Tài liệu hướng dẫn giải các bài tập liên quan đến phương trình và bất phương trình logarithm. Nội dung chủ yếu tập trung vào việc phân tích điều kiện tồn tại và chứng minh nghiệm của từng bài toán. Các phương pháp giải được trình bày rõ ràng và có hệ thống, phục vụ cho việc ôn tập cho kỳ thi.

1. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________
Hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
Câu a:
+txđ: x 2 − 5x + 6 > 0
x −1
>0 ⇔ 1< x < 2 ; x > 3
2
x–3 ≠0
x −1 ( x − 1) x − 3
+ (1) ⇔ log3 ( x 2 − 5 x + 6) = log3 + log3 x − 3 = log3 ⇔
2 2
⇔ 2( x − 2)( x − 3) = ( x − 1) x − 3 (2)
5
+ nếu 1 <x <2: (2) ⇔ 2( x − 2)( x − 3) = −( x − 1)( x − 3) ⇔ x =
3
+ nếu x >3: (2) ⇔ 2( x − 2)( x − 3) = 9 x − 1)( x − 3) ⇔ x = 3 loại
5
+ Kết luận pt có nghiệm x =
3
Câu b:
+ điều kiện 2x +1 − 3 > o (*)
+ pt tương đương: log2 ( 4 x + 4 ) = log2 2x + log2 (2x +1 − 3) = log2 2x (2x +1 − 3)
⇔ 4 x − 22x − 4 = 0 ⇔ 2x = t > 0 thì: t 2 − 2t − 4 = 0 t =-1 loại; t =4
Vậy 2 = 4 ⇔ x = 2 thoả mãn (*)
x
( )
Câu c: pt tương đương với: log2 2 x 2 − x + 2m − 4m 2 = log2 x 2 + mx − 2m 2 ( )
⇔ 2 x 2 − x + 2m − 4m 2 = x 2 + mx − 2m 2 (1)
x 2 + mx − 2m 2 > 0 (2)
+ (1) ⇔ x 2 − (m − 1)x + 2m − 2m 2 = 0 (3)
có 2 nghiệm: x1,2 = −m + 1 và 2m
⇒ x + x2 > 1 ⇔ ( −m + 1) + 4m > 1 ⇔
1
2 2 2 2
m<0 (*)
2
m>
5
+ từ (3) ⇔ x 2 − 2m 2 = (m + 1)x − 2m nên (2) trở thành
mx + (m + 1)x − 2m > 0 ⇔ (2m + 1)x − 2m > 0 (4)
với x = −m + 1 ⇒ (2m + 1)( −m + 1) − 2m > 0 ⇒ −2m − m + 1 > 0
2
1
-1<m< (*)(*)
2
Khi x=2m ⇒ thay vào (4): (2m + 1)2m − 2m > 0 ⇔ 4m 2 > 0 ⇒ m ≠ 0
2 1
Kết hợp với (*) và (*)(*) ta có -1 <m < 0; < m < thì yêu cầu của bài toán
5 2
được thoả mãn.
Bài 2: câu a
Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

2. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________
1
+ bpt tương đương: loga ( loga x)2 + loga (loga x) ≥ loga 2
2
2
1 
⇔ loga  loga x  loga x ≥ loga 2
 2 
 1 
⇔ log  loga3 x  ≥ loga 2 (*)
 a 
1
+ nếu 0 <a< 1 ⇒ (*) ⇔ 0 < loga3 x ≤ 2 ⇔ 0<loga x ≤ 2 ⇔ a2 ≤ x < 1
4
+nếu a > 1 ⇒ (*) ⇔ loga x ≥ 8 ⇔ loga x ≥ 2 ⇒ x ≥ a2
+ kết luận 0 <a < 1 bpt có nghiệm a2 ≤ x < 1
a >1 bpt có nghiệm x ≥ a 2
Câu b:
+điều kiện: x >0
x2 + 3 > x2 + 1 ⇔ x2 < 1⇒ 0 < x < 1
+ với 0 <x <1 ⇒ x 2 + 3 − x 2 − 1 < 1 + 3 − 1 = 1
⇒ log2 ( )
x 2 + 3 − x 2 − 1 < log2 1 = 0 và log2 x<log21=0 ⇒
VT < 0 ⇒ nghiệm của bpt 0 <x <1
Bµi 27: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh – bÊt
ph−¬ng tr×nh l«garÝt (tiÕp theo)
3. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
a. VÝ dô 1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau
α. xlgx = 10 2 lg
2
x − 3 lg x + 2
β. Log x x2 – 14log16xx3 + 40log4x x = 0
2
γ. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh: log 2 x + log 1 x 2 − 3 = m(log4x2 – 3) cã nghiÖm x ∈
2
2
[32,+∞).
Gi¶i: C©u α: §æi sang c¬ sè 2.
1
40. log 2 x
2 log 2 x 14.3 log 2 x 2
+ − + =0
log 2 x − 1 4 + log 2 x 2 + log 2 x
Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

3. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________
2t 42t 20t
+ §Æt log2x = t ⇒ Ph−¬ng tr×nh: − + =0
t −1 4 + t 2 + t
§iÒu kiÖn: t ≠ 1; -2 ; -4
1
⇔ -10t (2t2 – 3t – 2) = 0 ⇔ t = 0; t = - ; t = 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn.
2
1 1
+ t = 0 ⇒ x =1; t = - ⇒x= ; t = 2⇒ x = 4
2 2
1
KÕt qu¶: x = ; 1;4
2
C©u β: ®k: x > 0; lg ho¸ 2 vÕ ta cã
lg2x = 2lg2x –3lgx + 2 ⇔ lg2x – 3lgx + 2 = 0
+ §Æt lgx = t ⇒ t2 – 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1; t = 2
lg x = 1 ⇒ x = 10
⇒
lg x = 2 ⇒ x = 100
C©u y: §æi sang c¬ sè 2 ta cã
(γ) ⇔ log 2 x − 2 log 2 x − 3 = m(log2x-3) ®Æt log2x = t
2
⇔ t 2 − 2 t − 3 = m(t-3) theo ®iÒu kiÖn x ≥ 32 ⇒ t ≥ 5.
 m (t − 3 ) ≥ 0 (1)
⇔ 2
 t − 2 t − 3 = m (t − 3 ) (2 )
2 2
+ V× t ≥ 5 ⇒ t – 3 > 0 tõ (1) ⇒ m ≥ 0
+ (2) ⇔ (t+1)(t-3) = m2(t-3)2 ⇔ t+1 = m2(t-3)
3m 2 + 1
⇔t= theo yªu cÇu bµi to¸n t ≥ 5 ⇒
m2 −1
3m 2 + 1 6 − 2m 2
≥5⇔ ≥ 0 ⇔ 1 < m2 ⇔ 3 vµ do m ≥ 0.
m2 −1 m2 −1
⇔1<m≤ 3 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x ∈ [32;+∞)
b. VÝ dô 2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau:
Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

4. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________
∝. Logx2log2x2.log24x > 1
β. Log3(x+2) > logx29
γ. T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ∀x.
x 2 log 2 a 2 + log a 2
<1
− x 2 + 2x − 3
Gi¶i
1
C©u∝ : TX§ : x > 0; x ≠1; x ≠ ®æi sang c¬ sè 2.
2
+ Ta cã:
1 1
. >1 ®Æt log2x = t
log 2 x 1 + log 2 x
2+t 2 − t2
⇒- >1⇔ >0
t (1 + t ) t (t + 1)
2
⇒ - 2 < t < -1; 0 < t< 2 vËy - 2 < log2x < -1 ⇔ 2 < x < 2-1.
2
Vµ 0 < log2x < 2 ⇔1<x<2 .
 12 1
2 < x <
KÕt luËn nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
 2
1 < x < 2

2
x > −2
C©uβ: ®k:  ; ®æi ra c¬ sè 3 ta cã.
 x ≠ −1
2
log3(x+2) > ®Æt log3(x+2) = t.
log 3 (x + 2 )
2 t2 − 2
BÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh: t > ⇔ >0 ⇔ - 2 < t < 0; t > 2
t t
− 2 < lg x < 0 ⇔ 10 − 2
< x <1
+ lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh
lg > 2 ⇔ x > 10
2

C©u γ: + §iÒu kiÖn a > 0; a ≠ 1.
Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

5. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________
+ NhËn thÊy –x2 + 2x -3 < 0 víi ∀x v× a = -1; ∆’ = 1-3 < 0
+ VËy bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng: x2log2a2 + loga2 > -x2 + 2x – 3
1
−
1 2 1
⇔ x (2log2a + 1) = 0 ⇔ log2a = - ⇔ a = 2
2
=
2 2
1
Th× (1) trë thµnh : - 2x + + 3 > 0 ⇔ -2x + 1 > 0
log 2 a
1
x< kh«ng nghiÖm víi ∀x ⇒ kh«ng tho¶ m·n
2
2 log 2 a + 1 > 0
+ §Ó (1) tho¶ m·n víi ∀x ⇔ 
∆' = 1 − (2 log 2 a + 1)(log a 2 + 3) < 0
1
−
1 2 2
- Gi¶i: 2log2a + 1 > 0 ⇔ log2a > - ⇔ a > 2 =
2 2
- gi¶i: 1 – (2log2a + 1) (loga2 + 3) < 0 ®Æt log2a = t
1 
⇔ 1 – (2 t + 1)  + 3  < 0
t 
1 1
⇔ 1 – 2 – 6t - - 3 < 0 ⇔ 6t + 4 + > 0
t t
6t 2 + 4t + 1
⇔ >0 ⇔ t 0 ⇔ log2a > 0 ⇔ a > 1
t
KÕt hîp 2 kÕt qu¶: a> 1 vËy a > 1 th× bÊt ph−¬ng tr×nh ®óng ∀x.
4. Chó ý:
g(x ) > 0

a. Ta cã d¹ng ph−¬ng tr×nh: logg(x)[f(x)] = a ⇔ g(x ) ≠ 1

f (x ) = [g(x )]
a
VÝ dông gi¶i ph−¬ng tr×nh: logx+1(x2-x+1)2 = 2.
x + 1 > 0 x > −1
 
⇔ x + 1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 ⇔ x = 2.
 2  2
(x − x + 1) = (x + 1) (x + 2 ) (x − 2 x ) = 0
2 2 2 2
Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

6. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________
b. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh ta cã d¹ng: loga(f(x)) ≥ loga(g(x)) ⇔
(a − 1)[(f (x ) − g(x ))] ≥ 0

⇔ a > 0; a ≠ 1
f (x ) > 0; g(x ) > 0

§· ®−îc nªu nªn ë vÝ dông trong bµi «n tËp ®Çu tiªn (vÊn ®Ò tËp x¸c ®Þnh …
cña hµm sè)
VÝ dô: gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: log 3 x − x (3-x) > 1 = log 3 x − x (3x-x2)
2 2
0 < x < 3
3x − x 2 > 0 
 x ≠ 3 ± 5
3x − x ≠ 1
2

⇔ ⇔ 2
(3x − x − 1)(3 − x − 3x + x ) > 0
2 2
(x − 4x + 3)(− x 2 + 3x − 1) > 0
2
3 − x > 0
 
x < 3

3− 5 3+ 5
⇔ <x<1; <x<3;
2 2
5. Ph−¬ng ph¸p tham sè: Coi mét bé phËn cña Èn lµ tham sè:
a. VÝ dô 1 gi¶i ph−¬ng tr×nh sau.
(x+2)log32(x+1) + 4(x+1) log3(x+1) – 16 = 0
Gi¶i: §K x + 1 > 0 ⇒ x + 2 > 0 vËy
§Æt log3(x+1) = t ⇒ ph−¬ng tr×nh trë thµnh:
(x+2)t2 + 4(x+1)t – 16 = 0
∆’ = 4(x+1)2 + 16(x+2) = 4(x+3)2
− 2(x + 1) ± 2(x + 3) 4
⇒ t12 = = -4;
x+2 x+2
80
+ t = -4 ⇒ log3(x+1) = -4 ⇔ x = - > -1 tho¶ m·n
81
4 4
+t= ⇔ log3(x+1) = cã x = 2 lµ nghiÖm vµ log3(x+1) lµ hµm ®ång
x+2 x+2
4
biÕn; lµ hµm nghÞch biÕn nªn ph−¬ng tr×nh chØ cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = 2.
x+2
Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

7. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________
80
+ KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm x = - vµ x = 2
81
b. VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh sau: (x+1) log 2 x + (2x+5) log 1 x + 6 ≥ 0
1
2 2
Gi¶i: + §K x > 0 ⇒ log 1 x = -log2x vËy bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh ⇒
2
(x+1)log22x – (2x+5)log2x + 6 ≥ 0 ®Æt log2x = t
⇒ (x+1)t2 – (2x+5)t + 6 ≥ 0 ®Æt log2x = t
⇒ (x+1)t2 – (2x+5)t + 6 ≥ 0 do x > 0 ⇒ x + 1 > 0
⇒ Tam thøc vÕ tr¸i cña bÊt ph−¬ng tr×nh cã:
∆ = (2x+5)2 – 24(x+1) = (2x-1)2
2 x + 5 ± (2 x − 1) 3
t12 = = 2;
2(x + 1) x +1
3
+ BÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh: (x+1) (t-2) (t- ) ≥ 0.
x +1
⇔ (log2x-2)[(x+1)log2x-3] ≥ 0 (*)
+ Mµ log2x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 ⇒ dÊu c¶u log2x – 2 nh− dÊu cña x – 4 ⇒ thay log2x-
2 b»ng x –4
+ y = (x+1)log2x-3 cã y’ = log2x + (x+1)log2x – 3 cïng dÊu víi x – 2 ⇒ bpt (*)
x ≤ 2
t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ph−¬ng tr×nh (x-4)(x-2) ≥0 ⇔  kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x
 x≥4
>0
0 < x ≤ 2
+ KÕt luËn nghiÖm cña bpt lµ 
x ≥ 4
6. Ph−¬ng ph¸p chän: C¸ch lµm gièng nh− ph−¬ng ph¸p chän víi ph−¬ng tr×nh bÊt
ph−¬ng tr×nh mò
a. VÝ dô gi¶i ph−¬ng tr×nh: §K x > 5
lg(x2 – 6x + 5) = lg(x-1)+6-x
Gi¶i: ⇔ lg(x-1)(x-5) = lg(x-1) + 6-x
Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

8. www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________
⇔ lg(x-5) = 6-x
nhËn thÊy x = 6 lµ nghiÖm vµ lµ nghiÖm duy nhÊt v× hµm y = lg(x-5) ®ång biÕn khi
x > 5 (c¬ sè 10>1) vµ hµm y = 6-x lµ nghÞch biÕn v× a = -1 < 0 ⇒ 2 ®å thÞ chØ c¾t
nhau ®óng 1 lÇn.
7. Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh – bÊt ph−¬ng tr×nh sau:
1. log2x + 2log7x = 2+log2x.log7x
2. log4(x- x 2 − 1 ). log5(x+ x 2 − 1 ) = log20(x- x 2 − 1 )
3. xlog x+4 ≤ 32
2
4. log32(x+1) + (x-5)log3(x+1) – 2x + 6 = 0
log 2 x log 2 3
5. 3 +x = 6
6.2log3(câtg) = log2cosx
2
7. 6 log 6 x
+ x log 6 x
≤ 12
8. log5x = log7(x+2)
Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An