ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

3.  Ο Δημόκριτος γεννήθηκε στα Άβδηρα
της Θράκης γύρω στα 460π. Χ. από
οικογένεια αριστοκρατικής
καταγωγής.
Από τη νεανική του ηλικία ο Δημόκριτος
έδειξε την κλίση του προς τη μελέτη και την
έρευνα της φύσης.
Κατά τη μοιρασιά της πατρικής περιουσίας
ανάμεσα στο Δημόκριτο και τα δύο του
αδέρφια αυτός, σύμφωνα με μια μαρτυρία,
προτίμησε να λάβει το μικρότερο μερίδιο σε
χρήματα (100 τάλαντα). Αυτά τα χρήματα τα
ξόδεψε ταξιδεύοντας σε όλο σχεδόν τον τότε
γνωστό κόσμο.

4.  Τα ταξίδια του στην Αίγυπτο, την Περσία και
τη Βαβυλώνα θεωρούνται σχεδόν σίγουρα,
ενώ τα ταξίδια στην Αιθιοπία και την Ινδία
είναι λιγότερο βέβαιο ότι
πραγματοποιήθηκαν. Όπως αναφέρει και ο
ίδιος: «Εγώ, λοιπόν περιπλανήθηκα σε
περισσότερους τόπους της γης απ’ τους
ανθρώπους της εποχής μου, ερευνώντας τα
πιο μακρινά μέρη, και γνώρισα πάρα πολλές
χώρες και κλίματα και άκουσα πάρα
πολλούς μορφωμένους ανθρώπους,

5.  Στη διάρκεια αυτών των περιπλανήσεων θα
πρέπει σίγουρα να επισκέφτηκε τα μεγάλα
πνευματικά κέντρα της Ιωνίας, κυρίως την
Έφεσο και τη Μίλητο, όπου θα γνώρισε από
κοντά τη φιλοσοφία του Θαλή,
του Αναξίμανδρου, του Αναξιμένη και
του Ηρακλείτου. Στη Μίλητο ίσως να
συνάντησε για πρώτη φορά τον άνθρωπο
που έμελλε να σημαδέψει τη ζωή του,
το Λεύκιππο. Απ’ αυτόν θα πρέπει να
διδάχτηκε τη φιλοσοφία του Παρμενίδη,
του Εμπεδοκλή, του Πυθαγόρα. Μάλιστα,
για τον τελευταίο ο Δημόκριτος σύνταξε
ειδική πραγματεία.

6.  Στα Άβδηρα ο Δημόκριτος αφοσιώθηκε στη
διδασκαλία και τη συγγραφή των έργων του.
Ονομάστηκε επίσης Γελασίνος αφού
αντιμετώπιζε τη ζωή πάντα με αισιοδοξία,
γαλήνη και καρτερία. Κατά μια εκδοχή
ονομάστηκε έτσι, επειδή περιγελούσε τις
καθημερινές θλίψεις και ελπίδες που
απασχολούσαν τους άλλους ανθρώπους.
Το πιθανότερο είναι ο χαρακτηρισμός να
προέρχεται από την άποψη του Δημόκριτου
ότι η ευθυμία αποτελεί στόχο για τη ζωή κάθε
ανθρώπου.

7.  Ο Δημόκριτος πέθανε σε πολύ
προχωρημένη ηλικία, αφού κατατασσόταν
στους μακροβιότερους Έλληνες στοχαστές.
Διάφορες πηγές παραδίδουν ότι έζησε από
90 ως και 109 χρόνια.
 ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ : ΕΥΑ ΓΕΩΡΓΑΝΑΚΗ
 ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ

10. ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ

12. Ο Διόφαντος (μέσα του 3ου αιώνα μ.χ.), στην εισαγωγή
των “Αριθμητικών” του, ονομάζει τον άγνωστο με τη λέξη
“αριθμός” και τον συμβολίζει με το σύμβολο “ς”. Επίσης, ο
Διόφαντος πρώτος εισάγει την έννοια “ΛΕΙΨΙΣ”
(αρνητικός), διατυπώνοντας τους κανόνες της πράξης του
πολλαπλασιασμού με την έκφραση:

13. “ ΛΕΙΨΙΣ ΕΠΙ ΛΕΙΨΙΝ ΠΟΙΕΙ ΥΠΑΡΞΙΝ,
ΛΕΙΨΙΣ ΕΠΙ ΥΠΑΡΞΗΝ ΠΟΙΕΙ ΛΕΙΨΙΝ”

14. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥΛΟΥ
ΙΩΑΝΝΑ ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥΛΟΥ

15. ΘΑΛΗΣ Ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ
640-546 π.Χ.

17. • Από τον Θαλή το Μιλήσιο ξεκινά η μεγάλη
σημασία της απόδειξης για τα μαθηματικά .
• Μέχρι τότε τα μαθηματικά ήταν εμπειρικά, χωρίς
αποδείξεις και βασισμένα περισσότερο στην
διαίσθηση .
• Η συμβολή του Θαλή στην καθιέρωση της
απόδειξης στα μαθηματικά , αλλά και η
γενικότερη συμβολή του στις επιστήμες ( Φυσική
Αστρονομία κ.τ.λ. ) , δίκαια τον κατατάσσουν
ανάμεσα στους 7 σοφούς της αρχαιότητας.

18. • Ο Θαλής πήγε στην Αίγυπτο και πρώτος έφερε την
Γεωμετρία στην Ελλάδα, και πολλές έννοιες
γεωμετρικές ο ίδιος επινόησε ή κάποιες άλλες
τελειοποίησε.
• Στον Θαλή αποδίδονται πολλές προτάσεις και
αποδείξεις που υπάρχουν στο πρώτο μισό βιβλίο των
Στοιχειών του Ευκλείδη. Ο ίδιος ο Θαλής επινόησε
πολλά θεωρήματα και βρήκε τις αρχές που διέπουν
πολλά άλλα θεωρήματα και τα δίδαξε στους
μαθητές του.
• Ο τρόπος των αποδείξεών του είναι άλλοτε
θεωρητικός, άλλοτε πιο εμπειρικός (διαισθητικός).
Με τον Θαλή για πρώτη φορά η Γεωμετρία
καθίσταται συμπερασματική επιστήμη και εξαρτάται
από γενικές προτάσεις.

19. • Ο Θαλής κατάφερε να μετρήσει το ύψος των
πυραμίδων παρατηρώντας, το μήκος της σκιάς τους
κατά την στιγμή που οι σκιές μας έχουν το ίδιο
μέγεθος με το ύψος μας. Επινόησε τρόπο
προσδιορισμού του ύψους των πυραμίδων αλλά και
άλλων παρόμοιων σωμάτων μετρώντας το μέγεθος
της σκιάς, κατά την στιγμή που το σώμα και η σκιά
έχουν ίσα μήκη.
• Σύμφωνα με τον Πρόκλο στο υπόμνημά του, στο
Πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, ο Θαλής:
Είναι ο πρώτος που απέδειξε ότι ένας κύκλος
διχοτομείται από μία διάμετρό του . Διατύπωσε
πρώτος την πρόταση Ι 5 ότι οι παρά την βάση γωνίες
του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες,
χρησιμοποιώντας τον όρο όμοιες αντί του ίσες .

20. • Σύμφωνα με τον Εύδημο, στον Θαλή επίσης
αποδίδονται :
• Η πρόταση Ι 8 : αν δύο ευθείες τέμνονται μεταξύ
τους τότε οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες
μεταξύ τους . Η απόδειξη δεν έγινε αυστηρά.
• Η πρόταση Ι 26 σύμφωνα με την οποία αν δύο
τρίγωνα έχουν την μία πλευρά και τις δύο
προσκείμενες γωνίες ίσες τότε είναι ίσα.
• Ο Θαλής ήταν ο πρώτος που κατασκεύασε
ορθογώνιο τρίγωνο μέσα σε κύκλο.

21. ΕΙΚΟΝΕΣ :

22. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ :
• Εύα Γεωργανάκη
• Δημήτρης Ηλιόπουλος
• Κωνσταντίνα Βεριοπούλου

23. ΖΗΝΩΝΑΣ

25. Ο αρχαίος φιλόσοφος Ζήνωνας έζησε στη
Μεγάλη Ελλάδα το 490-430 π.χ. Και
διατύπωσε, μεταξύ άλλων, το παρακάτω
παράδοξο του Αχιλλέα με τη χελώνα: “Ο
Αχιλλέας βαδίζει 10 φορές πιο γρήγορα από τη
χελώνα. Δε θα μπορέσει ποτέ να τη φτάσει, αν η
χελώνα προηγείται ένα στάδιο (192 μέτρα
περίπου) απ‘ αυτόν”.

26. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥΛΟΥ
ΙΩΑΝΝΑ ΑΝΑΣΤΑΣΟΠΟΥΛΟΥ

28. Ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της
Αρχαίας Ελλάδας είναι
ο Απολλώνιος ο Περγαίος. Γεννήθηκε στην Πέργα
της Παμφυλίας. Έζησε το 260 π.Χ - 190 π.Χ. και το
κύριο έργο του ήταν το οκτάτομο "Κωνικά" στο
οποίο πρώτος αυτός ανακάλυψε τις κωνικές τομές,
που είναι η παραβολή, η υπερβολή, ο κύκλος και η
έλλειψη. Με το έργο του έδωσε ώθηση στη γεωμετρία
της εποχής του.

31.  ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ
ΜΙΧΑΛΗ ΔΙΟΝΥΣΙΩΤΗ

33. FIbONACCI
Ο Fibonacci γεννήθηκε στην Ιταλία στην δεκαετία
του 1170 ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και σήμερα
αναγνωρίζετε ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός και γι’ αυτό
πήραν το όνομα του δυο μεγάλοι δρόμοι η Pisa και η
Φλόριντα.
Οι αριθμοί Fibonacci είναι το αριθμητικό σύστημα της
φύσης. Εμφανίζετε παντού π.χ. η διάταξη των φύλλων στα
φυτά, το μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια ακόμα και τα
στρώματα του φλοιού ενός ανανά. Οι αριθμοί Fibonacci
σχετίζονται με κάθε ζωντανό οργανισμό δηλαδή και με τον
ίδιο τον άνθρωπο.
Η ακολουθία Fibonacci είναι η ακολουθία αριθμών στην
οποία ο κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο
προηγούμενων: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ... (κάθε αριθμός
είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων).

34. Ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς oνομαστός Έλληνας μαθηματικός, γεωμέτρης και μηχανικός
που γεννηθηκε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου κατά την εποχή του
ΑυτοκράτοραΔιοκλητιανού (3ος - 4ος αιώνας μ.Χ.). Θεωρείται από τους τελευταίους
Έλληνες μαθηματικούς, καθώς μετά απ' αυτόν η εν λόγω επιστήμη παρέμεινε για μεγάλο
χρονικό διάστημα σε στασιμότητα. Ο Πάππος, διανοητικός κληρονόμος του Διόφαντου, δεν
κατάφερε να επηρεάσει και να εντυπωσιάσει τους συγχρόνους του σε μία περίοδο όπου
στη Μεσόγειο δέσποζαν μόνον η μεταφυσικήέρευνα και το θρησκευτικό αίσθημα.
Έγραψε εκτενή σχόλια επί των Στοιχείων του Ευκλείδη, από τα οποία ελάχιστα έχουν
διασωθεί, επί της Μαθηματικής Σύνταξης του Κλαύδιου Πτολεμαίου, επί του Περί
Μεγεθών του Αρίσταρχουκαι επί του Αναλήμματος του Διοδώρου. Όλα τα τελευταία έχουν
απολεσθεί. Ακόμα ο Πάππος συγκέντρωσε, συστηματικά και συνοπτικά, στο δικό του έργο
«Συναγωγή» τα σπουδαιότερα μαθηματικά ευρήματα του ελληνικού κόσμου στους τομείς
της γεωμετρίας και της αριθμητικής, συμπληρωμένα και σχολιασμένα από τον ίδιο. Το
μεγαλύτερο μέρος του έργου αυτού έχει διασωθεί, καθώς είναι διαιρεμένο σε 8 βιβλία εκ
των οποίων μόνο το πρώτο και μέρος του δεύτερου έχουν τελείως απολεσθεί. Σε καθένα
από τα υπόλοιπα πραγματεύεται μαθηματικά θέματα όπως: "περί μέσων όρων και
αναρμονικών λόγων", "περί τριχοτομήσεως γωνίας", "περί ισοπεριμέτρων και κανονικών
πολυέδρων" κλπ.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΘΑΛΑΣΣΕΛΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΒΟΥΛΓΑΡΑΚΗΣ

36. Ο Κλαύδιος Πτολεμαίος ήταν ονομαστός Έλληνας φυσικός
φιλόσοφος ο οποίος γεννήθηκε στη ρωμαϊκή Αίγυπτο και έζησε
στην Αλεξάνδρεια κατά την περίοδο 127-151 μ.Χ. Το
σπουδαιότερο έργο του, «Η Μέγιστη» (ή «Μαθηματική Σύνταξις»),
σώθηκε στα αραβικά ως «Αλμαγέστη» και στηρίζεται στις
παρατηρήσεις διάφορων προγενέστερων αστρονόμων και ιδίως
του Ιππάρχου. Αποτέλεσε ένα από τα κείμενα που έδωσαν ώθηση
στην αστρονομία των Αράβων. Επίσης ο Πτολεμαίος ασχολήθηκε
με τη μουσική, την οπτική, τη μαντική αστρολογία και
τη γεωγραφία.
Δημήτρης Θαλασσέλης
Παναγιώτης Βουλγαράκης

38. Nikolai Lobatchevski-
Νικολάι Λομπατσεύσκι
Η ζωή και το έργο του

39. Γενικές πληροφορίες
 Ο Λομπατσεύσκι γεννήθηκε στη Ρωσία το
1792 όπου και πέθανε σε ηλικία 64
ετών(1856).
 Θεωρείται ο θεμελιωτής της μη ευκλείδειας
γεωμετρίας.
 Σπούδασε στο πανεπιστήμιο του Καζάν και
έγραψε διδακτορική διατριβή με θέμα την
ουράνια μηχανική, ενώ ταυτόχρονα
μελέτησε την έννοια του χώρου και τόνισε
μαθηματικά τη θεωρία της σχετικότητας.
 Μέχρι το θάνατο του (1856) ήταν
πρύτανης στο πανεπιστήμιο του Καζάν.

40. Η γεωμετρία του Λομπατσεύσκι:
 Η γεωμετρία του βασίζεται στο ότι
από ένα σημείο που βρίσκεται εκτός
ευθείας μπορούν να αχθούν προς
αυτήν πολλές παράλληλες, ενώ η
ευκλείδεια γεωμετρία δέχεται ότι
μόνο μία παράλληλη φέρεται. Οι
ιδέες του άνοιξαν ευρείς ορίζοντες
για την αστρονομία, τη φυσική και τη
μηχανική.

41. Φωτογραφίες

42. ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΡΙΩΝ
 Βελέντζα Μαρέλλα
 Δεληπέτρου Αλεξάνδρα

43. Μπέρναρντ Ρίμαν
Η ζωή και η συνεισφορά του στα
Μαθηματικά

44. Γενικότερες πληροφορίες
► Ο Γκεόργκ Φρίντριχ Μπέρναρντ
Ρίμαν ή Ρήμαν (Georg Friedrich Bernhard
Riemann, 17 Σεπτεμβρίου 1826 – 20 Ιουλίου 1866)
ήταν Γερμανός μαθηματικός που συνεισέφερε
σημαντικά τη Μαθηματική Ανάλυση, την
Τοπολογία, την Αναλυτική Θεωρία των αριθμών
και τη Διαφορική Γεωμετρία, προωθώντας τη
μη ευκλείδεια Γεωμετρία και ανοίγοντας έτσι τον
δρόμο μεταξύ άλλων και για τη θεμελίωση
αργότερα της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας.

45. Η επίδρασή του στα Μαθηματικά
► Το έργο του Ρίμαν άνοιξε νέες ερευνητικές περιοχές
συνδυάζοντας την Ανάλυση με τη Γεωμετρία. Εκτός από τη
Ριμάνεια Γεωμετρία, η θεωρία των επιφανειών Ρίμαν
αναπτύχθηκε παραπέρα από τους Φέλιξ Κλάιν και Άντολφ
Χούρεβιτς και σήμερα συνιστά ένα από τα θεμέλια της
Τοπολογίας, ενώ εφαρμόζεται ακόμα με νέους τρόπους
στη Μαθηματική Φυσική.
► Ο Ρίμαν προσέφερε πολλά στην Πραγματική Ανάλυση:
όρισε το ολοκλήρωμα Ρίμαν με τη βοήθεια των
αθροισμάτων Ρίμαν, ανέπτυξε μια θεωρία για τις
τριγωνομετρικές σειρές που δεν είναι σειρές Φουριέ — ένα
πρώτο βήμα για μια θεωρία των
γενικευμένων συναρτήσεων — και μελέτησε το
διαφορικό ολοκλήρωμα Ρίμαν-Λιουβίλ.

46. Ευκλείδεια και Ρίμανεια
Γεωμετρία
► Το 1853, ο Γκάους ζήτησε από τον φοιτητή του Ρίμαν να ετοιμάσει και
να παρουσιάσει μια διατριβή πάνω στα θεμέλια της Γεωμετρίας. Μετά
από πολλούς μήνες ο Ρίμαν ανέπτυξε τη θεωρία του για τις
ανώτερες διαστάσεις. Όταν τελικά έδωσε τη διάλεξή του στο Γκέτινγκεν
το 1854, το μαθηματικό κοινό την υποδέχθηκε με ενθουσιασμό.
Θεωρείται ακόμα μία από τις σημαντικότερες εργασίες για τη Γεωμετρία.
Ο τίτλος της ήταν Über die Hypothesen welche der Geometrie zu
Grunde liegen («Επί των υποθέσεων που βρίσκονται στα θεμέλια της
Γεωμετρίας»).
► Αυτό που θεμελίωσε η παραπάνω εργασία ήταν η Ριμάνεια Γεωμετρία.
Ο Ρίμαν βρήκε τον σωστό τρόπο να επεκτείνει σε «ν» διαστάσεις τη
Διαφορική Γεωμετρία των επιφανειών, την οποία ο ίδιος ο Γκάους είχε
αποδείξει με το theorema egregium. Το θεμελιώδες εδώ είναι ο
Τανυστής καμπυλότητας Ρίμαν. Για την περίπτωση μιας επιφάνειας,
αυτός μπορεί να αναχθεί σε ένα αριθμό (βαθμωτό), θετικό, αρνητικό ή
μηδέν: οι μη μηδενικές και σταθερές περιπτώσεις είναι τα μοντέλα των
γνωστών μη ευκλείδειων γεωμετριών.

47. Φωτογραφίες

48. ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΡΙΩΝ
► Βελέντζα Μαρέλλα
► Δεληπέτρου Αλεξάνδρα