246 обществознание. 6кл. промежут. тестирование калачева-2015 -48с

1. Москва
«Просвещение»
Институт новых технологий
2007
информатика
5 класс
Книга для учителя
А. Л. Семёнов Т. А. Рудченко
информатика
5

2. ISBN 978-5-09-016360-6 © Институт новых технологий, 2007
© Художественное оформление.
Институт новых технологий, 2007
Все права защищены
Семенов А. Л.
Информатика: 5 кл.: кн. для учителя / А. Л. Семенов,
Т. А. Рудченко. – М. : Просвещение: Институт новых
технологий, 2007. – 192 с. – ISBN 978-5-09-016360-6.
Учебно-методический комплект для 5 класса состоит из учебника,
тетради проектов c приложением раздаточного материала и книги для
учителя.
В методическом пособии авторы комментируют решение задач,
обращают внимание учителя на наиболее важные и сложные понятия, на
связь курса с разными дисциплинами в среднем звене и старших классах.
Пособие содержит и некоторые общие комментарии, не связанные с
конкретным заданием, но важные для всего курса.
Электронная версия книги для учителя размещена на сайтах:
www.int-edu.ru; www.prosv.ru.
УДК 372.8:004
ББК 74.263.2
Дизайн обложки Р. Е. Самолюбовой
В подготовке методического пособия принимали участие:
Е. С. Архипова, М. А. Ройтберг
УДК 372.8:004
ББК 74.263.2
C30
С30
Учебное издание
Семёнов Алексей Львович
Рудченко Татьяна Александровна
ИНФОРМАТИКА
5 класс
Книга для учителя
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор А. В. Желонкин
Художественный редактор О. П. Богомолова
Дизайн обложки Р. Е. Самолюбова
Технический корректор Г. В. Субочева
Верстка выполнена Институтом новых технологий.
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93–953000.
Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета
22.12.2006. Формат 60 × 901
/16. Бумага офсетная. Гарнитура Прагматика. Печать
офсетная. Уч.-изд. л. Тираж экз. Заказ № .
Институт новых технологий. 115162, Москва, Мытная, 50.
Тел.: (095) 926-49-65, e-mail: int@mtu-net.ru.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение» .
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

3. 3
Введение
Курс «Информатика 5» является составной частью курса информатики для на-
чальной и средней школы. При этом курс 5 класса подходит как детям, которые
уже занимались информатикой в начальной школе, так и детям, которые только
начинают изучение этой дисциплины.
Как и другие составляющие общего курса информатики для начальной и сред-
ней школы А. Л. Семенова и др., курс 5 класса следует главным идеям, положен-
ным в основу общего курса:
•явное и ясное введение правил игры – общих для всех учащихся и учителя
договоренностей, полностью определяющих работу учащихся в рамках курса;
•активное использование языка, как наиболее естественного для учащихся
информационного поля;
•интерпретация всего спектра понятий современной информатики в графи-
ческих и телесных моделях.
Основной формой работы на уроке в 5 классе, как и в курсе начальной школы,
авторы предлагают сделать самостоятельную работу учащегося. Такая модель
поддерживается спецификой учебника, который содержит всю информацию, не-
обходимую для однозначного понимания учащимися поставленной учебной за-
дачи и четкой ориентации в правилах игры. При этом учитель на уроке играет роль
не только консультанта, но и катализатора интеллектуальной и творческой актив-
ности учащегося. Именно учитель организует деятельность ребят на уроке так,
чтобы работа с материалами курса каждого из учеников находилась всегда в зо-
не его ближайшего развития.
Важную роль в изучении курса играют проектные уроки. Это уроки решения
практических информационных задач, часто выполняемых силами группы уча-
щихся. Все материалы для проведения таких уроков собраны в специальной ра-
бочей тетради – тетради проектов и ее приложении – раздаточных материалов.
Описание работы в проектах дано в этой книге.
Центральной научной идеей курса «Информатика 5» является идея дискрет-
ности – знакомство школьников с дискретными структурами и дискретными про-
цессами. В этом курсе дети познакомятся с примерами различных дискретных
структур – структур, состоящих из отдельных элементов (множество, последова-
тельность, дерево), а также с примерами процессов, разложимых на отдельные
этапы и шаги (игра, перебор, шифрование и др.). Ребята познакомятся с дискрет-
ными информационными процессами не только в информатике, но и в математи-
ке, лингвистике, биологии и других науках. Теоретический материал и блоки соот-
ветствующих задач подробно обсуждаются далее.
Курс 5 класса имеет важные особенности в отличие от курса начальной шко-
лы. Все они продиктованы переходом детей на новую ступень обучения – в сред-
нее звено.

4. Первая из этих особенностей – переход на новый формат учебника. Учебник
содержит листы определений, где имеются вся необходимая информация для ре-
шения задач и блоки различных задач. Но в отличие от учебника-тетради, в кото-
ром дети решали задачи в начальной школе, учебник 5 класса содержит только
условия задач, а решать их учащиеся будут в обычных тетрадях. Ребенок офор-
мляет теперь решение полностью сам, не опираясь на заготовленные графичес-
кие шаблоны, в частности, решает, что и как писать, а также как разместить объ-
екты на странице. Чтобы обеспечить ясное и явное введение правил игры, в том
числе и правил оформления решения, в условия задач включены указания и об-
разцы написания ответов, на листах определений показана грамотная запись.
При решении задач первых нескольких уроков правила оформления предельно
просты. Со временем, когда ребята осваиваются с оформлением основных типов
заданий, формулировки задач становятся более разнообразными и за счет воз-
можности ответов на вопросы в свободной форме.
Вторая особенность курса 5 класса – введение основ теории множеств. Эта
важная часть современной математики по разным причинам выпала из объема
стандартных математических курсов средней школы. По мнению авторов, основ-
ные понятия теории множеств методически важно ввести именно в 5 классе, так
как многие из них используются в курсах математики уже начиная с 6 класса. При
этом авторам пришлось пожертвовать понятием мультимножества (мешка), вве-
денного в курсе начальной школы, которое более удобно для работы с конечны-
ми дискретными объектами. Стремясь поддержать и другие общепринятые в кур-
сах математики термины, в курсе 5 класса авторы заменили термин «цепочка»
равноценным термином «последовательность», одновременно была изменена и
вся сопутствующая терминология.
Еще одна особенность курса – бо́льший объем учебных текстов. В начальной
школе ведущую роль играло наглядно-образное мышление, поэтому все новые
понятия вводились на графических примерах, да и работали дети в основном в
«графическом и телесном режиме» – раскрашивали, обводили, вырезали, клеили
и т. п. При изучении курса 5 класса все более серьезную роль начинают играть
учебные тексты. Если в курсе 2–4 классов текст в основном служил пояснением к
картинкам, то теперь назначение текста становится более разнообразным. В тех
случаях, когда понятие можно определить словами кратко и ясно, появляются
формальные определения. Появляются также краткие описательные тексты, по-
ясняющие новое понятие или содержащие примеры. При этом везде, где это воз-
можно, тексты по-прежнему сопровождаются графическими иллюстрациями. При
решении задач дети все чаще работают в «текстовом режиме» – письменно отве-
чают на вопросы по заданному образцу или в свободной форме.
Как мы уже говорили, курс 5 класса построен так, чтобы по нему могли обу-
чаться дети, совсем не изучавшие информатику в начальной школе. В то же вре-
мя материал учебника не дублирует то, что там изучалось. Все темы, которые мог-
ли изучаться детьми в начальной школе, преподносятся в учебнике 5 класса на
более глубоком уровне, с более серьезными обобщениями. Даже известные объ-
екты изучаются под новым углом зрения. Курс 5 класса содержит также ряд со-
вершенно новых тем, которые в курсе начальной школы не затрагивались. Дан-
ное методическое пособие содержит комментарии и советы по проведению
уроков для обеих категорий учащихся: и тех, кто продолжает изучение курса, и
тех, кто его только начинает.
4

5. Обратите внимание на условные обозначения, принятые в учебнике. В клас-
сах, изучавших информатику по комплекту тех же авторов, обязательно следует
обращать внимание на места, помеченные колокольчиком. Это поможет не расте-
рять знания, полученные в начальной школе, интегрировать их с новыми знани-
ями, организовать интересное обсуждение в классе, ускорить процесс усвоения
новых знаний. В классах новичков стоит сразу попросить детей просто не читать
такие места текста (благо их в учебнике не так много).
В конце этой книги мы приводим два варианта почасового планирования кур-
са. В классах первого года обучения лучше всего взять за основу стандартное
планирование. В классах, знакомых с курсом, учитель в зависимости от уровня
класса и степени усвоенности курса начальной школы может работать по приве-
денному ориентировочному планированию или по собственному планированию.
Класс, изучавший информатику в начальной школе, может пройти знакомые темы
быстрее новичков, сэкономив время для более глубокого изучения новых и слож-
ных вопросов, для проектной деятельности или решения необязательных и
трудных задач. Однако даже в том случае, когда учитель работает по собственно-
му планированию, он должен быть уверен, что все ребята справляются с задача-
ми обязательного уровня.
Авторы выражают особую признательность за критическое обсуждение наших
материалов профессору, доктору физико-математических наук Алексею Всево-
лодовичу Гладкому. По книгам и работам Алексея Всеволодовича учились авторы
и другие участники данной работы. Профессор А.В. Гладкий много внимания уде-
ляет средней школе. В частности, для педагогов будет полезным знакомство с его
книгами «Числа: натуральные, рациональные, действительные, комплексные» (М.:
Вербум–М, 2000) и «Введение в современную логику» (М: МЦНМО, 2001).
Учебные материалы курса
В комплект учебных материалов входит:
•учебник;
•тетрадь проектов с приложением раздаточного материала;
•книга для учителя.
Учебник содержит все необходимые теоретические сведения (на листах опре-
делений), справочный материал (в частности, на форзацах) и блоки задач.
Тетрадь проектов содержит: материал для организации работы в проектах,
заготовки для оформления задач из учебника, дополнительные проектные задачи
(c которыми можно работать и не на проектных уроках), тексты контрольных работ.
В число материалов для работы в проектах входят: краткие описания проектов
для учителя (дополнительные комментарии к проектам приводятся в этой книге),
необходимая теоретическая информация и описания проектов для ученика,
условия проектных задач, заготовки для оформления проектных задач, в том
числе карта-схема одного из районов Москвы для проекта «Арбатские переулки».
Приложение к тетради проектов содержит только раздаточный материал – лист
вырезания к проекту «Забавное стихотворение» и карточки для сортировки к
проекту «Сортировки».
Чтобы правильно организовать работу с тетрадями проектов, рекомендуем
вам перед началом года внимательно просмотреть тетрадь проектов и прило-
жение к ней, разобраться, как и когда используются те или иные ее страницы, и
решить, как лучше с ними работать. Один из вариантов – не раздавать тетради
5

6. проектов сразу, а хранить их в классе и раздавать детям по мере необходимости.
Перед началом года из тетрадей проектов необходимо вынуть вкладыши – тексты
контрольных работ (страницы I–VIII). Материалы проектов понадобятся детям
только собственно при их проведении. Но так как тетрадь содержит различные
материалы для оформления решения задач из учебника, она может понадобиться
на различных уроках информатики, поэтому удобно, чтобы все тетради хранились
в классе и были всегда под рукой. Раздаточный материал (приложение к тетради
проектов) в любом случае лучше хранить в классе.
Кроме учебника и тетради проектов, каждому учащемуся для работы
понадобится рабочая тетрадь – обычная тетрадь в клетку, поскольку задачи на
сетке необходимо решать именно на клетчатой основе. Также понадобятся ручка,
простой карандаш и набор цветных карандашей пяти цветов – красного, синего,
черного, зеленого и желтого (как можно более контрастных). Фломастерами мы
пользоваться не рекомендуем, так как бумага обычной школьной тетради
промокает под фломастером и пачкает даже следующий лист. Кроме того, на
некоторых уроках детям понадобятся ножницы и клей.
Дискретность
Как мы уже писали, центральной научной идеей курса является идея дискрет-
ности – дискретные структуры и дискретные процессы. Что же такое дискрет-
ность? Словарь определяет это понятие так:
Дискретность (от лат. discretus – разделенный, прерывистый) – прерывность;
противопоставляется непрерывности.
В математике дискретными называют структуры, составленные из конечного
числа элементов, а также некоторые бесконечные структуры, элементы которых
можно пересчитать, например, множество целых чисел.
Соответственно дискретизацией называется приближение какого-то недис-
кретного объекта или процесса дискретными частями. Например, имеется гео-
метрическая фигура, изображение или звук, а мы хотим его описать более или
менее точно с помощью цепочки знаков. Делать это можно по-разному. Можно
сказать: «Вот тут, в углу, квадрат, а рядом что-то похожее на ухо». А можно раз-
бить изображение на квадратики и перечислить подряд цвета квадратиков. Ко-
нечно, на границе цветов возникнет проблема: какого цвета там квадратик? При-
дется тем не менее выбрать какой-нибудь один цвет. Поэтому описание
6

7. становится дискретным, но приближенным. Любое изображение на экране ком-
пьютера именно такое – дискретное, составленное из мелких элементов. Эти эле-
менты могут быть настолько мелкими, что человеческий глаз их не различит. По-
смотрите примеры компьютерных картинок на предыдующей странице – слева с
совсем маленькими, а справа с довольно большими элементами. Посмотрите те-
перь на правую картинку с расстояния трех метров – дискретизация «исчезает»!
В жизни мы сталкиваемся с такими ситуациями довольно часто. Мы вышиваем
крестиком картинку, переведенную по клеткам, – это дискретизация, и картинка
получается дискретной. Дискретное (иногда говорят: оцифрованное, цифровое)
представление информации становится все более и более распространенным.
Элементы. Одинаковые элементы
Мы начинаем курс информатики с того, что знакомим детей с самыми просты-
ми объектами, из которых впоследствии будут строиться более сложные структу-
ры. Такие объекты мы будем называть элементами.
Самые простые элементы – бусины. Они обладают всего двумя свойствами –
формой и цветом. Поскольку бусины у нас бывают только трех форм и шести цве-
тов, набор видов этих элементов конечен – всего 18 различных бусин. Все осталь-
ные свойства бусин, например ориентация на листе или размер, для нас не важ-
ны и полностью игнорируются. В учебнике бусины всегда одинаковые, но если
ребенок нарисовал одну желтую круглую бусину в тетради побольше, а другую –
поменьше, их все равно следует считать одинаковыми, так как они одинаковы по
форме и по цвету. Понятие «бусина» не общенаучное, а специфическое для на-
шего курса. Тем не менее бусины оказываются очень удобными в процессе обу-
чения как элементы, которым можно дать полное и исчерпывающее описание.
Наиболее сложным элементом по внутренней организации и одновременно
самым естественным для восприятия детей является фигурка, т. е. любое изобра-
жение одного предмета, животного, человека, фрукта, знака и др. Фигурки обла-
дают широким набором характеризующих их свойств: форма, размер, цвет или
раскраска. Ориентация на листе для фигурок также оказывается значимой. Это
иллюстрирует приведенный на листе определений пример со знаками дорожно-
го движения.
Определение характеристических свойств букв и цифр невозможно дать фор-
мально, так как оно имеет целый ряд тонкостей. Например, мы можем сравнивать
буквы и цифры как фигурки, но при этом должны понимать, что из всех свойств
фигурок для букв и цифр важна лишь форма (написание) и ориентация на листе.
Именно они позволяют отличить и узнать данную букву или цифру, например
определить элемент как цифру 6. Ясно, что цвет и размер в этом процессе не
играют никакой роли – красная маленькая буква Щ несет ту же информацию, что
и зеленая большая буква Щ. Чаще всего для нас оказывается важным лишь то,
что «Это русская буква – буква Щ». Объяснить все это детям на листе определе-
ний оказывается затруднительно. Поэтому во всех задачах достаточно рассматри-
вать буквы и цифры как фигурки – задач на различение букв и цифр по цвету и
размеру в курсе нет. По той же самой причине все буквы в курсе только заглав-
ные. Естественно, что в курсе русского языка различаются заглавные и строчные
буквы, но для наших информатических целей и задач заглавных букв оказывает-
ся вполне достаточно.
После знакомства с листом определений полезно вспомнить названия рус-
7

8. ских и латинских букв. Можно также обсудить проблему различения русских и ла-
тинских букв, тем более что она не настолько проста, как может показаться на пер-
вый взгляд. Действительно, в некоторых случаях внешний вид букв позволяет оп-
ределить принадлежность букв к определенному алфавиту (например, буквы Ы,
Щ, З, R, J, G), а в других случаях мы не можем это понять, глядя на написание бук-
вы. Чтобы это не вызывало неопределенностей, часто приходится вводить допол-
нительные договоренности. Например, в школьном курсе геометрии принято ис-
пользовать для обозначения точек только заглавные латинские буквы, а для
обозначения плоскостей – строчные греческие. В нашем курсе нет задач, в кото-
рых сходство написания русских и латинских букв влекло бы за собой неоднознач-
ность в решении. В пределах одной задачи обычно все буквы для имен берутся из
одного алфавита. Исключения составляют лишь задачи с однобуквенными имена-
ми, где элементов больше, чем букв в выбранном алфавите.
Как видите, на листе определений мы знакомим ребят только с русскими и ла-
тинскими буквами – именно с ними детям чаще всего придется иметь дело. Од-
нако в задачах будут встречаться и буквы других алфавитов. Поскольку эти объек-
ты будут почти всем детям незнакомы, их можно считать (и называть) просто
фигурками и сравнивать как фигурки.
Имена
На первом же уроке мы учимся давать элементам имена. Возможность имено-
вания объектов очень важна для нас в плане договоренностей об общих правилах
игры. В каждой задаче учащийся должен понимать, о каком элементе идет речь,
а в решении – точно указывать нужный элемент. Используя имена объектов, мож-
но с самого начала учить детей оформлять утверждение об одинаковости объек-
тов кратко и грамотно, используя знак равенства.
Довольно быстро ребята столкнутся с тем, что одинаковые объекты могут
иметь разные имена. Иначе невозможно будет указать, какие именно два элемен-
та в наборе являются одинаковыми. Аналогично стоит обратить внимание ребят
на то, что нельзя давать разным объектам одинаковые имена – тогда указать кон-
кретный объект будет невозможно.
Имена можно давать не только элементам, но и другим более сложным объек-
там, с которыми ребята познакомятся на следующих уроках. По сути, имя – это
последовательность букв и цифр, но пока не введено понятие «последователь-
ность», мы вводим понятие «имя» лишь на примерах.
Задача 1. Во всех парах элементы почти не различаются ни формой, ни цве-
том, ни размером. Однако в двух парах элементы имеют разную ориентацию от-
носительно страницы. Поскольку эти элементы фигурки, а фигурки нельзя пово-
рачивать и переворачивать, в таких случаях элементы разные. Кроме того,
грузинские буквы разные.
Ответ: М1 ≠ М2, R ≠ Y, Т = Р, N2 ≠ N4, LA = SF.
Задача 3. Ответ: N.
Задача 4. В этой задаче использованы грузинские буквы.
Первые дошедшие до нас образцы грузинского письма относятся к V в.
К началу XVII в. грузинское письмо приобрело современный вид, а с
появлением в Грузии книгопечатания (1629 г.) оно окончательно стаби-
лизировалось. В современном грузинском алфавите нет прописных
(заглавных) букв. Направление письма – слева направо. В настоящее
8

9. время грузинский язык (в котором используется грузинское письмо) яв-
ляется государственным языком Республики Грузии.
Мы приводим грузинский алфавит и показываем, как называются и как чита-
ются (в квадратных скобках) его буквы. Знак апострофа обозначает глоттализо-
ванное произношение этого согласного (как если бы произносился русский со-
гласный, а вслед за ним то, что произносится между гласными в русском
просторечном отрицании не-а, только несколько отчетливее). Черточка (в виде
ударения или штриха) над согласным означает специальное произнесение со-
гласного, для которого аналогов в русском языке нет (эти звуки произносятся при
помощи маленького язычка, являющегося продолжением верхнего нёба). Соглас-
ные, не отмеченные специальными знаками, произносятся с придыханием (по-
хоже на произнесение букв p, t, k в английском языке). Буквы h и j обозначают зву-
ки, похожие соответственно на английские буквы h и j.
Зачем мы приводим в учебнике буквы грузинского алфавита? Конечно, речь
не идет о том, чтобы дети выучили грузинский алфавит. Но есть замечательное
детское (и взрослое) качество – любознательность, любопытство, интерес к ми-
ру, к новому.
Кому-то из детей может быть интересно, как называется та буква, которую он
обвел, или захочется больше узнать о грузинском алфавите – будет прекрасно,
если вы удовлетворите на первых порах это любопытство, а дальше есть разные
пути, которые могут привести ребенка к профессии лингвиста или переводчика.
В этой задаче у некоторых ребят может не получиться найти одинаковые бук-
вы хаотичным просматриванием. Если кто-то из ребят не найдет решение сразу,
можно помочь ему, предложив метод систематического перебора. Для этого
сначала необходимо договориться, в каком порядке он будет перебирать буквы.
Например, можно решить перебирать по строкам слева направо и сверху вниз.
Тогда берем самую левую букву верхнего ряда и пытаемся найти такую же букву
среди оставшихся. Просматриваем буквы до конца, не находим такую букву.
Дальше берем вторую букву верхнего ряда и пытаемся найти такую же букву сре-
ди оставшихся. Первую букву мы при этом уже не рассматриваем, поскольку
убедились, что для нее такой же буквы не нашлось. Так нужно двигаться до тех
9

10. 10
пор, пока не дойдем до той буквы, для которой найдется такая же. Одинаковые
буквы в данном случае отыскиваются во второй строке.
Ответ:
Задача 5. Необязательная. На первый взгляд эта задача выглядит совсем
простой, но она помечена как необязательная, поскольку касается довольно тон-
кого вопроса – сходного написания букв русского и латинского алфавитов. Так,
кто-то из детей может дать одинаковые ответы к обоим вопросам задачи – пара
букв В и Р. Такое решение можно признать правильным, если ребенок сможет ар-
гументированно доказать свое мнение, например, так: «В пункте (а) две разные
русские буквы «вэ» и «эр». В пункте (б) две разные латинские буквы «бэ» и «пэ».
Стоит напомнить детям, что латинский алфавит и правильные названия букв это-
го алфавита приведены на форзаце в начале учебника.
О необязательных задачах
Необязательные задачи по составу неоднородны и отличаются не только по
тематике, но и по степени сложности. Условно все необязательные задачи можно
разделить на три группы: задачи на повторение – стандартного и сложного уров-
ня и дополнительные задачи.
Стандартные задачи на повторение удобно предлагать в качестве домашней
работы, а также с целью текущего повторения изученных тем.
Сложными задачами на повторение можно занять сильного ученика, быстро
справившегося с объемом урока. Как правило такие задачи интегрируют в себе
сразу несколько вопросов и ориентированы на глубокий анализ материала.
Дополнительные задачи также неоднородны. Среди них встречаются задачи
на сообразительность и смекалку, арифметические, логические задачи. Но у них
есть общие черты: это задачи информационного характера, которые при изучении
курса математики считаются нестандартными (олимпиадными, кружковыми
и т. д.). В такой задаче ребенок находит путь к решению после того, как правиль-
но поймет и интерпретирует содержащуюся в задаче информацию. Эти дополни-
тельные задачи можно использовать, чтобы занять сильного ребенка, а также для
повышения уровня мотивации и интереса к курсу всего класса в целом.
Задача 6. Чтобы не провоцировать вопросы со стороны детей, мы выбрали в
качестве одинаковых пары русских и латинских букв, принадлежность которых к
тому или иному алфавиту однозначно устанавливается по внешнему виду.
Ответ: а) Г Г; б) V V; в) 6 6.
Задача 7. В этой задаче фигурки – это изображения знаков дорожного движе-
ния. Поэтому по окончании решения полезно обратить внимание всех ребят на
знаки, которые различаются лишь ориентацией на странице. Это пары знаков: N
и W, D и P, R и Э. В общем обсуждении обязательно должно прозвучать, что это
не просто разные фигурки, а действительно разные знаки – они дают водителю
разную информацию о дороге.
Эта задача – хороший материал для начала разговора о правилах или о знаках
дорожного движения. Ответ на последний вопрос задачи дети пишут в свобод-
ной форме, и принимаются любые аргументированные ответы. Тем не менее
многие дети предпочтут найти общепринятый ответ, т. е. использовать дополни-
тельные информационные источники. Поэтому есть смысл предложить задачу на
дом, чтобы желающие могли покопаться в правилах дорожного движения или хотя
бы проконсультироваться у знакомых автомобилистов. Если вы на следующем

11. уроке запланировали разговор о знаках дорожного движения, поручите ребятам
выяснить, что означают все знаки, использованные в задаче, разделив знаки по
числу учащихся или по рядам.
Ответ: фигурки G и Z – одинаковые. Это предупреждающий дорожный знак
«Дети»: участок дороги вблизи детского учреждения (школы, оздоровительного
лагеря и т. п., на проезжей части которого возможно появление детей).
Многоугольники на сетке
Еще один вид элементов в нашем курсе – это многоугольники на сетке. Появ-
ление таких традиционно геометрических объектов в курсе может показаться не-
ожиданным. Тем не менее эти объекты являются правомерными элементами на-
шего курса. Действительно, из всего многообразия плоских фигур мы отобрали
только те многоугольники, вершины которых лежат в узлах дискретной сетки. Как
мы увидим в дальнейшем, такие фигуры обладают некоторыми важными свой-
ствами, изучение которых даст нам возможность коснуться в нашем курсе геомет-
рических информационных объектов.
Одно из свойств, выделяющих многоугольники на сетке из всего многообра-
зия плоских фигур, – легкое определение одинаковых фигур. Давайте рассмот-
рим отрезки числовой прямой. Ясно, что сравнивать отрезки с целочисленными
длинами гораздо проще, чем отрезки произвольной длины. Вряд ли вы без спе-
циальных инструментов сможете различить отрезки длиной 4,00 см и 4,05 см.
А отрезки длиной 4 см и 5 см различаются легко, на глаз. Точно так же про два от-
резка длиной примерно 4 см мы сможем точно сказать, что они одинаковые, ес-
ли будем знать, что возможны только целые длины отрезков. Похожая ситуация с
многоугольниками на сетке: о двух таких многоугольниках можно всегда сказать,
одинаковы они или нет, не может быть двух разных многоугольников на сетке,
плохо различимых на глаз, близких, примерно одинаковых. В этом смысле мно-
жество многоугольников на сетке дискретно – оно не конечно, но устроено по-
добно множеству натуральных чисел.
Введение многоугольников на сетке позволит нам использовать широкий
класс геометрических задач – задач на нахождение площади многоугольника, на
поиск равновеликих и равносоставленных фигур, на разрезание и др.
Итак, многоугольники на сетке мы считаем равными, если они при наложении
совпадают (это точно такое определение, как общепринятое определение в гео-
метрии на плоскости). С геометрической точки зрения под наложениями понима-
ются все преобразования на плоскости, которые не меняют формы и размера фи-
гур (движения на плоскости): параллельный перенос, поворот, симметрия
относительно прямой и точки и их комбинации. В нашем случае мы должны огра-
ничиваться только такими движениями, которые переводят вершины сетки в дру-
гие вершины той же сетки: в случае параллельного переноса мы переносим фи-
гуру на целое число клеток сетки по вертикали и горизонтали, в случае поворота –
поворачиваем только на углы, кратные 90°, в случае зеркальной симметрии – пе-
реворачиваем только относительно вертикальных или горизонтальных прямых
или прямых, наклоненных на 45° относительно сетки.
Примеры пар одинаковых фигур на сетке приведены на последнем рисунке
с. 10 учебника. В каждой паре один многоугольник можно получить из другого
параллельным переносом, поворотом и зеркальной симметрией. Конечно, сейчас
11

12. еще не время обсуждать с детьми движения на плоскости, это они будут изучать
позже на уроках геометрии. Тем не менее для многоугольников на сетке движения
выглядят достаточно наглядно: как будто мы вырезали многоугольник из листа и
расположили его на той же сетке по-другому. Можно дать детям более наглядный
и очевидный способ убедиться в том, что два многоугольника одинаковые. Для
этого нужно взять прозрачную пленку и перенести на нее изображение одного из
многоугольников. Затем следует наложить пленку на второй многоугольник. В не-
которых случаях пленку придется перевернуть лицевой стороной вниз.
При определении равенства многоугольников цвет и расположение много-
угольника на сетке не имеют значения, поэтому в пределах одной задачи все мно-
гоугольники у нас всегда будут одного цвета.
Как и другим элементам, мы будем давать многоугольникам на сетке имена и
использовать их для записи равенства многоугольников.
Задача 8. В качестве линий сетки при рисовании многоугольников учащиеся
используют линии клетчатой основы своих тетрадей, в качестве узлов – точки пе-
ресечения этих линий (в углах клеток). Поскольку на листе определений мы дого-
ворились, что цвет многоугольников на сетке для нас не важен, многоугольники,
которые дети рисуют в своих тетрадях, можно не раскрашивать.
Ответ: R = P, T = L.
Задача 9. Как и в предыдущей задаче, здесь мы закрепляем понятие «оди-
наковые многоугольники на сетке». На листе определений не вводились такие по-
нятия, как «треугольник», «прямоугольник», «квадрат» – дети должны их знать из
курса математики. Важно, чтобы они понимали, что нужно рисовать многоуголь-
ники на сетке (по клеткам тетради).
Задача 10. Многие ребята заметят, что каждый многоугольник в этой зада-
че – прямоугольный треугольник, длина одной стороны которого (короткого кате-
та) равна 1. Поэтому треугольники можно сравнивать, просто находя длину второй
стороны, прилежащей к прямому углу (длинного катета).
Ответ: В = О.
Задача 11. Необязательная. В качестве фигурок в этой задаче использованы
армянские буквы.
Армянское письмо было создано армянским просветителем епископом
Месропом Маштоцем приблизительно в 406 г. Возникновение армян-
ского письма (как и некоторых других письменностей) было связано с
распространением христианства, принятого армянами в 301 г., и необ-
ходимостью создания богослужебной литературы на армянском пись-
ме. С небольшими дополнениями месроповский алфавит употребляет-
ся и в современном армянском языке. Направление письма – слева
направо. В настоящее время армянский язык (в котором используется
армянское письмо) является государственным языком Республики
Армении.
Мы приводим армянский алфавит и показываем, как называются и как читают-
ся его буквы. Знак ə («шва») обозначает ы-образный звук, который в русском ли-
тературном произношении присутствует в первом слоге слова молоко, но в ар-
мянском он возможен и под ударением. Армянский звук х более глухой, чем
русский х, раскатисто-хриплый звук. Знак g обозначает звонкую пару к армянско-
му звуку х, тоже раскатисто-хриплый. Буква h обозначает звук, похожий на
12

13. украинское произношение буквы г. Значок h
при согласной обозначает придыха-
тельное произнесение.
Ответ:
Задача 12. Необязательная. Чтобы решить данную задачу, нужно правильно
извлечь из условия необходимую информацию. Поскольку оба будильника дают
одинаковые звуковые сигналы, то важно понять, что в случае, если будильники
звонят одновременно, Вася услышит не два, а лишь один (может быть более
громкий) сигнал. Дальше дело техники – сосчитать, сколько звонков даст каждый
будильник, и вычесть из этой суммы те звонки, которые сосчитаны дважды (за
счет того, что два одновременных звонка Вася слышит как один). Ниже дано время
всех звонков каждого будильника от 7.00 до 7.17. Полужирным шрифтом
помечены совпадающие сигналы.
Первый будильник: 7.00, 7.03, 7.06, 7.09, 7.12, 7.15 (всего 6 звонков).
Второй будильник: 7.00, 7.04, 7.08, 7.12, 7.16 (всего 5 звонков).
Ответ: Вася услышит 9 звонков.
Задача 13. В этой задаче некоторые многоугольники могут показаться одина-
ковыми, хотя таковыми не являются. В таких ситуациях может помочь наложение
многоугольников с помощью прозрачной пленки.
Ответ: В = Н.
13

14. Множество
Первая структура, с которой знакомятся ребята в курсе, – это конечное мно-
жество. Как мы уже говорили, множество – базовое понятие математики, введе-
ние которого по недоразумению выпало из основных традиционных курсов мате-
матики для средней школы. При этом, как ни парадоксально, сам термин
«множество» в этих курсах используется, как используются и понятия объедине-
ния и пересечения множеств.
В курсе информатики для начальной школы было введено понятие мультимно-
жества (мешка). В мешке в отличие от конечного множества может быть несколь-
ко одинаковых элементов, например, три буквы В или 10 красных треугольных
бусин. На первый взгляд может показаться, что разница между конечным множе-
ством и мультимножеством (мешком) невелика, но на самом деле это не так.
Такие структуры имеют разные свойства, и их «поведение» в задачах тоже различ-
но, что будет видно в дальнейшем.
В учебнике не вводятся различные формы записи и обозначения, связанные
с множествами и операциями над ними. Авторы считают, что при дефиците уроч-
ного времени важно разобраться с существом вопроса, а ввести обозначения по-
том будет уже несложно.
О понятии множества
Множеством в математике называют любую совокупность «предметов»,
конкретная природа и свойства которых могут быть какими угодно. Можно
говорить, например, о множестве всех коров в каком-нибудь стаде, о множестве
всех целых чисел, о множестве всех положительных чисел, о множестве всех точек
плоскости, о множестве всех букв русского алфавита, о множестве рек, впадаю-
щих в Волгу. «Предметы», из которых состоит множество, называются его эле-
ментами. О них говорят, что они принадлежат данному множеству, или, иначе,
входят в него.
Понятие множества лежит в основе всей математики, поэтому ему невоз-
можно дать строгое определение, как другим математическим понятиям, можно
только пояснить его смысл примерами и «приблизительным переводом» на какой-
нибудь естественный язык, например на русский. (Определить понятие – значит
выразить его через другие понятия, более простые; поэтому первоначальные
понятия всякой науки неопределяемые.) При первом знакомстве с понятием
множества такие пояснения совершенно необходимы. Между тем в ряде совре-
менных учебников математики для основной и старшей школы понятие множест-
ва, как мы уже говорили, используется без каких бы то ни было пояснений. Что же
касается широко распространенной рекомендации понимать слово «множество»
в школе «просто как слово русского языка», то ее нельзя назвать иначе как неле-
пой: значение этого слова в обиходном русском языке («очень много чего-то») не
имеет ничего общего с его значением в математике, так что понимать «множест-
во» в математическом контексте «просто как слово русского языка» – примерно
то же самое, что объяснять фразу «Индеец выстрелил из лука» как фразу «Индеец
сделал из луковицы ружье и выстрелил». (На английский язык математический
термин множество переводится как set, на французский – как ensemble; ни то, ни
другое слово никак не связано с понятием «много».)
Понятие множества появилось в 70-х гг. XIX столетия в трудах немецкого мате-
матика Георга Кантора (1845–1918). Идеи Кантора, впоследствии изменившие
14

15. лицо математики, долгое время оставались непризнанными и находили против-
ников даже среди очень крупных ученых. Созданная им теория множеств ныне
образует фундамент здания математики. Цель Кантора состояла в том, чтобы
найти способы работы с бесконечными совокупностями (в частности, научиться
сравнивать их «по числу элементов»), и все его замечательные результаты
относятся к бесконечным множествам. Позднее, на рубеже XIX и XX столетий, вы-
яснилось, что на способы образования множеств необходимо наложить некото-
рые ограничения, чтобы избежать возникновения противоречий («парадоксов»).
Однако при работе с конечными множествами противоречия не возникают, так что
к нашему курсу, в котором рассматриваются только конечные множества, вопрос
о «парадоксах» отношения не имеет.
При ознакомлении учеников с понятием множества необходимо обратить их
внимание, во-первых, на то, что в множестве все элементы разные, иначе говоря,
каждый элемент имеется «в единственном экземпляре» (это отличает множество
от мешка), и, во-вторых, на то, что множество никак не упорядочено, так что
перечислять его элементы можно в любом порядке (это отличает множество от по-
следовательности). В сильном классе полезно обсудить и такой вопрос: правильно
ли было бы сказать, что, например, «множество учеников 5 класса» то же самое,
что «5 класс»? (Когда, допустим, учителя говорят о 5 классе своей школы, они
обычно имеют в виду не только совокупность его учеников, но и многое другое –
отношения между учениками, отношение учеников к учебе и т. п. Можно, конечно,
сказать, что какой-то класс состоит из одних мальчиков, но точно так же можно
сказать, что какая-то последовательность состоит из четных чисел, хотя у термина
«последовательность» нет особого значения «множество членов последователь-
ности». Это в принципе то же явление, которое имеет место, например, когда
говорят «Франция недовольна», подразумевая правительство Франции.)
Если ваши ребята изучали наш курс в начальной школе, обязательно следует
обратить их внимание на различие между понятиями «мешок» и «множество». Ес-
ли же ваш класс только начинает изучать информатику, обратите внимание детей
на знак «колокольчик», и объясните, что текст, отмеченный этим знаком, им чи-
тать необязательно.
После того, как дети познакомятся с листом определений, можно провести
устное обсуждение: попросить учащихся привести различные примеры наборов,
которые являются или не являются множествами. Детей, знакомых с понятием
«мешок», нужно попросить привести примеры наборов, которые являются мешка-
ми, но не являются множествами. Так, ученики класса образуют множество, а
набор имен всех детей класса, скорее всего, множеством не является, потому что
имена в классе обычно повторяются. При этом и то, и другое можно назвать меш-
ком. Или, например, набор букв, из которых составлено слово КОТ, является мно-
жеством, а набор букв, из которых составлено слово МАМА, множеством не явля-
ется, поскольку в наборе есть одинаковые элементы. Зато о слове МАМА можно
сказать, что все его буквы есть в множестве {М, А} (такое общепринятое обозначе-
ние множества путем перечисления его элементов в фигурных скобках в учебнике
не встречается, но в методическом пособии мы будем им пользоваться).
Задача 14. Для большинства ребят эта задача окажется совсем простой, в
ней отрабатывается лексика, введенная на листе определений.
Ответ: а) цифра 6 есть в множестве Q; б) множество U – пустое; в) в множестве
Z всего 3 элемента.
15

16. Задача 15. В этой задаче ребятам впервые придется оформить решение в
тетради самостоятельно. Советуем сразу обратить внимание на правильность
оформления решения. Так, к каждому пункту задания должен относиться свой ри-
сунок, отделенный от других. На рисунке обязательно должна стоять буква, соот-
ветствующая пункту задачи. Рядом должно быть нарисовано множество и записа-
но имя множества. Оболочку (границу) множества можно рисовать в виде овала,
круга или любой замкнутой линии. Имя множества нужно писать рядом с его гра-
ницей, но не внутри оболочки, а снаружи. Размер оболочки множества должен
быть таким, чтобы внутри помещались все элементы множества. Поэтому часто
бывает удобнее сначала нарисовать все элементы множества, а затем провести
границу.
а) Подходящих множеств имеется много. Правильное решение будет отли-
чаться тем, что в нем есть (одна!) красная квадратная бусина, есть (одна!) красная
круглая бусина и нет красной треугольной бусины. При этом число бусин других
цветов (не красных) в множестве Р может быть любым. Кроме того, учащиеся мо-
гут поместить в множество Р любые другие элементы (буквы, цифры, фигурки).
б) Здесь решение единственно – множество всех букв русского алфавита.
в) Здесь подходящих решений 10 – это множества, состоящие из одной из 10
цифр.
Задача 16. При решении этой задачи главное не забыть, что в множестве не
может быть двух одинаковых элементов. Поэтому, если множество должно состо-
ять из двух квадратных бусин, эти бусины должны быть разными по цвету. Если
множество состоит из латинских букв – то все они должны быть разными. Если
все элементы – красные треугольные бусины, значит, в этом множестве всего од-
на красная треугольная бусина (по нашей договоренности не может быть двух
разных красных треугольных бусин).
Задача 17. Необязательная. Эта задача продолжает серию математических
задач. Полезно представить почти непрерывный процесс поедания плюшек в ви-
де дискретного. Дискретный процесс будет представлять собой как бы отдель-
ные кадры этого процесса, снятые с промежутком в 1 мин (точнее, это будут фо-
тографии блюда с плюшками, сделанные с периодом 1 мин). На первом кадре –
несколько плюшек, которые испекла фрекен Бок, через минуту – меньшее число
плюшек, через 2 минуты плюшек осталось еще меньше, а через 3 минуты не оста-
лось ничего (в кадре пустое блюдо). Этот дискретный процесс легче всего вос-
становить с конца, так как нам известно, сколько плюшек осталось в конце, и из-
вестно, что происходило на каждом шаге. Итак, за последнюю минуту Малыш съел
1 плюшку – это была половина всех плюшек, оставшихся после предпоследней ми-
нуты, поскольку вторую половину всех плюшек съел Карлсон. Значит, за 1 минуту до
конца трапезы на тарелке было 2 плюшки. Вернемся еще на одну минуту назад. За
предпоследнюю минуту Малыш также съел 1 плюшку и осталось 2 – это и была по-
ловина всех плюшек, так как вторую половину опять съел Карлсон. Таким образом,
за предпоследнюю минуту Карлсон съел 3 плюшки, значит, за 2 минуты до конца
трапезы на тарелке оставалось 6 плюшек. Аналогично анализируем первую мину-
ту трапезы (она будет третьей с конца) и получаем ответ.
Ответ: фрекен Бок испекла 14 плюшек.
Задача 18. Здесь ребята должны ответить на вопросы и самостоятельно (без
образца) сформулировать свой ответ. Если кому-то из ребят это будет трудно,
можно посоветовать ему вернуться к ближайшей задаче, где дан образец (это
16

17. задача 14). Но, скорее всего, детям будет достаточно напомнить, что ответ всег-
да должен по форме соответствовать вопросу.
С точки зрения логики интерес представляют два последних вопроса. Много
ли ребят заметят, что после ответа на предпоследний вопрос ответ на последний
вопрос становится очевидным? Раз в множестве нет никаких круглых бусин, то
ясно, что нет и желтых.
Ответ: а) красная треугольная бусина есть в множестве Б;
б) нет синих бусин в множестве Г;
в) нет круглых бусин в множестве А;
г) нет круглых желтых бусин в множестве А.
Одинаковые (равные) множества
Множество полностью определяется (характеризуется) набором элементов,
которые в него входят. Из этого следует, что множества, состоящие из одного и
того же набора элементов, одинаковые. Если хотя бы в одном из двух данных мно-
жеств есть хотя бы один элемент, которого нет в другом, то множества разные. Для
записи равенства множеств мы будем использовать обычный знак равенства.
Подмножество
В курсе начальной школы не было введено никаких действий над мешками.
Поэтому подмножество – понятие одинаково новое для детей, изучавших курс, и
для новичков. Телесно проиллюстрировать это понятие очень просто. Возьмем
несколько разных (одинаковых быть не должно!) деталей Лего и сложим их в куч-
ку. Пусть это будет исходное множество А. Теперь любой набор деталей, который
мы возьмем из этой кучки, будет представлять собой подмножество множества А.
Подмножество – некоторая часть исходного множества. Из любого подмножест-
ва всегда можно получить исходное множество, добавив в него элементы. Поэто-
му пустое множество является подмножеством любого множества. Само множе-
ство тоже является своим подмножеством.
Как мы уже говорили, специальные обозначения действий над множествами
в курсе не вводятся. Поэтому в задачах дети везде, где это нужно, будут исполь-
зовать словесные формулировки, например: «А – это подмножество В».
Задача 19. Для решения этой задачи необходимо просто понимание того, что
такое подмножество данного множества. Исходное множество Щ имеет 8 разных
подмножеств. Детям же достаточно указать любые два подмножества, поэтому
возможных решений здесь много.
Задача 20. Необязательная. Наиболее важным в этой задаче оказывается
понимание употребления понятия «все». Анализ утверждения о конечном мно-
жестве со словом «все» всегда подразумевает полный перебор объектов, отно-
сящихся к этому слову. В данном случае мы видим следующее: задания пунктов
(а) и (б) похожи, но понятие «все» относится в них к разным множествам. В пер-
вом случае мы должны сделать полный перебор букв алфавита и выделить из не-
го все буквы, которые являются гласными. Из этих букв и будет состоять искомое
множество Г. Таким образом, в первом задании существует только одно решение –
это множество {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я}. Во втором случае понятие «все» от-
носится не к буквам алфавита, а к буквам, входящим в искомое множество. Иначе
говоря, все буквы множества Д должны обладать определенным свойством – быть
гласными. Поэтому множество Д может состоять даже из одной гласной буквы,
17

18. например, {А}. Вообще-то с точки зрения формальной логики в качестве решения
здесь подойдет даже пустое множество.
Интересно, догадается ли кто-нибудь из детей, что любое решение пункта (б)
будет подмножеством решения пункта (а)?
Задача 21. Как и при поиске одинаковых фигурок, здесь может помочь
систематический перебор. При таком способе мы выбираем порядок перебора,
берем первое по порядку множество, например множество А, и сравниваем его со
всеми остальными множествами. Если множества, равного А, не нашлось, берем
множество Б и сравниваем его со всеми оставшимися, не считая А, и т. д. Однако
этот способ можно упростить, используя особенности элементов множеств. На-
пример, можно заметить, что во всех множествах по 4 элемента и один из них –
лампочка. Остальные элементы есть не во всех множествах. Например, чашка
есть лишь в четырех множествах, а в остальных пяти ее нет. Ясно, что множества
из первой группы (А, Г, З, И) нет смысла сравнивать с множествами второй груп-
пы. Сравниваем 4 множества первой группы. Двух одинаковых среди них нет. Те-
перь сравниваем множества, в которых нет чашки (Б, В, Д, Е, Ж). В каждом из них
есть лампочка, ложка и ножик. Значит, чтобы найти одинаковые множества, оста-
ется только сравнить оставшиеся предметы.
Ответ: В = Ж.
Задача 22. Эта задача гораздо сложнее, чем задача 19. Поскольку множест-
во А имеет всего 8 подмножеств, 6 из которых даны, чтобы найти оставшиеся два,
нужно все-таки сделать перебор всех подмножеств. Логика рассуждения при этом
может быть такой. Если в множестве 3 элемента, то во всех его подмножествах
элементов не больше трех. Значит, должно быть одно трехэлементное множест-
во (это данное подмножество В). Двухэлементных подмножеств столько, сколько
существует наборов по 2 из данных элементов. Такие наборы получаются, если
вынуть из множества один элемент. Вынуть можно любой из трех элементов, зна-
чит, двухэлементных множеств должно быть 3. В условии таких множеств лишь 2,
значит, одного подмножества не хватает. Кроме того, подмножеством любого мно-
жества является пустое множество (которое мы обозначаем ∅∅, а дети нарисуют
просто пустой овал).
Ответ: {K, L}, ∅∅..
Задача 23. Необязательная. Для решения этой задачи необходимы прос-
тейшие знания о календаре. Например, ребенок должен понимать, что среди 7
подряд идущих дней (не обязательно начиная с понедельника) встречается ровно
один понедельник, ровно один вторник и т. д. Похожей будет ситуация с любым чис-
лом дней, которое делится на 7 – среди них всегда будет одинаковое число каждо -
го из дней недели. Так, среди 14 подряд идущих дней всех дней недели будет по
два. В нашей задаче речь идет о феврале, в котором может быть либо 28, либо 29
дней. Если дней в феврале будет 28, то всех дней недели в этом месяце будет по
4, в том числе в нем будет 4 воскресенья. У нас в задаче воскресений 5, значит, в
феврале того года было 29 дней, и двадцать девятого числа было как раз воскре-
сенье. Теперь совсем нетрудно выяснить, какой день недели был 23 февраля.
Впрочем, решать эту задачу можно и простым перебором – перебирая разные
возможности распределения дней недели в феврале.
Ответ: 23 февраля был понедельник.
Задача 24. Данная задача полезна для закрепления понятия «подмножест-
во». В ней впервые встречается формулировка «выдели подмножество», которую
18

19. удобно употреблять в том случае, когда необходимо построить подмножество,
все элементы которого обладают заданным свойством. Кроме того, для решения
этой задачи необходимо понимание отношения включения различных множеств
четырехугольников. Так, ребенок должен понимать, что прямоугольник является
также и четырехугольником, а квадрат является прямоугольником и четырехуголь-
ником. Если вы видите, что ребенок допускает ошибки именно такого рода, тогда
вспомните вместе определения. Необязательно добиваться гладкой формулиров-
ки, надо вспомнить саму суть понятия, например то, что четырехугольник имеет
4 вершины (и 4 стороны). На основании этого совершенно точно можно судить о
том, что прямоугольник и квадрат также являются четырехугольниками. Нужно
напомнить также, что прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы
прямые. Из этого следует, что квадрат является прямоугольником. В сильном
классе следует подытожить решение этой задачи общим обсуждением, в ходе ко-
торого прозвучит, что множество квадратов – это подмножество множества пря-
моугольников, а множество прямоугольников – подмножество множества четы-
рехугольников.
Ответ: а) множество всех треугольников: {М1, М6, М7, М9, М10};
б) множество всех прямоугольников: {М2, М4, М5, М8, М11};
в) множество всех квадратов: {М5, М11};
г) множество всех четырехугольников: {М2, М3, М4, М5, М8, М11}.
Последовательность
Еще одна структура, с которой дети знакомятся в курсе – конечная последо-
вательность. В отличие от понятия «множество», понятие «последовательность» в
принципе может быть определено, но в школьном курсе информатики (и в
школьном курсе математики) его лучше рассматривать как неопределяемое и
вводить на примерах. Приведенные на листе определений примеры позволят ре-
бятам выделить основные отличительные особенности последовательности. Ко-
нечная последовательность – это упорядоченная дискретная структура. Это оз -
начает, что последовательность состоит из отдельных членов, которые выстроены
друг за другом и их можно пронумеровать: 1-й, 2-й, 3-й и т. д. В отличие от
множества в последовательности может быть несколько одинаковых членов. От -
метим, что члены конечной последовательности можно считать и относительно
конца (первый с конца, второй с конца…), и относительно любого члена последо-
вательности (предыдущий, второй перед, третий перед, следующий, второй пос-
ле и т. д.). Длина конечной последовательности – ее важная характеристика.
Кроме того, на листе определений вводится формальное определение слова
как любой последовательности букв. Отметим, что это определение слова отли -
чается от того, которое используется в науках о языке. Тем не менее именно оно
соответствует нашим информатическим целям, поскольку в большинстве случа-
ев мы будем анализировать слова только как последовательности букв, и нам важ-
но иметь однозначные договоренности относительно каждого понятия.
Одинаковые последовательности
Последовательность определяется составляющими ее объектами и их поряд -
ком, поэтому одинаковыми являются те последовательности, в которых одни и те
же объекты стоят в одном и том же порядке, что и иллюстрируют примеры на
листе определений.
19

20. 20
Все разные
Когда говорят, что в каком-нибудь слове все буквы разные, это означает, что в
нем нет двух (и тем более трех, четырех и т. д.) одинаковых букв. То же относится
к выражению «в последовательности все члены разные». То и другое очевидно,
но поскольку понятие «все разные» является для нашего курса очень важным, мы
во избежание недоразумений посвятили ему особый лист определений.
Для тех классов, которые работали с нашим комплектом в начальной школе,
материал будет знакомым, так как последовательность и цепочка – одно и то же.
В таком классе можно пройти эту тему быстрее, обратив внимание детей на новые
термины («последовательность», «члены последовательности», «все разные») и
правила оформления (запись утверждений об одинаковых и разных последова-
тельностях с использованием знаков равенства и неравенства).
Задача 25. В этой задаче дети впервые самостоятельно рисуют последова-
тельности. Образцом оформления при этом являются последовательности, дан-
ные на листах определений. В частности, в каждой последовательности обяза-
тельно должны быть знаки начала и конца последовательности. Желательно,
чтобы ребята отделяли члены последовательности друг от друга горизонтальны-
ми черточками. Впоследствии для слов и чисел можно будет употреблять другую,
упрощенную форму записи, но на первом уроке по теме лучше все последова-
тельности оформлять одинаково и достаточно полно, потому что каждая деталь
оформления в данном случае несет еще и содержательную нагрузку, важную для
правильного формирования понятия. Как и множествам, последовательностям
можно давать имена. В данной задаче это желательно, но необязательно. А вот
помечать рисунки буквами, соответствующими пункту задания, обязательно, ина-
че решение будет трудно проверять.
Ответ: а) Возможных решений здесь много, подойдут и последовательности
из двух одинаковых круглых бусин.
б) Задание на понимание договоренности об употреблении выражения «все
разные».
в) Все последовательности длины 0 одинаковы, так как они пустые. Если вам
интересно, понимают ли это дети, попросите их попробовать нарисовать две раз -
ные пустые последовательности.
Задача 26. Для решения этой задачи необходимо правильное понимание
выражения «все разные». Двухэлементное множество имеет всего 4 разных под -
множества, поэтому в результате дети должны выписать все возможные разные
подмножества множества В – пустое множество, множество, равное В, и два од -
ноэлементных множества.
Задача 27. Необязательная. Эта задача на первый взгляд кажется совсем
простой, но в ней есть тонкость, с которой вы, возможно, столкнетесь, отвечая на
вопросы. Эта тонкость связана с употреблением понятия «слово», отличного от
того, которое используется в грамматике. В большинстве случаев эти два понятия
не противоречат друг другу. Но иногда у ребенка может появиться соблазн прив-
нести в курс информатики знания, полученные на уроках русского языка. Так, в
русской грамматике различают «слово» и «словоформу». Например, к слову
«слон» относятся словоформы: «слона», «слону», «слоном». У нас же в курсе сло-
ва сравниваются только как последовательности букв и больше никак. Поэтому
«множество» и «множества» у нас просто разные слова – все тонкости определе-
ния понятия «слова», связанные с его значением, остаются за пределами курса.