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1. 東大入試に学ぶ
"数学的"問題解決能力
講師：永野裕之（永野数学塾塾長）

2. 授業予定
第1回
• 【基礎】：三平方の定理に学ぶ『証明』のイロハ【本日】
第2回
• 【応用】：視覚化と帰納的アプローチ（7/11）
第3回
• 【実践】：東大の入試問題に挑戦！（7/24）

3. 最終到達点
円周率が3.05より大きいことを証明せよ
［東大 2003年］

4. 教育とは、学校で習ったすべてのことを
忘れてしまった後になお残るものをいう。
（アインシュタイン）

5. なぜ数学を学ぶのか？

6. 論理力とは…
１）他人の言っていることが理解できる力
２）自分の考えを他人に納得させる力

7. 本日の予定
1.仮定と結論
2.証明のポイント
3.証明の切り口の見つけ方
4.三平方の定理
5.エセ証明の嘘を見抜く！

8. 仮定と結論
A B（AならばB）のとき、
A：仮定
B：結論

9. 例１
「△ABCが正三角形ならば∠A=60°である」
の場合
仮定：△ABCが正三角形
結論：∠A＝60°

10. 例２
「ひし形は点対称な図形である」
の場合
仮定：ある図形がひし形である。
結論：その図形は点対称である

11. 注意！
「AならばBである」
が正しくても
「BならばAである（←仮定と結論が逆）」
は正しいとは限りません。

12. 逆が正しくない例
「△ABCが正三角形ならば∠A＝60°」：真
「∠A＝60°ならば△ABCは正三角形」：偽

13. 証明のポイント
（1）仮定、結論をはっきりと明示する
（2）仮定から結論に至る理由を丁寧に書く。
（3）「A⇒B⇒C⇒D…」と「ならば」が重なる時は
どこに繋がる「ならば」なのかを明記する。
（4）読み手の気持ちになって親切に書く

14. 問題
右の図において
AB=CB、
AD=CD
であるとする。
このとき、
∠A＝∠Cである
ことを

15. 証明は苦手。
だって…

16. ヒラメキが必然になる！
「証明」の切り口の見つけ方

18. 例題
𝑎>0、 𝑏>0 の時、
​ 𝑎+ 𝑏/2 ≧√⁠ 𝑎 𝑏
【相加平均・相乗平均の関係】
を証明しなさい。

19. ゴールから
スタートをたどる
​ 𝑎+ 𝑏/2 ≧√⁠ 𝑎 𝑏
ゴール：

20. 三平方の定理（ピタゴラスの定理）
右の図の様な直角三角形ABCにおいて、
​ 𝑎↑2 +​ 𝑏↑2 =​ 𝑐↑2
が成り立つ。

21. 三平方の定理誕生前夜
アテナイの学堂（ラファエロ・サンティ）より
ヘーラー神殿跡（サモス島）

22. 証明（ピタゴラス式）

23. ピタゴラス数秘術
1：理性 2：女性 3：男性
4：正義・真理 5：結婚 6：恋愛と霊魂
7：幸福 8：本質と愛 9：理想と野心
10：神聖な数

24. 「万物の源は数である。」
（ピタゴラス）
「比例こそ、世界の根本原理」
（ダ・ヴィンチ）

25. 証明２（アインシュタイン式）

26. 直感的な証明

27. チョコが
１個増えた？
5.エセ証明の嘘を見抜く！

28. 風が吹くと
桶屋が かる？
①大風で土ぼこりが立つ
↓
②土ぼこりが目に入って盲人が増える
↓
③盲人は三味線を買う（盲人の職に由来）
↓
④ネコが殺される（三味線の猫皮が必要）
↓
⑤ネコが減ればネズミが増える
↓
⑥ネズミは桶をかじる
↓
⑦桶の需要が増え桶屋が かる

29. 本日の課題
右の「証明」には
１箇所誤りがあります。
それは①∼⑥のうち
どれでしょうか？
（理由もお願いします）