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2020年度秋学期　統計学　第13回　不確かな測定の不確かさを測る ー 不偏分散とt分布 (2020. 12. 22)

関西大学総合情報学部・統計学 http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2020a/STAT/

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2020年度秋学期　統計学 浅野　晃 関西大学総合情報学部 不確かな測定の不確かさを測る ― 不偏分散とt分布 第１３回
ちょっと（ほんのちょっと） 前回までの復習
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 3 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が知りたい正規分布 と仮定する 標本平均 X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 3 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が知りたい正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする 標本平均 X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 3 例題 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が知りたい正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする （説明の都合です） 標本平均 X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 4 数値をいくつか抽出して標本平均 標本平均にすることで ばらつきが小さくなる 仮に，何度も抽出したとすると 母平均（実際にはわからない） のまわりにばらついている 標本平均の期待値 ＝母平均 標本平均の分散 ＝母分散÷標本サイズ X X X X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 区間推定の考え方 5 標本平均の左右に区間をつける 区間は母平均を 母平均 どの回の区間が母平均を含むか・ 含まないかはわからないが 確率95%で 母平均を含むように 区間を設定できる X X X X 含む 含む 含まない 含む （実際にはわからない）
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 信頼区間 6 区間は母平均を 母平均 X X X X 含む 含む 含ま ない 含む （実際にはわからない） 確率95%で 母平均を含むように計算した区間だから， １回だけ計算した区間でも含むと信じる 母平均の ［信頼係数］95%の ［信頼区間］ という （［95%信頼区間］）
不偏分散💡💡
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 8 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたいμ正規分布 と仮定する 標本平均 ¯X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 8 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたいμ正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとするσ2 標本平均 ¯X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 8 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたいμ正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとするσ2 （説明の都合です） 標本平均 ¯X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 母分散は，ふつうはわからない 9 母集団全体は調べていないし，母平均もわからない （わからないから，いま推定しようとしている）
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 母分散は，ふつうはわからない 9 それなのに，母分散がわかるはずがない 母集団全体は調べていないし，母平均もわからない （わからないから，いま推定しようとしている）
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 母分散は，ふつうはわからない 9 それなのに，母分散がわかるはずがない 母集団全体は調べていないし，母平均もわからない （わからないから，いま推定しようとしている） 母分散の「代用品」を，標本を使って計算できないか。
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 分散＝(偏差)2の平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 分散＝(偏差)2の平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均）
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均）
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ：　標本 , ...X1 Xn
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ：　標本 , ...X1 Xn データの平均：
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ：　標本 , ...X1 Xn データの平均： 本当は母平均だが，
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 10 標本を使って分散を計算する。 分散＝(偏差)2の平均 （データの各数値）ー（データの平均） データ：　標本 , ...X1 Xn わからないので標本平均 で代用¯X データの平均： 本当は母平均だが，
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 分散＝(偏差)2の平均 だから当然だけど…
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本を使って分散を計算 11 標本サイズで割る 標本を使った分散 S2 = 1 n (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 分散＝(偏差)2の平均 だから当然だけど… 本当にこれでいいの？
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 X2
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 X2 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 X2 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 X1 母平均との隔たり（偏差） X2 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり（偏差） X2 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり（偏差） X2 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり（偏差） X2 標本平均との隔たり 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり（偏差） X2 標本平均との隔たり 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 標本平均との隔たり 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 標本平均との隔たり 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 標本平均との隔たり 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X1 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 X 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 X 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 12 標本サイズ n=2 とする 標本は X1, X2 XX1 X2 母平均との隔たり（偏差） X1 X2 X 標本平均との隔たり X2X1 X 標本平均との隔たりのほうが たいてい小さい 母平均
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 標本平均を用いた偏差 13 別の説明 母集団の度数分布 これなら 「標本平均との隔たり」と 「母平均との隔たり」は かわらない X こんなふうに偏っていると 「標本平均との隔たり」 のほうが小さい X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 14 母平均との隔たりよりも 標本平均との隔たりのほうが たいてい小さい 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 14 母平均との隔たりよりも 標本平均との隔たりのほうが たいてい小さい 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる では，計算のときに少し大きめにしておけば？
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 （標本サイズ － 1)で割る
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 （標本サイズ － 1)で割る これを不偏分散（不偏標本分散）といい， 母分散の代用に用いる
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 不偏分散 15 計算のときに少し大きめにする s2 = 1 n − 1 (X1 − ¯X)2 + (X2 − ¯X)2 + · · · + (Xn − ¯X)2 （標本サイズ － 1)で割る これを不偏分散（不偏標本分散）といい， 母分散の代用に用いる 「不偏」とは？
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「不偏」とは？ 16 計算のときに少し大きめにすると？ 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「不偏」とは？ 16 計算のときに少し大きめにすると？ 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる 母分散と一致するわけではないが 母分散より大きくも小さくも平等にはずれる
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 「不偏」とは？ 16 計算のときに少し大きめにすると？ 標本平均との隔たりを使って分散を計算すると， 母分散よりもたいてい小さめになる 母分散と一致するわけではないが 母分散より大きくも小さくも平等にはずれる 「不偏」とは「えこひいきしない」こと
不偏分散を用いた区間推定💡💡
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 18 前回の例題 ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。 この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して， この人たちの点数を平均したところ50点でした。 この試験の受験者全体の標準偏差が5点であるとわかっている とき，受験者全体の平均点の95%信頼区間を求めてください。
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 19 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたいμ正規分布 と仮定する 母分散 がわかっているものとするσ2 （説明の都合です） 標本平均 ¯X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 20 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが， 分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n) ［性質２］
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 21 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)［性質２］ 正規分布の［性質１］により X Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 21 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)［性質２］ 正規分布の［性質１］により X Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 21 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)［性質２］ 正規分布の［性質１］により X Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 21 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)［性質２］ 正規分布の［性質１］により X Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = ¯X − µ s2/n
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = ¯X − µ s2/n
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = ¯X − µ s2/n 不偏分散
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 本当は，母分散はわからない 22 Z = ¯X − µ σ2/n は標準正規分布にしたがう N(0, 1) 本当は母分散はわからない 不偏分散で代用する t = ¯X − µ s2/n 不偏分散 t は何分布にしたがう？
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 23 はt = ¯X − µ s2/n t統計量
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 23 はt = ¯X − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 23 は t(n–1) t = ¯X − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 23 は t(n–1) t = ¯X − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量 （「スチューデントのt分布」という）
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 23 は t(n–1) t = ¯X − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量 （「スチューデントのt分布」という）
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布 23 は t(n–1) t = ¯X − µ s2/n 自由度(n–1)のt分布にしたがう t統計量 （「スチューデントのt分布」という） 発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム ※ゴセットはギネスビールのエンジニアで，会社との契約のために論文を発表 できなかったので， ペンネームで論文を発表した。
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布（母分散不明）の場合の区間推定 24 テキストの例題 ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。 この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して， この人たちの点数を平均したところ50点でした。 この10人の不偏分散が52点であるとき，受験者全体の平均点 の95%信頼区間を求めてください。
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布（母分散不明）の場合の区間推定 24 テキストの例題 ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。 この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して， この人たちの点数を平均したところ50点でした。 この10人の不偏分散が52点であるとき，受験者全体の平均点 の95%信頼区間を求めてください。
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布（母分散不明）の場合の区間推定 24 テキストの例題 ある試験の点数の分布は正規分布であるとします。 この試験の受験者から，10人からなる標本を無作為抽出して， この人たちの点数を平均したところ50点でした。 この10人の不偏分散が52点であるとき，受験者全体の平均点 の95%信頼区間を求めてください。 前回は 「受験者全体の標準偏差が5点であるとわかっている」
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたいμ正規分布 と仮定する 母分散 がわかσ2 標本平均 ¯X
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたいμ正規分布 と仮定する 母分散 がわかσ2 標本平均 ¯X らないので，
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 正規分布の場合の区間推定 25 例題 標本 , ... をとりだす サイズ X1 Xn n 母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均 の95%信頼区間が知りたいμ正規分布 と仮定する 母分散 がわかσ2 標本平均 ¯X らないので， 不偏分散 で代用s2
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 t = ¯X − µ s2/n t(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 t = ¯X − µ s2/n t(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 が t = ¯X − µ s2/n t = ¯X − µ s2/n t(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 が 面積=95% t = ¯X − µ s2/n t = ¯X − µ s2/n t(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 26 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n–1)のt分布にしたがう t(n–1)の 確率密度関数 が 面積=95% 境界の値はいくら？ t = ¯X − µ s2/n t = ¯X − µ s2/n t(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 27 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%）
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 27 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%） 境界の値は自由度によってちがうので
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 27 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%） 境界の値は自由度によってちがうので t0.025(n–1) としておく
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t 0 t分布を用いた区間推定 27 面積=95% 面積=2.5% （左右で5%） 境界の値は自由度によってちがうので t0.025(n–1) としておく ［上側2.5%点］
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 28 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = ¯X − µ s2/n t(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 28 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = ¯X − µ s2/n t(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 28 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = ¯X − µ s2/n t0.025(n–1) t(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布を用いた区間推定 28 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% t = ¯X − µ s2/n t0.025(n–1)–t0.025(n–1) t(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 29 が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% t = ¯X − µ s2/n
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 29 式で書くと が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% t = ¯X − µ s2/n
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 29 式で書くと が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% t = ¯X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 29 式で書くと が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% μの式に直すと t = ¯X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 29 式で書くと が –t0.025(n–1) と t0.025(n–1) の間に入っている確率が95% μの式に直すと t = ¯X − µ s2/n P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では 標本平均=50 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 30 μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 上側2.5%点　t0.025(n–1)　は？ P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% t0.025(n–1)
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% パーセントの値 t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% パーセントの値 例題では n–1 = 9 t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t 0 t分布表 31 面積=2.5% パーセントの値 例題では n–1 = 9 0.025 t0.025(n–1) 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.3249 0.7265 1.0000 1.3764 1.9626 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 2 0.2887 0.6172 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 3 0.2767 0.5844 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 0.2707 0.5686 0.7407 0.9410 1.1896 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 0.2672 0.5594 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 0.2648 0.5534 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 0.2632 0.5491 0.7111 0.8960 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 8 0.2619 0.5459 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 0.2610 0.5435 0.7027 0.8834 1.0997 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 自由度
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332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 32 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
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332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025(10–1)=2.262
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 t分布を用いた区間推定 32 例題では 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 t0.025(10–1)=2.262 計算すると，例題の答は 「46.4以上53.6以下」（ [46.4, 53.6] ） μの95% 信頼区間の下限 μの95% 信頼区間の上限
332020年度秋学期　統計学　／　関西大学総合情報学部　浅野　晃 前回の例題と比較 33 不偏分散は，母分散の推定量なので，不確か どちらも 標本平均=50 不偏分散=25　のとき 標本サイズ=10 母分散=25　のとき 母平均の95%信頼区間は [46.9, 53.1] [46.4, 53.6] →信頼区間が広い

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2022年度秋学期　画像情報処理　第8回　行列の直交変換と基底画像 (2022. 11. 18)
byAkira Asano
 
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2022年度秋学期　応用数学（解析）　第8回　2階線形微分方程式（２） (2022. 11. 17)
byAkira Asano
 
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2022年度秋学期　画像情報処理　第7回　主成分分析とKarhunen-Loève変換 (2022. 11. 11)
byAkira Asano
 
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2022年度秋学期　応用数学（解析）　第7回　2階線形微分方程式（１） (2022. 11. 10)
byAkira Asano
 
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2022年度秋学期　統計学　第８回　問題に対する答案の書き方（講義前提供用） (2022. 11. 15)
byAkira Asano
 
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2022年度秋学期　統計学　第7回　データの関係を知る（２）ー 回帰分析 (2022. 11. 8)
byAkira Asano
 
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2022年度秋学期　画像情報処理　第6回　ベクトルと行列について (2022. 10. 28)
byAkira Asano
 
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2022年度秋学期　統計学　第6回　データの関係を知る（１）ー相関関係 (2022. 11. 1)
byAkira Asano
 
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2022年度秋学期　画像情報処理　第6回　ベクトルと行列について（講義前配付用） (2022. 10. 28)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第15回　測度論ダイジェスト(2) ルベーグ積分 (2023. 1. 19)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第14回　測度論ダイジェスト(1) ルベーグ測度と完全加法性 (2023. 1. 12)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第13回　複素関数論ダイジェスト(2) 孤立特異点と留数 (2022. 12. 22)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第12回　複素関数論ダイジェスト(1) 複素関数・正則関数 (2022. 12. 15)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第11回　逆投影法による再構成 (2022. 12. 9)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第11回　振動と微分方程式 (2022. 12. 8)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第10回　Radon変換と投影切断面定理 (2022. 12. 2)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第10回　生存時間分布と半減期 (2022. 12. 1)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第８回　問題に対する答案の書き方 (2022. 11. 15)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第9回　離散フーリエ変換と離散コサイン変換 (2022. 11. 25)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第９回　確からしさを記述するー確率 (2022. 11. 22)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第8回　行列の直交変換と基底画像 (2022. 11. 18)
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2022年度秋学期　応用数学（解析）　第8回　2階線形微分方程式（２） (2022. 11. 17)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第7回　主成分分析とKarhunen-Loève変換 (2022. 11. 11)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　応用数学（解析）　第7回　2階線形微分方程式（１） (2022. 11. 10)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第８回　問題に対する答案の書き方（講義前提供用） (2022. 11. 15)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第7回　データの関係を知る（２）ー 回帰分析 (2022. 11. 8)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第6回　ベクトルと行列について (2022. 10. 28)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　統計学　第6回　データの関係を知る（１）ー相関関係 (2022. 11. 1)
byAkira Asano
 
2022年度秋学期　画像情報処理　第6回　ベクトルと行列について（講義前配付用） (2022. 10. 28)
byAkira Asano
 

2020年度秋学期　統計学　第13回　不確かな測定の不確かさを測る ー 不偏分散とt分布 (2020. 12. 22)