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2013年度秋学期 統計学 第11回「分布の「型」を考える - 確率分布モデルと正規分布」
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関西大学総合情報学部 2013年度秋学期 統計学 第11回/「分布の「型」を考える - 確率分布モデルと正規分布」 担当・浅野晃 2013/12/5
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第1回多変量解析・標本調査勉強会
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2013年度秋学期 統計学 第11回「分布の「型」を考える - 確率分布モデルと正規分布」
1.
2013年度秋学期 統計学 A. Asano, Kansai
Univ. 分布の「型」を考える ̶ 確率分布モデルと正規分布 浅野 晃 関西大学総合情報学部
2.
A. Asano, Kansai
Univ.
3.
A. Asano, Kansai
Univ. ちょっと前回の復習
4.
「統計的推測」とは A. Asano, Kansai
Univ. 調べたい集団の,すべてのデータを調べ られるか? 日本男性全員の身長を調べられるか? データの集まりの一部を調べて 度数分布を推測する いや,せめて平均や分散を推測する 統計的推測 2013年度秋学期 統計学
5.
無作為抽出 データの集団から,いくつかのデータを 公平なくじびきで選ぶ [無作為標本抽出]という A. Asano, Kansai
Univ. 調べたい(が全部を調べるの は無理な)集団[母集団] 調べられる程度のデータ [標本(サンプル)] 2013年度秋学期 統計学
6.
度数分布で考えると 標本の[確率分布] 母集団の度数分布 選ば 相対 れる 階級値 度数 無作為
階級値 確率 抽出 162.5 15% 162.5 15% A. Asano, Kansai Univ. 165.5 20% 165.5 20% 172.5 20% 172.5 20% 177.5 10% 177.5 10% 2013年度秋学期 統計学
7.
確率分布と確率変数 つまり 母集団の度数分布 = (母集団分布) A. Asano, Kansai
Univ. 標本の確率分布 いくらとは 選ばれ 決まってい 階級値 る確率 ないが, 162.5 15% 確率分布が 決まっている 165.5 20% 172.5 20% 177.5 10% 2013年度秋学期 統計学 [確率変数] という
8.
母平均の推定 母集団 (日本男性全体) A. Asano, Kansai
Univ. 母平均μ 標本としてデータを いくつか取り出して, それらの平均 [標本平均] 標本平均は母平均に 近い値になるか? 母平均が知りたい が,日本男性全員は調べられない 2013年度秋学期 統計学
9.
母平均の推定 母集団 サイズnの標本1セット 標本平均 X1 X2 Xn Xbar X1 X2 … Xn Xbar X1
X2 母平均μ 母分散σ2 … … Xn Xbar … A. Asano, Kansai Univ. … 母集団と同じ 期待値μ 分散σ2 2013年度秋学期 統計学 極端な値はあまりないので 分散が小さくなる 期待値μ 分散 σ2/n
10.
母平均の推定 母平均がμ 標本平均の期待値がμ のとき, 2 2 /n 母分散がσ 標本平均の分散がσ 仮に何度も標本を抽出して,何度も 標本平均を計算したとすると A. Asano,
Kansai Univ. 分散が小さくなっているので, たいてい,ほぼ母平均に近い値になる いま1回だけ計算した標本平均も, おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう 2013年度秋学期 統計学
11.
母平均の推定 いま1回だけ計算した標本平均も, おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう A. Asano, Kansai
Univ. どのくらい近い? どのくらいの確率で? はずれる確率は? 2013年度秋学期 統計学
12.
母平均の推定 いま1回だけ計算した標本平均も, おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう A. Asano, Kansai
Univ. どのくらい近い? どのくらいの確率で? はずれる確率は? 2013年度秋学期 統計学 このあたりを 今回から考える
13.
A. Asano, Kansai
Univ.
14.
A. Asano, Kansai
Univ. 分布の「型」を考える
15.
母平均の推定 いま1回だけ計算した標本平均も, おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう A. Asano, Kansai
Univ. どのくらい近い? どのくらいの確率で? はずれる確率は? 2013年度秋学期 統計学
16.
母平均の推定 いま1回だけ計算した標本平均も, おそらく,ほぼ母平均に近い値だろう A. Asano, Kansai
Univ. どのくらい近い? どのくらいの確率で? はずれる確率は? 2013年度秋学期 統計学 計算するには, 式で表されてな いといけない
17.
母集団分布は つまり 母集団の度数分布 = (母集団分布) 選ばれ 階級値 る確率 15% 165.5 A. Asano,
Kansai Univ. 162.5 20% 172.5 20% 177.5 10% 2013年度秋学期 統計学 標本の確率分布
18.
母集団分布は つまり 母集団の度数分布 = (母集団分布) 選ばれ 階級値 る確率 15% 165.5 A. Asano,
Kansai Univ. 162.5 20% 172.5 20% 177.5 10% 2013年度秋学期 統計学 標本の確率分布 これは式ではなく 数値の集まり, 計算できない
19.
式で表す 度数分布を 162.5 165.5 172.5 177.5 15% 20% 20% 10% A. Asano, Kansai
Univ. 階級値 選ばれ る確率 2013年度秋学期 統計学
20.
式で表す 度数分布を 162.5 165.5 172.5 177.5 A. Asano, Kansai
Univ. 階級値 選ばれ る確率 15% 20% 20% 10% 何かの式で書ける ものと仮定する 2013年度秋学期 統計学
21.
式で表す 度数分布を 階級値 162.5 165.5 172.5 177.5 0 100 選ばれ る確率 15% 20% 20% 10% 110 130 120 140 各柱の面積 =度数 階級 ストグラムはこんなふうには描かない 何かの式で書ける ロット ものと仮定する A. Asano, Kansai
Univ. ヒストグラムが 90 100 110 120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く ラムをさらに簡略化して表現したのがボックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 値,第1(下側)四分位数,中位数(中央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 フの中に表示したものです。分布の形を簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 2013年度秋学期 統計学 データを小さいほうから並べたときに順位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも
22.
式で表す 度数分布を 階級値 162.5 165.5 172.5 177.5 0 100 選ばれ る確率 15% 20% 20% 10% 110 130 120 140 ヒストグラムが 各柱の面積 =度数 階級 ストグラムはこんなふうには描かない 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式で表される 関数のグラフである ラムをさらに簡略化して表現したのがボックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 値,第1(下側)四分位数,中位数(中央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 と仮定する A. Asano, Kansai Univ. 何かの式で書ける ロット ものと仮定する フの中に表示したものです。分布の形を簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 2013年度秋学期 統計学 データを小さいほうから並べたときに順位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも
23.
確率分布モデルとパラメータ 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
24.
確率分布モデルとパラメータ 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する 式=確率分布モデル A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
25.
確率分布モデルとパラメータ 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する 式=確率分布モデル A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 パラメータを推定す ればグラフが描ける 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
26.
確率分布モデルとパラメータ 直線のモデル 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する 式=確率分布モデル A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 パラメータを推定す ればグラフが描ける 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
27.
確率分布モデルとパラメータ 直線のモデル 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する 式=確率分布モデル A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 パラメータを推定す ればグラフが描ける 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
28.
確率分布モデルとパラメータ 直線のモデル 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する 式=確率分布モデル A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 パラメータを推定す ればグラフが描ける 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
29.
そこで用いるの 確率分布モデルとパラメータ が,ある数式で表 直線のモデル であらわされる関 のなりたちに合わ 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する 関数を式で表す 式=確率分布モデルす式 y = ax + b の ります。これから パラメータを推定す ればグラフが描ける てゆきます。 A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
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そこで用いるの 確率分布モデルとパラメータ が,ある数式で表 直線のモデル であらわされる関 のなりたちに合わ 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する 関数を式で表す 式=確率分布モデルす式 y = ax + b の ります。これから パラメータを推定す ればグラフが描ける てゆきます。 A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
31.
そこで用いるの 確率分布モデルとパラメータ が,ある数式で表 直線のモデル であらわされる関 のなりたちに合わ 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する 関数を式で表す 式=確率分布モデルす式 y = ax + b の ります。これから パラメータを推定す ればグラフが描ける てゆきます。 A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
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そこで用いるの 確率分布モデルとパラメータ が,ある数式で表 直線のモデル であらわされる関 のなりたちに合わ 各柱の面積 =度数 90 100 110
120 130 140 150 階級 図 2: ヒストグラムはこう描く 何かの式のグラフで あると仮定する 関数を式で表す 式=確率分布モデルす式 y = ax + b の ります。これから パラメータを推定す パラメータ ればグラフが描ける てゆきます。 A. Asano, Kansai Univ. ックスプロット(箱ひげ図)です。これは図 4 のよ 央値,メディアン) ,第3(上側)四分位数,最大値 簡単な図で概略つかむことができます。ここで,中 位が 50% (データが 100 個のとき 50 位)であるも なるものをさします。 2013年度秋学期 統計学 が他のデータから飛び離れている場合は,それを別
33.
A. Asano, Kansai
Univ.
34.
A. Asano, Kansai
Univ. 連続型確率分布
35.
ヒストグラムを式で表す 度数分布のヒストグラム こんなヒストグラムを, 式で書けるだろうか? たくさんのデータによって描かれている 図 1: 確 A.
Asano, Kansai Univ. ムの上端をつないだグラフで表される関数』の『 ムの上端をつないだグラフで表される関数」を確 この講義では積分の計算をすることはありませ まとめた数表はよく用います。 「確率変数がある範囲の値に入る確率」 2013年度秋学期 統計学
36.
ヒストグラムを式で表す 度数分布のヒストグラム こんなヒストグラムを, 式で書けるだろうか? 関数のグラフで表す たくさんのデータによって描かれている これを表す式のほうが 確 図 1: 数学は簡単。 いく つかの 「パラメータ」 を決めれば描ける ムの上端をつないだグラフで表される関数』の『 ムの上端をつないだグラフで表される関数」を確 A.
Asano, Kansai Univ. 確率分布モデル この講義では積分の計算をすることはありませ まとめた数表はよく用います。 「確率変数がある範囲の値に入る確率」 『ある範囲』での積分」といいます。この「ヒストグラ 2013年度秋学期 統計学
37.
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38.
ヒストグラムを式で表す 度数分布のヒストグラム こんなヒストグラムを, 式で書けるだろうか? 関数のグラフで表す たくさんのデータによって描かれている これを表す式のほうが 確 図 1: 数学は簡単。 いく つかの 「パラメータ」 を決めれば描ける ムの上端をつないだグラフで表される関数』の『 ムの上端をつないだグラフで表される関数」を確 A.
Asano, Kansai Univ. 階級の区切り方がどん 確率分布モデル この講義では積分の計算をすることはありませ どん細かくなって,見 [連続型確率分布] まとめた数表はよく用います。 えなくなったと考える 「確率変数がある範囲の値に入る確率」 『ある範囲』での積分」といいます。この「ヒストグラ 2013年度秋学期 統計学
39.
連続型確率分布 A. Asano, Kansai
Univ. ヒストグラム 2013年度秋学期 統計学
40.
連続型確率分布 ヒストグラム A. Asano, Kansai
Univ. ある範囲に入る確率 =柱の面積の合計 2013年度秋学期 統計学
41.
連続型確率分布 ヒストグラム ある範囲に入る確率 =柱の面積の合計 A. Asano, Kansai
Univ. 階級の区切りを 細かく 2013年度秋学期 統計学
42.
連続型確率分布 ヒストグラム ある範囲に入る確率 =柱の面積の合計 A. Asano, Kansai
Univ. 階級の区切りを 細かく 2013年度秋学期 統計学
43.
連続型確率分布 ヒストグラム ある範囲に入る確率 =柱の面積の合計 A. Asano, Kansai
Univ. 階級の区切りを 細かく 同じ範囲なら 柱の面積の合計は同じ 2013年度秋学期 統計学
44.
連続型確率分布 ヒストグラム ある範囲に入る確率 =柱の面積の合計 A. Asano, Kansai
Univ. 階級の区切りを 細かく 同じ範囲なら 柱の面積の合計は同じ 2013年度秋学期 統計学
45.
連続型確率分布 ヒストグラム ある範囲に入る確率 =柱の面積の合計 A. Asano, Kansai
Univ. 階級の区切りを 細かく 同じ範囲なら 柱の面積の合計は同じ 2013年度秋学期 統計学
46.
連続型確率分布 ヒストグラム ある範囲に入る確率 =柱の面積の合計 同じ範囲なら 柱の面積の合計は同じ A. Asano, Kansai
Univ. 階級の区切りを 細かく 同じ範囲なら 柱の面積の合計は同じ 2013年度秋学期 統計学
47.
連続型確率分布 ヒストグラムの上の縁= [確率密度関数] ヒストグラム ある範囲に入る確率 =柱の面積の合計 同じ範囲なら 柱の面積の合計は同じ A. Asano, Kansai
Univ. 階級の区切りを 細かく 同じ範囲なら 柱の面積の合計は同じ 2013年度秋学期 統計学
48.
A. Asano, Kansai
Univ. 確率密度関数 2013年度秋学期 統計学
49.
確率密度関数 A. Asano, Kansai
Univ. ヒストグラムの上の縁= [確率密度関数] 確率ではない 2013年度秋学期 統計学
50.
確率密度関数 A. Asano, Kansai
Univ. ヒストグラムの上の縁= [確率密度関数] 確率ではない この範囲に入る確率=この面積 =確率密度関数の積分 2013年度秋学期 統計学
51.
確率密度関数 A. Asano, Kansai
Univ. 連続型確率変数が すべての実数のうちの どれかになる確率 =1(100%) 2013年度秋学期 統計学
52.
確率密度関数 連続型確率変数が すべての実数のうちの どれかになる確率 =1(100%) A. Asano, Kansai
Univ. 連続型確率変数が ある特定の値aになる確率 =0 a 2013年度秋学期 統計学
53.
確率密度関数 連続型確率変数が すべての実数のうちの どれかになる確率 =1(100%) A. Asano, Kansai
Univ. 連続型確率変数が ある特定の値aになる確率 =0 a 幅が0だから,面積も0 2013年度秋学期 統計学
54.
確率密度関数 連続型確率変数が すべての実数のうちの どれかになる確率 =1(100%) A. Asano, Kansai
Univ. 連続型確率変数が ある特定の値aになる確率 =0 a 幅が0だから,面積も0 2013年度秋学期 統計学 なんかヘン? 演習の回答例の付録で
55.
A. Asano, Kansai
Univ. 連続型確率分布は,数学の都合 2013年度秋学期 統計学
56.
連続型確率分布は,数学の都合 A. Asano, Kansai
Univ. こんなのより 2013年度秋学期 統計学
57.
連続型確率分布は,数学の都合 こんなのより A. Asano, Kansai
Univ. こんなののほうが 数式にしやすい 2013年度秋学期 統計学
58.
連続型確率分布は,数学の都合 こんなのより A. Asano, Kansai
Univ. こんなののほうが 数式にしやすい 実際のデータは,有限の桁数の数字 で表されている限り,必ず離散的。 2013年度秋学期 統計学
59.
A. Asano, Kansai
Univ.
60.
A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布モデル
61.
正規分布モデル 世の中には,[正規分布モデル]で表せる ような母集団分布がたくさんある A. Asano, Kansai
Univ. 長さの測定値の分布 センター試験の成績の分布 … 2013年度秋学期 統計学
62.
正規分布モデル 世の中には,[正規分布モデル]で表せる ような母集団分布がたくさんある A. Asano, Kansai
Univ. 長さの測定値の分布 センター試験の成績の分布 … [中心極限定理] 母集団のばらつきの原因が 無数の独立な原因の和のとき, 母集団分布は概ね正規分布になる 2013年度秋学期 統計学
63.
A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布の特徴 2013年度秋学期 統計学
64.
正規分布の特徴 A. Asano, Kansai
Univ. パラメータが平均(期待値)と分散 2013年度秋学期 統計学
65.
正規分布の特徴 A. Asano, Kansai
Univ. パラメータが平均(期待値)と分散 μ 2013年度秋学期 統計学
66.
正規分布の特徴 A. Asano, Kansai
Univ. パラメータが平均(期待値)と分散 2 σ μ 2013年度秋学期 統計学
67.
正規分布の特徴 パラメータが平均(期待値)と分散 2 σ μ A. Asano, Kansai
Univ. (わかりやすいものを推定すればよい ので都合がいい) 2013年度秋学期 統計学
68.
正規分布の特徴 パラメータが平均(期待値)と分散 2 σ μ (わかりやすいものを推定すればよい ので都合がいい) A. Asano, Kansai
Univ. 確率変数Xの確率分布が 2 の正規分布であることを 期待値μ,分散σ 2013年度秋学期 統計学
69.
正規分布の特徴 パラメータが平均(期待値)と分散 2 σ μ (わかりやすいものを推定すればよい ので都合がいい) A. Asano, Kansai
Univ. 確率変数Xの確率分布が 2 の正規分布であることを 期待値μ,分散σ 確率変数XがN(μ,σ2 )にしたがう という 2013年度秋学期 統計学
70.
正規分布の特徴 A. Asano, Kansai
Univ. パラメータが平均(期待値)と分散 2 σ μ 2013年度秋学期 統計学
71.
もっと細かく 細かく 正規分布の特徴 パラメータが平均(期待値)と分散 ある範囲 2 σ μ 図 2: 連続型確率分布 確率密度関数はこんな形 A.
Asano, Kansai Univ. f(x) µ+σ µ 2013年度秋学期 統計学 µ–σ x
72.
もっと細かく 細かく 正規分布の特徴 パラメータが平均(期待値)と分散 ある範囲 2 σ μ 図 2: 連続型確率分布 確率密度関数はこんな形 A.
Asano, Kansai Univ. f(x) 左右とも無限に 広がっている µ+σ µ 2013年度秋学期 統計学 µ–σ x
73.
正規分布の性質1 2 確率変数XがN(μ,σ 6 第8章 )にしたがう とき いちばんよく出てくる「型」の分布ー正規分布モデル N( , σ2) X 0 だけ左に移動 A.
Asano, Kansai Univ. N(0, σ2) 0 N(0, 1) 広がりを (1 / σ)に縮める X– 0 図 8.4 X– σ 正規分布の性質 1 計算すると,標本平均の期待値は母平均と同じで,標本平均の分散は母 2013年度秋学期 統計学
74.
正規分布の性質1 2 確率変数XがN(μ,σ 6 第8章 )にしたがう とき いちばんよく出てくる「型」の分布ー正規分布モデル N( , σ2) X 0 だけ左に移動 A.
Asano, Kansai Univ. N(0, σ2) 0 N(0, 1) 広がりを (1 / σ)に縮める X– 0 図 8.4 X– σ 正規分布の性質 1 (X-μ)/σ はN(0, 1 )にしたがう 計算すると,標本平均の期待値は母平均と同じで,標本平均の分散は母 2013年度秋学期 統計学
75.
正規分布の性質1 2 確率変数XがN(μ,σ )にしたがう とき A. Asano, Kansai
Univ. (X-μ)/σ はN(0, 1 )にしたがう 2013年度秋学期 統計学
76.
正規分布の性質1 2 確率変数XがN(μ,σ )にしたがう とき A. Asano, Kansai
Univ. (X-μ)/σ はN(0, 1 )にしたがう 「標準得点」と同じ 2013年度秋学期 統計学
77.
正規分布の性質1 2 確率変数XがN(μ,σ )にしたがう とき A. Asano, Kansai
Univ. (X-μ)/σ はN(0, 1 )にしたがう 「標準得点」と同じ 2013年度秋学期 統計学
78.
正規分布の性質1 2 確率変数XがN(μ,σ )にしたがう とき A. Asano, Kansai
Univ. (X-μ)/σ はN(0, 1 )にしたがう 「標準得点」と同じ 変換しても, やはり正規分布になる 2013年度秋学期 統計学
79.
正規分布の性質1 2 確率変数XがN(μ,σ )にしたがう とき A. Asano, Kansai
Univ. (X-μ)/σ はN(0, 1 )にしたがう 「標準得点」と同じ 変換しても, やはり正規分布になる N(0,1)を[標準正規分布]という 2013年度秋学期 統計学
80.
正規分布の性質2 母集団 サイズnの標本1セット 標本平均 X1 X2 Xn Xbar X1 X2 … Xn Xbar X1
X2 母平均μ 母分散σ2 … … Xn Xbar 2013年度秋学期 統計学 A. Asano, Kansai Univ. … … 母集団と同じ 期待値μ 分散σ2 期待値μ 分散 σ2/n
81.
正規分布の性質2 母集団 サイズnの標本1セット 標本平均 X1 X2 正規分布なら Xn Xbar X1 X2 母平均μ 母分散σ2 … … Xn Xbar X1
X2 … Xn Xbar 2013年度秋学期 統計学 A. Asano, Kansai Univ. … … 母集団と同じ 期待値μ 分散σ2 期待値μ 分散 σ2/n
82.
正規分布の性質2 母集団 サイズnの標本1セット 標本平均 X1 X2 正規分布なら Xn Xbar X1 X2 母平均μ 母分散σ2 … … Xn Xbar X1
X2 … Xn Xbar 2013年度秋学期 統計学 A. Asano, Kansai Univ. … … 母集団と同じ 期待値μ 分散σ2 こちらも 正規分布になる 期待値μ 分散 σ2/n
83.
正規分布の性質2 母集団 サイズnの標本1セット 標本平均 X1 X2 Xn Xbar X1 X2 … Xn Xbar X1
X2 母平均μ 母分散σ2 … … Xn Xbar A. Asano, Kansai Univ. 期待値μ 分散σ2 2013年度秋学期 統計学 こちらも 正規分布になる … … 正規分布なら 2) N(μ,σ 母集団と同じ 期待値μ 分散 σ2/n
84.
正規分布の性質2 母集団 サイズnの標本1セット 標本平均 X1 X2 Xn Xbar X1 X2 … Xn Xbar X1
X2 母平均μ 母分散σ2 … … Xn Xbar A. Asano, Kansai Univ. 期待値μ 分散σ2 こちらも 正規分布になる … … 正規分布なら 2) N(μ,σ 母集団と同じ 期待値μ 分散 σ2/n N(μ,σ2/n) 2013年度秋学期 統計学
85.
A. Asano, Kansai
Univ.
86.
A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布表の見方
87.
正規分布にもとづく計算 正規分布にしたがう確率変数が ある範囲に入る確率 f(z) A. Asano, Kansai
Univ. 面積 = P(Z ≥ z) 0 2013年度秋学期 統計学 z z
88.
正規分布にもとづく計算 正規分布にしたがう確率変数が ある範囲に入る確率 数表を使って求める f(z) A. Asano, Kansai
Univ. 面積 = P(Z ≥ z) 0 2013年度秋学期 統計学 z z
89.
正規分布にもとづく計算 正規分布にしたがう確率変数が ある範囲に入る確率 標準正規分布の場 数表を使って求める 合に,いろいろなz f(z) の値について,こ の面積が載っている A. Asano, Kansai
Univ. 面積 = P(Z ≥ z) 0 2013年度秋学期 統計学 z z
90.
正規分布にもとづく計算 2)にしたがう 10 例)確率変数XがN(50, とき,Xが60以上である確率を求めよ。 A. Asano, Kansai
Univ. Zは標準正規分布にしたがう 2013年度秋学期 統計学
91.
正規分布にもとづく計算 2)にしたがう 10 例)確率変数XがN(50, とき,Xが60以上である確率を求めよ。 A. Asano, Kansai
Univ. 性質1により,Z = (X - 50) / 10 と変換 Zは標準正規分布にしたがう 2013年度秋学期 統計学
92.
正規分布にもとづく計算 2)にしたがう 10 例)確率変数XがN(50, とき,Xが60以上である確率を求めよ。 性質1により,Z = (X
- 50) / 10 と変換 Zは標準正規分布にしたがう A. Asano, Kansai Univ. X=60のとき,Z=(60 - 50) / 10 = 1 2013年度秋学期 統計学
93.
である確率」P(Z z) を計算したもので
, 正規分布にもとづく計算 なります。標準正規分布の確率密度関数 2)にしたがう 例)確率変数XがN(50, 10 載されています。 とき,Xが60以上である確率を求めよ。 A. Asano, Kansai Univ. んな値の正規分布でも,それにしたがう 性質1により,Z = (X - 50) / 10 と変換 Zは標準正規分布にしたがう ることができます。例えば,期待値 50, X=60のとき,Z=(60 - 50) / 10 1 以上である確率,すなわち P(X = 60) を 1から確率変数 Z は標準正規分布 N(0, 1) よって,求めるのは,Zが1以上である確率 すから,求める確率は P(Z 1) です。数 2013年度秋学期 統計学
94.
正規分布にもとづく計算 確率」P (Z z) を求める 0.05 0.48006 0.44038 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 A.
Asano, Kansai Univ. 0.40129 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 0.36317 0.32636 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.02 . . . 0.01 . . . 0.00
95.
正規分布にもとづく計算 0.05 0.44038 A. Asano, Kansai
Univ. 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 0.36317 0.32636 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.40129 0.00 . . . 0.48006 z) を求める . . . zの小数第1位まで 確率」P (Z
96.
正規分布にもとづく計算 0.05 0.44038 A. Asano, Kansai
Univ. 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 0.36317 0.32636 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.40129 zの小数第2位 . . . 0.48006 z) を求める . . . zの小数第1位まで 確率」P (Z
97.
zの小数第2位 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.01 . . . A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布でも,それにしたがう 0.05 できます。例えば,期待値 50, 0.48006 る確率,すなわち P(X 60) を 0.44038 0.40129 変数 Z は標準正規分布 N(0, 1) 0.36317 める確率は P(Z 1) です。数 0.32636 0.00 . . . zの小数第1位まで 」P(Z z) を計算したもので , 正規分布にもとづく計算 標準正規分布の確率密度関数 確率」P (Z z) を求める います。
98.
zの小数第2位 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.01 . . . A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布でも,それにしたがう 0.05 できます。例えば,期待値 50, 0.48006 る確率,すなわち P(X 60) を 0.44038 0.40129 変数 Z は標準正規分布 N(0, 1) 0.36317 める確率は P(Z 1) です。数 0.32636 0.00 . . . zの小数第1位まで 」P(Z z) を計算したもので , 正規分布にもとづく計算 標準正規分布の確率密度関数 確率」P (Z z) を求める います。
99.
zの小数第2位 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.01 . . . A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布でも,それにしたがう 0.05 できます。例えば,期待値 50, 0.48006 る確率,すなわち P(X 60) を 0.44038 0.40129 変数 Z は標準正規分布 N(0, 1) 0.36317 める確率は P(Z 1) です。数 0.32636 0.00 . . . zの小数第1位まで 」P(Z z) を計算したもので , 正規分布にもとづく計算 標準正規分布の確率密度関数 確率」P (Z z) を求める います。
100.
zの小数第2位 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.01 . . . A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布でも,それにしたがう 0.05 できます。例えば,期待値 50, 0.48006 る確率,すなわち P(X 60) を 0.44038 0.40129 変数 Z は標準正規分布 N(0, 1) 0.36317 める確率は P(Z 1) です。数 0.32636 0.00 . . . zの小数第1位まで 」P(Z z) を計算したもので , 正規分布にもとづく計算 標準正規分布の確率密度関数 確率」P (Z z) を求める います。
101.
zの小数第2位 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.01 . . . A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布でも,それにしたがう 0.05 できます。例えば,期待値 50, 0.48006 る確率,すなわち P(X 60) を 0.44038 0.40129 変数 Z は標準正規分布 N(0, 1) 0.36317 める確率は P(Z 1) です。数 0.32636 0.00 . . . zの小数第1位まで 」P(Z z) を計算したもので , 正規分布にもとづく計算 標準正規分布の確率密度関数 確率」P (Z z) を求める います。
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zの小数第2位 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.01 . . . A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布でも,それにしたがう 0.05 できます。例えば,期待値 50, 0.48006 る確率,すなわち P(X 60) を 0.44038 0.40129 変数 Z は標準正規分布 N(0, 1) 0.36317 める確率は P(Z 1) です。数 0.32636 0.00 . . . zの小数第1位まで 」P(Z z) を計算したもので , 正規分布にもとづく計算 標準正規分布の確率密度関数 確率」P (Z z) を求める います。
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zの小数第2位 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.50000 0.49601 0.49202 0.48803 0.48405 0.48006 0.1 0.46017 0.45620 0.45224 0.44828 0.44433 0.44038 0.2 0.42074 0.41683 0.41294 0.40905 0.40517 0.40129 0.3 0.38209 0.37828 0.37448 0.37070 0.36693 0.36317 0.4 0.34458 0.34090 0.33724 0.33360 0.32997 0.32636 0.15625 0.15386 0.15151 0.14917 0.14686 1.0 0.15866 . . . 2013年度秋学期 統計学 . . . 0.01 . . . A. Asano, Kansai
Univ. 正規分布でも,それにしたがう 0.05 できます。例えば,期待値 50, 0.48006 る確率,すなわち P(X 60) を 0.44038 0.40129 変数 Z は標準正規分布 N(0, 1) 0.36317 める確率は P(Z 1) です。数 0.32636 0.00 . . . zの小数第1位まで 」P(Z z) を計算したもので , 正規分布にもとづく計算 標準正規分布の確率密度関数 確率」P (Z z) を求める います。
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正規分布にもとづく計算 求める確率は P(Z 0.5)
で,数表から,P(Z 0.5) = 0.30854 となります. 求める確率は P(−0.5 Z 1) です.この値は 1 − (P(Z −0.5) + P(Z 1)) で,数表か 1) = 0.15866 であり,また前問から P(Z 0.5) = 0.30854 ですから,P(45 X 60) = Z 1) = 0.53280 となります(図 2) . 演習の2 X~N(50, 102) f(x) Z~N(0, 1) 面積 = P(45 ≤ X ≤ 60) = P(– 0.5 ≤ Z ≤ 1) f(z) A. Asano, Kansai Univ. Z = (X – 50) / 10 45 50 µ−0.5σ µ 60 µ+1σ x – 0.5 0 図 1: 任意の正規分布から標準正規分布への変換 2013年度秋学期 統計学 1 z
105.
正規分布にもとづく計算 Z = (X
– 50) / 10 演習の2 45 50 µ−0.5σ µ x 60 µ+1σ – 0.5 0 z 1 図 1: 任意の正規分布から標準正規分布への変換 = – 0.5 0 1 0 A. Asano, Kansai Univ. – ) + ( – 0.5 0 図 2: P(−0.5 ≤ Z ≤ 1) を数表から求めるには 2013年度秋学期 統計学 0 1
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