Dokumen tersebut merangkum model antrian nasabah bank dengan menggunakan Petri net dan aljabar Max-plus. Model tersebut menggambarkan alur antrian nasabah mulai dari kedatangan, mengambil nomor antrian, dilayani teller atau customer service, hingga keluar. Model matematika dibangun menggunakan matriks incidence dan persamaan Max-plus untuk memprediksi waktu antrian.

1. ALJABAR MAX-PLUS
ALJABAR MAX-PLUS
Model Antrian Nasabah Bank Dengan Menggunakan Petri Net
Oleh:
Petrus Fendiyanto
1213201002

2. ALJABAR MAX-PLUS
Pendahuluan
Latar Belakang
Latar Belakang
Berbagai macam transaksi yang dilakukan oleh nasabah bank.
Pentingnya alur antrian saat melakukan transaksi di Bank.
Model petri net yang digunakan dibatasi pada banyaknya
jumlah konsumen yang datang diasumsikan tak hingga,
banyaknya teller yang iddle 5 orang dan customer service yang
iddle 3 orang.

3. ALJABAR MAX-PLUS
Tinjauan Pustaka
Petrinet
Petrinet
Petrinet dikembangkan pertama kali oleh C.A Petri pada awal
1960-an. Petrinet merupakan salah satu alat untuk memodelkan
sistem event diskrit selain menggunakan automata yang telah
dikenal sebelumnya.
De

4. nisi 2.1(Cassandras,1993)
Petri net adalah 4-tuple (P,T,A,W) dengan:
P : himpunan berhingga place, P = fp1; p2; :::; png,
T : himpunan berhingga transisi, T = ft1; t2; :::; tng,
A : himpunan arc, A (P T) [ (T P),
w : fungsi bobot, w : A ! f1; 2; 3; :::g

5. ALJABAR MAX-PLUS
Tinjauan Pustaka
Petrinet
De

6. nisi 2.2(Cassandras,1993)
Penanda(marking) x pada Petri net adalah fungsi x: P!
f0; 1; 2; :::g.
De

7. nisi 2.3(Casandras,1993)
Petri net bertanda (marked) adalah 5-tuple (P;T; A;w; x0)
dimana (P,T,A,w) adalah Petri net dan x0 adalah penanda awal.
De

8. nisi 2.4(Casandras,1993)
Keadaan (state) Petri net bertanda adalah x =
[x(p1); x(p2); :::; x(pn)]T
De

9. nisi 2.5(Casandras,1993)
Transisi tj T pada Petri net bertanda enabled jika x(pi )
w(pi ; tj ), 8 pi I (tj ).

10. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian Nasabah
Model antrian nasabah bank adalah sebagai berikut:
Nasabah datang.
Mengambil nomor antrian sesuai dengan tujuan transaksi.
Idle pada teller dan customer service memanggil nasabah
sesuai antrian.
Apabila nasabah selesai melakukan transaksi di teller, maka
akan keluar.
Apabila nasabah yang sedang dilayani di CS membutuhkan
transaksi lain maka nasabah akan langsung menuju teller. Bila
tidak membutuhkan transaksi lagi, maka langsung keluar.

11. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Gambar: Diagram Alir

12. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Petri Net
Model Antrian dengan Petri Net
Gambar: Model Petri Net

13. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Petri Net
Penjelasan Simulasi Model Petri Net
Dalam gambar Place datang tidak dibatasi, sedangkan dalam place
antri Teller dan antri CS dibatasi lima orang, sedangkan idle pada
Teller 5 orang dan idle CS 3 orang. Berikut penjelasan simulasi
model petri net:
Transisi datang dapat di

14. re sebanyak tak hingga, bila transisi
datang di

15. re sebanyak satu kali artinya nasabah datang
sebanyak satu orang hal ini dapat dilihat dengan banyaknya
token dalam place datang sebanyak satu.
Apabila transisi datang sebanyak sebelas kali yang selanjutnya
transisi teller dan antri CS di

16. re sebanyak lima kali.
Akibatnya transisi antri CS dan Teller menjadi di

17. re,
masing-masing di

18. re sebanyak lima kali. Akibatnya transisi
antri CS dan antri Teller menjadi de

19. re karena place antri CS
dan antri Teller dibatasi sebanyak lima antrian.

20. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Petri Net
Penjelasan Simulasi Model Petri Net
Dalam kondisi tersebut yang dapat dilakukan adalah mem

21. re
transisi CS dan Teller, yang artinya Customer Service dan
Teller dapat memaanggil dan melayani antrian nasabah yang
sudah ada.
Karena place teller sudah terisi sebanyak lima token maka
transisi teller dalam kondisi de

22. re. Artinya lima orang teller
dalam kondisi sibuk melayani nasabah.
Sedangkan dalam place CS sudah terisi sebanyak 3 orang
maka transisi CS dalam kondisi de

23. re. Artinya tiga orang CS
dalam kondisi sibuk melayani nasabah.

24. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Petri Net
Model Matematika Dalam Bentuk Representasi Matriks
Berdasarkan model Petri Net terdapat 8 Place dan 9 Transisi,
sehingga banyak baris (n) = 8 dan banyak kolom (m) = 9.
Matriks Forwards Incidence (Af )
Af =
2
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0
66666666664
3
77777777775

25. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Petri Net
Matriks Backwards Incidence (Ab)
Ab =
2
0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
66666666664
3
77777777775

26. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Petri Net
Untuk matriks incidence akan dihasilkan dari persamaan
A = Af Ab dan menghasilkan matriks incidence sebagai berikut:
A =
2
1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1
66666666664
3
77777777775
Dengan keadaan awal (m0) adalah:
m0 =
0 0 0 0 3 0 5 0
T

27. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Petri Net
Untuk menentukan keadaan berikutnya digunakan persamaan
m1 = m0 + Ae1, dengan e1 adalah vektor kolom.
m1 =
2
0
0
0
0
3
0
5
0
66666666664
3
77777777775
+
2
1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1
66666666664
3
77777777775
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
6666666666664
3
7777777777775
=
1 0 0 0 3 0 5 0
T

28. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Maxplus
Model Antrian dengan Maxplus
Gambar: Model Maxplus

29. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Maxplus
Penyelesaian dengan Maxplus
a(k) = Va;k
a(k 1)
b(k) = Vb;k
a(k)
= Va;k
Vb;k
a(k 1)
c(k) = Vc;k
a(k)
= Va;k
Vc;k
a(k 1)
d(k) = b(k) g(k 1)
= Va;k
Vb;k
a(k 1) g(k 1)
= maxfVa;k + Vb;k + a(k 1); g(k 1)g
e(k) = c(k) h(k 1)
= Va;k
Vc;k
a(k 1) h(k 1)
= maxfVa;k + Vc;k + a(k 1); h(k 1)g

30. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Maxplus
Penyelesaian dengan Maxplus
f (k) = d(k) h(k 1)
= Va;k
Vb;k
a(k 1) h(k 1)
= maxfVa;k + Vb;k + a(k 1); h(k 1)g
g(k) = Vg;k
d(k)
= Vg;k
Va;k
Vb;k
a(k 1) Vg;k
g(k 1)
= maxfVa;k + Vb;k + Vg;k + a(k 1); Vg;k + g(k 1)g
h(k) = Vh;k
e(k)
= Vh;k
Va;k
Vc;k
a(k 1) Vh;k
h(k 1)
= maxfVa;k + Vc;k + Vh;k + a(k 1); Vh;k + h(k 1)g

31. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Maxplus
Penyelesaian dengan Maxplus
i(k) = g(k) h(k)
= Vg;k
Va;k
Vb;k
a(k 1) Vg;k
g(k 1) Vh;k
Va;k
Vc;k
a(k 1) Vh;k
h(k 1)
= maxfVa;k + Vb;k + Vg;k + a(k 1);Vg;k + g(k 1);
Va;k + Vc;k + Vh;k + a(k 1);Vh;k + h(k 1)g
Sehingga diperoleh:
2
4
3
5 =
a(k)
g(k)
h(k)
2
4
Va;k
Va;k + Vb;k + Vg;k Vg;k
Va;k + Vc;k + Vh;k Vh;k
3
5
2
4
3
5
a(k 1)
g(k 1)
h(k 1)

32. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Maxplus
Penyelesaian dengan Maxplus
Bila diberikan:
Va;k = 0:5;Vb;k = 0; 7;Vc;k = 0; 6;Vg;k = 1, dan Vh;k = 1; 5
maka:
2
4
3
5 =
a(1)
g(1)
h(1)
2
4
0; 5
0; 5 + 0; 7 + 1 1
0; 5 + 0; 6 + 1; 5 1; 5
3
5
2
4
0
0
0
3
5
=
2
4
0; 5
2; 2
2; 6
3
5

33. ALJABAR MAX-PLUS
Analisis dan Pembahasan
Model Antrian dengan Maxplus
Penyelesaian dengan Maxplus
Keterangan:
Jika waktu kedatangan nasabah saat yang ke-0 adalah pukul
07.30
Waktu kedatangan nasabah yang ke-1 adalah pukul 07.35
Waktu nasabah selesai dilayani di Customer Service adalah
pukul 07.52
Waktu nasabah selesai dilayanai di Teller adalah pukul 07.56