VBAを使って数値計算の解説を行ったスライドシリーズです。

1. 2017-01更新 熊本高専
森下功啓
VBAで
数値計算07

2. 本資料の目次
ベクトルの計算
練習問題
その他
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3. ベクトルの計算
3

4. ベクトルとは
ベクトルとは、大きさと向きを持った量である。例えば速度
や磁束などを表現できる。ベクトルはp(𝑥𝑥𝑝𝑝, 𝑦𝑦𝑝𝑝)の様に各次元の
大きさを持つ。ベクトルの次元数は2以上である。
4
𝑥𝑥
𝑦𝑦
p(𝑥𝑥𝑝𝑝, 𝑦𝑦𝑝𝑝)
図 2次元ベクトルの例
O
𝑥𝑥
𝑦𝑦
p(𝑥𝑥𝑝𝑝, 𝑦𝑦𝑝𝑝, 𝑧𝑧𝑝𝑝)
図 3次元ベクトルの例
O
𝑧𝑧
図 n次元ベクトルの例
（描けない・・・）𝑥𝑥𝑝𝑝
𝑦𝑦𝑝𝑝
𝑧𝑧𝑝𝑝
𝑥𝑥𝑝𝑝
𝑦𝑦𝑝𝑝
*右手系

5. ベクトルの数学的表記
ベクトルの表記方法にはいくつかある。２重線，ボールド体，
上矢印などである。2重線は手書きでよく使われる。基本的に
小文字である。本資料では、以降は小文字のボールド体を用
いる。
5
ベクトルの成分を表記する方法も複数ある。以下に例を示す。こ
こで、本資料では転置をTとし、カッコには丸括弧を用いる。
𝒂𝒂 ⃗𝑎𝑎𝕔𝕔
図 ベクトルの表記方法
𝒂𝒂 = (𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 𝑎𝑎3)T
=
𝑎𝑎1
𝑎𝑎2
𝑎𝑎3
=
𝑎𝑎1
𝑎𝑎2
𝑎𝑎3

6. ノルム（ベクトル長）
ベクトル𝒙𝒙の長さ 𝒙𝒙 は、各次元が直交するならば以下の式で
求めることができる。この定義は「𝐿𝐿2ノルム」や「ユークリッ
ドノルム」ともいう。本資料では以降で単にノルムと表記す
る。
ここで、ノルムには複数の定義が存在する。ベクトルの長さ
とは一般的にユークリッドノルムを指す。
6
𝒙𝒙 𝟐𝟐 = �
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑖𝑖
2
*左辺の添字の2は省略することも有る。

7. プログラミングにおける
ベクトルの表現
プログラムにおいて、ベクトルの表現は基本的に配列である。
ベクトルを表す型が存在しない場合は配列を用いる。VBAで
は、動作速度が気にならないならばArray型を使った方がよい。
7
Dim vector_arr(最大要素番号) As Double ' Double型変数を格納する配列
' ↑は初期化も要素の追加も面倒
vector_arr2 = Array(1,2,3,43,2,2,4,21,9) ' ←初期化は簡単だだが、追加は面倒
@VBA

8. ベクトルの合成
（足し算・引き算）
次元数の同じベクトル同士では、足し算や引き算ができます。
8
𝒂𝒂 − 𝒃𝒃 =
𝑎𝑎1 − 𝑏𝑏1
𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2
𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏3
𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 =
𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1
𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2
𝑎𝑎3 + 𝑏𝑏3

9. ベクトルの足し算の実装
ベクトルの足し算を行うVBAの実装例を左に示す。
9
Function vector_plus(vect1, vect2)
ans = vect1 ' deep copy
For i = 0 To UBound(ans)
ans(i) = vect1(i) + vect2(i)
Next i
vector_plus = ans
End Function
@VBA
2つの引数とも、Array型
*実用上はベクトルの要素数
が異なるかどうかのチェッ
クを行った方が良い。

10. ベクトルの引き算の実装
ベクトルの引き算を行うVBAの実装例を左に示す。
10
Function vector_minus(vect1, vect2)
ans = vect1 ' deep copy
For i = 0 To UBound(ans)
ans(i) = vect1(i) - vect2(i)
Next i
vector_minus = ans
End Function
@VBA
2つの引数とも、Array型

11. ベクトルのスカラー倍
ベクトルにスカラーを掛けることでベクトル長（ベクトルの
大きさ）を変化させる事ができます。ここで、スカラー倍し
ても向きは変わらないことに注意して下さい。
11
𝑐𝑐𝒂𝒂 = 𝑐𝑐
𝑎𝑎1
𝑎𝑎2
𝑎𝑎3
=
𝑐𝑐𝑎𝑎1
𝑐𝑐𝑎𝑎2
𝑐𝑐𝑎𝑎3

12. スカラー倍の実装
ベクトルに定数を掛ける実装例を左に示す。
12
Function vector_times(vect, coefficient)
ans = vect ' deep copy
For i = 0 To UBound(vect)
ans(i) = coefficient * vect(i)
Next i
vector_times = ans
End Function
@VBA
vectはArray型，
coefficientは掛ける係数
（スカラー値）

13. 内積
内積とは、各次元の要素同士を掛け合わせてその和を取った
ものである。直行したベクトル同士の内積では0が得られる。
内積の表記方法にはいくつか流儀が有る。以下に内積の表記
と計算方法を示す。
13
𝒂𝒂 � 𝒃𝒃 = 𝒂𝒂, 𝒃𝒃 = 𝒃𝒃, 𝒂𝒂 = 𝒂𝒂 𝒃𝒃 cos 𝜃𝜃 = �
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖
𝒂𝒂
𝒃𝒃
𝜃𝜃
*それぞれのノルムを1に調整した
（正規化）後に内積を取ると、ベ
クトルのある種の相関を取ること
ができる。
𝒂𝒂 cos 𝜃𝜃

14. 内積の実装
ベクトルの内積を行うVBAの実装例を左に示す。
14
Function vector_inner(vect1, vect2)
ans = 0
For i = 0 To UBound(vect1)
ans = ans + vect1(i) * vect2(i)
Next i
vector_inner = ans
End Function
@VBA
2つの引数とも、Array型

15. 外積（クロス積）
外積（クロス積: vector product）とは、2つのベクトルで張る
平方四辺形の面積の大きさを持ち、2つのベクトルに直行した
方向に向くベクトルを求める操作である。外積におけるベク
トルの次元数は3である。外積の定義式を以下に示す。
外積は3Dポリゴンの向きの計算にも使える。
15𝒂𝒂
𝒃𝒃
𝒄𝒄
* 𝒄𝒄は𝒂𝒂と𝒃𝒃の張る平面に直交し
ている。 𝒄𝒄 の向きは右ねじ方向。
*「外積」は多義的なので注意
**高次元に拡張した概念も有る
𝒂𝒂 × 𝒃𝒃 = −𝒃𝒃 × 𝒂𝒂 = 𝒂𝒂, 𝒃𝒃 =
𝑎𝑎2 𝑏𝑏3 − 𝑎𝑎3 𝑏𝑏2
𝑎𝑎3 𝑏𝑏1 − 𝑎𝑎1 𝑏𝑏3
𝑎𝑎1 𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎2 𝑏𝑏1
=
𝒆𝒆1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1
𝒆𝒆2 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2
𝒆𝒆3 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3
* 𝒆𝒆は直行基底ベクトル

16. 外積の実装
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ベクトルの外積を行うVBAの実装例を左に示す。
Function vector_cross(vect1, vect2)
ans = vect1 ' deep copy
ans(0) = vect1(1) * vect2(2) - vect1(2) * vect2(1)
ans(1) = vect1(2) * vect2(0) - vect1(0) * vect2(2)
ans(2) = vect1(0) * vect2(1) - vect1(1) * vect2(0)
vector_cross = ans
End Function
@VBA
2つの引数とも、Array型

17. ノルムの実装
ノルムを内積を使って書き直すと下記のようになる。これを
用いて関数を簡略化できる。VBAにおけるノルムの実装例を
左に示す。
17
𝒙𝒙 𝟐𝟐 = 𝒙𝒙, 𝒙𝒙 = �
𝑖𝑖=1
𝑛𝑛
𝑥𝑥𝑖𝑖
2
Function vector_norm(vect)
v = vector_inner(vect, vect)
vector_norm = v ^ 0.5
End Function
@VBA
Array型

18. 正規化（ノルムを1にする）
単位ベクトルを求める際や、ベクトル同士を比較する際や、
内積で相関を求める際にノルムを1にしたほうが良いことが有
る。ノルムを1にするにはベクトルをそのノルムで割れば良い。
以下に定義式を示す。
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𝒏𝒏 =
𝒂𝒂
𝒂𝒂

19. 正規化の実装
VBAにおけるノルムの正規化の実装例を左に示す。
19
Function vector_normalization(vect)
Length = vector_norm(vect)
vector_normalization = vector_times(vect, 1 / Length)
End Function
@VBA
Array型

20. 練習問題
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21. データ
各設問で用いるデータを以下よりダウンロードせよ。
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https://www.dropbox.com/s/xygbnu1ivwzkow4/city.xlsx?dl=0

22. 問1, 2の設問の背景
〜実際のデータでベクトルを語る〜
例えば、都市の人口や面積，マンションの戸数，駅の数，人
口，大学キャンパスの数などを調べたとする。それらのデー
タを並べたものを以下に示す。ここで、行方向に1レコードの
データが格納されている。
22
この様な1レコードのデータもベクトルとみなすことができる。
ここで、注意してほしいのが各次元の単位の違いである。レコー
ド間の内積を求めればデータの類似性を抽出できるが、分散の小
さな次元は実質的に無視されるためそのままだと類似性の判定能
力が低い。レコード間の比較を行うには各次元で正規化（数量に
対する正規化）を行う必要がある。
都市名 人口[人] 面積[km2] 戸数 駅の数
Kumamoto1 10 20 7 9
Kagoshima 11 20 12 5
Fukuoka 30 40 30 50 *数値はダミーです。

23. 問1 次元毎の正規化
Sheet1のデータに対し、各次元毎に（各列毎に）正規化し、
それを元データの下方に保存するプログラムを実装せよ。こ
こでの正規化とは、各次元毎にN(0, 1)に調整することを指す。
23
平均0.0, 標準偏差1.0

24. 問2 類似データの抽出
Sheet1を正規化したデータを用いて類似データを抽出したい。
元データの4番目に最も似たレコードは元データの何番目か求
めよ。ここで、内積の値が最も大きいものを最類似データと
定義する。
＊各レコードのノルムを1に調整した上で内積を計算せよ。
24

25. 問3 ベクトルの積分
Sheet2にとある物体に関する時刻と速度v(x, y)のデータを示
す。時刻0を基準として、最終的に到達した座標を求めよ。こ
こで、d𝒙𝒙 = 𝒗𝒗d𝑡𝑡である。
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26. その他
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27. 参考文献
SAK Streets - VB 開発言語資料
 http://sak.cool.coocan.jp/w_sak3/doc/sysbrd/sak3vb.htm
 基本的にVB6.0の解説だが、VBAにほぼそのまま適用できる。かなり詳しい。
[1]ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルム,
http://mathtrain.jp/lpnorm
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