eTwinning Τα Μαθηματικά πριν και μετά την Αρχαία Ελλάδα

1. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΙΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑ
ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ

2. Σουμέριοι και Βαβυλώνιοι

3. Εμφανίστηκαν το 6000-4000π.Χ. στην νότια Μεσοποταμία
και ήταν οι πρώτοι κάτοικοι της Σουμέρ.
Προέρχονταν από την περιοχή του Αφγανιστάν.
Ο Βαβυλώνιοι συμπεριέλαβαν τους Σουμέριους αργότερα
στον πολιτισμό τους.
Ασχολούνταν με τα μαθηματικά, την μυθολογία, αστρονομία,
την κεραμική, την γεωργία και το εμπόριο.
Τα μαθηματικά διδάσκονταν από τον ΟΥΜΙΑ σε ναούς.
Αυτοαποκαλούνταν “μαυροκέφαλοι”
Ήταν οι πρώτοι στον κόσμο που άφησαν γραπτή τη γλώσσα
που μιλούσαν.

4.  Περίπου το 2.500π.Χ. έχουν χρονολογηθεί οι
πίνακες πολλαπλασιασμού σε πήλινες πινακίδες,
τα προβλήματα διαιρέσεων, οι γεωμετρικές
ασκήσεις και οι αστρολογικές αναφορές.
 Η κατακόρυφη σφήνα που δήλωνε την μονάδα (1)
και η διπλή σφήνα την δεκάδα (10) .
 Κεραμικός τροχός.
 Τον άροτρο.
 Ένα σύστημα ύδρευσης.
 Το Θεσιακό σύστημα.

5. Μέτρηση και Θεσιακό σύστημα.
 Χρησιμοποιούσαν ειδικά διαμορφωμένα
βοτσαλάκια για την μέτρηση (ένας μικρός
κώνος=1 , μια μικρή σφαίρα=10, ένας μεγάλος
κώνος=50) τα ονόματα των οποίων
χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα για τις
πράξεις μέτρησης.
 Θεσιακό σύστημα ονομάστηκε η κατακόρυφη
σφήνα και η διπλής σφήνα. Η δυσκολία που είχαν
ήταν ότι δεν είχαν το νούμερο 0. Ο αριθμός 60
αποτέλεσε την βάση για τους Σουμέριους και
τους Βαβυλώνιους. Με αυτήν την βάση μέτρησαν
τον χρόνο και χώρισαν το κύκλο σε 360μοίρες και
κάθε μοίρα σε 60 λεπτά.

6. Ρητό: Καθώς υπάρχει ζωή, υπάρχει και ελπίδα.

8.  Αναπτύχθηκαν καθώς η ζωή γινόταν
πιο περίπλοκη (υπολογισμοί,
ανταλλαγή προϊόντων)
 Οδήγησαν στην ανάπτυξη του
πολιτισμού των αρχαίων αιγυπτίων
(πυραμίδες, τάφοι, υδροφράγματα)
 Ήταν γραμμένα με τρεις τρόπους:
την ιερογλυφική, την ιερατική, και την
δημοτική.

9.  Το σύστημα αιγυπτιακής αριθμητικής ήταν
δεκαδικό και ήταν βασισμένο στην απλή
επαναληπτική αρχή σύμφωνα με την οποία
διαφορετικά σύμβολα για τις διαδοχικές
δυνάμεις του 10 επαναλαμβάνονταν ώστε
να σχηματιστεί ο ζητούμενος αριθμός.
 Με αυτά τα επτά σύμβολα οι Αιγύπτιοι
μπορούσαν να γράφουν οποιονδήποτε
ακέραιο αριθμό από το 1 ως το 9.999.999

10.  Πρόσθεση: ήταν μια εύκολη διαδικασία που το
μόνο που απαιτούνταν ήταν η αντικατάσταση
δέκα ομοίων σύμβολων με ένα σύμβολο της
αμέσως επόμενης τάξης.
 Αφαίρεση: την αντιμετώπιζαν ως αντίθετη
πράξη της πρόσθεσης.
 Πολλαπλασιασμός: ήταν η βάση ολόκληρης της
αιγυπτιακής αριθμητικής και γινόταν µε τη
µέθοδο του διπλασιασµού, του
υποδιπλασιασμού και της πρόσθεσης (αν και
ήταν πολύ αρχαία μέθοδος χρησιμοποιήθηκε και
στην ελληνιστική εποχή).
 Διαίρεση: δεν τη θεωρούσαν διαφορετική πράξη
από τον πολλαπλασιασμό. (δηλαδή 168:12
«πολλαπλασίασε με το 12 μέχρι να βρεις 168»)

11. Αρχικά οι Αιγύπτιοι αγνοούσαν τις μετρικές σχέσεις των
ορθογωνίων τριγώνων και επίσης δεν ασχολήθηκαν με
θεωρήματα και αποδείξεις. Το περιεχόμενό της ήταν ο
υπολογισμός εμβαδών και όγκων διαφόρων σχημάτων με
βάση κανόνες (άλλοι σωστοί και άλλοι όχι). Τα πιο
αξιόλογα αποτελέσματα είναι ο υπολογισμός του όγκου
μιας κόλουρης πυραμίδας και ο υπολογισμός του εμβαδού
του κύκλου με βάση έναν κανόνα που αντιστοιχεί στον
τύπο Ε= [(1 -1/9)d]2 (d η διάμετρος). Ο τύπος μας οδηγεί
στην προσεγγιστική τιμή του π = 256/81 = 3,16.., (πολύ
καλύτερη από την τιμή π = 3
που χρησιμοποιούσαν οι
Βαβυλώνιοι).

12.  Πάπυρος Rhind, είναι μια συλλογή 84 προβλημάτων που
αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.Χ
 Πάπυρος της Μόσχας, (1850 π.Χ. ) είναι μια συλλογή 25
προβλημάτων.
 Ο δερμάτινος κύλινδρος,(1650 π.Χ.) και περιέχει 26
αθροίσματα μοναδιαίων κλασμάτων.
 Τέλος ο πάπυρος Kahun και ο πάπυρος
του Βερολίνου, (1850 π.Χ. ) και περιέχουν
μαθηματικές πράξεις και προβλήματα.
Οι Πηγές των αιγυπτιακών
Μαθηματικών.

14. 9ος -15ος αιώνας μ.Χ.
 Καταγωγή: Πέρσες, Εβραίοι, Βερβέροι που έγραφαν στα αραβικά.
 Κλάδοι: Ιατρική, Αστρονομία, Φιλοσοφία, Φυσική, Μαθηματικά
(ομοιότητα με Έλληνες σοφούς).
 Ίδρυση Επιστημονικού Ερευνητικού Ινστιτούτου στη Βαγδάτη, του
Bayt al-Hikma όπου μεταφράστηκε η "Μαθηματική Σύνταξης" του
Πτολεμαίου με τον τίτλο Al-Majisti.

15.  Ο Al-Battani χρησιμοποίησε εκτός από το ινδικό ημίτονο και το ημίτονο
συμπληρωματικής γωνίας και έδωσε και τον μαθηματικό τύπο για το
μήκος της σκιάς ενός γνώμονα: l= h
 ο Al-Biruni κατάρτισε Πίνακα ημίτονων ανά 15'.
 Άραβες βελτίωσαν τις μεθόδους επίλυσης σφαιρικών τριγώνων,
διατύπωσαν έξυπνες πρακτικές λύσεις για το πρόβλημα Kibla και
ασχολήθηκαν με τα προβλήματα τεσσάρων και έξι μεγεθών.
 ο Abu Al Mafa ασχολήθηκε με τα έργα του Ευκλείδη
και του Διόφαντου.
 «Η αλήθεια μοιάζει με το νερό που παίρνει το σχήμα του δοχείου που το
περιέχει. » -Ιμπν Χαλντούν

16. 1ος – 8ος αιώνας μ.Χ.
 Συνέβαλλαν:
 Στη μελέτη της έννοιας τόσο του μηδενός αριθμού και των
αρνητικών αριθμών όσο και της αριθμητικής και της άλγεβρας.
 Στην δημιουργία των αναπτυγμάτων με σειρές για
τριγωνομετρικές συναρτήσεις του ημίτονου και συνημίτονου, τα
οποία συμπλήρωσαν την εφεύρεση του λογισμού και ανέπτυξαν
το πρώτο παράδειγμα δυναμοσειρών.
 Ινδοί μαθηματικοί: Αριαμπάτα, Βραχμαγκούπτα, Μαχαβίρα
(μαθηματικός), Μπχασκάρα Β΄, Μαντχάβα της Σανγαμάγκραμα
και Νιλακάνθα Σομαΐτζι.

17. 2ος -9ος αιώνας μ.Χ.
 Συνέβαλλαν:
 Στην αστρονομία και το ημερολόγιο.
 Στη χρήση δεκαδικού συστήματος για την ταξινόμηση αριθμών, οι
ράβδοι αριθμών χρησιμοποιήθηκαν για τους αριθμούς από 1-10 και
διαφορετικοί για τις δυνάμεις του δέκα.
 Ο Zu Chongzhi προσέγγισε τον αριθμό π κατά εφτά δεκαδικά ψηφία και
έθεσε τις βάσεις για τη μεταγενέστερη Αρχή του Cavaliery.
 Η «Υψηλή οπτική των τεσσάρων στοιχείων» έργο του Chu Shih chieh
βοήθησε στην επίλυση εξισώσεων.
 Οι ‘μαγικοί’ κύκλοι και τετράγωνα από τον Yang Hui.

19. O Aλ Χουαρίζμι (780-850) ήταν Πέρσης:
 Μαθηματικός
 Γεωγράφος
 Αστρονόμος
Γεννήθηκε στο Χουαρέζμ (σημερινό Ουζμπεκιστάν)
Ο Αλ Χουαρίζμι μετέφραζε Ελληνικά και Σανσκριτικά
επιστημονικά χειρόγραφα.

20. Δημιούργησε τις βάσεις στην Άλγεβρα και στην
τριγωνομετρία, για αυτό και θεωρείται ο «πατέρας» της
Άλγεβρας (μαζί με τον Διόφαντο).
Αιτία της διάδοσης του Ινδικού αριθμητικού συστήματος
ήταν το βιβλίο που έγραψε γύρω στο 825,
Υπολογισμός με Ινδικούς Αριθμούς.
Το βιβλίο του «Η εικόνα της γης» παρουσίαζε με
διορθωμένες τιμές, τις συντεταγμένες της Μεσογείου της
Ασίας και της Αφρικής .
Έγραψε για συσκευές όπως το ηλιακό ρολόι και ο
αστρολάβος.
Τον 12ο αιώνα εισήγαγε στην Λατινική Δύση τους
αραβικούς αριθμούς , οι οποίοι ήταν βασισμένοι στο
δεκαδικό σύστημα που αναπτύχθηκε από ινδικές πηγές.

21.  «Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό με Μεταφορά και
Απλοποίηση» . (830μ.Χ.)
Αλ-Κιταμπ αλ μουχτασαρ φι χισαμπ ΑΛ-ΤΖΑΜΠΡ
ουαλ-μουκα μπαλα ‫والمق‬ ‫الجبر‬ ‫حساب‬ ‫في‬ ‫المختصر‬ ‫الكتاب‬
Η λέξη ΑΛΓΕΒΡΑ προέρχεται από τον τίτλο του παραπάνω
βιβλίου
 «Το Βιβλίο της Πρόσθεσης και της Αφαίρεσης σύμφωνα με τους
Ινδικούς Υπολογισμούς» το οποίο αναφέρεται στην αριθμητική.
 Σχεδίασε διάφορους πίνακες ημίτονων, συνημίτονων και
εφαπτομένων στο Zīj al-Sindhind το οποίο περιλαμβάνει επίσης
116 πίνακες με αστρονομικά και ημερολογιακά δεδομένα και 37
κεφάλαια με αστρονομικούς και ημερολογιακούς υπολογισμούς.
 «Βιβλίο σχετικά με την εμφάνιση της Γης» ή «Η εικόνα της Γης».
Αναφέρεται στις συντεταγμένες 2402 πόλεων και σε άλλα
γεωγραφικά χαρακτηριστικά.(880 μ.Χ.)

23. •Fibonacci (1170- 1240) ήταν ιταλός μαθηματικός,
γεννήθηκε στην Πίζα και έζησε στη Μπεχαια (Αλγερία).
Διδάχτηκε σε σχολή λογιστικής και ταξίδεψε πλάι στον
πατέρα του.
Έγινε γνωστός από την ακολουθία …Fibonacci.
•Οι αριθμοί Fibonacci δημιουργούν την παρακάτω
ακολουθία
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144….
ή ολοκληρωμένα
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 …
Σύμφωνα με τον ορισμό οι 2 πρώτοι αριθμοί της
ακολουθίας είναι το 0, 1 και κάθε επόμενος είναι το
άθροισμα των 2 προηγούμενων.

24.  Χρυσή Τομή
Οι αριθμοί F σχετίζονται
και με την χρυσή τομή ή
χρυσή αναλογία .
Οι αριθμοί από το 5ο όρο
και μετά αν διαιρεθούν με
το προηγούμενο μας
δίνουν περίπου 1.618
 Η Ακολουθία
Fibonacci
παρουσιάζεται στο
βιβλίο του Liber
Abaci και εισήγαγε
την ακολουθία στα
Μαθηματικά της
Δυτικής Ευρώπης.
Το βιβλίο έγινε
ευρέως γνωστό
μετά την εφεύρεση
της τυπογραφίας.

25.  Το χαρακτηριστικό πείραμα που εφάρμοσε ο Fibonacci στη φύση
σχετίζεται με την αναπαραγωγή των κουνελιών.
Το ερώτημα που έθεσε είναι «Αν θεωρήσουμε ότι τα κουνέλια
ζευγαρώνουν στην ηλικία του ενός μήνα και ο χρόνος κυήσεως
είναι ένας μήνας, πόσα κουνέλια θα έχουμε σε έναν χρόνο αν
ξεκινήσουμε με ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών;»
Η ακολουθία στη φύση

26. Οι σπείρες είναι σχήματα που
εμφανίζονται στη φύση και έχουν σχέση με
την ακολουθία Fibonacci.
Για την κατασκευή μίας σπείρας
χρησιμοποιούμε μια διάταξη από
τετράγωνα με πλευρές 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, …. δηλαδή αριθμούς Fibonacci.

27.  η διακλάδωση των
φύλλων στα δέντρα
 το κέλυφος του
σαλιγκαριού
 Τα τριαντάφυλλα που
έχουν 13,21,34,55 και
89 πέταλα
 τα ηλιοτόπρια
 Οι γαλαξίες

29. Γεννήθηκε: το 1540 στο Βαντέ,
Βασίλειο της Γαλλίας
Πέθανε: στο Παρίσι το 1603
Ήταν: Γάλλος μαθηματικός
Ασχολήθηκε με: την νομική, μαθηματικά
και ιδιαίτερα με την Άλγεβρα
Είναι γνωστός για: την καθιέρωση
αλγεβρικού συμβολισμού

30. Κατορθώματα :
 Αρχικά αποκρυπτογράφησε
τον ισπανικό κώδικα της
αλληλογραφίας.
 Εξέφρασε τον αριθμό π με
τη βοήθεια ενός
απειρογινόμενου και τον
υπολόγισε με ακρίβεια
εννέα δεκαδικών ψηφίων,
βελτιώνοντας το σχετικό
αποτέλεσμα του Αρχιμήδη.
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
  
 

31.  Χρησιμοποίησε τα φωνήεντα για να εκφράσει
τις άγνωστες μεταβλητές και σύμφωνα για τις
γνωστές .
 Τέλος οι τύποι γνωστοί ως ‘τύποι του Βιετά’
οι οποίοι δίνουν πολλές σχέσεις μεταξύ των
ριζών και των συντελεστών ενός πολυωνύμου.
Ειδικά για το τριώνυμο είναι:
S P 
  
2 0, 0x x      

33. • Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός.
• Γεννήθηκε στην Τουρένη το1596 από πλούσια
οικογένεια.
• Εκπαιδεύτηκε σε Κολέγιο, ενώ μετά τις σπουδές
της Νομικής ακολούθησε η στρατιωτική του
θητεία (κατά την οποία πήρε μέρος σε μάχες).
• Το 1629 μετακόμισε στην Ολλανδία,
όπου αφοσιώθηκε εντελώς σε επιστημονικές
μελέτες και ειδικότερα στα μαθηματικά.
• 11 Φεβρουαρίου 1650 πεθαίνει
ο μεγάλος αυτός διανοητής στη Στοκχόλμη.

34.  Δημιούργησε τις βάσεις της Αναλυτικής Γεωμετρίας (μαζί με το
μαθηματικό Φερμά)
 Ήταν ο πρώτος που εισήγαγε την έννοια του μεταβλητού
μεγέθους και της μεταβλητής συνάρτησης
(Η διπλή μορφή της μεταβλητής καθόρισε την ενότητα της
γεωμετρίας και της άλγεβρας).
 Εισήγαγε τα σύμβολα x, y, z για τα μεταβλητά μεγέθη και τους
συντελεστές a, b, c, καθώς και τον τρόπο γραφής των δυνάμεων.
 Διατύπωσε τον κανόνα των σημείων για τον προσδιορισμό του
αριθμού των θετικών και των αρνητικών ριζών "καρτεσιανό
κανόνα".
 Έδειξε ότι η εξίσωση τρίτου βαθμού επιλύεται με τον
τετραγωνισμό και λύνεται με τη συνδρομή διαβήτη και κανόνα.
 Ασχολήθηκε με τη μελέτη της θεωρίας των συνόλων και έθεσε τις
αρχές της φυσικής και βιολογικής αιτιοκρατίας.

35.  "Λόγος περί της μεθόδου", που δημοσιεύτηκε
το 1637,
 "Στοχασμοί", δημοσιευμένο το 1641 στα
λατινικά,
 "Αρχές της Φιλοσοφίας", δημοσιευμένο το
1644 επίσης στα λατινικά,
 "Διατριβή για τα πάθη της ψυχής" (1649)
και το ατελείωτο έργο του
 "Κανόνες για την καθοδήγηση του
πνεύματος".
Τα άπαντα του εκδόθηκαν στο Παρίσι από το
1897 μέχρι το 1910 σε 12 τόμους.
Ακόμα έγραψε τα:

36. Η Γεωμετρία του Ντεκάρτ με τη μέθοδο του
συστήματος των συντεταγμένων που δημιούργησε
και με τον τρόπο κατασκευής των καθέτων και
εφαπτομένων στις επίπεδες καμπύλες, βοήθησε
σημαντικά το έργο των Νεύτωνα, Λάιμπνιτς, Όιλερ
και όλων των άλλων μεγάλων που ακολούθησαν
και άσκησε τεράστια επίδραση στην ανάπτυξη
των μαθηματικών.

37. Αποφθέγματα - Γνωμικά – Ρήσεις:
 Η ανάγνωση των καλών βιβλίων είναι σαν τη
συνομιλία με τους τελειότερους ανθρώπους του
παρελθόντος.
 Σκέπτομαι, άρα ζω.
 Στην προσπάθεια της έρευνας για την αλήθεια
είναι ανάγκη ν' αμφιβάλουμε για το καθετί, όσο
μπορούμε περισσότερο.
Θεμέλιο της φιλοσοφικής σκέψης του είναι η αμφιβολία , αφού οι
αισθήσεις συχνά παραπλανούν τον άνθρωπο. Εφόσον αμφισβητεί,
αναγκάζεται να σκέφτεται, άρα δικαιολογεί την ύπαρξή του ως
ανθρώπινο όν.

39.  Γεννήθηκε: 17 Αυγούστου 1601
 Πέθανε:12 Ιανουαρίου 1665
 Επάγγελμα: Νομικός
 Καταγωγή: Βασκική
 Ασχολήθηκε με: Τα μαθηματικά
ερασιτεχνικά από το 1629
 Γνώστης: Γαλλικών, Λατινικών, Αρχαίων
Ελληνικών, Ισπανικών, Ιταλικών και
πιθανόν της Βασκικής διαλέκτου

40. Έργο:
Συγγραφή κειμένων σχετικά με το μέγιστο και το
ελάχιστο των συναρτήσεων, τα οποία έδωσε στον
Ετιέν ντ’ Εσπανιέ.
Η εργασία του στην Αναλυτική Γεωμετρία κυκλοφόρησε
σε χειρόγραφη μορφή το 1636. Ακόμη σε ένα από τα
έργα του ο Φερμά αναπτύσσει μια μέθοδο
προσδιορισμού των ελάχιστων, μέγιστων και
εφαπτόμενων σε καμπύλες ποικίλων συναρτήσεων,
ισοδύναμη με αυτή του διαφορικού λογισμού.
Συνεργάστηκε με τον Πασκάλ. Το 1664 έθεσαν τα
βασικά θεμέλια της θεωρίας των πιθανοτήτων. Γι’
αυτό θεωρούνται σήμερα συνδημιουργοί της θεωρίας
των πιθανοτήτων.

41. Επινόησε:
 Μια τεχνική για τον εντοπισμό του κέντρου βάρους
πολλών επιπέδων και στερεών σωμάτων και
οδήγησε σε περισσότερες αναλύσεις επί των
ολοκληρωμάτων.
 Τύπο υπολογισμού του ολοκληρώματος ανάγοντας
το σε άθροισμα όρων γεωμετρικής προόδου που
αργότερα χρησίμευσε σε πολλούς επιστήμονες όπως
ο Νεύτωνας.
 Μέθοδο παραγοντοποίησης και την τεχνική της
‘κατάβασης εις άπειρο’, μια ειδική περίπτωση της
απαγωγής σε άτοπο, την οποία χρησιμοποίησε για
να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα για n=4.

42. Μελέτησε :
 Την ειδική περίπτωση της διοφαντικής εξίσωσης
που αποκλήθηκε ‘εξίσωση του Πελ’
 Τους τέλειους αριθμούς, τους ‘φιλικούς’ αριθμούς
και τους αριθμούς που θα γίνουν αργότερα γνωστοί
ως ‘αριθμοί του Φερμά’.
, όπου n είναι μη αρνητικός ακέραιος.
2
2 1
n
nF  
2 2
1x n y 

44.  Λογικολόγος
 Φιλόσοφος
 Μαθηματικός

45.  Γεννήθηκε το1834.
 Πέθανε το 1923 από άγνωστα αίτια.
 Η εκπαίδευση του έγινε με ιδιαίτερα
μαθήματα μέχρι το 1853 που πήγε στο
Κολέγιο Γκόνβιλ και Κιζ του Κέμπριτζ.
 Το 1857 πήρε το πτυχίο του στα μαθηματικά
και έγινε μέλος του κολεγίου.
 Το 1862 επέστρεψε στο Κέμπριτζ ως
λέκτορας στην ηθική, ενώ μελέτησε και
δίδαξε λογική και θεωρία των πιθανοτήτων.

46.  Τα διαγράμματα Βενν επινοήθηκαν γύρω
στο 1880.
 Χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς,
όπως:
 θεωρία των συνόλων
 πιθανότητες
 λογική
 στατιστική
 πληροφορική

47. Το Διάγραμμα Venn είναι μια απεικόνιση
συνόλων.
Σε κάθε διάγραμμα Venn υπάρχουν:
 ένα ορθογώνιο που συμβολίζει το μεγαλύτερο
δυνατό σύνολο που μπορούμε να θεωρήσουμε,
ανάλογα με το τί θέλουμε να δείξουμε και
συμβολίζεται συνήθως με Ω ή U.
 Κλειστές γραμμές, συνήθως καμπύλες και
κύκλοι, όπου η επιφάνεια που περικλείουν
συμβολίζει το ίδιο το σύνολο.

48. Στο διάγραμμα Venn η κάθε επιφάνεια
που ορίζεται από οποιοδήποτε
συνδυασμό γραμμών συμβολίζει
ένα σύνολο.

50. Γεννήθηκε: 19 Ιουνίου 1623
στο Κλερμόν-Φεράν της Γαλλίας
Πέθανε: 19 Αυγούστου 1662,
Θεωρείται: ένας από τους σημαντικότερους
μαθηματικούς καθώς η συνεισφορά του
υπήρξε μεγάλη, ειδικά στους τομείς τις
Πιθανοθεωρίας και της Ρευστομηχανικής.
Ασχολήθηκε με: μαθηματικά, φιλοσοφία,
θεολογία, φυσική.
Παρά την απομάκρυνση όλων των βιβλίων
γεωμετρίας από το σπίτι από τον πατέρα του,
ο Πασκάλ ξεκίνησε σε ηλικία 12 ετών να
διαβάζει γεωμετρία μόνος του

51. Η "Πασκαλίνα" (εφεύρεση του Πασκάλ)
περιείχε μικρά γρανάζια, πάνω στα οποία
ήταν σημειωμένοι οι αριθμοί 1 μέχρι 10 και το
άθροισμα ή η αφαίρεση αντιστοιχίζονταν με
γωνίες περιστροφής. Όταν ένα γρανάζι έκανε
μια πλήρη περιστροφή, παρέσυρε το αμέσως
αριστερά του ευρισκόμενο γρανάζι και
μεταφερόταν έτσι το "κρατούμενο", π.χ. από
τις μονάδες στις δεκάδες κ.ο.κ.

52. Διατύπωσε τα εξής θεωρήματα:
1. Την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων,
συγκεκριμένα, όταν μέσα σε συγκοινωνούντα
δοχεία ισορροπεί ένα υγρό, όλα τα σημεία του
υγρού έχουν την ίδια πίεση και η ελεύθερη
επιφάνεια του σε όλα τα δοχεία βρίσκεται στο
ίδιο οριζόντιο επίπεδο.
2. Την Αρχή του Πασκάλ που είναι ένας από του
βασικούς νόμους της Υδροστατικής και καθορίζει
ότι η οποιαδήποτε πίεση που τυχόν μπορεί να
ασκηθεί στην επιφάνεια ενός υγρού μεταδίδεται
ομοιόμορφα εντός αυτού, προς όλες τις
διευθύνσεις και σε όλο το βάθος του.
3. Το τρίτο Θεώρημα του Πασκάλ, σύμφωνα με το
οποίο, τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών
εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (και
γενικότερα εγγεγραμμένου σε κωνική τομή) είναι
συγγραμμικά (επί ευθείας που ονομάζεται μια
ευθεία Pascal του εξαγώνου (η κόκκινη ευθεία στο
σχήμα)

53. Μια διάσημη μαθηματική του μελέτη
είναι το αριθμητικό του τρίγωνο,
γνωστό ως 'τρίγωνο του Πασκάλ'
όπου κάθε αριθμός από την τρίτη
γραμμή και κάτω, εκτός από τις
μονάδες, είναι το άθροισμα των
αριθμών της προηγούμενης γραμμής,
που είναι πιο κοντά του.
Ιδιότητες:
 Η πρώτη γραμμή έχει έναν
αριθμό, η δεύτερη γραμμή έχει
δυο αριθμούς, η τρίτη γραμμή
έχει τρεις αριθμούς, κ.ο.κ.
Η ν-οστή γραμμή έχει ν αριθμούς.
 Οι αριθμοί της ν-οστής γραμμής
είναι συντελεστές του
αναπτύγματος (α+β)ν
 Το άθροισμα των αριθμών κάθε
γραμμής είναι ίσο με μια δύναμη
του 2.
 Αν στο τρίγωνο του Πασκάλ
χρωματίσουμε τα πολλαπλάσια
του 2 σχηματίζονται ισόπλευρα
τρίγωνα

54. Αποφθέγματα Πασκάλ
 Η ιστορία της ανθρωπότητας θα ήταν
διαφορετική αν η μύτη της Κλεοπάτρας
είχε διαφορετικό σχήμα.
 Υπάρχουν μόνο δύο είδη ανθρώπων:
οι δίκαιοι,
που θεωρούν τον εαυτό τους αμαρτωλό,
και οι αμαρτωλοί,
που θεωρούν τον εαυτό τους δίκαιο
 Η μεγαλοσύνη του ανθρώπου βρίσκεται
στην ικανότητά του να σκέφτεται.
Μην προσπαθείς να προσθέσεις
χρόνια στη ζωή σου.
Πρόσθεσε ΖΩΗ στα χρόνια σου…

55. 2014-2015
HISTORY OF MATH