Đây chỉ là bản mình upload để làm demo trên web, để tải đầy đủ tài liệu này, bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com để tải nhé. Chúc bạn học tốt

1. Ư NG ELIP
I. CÁC D NG ELIP VÀ
Tr c
l n
C
Hình d ng Elip
y
M
www.hsmath.net
I M
Phương trình và các y u t trong Elip
2
x 2 + y = 1; a 2 = b 2 + c 2 ; e = c .
2
2
a
a
b
B2
F1 ( −c ; 0 ) ; F2 ( c ; 0 ) . Tiêu c : F1F2 = 2c.
Ox
(a > b)
A1
F1
O
F2 A2
A1(−a; 0); A2(a; 0) ∈ Tr c l n. A1A2 = 2a.
x B1(0; −b); B2(0; b) ∈ Tr c nh . B1B2 = 2b.
2
MF1 = a + ex
MF = a − ex ; ư ng chu n x =± a =± a
c
e
 2
B1
y
B2
2
x 2 + y = 1; b 2 = a 2 + c 2 ; e = c .
2
2
b
a
b
F1
Oy
(a < b)
F1 ( 0 ; −c ) ; F2 ( 0 ; c ) . Tiêu c : F1F2 = 2c.
A2
A1
O
A1(−a; 0); A2(a; 0) ∈ Tr c nh . A1A2 = 2a.
x
B1(0; −b); B2(0; b) ∈ Tr c l n. B1B2 = 2b.
M
2
MF1 = b + ey
MF = b − ey ; g chu n y =± b =± b
c
e
 2
F2
B1
II. XÁC
NH PHƯƠNG TRÌNH ELIP THEO CÁC Y U T
Bài 1. Vi t phương trình elip (E) bi t 2 tiêu i m F 1(−8; 0); F2(8; 0) và e = 4/5
Bài 2. Vi t phương trình elip (E) bi t 2 tiêu i m F 1(0; −4); F2(0; 4) và e = 4/5
Bài 3. Vi t phương trình elip (E) bi t 2 tiêu i m F 1(−6; 0); F2(6; 0) và a = 5
b 4
Bài 4. Vi t PT elip (E) bi t 2 tiêu i m F 1(−3; 0); F2(3; 0) và i qua M 5 ; 15
4
(
)
Bài 5. Vi t PT elip (E) bi t 2 tiêu i m F 1(−7; 0); F2(7; 0) và i qua M(−2; 12)
Bài 6. Vi t PT elip (E) bi t 4
nh là: A 1(−6; 0), A2(6; 0), B1(0; −3), B2(0; 3)
Bài 7. Vi t phương trình c a elip (E) bi t 2
nh c a (E) là: (−4; 0), ( 0; 15 )
Bài 8. Vi t phương trình chính t c c a elip (E) bi t tiêu i m n m trên tr c Ox,
i qua i m M(8, 12) và MF1 = 20 .
Bài 9. Vi t PT chính t c c a elip (E) bi t
hai
dài tr c l n b ng 8, kho ng cách
nh liên ti p A 1B 1 = 5.
Bài 10. Vi t PT chính t c c a elip (E) bi t m t c nh c a hình ch nh t cơ s là
x−2=0v i
dài ư ng chéo b ng 6.
Bài 11. Vi t phương trình chính t c c a elip (E) bi t tiêu i m n m trên Oy,
e = 1 2 và kho ng cách 2 ư ng chu n là 8 2 .
Bài 12. Vi t phương trình chính t c c a elip (E) bi t tiêu i m n m trên Ox,
www.hsmath.net
M ( − 5; 2) ∈ ( E) và kho ng cách 2 ư ng chu n là 10.
Bài 13. Vi t phương trình chính t c c a elip (E) i qua M1(2; 1), M 2 ( 5;1 2 )
Bài 14. Vi t phương trình chính t c c a elip (E) i qua M1 ( 3 3;2) , M 2 ( 3;2 3 )
1

2. www.hsmath.net
(
)
Bài 15. Vi t phương trình chính t c c a elip (E) i qua M 5 ; 2 2 và e = 4
3
5
3 5 4 5
;
Bài 16. Vi t phương trình chính t c c a elip (E) i qua M 

5 
 5
và M nhìn F 1F 2∈Ox dư i góc π
2


Bài 17. Vi t phương trình chính t c c a elip (E) i qua M  4 2 ; 1 
 3 2
và M nhìn F1F 2∈Ox dư i góc π
3
2
2
y
Bài 18. Tìm M∈(E): x +
= 1 sao cho M nhìn 2 tiêu i m dư i góc b ng
9
4
2
y2
Bài 19. Tìm M∈(E): x +
= 1 sao cho M nhìn 2 tiêu i m dư i góc b ng
100 25
III. M T S
π
2
2π
3
BÀI T P M U MINH H A
2
y2
= 1 . Tìm i m M ∈(E) tho mãn: 1. Có t a
Bài 1. ( E ) : x +
nguyên.
2
8
2. Có t ng 2 t a
t:
a. Giá tr l n nh t. b. Giá tr nh nh t.
Gi i
1.
i m (x, y) ∈ (E) ⇒ (−x, y), (−x, −y), (x, −y) cùng ∈(E)
⇒ Ta ch c n xét M(x0, y0) ∈ (E) v i x0, y0 ≥ 0
Ta có:
2
2
 x0 = 0  x0 = 0, y0 = 2 2 ( lo¹i)
x0 y0
2
+
= 1 ⇒ x0 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ x0 ≤ 2 ⇒ 
⇒
⇒ M(1; 2)
2
8

 x0 = 1  x0 = 1, y0 = 2

V y các i m thu c (E) có t a
nguyên là: (1; 2), (−1; 2), (−1; −2), (1; −2)
2
2.
2
y
= 1 . Theo b t
i m M(x, y) ∈ (E) ⇔ x +
2
8
ng th c Bunhiac pski ta có:
 2 y2 
2
Suy ra ( x + y ) ≤ ( 2 + 8)  x +
 = 10 ⇒ − 10 ≤ x + y ≤ 10 . D u b ng x y ra
8 
 2
x y
 y = 4x

 10 4 10 
 =

10 4 10 
⇔
⇔ 2 8
10 ⇒ M 1  − 5 ; − 5  ; M 2  5 ; 5 




( x + y ) 2 = 10  x = ± 5


2
y2
Bài 2. Cho (E): x +
= 1 . Tìm i m M ∈ (E) tho mãn:
9
5
a. Bán kính qua tiêu i m này b ng 2 l n bán kính qua tiêu kia ng v i M∈(E)
b. M nhìn o n n i 2 tiêu i m dư i góc 60°
c. M nhìn o n n i 2 tiêu i m dư i góc 90°
Gi i
www.hsmath.net
2
 2
a = 3

a = 3
x + y = 1 . Ta có: a = 9 ⇒ 
⇒
M(x, y)∈(E) ⇔
 2
 2
2
2
9
5
b = 5 c = a − b = 4 c = 2



⇒ F1 ( −2; 0 ) , F2 ( 2; 0 ) ⇒ F1 M = a + c x = 3 + 2 x ; F2 M = a − c x = 3 − 2 x
a
3
a
3
2
2

3. www.hsmath.net
)
)
(
(
3 + 2 x = 2 3 − 2 x
x = 3

 F1 M = 2 F2 M

3
3
2
a. Yêu c u bài toán ⇔ 
⇔
⇔
3 − 2 x = 2 3 + 2 x
 2 F1 M = F2 M
x = − 3


2

3
3


3
 3 15 
 3
15 
15 
15 
⇒ M 3;
 ∨ M  ;−
 ∨ M − ;
 ∨ M − ;−

4 
4 
2 4 
2
 2 4 
 2
b. Xét ∆ MF1 F2 ta có: F1 F 22 = MF12 + MF 22 − 2 MF1 .MF 2 cos 60 °
2
2
2
⇔ F1 F22 = ( MF1 + MF2 ) − 3MF1 .MF ⇔ ( 2 c ) = ( 2 a ) − 3 MF1 .MF 2
2
2
⇔ MF1 .MF 2 = 4 a − 4 c ⇔ 3 + 2 x 3 − 2 x = 20 ⇔ x 2 = 21 ⇔ y 2 = 25
3
3
3
3
4
12
)(
(
)
 21 5 3 


 21 5 3 
21 5 3 
21 5 3 
⇔M
;
;
;−
;−
 ∨ M −
 ∨ M −
∨ M

6 
2
6 
2
6 
6 
 2


 2
c. Xét ∆ MF 1F2 ta có: F1 F 22 = MF12 + MF 22 − 2 M F1 .MF 2 cos 90 °
2
2
2
⇔ F1 F22 = ( MF1 + MF2 ) − 2 MF1 .MF ⇔ ( 2 c ) = ( 2 a ) − 2 MF1 .MF 2
2
2
⇔ MF1 .MF2 = 4a − 4c ⇔ 3 + 2 x 3 − 2 x = 10 ⇔ x 2 = − 9 (vô nghi m)
2
3
3
4
)(
(
)
2
y2
Bài 3. Cho (E): x 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) . Tiêu i m F1 ( −c; 0 ) . Tìm M∈(E):
a
b
a.
o n F1 M ng n nh t.
b.
o n F1 M dài nh t.
Gi i
2
x 2 + y = 1 . Ta có: F M = a + c x và − a ≤ x ≤ a
M(x, y) ∈ (E) ⇔ 2
1
a
a
b2
⇒ − c ≤ c x ≤ c ⇔ a − c ≤ F1 M ≤ a + c
a
a. Xét F1 M = a − c ⇔ x = −a ⇔ M(−a; 0). V y F1 M ng n nh t khi M(−a; 0).
b. Xét F1 M = a + c ⇔ x = a ⇔ M(a; 0). V y F1 M dài nh t khi M(a; 0).
2
y2
Bài 4. Cho (E): x 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) . TÌm t a
a
b
c a (E) t i M t o v i hai tr c t a
M(x0, y0) ∈ (E) ⇔
2
x0
a
2
+
2
y0
2
M∈(E) sao cho ti p tuy n
m t tam giác có di n tích nh nh t.
Gi i
= 1 . PTTT (∆) c a (E) t i M là:
b
2

G i A ≡ ( ∆ ) ∩ Oy ; B ≡ ( ∆ ) ∩ Ox ⇒ A  0; b
 y0
2
⇒ S = 1 O A.O B = 1 y A x B = 1 b
2
2
2 y0
  a2 
, B  x ;0
  0 
a 2 = 1 ab b
2
x0
y0
x0 x
a
2
+
y0 y
b2
=1
a . Ta có:
x0
 x2
y 0 x0
y2 
1
≤ 1  0 + 0  = 1 ⇒ S = ab ⋅
≥ ab . D u b ng x y ra ⇔
b a
2  a2 b2  2
2
y0 x0
b a
www.hsmath.net
2
2
x0 y0 1
 a ; b ; M  − a ; b ; M  − a ; − b  ; M  a ; − b 
=
= ⇒ M1 
3
4
 2



a2 b2 2
2
2
 a 2
 a 2
 a
 a
3

4. www.hsmath.net
2
y2
Bài 5. Cho (E): x 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) . a. CMR: b ≤ OM ≤ a ∀M ∈ (E)
a
b
b. Tìm 2 i m A, B thu c (E) tho mãn OA ⊥ OB và S ∆AOB nh nh t.
y2
M(x, y) ∈ (E) ⇔ x 2 + 2 = 1 .
a
b
Gi i
2
2
2
2
y2
y2
y2
x2 + y2
x2 + y2
≤1≤
Ta có: 12 < 12 ⇒ x 2 + 2 ≤ x 2 + 2 ≤ x 2 + 2 ⇔
a
b
a2
b2
a
a
a
b
b
b
⇔ b 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2 mà OM = x 2 + y 2 ⇒ b ≤ OM ≤ a.
b. N u A, B là các
nh trên tr c thì S OAB = 1 ab . Xét A, B khác các
2
nh suy
ra phương trình ư ng th ng (OA) có d ng y = kx, khi ó ta có:
2
xA
k 2x2
A
(1 + k ) a b
2
2
2
a 2b 2
⇒ OA 2 = x A + y A = (1 + k 2 ) x A = 2
.
2
2
2
2 2
a
b
b +a k
b + a2k 2
Do OA ⊥ OB ⇒ H s góc c a (OB) là −1 . Tương t ta suy ra:
k
2 2
1 + 1  a b


(1 + k 2 ) a 2b 2
(1 + k 2 ) a 2b 2
k2 
2
OB = 
= 2
⇒ S OAB = 1 OAOB = 1 ⋅
.
2
2 ( a 2 + b 2 k 2 )( b 2 + a 2 k 2 )
a + b2k 2
b 2 + a 2 ⋅ 12
k
+
Ta có:
2
2
=1⇔ xA =
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
( a 2 + b 2 k 2 )( b 2 + a 2 k 2 ) ≤ ( a + b k ) + ( b + a k ) = (1 + k )( a + b )
2
2
2 2
⇒ S OAB ≥ a b 2 . D u b ng x y ra ⇔ a 2 + b 2 k 2 = b 2 + a 2 k 2 ⇔ k 2 = 1 ⇔ k = ±1 .
a2 + b
2 2
2 2
2 2
Do a b 2 ≤ a b = 1 ab ⇒ Min S AOB = a b 2
2ab 2
a2 + b
a2 + b
ab
ab
;
V y A

2
2
2
a + b2
 a +b
ab
ab
; B  −

;
 
2
2
2
2 
a +b
a +b 
 
ab
ab
;−
ho c A 

2
2
2
a + b2
 a +b
ab
ab
; B  −

;−
 
2
2
2
2 
a +b
a +b 
 
2
2 2
( a 2 + b 2 k 2 )( b 2 + a 2 k 2 ) ≥ ab + abk 2 = ab (1 + k 2 ) ⇒ S OAB ≤ (1 + k ) a b = ab
2
2ab (1 + k 2 )
2
y2
Bài 6. Cho A(3; 0). Tìm B, C ∈(E): x +
= 1 sao cho B, C
9
3
ng th i tho mãn ∆ABC
i x ng qua Ox
u.
Gi i
Không m t tính t ng quát gi s B(x0, y0) và C(x0, −y0) v i y0 > 0.
2
2
x0 y 0
2
2
Ta có:
+
= 1 ⇔ x0 + 3 y0 = 9
9
3
Ta có: BC = 2 y 0 và phương trình (BC): x = x0 ⇒ d ( A, ( BC ) ) = 3 − x 0 www.hsmath.net
Do A∈Ox và B, C
i x ng qua Ox ⇒ ∆ABC cân t i A
4

5. www.hsmath.net
2
3
2
BC ⇔ 3 − x 0 = 3 y 0 ⇔ 3 y 0 = ( x 0 − 3)
2
2
= 9 ⇔ 2x0 − 6 x0 = 0 ⇔ x0 = 0 ∨ x0 = 3
u ⇔ d ( A, ( BC ) ) =
suy ra ∆ABC
2
⇒ x 0 + ( x 0 − 3)
2
V i x 0 = 3 ⇒ y 0 = 0 ( lo¹i ) . V i x0 = 0 ⇒ y 0 = 3 ⇒ B ( 0; 3 ) , C ( 0; − 3 )
2
y2
Bài 7. Cho (E): x 2 + 2 = 1 (a > b > 0). Ch ng minh r ng:
a
b
Tích các kho ng cách t
F1, F 2
n 1 ti p tuy n b t kì không
i.
Gi i
G i F 1(−c; 0), F2(c; 0). Ti p tuy n t i i m M(x0, y0) là
(d):
x0 x
a
2
+
y0 y
b
2
= 1 ⇔ b 2 x0 x + a 2 y 0 y − a 2 b 2 = 0
⇒ Tích các kho ng cách F1, F2
2
T=
2
−b x 0 c − a b
2
2
⋅
2
2
b 4 x0 + a 4 y 0
n (d) là:
2
b x0 c − a b
2
2
2
b 4 x0 + a 4 y 0
=
2
b 4 x0 c 2 − a 4
2
2
b 4 x0 + a 2 ( a 2 y0 )
2
2
M∈(E) ⇒ b 2 x 0 + a 2 y 0 = a 2 b 2 , suy ra:
2
b 4 x0 ( a 2 − b 2 ) − a 4
T=
b
4
2
x0
+a
2
(a
2
2
b −b
2
2
x0
)
=
2
2
b 4 a 2 x0 − b 2 x0 − a 4
b
2
(b
2
2
x0
4
+a −a
2
2
x0
)
= b 2 = const
2
y2
Bài 8. Cho elip (E): x 2 + 2 = 1 (a > b > 0).
a
b
Ti p tuy n (t) c t 2 ư ng th ng x = ± a t i M, N
a. CMR : A1 M.A 2 N = const.
b. Xác
c. G i I ≡ A1 N ∩ An M . Tìm quĩ tích I.
d. CMR: F1 M ⊥ F1 N ; F2 M ⊥ F2 N
nh (t)
S F2 MN nh nh t
Gi i
a. Ti p tuy n (t) ti p xúc (E) t i T(x0, y0) có PT:
(t):
x0 x
a2
+
y0 y
b2
2 
x x
x2 y2
y = b 1 − 02  v i 0 + 0 = 1
=1 ⇔
y0 
a2 b2
a 
2
2


x 
x 
( t ) ∩ ( x = −a ) = M  −a; b  1 + 0   ; ( t ) ∩ ( x = a ) = N  a; b  1 − 0  





y0 
a 
y0 

a 
4 
x2 
Do M, N luôn cùng phía so v i Ox nên A1 M.A2N = y M . y N = b 2  1 − 0  = b 2
y0 
a2 
b. S ( F2 MN ) = S ( A1 MNA2 ) − S ( A1 MF2 ) − S ( A2 NF2 )
www.hsmath.net
= ( A1M + A2 N ) a − 1 A1M .A1 F2 − 1 A2 N.A2 F2 = ( A1M + A2 N ) a − a + c A1M − a − c A2 N
2
2
2
2
= a − c A1 M + a + c A2 N ≥ ( a − c ) A1 M ( a + c ) A2 N = b 2
2
2
5

6. www.hsmath.net
x y ra ⇔ ( a − c ) A1 M = ( a + c ) A2 N = b 2
( t ) : cx + ay − a 2 = 0
 M ( − a; a + c ) , N ( a ; a − c )
 A1 M = a + c

⇔
⇔
⇔
( t ) : cx − ay − a 2 = 0
 M ( −a; −a − c ) , N ( a; −a + c )
 A2 N = a − c



b 2 ( a − x0 )
c. ( A1 N ) : y =
2a 2 y 0
( x + a ) ; ( A2 M ) : y =
−b 2 ( a + x 0 )
2a 2 y 0
( x − a)
2

b 2 ( a 2 − x0 )  
y 
x2 y2

 =  x 0 ; 0  . Ta có: 0 + 0 = 1
⇒ A1 N ∩ An M ≡ I  x 0 ;
 
2 
2a 2 y 0
a2 b2


2
2
2
x0 ( y0 / 2)
y2
⇒ 2 +
= 1 ⇒ Quĩ tích i m I là elip ( E1 ) : x 2 +
=1
a
a
(b / 2 ) 2
(b / 2) 2
d. A1M .A2 N = b 2 = ( a − c)( a + c ) = A2 F2 .A1 F2 ⇒
A1 M A1 F2
=
A2 F2 A2 N
⇒ ∆A1MF2 ~ ∆A2F2N ⇒ A1 MF2 = A2 F2 N .
Mà ∆A1 MF2 vuông t i A 1 ⇒ A1 F2 M + A2 F2 N = 90° ⇒ MF2 N = 90° ⇒ F2 M ⊥ F2 N
2
y2
Bài 9. Cho 2 i m M, N thu c ti p tuy n (t) c a (E): x 2 + 2 = 1 (a > b > 0)
a
b
sao cho các tiêu i m F 1, F 2 nhìn MN dư i 1 góc 90°. Tìm hoành
M, N
Gi i
Hai i m M ( x1 ; y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ∈ (t):
x0 x
a
2
+
y0 y
=1
b2
2 
x x
x2 y2
⇔ y = b 1 − 02  v i 0 + 0 = 1 ; F 1(−c; 0), F 2(c; 0)
y0 
a2 b2
a 
F1 M ⊥ F1 N ⇔ F1 M ⋅ F1 N = 0 ⇔ ( x1 + c )( x 2 + c ) + y1 y 2 = 0 (1) 


F2 M ⊥ F2 N ⇔ F2 M ⋅ F2 N = 0 ⇔ ( x1 − c )( x 2 − c ) + y1 y 2 = 0 ( 2 ) 

 (1 ) − ( 2 ) : x 1 + x 2 = 0
 x1 + x 2 = 0


⇔ 
⇔ 
2
2
2


 y 1 y 2 = x1 − c
 x1 x 2 + y 1 y 2 + c = 0
2 
x x
Do M, N ∈(t) nên y 1 = b  1 − 0 2 1
y0 
a
⇒ y1 y 2 =
⇔
2
x1 − c 2
b2
2
b 4 ( a 4 − x 12 x 0 )
=
2
a 2 (a 2 y0 )
y1 y 2
b2
=
2 2
a 4 − x1 x0
2
a 4 − a 2 x0
=
2

; y2 = b

y0

x0 x2 

1 − 2 
a 

2
b 4 ( a 4 − x 12 x 0 )
2
a 2 ( a 2b 2 − b 2 x 0 )
⇔
2
x1 − c 2 − b 2
b2
=
=
2
b 2 ( a 4 − x 12 x 0 )
2
a 4 − a 2 x0
2
2 2
a 2 x0 − x1 x0
2
a 4 − a 2 x0
⇔
2
x1 − a 2


x2
⇔ ( x12 − a 2 )  12 + 2 20 2  = 0 ⇔ x12 − a 2 = 0 ⇔ x1 = ± a
a ( a − x0 ) 
b


6
b2
=
2
2
x0 ( a 2 − x1 )
2
a 2 ( a 2 − x0 )

7. www.hsmath.net
2
2
y
Bài 10. Cho (E): x 2 + 2 = 1 (a > b > 0). Trong t t c các hình ch nh t Q
a
b
ngo i ti p (E), hãy xác nh hình ch nh t có di n tích Max, Min.
Gi i
G i m t c nh hình ch nh t Q là (d 1): Ax + By + C = 0 ⇒ a 2 A 2 + b 2 B 2 = C 2
2
⇒ a 2 A 2 + b 2 B 2 = ( −C ) ⇒ (d1’): Ax + By − C = 0 // (d1) và cũng ti p xúc (E)
⇒ (d1’) là c nh c a Q
i di n v i (d1). Phương trình c nh (d 2) ⊥ (d1) là:
Bx + Ay + D = 0 v i a 2 B 2 + b 2 A 2 = D 2 và (d 2’): Bx + Ay − D = 0
2C
Kho ng cách gi a (d1) và (d1’) là:
2
A +B
Không m t tính t ng quát gi s
2
; gi a (d2) và (d2’) là:
2D
B 2 + A2
A2 + B 2 = 1
⇒ S = 4 CD = 4  a 2 A 2 + b 2 (1 − A 2 )   a 2 (1 − A 2 ) + b 2 A 2 



2
= 4 b 2 + ( a 2 − b 2 ) A 2   a 2 − ( a 2 − b 2 ) A 2  = 4 a 2 b 2 + ( a 2 − b 2 ) A 2 (1 − A 2 )



2
2
 A2 + (1 − A2 )  1
( a 2 − b2 )
2 2
2 2
0 ≤ A2 (1 − A2 ) ≤ 
= 2( a2 + b2 )
 = 4 ⇒4 a b ≤ S ≤ 4 a b +
2


4
⇒ Min S = 4ab ; Max S = 2 ( a 2 + b 2 )
Bài 11. Cho ( C1 ) : x 2 + y 2 = 4 ; ( C 2 ) : x 2 + y 2 = 1 . Các i m A, B di
ng trên
(C1), (C2) sao cho Ox là phân giác c a góc AOB. G i M là trung i m AB.
Tìm quĩ tích i m M.
Gi i
L y B1
i x ng B qua Ox ⇒ B1 ( x B ; − y B ) ∈OA và OA = 2OB1 ⇒ A ( 2 x B ; −2 y B )
2
y 
y2
 3x
2
2
=1
⇒ M  B ; − B  . Mà x B + y B = 1 nên n u M(x; y) thì x +
9 / 4 1/ 4
2 
 2
2
2
T ng quát: Cho ( C1 ) : x 2 + y 2 = ( a + b ) ; ( C 2 ) : x 2 + y 2 = ( a − b ) (0 < b < a).
Các i m A, B di
ng trên (C 1), (C2) sao cho Ox là phân giác c a góc AOB.
2
y2
G i M là trung i m AB, khi ó M ∈ (E): x 2 + 2 = 1
a
b
2
Bài 12. Cho A(2; 0) và (C): ( x + 2 ) + y 2 = 36 . Vi t phương trình quĩ tích tâm
các ư ng tròn i qua A và ti p xúc (C).
Gi i
2
(C): ( x + 2 ) + y 2 = 36 là ư ng tròn tâm B(−2; 0), bán kính R = 6.
G i M là tâm ư ng tròn i qua A và ti p xúc (C) t i N
⇒ MA + MB = MN + MB = BN = 6.
7
www.hsmath.net

8. www.hsmath.net
V y quĩ tích M là elip (E) nh n A, B làm tiêu i m và có
Vì A, B ∈ Ox và
dài tr c l n b ng 6.
2
y2
i x ng nhau qua O nên (E) có d ng ( E ) : x 2 + 2 = 1 (0 < b < a)
a
b
2
y2
V i 2a = 6; b2 = a2 − c2 = 9 − 1 AB 2 = 5 ⇒ ( E ) : x +
=1
9
5
4
2
2
Bài 13. Cho ( C1 ) : ( x + 5 ) + y 2 = 441; ( C 2 ) : ( x − 5 ) + y 2 = 25 . G i M là tâm
ư ng tròn (C) di
ng ti p xúc v i (C1), (C2). Tìm quĩ tích M bi t:
a. (C) ti p xúc trong v i (C1) và ti p xúc ngoài v i (C 2).
b. (C) ti p xúc trong v i (C1) và (C2).
Gi i
( C1 ) : O1 ( −5; 0 ) , R1 = 21 ; ( C 2 ) : O2 ( 5; 0 ) , R2 = 5
a. M(x; y) là tâm: R1 − R = MO1 ; R 2 + R = MO 2 ⇒ MO1 + MO 2 = R1 + R 2 = 26
2
y2
T ó suy ra t p h p các i m M ∈ ( E ) : x +
=1
169 144
b. M(x; y) là tâm: R1 − R = MO1 ; R − R 2 = MO 2 ⇒ MO1 + MO 2 = R1 − R 2 = 16
2
y2
=1
T ó suy ra t p h p các i m M ∈ ( E ) : x +
64 39
2
y2
Bài 14. Cho elip (E): x 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) v i các tiêu i m F1 , F2 .
a
b
Ch ng minh: V i m i i m M∈(E) ta luôn có: OM 2 + MF1 .MF2 = a 2 + b 2
Gi i
t M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒
2
x0
2
a
+
2
y0
2
b
= 1 , (1)
2
2
Ta có: OM 2 = x 0 + y 0 , MF1 = a + c x 0 , MF2 = a − c x 0
a
a
2
2
 2
 2
2
2
2
2
2
2
Do ó: OM + MF1 .MF2 = x 0 + y 0 + a − c 2 x 0 = a 2 +  a − c  x 0 + y 0
2
a
 a

2
2
2
x
y 
2
2
= a 2 + b 2 x 0 + y 0 = a 2 + b 2  0 + 0  = a 2 + b 2 ( pcm)
2
a
b2 
a
2
y2
Bài 15. Cho elip (E) có phương trình x 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )
a
b
G i A và B là hai i m thu c elip (E) sao cho OA vuông góc v i OB.
1. Ch ng minh r ng
2. CMR:
1 + 1 = 1 + 1
OA 2 OB 2 a 2 b 2
ư ng th ng AB luôn luôn ti p xúc v i m t ư ng tròn c
Gi i
1. Trư ng h p 1. A, B n m trên các tr c Ox, Oy.
Ta có: 1 2 + 1 2 = 12 + 12
OA
OB
a
b
Trư ng h p 2: A, B không n m trên các tr c Ox, Oy.
Phương trình ư ng th ng OA là: y = kx ( k ≠ 0 )
T a
c a A th a h
8
nh.
y
B
A
O
α
www.hsmath.net
x

9. www.hsmath.net
 2
a 2b 2
 x2 y2
x A = a 2k 2 + b 2
( k 2 + 1) a 2 b 2 ( )
 2 + 2 =1 
2
2
⇒
⇒ OA 2 = x A + y A =
*
a
b
2 2 2
a 2k 2 + b2
 y = kx
y2 = a b k

 A a 2k 2 + b2

OB ⊥ OA nên phương trình c a OB có d ng: y = − 1 x
k
( k 2 + 1) a 2 b 2
2
Thay x b ng − 1 vào (*) ta có: OB =
k
a 2 + b2k 2
2
2
2
1 + 1 = ( k + 1)( a + b ) = a 2 + b 2 = 1 + 1
2
2
( k 2 + 1) a 2 b 2
OA
OB
a 2b 2
a2 b2
V y c hai trư ng h p trên ta u có: 1 2 + 1 2 = 12 + 12 ( pcm)
OA
OB
a
b
1 = 1 + 1 = 1 + 1
2. Trong tam giác OAB k ư ng cao OH, ta có:
OH 2 OA 2 OB 2 a 2 b 2
2 2
ab
. V y ư ng th ng AB luôn luôn ti p xúc
⇒ OH 2 = a b 2 ⇒ OH =
2
2
a +b
a + b2
Ta có:
v i ư ng tròn c
nh, tâm O(0; 0) và bán kính R =
ab
2
a + b2
2
y2
= 1 và ( d1 ) : mx − ny = 0, ( d 2 ) : nx + my = 0 , v i m 2 + n 2 ≠ 0 .
Bài 16. Cho (E): x +
9
4
1. Xác
nh giao i m M, N c a d 1 v i (E) và giao i m P, Q c a d 2 v i (E)
2. Tính theo m, n di n tích t giác MPNQ.
3. Tìm i u ki n
i v i m, n
di n tích t giác MNPQ nh nh t.
Gi i
 x = nt
 x = − mt ′
1. Phương trình tham s c a d 1 và d 2 là: ( d 1 ) : 
; (d2 ) : 
 y = mt
 y = nt ′
T a
c a M, N là nghi m c a phương trình tương giao gi a ( d 1 ) và (E):
n 2t 2 + m 2t 2 = 1 ⇔ t = ±
6
2
9
4
9m + 4n 2
6n
6m
−6n
−6m
, N 

;
;
⇒ M


2
2
2
2 
2
2
2
2 
9m + 4n 
9m + 4n 
 9m + 4n
 9 m + 4n
T a
c a P, Q là nghi m c a phương trình tương giao gi a ( d 2 ) và (E):
m 2t ′2 + n 2t ′2 = 4 ⇒ t ′ = ±
6
2
9
4
4m + 9n 2
−6m
6n
6m
, Q
;
;
⇒ P


2
2
2
2 
4m + 9n   4m 2 + 9n 2
 4m + 9n
−6n

2
2 
4m + 9n 
2. Ta có: MN ⊥ PQ t i trung i m O c a m i ư ng nên t giác MPNQ là hình
hình thoi. Di n tích hình thoi MPNQ là:
y
2
2
2
2
S = 1 MN.PQ = 2OM.OP = 2 x M + y M . x P + y P
2
72 ( m + n
2
=
2
P
)
( 9m 2 + 4n 2 )( 4m 2 + 9n 2 )
3. Theo b t
M
x
O
ng th c Cauchy, ta có
N
Q
2
2
2
2
( 9m + 4n )( 4m + 9n ) ≤ ( 9m + 4n ) + ( 4m + 9n ) = 13 ( m 2 + n 2 )
2
2
2
2
2
9
2
www.hsmath.net

10. www.hsmath.net
72 ( m 2 + n 2 ) 144
=
⇒ min S = 144
t ư c khi
13 ( m 2 + n 2 ) 13
13
2
9m 2 + 4n 2 = 4m 2 + 9 n 2 ⇔ m 2 = n 2 ⇔ m = ± n
⇒S≥
2
y2
Bài 17. Cho elip (E) có phương trình x 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) , v i các tiêu i m
a
b
F1 , F2 . Ch ng minh r ng ti p tuy n t i m t i m M b t kỳ trên (E) là phân
giác c a góc F1 MF2 .
L y b t kỳ i m M ( x 0 ; y 0 ) ∈ ( E ) .
Gi i
(∆)
Phương trình ti p tuy n ∆ c a (E) t i i m M
x
y0
có d ng 0 x + 2 y = 1
2
a
b


G i I = ∆ ∩ Ox ⇒ I  a ; 0  ( x 0 ≠ 0 )
x0 

2
y
M
I
F1
O
x
F2
2
a+
c x , MF = a − c x nên IF1 = IF1 = a + cx 0 =
Ta có: MF1 = a +
0
2
0
e
a
IF2 IF2 a 2 − cx 0 a −
T ó suy ra ∆ là phân giác ngoài c a góc F1 MF2 ( pcm)
cx
a 0 = MF1
cx
MF2
0
a
IV. CÁC BÀI T P DÀNH CHO B N
C T GI I
2
x 2 + y = 1 và (d): 3x + 4 y − 12 = 0 .
Bài 1. Cho (E):
16
9
1. Ch ng minh r ng: ư ng th ng (d) c t elip (E) t i 2 i m A, B. Tính AB.
2. Tìm C∈(E) sao cho: a. ∆ABC có S = 6.
b. ∆ABC có S Max.
c. ∆ABC cân A ho c B
d. ∆ABC vuông.
Bài 2. Cho hai i m A1 ( − a; 0 ) , A2 ( a; 0 ) v i a > 0 và h ng s k ≠ 0, k ≠ 1.
L p phương trình quĩ tích các i m M tho mãn: tg MA1 A2 . tg MA2 A1 = k 2 .
2
Bài 3. Cho i m A(−4; 0) và ư ng tròn (C): ( x − 4 ) + y 2 = 100 .
L p phương trình quĩ tích tâm các ư ng tròn i qua A và ti p xúc v i (C)
Bài 4. Cho i m A(0; 6) và ư ng tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 = 100 .
L p phương trình quĩ tích tâm các ư ng tròn i qua A và ti p xúc v i (C).
2
2
Bài 5. Cho i m A(3; 3) và ư ng tròn (C): ( x − 1) + ( y − 1) = 16 .
L p phương trình quĩ tích tâm các ư ng tròn i qua A và ti p xúc v i (C).
2
2
Bài 6. Cho A(3; 3) và 2 ư ng tròn ( C1 ) : ( x + 1) + y 2 = 16; ( C2 ) : ( x − 1) + y 2 = 1.
G i M là tâm ư ng tròn (C) di ng ti p xúc v i (C1), (C2).
TÌm quĩ tích i m M, bi t:
a. (C) ti p xúc trong v i (C1) và ti p xúc ngoài v i (C2).
b. (C) ti p xúc trong v i (C1) và (C2).
2
y2
Bài 7. Trong m t ph ng t a
Oxy, cho elip (E): x +
=1
25 16
1. Tìm i u ki n k và m
ư ng th ng ( d ) : y = kx + m ti p xúc v i elip (E).
2. Khi (d) là ti p tuy n c a (E), g i giao i m c a (d) và các ư ng th ng x = 5
và x = −5 là M và N. Tính di n tích tam giác FMN theo k, trong ó F là tiêu
i m c a (E) có hoành
dương.
3. Xác nh k
tam giác FMN có di n tích bé nh t.2
y2
Bài 8. Trong m t ph ng t a
Oxy, cho elip (E): x +
= 1 và i m M(8;6)
25 16
trên m t ph ng t a . Qua M v các ti p tuy n v i (E) và gi s T1, T 2 là các
ti p i m. Vi t phương trình ư ng th ng n i T1, T 2.
www.hsmath.net
10