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1. 東大入試に学ぶ
"数学的"問題解決能力
講師：永野裕之（永野数学塾塾長）

2. 授業予定
第1回
• 【基礎】：三平方の定理に学ぶ『証明』のイロハ（6/27）
第2回
• 【応用】：視覚化と帰納的アプローチ（7/11）
第3回
• 【実践】：東大の入試問題に挑戦！（7/24）

3. 本日の問題
円周率が3.05より大きいことを証明せよ
［東大 2003年］

4. 本日の予定
1.前回までの復習
2.難問の解き方
3.東大入試問題の解説
4.10のアプローチの紹介
5.アインシュタインの真意

5. 1.前回までの復習
・証明のポイント
仮定から結論への道筋を丁寧に書く。
・証明の切り口を探すには…
ゴールからスタートをさぐる。
【第１回】『三平方の定理に学ぶ証明のイロハ』より

6. ・情報が足りないときは…
視覚化する
・どこから手をつけたら良いか分からないときは…
帰納的にアプローチ（具体的にやってみる）
【第２回】『視覚化と帰納的アプローチ』より

7. 2.難問の解き方
① “そもそも”の最初に戻る
② 困難を分割する

8. なぜ分数の割り算はひっくり返すのか？
タエ子「分数を分数で割るってどういうこと？」
姉「え？」
タエ子「​2/3 個のリンゴを ​1/4 で割るっていうのは、​2/3 個のリンゴを4人で分けると
ひとり何個かってことでしょ？」
姉「ん？うん……」
タエ子「だから（リンゴの絵を描いて考える）1、2、3、4、5、6で1人 ​1/6 個。」
姉「違う違う！それは掛け算！」
タエ子「えーどうして？掛けるのに数が減るの？」
姉「​2/3 個のリンゴを ​1/4 で割るっていうのは…（言葉に窮する）
とにかく！リンゴにこだわるから分かんないのよ！！掛け算はそのまま！
割り算はひっくり返す、って覚えればいいの！」

9. そもそも、分数とはなにか？
1÷ 𝑛=​1/𝑛
一般化すると…

10. 分数のかけ算
面積は…
​1/2 ×​3/4 ［​ 𝑚↑2 ］
​1/8 +​1/8 +​1/8 =​3/8 [​ 𝑚↑2 ]
​
1
/
8
​
1/
8
​
1/
8
つまり… ​1/2 ×​3/4 =​1×3/2×4 =​3/8 ［​ 𝑚↑2 ］
​ 𝑎/𝑏 ×​ 𝑝/𝑞 =​ 𝑎× 𝑝/𝑏× 𝑞
一般化すると…

11. 分数で割るってどういうこと？
𝟏÷​ 𝟏/ 𝟑
の意味
1÷​1/3 =3
1÷​1/𝑛 = 𝑛
つまり…
一般化すると…

12. 分数の基礎
1÷ 𝑛=​1/𝑛
（ⅰ）
（ⅱ）
（ⅲ）
​ 𝑎/𝑏 ×​ 𝑝/𝑞 =​ 𝑎× 𝑝/𝑏× 𝑞
1÷​1/𝑛 = 𝑛

13. ​ 𝟐/ 𝟑 ÷​ 𝟏/ 𝟒 を分解する
​​2/3 ÷​1/4 =​2×1/3×1 ÷​1/4
=​2/3 ×​1/1 ÷​1/4
=​2/3 ×1÷​1/4
=​2/3 ×4
=​​2/3 ×​4/1
（ⅱ）​ 𝑎/𝑏 ×​ 𝑝/𝑞 =​ 𝑎× 𝑝/𝑏× 𝑞
（ⅲ）1÷​1/𝑛 = 𝑛

14. ​ 𝟑/ 𝟓 ÷​ 𝟐/ 𝟕 を分解
する ​​3/5 ÷​2/7 =​3/5 ×1÷(​1/7 ×​2/1 )
=​3/5 ×1÷​1/7 ÷​2/1
=​3/5 ×7÷2
=​3/5 ×7×1÷2
=​3/5 ×7×​1/2
=​​3/5 ×​7/2
（ⅲ）1÷​1/𝑛 = 𝑛
（ⅰ）1÷ 𝑛=​1/𝑛

15. 3.東大入試問題の解説
円周率が3.05より大きいことを証明せよ
［東大 2003年］

16. 補足：A ＜ B の示し方
（１）B−A ＝ … ＞ 0 を示す。
（２）A ＜ C ＜ B を満たすCを見つける。
（３）​ 𝐵/𝐴 ＝ …＞ 1 を示す。(ただしA ＞ 0）

17. でも…
何角形を考えればいいの？

18. 帰納的アプローチ（具体的にやってみる）
問題）
半径１の円に内接する
正４角形の周の長さを
求めなさい。
正4角形(ｎ=4)の場合

19. 補足：有名な無理数の値
√⁠2 =1.41421356…（一夜一夜に人見ごろ）
√⁠3 =1.7320508…（人並みにおごれや）
√⁠5 =2.2360679…（富士山麓オウム鳴く）
𝜋=3.14159265…（産医師異国に向かう）

20. 正6角形(ｎ=6)の場合
問題）
半径１の円に内接する
正6角形の周の長さを
求めなさい。

21. 正12角形(ｎ=12)の場合
この三角形のxを求める

22. ​ 𝑥↑2 =​(1−​√⁠3 /2 )↑2 +​(​1/2 )↑2
=1−√⁠3 +​3/4 +​1/4
=2−√⁠3
𝑥=√⁠2−√⁠3
=√⁠​4−2√⁠3 /2
=√⁠​3−2√⁠3 +1/2
=√⁠​​(√⁠3 −1)↑2 /2
=​√⁠3 −1/√⁠2
=​√⁠6 −√⁠2 /2
=​√⁠2 (√⁠3 −1)/2
△BHAに
三平方の定理を用いて

23. √⁠2 >1.41 と √⁠3 >1.73 を使ってxを近似計算
𝑥=​√⁠2 (√⁠3 −1)/2 >​​1.41×(1.73−1)/2 =​1.41×0.73/2 =0.51465
𝑥>0.51
正12角形の周の長さ L は x の12倍

24. 半径1の円に内接する正12角形を考える。
正12角形の１辺をxとすると、頂角が30°の二等辺三角形を考えることにより、
𝑥=​√⁠2 (√⁠3 −1)/2
ここで√⁠2 >1.41 と √⁠3 >1.73 を使うと
𝑥>0.51
正12角形の周の長さ
L
は
L
=12 𝑥>12×0.51=6.12
また円に内接する正12角形の周の長さ
L
が円周2πよりも短いことは明らか。
よって
6.10< 𝐿<2 𝜋
ゆえに
3.05< 𝜋
(終）
解答例

25. アルキメデスによる円周率の近似
​223/71 < 𝜋 < ​22/7
(3.14084…) ( 3.14285…)
円の内側と外側に接する
2つの正96角形を考えて

26. 4.10のアプローチの紹介
（１）次数を下げる
（２）周期性を見つける
（３）対称性を見つける
（４）逆を考える
（５）和よりも積を考える
（６）相対化する
（７）帰納的に思考実験する
（８）視覚化する
（９）同値変形を意識する
（10）ゴールからスタートをたどる

27. 教育とは、学校で習ったすべてのことを
忘れてしまった後になお残るものをいう。
5.アインシュタインの言葉の真意

28. レポート課題
数学について、定理や公式のすべてを忘れた後に
あなたの中に『なお残るもの』は何ですか？
自由に書いてみてください。