.
Thật vậy, theo dấu hiệu tích . . . IM IA IB IC IF IE Đpcm.
b) Ta chứng minh HN, HM cùng vuông góc với AI, khi đó M, H, N thẳng hàng. Thật vậy
0 0
180 90HMA HAE  
Sử dụng bài toán cơ bản. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, đường kính
AD. Khi đó DH cắt BC tại trung điểm mỗi đường
Áp dụng. Nếu HN kéo dài cắt (O) tại D thì A, O, D thẳng hàng. Khi đó NH vuông góc với IA
Vậy HM, HN cùng vuông góc với IA nên H, M, N thẳng hàng
c) Sử dụng định lí P tô lê mê (xem chi tiết về Định lí P tô lê mê trong chuyên đề tứ giác nội tiếp)
Bài 4. Cho đường tròn (O) có dây cung BC (khác đường kính) cố định, A là điểm chuyển động
trên cung lớn BC, M là trung điểm dây BC. Gọi D là giao điểm của AM và cung nhỏ BC, N là
giao điểm của AB và CD.
a) Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C. Chứng minh tứ giác
AODE nội tiếp, tứ giác BNED nội tiếp.
b) Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.
Hướng dẫn. Bỏ a
a) Dễ thấy MA.MD = MB.MC = MD.MO
Để chứng minh tứ giác NEDB nội tiếp, ta chứng minh hai góc bằng nhau
NDE NBE EDC EBA  EKB EBA  AEO DEO  OA OD  (luôn đúng)
b) END NBD END BCD  / /EN BC
A
B
C
F
E
I
M
H
N

4. Khóa học online Chuyên toán 9 Thầy Hồng Trí Quang
Vậy N thuộc đường thẳng cố định, đi qua E cố định và song song với BC.
Bài 5. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đường tròn này nằm
trong đường tròn (O3) và tiếp xúc với (O3) tương ứng tại M và N. Tiếp tuyến chung tại T của
(O1) và (O2) cắt (O3) tại P. PM cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai A và MN cắt (O1) tại điểm
thứ hai B. PN cắt đường tròn (O2) tại điểm D và MN cắt (O2) tại điểm thứ hai C.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMND là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AB song song với PN.
c) Gọi E là giao điểm của AB và CD, chứng minh . .EB PN EC PM
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp.
HD
a) Theo dấu hiệu ta có
2
. .PA PM PT PD PN  nên tứ giác AMDN nội tiếp
b) 1 1
3 3
O A O BMA MB
MP O P O N MN
   / /AB NP
c) EBC PNM 
d)
EB PM PA EA
EC PN PD ED
  

E
N
M
B
C
O1
O3
O2
D
P
A
T