Tuyển tập các bài toán về hệ thức lượng và tỉ số lượng giác

1. Hình học 9 Thầy Hồng Trí Quang
1
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:
1) AC2
= CH . CB AB2
= BH . BC
2) AH2
= HB . HC
3) AH.BC= AB.AC
4) 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
 
5) BC2
= AC2
+ AB2
(Định lý Pi-ta-go)
Bài 1. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau ở
F. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại G. Chứng
minh rằng:
a) Tam giác DEG cân
b) Tổng 2 2 2
1 1 1
DE DF DC
 
c) Một đường thẳng Ax thay đổi đi qua A sao cho Ax cắt đoạn DC tại M và cắt đường thẳng BC
tại N. Chứng minh rằng tổng 2 2
1 1
AM AN
 là không đổi.
Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM
cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. Biết 𝑀𝐴𝑁̂ = 450
1. Chứng minh: IN = MN và MN = ND + BM
2. MN = 5 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.
3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI ( P
IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để 222
OROQOP  nhỏ nhất khi M, N di động.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A trung tuyến AM.
a) Chứng minh rằng
1
2
AM BC
b) 0
15ABC  . Chứng minh rằng: 2
4 .BC AB AC
Bài 4. Cho tam giác ABC
yx
6
4
H CB
A

2. Hình học 9 Thầy Hồng Trí Quang
2
a) Nếu tam giác ABC vuông tại A thỏa mãn 2
4 .BC AB AC thì tam giác ABC có một góc bằng
0
15
b) Nếu tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến BM, 0
15ABM  và 16ABCS  . Tính độ dài
BM
c) Nếu 0
45BAC  , 0
75ABC  . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho
1
.
3
AM AB Tính ACM
d) Nếu 0
75BAC  , đường cao CH thỏa mãn:
1
.
2
CH AB Chứng minh tam giác ABC cân.
Tự luyện
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, các đường trung tuyến BD và CE vuông
góc với nhau.
a) Tính độ dài BC. Đs 𝐵𝐶 = 2√5
b) Tính độ dài AB, AC
Bài 6. Tính cạnh đáy BC của tam giác cân ABC biết đường cao tương ứng với cạnh đáy bằng
15,6cm và đường cao tương ứng với cạnh bên bằng 12cm. Đs BC = 13cm
Bài 7. Cho M thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng: 𝑀𝐴2
+ 𝑀𝐶2
=
𝑀𝐵2
+ 𝑀𝐷2
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và 2
4 .AH AM AN , trong đó M, N
theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ H đến AC, AB. Tính số đo các góc tam giác ABC.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có BE là phân giác trong, I là tâm đường tròn nội tiếp.
Biết
3 1
3 1
BI
EI



. Tính số đo góc ACB?
Bài 10. Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn.
Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M của tam giác MAB. Tìm
GTLN của tích KH.KM./.
Bài 11. Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Qua I dựng đường thẳng
vuông góc với IA cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh rằng :
a)
2
2
BM BI
CN CI
 b) BM.AC + CN.AB + AI2
= AB.AC

3. Hình học 9 Thầy Hồng Trí Quang
3
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
Cho tam giác ABC vuông tại A. Ta có tỉ số lượng giác của góc nhọn:
sin
AC
B
BC
 cos
AB
B
BC
 tan
AC
B
AB
 cot
AB
B
AC

Công thức cơ bản:
2 2
sin cos 1B B  tan .cot 1B B 
sin cosB C và sin cosC B
Công thức nâng cao
2
2
1
1 tan
cos x
  2
2
1
1 cot
sin x
 
Diện tích tam giác (trong đó r là bán kính đtròn nội tiếp)
1 1
. . .sin .
2 2
S a h b c A p r  
Bán kính ngoại tiếp R 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
   sin
2
a
A
R

Bài 12. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam
giác ABC. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC
a) Chứng minh: tanB.tanC =
AD
HD
b) Chứng minh:
2
.
4
BC
DH DA 
Bài 13. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng:
bc
aA
22
sin 
Bài 14. Tính: sin2
150
+ sin2
250
+ sin2
350
+ sin2
450
+ sin2
550
+ sin2
650
+ sin2
750
Tự luyện
Bài 15. Cho hình vuông ABCD, biết M, N theo thứ tự là trung điểm BC, CD.
a) Tính độ dài AM, AN, MN.
b) Gọi K là giao điểm của AC và MN, tính AK
c) Gọi H là hình chiếu của M trên AN, tính MH.
d) Tính cos 𝑀𝐴𝑁̂
Bài 16.

4. Hình học 9 Thầy Hồng Trí Quang
4
a) *Cho biết sinx = 0,6. Tính cosx, tanx và cotx
b) Tính 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
15 25 35 45 55cos cos cos cos c 65 7s co 5o ssin     
Bài 17. Góc nhọn của một hình thang cân bằng 600
, đường phân giác của góc nhọn này chia
đường chéo của hình thang cân theo tỉ số 4:11 và chia đáy thành hai đoạn mà hiệu độ dài hai
đoạn này bằng 6cm.
a) Chứng minh rằng DC = AB + AD; b) Tính các cạnh đáy của hình thang
Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại A có trọng tâm G; BD là phân giác góc B, GD vuông góc
với AC.
a) Gọi E là trung điểm AG, chứng minh rằng ED song song BC
b) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 19. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua B.
Gọi E là điểm thuộc tia đối của tia HA sao cho HE = 2HA và I là trung điểm HE. Chứng minh
rằng
a) tan 𝐼𝐸𝐷̂ = tan 𝐻𝐶𝐸̂; b) Tam giác DEC vuông.
Bài 20. Góc nhọn của một hình thang cân bằng 600
, đường phân giác của góc nhọn này chia
đường chéo của hình thang cân theo tỉ số 4:11 và chia đáy thành hai đoạn mà hiệu độ dài hai
đoạn này bằng 6cm.
a) Chứng minh rằng DC = AB + AD; b) Tính các cạnh đáy của hình thang
Bài 21. Cho tam giác ABC vuông tại A có trọng tâm G; BD là phân giác góc B, GD vuông góc
với AC.
c) Gọi E là trung điểm AG, chứng minh rằng ED song song BC
d) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 22. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua B.
Gọi E là điểm thuộc tia đối của tia HA sao cho HE = 2HA và I là trung điểm HE. Chứng minh
rằng
a) tan 𝐼𝐸𝐷̂ = tan 𝐻𝐶𝐸̂; b) Tam giác DEC vuông.
Bài 23. Tính 0 0
sin22 25';tan22 25' mà không dùng bảng số, không dùng máy tính?
Luyện tập
Bài 24.

5. Hình học 9 Thầy Hồng Trí Quang
5
a) Chứng minh rằng:

0 6 4
sin15
2
b) Tính 0
tan15
c) Cho tam giác ABC cân tại B,  0
30BAC . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho 
2
2
AC
BD .
Tính số đo góc CAD?
Bài 25. Cho tam giác ABC vuông ở A, AH  BC, HE  AB, HF  AC ( H  BC,
E  AB, F  AC).
a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2
B.
b. Chứng minh rằng:
3
3
AB BE
CFAC
 .
c. Chứng minh rằng:
33 32 2 2
BC CF BE  .
d. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF.
Bài 26. *Cho tam giác ABC cân tại A có 0ˆA 20 ;AB AC b;BC a    . Chứng minh rằng: a3
+ b3
= 3ab2
Tự luyện
Bài 27. Tính cos 36, cos 72 mà không dùng bảng số, không dùng máy tính?
Bài 28. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt bằng a, b,
c. Chứng minh rằng:
))((.. SinCSinBSinAcbaSinCcSinBbSinAa 
Bài 29. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Điểm M thuộc đoạn thẳng BC. Kẻ MK vuông
góc AB, ML vuông góc AC ( K thuộc AB, L thuộc AC ). Đường thẳng qua A và vuông góc với
AM cắt MK, ML thứ tự tại E, F. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với CE, cắt Ah tại I. Chứng
minh rằng:
a) Tam giác AIB đồng dạng với tam giác MCE
b)
EM ML BM AI
và
FM KM FM AC
 
c) Ba đường thẳng AH, BF, CE đồng quy.
Bài 30. Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng
quy tại O. Vẽ EF vuông góc với BH (FBH). Chứng minh:
a) CH.AE = EF.AC
b) . os .cos . osAC c BAC BD ACB CDc ACB 
Bài 31. Cho tam giác ABC có 0
15CAB  ; 0
30ABC  . Gọi M là trung điểm cạnh AB

6. Hình học 9 Thầy Hồng Trí Quang
6
a) Tính số đo góc ACM
b) Chứng minh rằng:
.
2
AB BC
CM
AC

Bài 32. Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm P sao cho PC = 2PB. Tính số đo góc ACB nếu
0
45ABC  , 0
60CPA 