ゲーム理論BASIC 演習29 -セカンドプライスオークション＋収入同値定理-
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- 6. ֤ೖࡳऀࣗͷධՁ Λೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛ֬ೝͤΑ ҙͷೖࡳऀ ʹ͍ͭͯߟ͑Δ͜ͷೖࡳऀͷධՁ͕ ͱ͢Δ ଞͷೖࡳऀͷೖࡳֹ͕ ΑΓখ͍͞߹ ͭ·Γҙͷ ʹ͍ͭͯ ͱ͢Δ ೖࡳֹ ʹ͍ͭͯ Ͱ͋Ε མࡳ͠ͳ͍ͷͰརಘ Ͱ͋Ε མࡳ͠རಘ Ͱ͋Δҙͷ ʹ͍ͭͯ ͳͷ͔ͩΒ ͭ·Γ ͱͳΔΑ͏ͳೖࡳΛ͢Δͷ͕࠷దͰ͋Γ ࠷దͱͳΔ vi i ∈ N vi vi j ∈ N{i} vi bj bi bi ≤ max j≠i bj 0 bi max j≠i bj vi − max j≠i bj j ∈ N{i} vi bj vi − max j≠i bj 0 bi max j≠i bj bi = vi ( max j≠i bj ) ෳೖࡳऀηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯ vi bj′  bj bj′  ′  vi − bj 0
- 7. ֤ೖࡳऀࣗͷධՁ Λೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛ֬ೝͤΑ ҙͷೖࡳऀ ʹ͍ͭͯߟ͑Δ͜ͷೖࡳऀͷධՁ͕ ͱ͢Δ ͋Δଞͷೖࡳऀͷೖࡳֹ͕ ͱ͘͠ ଞͷೖࡳऀ ΑΓখ͍͞·͍ͨ͠ೖࡳֹͷ߹ ͭ·Γ͋Δ ʹ͍ͭͯ ҙͷ ʹ͍ͭͯ ೖࡳֹ ʹ͍ͭͯ Ͱ͋Ε མࡳ͠ͳ͍ͷͰརಘ Ͱ͋Ε མࡳ͠རಘ Ͱ͋Δ ͭ·Γ ͲͷΑ͏ͳೖࡳΛͯ͠࠷దͰ͋Γ ࠷దͱͳΔ vi i ∈ N vi vi vi j ∈ N{i} bj = vi k ∈ N({i} ∪ {j}) vi = bj ≥ bk bi bi ≤ bj 0 bi bj vi − bj = 0 bi = vi ෳೖࡳऀηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯ vi bj′  bj bj′  ′  0
- 8. ֤ೖࡳऀࣗͷධՁ Λೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧઓུͱͳΔ͜ͱΛ֬ೝͤΑ ҙͷೖࡳऀ ʹ͍ͭͯߟ͑Δ͜ͷೖࡳऀͷධՁ͕ ͱ͢Δ ͋Δଞͷೖࡳऀͷೖࡳֹ͕ ΑΓେ͖͍߹ ͭ·Γ͋Δ ʹ͍ͭͯ ͱ͢Δ ೖࡳֹ ʹ͍ͭͯ Ͱ͋Ε མࡳ͠ͳ͍ͷͰརಘ Ͱ͋Ε མࡳ͠རಘ Ͱ͋Δ͋Δ ʹ͍ͭͯ ͳͷ͔ͩΒ ͭ·Γ ͱͳΔΑ͏ͳೖࡳΛ͢Δͷ͕࠷దͰ͋Γ ࠷దͱͳΔ Ҏ্ΑΓ ଞͷೖࡳऀͷೖࡳֹ͕ԿͰ͋ͬͯ Λೖࡳ͢Δͷ͕࠷ద ͭ·ΓऑࢧઓུͱͳΔ vi i ∈ N vi vi j ∈ N{i} vi bj bi bi ≤ max k≠i bk 0 bi max k≠i bk vi − max k≠i bk j ∈ N{i} vi bj vi − max k≠i bk ≤ vi − bj 0 bi ≤ max k≠i bk bi = vi ( max j≠i bj ) bi = vi ෳೖࡳऀηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯ vi bj′  bj bj′  ′  vi − bj′  vi − bj 0 0
- 9. ೖࡳऀ ͷධՁ ಠཱͳ֬มͰ ͷൣғͰҰ༷͍ͯ͠Δͱ͢Δ ϑΝʔετϓϥΠεΦʔΫγϣϯͰ ϕΠδΞϯφογϡߧۉ Λߟ͍͑ͯͨ ϑΝʔετϓϥΠεΦʔΫγϣϯʹ͓͚Δओ࠵ऀଆͷظऩೖΛߟ͑Δ ಠཱͳ֬มͰ ʹҰ༷ʹ͍ͯ͠ΔͷͰ ্ʹҰ༷͍ͯ͠Δ ओ࠵ऀͷऩೖ͕ ҎԼʹͳΔ֬ ֤ೖࡳऀͷೖࡳֹ ͕ ҎԼʹͳΔ֬ͳͷͰ ֤ ͷ֬ີ Ұ֊ඍͯ͠ i ∈ N = {1,2,⋯, n} vi [0,1] (b1 (v1 ), ⋯, bn (vn )) bi = n − 1 n vi ∀i ∈ N = {1,2,⋯, n} vi [0,1] bi = n − 1 n vi [ 0, n − 1 n ] x bi = n − 1 n vi x ∏ i∈N P [ n − 1 n vi ≤ x ] = ( n n − 1 x ) n x n ( n n − 1 x ) n−1 n n − 1 = n2 n − 1 ( n n − 1 x ) n−1 ऩೖಉఆཧ x n − 1 n bi n n − 1
- 10. ϑΝʔετϓϥΠεΦʔΫγϣϯʹ͓͚Δओ࠵ऀଆͷظऩೖΛߟ͑Δ ֤ ͷ֬ີ Ұ֊ඍͯ͠ ظऩೖ֬ີʹֹۚ Λ͔͚ͨͷΛ ͷൣғͰੵ͢ΕΑ͘ ͱ͓͘ͱ Ͱඍ͢Δͱ Ώ͑ʹࢀՃऀ͕૿͑Ε૿͑Δ΄Ͳ ظऩೖେ͖͘ͳΓ x n ( n n − 1 x ) n−1 n n − 1 = n2 n − 1( n n − 1 x ) n−1 x [ 0, n − 1 n ] ∫ n − 1 n 0 x n2 n − 1( n n − 1 x ) n−1 dx = nn+1 (n − 1)n ∫ n − 1 n 0 xn dx = nn+1 (n − 1)n [ xn+1 n + 1 ] n − 1 n 0 = nn+1 (n − 1)n(n + 1)( n − 1 n ) n+1 = n − 1 n + 1 E(n) = n − 1 n + 1 n dE(n) dn = (n − 1)(n + 1)−1 = (n − 1)(−1)(n + 1)−2 + (n + 1)−1 = (n + 1)−2 (−n + 1 + n + 1) = 2 (n + 1)2 0 E(n) = n − 1 n + 1 n→∞ 1 ऩೖಉఆཧ ্ʹҰ༷ bi = n − 1 n vi [ 0, n − 1 n ]
- 11. ηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯͰ ֤ϓϨΠϠʔࣗͷධՁΛೖࡳ͢Δͱ͢Δ ηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯʹ͓͚Δओ࠵ऀଆͷظऩೖΛߟ͑Δ ಠཱͳ֬มͰ ʹҰ༷ʹ͍ͯ͠ΔͷͰ ্ʹҰ༷͍ͯ͠Δ ओ࠵ऀͷऩೖ͕ ҎԼʹͳΔ֬Λߟ͍͕͑ͨ ηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯͰ ൪ʹେֹ͖͍͕མࡳֹͱͳΔ ʮऩೖ͕ ҎԼʹͳΔ֬̎ਓҎ্ͷೖࡳऀͷೖࡳֹ͕ Ҏ্ʹͳΒͳ͍֬ʯͰ͋Δ͔Β ֤ ͷ֬ີ Ұ֊ඍͯ͠ bi = vi ∀i ∈ N = {1,2,⋯, n} vi [0,1] bi = vi [0,1] x x x nP[vj ≥ x] ∏ i≠j P[vi ≤ x] + ∏ i∈N P[vi ≤ x] = n(1 − x)xn−1 + xn x n(n − 1)(1 − x)xn−2 ऩೖಉఆཧ b2 x b1 b3 b2 b1 b3 x b2 b1 b3 x b2 x b1 b3 x 1 vj 1
- 12. ηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯʹ͓͚Δओ࠵ऀଆͷظऩೖΛߟ͑Δ ֤ ͷ֬ີ Ұ֊ඍͯ͠ ظऩೖ֬ີʹֹۚ Λ͔͚ͨͷΛ ͷൣғͰੵ͢ΕΑ͘ ͜ΕϑΝʔετϓϥΠεΦʔΫγϣϯͷରশϕΠδΞϯφογϡߧۉͷԼͰͷظऩೖͱಉ͡ ͜ͷ݁ՌऩೖಉఆཧͱݺΕΔͷͰ ఆཧͷ༰ ݅ ূ໌ผ్࣮ࢪ͢Δ nP[vj ≥ x] ∏ i≠j P[vi ≤ x] + ∏ i∈N P[vi ≤ x] = n(1 − x)xn−1 + xn x n(n − 1)(1 − x)xn−2 x [0,1] ∫ 1 0 xn(n − 1)(1 − x)xn−2 dx = n(n − 1) ∫ 1 0 (1 − x)xn−1 dx = n(n − 1) [ xn n − xn+1 n + 1 ] 1 0 = n(n − 1) ( 1 n − 1 n + 1) = n − 1 n + 1 ऩೖಉఆཧ ্ʹҰ༷ bi = vi [0,1]