الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdf

1
‫الشعبية‬ ‫اطية‬‫ر‬‫الديمق‬
‫ائرية‬‫ز‬‫الج‬ ‫الجمهورية‬
‫ي‬
‫العلم‬ ‫والبحث‬ ‫ي‬
‫العال‬ ‫التعليم‬ ‫ارة‬‫ز‬‫و‬
‫ات‬ ‫ر‬
‫محاض‬
‫الميكانيك‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
‫نادية‬ ‫حليمة‬ ‫بن‬ ‫األستاذة‬ ‫اعداد‬ ‫من‬
‫العليا‬ ‫المدرسة‬ ‫لطلبة‬ ‫موجه‬ ‫الدرس‬ ‫هذا‬
–
‫سعيدة‬
‫ثانوي‬ ‫تعليم‬ ‫وأستاذ‬ ‫متوسط‬ ‫تعليم‬ ‫أستاذ‬
2023
-
2024

2
‫الفهرس‬
‫ي‬
‫رياض‬ ‫ر‬
‫تذكي‬ : ‫األول‬ ‫الفصل‬
1
( ‫المشتقات‬.
Derivatives
)
1.1
‫واحد‬ ‫ر‬
‫متغي‬ ‫ذات‬ ‫دالة‬ ‫اشتقاق‬.
2.1
‫ات‬ ‫ر‬
‫المتغي‬ ‫متعددة‬ ‫دالة‬ ‫اشتقاق‬.
3.1
( ‫الجزئية‬ ‫المشتقات‬ .
Partial derivatives
)
4.1
‫ي‬
‫الكل‬ ‫التفاضل‬ .
Physics and Measurements : ‫والقياسات‬ ‫ياء‬ ‫ر‬
‫الفي‬ 2
.
1.2
.
‫المشتقة‬ ‫يائية‬ ‫ر‬
‫الفي‬ ‫الكميات‬
2.2
.
‫والمضاعفات‬ ‫اء‬‫ز‬‫األج‬
3.2
‫االبعاد‬ ‫معادالت‬ .
3
‫االرتيابات‬.
1.3
:‫النظامية‬ ‫األخطاء‬.
Systematic error (Non - random)
2.3
:‫العشوائية‬ ‫الخطاء‬.
Random error
3.3
‫المطلق‬ ‫واالرتياب‬ ‫المطلق‬ ‫الخطأ‬.
4
‫االشعة‬ .
1.4
‫السلمية‬‫المقادير‬ .
Scalar
2.4
‫الشعاعية‬‫المقادير‬ .
Vector
3.4
:‫االشعة‬ ‫عل‬ ‫العمليات‬.
Vector Operations
4.4
‫للشعاع‬ ‫التحليلية‬ ‫الكتابة‬.
5.4
‫ي‬
‫السلم‬ ‫والجذاء‬ ‫ي‬
‫الشعاع‬ ‫الجذاء‬.
4
6.
‫شعاع‬ ‫اشتقاق‬.
7.4
‫الموجهة‬ ‫التمام‬ ‫جيوب‬.
4
.
8
.
‫التفاضلية‬ ‫ات‬‫ر‬‫المؤث‬
5
‫ف‬ ‫ة‬ ‫ر‬
‫الشهي‬ ‫اإلحداثيات‬ .
1.5
: ‫ىة‬ ‫ر‬
‫الكارتي‬ ‫اإلحداثيات‬.
Cartesian coordinates
2.5
: ‫القطبية‬ ‫اإلحداثيات‬.
Polar Coordinates
3.5
: ‫األسطوانية‬ ‫اإلحداثيات‬ .
Cylindrical Coordinates
4.5
: ‫الكروية‬ ‫اإلحداثيات‬.
Spherical Coordinates
6
‫العنرصي‬ ‫الحجم‬ ،‫العنرصية‬ ‫المساحة‬ ،‫العنرصي‬ ‫الطول‬ .
6
1.
‫ية‬ ‫ر‬
‫الكارتي‬ ‫اإلحداثيات‬ .
6
2.
‫القطبية‬ ‫اإلحداثيات‬ .
6
3.
‫األسطوانية‬ ‫اإلحداثيات‬ .
6
4.
‫الكروية‬ ‫اإلحداثيات‬ .
7
‫التدرج‬‫مؤثر‬ .
𝛻
⃗
‫ة‬ ‫ر‬
‫الشهي‬ ‫االحداثيات‬ ‫ي‬
‫ف‬
8
‫األول‬ ‫الفصل‬ ‫تمارين‬ .

3
‫األول‬ ‫الفصل‬
–
‫رياضية‬ ‫اجعة‬‫ر‬‫م‬

4
1.I
( ‫المشتقات‬.
Derivatives
)
:‫مثل‬ ‫عامة‬ ‫القواعد‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫خالل‬ ‫من‬ )‫(األساسية‬ ‫العادية‬ ‫المشتقات‬ ‫حساب‬ ‫يتم‬
:‫الجمع‬ ‫قاعدة‬
𝑑
𝑑𝑡
(𝑓(𝑡) + 𝑔(𝑡)) =
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
+
𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
:‫ثابت‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫الض‬ ‫قاعدة‬
𝑑
𝑑𝑡
(𝜆𝑓(𝑡)) = 𝜆
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
:‫الجذاء‬ ‫قاعدة‬
𝑑
𝑑𝑡
(𝑓(𝑡).𝑔(𝑡)) =
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
𝑔(𝑡) + 𝑓(𝑡)
𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
:‫القسمة‬ ‫قاعدة‬
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑓(𝑡)
𝑔(𝑡)
) =
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
𝑔(𝑡) −
𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
𝑓(𝑡)
𝑔2(𝑡)
1.1
‫واحد‬ ‫ر‬
‫متغي‬ ‫ذات‬ ‫دالة‬ ‫اشتقاق‬.
‫فقط‬ ‫واحد‬ ‫ر‬
‫بمتغي‬ ‫متعلقة‬ ‫دوال‬ ‫ي‬
‫ه‬
𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 2𝑥 + 3
𝑓(𝑡) =
1
2
𝑡2
+ 𝑡
𝑓(𝑟) = 𝑒𝑟2
‫مثال‬
:‫االتية‬ ‫الواحد‬ ‫ر‬
‫المتغي‬ ‫ذات‬ ‫الدوال‬ ‫مشتقات‬ ‫احسب‬
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
− 7𝑥 + 9 2) 𝑓(𝑦) = 3𝑦2
− 4𝑦 − 5 3) 𝑓(𝑧) = 3 − 4𝑧
4)𝑓(𝑡) =
1
4
𝑡2 + 4𝑡 + 3 5) 𝑓(𝑥) = 5𝑒2𝑥+2 6) 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠𝑥
7) 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 8) 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑥2
9) 𝑓(𝑡) = 5𝑒𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡

5
10) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 11) 𝑓(𝑥) = 2𝑙𝑛(𝑥2
+ 5𝑥) 12) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥2
13) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝑥
‫الحل‬
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 7𝑥 + 9 → 𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 7
2) 𝑓(𝑦) = 3𝑦2
− 4𝑦 − 5 → 𝑓′(𝑦) = 6𝑦 − 4
3) 𝑓(𝑧) = 3– 4𝑧 → 𝑓′(𝑧) =–4
4) 𝑓(𝑡) =
1
4
𝑡²
+ 4𝑡 + 3 → 𝑓′(𝑡) =
1
2
𝑡²
+ 4
5) 𝑓(𝑥) = 5𝑒2𝑥+2 → 𝑓′(𝑥) = 10𝑒2𝑥+2
6) 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑓′(𝑥) = −3𝑠𝑖𝑛𝑥
7) 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 → 𝑓′(𝑥) = 6𝑐𝑜𝑠2𝑥
8) 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑥2 → 𝑓′(𝑥) = −3(𝑠𝑖𝑛𝑥2)′𝑠𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛𝑥2 = −3(2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥2)𝑠𝑖𝑛𝑠𝑖𝑛𝑥2
9) 𝑓(𝑡) = 5𝑒𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 → 𝑓′(𝑥) = 5(𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡)′𝑒𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 = −5(𝜔𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡)𝑒𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
10) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 → 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
11) 𝑓(𝑥) = 2𝑙𝑛(𝑥2
+ 5𝑥) → 𝑓′(𝑥) = 2
2𝑥+5
𝑥2+5𝑥
12) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥2
→ 𝑓′(𝑥) =
(𝑐𝑜𝑠𝑥2)
′
𝑐𝑜𝑠𝑥2 =
−2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥2
𝑐𝑜𝑠𝑥2 = −2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥2
13) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝑥 =
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
→ 𝑓′(𝑥) = (
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
)
′
=
𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥−(−𝑠𝑖𝑛𝑥).𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
2.1.I
‫ات‬ ‫ر‬
‫المتغي‬ ‫متعددة‬ ‫دالة‬ ‫اشتقاق‬.
‫مثال‬ ‫ات‬ ‫ر‬
‫المتغي‬ ‫متعددة‬ ‫متعلقة‬ ‫دالة‬ ‫ي‬
‫ه‬
:
𝑓(𝑥,𝑦) = 5𝑥2
𝑦 + 2𝑥𝑦2
+ 𝑦
3.1.I
( ‫الجزئية‬ ‫المشتقات‬ .
Partial derivatives
)
‫الدالة‬ ‫لتكن‬
‫ات‬ ‫ر‬
‫المتغي‬ ‫ذات‬
𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 5𝑥2
𝑦 + 2𝑥𝑦2
+ 𝑧
‫ثابتة‬ ‫ات‬ ‫ر‬
‫المتغي‬ ‫ي‬
‫باف‬ ‫بفرض‬ ‫ر‬
‫متغي‬ ‫لكل‬ ‫بالنسبة‬ ‫الجزئية‬ ‫المشتقات‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬

6
𝑓(𝑥, 𝑦,𝑧) = 5𝑥2
𝑦 + 2𝑥𝑦2
+ 𝑧 →
{
𝜕𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
𝜕𝑥
)
𝑦,𝑧=𝑐𝑡𝑒
= 5(2𝑥)𝑦 + 2(1)𝑦2
+ 0
𝜕𝑓(𝑥,𝑦, 𝑧)
𝜕𝑦
)
𝑥,𝑧=𝑐𝑡𝑒
= 5𝑥2(1) + 2𝑥(2𝑦) + 0
𝜕𝑧
)
𝑥,𝑦=𝑐𝑡𝑒
= 0 + 0 + 1
:‫االتية‬ ‫للدوال‬ ‫الجزئية‬ ‫المشتقات‬ ‫احسب‬
2
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑙𝑛 (𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)
1
2) 1
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2
𝑒𝑥𝑦
4
-
𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑥2
𝑦2
𝑧
1
2 3
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦
6
-
𝑓(𝑥,𝑦) =
𝑥+𝑦
1+𝑥2𝑦
5
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥𝑦) + 𝑦
7
-
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦
+ 𝑙𝑛
𝑥
𝑦
‫الحل‬
1
-
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑒𝑥𝑦 →
{
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦𝑒𝑥𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 𝑥2𝑥𝑒𝑥𝑦
2
-
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑙𝑛 (𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)
1
2) →
{
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
=
1 +
1
2
(2𝑥)(𝑥2 + 𝑦2)
1
2
−1
𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)
1
2
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
=
1
2
(2𝑦)(𝑥2
+ 𝑦2)
1
2
−1
𝑥 + (𝑥2 + 𝑦2)
1
2
3
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦 →
{
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
= 2𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= −2𝑠𝑖𝑛2𝑦
4
-

7
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦2𝑧
1
2 →
{
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦2
𝑧
1
2
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
= 𝑥2
2𝑦𝑧
1
2
𝜕𝑧
= 𝑥2𝑦2
1
2
𝑧
1
2
−1
5
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑡𝑎𝑛(𝑥𝑦) + 𝑦 =
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦
+ 𝑦 →
{
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
=
𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦.𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 − (−𝑦𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦)𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦
𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑦
=
𝑦
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
=
𝑥
+ 1
6
-
𝑓(𝑥,𝑦) =
𝑥 + 𝑦
1 + 𝑥2𝑦
→
{
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
=
(1 + 𝑥2
𝑦) − 2𝑥𝑦
(1 + 𝑥2𝑦)2
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
=
(1 + 𝑥2𝑦) − 𝑥2
(1 + 𝑥2𝑦)2
7
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑒𝑥+𝑦 + 𝑙𝑛
𝑥
𝑦
→
{
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥+𝑦
+
1
𝑦
𝑥
𝑦
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
= 𝑒𝑥+𝑦 −
𝑥
𝑦2
𝑥
𝑦
4.1.I
‫ي‬
‫الكل‬ ‫التفاضل‬ .
𝑑𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) =
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑦
)
𝑑𝑦 +
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦,𝑧)
𝜕𝑧
)
𝑑𝑧
‫مثال‬
𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 5𝑥2
𝑦 + 2𝑥𝑦2
+ 𝑧
→
{
𝜕𝑥
)
= 5(2𝑥)𝑦 + 2(1)𝑦2
+ 0 =
𝜕𝑦
)
= 5𝑥2(1) + 2𝑥(2𝑦) + 0
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑧
)
= 0 + 0 + 1

8
{
𝜕𝑥
)
= 10𝑥𝑦 + 2𝑦2
𝜕𝑦
)
= 5𝑥2 + 4𝑥𝑦
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑧
)
= 1
𝑑𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = (10𝑥𝑦 + 2𝑦2)𝑑𝑥 + (5𝑥2 + 4𝑥𝑦)𝑑𝑦 + (1)𝑑𝑧
‫الثانية‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المشتقات‬ ‫احسب‬
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
‫و‬
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
،
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
،
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
: ‫االتية‬ ‫للدوال‬
3
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦 2
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2𝑒𝑥𝑦 1
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥3 − 5𝑥𝑦 + 𝑦2
‫الحل‬
1
-
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3
− 5𝑥𝑦 + 𝑦2(𝑥,𝑦) = 𝑥3
− 5𝑥𝑦 + 𝑦2
{
𝜕2𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕(𝑥3 − 5𝑥𝑦 + 𝑦2)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑥
[3𝑥2
− 5𝑦] = 6𝑥
𝜕2𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕(𝑥3 − 5𝑥𝑦 + 𝑦2)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑦
[−5𝑥 + 2𝑦] = 2
𝜕2𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕(𝑥3 − 5𝑥𝑦 + 𝑦2)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑦
[3𝑥2
− 5𝑦] = −5
𝜕2𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕(𝑥3 − 5𝑥𝑦 + 𝑦2)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑥
[−5𝑥 + 2𝑦] = −5
2
-
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑒𝑥𝑦
{
𝜕2𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕(𝑥2𝑒𝑥𝑦)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑥
[2𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦𝑒𝑥𝑦] = 2𝑒𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦 + 2𝑥𝑦𝑒𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦2𝑒𝑥𝑦
𝜕2
𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕(𝑥2
𝑒𝑥𝑦)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑦
[𝑥3
𝑒𝑥𝑦] = 𝑥4
𝑒𝑥𝑦
𝜕2𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕(𝑥2𝑒𝑥𝑦)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑦
[2𝑥𝑒𝑥𝑦 + 𝑥2𝑦𝑒𝑥𝑦] = 2𝑥2𝑒𝑥𝑦 + 𝑥2𝑒𝑥𝑦 + 𝑥3𝑦𝑒𝑥𝑦
𝜕2
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕(𝑥2
𝑒𝑥𝑦)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑥
[𝑥3
𝑒𝑥𝑦] = 3𝑥2
𝑒𝑥𝑦
+ 𝑥3
𝑦𝑒𝑥𝑦
3
-
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦

9
{
𝜕2
𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑥
[2𝑐𝑜𝑠2𝑥] = −4𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝜕2
𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑦
[−2𝑠𝑖𝑛2𝑦] = −4𝑐𝑜𝑠2𝑦
𝜕2
𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑦
[
𝜕𝑥
] =
𝜕
𝜕𝑦
[2𝑐𝑜𝑠2𝑥] = 0
𝜕2
𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑥
[
𝜕𝑦
] =
𝜕
𝜕𝑥
[−2𝑠𝑖𝑛2𝑦] = 0
Physics and Measurements : ‫والقياسات‬ ‫ياء‬ ‫ر‬
‫الفي‬ 2
. .I
‫خالل‬ ‫من‬ ‫تحديدها‬ ‫يتم‬ ‫ي‬
‫الت‬ ‫يائية‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬ ‫الكميات‬ ‫قياسها‬ ‫يتم‬ ‫ي‬
‫الت‬ ‫األشياء‬ ‫تسىم‬ .‫القياس‬ ‫علم‬ ‫ي‬
‫ه‬ ‫ياء‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬
‫الميكانيكا‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫أساسية‬ ‫كميات‬‫ثالث‬ ‫هناك‬ .‫قياسها‬ ‫كيفية‬‫وصف‬
:
‫زمن‬ ‫خالل‬ ‫الضوء‬ ‫يقطعها‬ ‫ي‬
‫الت‬ ‫المسافة‬ ‫ي‬
‫وه‬ ،‫المي‬ ‫ي‬
‫ه‬ ‫للوحدات‬ ‫ي‬
‫الدول‬ ‫النظام‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الطول‬ ‫وحدة‬ :‫الطول‬
‫قدره‬
1/299792458
‫ثانية‬
.
‫كتلة‬‫أنها‬ ‫عىل‬ ‫تعريفها‬ ‫يتم‬ ‫ي‬
‫والت‬ ،‫ام‬‫ر‬‫الكيلوج‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الكتلة‬ ‫وحدة‬ :‫الكتلة‬
‫واإليريديوم‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫البالتي‬ ‫سبائك‬ ‫من‬ ‫محددة‬ ‫أسطوانة‬
.
‫لحصول‬ ‫الالزم‬ ‫الوقت‬‫وهو‬ ،‫الثانية‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الزمن‬ ‫(وحدة‬ ‫الوقت‬
9192631770
‫يوم‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫السي‬ ‫لذرة‬ ‫از‬‫ر‬
‫اهي‬
133
)
.
‫ي‬
‫ه‬ ‫أساسية‬ ‫كميات‬‫باعتبارها‬ ‫يائية‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫في‬ ‫كميات‬‫سبع‬ ‫والمقاييس‬ ‫ان‬‫ز‬‫لألو‬ ‫العالمية‬ ‫اللجنة‬ ‫اعتمدت‬
،‫الطول‬
،‫ارة‬‫ر‬‫الح‬ ‫درجة‬ ، ‫ي‬
‫الكهربائ‬‫التيار‬ ،‫الزمن‬ ،‫الكتلة‬
‫الضوء‬ ‫وشدة‬ ‫المادة‬ ‫كمية‬
.
‫واألبعاد‬ ،‫للوحدات‬ ‫ي‬
‫العالىم‬ ‫النظام‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫ووحداتها‬ ،‫األساسية‬ ‫السبعة‬‫المقادير‬ ‫أسفله‬ ‫الجدول‬ ‫يلخص‬
.‫لها‬ ‫الموافقة‬
( ‫االبعاد‬
Dimensions
) ) Symbol
‫الرمز‬
( ( ‫اسم‬
Name
) ‫المقدار‬
(
Quantity
)
L m ( ‫ر‬
‫المي‬
meter
) ( ‫الطول‬
Length
)
M kg ‫ام‬‫ر‬‫الكيلوغ‬
(
kilogram
)
( ‫الكتلة‬
Mass
)
T s ( ‫الثانية‬
second
) ( ‫الزمن‬
Time
)
θ K ( ‫الكلفن‬
kelvin
) ( ‫ارة‬‫ر‬‫الح‬ ‫درجة‬
Temperature
)
I A ( ‫ر‬
‫االمبي‬
ampere
) ( ‫ي‬
‫الكهربائ‬‫التيار‬
Electric current
)
N mol (‫المول‬
mole
) ( ‫الجزيئات‬ ‫عدد‬
Number of
particles
)
J cd (‫الكانديال‬
candela
) ( ‫ضوئية‬ ‫شدة‬
Luminous
intensity
)

10
( ‫ي‬
‫الدول‬ ‫النظام‬
International System – IS
‫العالم‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫استعماال‬ ‫ر‬
‫األكي‬ ‫النظام‬‫هو‬ )
1.2
.
‫المشتقة‬ ‫يائية‬ ‫ر‬
‫الفي‬ ‫الكميات‬
‫والضغط‬ ‫والقوة‬ ‫ع‬
‫والتسار‬ ‫والرسعة‬ ‫الكثافة‬ ‫مثال‬ ‫األساسية‬ ‫الكميات‬ ‫من‬ ‫اشتقاقها‬ ‫يتم‬ ‫كميات‬ ‫ي‬
‫ه‬
.‫ها‬ ‫ر‬
‫وغي‬ ‫والطاقة‬ ‫والمساحة‬
:‫الكثافة‬
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑦(𝜌)
𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡𝑦(𝜌) =
𝑚𝑎𝑠𝑠
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
=
𝑚
𝑉
:‫الرسعة‬
𝑆𝑝𝑒𝑒𝑑(𝑣)
𝑆𝑝𝑒𝑒𝑑(𝑣) =
𝑙𝑖𝑛𝑔𝑡ℎ
𝑇𝑖𝑚𝑒
=
𝑙
𝑡
:‫ع‬
‫التسار‬
𝐴𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑎)
𝐴𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛(𝑎) =
𝑠𝑝𝑒𝑒𝑑
𝑇𝑖𝑚𝑒
=
𝑣
𝑡
:‫القوة‬
𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒(𝐹)
𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒(𝐹) = 𝑚𝑎𝑠𝑠 × 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑚𝑎𝑠𝑠 ×
𝑇𝑖𝑚𝑒
:‫الضغط‬
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒(𝑃)
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠𝑢𝑟𝑒(𝑃) =
𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒
𝑎𝑟𝑒𝑎
= 𝑚𝑎𝑠𝑠 ×
𝑇𝑖𝑚𝑒
×
1
𝑙𝑖𝑛𝑔𝑡ℎ × 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑡ℎ
𝐴𝑟𝑒𝑎(𝐴) = 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑡ℎ × 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑡ℎ
2.2
.
‫والمضاعفات‬ ‫اء‬‫ز‬‫األج‬
‫للقياسات‬ ‫بالنسبة‬
‫جدا‬ ‫ة‬ ‫ر‬
‫الكبي‬
(
1
000
000
000
m
( ‫جدا‬ ‫ة‬ ‫ر‬
‫الصغي‬‫او‬ )
0.000
00
0
001m
‫تم‬ )
‫والمضاعفات‬ ‫اء‬‫ز‬‫األج‬ ‫نظام‬ ‫استعمال‬
‫المعامل‬
Prefix Name ‫االسم‬ Abbreviation ‫االختصار‬
10-18
atto a
10-15
femto f
10-12
pico p
10-9
nano n
10-6
micro μ
10-3 milli m
10-2 centi c
10-1
deci d
101
deca da

11
102
hecto h
103
Kilo k
106
mega M
109
giga G
1012
tera T
1015
peta P
1018
exa E
3.2
‫االبعاد‬ ‫معادالت‬ .
‫مقدار‬ ‫أي‬‫مقدار‬ ‫بعد‬
G
‫ب‬ ‫المقدار‬ ‫هذا‬ ‫لبعد‬‫ويرمز‬ ‫المقدار‬ ‫لهذا‬ ‫يائية‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬ ‫الطبيعة‬‫هو‬
[
G
]
‫ي‬
‫يائ‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬ ‫المقدار‬ ‫كان‬‫إذا‬ ‫مثال‬
G
‫نكتب‬ ‫فأننا‬ ‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫هو‬
L= [G]
‫العالقة‬
L = [G]
‫للمقدار‬ ‫ي‬
‫يائ‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬ ‫البعد‬ ‫تمثل‬
G
‫يساوي‬ ‫األرقام‬ ‫بعد‬
1
{
[
1
2
] = 1
[3.14] = 1
‫يساوي‬ ‫بعده‬ ‫لكن‬ ‫وحدة‬ ‫لديه‬ ‫مقدار‬ ‫لذينا‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
1
‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫مثال‬
(‫اديان‬‫ر‬‫ال‬ ‫وحدتها‬
rad
‫لكن‬ )
‫يساوي‬ ‫بعدها‬
1
𝛼 =
𝑙
^
𝑅
→ [𝛼] =
[𝑙
^]
[𝑅]
=
𝐿
𝐿
= 1
‫اوية‬‫ز‬ ‫أي‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعت‬
.‫الواحد‬ ‫يساوي‬ ‫بعدها‬ ‫وحدتها‬ ‫كانت‬‫مهما‬
:‫مثال‬
( ‫المساحة‬
Area
)
{
𝐴 = 𝑙. 𝑙 = 𝑙2
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠
𝑆𝐼𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠: 𝑚2
→ [𝐴] = [𝑙]2 = 𝐿2
( ‫الحجم‬
Volume
)

12
{
𝑉 = 𝐴𝑙 = 𝑙3
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 → [𝑉] = [𝑙]3
= 𝐿3
𝑆𝐼𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠: 𝑚3
‫البعدي‬ ‫التحليل‬ ‫ر‬
‫قواني‬
‫رياضي‬ ‫لمعادلة‬ ‫البعدي‬ ‫التحليل‬‫إلنجاز‬
.‫ببعده‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫مقدار‬ ‫كل‬‫نعوض‬ ،‫ة‬
)‫البعد‬ ‫(نفس‬ ‫ع‬
‫النو‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫كانت‬‫إذا‬ ‫اال‬ ‫يائية‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬‫المقادير‬ ‫طرح‬ ‫او‬ ‫جمع‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬
‫االبعاد‬ ‫معادلة‬ ‫عل‬ ‫امثلة‬
( ‫الرسعة‬
Speed
)
{
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 → [𝑣] =
[𝑑𝑥]
[𝑑𝑡]
=
𝐿
𝑇
= 𝐿𝑇−1
𝑆𝐼𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠:
𝑚
𝑠
( ‫ع‬
‫التسار‬
Acceleration
)
{
𝑎 =
𝑑2
𝑥
𝑑𝑡2
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 → [𝑎] =
[𝑑𝑣]
[𝑑𝑡]
=
𝐿𝑇−1
𝑇
= 𝐿𝑇−1𝑇−1 = 𝐿𝑇−2
𝑚
𝑠2
( ‫القوة‬
Force
)
{
𝐹 = 𝑚𝑔
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 → [𝐹] = [𝑚][𝑔] = 𝑀𝐿𝑇−2
𝑆𝐼𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠: 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛(𝑁)
( ‫الضغط‬
Pressure (or stress)
)
{
𝑃 =
𝐹
𝐴
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 → [𝑃] =
[𝐹]
[𝐴]
=
𝑀𝐿𝑇−2
𝐿2
= 𝑀𝐿𝑇−2
𝐿−2
= 𝑀𝐿−1
𝑇−2
𝑆𝐼𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠: 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙(𝑃𝑎)
( ‫العمل‬‫أو‬ ‫الطاقة‬
Energie or work
)
{
𝑊 = 𝐹𝑙
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 → [𝑊] = [𝐹][𝑙] = 𝑀𝐿𝑇−2𝐿 = 𝑀𝐿2𝑇−2
𝑆𝐼𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠: 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒(𝐽)
( ‫الكثافة‬
Density
)

13
{
𝜌 =
𝑚
𝑉
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 → [𝜌] =
[𝑚]
[𝑉]
=
𝑀
𝐿3
= 𝑀𝐿−3
𝑚
𝑘𝑔
‫كية‬
‫الحر‬ ‫الطاقة‬
{
𝐸𝑘 =
1
2
𝑚𝑣2
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 → [𝐸𝑘] = [
1
2
] [𝑚][𝑣]2 = 𝑀(𝐿𝑇−1)2 = 𝑀𝐿2𝑇−2
𝑆𝐼𝑢𝑛𝑖𝑡𝑠: 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒(𝐽)
‫البعدي‬ ‫التحليل‬ ‫استعمال‬
‫ب‬ ‫االبعاد‬ ‫بتطبيق‬ ‫وذلك‬ ،‫يائية‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫القواني‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫بتأكد‬ ‫البعدي‬ ‫التحليل‬ ‫يسمح‬
،‫المعادلة‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫طرف‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫ي‬
‫هذه‬ ‫عند‬ ،‫للمعادلة‬‫األيرس‬ ‫الطرف‬ ‫البعد‬ ‫يساوي‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫للمعادلة‬ ‫األيمن‬ ‫الطرف‬ ‫بعد‬ ‫بحيث‬
‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫بأن‬ ‫نقول‬ ‫فقط‬ ‫الحالة‬.
‫خاطئة‬ ‫متجانسة‬ ‫ر‬
‫غي‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬‫بينما‬ .‫صحيحة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫متجانسة‬ ‫معادلة‬ ‫وكل‬.
‫امثلة‬:
‫كة‬
‫للحر‬ ‫الزمنية‬ ‫المعادلة‬
‫ي‬
‫ه‬ ‫المنتظمة‬ ‫المستقيمة‬ :
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2
[𝑥] = [𝑥0] + [𝑣0][𝑡] + [
1
2
] [𝑎][𝑡]2
{
[𝑥] = 𝐿
[𝑥0] = 𝐿
[𝑣0] =
[𝑙]
[𝑡]
=
𝐿
𝑇
= 𝐿𝑇−1
[𝑡] = 𝑇
𝑎 =
𝑣
𝑡
=
𝑥
𝑡
.
1
𝑡
=
𝑥
𝑡2
→ [𝑎] =
[𝑥]
[𝑡]2
=
𝐿
𝑇2
= 𝐿𝑇−2
[𝑡]2 = 𝑇2
𝐿 = 𝐿 + (𝐿𝑇−1)(𝑇) + (1)(𝐿𝑇−2)(𝑇2)
𝐿 = 𝐿 + 𝐿 + 𝐿
𝐿 = 𝐿
‫هذه‬ ‫اذن‬ ‫للمعادلة‬ ‫االيرس‬ ‫الطرف‬ ‫يساوي‬ ‫للمعادلة‬ ‫األيمن‬ ‫الطرف‬
‫متجانسة‬ ‫المعادلة‬
:‫األتية‬ ‫المعادلة‬ ‫تجانس‬ ‫من‬ ‫تأكد‬
𝑥 = 𝑎𝑡

14
[𝑥] = [𝑎][𝑡]
𝐿 = (𝐿𝑇−2)(𝑇)
𝐿 ≠ 𝐿𝑇−3
)‫خاطئة‬ ‫معادلة‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫(يعت‬ ‫متجانسة‬ ‫ر‬
‫غي‬ ‫ي‬
‫ه‬ ‫اذن‬ ‫للمعادلة‬ ‫االيرس‬ ‫الطرف‬ ‫يساوي‬ ‫ال‬ ‫للمعادلة‬ ‫األيمن‬ ‫الطرف‬
‫األسس‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬ ‫البعدي‬ ‫التحليل‬ ‫طريق‬ ‫عن‬
‫مادية‬ ‫لنقطة‬ ‫ع‬
‫تسار‬ ‫مثال‬
a
‫عىل‬ ‫تتحرك‬
‫قطره‬ ‫نصف‬ ‫دائري‬ ‫مسار‬
r
‫تابثة‬ ‫برسعة‬
v
𝑎 = 𝑘𝑟𝑥
𝑣𝑦
{
[𝑎] = 𝐿𝑇−2
[𝑟] = 𝐿
[𝑣] = 𝐿𝑇−1
[𝑘] = 1
𝐿𝑇−2 = 1(𝐿)𝑥(𝐿𝑇−1)𝑦
𝐿𝑇−2 = (𝐿)𝑥(𝐿)𝑦(𝑇−1)𝑦
𝐿𝑇−2
= 𝐿𝑇−2
= (𝐿)𝑥+𝑦(𝑇−1)𝑦
𝐿𝑇−2 = (𝐿)𝑥+𝑦(𝑇−𝑦)
𝐿1𝑇−2 = (𝐿)𝑥+𝑦(𝑇−𝑦)
{
1 = 𝑥 + 𝑦 → 1 = 𝑥 + 2 → 𝑥 = −1
−2 = −𝑦 → 𝑦 = 2
{
𝑥 = −1
𝑦 = 2
𝑎 = 1𝑟−1𝑣2
𝑎 =
1
𝑟
𝑣2
𝑎 =
𝑣2
𝑟
‫مثال‬
:‫االتية‬ ‫يائية‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬‫المقادير‬ ‫ابعاد‬ ‫اوجد‬
1
/
‫للجاذبية‬ ‫العام‬ ‫ثابت‬
G
‫العام‬ ‫الجذب‬ ‫قوة‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الوارد‬
𝐹 = 𝐺
𝑚𝑀
𝑟2
‫حيث‬
M
‫و‬
m
‫و‬ ‫كتلتان‬
d
.‫المسافة‬
𝐹 = 𝐺
𝑚𝑀
𝑟2
→ 𝐺 =
𝐹𝑟2
𝑚𝑀
→ [𝐺] =
[𝐹][𝑟]2
[𝑚][𝑀]
=
𝑀𝐿𝑇−2𝐿2
𝑀2
= 𝑀−1
𝐿3
𝑇−2
2
/
‫الثابتان‬
α
‫و‬
β
:‫المعادلة‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الموجودان‬
𝐹 = 𝛼𝑚𝑣 + 𝛽𝑣2
‫حيث‬
m
‫و‬ ‫كتلة‬
F
‫و‬ ‫قوة‬
v
.‫الرسعة‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬

15
𝐹 = 𝛼𝑚𝑣 + 𝛽𝑣2 →
{
𝛼 =
𝐹
𝑚𝑣
→ [𝛼] =
[𝐹]
[𝑚][𝑣]
=
𝑀𝐿𝑇−2
𝑀𝐿𝑇−1
= 𝑇−1
𝛽 =
𝐹
𝑣2
→ [𝛽] =
[𝐹]
[𝑣]2
=
𝑀𝐿𝑇−2
(𝐿𝑇−1)2
= 𝑀𝐿−1
3
/
‫البع‬ ‫نفس‬ ‫لديها‬ ‫الطاقة‬ ‫نوع‬ ‫كان‬ ‫مهما‬ ‫انه‬ ‫البعدي‬ ‫التحليل‬ ‫استعمال‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫تأكد‬
:‫د‬
[𝐸] = 𝑀𝐿2𝑇−2
‫اجعة‬‫ر‬‫للم‬ ‫تمرين‬
-
1
‫ي‬
‫التال‬ ‫القانون‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الموجودة‬ ‫األسس‬ ‫اوجد‬ ‫البعدي‬ ‫التحليل‬ ‫طريق‬ ‫عن‬
𝑣 = 𝑘𝑃𝑥𝜌𝑦
‫بحيث‬
𝑣
‫و‬ ‫الرسعة‬ ‫ي‬
‫ه‬
𝑃
‫و‬ ‫الضغط‬‫هو‬
𝜌
‫الحجمية‬ ‫الكتلة‬
2
-
‫الحجم‬ ‫عىل‬ ‫مقسومة‬ ‫طاقة‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫هو‬ ‫الضغط‬ ‫بأن‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫بي‬
[𝑃] =
[𝐹]
[𝑆]
=
[𝑚][𝑔]
[𝑆]
=
𝑀𝐿𝑇−2
𝐿2
= 𝑀𝐿𝑇−2
𝐿−2
→ [𝑃] = 𝑀𝐿−1
𝑇−2
[𝜌] =
[𝑚]
[𝑉]
= 𝑀𝐿−3
[𝑣] =
[𝑑𝑥]
[𝑑𝑡]
=
𝐿
𝑇
= 𝐿𝑇−1
[𝑘] = 1
𝑣 = 𝑘𝑃𝑥
𝜌𝑦
[𝑣] = [𝑘][𝑃]𝑥[𝜌]𝑦
𝐿𝑇−1 = 1(𝑀𝐿−1𝑇−2)𝑥(𝑀𝐿−3)𝑦
𝐿𝑇−1 = 𝑀𝑥𝐿−𝑥𝑇−2𝑥𝑀𝑦𝐿−3𝑦
𝐿𝑇−1
= 𝑀(𝑥+𝑦)
𝐿(−𝑥−3𝑦)
𝑇−2𝑥
𝑀0
𝐿𝑇−1
= 𝑀(𝑥+𝑦)
𝐿(−𝑥−3𝑦)
𝑇−2𝑥
{
𝑀0
= 𝑀𝑥+𝑦
𝐿 = 𝐿(−𝑥−3𝑦)
𝑇−1 = 𝑇−2𝑥
→
{
0 = 𝑥 + 𝑦
1 = −𝑥 − 3𝑦
−1 = −2𝑥
→
{
𝑦 = −𝑥 =
−1
2
1 =
−1
2
− 3 (
−1
2
)
𝑥 =
1
2
𝑣 = 𝑘𝑃
1
2𝜌
−1
2 → 𝑣 = 𝑘√
𝑃
𝜌
2- 𝑃 =
𝐸
𝑉
→ [𝑃] = [
𝐸
𝑉
] → [𝑃] = [
1
2
𝑚𝑔ℎ
𝑉
] → [𝑃] =
[
1
2
][𝑚][𝑔][ℎ]
[𝑉]
[𝑃] =
1𝑀𝐿𝑇−2
𝐿
𝐿3
= 𝑀𝐿−1𝑇−2

16
3
‫االرتيابات‬.
‫بقيا‬ ‫قمنا‬ ‫إذا‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعت‬ ‫القياس‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫خطا‬ ‫دائما‬ ‫هناك‬ ‫ي‬
‫تقريت‬ ‫اال‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬ ‫ي‬
‫يائ‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫في‬ ‫مقدار‬ ‫أي‬ ‫قياس‬
‫كمية‬‫س‬
.‫مرة‬ ‫كل‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫مختلفة‬ ‫قيمة‬ ‫سنقيس‬ ‫اننا‬ ‫المؤكد‬ ‫فمن‬ ‫مرة‬ ‫من‬ ‫ر‬
‫أكي‬ ‫القياس‬‫ار‬‫ر‬‫بتك‬ ‫وقمنا‬ ‫ما‬
‫والقيمة‬ ‫الحقيقية‬ ‫القيمة‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫بي‬ ‫الفرق‬ ‫هو‬ ‫االرتياب‬ ‫هذا‬ .‫ارتياب‬ ‫او‬ ‫خطأ‬ ‫معه‬ ‫التجريبية‬ ‫العلوم‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫قياس‬ ‫أي‬
.)‫(تقريبية‬ ‫المحسوبة‬
‫األخطاء‬ : ‫ر‬ ‫ر‬
‫نوعي‬ ‫ال‬ ‫االرتياب‬‫او‬ ‫الخطأ‬ ‫هذا‬ ‫تقسيم‬ ‫يمكن‬
‫العشوائية‬ ‫واألخطاء‬ ‫النظامية‬
1.3
.
:‫النظامية‬ ‫األخطاء‬
Systematic error (Non - random)
‫ر‬
‫األمي‬‫جهاز‬ ‫(مثال‬ ‫المعدات‬ ‫لهذه‬ ‫ء‬ ‫ي‬
‫الس‬ ‫االستعمال‬‫او‬ ‫المعدات‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫العيوب‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الخطء‬ ‫هذا‬ ‫يرجع‬ ‫ما‬ ‫عادتا‬
)‫عمودية‬ ‫وضعية‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫الجهاز‬ ‫لكن‬ ‫ي‬
‫أفق‬ ‫بشكل‬ ‫يوضع‬
‫خ‬‫تاري‬ ‫وانتهاء‬ ‫األجهزة‬ ‫اقدمية‬ ،
‫االعتبار‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫بعي‬ ‫تؤخذ‬ ‫لم‬ ‫يائية‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫في‬ ‫ات‬ ‫ر‬
‫تأثي‬ ‫وجود‬ ‫او‬ ،) ‫اءة‬‫ر‬‫الق‬ ‫طريقة‬ ‫(مثال‬ ‫صحيحة‬ ‫ر‬
‫غي‬ ‫اقبة‬‫ر‬‫م‬ ، ‫صالحيتها‬
‫سبيل‬ ‫(عىل‬ ‫الصفرية‬ ‫احة‬‫ز‬‫اال‬ ،)‫االحتكاك‬ ‫معامل‬ ‫او‬ ‫الحر‬ ‫السقوط‬ ‫عند‬ ‫الهواء‬ ‫مقاومة‬ ‫المثال‬ ‫سبيل‬ ‫(عىل‬
‫االلكي‬ ‫ان‬‫ر‬ ‫ر‬
‫المي‬ ‫استعمال‬ ‫عند‬ ‫المثال‬
‫قياس‬ ‫(مثال‬ ‫ر‬
‫التأخي‬ ‫زمن‬ ،)‫أوال‬ ‫الصفرية‬ ‫اءة‬‫ر‬‫الق‬ ‫من‬ ‫نتأكد‬ ‫دائما‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫وئ‬
.‫ان‬‫ز‬‫لالت‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫كاف‬‫وقت‬ ‫للتجربة‬ ‫ي‬
‫نعط‬ ‫ولم‬ ‫ارة‬‫ر‬‫الح‬ ‫درجة‬
2.3
.
:‫العشوائية‬ ‫الخطاء‬
Random error
)‫ات‬‫ز‬‫ا‬‫ر‬
‫االهي‬ ‫من‬ ‫التجربة‬ ‫حماية‬ ‫(مثال‬ ‫بيئية‬ ‫عوامل‬ ‫بسبب‬ ‫يكون‬ ‫ما‬ ‫عادتا‬ ‫األخطاء‬ ‫من‬ ‫ع‬
‫النو‬ ‫هذا‬
3.3
.
‫المطلق‬ ‫الخطأ‬
‫المطلق‬ ‫واالرتياب‬
‫ي‬
‫يائ‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫في‬ ‫مقدار‬ ‫أي‬ ‫قياس‬ ‫عند‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعت‬
G
‫له‬ ‫تقريبية‬ ‫قيمة‬ ‫عىل‬ ‫اال‬ ‫نحصل‬ ‫ال‬
𝑔
،‫القياس‬ ‫دقة‬ ‫كانت‬‫مهما‬
‫الحقيقية‬ ‫القيمة‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫بي‬ ‫الفرق‬
𝑔0
‫التقريبية‬ ‫والقيمة‬
g
‫ب‬ ‫له‬‫ونرمز‬ ‫المطلق‬ ‫الخطأ‬ ‫ي‬
‫يسىم‬
𝛿𝑔
𝛿𝐺 = 𝑔0 − 𝑔
‫للخطأ‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬
|𝛿𝐺|
‫المطلق‬ ‫االرتياب‬ ‫تساوي‬ ‫او‬‫أصغر‬ ‫تكون‬ ‫انت‬ ‫يجب‬
∆𝐺
|𝛿𝐺| ≤ ∆𝐺
‫ي‬
‫يائ‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬‫المقدار‬ ‫لذينا‬ ‫ليكن‬
𝐺 = 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
‫حيث‬
𝑧‫𝑦و‬,𝑥
‫ها‬‫وتشوب‬ ‫للقياس‬ ‫قابلة‬ ‫يائية‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫في‬ ‫مقادير‬
‫إرتيابات‬
‫المطلق‬ ‫االرتياب‬ ‫حساب‬ ‫اجل‬ ‫من‬
∆𝐺
‫ل‬ ‫ي‬
‫الكىل‬ ‫التفاضل‬ ‫نحسب‬
𝐺
𝑑𝐺 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑑𝑧
‫التفاضالت‬ ‫نستبدل‬
𝑑𝑧‫𝑦𝑑و‬،𝑑𝑥
‫ب‬
∆𝑧‫𝑦∆و‬،∆𝑥

17
‫الجزئية‬ ‫للمشتقات‬ ‫المطلقة‬ ‫القيم‬ ‫ونضع‬
𝑑𝐺 = |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|𝑑𝑥 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
|𝑑𝑦 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑧
|𝑑𝑧
‫له‬ ‫التقريبية‬ ‫القيمة‬ ‫عىل‬ ‫المطلق‬ ‫االرتياب‬ ‫بقسمة‬ ‫ي‬
‫النست‬ ‫االرتياب‬ ‫يحسب‬
‫مثال‬
‫الحركية‬ ‫الطاقة‬
‫اال‬ ‫و‬ ‫النسبي‬ ‫االرتياب‬ ‫اوجد‬
‫الحركية‬ ‫الطاقة‬ ‫على‬ ‫المطبق‬ ‫رتياب‬
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2𝑑𝐸 = |
𝜕𝐸
𝜕𝑚
|𝑑𝑚 + |
𝜕𝐸
𝜕𝑣
| 𝑑𝑣
𝑑𝐸 =
1
2
𝑣2
𝑑𝑚 + 𝑚𝑣𝑑𝑣
∆𝐸 =
1
2
𝑣2
∆𝑚 + 𝑚𝑣∆𝑣
∆𝐸
𝐸
=
1
2
𝑣2∆𝑚
𝐸
+
𝑚𝑣∆𝑣
𝐸
∆𝐸
𝐸
=
1
2
𝑣2
∆𝑚
1
2
𝑚𝑣2
+
𝑚𝑣∆𝑣
1
2
𝑚𝑣2
∆𝐸
𝐸
=
∆𝑚
𝑚
+ 2
∆𝑣
𝑣
‫الطريقة‬ ‫بواسطة‬ ‫ي‬
‫النست‬ ‫االرتياب‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬
‫االرتياب‬ ‫لحساب‬ ‫ة‬ ‫ر‬
‫األخي‬ ‫هذه‬ ‫وتستعمل‬ ‫اللوغاريتمية‬
‫القسمة‬‫او‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫الض‬ ‫حاالت‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫سهلة‬ ‫بطريقة‬.
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2
𝑙𝑛𝐸 = 𝑙𝑛 (
1
2
𝑚𝑣2
)
𝑙𝑛𝐸 = 𝑙𝑛
1
2
+ 𝑙𝑛𝑚 + 𝑙𝑛𝑣2
𝑙𝑛𝐸 = 𝑙𝑛
1
2
+ 𝑙𝑛𝑚 + 2𝑙𝑛𝑣
𝑑𝐸
𝐸
= 0 +
𝑑𝑚
𝑚
+ 2
𝑑𝑣
𝑣
∆𝐸
𝐸
=
∆𝑚
𝑚
+ 2
∆𝑣
𝑣
‫ي‬
‫يائ‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫الفي‬‫للمقدار‬ ‫ي‬
‫النست‬ ‫االرتياب‬ ‫اوجد‬ ‫مثال‬
G
‫ب‬ ‫المعرف‬
𝐺 =
𝑥𝑦
𝑥 + 𝑧

18
‫اللوغاريتمية‬ ‫والطريقة‬ ‫ي‬
‫الكىل‬ ‫التفاضل‬ ‫طريقة‬ ‫ر‬ ‫ر‬
‫بطريقتي‬
𝐺 =
𝑥𝑦
𝑥 + 𝑧
‫ي‬
‫الكل‬ ‫التفاضل‬ ‫طريقة‬
𝑑𝐺 =
𝜕𝐺
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝐺
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝐺
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝐺 =
𝜕 (
𝑥𝑦
𝑥 + 𝑧
)
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕 (
𝑥𝑦
𝑥 + 𝑧
)
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕 (
𝑥𝑦
𝑥 + 𝑧
)
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝐺 = [
𝑦(𝑥 + 𝑧) − 𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑧)2
]𝑑𝑥 +
𝑥(𝑥 + 𝑧)
(𝑥 + 𝑧)2
𝑑𝑦 −
𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑧)2
𝑑𝑧
𝑑𝐺 = [
𝑦𝑧
(𝑥 + 𝑧)2
]𝑑𝑥 +
𝑥
(𝑥 + 𝑧)
𝑑𝑦 +
𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑧)2
𝑑𝑧
∆𝐺 = [
𝑦𝑧
(𝑥 + 𝑧)2
]∆𝑥 +
𝑥
(𝑥 + 𝑧)
∆𝑦 +
𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑧)2
∆𝑧
∆𝐺
𝐺
= [
𝑦𝑧
(𝑥 + 𝑧)2
]
1
𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑧)
∆𝑥 +
𝑥
(𝑥 + 𝑧)
1
𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑧)
∆𝑦 +
𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑧)2
1
𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑧)
∆𝑧
∆𝑧
𝑧
= [
𝑦𝑧
(𝑥 + 𝑧)2
]
(𝑥 + 𝑧)
𝑥𝑦
∆𝑥 +
𝑥
(𝑥 + 𝑧)
(𝑥 + 𝑧)
𝑥𝑦
∆𝑦 +
𝑥𝑦
(𝑥 + 𝑧)2
(𝑥 + 𝑧)
𝑥𝑦
∆𝑧
∆𝐺
𝐺
= [
𝑧
(𝑥 + 𝑧)
]
∆𝑥
𝑥
+
∆𝑦
𝑦
+ [
𝑧
(𝑥 + 𝑧)
]
∆𝑧
𝑧
‫اللوغاريتمية‬ ‫الطريقة‬
𝐺 =
𝑥𝑦
𝑥 + 𝑧
𝑙𝑛𝐺 = 𝑙𝑛 (
𝑥𝑦
𝑥 + 𝑧
)
𝑙𝑛𝐺 = 𝑙𝑛(𝑥𝑦) − 𝑙𝑛(𝑥 + 𝑧)
𝑙𝑛𝐺 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛𝑦 − 𝑙𝑛(𝑥 + 𝑧)
𝑑𝐺
𝐺
=
𝑑𝑥
𝑥
+
𝑑𝑦
𝑦
−
𝑑(𝑥 + 𝑧)
(𝑥 + 𝑧)
𝑑𝐺
𝐺
=
𝑑𝑥
𝑥
+
𝑑𝑦
𝑦
−
𝑑𝑥
(𝑥 + 𝑧)
−
𝑑𝑧
(𝑥 + 𝑧)
𝑑𝐺
𝐺
= [
𝑥
𝑥
−
𝑥
(𝑥 + 𝑧)
]
𝑑𝑥
𝑥
+
𝑑𝑦
𝑦
−
𝑑𝑧
(𝑥 + 𝑧)

19
𝑑𝐺
𝐺
= [
𝑥𝑥 + 𝑥𝑧 − 𝑥𝑥
𝑥(𝑥 + 𝑧)
]
𝑑𝑥
𝑥
+
𝑑𝑦
𝑦
−
𝑑𝑧
(𝑥 + 𝑧)
𝑑𝐺
𝐺
= [
𝑧
(𝑥 + 𝑧)
]
𝑑𝑥
𝑥
+
𝑑𝑦
𝑦
− [
𝑧
(𝑥 + 𝑧)
]
𝑑𝑧
𝑧
𝑑𝐺
𝐺
= [
𝑧
(𝑥 + 𝑧)
]
𝑑𝑥
𝑥
+
𝑑𝑦
𝑦
+ [
𝑧
(𝑥 + 𝑧)
]
𝑑𝑧
𝑧
∆𝐺
𝐺
= [
𝑧
(𝑥 + 𝑧)
]
∆𝑥
𝑥
+
∆𝑦
𝑦
+ [
𝑧
(𝑥 + 𝑧)
]
∆𝑧
𝑧
‫مثال‬
‫االر‬ ‫اوجد‬
‫ي‬
‫يائ‬‫ر‬
‫النسب‬ ‫تياب‬
f
𝑓 =
𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
‫ي‬
‫الكل‬ ‫التفاضل‬ ‫طريقة‬ ‫و‬ ‫اللوغاريتمية‬ ‫الطريقة‬ ‫ر‬
‫اللوغاريتمية‬ ‫الطريقة‬
𝑓 =
𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
𝑙𝑛𝑓 = 𝑙𝑛 (
𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
)
𝑙𝑛𝑓 = 𝑙𝑛(𝑝. 𝑞) − 𝑙𝑛(𝑝 + 𝑞)
𝑙𝑛𝑓 = 𝑙𝑛𝑝 + 𝑙𝑛𝑞 − 𝑙𝑛(𝑝 + 𝑞)
𝑑𝑓
𝑓
=
𝑑𝑝
𝑝
+
𝑑𝑞
𝑞
−
𝑑(𝑝 + 𝑞)
𝑝 + 𝑞
𝑑𝑓
𝑓
=
𝑑𝑝
𝑝
+
𝑑𝑞
𝑞
−
𝑑𝑝
𝑝 + 𝑞
−
𝑑𝑞
𝑝 + 𝑞
𝑑𝑓
𝑓
= (
1
𝑝
−
1
𝑝 + 𝑞
)𝑑𝑝 + (
1
𝑞
−
1
𝑝 + 𝑞
)𝑑𝑞
𝑑𝑓
𝑓
= (
𝑝 + 𝑞 − 𝑝
𝑝(𝑝 + 𝑞)
) 𝑑𝑝 + (
𝑝 + 𝑞 − 𝑞
𝑞(𝑝 + 𝑞)
) 𝑑𝑞

20
𝑑𝑓
𝑓
= (
𝑞
(𝑝 + 𝑞)
)
𝑑𝑝
𝑝
+ (
𝑝
(𝑝 + 𝑞)
)
𝑑𝑞
𝑞
∆𝑓
𝑓
= (
𝑞
(𝑝 + 𝑞)
)
∆𝑝
𝑝
+ (
𝑝
(𝑝 + 𝑞)
)
∆𝑞
𝑞
∆𝑓 = 𝑓 (
𝑞
(𝑝 + 𝑞)
)
∆𝑝
𝑝
+ (
𝑝
(𝑝 + 𝑞)
)
∆𝑞
𝑞
‫ي‬
‫الكل‬ ‫التفاضل‬ ‫طريقة‬
𝑓 =
𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑝
𝑑𝑝 +
𝜕𝑓
𝜕𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑓 =
𝜕 (
𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
)
𝜕𝑝
𝑑𝑝 +
𝜕 (
𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
)
𝜕𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑓 = [
𝑞(𝑝 + 𝑞) − (𝑝. 𝑞)
(𝑝 + 𝑞)2 ] 𝑑𝑝 + [
𝑝(𝑝 + 𝑞) − (𝑝. 𝑞)
(𝑝 + 𝑞)2 ] 𝑑𝑞
𝑑𝑓 = [
𝑞. 𝑝 + 𝑞2
− 𝑝. 𝑞
(𝑝 + 𝑞)2
] 𝑑𝑝 + [
𝑝2
+ 𝑝. 𝑞 − 𝑝. 𝑞
(𝑝 + 𝑞)2
] 𝑑𝑞
𝑑𝑓 = [
𝑞2
(𝑝 + 𝑞)2
] 𝑑𝑝 + [
𝑝2
(𝑝 + 𝑞)2
] 𝑑𝑞
𝑑𝑓
𝑓
=
[
𝑞2
(𝑝 + 𝑞)2]
𝑓
𝑑𝑝 +
[
𝑝2
(𝑝 + 𝑞)2]
𝑓
𝑑𝑞
𝑑𝑓
𝑓
=
[
𝑞2
(𝑝 + 𝑞)2]
𝑝. 𝑞
(𝑝 + 𝑞)
𝑑𝑝 +
[
𝑝2
(𝑝 + 𝑞)2]
𝑝. 𝑞
(𝑝 + 𝑞)
𝑑𝑞
𝑑𝑓
𝑓
= [
𝑞2
(𝑝 + 𝑞)2] [
(𝑝 + 𝑞)
𝑝. 𝑞
] 𝑑𝑝 + [
𝑝2
(𝑝 + 𝑞)2] [
(𝑝 + 𝑞)
𝑝. 𝑞
] 𝑑𝑞
𝑑𝑓
𝑓
= [
𝑞
(𝑝 + 𝑞)
]
𝑑𝑝
𝑝
+ [
𝑝
(𝑝 + 𝑞)
]
𝑑𝑞
𝑞
∆𝑓
𝑓
= [
𝑞
(𝑝 + 𝑞)
]
∆𝑝
𝑝
+ [
𝑝
(𝑝 + 𝑞)
]
∆𝑞
𝑞

21
∆𝑓 = 𝑓 [
𝑞
(𝑝 + 𝑞)
]
∆𝑝
𝑝
+ [
𝑝
(𝑝 + 𝑞)
]
∆𝑞
𝑞
‫للطلبة‬ ‫موجه‬ ‫تمرين‬
‫ي‬
‫يائ‬‫ر‬
‫النسب‬ ‫االرتياب‬ ‫اوجد‬
G
𝑔 = 𝐺
𝑀
(𝑅 + 𝑧)2
‫اللوغاريتمية‬ ‫والطريقة‬ ‫ي‬
‫الكل‬ ‫التفاضل‬ ‫طريقة‬ ‫ر‬
4
‫االشعة‬ .
‫شعاعية‬‫ومقادير‬ ‫سلمية‬ ‫مقادير‬ ‫يائية‬‫ر‬
‫الفي‬‫المقادير‬ ‫من‬ ‫نوعان‬ ‫هناك‬
1.4
.
‫السلمية‬‫المقادير‬
Scalar
:
،‫ارة‬‫ر‬‫الح‬ ‫درجة‬ ،‫الضوء‬ ‫رسعة‬ ،‫الزمن‬ ،‫الكتلة‬ ،‫الطول‬ ‫مثل‬ ‫عددية‬ ‫قيمة‬ ‫لها‬
‫الخ‬ .... ‫الطاقة‬
2.4
.
‫الشعاعية‬‫المقادير‬
Vector
:
‫المجال‬ ،‫الرسعة‬ ،‫القوة‬ ‫مثل‬ ‫عددية‬ ‫وقيمة‬ ‫الفضاء‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫اتجاها‬ ‫تمتلك‬
... ‫ي‬
‫المغناطيس‬ ‫والمجال‬ ‫ي‬
‫الكهربائ‬
‫ب‬ ‫ي‬
‫الشعاع‬‫للمقدار‬‫نرمز‬
َ𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
‫ب‬ ‫الشعاع‬ ‫وطول‬
𝐴𝐵 = ‖𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫نعرف‬ :‫الوحدة‬ ‫شعاع‬
𝑢
⃗
‫للشعاع‬
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
‫للشعاع‬ ‫موازي‬ ‫شعاع‬ ‫انه‬ ‫عل‬
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
‫شعاع‬ ‫طول‬
‫الوحدة‬
1 = ‖𝑢
⃗ ‖
‫ال‬
‫شعاع‬
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬ ‫يكتب‬
‖𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
‫اتجاهه‬ ‫ر‬
‫يبي‬ ‫الذي‬ ‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫ض‬
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖. 𝑢
⃗
‫الشعاع‬ ‫ات‬‫ر‬
‫ممي‬
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
A
‫الشعاع‬ ‫بداية‬ ‫ي‬
‫ه‬‫و‬ ‫التأثي‬ ‫نقطة‬ ‫ي‬
‫ه‬ :
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗

22
‫طاولة‬
‫الشعاع‬
–
‫طول‬
-
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
‫هو‬
𝐴𝐵 = ‖𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
‫الشعاع‬ ‫اتجاه‬
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
‫النقطة‬ ‫من‬
‫اىل‬
‫النقطة‬
𝐵
‫الشعاع‬ ‫حامل‬‫او‬ ‫المنىح‬
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
‫الشعاع‬ ‫عليه‬ ‫المحمول‬ ‫المستقيم‬‫هو‬
𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
3.4
.
:‫االشعة‬ ‫عل‬ ‫العمليات‬
Vector Operations
‫شعاع‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫ض‬ ، ‫ر‬
‫شعاعي‬ ‫طرح‬ ، ‫ر‬
‫شعاعي‬ ‫جمع‬ ،‫العمليات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫االشعة‬ ‫عل‬ ‫الحسابات‬ ‫تتطلب‬
. ‫ي‬
‫الشعاع‬ ‫والجذاء‬ ‫ي‬
‫السلم‬ ‫الجذاء‬ ‫عملية‬ ،)‫(عدد‬ ‫ي‬
‫سلم‬ ‫مقدار‬
:‫المساواة‬
Equality
‫االتجاه‬ ‫ونفس‬ ‫الطاولة‬ ‫نفس‬ ‫لديهما‬ ‫كان‬‫إذا‬ ‫متساويان‬ ‫شعاعان‬ ‫بأن‬ ‫نقول‬
: ‫ي‬
‫حقيق‬ ‫بعدد‬ ‫شعاع‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫ض‬
Multiplication of a Vector by a number
‫الشعاع‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫ض‬
𝐴
‫ي‬
‫سلم‬ ‫بعدد‬
𝜆
‫الشعاع‬‫هو‬
𝐵
⃗
𝐵
⃗ = 𝜆𝐴
‫كانت‬‫اذا‬
𝜆 > 0
‫الشعاع‬
𝐴
‫الشعاع‬‫و‬
𝐵
⃗
‫االتجاه‬ ‫نفس‬ ‫لديهما‬
𝜆 < 0
‫الشعاع‬
𝐴
𝐵
⃗
‫االتجاه‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫مختلفان‬
‫ر‬
‫شعاعي‬ ‫جمع‬
‫الشعاع‬ ‫لجمع‬ ‫ر‬
‫طريقتي‬ ‫يوجد‬
𝐴
‫الشعاع‬ ‫مع‬
𝐵
⃗
𝐴 + 𝐵
⃗ = 𝐶
:‫والذيل‬ ‫أس‬‫ر‬‫ال‬ ‫طريقة‬
head-tail method
:
‫الشعاع‬ ‫لجمع‬
𝐴
‫مع‬
𝐵
⃗
‫بإعادة‬ ‫المحصلة‬ ‫شعاع‬ ‫عل‬ ‫نحصل‬ ‫ر‬
‫الشعاعي‬ ‫هذين‬ ‫محصلة‬ ‫هو‬ ‫الناتج‬ ‫هندسيا‬
‫الشعاع‬ ‫رسم‬
𝐵
⃗
) ‫الشعاع‬ ‫أس‬‫ر‬ ( ‫الشعاع‬ ‫نهاية‬ ‫عند‬ ‫بدايته‬ ‫بوضع‬ ‫دالك‬ ‫و‬
𝐴
. ‫االتجاه‬ ‫و‬ ‫الطول‬ ‫بنفس‬
‫الشعاع‬ ‫بداية‬ ‫من‬ ‫يبدأ‬ ‫المحصلة‬ ‫شعاع‬
𝐴
‫الشعاع‬ ‫نهاية‬‫و‬ ) ‫الشعاع‬ ‫ذيل‬ (
𝐵
⃗
.) ‫الشعاع‬ ‫أس‬‫ر‬ (

23
:‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫طريقة‬
parallelogram method
‫الشعاع‬ ‫برسم‬ ‫المحصلة‬ ‫هذه‬ ‫عل‬ ‫الحصول‬ ‫يمكننا‬
𝐵
⃗
‫الشعاع‬ ‫بداية‬ ‫من‬ ‫انطالقا‬
𝐴
‫متوازي‬ ‫نرسم‬ ‫ثم‬
‫بداية‬ ‫ي‬
‫ه‬ ‫بدايته‬ ‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫قطر‬ ‫المحصلة‬ ‫شعاع‬ ‫فيكون‬ ‫ر‬
‫الشعاعي‬ ‫لهذين‬ ‫الناش‬ ‫االضالع‬
‫ر‬
‫الشعاعي‬
𝐴
‫و‬
𝐵
⃗
‫اشعة‬ ‫عدة‬ ‫جمع‬
‫شعاع‬ ‫من‬ ‫ر‬
‫أكي‬ ‫جمع‬ ‫لذينا‬ ‫يكون‬ ‫عندما‬
𝐴
،
𝐵
⃗
،
𝐶
‫و‬
𝐷
⃗
⃗
‫بداية‬ ‫بدايته‬ ‫المحصلة‬ ‫شعاع‬ ‫طريقة‬ ‫نستعمل‬
‫الشعاع‬
𝐴
‫شعاع‬ ‫اخر‬ ‫نهاية‬ ‫نهايته‬‫و‬
𝐷
⃗
⃗
‫الشعاع‬ ‫نهاية‬‫االعتبار‬ ‫ر‬
‫بعي‬ ‫األخذ‬ ‫مع‬
𝐴
‫ه‬
𝐵
⃗
‫و‬
‫الشعاع‬ ‫نهاية‬
𝐵
⃗
‫ه‬
𝐶
.....
𝑅
⃗ = 𝐴 + 𝐵
⃗ + 𝐶 + 𝐷
⃗
⃗

24
‫ر‬
‫شعاعي‬ ‫طرح‬
‫الشعاع‬ ‫ليكن‬
𝐶
‫ي‬
‫يل‬ ‫كما‬‫معرف‬
𝐶 = 𝐴 − 𝐵
⃗
‫الشعاع‬ ‫عل‬ ‫للحصول‬
𝐶
‫الشعاع‬ ‫طرح‬ ‫يجب‬
𝐵
⃗
‫من‬
𝐴
‫الشعاع‬ ‫طرح‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬
𝐵
⃗
‫من‬
𝐴
‫الشعاع‬ ‫جمع‬ ‫عملية‬ ‫نفسه‬‫هو‬
𝐴
‫و‬
(−𝐵
⃗ )
𝐶 = 𝐴 − 𝐵
⃗
𝐶 = 𝐴 + (−𝐵
⃗ )
‫الشعاع‬ ‫بداية‬ ‫من‬ ‫المحصلة‬ ‫شعاع‬
𝐴
‫الشعاع‬ ‫نهاية‬‫و‬
(−𝐵
⃗ )
‫االشعة‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الجمع‬ ‫خصائص‬
‫ي‬
‫تبديلب‬
𝐴 + 𝐵
⃗ = 𝐶 = 𝐵
⃗ + 𝐴
‫ي‬
‫تجميع‬
(𝐴 + 𝐵
⃗ ) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵
⃗ + 𝐶)
‖𝐴 + 𝐵
⃗ ‖ ≠ ‖𝐴‖ + ‖𝐵
⃗ ‖
4.4
.
‫للشعاع‬ ‫التحليلية‬ ‫الكتابة‬
‫ر‬
‫بطريقتي‬ ‫شعاع‬ ‫أي‬ ‫كتابة‬‫يمكن‬
‫ة‬‫المبارس‬ ‫الطريق‬

25
‫طوله‬ ‫يساوي‬ ‫شعاع‬ ‫ألي‬ ‫المبارس‬ ‫الكتابة‬
‖𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖
‫يبي‬ ‫الذي‬ ‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
𝑢
⃗
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝑢
⃗
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀𝑢
⃗
‫االسقاط‬ ‫طريقة‬
‫بالمحورين‬ ‫المحدد‬ ‫المستوي‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
(𝑂𝑥)
‫و‬
(𝑂𝑦)
‫شعاع‬ ‫اسقاط‬
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫الشعاعية‬ ‫كبة‬
‫المر‬‫هو‬
(𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑥
+
‫المر‬
(𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑦
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑥
+ (𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑦
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (‖𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖)𝑥
𝑖 + (‖𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖)𝑦
𝑗
‫حيث‬
𝑖
‫و‬
𝑗
‫للمحاور‬ ‫الموجهة‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
(𝑂𝑥)
‫و‬
(𝑂𝑦)
‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
𝑖
‫و‬
𝑗
‫يساوي‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫طول‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬ ‫متجانسة‬ ‫و‬ ‫متعامدة‬
1
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑂𝑀)𝑥𝑖 + (𝑂𝑀)𝑦𝑗
{
(𝑂𝑀)𝑥 = 𝑥
(𝑂𝑀)𝑦 = 𝑦
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
‫الشع‬ ‫طاولة‬
‫اع‬
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫النقطة‬ ‫من‬ ‫المسافة‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬
O
‫النقطة‬ ‫اىل‬
M
‖𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑂𝑀 = √𝑥2 + 𝑦2
{
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
(𝑶𝑴)𝒙
𝑶𝑴
→ (𝑶𝑴)𝒙 = 𝑥 = 𝑂𝑀 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
(𝑶𝑴)𝒚
𝑶𝑴
→ (𝑶𝑴)𝒚 = 𝑦 = 𝑂𝑀 𝑠𝑖𝑛 𝜃

26
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 + 𝑶𝑴 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒋
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴(𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋)
{
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
(𝑂𝑀)𝑥
𝑂𝑀
→ (𝑂𝑀)𝑥 = 𝑥 = 𝑂𝑀𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃 =
(𝑂𝑀)𝑦
𝑂𝑀
→ (𝑂𝑀)𝑦 = 𝑦 = 𝑂𝑀𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑂𝑀𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀(𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗)

27
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑀𝑢
⃗
𝑢
⃗ = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑗
‫الشعاع‬ ‫اتجاه‬
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
(𝑂𝑀)𝑦
𝑂𝑀
(𝑂𝑀)𝑥
𝑂𝑀
=
(𝑂𝑀)𝑦
(𝑂𝑀)𝑥
=
𝑦
𝑥
‫الفضاء‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫شعاع‬ ‫اسقاط‬
‫ومتجانس‬ ‫متعامد‬ ‫معلم‬ ‫لذينا‬ ‫ليكن‬
R
‫المعلم‬ ‫مبدأ‬
O
‫الوحدة‬ ‫واشعة‬
(𝒊, 𝒋, 𝒌
⃗
⃗ )
:‫الشعاع‬ ‫إليجاد‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
-
‫إ‬
‫النقطة‬ ‫سقاط‬
M
‫المستوي‬ ‫عل‬
(xOy)
‫النقطة‬ ‫ي‬
‫ه‬
m
-
‫النقط‬ ‫نصل‬
O
‫و‬
M
‫و‬
m
-
‫الشعاع‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫شعاعان‬ ‫يجمع‬ ‫الذي‬ ‫المحصلة‬ ‫شعاع‬‫هو‬
–
‫النقطة‬ ‫بدايته‬ ‫المحصلة‬ ‫شعاع‬
O
‫ي‬
‫ه‬‫و‬
‫األول‬ ‫الشعاع‬ ‫بداية‬
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫ي‬
‫ر‬
‫الثائ‬ ‫الشعاع‬ ‫نهاية‬ ‫ي‬
‫ه‬ ‫المحصلة‬ ‫شعاع‬ ‫نهاية‬‫و‬
𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫الشعاع‬ ‫بإسقاط‬ ‫نقوم‬
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫المستوي‬ ‫عل‬
(xOy)
‫الشعاع‬ ‫اسقاط‬
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫المر‬ ‫يساوي‬
(𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝒙
‫المر‬ +
(𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝒚

28
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝒙
+ (𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝒚
‫الشعاع‬ ‫عرفنا‬
:‫سابقا‬
‫يبي‬ ‫الذي‬ ‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫ض‬ ‫طوله‬ ‫يساوي‬ ‫شعاع‬ ‫أي‬
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑶𝒎)𝒙𝒊 + (𝑶𝒎)𝒚 𝒋
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋
‫الشعاع‬ ‫اسقاط‬
𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫المحور‬ ‫عل‬
Oz
‫المر‬ ‫يعطينا‬
(𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝒛
𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝒛
𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒎𝑴)𝒛𝒌
⃗
⃗
𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒛 𝒌
⃗
⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋 + 𝒛 𝒌
⃗
⃗
‫امثلة‬
‫الشعاع‬ ‫لذينا‬ ‫ليكن‬
𝐴 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
⃗
𝐵
⃗ = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘
⃗
‫احسب‬
𝐴 + 𝐵
⃗
𝐴 + 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
⃗ ) + (𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘
⃗ )
𝐴 + 𝐵
⃗ = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
⃗ + 𝑏𝑧𝑘
⃗
𝐴 + 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥)𝑖 + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦)𝑗 + (𝑎𝑧 + 𝑏𝑧)𝑘
⃗
𝐴 + 𝐵
⃗ = 𝐵
⃗ + 𝐴 → 𝐶𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒
‫اشعة‬ ‫ثالث‬ ‫لذينا‬ ‫ليكن‬
𝑢
⃗ = 2𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 − 3𝑒𝑧
،
𝑣 = 𝑒𝑥 − 2𝑒𝑦 + 𝑒𝑧
‫و‬
𝑤
⃗⃗ = −𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 +
4𝑒𝑧
1
/
‫احسب‬
-
𝑢
⃗ + 𝑣
-
𝑣 − 𝑤
⃗⃗
-
−3𝑤
⃗⃗
-
𝑢
⃗ + 2𝑣 + 3𝑤
⃗⃗

29
-
2𝑤
⃗⃗ − 𝑢
⃗ + 3𝑣
2
/
‖𝑢
⃗ ‖, ‖𝑢
⃗ + 𝑣‖
‫و‬
‖𝑣 − 𝑤
⃗⃗ ‖
‫الحل‬
a) 𝑢
⃗ = (2 1 −3) , 𝑣 = (1 −2 1) and 𝑤
⃗⃗ = (−1 1 4)
b)
{
𝑢
⃗ + 𝑣 = 3𝑒𝑥 − 1𝑒𝑦 − 2𝑒𝑧
𝑣 − 𝑤
⃗⃗ = 2𝑒𝑥 − 3𝑒𝑦 − 3𝑒𝑧
−3𝑤
⃗⃗ = 3𝑒𝑥 − 3𝑒𝑦 − 12𝑒𝑧
𝑢
⃗ + 2𝑣 + 3𝑤
⃗⃗ = 1𝑒𝑥 + 0𝑒𝑦 + 11𝑒𝑧
2𝑤
⃗⃗ − 𝑢
⃗ + 3𝑣 = 0𝑒𝑥 + 7𝑒𝑦 + 5𝑒𝑧
c) {
‖𝑢
⃗ ‖ = √(2)2 + (1)2 + (−3)2 = √14
‖𝑢
⃗ + 𝑣‖ = √(3)2 + (−1)2 + (−2)2
‖𝑣 − 𝑤
⃗⃗ ‖ = √(2)2 + (−3)2 + (−3)2
5.4
.
‫ي‬
‫السلم‬ ‫والجذاء‬ ‫ي‬
‫الشعاع‬ ‫الجذاء‬
‫الجذاء‬ ‫من‬ ‫نوعان‬ ‫هناك‬
‫سلمية‬ ‫قيمة‬ ‫يعطينا‬ ‫ر‬
‫شعاعي‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫الض‬ ‫حاصل‬ ‫ي‬
‫السلم‬ ‫الجذاء‬
‫شعاع‬ ‫يعطينا‬ ‫ر‬
‫شعاعي‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫الض‬ ‫حاصل‬ ‫ي‬
: ‫ي‬
‫السلم‬ ‫الجذاء‬
The scalar product
𝐴. 𝐵
⃗ = ‖𝐴‖‖𝐵
⃗ ‖𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐴 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 + 𝑎𝑧𝑘
⃗
‫والشعاع‬
𝐵
⃗ = 𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘
⃗
𝐴. 𝐵
⃗ ).(𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘
⃗ )
𝐴. 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥𝑖). (𝑏𝑥𝑖) + (𝑎𝑥𝑖). (𝑏𝑦𝑗) + (𝑎𝑥𝑖). (𝑏𝑧𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑦𝑗).(𝑏𝑥𝑖) + (𝑎𝑦𝑗).(𝑏𝑦𝑗)
+ (𝑎𝑦𝑗).(𝑏𝑧𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑧𝑘
⃗ ).(𝑏𝑥𝑖) + (𝑎𝑧𝑘
⃗ ).(𝑏𝑦𝑗) + (𝑎𝑧𝑘
⃗ ).(𝑏𝑧𝑘
⃗ )
𝐴. 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥𝑏𝑥)(𝑖. 𝑖) + (𝑎𝑥𝑏𝑦)(𝑖. 𝑗) + (𝑎𝑥𝑏𝑧)(𝑖. 𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑦𝑏𝑥)(𝑗. 𝑖) + (𝑎𝑦𝑏𝑦)(𝑗. 𝑗)
+ (𝑎𝑦𝑏𝑧)(𝑗. 𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑧𝑏𝑥)(𝑘
⃗ .𝑖) + (𝑎𝑧𝑏𝑦)(𝑘
⃗ .𝑗) + (𝑎𝑧𝑏𝑧)(𝑘
⃗ . 𝑘
⃗ )

30
{
𝑖. 𝑖 = ‖𝑖‖‖𝑖‖𝑐𝑜𝑠0 = 1
𝑗. 𝑗 = ‖𝑗‖‖𝑗‖𝑐𝑜𝑠0 = 1
𝑘
⃗ . 𝑘
⃗ = ‖𝑘
⃗ ‖‖𝑘
⃗ ‖𝑐𝑜𝑠0 = 1
𝑖. 𝑗 = 𝑗. 𝑖 = ‖𝑖‖‖𝑗‖𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
= 0
𝑖. 𝑘
⃗ = 𝑘
⃗ . 𝑖 = ‖𝑖‖‖𝑘
⃗ ‖𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
= 0
𝑗. 𝑘
⃗ = 𝑘
⃗ . 𝑗 = ‖𝑗‖‖𝑘
⃗ ‖𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
= 0
𝐴. 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥𝑏𝑥)(1) + (𝑎𝑥𝑏𝑦)(0) + (𝑎𝑥𝑏𝑧)(0) + (𝑎𝑦𝑏𝑥)(0) + (𝑎𝑦𝑏𝑦)(1)
+ (𝑎𝑦𝑏𝑧)(0) + (𝑎𝑧𝑏𝑥)(0) + (𝑎𝑧𝑏𝑦)(0) + (𝑎𝑧𝑏𝑧)(1)
𝐴. 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥𝑏𝑥) + (𝑎𝑦𝑏𝑦) + (𝑎𝑧𝑏𝑧)
‫ومنه‬
𝐴. 𝐵
⃗ = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧
{
𝐴. 𝐵
⃗ > 0 → 0 ≥ 𝜃 >
𝜋
2
𝐴. 𝐵
⃗ < 0 →
𝜋
2
≥ 𝜃 > 𝜋
𝐴. 𝐵
⃗ = 0 → 𝜃 =
𝜋
2
‫إيجاد‬
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐴. 𝐵
⃗ = ‖𝐴‖‖𝐵
𝐴. 𝐵
⃗ = ‖𝐴‖‖𝐵
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝐴. 𝐵
⃗
‖𝐴‖‖𝐵
⃗ ‖
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝐴. 𝐵
⃗
‖𝐴‖‖𝐵
⃗ ‖
=
𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧
‖𝐴‖‖𝐵
⃗ ‖
‫مالحظة‬
𝐴. 𝐵
⃗ = 𝐵
⃗ . 𝐴
𝐴. (𝐵
⃗ + 𝐶) = 𝐴. 𝐵
⃗ + 𝐴. 𝐶

31
‫اشعة‬ ‫ثالث‬ ‫لذينا‬ ‫ليكن‬
𝑢
⃗ = 2𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 − 3𝑒𝑧
،
𝑣 = 𝑒𝑥 − 2𝑒𝑦 + 𝑒𝑧
‫و‬
𝑤
⃗⃗ = −𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 +
4𝑒𝑧
1
/
‫احسب‬
(
𝑢
⃗
.
𝑣
( ، )
𝑢
⃗
.
𝑤
⃗⃗
(‫و‬ )
𝑣
.
𝑤
⃗⃗
)
𝑢
⃗ . 𝑣 = ‖𝑢
⃗ ‖ × ‖𝑣‖ × 𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑢
⃗
⃗ .𝑣
⃗
‖𝑢
⃗
⃗ ‖×‖𝑣
⃗ ‖
{
𝑢
⃗ . 𝑣 = −3
‖𝑢
⃗ ‖ = √14,∧ ‖𝑣‖ = √6
→ 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
−3
√14 × √6
{
𝑢
⃗ . 𝑤
⃗⃗ = −13
‖𝑢
⃗ ‖ = √14,∧ ‖𝑤
⃗⃗ ‖ = √18
→ 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
−13
√14 × √18
{
𝑣. 𝑤
⃗⃗ = 1
‖𝑣‖ = √6,∧ ‖𝑤
⃗⃗ ‖ = √18
→ 𝑐𝑜𝑠𝛾 =
1
√6 × √18
: ‫ي‬
The vector product
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = ‖𝐴‖‖𝐵
⃗ ‖ 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑛
⃗
‖𝐴 ∧ 𝐵
⃗ ‖ = ‖𝐴‖‖𝐵
⃗ ‖ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃 =
‖𝐴 ∧ 𝐵
⃗ ‖
‖𝐴‖‖𝐵
⃗ ‖
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ ) ∧ (𝑏𝑥𝑖 + 𝑏𝑦𝑗 + 𝑏𝑧𝑘
⃗ )
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥𝑖) ∧ (𝑏𝑥𝑖) + (𝑎𝑥𝑖) ∧ (𝑏𝑦𝑗) + (𝑎𝑥𝑖) ∧ (𝑏𝑧𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑦𝑗) ∧ (𝑏𝑥𝑖)
+ (𝑎𝑦𝑗) ∧ (𝑏𝑦𝑗) + (𝑎𝑦𝑗) ∧ (𝑏𝑧𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑧𝑘
⃗ ) ∧ (𝑏𝑥𝑖) + (𝑎𝑧𝑘
⃗ )
∧ (𝑏𝑦𝑗) + (𝑎𝑧𝑘
⃗ ) ∧ (𝑏𝑧𝑘
⃗ )
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥𝑏𝑥)(𝑖 ∧ 𝑖) + (𝑎𝑥𝑏𝑦)(𝑖 ∧ 𝑗) + (𝑎𝑥𝑏𝑧)(𝑖 ∧ 𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑦𝑏𝑥)(𝑗 ∧ 𝑖)
+ (𝑎𝑦𝑏𝑦)(𝑗 ∧ 𝑗) + (𝑎𝑦𝑏𝑧)(𝑗 ∧ 𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑧𝑏𝑥)(𝑘
⃗ ∧ 𝑖)
+ (𝑎𝑧𝑏𝑦)(𝑘
⃗ ∧ 𝑗) + (𝑎𝑧𝑏𝑧)(𝑘
⃗ ∧ 𝑘
⃗ )
{
𝑖 ∧ 𝑖 = ‖𝑖‖‖𝑖‖𝑠𝑖𝑛0 = 0
𝑗 ∧ 𝑗 = ‖𝑗‖‖𝑗‖𝑠𝑖𝑛0 = 0
𝑘
⃗ ∧ 𝑘
⃗ = ‖𝑘
⃗ ‖‖𝑘
⃗ ‖𝑠𝑖𝑛0 = 0

32
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥𝑏𝑥)(0
⃗ ) + (𝑎𝑥𝑏𝑦)(𝑖 ∧ 𝑗) + (𝑎𝑥𝑏𝑧)(𝑖 ∧ 𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑦𝑏𝑥)(𝑗 ∧ 𝑖)
+ (𝑎𝑦𝑏𝑦)(0
⃗ ) + (𝑎𝑦𝑏𝑧)(𝑗 ∧ 𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑧𝑏𝑥)(𝑘
⃗ ∧ 𝑖) + (𝑎𝑧𝑏𝑦)(𝑘
⃗ ∧ 𝑗)
+ (𝑎𝑧𝑏𝑧)(0
⃗ )
{
𝑖 ∧ 𝑗 = 𝑘
⃗ → 𝑗 ∧ 𝑖 = −𝑘
⃗
𝑗 ∧ 𝑘
⃗ = 𝑖 → 𝑘
⃗ ∧ 𝑗 = −𝑖
𝑘
⃗ ∧ 𝑖 = 𝑗 → 𝑖 ∧ 𝑘
⃗ = −𝑗
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = +(𝑎𝑥𝑏𝑦)(𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑥𝑏𝑧)(−𝑗) + (𝑎𝑦𝑏𝑥)(−𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑦𝑏𝑧)(𝑖) + (𝑎𝑧𝑏𝑥)(𝑗)
+ (𝑎𝑧𝑏𝑦)(−𝑖)
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = +(𝑎𝑥𝑏𝑦)(𝑘
⃗ ) − (𝑎𝑥𝑏𝑧)(𝑗) − (𝑎𝑦𝑏𝑥)(𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑦𝑏𝑧)(𝑖) + (𝑎𝑧𝑏𝑥)(𝑗)
− (𝑎𝑧𝑏𝑦)(𝑖)
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥)(𝑘
⃗ ) + (𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧)(𝑗) + (𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦)(𝑖)
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = (𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦)(𝑖) + (𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧)(𝑗) + (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥)(𝑘
⃗ )
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = (𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦)𝑖 + (𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧)𝑗 + (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥)𝑘
⃗
‫ي‬
‫الشعاع‬ ‫الجذاء‬ ‫ب‬ ‫ر‬
‫ض‬ ‫حاصل‬
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = (𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦)𝑖 + (𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧)𝑗 + (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥)𝑘
⃗
‫المحدد‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫الجذاء‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬
𝐴⋀𝐵
⃗ = |
𝑖 𝑗 𝑘
⃗
𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧
| = 𝑖 |
𝑎𝑦 𝑎𝑧
𝑏𝑦 𝑏𝑧
| − 𝑗 |
𝑎𝑥 𝑎𝑧
𝑏𝑥 𝑏𝑧
| + 𝑘
⃗ |
𝑎𝑥 𝑎𝑦
𝑏𝑥 𝑏𝑦
|
𝐴⋀𝐵
⃗ = 𝑖(𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑏𝑦𝑎𝑧) − 𝑗(𝑎𝑥𝑏𝑧 − 𝑏𝑥𝑎𝑧) + 𝑘
⃗ (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑏𝑥𝑎𝑦)
𝐴⋀𝐵
⃗ = 𝑖(𝑎𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦) + 𝑗(𝑎𝑧𝑏𝑥 − 𝑎𝑥𝑏𝑧) + 𝑘
⃗ (𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥)

33
‫ب‬ ‫ي‬
‫الشعاع‬ ‫الجذاء‬‫تذكر‬ ‫يمكن‬
‫المختلط‬ ‫الجذاء‬
𝐴
⃗⃗⃗ . (𝐵
⃗ ⋀ 𝐶) = |
𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
𝐶𝑥 𝐶𝑦 𝐶𝑧
|
‫ي‬
‫الشعاع‬ ‫الجذاء‬ ‫خواص‬
-
𝐴 ∧ 𝐵
⃗ = −𝐵
⃗ ∧ 𝐴
-
𝐴
⃗⃗⃗ ∧ (𝐵
⃗ + 𝐶 ) = (𝐴
⃗⃗⃗ ∧ 𝐵
⃗ ) + (𝐴
⃗⃗⃗ ∧ 𝐶)
-
(𝐵
⃗ + 𝐶 ) ∧ 𝐴
⃗⃗⃗ = (𝐵
⃗ ∧ 𝐴
⃗⃗⃗ ) + (𝐶 ∧ 𝐴
⃗⃗⃗ )
-
(𝛼 𝐴
⃗⃗⃗ ) ∧ 𝐵
⃗ = 𝛼 (𝐴
⃗⃗⃗ ∧ 𝐵
⃗ )
-
𝐴
⃗⃗⃗ ∧ (𝛼 𝐵
⃗ ) = 𝛼 (𝐴
⃗⃗⃗ ∧ 𝐵
⃗ )
-
𝐴
⃗⃗⃗ ∧ (𝛼 𝐵
⃗ + 𝛽𝐶 ) = 𝛼 (𝐴
⃗⃗⃗ ∧ 𝐵
⃗ ) + 𝛽 (𝐴
⃗⃗⃗ ∧ 𝐶)
-
𝐴
⃗⃗⃗ ∧ (𝐵
⃗ ∧ 𝐶 ) = 𝐵
⃗ . (𝐴
⃗⃗⃗ . 𝐶) − 𝐶(𝐴
⃗⃗⃗ ∧ 𝐵
⃗ )
4
6.
.
‫شعاع‬ ‫اشتقاق‬
𝑣(𝑡) = 𝑣𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑣𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑣𝑧(𝑡)𝑘
⃗
‫الشعاع‬ ‫اشتقاق‬
𝑣(𝑡)
:‫هو‬
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑣𝑥(𝑡)𝑖 + 𝑣𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑣𝑧(𝑡)𝑘
⃗ )
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(𝑣𝑥(𝑡)𝑖) +
𝑑
𝑑𝑡
(𝑣𝑦(𝑡)𝑗) +
𝑑
𝑑𝑡
(𝑣𝑧(𝑡)𝑘
⃗ )
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖 + 𝑣𝑥(𝑡)
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
𝑑𝑣𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
𝑗 + 𝑣𝑦(𝑡)
𝑑𝑗
𝑑𝑡
+
𝑑𝑣𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
𝑘
⃗ + 𝑣𝑧(𝑡)
𝑑𝑘
⃗
𝑑𝑡

34
‫المعلم‬ ‫ان‬ ‫بما‬
‫ت‬
‫اب‬
‫ث‬
‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫اشتاق‬ ‫فأن‬
‫يساوي‬ ‫المعلم‬ ‫لهذا‬
‫المعدوم‬ ‫الشعاع‬
–
‫الوحدة‬ ‫اشعة‬‫تعتي‬
‫تابثة‬
-
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑑𝑗
𝑑𝑡
=
𝑑𝑘
⃗
𝑑𝑡
= 0
⃗
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑𝑣𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑𝑣𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑𝑣𝑧(𝑡)
𝑑𝑡
𝑘
⃗
‫االشعة‬ ‫اشتقاق‬ ‫خواص‬
1
/
𝒅(𝜶𝑽
⃗⃗ 𝟏+𝜷𝑽
⃗⃗ 𝟐)
𝒅𝒕
= 𝜶
𝒅𝑽
⃗⃗ 𝟏
𝒅𝒕
+ 𝜷
𝒅𝑽
⃗⃗ 𝟐
𝒅𝒕
2
/
𝒅(𝑽
⃗⃗ 𝟏.𝑽
⃗⃗ 𝟐)
𝒅𝒕
=
𝒅𝑽
⃗⃗ 𝟏
𝒅𝒕
. 𝑽
⃗⃗ 𝟐 + 𝑽
⃗⃗ 𝟏.
𝒅𝑽
⃗⃗ 𝟐
𝒅𝒕
‫مثال‬
1
𝒓
⃗ = 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒆
⃗ 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒆
⃗ 𝒚 + 𝐞−𝝎𝒕
𝒆
⃗ 𝒛
‫احسب‬
𝒅𝒓
⃗
𝒅𝒕
،
𝒅𝟐𝒓
⃗
𝒅𝒕𝟐
‫الزمن‬ ‫خالل‬ ‫طاولتهما‬ ‫و‬
0
‫تانية‬
𝒓
⃗ = 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 𝒆
⃗ 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒆
⃗ 𝒚 + 𝐞−𝝎𝒕
𝒆
⃗ 𝒛 → 𝒓
⃗ = {
𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
𝐞−𝝎𝒕
→
𝒅𝒓
⃗
𝒅𝒕
= {
−𝝎𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
𝝎 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕
−𝝎𝐞−𝝎𝒕
𝒅𝒓
⃗
𝒅𝒕
= −𝝎𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒆
⃗ 𝒙 + 𝝎 𝐜𝐨𝐬𝝎𝒕 𝒆
⃗ 𝒚−𝝎𝐞−𝝎𝒕 𝒆
⃗ 𝒛
𝒅𝟐
𝒓
⃗
𝒅𝒕𝟐 = {
−𝝎𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕
−𝝎𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕
𝝎𝟐𝐞−𝝎𝒕
𝒅𝟐𝒓
⃗
𝒅𝒕𝟐
= −𝝎𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 𝒆
⃗ 𝒙 − 𝝎𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 𝒆
⃗ 𝒚 + 𝝎𝟐
𝐞−𝝎𝒕
𝒆
⃗ 𝒛
𝒕 = 𝟎𝒔 →
{
𝒅𝒓
⃗
𝒅𝒕
= {
𝟎
𝝎
−𝝎
𝒅𝟐𝒓
⃗
𝒅𝒕𝟐 = {
−𝝎𝟐
𝟎
𝝎𝟐
𝒅𝒓
⃗
𝒅𝒕
= 𝟎 𝒆
⃗ 𝒙 + 𝝎𝒆
⃗ 𝒚 − 𝝎 𝒆
⃗ 𝒛 → ‖
𝒅𝒓
⃗
𝒅𝒕
‖ = 𝝎√𝟐

35
𝒅𝟐
𝒓
⃗
𝒅𝒕𝟐
= −𝝎𝟐 𝒆
⃗ 𝒙 + 𝟎 𝒆
⃗ 𝒚 + 𝝎𝟐 𝒆
⃗ 𝒛 → ‖
𝒅𝟐
𝒓
⃗
𝒅𝒕𝟐
‖ = 𝝎𝟐
√𝟐
‫مثال‬
2
‫الشعاعان‬ ‫لذينا‬ ‫ليكن‬
r1 = 3t2
i + 2t3
j − tk
⃗
‫و‬
r2 = 4ti + tj + tk
⃗
‫احسب‬
d(r
⃗ 1.r
⃗ 2)
dt
‫و‬
d(r
⃗ 1∧r
⃗ 2)
dt
‫الحل‬
‫حساب‬
d(r
⃗ 1.r
⃗ 2)
dt
‫األوىل‬ ‫الطريقة‬
–
‫االشتقاق‬ ‫طريقة‬
d(r1. r2)
dt
=
dr1
dt
. r2 + r1.
dr2
dt
r1 = 3t2
i + 2t3
j − tk
⃗ = (
3t2
2t3
−t
)
r1 = (
3t2
2t3
−t
)
dr1
dt
=
d(3t2
i + 2t3
j − tk
⃗ )
dt
= (6ti + 6t2j − k
⃗ ) = (
6t
6t2
−1
)
dr1
dt
= (
6t
6t2
−1
)
r2 = 4ti + tj + tk
⃗ = (
4t
t
t
)
r2 = (
4t
t
t
)
dr2
dt
=
d(4ti + tj + tk
⃗ )
dt
= (4i + j + k
⃗ ) = (
4
1
1
)

36
dr2
dt
= (
4
1
1
)
{
dr1
dt
= (
6t
6t2
−1
)
r2 = (
4t
t
t
)
dr2
dt
= (
4
1
1
)
r1 = (
3t2
2t3
−t
)
d(r1. r2)
dt
=
dr1
dt
. r2 + r1.
dr2
dt
d(r1. r2)
dt
= ((6t × 4t) + (6t2 × t) + (−1 × t))
+ ((3t2 × 4) + (2t3 × 1) + (−t × 1))
d(r1. r2)
dt
= 24t2
+ 6t3
− t + 12t2
+ 2t3
− t
d(r1. r2)
dt
= 36t2
+ 8t3
− 2t
d(r1. r2)
dt
= 8t3 + 36t2 − 2t
‫الجذاء‬ ‫طريقة‬ :‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
‫ا‬
‫الجذاء‬ ‫نتيجة‬ ‫نشتق‬ ‫ثم‬ ‫ي‬
‫لسلم‬
r1. r2 = (3t2i + 2t3j − tk
⃗ ). (4ti + tj + tk
⃗ )
r1. r2 = (3t2 × 4t) + (2t3 × t) + (−t × t)
r1. r2 = 12t3 + 2t4 − t2
d(r1. r2)
dt
=
d(12t3 + 2t4 − t2)
dt
= 24t2
+ 8t3
− 2t
‫الحل‬

37
‫حساب‬
d(r
⃗ 1∧r
⃗ 2)
dt
‫األوىل‬ ‫الطريقة‬
–
‫االشتقاق‬ ‫طريقة‬
d(r1 ∧ r2)
dt
=
dr1
dt
∧ r2 + r1 ∧
d
dt
r2 = |
𝒆
⃗ 𝒙 𝒆
⃗ 𝒚 𝒆
⃗ 𝒛
6t 6t2 −1
𝟒𝒕 𝒕 𝒕
| + |
𝒆
⃗ 𝒙 𝒆
⃗ 𝒚 𝒆
⃗ 𝒛
3t2 2t3 −t
𝟒 𝟏 𝟏
|
d(r1 ∧ r2)
dt
= [[(6t2 × t) − (t × (−1))]𝒆
⃗ 𝒙 − [(6t × t) − (4t × (−1))]𝒆
⃗ 𝒚
+ [(6t × t) − (4t × 6t2)]𝒆
⃗ 𝒛]
+ [[(2t3 × 1) − (1 × (−t))]𝒆
⃗ 𝒙 − [(3t2 × 1) − (4 × (−t))]𝒆
⃗ 𝒚
+ [(3t2
× 1) − (4 × 2t3)]𝒆
⃗ 𝒛]
d(r1 ∧ r2)
dt
= [[6t3 + t]𝒆
⃗ 𝒙 − [6t2 + 4t]𝒆
⃗ 𝒚 + [6t2 − 24t3]𝒆
⃗ 𝒛]
+ [[2t3
+ t]𝒆
⃗ 𝒙 − [3t2
+ 4t]𝒆
⃗ 𝒚 + [3t2
− 8t3]𝒆
⃗ 𝒛]
d(r1 ∧ r2)
dt
= [[8t3
+ 2t]𝒆
⃗ 𝒙 − [9t2
+ 8t]𝒆
⃗ 𝒚 + [9t2
− 32t3]𝒆
⃗ 𝒛]
‫الجذاء‬ ‫نتيجة‬ ‫نشتق‬ ‫ثم‬ ‫ي‬
‫الشعاع‬ ‫الجذاء‬ ‫طريقة‬ :‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
r1 ∧ r2 = |
𝒆
⃗ 𝒙 𝒆
⃗ 𝒚 𝒆
⃗ 𝒛
3t2 2t3 −t
𝟒𝒕 𝒕 𝒕
|
r1 ∧ r2 = [[(2t3 × t) − (t × (−t))]𝒆
⃗ 𝒙 − [(3t2 × t) − (4t × (−t))]𝒆
⃗ 𝒚
+ [(3t2
× t) − (4t × 2t3)]𝒆
⃗ 𝒛]
r1 ∧ r2 = [2t4 + t2]𝒆
⃗ 𝒙 − [3t3 + 4t2]𝒆
⃗ 𝒚 + [3t3 − 8t4]𝒆
⃗ 𝒛
d(r1 ∧ r2)
dt
=
d([2t4 + t2]𝒆
⃗ 𝒙 − [3t3 + 4t2]𝒆
⃗ 𝒚 + [3t3 − 8t4]𝒆
⃗ 𝒛)
dt

38
d(r1 ∧ r2)
dt
= [8t3 + 2t]𝒆
⃗ 𝒙 − [9t2 + 8t]𝒆
⃗ 𝒚 + [9t2 − 32t3]𝒆
⃗ 𝒛
.4
7
‫الموجهة‬ ‫التمام‬ ‫جيوب‬.
‖𝒊‖ = ‖𝒋‖ = ‖𝒌
⃗
⃗ ‖ = 𝟏
{
𝑖. 𝑖 = ‖𝑖‖‖𝑖‖𝑐𝑜𝑠0 = 1
𝑗. 𝑗 = ‖𝑗‖‖𝑗‖𝑐𝑜𝑠0 = 1
𝑘
⃗ . 𝑘
⃗ = ‖𝑘
⃗ ‖‖𝑘
⃗ ‖𝑐𝑜𝑠0 = 1
𝑖. 𝑗 = 𝑗. 𝑖 = ‖𝑖‖‖𝑗‖𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
= 0
𝑖. 𝑘
⃗ = 𝑘
⃗ . 𝑖 = ‖𝑖‖‖𝑘
⃗ ‖𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
= 0
𝑗. 𝑘
⃗ = 𝑘
⃗ . 𝑗 = ‖𝑗‖‖𝑘
⃗ ‖𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
= 0

39
𝑽
⃗⃗ = (𝑽
⃗⃗ )𝒙
+ (𝑽
⃗⃗ )𝒚
+ (𝑽
⃗⃗ )𝒛
𝑽
⃗⃗ = (𝑽)𝒙𝒊 + (𝑽)𝒚 𝒋 + (𝑽)𝒛 𝑲
⃗⃗⃗
𝑽
⃗⃗ . 𝒊 = ‖𝑽
⃗⃗ ‖. ‖𝒊‖ 𝒄𝒐𝒔 (𝑽
⃗⃗ , 𝒊)
𝑽
⃗⃗ . 𝒊 = ‖𝑽
⃗⃗ ‖ 𝒄𝒐𝒔 𝜶
𝑽
⃗⃗ . 𝒊 = ((𝑽)𝒙𝒊 + (𝑽)𝒚 𝒋 + (𝑽)𝒛 𝑲
⃗⃗⃗ ). 𝒊
𝑽
⃗⃗ . 𝒊 = (𝑽)𝒙
{
𝑽
⃗⃗ . 𝒊 = (𝑽)𝒙
𝑽
⃗⃗ . 𝒊 = ‖𝑽
(𝑽)𝒙 = ‖𝑽
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
(𝑽)𝒙
‖𝑽
⃗⃗ ‖
‫نجد‬ ‫الطريقة‬ ‫بنفس‬
{
𝑽
⃗⃗ . 𝒋 = (𝑽)𝒚
𝑽
⃗⃗ . 𝒋 = ‖𝑽
⃗⃗ ‖ 𝒄𝒐𝒔 𝜷
(𝑽)𝒚 = ‖𝑽
⃗⃗ ‖ 𝒄𝒐𝒔 𝜷
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
(𝑽)𝒚
‖𝑽
⃗⃗ ‖
{
𝑽
⃗⃗ . 𝒌
⃗
⃗ = (𝑽)𝒛
𝑽
⃗⃗ . 𝒌
⃗
⃗ = ‖𝑽
⃗⃗ ‖ 𝒄𝒐𝒔 𝜸
(𝑽)𝒛 = ‖𝑽
⃗⃗ ‖ 𝒄𝒐𝒔𝜸
𝒄𝒐𝒔 𝜸 =
(𝑽)𝒛
‖𝑽
⃗⃗ ‖

40
{
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
(𝑽)𝒙
‖𝑽
⃗⃗ ‖
𝒄𝒐𝒔 𝜷 =
(𝑽)𝒚
‖𝑽
⃗⃗ ‖
𝒄𝒐𝒔 𝜸 =
(𝑽)𝒛
‖𝑽
⃗⃗ ‖
‫تسم‬
𝒄𝒐𝒔 𝜶
‫و‬
𝒄𝒐𝒔 𝜷
‫و‬
𝒄𝒐𝒔 𝜸
‫للشعاع‬ ‫اتجاهيه‬ ‫تمام‬ ‫جيوب‬
𝑽
⃗⃗
4
.
8
.
‫التفاضلية‬ ‫ات‬‫ر‬‫المؤث‬
:‫نابلة‬‫مؤثر‬
𝛻
⃗
𝛻
⃗ =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
⃗
‫مؤثر‬
Gradient (“multiplication by a scalar”)
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
: ‫ي‬
‫يل‬ ‫كما‬‫معرف‬ ‫ي‬
‫شعاع‬ ‫مقدار‬ ‫تدرجها‬ ‫فإن‬ ‫سلمية‬ ‫دالة‬
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑧
𝑘
⃗
‫الموضع‬ ‫شعاع‬ ‫ليكن‬ ‫مثال‬
𝑟 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧
‫بحيث‬
‖𝑟‖ = 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
1
2
‫احسب‬
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟
،
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1
𝑟
‫و‬
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑙𝑛𝑟
‖𝑟‖ = 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = (𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
1
2
1) 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 =
𝜕𝑟
𝜕𝑥
𝑒𝑥 +
𝜕𝑟
𝜕𝑦
𝑒𝑦 +
𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝑒𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 =
𝜕(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
1
2
𝜕𝑥
𝑒𝑥 +
𝜕(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
1
2
𝜕𝑦
𝑒𝑦 +
𝜕(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
1
2
𝜕𝑧
𝑒𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 = [
1
2
2𝑥(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
−1
2 ] 𝑒𝑥 + [
1
2
2𝑦(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
−1
2 ]𝑒𝑦
+ [
1
2
2𝑧(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
−1
2 ] 𝑒𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 = (𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
−1
2 [𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧]

41
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 =
[𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧]
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
1
2
=
𝑟
𝑟
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑟 =
𝑟
𝑟
= 𝑢
⃗
𝑟 = 𝑟𝑢
⃗ → 𝑢
⃗ =
𝑟
𝑟
2) 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1
𝑟
=
𝜕
1
𝑟
𝜕𝑥
𝑒𝑥 +
𝜕
1
𝑟
𝜕𝑦
𝑒𝑦 +
𝜕
1
𝑟
𝜕𝑧
𝑒𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1
𝑟
=
𝜕(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
−1
2
𝜕𝑥
𝑒𝑥 +
𝜕(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
−1
2
𝜕𝑦
𝑒𝑦
+
𝜕(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
−1
2
𝜕𝑧
𝑒𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1
𝑟
= [
−1
2
2𝑥(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
−3
2 ]𝑒𝑥 + [
−1
2
2𝑦(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
−3
2 ] 𝑒𝑦
+ [
−1
2
2𝑧(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
−3
2 ] 𝑒𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1
𝑟
= −(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
−3
2 [𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧]
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1
𝑟
=
−[𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧]
(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
3
2
=
−𝑟
𝑟3
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1
𝑟
=
−𝑟
𝑟3
3) 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑙𝑛𝑟 =
𝜕𝑙𝑛𝑟
𝜕𝑥
𝑒𝑥 +
𝜕𝑙𝑛𝑟
𝜕𝑦
𝑒𝑦 +
𝜕𝑙𝑛𝑟
𝜕𝑧
𝑒𝑧
𝑙𝑛𝑟 = 𝑙𝑛(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
1
2 =
1
2
𝑙𝑛(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑙𝑛𝑟) =
𝜕
1
2
𝑙𝑛(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
𝜕𝑥
𝑒𝑥 +
𝜕
1
2
𝑙𝑛(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2)
𝜕𝑦
𝑒𝑦
+
𝜕
1
2
𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)
𝜕𝑧
𝑒𝑧

42
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑙𝑛𝑟) =
1
2
2𝑥
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑒𝑥 +
1
2
2𝑦
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑒𝑦 +
1
2
2𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝑒𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑙𝑛𝑟) =
𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
=
𝑟
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
=
𝑟
𝑟2
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑙𝑛𝑟) =
𝑟
𝑟2
‫التباعد‬‫مؤثر‬
Divergence of a vector field (“scalar product”)
‫شعاعية‬ ‫لدالة‬ ‫التباعد‬ ‫يعرف‬
𝑉
⃗
‫ي‬
‫كمايل‬
𝑉
⃗ = 𝛻
⃗ . 𝑉
⃗ = (
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
⃗ ). (𝑉
𝑥𝑖 + 𝑉
𝑦𝑗 + 𝑉
𝑧𝑘
⃗ )
𝑉
⃗ =
𝜕𝑉
𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑉
𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑉
𝑧
𝜕𝑧
‫للدالة‬ ‫ي‬
‫الشعاع‬ ‫التباعد‬ ‫احسب‬ ‫مثال‬
𝑉
⃗
𝑉
⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑦𝑖 − 3𝑦𝑧2
𝑗 + 9𝑥𝑦3
𝑘
⃗
𝛻
⃗ . 𝑉
⃗ =
𝜕𝑉
𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑉
𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝑉
𝑧
𝜕𝑧
𝛻
⃗ . 𝑉
⃗ =
𝜕(2𝑥𝑦)
𝜕𝑥
+
𝜕(−3𝑦𝑧2)
𝜕𝑦
+
𝜕(9𝑥𝑦3)
𝜕𝑧
𝛻
⃗ . 𝑉
⃗ = 2𝑦 − 3𝑧2
‫ان‬‫ر‬‫الدو‬‫مؤثر‬
Curl
𝑐𝑢𝑟𝑙𝑉
⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛻
⃗ ⋀𝑉
⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝛻
⃗ ⋀𝑉
⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = |
|
𝑖 𝑗 𝑘
⃗
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑉
𝑥 𝑉
𝑦 𝑉
𝑧
|
|
𝛻
⃗ ⋀𝑉
⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 (
𝜕𝑉
𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑉
𝑦
𝜕𝑧
) − 𝑗 (
𝜕𝑉
𝑧
𝜕𝑥
−
𝜕𝑉
𝑥
𝜕𝑧
) + 𝑘
⃗ (
𝜕𝑉
𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝑉
𝑥
𝜕𝑦
)
‫مثال‬
‫الشعاع‬ ‫ليكن‬
𝑨
⃗⃗ = (𝟐𝒙𝒚 + 𝒛𝟑)𝒆
⃗ 𝒙 + (𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚)𝒆
⃗ 𝒚 + (𝟑𝐱𝐳𝟐
− 𝟐) 𝒆
⃗ 𝒛
1
/
‫احسب‬
𝒅𝒊𝒗. 𝑨
⃗⃗

43
2
/
‫ان‬ ‫ر‬
‫بي‬
𝒓𝒐𝒕
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨
⃗⃗ = 𝟎
⃗
⃗
‫الحل‬
1
/
‫حساب‬
𝒅𝒊𝒗. 𝑨
⃗⃗
𝑨
⃗⃗ = (𝟐𝒙𝒚 + 𝒛𝟑)𝒆
⃗ 𝒙 + (𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚)𝒆
⃗ 𝒚 + (𝟑𝐱𝐳𝟐
− 𝟐) 𝒆
⃗ 𝒛 = (
(𝟐𝒙𝒚 + 𝒛𝟑)
(𝒙𝟐 + 𝟐𝒚)
(𝟑𝐱𝐳𝟐 − 𝟐)
)
𝜵
⃗⃗ =
𝝏
𝝏𝒙
𝒆
⃗ 𝒙 +
𝝏
𝝏𝒚
𝒆
⃗ 𝒚 +
𝝏
𝝏𝒛
𝒆
⃗ 𝒛 =
(
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒛)
𝒅𝒊𝒗. 𝑨
⃗⃗ = (
𝝏
𝝏𝒙
𝒆
⃗ 𝒙 +
𝝏
𝝏𝒚
𝒆
⃗ 𝒚 +
𝝏
𝝏𝒛
𝒆
⃗ 𝒛) . ((𝟐𝒙𝒚 + 𝒛𝟑)𝒆
⃗ 𝒙 + (𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚)𝒆
⃗ 𝒚
+ (𝟑𝐱𝐳𝟐
− 𝟐) 𝒆
⃗ 𝒛)
𝒅𝒊𝒗. 𝑨
⃗⃗ =
𝝏(𝟐𝒙𝒚 + 𝒛𝟑)
𝝏𝒙
+
𝝏(𝒙𝟐 + 𝟐𝒚)
𝝏𝒚
+
𝝏 (𝟑𝐱𝐳𝟐 − 𝟐)
𝝏𝒛
𝒅𝒊𝒗. 𝑨
⃗⃗ = 𝟐𝒚 + 𝟐 + 𝟔𝒙𝒛
𝒆
⃗ 𝒊. 𝒆
⃗ 𝒋 = 𝟏 → 𝒊 = 𝒋
𝒆
⃗ 𝒊. 𝒆
⃗ 𝒋 = 𝟎 → 𝒊 ≠ 𝒋
2
/
𝒓𝒐𝒕
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝛁
⃗⃗ ∧ 𝑨
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛)
𝛁
⃗⃗ ∧ 𝑨
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = |
|
𝒆
⃗ 𝒙 𝒆
⃗ 𝒚 𝒆
⃗ 𝒛
𝝏
𝝏𝒙
𝝏
𝝏𝒚
𝝏
𝝏𝒛
(𝟐𝒙𝒚 + 𝒛𝟑) (𝒙𝟐 + 𝟐𝒚) (𝟑𝐱𝐳𝟐 − 𝟐)
|
|
𝛁
⃗⃗ ∧ 𝑨
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛)
= [
𝝏
𝝏𝒚
(𝟑𝐱𝐳𝟐
− 𝟐) −
𝝏
𝝏𝒛
(𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚)] 𝒆
⃗ 𝒙
− [
𝝏
𝝏𝒙
(𝟑𝐱𝐳𝟐 − 𝟐) −
𝝏
𝝏𝒛
(𝟐𝒙𝒚 + 𝒛𝟑)] 𝒆
⃗ 𝒚
+ [
𝝏
𝝏𝒙
(𝒙𝟐 + 𝟐𝒚) −
𝝏
𝝏𝒚
(𝟐𝒙𝒚 + 𝒛𝟑)]𝒆
⃗ 𝒛
𝛁
⃗⃗ ∧ 𝑨
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = [𝟎 − (𝑶)]𝒆
⃗ 𝒙 − [(𝟑𝐳𝟐) − (𝟑𝒛𝟐)]𝒆
⃗ 𝒚 + [(𝟐𝒙) − (𝟐𝒙)]𝒆
⃗ 𝒛

44
𝛁
⃗⃗ ∧ 𝑨
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎 𝒆
⃗ 𝒙 − 𝟎 𝒆
⃗ 𝒚 + 𝟎 𝒆
⃗ 𝒛
𝛁
⃗⃗ ∧ 𝑨
⃗⃗ (𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎
⃗
⃗
5
.
‫ة‬‫الشهي‬ ‫اإلحداثيات‬
‫ر‬
‫ف‬
‫اسة‬‫ر‬‫لد‬ ،‫الطول‬ ‫قياس‬ ‫بوحدة‬ ‫المحدد‬ ‫ي‬ ‫ي‬
‫اإلقليدئ‬ ‫ي‬
‫الهندش‬ ‫الفضاء‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫استها‬‫ر‬‫د‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يكق‬ ‫مادية‬ ‫نقطة‬ ‫اسة‬‫ر‬‫لد‬
.‫النقطة‬ ‫احداثيات‬ ‫ر‬
‫تعي‬ ‫يتطلب‬ ‫المادية‬ ‫النقطة‬ ‫هذه‬
1.5
.
‫ىة‬‫ر‬
‫تي‬‫ر‬‫الكا‬ ‫اإلحداثيات‬
:
Cartesian coordinates
-
:‫المستوي‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫االحداثيات‬
‫النقطة‬ ‫نحدد‬ ‫االحداثيات‬ ‫هذه‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
M
‫مستوي‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
( ‫سلمية‬ ‫بإحداثيات‬
x
‫و‬
y
)
‫االحداثيات‬ ‫لهذه‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
𝑖
‫و‬
𝑗
𝒙 ∈ [−∞, +∞]
‫و‬
𝒚 ∈ [−∞, +∞]
:‫هو‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫هذه‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الموضع‬ ‫شعاع‬
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑥
+ (𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑦
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑂𝑀)𝑥 𝑖 + (𝑂𝑀)𝑦 𝑗
{
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗
‫األسناد‬ ‫قاعد‬
:
(𝑂, 𝑖, 𝑗)
‫متعامد‬
‫ة‬
‫متجانسة‬ ( ‫متجانسة‬ ‫و‬
‫معناها‬
‫يساوي‬ ‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫طول‬
1
)
‖𝑖‖ = ‖𝑗‖
‫المعدوم‬ ‫الشعاع‬ ‫يساوي‬ ‫اشتقاقها‬ ‫الثابت‬ ‫المعلم‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫ثابتة‬ ‫الوحد‬ ‫اشعة‬ ‫ان‬ ‫بما‬

45
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑑𝑗
𝑑𝑡
= 0
⃗
‫الشعاع‬ ‫طاولة‬
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫ر‬
‫يعب‬
O
M
‖𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑂𝑀 = √𝑥2 + 𝑦2
‫اوية‬‫ز‬‫ال‬
𝜽
‫الشعاع‬ ‫يصنعها‬ ‫ي‬
‫الب‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫ي‬
‫ه‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫المحور‬‫و‬
Ox
{
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
(𝑶𝑴)𝒙
𝑶𝑴
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
(𝑶𝑴)𝒚
𝑶𝑴
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
𝑶𝑴
𝑶𝑴
‫ة‬‫المبارس‬ ‫بالطريقة‬ ‫الشعاع‬ ‫كتابة‬‫يمكن‬
𝐎𝐌
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝒖
⃗⃗
𝐎𝐌
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴 𝒖
⃗⃗
{
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴(𝐜𝐨𝐬𝜽𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋)
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴 𝒖
⃗⃗
‫نجد‬ ‫بالمقارنة‬
𝒖
⃗⃗ = 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋
-
:‫الفضاء‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫االحداثيات‬

46
‫النقطة‬ ‫نحدد‬ ‫االحداثيات‬ ‫هذه‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
M
( ‫سلمية‬ ‫بإحداثيات‬ ‫الفضاء‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
x
،
y
‫و‬
z
)
‫االحداثيات‬ ‫لهذه‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
𝑖
،
𝑗
‫و‬
𝑘
⃗
𝒙 ∈ [−∞, +∞]
‫و‬
𝒚 ∈ [−∞, +∞]
‫و‬
𝒛 ∈ [−∞, +∞]
‫الموضع‬ ‫شعاع‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝒙
+ (𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝒚
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑶𝒎)𝒙𝒊 + (𝑶𝒎)𝒚 𝒋
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋
𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝒛

47
𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒎𝑴)𝒛𝒌
⃗
⃗
𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒛 𝒌
⃗
⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋 + 𝒛 𝒌
⃗
⃗
:‫األسناد‬ ‫قاعد‬
(𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘
⃗ )
‫يساوي‬ ‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫طول‬ ‫معناها‬ ‫متجانسة‬ ( ‫متجانسة‬ ‫و‬ ‫متعامدة‬
1
)
‖𝑖‖ = ‖𝑗‖ = ‖𝑘
⃗ ‖
‫المعدوم‬ ‫الشعاع‬ ‫يساوي‬ ‫اشتقاقها‬ ‫الثابت‬ ‫المعلم‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫ثابتة‬ ‫الوحد‬ ‫اشعة‬ ‫ان‬ ‫بما‬
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑑𝑗
𝑑𝑡
=
𝑑𝑘
⃗
𝑑𝑡
= 0
⃗
‫الشعاع‬ ‫طاولة‬
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫ر‬
‫يعب‬
O
M
‖𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑂𝑀 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜽
‫الشعاع‬ ‫يصنعها‬ ‫ي‬
‫الب‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫ي‬
‫ه‬
𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫المحور‬‫و‬
Ox
{
𝐜𝐨𝐬𝜽 =
(𝑶𝒎)𝒙
𝑶𝒎
→ (𝑶𝒎)𝒙 = 𝑥 = 𝑂𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
(𝑶𝒎)𝒚
𝑶𝒎
→ (𝑶𝒎)𝒚 = 𝑦 = 𝑂𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝜃
{
𝑥 = 𝑂𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 𝑂𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑧 = 𝑧

48
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋 + 𝒛 𝒌
⃗
⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝒊 + 𝑂𝑚 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝒋 + 𝒛 𝒌
⃗
⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑚( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝒊 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝒋) + 𝒛 𝒌
⃗
⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑚( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝒊 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝒋) + 𝒛 𝒌
⃗
⃗
{
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
(𝑶𝑴)𝒙
𝑶𝑴
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
(𝑶𝑴)𝒚
𝑶𝑴
2.5
.
‫القطبية‬ ‫اإلحداثيات‬
:
Polar Coordinates
‫اس‬‫ر‬‫د‬
‫تها‬
‫مستوي‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫تكون‬
‫معلم‬
‫ها‬
‫ي‬
‫القطب‬ ‫المعلم‬ ‫يسم‬
‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫ات‬‫المتغي‬
‫ي‬
‫ه‬ ‫االحداثيات‬ ‫هذه‬
‫القطر‬ ‫نصف‬
r
‫اوية‬‫ز‬‫ال‬‫و‬
θ
‫نصف‬
‫القطر‬
𝒓 ∈ [𝟎, ∞]
‫و‬
𝜽 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅]
‫ي‬
‫القطب‬ ‫للمعلم‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
𝑢
⃗ 𝑟
‫و‬
𝑢
⃗ 𝜃
‫متعامد‬ ‫معلم‬ ‫هو‬ ‫ي‬
‫القطب‬ ‫المعلم‬
(
𝒖
⃗⃗ 𝒓 ⊥ 𝒖
⃗⃗ 𝜽
)
‫الواحد‬ ‫يساوي‬ ‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫(طول‬ ‫ومتجانس‬
‖ 𝑢
⃗ 𝑟‖ = ‖𝑢
⃗ 𝜃‖ = 1
)

49
‫ال‬ ‫االحداثيات‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫قطبية‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴 𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝑶𝑴 = 𝒓
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 = 𝒓 𝒖
⃗⃗ 𝒓
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬
𝑢
⃗ 𝑟
‫ر‬
‫الشعاع‬ ‫اسقاط‬ ‫طريقة‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑥
+ (𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑦
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑂𝑀)𝑥 𝑖 + (𝑂𝑀)𝑦 𝑗
{
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗

50
{
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
(𝑶𝑴)𝒙
𝑶𝑴
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
(𝑶𝑴)𝒚
𝑶𝑴
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
𝑶𝑴
𝑶𝑴
𝑶𝑴 = 𝒓
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓 (𝐜𝐨𝐬𝜽𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋)
{
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓(𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋)
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴 𝒖
⃗⃗ 𝒓
‫نجد‬ ‫بالمقارنة‬
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫لحساب‬
𝒖
⃗⃗ 𝜽
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫اشتقاق‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يكق‬
𝒖
⃗⃗ 𝒓
‫اوية‬‫ز‬‫لل‬ ‫بالنسبة‬
𝜽
{
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒋
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
=
𝒅(𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒋)
𝒅𝜽
= − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒋 = 𝒖
⃗⃗ 𝜽
→ (
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
⊥ 𝒖
⃗⃗ 𝒓)
‫متعامدان‬ ‫واشتقاقه‬ ‫الشعاع‬ ‫ان‬ ‫استنتاجها‬ ‫يمكن‬ ‫قاعدة‬ ‫اهم‬
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
⊥ 𝒖
⃗⃗ 𝒓
{
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒋
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = − 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒋
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫اشتقاق‬ ‫عند‬
𝒖
⃗⃗ 𝜽
‫اوية‬‫ز‬‫لل‬ ‫بالنسبة‬
𝜽
‫نجد‬
{
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒋
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝜽
=
𝒅(−𝒔𝒊𝒏 𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒋)
𝒅𝜽
= −(𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽𝒋) = −𝒖
⃗⃗ 𝒓
→ (
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝜽
⊥ 𝒖
⃗⃗ 𝜽)
‫متعامدان‬ ‫واشتقاقه‬ ‫الشعاع‬ ‫ان‬ ‫استنتاجها‬ ‫يمكن‬ ‫قاعدة‬ ‫اهم‬
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝜽
⊥ 𝒖
⃗⃗ 𝜽

51
{
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋
𝒖
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
= 𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝜽
= −𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
⊥ 𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝜽
⊥ 𝒖
⃗⃗ 𝜽
‖𝒖
⃗⃗ 𝒓‖ = 1
‖𝒖
⃗⃗ 𝜽‖ = 1
‫اسقاطها‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫ي‬
‫القطب‬ ‫للمعلم‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫إيجاد‬ ‫يمكن‬
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = (𝒖
⃗⃗ 𝒓)𝑥 + (𝒖
⃗⃗ 𝒓)𝑦
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = (𝑢𝑟)𝑥𝑖 + (𝒖
⃗⃗ 𝒓)𝑦𝑗
{
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
(𝑢𝑟)𝑥
‖𝒖
⃗⃗ 𝒓‖
=
(𝑢𝑟)𝑥
1
→ (𝑢𝑟)𝑥 = 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
(𝒖
⃗⃗ 𝒓)𝑦
‖𝒖
⃗⃗ 𝜽‖
=
(𝒖
⃗⃗ 𝒓)𝑦
1
→ (𝒖
⃗⃗ 𝒓)𝑦 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝑖 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝑗
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = (𝒖
⃗⃗ 𝜽)𝑥 + (𝒖
⃗⃗ 𝜽)𝑦
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = −(𝑢𝜃)𝑦 𝑖 + (𝒖
⃗⃗ 𝜽)𝑥𝑗
{
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
(𝑢𝜃)𝑦
‖𝒖
⃗⃗ 𝒓‖
=
(𝑢𝜃)𝑦
1
→ (𝑢𝜃)𝑦 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽 =
(𝑢𝜃)𝑥
‖𝒖
⃗⃗ 𝜽‖
=
(𝑢𝜃)𝑥
1
→ (𝑢𝜃)𝑥 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = − 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝑖 + 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝑗
:‫الشعاع‬ ‫طول‬
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
‖𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √𝑥2 + 𝑦2

52
{
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃
{
𝒙2 = 𝒓2𝒄𝒐𝒔2𝜃
𝒚2
= 𝒓2
𝒔𝒊𝒏2
𝜃
𝒙2
+ 𝒚2
= 𝒓2
𝒄𝒐𝒔2
𝜽 + 𝒓2
𝒔𝒊𝒏2
𝜽
𝒙2 + 𝒚2 = 𝒓2(𝒄𝒐𝒔2𝜽 + 𝒔𝒊𝒏2𝜽)
𝒄𝒐𝒔2
𝜽 + 𝒔𝒊𝒏2
𝜽 = 1
𝒙2 + 𝒚2 = 𝒓2
√𝒙2 + 𝒚2 = 𝒓
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝒚
𝒙
→ 𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒚
𝒙
‫المرور‬
‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫من‬
‫اىل‬ ‫القطبية‬
‫ية‬‫ر‬
‫الكارتي‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
‫والعكس‬
‫االسناد‬ ‫أساس‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬‫التغي‬‫او‬
{
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒋
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = − 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒋
{
𝑐𝑜𝑠 𝜃 (𝒖
⃗⃗ 𝒓) = (𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽𝒋) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 …… (1)
𝑠𝑖𝑛 𝜃 (𝒖
⃗⃗ 𝜽) = (−𝒔𝒊𝒏 𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒋) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 … . . (2)
{
⃗⃗ 𝒓) = 𝒄𝒐𝒔2
𝜃 𝒊 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝒋 … … (1)
⃗⃗ 𝜽) = −𝒔𝒊𝒏2
𝜃 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝒋 … . . (2)
(1) − (2) = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝒓) − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝜽)
= 𝒄𝒐𝒔2
𝜽 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒋 − (−𝒔𝒊𝒏2
𝜽 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒋)
𝒄𝒐𝒔 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝒓) − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝜽)
= 𝒄𝒐𝒔2 𝜽 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒋 + 𝒔𝒊𝒏2 𝜽 𝒊 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒋
⃗⃗ 𝒓) − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝜽)
= (𝒄𝒐𝒔2
𝜽 + 𝒔𝒊𝒏2
𝜽)𝒊 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒋 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒋
⃗⃗ 𝒓) − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝜽) = 𝒊
𝒊 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒖
⃗⃗ 𝒓 − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒖
⃗⃗ 𝜽
{
⃗⃗ 𝒓) = (𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒊 + 𝒔𝒊𝒏 𝜽𝒋) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 … …(1)
⃗⃗ 𝜽) = (−𝒔𝒊𝒏 𝜽𝒊 + 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝒋) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 … . . (2)
{
⃗⃗ 𝒓) = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏2 𝜃𝒋 … …(1)
⃗⃗ 𝜽) = −𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔2
𝜃𝒋 … . . (2)

53
(1) + (2) = 𝒔𝒊𝒏 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝒓) + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝜽)
= 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏2 𝜽𝒋 + (−𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔2 𝜽𝒋)
𝒔𝒊𝒏 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝒓) + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝜽)
= 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏2 𝜽𝒋 − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔2 𝜽𝒋
⃗⃗ 𝒓) + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝜽) = (𝒔𝒊𝒏2 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔2 𝜽)𝒋
⃗⃗ 𝒓) + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 (𝒖
⃗⃗ 𝜽) = 𝒋
𝒋 = 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒖
⃗⃗ 𝒓 + 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒖
⃗⃗ 𝜽
{
𝒊 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝒓 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒋 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝒓 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝜽
{
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋
𝒖
→ {
⃗⃗ 𝜽
⃗⃗ 𝜽
[
𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒖
⃗⃗ 𝜽
] = [
𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽
− 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽
] . [
𝒊
𝒋
]
[
𝒊
𝒋
] = [
𝐜𝐨𝐬𝜽 − 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝜽
] . [
𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒖
⃗⃗ 𝜽
]
‫العنضي‬ ‫االنتقال‬ ‫شعاع‬
‫النقطة‬ ‫عند‬
M
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋
{
→ {
𝑑𝑥 = 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 𝑑𝜃 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝑑𝑦 = 𝑑𝑟 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝑟 𝑑𝜃 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒅𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓 𝒅𝜽𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒊 + (𝒅𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝒓 𝒅𝜽𝐜𝐨𝐬 𝜽)𝒋
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒅𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋 − 𝒓 𝒅𝜽𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒊 + 𝒓 𝒅𝜽𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒋
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒓 (𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋) + 𝒓 𝒅𝜽(− 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒋)
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝒖
⃗⃗ 𝒓 + 𝑟 𝑑𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝜽
‫ثابتة‬ ‫ليست‬ ‫القطبية‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬ ‫المادية‬ ‫النقطة‬ ‫تحرك‬ ‫مع‬ ‫يتحرك‬ ‫ي‬
‫القطب‬ ‫المعلم‬
‫بالنسبة‬ ‫اشتقاقها‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬ ‫تجاهها‬ ‫أيضا‬ ‫ويتغي‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬‫تغي‬ ‫مع‬ ‫تتغي‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬
.‫المعدوم‬ ‫الشعاع‬ ‫يساوي‬ ‫ال‬ ‫للزمن‬

54
{
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝒕
=
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
.
𝒅θ
𝒅𝒕
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝒕
=
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝜽
.
𝒅θ
𝒅𝒕
→
{
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
= 𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝜽
= −𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅θ
𝒅𝒕
= 𝜃̇
{
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝒕
= 𝜽̇ 𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝒕
= −𝜽̇ 𝒖
⃗⃗ 𝒓
‫مالحظة‬
.‫العنضي‬ ‫االنتقال‬ ‫شعاع‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫ي‬
‫القطب‬ ‫للمعلم‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫االيجاد‬ ‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋
{
→ {
𝑑𝑥 = 𝑑𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟 𝑑𝜃 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝑑𝑦 = 𝑑𝑟 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝑟 𝑑𝜃 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒅𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓 𝒅𝜽𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒊 + (𝒅𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 + 𝒓 𝒅𝜽𝐜𝐨𝐬 𝜽)𝒋
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝒅𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋 − 𝒓 𝒅𝜽𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒊 + 𝒓 𝒅𝜽𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒋
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒓 (𝒄𝒐𝒔𝜽𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒋) + 𝒓 𝒅𝜽(− 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝒋)
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝒖
⃗⃗ 𝒓 + 𝑟 𝑑𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝜽
3.5
.
: ‫األسطوانية‬ ‫اإلحداثيات‬
Cylindrical Coordinates
)‫البعد‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ثالئ‬ ( ‫الفضاء‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫تكون‬ ‫استها‬‫ر‬‫د‬
‫ي‬
‫ر‬
‫األسطوائ‬ ‫المعلم‬ ‫يسم‬ ‫معلمها‬
‫ي‬
‫ه‬ ‫االحداثيات‬ ‫هذه‬ ‫ي‬
‫ر‬
r
‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ،
θ
‫تفاع‬‫ر‬‫اال‬‫و‬
z
‫نصف‬
‫القطر‬
𝒓 ∈ [𝟎, ∞]
‫و‬
𝜽 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅]
‫و‬
‫الطول‬
𝒛 ∈ [−∞, +∞]
‫اال‬ ‫للمعلم‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
‫ي‬
‫ر‬
‫سطوائ‬
2
𝑢
⃗ 𝑟
،
𝑢
⃗ 𝜃
‫و‬
𝑢
⃗ 𝑧
‫الواحد‬ ‫يساوي‬ ‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫(طول‬ ‫ومتجانس‬ ‫متعامد‬ ‫معلم‬ ‫هو‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫األسطوائ‬ ‫المعلم‬
‖ 𝑢
⃗ 𝑟‖ = ‖𝑢
⃗ 𝜃‖ =
‖𝑢
⃗ 𝑧‖ = 1
)

55
‫األسطوانية‬ ‫االحداثيات‬ ‫ي‬
‫ر‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑯
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑯𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓 𝒖
⃗⃗ 𝒓 + 𝒛 𝒖
⃗⃗ 𝒛
‫الموضع‬ ‫شعاع‬ ‫طول‬
|𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √𝒓2 + 𝒛2
{
𝑦 = 𝑟 𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝑧 = 𝑧
{
𝑟 = √𝒙2 + 𝒚2
𝜃 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒚
𝒙
𝑧 = 𝑧
‫االسطوانية‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
{
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝒊 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝒋
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = −𝑠𝑖𝑛𝜃𝒊 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝒋
𝒖
⃗⃗ 𝒛 = 𝒌
⃗
⃗
‫االسناد‬ ‫أساس‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬‫التغي‬‫او‬ ‫والعكس‬ ‫ية‬‫ر‬
‫الكارتي‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫اىل‬ ‫األسطوانية‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫من‬ ‫المرور‬
{
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝒊 + 𝑠𝑖𝑛𝜃𝒋
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = −𝑠𝑖𝑛𝜃𝒊 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝒋
𝒖
⃗⃗ 𝒛 = 𝒌
⃗
⃗
[
𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒖
⃗⃗ 𝒛
] = [
𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒔𝒊𝒏𝜽 0
−𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 0
0 0 1
] . [
𝒊
𝒋
𝒌
⃗
⃗
]

56
[
𝒊
𝒋
𝒌
⃗
⃗
] = [
𝒄𝒐𝒔𝜽 −𝒔𝒊𝒏𝜽 0
𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 0
0 0 1
] . [
𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒖
⃗⃗ 𝒛
]
{
⃗⃗ 𝜽
⃗⃗ 𝜽
𝒌
⃗
⃗ = 𝒖
⃗⃗ 𝒛
‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫العنضي‬ ‫االنتقال‬ ‫شعاع‬
M
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝑧 𝑘
⃗
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝒖
⃗⃗ 𝒓 + 𝑟 𝑑𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝜽 + 𝑑𝑧 𝒖
⃗⃗ 𝒛
‫ثابتة‬ ‫ليست‬ ‫األسطوانية‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬ ‫المادية‬ ‫النقطة‬ ‫تحرك‬ ‫مع‬ ‫يتحرك‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫األسطوائ‬ ‫المعلم‬
.‫المعدوم‬ ‫الشعاع‬ ‫يساوي‬ ‫ال‬ ‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫اشتقاقها‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬ ‫تجاهها‬ ‫أيضا‬ ‫ويتغي‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬‫تغي‬ ‫مع‬ ‫تتغي‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬
{
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝒕
=
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
.
𝒅θ
𝒅𝒕
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝒕
=
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝜽
.
𝒅θ
𝒅𝒕
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒛
𝒅𝒕
=
𝒅k
⃗
𝒅𝒕
= 0
→
{
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
= 𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝜽
= −𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅θ
𝒅𝒕
= 𝜃̇
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒛
𝒅𝒕
= 0
{
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝒕
= 𝜽̇ 𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒅𝒕
= −𝜽̇ 𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝒖
⃗⃗ 𝒛
𝒅𝒕
= 0
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫ان‬ ‫بما‬
𝒖
⃗⃗ 𝒛 = 𝑘
⃗
‫و‬
𝑘
⃗
‫المعدوم‬ ‫الشعاع‬ ‫يساوي‬ ‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬ ‫اشتقاقه‬ ‫فأن‬ ‫ثابت‬ ‫شعاع‬
‫اشتقاق‬ ‫اذن‬
𝒖
⃗⃗ 𝒛
. ‫المعدوم‬ ‫الشعاع‬ ‫أيضا‬ ‫يساوي‬ ‫للزمن‬ ‫بالنسبة‬
4.5
: ‫الكروية‬ ‫اإلحداثيات‬.
Spherical Coordinates
)‫البعد‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ثالئ‬ ( ‫الفضاء‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫تكون‬ ‫استها‬‫ر‬‫د‬
‫الكروي‬ ‫المعلم‬ ‫يسم‬ ‫معلمها‬
‫ي‬
‫ه‬ ‫االحداثيات‬ ‫هذه‬ ‫ي‬
‫ر‬
r
‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ،
θ
𝝋

57
𝝋 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅]
𝜽 ∈ [𝟎, 𝝅]
‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫و‬
𝒓 ∈ [𝟎, ∞]
‫ال‬ ‫للمعلم‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
‫كروي‬
𝑢
⃗ 𝑟
،
𝑢
⃗ 𝜃
‫و‬
𝑢
⃗ 𝜑
‫ال‬ ‫المعلم‬
‫كروي‬
‫الواحد‬ ‫يساوي‬ ‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫(طول‬ ‫ومتجانس‬ ‫متعامد‬ ‫معلم‬ ‫هو‬
‖ 𝑢
⃗ 𝑟‖ = ‖𝑢
⃗ 𝜃‖ =
‖𝑢
⃗ 𝜑‖ = 1
)
‫األسطوانية‬ ‫االحداثيات‬ ‫ي‬
‫ر‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝑟𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
⃗

58
{
𝐜𝐨𝐬𝝋 =
𝒙
𝝆
→ 𝑥 = 𝜌 𝐜𝐨𝐬𝝋
𝐬𝐢𝐧 𝝋 =
𝒚
𝝆
→ 𝑦 = 𝜌 𝐬𝐢𝐧 𝝋
{
𝐜𝐨𝐬𝜽 =
𝒛
𝒓
→ 𝑧 = 𝑟 𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝝆
𝒓
→ 𝜌 = 𝑟 𝐬𝐢𝐧 𝜽
{
𝑥 = 𝑟 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋
𝑦 = 𝑟 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋
𝑧 = 𝑟 𝐜𝐨𝐬𝛉
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝒎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝒎𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐫 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒊 + 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝒌
⃗
⃗
{
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟(𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝒌
⃗
⃗ )
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝑟𝒖
⃗⃗ 𝒓
|𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 𝒓
‫الموضع‬ ‫شعاع‬ ‫طول‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌
⃗
⃗
‖𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝒓 = √𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛2
𝝋 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒚
𝒙
𝒛 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬𝛉 → 𝐜𝐨𝐬𝛉 =
𝒛
𝒓
=
𝒛
√𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛2
{
𝑟 = √𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛2
𝜑 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧
𝒚
𝒙
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝒛
√𝒙2 + 𝒚2 + 𝒛2
:‫الكروية‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬𝛉 𝒌
⃗
⃗
𝒅 𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒅𝜽
= 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝒌
⃗
⃗ = 𝒖
⃗⃗ 𝜽

59
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉𝒌
⃗
⃗
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = 𝒖
⃗⃗ 𝒓 ∧ 𝒖
⃗⃗ 𝜽 , 𝒖
⃗⃗ 𝜽 = 𝒖
⃗⃗ 𝝋 ∧ 𝒖
⃗⃗ 𝒓 , 𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝒖
⃗⃗ 𝜽 ∧ 𝒖
⃗⃗ 𝝋
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = 𝒖
⃗⃗ 𝒓 ∧ 𝒖
⃗⃗ 𝜽 = |
𝒊 𝒋 𝒌
⃗
⃗
𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝛉
𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉
|
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = 𝒊 |
𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬𝛉
𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 −𝐬𝐢𝐧 𝛉
| − 𝒋 |
𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐜𝐨𝐬𝛉
𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉
|
+ 𝒌
⃗
⃗ |
𝐬𝐢𝐧 𝜽𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋
𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋
|
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = 𝒊(−𝐬𝐢𝐧 𝜽2 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐜𝐨𝐬𝜽2 𝐬𝐢𝐧 𝝋) − 𝒋(−𝐬𝐢𝐧 𝜽2 𝐜𝐨𝐬𝝋 − 𝐜𝐨𝐬𝜽2 𝐜𝐨𝐬𝝋)
+ 𝒌
⃗
⃗ (𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋)
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 (− 𝐬𝐢𝐧 𝜽2 − 𝐜𝐨𝐬𝜽2) − 𝒋 𝐜𝐨𝐬𝝋 (−𝐬𝐢𝐧 𝜽2 − 𝐜𝐨𝐬𝜽2)
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = −𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 (𝐬𝐢𝐧 𝜽2 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽2) + 𝒋 𝐜𝐨𝐬𝝋 (𝐬𝐢𝐧 𝜽2 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽2)
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = −𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝝋 + 𝒋 𝐜𝐨𝐬𝝋
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒋
{
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝒌
⃗
⃗
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝒌
⃗
⃗
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒋
‫يمكننا‬
‫العنضي‬ ‫االنتقال‬ ‫شعاع‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫إيجاد‬
{
𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 → 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑟 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜃 − 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 → 𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝑟 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜃 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑
𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑑𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟 − 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌
⃗
⃗
{
𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝑟 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜃 − 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜑
𝑑𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝑟 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑑𝜃 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑑𝜑
𝑑𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑟 − 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜃
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝜽 − 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝝋)𝒊
+ (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝒓 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝜽 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝝋)𝒋
+ (𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒓 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽)𝒌
⃗
⃗

60
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙𝒊 + 𝒅𝒚𝒋 + 𝒅𝒛𝒌
⃗
⃗
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝒓𝒊 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝜽𝒊 − 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝝋𝒊
+ 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝒓𝒋 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒅𝜽𝒋 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒅𝝋𝒋
+ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒓𝒌
⃗
⃗ − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽𝒌
⃗
⃗
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒌
⃗
⃗ )𝒅𝒓
+ (𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 − 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒌
⃗
⃗ )𝒅𝜽
+ (−𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒊 + 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒋)𝒅𝝋
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒔𝒊𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒌
⃗
⃗ )𝒅𝒓
+ (𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒋 − 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒌
⃗
⃗ )𝒓𝒅𝜽
+ (−𝒔𝒊𝒏𝝋 𝒊 + 𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒋) 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽𝒅𝝋
{
𝑑𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝒖
⃗⃗ 𝒓 + 𝑟𝑑𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝜽 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜑 𝒖
⃗⃗ 𝝋
𝑑𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑥𝒊 + 𝑑𝑦𝒋 + 𝑑𝑧𝒌
⃗
⃗
{
𝒖
⃗⃗ 𝒓 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒊 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 + 𝐜𝐨𝐬 𝛉𝒌
⃗
⃗
𝒖
⃗⃗ 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 𝒌
⃗
⃗
𝒖
⃗⃗ 𝝋 = − 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝒊 + 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝒋
‫اإل‬ ‫أساس‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬‫التغي‬‫او‬ ‫والعكس‬ ‫ية‬‫ر‬
‫الكارتي‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫اىل‬ ‫الكروية‬ ‫الوحدة‬ ‫اشعة‬ ‫من‬ ‫المرور‬
‫سناد‬
[
𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒖
⃗⃗ 𝝋
] = [
𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬𝛉
𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝝋 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉
− 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝝋 0
] . [
𝒊
𝒋
𝒌
⃗
⃗
]
[
𝒊
𝒋
𝒌
⃗
⃗
] = [
𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝐜𝐨𝐬 𝝋 − 𝐬𝐢𝐧 𝝋
𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝐜𝐨𝐬𝝋
𝐜𝐨𝐬 𝛉 − 𝐬𝐢𝐧 𝛉 0
] . [
𝒖
⃗⃗ 𝒓
𝒖
⃗⃗ 𝜽
𝒖
⃗⃗ 𝝋
]
6
‫العنضي‬ ‫الحجم‬ ،‫العنضية‬ ‫المساحة‬ ،‫العنضي‬ ‫الطول‬ .
6
1.
.
‫ية‬‫ر‬
‫تي‬‫ر‬‫الكا‬ ‫اإلحداثيات‬
‫الطول‬
:‫العنضي‬

61
‫النقطة‬ ‫من‬ ‫المادية‬ ‫النقطة‬ ‫انتقال‬ ‫عند‬
M
M’
‫هذا‬ ‫ي‬
‫نسم‬‫الصغر‬ ‫ي‬
‫متناه‬ ‫انتقال‬
‫طول‬ ‫االنتقال‬
‫عنضي‬
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫بحيث‬
𝑴𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫الصفر‬ ‫اىل‬ ‫تؤول‬
𝑴𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑶𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∆𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐥𝐢𝐦
𝑴→𝑴′=𝟎
∆𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
: ‫مالحظة‬
‫العنضي‬ ‫للطول‬‫يرمز‬ ‫ما‬ ‫عادتا‬
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
:
𝑴𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑙
⃗⃗⃗
‫النقطة‬ ‫احداتياث‬
M
‫ي‬
‫ه‬
x
،
y
‫و‬
z
‫النقطة‬ ‫احداثيات‬
M’
‫ي‬
‫ه‬
𝒙 + 𝒅𝒙
‫و‬
𝐲 + 𝐝𝐲
‫و‬
𝒛 + 𝒅𝒛
‫النقطة‬ ‫من‬ ‫االنتقال‬
M
M’
‫احل‬‫ر‬‫م‬ ‫بثالث‬ ‫يتم‬
‫المحور‬
𝐎𝐱
‫من‬ ‫االنتقال‬ :
M
‫اىل‬
𝑴𝟏
‫الشعاع‬ :
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐱
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫و‬
𝑖
‫المحور‬
𝑶𝒚
‫من‬ ‫النتقال‬ :
𝑴𝟏
‫اىل‬
𝑴𝟐
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐲
𝑗
‫المحور‬
𝑶𝒛
𝑴𝟐
‫اىل‬
𝑴′
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐳
𝑘
⃗

62
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙 𝒊
⃗
⃗
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒚 𝒋
⃗
⃗
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒛 𝒌
⃗⃗⃗
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙 𝒊
⃗
⃗ + 𝒅𝒚 𝒋
⃗
⃗ + 𝒅𝒛 𝒌
⃗⃗⃗
‖𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √(𝒅𝒙)𝟐 + (𝒅𝒚)𝟐 + (𝒅𝒛)𝟐
‫السطح‬
:‫العنضي‬
‫المادية‬ ‫النقطة‬ ‫اسة‬‫ر‬‫د‬ ‫فيه‬ ‫تتم‬ ‫الذي‬ ‫المستوي‬ ‫حسب‬ ‫عل‬
‫المستوي‬
(𝑶𝒙, 𝑶𝒚)
‫و‬
𝒛 = 𝟎
‫المحور‬
𝐎𝐱
:
‫ا‬
‫من‬ ‫النتقال‬
𝐌
‫اىل‬
𝐌𝟏
𝐌𝐌𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐱
𝑖
‫المحور‬
𝐎𝐲
𝐌𝟏
‫اىل‬
𝐌′
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐲
𝑗

63
{
𝐌𝐌𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐝𝐱 𝐢
⃗
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐝𝐲 𝐣
𝐝𝐒
⃗⃗⃗⃗ = (𝐌𝐌𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋀(𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
𝐝𝐒
⃗⃗⃗⃗ = (𝐝𝐱 𝐢
⃗ ) ⋀(𝐝𝐲 𝐣)
𝐝𝐒
⃗⃗⃗⃗ = 𝐝𝐱 𝐝𝐲 ( 𝐢 ⋀ 𝐣
⃗ )
𝐝𝐒
⃗⃗⃗⃗ = 𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐤
⃗⃗⃗
‖𝐝𝐒
⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝐝𝐒 = √ (𝐝𝐱 𝐝𝐲)𝟐
‖𝐝𝐒
⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝐝𝐒 = 𝐝𝐱 𝐝𝐲
(𝑶𝒛, 𝑶𝒙)
‫و‬
𝒚 = 𝟎
‫المحور‬
𝐎𝐳
𝐌
‫اىل‬
𝐌𝟏
𝐌𝐌𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐳
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬‫و‬
𝑘
⃗
‫المحور‬
𝐎𝐱
𝐌𝟏
‫اىل‬
𝐌′
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐱
𝑖

64
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒛 𝒌
⃗⃗⃗
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙 𝒊
⃗
⃗
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋀(𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝒅𝒛 𝒌
⃗⃗⃗ ) ⋀(𝒅𝒙 𝒊
⃗
⃗ )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒛 𝒅𝒙 ( 𝒌
⃗⃗⃗ ⋀ 𝒊
⃗
⃗ )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒛 𝒅𝒙 𝒋
⃗
⃗
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙 𝒅𝒛 𝒋
⃗
⃗
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝒅𝑺 = √ (𝒅𝒙 𝒅𝒛)𝟐
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝒅𝑺 = 𝒅𝒙 𝒅𝒛
(𝑶𝒚, 𝑶𝒛)
‫و‬
𝒙 = 𝟎
‫المحور‬
𝑶𝒚
:
‫من‬ ‫النتقال‬
𝐌
‫اىل‬
𝐌𝟏
𝐌𝐌𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐲
𝑗
‫المحور‬
𝑶𝒛
:
‫من‬ ‫االنتقال‬
𝐌𝟏
‫اىل‬
𝐌′
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐳
𝑘
⃗

65
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑦 𝑗
⃗
⃗
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑧 𝑘
⃗⃗⃗
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋀(𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑑𝑦 𝑗
⃗
⃗ ) ⋀(𝑑𝑧 𝑘
⃗⃗⃗ )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (𝑗
⃗
⃗ ⋀ 𝑘
⃗⃗⃗ )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑖
⃗
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝒅𝑺 = √ (𝑑𝑦 𝑑𝑧)2
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝒅𝑺 = 𝑑𝑦 𝑑𝑧
:‫العنضي‬ ‫الحجم‬
M
M’
‫المحور‬
𝐎𝐱
M
‫اىل‬
𝑴𝟏
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐱
𝑖
‫المحور‬
𝑶𝒚
𝑴𝟏
‫اىل‬
𝑴𝟐
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐲
𝑗
‫المحور‬
𝑶𝒛
𝑴𝟐
‫اىل‬
𝑴′
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝐝𝐳
𝑘
⃗

66
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙 𝒊
⃗
⃗
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑦 𝑗
⃗
⃗
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑧 𝑘
⃗⃗⃗
𝒅𝐕 = (𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑽 = (𝒅𝒙 𝒊
⃗
⃗ ∧ 𝒅𝒚 𝒋
⃗
⃗ ). 𝒅𝒛 𝒌
⃗⃗⃗
𝒅𝑽 = (𝒅𝒙 𝒅𝒚 ( 𝒊
⃗
⃗ ∧ 𝒋
⃗
⃗ )). 𝒅𝒛 𝒌
⃗⃗⃗
𝒅𝑽 = (𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒌
⃗⃗⃗ ). 𝒅𝒛 𝒌
⃗⃗⃗
𝒅𝑽 = 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛 ( 𝒌
⃗⃗⃗ . 𝒌
⃗⃗⃗ )
𝒅𝑽 = 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒛
‫مالحظة‬
‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫الموضع‬ ‫شعاع‬ ‫كتابة‬‫طريق‬ ‫عن‬ ‫العنضي‬ ‫والحجم‬ ‫العنضي‬ ‫والسطح‬ ‫العنضي‬ ‫الطول‬ ‫حساب‬ ‫يمكن‬
. ‫ية‬‫ر‬
‫الكارتي‬ ‫االحداثيات‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋 + 𝒛 𝒌
⃗
⃗

67
‫العنضي‬ ‫الطول‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙 𝒊 + 𝒅𝒚 𝒋 + 𝒅𝒛 𝒌
⃗
⃗
‫العنضي‬ ‫السطح‬
‫إذا‬
‫اسة‬‫ر‬‫الد‬ ‫مستوي‬ ‫كان‬
(𝐎𝐱 , 𝑶𝒚)
‫و‬
𝒛 = 𝟎
:
𝐝𝐒 = 𝐝𝐱 𝐝𝐲
‫اسة‬‫ر‬‫الد‬ ‫مستوي‬ ‫كان‬‫إذا‬
(𝐎𝐱 , 𝑶𝒛)
‫و‬
𝐲 = 𝟎
:
𝐝𝐒 = 𝐝𝐱 𝐝𝐳
(𝐎𝐲 , 𝑶𝒛)
‫و‬
𝐱 = 𝟎
:
𝐝𝐒 = 𝐝𝐲 𝐝𝐳
‫العنضي‬ ‫الحجم‬
𝐝𝑽 = 𝐝𝐱 𝐝𝐲𝐝𝐳
6
.
2
‫القطبية‬ ‫اإلحداثيات‬ .
M
‫ي‬
‫ه‬
r
‫و‬
𝜽
M’
‫ي‬
‫ه‬
𝒓 + 𝒅𝒓
‫و‬
𝛉 + 𝐝𝛉
:‫العنضي‬ ‫الطول‬
M
M’
: ‫يتم‬
‫ال‬
‫محور‬
𝒓
:
‫انتقال‬
M
𝑴𝟏
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑟
‫شعاع‬ ‫اتجاهه‬
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝑟
‫ال‬
‫محور‬
𝛉
:
‫النقطة‬ ‫من‬ ‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴′
‫القوس‬ :
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑟 𝑑𝜃
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝜃

68
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟𝑢
⃗ 𝑟
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟𝑢
⃗ 𝑟 + 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
‖𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √(𝑑𝑟)2 + (𝑟 𝑑𝜃)2
M
M’
: ‫يتم‬
‫ال‬
‫محور‬
𝒓
:
‫انتقال‬
M
𝑴𝟏
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑟
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝑟
‫ال‬
‫محور‬
𝛉
:
𝑴𝟏
𝑴′
‫القوس‬ :
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑟 𝑑𝜃
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝜃
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟𝑢
⃗ 𝑟
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

69
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟 )⋀ (𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃)
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 (𝑢
⃗ 𝑟 ⋀ 𝑢
⃗ 𝜃 )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝑧
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝑧
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = √ (𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 )2
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
‫مثال‬
‫محيط‬ ‫القطبية‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫استعمال‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫احسب‬
‫القرص‬ ‫ومساحة‬ ‫الدائرة‬
‫الدائرة‬ ‫محيط‬
𝑑𝑙 = 𝑅 𝑑𝜃
∫ 𝑑𝑙 = 𝑅 ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
𝑙 = 𝑅 [𝜃]0
2𝜋
𝑺 = 𝑅 (2𝜋)
𝑺 = 2𝜋𝑅
‫مساحة‬
‫القرص‬
𝑑𝑆 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃
∫ 𝑑𝑆 = ∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
𝑆 = [
𝑟2
2
]
0
𝑅
[𝜃]0
2𝜋
𝑺 = (
𝑅2
2
)(2𝜋)
𝑺 = 𝜋 𝑅2

70
6
.
3
‫األسطوانية‬ ‫اإلحداثيات‬ .
M
‫ي‬
‫ه‬
r
،
𝜽
‫و‬
𝒛
M’
‫ي‬
‫ه‬
𝒓 + 𝒅𝒓
،
𝛉 + 𝐝𝛉
‫و‬
𝒛 + 𝐝𝐳
M
M’
‫ال‬
‫محور‬
𝒓
:
‫انتقال‬
M
𝑴𝟏
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑟
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬ ‫اتجاهه‬
𝑢
⃗ 𝑟
‫ال‬
‫محور‬
𝛉
:
𝑴𝟏
𝑴𝟐
‫القوس‬ :
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑟 𝑑𝜃
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝜃
‫ال‬
‫محور‬
𝒛
:
‫انتقال‬
𝑴𝟐
𝑴′
‫ال‬ :
‫شعاع‬
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑧
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝑧
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟𝑢
⃗ 𝑟
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟𝑢
⃗ 𝜃 + 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧
‖𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √(𝑑𝑟)2 + (𝑟 𝑑𝜃)2 + ( 𝑑𝑧)2

71
‫ثابت‬‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫كان‬‫إذا‬
M
M’
‫يتم‬
:
1
‫ال‬
‫محور‬
𝛉
:
M
𝑴𝟏
‫القوس‬ :
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑟 𝑑𝜃
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝜃
‫ال‬
‫محور‬
𝒛
:
‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴′
‫ال‬ :
‫شعاع‬
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑧
𝑢
⃗ 𝑧

72
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃)⋀ (𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧)
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 (𝑢
⃗ 𝜃 ⋀ 𝑢
⃗ 𝑧)
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑟
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = √ (𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧)2
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
M
M’
‫يتم‬
:
‫كان‬‫إذا‬
z
‫ثابت‬

73
‫ال‬
‫محور‬
𝛉
:
M
𝑴𝟏
‫ال‬ :
‫شعاع‬
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑟
𝑢
⃗ 𝑟
‫ال‬
‫محور‬
𝒓
:
‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴′
‫ال‬ :
‫قوس‬
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑟 𝑑𝜃
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝜃
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟 )⋀ (𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃 )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 (𝑢
⃗ 𝑟 ⋀ 𝑢
⃗ 𝜃)
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝑧
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝑧
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = √(𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃)2
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

74
M
M’
‫يتم‬
:
‫كان‬‫إذا‬
𝜽
‫ثابت‬
‫المحور‬
𝐳
:
M
𝑴𝟏
:
‫الشعاع‬
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑧
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝑧
‫المحور‬
𝒓
:
‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴′
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑟
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝑟
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧 )⋀ (𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟 )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑧 𝑑𝑟 (𝑢
⃗ 𝑧 ⋀ 𝑢
⃗ 𝑟)
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝜃
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝜃

75
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = √(𝑑𝑟 𝑑𝑧)2
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = 𝑑𝑟 𝑑𝑧
‫المساحة‬ ‫األحيان‬ ‫اغلب‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ :‫مالحظة‬
‫ي‬
‫ه‬ ‫العنضية‬
‫لألسطوانة‬ ‫ي‬
‫الجانب‬ ‫السطح‬ ‫عل‬ ‫المأخوذة‬ ‫المساحة‬
،
‫ثابت‬‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫يعب‬
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = 𝑅 𝑑𝜃 𝑑𝑧
M
M’
‫ال‬
‫محور‬
𝒓
:
M
𝑴𝟏
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝒅𝒓
𝑢
⃗ 𝑟
‫ال‬
‫محور‬
𝜽
:
‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴𝟐
‫القوس‬ :
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝒓 𝑑𝜃
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝜃
‫ال‬
‫محور‬
𝒛
:
‫انتقال‬
𝑴𝟐
𝑴′
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑧
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝑧
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧

76
𝒅V = (𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). 𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑉 = (𝑑𝑟𝑢
⃗ 𝑟 ∧ 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃). 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧
𝒅𝑉 = (𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 (𝑢
⃗ 𝑟 ∧ 𝑢
⃗ 𝜃)). 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧
𝒅𝑉 = (𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝑧). 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧
𝒅𝑉 = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 (𝑢
⃗ 𝑧 .𝑢
⃗ 𝑧)
𝒅𝑉 = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
𝒅𝑉 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
‫مالحظة‬
‫ي‬
‫ر‬
.‫االسطوانية‬ ‫االحداثيات‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋 + 𝒛 𝒌
⃗
⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙 𝒊 + 𝒅𝒚 𝒋 + 𝒅𝒛 𝒌
⃗
⃗
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝒖
⃗⃗ 𝒓 + 𝑟 𝑑𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝜽 + 𝑑𝑧 𝒖
⃗⃗ 𝒛

77
(𝐫 , 𝜽)
‫و‬
𝒛 = 𝟎
:
𝐝𝐒 = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃
(𝐫 , 𝒛)
‫و‬
𝜽 = 𝟎
:
𝐝𝐒 = 𝑑𝑟 𝐝𝐳
(𝜽 , 𝒛)
‫و‬
𝐫 = 𝟎
:
𝐝𝐒 = 𝑟 𝑑𝜃 𝐝𝐳
𝐝𝑽 = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
‫مثال‬
‫اإلحداثيات‬ ‫استعمال‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫احسب‬
‫مساحة‬ ‫االسطوانية‬
‫األسطوانة‬ ‫وحجم‬
‫مساحة‬
‫األسطوانة‬
𝑑𝑆 = 𝑅 𝑑𝜃 𝑑𝑧
∫𝑑𝑆 = 𝑅 ∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
∫ 𝑑𝑧
𝐻
0
𝑆 = 𝑅 [𝜃]0
2𝜋
[𝜑]0
𝐻
𝑺 = 𝑅 (2𝜋) (𝐻)
𝑺 = 2𝜋𝑅 𝐻
‫حجم‬
‫األسطوانة‬
𝒅𝑉 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧
∫ 𝒅𝑉 = ∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
∫ 𝑑𝜃
2𝜋
0
∫ 𝑑𝑧
𝐻
0
𝑉 = [
𝑟2
2
]
0
𝑅
[𝜃]0
2𝜋
[𝜑]0
𝐻

78
𝑽 = (
𝑅2
2
) (2𝜋) (𝐻)
𝑽 = 𝜋 𝑅2𝐻
6
.
4
‫ال‬ ‫اإلحداثيات‬ .
‫كروية‬
M
‫ي‬
‫ه‬
r
،
𝜽
‫و‬
𝝋
M’
‫ي‬
‫ه‬
𝒓 + 𝒅𝒓
،
𝛉 + 𝐝𝛉
‫و‬
𝝋 + 𝐝𝛗
M
M’
‫ال‬
‫محور‬
𝛗
:
M
𝑴𝟏
‫القوس‬ :
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑
‫اتجاهه‬
‫الوحدة‬ ‫شعاع‬
𝑢
⃗ 𝜑
‫ال‬
‫محور‬
𝜽
:
‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴𝟐
‫القوس‬ :
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑟 𝑑𝜃
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝜃
‫ال‬
‫محور‬
𝒓
:
‫انتقال‬
𝑴𝟐
𝑴′
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑟
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝑟
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟

79
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 sin𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑 + 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃 + 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
‖𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √(𝑟 sin𝜃 𝑑𝜑 )2 + (𝑟 𝑑𝜃)2 + (𝑑𝑟)2
‫إذا‬
‫ثابت‬‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫كان‬

80
M
M’
‫يتم‬
:
‫ال‬
‫محور‬
𝛉
:
M
𝑴𝟏
‫القوس‬ :
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑟𝑑𝜃
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝜃
‫ال‬
‫محور‬
𝝋
:
‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴′
:
‫القوس‬
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
‫اتجاهه‬
𝑢
⃗ 𝜑
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃𝑢
⃗ 𝜃
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑟 𝑑𝜃𝑢
⃗ 𝜃 )⋀ (𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑 )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑟 sin𝜃 𝑑𝜑 (𝑢
⃗ 𝜃 ⋀ 𝑢
⃗ 𝜑)
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝑟

81
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟2
sin𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝑟
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = √(𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑)2
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = 𝑟2
sin𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑
‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫كان‬‫إذا‬
𝜃
‫ثابتة‬
M
M’
‫يتم‬
:
‫ال‬
‫محور‬
𝛗
:
M
𝑴𝟏
‫القوس‬ :
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
‫اتجاهه‬
𝑢
⃗ 𝜑
‫ال‬
‫محور‬
𝒓
:
‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴′
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑟
𝑢
⃗ 𝑟
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑 )⋀ (𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟 )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑑𝑟 (𝑢
⃗ 𝜑 ⋀ 𝑢
⃗ 𝑟)
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 sin𝜃 𝑑𝜑 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝜃

82
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜃
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = √ (𝑟 𝑑𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑)2
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = 𝑟 𝑑𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑
‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫كان‬‫إذا‬
𝜑
‫ثابتة‬
M
M’
‫يتم‬
:
‫ال‬
‫محور‬
𝐫
:
M
𝑴𝟏
:
‫الشعاع‬
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑟
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝑟
‫ال‬
‫محور‬
𝜽
:
‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴′
:
‫القوس‬
𝐌𝟏𝑴′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝒓 𝑑𝜃
𝑢
⃗ 𝜃
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃

83
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟 )⋀ (𝒓 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃 )
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝒓 𝑑𝜃 (𝑢
⃗ 𝑟 ⋀ 𝑢
⃗ 𝜃)
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝒓 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜑
𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒓 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜑
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = √ (𝒓 𝑑𝑟 𝑑𝜃 )2
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = 𝒓 𝑑𝑟 𝑑𝜃
: ‫مالحظة‬
‫ثابت‬‫القطر‬ ‫نصف‬ ‫عند‬ ‫المأخوذة‬ ‫المساحة‬ ‫ي‬
‫ه‬ ‫العنضية‬ ‫المساحة‬ ‫األحيان‬ ‫اغلب‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ :‫مالحظة‬
‖𝒅𝑺
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑑𝑆 = 𝑟2 sin𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑
M
M’
‫ال‬
‫محور‬
𝛗
:
M
𝑴𝟏
‫القوس‬ :
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑟 𝑑𝜃
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝜑
‫ال‬
‫محور‬
𝜽
:
‫انتقال‬
𝑴𝟏
𝑴𝟐
‫القوس‬ :
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
‫اتجاهه‬
𝑢
⃗ 𝜃
‫ال‬
‫محور‬
𝒓
:
‫انتقال‬
𝑴𝟐
𝑴′
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
‫طوله‬
𝑑𝑟
‫الوحدة‬
𝑢
⃗ 𝑟
{
𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃
𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑
𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟

84
𝒅V = (𝑴𝑴𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀𝐌𝟏𝐌𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). 𝐌𝟐𝐌′
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑉 = (𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃 ∧ 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑 ).𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
𝒅𝑉 = (𝑟 𝑑𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 (𝑢
⃗ 𝜃 ∧ 𝑢
⃗ 𝜑)). 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
𝒅𝑉 = (𝑟 𝑑𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝑟 ). 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝑟
𝒅𝑉 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑟 sin𝜃 𝑑𝜑 𝑑𝑟 (𝑢
⃗ 𝑟 . 𝑢
⃗ 𝑟 )
𝒅𝑉 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑟sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑑𝑟
𝒅𝑉 = 𝑟2 𝑑𝑟 sin𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑
‫مالحظة‬
‫ي‬
‫ر‬
‫االحداثيات‬
.‫الكروية‬
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙 𝒊 + 𝒚 𝒋 + 𝒛 𝒌
⃗
⃗
𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝒙 𝒊 + 𝒅𝒚 𝒋 + 𝒅𝒛 𝒌
⃗
⃗

85
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝒖
⃗⃗ 𝒓 + 𝑟 𝑑𝜃 𝒖
⃗⃗ 𝜽 + 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑
(𝐫 , 𝜽)
‫و‬
𝜑 = 𝟎
:
𝐝𝐒 = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃
(𝐫 , 𝜑)
‫و‬
𝜽 = 𝟎
:
𝐝𝐒 = 𝑑𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑
(𝜽 , 𝜑)
‫و‬
𝐫 = 𝟎
:
𝐝𝐒 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑟 sin𝜃 𝑑𝜑
𝐝𝑽 = 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑
𝐝𝑽 = 𝑟2
𝑑𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑
‫مثال‬
‫الكروية‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫استعمال‬ ‫طريق‬ ‫عن‬ ‫احسب‬
‫مساحة‬
‫الكرة‬ ‫وحجم‬
‫مساحة‬
‫الكرة‬
𝑑𝑆 = 𝑅2
sin 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑
∫ 𝑑𝑆 = 𝑅2 ∫ sin𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
∫ 𝑑𝜑
2𝜋
0
𝑺 = 𝑅2 [−cos 𝜃]0
𝜋[𝜑]0
2𝜋
𝑺 = 𝑅2
(−cos 𝜋 − (− cos 0))(2𝜋)
𝑺 = 4𝜋 𝑅2
‫الكرة‬ ‫حجم‬
𝒅𝑉 = 𝑟2 𝑑𝑟 sin𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜑
∫ 𝒅𝑉 = ∫ 𝑟2
𝑑𝑟
𝑅
0
∫ sin 𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
∫ 𝑑𝜑
2𝜋
0

86
𝑽 = [
𝑟3
3
]
0
𝑅
[− cos 𝜃]0
𝜋
[𝜑]0
2𝜋
𝑽 =
𝑅3
3
(− cos 𝜋 − (− cos 0))(2𝜋)
𝑽 =
4
3
𝜋𝑅3
7
.
‫التدرج‬‫مؤثر‬
𝛻
⃗
‫ة‬‫الشهي‬ ‫االحداثيات‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
‫ية‬‫ر‬
‫تي‬‫ر‬‫الكا‬ ‫االحداثيات‬
‫سلمية‬ ‫دالة‬ ‫لذينا‬ ‫ليكن‬
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 )
‫ات‬‫متغي‬ ‫ثالث‬ ‫ذات‬
𝑥, 𝑦, 𝑧
𝛻
⃗ =
𝜕
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘
⃗
𝛻
⃗ 𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑘
⃗
‫االسطوانية‬ ‫االحداثيات‬
‫سلمية‬ ‫دالة‬ ‫لذينا‬ ‫ليكن‬
𝑓(𝑟, 𝜃, 𝑧 )
‫ات‬‫متغي‬ ‫ثالث‬ ‫ذات‬
𝑟, 𝜃, 𝑧
‫للدالة‬ ‫ي‬
‫الكل‬ ‫التفاضل‬
𝑑𝑓
:
𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑟
𝑑𝑟 +
𝜕𝑓
𝜕𝜃
dθ +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
dz… … … …… (1)
:‫االسطوانية‬ ‫االحداثيات‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬ ‫االنتقال‬ ‫شعاع‬
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 𝑑𝜃 𝑢
⃗ 𝜃 + 𝑑𝑟𝑢
⃗ 𝑟 + 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧
‫اض‬‫وبافي‬
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 = 𝛼𝑢
⃗ 𝑟 + 𝛽 𝑢
⃗ 𝜃 + 𝛾 𝑢
⃗ 𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓. 𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝛼𝑢
⃗ 𝑟 + 𝛽 𝑢
⃗ 𝜃 + 𝛾 𝑢
⃗ 𝑧). (𝑑𝑟𝑢
⃗ 𝜃 + 𝑑𝑧 𝑢
⃗ 𝑧)
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓. 𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝛼 𝑑𝑟 + 𝛽 𝑟 𝑑𝜃 + 𝛾 𝑑𝑧)… … …… … (2)
‫المعادلة‬ ‫بمقارنة‬
(1)
‫و‬
(2)
𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑟
𝑑𝑟 +
𝜕𝑓
𝜕𝜃
dθ +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
dz… … … …… (1)
𝛻
⃗ 𝑓. 𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝛼 𝑑𝑟 + 𝛽 𝑟 𝑑𝜃 + 𝛾 𝑑𝑧)… …… … … (2)

87
‫ان‬ ‫نجد‬
{
𝛼 =
𝜕𝑓
𝜕𝑟
𝛽 =
1
𝑟
𝜕𝑓
𝜕𝜃
𝛾 =
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑟
𝑢
⃗ 𝑟 +
1
𝑟
𝜕𝑓
𝜕𝜃
𝑢
⃗ 𝜃 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑢
⃗ 𝑧
𝑔𝑟𝑎𝑑
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑓 = (
𝜕
𝜕𝑟
𝑢
⃗ 𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝑢
⃗ 𝜃 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑢
⃗ 𝑧)𝑓
‫نستنتج‬ ‫منه‬‫و‬
𝛻
⃗
:‫االسطوانية‬ ‫االحداثيات‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
𝛻
⃗ =
𝜕
𝜕𝑟
𝑢
⃗ 𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝑢
⃗ 𝜃 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑢
⃗ 𝑧
‫نستنتج‬ ‫الطريقة‬ ‫بنفس‬‫و‬
𝛻
⃗
‫اال‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
:‫الكروية‬ ‫حداثيات‬
𝒅𝑶𝑴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑢
⃗ 𝜃 + 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜑 𝑢
⃗ 𝜑
𝛻
⃗ =
𝜕
𝜕𝑟
𝑢
⃗ 𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝑢
⃗ 𝜃 +
1
𝜕
𝜕𝑧
𝑢
⃗ 𝜑
8
‫األول‬ ‫الفصل‬ ‫تمارين‬ .
‫التمرين‬
‫األول‬
‫اسة‬‫ر‬‫لد‬
‫مغلق‬ ‫وعاء‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬‫الغاز‬ ‫جزيئات‬ ‫اسة‬‫ر‬‫بد‬ ‫نقوم‬ ‫ات‬‫ز‬‫للغا‬ ‫كية‬
‫الحر‬ ‫النظرية‬
‫حجمه‬
V
:‫يساوي‬ ‫الضغط‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
𝑷 = 𝒇(𝑵) 𝒎𝒙 𝒗𝒚
‫حيث‬
𝒇(𝑵)
‫دالة‬
‫عددية‬
،
𝒎
‫و‬ ‫الكتلة‬
𝒗
‫الرسعة‬
1
/
‫األسس‬ ‫اوجد‬
x
‫و‬
y
‫تستنتج‬ ‫ماذا‬ ‫و‬
‫ي‬
‫ر‬
‫الثائ‬ ‫التمرين‬
‫ل‬
‫ي‬
: ‫ي‬
‫التاىل‬ ‫القانون‬ ‫لذينا‬ ‫كن‬
𝑸 = 𝑪𝑬𝒆
−𝒕
𝑹𝑪

88
‫ي‬
‫النسب‬ ‫االرتياب‬ ‫اوجد‬
𝚫𝑸
𝑸
‫التمرين‬
‫الثالث‬
‫ل‬
‫ي‬
: ‫ي‬
‫التاىل‬ ‫القانون‬ ‫لذينا‬ ‫كن‬
𝒗 =
𝟐
𝟗
𝑹𝟐𝒈
(𝝆 − 𝜶)
𝜼
‫حيث‬
𝒗
‫و‬ ‫الرسعة‬
𝑹
‫و‬ ‫القطر‬ ‫نصف‬
𝒈
‫و‬ ‫األرضية‬ ‫الجاذبية‬ ‫ع‬
‫تسار‬
𝝆
‫و‬ ‫الحجمية‬ ‫الكتلة‬
𝜼
‫معامل‬
‫اللزوجة‬
1
/
‫اوجد‬
‫بعد‬
‫ووحدة‬
𝜶
2
/
‫ي‬
‫النسب‬ ‫تياب‬‫ر‬‫اال‬ ‫اوجد‬
𝚫𝒗
𝒗
‫ابع‬‫ر‬‫ال‬ ‫التمرين‬
‫ر‬
‫بي‬ ‫ي‬
‫الشعاع‬ ‫الجذاء‬ ‫ي‬
‫السلم‬ ‫الجذاء‬ ‫احسب‬
𝐴
‫و‬
𝐵
⃗
:‫التالية‬ ‫الحاالت‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
1
/
𝐴 = 𝑖 − 𝑗
‫و‬
𝐵
⃗ = −2𝑖 + 2𝑗
2
/
𝐴 = −𝑖 + 𝑘
⃗
‫و‬
𝐵
⃗ = 𝑖 − 𝑘
⃗
1
/
𝐴 = 𝑖 + 2𝑗 − 3𝑘
⃗
‫و‬
𝐵
⃗ = −𝑖 + 2𝑗
‫الخامس‬ ‫التمرين‬
‫المختلط‬ ‫الجذاء‬ ‫احسب‬
𝐴. (𝐵
⃗ ⋀ 𝐶)
‫المضاعف‬ ‫والجذاء‬
𝐴 ∧ (𝐵
⃗ ⋀ 𝐶)
‫حيث‬
𝐴 = −2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘
⃗
‫و‬
𝐵
⃗ = 3𝑖
‫و‬
𝐶 = 𝑖 + 3𝑗
‫السادس‬ ‫التمرين‬
‫ليكن‬
𝐴 = −2𝑖 + 𝑗 + 3𝑘
⃗
‫و‬
𝐵
⃗ = 2𝑖 − 𝑗 + 𝑘
⃗
‫و‬
𝐶 = 𝑥 𝑖 + 𝑗 + 𝑧 𝑘
⃗
‫احسب‬
x
‫و‬
z
‫الشعاع‬ ‫يكون‬ ‫حب‬
𝐶
1
/
‫مع‬ ‫موازي‬
𝐴
2
/
‫مع‬ ‫موازي‬
𝐵
⃗
3
/
‫مع‬ ‫متعامد‬
𝐴
‫و‬
𝐵
⃗
‫واحد‬ ‫آن‬ ‫ي‬
‫ر‬
‫ف‬
‫السابع‬ ‫التمرين‬
‫مثلث‬
𝑨𝑩𝑪
‫اضالعه‬ ‫طول‬
𝑨𝑩 = 𝒂
‫و‬
𝑨𝑪 = 𝒃
‫ر‬
‫بي‬ ‫المحصورة‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬‫و‬
𝑨𝑩
‫و‬
𝑨𝑪
‫تساوي‬
𝜶
‫الضلع‬ ‫طول‬ ‫احسب‬
𝑩𝑪

89
‫الثامن‬ ‫التمرين‬
1
/
‫الثالث‬ ‫الزوايا‬ ‫احسب‬
𝒄𝒐𝒔 𝜶
،
𝒄𝒐𝒔 𝜷
‫و‬
𝒄𝒐𝒔 𝜸
‫الشعاع‬ ‫يشكلها‬ ‫ي‬
‫الب‬
𝑨
⃗⃗
‫المحاور‬ ‫مع‬
Ox
‫و‬
Oy
‫و‬
Oz
‫حيث‬
𝐴 = 3𝑖 + 2𝑗 + 𝑘
⃗
2
/
‫ان‬ ‫ر‬
‫بي‬
𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜸 = 𝟏
‫التاسع‬ ‫التمرين‬
‫ليكن‬
𝐴 = 3𝑖 + 4𝑗 − 5 𝑘
⃗
‫و‬
𝐵
⃗ = −𝑖 + 𝑗 + 2𝑘
⃗
1
/
‫الشعاع‬ ‫طاولة‬ ‫احسب‬
𝐴
𝐵
⃗
2
/
‫احس‬
‫ب‬
𝐴 + 𝐵
⃗
‫و‬
𝐴 − 𝐵
⃗
3
/
‫احسب‬
𝐴. 𝐵
⃗
‫و‬
𝐵
⃗ . 𝐴
4
/
‫الشعاع‬ ‫ر‬
‫بي‬ ‫اوية‬‫ز‬‫ال‬ ‫احسب‬
(𝐵
⃗ ,𝐴)
5
/
‫احسب‬
𝐴 ∧ 𝐵
⃗
‫و‬
𝐵
⃗ ∧ 𝐴
6
/
‫الشعاع‬ ‫كان‬‫اذا‬
𝐶 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
⃗
‫اوجد‬
x
‫و‬
y
‫و‬
Z
‫اجل‬ ‫من‬
𝐴 + 𝐵
⃗ + 𝐶 = 0
⃗
7
/
‫احسب‬
(𝐴 ∧ 𝐵
⃗ ).𝐶
‫و‬
𝐴. (𝐵
⃗ ⋀ 𝐶)
8
/
‫احسب‬
(𝐴 ∧ 𝐵
⃗ ) ∧ 𝐶
‫و‬
𝐴 ∧ (𝐵
⃗ ⋀ 𝐶)
‫تستنتج‬ ‫ماذا‬

الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdf

More Related Content

Similar to الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdf

Recently uploaded

الفصل الأول-تذكير رياضي1-2023-2024 (3).pdf