1. Олонлог түүний тодорхойлолт Лекц 1 1

2. Олонлог Бүх Дискрет бүтцийн объекууд нь олонлогт оршин байдаг ба жишээ нь: тоолуур, үнэмшил г/м. Олонлогийн тэмдэгт болон тэмдэглэгээ N Натурал тоон олонлог Z Бүхэл тоон олонлог Q Рациональ тоон олонлог R Бодит тоон олонлог C комплекс тоон олонлог 2

3. Олонлог Олонлог нь тодорхой объектуудын цуглуулга байдаг ба тэдгээрийг элемэнт эсвэл гишүүн гэдэг. Олонлогийг A, B, Cэлементийг a, b, c тэмдэглэгдэг. Хэрэв А олонлог x1,x2,x3элемэнтүүдтэй бол Хэрэв x элемэнт А олонлогт харялагддаг бол харялагддаггүй бол Олонлогийг тодорхойлохдоо олонлогийн элемэнтүүдийг дарааллуулан бичих эсвэл шинж чанараар бүлэглэх 2 арга байдаг. 3

4. Дэд олонлог Хэрэв X олонлогийн бүх элемэнт Y олонлогт багтдаг бол X олонлогийг Y олонлогийн дэд олонлог гэдэг. Жишээ 1 Ø уг тэмдэглэгээ нь хоосон олонлогийг төлөөлдөг ба бүх олонлогийн дэд олонлог болдог. 4

5. Олонлогийн зэрэг Олонлогийн зэрэг нь А-ийн бүх дэд олонлогийг хэлдэг. P(A) 5

6. Multisets and Multiplicity Олонлогийг дотор нь төсгөлөг ба төсгөлгүй гэж 2 ялгадаг. Нийлбэр олонлог гэдэг нь олонлогийн элемэнтүүдийн нэгдэл олонлогийг хэлдэг. Multiplicity гэдэгэхний жишээний 1 гэсэн элемэнт уг олонлогт 2 удаа, 2 гэсэн элемэнт 3 байгааг хэлдэг. 6

7. Олонлогийн теорем Теорем 1.1 Хэрэв А,B олонлогууд тэнцүү бол тэдгээр нь бие биенийхээ дэд олонлог болно. Теорем 1.2 Олонлог А нь бүх дэд олонглогийнхоо нийтлэг олонлог болно. Теорем 1.3 Бүх олонлог нь дэд олонлогоос бүрдэнэ. Теорем 1.4 Хэрэв бол биелэнэ. 7

8. Venn Диаграмм Venn диаграммаар олонлогийг дүрслэлийн аргаар тодорхойлдог ба энэ нь олонлогийг хаана харъялагдах болон олонлогуудын хоорондох хамаарлыг харуулдаг. Олонлогийн Операторууд 2олонлогийн нэгдэл Union А болон B олонлогийн нэгдэлийг U А U А B 8

9. Venn Диаграмм 2 олонлогийн огтлол Intersection A болон Bолонлогуудад зэрэг харялагддаг Олонлогийн Дүүргэлт Complement А олонлогийн дүүргэлт нь U олонлог болох ба А-гийн элемэнтүүд харялагдахгүй. U А U А B 9

10. Venn Диаграмм Дүүргэлтийн хамаарал A олонлогт харялагддаг Bхарялагддаггүй Тэгш хэмийн ялгаа А болон B-д харялагддаг элемэнтүүд гэхдээ 2уланд нь зэрэг биш U U А B А B 10

11. Суурь үржвэр N ширхэг ялгаатай олонлогууд А-ийн суурь бүтээгдэхүүн болох ба , Аль ч -ийн дүүргэлт нь байна. Жишээ нь: дурын A,B,C гэсэн 3 олонлогийн хувьд суурь бүтээгдэхүүнүүд нь 2^3 дараах байдлаар өгөдөнө. 11

12. Олонлогийн алгебр Дурын A,B,C олонлогуудын алгебрыг авч үзье 12

13. Олонлогийн хэмжээс Дурын олонлогийн элемэнтйиг тоог түүний хэмжээс гэдэг ба n(A), card(A), #A,|A| гэж тэмдэглэдэг. Тоолох теорем 1.5 A болон B олонлог нь төгсгөлөг олонлог ба тэдгээрийн нэгдэл огтлол нь төгслөлөг тэгвэл Хэрэв A,B олонлогууд салагад олонлогууд бол теорем 1.6 A,B,C олонлогууд нь төгсгөлөг олонлогууд бол 13

14. Олонлогийн ялгал Дурын S олонлогийн хувьд N тооны дэд олонлогтой бол олонлогийн хувьд 7 элемэнт байхгүй 5 элемэнт давхардсан S олонлогийн ялгал 14

15. Кортезийн үржвэр Хэлбэртэй ба жишээ нь: Теорем 1.7 2 төгсгөлөг хоосон биш A болон B олонлогт 15

16. Жишээ 1 Хэрэв бол ол. 16

17. Жишээ 2 2төгсгөлөг олонлог нь x, y тооны элемэнттэй ба элемэнтийн тоог харьцуулхад 4дахин зүрүүтэй бол x-y ол 17

18. Жишээ 3 Нийт эрдэмтдийн 70% англи хэлний шалгалтанд тэнцсэн ба 65%математикийн шалгалтанд тэнцсэн, 27% тэнцээгүй . 2 шалгалтанд тэнцсэн эрдэмтэд 248 байсан бол нийт эрдэмтдийн тоог ол. U E M (70-x) x (65-x) 18

19. Жишээ 4 Судалгааны 100 оюутны 50 сургуулийн ном, 30 ном зээлдэг, 40 өөрсдийн ном ашигладаг ба 20 сургуулийн болон өөрийн ном ашигладаг, 15 өөрийн болон зээлийн ном, 10 сургуулийн болон зээлийн ном ашигладаг байсан бол энэ 3 номыг зэрэг ашигладаг оюутны тоог ол. 19

20. Жишээ 4 Судалгааны 100 оюутны 50 сургуулийн ном, 30 ном зээлдэг, 40 өөрсдийн ном ашигладаг ба 20 сургуулийн болон өөрийн ном ашигладаг, 15 өөрийн болон зээлийн ном, 10 сургуулийн болон зээлийн ном ашигладаг байсан бол энэ 3 номыг зэрэг ашигладаг оюутны тоог ол. A 50 B 40 20-x x 15-x 10-x C 30 A сургуулийн ном ашигладаг оюутан B өөрийн ном ашигладаг оюутан C зээлийнном ашигладаг оюутан 20

21. Бодлого 1 Ангийн 100 хүүхдийн 84% нь нийгэм, 16% нь түүхийн оюутан бол хэдэн оюутан 2-нг нь зэрэг үздэг вэ? Мөн хэдэн хувь нь вэ? 21

22. Бодлого 2 75.8% нь англи хэлний шалгалт өгсөн ба 49,4% монгол хэлний шалгалт өгсөн ба нийт 2500 оюутан байсан бол 2шалгатыг өгсөн оюутны тоог ол. 22

23. Бодлого 3 Venn диаграммын будсан хэсгийг тодрхойл. A B 23

24. Бодлого 4 Дараах нэгдэл огтлолуудыг ол. C F G D B E A 24

25. Бодлого 5 De Morgan-ны хуулийг Venn диаграмм ашиглан батал. 25

26. Бодлого 6 Дараах операторуудын дүрслэлийг зур 26

27. Бодлого 7 Дэлгүүрийн судалгаанд 100 хүн орсны 72 хүн тариа, 39 хүн өндөг, 75 шарсан талх өглөөний цайндаа хэрэглэдэг байсан ба 32 хүн тариа өндөг, 53 хүн тариа шарсан талх, 26 хүн шарсан талх өндөг зэрэг хэрэглэдэг байжээ. Тэгвэл тариа иддэггүй талх ч биш өндөгч биш иддэг хүний тоог ол. 27

28. Бодлого 8 А анги 30 сурагчтай ба эрэгтэй сурагчид сагсан бөмбөг, теннис, хөл бөмбөг тоглодог. 3 зөвхөн сагс, 3 зөвхөн теннис, 2 нь зөвхөн хөл бөмбөг тоглодог ба 4 сураг бүгдийг нь тоглодог, 11 сурагч сагсан бөмбөг хөл бөмбөг тоглодог, 10 сурагч теннис, хөл бөмбөг тоглодогбайсан бол. Хичнээн сурагч зөвхөн сагс теннис тоглодог вэ? Хичнээн сурагч 2тоглоом тоглож чаддаг вэ? 28

29. Функц түүний төрлүүд Лекц 2 29

30. Функц Өмнө нь бид олонлогийн теорем болон түүний тдорхойлолт операторуудыг үзсэн одоо 2 болон түүнээс дээш тооны олонлогуудыг хэрхэн холбохыг үзнэ. Ижил элемэнттэй олонлогуудыг хооронд нь холбож болдог. Холбохдоо элемэнтүүдийн нийцлээр холбодог ба үүнийг замчлал эсвэл функц гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт: A, B нь хоосон биш олонлогууд А олонлог нь f функцээр B олонлогт холбогддог ба хэрэв бүх аϵА бол bϵB(а, b) ϵ f дараалал үүссэн байна. b- г дүрслэл гээд a-г f доохи b-ийн дүрслэлийн өмнөх дүр гэж нэрлэдэг. A олонлогийг f функцийн Domain гээд B олонлогийг f функцийн co Domain гэдэг. А-г мөн f функцийн хамрах хүрээ гэж нэрлэдэг. 30

31. Холбох төрөл (Mapping) Харилцан нэг утгатай замчлал(1-1) биелэнэ. Үүнийг A олонлогоос B олонлогт injective функцээр хөрвүүлэх гэдэг ба A олонлогийн элемэнтүүд нь B олонлогийн элемэнтүүдээсхамааралтай ялгаатай элемэнтүүд юм. 31

32. Дээр замчлал (Surjective mapping) Surjectiveзамчлал нь хэрэв B-гийн b элемэнт бүр нь A-гийн a элемэнтүүд байна. Үүний хэмжээ нь В-гийн хэмжээтэй тэнуүү байна. 32

33. Bijectiveзамчлал (ганцаарчилсан) Энэ замчлал нь харилцан нэг утгатай замчлал(1-1) болон (onto) дээр замчлалын холимог замчлал юм. Хэрэв 2 олонлогийн элемэнтүүдийн тоо ижил бол тэдгээрийг Bejictiveзамчлалаар холбож болно. Жишээ нь: хэрэв Z=бүхэл тоон олонлог 33

34. Байгуулалт функц f:A->B болон g:B->C гэсэн 2 функцийн хувьд Байгуулалт нь f,g-гийн хамт бичигдэх буюуgof, функц нь А-аас С тодорхойлогдохдоо Теорем 1.8 хэрэв f:A->B болон g:B->Cinjective (surjective) бол gof байна. Теорем 1.9 хэрэв f:A->B ба g:B->C ба h:C ->D Бол Буюу associativityхууль биелэнэ. 34

35. Байгуулалт функц баталгаа: бид А-д харъяалагддаг бүх х-ийн хувьд авч үзье. Баталгаа нь багуулалтын тодорхойлолтоор биелэнэ. 35

36. Байгуулалт функц Теорем 1.10 f:A->B f функц нь зөвхөн injective (surjective) бол урвуу функц оршин байна. Теорем 1.11 хэрэв f:A->B болон g:B->Cinjective функц бол gof: A-> Cinjective функц байна. Баталгаа: f A B f’ 36

37. Байгуулалт функц Теорем 1.12 хэрэв f:A->B болон g:B->Csurjectionsфункц бол gof: A-> Csurjection функц байна. Баталгаа: с нь С-д харъялагдах ба g нь surjection байна. Урвуу оршин байхгүй. 37

38. Тэнцэтгэл функц (identity) Тэнцэтгэл функц А нь А байдаг ба I үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээ нь: хэрэв A={1,2,3} бол тэнцэтгэл нь 38

39. Урвуу функц Хэрэв f:A->Аболон g:А->А байдаг ба gof=fog=I бол g-г урвуу функц гэдэг. Энэ нь 39

40. Жишээ f болон g функцууд тодорхойлогдсон бол gof тодорхойл. бол gofнь 40

41. Дээд болон доод функц X –ийн доод функц ба x-ээс их бүхэл тоо X –ийн дээд функц ба x –ээс хүртэлх бүхэл тоо 41

42. Mod функцтохирох хамаарал А (mod M) А≡b (mod M) гэж тэмдэглэх ба энэ нь А тоог М-д бутархайгаар хуваах үйлдэл юм. Жишээ нь 42

43. Dom функц А-гаас В байгуулалтын функцийн хувьд хэрэв функц нь хаана ч хүчинтэй бол dom(f)=A байна. Жишээ нь: Бол дараах А-с В, А-с D, В-с С, D-с В функцүүдийг тодорхойл. бол 1-1 үед surjective(onto) тодорхойл. 43

44. Invertible функц Хэрэв А-с В-д болон түүний урвуу нь А гардаг бол буцаж хувьсдаг функц гэдэг. Теорем нь Урвуу функц нь буюу B-с А-д 1-1 байна. урвуу функц нь байдаг ба түүний урвуу нь байдаг бол 1-1 байна. Функцийн урвуу нь onto iff (if and only if) хэрэв болон зөвхөн бол функц нь хаана ч хүчинтэй. 44

45. Сэлгэлтийн функц (permutation) Бид өмнө нь функц гэж юу вэ? Тэдгээрийн тодорхойлолтын талаар үзсэн ба энэ нь 2ба түүнээс дээш олонлогийн хувьд биелэж байна. Одоо бид ижил олонлогийн элемэнтүүдийн хооронд холбохыг авч үзье. Сэлгэлт А олонлогийн сэлгэлт нь 1-1 болон onto 2 функцийн нийлбэрийг сэлгэлт гэнэ. Жишээ нь: 45

46. Цикл сэлгэлт Дурын олонлогийн элемэнтүүдийн хувьд түүний сэлгэлт нь байх ба X1 X2 Xr Xr-1 X3 X4 …. 46

47. Цикл сэлгэлтба түүний ялгалт Жишээ нь ба (2,1,3,4) болон (5,4,2) тус тус ол болно. цикл ялгалт цикл сэлгэлтийг ижил элемэнт болон элемэнт орхихгүй 2 хэсэгт ялгахыг цикл ялгалт гэдэг. 47

48. Цикл ялгалт Хэрэв А олонлогийн ялгаатай 2 ялгалтын хувьд биелэнэ. Теорем 1.13 Төгсгөлөг олонлог А бүрийн хувьд цикл бол энэ нь салгагдсан циклууд байна. Жишээ нь: 48

49. Шилжилт Циклийн урт нь 2 байх ба шилжилт нь дараах байдал байна. Теорем 1.14 Бүх цикл нь шилжилтийн үржвэрээр илэрхийлэгдэнэ. Баталгаа Хэрэв r=2 бол ба энэ нь шилжилт юм 49

50. Шилжилт Теорем 1.15 Бүх төгсгөлөг олонлогийн ялгалт нь 2 хүртэлх элемэнттэй бол энэ нь шилжилтийн үржвэр байна. Баталгаа: бид өмнө нь бүх ялгалт нь циклийн бүтээгдэхүүн байх ба бүх цикл нь шилжилтийн бүтээгдэхүүн байна гэж үзсэн. Тиймээс ялгалт нь шилжилтийн үржвэр байна. 50

51. Шилжилт Теорем 1.16 Бүх шилжилтийн урвуу нь өөрөө байна. Баталгаа: 51

52. Жишээ Хэрэв А=(1,2,3) бол бүх ялгалтыг ол. 52

53. Жишээ 53

54. Жишээ 54

55. Тэгш сондгой сэлгэлт Шилжилтүүдийн үржвэрүүд нь тэгш тооны байвал тэгш сэлгэлт гэнэ. Шилжилтүүдийн үржвэр нь сондгой тооны байвал түүнийг сондгой сэлгэлт гэнэ. Жишээ нь: дараах сэлгэмэл сондгой мөн үү? сондгой тооны шилжилтийн үржвэр байна. Тиймээс сондгой сэлгэлт болно. 2 тэгш сэлгэлтийн үржвэр тэгш байна. 2 сондгой сэлгэлтийн үржвэр тэгш байна. Тэгш сондгой сэлгэлтийн үржвэр сондгой сэлгэлт байна. 55

56. Бодлого Дараах сэлгэлт өгөгдсөн ба бол тус тус тодорхойл. 56

57. Храктристик функц Uuniversal олонлог ба түүний дэд олонлог X авч үзье. X-ийнхрактристик функц нь Ψ ба түүнийг гэж бичих ба байна. 57

58. Жишээ Хэрэв ба гэж өгөгдсөн бол храктристик функц нь Ба болон тэгвэл -ийг ол 58

59. Храктристик функцийн шинж чанарууд Дурын олонлогийн Храктристик функц нь дараах шинж чанаруудтай. A болон B нь U олонлогийн дэд олонлогууд. Тэгвэл 59

60. Өмнөх шинж чанаруудыг амархан баталж болох ба жишээ болгож 5-ийг баталъя. 60

62. Функцийн төрлүүд Тэгш функц Сондгой функц Урвуу функц Тогтмол функц Алхмын функц Модуль функц Шугаман функц Экспонциал функц Квадрат функц 62

63. Анхаарал тавьсанд баярлалаа 63