CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNBOIDUONGTOAN.COM
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN. MỌI THÔNG TIN CẦN HỖ TRỢ TƯ VẤN HỌC TẬP, ĐĂNG KÝ HỌC, MUA TÀI LIỆU TOÁN LỚP 9 ÔN THI VÀO LỚP 10, LIÊN HỆ: 0976.179.282.
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNBOIDUONGTOAN.COM
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN. MỌI THÔNG TIN CẦN HỖ TRỢ TƯ VẤN HỌC TẬP, ĐĂNG KÝ HỌC, MUA TÀI LIỆU TOÁN LỚP 9 ÔN THI VÀO LỚP 10, LIÊN HỆ: 0976.179.282.
Tài liệu Toán lớp 9 tham khảo: Đề cương ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, mua tài liệu, liên hệ theo số máy: 0976.179.282.
Tài liệu Toán lớp 9 tham khảo: Đề cương ôn thi vào lớp 10 môn Toán. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, mua tài liệu, liên hệ theo số máy: 0976.179.282.
80 câu hỏi trắc nghiệm mũ, logarit phần 2 - Nhóm Toán | iHoc.me - Tài liệu toán học
Tài liệu gồm 12 trang trong đó trang cuối cùng là đáp án để bạn có thể kiểm tra đáp số bài làm của mình.
Download file tại địa chỉ: http://ihoc.me/
[iHoc.me] 81 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án hàm số mũ, hàm số logarithaic2hv.net
81 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án hàm số mũ, hàm số logarit với 14 trang có kèm đáp án sẽ giúp bạn dễ dàng ôn tập trong chuyên đề hàm số mũ, hàm số logarit.
Download tài liệu toán học tại http://ihoc.me/
Toán Song ngữ Anh Việt từ Singapore tại http://book.ihoc.me/
Đề thi thử lần hai của trường THPT Kim Liên - Hà Nội môn Toán
(Kèm đáp án ở cuối đề)
Đề liên tục cập nhật tại website maloda.vn.
Hotline: 0972.853.304 - 0904.727.139
Website: maloda.vn
Facebook: https://www.facebook.com/Maloda.vn/
Similar to Chuyen de boi duong dai so giai chi tiet (20)
Smartbiz_He thong MES nganh may mac_2024juneSmartBiz
Cách Hệ thống MES giúp tối ưu Quản lý Sản xuất trong ngành May mặc như thế nào?
Ngành may mặc, với đặc thù luôn thay đổi theo xu hướng thị trường và đòi hỏi cao về chất lượng, đang ngày càng cần những giải pháp công nghệ tiên tiến để duy trì sự cạnh tranh. Bạn đã bao giờ tự hỏi làm thế nào mà những thương hiệu hàng đầu có thể sản xuất hàng triệu sản phẩm với độ chính xác gần như tuyệt đối và thời gian giao hàng nhanh chóng? Bí mật nằm ở hệ thống Quản lý Sản xuất (MES - Manufacturing Execution System).
Hãy cùng khám phá cách hệ thống MES đang cách mạng hóa ngành may mặc và mang lại những lợi ích vượt trội như thế nào.
1. I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
với a,b,c>0
2.Chứng minh rằng
3 3 3
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
với a,b,c>0 và abc =1
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
3 3 3
a 3
1 1 1 1 1 1 4
b c
b c c a a b
4.Cho k số không âm 1 2
, ,..., k
a a a thoả 1 2... 1
k
a a a
Cm: 1 2 1 2
... ...
m m m n n n
k k
a a a a a a
với ; ,
m n m n N
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: 2004 2004 2004
3
x y z
.Tìm GTLN của biểu thức
3 3 3
A x y z
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 8 8 8 2 2 2
a b c a b c
7.Cho số tự nhiên 2
k . 1 2
, ,..., k
a a a là các số thực dương
Cmr: 1 2
1 2
2 3 1
... ...
m
m m
m n m n m n
k
n
n n n
a
a a
a a a
a a a
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn
1 1 1
1
x y z
.Tìm GTNN của biểu thức
2006 2006 2006
2007 2007 2007
x y z
A
y z x
9.Tìm GTNN của
20 20 20
11 11 11
x y z
A
y z x
với 1
x y z
10.Cho n số thực 1 2
, ,..., n
x x x thuộc đoạn
, , 0
a b a
Cmr:
2
1 2
1 2
1 1 1
... ...
4
n
n
n a b
x x x
x x x ab
11.Cho n là số nguyên dương;lấy
2000;2001
i
x với mọi i=1,2…,n
Tìm GTLN của
1 2 1 2
2 2 ... 2 2 2 ... 2
n n
x x
x x x x
F
12.Xét các số thực 1 2 2006
, ,...,
x x x thoả 1 2 2006
, ,...,
6 2
x x x
Tìm GTLN của biểu thức
1 2 2006
1 2 2006
1 1 1
sin sin ... sin ...
sin sin sin
A x x x
x x x
13.Cho n số dương 1 2
, ,..., n
a a a Đặt :
1 2 1 2
min , ,..., , ax , ,...,
n n
m a a a M M a a a
1 1
1
,
n n
i
i i i
A a B
a
.Cmr:
1
B n m M A
mM
2. 14.Cho 0, 0, 1,
i i
a b i n
.Chứng minh rằng:
1 1 2 2 1 2 1 2
... ... ...
n n
n
n n n n
a b a b a b a a a bb b
15.Cho 0, 1,
i
a i n
.Chứng minh rằng:
1 2 1 2
1 1 ... 1 1 ...
n
n
n n
a a a a a a
16.Chứng minh
1.2... 1 1 1.2...
n
n n n
với 2,
n n N
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
1/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
sin sin sin 3
A B C
2/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
B C 3
os os os
2 2 2
A
c c c
3/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
3
a b c
m m m R
18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh:
4
4 4
4
3 3
b b c
a a a a b
x y z
19.Cho
1
, 0, 0 1,.. ; 1
n
i i
i
a b x i n x
. Cmr:
1 2
...
m
m m
m
n
b b b
a a a n a nb
x x x
với m > 0
20.Cho , , 0, 1
a b c a b c
.Chứng minh rằng: 3
1 1 1
1 1 1 8
ab bc ca
21.Cho
;
x a b .Tìm GTLN của biểu thức ( ) ( ) ( )
m n
F x x a b x
= - - với *
, Ν
m nÎ
22.Cho 0
2
;
x
π
é ù
ê ú
Î
ê ú
ë û
.Tìm GTLN của biểu thức ( ) p
sin . os
q
F x x c x
= với *
, Ν
p qÎ
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức ( ) 30 4 2004
, ,
F a b c a b c
=
24.Cho , 0, 6
x y x y
³ + £ .Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/ ( ) ( )
2002
, . . 6
F x y x y x y
= - -
2/ ( ) ( )
2002
, . . 4
F x y x y x y
= - -
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
1 1 1 1
P
ab bc ca
a b c
= + + +
+ +
26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
acd abd abc bcd
a b c d
= + + + +
+ + +
27.Giả sử 1 2
, ,..., n
x x x >0 thỏa mãn điều kiện
1
1
1
n
i
i i
x
x
=
=
å
+
. Cmr:
( )
1
1
1
n
i n
i
x
n
=
£
Õ
-
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn
2 3
1
1 1 1
a b c
a b c
+ + =
+ + +
. Cmr:
2 3
6
1
5
ab c £
3. 29. Giả sử 1 2
, ,..., n
x x x >0 thỏa mãn điều kiện
1
1
n
i
i
x
=
=
å .Cmr:
( )
1
1
1 1
n
i
n
i i
x
x n
=
£
Õ
- -
30. (QG-98) Giả sử 1 2
, ,..., n
x x x >0 thỏa mãn điều kiện
1
1 1
1998 1998
n
i i
x
=
=
å
+
Cmr: 1 2
. ...
1998
1
n
n
x x x
n
³
-
31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện
1
1
n
i
i
a
=
<
å
Cmr:
( )
( )( )( ) ( )
1
1 2 1 2
1 2 1 2
... 1 ... 1
... 1 1 ... 1
n
n n
n n
a a a a a a
a a a a a a n
+
é ù
- + + + æ ö
ë û ÷
ç
£ ÷
ç ÷
ç
è ø
+ + + - - -
33.Cmr: , 2
n N n
" Î ³ ta có 1 1 2
n n
n n
n n
n n
- + + <
34.Cho [ ]
, , 0;1
x y z Î .Cmr: ( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 3
x y z x y y z z x
+ + - + + £
35. Cho [ ]
, , 0;2
x y z Î .Cmr: ( ) ( )
6 6 6 4 2 4 2 4 2
2 192
x y z x y y z z x
+ + - + + £
36.Cho [ ]
1;2
i
x Î với i=1,…,2000.Thỏa mãn
2000
1
2005
i
i
x
=
=
å Tìm GTLN của
2000
3
1
i
i
A x
=
= å
37.Chứng minh : 2 2 2
1 1 1
3.2
a b c
ab bc ca
Trong đó , , , 0
a b c
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
P a x y z
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : 2 2 2 2
16
25
x y z xy a
.Trong đó a là một số dương
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : 2 2 2 2
1
1
2
a b c d
Tìm GTLN và GTNN của :
2 2 2 2
2 2 2 2
P a b c b c d b a c d
41.Cho hàm số ( )
f x thỏa mãn pt ( ) 4 4
2 cot
f tg x tg x g x
= +
Cmr: ( ) ( )
sinx cosx 196
f f
+ ³ ( OLP-30-4-99)
II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2
4
a b
và c+d=4.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd
2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2
1
a b
và c+d=3Cmr:
9 6 2
ac+bd+cd
4
3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2
1
a b
và c-d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd-cd
4
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : 2 2 2 2
40 8 10 ; 12 4 6 ;3 2 13
a b a b c d c d x y
Tìm GTNN của
2 2 2 2
P x a y b x c y d
4. 5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng : 2 2 2 2
6 10 34 10 14 74 6
a b a b a b a b
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr: 2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5
a b a b a b c d ac bd c d c d
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : 2 2
6; 1
c d a b
Cmr: 2 2
2 2 18 6 2
c d ac bd
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện :
2 2 2 2
2 ; 4 1
a b a b c d c d
Cmr:
4 2 2 2 4 2 2
a b c d
9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 2
5
a b c d
Cmr:
3 30
5 2 5 2 5
2
a b c d ac bd
.Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
10.Cmr với mọi x,y ta đều có: 2 2 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5
x y x x y x y
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn
2 2 2 2
1 2 ; 36 12
a b a b c d c d
Cm:
6 6
2 2
2 1 2 1
a c b d
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :
2 3 2
3 9
0, 0
x y
x y
x y
Cmr: 2 2
35
4 8 45
2
x y x y
13.Cho các số x,y thỏa mãn :
2 8 0
2 0
2 4 0
x y
x y
y x
Cm: 2 2
16
20
5
x y
III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi ta có
2 2
17 os 4 os +6 os 2 os +3 2 11
c c c c
2.Tìm GTNN của hàm số 2 2
4 12 2 3
y x x x x
3.a)Chứng minh bất đẳng thức: sin 2 ; 0;
2
tgt t t t
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
Chứng minh :
A B C
1 os 1 os 1 os
2 2 2 3 3
A B C
c c c
( A,B,C đo bằng rađian)
4.Cho
, 0;1
a b Chứng minh rằng
1 1 1 1
1 1 1
x b a
x a b
a b x a x b
với
0;1
x
5.Cho hàm số
2
2
os -2x+cos
x 2 os +1
x c
y
xc
với
0;
Chứng minh : 1 1;
y x
5. 6.Chứng minh sin sin sin 2
A B C tgA tgB tgC
.với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
7.Chứng minh sinx 1
2 2 2 ;0
2
tgx x
x
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện 0,
f x x
Cmr:
, ,,
... 0,
n
f x f x f x f x x
9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
1 1 1
cot cot cot 3 3 2
sin sin sin
gA gB gC
A B C
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
1 1 5
os3A+cos3B os2A+cos2B osA+cosB=
3 2 6
c c c
.Chứng minh tam giác ABC đều
11.Cho 0
2
a b
.Chứng minh rằng :
a.sina-bsinb>2 cosb-cosa
12.Cho
a 1
0 q p q+1
.Chứng minh rằng
1
p q p q
a p q a a
13.Cho
0
2
x .Chứng minh rằng :
3
sinx
osx
x
c
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr:
6 sin sin sin 12 3
tgA tgB tgC A B C
15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa 2 2 2
1
a b c
.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có
2 1
sin sin sin
3 3
A B C tgA tgB tgC
17.Cho
0
2
x .Cmr:
3
1
2sinx 2
2 2 2
x
tgx
18Cho số nguyên lẻ 3
n .Cmr: 0
x
ta luôn có :
2 3 2 3
1 ... 1 ... 1
2! 3! ! 2! 3! !
n n
x x x x x x
x x
n n
19.với giá trị nào của m thì 3 3
sin os ,
x c x m x
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng :
2
3
2 2
4 1
8
4
xy
x x y
21.Cho 0, 0
x y
là hai số thực thay đổi thỏa mãn 2 2
x y xy x y xy
Tìm GTLN của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện
3
, ,
4
a b c
Chứng minh ta có bất đẳng thức
2 2 2
9
10
1 1 1
a b c
a b c
6. 23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
1/Tìm cực trị của hàm số
2
1
1
x
y
x x
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của 2 2 2
1 1 1
P x x y y z z
24.Tìm GTNN của
2 2 2
3 1 1 1 2
P x y z x y z
25. Cho , , 0
a b c và 6
a b c
. Cmr: 4 4 4 3 3 3
2( )
a b c a b c
26. Cho , , 0
a b c và
2 2 2
1
a b c
. Cmr:
1 1 1
( ) ( ) 2 3
a b c
a b c
27Cho a,b,c>0 .Cmr :
2 2 2
9
4( )
( ) ( ) ( )
a b c
a b c
b c c a a b
28. (Olp -2006)Cho , , 0
a b c .Cmr:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
5
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
39.(Olp nhật 1997)Cho , , 0
a b c .Cmr:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
4
2
x y z
xyz
.
Tìm GTLN và NN của biểu thức 4 4 4
P x y z
(QG -B-2004)
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện 3
32
x y z xyz
Tìm GTLN và GTNN của
4 4 4
4
x y z
P
x y z
(QG-A-2004)
42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d
và bc ad
.Chứng minh rằng
b c d a d a b c
a b c d a b c d
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: 3 1 3 2
x x y y
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn ( )
cotgx sin2 os2x
f x c
= + ,
( )
0;
x π
Î Tìm GTNN và GTLN của hàm số ( ) ( ) ( )
2 2
sin os
g x f x f c x
= QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn ( )
cotgx sin2 os2x
f x c
= + ,
( )
0;
x π
Î Tìm GTNN và GTLN của hàm số ( ) ( ) ( ) [ ]
1 , 1;1
g x f x f x x
= - Î - ( QG –A-2003)
46.Cho x>0 và , 0; ;
2
π
a b a b
æ ö
÷
ç
Î ¹
÷
ç ÷
ç
è ø
Cmr:
sin sin
sina sin
sin sin
x b b
x a
x b b
+
æ ö æ ö
+ ÷ ÷
ç ç
>
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
+
IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì ln
a b a a b
a b b
2.Chứng minh rằng nếu 0
2
a b
thì 2 2
os os
b a b a
tgb tga
c a c b
7. 3.Chứng minh
1
1 ; 0;1
2
n
x x x
ne
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
0
2 1
a b c
m m m
.Chưng minh pt 2
0
ax bx c
có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng
0;1
5.Cho pt bậc n: 1
1 1 0
... 0
n n
n n
a x a x a x a
trong đó 1 1 0
0, ,..., ,
n n
a a a a
là số thực thỏa mãn : 1 1
0
... 0
1 2
n n
a a a
a
n n
.Chứng minh pt đã cho có
ít nhất một nghiệm thuộc khỏang
0;1
6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn
5 2 6 0
c n a b
Chứng minh pt : sin cos sin 0
n n
a x b x c x c
có nghiệm thuộc khoảng 0;
2
7.Cho hàm số liên tục :
: 0;1 0;1
f có đạo hàm trên khoảng
0;1 Thỏa mãn
0 0, 1 1
f f
.Chứng minh tồn tại
, 0;1
a b sao cho a b
và
, ,
1
f a f b
8.Giải các pt sau :
a) 3 5 2.4
x x x
b) osx osx
3 2 osx
c c
c
c)
osx osx
1 osx 2 4 3.4
c c
c
d) 2003 2005 4006 2
x x
x
9.Xét phương trình :
2 2
1 1 1 1 1
... ...
1 4 1 2
1 1
x x k x n x
Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là n
x
b)Cmr dãy số
n
x có giới hạn bằng 4 khi n
(QG-A-2002)
10.Cho hàm số ( )
f x và ( )
,
f x đồng biến trên đoạn [ ]
;
a b ,với
( ) ( ) ( ) ( )
,
1 1
,
2 2
f a a b f b b a
= - = -
Chứng minh rằng tồn tại , ,
α β δ phân biệt trong ( )
;
a b sao cho ( ) ( ) ( ) 1
, , ,
f f f
α β δ =
11.Cho [ ] [ ]
0 1 0 1
: ; ;
f ® thoả mãn các điều kiện ( ) [ ]
0 0 1
,
; ;
f x x
> " Î và ( ) ( )
0 0 1 1
,
f f
= =
Cm:tồn tại dãy số 1 2
0 ... 1
n
a a a
£ < < < £ sao cho ( )
1
1
,
n
i
i
f a
=
³
Õ
(n là số nguyên dương 2
n ³ )
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác
CMR: 3
4 6
abc abd bcd acd ab ac ad bd cd
+ + + + + + +
£
8. V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) 2
1 osxcos2x...cosnx
khi x 0
0 khi x=0
c
f x x
tại x=0
b)
ln osx
khi 0
x
0 khi 0
c
x
f x
x
tại x=0
2.Xác định a,b để hàm số :
2
khi 0
1 khi 0
bx
x a e x
f x
ax bx x
có đạo hàm tại x=0
3.Cho hàm số
p cosx +qsinx khi 0
px+q+1 khi 0
x
f x
x
Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0
VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Giải bpt : 3 2
2 3 6 16 2 3 4
x x x x
2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
2 2
1
2
log 11 log ax 2 3.log ax 2 1 1 0
a a
x x
3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
2 2
1 5
log 3 log x ax+5 1 .log ax+6 0
a
a
x
4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
2
2 2
1
3
3
4 log 2 3 2 log 2 2 0
x a x x
x x x a
5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt:
2 2 2
3 1 9 2
x a a x
có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt
2 3
3
1
3 2 .3 8 4 log 3 3
2
x a a
x a x
6. Tìm những giá trị của a để pt:
2 2 4 2
15 2 6 1 3 2 0
x m x m m
có số nghiệm không nhiều
hơn số nghiệm của pt :
2 3 6 8
3 1 .12 2 6 3 9 2 0,25
x m m
a x x
7.Giải pt :
3
3 2
3log 1 2log
x x x
8.Giải hệ 5
2 3
4
tgx tgy y x
x y
9.Giải bất pt
7 3
log log 2
x x
9. 10.Giải pt :
2 2
1 1
1
2 2
x x
a a
a a
với tham số
0;1
a
11. Giải hệ:
(1)
1 1 8 (2)
tgx tgy y x
y x y
12 Giải pt:
2
osx=2
tg x
e c với ;
2 2
x
13 Giải pt:
2 2
3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0
x x x x x
14.Giải pt:
3
3 1 log (1 2 )
x
x x
VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm :
2 2
1 1
x x x x m
2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt:
2
1 cos
ax x
có đúng một nghiêm 0;
2
x
3.Cho hàm số
( )( )
y x x a x b với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr
với mọi
0;1
s đều tồn tại duy nhất số thực
1
0: ( )
2
s s s
a b
f
(QG-A-2006)
4.Cho pt : 2
cos2x= m+1 cos 1
x tgx
a)Giải khi m = 0
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn 0;
3
5.Tìm m để pt sau có nghiệm:
4 3 3 3 4 1 1 0
m x m x m
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:
2 2
4 3 3 4 1 0
m x m y m x y
7.Tìm m để pt :
1 cos8
6 2cos4
x
m
x
có nghiệm.
8.Tìm a đ pt : 2
2cos 2
ax x
+ = đúng 2 nghiệm thuộc 0
2
;
π
é ù
ê ú
ê ú
ë û
9.Cho hàm số: ( )
2
2
x
sinx+
x
f x e
= -
a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt ( ) 3
f x = có đúng hai nghiệm.
10.Chứng minh pt ( )
1
1
x
x
x x
+
= + có một nghiệm dương duy nhất
11. Cho ( ) ( )
3 2
x 0; 0
f x ax bx c a
= + + + = ¹ có 3 nghiệm phân biêt
a)Hỏi pt: ( ) ( ) ( )
2
,, ,
2 0
f x f x f x
é ù
- =
ê ú
ë û
có bao nhiêu nghiệm
10. b)Chứng minh rằng: ( )
3
3 2
27 2 9 2 3
c a ab a b
+ - < -
12.Cho pt :
2
... 0
2 2 2n
π π π
tg x tg x tg x
æ ö æ ö
æ ö ÷ ÷
ç ç
÷
ç + + + + + + =
÷ ÷
÷ ç ç
ç ÷ ÷
÷
ç ç ç
÷ ÷
è ø è ø è ø
( n là tham số)
a) Cmr v ới mối số nguy ên 2
n ³ ,pt c ó một nghiệm duy nhất trong khoảng
0
4
;
π
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø
.k í hiêụ ng đó là n
x
b)Cm dãy số ( n
x ) có giới hạn
13.Chứng minh pt ( ) 4 3 2
4 2 12 1 0
f x x x x x
= + - - + = có 4 nghiệm phân biệt 1 4
; ,
i
x i =
và hãy tính tổng
( )
2
4
2
1
2 1
1
i
i i
x
S
x
=
+
= å
-
VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1.Tìm a ñeå heä sau coù nghieäm duy nhaát:
2 3 2
2 3 2
4 ax
x 4
y x x
y y ay
2. Tìm m để hệ pt sau có nghiệm
2x+ y-1
2 1
m
y x m
3.Giải hệ
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
4.Chứng tỏ rằng với mọi 0
a thì hệ sau có nghiệm duy nhất
2
2
2
2
2
2
a
x y
y
a
y x
x
5.Tìm a để hệ
sinx=a
sin
x
y
y
y a
x
có nghiệm duy nhất 0 2 ,0 2
x y
6.Giải hệ:
3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
x x x x y
y y y y z
z z z z x
7.Giải hệ:
2
3
2
3
2
3
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
x x y x
y y z y
z z x z
( QG – A- 2006)
11. 8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)
2 3 2
1 2 2 2
2 3 2
2 3 3 3
2 3 2
1 1 1
4 ax
4 ax
............................
4 ax
n
x x x
x x x
x x x
6.Giải hệ:
2 1 2 2 1
2 2
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
( HSGQG 1999)
7.Giải hệ:
2 3
2 3
log 1 3 osx log sin 2
log 1 3sin log osx 2
c y
y c
(THTT)
8.Gọi ( )
;
x y là nghiệm của hệ pt:
2 4
3 1
x my m
mx y m
ì - = -
ï
ï
í
ï + = +
ï
î
( m là tham số)
Tìm GTLN của biểu thức 2 2
2
A x y x
= + - ,khi m thay đổi
HƯỚNG DẤN GIẢI
I.Bất đẳng thức
12. 4. , 1,..,
m n
i i
na m n ma i k
7.
1
2 1
2
1
1 2
2
* :
...
* :
* :
...
m
m n m n
n
m
m n m n
n
a
m n m n na ma
a
m n csi
a
m n n m ma na
a
20.
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
ab bc ca
A
ab bc ca abc
Ta có:
2
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
4 4 4 2
a b c c a b
a b a b a b
ab
Tương tự suy ra:
2
1 1 1 1
1 1 1
8
A
a b c
Mà:
3
3
3
1 1 1 1
1 1 1 1 4
a b c abc
Vậy:
3
8
A dpcm
26. 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c d
P
ab ac ad bc bd cd bcd cda abd bca
a b c d
2 2
1 1 1 1 1 1 1
*
...
1 1 1 1 1 1
*
*
A B C
A
ab ac ad bc bd cd
a d
B
ab ac ad bc bd cd
a b c d
C
bcd acd dab abc
Ta cm: 100, 96, 64 260
A B C P
29.Đặt: , 1,...,
1
i
i
i
x
X i n
x
ta có 1
1
1
... ... 1
1 1
n
n
n
X
X
x x
X X
Từ đó suy ra:
1 2
1
1 1 1
... 1 . ...
1 1 1
n n
n
n X X X
X X n
(đpcm)
30. Đặt: , 1,
1998
i
i
x
X i n
.Ta có:
1
1 1
... 1
1 1 n
X X
Từ đó suy ra:
1... 1
n
n
X X n
.vậy có (đpcm)
31.Đăt:
1
1
1
1
1 ...
; 1,..., ;
1 ...
n
i n
i n
a a
a
X i n X
a a a
13. Ta có:
1 1
1 1 1
...
1 1 1
n n
n
X X X
.vậy
1
1 1
1
...
n
n n
X X X
n
38.
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 1
2
z z
P a x y z x y a x y
xz yz xy
Chọn
2
a
39.
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
16 16
1
25 2 2 25
16
2 2 1
2 25
z z
P x y z xy qx qy q x y xy
q
xz yz q xy
Chọn
16 18
2 2 1
2 25 25
q
q q
2
ax
5
6
M
a
P khi 3
3
5 3
a
x y
a
z
39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: 2 2 2 2
,
a d c d
.với p>0xác định sau ta có
cộng theo vế :
2 2 2 2
5 10
5 5
p
P p a d b c
p
Chọn p thỏa :
1 2 1 5
1
2
p
p p
p
Vậy
ax
5 3 5
2
m
P
43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Gọi
; , ;
M a b N c d Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn 2 2
4
x y
và đường
thẳng
4
x y
.Dễ thấy
2 2 2
2 20 20
ac bd cd a c b d MN
Mà 2
12 8 2
MN nên
2 8 8 2 4 4 2
ac bd cd ac bd cd
Vậy axP=4+4 2
m khi 2; 2
a b c d
14. 2.và 3 tương tự
4.Gọi
; , , , ;
N a b Q c d M x y Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn
2 2 2 2
1 2
: 4 5 1, : 2 3 1
C x y C x y
và đường thẳng
:3 2 13 0
x y
Khi đó P MQ MN
Gọi 1
,
I R và 2
,
J R lần lượt là tâm và bán kính của
1 2
,
C C
Lấy
;
K u v đốixứng với I qua
thì 118 21
;
13 13
K
1 2
2 13 1
P MQ MN MJ JQ MI IN MJ MK R R
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 1 1
, ,
M M Q Q N N
.Trong đó 1 1
,
M Q là giao
Của JK với
và
2
C còn
1 1 1
N M I C
Vậy
min 2 3 1
P
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT
3.Từ câu a) ta có
1 ost ost
cot
2t sin
c c
gt
t
.và vì cot cot 3 3
2 2 2
A B C
g cogt g
nên có đpcm
4.Hàm số
1 1 1
1 1 1
x b a
f x x a b
a b x a x b
với
0;1
x
có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm
1
TH :
,
0
f x VN Thì
ax f 0 ; 1 1
f x M f
2
TH :
,
0
f x có nghiệm duy nhất x
thì vì
,
f x đồng biến nên là điểm
cực tiểu vì vậy
0;1
ax 0 ; 1 1
axf x m f f
m (đpcm)
8.Đặt
,
...
n
F x f x f x f x
thì
, , ,
...
n
F x f x f x f x F x f x
(1)
vì f là đa thức bậc n nên
1
0
n
f x
.Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn
có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại 0
x Thì
,
0 0
F x
vậy từ (1) suy ra
,
0 0 0 0 0
F x F x f x f x
(đpcm)
12.
1 p+q 1 0
p q p q p q p q
a a a a p q a a
Hàm số: 1
p q p q
f x x p q x x
đồng biến trên
1;
Và có
1 0
f nên từ 1
a ta có (đpcm)
13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của 2 3
sin .
f x x tgx x
Chú ý:
2 2
2 2 1 1
2sin 2sinx+tgx 3
3 3
x tg x x
15. *Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị 1
3
x là
3 2
1
y x x x x
23.
2
1
1
x
y
x x
đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1
nên 2 2 2
1 1 1
P x x y y z z
nhỏ nhất bằng 3
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi
40.
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2 2
16 2 2 16
P x y z x y z x y y z z x
x y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z
t t
với t=xy + yz +zx
2
4
t x y z yz x x
x
Vì
2
4 2 4
3 5;2
2 2 2
y z x x
yz x
x
do (0<x<4)
Từ đó tìm được min và max của P
41.Tương tự40
42. Lấy ln hai vế ta có
ln ln ln ln
d b c a c a d b
(1)
Nếu a c
hoặc d b
thì hiển nhiên đúng
Xét a c
và d b
.Khi đó (1)
ln ln
ln ln ln ln
1
1 1
c d
c a d b a b
c d
c a d b
a b
a b
Xét hàm số :
ln
, 1,
1
x
f x x
x
nghịch biến trên
1, Suy ra:
ln ln ln ln
1 1 1 1
c d c d
c d a b a b
f f
c d c d
a b
a b
a b a b
44,45. Biểu diễn sin 2 , os2x
x c theo cotgx ta được ( )
2
2
2 1
1
t t
f t
t
+ -
=
+
IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG
6. xét hàm số ( )
2 2
3 2
2 sin 2 sin 2
sin os
2 2 3
n n
a x b x c
f x x cc x
n n
+ +
= - + -
+ +
8.a) 3 5 2 4 5 4 4 3
.
x x x x x x x
+ = « - = - (1) .Giả sử pt có nghiệm x α
=
Xét hàm số ( ) ( )
1 0
,
f t t t t
α α
= + - > có ( ) ( )
4 3
f f
= .Do đó tồn tại ( )
3 4
;
c Î
16. Sao cho ( ) ( ) 1 1 0
0 1 0
1
,
f c c c
α α α
α
α
- - é =
é ù ê
= « + - = «
ê ú ê
ë û =
ë
Thử lại thấy 0
x = và 1
x = đều thỏa mãn (1)
Vậy pt có hai nghiệm 0
x = , 1
x =
b) 2 3 3 2 2
t
t=cosx 3 t t t
t t t
® - = « - = - . Giả sử pt có nghiệm x α
=
Xét ( )
f t t t
α
α
= - thì ( ) ( )
3 2
f f
= suy ra pt ( ) 0
,
f t = có nghiệm có
nghiệm ( )
2 3
;
c Î .
( ) ( ) ( )
, 1 , 1 0
1 0
1
α α α
f t αt α f c α c
α
- - é =
ê
= - ® = - = Û
ê =
ë
c)Đặt 1 1
cos ,
t x t
= - £ £
Ta có pt: ( )( ) ( )
3 4
1 2 4 3 4 1 0
2 4
.
.
t
t t
t
t f t t
+ + = « = - - =
+
( )
( )
( ) ( )
2
2
6 4 4
1 0 6 4 4 2 4
2 4
, ,
ln .
, ln .
t
t t
t
f t f t
= - = « = +
+
.Đây là pt bậc hai theo 4t
nên có không quá hai nghiệm do đó pt ( ) 0
f t = có không quá 3 nghiệm
Ta thấy
1
0 1
2
, ,
t t t
= = = là 3 nghiệm của pt…
C) Xét ( ) 2003 2005 4006 2
x x
f x x
= + - - có đạo hàm cấp hai dương
Và ( ) ( )
0 1 0
f f
= = .vậy pt có hai nghiệm là 0 và 1
9)Viết lại pt dưới dạng ( ) 2
1 1 1 1
0
2 1 4 1 1
...
n
f x
x x n x
= - + + + + =
- - -
(1)
Dễ thấy ,với mỗi Ν*
n Î hàm ( )
n
f x liên tục và nghịch biến trên ( )
1;+ ¥
Hơn nữa ( )
n
f x ® + ¥ khi 1
x +
® và ( )
1
2
n
f x ® - khi x ® + ¥ .Từ đó suy ra
Với mỗi Ν*
n Î ,pt(1) có duy nhất nghiệm 1
n
x >
Với mỗi Ν*
n Î ,ta có
( )
( )
( )
( )
2 2 2
1 1 1 1
4
2 2 1 4 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1
1
0
2 2 1
...
... ...
n
f
n
k k n n
f x
n
= - + + + +
- - -
æ ö
÷
ç
= - + - + - + + - + + - ÷
ç ÷
ç
è ø
- - - +
= - < =
+
Từ đó, dohàm ( )
n
f x trên ( )
1;+ ¥ nên 4
n
x < với mọi Ν*
n Î (2)
Mặt khác hàm ( )
n
f x có đạo hàm trên [ ]
4
,
n
x nên theo định lí Lagrange
Với mỗi Ν*
n Î tồn tại ( )
4
;
n
t x
Î sao cho
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
4 1 4 1
Ν
4 9
1
1 4 1
, *
...
n n n
n
f f x n
f t n
x n t
t t
- - - -
= = + + + < - " Î
- -
- -
17. Hay
( )( ) ( )
1 1 9
Ν 4 Ν
2 2 1 4 9 2 2 1
* *
n
n
n x n
n x n
-
< - " Î Þ > - " Î
+ - +
(3)
từ (2) và (3) :
( )
9
4 4 Ν
2 2 1
*
,
n
x n
n
- < < " Î
+
suy ra 4
lim n
x = (đpcm)
III .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
2. ( )
1 0
2
2
2
osx-1
ax osx , ;
x
c
c a f x x
π
æ ö
÷
ç
+ = Û = = " Î ÷
ç ÷
ç
è ø
Tìm miền giá trị của f(x) ta được a cần tìm
3.Hàm số ( )( )
y x x a x b
= - + + + có miền giá trị trên ( )
0;+ ¥ là
2
;
a b
ab
æ ö
+ ÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø
Do đó chỉ cần cm:
1
2 2
s s s
a b a b
ab
æ ö
+ +
÷
ç ÷
ç
< <
÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø
,với mọi ( )
0 1
;
sÎ
4
.
( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0
3 3 4 1 1
4 3 3 1 1
m x m x m
x x
m
x x
- + + - - + - =
+ + - +
Û =
+ + - +
Chú ý:
2 2
3 1
1
2 2
x x
æ ö æ ö
+ -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ =
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.Do đó lượng giác hóa và đưa về ẩn phụ
2
t tg
α
=
Rồi khảo sát hàm số thu được theo t
5.Tương tự 4
10. ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 1 0
ln ln
x
x
x x f x x x x x
+
= + Û = + - + =
Ta có ( )
1 1 1 1 1 1
1 0
1 1
,
ln
f x
x x x x x x
æ ö
÷
ç
= + - - < - - <
÷
ç ÷
ç
è ø + +
với x>0 vậy f Nb
Mà ( )
1 2 0
ln
f = > và
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1 1 1
1
1 1
ln ln
lim lim
ln ln
lim
x x
x
x
f x x x
x
x
x
® + ¥ ® + ¥
+
® + ¥
é ù
æ ö
÷
ç
ê ú
= + + - +
÷
ç ÷
ç
ê ú
è ø
ë û
é ù
æ ö
ê ú
÷
ç
= + - + = - ¥
÷
ç
ê ú
÷
ç
è ø
ê ú
ë û
Kết hợp f liên tục trong ( )
0,+ ¥ suy ra pt có nghiệm dương duy nhất .