www.khoabang.com.vn                              LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________

                                     Hướng dẫn giải bài tập
Bài 1:
Câu a:
+txđ:        x 2 − 5x + 6 > 0
              x −1
                    >0                 ⇔ 1< x < 2 ; x > 3
                 2
              x–3 ≠0
                                       x −1                     ( x − 1) x − 3
+ (1) ⇔ log3 ( x 2 − 5 x + 6) = log3        + log3 x − 3 = log3                ⇔
                                        2                              2
⇔ 2( x − 2)( x − 3) = ( x − 1) x − 3               (2)
                                                                            5
+ nếu 1 <x <2: (2) ⇔ 2( x − 2)( x − 3) = −( x − 1)( x − 3) ⇔ x =
                                                                            3
+ nếu x >3: (2) ⇔ 2( x − 2)( x − 3) = 9 x − 1)( x − 3) ⇔ x = 3 loại
                                       5
+ Kết luận pt có nghiệm x =
                                       3
Câu b:
+ điều kiện 2x +1 − 3 > o (*)
+ pt tương đương: log2 ( 4 x + 4 ) = log2 2x + log2 (2x +1 − 3) = log2 2x (2x +1 − 3)
⇔ 4 x − 22x − 4 = 0 ⇔ 2x = t > 0 thì: t 2 − 2t − 4 = 0 t =-1 loại; t =4
Vậy 2 = 4 ⇔ x = 2 thoả mãn (*)
       x


                                               (                  )
Câu c: pt tương đương với: log2 2 x 2 − x + 2m − 4m 2 = log2 x 2 + mx − 2m 2    (       )
⇔       2 x 2 − x + 2m − 4m 2 = x 2 + mx − 2m 2          (1)
         x 2 + mx − 2m 2 > 0                                (2)
+ (1) ⇔ x 2 − (m − 1)x + 2m − 2m 2 = 0                    (3)
có 2 nghiệm:               x1,2 = −m + 1       và 2m
    ⇒ x + x2 > 1 ⇔ ( −m + 1) + 4m > 1 ⇔
        1
         2     2                 2         2
                                                          m<0     (*)
                                                                        2
                                                                  m>
                                                                        5
+ từ (3) ⇔ x 2 − 2m 2 = (m + 1)x − 2m nên (2) trở thành
    mx + (m + 1)x − 2m > 0 ⇔ (2m + 1)x − 2m > 0    (4)
với x = −m + 1 ⇒ (2m + 1)( −m + 1) − 2m > 0 ⇒ −2m − m + 1 > 0
                                                 2


         1
-1<m<         (*)(*)
         2
Khi x=2m ⇒ thay vào (4): (2m + 1)2m − 2m > 0 ⇔ 4m 2 > 0 ⇒ m ≠ 0
                                                         2      1
Kết hợp với (*) và (*)(*) ta có -1 <m < 0;                 < m < thì yêu cầu của bài toán
                                                         5      2
được thoả mãn.
Bài 2: câu a


                                           Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
www.khoabang.com.vn                              LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________

                                                1
+ bpt tương đương: loga ( loga x)2 + loga (loga x) ≥ loga 2
                                                2
                           2
        1      
⇔ loga  loga x  loga x ≥ loga 2
         2     
       1       
⇔ log  loga3 x  ≥ loga 2        (*)
       a       
                                1
+ nếu 0 <a< 1 ⇒ (*) ⇔ 0 < loga3 x ≤ 2 ⇔ 0<loga x ≤ 2 ⇔ a2 ≤ x < 1
                                4
+nếu a > 1 ⇒ (*) ⇔ loga x ≥ 8 ⇔ loga x ≥ 2 ⇒ x ≥ a2
+ kết luận                     0 <a < 1 bpt có nghiệm a2 ≤ x < 1
                               a >1     bpt có nghiệm x ≥ a 2
Câu b:
+điều kiện:                              x >0
                                             x2 + 3 > x2 + 1 ⇔ x2 < 1⇒ 0 < x < 1
+ với 0 <x <1 ⇒ x 2 + 3 − x 2 − 1 < 1 + 3 − 1 = 1
⇒ log2   (                               )
             x 2 + 3 − x 2 − 1 < log2 1 = 0 và log2 x<log21=0 ⇒

VT < 0 ⇒ nghiệm của bpt 0 <x <1
    Bµi 27: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh – bÊt
                               ph−¬ng tr×nh l«garÝt (tiÕp theo)


3. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
a. VÝ dô 1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau
α. xlgx = 10 2 lg
                    2
                        x − 3 lg x + 2



β. Log x x2 – 14log16xx3 + 40log4x x = 0
         2



γ. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh:                           log 2 x + log 1 x 2 − 3 = m(log4x2 – 3) cã nghiÖm x ∈
                                                        2
                                                                2


[32,+∞).
Gi¶i: C©u α: §æi sang c¬ sè 2.
                                1
                            40. log 2 x
   2 log 2 x 14.3 log 2 x       2
+            −            +              =0
  log 2 x − 1 4 + log 2 x    2 + log 2 x


                                                       Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
www.khoabang.com.vn                              LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________

                                       2t   42t   20t
+ §Æt log2x = t ⇒ Ph−¬ng tr×nh:           −     +      =0
                                      t −1 4 + t 2 + t
§iÒu kiÖn: t ≠ 1; -2 ; -4
                                        1
⇔ -10t (2t2 – 3t – 2) = 0 ⇔ t = 0; t = - ; t = 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn.
                                        2
                         1     1
+ t = 0 ⇒ x =1; t = -      ⇒x=    ; t = 2⇒ x = 4
                         2      2
                1
KÕt qu¶: x =         ; 1;4
                 2

               C©u β: ®k: x > 0; lg ho¸ 2 vÕ ta cã

               lg2x = 2lg2x –3lgx + 2 ⇔ lg2x – 3lgx + 2 = 0
               + §Æt lgx = t ⇒ t2 – 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1; t = 2
                lg x = 1 ⇒ x = 10
               ⇒
                lg x = 2 ⇒ x = 100
               C©u y: §æi sang c¬ sè 2 ta cã
               (γ) ⇔     log 2 x − 2 log 2 x − 3 = m(log2x-3) ®Æt log2x = t
                             2



               ⇔      t 2 − 2 t − 3 = m(t-3) theo ®iÒu kiÖn x ≥ 32 ⇒ t ≥ 5.

                 m (t − 3 ) ≥ 0                (1)
               ⇔ 2
                 t − 2 t − 3 = m (t − 3 )      (2 )
                                 2         2




               + V× t ≥ 5 ⇒ t – 3 > 0 tõ (1) ⇒ m ≥ 0
               + (2) ⇔ (t+1)(t-3) = m2(t-3)2 ⇔ t+1 = m2(t-3)
                       3m 2 + 1
               ⇔t=              theo yªu cÇu bµi to¸n t ≥ 5 ⇒
                        m2 −1
               3m 2 + 1     6 − 2m 2
                        ≥5⇔          ≥ 0 ⇔ 1 < m2 ⇔ 3 vµ do m ≥ 0.
                m2 −1        m2 −1
               ⇔1<m≤           3 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x ∈ [32;+∞)
               b. VÝ dô 2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau:
                                     Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
www.khoabang.com.vn                              LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________

              ∝. Logx2log2x2.log24x > 1

             β. Log3(x+2) > logx29
             γ. T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ∀x.
              x 2 log 2 a 2 + log a 2
                                      <1
                  − x 2 + 2x − 3
              Gi¶i
                                   1
C©u∝ : TX§ : x > 0; x ≠1; x ≠        ®æi sang c¬ sè 2.
                                   2
+ Ta cã:
  1          1
       .            >1             ®Æt log2x = t
log 2 x 1 + log 2 x
       2+t          2 − t2
⇒-              >1⇔           >0
     t (1 + t )     t (t + 1)
                                                               2
⇒ - 2 < t < -1; 0 < t<     2 vËy - 2 < log2x < -1 ⇔ 2 < x < 2-1.
                                    2
Vµ 0 < log2x <    2 ⇔1<x<2 .
                                  12         1
                                 2 < x <
KÕt luËn nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
                                             2
                                 1 < x < 2
                                 
                                            2




                       x > −2
             C©uβ: ®k:         ; ®æi ra c¬ sè 3 ta cã.
                        x ≠ −1
                                  2
             log3(x+2) >                  ®Æt log3(x+2) = t.
                           log 3 (x + 2 )
                               2  t2 − 2
BÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh: t > ⇔        >0 ⇔ - 2 < t < 0; t >            2
                               t     t
 − 2 < lg x < 0 ⇔ 10 −     2
                                < x <1
+                                       lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh
 lg > 2 ⇔ x > 10
                   2
 
C©u γ: + §iÒu kiÖn a > 0; a ≠ 1.

                                    Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
www.khoabang.com.vn                              LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________

+ NhËn thÊy –x2 + 2x -3 < 0 víi ∀x v× a = -1; ∆’ = 1-3 < 0
+ VËy bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng: x2log2a2 + loga2 > -x2 + 2x – 3
                                                     1
                                                 −
                                1                    2       1
⇔ x (2log2a + 1) = 0 ⇔ log2a = - ⇔ a = 2
     2
                                                         =
                                2                             2
                               1
Th× (1) trë thµnh : - 2x +           + 3 > 0 ⇔ -2x + 1 > 0
                             log 2 a
     1
x<     kh«ng nghiÖm víi ∀x ⇒ kh«ng tho¶ m·n
     2
                           2 log 2 a + 1 > 0
+ §Ó (1) tho¶ m·n víi ∀x ⇔ 
                           ∆' = 1 − (2 log 2 a + 1)(log a 2 + 3) < 0
                                                     1
                                                 −
                                  1                  2        2
- Gi¶i: 2log2a + 1 > 0 ⇔ log2a > - ⇔ a > 2               =
                                  2                          2
- gi¶i: 1 – (2log2a + 1) (loga2 + 3) < 0 ®Æt log2a = t
                1    
⇔ 1 – (2 t + 1)  + 3  < 0
                t    
                 1                   1
⇔ 1 – 2 – 6t -     - 3 < 0 ⇔ 6t + 4 + > 0
                 t                   t
     6t 2 + 4t + 1
⇔                  >0 ⇔ t 0 ⇔ log2a > 0 ⇔ a > 1
           t
KÕt hîp 2 kÕt qu¶: a> 1 vËy a > 1 th× bÊt ph−¬ng tr×nh ®óng ∀x.
4. Chó ý:
                                                g(x ) > 0
                                                
a. Ta cã d¹ng ph−¬ng tr×nh: logg(x)[f(x)] = a ⇔ g(x ) ≠ 1
                                                
                                                f (x ) = [g(x )]
                                                                 a




VÝ dông gi¶i ph−¬ng tr×nh: logx+1(x2-x+1)2 = 2.
  x + 1 > 0                         x > −1
                                    
⇔ x + 1 ≠ 1                       ⇔ x ≠ 0                   ⇔ x = 2.
   2                                 2
  (x − x + 1) = (x + 1)             (x + 2 ) (x − 2 x ) = 0
              2          2                    2  2




                                    Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
www.khoabang.com.vn                              LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________

b. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh ta cã d¹ng: loga(f(x)) ≥ loga(g(x)) ⇔
  (a − 1)[(f (x ) − g(x ))] ≥ 0
  
⇔ a > 0; a ≠ 1
  f (x ) > 0; g(x ) > 0
  
        §· ®−îc nªu nªn ë vÝ dông trong bµi «n tËp ®Çu tiªn (vÊn ®Ò tËp x¸c ®Þnh …
cña hµm sè)
        VÝ dô: gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: log 3 x − x (3-x) > 1 = log 3 x − x (3x-x2)
                                                 2                     2




                                     0 < x < 3
 3x − x 2 > 0                       
                                    x ≠ 3 ± 5
 3x − x ≠ 1
         2
                                     
⇔                                  ⇔       2
 (3x − x − 1)(3 − x − 3x + x ) > 0
           2                 2
                                     (x − 4x + 3)(− x 2 + 3x − 1) > 0
                                        2

 3 − x > 0
                                    
                                     x < 3
                                     
    3− 5       3+ 5
⇔        <x<1;      <x<3;
      2          2
5. Ph−¬ng ph¸p tham sè: Coi mét bé phËn cña Èn lµ tham sè:
a. VÝ dô 1 gi¶i ph−¬ng tr×nh sau.
(x+2)log32(x+1) + 4(x+1) log3(x+1) – 16 = 0
Gi¶i: §K x + 1 > 0 ⇒ x + 2 > 0 vËy
§Æt log3(x+1) = t ⇒ ph−¬ng tr×nh trë thµnh:
(x+2)t2 + 4(x+1)t – 16 = 0
∆’ = 4(x+1)2 + 16(x+2) = 4(x+3)2
          − 2(x + 1) ± 2(x + 3)        4
⇒ t12 =                         = -4;
                 x+2                  x+2
                                         80
+ t = -4 ⇒ log3(x+1) = -4 ⇔ x = -           > -1 tho¶ m·n
                                         81
         4                 4
+t=         ⇔ log3(x+1) =     cã x = 2 lµ nghiÖm vµ log3(x+1) lµ hµm ®ång
        x+2               x+2
         4
biÕn;       lµ hµm nghÞch biÕn nªn ph−¬ng tr×nh chØ cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = 2.
        x+2
                                      Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
www.khoabang.com.vn                              LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________

                                                       80
+ KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm x = -           vµ x = 2
                                                       81
b. VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh sau: (x+1) log 2 x + (2x+5) log 1 x + 6 ≥ 0
                                                 1
                                                   2                 2


Gi¶i: + §K x > 0 ⇒ log 1 x = -log2x vËy bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh ⇒
                            2


(x+1)log22x – (2x+5)log2x + 6 ≥ 0 ®Æt log2x = t
⇒ (x+1)t2 – (2x+5)t + 6 ≥ 0 ®Æt log2x = t
⇒ (x+1)t2 – (2x+5)t + 6 ≥ 0 do x > 0 ⇒ x + 1 > 0
⇒ Tam thøc vÕ tr¸i cña bÊt ph−¬ng tr×nh cã:
∆ = (2x+5)2 – 24(x+1) = (2x-1)2
        2 x + 5 ± (2 x − 1)        3
t12 =                       = 2;
             2(x + 1)            x +1
                                                  3
+ BÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh: (x+1) (t-2) (t-        ) ≥ 0.
                                                x +1
⇔ (log2x-2)[(x+1)log2x-3] ≥ 0 (*)
+ Mµ log2x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 ⇒ dÊu c¶u log2x – 2 nh− dÊu cña x – 4 ⇒ thay log2x-
2 b»ng x –4
+ y = (x+1)log2x-3 cã y’ = log2x + (x+1)log2x – 3 cïng dÊu víi x – 2 ⇒ bpt (*)
                                                 x ≤ 2
t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ph−¬ng tr×nh (x-4)(x-2) ≥0 ⇔       kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x
                                                  x≥4
>0
                             0 < x ≤ 2
+ KÕt luËn nghiÖm cña bpt lµ 
                             x ≥ 4
6. Ph−¬ng ph¸p chän: C¸ch lµm gièng nh− ph−¬ng ph¸p chän víi ph−¬ng tr×nh bÊt
ph−¬ng tr×nh mò
a. VÝ dô gi¶i ph−¬ng tr×nh: §K x > 5
         lg(x2 – 6x + 5) = lg(x-1)+6-x
         Gi¶i: ⇔ lg(x-1)(x-5) = lg(x-1) + 6-x
                                   Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
www.khoabang.com.vn                              LuyÖn thi trªn m¹ng
_________________________________________________________________

                         ⇔ lg(x-5) = 6-x
nhËn thÊy x = 6 lµ nghiÖm vµ lµ nghiÖm duy nhÊt v× hµm y = lg(x-5) ®ång biÕn khi
x > 5 (c¬ sè 10>1) vµ hµm y = 6-x lµ nghÞch biÕn v× a = -1 < 0 ⇒ 2 ®å thÞ chØ c¾t
nhau ®óng 1 lÇn.
7. Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh – bÊt ph−¬ng tr×nh sau:
1. log2x + 2log7x = 2+log2x.log7x
2. log4(x- x 2 − 1 ). log5(x+ x 2 − 1 ) = log20(x- x 2 − 1 )
3. xlog x+4 ≤ 32
         2




4. log32(x+1) + (x-5)log3(x+1) – 2x + 6 = 0
       log 2 x          log 2 3
5. 3               +x                = 6
6.2log3(câtg) = log2cosx
           2
7. 6 log   6   x
                   + x log   6   x
                                     ≤ 12
8. log5x = log7(x+2)




                                            Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An

Bpt mu-logarit-2

  • 1.
    www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _________________________________________________________________ Hướng dẫn giải bài tập Bài 1: Câu a: +txđ: x 2 − 5x + 6 > 0 x −1 >0 ⇔ 1< x < 2 ; x > 3 2 x–3 ≠0 x −1 ( x − 1) x − 3 + (1) ⇔ log3 ( x 2 − 5 x + 6) = log3 + log3 x − 3 = log3 ⇔ 2 2 ⇔ 2( x − 2)( x − 3) = ( x − 1) x − 3 (2) 5 + nếu 1 <x <2: (2) ⇔ 2( x − 2)( x − 3) = −( x − 1)( x − 3) ⇔ x = 3 + nếu x >3: (2) ⇔ 2( x − 2)( x − 3) = 9 x − 1)( x − 3) ⇔ x = 3 loại 5 + Kết luận pt có nghiệm x = 3 Câu b: + điều kiện 2x +1 − 3 > o (*) + pt tương đương: log2 ( 4 x + 4 ) = log2 2x + log2 (2x +1 − 3) = log2 2x (2x +1 − 3) ⇔ 4 x − 22x − 4 = 0 ⇔ 2x = t > 0 thì: t 2 − 2t − 4 = 0 t =-1 loại; t =4 Vậy 2 = 4 ⇔ x = 2 thoả mãn (*) x ( ) Câu c: pt tương đương với: log2 2 x 2 − x + 2m − 4m 2 = log2 x 2 + mx − 2m 2 ( ) ⇔ 2 x 2 − x + 2m − 4m 2 = x 2 + mx − 2m 2 (1) x 2 + mx − 2m 2 > 0 (2) + (1) ⇔ x 2 − (m − 1)x + 2m − 2m 2 = 0 (3) có 2 nghiệm: x1,2 = −m + 1 và 2m ⇒ x + x2 > 1 ⇔ ( −m + 1) + 4m > 1 ⇔ 1 2 2 2 2 m<0 (*) 2 m> 5 + từ (3) ⇔ x 2 − 2m 2 = (m + 1)x − 2m nên (2) trở thành mx + (m + 1)x − 2m > 0 ⇔ (2m + 1)x − 2m > 0 (4) với x = −m + 1 ⇒ (2m + 1)( −m + 1) − 2m > 0 ⇒ −2m − m + 1 > 0 2 1 -1<m< (*)(*) 2 Khi x=2m ⇒ thay vào (4): (2m + 1)2m − 2m > 0 ⇔ 4m 2 > 0 ⇒ m ≠ 0 2 1 Kết hợp với (*) và (*)(*) ta có -1 <m < 0; < m < thì yêu cầu của bài toán 5 2 được thoả mãn. Bài 2: câu a Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  • 2.
    www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _________________________________________________________________ 1 + bpt tương đương: loga ( loga x)2 + loga (loga x) ≥ loga 2 2 2 1  ⇔ loga  loga x  loga x ≥ loga 2  2   1  ⇔ log  loga3 x  ≥ loga 2 (*)  a  1 + nếu 0 <a< 1 ⇒ (*) ⇔ 0 < loga3 x ≤ 2 ⇔ 0<loga x ≤ 2 ⇔ a2 ≤ x < 1 4 +nếu a > 1 ⇒ (*) ⇔ loga x ≥ 8 ⇔ loga x ≥ 2 ⇒ x ≥ a2 + kết luận 0 <a < 1 bpt có nghiệm a2 ≤ x < 1 a >1 bpt có nghiệm x ≥ a 2 Câu b: +điều kiện: x >0 x2 + 3 > x2 + 1 ⇔ x2 < 1⇒ 0 < x < 1 + với 0 <x <1 ⇒ x 2 + 3 − x 2 − 1 < 1 + 3 − 1 = 1 ⇒ log2 ( ) x 2 + 3 − x 2 − 1 < log2 1 = 0 và log2 x<log21=0 ⇒ VT < 0 ⇒ nghiệm của bpt 0 <x <1 Bµi 27: Mét sè ph−¬ng ph¸p gi¶i ph−¬ng tr×nh – bÊt ph−¬ng tr×nh l«garÝt (tiÕp theo) 3. Ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô a. VÝ dô 1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau α. xlgx = 10 2 lg 2 x − 3 lg x + 2 β. Log x x2 – 14log16xx3 + 40log4x x = 0 2 γ. T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh: log 2 x + log 1 x 2 − 3 = m(log4x2 – 3) cã nghiÖm x ∈ 2 2 [32,+∞). Gi¶i: C©u α: §æi sang c¬ sè 2. 1 40. log 2 x 2 log 2 x 14.3 log 2 x 2 + − + =0 log 2 x − 1 4 + log 2 x 2 + log 2 x Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  • 3.
    www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _________________________________________________________________ 2t 42t 20t + §Æt log2x = t ⇒ Ph−¬ng tr×nh: − + =0 t −1 4 + t 2 + t §iÒu kiÖn: t ≠ 1; -2 ; -4 1 ⇔ -10t (2t2 – 3t – 2) = 0 ⇔ t = 0; t = - ; t = 2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trªn. 2 1 1 + t = 0 ⇒ x =1; t = - ⇒x= ; t = 2⇒ x = 4 2 2 1 KÕt qu¶: x = ; 1;4 2 C©u β: ®k: x > 0; lg ho¸ 2 vÕ ta cã lg2x = 2lg2x –3lgx + 2 ⇔ lg2x – 3lgx + 2 = 0 + §Æt lgx = t ⇒ t2 – 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1; t = 2 lg x = 1 ⇒ x = 10 ⇒ lg x = 2 ⇒ x = 100 C©u y: §æi sang c¬ sè 2 ta cã (γ) ⇔ log 2 x − 2 log 2 x − 3 = m(log2x-3) ®Æt log2x = t 2 ⇔ t 2 − 2 t − 3 = m(t-3) theo ®iÒu kiÖn x ≥ 32 ⇒ t ≥ 5.  m (t − 3 ) ≥ 0 (1) ⇔ 2  t − 2 t − 3 = m (t − 3 ) (2 ) 2 2 + V× t ≥ 5 ⇒ t – 3 > 0 tõ (1) ⇒ m ≥ 0 + (2) ⇔ (t+1)(t-3) = m2(t-3)2 ⇔ t+1 = m2(t-3) 3m 2 + 1 ⇔t= theo yªu cÇu bµi to¸n t ≥ 5 ⇒ m2 −1 3m 2 + 1 6 − 2m 2 ≥5⇔ ≥ 0 ⇔ 1 < m2 ⇔ 3 vµ do m ≥ 0. m2 −1 m2 −1 ⇔1<m≤ 3 th× ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x ∈ [32;+∞) b. VÝ dô 2: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau: Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  • 4.
    www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _________________________________________________________________ ∝. Logx2log2x2.log24x > 1 β. Log3(x+2) > logx29 γ. T×m a ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ∀x. x 2 log 2 a 2 + log a 2 <1 − x 2 + 2x − 3 Gi¶i 1 C©u∝ : TX§ : x > 0; x ≠1; x ≠ ®æi sang c¬ sè 2. 2 + Ta cã: 1 1 . >1 ®Æt log2x = t log 2 x 1 + log 2 x 2+t 2 − t2 ⇒- >1⇔ >0 t (1 + t ) t (t + 1) 2 ⇒ - 2 < t < -1; 0 < t< 2 vËy - 2 < log2x < -1 ⇔ 2 < x < 2-1. 2 Vµ 0 < log2x < 2 ⇔1<x<2 .  12 1 2 < x < KÕt luËn nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh  2 1 < x < 2  2 x > −2 C©uβ: ®k:  ; ®æi ra c¬ sè 3 ta cã.  x ≠ −1 2 log3(x+2) > ®Æt log3(x+2) = t. log 3 (x + 2 ) 2 t2 − 2 BÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh: t > ⇔ >0 ⇔ - 2 < t < 0; t > 2 t t − 2 < lg x < 0 ⇔ 10 − 2 < x <1 + lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lg > 2 ⇔ x > 10 2  C©u γ: + §iÒu kiÖn a > 0; a ≠ 1. Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  • 5.
    www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _________________________________________________________________ + NhËn thÊy –x2 + 2x -3 < 0 víi ∀x v× a = -1; ∆’ = 1-3 < 0 + VËy bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng: x2log2a2 + loga2 > -x2 + 2x – 3 1 − 1 2 1 ⇔ x (2log2a + 1) = 0 ⇔ log2a = - ⇔ a = 2 2 = 2 2 1 Th× (1) trë thµnh : - 2x + + 3 > 0 ⇔ -2x + 1 > 0 log 2 a 1 x< kh«ng nghiÖm víi ∀x ⇒ kh«ng tho¶ m·n 2 2 log 2 a + 1 > 0 + §Ó (1) tho¶ m·n víi ∀x ⇔  ∆' = 1 − (2 log 2 a + 1)(log a 2 + 3) < 0 1 − 1 2 2 - Gi¶i: 2log2a + 1 > 0 ⇔ log2a > - ⇔ a > 2 = 2 2 - gi¶i: 1 – (2log2a + 1) (loga2 + 3) < 0 ®Æt log2a = t 1  ⇔ 1 – (2 t + 1)  + 3  < 0 t  1 1 ⇔ 1 – 2 – 6t - - 3 < 0 ⇔ 6t + 4 + > 0 t t 6t 2 + 4t + 1 ⇔ >0 ⇔ t 0 ⇔ log2a > 0 ⇔ a > 1 t KÕt hîp 2 kÕt qu¶: a> 1 vËy a > 1 th× bÊt ph−¬ng tr×nh ®óng ∀x. 4. Chó ý: g(x ) > 0  a. Ta cã d¹ng ph−¬ng tr×nh: logg(x)[f(x)] = a ⇔ g(x ) ≠ 1  f (x ) = [g(x )] a VÝ dông gi¶i ph−¬ng tr×nh: logx+1(x2-x+1)2 = 2. x + 1 > 0 x > −1   ⇔ x + 1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 ⇔ x = 2.  2  2 (x − x + 1) = (x + 1) (x + 2 ) (x − 2 x ) = 0 2 2 2 2 Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  • 6.
    www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _________________________________________________________________ b. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh ta cã d¹ng: loga(f(x)) ≥ loga(g(x)) ⇔ (a − 1)[(f (x ) − g(x ))] ≥ 0  ⇔ a > 0; a ≠ 1 f (x ) > 0; g(x ) > 0  §· ®−îc nªu nªn ë vÝ dông trong bµi «n tËp ®Çu tiªn (vÊn ®Ò tËp x¸c ®Þnh … cña hµm sè) VÝ dô: gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: log 3 x − x (3-x) > 1 = log 3 x − x (3x-x2) 2 2 0 < x < 3 3x − x 2 > 0   x ≠ 3 ± 5 3x − x ≠ 1 2  ⇔ ⇔ 2 (3x − x − 1)(3 − x − 3x + x ) > 0 2 2 (x − 4x + 3)(− x 2 + 3x − 1) > 0 2 3 − x > 0   x < 3  3− 5 3+ 5 ⇔ <x<1; <x<3; 2 2 5. Ph−¬ng ph¸p tham sè: Coi mét bé phËn cña Èn lµ tham sè: a. VÝ dô 1 gi¶i ph−¬ng tr×nh sau. (x+2)log32(x+1) + 4(x+1) log3(x+1) – 16 = 0 Gi¶i: §K x + 1 > 0 ⇒ x + 2 > 0 vËy §Æt log3(x+1) = t ⇒ ph−¬ng tr×nh trë thµnh: (x+2)t2 + 4(x+1)t – 16 = 0 ∆’ = 4(x+1)2 + 16(x+2) = 4(x+3)2 − 2(x + 1) ± 2(x + 3) 4 ⇒ t12 = = -4; x+2 x+2 80 + t = -4 ⇒ log3(x+1) = -4 ⇔ x = - > -1 tho¶ m·n 81 4 4 +t= ⇔ log3(x+1) = cã x = 2 lµ nghiÖm vµ log3(x+1) lµ hµm ®ång x+2 x+2 4 biÕn; lµ hµm nghÞch biÕn nªn ph−¬ng tr×nh chØ cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = 2. x+2 Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  • 7.
    www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _________________________________________________________________ 80 + KÕt luËn: Ph−¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm x = - vµ x = 2 81 b. VÝ dô 2: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh sau: (x+1) log 2 x + (2x+5) log 1 x + 6 ≥ 0 1 2 2 Gi¶i: + §K x > 0 ⇒ log 1 x = -log2x vËy bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh ⇒ 2 (x+1)log22x – (2x+5)log2x + 6 ≥ 0 ®Æt log2x = t ⇒ (x+1)t2 – (2x+5)t + 6 ≥ 0 ®Æt log2x = t ⇒ (x+1)t2 – (2x+5)t + 6 ≥ 0 do x > 0 ⇒ x + 1 > 0 ⇒ Tam thøc vÕ tr¸i cña bÊt ph−¬ng tr×nh cã: ∆ = (2x+5)2 – 24(x+1) = (2x-1)2 2 x + 5 ± (2 x − 1) 3 t12 = = 2; 2(x + 1) x +1 3 + BÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh: (x+1) (t-2) (t- ) ≥ 0. x +1 ⇔ (log2x-2)[(x+1)log2x-3] ≥ 0 (*) + Mµ log2x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 ⇒ dÊu c¶u log2x – 2 nh− dÊu cña x – 4 ⇒ thay log2x- 2 b»ng x –4 + y = (x+1)log2x-3 cã y’ = log2x + (x+1)log2x – 3 cïng dÊu víi x – 2 ⇒ bpt (*) x ≤ 2 t−¬ng ®−¬ng víi bÊt ph−¬ng tr×nh (x-4)(x-2) ≥0 ⇔  kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn x  x≥4 >0 0 < x ≤ 2 + KÕt luËn nghiÖm cña bpt lµ  x ≥ 4 6. Ph−¬ng ph¸p chän: C¸ch lµm gièng nh− ph−¬ng ph¸p chän víi ph−¬ng tr×nh bÊt ph−¬ng tr×nh mò a. VÝ dô gi¶i ph−¬ng tr×nh: §K x > 5 lg(x2 – 6x + 5) = lg(x-1)+6-x Gi¶i: ⇔ lg(x-1)(x-5) = lg(x-1) + 6-x Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An
  • 8.
    www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _________________________________________________________________ ⇔ lg(x-5) = 6-x nhËn thÊy x = 6 lµ nghiÖm vµ lµ nghiÖm duy nhÊt v× hµm y = lg(x-5) ®ång biÕn khi x > 5 (c¬ sè 10>1) vµ hµm y = 6-x lµ nghÞch biÕn v× a = -1 < 0 ⇒ 2 ®å thÞ chØ c¾t nhau ®óng 1 lÇn. 7. Bµi tËp: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh – bÊt ph−¬ng tr×nh sau: 1. log2x + 2log7x = 2+log2x.log7x 2. log4(x- x 2 − 1 ). log5(x+ x 2 − 1 ) = log20(x- x 2 − 1 ) 3. xlog x+4 ≤ 32 2 4. log32(x+1) + (x-5)log3(x+1) – 2x + 6 = 0 log 2 x log 2 3 5. 3 +x = 6 6.2log3(câtg) = log2cosx 2 7. 6 log 6 x + x log 6 x ≤ 12 8. log5x = log7(x+2) Trần Văn Thái - Tr ường PTTH Chu Văn An