Tài liệu cung cấp các công thức về logarithm và ví dụ giải toán liên quan đến hàm số mũ và logarithm, giúp học sinh ôn thi đại học môn toán. Các công thức bao gồm các quy tắc cơ bản, ví dụ minh họa để áp dụng cũng như các bài toán thực tế để tính giá trị biểu thức. Nội dung được trình bày chi tiết và cụ thể để hỗ trợ việc học trực tuyến.

1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8311
3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log .log=m
a ab m b , (5)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có ( )log log .log
= ⇒ = =a a a
mb b m bm
b a b a a
Khi đó .log
log log .log= = ⇒am bm
a a ab a m b dpcm
Ví dụ 1:
( )
3 2
2 2 2 5 5 5
1
4 4
2 2 2
log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6
1 5
log 32 log 32 log 32
4 4
= = = =
= = =
Ví dụ 2:
42
23
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 6 .45 1
2log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81 log 4.
2 20 3
−
 
− + = − + = = = = − 
 
Ví dụ 3: 5 5 5 5 5 5 5 5
1 50 3
log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2.
2 2 3
− + = − + = = =
Ví dụ 4: Cho biết
1 3
log ;log
2 4
a ab c= = Tính giá trị của loga x với
a)
3 2
2 34
a b c
x
a bc
= ...............................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
b)
3 3
3
ab a bc
x
bc
= .....................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
Công thức 6:
1
log log=n aa
b b
n
, (6)
Chứng minh:
Đặt ( )log = ⇒ = ⇔ =n
y
n ny
a
b y a b a b
Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được :
1
log log log log= ⇔ = ⇒ =ny
a a a aa b ny b y b
n
hay
1
log log= ⇒n aa
b b dpcm
n
Ví dụ 1 :
1
2
5 1
5
22
2
22
2
1
log 16 log 16 log 16 2.4 8.
1
2
1
log 64 log 64 log 64 5.6 30.
1
5
= = = =
= = = =
Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log log=n
m
aa
m
b b
n
Ví dụ 2: ( ) ( ) ( )
( )3 1 3
3
1 11
34 4
5 2 2 25 2
5
3
9 11 114log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .
1 4 3 3
3
= = = = = =
Tài liệu bài giảng:
02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8312
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức
13 3 5
3
4
13
3
27
log 27 log
9
.
1 1
log log
81 3
 
+  
 
=
 
+  
 
A
Hướng dẫn giải:
( )
2
3 3 3 3
log 27 log 3 3 2= =
1
2
133
5
1 325
33 5
27 3 1 13 26
log log log 3 2. .
1 5 59
3
2
−
 
   = = = − = −     − 
1
2
13 3 5
4 3
3 43
3
13
3
27 26log 27 log 291 45log log 3 4.2log 3 8 .
81 8 4 51 1
log log
81 3
−
 
+   −
 
= = − = − → = = =
− + 
+  
 
A
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số)
log
log
log
= c
a
c
b
b
a
, (7)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có ( )log log log
log log log .log log
log
= ⇒ = = ⇒ = ⇒a ab b c
c c a c a
c
b
b a b a b a b dpcm
a
Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log log .log=a a cb c b
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng
log 1
log .
log log
= =b
a
b b
b
b
a a
Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho 2 2log 14 log 49 ?= → = =a A
b) Cho 15 25log 3 log 15 ?= → = =a B
Hướng dẫn giải:
a) Ta có ( )2 2 2 2log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1.= ⇔ = = + ⇒ = −a a a
Khi đó ( )2 2log 49 2log 7 2 1 .= = = −A a
b) Ta có
3
15
3 3
5
1 1
log 5 1
1 1
log 3
log 15 1 log 5
log 3
1
−
= − =
= ⇔ = = →
+  =
 −
a
a a
a a
a
a
( ) ( )
3
25
3 3
1 1
log 15 1 1
log 15 .
1log 25 2log 5 2 1 2 12
= = = = = → =
− − −
a aB B
a a a
a
Ví dụ 2: Cho log 3.a b = Tính
a) log .= b
a
b
A
a
b) log .= ab
b
B
a
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có
1
log 3 log .
3
= ⇒ =a bb a
a)
1 1 1 1
log log log
log log log log
log log
= = − = − = − =
    − −
      
   
b b b
b b a aa a a
b a
b
A b a
a b a b ab b
a a

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8313
1 1 1 1 3 1 3 1
.
21 2log log 2 3 2 3 2 3 21
3
− −
= − = − = → =
− − − − −−b a
A
a b
Cách khác: Ta có được 2
2
2
2
log
log 1 3 1
log log log
log 2 3 2log
a
a
bb b
aaa a a
b
bb b b aA
ba ba a
a
 
  
 
  − −
= = = = = =   − − 
b)
1 1 1 1
log . log log
log log log log log log
= = − = − = − =
+ +ab ab ab
b b ba a a
b
B b a
a ab ab a b a b
1 1 1 1 2 3 1 2 3 1
.
1 1 1 11 log 1 3 3 1 3 1log
2 2 22 3
− −
= − = − = → =
+ + + ++ +a
b
B
ba
Cách khác: Ta có
( )
2
2
2 2 log
2log 1 2 3 1
log log log .
log 1 log 1 3
a
a
abab ab
a a
b
bb b b aB
a ab ba a
−  −
= = = = = = 
+ + 
Ví dụ 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 24 2
81 25 .49
− 
+ 
 
b)
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5 2
16 4
+
+
+
c)
7 7
3
1
log 9 log 6 log 42
72 49 5
− − 
+ 
 
d) 6 9log 5 log 361 lg 2
36 10 3−
+ −
Hướng dẫn giải:
a) ( )
3
9 39125 7 5 7
1 1 1 1log 4 2log 24 log 4log 8 log 2 2log 24 2 4 281 25 .49 3 5 7
 − − 
 
   
+ = +   
  
5
3 7
1
2 .3log 2
1 log 4 log 43
3
3 5 7 4 4 19
4
−   
= + = + =   
  
b) ( )2 5
4 2 54
1
log 3 3log 5 2 1 log 5 log 3 6log 51 log 5 62
16 4 4 2 16.25 3.2 592
+ + ++
+ = + = + =
c) ( )7 7
5 7 7 5
1
log 9 log 6 log 4 log 9 2log 6 2log 42
9 1
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
− − − −   
+ = + = + = +   
  
4,5=22,5
d) 6 9 6log 5 log 36 log 251 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30−
+ − = + = + =
Ví dụ 4: Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) 9 9 9log 15 log 18 log 10A = + − b) 3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B = − +
c) 36 1
6
1
log 2 log 3
2
C = − d) ( )1 3 2
4
log log 4.log 3D =
Hướng dẫn giải:
a) 3 3
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A = + − = = = =
b) 2 43
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
 
= − + = = = − = − 
 
c) 36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C = − = + = =
d) ( ) ( ) ( )1 3 2 4 2 3 4 2 2
4
1 1
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
2 2
D = = − = − = − = −
Ví dụ 5: Hãy tính :
a. ( )
2 3 4 2011
1 1 1 1
.......... 2011!
log log log log
A x
x x x x
= + + + + =
b. Chứng minh :
+ ( )ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8314
+
( )
2
11 1 1
.........
log log log 2logka aa a
k k
x x x x
+
+ + + =
Hướng dẫn giải:
a)
2 3 4 2011
1 1 1 1
.......... log 2 log 3 ... log 2011 log 1.2.3...2011 log 2011!
log log log log
x x x x xA
x x x x
= + + + + = + + + = =
Nếu x = 2011! Thì A= ( )2011!log 2011! 1=
b) Chứng minh : ( )ax
log log
log
1 log
a a
a
b x
bx
x
+
=
+
Ta có ax
log log log
log
log ax 1 log
a a a
a a
bx b x
bx
x
+
= = ⇒
+
đpcm.
Chứng minh :
( )
2
11 1 1
.........
log log log 2logka aa a
k k
x x x x
+
+ + + =
( )
( )2 1
log log ...log 1 2 3 ... log
2log
k
x x x x
a
k k
VT a a a k a VP
x
+
= + + = + + + + = =
Ví dụ 6: Chứng minh rằng :
a) Nếu : 2 2 2
; 0, 0, 0, 1a b c a b c c b+ = > > > ± ≠ , thì log log 2log .logc b c b c b c ba a a a+ − + −+ =
b) Nếu 0<N 1≠ thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
( )
log log log
, , 1
log log log
a a b
c b c
N N N
a b c
N N N
−
= ≠
−
c) Nếu log ,log ,logx y za b c tạo thành cấp số cộng (theo thứ tự đó) thì
2log .log
log
log log
a c
b
a c
x z
y
x z
=
+
d) Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn : 2 2
7a b ab+ = . Chứng minh :
ln ln
ln
3 2
a b a b+ +
=
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết ( )( ) ( ) ( )2 2 2
2 log loga aa c b c b c b c b c b= − = − + ⇒ = − + +
1 1
2 2log .log log log
log log
c b c b c b c b
c b c b
a a a a
a a
− + + −
− +
⇔ = + ⇔ = +
b) Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : 2
b ac=
Lấy logarith cơ số N hai vế ta được
1 1 1 1
2log log log
log log log log
N N N
b a c b
b a c
N N N N
= + ⇔ − = −
log log log log log log log
log .log log .log log log log
a b b c a a b
a b c b c b c
N N N N N N N
N N N N N N N
− − −
⇔ = ⇔ =
−
. ( đpcm )
c) Nếu log ,log ,logx y za b c tạo thành cấp số cộng thì log log 2logx z ya c b+ =
2log .log1 1 2
log
log log log log log
a c
b
a c b a c
x z
y
x z y x z
⇔ + = ⇔ =
+
d) Nếu : ( )
2
22 2 ln ln
7 9 ln
3 3 2
a b a b a b
a b ab a b ab ab
+ + + 
+ = ⇒ + = ⇔ = ⇒ = 
 
.
Ví dụ 7: Tính
a. 6log 16A = . Biết : 12log 27 x=
b. 125log 30B = . Biết : lg3 ;lg2a b= =
c. 3log 135C = . Biết: 2 2log 5 ;log 3a b= =
d. 6log 35D = . Biết : 27 8 2log 5 ;log 7 ;log 3a b c= = =
e. Tính : 49log 32 . Biết : 2log 14 a=
Hướng dẫn giải:
a) 6log 16A = . Từ : 3
12 3 3
3 3
log 27 3 3 3 3
log 27 log 4 1 log 2
log 12 1 log 4 2
x x
x x
x x x
− −
= ⇔ = = ⇒ = − = ⇔ =
+
(*)

5. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8315
Do đó :
4
3 3
6
3 3
log 2 4log 2
log 16
log 6 1 log 2
A = = =
+
. Thay từ (*) vào ta có : A=
( )
( )
2 3 .2 12 4
3 3
x x x
x x x
− −
=
+ +
c) Từ : 3 2
3 3 3
2
log 5 3
log 135 log 5.3 log 5 3 3 3
log 3
a a b
C
b b
+
= = = + = + = + =
d) Ta có : 27 3 3 8 2 2
1 1
log 5 log 5 log 5 3 ; log 7 log 7 log 7 3
3 3
a a b b= = ⇒ = = = → = (*)
Suy ra :
( )2 3 22 2 2
6
2 2 2
3 1log 3.log 5 log 7log 5.7 log 5 log 7 .3 3
log 35
log 2.3 1 log 3 1 log 3 1 1
b ab a b
D
b b
+++ +
= = = = = =
+ + + +
e) Ta có : 2 2 2log 14 1 log 7 log 7 1a a a= ⇔ + = ⇒ = −
Vậy :
( )
5
2
49 2
2 2
log 2 5 5
log 32
log 7 2log 7 2 1a
= = =
−
Ví dụ 8: Rút gọn các biểu thức
a) ( )( )log log 2 log log log 1a b a ab bA b a b b a= + + − −
b) ( ) ( )2log log 12 2 4
2 2 2
1
log 2 log log
2
x x
B x x x x+
= + +
c) ( )log log 2 log log loga p a ap aC p a p p p= + + −
Hướng dẫn giải:
a) ( )( ) ( )
2
log 1
log log 2 log log log 1 1 log 1
log
a
a b a ab b ab
a
b
A b a b b a a
b
 +
= + + − − = − − = 
 
2 2 2
log 1 log log 1 log 1 log1
1 1 1 1 1
log log log 1 log log 1 log
a a a a a
a a a a a a
b a b b b
b ab b b b b
           + + +
− − = − − = −           
+ +           
log 1 1
1 log
log log
a
b
a a
b
a
b b
+
= − = =
b) ( ) ( )
( )( ) ( )2
2log log 12 2 4
2 2 2 2 2 2 2
1 1
log 2 log log 1 2log log log 1 4log
2 2
x x
B x x x x x x x x+
= + + = + + + + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 21 3log log 8 log 9 log 3log 1x x x x x= + + + = + +
c) ( ) ( )
2
2
log 1 log
log log 2 log log log log log
log 1 log
a a
a p a ap a a a
a a
p p
C p a p p p p p
p p
+  
= + + − = − = 
+ 
( )
( )
2 3log 1 log
log log
log 1 log
a a
a a
a a
p p
p p
p p
+  
= = 
+ 
Ví dụ 9: Chứng minh rằng
a) ( ) ( )
1
log 3 log2 log log
2
a b a b− − = + với : 2 2
3 0; 9 10a b a b ab> > + =
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
+ 2 2
log loga a
b c
c b
=
+ log .log .log 1a b cb c a =
+ Trong ba số : 2 2 2
log ;log ;loga b c
b c a
c a b
b c a
luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Hướng dẫn giải:
a) Từ giả thiết ( )
22 2 2 2
3 0; 9 10 6 9 4 3 4a b a b ab a ab b ab a b ab> > + = ⇔ − + = ⇔ − =
Ta lấy log 2 vế : ( ) ( ) ( )
1
2log 3 2log2 log log log 3 log2 log log
2
a b a b a b a b− = + + ⇔ − − = +
b) Chứng minh : 2 2
log loga a
b c
c b
= .
* Thật vậy :
1 2
2 2
log log log log log loga a a a a a
b c c b c c
c b b c b b
−
   
= = − ⇒ = − =   
   

6. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.8316
* log .log .log 1 log .log log 1a b c a b ab c a b a a= ⇔ = =
* Từ 2 kết quả trên ta có
2
2 2 2
log log log log .log log 1a b c a b c
b c a b c a
c a b b c a
b c a c a b
 
= = 
 
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Ví dụ 10: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 36
log 3.log 36 ......................................................................=
b) 43
log 8.log 81 ......................................................................=
c) 3
2 25
1
log .log 2 .................................................................
5
=
Ví dụ 11: Cho log 7.a b = Tính
a)
3
log .= a b
a
A
b
b) 3 2
log .= b
a
B ab
Ví dụ 12: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho 325 2 5
49
log 7 ; log 5 log ?
8
= = → = =a b P
b) Cho log 2 log ?= → = =ab ab
b
a Q
a
Công thức 8: log log
=b bc a
a c , (8)
Chứng minh:
Theo công thức (7): ( )
loglog log .log log log log
log log .log= ⇒ = ⇔ = = ⇒
b
b b a b a b
ac a c c c a
b b ac a c a a a a c dpcm
Ví dụ 1: ( ) 2
7 7 2
1
log 27
log 2 log 49 log 22 2
49 2 2 4; 2 27 27 3 3...= = = = = =
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3
6 9
log 4log 5 log 36
36 3 3 ..........................................................................................................A = + − =
b)
23
3
log 32 log 2
log 4
3 .4
.............................................................................................................................
27
B
−
= =
c) 3 9 9log 5 log 36 4log 7
81 27 3 .........................................................................................................C = + + =