東大入試に学ぶ、”数学的”問題解決授業後公開資料

東大入試に学ぶ
"数学的"問題解決能力
講師：永野裕之（永野数学塾塾長）

授業予定
第1回
• 【基礎】：三平方の定理に学ぶ『証明』のイロハ【本日】
第2回
• 【応用】：視覚化と帰納的アプローチ（7/11）
第3回
• 【実践】：東大の入試問題に挑戦！（7/24）

最終到達点
円周率が3.05より大きいことを証明せよ
［東大 2003年］

教育とは、学校で習ったすべてのことを
忘れてしまった後になお残るものをいう。
（アインシュタイン）

なぜ数学を学ぶのか？
⇒ 論理力を育むため

論理力とは…
１）他人の言っていることが理解できる力
２）自分の考えを他人に納得させる力
本日のテーマ
「証明」

本日の予定
1.仮定と結論
2.証明のポイント
3.証明の切り口の見つけ方
4.三平方の定理
5.エセ証明の嘘を見抜く！

1.仮定と結論
A⇒B（AならばB）のとき、
A：仮定
B：結論

例１
「△ABCが正三角形ならば∠A=60°である」
の場合
仮定：△ABCが正三角形
結論：∠A＝60°

例２
「ひし形は点対称な図形である」
の場合
仮定：ある図形がひし形である。
結論：その図形は点対称である。

注意！
「AならばBである」
が正しくても
「BならばAである（←仮定と結論が逆）」
は正しいとは限りません。

逆が正しくない例
「△ABCが正三角形ならば∠A＝60°」：真
「∠A＝60°ならば△ABCは正三角形」：偽

2.証明のポイント
（1）仮定、結論をはっきりと明示する
（2）仮定から結論に至る理由を丁寧に書く。
（3）「A⇒B⇒C⇒D…」と「ならば」が重なる時は
どこに繋がる「ならば」なのかを明記する。
（4）読み手の気持ちになって親切に書く

問題
右の図において
AB=CB、AD=CD
であるとする。
このとき、
∠A＝∠Cである
ことを
証明しなさい。

ヒント
三角形の合同条件

・どう始めたらいいか分からない…
・自分にはヒラメキがない…
証明は苦手。
だって…

3.「証明」の切り口の見つけ方
ゴールからスタートをたどる
⇒ヒラメキが必然になる

ゴールから
スタートをたどる
ゴール：

ゴールから
スタートをたどる
(つづき）

4.三平方の定理（ピタゴラスの定理）

三平方の定理誕生前夜
アテナイの学堂（ラファエロ・サンティ）より
ヘーラー神殿跡（サモス島）

証明（ピタゴラス式）

ピタゴラス数秘術
1：理性 2：女性 3：男性
4：正義・真理 5：結婚 6：恋愛と霊魂
7：幸福 8：本質と愛 9：理想と野心
10：神聖な数
2＋3＝5→「女性＋男性＝結婚」
2×3＝6→「女性×男性＝恋愛」
2＋5＝7→「女性＋結婚＝幸福」
3×3＝9→「男性×男性＝野心」

「万物の源は数である。」
（ピタゴラス）
「比例こそ、世界の根本原理」
（ダ・ヴィンチ）

証明２（アインシュタイン式）

チョコが
１個増えた？
5.エセ証明の嘘を見抜く！

風が吹くと
桶屋が儲かる？
①大風で土ぼこりが立つ
↓
②土ぼこりが目に入って盲人が増える
↓
③盲人は三味線を買う（盲人の職に由来）
↓
④ネコが殺される（三味線の猫皮が必要）
↓
⑤ネコが減ればネズミが増える
↓
⑥ネズミは桶をかじる
↓
⑦桶の需要が増え桶屋が儲かる

本日の課題
右の「証明」には
１箇所誤りがあります。
それは①～⑥のうち
どれでしょうか？
（理由もお願いします）

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