1. Γεωμετρικές ΚατασκευέςΟι Μέθοδοι της Σύνθεσης και
της Ανάλυσης.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Διαπαιδαγώγηση.
Πως θα κινηθεί το ενδιαφέρον.
Η «Συνθετική» Μέθοδος.
Η «Αναλυτική» Μέθοδος.
Η Γεωμετρική Κατασκευή.
Η Απόδειξη.
Η διερεύνηση.

2. Διαπαιδαγώγηση:




Την Αγωγή του πνεύματος την διακρίνουμε στην
Αγωγή της Διάνοιας δηλαδή του Νου, στην
Αγωγή του συναισθήματος και στην Αγωγή
της Θέλησης.
«Καλή» Πνευματική Αγωγή είναι η δημιουργία
ενός Νου που οι πνευματικές του ικανότητες
έχουν καλλιεργηθεί ανάλογα με την σπουδαιότητα
και την αξία τους.
Το Σχολείο θα πρέπει να έχει κυρίως ως σκοπό
να καλλιεργήσει και να δημιουργήσει στο Παιδί το
όργανο της Πνευματικής Εργασίας, τη σκέψη
και την δυνατή κρίση.
Το Σχολείο έχει χρέος να διδάξει στο παιδί,
κύρια εκείνα που δεν πρέπει να αγνοεί και όχι
όλα εκείνα που μπορεί κανείς να μάθει.

3. Πως θα κινηθεί το ενδιαφέρον

Για να κινηθεί το ενδιαφέρον του παιδιού
και να καταπιαστεί συνειδητά με ένα
Μαθηματικό πρόβλημα θα πρέπει ο
διδάσκων να φροντίσει ώστε το
περιεχόμενό του να ταυτιστεί με το εγώ
του παιδιού. Δηλαδή το περιεχόμενο του
να είναι κάτι από την προσωπική του
εμπειρία την οποία η Εκπαίδευση έχει την
Ιερή υποχρέωση να διευρύνει, φέροντας
το σε επαφή με τα γύρω του πράγματα,
δηλαδή με την ζωή.

4. Η «Συνθετική» Μέθοδος.





Γενικά η Μέθοδος στα Μαθηματικά έχει τεράστια μορφωτική αξία. Ο
Henri Poincare υπογράμμιζε με έμφαση: «Τα Μαθηματικά
ανάλογα με την Μέθοδο διδασκαλίας τους ή εξυψώνουν ή
αποκτηνώνουν τον Άνθρωπο».
«Συνθετική» είναι η μέθοδος που ακολουθούμε προκειμένου να
συντεθούν τουλάχιστον δύο δεδομένα (ξεκινούμε δηλαδή άμεσα
από τα δεδομένα είτε αυτά είναι τα ειδικά του προβλήματος είτε
από την θεωρία), ώστε να παραχθεί ένα άλλο δεδομένο κ.τ.λ.
μέχρι που να καταλήξουμε στην απάντηση,
π.χ. στο πρόβλημα:
Ο Νίκος είχε σε ένα κουτί μερικές μπίλιες. Αγόρασε 35 μπίλιες
και τις τοποθέτησε στο κουτί. Αν έχουμε την πληροφορία ότι
έχει μετά την τοποθέτηση 80 μπίλιες τότε πόσες μπίλιες είχε
αρχικά στο κουτί, απαντούμε Συνθετικά και άμεσα: Τωρινός
αριθμός μπίλιων (80) μείον (-) Αριθμός μπίλιων που αγόρασε
(35) μας δίνει σαν αποτέλεσμα (=) 45 (80-35=45).
Επίσης στο πρόβλημα: Κατασκευάστε ένα τρίγωνο αν δοθούν
οι τρείς πλευρές του δυνάμεθα άμεσα να το κατασκευάσουμε
Συνθετικά ως εξής:

5. Η «Συνθετική» Μέθοδος.

6. Η «Αναλυτική» Μέθοδος.





Όταν έχουμε ένα Μαθηματικό Πρόβλημα άρα μία υπόθεση (δηλαδή τα
δεδομένα) και ζητά να καταλήξουμε σε ένα τουλάχιστον ζητούμενο,
τότε ένας τρόπος είναι να υποθέσουμε ότι το πρόβλημα είναι λυμένο
με σκοπό να «ανακαλύψουμε» τη διαδικασία επίλυσης του
προβλήματος κάνοντας μαθηματικές σκέψεις που θα μας καταλήξουν
σε «δεδομένο» εκκίνησης για την εφαρμογή της «Συνθετικής»
διαδικασίας που θα μας οδηγήσει στην κατασκευή (κτίσιμο) της λύσης.
Τότε έχουμε επιτελέσει την Μαθηματική διαδικασία της «Ανάλυσης».
Με λίγα λόγια η «Αναλυτική» Μέθοδος χρησιμοποιείται για να
οδηγηθούμε στην «Σύνθεση».
Άρα στο προηγούμενο πρόβλημα της Γεωμετρίας που αναφέραμε
και πριν από την «Συνθετική» Μέθοδο που άμεσα επιλύσαμε θα
μπορούσε να γίνει η εξής Ανάλυση:
Έστω ότι το τρίγωνο ABC κατασκευάστηκε. Παίρνοντας σαν βάση
την μία πλευρά, έστω την ΒC προσδιορίζονται άμεσα οι δύο
κορυφές του B,C. Αρκεί λοιπόν να προσδιοριστεί και η κορυφή του
Α. Όμως ένα σημείο συνήθως προσδιορίζεται σαν τομή δύο
γραμμών. Το δεδομένο των μηκών των πλευρών AB, AC μας
οδηγεί στο ότι το σημείο Α είναι τομή των κύκλων (Β,ΒΑ),
(C,CA). Nα λοιπόν πώς καταλήγει κανείς στην σύνθεση που ήδη
είδαμε.

7. Η Γεωμετρική Κατασκευή.






Όταν λοιπόν «καλούμεθα» να επιχειρήσουμε μία
Γεωμετρική Κατασκευή,
1) Σκεφτόμαστε (Ανάλυση) πως θα εισέρθουμε στον
«κατασκευαστικό πυρήνα» του προβλήματος (…που
το πάει;…), ώστε να «ανακαλύψουμε» τα
ενδεικνυόμενα κατασκευαστικά βήματα που πρέπει
να γίνουν.
2) Συνθέτουμε (Σύνθεση) τα κατασκευαστικά
βήματα που μας «επέβαλε» η Ανάλυση, τελείως
λιτά και καθορισμένα.
3) Αποδεικνύουμε ότι για την Κατασκευή που κάναμε
χρησιμοποιήθηκαν ακριβώς τα δεδομένα στοιχεία
(και όχι κάποια τυχόντα) του προβλήματος.
4) Διερευνούμε τα κατασκευαστικά
προαπαιτούμενα δηλαδή πότε έχουμε λύση
Καταδεικνύοντας τα πιθανά δεδομένα που δεν
οδηγούν σε λύση, αλλά και εκείνα που οδηγούν σε
περισσότερες της μίας λύσεις.

8. Παράδειγμα:
(M.I.T.) Δίνεται μία ευθεία (ε) και ένα σημείο Α
εκτός αυτής. Κατασκευάστε την κάθετη ευθεία
στην ευθεία (ε) που διέρχεται από το σημείο Α,
χρησιμοποιώντας μόνο μία φορά τον διαβήτη.
 Ανάλυση:
Έστω ότι η κατασκευή έχει επιτευχθεί.
Η αναφορά στον διαβήτη
οδηγεί σε κύκλο και η
καθετότητα της ευθείας
σε συνδυασμό με τον κύκλο
οδηγεί ΚΑΙ σε ορθόκεντρο.


9. Παράδειγμα:
Αν θεωρήσουμε τυχόντα κύκλο κέντρου Ο
(τυχόν σημείο της (ε)) με ακτίνα μεγαλύτερο
του ευθύγραμμου τμήματος ΑΟ που τέμνει
την (ε) στα σημεία B, C και «πετάξουμε»
τον διαβήτη έχουμε: Τις τομές Ε, D
αντίστοιχα των ΑΒ, ΑC με τον κύκλο.
Έτσι παίρνουμε την τομή επίσης F των
BD, CE. Το σημείο A είναι προφανώς
το ορθόκεντρο του τριγώνου FΒC. Αρκεί
λοιπόν να ενώσουμε το σημείο Α με το
σημείο F.

10. Παράδειγμα:
Σύνθεση (ή Κατασκευή):
Προσδιορίζουμε (σημειώνουμε) σημείο Ο της
ευθείας (ε) και «σύρουμε» το
ευθύγραμμο τμήμα ΑΟ. Με κέντρο το
σημείο Ο και ακτίνα μεγαλύτερη του ΟΑ
κατασκευάζουμε κύκλο προσδιορίζοντας
τα σημεία Β, C. Στην συνέχεια
προσδιορίζουμε την τομή F των BD, CE και
σχηματίζουμε την ευθεία ΑF. H ΑF είναι η
ζητούμενη κάθετη.


11. Παράδειγμα:
Απόδειξη:
Τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΕ, CD είναι
ύψη του τριγώνου FBC, επομένως η
ευθεία FA είναι ο φορέας του τρίτου
ύψους.
Διερεύνηση:
Το πρόβλημα έχει πάντα λύση.

12. Οι Μέθοδοι της Σύνθεσης και της
Ανάλυσης.


Αν σκεφτεί κανείς, αναβιώνοντας λογικές διαδικασίες
που έχει επιτελέσει, θα διαπιστώσει, ότι προκειμένου να
πείσει επ’ ακριβώς για κάποια «πράγματα» περνά
ενσυνείδητα ή ασυνείδητα από τις Μαθηματικές
Διαδικασίες-Μεθόδους που εκτέθηκαν. Μάλιστα σε
παλαιότερες εποχές και στο Δημοτικό ο Μαθητής
εδιδάσκετο να καταγράφει και να εκτελεί μετά την
εκφώνηση τις εξής Μαθηματικές διαδικασίες: Σκέψη
(Ανάλυση), Λύση (Σύνθεση), Δοκιμή (Διερεύνηση) και
το Συμπέρασμα.
Τα μαθηματικά έγιναν επιστήμη από την στιγμή που
εισήλθε από τον Θαλή μέσω της Γεωμετρίας η έννοια
της απόδειξης και του επαγωγικού συλλογισμού που
οδήγησε στις ακριβείς Κατασκευές με Κανόνα και
διαβήτη. Έτσι η Γεωμετρία είναι ο οπτικολογικός
μηχανισμός ο οποίος ωθεί τον νου να εργάζεται ακόμη
πιο πολύ με βάση τους κανόνες της Μαθηματικής
Λογικής και τον «υποχρεώνει» σε επιπλέον
επιστημονική Αποδοτικότητα.