Скачать полную книгу А. Б. Василевский ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ в формате PDF.

1. АБ.Васигмский
ЗАДАНИЯ
ДЛЯВНЕКЛАССНОЙ
РАБОТЫ
ПОМАТЕМАТИКЕ

2. А. Б. Василевский
ЗАДАНИЯ
ДЛЯВНЕКЛАССНОЙ
РАБОТЫ
ПОМАТЕМАТИКЕ
9-11 КЛАССЫ
КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Минск
«Народная асвета»
1988

3. ББК74.262
В19
УДК51 (072.3)
Р е ц е н з е н т ы :
Н . М . Р о г а н о в с к и й , канд. пед. наук,
М. 3. К а п л а н , канд. пед. наук.
Василевский А. Б.
В19 Задания для внеклассной работы по матема­
тике: 9—11-е кл. Кн. для учителя.— Мн.: Нар.
асвета, 1988.—175 с.: ил.— ISBN 5-341-00023-4.
Задания построены так, что учащиеся могут самостоятель­
но находить решения нестандартных математических задач,
широко применяя имеющуюся в школе вычислительную
технику. Книга может быть использована учителем в кружко­
вой работе, при проведении факультативных занятий и под­
готовке школьников к олимпиадам.
4306010000—137
В-------------------------------- 23—88 ББК74.262
М 303(03)—88
ISBN 5-341-00023-4
© Издательство
«Народная асвета», 1988.

4. ВВЕДЕНИЕ
Внеклассная работа по математике предоставляет
учащимся дополнительные возможности для развития
способностей, прививает интерес к науке математике.
Главное назначение внеклассной работы — не только
расширение и углубление теоретического материала,
изученного на уроках, но и развитие умений применять
полученные на уроках знания к решению нестандартных
задач, воспитание у школьников определенной культуры
работы над задачей.
В данном пособии излагаются общие методы реше­
ния задач школьного курса математики и приемы поис­
ка применения этих методов.
Наличие в книге нескольких решений одной и той же
задачи поможет учителю организовать как коллектив­
ную, так и индивидуальную работу над задачами.
Главным средством для этого является создание
проблемной ситуации.
Методы решения задач не просто излагаются,
а показывается, как нужно рассуждать, чтобы уяснить,
каким образом можно придти именно к данному методу
решения задачи. В книге много внимания уделяется
вопросу развития интуиции на рабочую гипотезу, а за­
тем разрешению ее.
В настоящее время в учебном процессе находят все
более широкое применение микрокалькуляторы. Они
позволяют освободить учащихся от однообразной
вычислительной работы и уделить больше внимания
самому алгоритму вычислений. Появляется возмож­
ность решать задачи с реальными числовыми данными,
Выполнение таких заданий делает вычислительную
работу учащихся более целенаправленной и содержа­
тельной, способствует повышению интереса к математи­
ке и создает возможности для более успешного
применения расчетов на практике.
3

5. Высокая точность и быстрота вычислений позволяет
широко и систематически использовать в учебном
процессе математический эксперимент для активизации
познавательной деятельности учащихся. Появляется
возможность знакомить учащихся с достаточно общими
методами поиска и обоснования решений сложных
нестандартных задач. Рассмотрение таких задач на
внеклассных занятиях без использования программиру­
емых микрокалькуляторов методически неоправдано,
потому что их решение сильно затруднено, а в ряде
случаев невозможно. Программируемые микрокальку­
ляторы помогают на более высоком методическом
уровне организовать индивидуальную и коллективную
работу учащихся. Микрокалькулятор является надеж­
ным и удобным средством поэтапного контроля правиль­
ности тождественных преобразований выражений с пе­
ременными.
В книге на конкретных примерах показывается,
как эффективно использовать микрокалькулятор при
поиске решений различных задач по математике.
Коренным образом меняется методика поиска решений
следующих задач: тождественное преобразование гро­
моздких числовых выражений и выражений с перемен­
ными; разложение выражений со многими переменными
на множители; поиск и обоснование свойств различных
числовых множеств; делимость чисел; исследование
функций, построение и применение их графиков; иссле­
дование решений уравнений и неравенств и их систем;'
решение нестандартных уравнений и неравенств; дока­
зательство нестандартных неравенств; исследование ре­
шений геометрических задач; анализ таблиц значений
функции с целью получения правдоподобных гипотез
о их свойствах.
Пособие состоит из 16 тем (заданий). При решении
задач каждого задания используются в комплексе
различные методы. Например, при решении уравнений
и неравенств используются графические приемы. В то
же время при рассмотрении геометрических задач
широко применяются аналитические методы, в резуль­
тате чего существенной частью работы над геометри­
ческой задачей является решение уравнений. Такой
подход позволяет формировать у учащихся представле­
ние о том, что различные разделы школьной мате­
матики взаимно связаны, являются ее неразрывными
частями.
4

6. Функциональный метод является основным не толь­
ко при решении уравнений и неравенств, но и при
работе над геометрическими задачами. Этот метод
целесообразно использовать при работе над всеми зада­
чами данного пособия.
При расположении заданий учитывалась их слож­
ность и теоретическая подготовка учащихся соответст­
вующего класса, а также навыки в поиске решения
задач.
В заданиях 1—4 рассматриваются преобразования
числовых выражений, делимость чисел, решения урав­
нений и неравенств в целых числах, разложение
многочленов на множители.
Тождественные преобразования выражений с пере­
менными могут выполняться с различными целями: при­
ведение выражения к виду, удобному для нахождения
его наименьшего и наибольшего значения или уста­
новления монотонности соответствующей функции-
получение выражения, которое позволяет составить
достаточно простую программу для вычисления его
значения на микрокалькуляторе; получение выражения,
удобного для контроля правильности тождественных
преобразований, и т. д.
На уроках математики изучается ограниченный круг
свойств рациональных чисел. Сложность большинства
задач на доказательство числовых свойств как раз и
объясняется тем, что приступая к их решению, ученик
мало знает о свойствах рассматриваемых чисел. Поэто­
му работу над такими задачами целесообразно
проводить следующим образом: исследуется несколько
частных случаев общей задачи с тем, чтобы подме­
тить некоторые свойства рассматриваемых чисел, затем
доказываются или опровергаются эти свойства; если
обнаруженных и доказанных свойств чисел оказы­
вается недостаточно для решения задачи в полном
объеме, то продолжается рассмотрение других частных
случаев до тех пор, пока не подмечается какое-то новое
свойство чисел.
В процессе решения таких задач учащиеся состав­
ляют и анализируют различные таблицы, что имеет
политехническую ценность. В этой работе широкое
применение находит микрокалькулятор. Чтобы состав­
ление таблиц не отнимало много времени, учащиеся
делятся на несколько подгрупп. Каждая подгруппа
составляет свою часть общей таблицы. Анализ всей
5
;

7. таблицы учащиеся выполняют под руководством учи­
теля. При решении таких задач широко используется
метод полной индукции.
Огромная обучающая ценность задач на обнаруже­
ние и доказательство свойств чисел заключается в том,
что в процессе работы над ними ученик приобретает
навыки в расчленении сложной задачи на более
простые, выдвигает правдоподобные гипотезы, доказы­
вает или опровергает их, занимается обобщением ш кон­
кретизацией, т. е. приобретает навыки научного поиска.
Задание 5 посвящено задачам по планиметрии,
в большинстве из них рассматривается изменение
геометрических величин.
При решении таких задач осуществляется естествен­
ная связь между конструктивными методами и метода­
ми математического анализа. Все эти задачи, как
правило, решаются на основе широкого применения
свойств функций, с которыми знакомятся учащиеся на
уроках алгебры и начал анализа.
Геометрические задачи могут содержать либо только
числовые данные, либо числовые данные и параметры,
либо только параметры. В зависимости от этого одна
и та же задача может быть трудной или простой.
Системное использование инструментальных построе­
ний, измерений и вычислений содействует приобрете­
нию навыков открытия правдоподобных свойств фигу­
ры, их анализа, обобщения и применения к решению
задач.
Решение многих геометрических задач можно свести
к исследованию рациональных, иррациональных, триго­
нометрических уравнений и их систем. Такой подход
к решению геометрической задачи позволяет: 1) орга­
низовать систематическое повторение изученного в
школе материала с помощью решения задач; 2) посте­
пенно углублять понимание учащимися математических
методов; 3) формировать у них навыки комплексного
использования различных идей и методов; 4) широко
применять микрокалькулятор.
Существенным элементом поиска решения геометри­
ческой задачи является установление числа ее реше­
ний. Если удается это сделать еще на этапе усвоения
задачи, то серьезно упрощается составление плана ее
решения и реализация этого плана. Эффективйость
такого подхода показывается при рассмотрении многих
задач данного задания.
6

8. В задании 5 используются следующие методы
решения геометрических задач:
1) Метод координат упрощает поиск решения задачи
по геометрии. Чаще всего используются уравнения
прямой и окружности, формула длины отрезка, условие
перпендикулярности двух прямых. Объем вычислений
зависит от того, насколько удачно расположена иссле­
дуемая фигура относительно системы координат.
2) Алгебраический метод решения геометрических
задач заключается в следующем. Искомые элементы
геометрических фигур обозначают через х, у, ... . По
условию задачи составляются уравнения (неравенст­
ва), связывающие известные и неизвестные элементы
фигур. После этого решается полученная система
уравнений (неравенств). Определяются те элементы
или отношения между ними, которые требуется найти.
Такое решение геометрических задач является одним из
наиболее простых (в идейном отношении). Удачный
выбор неизвестных позволяет получить несложную
систему уравнений (неравенств).
Теперь сформулируем основные положения методи­
ки обучения учащихся поиску решений геометрических
задач.
Начинать поиск решения геометрической задачи на
вычисление следует с инструментального построения
фигуры, которая соответствует всем условиям задачи.
Такой чертеж позволяет выполнить измерения элемен­
тов изображения и высказать правдоподобные гипотезы
о некоторых свойствах фигуры. В ряде случаев прибли­
женный ответ дает возможность догадаться о его точ­
ном значении, и, значит, избежать вычислительных
и логических ошибок. Во многих случаях наличие
ответа существенно облегчает поиск плана решения
задачи. Предварительное решение задачи на вычисле­
ние построением позволяет установить число решений.
Поиск решения задачи на доказательство можно
расчленить на следующие виды работы: выполнение
чертежа, отвечающего всем условиям задачи; инстру­
ментальный поиск свойств фигуры (получаем гипоте­
зы); доказательство справедливости или ложности этих
гипотез (в затруднительных случаях доказательство
целесообразно вести методом полной индукции); приме­
нение всех или части обнаруженных и обоснованных
свойств фигуры к доказательству сформулированного
в задаче свойства этой фигуры.
7

9. Поиск решения конструктивной задачи с помощью
циркуля и линейки состоит из следующих этапов:
построение фигуры, отвечающей всем условиям задачи:
обнаружение неизвестных свойств этой фигуры, отве­
чающей всем условиям задачи; доказательство истин­
ности или ложности их; построение геометрических
мест точек, пересечения которых могут быть решением
задачи, и установление их свойств; отыскание пути
решения задачи при помощи обнаруженных и доказан­
ных свойств фигуры.
Задания 6—10 и 14 посвящены рассмотрению
уравнений и неравенств. Нетрадиционные подходы
к решению уравнений и неравенств, к исследованию
решений уравнений и неравенств, к построению их
графиков позволяют сформировать у учащихся доста­
точно общий взгляд на эту большую группу нестан­
дартных задач. Для решения уравнений и неравенств
применяются различные методы в комплексе. Главное
здесь — использование в максимальной степени свойств
соответствующих функций. При поиске и проверке
решений используется микрокалькулятор.
Традиционный для школы путь алгебраического
решения уравнения заключается в том, что при помощи
тождественных преобразований выражений с перемен­
ными заменяют его более простым уравнением.
Например, уравнение с одной переменной мы заменяем
уравнением, для решения которого существует форму- . I
ла. В результате получаем ответ, «точный» с точки
зрения классической элементарной математики.
Из так называемых общих методов решения уравне­
ний в школе чаще других используют разложение
левой части уравнений F(A:) = 0 на множители или
замену переменных. Изучается и много частных прие­
мов, которые позволяют найти корень уравнения как
число или комбинацию каких-то функций от парамет­
ров. Однако далеко не все уравнения, которые дает
практика, можно решать таким образом. Но и тогда,
когда уравнение решается (в традиционном школьном
понимании) формула для его корня может оказаться
достаточно громоздкой. Например, уравнение sin3* —
— cos3* = 0,008 имеет единственный дробный положи­
тельный корень хо= 0,78916943 (получен на микро­
калькуляторе). Этот результат практически гораздо
полезнее, чем точная формула, выражающая этот
8

10. корень: *0 = 0,25д + arcsin(A/2sin (-i-arcsin0,008)) (все
равно мы можем получить только приближенное
значение *0). Да и в общеобразовательном плане
привычные для учителя решения этого уравнения проиг­
рывают в сравнении с его «функциональным» решени­
ем. Для подтверждения этой мысли приведем два
решения этого уравнения.
1) Функция F(x) = sin3* — cos3* возрастает на
(0;0,5л). Это утверждение основано на теореме о произ­
водной сложной функции и теореме о сумме двух возрас­
тающих функций. Л(0) <С 0,008; Л(0,5Л) >0,008.
Отсюда ясно, что уравнение F(x) — 0,008 имеет единст­
венный корень, принадлежащий (0;0,5л). При помощи
микрокалькулятора (методом деления отрезка попо­
лам) быстро получаем *о = 0,78916943.
2) Из свойств функций синуса и косинуса вытекает:
|sin* — cos*| л 2 (это верное неравенство, но как доду­
маться, что именно с этого следует начинать решение
задачи?). Отсюда ясно, что существует такой угол а, что
sin* — cos* = 2sina (сделан еще один удар по прести­
жу бытующей в школьной практике методики обучения
решению задач!). Тогда sin2* + cos2* — 2sin*cos* =
= 4sin2a (еще один ход в пользу тех учеников, которые
утверждают, что математика — это неупорядоченное
множество теорем, формул и их непредсказуемых
преобразований). Откуда 1 + sin*cos* = 0,5(3 — 4sin2a)
(и до этого преобразования даже отлично успе­
вающему ученику додуматься непросто!). Так как угол
а всегда можно взять в первой четверти (решающий
должен догадаться, что именно здесь следует вспом­
нить, что *о > 0,25л), то получаем sin* — cos* =
= 2 sin (— arcsin 0,008). Решив это уравнение, получаем
названный выше ответ.
Ясно, что искусственные приемы, примененные во
втором решении, могут только оттолкнуть ученика от
занятий математикой.
Преувеличенное внимание в школе к уравнениям,
решение которых оканчивается получением «точной»
формулы их корней, неизбежно ведет к отрыву теории
от практики, резко снижает образовательные и поли­
технические возможности школьного курса алгебры
и начал анализа. Выпускник средней школы, воспитан­
ный на «точных» равенствах, на целых и рациональных
9

11. корнях уравнений (в крайнем случае, выраженных
радикалами), получаемых в результате даже очень
головоломных нестандартных тождественных преобра­
зований выражений с переменными, часто не может
верно решить даже квадратное уравнение, если его
коэффициенты получены в результате инструменталь­
ных измерений.
Традиционный школьный подход к вопросу о реше­
нии уравнений не формирует функциональное мышле­
ние ученика. И, как следствие этого, учащийся,
самостоятельно получивший формулу *0 ="0,25л+
+ arcsin(V2 ^arcsm 0,008)), не может, как правило,
решить более простую задачу: «Сравнить дробные
положительные корни уравнений sin *— cos3* = 0,008
и 2sin3* — cos3* = 0,008».
Сегодня, когда в школу пришли информатика и
вычислительная техника, появились широкие возмож­
ности в формировании функционального мышления
учащихся в процессе изучения уравнений. Системати­
ческое применение микрокалькуляторов при работе над
уравнениями коренным образом изменяет ее обучающее
содержание. Вообще, серьезный политехнический под­
ход к решению уравнений в школе практически можно
реализовать только с помощью микрокалькулятора.
Он позволяет не только упростить и ускорить вычисли­
тельную работу, получить корни уравнений доста­
точно высокой точности, но и формировать у учащихся
навыки составления таблиц функций с определенной
целью, навыки поиска, обнаружения и доказательства
свойств уравнений путем анализа этих таблиц.
С помощью микрокалькулятора можно находить
«точные» (с точки зрения элементарной математики)
целые корни уравнений и в большинстве случаев
рациональные корни и корни, выраженные радикалами
(имеются в виду уравнения, содержащиеся в совре­
менных школьных учебниках и в различных сборниках
конкурсных и олимпиадных задач). Главное в том,
что микрокалькулятор дает возможность применять при
решении самых различных уравнений общий функцио­
нальный подход, основанный на систематическом
комплексном использовании свойств всех функций,
изучаемых в школе. При таком подходе к работе над
уравнениями у учащихся формируется не только общий
метод их решения, но и происходит углубленное
ю

12. повторение важнейших свойств изученных ими ранее
функций. Последнее является самым существенным
в методике обучения учащихся решению уравнений.
Во всех отношениях (и с дидактической, и с практи­
ческой точек зрения) более ценным является умение
отделить корень уравнения и найти с нужной точностью
его приближенное значение, чем головоломные упраж­
нения в поисках его «точных» корней.
Задача на определение корней любого уравнения
F(x) — 0, решаемая с применением микрокалькулятора,
состоит из следующих наиболее типичных подзадач
(всех или только некоторой части из них): установление
области определения D(F) функции F(x); определение
тех промежутков из D(F), которым не могут принадле
жать корни уравнения F(x) = О (без применения
производной); доказательство монотонности функции
F(x) на D(F) или только на некоторых промежутках,
принадлежащих D(F) (без применения производной);
обоснование непрерывности функции F(x); установле­
ние, в каких пределах изменяется функция F(x) на D(F)
или на отдельных промежутках, принадлежащих D(F);
решение уравнения F'(x) = О (для определения проме­
жутков монотонности функции F(x)) нахождение проме­
жутка, являющегося частью промежутка, на котором
верно неравенство F'(x) > 0 (F'(x) <Z 0); преобразование
уравнения F(x) == 0 к виду Р(х) =.М(х), где Р(х) и М(х) —
возрастающие или убывающие функции на некотором
промежутке, который является частью D[F) доказа­
тельство наравенства Р(х) > М(х) (Р(х) <L М(х)) на этом
промежутке при помощи таблиц функций Р(х) и М(х)-9
доказательство неравенства Р (х)> М'(х) (Р/(х)с
<М'(х)) таким же способом; получение при помощи
микрокалькулятора гипотезы о числе корней уравнения
и обоснование этой гипотезы; нахождение целых (ра­
циональных) корней уравнения; вычисление корней
уравнения, принадлежащих заданному промежутку; до­
казательство того, что некоторому заданному проме­
жутку не могут принадлежать корни данного уравнения;
нахождение приближенных значений корней; получение
гипотезы о их свойствах; отыскание формулы для его
«точных» корней; составление при помощи инженерных
или программируемых микрокалькуляторов (ПМК)
таблиц функций, анализ которых позволяет высказать
правдоподобные суждения об их свойствах, выбрать
целесообразные методы доказательства этих свойств и
II

13. их применения к нахождению корней соответствующих
уравнений; вычисление корней уравнений с точностью,
определяемой точностью исходных данных.
Особое место занимают задачи на нахождение
бесконечных промежутков, которым не могут принадле­
жать корни уравнения F(x) = 0.
Следует выделить табличный метод, который приме­
няется при доказательстве неравенств Р(х)лМ(х)
и Р[х) ёЕ М'[х). Он позволяет сформировать у учащихся
навыки применения простейших свойств непрерывных
функций к решению самых разнообразных по содержа­
нию и сложности уравнений и неравенств. Как правило,
при этом отпадает необходимость в решении достаточно
сложных уравнений F'(x) — 0.
Из известных методов уточнения корней уравнения
F(x) = 0 наиболее доступным для старшеклассников
является метод деления отрезка пополам. Он легко
реализуется на ПМК.
Возникает естественный вопрос: стоит ли применять
функциональный метод решения уравнений в тех слу­
чаях, когда неплохо работают традиционные методы?
Безусловно, стоит, поскольку взгляд на всякое выраже­
ние с переменными как на выражение, задающее
какую-то функцию, способствует успешному формиро­
ванию диалектико-материалистического мировоззрения
у учащихся и рациональному применению математиче­
ской теории.
Микрокалькулятор делает практически универсаль­
ным и самым простым при решении неравенств
метод интервалов.
Школьники изучают общие свойства непрерывных
функций, применение которых в полном объеме позво­
ляет существенным образом упростить поиск решений
нестандартных уравнений. В самом деле, девятиклас­
сник знакомится с достаточным условием монотонно­
сти функций, с правилами вычисления производных,
с производной сложной функции. Отсюда непо­
средственно вытекают свойства суммы двух возрастаю­
щих (убывающих) функций; произведения двух поло­
жительных возрастающих (убывающих) функций;
свойства сложных функций. Однако при решении
уравнений и задач прикладного характера эти важней­
шие теоретические знания применения не находят,
и поэтому учащимися усваиваются формально. Пояс­
ним сказанное примерами:

14. 1) Найти дробные корни уравнения lgx + sinx=A 1.
Выпускник средней школы знает, что на (0;1)
функция y = gx и y = smx возрастающие. Но он, как
правило, не видит, какое это отношение имеет к реше­
нию уравнения.
2) Решить уравнение cos(cosVl — *) Н—~ =
Л
= 1 + cosl.
На основании теоремы о производной сложной
функции ясно, что функция у = cos (cos,a/1 — х) убы­
вающая (функция у — —х убывающая, y = AJx воз­
растающая, у = cos* убывающая). Отсюда понятно, что
функция F(x) = cos(cos,a/ — х)-------------->определенная на
пи
(0; 1 ], убывающая. Поэтому данное уравнение имеет не
более одного корня. Так как Т7(1) = 1 _+_ cos 1, то для
решения уравнения не требуется вообще никаких
вычислений. Но в школьных учебниках и конкурсных
сборниках задач по математике ученик не видит такого
применения важнейших общих свойств функций. Поэто­
му он считает это уравнение очень сложным.
3) Решить уравнение д/777* — 2250 + /77*3+ 108 =
= 6.
Школьник, не приученный смотреть на уравнение
с функциональной точки зрения, эту задачу не решает,
даже если он отлично знает все названные выше
свойства производной. Естественный подход к этой за­
даче выглядит следующим образом:
Ле вая часть уравнения определена на 1-2^^ +50) • . ч
На этом промежутке непрерывные неотрицательные
функции у = 111 х — 2250 и у — Их3 + 108 возрастаю­
щие. Функции у = л[х и у = л[х возрастающие. Поэтому
и сложные функции Р(х) = ~[111х— 2250 и К(х) =
= AJllx3+ 108 возрастающие. Функция F(x) = Р[х) +
+ К[х) непрерывная и возрастающая. Поэтому данное
уравнение имеет не более одного корня *0. При помощи
МК легко находим, что х0 = 3.
13

15. У учащихся должна постоянно вырабатываться
культура работы с уравнениями. Прежде всего следует
выяснить, имеет ли уравнение F(x) = 0 корни. В необхо­
димых случаях (для получения гипотезы о существова­
нии корней) составляем таблицу функции F(x) при
помощи МК- Дело в том, что доказать, что уравнение
/7(л;) = 0 не имеет корней часто гораздо проще, чем
заниматься его преобразованиями, направленными на
вычисление «точных» корней. Полученная таблица
функции F(x) облегчает выбор методов уединения
корней уравнения F(x) = 0, напоминает о существова­
нии свойств функции F(x), на которые без таблицы мы
могли бы и не обратить внимания.
Общий план работы над задачей «Решить уравне­
ние F(x) = 0»:
1) Находим D(F).
2) Не решая уравнения F'(x) = 0, а используя
только свойства суммы (произведения) непрерывных
монотонных функций и свойства сложных функций,
находим некоторые подмножества множества D(F)y на
которых функция F(x) монотонная.
3) При помощи МК проверяем, принадлежат ли
этим подмножествам корни уравнения F(x) = 0 (неко­
торые из этих подмножеств можно отыскать преобразо­
ванием уравнения F(x) = 0 в равносильное ему уравне­
ние или получив все или часть решений неравенств
F'(x) > 0 (F'(*)<0).
4) Если D(F) включает в себя бесконечный промежу­
ток, то надо определить множество конечных проме­
жутков, которым принадлежат все корни уравнения
F[x) = 0.
Следует заметить, что определение корней уравнения
F'(x) = 0 может оказаться более сложной задачей, чем
решение уравнения F(x) = 0. Поэтому часто приходится
отказываться от мысли отделить корни уравнения
F(x) = 0 путем нахождения критических точек функции
F(x). Во многих случаях отделение корней упрощается
с помощью метода «ступенек». Для этого уравнение
F(x) = 0 преобразуется к виду Р(х) = М(х)(Р(х) и М(х) —
возрастающие или убывающие функции на некотором
промежутке). При помощи МК составляются таблицы
функций Р(х) и М(х), Р'(х) и М[х) (с достаточно малым
шагом). Работа над уравнением завершается уточне­
нием отделенных корней.
14

16. Для сравнения традиционного и функционального
подхода (с применением МК) к поиску корней уравне­
ний приведем два решения уравнения
х4 + Зх3 + 4 х 2 - З х 9 =0. (1)
1. Представляем данное уравнение в виде х4 -f- 2*2 +
+ 1 + 3(х3 + 2*2 + х + 2) — 4(х2 -f 4х+ 4) = 0, или
(х2 -f- I)2 + 3(х2(х + 2) + (* + 2)) — 4(х Н 2) =0, или
(х2 + I)2 + 3(* + 2)(*2 + 1) - 4(х + 2 )2 = 0. (2)
Число —2 не является корнем данного уравнения ( 1 ) .
Поэтому разделив обе части уравнения (2) на (х + 2)2,
получим уравнение, равносильное уравнению ( 1 ) :
Отсюда получаем уравнения: (х2 + 1):(х + 2) = 1 и
(х2 + 1)(Л + 2)= —4. В результате получаем, что кор­
нями уравнения (1) являются х = 0,5(1 и
х2 =0,5(1 +л/5).
Решение, конечно, короткое. Но как додуматься до
этих неестественных преобразований уравнения ( 1 ) ?
Совсем другим выглядит путь поиска корней уравне­
ния (1) при помощи микрокалькулятора.
2. Преобразовываем уравнение (1) следующим об­
разом:
F(x)= х(х(х(х + 3) + 4) — 13) — 9 = 0.
Отсюда ясно, что если х л 2 или х л — 3, то F(x) > 0,
т. е. корни уравнения (1) могут принадлежать только
интервалу (— 3; 2).
При помощи ПМК составляем таблицу:
X -3 -2,5 2 ~ 1,5 - 1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
/М 66 41 25 14 6 ~ 1,8 -9 — 14 — 14 _4,3 21
Отсюда ясно, что уравнение (1) имеет не меньше
двух действительных корней: —1 <C*i <С — 0,5;
1,5 <*2 <2.
После их уточнения имеем: х « — 0,61804;
15

17. « 1,61804. Отсюда появляется гипотеза, что х + =1,
ХХ2 =— 1 и
X, = 0,5(1 - л / 0 ) ; *2 = 0,5(1 + Л / 5 ) .
Если это так, то левая часть уравнения (1) делится
на х2 — х — 1. В самом деле, х4 + Зх3 + 4х2 — 1 Зх — 9 =
= ( х 2 — х — ){х2 + 4х+ 9) = 0.
Второй метод поиска корней уравнения (1) приме­
ним для решения любого уравнения с одной переменной.
И в этом его высокая обучающая ценность. Первое же
решение напоминает разгадывание кроссворда.
Задание 11 посвящено методу параллельных проек­
ций. Сущность этого метода решения геометрических
задач заключается в специальном выборе направления
проектирования. При решении многих аффинных задач
стереометрии выгодно направление проектирова­
ния выбрать так, чтобы некоторые прямые изобра­
жались точками, некоторые плоскости — прямыми,
а произвольные треугольники — правильными тре­
угольниками.
Метод параллельных проекций основывается только
на тех свойствах параллельных проекций, которые
изучаются в школе. В частности, широко используется
возможность изображать любой треугольник любым
треугольником и любую треугольную пирамиду —
всяким полным четырехугольником. Это позволяет свес­
ти исследование многих отношений между элементами
произвольных геометрических объектов к доказательст­
ву соответствующих свойств достаточно простых
плоских и трехмерных фигур. Например, установление
многих свойств треугольной пирамиды существенно
упрощается, если считать ее изображением квадрата
(вместе с его диагоналями).
Представленная в теме система задач и их решений
позволяет углубить связи между планиметрией и стерео­
метрией, развивает пространственное воображение уча­
щихся, расширяет их представление о методах решения
задач, развивает конструктивные и комбинаторные
способности учащихся.
При помощи системы геометрических задач, пред­
ставленных в задании 12, формируются у учащихся
навыки применения векторов к их решению. При
этом используется следующая методика векторного
решения задач: условие задачи переводится на язык
векторов, т. е. составляется система векторных уравне­
16

18. ний по условию задачи; выбираются базисные векторы;
все введенные в рассмотрение векторы раскладываются
по базисным векторам; упрощается система векторных
уравнении; векторные уравнения заменяются алгебраи­
ческими (на основании единственности разложения
вектора по базисным векторам); решается система
алгебраических уравнений; объясняется геометриче­
ский смысл полученного решения этой системы.
В задании 13 помещены только четыре задачи
(о свойствах сечений куба и треугольной пирамиды).
Но их рассмотрение с учащимися имеет принципиаль­
ное значение. Они позволяют ознакомить старшеклас­
сников с одним из наиболее общих приемов поиска
решения сложной задачи — расчленение ее на ряд целе­
сообразных подзадач.
Задания 15 и 16 посвящены задачам по стерео­
метрии на построение, доказательство и вычисление.
Эти задачи по своей идейной нагрузке занимают
особое место в школьном курсе математики. Их содер­
жание и используемые методы решения позволяют в
комплексе применять знания, умения, навыки учащихся
по алгебре, тригонометрии, планиметрии, стереометрии,
началам анализа.
Работа над задачей по стереометрии строится
следующим образом.
Уясняется содержание задачи. Если в задаче идет
речь о многограннике или фигуре вращения, то необ­
ходимо установить их форму. Для этого используются
все доступные средства и методы: готовые модели;
построение модели по условию задачи; проекционный
чертеж; готовые развертки исследуемой фигуры; допол­
нительные построения на проекционном чертеже, моде­
ли или развертке; различные изображения одной и той
же фигуры с целью получения наиболее наглядного
изображения фигуры; построение различных сечений
(разрезов) исследуемой фигуры (без искажения их
формы).
При решении задач на доказательство и вычисле­
ние важно получить дополнительные сведения о свойст­
вах исследуемой фигуры (хотя бы сначала в виде
правдоподобных гипотез). При решении задач по плани­
метрии на доказательство такие гипотезы можно полу­
чить путем инструментальных построений и измерений.
В стереометрии этот метод практически ничего не дает.
17

19. Поэтому приходится рассматривать сначала различные
частные случаи данной задачи. Такая работа упрощает
поиск решения сложных задач.
Всякую треугольную пирамиду можно разделить на
две треугольные пирамиды, имеющие по две взаимно
перпендикулярные грани. Поэтому решение всякого
многогранника по существу сводится к решению прямо­
угольных трехгранных углов.
Комплексное использование построений и вычисле­
ний упрощает поиск решения задач по стереометрии
и сокращает вычисления. При этом не следует забывать
о дополнительных построениях. Для того, чтобы вы­
брать наиболее рациональный план и методы решения
этих задач, важно с самого начала разобраться, являет­
ся ли данная задача аффинной или метрической.
Книга адресуется учителям математики для кружко­
вой работы и факультативных занятий.

20. Задание 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ
, тт 368972 368976 ь
З а д а ч а 1. Что больше. 754797 или 764804
П е р в о е р е ш е н и е . Обозначим: 368972=/г,
764797 = к Исследуем разность
п п+ 3 7п— 3 k
Т~ k + 7 ~ k{k 7) *
Очевидно,7nZ>1 • 360 ООО = 2 52 • 10 ООО и 3k<Z3 X
X 770 000 = 231 • 10 000.
Теперь ясно, что первая дробь больше второй.
В т о р о е р е ш е н и е . Числитель второй дроби боль­
ше числителя первой дроби на 3, знаменатель второй
дроби больше знаменателя первой дроби на 7. Но
■ ■ iL < ■■■?—.
368 972 764804
Поэтому первая из данных дробей больше второй
дроби.
Т р е т ь е р е ш е н и е . Разделим первое число на вто­
рое и преобразуем полученную дробь следующим
образом:
368 972 • 764 804
К 368 975 • 764 797
т 3 Л 1 7 л 1
а’к ’ка’к 368 975 А 120 000’ 2 764 797 а 120 000’ Т°
/г > 1, и первая из данных дробей больше второй дроби.
Ч е т в е р т о е р е ш е н и е . При помощи микрокаль­
кулятора получаем
764 797 ~ р,482444764зо>
4
0,482448
З а д а ч а 2. Извлечь корень пятой степени
Z1682 +305V5
19

21. Р е ш е н и е . Ьудем искать рациональные числа п и
к такие, что
д/682 + 305А/5 = п + кф.
Для этого при помощи микрокалькулятора после­
довательно находим:
sjb« 2,2360679; (1)
д/5-305 «682,0007; (2)
682 + 682,0007 да 1364,0007; (3)
д/б82 + 305д/5 « 4,2360679. (4)
Проделанная работа помогает найти путь к решению
задачи. Сравнив равенства (1) и ( 4 ) , приходим к
предположению, что к= 1 и /1 = 2, т. е. наверное,
д/б82 + 305-V5 = 2 + -у/Е. (5)
В справедливости равенства (5) легко убедиться
возведя его обе части в пятую степень.
З а д а ч а 3. Найдите х и у, если
-/119 287 — 48 682д/б = л; + ipj6.
Р е ш е н и е . При помощи микрокалькулятора полу­
чаем:
д/119 287 — 48 682д/б ж 2,101121; д/б«2,44949;
х + 2,44949у « 2,101112. ()
Естественно попытаться поискать сначала х и у сре­
ди целых чисел. Из равенства (1) ясно, что х и у нату­
ральными быть не могут, ибо даже если х = 1 и у — 1,
то левая часть равенства (1) больше правой его части.
Поэтому х и у — числа различных знаков.
При помощи микрокалькулятора получаем:
2.44949 • 1 « 2,44949,
2.44949 • 2 ж 4,898978,
2.44949 • 3 ж 7,34870, (2)
2.44949 • 4 « 9,79796,
2,44949-5 ж 12,247445,
2.44949 • 6 ж 14,69694,
2.44949 • 7 ж 17,14643,
2.44949 • 8 « 19,59592,
2.44949 • 9 « 22,04541.
20

22. Сравниваем десятичные части полученных произве­
дений с десятичной частью ч-исла 2,101121 Приходим к
выводу, что у не может быть натуральным числом
Значит, у — целое отрицательное число, х — натураль­
ное число.
Замечаем, что 4,898978 + 2,10112 ж 7. А это приво­
дит к гипотезе, что 2,101121 « 7 — 2д/б.
Вычисляем (7 — 2д/б)5, После упрощения получаем
(7 — 2д/б)5 = 1 19 287 - 48 682л/б.
О т в е т , х = 7 , у =— 2 .
З а д а ч а 4. Упростите выражение
У4 -3-А5 + 2-/25 - VI25
Р е ш е н и е . При помощи микрокалькулятора най­
дем приближенное значение выражения М Для упро­
щения вычислений преобразуем выражение
следующим образом:
К=4 - д/405 + д/400 - д/Т25 = 4 + д/400 -
-(Д/л+Д/-П<).
На микрокалькуляторе получаем:
К ~ 0,6423887 и Мж 2,4953477
Так как в выражении М содержатся л[2Ъ=
= (д/5)2 и дА*25 = (д/5)3, то и в преобразованном виде
будет д/б. Но 1,4953487 (результат полученна
микрокалькуляторе).
Таким образом, в результате выполненного матема­
тического эксперимента приходим к предположению,
что М= -л/Е + 1.
Попытаемся доказать, что
М= А (1
К = 4-3А5+ 2А25-д/725
= д/5+1. (2)
д/4 -3-А5"+ 2-А25 -д/125
или
4
2 - = У4 -Зд/5 + 2А25 -д/125.
д/5 + 1
(3)
21

23. Если равенство (3) верно, то после возведения его
обеих частей в квадрат получаем;
или
4 = (725 + 2 V 5 + 1 ) X
X ( 4 - З д / б +2А25-А125);
4 = (-Л25 - Зд/125+2д/б25--л25•125+
+8д/5-6Л25+4д/125-2д/б25+4-
—3д/5+2д/25-д/125!
Последнее равенство верно. Таким образом, М =
= д/5+ 1
З а д а ч а 5 Пятая степень натурального числа п
состоит из цифр 1, 2, 3, 3, 7, 9. Найти это число.
Р е ш е н и е . Составим несколько шестизначных чи
сел (включая наименьшее и наибольшее) из данных
цифр и при помощи микрокалькулятора извлечем из
них корни пятой степени: -Aj 123379 ж 10,42914;
д/173923да 11,17047; л/213379да 11,63672; л/337912да
да12,75735; У733921 да14,89807; д/973321 да15,76345.
Отсюда ясно, что 11 15. Но искомое число пне
может быть равно 15, потому что число 155 оканчивается
цифрой 5, которой нет среди данных цифр. Итак,
11 14.
Число 145 оканчивается цифрой 4, которой тоже нет
среди данных цифр. Поэтому 11 13.
Число II5 начинается и оканчивается цифрой 1,
а среди данных цифр только одна единица. Поэтому
п = 12 или п = 13.
Вычислив, получаем:
1 25 = 248832, 1 35 = 371 293.
Итак, /г = 13.
З а д а ч а 6. Найти сумму
ад=^+1+'''+=— (1)
1 /г! = 1 • 2 • 3 •• 2/г
22

24. Найдем решение задачи для нескольких значений п:
S(2)= * 5(3)= S<4)= g,S(5)=Jf,S(6)=
Нетрудно заметить, что для всех полученных значе­
ний S(n) числитель на 1 меньше знаменателя. Во-вто­
рых, каждый последующий знаменатель получается из
предыдущего следующим образом: 6 = 2 *3 = 3!, 24 =
= 6 • 4 = 2 • 3 • 4 = 4!, 120 = 24 . 5 = 2 • 3 • 4 • 5 = 5!,
720= 120 *6 = 2 - 3 - 4 - 5 - 6 = 6!
Итак, вырисовывается гипотеза
= ! 4 Г - w
Докажем (или опровергнем) эту гипотезу методом
математической индукции:
1) Для п = 2 формула (2) верна.
2) Допустим, что
= (3)
3) Находим:
S(6+ 1)=J-+A +...+±=±4- * =
; ' 2Г 3! k (fe + 1)!
ft! — 1 _|_ k_ (k — l)(fe+ l)+k _ (k + !)!•- 1
(ft + 1)! (ft+ 1)! (ft + 1)! '
О т в е т . S(n) = —1 .1 7 n
Заметим, что limS(n) = 1.
П —■+ oo
З а д а ч а 7. Как составить из цифр 0, 1,2, ..., 9 пять
таких двузначных чисел, чтобы их произведение было
наибольшим? (Каждая цифра должна быть использо­
вана один раз.)
Р е ш е н и е . Допустим, что искомое произведение
есть 10 • 23 • 45 • 67 • 89. Можно ли как-то увели­
чить это произведение? Можно, если 10 заменим на 19
(увеличение почти в два раза) и 89 заменим на 80
(уменьшение примерно только на 9 % ) : 1 9 * 2 3 Х
X 45 . 67 • 80.
Последнее произведение можно еще увеличить, если
заменить 19 на 91, 23 — на 32, 45 — на 54, 67 — на 76:
91 *32 - 5 4- 76 -80.
Если у множителей 32 и 76 цифры 2 и 6 поменять
23

25. местами, то получим 36 и 72. При такой замене первый
множитель увеличился более чем на 10 %, а второй —
уменьшился менее чем на 4 %. Итак, получаем еще
одно приближение к ответу 91 • 36 • 54 • 72 • 80.
После замены множителя 36 на 63 получаем
91 -63 -54 -72 - 80.
Замечаем, что если поменять местами цифры 1 и 0,
то вместо множителей 91 и 80 получаем 90 и 81. Но
9 0 * 8 1 > 9 1 *80. Поэтому получаем еще одно прибли­
жение к ответу: 90 • 63 • 54 • 72 • 81.
Замечаем, что сумма цифр каждого из множителей
в последнем произведении равна 9. Наверное, это
произведение и будет ответом на вопрос задачи. В са-
момделе, 90 • 63 • 54 • 72 • 81 = 95(6 • 7 • 8 • 9 -10).Ни
один из полученных в скобках сомножителей нельзя
больше увеличить, так как все они- должны быть
различными.
О т в е т . 90 • 63 • 54 • 72 • 81 = 1785641760.
З а д а ч а 8. Найдите целую часть числа
Ып + У я + 1 + Уга + 2 )2,
если п — натуральное число.
Р е ш е н и е . Обозначим
(Уга + У га + 1 + Уга 4~ 2 )2 = /(«), (1)-
[(Уга+У« +1 + Уга +2 )2]=ф (п).
Для получения гипотезы выполним математическое
моделирование, т. е. составим таблицу некоторых зна­
чений функций f(n) и ф(п):
п f ( n ) <р(я) п f ( n ) ф ( п )
1 17,191508 17 11 107,87477 107
2 26,484036 26 12 116,88442 116
3 35,618441 35 13 125,89270 125
4 44,696680 44 14 134,89999 134
5 53,748090 53 15 143,90615 143
6 62,784516 62 16 152,91167 152
7 71,811721 71 17 161,91659 161
8 80,832771 80 18 170,92097 170
9 89,849589 89 19 179,92493 179
10 98,863327 98 20 188,92851 188
24

26. Таблица подсказывает, что
[(д/я + д/я + 1 + д/я + 2 )2] = 9я -f 8. (2)
Таблица приводит также к предположению, что
9я -f- 8 <с(д/я -f д/я"Ь 1 Н- д/я 4" 2) <С (9я —f~ 8) —(— 1. (3)
Для обоснования полученных гипотез преобразуем
функцию /(я) следующим образом:
/(я) = (д/я + д/я—+ 1 + д/я + 2 )2 = я + (я -f- 1) + (я -f-
—2) —|—2д/я • д/я -f- Т -f- 2 д/я • д/я -f- 2 -f- 2 д/я -)- 1X
X д/я +2 = 3/t —|— 3 —|— 2(д/я • д/я + 1 -f- д/я • д/я -f- 2 -f-
+ д/я + 1 • д/я + 2 ).
На основании теоремы о средних величинах
0,5(а + й)>д/а& (а, Ь > 0) получаем:
2д/я • д/я+ 1 < 2я + 1,
2дГп • д/я + 2 < 2я + 2,
2д/я+ 1 • д/я + 2 < 2я + 3.
Таким образом, /(я) С 9я + 9.
Теперь докажем неравенство
(УЛ + У«+ 1 +У« + 2)2>9« + 8. (4)
Исследуем при помощи производной функцию
/(*) = (д/х + л]х + 1 + -yjx+ 2)2 — 9* — 8
для х а 1. Находим:
/'(х) = 2д/х -J- д[х+ 1 + д1х+ 2 )/—!_ -f- ^ -
' 2д/л: 2дх+1
+ТАг)-9=-6+(л/А+л/А) +
+(лШ+лЯг)+(лШ+лШ>
Так как каждое значение выражения в круглой скоб­
ке не меньше 2, то /'(*)> 0. Отсюда ясно, что /(я) —
25

27. возрастающая функция, и для доказательства неравен­
ства (4) достаточно проверить его справедливость
при п = 1.
Таким образом, доказано, что
(Ы" + +1 + л/п + 2)2) =9п +8.
З а д а ч а 9. Найдите целую часть выражения
если число 1981 входит в него п раз (п а 2).
Р е ш е н и е . При помощи микрокалькулятора полу­
чаем:
а, = -л/1981 да 44,508426;
52 = д/1981 + д/1981 да 45,005648;
а3 = д/1981 + д/1981 + л/1981 да 45,01 1 1 73;
а4 =4/1981 + д/1981 + д/1981 + -у/1981 да
да 45,01 1234;
а5 да 45,01 1234.
Отсюда появляется предположение, что целая часть
числа а равна 45, т. е. [а] =45.
Проверим это предположение следующим образом:
Допустим, что
у 1981 + д/1981 +-+У1981 + д/1981 >46.
Тогда д/1981 + ... + д/1981 + д/1981 > 135 и
1981 + ... + д/1981 + д/1981 > 1 352.
Продолжая этот процесс, приходим к очевидному
неверному неравенству. Поэтому [а] =45.
З а д а ч а 10.
Найдите все натуральные числа п такие, что сумма
S(n) цифр десятичной записи числа 2п равна 5.
Р е ш е н и е . Для поиска решения составим таблицу
значений выражения 2/г:
26

28. п 2« S i n ) п S ( n )
1 2 2 16 65 536 25
2 4 4 17 131 072 14
3 8 8 18 262 144 19
4 16 7 19 524 288 29
5 32 5 20 1 048 576 31
6 64 10 21 2 097 152 26
7 128 11 22 4 194 304 25
8 256 13 23 8 388 608 41
9 512 8 24 16 777 216 37
10 1024 7 25 33 554 432 29
1 1 2048 14 26 67 108 864 40
12 4096 19 27 134 217 728 35
13 8192 20 28 268 435 456 43
14 16 384 22 29 536 870 912 41
15 32 768 26
Внимательное изучение этой таблицы приводит к
предположению, что
5(/г + 6я) = 5(£) + 9т, (1)
где п, к — натуральные числа; т — натуральное число
или нуль.
Но почему именно при умножении числа 2п на
2б получаем число, сумма цифр которого или равна сум­
ме цифр числа 2! или отличается от него на 9т? Каким
свойством обладает число 26 и его сумма цифр?
Замечаем, что 5(6)= 10 и 26 = 64 = 63 + 1 =
= 9-7 + 1
Но что из этого следует? Рассмотрим пример:
214 • 26 = 16384(9-7 + 1) = 9*7 • 16384 + 16384.
Число 9 - 7 - 16384 делится на 9. Поэтому и сумма его
цифр делится на 9. Теперь понятно, почему верно
равенство (1)
Итак, 5 (5) =5. Но почему нет других решений?
В силу равенства (1) их следует искать среди
5(1 1), 5(1 7), 5(23), 5(29), ... . Но 5(1 1), 5(23), 5(35), ...
оканчиваются восьмеркой. Поэтому нас могут интересо­
вать только 5(17), 5(29), 5(41), т. е. 5(5+ 2k)y где
k — натуральное число.
Легко показать, что все 5(5 + (2k + 1) 12) оканчи­
ваются цифрами 7 и 2, т. е. 5(5 + (2k + 1)12) л 9.
Поэтому нас интересуют только 5(5 + 24&), которые
оканчиваются цифрами 1 и 2 пр-и кл. Но числа вида
2° + 2Ak (к Л 1, к — натуральное число) больше
1000 000 01 2. Число 2 000 000 012 (его сумма цифр
2*7

29. S = 5) после деления на 22 становится нечетным, но
23 + 24к — четное.
Числа 1 100 ООО 012, 1 010 000 012, 1 001 000 012,
1000 100 012, 1000 010 012, 1000 001012 также при
делении на 22 дают нечетное число. Число 1 000 000 112
не делится на 25.
Итак, получаем о т в е т : п = 5 .
З а д а ч а 11. Известно, что последними цифрами
квадратов натуральных чисел могут быть цифры 0, 1,4, Л
5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них
может встретиться любая группа цифр, т. е., что для
любого набора из п цифр а, а2, ап можно найти
натуральное число, квадрат которого оканчивается
группой цифр а{а2а3...апЬ (Ь — одна из перечисленных
выше цифр)?
Р е ш е н и е . Для того чтобы получить дополнитель­
ные сведения о свойствах квадратов натуральных
чисел, составим следующую таблицу:
12 = 1, 332 = 1089, 652 — 4 225, 972= 9 409,
22 = 4, 342 — 1 1 56, 662 - 4 356, 982= 9 604,
32 = 9, 352 = 1 225, 672 = 4 489, 992 = 9 801,
42 = 16, 362 = 1 296, 682 = 4 624, 1002= 10 000,
5
2
II
52
372 = 1 369, 692 = 4 761, 1012 = 10 201,
62= 36, 382 = 1 444, 702 = 4 900, Ю22= 10 404,
72 =='49, 392 = 1 521, 712 = 5 041, 1032 = 10 609,
82 = 64, 402 = 1 600, 722 = 5 184, 1042= 10 816,
92 = 81, 412 — 1 681, 732 = 5 329, 1052 = 1 1 025,
102 = 100, 422 = 1 764, 742 = = 5 476, 1 Об2 = 1 1 236,
112= 121, 432 = 1 849, 752 = 5 625, 1072= 1 1 449,
1 22 = 144, 442 = 1 936, 762 = 5 776, 1082= 11 664,
1 32= 169, 452 = 2 025, 772 = 5 929, Ю92 = 1 1 881,
1 42 = 196, 462 = 2 1 16, 782 = 5 984, 1 102= 12 100,
1 52 = 225, 472 = 2 209, 792 = 6 241, 1 1 1 2= 1 2 321,
162= 256, 482 = 2 304, 802 = 6 400, 1 122 = 12 544,
1 72 = 289, 492 = 2 401, 812 = 6 561, 1 1 32= 12 769,
18“ = 324, 502 = 2 500, 822 = 6 724, 1 142= 12 996,
192= 361, 512 = 2601, 832 = 6 889, 1 1 52 = 1 3 225,
202 = 400, 522 = 2 704 842 = 7 056, 1 162= 1 3 456,
212= 441, 532 = 2 809
8
2
= 7,225, 1 1 72 = 1 3 689,
222— 484, 542= 2916 862 = 7 396, 1 182 = 1 3 924,
232 = 529, 552 = 3 025 872 = 7 569, 1192= 14161,
242= 576, 562 = 3 L36 882 = 7 744, 1202= 14 400,
252 = 625, 572 = 3 249 892 = 7 921, 1212 = 14 641,
262= 676, 582 = 3 364 902 = 8 100, 1222= 14 884,
2 72 = 729, 592 = 3 481, 912 = 8 281, 1 232= 1 5 1 29,
282= 784, 602 = 3 600, 922 = 8 464, 1242 = 1 5 376,
292= 841, 612 = 3 721, 932^ = 8 649, 1 252= 1 5 625.
302 = 900, 622 = 3 844, 942 = 8 836,
312 = 961, 632 = 3 969,
9
2
sss: 9 025,
322= 1024, 642 = 4 096, 962 = 9 216,
28

30. Выводы из рассмотрения этой таблицы:
1) Если последняя цифра квадрата натурального
числа 0, то и перед ней всегда стоит цифра 0.
2) Если последней цифрой квадрата является 1, то
перед ней встречаются только 0, 2, 4, 6 или 8, т. е. только
четные цифры.
3) Если последней цифрой квадрата является 4, то
перед ней встречаются только четные цифры.
4) Если последняя цифра квадрата 5, то перед ней
стоит только цифра 2.
5) Если квадрат натурального числа оканчивается
цифрой 6, то перед ней стоит нечетная цифра.
6) Если квадрат натурального числа оканчивается
цифрой 9, то перед ней стоит четная цифра.
Эти шесть свойств квадратов натуральных чисел
легко доказываются, так как последние две цифры
квадрата определяются только двумя последними
цифрами числа, возводимого в квадрат.
Получаем общий вывод:
Для любого набора из п цифр а, а,2, ..., ап нельзя
найти целое число, квадрат которого оканчивается
цифрами aCL2'..anb (цифра b равна 0, 1, 4, 5, 6 или 9).
Задание 2. ЗАДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
При решении задач на делимость чисел часто нахо­
дят применение формуле:
а П_ь П = Л_ b) (ап-1 + ап~2Ь +
+ an-3h? + ... + b-O, (1)
где п — натуральное число;
а
п + Ьп = (а + Ь) (ап ~л — ап ~2Ь +... +
+ (_1 у-'Ьп-' (2)
где п = 2к + 1, к — любое натуральное число.
Для того чтобы убедиться в справедливости
формул (1) и (2), достаточно перемножить выражения,
стоящие в скобках.
З а д а ч а 1. Докажите, что число 7п — 1 п делится
на 6 при любом натуральном значении п.
Р е ш е н и е . По формуле (1)
17"— 11" = (17— 11).(17л-г'+ 17п-2 • 11 + . . . +
+ 1Г-1).
Утверждение задачи доказано.
29

31. З а д а ч а 2. Доказать, что 2 • 7" + 1 делится на 3 при
любом натуральном п.
Так как 2 • 7" + 1 = 2(7" — 1) + 3 и делимость
7" — 1 на 3 следует из формулы (1), то утверждение
задачи доказано.
З а д а ч а 3. Доказать, что 32" + 1 + 2" + 2 делится на
7 при любом натуральном значении п.
Р е ш е н и е . Очевидно,
32„ +1 + 2, + 2 = 9„ . з + 2
п. 4 = 3(9" - 2") +
+ 3 • 2я + 4 . 2" = 3(9" - 2") + 7 • 2".
Число 9" —2" делится на 7 в силу формулы (1).
Число 7 • 2" также делится на 7. Задача решена.
Математическая индукция — метод доказательства, основанный
на следующем принципе:
1) Некоторое свойство X верно при k — .
2) Из предположения, что свойством X обладает какое-либо
натуральное число /гЛ1, следует, что этим свойством обладает
число к 1.
Тогда свойство X имеет всякое натуральное число.
З а д а ч а 4. Доказать, что число 8" + 6 кратно 7
при любом целом 1.
Р е ш е н и е . При п= 1 утверждение задачи верно.
Допустим, что оно верно при n = к т.е.
8* + 6 = 7m, (1)
где т — натуральное число.
Проверим теперь, что утверждение задачи верно и
при ti = к + 1, т. е. верно
8* + ' +6 = 7/, (2)
где t — натуральное число.
Из равенства (1) получаем 8к = 7т — 6. Поэтому
8* + 1 + 6 = 8-8*+ 6 =
= 8(7т — 6) + 6 = 7 • 8т — 42 — 7(8т — 6),
т. е. t = 8m — 6.
Таким образом, t — натуральное число, и, следова­
тельно, в силу равенства (2) утверждение задачи дока­
зано.
З а д а ч а 5. Доказать, что при любом натураль­
ном п выражение 32" + 2+ 26"+1 делится на 11.
Р е ш е н и е . При п= 1 утверждение задачи верно.
Допустим, что это утверждение верно при п = к(к > 1),
т. е.
32& + 2 _|_ 2+1 = || mj (!)
где m — натуральное число.
30

32. Докажем, что утверждение задачи верно и при
п = к + 1, т. е.
32(А+1) + 2+2#*+1Н.»= Пр' (2)
где р — натуральное число.
Из равенства (1) имеем
32к+2= Пт — 2“+ (3)
С учетом равенства (3) сумма
А2(6 + 1) + 2 _|_ 2б)& + 1)+ 1 __ Л2 в
л2(6 -f 1) _|_ 0+ 1 _
= 32(11 г — 26 к +) + 26(* + ,)+l = З2 • 1 lm — З2 • 2 X
X 26* + 27 • 2“ = З2 • 11т + 26*(27 — 2 X 32) = З2-11т +
+ 26*- 110= 11(9т+ 10-2м).
Итак, доказана справедливость равенства (2):
р = 9т + 10-2“
З а д а ч а 6. Могут ли числа я2 + Зп + 39 и п2 + п +
+ 37 (п — натуральное число) одновременно делиться
на 49?
П е р в о е р е ш е н и е . Если при некотором значении
п выражения п2 + Зп + 39 и /г + п + 37 делятся на
49, то на 49 должна делиться и их разность:
(.п2 + Зп + 39) - {п2 + п + 37) = 2(п + 1).
Выражение 2(ti + 1) делится на 49, если п + 1 = 49&
(к — натуральное число). Отсюда п = 49к— 1.
Подставив я = 49/г—1 в выражение п2 + Зп + 39,
получаем
(49/г- I)2 + 3(49& — I) + 39 =
= 492Аг - 2 • 496 + 3 • 49/г + 37.
Последнее выражение на 49 не делится. Следовательно,
данные выражения одновременно делиться на 49 не
могут.
В т о р о е р е ш е н и е . Так как п2 + Зп + 39 =
= (п + 5) • (п — 2) + 49, то п2 + Зп + 39 делится на 49 в
том и только в том случае, когда произведение
(п + 5) • (п — 2) делится на 49. Но оба множителяв
этом произведении отличаются на 7, и поэтому либо
одновременно делятся на 7, либо одновременно не де­
лятся на 7. Первый случай имеет место при п = 7к + 2.
Аналогично получаем, что выражение
п2 + п + 37 = (п + 4). (п — 3) + 49
делится на 49 при п — 7& + 3, и, следовательно, дан-
31

33. ные в условии задачи выражения одновременно делить­
ся на 49 не могут.
З а д а ч а 7. Рассматриваются всевозможные семи­
значные числа /(, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
расположенными в произвольном порядке. Существуют
ли среди этих чисел два таких числа Ми N, что Мде­
лится на /V?
Р е ш е н и е . Во-первых, сумма цифр числа К равна
28. Поэтому М и Nне делятся на 3 и 6.
Во-вторых, 7654321 является наибольшим из чи­
сел К, а 1234567 — наименьшим. Так как 7654321:
: 1234567 Л 6,3, то ясно, что при делении М на N может
получиться только 2, 4 или 5.
Если число Мделится на 5, то оно должно оканчи­
ваться цифрой 5. Ясно, что первой цифрой числа М мо­
жет быть только 6 или 7. Рассмотрим несколько при­
меров (вычисления ведутся при помощи микрокальку­
лятора) :
7643215:5 = 1528643, 7436125:5= 1487225,
7432165:5 = 1486433, 6374125:5 = 1274825,
6142375:5= 1228475, 6137245:5= 1227449.
Замечаем, что все частные содержат цифру 8 или 9.
Но почему? Да потому, что при делении на 5 всегда
приходится делить число 41, 42, 43 или 45 на 5.
Таким образом, осталось выяснить, существует ли
равенство 2N = М или 4N = М.
Рассмотрим несколько примеров:
3765421 • 2 = 7530842, 3765412 • 2 = 7530824,
2563714 • 2 = 5127428, 1654372 • 2 = 3308744,
2134567 • 2 = 4269134, 1234765 • 2 = 2469530.
После рассмотрения этих примеров становится по­
нятным, что при умножении любого числа Nна 2 полу­
чаем число с цифрой 8, если после 4 в Nстоит цифра 1, 2
или 3. Если в N после цифры 4 стоит цифра 5, 6 или 7,
то при его умножении на 2 получаем число с цифрой 9.
Осталось выяснить, существует ли равенство
4А7 = Л1. Рассмотрим несколько примеров:
1765432 4 = 7061728, 1276543 4 = 5106172,
1273456 4 = 5093824, 1374625 4 = 5498500,
1354627 4 = 5418508, 1257346 4 = 7029384,
124.76534 =4990612, 123J654 4 = 4950616,
1275643 4 = 5102572, 1526743 4 = 6106972,
32

34. 1567234
1723654
1245763
1725364
1256734
1526473
1274536
= 6268936,
= 6893616,
=4983052,
= 6901456,
= 5026936,
=6105892,
= 5098144.
1742356
1243576
1724653
1254763
1263754
1726543
6969424,
4974304,
6898612,
5019052,
5055016,
6906172,
Во-первых, ясно, что N может начинаться только
цифрой 1 и не может оканчиваться цифрами 2, 7или5.
Во-вторых, М везде содержит цифру 0,8или 9.
И это зависит от того, какие две цифры стоят в N
после 2:
34, 35, 36, 37, 43, 45, 46, 47, 53, 54,
56, 57, 63, 64, 65, 67, 73, 74, 75, 76.
Таким образом, доказано, что задача не имеет ре­
шения.
З а д а ч а 8. Может ли число 5" — 1 делиться на
4п — I, если п — натуральное число?
Р е ш е н и е . Обозначим М(п) = 5п — I, К(п) = 4п —
— 1. Для поиска гипотезы составим таблицу значений
М(п) и К(п):
п М ( п ) К ( п )
I 4 3
2 24 15
3 124 63
4 624 255
5 30 124 1 023
6 150 624 4 095
7 753 124 16 383
8 3 765 624 65 535
9 18 818 124 262 143
10 94 090 624 1 048 575
11 370 045 124 4 194 303
12 1 852 265 624 16 777215
13 9 261 328 124 67 108 863
14 46 306 640 624 268 435 455
15 231 533 203 124 1073 741823
Что дает рассмотрение таблицы?
1) Число М оканчивается цифрой 4.
2) Число К оканчивается цифрой 3 или 5. Причем,
если п — нечетное, то К оканчивается цифрой 3,
а если п — четное, то К оканчивается цифрой 5.
Следовательно, сумма цифр числа К делится на 3,
2 А. Б. Василевский 33

35. т. е. по-видимому, число К делится на 3. Почему?
Потому что
п — 1п = (4 _ 1) • р(п)
где Р(п) — многочлен.
Теперь ясно, что число М не делится на число К,
если п — четное. Суммы цифр числа М(при нечетных /?)
дают основание предположить, что число М при всех
нечетных п не кратно 3. Но как это доказать?
Итак, как доказать, что число Q = 52к+1 — 1
(.к — натуральное число) не делится на 3?
Представить (2так:
Q = ( 6- 1)2*+ 1 - 1.
Если к = 1, то Q = (6 — 1 )3 — 1 = (63 — 3 • 62 • 1 +
+ 3- 6- I2- I3)- 1.
Если к = 2, то Q = (6 — I)5 — 1 = (6 — 1)3(6 — I)2 —t
— 1 = (63 — 3 - 62 • 1-ЬЗ . 6 . 1 — 1). (62 — 2 . 6 . 1 +1) - 1.
Если к = 3, то Q = (6— I)7 — 1 = (6 — 1 )3(6 —1 )4 —
— 1 — (63 — 3 • 62 • 1 3 • 6 - 1 — 1) • (62 — 2 • 6 • 1 +
+ 1)2-1.
Вообще,1
Q = (6- I k+l — 1 = (63 — 3 • 62 - 1 + 3 - 6 . 1 — 1) X
X (62 — 2 • 6 • 1 + I)'"1 - 1.
Теперь ясно, что Q можно представить в следую­
щем виде:
Q = (6L- 1)- 1 =61-2.
Отсюда понятно, что Q не делится на 3.
Таким образом, ни при каком натуральном значении
п число Ъп — 1 не делится на число 4П — 1.
Для решения этой задачи можно применить и метод математи­
ческой индукции.
З а д а ч а 9. Восстановить числа (х обозначают
цифры от 0 до 9):
1 л 7 л л л л
2'
3)
(4
* * 7
5)
(6
/ * * *
*/****
,7)
(3)
(9)
^ /* * * у * *
_ ************
(Ю 0
1

36. Для упрощения рассуждений пронумеруем строчки,
в которых записаны числа, получаемые в процессе
деления.
Делитель — шестизначное число. Третья цифра
частного — 7. При умножении шестизначного числа на
7 получили шестизначное число (6-я строчка). Но это
возможно только в том случае, если делитель начи­
нается цифрой 1. Итак, делитель имеет вид: 1**7*.
Для упрощения рассуждений делитель и частное
запишем соответственно в виде: 1АБВ7Г, ДЕ7ЖК.
Далее, шестизначные числа записаны во 2-й, 6-й,
10-й строчках, семизначные — в 4-й и 8-й строчках.
Поэтому Е-8 или Е-9, Ж-8 или Ж-9, 1 Л А л 4.
Если при умножении числа 1АБВ7Г на 8 или 9 полу­
чается семизначное число, то оно обязательно начи­
нается цифрой 1.
Допустим А = 4. Тогда число из 6-й строчки начина­
лось бы цифрой 9. Но этого не может быть, так как при
вычитании из шестизначного числа (строчка 5) шести­
значного числа (строчка 6) получаем шестизначное
число (строчка 7). Итак, А ф4. По этой же причине
А Ф 3. Следовательно, А = 1 или К —2.
Допустим, что А = 1. Тогда на основании 6-й строчки
получаем, что Б=1 (Б не может быть равно нулю
в силу 4-й и 8-й строчек; Б не может быть больше 1 в си­
лу 6-й строчки).
Итак, допустим, что делитель имеет вид 111В7Г.
В силу 4-й и 8-й строчек В Ф 0. С другой стороны,
В«<4 (в силу 6-й строчки). Если делитель имеет вид
11117Г, 11127Г или 11137Г, то при любом значении Г
в 8-й строчке третья цифра справа не будет равна 7.
Следовательно, А Ф 1 и В >> 3.
Итак, делитель имеет вид 12БВ7Г.
Все, до сих пор установленное, внесем в данный
пример:
I12БВ7Г
I ДЕ7ЖК
о
35

37. Теперь понятно, что первой цифрой 5-й строчки
является 9, а 7-я и 8-я строчки начинаются цифрами
1 и 0:
**7****** I12БВ7Г
***** 7 *
97 ****
87****
10****
10**7*
ДЕ7ЖК
Так как 120-9 = 1080, 121 -9 = 1089, 122 - 9= 1098,
123 *9=1107, то в силу 8-й строчки третья цифра этой
строчки не может быть больше 2, если Ж = 9. Но
120-7 = 840, 121-7 = 847, 122-7 = 854.
Поэтому в силу 6-й строчки Жф9. Итак, Ж = 8.
Далее 123 - 7 = 861, 124 - 7 = 868, 125-7 = 875,
126 - 7 = 882. Отсюда и в силу 6-й строчки следует, что
Б = 4 или Б = 5. Но Б Ф 4, так как 1249-8 = 9992
(см. 8-ю строчку). Следовательно, Б = 5.
Сравнивая 3-ю и 4-ю строчки, получаем, что 3-я
строчка начинается с 1 (больше единицы первая цифра
3-й строчки не может быть еще и потому, что первая
цифра делителя 1). Кроме того, 125 - 8 = 1000, 126 - 8 =
= 1008. Поэтому третья цифра 8-й строчки 0. Тепепь-
имеем такую картину:
**7******* |125В7Г
****** IДЕ78К
I****7*
1 ******
97****
87****
1Q*****
100*7**
'i' *i»'f*
ф * :5с :}с $ *
о
36

38. Далее, 1251-7 = 8757, 1252-7 = 8764, 1253-7 =
= 8771,1254-7 = 8778,1255-7 = 8785,1256-7 = 8792,
1 2 5 7 ^ 7 = 8799,12 58 • 7 = 8806.
Поэтому (см. 6-ю строчку) 1 Л В л 7.
При умножении числа 125В7Г (при любом значе­
нии Г) на 8 третья цифра справа (в 8-й строчке) будет
равна 7 только в том случае, если произведение В-8
оканчивается цифрой 2 (8В — число четное). Это
возможно, если В = 4 или В = 9. Но 1 Л В л 7.
Итак, В = 4.
Так как 7*8 = 56, то Г • 9 < 40, т. е. Г л 4. Далее,
125470 • 7 = 878290 и 125474 • 7 = 878318. Поэтому
третья цифра слева в 6-й строчке 6, третья цифра слева
в 5-й строчке 9, тогда
12 547Г
****** ДЕ78К
1 * * * * 7 *
1 ***** *
979***
878***
101****
100*7**
1 *****
о
Из 9-й строчки следует, что К = 1.
Так как 125471 - 8= 1003768, 125474-8 = 1003792,
то при Г Л 4 четвертая цифра слева в 7-й строчке 6
(6, а не 5, потому что 7 + 5 = 12). Теперь получаем
**7******* | 1254г
****** 1ДЕ781
!****7*
1 ******
_ 979***
878***
1016***
10037**
_12 547*
12 547*
0
37

39. Сравнивая 5, 6 и 7-ю строчки, получаем, что четвер­
тая цифра слева в б-й строчке не должна быть больше 3.
А это возможно, если 2 Л Г л 4.
В 7-й строчке пятая цифра слева может быть равна
2 или 3. Но так как 125472-8=1003776, 125473-8 =
= 1003784, 1 25474-8= 1003792, то пятая цифра слева
в 7-й строчке может быть только 3 и четвертая цифра
в 6-й строчке 3. С учетом этого получаем:
12547Г
ДЕ781
9799**
8783**
_ 10163**
10037**
12 547*
12 547*
0
Сравнивая 3, 4 и 5-ю строчки, получаем, что в 4-й
строчке вторая цифра справа может быть 8 или 7. Но
12547-9=112923 и 1 8 < 9 Г < 40. Поэтому Е Ф 9,
т. е. Е = 8. Но 12547-8=100376 и 16<8Г<32.
Поэтому Г = 2 или Г = 3, и, следовательно, получаем:
**7******* 112 547Г
IДЕ781
1 * * * * 7
j ***** *
9799**
8783*
10163**
~10037**
_12 547*
12 547*
Сравнивая 3, 4 и 5-ю строчки, получаем, что в 4-й
строчке вторая цифра справа может быть 8 или 7.
Но 12547-9= 112923 и 18<9Г<40. Поэтому Е ф9,
т. е. Е = 8. Но 12547-8= 100376 и 16<8Г<32.
Поэтому Г = 2 или Г = 3, и, следовательно, получаем:
38

40. **7******* 112547Г
****** ]Д8781
_ 110177*
10037**
9799**
8783**
_ 10163**
10037**
_12 547*
12 547*
0
Из первых трех строчек ясно, что в 3-й строчке
третья цифра слева 6 или 7. Непосредственной провер­
кой убеждаемся, что это будет только в том случае, если
Д = 3 или Д = 5 соответственно.
Легко проверить, что Д Ф 3. Итак, Д = 5. Теперь
очевидно, что Г = 3.
Окончательно находим: при делении числа
7375428413 на 125473 получаем 58781.
Задание 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
З а д а ч а 1. При каких натуральных п (п л 2)
верно равенство
У 17д/5 + 38 + V 17д/5 - 38 = У~20? (1)
Р е ш е н и е . При помощи микрокалькулятора на­
ходим:
17д/5 + 38 да 38,013154 + 38 да 76,013154 > 1;
17д/5 — 38 да 0,013154 < 1; д/20л 4,4721359.
Отсюда ясно, что положительная функция f(n) =
= д717д/5 + 38 является убывающей, и
а функция (р(п) =д/17 д/б — 38 — возрастающая, и
,ф(я) < 1. Для обнаружения некоторых свойств функции
я|?(ат) = f(n) + ф(я) выполним математический экспери­
мент (составим таблицу значений функции ty(n) :
39

41. _110177*
10037**
9799* *
"8783**
_ 10163**
10037**
_ 12547*
12547*
0
Из первых трех строчек ясно, что в 3-й строчке
третья цифра слева 6 или 7. Непосредственной провер­
кой убеждаемся, что это будет только в том случае, если
Д = 3 или Д = 5 соответственно.
Легко проверить, что Д ф 3. Итак, Д = 5. Теперь
очевидно, что Г = 3.
Окончательно находим: при делении числа
7375428413 на 125473 получаем 58781.
Задание 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
З а д а ч а 1. При каких натуральных п 2)
верно равенство
V17V5 +38 + V17V5 — 38=л20? (1)
Р е ш е н и е . При помощи микрокалькулятора на­
ходим:
17Уб + 38 ж 38,013154 + 38 « 76,013154 > 1;
17 д/S —38» 0,013154 < 1; д/20« 4,4721359.
Отсюда ясно, что положительная функция f ( n ) =
= Л17Л5 + 38 является убывающей, и /(д)>1,
а функция ф(я). —■ у 17"/5— 38 —возрастающая, и
ф(я) < 1. Для обнаружения некоторых свойств функции
t y ( n ) = f ( n ) + ф(п) выполним математический экспери­
мент (составим таблицу значений функции г|з(я) :
| 12547Г
1 Д8781
39