Решение задач на работу

1. Никитина Юлия Станиславовна, учитель математики; Погорелова Наталия Геннадьевна,
учитель математики, Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение
Кумылженская средняя школа №1 имени Знаменского А.Д. ст. Кумылженская, Кумылженского
района Волгоградской области.
Методическая разработка «Решение задач на работу».
Пояснительная записка
Текстовые алгебраические задачи — традиционный раздел элементарной
математики. Их можно встретить во многих школьных учебниках, однако компактное и
четкое изложение соответствующей теории вопроса в них отсутствует. Текстовые задачи
традиционно входят в тексты ЕГЭ и, как показывает практика, вызывают у учащихся
затруднения на экзаменах. Методическая разработка направлена на преодоление хаотичности
и фрагментарности изучения темы «Задачи на работу». Данная методическая разработка
призвана помочь учащимся, и особенно тем из них, кто собирается успешно сдать ЕГЭ и
поступить в высшие учебные заведения, разобраться в типах и методах решения задач.
Познавательный материал» будет способствовать не только выработке умений и
закреплению навыков в решении разнообразных задач, но и формированию устойчивого
интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и со-
циальной активности. Содержание материала методической разработки показывает связь
математики с другими областями знаний, иллюстрирует ее применение в повседневной
жизни. Материал методической разработки направлен на развитие интереса к предмету,
расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых задач.
Цели:
— воспитать умения ориентироваться в различных по своей природе
взаимоотношениях величин;
— сформировать понимание необходимости знаний для решения большого круга
задач, показав широту применения их в реальной жизни;
— интеллектуально развивать, формировать качества мышления, характерные для
математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе,
общей социальной ориентации и для решения практических проблем.
Задачи:
— сформировать умения решать различные типы задач, в том числе и задачи с
практическим содержанием, необходимые для применения в повседневной деятельности;
— научиться оценивать потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
Функции:
Содержание материала показывает связь математики с другими областями знаний,
иллюстрирует применение в повседневной жизни, направлено на развитие интереса к предмету,
расширяет представление об изучаемом материале, на решение новых задач.
Основные принципы отбора и структурирования материала.
Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простых до достаточно
трудных (конкурсных и олимпиадных). Рассматриваются основные методы решения задач.
Приводятся основные теоретические сведения. Изложение методов и приемов сопровождается
разбором типичных задач.
Предполагаемые результаты:
— развитие познавательных интересов, логического мышления, сообразительности и
наблюдательности;
— приобретение умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования;
— предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля
обучения и дальнейшей специализации.

2. 2
Содержание.
1. Задачи на совместную работу.
Вычисление неизвестного времени работы. Задачи о «бассейне», который
одновременно наполняется разными трубами.
2. Задачи на планирование.
Задачи, в которых требуется определить объем выполненной работы. Задачи, в которых
требуется найти производительность труда. Задачи, в которых требуется определить время,
затраченное на выполнение предусмотренного объема работ. Задачи, в которых вместо времени
выполнения некоторой работы дано число рабочих, участвующих в ней.
Методические рекомендации
В теоретическом плане методы решения основных задач представляют собой
самостоятельный, в определенном плане даже изолированный, фрагмент математической
теории, причем сложность чисто математических конструкций, лежащих в его основе,
невелика. Представленные в данной методической разработке задачи могут быть решены
разными способами. Важно самостоятельно выбирать свой способ решения, наиболее удобный
и понятный. Предлагаем на ранней стадии обучения отказаться от использования уравнений и
вернуться к более широкому применению арифметических способов, внося коррективы в
традиционную методику обучения решению задач и стараться избежать ее характерных
недостатков.
В ходе обучения полезно позаботиться о том, чтобы остался наиболее яркий и
положительно окрашенный след от работы с текстовыми задачами, поэтому предлагается
значительно шире использовать задачи по истории, связанные с именами выдающихся
личностей, деталями быта и вычислительной практикой прошлого. Это позволит разнообразить
приемы решения задач, расширить представления о них в далекие и не очень далекие времена, а
так же сформировать интерес к математике. Формировать представления о богатстве
культурно-исторического наследства человечества. Предлагаемые задачи с практическим
содержанием демонстрируют применение математического аппарата к решению повседневных
бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии
производства; ориентируют на обучение по естественнонаучному и социально-экономическому
профилю. Материал методической разработки содержательно выстроен таким образом, что
позволяет отказаться от хаотического предложения задач на разные темы. Поскольку
невозможно предусмотреть всех трудностей, возникающих в работе с каждым конкретным
классом или учащимся, могут возникнуть ситуации, когда учителю необходимо дополнить
имеющуюся «цепочку» задач еще одной. Так, в момент первоначального усвоения приема
решения какого-либо типа задач их фабула должна быть предельно проста, не содержать
никакой отвлекающей информации, мешающей ученику сосредоточиться на взаимосвязи
известных и неизвестных величин в условии задачи.
В известной книге Д. Пойа «Как решать задачу» приведена таблица «Как искать
решение?». В ней выделены четыре этапа. В простых случаях, когда план решения ясен,
некоторые этапы пропускаются. К каждому из этапов в таблице приведены вопросы, которые
помогают достичь цели.
Как искать решение?
1. Понять задачу.
• Что известно?

3. 3
• Что надо найти?
• Нельзя ли сформулировать задачу иначе, проще?
• Нельзя ли задачу свести к уже решенной?
• Все ли данные задачи были использованы?
2. Найти путь от неизвестного к известному.
• Что необходимо знать, чтобы найти неизвестное?
3. Реализовать решение от известного к неизвестному.
• Что можно найти, зная известное?
• Проверить правильность каждого шага.
4. Проверить решение.
• Правдоподобен ли результат?
• Нельзя ли сделать проверку?
• Нельзя ли упростить решение?
Дидактический материал.
Текстовые задачи являются традиционными на ЕГЭ и вступительных экзаменах по
математике. Решение их позволяет проверить развитость логического мышления,
сообразительности и наблюдательности, умение проводить небольшие исследования. Наличие
таких задач на экзаменах объясняется и тем, что будущим специалистам, составляя
математические модели технических, экономических, социальных задач, придется переводить
условие задачи на язык систем уравнений и неравенств. Решение текстовых задач обычно
осуществляется в несколько этапов:
1. Выбор и обозначение неизвестных.
2. Составление уравнений (возможно, неравенств) с использованием неизвестных и
всех условий задачи.
3. Решение полученных уравнений (неравенств). 4. Отбор решений по смыслу задачи.
Дадим несколько советов по первым двум этапам. 1. Не следует стараться обойтись как можно
меньшим числом неизвестных. при большем их числе уравнения составлять легче.
4. Выбор неизвестных определяется структурой и типом задачи, они должны быть
естественными. Так, в задачах на движение в качестве неизвестных обычно берут скорость,
время или расстояние; в задачах на работу — производительность труда, объем работы и т. д.
5. Следует избегать громоздких обозначений для неизвестных. Лучше использовать
стандартные обозначения (х, у, z, u, v и т. д.), что облегчит работу с уравнениями.
Условие задачи следует разбить на логические части, каждой из которых
соответствует одно уравнение (или неравенство). Иногда может случиться, что число
уравнений меньше числа неизвестных, тогда нужно еще раз внимательно прочитать условие
задачи и попытаться выразить то, что требуется найти через введенные неизвестные (если,
конечно, требуемое в задаче не принято уже за соответствующее неизвестное). Если

4. 4
использованы все условия задачи, то нужное неизвестное или комбинация неизвестных
обязательно найдутся. Умение решать текстовые задачи во многом зависит от того, насколько
хорошо ученик различает основные типы задач и решает простейшие из них. Деление на типы
весьма условно. Мы будем придерживаться общепринятого: задачи на движение, работу,
бассейны, проценты, смеси и сплавы и т. д. Рассмотрим типовые задачи и методы их решения.
Задачи на совместную работу
В подобных задачах обычно речь идет о совместной работе нескольких человек или
механизмов, работающих равномерно, т. е. с постоянной скоростью выполнения работы. Такие
задачи аналогичны задачам на движение. Здесь роль пути выполняет величина всей работы
(число деталей, объем резервуара и т. п.), а роль скорости — производительность (т. е работа,
выполненная за единицу времени).
Если в таких задачах объем всей работы не указывается и он не является
искомым, то его удобно принимать за единицу. В этом случае время t, необходимое для
выполнения всей работы, и производительность труда Р связаны соотношением Р = 1/t.
Основными компонентами этого типа задач являются работа; время;
производительность труда (работа, выполненная в единицу времени).
Алгоритм решения задач следующий:
1. Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить, за 1.
2. Вводим переменные х, у, z и т. д., которыми обозначаем время, за которое
указанный рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
3. Находим производительность каждого рабочего в отдельности, т. е.
х у
и т.д.
4. Находим ту часть работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно
за то время, которое он работал.
5. Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (т. е. 1) к сумме
слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненной
отдельно каждым из рабочих (если, разумеется, в условии сказано, что
при совместной работе всех рабочих выполнен полный объем работы).
Вычисление неизвестного времени работы
Задача 1(№ 26596)
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней,
работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же
часть работы, какую второй – за три дня?
Решение.
Обозначим и — объѐмы работ, которые выполняют за день первый и второй рабочий,
соответственно, полный объѐм работ примем за 1. Тогда по условию задачи ( )
и Решим полученную систему
{
( )
⇔ {
( )
⇔ {
Тем самым, первый рабочий за день выполняет одну двадцатую всей работы, значит, работая
отдельно, он справится с ней за 20 дней.
Ответ: 20.
Задача 2(№ 99613)

5. 5
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15
часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему
присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько
часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Решение 1.
Рабочий выполняет 1/15 часть заказа в час, поэтому за 3 часа он выполнит 1/5 часть заказа.
После этого к нему присоединяется второй рабочий, и, работая вместе, два рабочих должны
выполнить 4/5 заказа. Чтобы определить время совместной работы, разделим этот объѐм
работы на совместную производительность:
= 6 часов.
Тем самым, на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов.
Решение 2.
Один рабочий работал 3 часа и должен был бы еще 12, но к нему присоединился второй
рабочий, и они стали работать в два раза быстрее. Поэтому вдвоем они работали только 6 часов.
Значит, полное время работы 9 часов.
Ответ: 9.
Задача 3(99614)
Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов
выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
Решение 1.
Первый мастер выполняет 1/12 работы в час, а второй — 1/6 работы в час. Следовательно,
работая вместе, мастера выполняют = работы в час. Поэтому всю работу мастера
выполнят за 4 часа.
Решение 2
Время работы равно отношению объѐма к скорости еѐ выполнения. Поэтому два мастера,
работая вместе, выполнят заказ за
= 4 часа.
Ответ: 4.
Задача 4 (996146)
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а
Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Решение.
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а
Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Здесь работают трое, переменных в этой задаче будет три.
Пусть х — производительность Игоря, у — производительность Паши, а z —
производительность Володи. Работа равна единице, так как о размере забора ничего не сказано,
то есть имеем – один забор. Можем записать:

6. 6
Игорь и Паша красят забор за 9 часов. При совместной работе производительности
складываются.
Запишем уравнение (х+у) 9= 1.
Игорь и Володя красят забор за 12 часов, аналогично: (y+z) 12=1.
Володя и Игорь красят забор за 18 часов, значит: (x+z) 18=1.
Имеем три уравнения с тремя неизвестными, можем решить систему:
В данном случае можно вычислять переменные по отдельности, но лучше сложить все три
уравнения. Получим, что:
Значит работая втроем, Игорь, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Таким
образом, весь забор они покрасят за 8 часов.
Ответ: 8
Задача 5(99617).
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут
пропалывает грядку одна Даша?
Решение.
Работа в данном случае равна единице – ОДНА грядка.
Обозначим производительность Маши за х, Даши у. Совместно они делают работу за 12 минут.
При совместной работе производительности складываются. Можем составить уравнение:
Сказано, что Маша одна на прополку тратит 20 минут, значит

7. 7
Можем составить систему из двух уравнений:
Выразим х из второго уравнения и подставим в первое:
Получили, что Даша за одну минуту пропалывает 1/30 грядки, значит всю грядку она прополет
за 30 минут.
Ответ: 30
Задача 6(323854)
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали
выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25
рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй
бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней
потребовалось на выполнение заказов.
Решение.
Сразу обозначим базовые моменты:
— Работают две бригады, можем сделать вывод о том, что задача будет решаться путѐм
составления двух уравнений и объединением их в систему.
— Бригады строят два одинаковых дома, значит работа и первой и второй бригады будет равна
1 (один дом).
— Сказано, что квалификация рабочих одинаковая, это означает, что у них равная
производительность, обозначим производительность одного рабочего переменной х.
Рассуждаем.
Первая бригада состоящая из 16 человек работала 7 дней, Производительность рабочего равна
х, значит за это время 16 рабочих сделали 16∙7х часть дома.
Производительность умножили на время и на количество рабочих.
Далее к ним присоединились 8 рабочих из второй бригады и далее они работали вместе, но
время уже не указано. Обозначим его как t дней.
Это означает, что вторая часть сделанной работы равна (16+8)хt. Сумма данных частей
составляет всю работу. Можем записать уравнение:

8. 8
Обратите внимание, что время t это та самая величина которая и будет являться ответом.
Теперь разберѐмся со второй бригадой. Она состоящая из 25 человек также работала 7 дней.
Производительность рабочего равна х, значит за это время 25 рабочих сделали 15∙7х часть
дома.
Далее от них ушли 8 рабочих в первую бригаду и далее они работали в количестве 17 человек,
также t дней. Это означает, что вторая часть работы равна (25–8)хt. Сумма указанных частей
составляет всю работу. Можем записать уравнение:
Запишем систему уравнений:
Таким образом, в новом составе бригады работали 9 дней.
Ответ: 9
Задача 7(501213)
Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем Гоша (при
этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33 задачи на
1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может решить
20 задач? Ответ дайте в часах.
Решение.
1 ч 15 мин =1 ч+15/60 ч=1,25 ч
Пусть скорость Гоши х задач/час, тогда скорость Вовы (х+2) задачи в час. Тогда совместная
скорость (х+х+2) = 2х+2 совместная скорость решения Гоши и Вовы. Составим и решим
уравнение: x₁ не целое не подходит х=10 задач в час решает Гоша 20:10=2 часа время за
которое Гоша сделает 20 задач
Ответ 2 часа
Задача 8(509089)
Два промышленных фильтра, работая одновременно, очищают цистерну воды за 30 минут.
Определите, за сколько минут второй фильтр очистит цистерну воды, работая отдельно, если
известно, что он сделает это на 25 минут быстрее, чем первый.
Решение.
Пусть скорость очистки первого фильтра равна x, а скорость очистички второго фильтра - y.
Примем цистерну за 1.
Тогда, так как,работая одновременно, фильтры очищают цистерну воды за 30 минут, то
получаем первое уравнение:
30(x+y)=1.30(x+y)=1.

9. 9
И так как второй фильтр, работая отдельно, очистит цистерну на 25 минут быстрее, чем первый,
то получаем второе уравнение:
1x−1y=25,1x−1y=25,
y−x=25xy.y−x=25xy.
Из первого уравения выразим x: x=1/30−yx=1/30−y. Получим:
y−130+y=25y(130−y),y−130+y=25y(130−y),
60y−1=25y(1−30y),60y−1=25y(1−30y),
750y^2+35y - 1 = 0,
y1=0,02, y2=−1/15.y1=0,02, y2=−1/15.
Значит скорость второго фильтра равна 0,02.
1:0,02=50.1:0,02=50.
Значит, второй фильтр очистит цистерну за 50 минут, работая отдельно.
Ответ: 50.
Задача 9 (509118)
При двух одновременно работающих принтерах расход бумаги составляет 1 пачку за 12 минут.
Определите, за сколько минут израсходует пачку бумаги первый принтер, если известно, что он
сделает это на 10 минут быстрее, чем второй.
Решение.
Пусть первый принтер расходует пачку бумаги за х минут, тогда второй х+10 минут. Скорость
принтеров будет 1/x+1/(x+10)=1/12
Приводим к виду: 12х+120+12х=х^2+10x
x^2-14x-120=0
x1=-6 x2=20
нам подходит только положительно число, так как время отрицательным не может быть.
Ответ: за 20 минут израсходует пачку бумаги первый принтер
Задача 11
Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать заданный участок
шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала
только одна первая бригада, а заканчивала ремонт участка только одна вторая бригада,
производительность труда которой более высокая, чем в первой бригаде. В результате ремонт
заданного участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время
выполнила всей работы. За сколько дней может отремонтировать участок дороги каждая
бригада, работая отдельно?
Решение
Пусть вся работа может быть выполнена первой бригадой за х дней, а
второй — за у дней. Примем работу за 1, тогда
х
- производительность первой бригады, а
у
-
производительность второй бригады.
х
- часть работы, которую могла выполнить первая бригада за 18 дней;
у
- часть работы, которую могла выполнить вторая бригада за 18 дней.
Так как обе бригады, работая совместно, могли выполнить всю работу
за 18 дней, то можно составить первое уравнение:

10. 10
х у
Так как по условию задачи на выполнение всей работы было затрачено
40 дней и первая бригада выполнила всей работы, а вторая - , то можно составить второе
уравнение:
х у
Составим и решим систему уравнений:
{
х у
х у
⇔ {
у х ху ( )
х у ( )
Выразим у через х в уравнении (2)системы: у=120-2х и подставим в (1):
( х) х х( х)
( х) х х( х)
х х х х
х х
х
√
х
√
х
х
х
Если х то у
Если х то у
Так как производительность второй бригады была выше, чем в первой,
то условию задачи удовлетворяет х = 45; у = 30. Итак, первая бригада выполнит всю работу за
45 дней, а вторая — за 30 дней.
Ответ: 45 дней; 30 дней.
Задачи о бассейне, который одновременно наполняется
разными трубами
Задача 1(26597)
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды
в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1
минуту дольше, чем вторая труба?
Решение.
Примем производительность первой трубы за х(литров в минуту).
Тогда производительность второй трубы равна х+1. Работа это объѐм резервуара – 110 литров.
Заполним графу «время» в таблице:

11. 11
Первая труба заполняет резервуар на 1 минуту дольше, чем вторая.
То есть времени для заполнения уходит больше:
Первая труба заполняет резервуар на 1 минуту дольше, чем вторая.
То есть времени для заполнения уходит больше.
Первая труба в минуту пропускает 10 литров.
Ответ: 10
Задача 2(26598)
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в
минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту
быстрее, чем первая труба?
Решение.
Примем производительность второй трубы за х (литров в минуту).
Тогда производительность первой трубы будет равна х–1.
Работа это объѐм резервуара, он равен 110 литров.
Заполним графу «время» в таблице:
Сказано, что вторая труба заполняет резервуар на 1 минуту быстрее, чем первая. То есть
времени для заполнения уходит меньше, можем записать:

12. 12
Производительность не может быть величиной отрицательной. Вторая труба в минуту
пропускает 11 литров.
Ответ: 11
Задача 3(26599).
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в
минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на
2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
Решение.
Примем производительность первой трубы за х (литров в минуту).
Тогда производительность второй трубы будет равна х + 1.
Работа это наполняемый объѐм резервуара, для перво трубы он 110 литров, для второй 99
литров.
Занесѐм данные в таблицу. Заполним графу «время» в таблице:
Сказано, что резервуар объемом 110 литров первая заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая
труба заполняет резервуар объемом 99 литров. То есть первая затрачивает больше времени.
Можем записать:

13. 13
Производительность не может быть величиной отрицательной. Первая труба в минуту
пропускает 10 литров.
Ответ: 10
Задача 4(26600).
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды
в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10
минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?
Решение.
Примем производительность второй трубы за х (литров в минуту).
Тогда производительность первой трубы будет равна х – 5 (литров в минуту).
Работа это наполняемый объѐм резервуара, для первой трубы он 500 литров, для второй 375
литров.
Занесѐм данные в таблицу. Заполним графу «время»:
Сказано, что вторая труба наполняет резервуар объемом 375 литров быстрее на 10 минут, чем
первая резервуар объемом 500 литров. То есть вторая затрачивает при оговоренных условиях
меньше времени. Можем записать:
Уравнение сводится к квадратному:

14. 14
Производительность не может быть величиной отрицательной. Значит вторая труба в минуту
пропускает 25 литров.
Ответ: 25
Задача 5(99615).
Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько
минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Решение.
Работа равна произведению производительности и времени за которую она выполняется:
Пусть х это время (в минутах), за которое три насоса наполнят бак работая вместе
(одновременно). Объѐм работы в данном случае равен единице – один бак.
Исходя из условия производительность первого насоса будет равна 1/20 (бака в минуту),
второго 1/30 (бака в минуту), третьего 1/60 (бака в минуту).
Час перевели в минуты.
При совместной работе производительности складываются, значит:
Три насоса наполнят бак за 10 минут.
Ответ: 10
Задача 6(99618).
Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6
часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Решение.
Работа в данном случае равна единице – ОДИН бассейн. Из условия сразу можем сделать
вывод, что производительность первой трубы равна 1/6 (бассейна в час).
Переменной «у» обозначим количество часов за которое бассейн наполняется второй трубой.
Переведѐм минуты в часы, 3 часа 36 минут это

15. 15
Занесѐм данные в таблицу:
Производительность второй трубы можно найти из уравнения:
Вторая труба наполняет бассейн за 9 часов.
Ответ: 9
Задача 7(99619).
Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот
же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?
Решение.
Примем производительность первой трубы за «х» (резервуара в минуту), второй трубы «y».
Составим таблицу. Для первой и второй трубы заполним графу «время»:
* При одновременной работе производительности складываются.
В условии сказано, что первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, то
есть времени затрачивается больше, можем записать:

16. 16
Можем составить ещѐ одно уравнение. Уравнение для обеих труб:
Имеем два уравнения, решаем систему:
Выразим «у» в первом уравнении и подставим во второе:
Получаем, что при х=1/12
при х=½
Производительность не может быть величиной отрицательной, значит решением будет являться
х = 1/12 и у = 1/6. То есть производительность второй трубы равна 1/6 резервуара в минуту.
Таким образом, весь резервуар второй трубой будет заполнен за 6 минут.
Ответ: 6
Задача 8(99620).

17. 17
Первый садовый насос перекачивает 5 литров воды за 2 минуты, второй насос перекачивает тот
же объѐм воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы
перекачать 25 литров воды?
Решение.
Сразу же исходя из условия, можно определить производительности насосов: у первого 5/2
(литра в минуту), у второго 5/3 (литра в минуту).
Пусть совместно они будут работать х минут, тогда:
При совместной работе производительности складывают.
Насосы совместно должны работать 6 минут.
Ответ: 6
Задача 9
Если две трубы открыть одновременно, то бассейн наполнится за 2 ч 24 мин. В
действительности же сначала была открыта только первая труба в течение одной четверти
времени, которое необходимо второй трубе, чтобы наполнить бассейн, действуя отдельно.
Затем действовала вторая труба также в течение одной четверти времени, которое необходимо
первой, чтобы одной наполнить бассейн, после чего оказалось, что осталось наполнить
полной вместимости бассейна. Сколько времени необходимо для наполнения бассейна каждой
трубой в отдельности?
Решение
Пусть первая труба наполняет бассейн за х ч, а вторая - за у ч. Тогда
х
-
производительность первой трубы, а
у
- производительность второй трубы.
Примем объем воды в бассейне за 1. Из условия следует, что первая труба наполнила
(
х
у) часть бассейна, вторая труба наполнила (
у
х) часть бассейна, а вместе они
наполнили
Так как обе трубы при одновременной работе наполняют весь бассейн
за 2 ч 24 мин, то можно составить второе уравнение:
(
х у
)
Составим и решим систему уравнений:
{
х
у
у
х
(
х х
)
⇔
{
у
х
х
у
х у
⇔ {
у
х
х
у
у х ху
Введем замену:
у
х
, тогда первое уравнение системы примет вид:
√

18. 18
Вернемся к замене:
1)
у
х
у х подставим во второе уравнение системы:
х х х х
х х
х
х х
х х
х(х ) ⇔ *
х
х
х = 0 – не удовлетворяет условию задачи. Если х = 4, то у = 6.
2)
у
х
у х. Подставим во второе уравнение системы:
х х х
х х
х
х х
х х
х(х ) ⇔ *
х
х
х = 0 — не удовлетворяет условию задачи. Если х = 6 , то у = 4. Если предположить,
что первая труба наполняет бассейн быстрее, чем вторая труба, то первая труба наполнит
бассейн за 4 часа, а вторая — за 6 часов.
Ответ: 4 ч; 6 ч.
Ответ: 10 минут.
Задачи на планирование
В задачах на планирование так же, как и в задачах на совместную работу,
основными компонентами являются :
1) работа (выполненная фактически и запланированная);
2) время выполнения работы (фактическое и запланированное);
3) производительность труда (фактическая и запланированная).
В задачах на планирование сравнивается работа, которая должна быть выполнена по
плану, и работа, которая выполнена фактически, причем в некоторых задачах этого раздела
вместо времени выполнения работы дается
количество рабочих, участвующих в ее выполнении. Основные типы задач на
планирование — это задачи, в которых требуется определить объем выполняемой работы;
определить время, затраченное на выполнение предусмотренного объема работы; в которых
вместо времени выполнения некоторой работы дано число рабочих, участвующих в ней.
Задачи, в которых требуется определить объем
выполняемой работы
Задача 1(99621)

19. 19
Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а
Ваня – на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест
позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Решение.
В данной задаче производительности даны: у Пети 8 (вопросов в час), у Вани 9. Количество
вопросов это и есть работа, принимаем еѐ за х.
В таблице заполним графу «время»:
Сравнение будем проводить по времени.
Петя закончил свой тест на 20 минут позже Вани, то есть Петя затратил больше времени.
*Переведѐм минуты в часы: 20 минут это 1/3 часа.
Запишем
Тест содержит 24 вопроса.
Ответ: 24
Задача 2(323851)
Плиточник должен уложить 175 м2
плитки. Если он будет укладывать на 10 м2
в день
больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров
плитки в день планирует укладывать плиточник?
Решение.
Планирует укладывать х м2
в день На укладку 175 м2
потратит 175/х дней
Если в день будет укладывать (х+10) м2
в день На укладку 175 м2
потратит 175/(х+10) дней
Разница 175/х - 175/(х+10) = 2
175 - 175 _= 2
х ___х+10

20. 20
175(х+10) - 175х = 2х(х+10)
2х2
+ 20х - 1 750 = 0 Делим на 2
х2
+ 10х - 875 = 0
D = 102
+ 4• 1 • 875 = 100 + 3 500 = 3 600 = 602
x1 = (-10-60)/2 < 0 не удовлетворяет условию задачи
x2 = (-10+60)/2 = 50/2 = 25 км/ч
Ответ: 25
Задача 3
Ученик токаря вытачивает болванки матрешек для определенного числа
комплектов. Он хочет научиться изготавливать ежедневно на 2 болванки больше. В этом случае
такое же задание он выполнит на 10 дней быстрее. Если бы ему удалось изготавливать
ежедневно на 4 болванки больше, чем теперь, то срок выполнения такого же задания
уменьшился бы на 16 дней.
Сколько комплектов матрешек обеспечивает болванками этот токарь, если
для каждого комплекта нужно 16 матрешек?
Решение
Пусть токарь вытачивает х болванок матрешек для определенного числа
комплектов. Пусть у болванок он вытачивает за один день. Тогда задание
он выполнит за
х
у
дней. Если он будет вытачивать в день (у + 2) болванки, то
выполнит задание за
х
у
дня, а т.к. при этом он затратит на 10 дней меньше, то можно составить
уравнение:
х
у
х
у
Если токарь будет вытачивать (у+4) болванки в день, то выполнит задание за
х
у
дня, а
т.к. для комплекта матрешек ему нужно 16 болванок, то можно составить второе уравнение:
х
у
х
у
Составим и решим систему уравнений:
{
х
у
х
у
х
у
х
у
⇔ {
х(у ) ху у(у )
х(у ) ху (у )
⇔ {
ху х ху х у
ху х ху у у
⇔
{
у у х
у х
⇔ {
у у х
у у х
у у у у
у у
у(у ) ⇔ [
у
у
у = 0 – не удовлетворяет условию задачи. Если у = 6, то х = 240.

21. 21
Так как для каждого комплекта матрешек нужно 16 болванок, то число комплектов 240
/ 16 = 15.
Ответ: 15 комплектов.
Задачи, в которых требуется найти производительность труда
Задача 1(26592)
Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько
деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на
1 деталь больше?
Решение.
Работа это количество деталей. В задаче спрашивается, сколько деталей в час делает второй
рабочий, то есть какова его производительность. Примем еѐ за х (деталей в час). Тогда
производительность первого рабочего будет равна х+1 (он делает на одну деталь в час больше).
Поскольку t=A/p, то время работы первого рабочего будет равно:
время работы второго равно:
Занесѐм данные в таблицу:
Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, времени он затрачивает на 1
час меньше, чем второй.
Значит
Можем записать:
Уравнение сводится к квадратному:

22. 22
Очевидно, что производительность рабочего не может быть отрицательной величиной.
Ответ: 10
Задача 2(26594)
На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий
на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали
больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Решение.
Для удобства занесѐм данные в таблицу.
В колонке «работа» для первого запишем 475, для второго рабочего запишем 550. В задаче
спрашивается, сколько деталей в час делает первый рабочий, то есть какова его
производительность. Примем еѐ за х (деталей в час).
Тогда производительность второго рабочего будет равна х–3 (он делает на три детали в час
меньше).
Поскольку t=A/p, то время работы первого рабочего будет равно
время работы второго равно
Занесѐм данные в таблицу:
Сказано, что первый рабочий тратит на свой заказ на 6 часов меньше. Можем записать:
Уравнение сводится к квадратному:

23. 23
Очевидно, что производительность рабочего не может быть величиной. Первый рабочий делает
25 деталей в час.
Ответ: 25
Задача 3
Бригада рыбаков намеревалась выловить в определенный срок 1800 ц рыбы. Треть этого срока
был шторм, вследствие чего плановое задание ежедневно
недовыполнялось на 20 ц. Однако в остальные дни бригаде удавалось ежедневно вылавливать
на 20 ц больше дневной нормы, и плановое задание было выполнено за 1 день до срока.
Сколько центнеров рыбы намеревалась вылавливать бригада рыбаков ежедневно?
Решение.
Пусть планируемый срок лова рыбы — х дней, а в день следовало вылавливать у ц. Так
как бригада намеревалась выловить 1800 ц рыбы, то можно составить первое уравнение:
ху = 1800.
Так как планируемого срока был шторм, то за это время бригада выловила (у )
х (ц), а т.к. в оставшееся время бригада выловила
(у )(
х
) ц, то можно составить второе уравнение:
(у )
х
(у ) ( х )
Составим и решим систему уравнений:
{
ху
(у )
х
(у ) ( х )
⇔
⇔
{
х
у
(у )
у
(у ) (
у
)
Решим второе уравнение системы:
у у
у
у
у
у у
у у

24. 24
у
у
у - не удовлетворяет условию задачи.
Итак, бригада рыбаков должна вылавливать в день 100 ц рыбы.
Ответ: 100 ц.
Задачи, в которых требуется определить время, затраченное
на выполнение предусмотренного объема работы
Задача
Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких
месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда,
предприятие стало изготавливать в месяц на 70 насосов больше, чем было
предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на 30
насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?
Решение
Пусть х месяцев — время, за которое предусмотрено выполнение планового задания,
тогда за (х-1) месяцев было выпущено 6030 насосов. В месяц
по плану предприятие планировало выпускать
х
насосов, а практически выпускало
х
насосов.
В соответствии с условием задачи составим и решим уравнение:
х х х
х х х х
х х
х х
х
√
х
х
х
х - не удовлетворяет условию задачи. Итак, на протяжении 10 месяцев было
предусмотрено выпустить 6000 насосов.
Ответ: 10 месяцев.
Задачи, в которых вместо времени выполнения некоторой работы дано
число рабочих, участвующих в ней
Задача.
Бригада каменщиков взялась уложить 432 м3
кладки, но в действительности на работу
вышли на 4 человека меньше. Сколько всего каменщиков в бригаде, если известно, что
каждому работавшему каменщику пришлось укладывать на 9 м3
больше, чем первоначально
предполагалось?
Решение
Пусть в бригаде х каменщиков, тогда по условию задачи на работу вышли
(х-4) каменщиков. Так как каждый каменщик должен был по плану уложить
х
м3
кладки, а фактически каждый уложил
х
м3
, то это на 9 м3
больше, чем предполагалось.
На основании этого составим и решим уравнении:
х х

25. 25
х х х х
х х
х х
х
х
х = - 12 – не удовлетворяет условию задачи. Итак, в бригаде 16 каменщиков.
Ответ: 16 каменщиков.
Задачи для самостоятельного решения
На совместную работу
1. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке
деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч,
выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч,
то и тогда будет выполнено только всего задания. Сколько времени требуется бригаде
учеников для самостоятельного
выполнения данного задания?
Ответ: 45 ч.
2. Два рабочих, из которых второй начал работать полутора днями
позже первого, работая независимо один от другого, оклеили обоями несколько комнат за 7
дней, считая с момента выхода на работу первого рабочего. Если бы эта работа была поручена
каждому отдельно, то первому для ее выполнения понадобилось бы тремя днями больше, чем
второму. За сколько дней каждый из них выполнил бы эту же работу?
Ответ: 14 дней; 11 дней.
3. Первая бригада, работая отдельно, может выполнить задание за три
дня, а вместе со второй бригадой — за два дня. За сколько дней одна вторая
бригада может выполнить то же задание?
Ответ: за 6 дней.
4. Пароход загружают с помощью подъемных кранов. Сначала работали четыре крана
одинаковой мощности. Через 2 ч к ним присоединились еще два крана меньшей мощности,
после чего через 3 ч погрузка была закончена. Если бы все краны начали работать
одновременно, погрузка была бы окончена за 4,5 ч. Определить, за сколько часов мог бы
произвести погрузку один кран большей и один кран меньшей мощности.
Ответ: за 24 часа; за 36 ч.
5. В лабораторной установке некоторая жидкость поступает в сосуд через три
входных клапана. Если все краны открыть одновременно, то сосуд
наполнится за 6 мин. Если же наполнять сосуд только через второй клапан,
то на это потребуется того времени, за которое может наполниться сосуд только через один
первый кран. Через один третий кран этот сосуд наполняется на 10 мин дольше, чем через
один второй кран. На какое время надо открывать каждый кран в отдельности для наполнения
сосуда?
Ответ: мин; 14 мин; 24 мин.
6. Бассейн наполняется двумя трубами. Наполнение бассейна первой
трубой длится на 22 мин дольше, чем первой. Если же бассейн будут наполнять две трубы
одновременно, то он наполнится за 1 ч. За какой промежуток времени каждая труба отдельно
наполнит бассейн?
Ответ: за ч и 1 - ч.
7. Большой насос перекачивает за 1 ч на 5 м3 больше, чем малый. Резервуар объемом
120 м3 заполнялся вначале пятью малыми насосами. Когда резервуар был заполнен

26. 26
наполовину, два малых насоса заменили двумя большими. Сколько м3 перекачивает в час
малый насос, если известно, что резервуар наполнился за 5 ч?
Ответ: 4 м3.
8. Два секретаря должны были сделать по 120 звонков клиентам фирмы к
определенному сроку. Один из них выполнил работу на 5 ч раньше второго, т. к. делал на 2
звонка в час больше второго. Скольким клиентам дозвонились во второй час работы оба
секретаря?
Ответ: 14.
9. Два помощника депутата так разделили .между собой работу по редактированию
доклада, что закончили каждый свою часть работы одновременно, через 12 ч. Первый
помощник, работая один, мог бы отредактировать доклад на 10 ч быстрее второго. Сколько
часов потребовалось бы второму помощнику для выполнения этой работы?
Ответ: 30 ч.
10. Два транспортера в аэропорту, работая одновременно, доставляли
багаж пассажирам за 40 мин. После реконструкции скорость доставки груза
первым транспортером увеличилась в 2 раза, а вторым — в 1,5 раза. Теперь
они доставляют багаж за 24 мин, если работают одновременно. Сколько часов занимала
доставка багажа первым транспортером до реконструкции, если второй находился в ремонте?
Ответ: 2 ч.
12. Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй.
Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час
изготавливает на 1 деталь больше второго?
Ответ: 13 шт.
13. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем
второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час
делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Ответ: 25 шт.
14. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй
рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на
1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Ответ: 10 шт.
17. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она
заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?
Ответ: 11 литров.
18. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она
заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
Ответ: 10 литров.
19. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она
заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?
Ответ: 25 литров.
20. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15
часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему
присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько
часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Ответ: 9 часов.
21. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько
часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

27. 27
Ответ: 4 часа.
22. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1
час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Ответ: 10 минут.
23. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12
часов, а Володя и Игорь – за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая
втроем?
Ответ: 8 часов.
24. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За
сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Ответ: 30 минут.
25. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет
бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
Ответ: 9 часов.
26. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы
наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна
вторая труба?
Ответ: 6 минут.
27. Первый садовый насос перекачивает 5 литров воды за 2 минуты, второй насос
перекачивает тот же объѐм воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать
совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?
Ответ: 6 минут.
28. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов
теста, а Ваня – на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой
тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Ответ: 24 часа.
29. Плиточник должен уложить 168 м2
плитки. Если он будет укладывать на 2 м2
в день
больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров
плитки в день планирует укладывать плиточник?
Ответ: 25 м2
.
30. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали
выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25
рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй
бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней
потребовалось на выполнение заказов.
Ответ: 16 часов.
31. Вова и Гоша решают задачи. За час Вова может решить на две задачи больше, чем
Гоша (при этом оба за час решают целое количество задач). Известно, что вместе они решат 33
задачи на 1 час 15 минут быстрее, чем это сделал бы один Вова. За какое время Гоша может
решить 20 задач? Ответ дайте в часах.
Ответ: 2 часа.
32. Два промышленных фильтра, работая одновременно, очищают цистерну воды за
30 минут. Определите, за сколько минут второй фильтр очистит цистерну воды, работая
отдельно, если известно, что он сделает это на 25 минут быстрее, чем первый.
Ответ: 50 минут.
33. При двух одновременно работающих принтерах расход бумаги составляет 1 пачку
за 12 минут. Определите, за сколько минут израсходует пачку бумаги первый принтер, если
известно, что он сделает это на 10 минут быстрее, чем второй.
Ответ: 20 минут.

28. 28
34. Бригада рабочих должна была в определенный срок изготовить 272
детали. Через 10 дней после начала работы бригада стала перевыполнять дневную норму на 4
детали и уже за один день до срока изготовила 280 деталей. Сколько деталей изготовит бригада
к сроку?
Ответ: 300 деталей.
35. Двое сделали 29 бумажных самолетиков. Первый сделал 3 самолетика за 2 мин,
второй — 2 самолетика за 3 мин. Сколько самолетиков сделал каждый, если второй работал на
11 мин дольше?
Ответ: 15 и 14 самолетиков.
36. Первый мастер шьет шубу за 5 дней, а второй — за 3 дня. Как распределить между
ними заказ на пошив 9 шуб, чтобы каждый сшил целое число шуб и заказ был выполнен в
кратчайший срок?
Ответ: 18 дней.
37. На вагоноремонтном заводе в определенный срок должно быть отремонтировано
330 вагонов. Перевыполняя план ремонта в среднем на 3 вагона в неделю, на заводе уже за две
недели до срока отремонтировали 297 вагонов. Сколько вагонов в неделю ремонтировали на
заводе?
Ответ: 33 вагона.
38. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько дней 216 м3
древесины. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а
затем каждый день заготавливала 8 м3 сверх плана, поэтому за день до срока было изготовлено
232 м3 древесины. Сколько кубических метров древесины в день должна была бригада
заготавливать по плану?
Ответ: 24 м3.
39. Бригада рабочих должна была изготовить 8000 одинаковых деталей в
определенный срок. Фактически эта работа была окончена на 8 дней раньше срока, т. к. бригада
делала ежедневно на 5 деталей больше, чем было намечено по плану. В какой срок должна быть
окончена работа по плану?
Ответ: 40 дней.
40. Две бригады рабочих должны были изготовить к некоторому сроку по 240
деталей. Первая бригада, изготовляя в день на 8 деталей больше, чем вторая бригада,
выполнила задание на 3 дня до срока, опередив вторую бригаду на 1 день. Каким был срок
выполнения задания?
Ответ: 8 дней.
41. Бригада рабочих электролампового цеха должна была сделать за смену 7200
деталей, причем каждый рабочий делал одинаковое количество деталей. Однако в бригаде
заболели трое рабочих, и поэтому для выполнения всей нормы каждому из оставшихся рабочих
пришлось сделать на 400 деталей больше. Сколько в бригаде было рабочих?
Ответ: 9 рабочих.
42. Можно изготовить 9000 деталей на нескольких новых станках одинаковой
конструкции и одном станке старой конструкции, работающем вдвое медленнее каждого из
новых станков. А можно и этот старый станок заменить новым станком той же конструкции,
что и остальные, тогда по второму варианту на каждом станке изготовлялось бы на 200 деталей
меньше, чем на одном новом станке по первому варианту. Сколько всего было станков?
Ответ: 5 станков.
43. Два трактора разной мощности начали пахать поле в 14 га в 7 час и закончили
одновременно. Если бы первый трактор вспахивал в час на 0,1 га больше, а второй начал бы
работу на час раньше, то работа была бы окончена на 1 час 12 мин раньше. Если бы второй
трактор вспахивал в час на 0,1 га больше, а первый начал бы работу на час раньше, то работа
была бы окончена на 1 час 4 мин раньше. В котором часу тракторы закончили работу?
Ответ: в 17 часов.

29. 29
44. Для разгрузки парохода выделено две бригады. Если ко времени, за которое может
разгрузить пароход первая бригада, прибавить время, за которое разгружает одна вторая
бригада, то получится 12 часов. Найти эти времена, если их разность составляет 45 % времени,
за которое обе бригады могут разгрузить пароход совместно.
Ответ: 6 час 40 мин; 5 час 20 мин.
45. Одну и ту же работу могут выполнить три бригады. Первая бригада выполняет 2/3 всей
работы за некоторое время. Такое же время потребуется, если сначала третья бригада выполнит
1/3 часть всей работы, а затем вторая бригада выполнит 9/10 работы, оставшейся после третьей
бригады. Производительность третьей бригады равна полусумме производительностей первой
и второй бригад. Во сколько раз производительность второй бригады больше
производительности третьей бригады?
Ответ: в 1,2 раза.
46. Трое рабочих разной квалификации выполнили некоторую работу, причем первый работал 6
часов, второй – 4 часа, третий – 7 часов. Если бы первый работал 4 часа, второй – 2 часа, третий
– 5 часов, то было бы выполнено лишь 2/3 всей работы. За сколько часов рабочие закончили бы
работу, если бы они работали все вместе в одно и то же время?
Ответ: 6 часов
47. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе,
могут выполнить работу за 7,5 часов; первый третий и пятый вместе – за 5 часов; первый,
третий и четвертый вместе – за 6 часов; а второй, четвертый и пятый – за 4 часа. За какое время
выполнят работу эти пять человек, работая вместе?
Ответ: 3 часа.
Список литературы
1. Алгебра в 7 классе: метод, материалы / С.Н. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н.
Решетников (любое издание).
2. Варшавский, И.К. Текстовые задачи на едином государственном экзамене / И.К.
Варшавский, М.Я. Гаиашвили, Ю.А. Глазков // Математика в шк. 2006. № 1. С. 6—19.
3. Вигдорчик, Е. Элементарная математика в экономике и бизнесе /Е. Вигдорчик, Т.
Нежданова. М., 1997.
4. Водинчар М.И. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом управления /
М.И. Водинчар, Г.А. Лайкова, Ю.К. Рябова // Математика в шк. 2001. №4.
5. Глейзер Г.И. История математики в школе (4-6 кл.): пособие для учителей / Г.И.
Глейзер. М.: Просвещение, 1981.
6. Денищева Л.О. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа 10-11
классы/ Л.О. Денищева, М.Б. Миндюк, Е.А. Седова. М.: Изд. Дом «Генжер», 2001.
7. Дорофеев, Г.В. Процентные вычисления. 10—11 классы: учеб,- метод. пособие /
Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова. М.: Дрофа, 2003. 144 с.
8. Канашева, Н.А. О решении задач на проценты / Н.А. Канашева // Математика в
шк. 1995. № 5. С. 24.
9. Колягин, Ю.М. Функции задач в обучении математике и развитие мышления
школьников / Ю.М. Колягин // Сов. педагогика. 1974. № 6. С. 56 - 61.
10. Липсиц, И.В. Экономика без тайн / И.В. Липсиц. М.: Вита-Пресс 1994.г

30. 30
11. Лурье, М.В. Задачи на составление уравнений / М.В. Лурье, Б.И. Александров. М.:
Наука, 1990.
12. Олехник, С.Н. Старинные занимательные задачи / С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко,
М.К. Потапов. М.: Наука, 1988. 160 с.
13. Пойя, Д. Как решать задачу: пособие для учителей / Д. Пойя 2-е изд. М.:
Учпедгиз, 1961.
14. Рязановский, А.Р. Задачи на части и проценты / А.Р. Рязановский // Математика в
шк. 1992. № 1. с. 18.
15. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. М.:
Просвещение, 1995. 240 с. (Библиотека учителя математики).
16. Сборник элективных курсов: математика 8—9 классы / В.Н. Студенецкая, Л.С.
Сагателова. Волгоград: Учитель, 2006. 205 с.
17. Симонов, А.С. Проценты и банковские расчеты / А.С. Симонов // Математика в
шк. 1998. № 4.
18. Соломатин, О.Д. Старинный способ решения задач на сплавы и
смеси / О.Д. Соломатин//Математика в шк. 1997. № 1.С. 12 13.
19. Шевкин, А.В. Обучение решению текстовых задач в 5—6 классах: кн. для учителя
/ А.В. Шевкин. М.: Галс Плюс, 1995. 142 с.
20. Шорина, С.П. Обоснование старинного способа решения задач на смеси / С.П.
Шорина // Математика в шк. 1997. № 6. С. 77.
21. Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики /
Н.Я. Виленкин. М.: Просвещение, 1989. С. 73.
22. Денищева, Л.О. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика /
Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко, Ю.А. Глазков [и др.]. М.- Дрофа, 2003. 120 с. н
23. Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих в втузы / В.К. Егерев
[и др.]; под ред. М.И. Сканави. М.: Высш. шк., 1988.
24. Каганов, Э.Д. 400 самых интересных задач с решениями по школьному курсу
математики для 6—11 классов / Э.Д. Каганов. М.: ЮНВЕС, 1998. 288 с.
25. Конкурсные задачи по математике и методы их решения: учеб. пособие / В.Г.
Аксютенкова, Г.К. Антонюк, О.Г. Боровик [и др.]. Краснодар, 1997. 489 с.
26. Крамор B.C. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал
анализа / B.C. Крамор. М.: Просвещение, 1990. С. 381—409.
27. Литцман, Е. Великаны и карлики в мире чисел / Е. Литцман. М.,
1959.
28. Математика. ЕГЭ-2019, вступительные экзамены: пособие для самостоятельной
подготовки / под ред. Ф.Ф. Лысенко. Ростов н/Д.:Легион, 2005. 416 с.
29. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: учебник для
общеобразоват. учеб. заведений / под ред. Г.В. Дорофеева. 2-е изд., стер. М.: Дрофа, 2000. 304 с.

31. 31
30. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл. / под ред. Г.В. Дорофеева.
М.: Дрофа, 2000. Гл. IV.
31. Олехник, С.Н. Старинные занимательные задачи / С.Н. Олехник, Ю.В.
Нестеренко, М.К. Потапов. М.: Дрофа, 2002. 176 с.
32. Перельман, Я.И. Занимательная алгебра / Я.И. Перельман. М., 1967.
33. Потапов, М.К. Конкурсные задачи по математике: справ, пособие / М.К. Потапов,
С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992.480 с.
34. Решение задач и выполнение заданий с комментариями, ответами для подготовки
к единому государственному экзамену. Ч. 2 / сост. В.Н. Студенецкая, З.С. Гребнева. Волгоград:
Учитель, 2003. 104 с.
35. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. М.: Высш. шк., 1989.
36. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / В.К. Егерев, В.В.
Зайцев, Б.А. Кордемский [и др.]; под ред. М.И. Сканави. Минск: Высш. шк., 1990. 528 с.
37. Свечников, А.А. Путешествие в историю математики, или Как люди учились
считать: Книга для тех, кто учит и учится / А.А. Свечников. М.: Педагогика-Пресс, 1995. 168 с.
38. Соболь, Б.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и
централизованному тестированию по математике / Б.В. Соболь, И.Ю. Виноградова, Е.В.
Рашидова. 3-е изд. Ростов н/Д.: Феникс, 2003. 352 с.
39. Ткачук, В.В. Математика — абитуриенту. Т. 1 / В.В. Ткачук. М.: МЦНМО: ТЕИС,
1997.
40. Тынянкин С.А. Что делать, или 2730 конкурсных задач / С.А. Тынянкин, А.А.
Тырымов. Волгоград, 2002. 416 с.
41. Шарыгин И.Ф. Решение задач, факультативный курс по математике. 10 класс / И.Ф.
Шарыгин. М.: Просвещение, 1989.
42 Шарыгин И.Ф. - Математический винегрет / И.Ф. Шарыгин. М., 1991
43. Шарыгин, И.Ф. Математика для поступающих в вузы: учеб. пособие / И.Ф.
Шарыгин. М.: Дрофа, 1995. 416 с.
44. Шевкин, А.В. Текстовые задачи / А.В. Шевкин. М.: Просвещение 1997.112 с.
45. Цыпкин, А.Г. Справочное пособие по методам решения задач по математике для
средней школы / А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский; под ред. В.И. Благодатских. М.: Наука, 1984.