1. BAÁT ÑAÚNG THÖÙC
Chuyeân ñeà 7:
TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA
I. Soá thöïc döông, soá thöïc aâm:
•
Neáu x laø soá thöïc döông, ta kyù hieäu x > 0
•
Neáu x laø soá thöïc aâm, ta kyù hieäu x < 0
•
Neáu x laø soá thöïc döông hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng aâm, kyù
hieäu x ≥ 0
•
Neáu x laø soá thöïc aâm hoaëc x= 0, ta noùi x laø soá thöïc khoâng döông, kyù
hieäu x ≤ 0
Chuù yù:
•
Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a > 0" laø meänh ñeà " a ≤ 0 "
• Phuû ñònh cuûa meänh ñeà "a < 0" laø meänh ñeà " a ≥ 0 "
II. Khaùi nieäm baát ñaúng thöùc:
1. Ñònh nghóa 1: Soá thöïc a goïi laø lôùn hôn soá thöïc b, kyù hieäu a > b neáu a-b
laø moät soá döông, töùc
laø a-b > 0. Khi ñoù ta cuõng kyù hieäu b < a
a > b ⇔ a −b > 0
Ta coù:
Neáu a>b hoaëc a=b, ta vieát a ≥ b . Ta coù:
a ≥ b ⇔ a- b ≥ 0
2. Ñònh nghóa 2:
•
Giaû söû A, B laø hai bieåu thöùc baèng soá
Meänh ñeà : " A lôùn hôn B ", kyù hieäu : A > B
" A nhoû hôn B ", kyù hieäu :A < B
" A lôùn hôn hay baèng B " kyù hieäu A≥ B
" A nhoû hôn hay baèng B " kyù hieäu A≤ B
ñöôïc goïi laø moät baát ñaúng thöùc
Quy öôùc :
•
Khi noùi veà moät baát ñaúng thöùc maø khoâng chæ roõ gì hôn thì ta hieåu
raèng ñoù laø moät baát ñaúng thöùc ñuùng.
•
Chöùng minh moät baát ñaúng thöùc laø chöùng minh baát ñaúng thöùc ñoù
ñuùng
III. Caùc tính chaát cô baûn cuûa baát ñaúng thöùc :
a > b
⇒a >c

1. Tính chaát 1:
b > c
a > b ⇔ a +c > b+c
2. Tính chaát 2:
a > b ⇔ a −c > b −c
Heä quaû 1:
29

2. a +c > b ⇔ a > b −c
Heä quaû 2:
a > b
⇒ a +c > b+d

c > d
u
ac > bc neá c > 0
a >b⇔
u
ac < bc neá c < 0
a > b ⇔ −a < − b
3. Tính chaát 3:
4. Tính chaát 4:
Heä quaû 3:
a b
u
 c > c neá c > 0

a >b⇔
 a < b neá c < 0
u
c c

a > b > 0
⇒ ac > bd

c > d > 0
1 1
a > b > 0⇔ 0< <
a b
Heä quaû 4:
5. Tính chaát 5:
6. Tính chaát 6:
7. Tính chaát 7:
a > b > 0, n ∈ N * ⇒ a n > b n
8. Tính chaát 8:
a > b > 0, n ∈ N * ⇒
n
a >n b
Neáu a vaø b laø hai soá döông thì :
Heä quaû 5:
a > b ⇔ a2 > b2
Neáu a vaø b laø hai soá khoâng aâm thì :
a ≥ b ⇔ a2 ≥ b2
IV. Baát ñaúng thöùc lieân quan ñeán giaù trò tuyeät ñoái :
u
 x neá x ≥ 0
x =
( x ∈ R)
1. Ñònh nghóa:
u
− x neá x < 0
2. Tính chaát : x ≥ 0 ,
2
x = x 2 , x ≤ x , -x ≤ x
3. Vôùi moïi a, b ∈R ta coù :
• a +b ≤ a + b
•
a −b ≤ a + b
•
a + b = a + b ⇔ a .b ≥ 0
• a − b = a + b ⇔ a .b ≤ 0
V. Baát ñaúng thöùc trong tam giaùc :
Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì :
•
a > 0, b > 0, c > 0
b−c < a < b +c
•
c −a < b <c +a
•
a −b < c < a +b
•
• a > b > c ⇔ A> B > C
VI. Caùc baát ñaúng thöùc cô baûn :
a. Baát ñaúng thöùc Cauchy:
30

3. a +b
≥ ab
2
Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù :
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b
Toång quaùt :
Cho n soá khoâng aâm a1,a2,...an ta coù :
a1 + a 2 + ... + a n n
≥ a1.a 2 ...a n
n
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =...= an
b. Baát ñaúng thöùc Bunhiacoápski :
Cho boán soá thöïc a,b,x,y ta coù :
(ax + by )2 ≤ (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 )
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi ay = bx
Toång quaùt :
Cho hai boä soá (a1, a 2 ,...a n ) vaø (b1, b2 ,..., bn ) ta coù :
( a1b1 + a 2 b2 + ... + a n bn )2 ≤ (a12 + a 22 + ... + a n 2 )(b12 + b22 + ... + bn 2 )
a
a1 a 2
= = ... = n vôùi quy öôùc raèng neáu maãu baèng 0 thì töû
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi b b
bn
1
2
cuõng baèng
c) Baát ñaúng thöùc cô baûn: Cho hai soá döông a,b ta luoân coù:
1
1 1 1
≤ ( + )
a +b 4 a b
Daáu "=" xaõy ra khi vaø chæ khi a=b
Caùc phöông phaùp cô baûn chöùng minh baát ñaúng
thöùc :
Ta thöôøng söû duïng caùc phöông phaùp sau
1. Phöông phaùp 1:
Phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông
Bieán ñoåi töông ñöông baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh ñeán moät baát ñaúng
thöùc ñaõ bieát raèng ñuùng .
Ví du1ï:
Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau:
2
2
2
1. a + b + c ≥ ab + bc + ca
vôùi moïi soá thöïc a,b,c
2. a + b + 1 ≥ ab + a + b
vôùi moïi a,b
2
2
31

4. Ví duï 2:
Cho hai soá a,b thoûa ñieàu kieän a+b ≥ 0 , chöùng toû raèng:
a 3 + b3
a +b 3
≥(
)
2
2
2
2 1
Ví duï 3: Chöùng minh raèng neáu x>0 thì ( x + 1) ( x 2 + x + 1) ≥ 16
2. Phöông phaùp 2:
Phöông phaùp toång hôïp
Xuaát phaùt töø caùc baát ñaúng thöùc ñuùng ñaõ bieát duøng suy luaän toaùn hoïc
ñeå suy ra ñieàu phaûi chöùng
minh.
2
2
2
Ví duï 1: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh : a + b + c < 2(ab + bc + ca )
5
Ví duï 2: Cho x, y laø caùc soá thöïc döông thoûa maõn ñieàu kieän x + y = 4 . Chöùng minh
raèng:
4 1
+
≥5
x 4x
Ví duï 3: Cho x,y,z laø caùc soá döông. Chöùng minh raèng:
3x + 2 y +4 z ≥
1
xy + 3 yz + 5 zx
1
2
2
Ví duï 4: Chöùng minh raèng vôùi moïi moïi x,y döông ta coù: x + y + x + y ≥ 2( x + y )
Ví duï 5: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh a,b,c, chöùng minh :
ab( a + b − 2c ) + bc (b + c − 2a ) + ca(c + a − 2b) ≥ 0
3
3
3
Ví duï6: Cho x,y,z vaø xyz=1. Chöùng minh raèng : x + y + z ≥ x + y + z
Ví duï 7: Cho x, y, z > 0 vaø x+y+z=xyz. Chöùng minh raèng :
Ví duï 8: Cho ba soá döông a, b, c . Chöùng minh raèng :
xyx ≥3 3
a+b+c a+b+c a+b+c
+
+
≥9
a
b
c
Ví duï 9: Cho ba soá döông x,y,z thoûa maõn x + y + z ≤ 1 . Chöùng minh raèng :
x+y+z+
1 1 1
+ + ≥ 10
x y z
Ví duï 10: Cho a,b,c >0 vaø abc=1. Chöùng minh raèng :
b+c c +a a +b
+
+
≥ a + b + c +3
a
b
c
3. Phöông phaùp 3: Söû duïng ñaïo haøm xeùt caùc tính chaát cuûa haøm soá
Ví duï 1: Chöùng minh baát ñaúng thöùc:
sinx < x vôùi moïi x > 0
x2
Ví duï 2: Chöùng minh baát ñaúng thöùc: cos x > 1 − 2 vôùi moïi x > 0
Ví duï 3: Chöùng minh baát ñaúng thöùc:
sin x + tgx > 2 x
32
π
vôùi moïi x ∈(0; 2 )

5. π
3
x +1
Ví duï 4: Vôùi 0 < x < 2 , chöùng minh 2 2 sin x + 2 tgx > 2 2
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
Baøi 1: Cho caùc soá döông x,y,z thoûa maõn xyz=1. Chöùng minh raèng
1 + x3 + y3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx
Khi ñaúng thöùc xaûy ra?
x
x
x
 12 
 15 
 20 
x
x
x
Baøi 2: Chöùng minh raèng vôùi moïi x ∈ R , ta coù:  5  +  4  +  3  ≥ 3 + 4 + 5
 
 
 
Khi naøo ñaúng thöùc xaûy ra?
1
1
1
Baøi 3: Cho x,y,z laø caùc soá döông thoûa maõn x + y + z = 4 . Chöùng minh raèng :
1
1
1
+
+
≤1
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
Baøi 4: Vôùi a,b,c laø ba soá thöïc döông thoûa maõn ñaúng thöùc ab + bc + ca = abc , chöùng
minh raèng:
b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
+
+
≥ 3
ab
bc
ca
33

6. π
3
x +1
Ví duï 4: Vôùi 0 < x < 2 , chöùng minh 2 2 sin x + 2 tgx > 2 2
BAØI TAÄP REØN LUYEÄN
Baøi 1: Cho caùc soá döông x,y,z thoûa maõn xyz=1. Chöùng minh raèng
1 + x3 + y3
1 + y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx
Khi ñaúng thöùc xaûy ra?
x
x
x
 12 
 15 
 20 
x
x
x
Baøi 2: Chöùng minh raèng vôùi moïi x ∈ R , ta coù:  5  +  4  +  3  ≥ 3 + 4 + 5
 
 
 
Khi naøo ñaúng thöùc xaûy ra?
1
1
1
Baøi 3: Cho x,y,z laø caùc soá döông thoûa maõn x + y + z = 4 . Chöùng minh raèng :
1
1
1
+
+
≤1
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
Baøi 4: Vôùi a,b,c laø ba soá thöïc döông thoûa maõn ñaúng thöùc ab + bc + ca = abc , chöùng
minh raèng:
b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
+
+
≥ 3
ab
bc
ca
33