這是一份103學年度的大學入學考試數學考科考題文檔，包含考試時間、題型及作答注意事項。考生需使用2B鉛筆在答案卡上作答，並遵循特定格式填寫選填題的答案。文檔列出了多選題和選擇題的作答說明，涵蓋數學各個領域的題目。

1. 大學入學考試中心
103 學年度學科能力測驗試題
數學考科
作答注意事項
考試時間：100 分鐘
題型題數：單選題 6 題，多選題 6 題，選填題第 A 至 H 題共 8 題
作答方式：用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答；更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿
使用修正液(帶)。未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答案
者，其後果由考生自行承擔。
選填題作答說明：選填題的題號是 A，B，C，……，而答案的格式每題可能
不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一
個格子畫記。請仔細閱讀下面的例子。
18
例：若第 B 題的答案格式是
19
3
必須分別在答案卡上的第 18 列的
18
19
8
畫記，如：
2
3
4
5
6
7
8
9
0


1
2
3
4
5
6
7
8
9
0



卡的第 20 列的
21
與第 19 列的
1
20 21
50
例：若第 C 題的答案格式是
20
3
，而依題意計算出來的答案是 ，則考生
8
7
與第 21 列的
，而答案是
7
50
時，則考生必須分別在答案
畫記，如：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0


1
2
3
4
5
6
7
8
9
0


※試題後附有參考公式及可能用到的數值

2. 第 1 頁
共 7 頁
103年學測
數學考科
第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 占 60 分 ）
一 、 單 選 題 （ 占 30 分 ）
說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記
在答案卡之「選擇（填）題答案區」
。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多
於一個選項者，該題以零分計算。
35  
1 . 請 問 下 列 哪 一 個 選 項 等 於 log  2


？

 
( 1 ) 5log 23
( 2 ) 3  5log 2
( 3 ) 5log 2  log 3
( 4 ) 5  log 2  log 3
( 5 ) 35 log 2
2 . 令 A(5, 0,12) 、 B ( 5,0,12) 為 坐 標 空 間 中 之 兩 點， 且 令 P 為 xy 平 面 上 滿 足 PA  PB  13
的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 P？
( 1 ) (5, 0,0)
( 2 ) (5,5, 0)
( 3 ) (0,12,0)
( 4 ) (0,0, 0)
( 5 ) (0,0, 24)
3 . 在 坐 標 平 面 上 ， 以 (1,1), ( 1,1), ( 1, 1) 及 (1, 1) 等 四 個 點 為 頂 點 的 正 方 形 ， 與 圓
x2  y 2  2x  2 y  1  0 有 幾 個 交 點 ？
(1) 1 個
(2) 2 個
(3) 3 個
(4) 4 個
(5) 0 個
-1-

3. 103 年學測
數學考科
第 2 頁
共 7 頁
4 . 請 問 滿 足 絕 對 值 不 等 式 4 x  12  2 x 的 實 數 x 所 形 成 的 區 間 ， 其 長 度 為 下 列 哪 一
個選項？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 6
5 . 設 (1  2)6  a  b 2 ， 其 中 a, b 為 整 數 。 請 問 b 等 於 下 列 哪 一 個 選 項 ？
6
( 1 ) C06  2C26  2 2 C4  23 C66
( 2 ) C16  2C36  2 2 C56
6
6
( 3 ) C06  2C16  2 2 C2  23 C36  2 4 C4  25 C56  26 C66
( 4 ) 2C16  2 2 C36  23 C56
6
6
( 5 ) C06  2 2 C2  2 4 C4  26 C66
6. 某 疾 病 可 分 為 兩 種 類 型 ： 第 一 類 占 70%， 可 藉 由 藥 物 A 治 療 ， 其 每 一 次 療 程
的 成 功 率 為 7 0 %， 且 每 一 次 療 程 的 成 功 與 否 互 相 獨 立 ； 其 餘 為 第 二 類 ， 藥 物 A
治療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型，且用藥物 A 第一次療
程失敗的情況下，進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？
(1) 0.25
(2) 0.3
(3) 0.35
(4) 0.4
(5) 0.45
-2-

4. 第 3 頁
共 7 頁
103年學測
數學考科
二 、 多 選 題 （ 占 30 分 ）
說明：第 7 題至第 12 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項
畫記在答案卡之
「選擇
（填）
題答案區」
。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，
得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項
或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 設 坐 標 平 面 上 ， x 坐 標 與 y 坐 標 皆 為 整 數 的 點 稱 為 格 子 點 。 請 選 出 圖 形 上 有 格
子點的選項。
( 1 ) y  x2
( 2 ) 3y  9x  1
( 3 ) y2  x  2
( 4 ) x2  y2  3
( 5 ) y  log 9 x 
1
2
8. 關 於 下 列 不 等 式 ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。
(1)
13  3.5
(2)
13  3.6
(3)
13  3  10
(4)
13  3  16
(5)
1
 0.6
13  3

9 . 一 物 體 由 坐 標 平 面 中 的 點 ( 3, 6) 出 發 ， 沿 著 向 量 v 所 指 的 方 向 持 續 前 進 ， 可 以
進入第一象限。請選出正確的選項。

( 1 ) v = (1, 2)

( 2 ) v = (1, 1)

( 3 ) v = (0.001, 0)

( 4 ) v = (0.001,1)

( 5 ) v = ( 0.001,1)
-3-

5. 103 年學測
數學考科
第 4 頁
共 7 頁
1 0 . 設 f ( x ) 為 實 係 數 二 次 多 項 式 ， 且 已 知 f (1)  0 、 f (2)  0 、 f (3)  0 。
令 g ( x )  f ( x )  ( x  2)( x  3) ， 請 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1 ) y  f ( x) 的 圖 形 是 開 口 向 下 的 拋 物 線
( 2 ) y  g ( x) 的 圖 形 是 開 口 向 下 的 拋 物 線
( 3 ) g (1)  f (1)
( 4 ) g ( x)  0 在 1 與 2 之 間 恰 有 一 個 實 根
( 5 ) 若  為 f ( x )  0 的 最 大 實 根 ， 則 g ( )  0
11 . 設 a1  1 且 a1 , a2 , a3 , 為 等 差 數 列 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。
( 1 ) 若 a100  0 ， 則 a1000  0
( 2 ) 若 a100  0 ， 則 a1000  0
( 3 ) 若 a1000  0 ， 則 a100  0
( 4 ) 若 a1000  0 ， 則 a100  0
( 5 ) a1000  a10  10(a100  a1 )
1 2 . 所 謂 某 個 年 齡 範 圍 的 失 業 率，是 指 該 年 齡 範 圍 的 失 業 人 數 與 勞 動 力 人 數 之 比，
以百分數表達（進行統計分析時，所有年齡以整數表示） 下表為去年某國四
。
個年齡範圍的失業率，其中的年齡範圍有所重疊。
年齡範圍
35~44 歲
35~39 歲
40~44 歲
45~49 歲
失業率
12.66(%)
9.80(%)
13.17(%)
7.08(%)
請根據上表選出正確的選項。
(1) 在 上 述 四 個 年 齡 範 圍 中 ， 以 40~44 歲 的 失 業 率 為 最 高
(2) 40~44 歲 勞 動 力 人 數 多 於 45~49 歲 勞 動 力 人 數
 13.17  7.08 
(3) 40~49 歲 的 失 業 率 等 於 
%
2


(4) 35~39 歲 勞 動 力 人 數 少 於 40~44 歲 勞 動 力 人 數
(5) 如 果 40~44 歲 的 失 業 率 降 低 ， 則 45~49 歲 的 失 業 率 會 升 高
-4-

6. 第 5 頁
共 7 頁
103年學測
數學考科
第 貳 部 分 ： 選 填 題 （ 占 40 分 ）
說明：1.第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（13–36）
。
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 設 圓 O 之 半 徑 為 24 ， OC  26 ， OC 交 圓 O 於 A 點 ，
CD 切 圓 O 於 D 點 ， B 為 A 點 到 OD 的 垂 足 ， 如 右
邊 的 示 意 圖 。 則 AB 
○ ○○
13 14 15
。( 化 為 最 簡 分 數 )
○○
16 17
B. 坐 標 平 面 上，若 直 線 y  ax  b ( 其 中 a, b 為 實 數 ) 與 二 次 函 數 y  x 2 的 圖 形 恰 交 於 一
○
○○
點 ， 亦 與 二 次 函 數 y  ( x  2) 2  12 的 圖 形 恰 交 於 一 點 ， 則 a  1 8 ， b  1 9 2 0 。
C. 小 鎮 A 距 離 一 筆 直 道 路 6 公 里 ， 並 與 道 路 上 的 小 鎮 B 相 距 1 2 公 里 。 今 欲 在 此
道 路 上 蓋 一 家 超 級 市 場 使 其 與 A, B 等 距 ， 則 此 超 級 市 場 與 A 的 距 離 須 為
○ ○
21
22
公 里 。 (化 為 最 簡 根 式 )
D. 坐 標 空 間 中 有 四 點 A(2, 0, 0) 、 B (3, 4, 2) 、 C ( 2, 4, 0) 與 D ( 1,3,1) 。 若 點 P 在 直 線 CD
 
上 變 動 ， 則 內 積 PA  P B 之 最 小 可 能 值 為
-5-
○
23
。 (化 為 最 簡 分 數 )
○
24

7. 103 年學測
數學考科
第 6 頁
共 7 頁
 
 



E. 設 u , v 為 兩 個 長 度 皆 為 1 的 向 量 。 若 u + v 與 u 的 夾 角 為 75 ， 則 u 與 v 的 內 積
為
○ ○
25
26
○
27
。 (化 為 最 簡 根 式 )
F. 一 個 房 間 的 地 面 是 由 1 2 個 正 方 形 所 組 成 ，
如右圖。今想用長 方形瓷磚 舖滿地面，已知
每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩個相鄰的正
方 形，即
或
。則 用 6 塊 瓷 磚 舖
○○
滿 房 間 地 面 的 方 法 有 28 29 種 。
a b 
5
G. 已 知 
 是 一 個 轉 移 矩 陣 ， 並 且 其 行 列 式 (值 )為 8 。 則 a  d 
c d 
○○
30 31
。 (化 為
○
32
最簡分數)
H. 如 圖 ， 正 三 角 形 ABC 的 邊 長 為 1 ， 並 且 1  2  3  15 。
已 知 sin15 
○
33
○
34
–
6 2
， 則 正 三 角 形 DEF 的 邊 長 為
4
○
35
○
36
。 (化 為 最 簡 根 式 )
-6-

8. 第 7 頁
共 7 頁
103年學測
數學考科
參考公式及可能用到的數值
1. 首 項 為 a ， 公 差 為 d 的 等 差 數 列 前 n 項 之 和 為 S 
n(2a  ( n  1) d )
2
首 項 為 a ， 公 比 為 r ( r ¹ 1) 的 等 比 數 列 前 n 項 之 和 為 S 
a(1  r n )
1 r
2 . 三 角 函 數 的 和 角 公 式 ： sin( A  B )  sin A cos B  cos A sin B
cos( A  B )  cos A cos B  sin A sin B
tan A  tan B
tan( A  B ) 
1  tan A tan B
3 . ABC 的 正 弦 定 理 ：
ABC 的 餘 弦 定 理 ：
a
b
c


 2 R ( R 為 ABC 外 接 圓 半 徑 )
sin A sin B sin C
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
1
1 n
4 . 一 維 數 據 X : x1 , x2 ,..., xn ， 算 術 平 均 數  X  ( x1  x2    xn )   xi
n
n i 1
標 準 差 X 
1 n
1 n 2
2
((  xi )  n X 2 )
 ( xi   X ) 
n i 1
n i 1
n
5 . 二 維 數 據 ( X , Y ) : ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),...,( xn , yn ) ， 相 關 係 數 rX ,Y 
迴 歸 直 線 ( 最 適 合 直 線 ) 方 程 式 y  Y  rX ,Y
6. 參 考 數 值 ：
 (x
i 1
i
  X )( yi  Y )
n X  Y
Y
(x  X )
X
2  1.414 , 3  1.732 , 5  2.236 , 6  2.449 ,   3.142
7. 對 數 值 ： log10 2  0.3010, log10 3  0.4771, log10 5  0.6990, log10 7  0.8451
-7-