Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com

ThS. Lê Văn Đoàn

Chuyên đề

Mũ – Logarit
(Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng)

07/2013

Email: vandoan_automobile@yahoo.com.vn

www.MATHVN.com

MỤC LỤC

Trang
A – Công thức mũ & logarit cần nhớ .................................................................................... 1
B – Phương trình & Bất phương trình mũ ........................................................................... 3
Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa ..................................... 3
Các thí dụ ................................................................................................... 3
Bài tập tương tự ......................................................................................... 16
Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 25
Các thí dụ ................................................................................................... 25
Bài tập tương tự ......................................................................................... 67
Dạng toán 3. Giải bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số ....................................... 77
Các thí dụ ................................................................................................... 77
Bài tập tương tự ......................................................................................... 88
C – Phương trình & Bất phương trình logarit ..................................................................... 92
Dạng toán 1. Giải bằng cách đưa về cùng cơ số ............................................................... 92
Các thí dụ ................................................................................................... 93
Bài tập tương tự ......................................................................................... 124
Dạng toán 2. Giải bằng cách đặt ẩn phụ .......................................................................... 138
Các thí dụ ................................................................................................... 138
Bài tập tương tự ......................................................................................... 154
Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 164
Các thí dụ ................................................................................................... 165
Bài tập tương tự ......................................................................................... 175
D – Hệ phương trình & Hệ bất phương trình mũ – logarit ................................................. 180
Dạng toán 1. Giải hệ bằng phép biến đổi tương đương .................................................... 180
Các thí dụ ................................................................................................... 180
Bài tập tương tự ......................................................................................... 192
Dạng toán 2. Giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ ...................................................................... 197
Các thí dụ ................................................................................................... 197
Bài tập tương tự ......................................................................................... 206
Dạng toán 3. Sử dụng tính đơn điệu hàm số & Bất đẳng thức .......................................... 216
Các thí dụ ................................................................................................... 216
Bài tập tương tự ......................................................................................... 226
E – Bài toán chứa tham số mũ – logarit ................................................................................ 230
Các thí dụ ................................................................................................... 231
Bài tập tương tự ......................................................................................... 250

www.DeThiThuDaiHoc.com

Chuyên đề. PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit

www.MATHVN.com

Ths. Lê Văn Đoàn

A – CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ
Công thức mũ và lũy thừa: a và b là các số thực dương, x và y là những số thực tùy ý.

 a x
= 
 

 
bx  b 
ax

a n = a.a.a...a
n số a

a x + y = a x .a y

a x−y =

ax
ay

y

⇒ a −n =
y

= ay

a =a

x
y




 u (x) 0 = 1 ⇒ x 0 = 1, ∀u (x)


x ≠ 0




1
an

x

n

x

a x .bx = (a.b)

a.n b = n ab

n

( ) ( )

a x.y = a x

x

am =

m

m

( )
n

a

= an

Công thức logarit: Cho 0 < a ≠ 1 và b, c > 0 .

b
= loga b − loga c
c

loga b = x ⇔ b = a x

loga

lg b = log b = log10 b

α log b khi α lẻ

a
loga bα = 

α loga b khi α chẳn




(logarit thập phân)

ln b = loge b , (e = 2, 718...)

log

(logarit tự nhiên hay log nepe)

aα

b=

1
loga b
α

loga 1 = 0, loga a = 1

b = loga a b

loga (b.c) = loga b + loga c

b=a

loga b

Công thức đổi cơ số
loga b =

loga b =

logc b

a

logc a

ln b
1
, loga b =
logb a
ln a

logb c
log a
=c b

logab c =

Hàm số mũ – logarit và đạo hàm
a/ Hàm số mũ y = a x , (a > 0, a ≠ 1) .
 Tập xác định: D = » .

Page - 1 -

1
1
1
+
loga c logb c

www.MATHVN.com


 Tập giá trị: T = (0, +∞) .
● Khi

hàm số đồng biến.

 Tính đơn điệu
● Khi

: hàm số nghịch biến.

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
 Dạng đồ thị:

1

1

O

O

b/ Hàm số logarit y = loga x , (a > 0, a ≠ 1) .
 Tập xác định: D = (0, +∞) .
 Tập giá trị: T = » .
● Khi

: hàm số đồng biến.

 Tính đơn điệu

● Khi
: hàm số nghịch biến.
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
 Dạng đồ thị

1

O

O

1

c/ Đạo hàm của hàm mũ và logarit

Đạo hàm hàm số sơ cấp
'

(x ) = α.x
α

'

α−1

, (x > 0)

(a ) = a .ln a
x

'

( )

⇒ uα = α.uα−1 .u '
'

( )

x

'

(e ) = e
x

Đạo hàm hàm số hợp

⇒ a u = a u .u '. ln u

x

⇒ eu = eu .u '

'

( )

1
(log x ) = x ln a
'

a

'

(ln x)

=

1
, (x > 0)
x

(

⇒ loga u
'

) = uu'a
ln
'

⇒ (ln u) =

u'
u

Page - 2 -



www.MATHVN.com


B – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1. Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc logarit hóa

I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN
Đưa về cùng cơ số:
Phương trình mũ:
 Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng
Với

thì

.
.

 Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì:

.

Bất phương trình mũ:
 Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng
Nếu

thì

.

.

Nếu

thì

.

 Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì

.

Logarit hóa:

.

Lưu ý: Khi giải phương trình, bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có
nghĩa. Sau khi giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để
nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp.
II – CÁC THÍ DỤ
2x +3

Thí dụ 1.

4

Giải phương trình:

x +8

3.243 x+8 =

1 x+2
.9
9

(∗)

Bài giải tham khảo

x ≠ −8

● Điều kiện: 
.

x ≠ −2


1
4

● Ta có:
1
4

3 = 3 4 ; 243 = 35 ; 9 = 32 ;

 2x +3 

5


 x +8 





(∗) ⇔ 3 .3
⇔3
⇔


1  2x +3 


+5



4  x +8 


−2

1
= 3−2 nên:
9

 x +8 

2


 x +2 





= 3 .3

 x +8 



−2+2




 x +2 

=3

 2x + 3 
1
 = −2 + 2  x + 8 




+ 5




 x+8 
x + 2


4



Page - 3 -

www.MATHVN.com



⇔ 41x 2 + 102x − 248 = 0

⇔ x = −4 ∨ x =

62
.
41

● Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −4 ∨ x =

Thí dụ 2.



3
Giải phương trình: 3 3 3 3 3 3





6x +7
3x−1 



 3 3 9 4 27 

=











62
.
41

(∗)

● Ta có:
1



3 3 3 3 3 3 3





(∗) ⇔ 3
⇔

16
(3x−1)
9

3x−1









=3

1 2
1

 
1
1 2

   1 2 3 
6x +7
 



16
3 3 
23



 
  
  
 
 


 
 
 

= 3 3 3 3.3 3    = 3 9 và  3 3 9 4 27 
= 3 32.3 4   = 3 24 .

 
  
 
 
  
  
 


 




  
 
 
  



 


 



23
(6x +7)
24

16
23
(3x − 1) = 24 (6x + 7)
9

⇔ x=−

611
.
30

● Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = −
Thí dụ 3.

Giải phương trình: 42x+1.54x +3 = 5.102x

2

+3x−78

611
.
30

(∗)


● Tập xác định: D = » .

(∗) ⇔ 2

4x +2

.5.54x +2 = 5.102x

2

+3x−78

2

⇔ 5.104x +2 = 5.102x +3x−78
⇔ 4x + 2 = 2x2 + 3x − 78

⇔x=

1 ± 641
.
4

● Vậy phương trình có hai nghiệm x =
Thí dụ 4.

1 ± 641
.
4

Giải phương trình: 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x

(∗)



Page - 4 -

www.MATHVN.com



(∗) ⇔ 5.3x + 4.3x = 7.2x − 3.2x
⇔ 3x.9 = 2x.4
 3 x  3 −2
⇔  =  .
 
 


2
2
 
 

⇔ x = −2 .
● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −2 .
Thí dụ 5.

Giải phương trình: 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2

(∗)



(∗) ⇔ 5x +

5x
5x
3x
3x
+ 2 = 3.3x +
+ 2
5
3
5
3



1
1
1 1


⇔ 5x 1 + +  = 3x 3 + + 






5 25 
3 9





⇔

31 x
31
.5 = .3x
25
9
x

2

5

25  5 

⇔  =
= 
 


3
2
9
 
 
⇔ x = 2.

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 .
Thí dụ 6.


(

17 + 4

2x−1
3x

)

=

(

17 − 4

)

x−1
x +1

(∗)


● Ta có:

(∗) ⇔
⇔

(

(

17 + 4

17 + 4

)(

2x−1
3x

)

=

)

17 − 4 = 1 ⇒

(

−

17 + 4

)

(

)

17 − 4 =

1

(

17 + 4

)

=

(

−1

17 + 4

)

.

x−1
x +1

2x − 1
x −1
=−
3x
x +1

⇔ 5x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x =

1± 5
.
6

● Vậy phương trình có hai nghiệm: x =

1− 5
1+ 5
∨ x=
.
6
6

Nhận xét: Dạng tổng quát của bài toán là a
Ta có: a.b = 1 ⇒ b =

f ( x)

=b

g( x)

với a.b = 1 .

1
f ( x)
−g(x )
= a −1 ⇒ (∗) ⇔ a = a
⇔ f (x ) = −g (x ) .
a

Page - 5 -

www.MATHVN.com


Thí dụ 7.

(∗)

Giải phương trình: 2x+2 − 2x+1 − 1 = 2 x+1 + 1


(∗) ⇔ 4.2

x

− 2.2x − 1 = 2.2x + 1

⇔ 2.2 x − 1 = 2.2 x − 1

2.2x − 1 ≥ 0



⇔ 2.2x − 1 = 2.2 x − 1
 x
2.2 − 1 = −2.2 x + 1




 x 1

2 ≥ = 2−1
⇔

2
 x
4.2 = 2



x ≥ − 1


⇔ x

2 = 1 = 2−1


2



⇔ x = −1 .
● Vậy nghiệm của phương trình là x = −1 .
Thí dụ 8.


x−1

( x + 2)

x−3

= ( x + 2)

(∗)


● Điều kiện: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 .

(∗) ⇔ (x + 2) − 1 

x − 1 − (x − 3) = 0


x + 1 = 0
⇔ 
 x − 1 = x − 3

 x = −1



⇔ x − 3 ≥ 0

2
x − 1 = x − 6x + 9



 x = −1



⇔ x ≥ 3
x = 5 ∨ x = 2



 x = −1
⇔ 
.
 x = 5
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 5 .
Thí dụ 9.


(x

2

)

+3

x2 −5x +4

(

x +4

)

= x2 + 3

Page - 6 -

(∗)


www.MATHVN.com




(∗) ⇔ (x

2

+ 3 − 1  x 2 − 5x + 4 − (x + 4) = 0



)

 2
 x + 3 − 1 = 0 (VN)
⇔ 2
 x − 5x + 4 = x + 4



x + 4 ≥ 0
 2
⇔  x − 5x + 4 = x + 4

 2


 x − 5x + 4 = −x − 4



(VN)

 x ≥ −4

⇔

x = 0 ∨ x = 6


⇔ x = 0 ∨ x = 6.
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 6 .
Thí dụ 10.

2

(∗)

Giải phương trình: 2x−3 = 3x −5x+6

● Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được:

(∗) ⇔ log

2

2

2x−3 = log 3 3 x −5x +6

(

)

⇔ (x − 3) log2 2 = x 2 − 5x + 6 log2 3
⇔ (x − 3) − (x − 2)(x − 3) log2 3 = 0
⇔ (x − 3) . 1 − (x − 2) log2 3 = 0


x − 3 = 0
⇔ 
1 − (x − 2) log2 3

x = 3
.
⇔ 
 x = log3 2 + 2 = log3 18
● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 3 ∨ x = log3 18 .
Thí dụ 11.

Giải phương trình: 52x

4

−5x2 +3

−7

x2 −

3
2

=0

(∗)



(∗) ⇔ log

5

5

2x 4 −5x2 + 3

− log5 7

x2 −

3
2

=0

Page - 7 -


www.MATHVN.com




3

⇔ 2x 4 − 5x 2 + 3 log5 5 − x 2 −  log 5 7 = 0



2



(

)




) x



(

⇔ 2 x2 − 1

2

3 
3
 

−  − x 2 −  log5 7 = 0
 

2 
2




3


⇔ x2 − . 2 x 2 − 1 − log5 7  = 0



2 



(

)


 x2 = 3

2
⇔

log5 7
 2
+1
x =
2


 2 3
x − = 0
⇔
⇔
2

2
2 x − 1 − log5 7 = 0


(

)

● Vậy phương trình có các nghiệm là x = ±
Thí dụ 12.

2


x = ± 6

2
.


1
2 log5 175
x = ±

2

6
1
∨ x=±
2 log5 175 .
2
2

(∗)

Giải phương trình: 2x −4.52−x = 1



(∗) ⇔ log

2

(2

x2 −4

)

.52−x = log2 1

2

⇔ log2 2x −4 + log2 52−x = 0
⇔ x2 − 4 + (2 − x ) log2 5 = 0
⇔ (x − 2)(x + 2) − (x − 2) log2 5 = 0
⇔ (x − 2)(x + 2 − log2 5) = 0

x = 2
⇔ 
.
 x = −2 + log2 5
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 ∨ x = −2 + log2 5 .
Thí dụ 13.

2

Giải phương trình: 2x −2x =

3
2

(∗)



(∗) ⇔ log

2

2

2x −2x = log2

3
2

⇔ x 2 − 2x.log2 2 = log2 3 − log2 2
⇔ x2 − 2x + 1 − log2 3 = 0

(1)

Page - 8 -


www.MATHVN.com


 x = 1 − log 3

2
∆ ' = 1 − (1 − log2 3) = log2 3 > 0 ⇒ 
.
 x = 1 + log2 3

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1 − log2 3 ∨ x = 1 + log2 3 .
Thí dụ 14.

Giải phương trình: 5 x.8

x−1
x

= 500

(∗)
Đại học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998

● Điều kiện: x ≠ 0 .

(∗) ⇔ 5x.2

3

x−1
x

= 53.22

3x−3

5x 2 x
⇔ 3. 2
5
2
⇔ 5x−3.2
⇔ 5x−3.2

=1

3x−3
−2
x
x−3
x

=1

(1)

=1


(1) ⇔ log

x−3 

5x−3.2 x  = log 1



5
5





⇔ log5 5x−3 + log5 2

⇔ (x − 3) +

x−3
x

=0

x−3
log5 2 = 0
x



1
⇔ (x − 3) 1 + log 5 2 = 0


x


x = 3

⇔
1 + 1 log 2 = 0
5

x
x = 3

⇔  1
1
 x = − log 2

5

x = 3
.
⇔ 
 x = − log5 2
● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x = 3 ∨ x = − log5 2 .
Thí dụ 15.

2

Giải phương trình: 3x −2.4

2x−3
x

= 18

(∗)

Page - 9 -


www.MATHVN.com


2x−3 
 2


∗) ⇔ log 3 3x −2.4 x  = log 3 18
(







2

⇔ log 3 3x −2 + log 3 4

(

)

⇔ x 2 − 2 + log 3 2

2x−3
x

4x−6
x

= log 3 18

= log 3 9.2



 4x − 6  log 2 = log 9 + log 2
 3
⇔ x2 − 2 + 
3
3
 x 




(

)

 4x − 6 


⇔ x2 − 2 + 

 x  log 3 2 − 2 − log 3 2 = 0




(

)

 4x − 6


⇔ x2 − 4 + 
− 1 log 3 2 = 0


 x




(

)

(

)

⇔ x2 − 4 +

3x − 6
log3 2 = 0
x

⇔ (x − 2)(x + 2) +

3 ( x − 2)
x

log 3 2 = 0



3

⇔ (x − 2)x + 2 + log 3 2 = 0




x



x = 2
⇔  2
 x + 2x + 3 log3 2 = 0 : VN
⇔ x = 2.
● So với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2 .
x

Thí dụ 16.

Giải phương trình: 8 x+2 = 4.34−x

(∗)


● Điều kiện: x ≠ −2 .
3x
x +2
(∗) ⇔ 222 = 34−x

⇔2

3x
−2
x +2

= 34−x

x −4

⇔ 2 x +2 = 3 4 −x

(1)


Page - 10 -



www.MATHVN.com


x−4

(1) ⇔ log2 2 x+2 = log2 34−x
⇔

x−4
= (4 − x ) log2 3
x +2

⇔

x−4
+ (x − 4) log2 3 = 0
x +2

 1


⇔ ( x − 4 )
+ log2 3 = 0


x + 2





x − 4 = 0
⇔ 1

 x + 2 = − log2 3
x = 4
.
⇔ 
 x = −2 − log2 3
● So với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 4 ∨ x = −2 − log2 3 .
2

Thí dụ 17.

 1 9x −17 x+11  1 7−5x


Giải bất phương trình:  
≥ 
 
 
2 
2 
 
 

(∗)



(∗) ⇔ 9x

2

− 17x + 11 = 7 − 5x
2

⇔ 9x2 − 12x + 4 ≤ 0 ⇔ (3x − 2) ≤ 0
⇔x=

2
.
3

● V ậy x =

2
là nghiệm của bất phương trình.
3
x

Thí dụ 18.

2x
1
  > 3 x +1

Giải bất phương trình:  
9
 

(∗)


● Điều kiện: x ≠ −1 .

(∗) ⇔ 3

−2x

>3

⇔ −2x >
⇔

2x
x +1

2x
x +1

2x2 + 4x
<0
x +1

Page - 11 -

www.MATHVN.com



 x < −2
.
⇔ 
−1 < x < 0
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2) ∪ (−1; 0) .
Thí dụ 19.

(

Giải bất phương trình:

10 + 3

)

x−3
x−1

<

(

10 − 3

)

x +1
x +3

(∗)

Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998 – Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang năm 2002

x − 1 ≠ 0
x ≠ 1


⇔
.


x + 3 ≠ 0
x ≠ −3




● Ta có:

(∗) ⇔ (
⇔
⇔

(

10 + 3

10 + 3

)

x−3
x−1

)(

)

10 − 3 = 1 ⇔

<

(

−

10 + 3

)

(

)

10 − 3 =

1

(

10 + 3

)

=

(

−1

10 + 3

)

.

x +1
x +3

x−3
x +1
<−
x −1
x+3
2x 2 − 10

(x − 1)(x + 3)

<0

−3 < x < − 5

⇔
.
1 < x < 5


(

) (

)

● So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ −3; − 5 ∪ 1; 5 .
Thí dụ 20.

Giải bất phương trình: 3x+1 + 5x+2 ≥ 3x +2 + 5x +1

(∗)



(∗) ⇔ 25.5

x

− 5.5x > 9.3x − 3.3x

⇔ 20.5 x > 6.3x
x

5
3
⇔  >
 

3
10
 
⇔ x > log 5
3

3
.
10



3


● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ log 5 ; +∞ .




 3 10


Thí dụ 21.

Giải bất phương trình: 4 x + 4 x+1 + 4 x+2 > 9 x + 9x +1 + 9x+2

Page - 12 -

(∗)


www.MATHVN.com




(∗) ⇔ 4

x

+ 4.4 x + 42.4 x > 9 x + 9.9x + 92.9 x

⇔ 4 x.21 > 9 x.91
x

4
91
91
⇔  <
⇔ x > log 4
.
 
9
21
21
 

9


91


● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ log 4 ; +∞ .




 9 21


Thí dụ 22.

1


2

x2 −2x

(∗)

≤ 2x−1


(∗) ⇔

1
x2 −2x

2

⇔ 2−

x2 −2x

≤ 2x−1
≤ 2x−1

⇔ − x2 − 2x ≤ x − 1
x 2 − 2x ≥ 1 − x

⇔


1 − x ≤ 0


1 − x > 0
⇔ 2
∨  2


2 ⇔ x ≥ 2.


x − 2x ≥ 0
x − 2x ≥ (1 − x )





● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 2; +∞) .
Thí dụ 23.


2.3x − 2 x+2
≤1
3 x − 2x

(∗)
Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001

x

3
 

● Điều kiện: 3 − 2 ≠ 0 ⇔ 3 ≠ 2 ⇔   ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 .
2
 
x

x

x

x

● V ới x < 0 ⇔ 3 x − 2 x < 0 .

2.3x − 4.2 x ≥ 3x − 2 x


(∗) ⇔ x < 0






3x ≥ 3.2x

⇔


x < 0



Page - 13 -

www.MATHVN.com



 x

 
 3  ≥ 3
 
⇔  2 
 
x < 0




3



 
x ≥ log 3  


⇔
2 ⇒ x ∈ ∅ .


x < 0




● V ới x > 0 ⇔ 3 x − 2 x > 0 .

2.3x − 4.2 x ≤ 3x − 2 x


(∗) ⇔ x > 0






3x ≤ 3.2x

⇔


x > 0


 x
 3
 
  ≤ 3
⇔  2 
 
 


x > 0



x ≤ log 3
2
⇔

2
x > 0





⇔ 0 < x ≤ log2

3
.
2



● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; log2


2x2 + x +1

Thí dụ 24.


1

Giải bất phương trình: x2 + 



2



3 
.
2 

1−x


1

≤ x 2 + 



2



(∗)






(∗) ⇔ x



2



1

+  − 1 .  2x 2 + x + 1 − (1 − x ) ≤ 0

2

 

(

)


1

⇔ x 2 −  2x2 + 2x ≤ 0



2



(

)

 1   1

⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ −
; 0 ∪  ; +∞ .

 

2   2


 1   1

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −1) ∪ −
; 0 ∪  ; +∞ .
 

2   2



Thí dụ 25.

Giải bất phương trình: 52x−1 < 7 3−x

(∗)

Page - 14 -


www.MATHVN.com




(∗) ⇔ log

5

52x−1 < log5 7 3−x

⇔ 2x − 1 < (3 − x ) log5 7

⇔ 2x + x log5 7 < 3 log5 7 + 1
⇔ x (2 + log5 7 ) < 3 log5 7 + 1
⇔x<

1 + 3 log5 7
2 + log5 7

.


1 + 3 log5 7 
.


● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞;




2 + log5 7 

Thí dụ 26.

2

(∗)

Giải bất phương trình: 5x −5x+6 ≥ 2x−3


(∗) ⇔ log

2

5

5x −5x +6 ≥ log5 2 x−3

⇔ x2 − 5x + 6 ≥ (x − 3) log5 2
⇔ (x − 2)(x − 3) − (x − 3) log5 2 ≥ 0
⇔ (x − 3) (x − 2) − log5 2 ≥ 0


⇔ x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞)
 

(do : log

5

2 < 1 ⇒ x = 2 − log5 2 < 3) .

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞;2 + log5 2 ∪ 3; +∞) .
Thí dụ 27.

2

Giải bất phương trình: 49.2x > 16.7 x

(∗)


2

x
x
(∗) ⇔ 2 4 > 7 2
2
7
2

⇔ 2x −4 > 7 x−2

(1)


(1) ⇔ log

2

2

2x −4 > log2 7 x−2

⇔ x2 − 4 > (x − 2) log2 7

Page - 15 -

www.MATHVN.com


⇔ x 2 − (log2 7 ).x + 2 log2 7 − 4 > 0


(2)
2

2

Ta có: ∆ = log22 7 − 8 log2 7 + 16 = (log2 7 − 4) = (4 − log2 7) > 0 .

 x = log2 7 + (4 − log2 7 ) = 2
 1
2
, ( x1 > x 2 ) .
⇒

log2 7 − (4 − log2 7 )
7
x =
= log2 7 − 2 = log2
 2
2
4


(2) ⇔ x < log

2

7
∨ x >2.
4


7 

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ −∞; log2  ∪ (2; +∞) .




4 


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài tập 1.

Giải các phương trình sau
1/

32x+1 = 0,25.128x−1 .

2/

x
 


3 3 3  =  1 
 




 


 81


ĐS: x = 14 .

2x−3

ĐS: x = −

.

16
.
13

−2 ± 19
.
5

3/

2 x 3 4 x x 0,125 = 3 0,25 .

4/

2.3 x +1 − 6.3 x −1 − 3 x = 9 .

ĐS: x = 1 .

5/

1
2x.5x−1 = .102−x .
5

ĐS: x = 1 .

6/

8 x+1 = 0,25.

2x−1

ĐS: x =

7x

( )
2

ĐS: x = 1 ∨ x =

.

2
.
7

−x

 2
 
=  .
 
 
 8 
 

7/

0,125.42x−3

8/

2x.5 x = 0,1. 10x−1 .

9/

( )( ) ( )

10/

2
 
 

5
 

11/

22x +x+5 = 82x+1 .

12/

2x+1.4 x−1.

5

(

x

2

x

3

x−1

2

ĐS: x = 6 .

)

4

ĐS: x =

x2 −1

4

=2

2x−1
2x

.

3
.
2

ĐS: x = 1 ∨ x = −3 ∨ x =

x

 25 
125
.  =
.
 

 
64
8

ĐS: x = 3 .

2

1
1−x

8

ĐS: x = 2 ∨ x =

= 16 x .

ĐS: x = 2 .

Page - 16 -

1
.
2

1
.
3


www.MATHVN.com

2x . 3x = 216 .

13/


ĐS: x = 6 .

25
.
2

14/

5 x.8 x +1 = 100 .

ĐS: x = log 40

15/

2x+1.32x +3 = 63x +1 .

ĐS: x = log12 9 .

16/

9

17/

5

18/

5

19/

5

 
 
3
 

20/

1

 
 
2
 

21/

4 x +1.3x −3.5x +1 =

22/

3 x −1 = 6 x.2−x.3 x +1 .

23/

2x.3x +1 =

= 38x−2 .

ĐS: x =

2
.
7

= 125x .

ĐS: x =

3
.
5

= 253x−4 .

ĐS: x =

7
.
5

3x −1

2x−3

4x −6

x2 +2x−11

x +1

9
. 
 
 25 
 


x +7

1
. 
 
 
2 


9

5
=  .
 
3
 


7
ĐS: x = 2 ∨ x = − .
2

1−2x

= 2.

ĐS: x = 9 .

20 60
.
27

ĐS: x =

1
.
2

ĐS: x = −2 .

x +2

( )
3

ĐS: x = 0 .

.

1
3

24/
25/

3

17
x −
16
2

x +1

5x.

=

1
9

3

x +1

ĐS: x = −

.

8 x = 100 .

5
3
∨ x =1 ∨ x =− .
4
4

ĐS: x = 2 ∨ x = − log5 10 .
x

26/

27/

x

(0, 6)

2x2 −24

.5

 3

2
 
=   .9x −12 .
5
 

2 2 6 .2

29/

3
 
 

4
 

30/

5

 
 
3
 

x−1

x +1

x +1

=4

x +1

.

ĐS: x =

53
.
7

ĐS: x =

2x+1 . 3 42x−1 .8 3−x = 2 2.0,125 .

28/

ĐS: x = ±2 3 .

3
.
2

8

 4 x
9
.   =
.
 

3
16
 

ĐS: x = −1 ∨ x = 4 .

x2 +x−1

9
. 
 
 25 
 


ĐS: x = −

= 1.

Page - 17 -

3
∨ x = 1.
2

www.MATHVN.com

4x−2

31/

x +1
1
27 x−1 = .81 x +2 .
9

32/

16 x+2

1

Bài tập 2.

−

ĐS: x = 3 ∨ x =

2
.
11

3x−19

1
x−2

2

ĐS: x = −1 ∨ x =

= 0,25.2 x −4 .

5
.
2

1/

5 x + 5 x +1 + 5 x +2 = 3 x + 3 x +3 + 3 x +1 .

ĐS: x = 0 .

2/

3x +1 + 3x−2 − 3x−3 + 3 x−4 = 750 .

ĐS: x = 5 .

3/

2x + 2x−1 + 2x−2 = 3x + 3x−2 − 3 x−1 .

ĐS: x = 2 .

4/

4 x + 4 x−2 + 4 x +1 = 3x +2 − 3x−2 .

ĐS: x = log 4
3

2

2

2

2

1280
.
729

5/

2x −1 + 2x +2 = 3x + 3x −1 .

ĐS: x = ± 3 .

6/

3x−1 + 3x + 3x +1 = 9477 .

ĐS: x = 7 .

7/

22x +5 − 3

8/

1
1
3.4 x + .9x+2 = 6.4 x+2 − .9x+1 .
3
2

9/

9x − 2

x+

x+

3
2

9
2

=3

=2

x+

1
2

x+

7
2

3
ĐS: x = − .
2

− 4x +4 .

− 32x−1 .

ĐS: x = log 9
4

ĐS: x = log 9
2

10/

3 x + 3 x +1 + 3 x +2 = 5 x + 5 x +1 + 5 x +2 .

ĐS: x = log 3
5

x+

1
2

x

11/

5

12/

Bài tập 3.


2x−2

−9 = 3

4−x − 3

−x −

1
2

1

= 32

−5
−x

x−

1
2

ĐS: x =

.

− 2−2x−1 .

62
.
21

9 2
.
4
31
.
16

3
.
2

3
ĐS: x = − .
2


1
ĐS: x = − .
3

3x

1/

(

2/

(5 + 2 6 )

3/

(3 + 2 2 )

3−2 2

)

= 3+2 2.
3x +1

5x +8

(

)

(

)

= 5−2 6

x +1

= 3−2 2

.

7
ĐS: x = − .
8

2x +8

.

ĐS: x = −3 .

3x 3 −4x

4/

(3 − 2 2 )

= 3+2 2 .

ĐS: x = 1 ∨ x =

Page - 18 -

−3 ± 21
.
6

www.MATHVN.com


5/

6/

7/

x −1

(

)

5 +2

(

82 − 9

(

(

=

)

x−3
x−1

145 + 12

=

)

5 −2

(

2x +1
4 x−3

)

82 + 9

(

=

3x +1
x

)

ĐS: x = 1 ∨ x = −2 .

.

x +1
x +3

145 − 12

(

ĐS: x = ± 5 .

.
4x +3
2x−1

)

(

9/

226 + 25

2x +5

10/

Bài tập 4.

ĐS: x = ±

2
.
2

.

ĐS: x = ±

10
.
10

ĐS: x = ±

13
.
2

(7 +

48

2x−1

x2 −2x +9

)

2x−7

(

= 7 − 48

)

.

ĐS: x = 2 .

3x−7

1
1
−
x +2 x−2

2

ĐS: x =

1/

16

= 0,25.2 x −4 .

2/

1

 
 
3
 

3/


2



4/


2 2



5/







6/

4x −4 + 4 x +x−12 = 42x +x−16 + 1 .

2−x

Bài tập 5.

.


2x +1 
2x−5
 6 + 35 
=  6 − 35 
.













=

)

x
3x−1

8/

226 − 25

)

x −1
x +1


(

(

4−x

+3

1
= 99 +  
 
 
9


x−3


x +1 



)

)

1

x +3 2


x



x

=

ĐS: x = 6 .

1
.4
2

x

ĐS: x = 1 .

.

2
x −1

= 4.

x
x
+
3
x
x 4
−
4
3







2

.

1

1

x +5 5

( 27 )
5

5
∨ x = −1 .
2

ĐS: x = 9 .

= 4 37 .

ĐS: x = 10 .

2

2

ĐS: x = −4 ∨ x = 3 ∨ x = ±2 .

x2 −x−5

1/

(x + 2)

2/

(

2x − x 2

3/

(

x − x2

x +10

= ( x + 2)

.

ĐS: x = −1 ∨ x = 5 .

x−1

)

= 1.

ĐS: x = 1 .

x−2

)

= 1.

ĐS: x = 2 .

Page - 19 -

www.MATHVN.com

x2 −1

4/
5/

(x + 1)

6/

(2 + x − x )

7/

( x − 3)

8/

(x

9/

(

10/

(x

2

− x +1

11/

(x

2

− 2x + 2

12/

3

13/

Bài tập 6.

(x

x−3

2

)

−x +1
x−3

sin x

3x2 −5x +2

x2 − 5x + 4

)

x−1

(

− 2 + x − x2

(

2− 3 cos x

)

x2 −4

4− x 2

9−x2

x2 + x−4

)

= x2 − 6x + 9

)

)

(x − 1)

ĐS: x = 0 ∨ x = 3 .

4−x2

)

− 2x + 2

x2 −x

ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 .

= 1.
2

2

= 1.


.

.

ĐS: x =

1± 5
π
∨ x= .
2
6

ĐS: x = 4 ∨ x = 5 .
ĐS: x = 1 ∨ x = ±2 .

= 1.

5 ± 13
∨ x = −2 .
2

= 1.

ĐS: x =

= x2 − x + 1 .

ĐS: x = 0 ∨ x = ±1 ∨ x = ±

− 3 x2 − 2x + 2 = 0 .

ĐS: x = 1 ∨ x = ±

3

= (x − 1)

x−1

4 5
.
3

ĐS: x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = 1 + 3 3 .

.

2

= (x − 3) .

ĐS: x = −1 ∨ x = 2 ∨ x = 4 .

2

1/

2x −4 = 5x−2 .

2/

5x −5x+6 = 2x−3 .

3/

3x −4x = 2x−4 .

4/

8 x.5x −1 =

5/

3x.4

6/

3x −2.4

7/

3x.2x = 1 .

8/

2x.5x = 10 .

9/

3x.2 x +2 = 6 .

10/

8 3x+6 = 36.32+x .

ĐS: x = 2 ∨ x = log2

2

x−1
x

2

ĐS: x = 4 ∨ x = log 3 2 .

1
.
8

ĐS: x = −1 ∨ x = 1 − log5 8 .
ĐS: x = 2 ∨ x = − log 3 2 .

= 18 .

2x−3
x

5
.
4

ĐS: x = 3 ∨ x = log5 50 .

2

2

15
.
2

ĐS: x = 2 .

= 18 .

2

ĐS: x = 0 ∨ x = − log2 3 .

2

ĐS: x = 1 ∨ x = −1 − log5 2 .

3x

ĐS: x = 1 .

x

ĐS: x = −4 ∨ x = log2

Page - 20 -

3
.
4


11/

4.9x−1 = 3.2
x
x +2

2x +1
2

www.MATHVN.com
ĐS: x =

.

= 36.32−x .


3
.
2

ĐS: x = 4 ∨ x = −2 − log3 2 .

12/

8

13/

2x −2x.3x =

3
.
2

ĐS: x = 1 ∨ x = log2

2
.
3

14/

3x.8 x+1 = 36 .

ĐS: x = 2 ∨ x = log2

3
.
2

15/

5x−2.2 x+1 = 4 .

ĐS: x = 2 ∨ x = log5

2
.
5

16/

52x−1 = 7 3−x .

ĐS: x = 4 log175 5 .

17/

5

18/

x

19/

x 4 .5 3 = 5

20/

4

21/

x log x = 1000x 2 .

22/

x

23/

7

24/

57 = 7 5 .

2

x

3x

3−log5 x

4 lg

x
4

x log

ĐS: x = 5 .

= 25x .

= 16002 .

x

log x 5

ĐS: x = 40 ∨ x =
ĐS: x =

.

ĐS: x =

x

=x

1
∨ x = 1000 .
10

ĐS: x = 2 ∨ x =

= 32 .

log2 (5x)−1
25

1
∨ x= 45.
5

ĐS: x = 10±4 .

= 100 .

log2 x −4

1
.
10

log5 7

1
.
32

ĐS: x = 125 ∨ x =

.

x

1
.
5

ĐS: x = log 7 (log5 7 ) .
5

2x−1

5
.
2

25/

5x.2 x +1 = 50 .

26/

9.x

27/

5x−1.22x −x+1 = 10.8x .

1
ĐS: x = 2 ∨ x = − log2 5 .
2

28/

4.9x−1 = 3 22x +1 .

ĐS: x =

3
.
2

29/

4x − 3

ĐS: x =

3
.
2

log9 x

ĐS: x = 2 ∨ x = log2

= x2 .

ĐS: x = 9 .

2

x−

1
2

=3

x+

1
2

− 22x−1 .

Page - 21 -

4x +1

30/

31/

Bài tập 7.

2

 
 
5
 


2
5.
ĐS: x =
2
4 log7 + 3
5
−2 − log7

3x +2

1
= 
 
 
7 


www.MATHVN.com

.

8
3log3 5 ± 9log2 5 +16 + log3 5
3
3
ĐS:
.
2

2

3x −4 = 3 125.125x .

Giải các bất phương trình sau
x−1

x

ĐS: (−∞; −13 ∪ (−1; 0 ∪ 2; +∞) .

 

1/

4 x+2 ≤ 0,25.32 x−2 .

2/

(0, 3)

3/

1
 
 

 3
 

4/

8

5/

2x −3x−4 < 3x −3x−4 .

6/

 1 4x −15x+13  1 4−3x


 
.
< 
 
2
 


 
2 

7/

 2 2+5x

25
 
.
<
 
5
4
 

8/

1
 
 

2 
 

9/

5x − 3x +1 ≥ 2 5x−1 − 3x−2 .

ĐS: x ∈  3; +∞) .

10/

7 x − 5 x +2 < 2.7 x−1 − 118.5 x−1 .

ĐS: x ∈ (−∞;2) .

11/

2 x +2 − 2 x +3 − 2 x +4 > 5 x +1 − 5 x +2 .

ĐS: x ∈ (0; +∞) .

12/

3

13/

62x+3 ≤ 2x+7.33x−1 .

ĐS: x ∈  4; +∞) .

14/

7.3x+1 + 5x+3 ≤ 3x+4 + 5x+2 .

ĐS: x ∈ (−∞; −1 .

15/

2x+2 + 5x+1 ≤ 2x + 5x+2 .



3

ĐS: x ∈ log 5 ; +∞ .




 2 20

16/

2 x−1.3 x +2 > 36 .

ĐS: x ∈ (log6 8; +∞) .

2x2 −3x +6

8x



1


ĐS: x ∈ −∞;  ∪ (1; +∞) .

2



< 0, 00243 .

x +2

ĐS: x ∈ −2;7 ) .

> 3−x .

ĐS: x ∈ (2; +∞) .

> 4096 .

2

2

ĐS: x ∈ (−∞; −1) ∪ (4; +∞) .

2

3
 
ĐS: x ∈ »   .
 
2
 
 

6x−5

x6 −2x3 +1



5  1
 

ĐS: x ∈ −∞; −  ∪  ; +∞ .

 16



2 



1−x

1
< 
 
 

2

(

x

+3

x −1

−3

ĐS: x ∈ (−∞;1) {0} .

.

)

x −2

ĐS: x ∈ 0; 4 .
 

≤ 11 .

Page - 22 -

www.MATHVN.com


17/

(

x +1

)

2 +1

≥

(

)

2 −1

x2 −2x +1

18/

(2 + 3 )
1

19/

2
2

 −1 − 5 −1 + 5 

ĐS: 
;
 ∪ (1; +∞) .
2
2



.
x2 −2x−1

(

+ 2− 3

)

≤

4

. ĐS: x ∈ 1 − 2; 1 + 2  .


2− 3

2x−1

≤ 2x−1 .

ĐS: x ∈ 2; +∞) .


1

x2 −2x
1

20/

x
x−1



1

ĐS: x ∈ −∞;  .



3



≥ 2 3x+1 .

x2 +2

21/
Bài tập 8.

ĐS: x ∈ (−1;1) .

2

0,2 x −1 > 25 .


(

5 −2

)

x−1
x +1

≤

(

x−1

5 +2

)

.

Cao đẳng sư phạm kỹ thuật Vinh năm 2001
ĐS: x ∈ −2; −1) ∪ 1; +∞) .
Bài tập 9.


2x−1 + 4x − 6
> 4.
x −2
ĐS: x ∈ (−∞;2) ∪ (4; +∞) .

Bài tập 10.


4 x + 2x − 4
≤ 2.
x −1
Đại học Văn Hóa Hà Nội năm 1997
1 

ĐS: x ∈  ;1 .
2 




Bài tập 11.

x

(

)

Giải bất phương trình: x2 + x + 1 < 1 .
ĐS: x ∈ (−∞; −1) .
x− x−1

Bài tập 12.

Giải bất phương trình: 3

x2 −2x

1
≥ 
 
 3
 


.
Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1997
ĐS: x ∈ (2; +∞) .

Bài tập 13.

Giải bất phương trình: 6x2 + 3 x .x + 31+

x

< 2.3 x .x 2 + 3x + 9 .
3


ĐS: x ∈  0;1) ∪  ; +∞ .


2





Bài tập 14.

2

2

2

Giải bất phương trình: 4x2 + x.2x +1 + 3.2x > x2 .2x + 8x + 12 .
Đại học Dược Hà Nội năm 1997

(

) (

ĐS: x ∈ − 2; −1 ∪

Page - 23 -

)

2; 3 .

www.MATHVN.com


Bài tập 15.

Giải bất phương trình: 4x2 + 3 x .x + 31+

Bài tập 16.


Giải bất phương trình: 3x −4 + x2 − 4 3x−2 ≥ 1 .

≤ 2x 2 .3 x + 2x + 6 .
Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B, D – THPT Sầm Sơn – Thanh Hóa
3


ĐS: x ∈  0; log2 2 ∪  ; +∞ .

3 




2
2

(

x

)

Đại học Sư Phạm Vinh khối A, B năm 2000
ĐS: x ≥ 2 ∨ x ≤ −2 .
Bài tập 17.


2

−3x2 − 5x + 2 + 2x > 3x.2x. −3x 2 − 5x + 2 + (2x ) 3x .
Đại học Y Thái Bình năm 2001

ĐS: −1 < x ≤
Bài tập 18.

1
.
3

(

)

Giải bất phương trình: x 4 − 8.e x−1 > x x2 .e x−1 − 8 .
Đại học Xây Dựng năm 2001
ĐS: x < −2 .

Page - 24 -

www.MATHVN.com



Dạng 2. Giải phương trình mũ bằng cách đặt ẩn phụ

I – LÍ THUYẾT CƠ BẢN

Loại 1:
Loại 2:
Chia hai vế cho
Loại 3:

rồi đặt ẩn phụ
với

(chia cơ số lớn hoặc nhỏ nhất).

. Đặt

.

Loại 4:

Lưu ý: Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Nghĩa là sau khi đặt ẩn
phụ t vẫn còn x. Ta giải phương trình theo t với x được xem như là hằng số.
II – CÁC THÍ DỤ

( )

Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 1: P a

Thí dụ 28.

f (x )

t = a f (x ), t > 0


.
=0 ⇔
P (t ) = 0




Giải phương trình: 9x − 5.3x + 6 = 0

(∗)

x

(∗) ⇔ (3 )
2

2

( )

⇔ 3x

− 5.3x + 6 = 0
− 5.3x + 6 = 0

(∗ ∗)

 t = 2 (N )
● Đặt t = 3x > 0 . Khi đó: (∗ ∗) ⇔ t2 − 5t + 6 = 0 ⇔ 
 t = 3 (N)
 t = 3x = 2
 x = log 2
3
.
⇔ 
⇔ 
x =1
t = 3x = 3




● Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 ∨ x = log3 2 .

Page - 25 -

www.MATHVN.com


Thí dụ 29.


72x
100x

x

= 6. (0, 7) + 7


(∗)

Đại học An Ninh Nhân Dân khối D, G năm 2000

 7 2x

 x
  − 6.  7  − 7 = 0
 
(∗) ⇔ 10 
 
 10 
 
 



 x

t =  7  > 0
 
10 

⇔

2  


t − 6t − 7 = 0



 7 x

 x
  = −1 (L) ∨ t =  7  = 7
⇔ t= 
 
 
 
10 
10 


( N)

⇔ x = log0,7 7

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = log 0,7 7 .
Thí dụ 30.

Giải phương trình: 21+2x + 15.2x − 8 = 0

(∗)


● Tập xác định : D = » .

(∗) ⇔ 2.2

2x

+ 15.2x − 8 = 0
2

( )

⇔ 2. 2x

+ 15.2 x − 8 = 0

t = 2 x > 0

⇔ 2

2t + 15t − 8 = 0



x


t = 2



1
⇔  t =

2

 t = −8





⇔ 2x =

(N )
(L )

1
= 2−1 ⇔ x = −1 .
2

● Vậy phương trình có nghiệm là x = −1 .
Thí dụ 31.

Giải phương trình: 4.4 x − 9.2x +1 + 8 = 0

(∗)
Cao đẳng Sư Phạm TW năm 2006



(∗) ⇔ 4.2

2x

− 18.2x + 8 = 0

Page - 26 -

www.MATHVN.com



t = 2 x > 0

⇔ 2


4t − 18t + 8 = 0



 x
x = 2
2 = 4
⇔  x 1 ⇔ 
.
2 =
 x = −1

2
● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = −1 ∨ x = 2 .
Thí dụ 32.

x

(

Giải phương trình: 7 + 4 3

x

) + (2 + 3 )

(∗)

=6


x
2

 2+ 3  + 2+ 3
(∗) ⇔ 




)

2
x

⇔  2+ 3  + 2+ 3





)

x


t = 2 + 3 > 0

⇔
⇔
2
t + t − 6 = 0





t = 2 + 3


t = 2 + 3



(

)

(

(

)

(

(

x

−6 = 0

x

−6 = 0

(
(

)

x

)
)

=2

x

⇔ x = log

= −3 (L)

● Vậy phương trình có một nghiệm là x = log

(2+ 3 )

Thí dụ 33.

x

(


) +(

(2 + 3 )

2.

x

)(

2 −5 3+2 2

)

(

+3 1+ 2

x

)

+1− 2 = 0


3x

(∗) ⇔ (1 +

2

)

(

+

)(

2x

2 −5 1+ 2

)

(

+3 1+ 2

x

)

+1− 2 = 0

x


t = 1 + 2 > 0

⇔

t3 + 2 − 5 t2 + 3t + 1 − 2 = 0





(
(

)
)



t = 1 + 2

⇔

 2


(t − 1)  t +



(

x

)
(

>0

2 − 4 t + 2 − 1 = 0


)

x



t = 1 + 2 > 0
 1+ 2





 t = 1

⇔ 
⇔  1 + 2



 t = 1 + 2
 1+ 2



 t = 3 − 2 2





(

)

(
(
(

x

)
)
)

x

x

=1

x = 0

= 1 + 2 ⇔  x = 1 .

 x = −2
= 3−2 2

Page - 27 -

2.

(∗)

www.MATHVN.com



● Vậy phương trình có ba nghiệm là x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 1 .
n

(

(

)

)

Nhận xét: Vấn đề của bài toán là nhận ra 1 + 2 , (n ∈ Z) với n = 1 ⇒ 1 + 2 ,

(

)

(

)

với n = 2 ⇒ 3 + 2 2 , với n = 3 ⇒ 7 + 5 2 . Theo kinh nghiệm của
tôi, nếu chúng ta gặp phương trình mũ có nhiều cơ số dạng số vô tỉ (chứa
căn) và không phải là cặp nghịch đảo của nhau (a.b = 1) thì ta nên sử
X

(

dụng máy tính bỏ túi để tìm, chẳng hạn như 1 + 2

)

và lúc đó, tôi sẽ

CALC những số nguyên X ∈ » như 2, 3, 4, … rồi sử dụng công thức
c

(a )
b

Thí dụ 34.

Giải phương trình: 4

b

( )

= a bc = a c
x −2

để nhận ra ẩn số phụ.

+ 16 = 10.2

(∗)

x −2

Đại học Hàng Hải năm 1998
● Điều kiện: x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 .
t = 2 x−2 > 0


∗) ⇔  2
(

t − 10t + 16 = 0



t = 2 x−2 > 0


⇔
⇔
t = 8 ∨ t = 2




2


2


x−2
x−2

 x −2 = 3

⇔
⇔
 x −2 = 1
=2

=8

 x = 11

x = 3 .


● So với tập xác định, phương trình có hai nghiệm : x = 3 ∨ x = 11 .
Thí dụ 35.

(∗)

Giải phương trình: 22x+2 + 3.2x − 1 = 0

Đại học Thủy Sản năm 1997


2

(∗) ⇔ 4.(2x )

⇔ 2x =



t = 2 x > 0



t = 2 x > 0


−3 + 17

x

+ 3.2 − 1 = 0 ⇔  2
⇔ t =

4.t + 3t − 1 = 0

4






t = −3 − 17


4



17 − 3
17 − 3
⇔ x = log2
= log2
4
4

● Vậy nghiệm phương trình là: x = log2
Thí dụ 36.


2

+ x−1

(

(

(L)

)

17 − 3 − 2 .

)

17 − 3 − 2 .

2

(∗)

− 10.3x +x−2 + 1 = 0

Dự bị 2 – Đại học khối B năm 2006

Page - 28 -

www.MATHVN.com




(

) − 10 .3x2 + x−1 + 1 = 0

2 x2 + x −1

(∗) ⇔ 3

3


t = 3x2 + x −1 > 0


⇔
⇔
3t2 − 10t + 3 = 0



 x2 + x − 1 = 1
⇔  2
⇔
 x + x − 1 = −1



x2 + x −1
= 3 = 31
t = 3

1

x2 + x −1
= = 3−1
t = 3

3


 x = 1 ∨ x = −2 .
 x = 0 ∨ x = −1


● Vậy phương trình có 4 nghiệm là x = −2 ∨ x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1 .
2

Thí dụ 37.

1

 1 x
 1 x
Giải phương trình:   + 3.  
 
 

 3
3
 
 


+1

(∗)

= 12

Học Viện Chính Trị Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Ban khoa học xã hội năm 2000

1


1
1

 1 x
t = 3

 1 2. x  1  x

 

 
 
 

(∗) ⇔  3  +  3  − 12 = 0 ⇔ t =  3  > 0 ⇔  t = −4


 
 
 

 
 

2
t + t − 12 = 0




(N )
(L )

1

 1 x
1
⇔   = 3 ⇔ = log 1 3 = −1 ⇔ x = −1 .
 

3
x
 
3

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = −1 .
Thí dụ 38.

(∗)

Giải phương trình: 32x+5 − 36.3x+1 + 9 = 0

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp khối A năm 2004


(∗) ⇔ 27.32(x +1) − 36.3x +1 + 9 = 0
t = 3x +1 > 0

x +1

 3x +1 = 1
 x = −1


>0

t = 3

⇔ 2
⇔
⇔  x +1
⇔ 
.
27t − 36t + 9 = 0
t = 1 ∨ t = 1
= 3−1
3
 x = −2






3


● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2 và x = −1 .
Thí dụ 39.

Giải phương trình: 5x +1 − 52−x = 124

● Tập xác định : D = » .

Page - 29 -

(∗)

www.MATHVN.com



t = 5x > 0

t = 5 x > 0




x
⇔ 2
(∗) ⇔ 5.5 − x − 124 = 0 ⇔  25



5
5t − − 124 = 0
5t − 124t − 25 = 0



t


25

x

 t = 5 = 25 (N)
⇔
⇔ x = 2.
 t = 5x = − 1 L
( )

5


● Vậy phương trình có một nghiệm là x = 2 .
Thí dụ 40.


x

− 51−

x

(∗)

+4=0


● Điều kiện: x ≥ 0 .

(∗) ⇔ 5

x

5

−
5

x

+4=0


x


x



t = 5 > 0

t = 5 > 0
⇔
⇔ 2
⇔
t − 5 + 4 = 0
t + 4t − 5 = 0





t



⇔5

x


t = 5

t = 5


x

=1

x

= −5

( N)
(L)

= 50 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 .

● Vậy phương trình có một nghiệm x = 0 .
Thí dụ 41.

(∗)

Giải phương trình: 32−2x − 2.32−x − 27 = 0


(∗) ⇔ 3 (

2 1−x )

(

⇔ 31−x

− 2.3.31−x − 27 = 0
2

)

− 6.31−x − 27 = 0

1− x

 t = 31−x = −3 L

>0
( ) ⇔ 1 − x = 2 ⇔ x = −1 .
t = 3
⇔ 2
⇔ 

1− x
t − 6t − 27 = 0
= 9 (N )
t = 3





● Vậy phương trình có một nghiệm là x = −1 .
Thí dụ 42.

Giải phương trình: 4 x−

x2 −5

− 12.2x−1−

x2 −5

+8=0

(∗)

Cao đẳng Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh năm 2002

x ≤ − 5

● Điều kiện: x − 5 ≥ 0 ⇔ 
.
x ≥ 5

2



(∗) ⇔ 2x−




2
x 2 −5 

x−
 − 6.2



x 2 −5

+8=0

Page - 30 -

www.MATHVN.com



2

 t = 2 x − x −5 > 0

⇔
⇔
t2 − 6.t + 8 = 0




2
x − x − 5 = 1
⇔
⇔
 x − x2 − 5 = 2


 x−
2

 x−
2


x 2 −5
2

x −5


=2
=4

 2
 x − 5 = x −1

 x2 − 5 = x − 2


x ≥ 1




x − 1 ≥ 0

x = 3
 2
2
x = 3


x − 5 = (x − 1)





.
⇔
⇔ x ≥ 2 ⇔ 


x = 9



x − 2 ≥ 0


4


 2
9
2
x =
x − 5 = (x − 2)




4



● Kết hợp với điều kiện, phương trình có hai nghiệm là x =
Thí dụ 43.

2


2

−x

− 22+ x−x = 3

9
∨ x = 3.
4

(∗)
Đại học khối D năm 2003



(∗) ⇔ 2

x 2 −x

(

− x 2 −x

− 4.2

1

2

⇔ 2x −x − 4.

2

2 x −x

)

−3 = 0

−3 = 0

t = 2x2 −x > 0



⇔
1

t − 4. − 3 = 0

t


2


t = 2 x − x > 0

⇔ 2
⇔

t − 3t − 4 = 0




x2 − x
= −1 (L)
t = 2

⇔ x2 − x = 2 ⇔
x2 − x
2
t = 2
=4=2


● Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1 ∨ x = 2 .
Thí dụ 44.

Giải phương trình: 9sin

2

x

2

+ 9cos

x

=6


Cách giải 1. Đặt ẩn phụ với 1 ẩn.
1−cos2 x

(1) ⇔ 9
⇔

9
9

cos2 x

2

+ 9cos
2

x

=6

+ 9cos x − 6 = 0

(2)

2

● Đặt : t = 9cos x , (1 ≤ t ≤ 9)

Page - 31 -

(1)


 x = −1 .
x = 2


www.MATHVN.com


(2) ⇔


9
+ t−6 = 0
t

⇔ t2 − 6t + 9 = 0
2

⇔ t = 3 ⇔ 9cos
2

⇔ 32 cos

x

x

=3

= 31

⇔ 2 cos2 x − 1 = 0

⇔ cos 2x = 0 ⇔ x =

π kπ
+
, (k ∈ » ) .
4
2

Cách giải 2. Đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình.
u = 9sin2 x


● Đặt: 
, (1 ≤ u, v ≤ 9) .

2
v = 9cos x




u + v = 6

(1) ⇔ u.v = 9sin2 x.9cos2 x = 9sin2 x+cos2 x = 9






⇔u=v=3

⇔ 9sin

2

2

x

= 9cos
2

⇔ 32 cos

x

x

=3

= 31

⇔ 2 cos2 x − 1 = 0

⇔ cos 2x = 0 ⇔ x =

π kπ
+
, (k ∈ » ) .
4
2

Cách giải 3. Phương pháp ước lượng hai vế (dùng bất đẳng thức Cauchy).
2

● Ta có: 9sin
●

x

2

+ 9cos

Cauchy
x

2

2

≥ 2 9sin x.9cos
2

Dấu " = " xảy ra khi: 9sin

x

2

= 9cos

x

x

= 2. 9 = 6 .

⇔ cos 2x = 0 ⇔ x =

1

Thí dụ 45.


cot2 x

+2

sin2 x

−3 = 0

(∗)


● Điều kiện: sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, (k ∈ ») .

(∗) ⇔ 4

cot2 x

+ 2.2

cot2 x



1 

− 3 = 0 do : 1 + cot2 x =


2

sin x 



cot2 x


≥1
t = 2
⇔ 2
t + 2t − 3 = 0




t = 2cot2 x ≥ 1


⇔

t = 1 ∨ t = −3



Page - 32 -

π kπ
+
, (k ∈ » ) .
4
2

2

⇔ 2cot

x

www.MATHVN.com


=1

⇔ cot2 x = 0

⇔ cot x = 0 ⇔ x =

π
+ kπ, (k ∈ ») .
2

● So với điều kiện, phương trình có một tập nghiệm: x =
Thí dụ 46.

Giải phương trình: 41−2 sin

2

x

2

+ 9.4−2 cos

x

π
+ kπ, (k ∈ ») .
2

(1)

=5



(1) ⇔ 4

−1+2 cos2 x

2

⇔

42 cos
4

2

+ 9.4−2 cos x − 5 = 0

x

+

9
4

2 cos2 x

−5 = 0

t = 42 cos2 x , 1 ≤ t ≤ 16

(
)


⇔ t 9
 + −5 = 0

4 t


t = 42 cos2 x


⇔ 2

t − 20t + 36 = 0



t = 42 cos2 x , 1 ≤ t ≤ 16

(
)

⇔
t = 18 (L) ∨ t = 2 (N)



2

⇔ 42 cos
Thí dụ 47.

x

= 2 ⇔ 2 cos2 x =

1
1
π
⇔ cos x = ± ⇔ x = ± + kπ , (k ∈ ») .
2
2
3

Giải phương trình: 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103

(∗)



(∗) ⇔ 27.3

3x

+

27
81
+ 81.3x + x = 103
3x
3
3



1 
1


⇔ 27. 33x + 3x  + 81. 3x + x  = 103






3 
3 





● Đặt t = 3x +

(1)

1 Cauchy
1
≥ 2 3 x. x = 2 .
x
3
3
3


1
1
1
1
1

⇒ t = 3x + x  = 33x + 3.32x. x + 3.3x. 2x + 3x ⇒ 33x + 3x = t3 − 3t .




3 
3
3
3
3

3

(1) ⇔ 27 (t

3

)

− 3t + 81t = 103

Page - 33 -

www.MATHVN.com


⇔ t3 =


103
27

⇔ t = 3x +

1
10
=
>2
x
3
3

y = 3x > 0


⇔ 2
⇔
3y − 10y + 3 = 0




(N )
 y = 3x = 3


⇔ x = ±1 .
 y = 3x = 1
3


Thí dụ 48.



3


Giải phương trình: 27 x − 271−x − 16 3x − x  + 6 = 0

3 



(∗)

Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Trần Phú – Hà Tĩnh

(∗) ⇔ 27

x

−



27
3


− 16 3x − x  + 6 = 0
x

27
3 



● Đặt t = 3x −

(1) ⇔ t

3

(1)


3
3
27

⇒ t3 = 3x − x  ⇒ 27 x − x = t3 + 9t .


x


3
3 
27


− 7t + 6 = 0

⇔ t = 1 ∨ t = 2 ∨ t = −3 .
● V ới t = 1 ⇒ 3 x −

3
1 + 13
1 + 13
= 1 ⇔ 3x =
⇔ x = log 3
.
x
2
2
3

● V ới t = 2 ⇒ 3 x −

3
= 2 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 .
3x

● Với t = −3 ⇒ 3x −

3
= −3 ⇔ 3 x =
x
3

21 − 3
21 − 3
⇔ x = log 3
.
2
2

● Vậy phương trình có ba nghiệm: x = 1 ∨ x = log 3
Thí dụ 49.

1

Giải phương trình: 23x − 6.2 x −

2

3(x−1)

+

12
=1
2x

21 − 3
1 + 13
∨ x = log 3
.
2
2

(1)
Đại học Y Hà Nội năm 2000



(1) ⇔ 2

3x

− 6.2 x −

8
12
+ x −1 = 0
3x
2
2

Page - 34 -

www.MATHVN.com




⇔  2x






8 
2

−
− 6 2x − x  − 1 = 0


3

x
2 


2 


3

( )

3

( )

⇒ t3 = 2x

(∗)

( )

● Đặt t = 2x −


2
.
2x
2

( )

− 3. 2 x .

2
4
+ 3.2x.
x
2
2x

2

( )

−

8
3

(2 )
x

3

( )

⇒ 2x

−

8
3

(2 )
x

= t3 + 6t .

t3 + 6t − 6t = 1


(∗) ⇔  x 2

t = 2 −


2x



t = 1

 x



2 = −1 (L) ⇔ x = 1 .
⇔
⇔ x
2
x
t = 2 −
2 = 2





2x


● Vậy nghiệm phương trình là x = 1 .
Thí dụ 50.

(

)

Giải phương trình: log5 5x − 4 = 1 − x

(∗)
Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2003


● Điều kiện: 5x − 4 > 0 .
Cách giải 1. Đặt ẩn phụ.

(∗) ⇔ 5

x

− 4 = 51−x ⇔ 5x − 5.

1
−4 = 0
5x

 t = 5x > 0
 t = 5 x = −1

⇔ 2
⇔ 
⇔ x = 1.
x
t − 4t − 5 = 0

 t = 5 = 5

● Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Cách giải 2. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
● Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình (∗) .

(

)

● Hàm số f (x) = log5 5x − 4 : là hàm số đồng biến.
● Hàm số g (x) = 1 − x : là hàm số nghịch biến.
● Do đó , x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (∗) .
Thí dụ 51.

(

)

Giải phương trình: x + log2 9 − 2x = 3

(∗)

Đại học Huế khối A, B – Hệ chuyên ban năm 2000
● Điều kiện: 9 − 2x > 0 .

Page - 35 -

www.MATHVN.com



(∗) ⇔ log (9 − 2 ) = 3 − x
x

2

⇔ 9 − 2x = 23−x

⇔ 2x +

8
−9 = 0
2x

t2 − 9t + 8 = 0
2 x = 1
t = 1 ∨ t = 8
x = 0




⇔
⇔
⇔  x
⇔ 
.
x
t = 2 x > 0
t = 2 > 0
2 =8
 x = 3








● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x = 0 ∨ x = 3 .
Thí dụ 52.

Giải phương trình: log x  log3 9x − 6


) = 1

(

(∗)

Đại học Dân Lập Đông Đô khối A, V năm 2001



0 < x ≠ 1

● Điều kiện: log 3 9x − 6 > 0 .

 x
9 − 6 > 0





(

(∗) ⇔ log (9
3

x

)

)

−6 = x

⇔ 9x − 6 = 3x
x
x



t = 3 > 0
 t = 3 = 3 (N) ⇔ x = 1 .
⇔ 2
⇔
t − t − 6 = 0
t = 3 x = − 2 (L )





● So với điều kiện, nghiệm x = 1 không thỏa. Vậy phương trình vô nghiệm.
Thí dụ 53.

(

)

(∗)

Giải phương trình: log 3 9x+1 − 4.3x − 2 = 2x + 1

Đại học Dân Lập Phương Đông năm 2001

● Điều kiện : 9 x +1 − 4.3 x − 2 > 0 .

(∗) ⇔ 9

x +1

− 4.3x − 2 = 32x+1

⇔ 9.32x − 3.32x − 4.3x − 2 = 0
⇔ 6.32x − 4.3 x − 2 = 0
x


t = 3 > 0
⇔ 2
⇔

6t − 4t − 2 = 0




x

t = 2 = 1

 t = 2x = − 1

3


(N)
⇔ x = 0.
L)
(

● Thay x = 0 vào điều kiện, điều kiện thỏa. Vậy nghiệm phương trình là x = 0 .
Thí dụ 54.

Giải phương trình: 5.32x−1 − 7.3x−1 + 1 − 6.3x + 9x +1 = 0

(1)

Đại học Hồng Đức khối A năm 2001

Page - 36 -

www.MATHVN.com


(1) ⇔
⇔

(

1 − 6.3x + 3.3x
2

(1 − 3.3 )
x

⇔ 1 − 3.3x =

=

2

)

=

7 x 5 x
.3 − . 3
3
3


2

( )

7 x 5 x
.3 − . 3
3
3

2

( )

7 x 5 x
.3 − . 3
3
3

2

( )

(2)

● Đặt t = 3 x > 0

7

5

(2) ⇔ 1 − 3t = 3 t − 3 t

2


7


7
5 2



0 ≤ t ≤

 t− t ≥ 0
7

0 ≤ t ≤
3
5
3






5
1

7
5 2

 2
⇔  1 − 3t = t − t ⇔ 5t − 16t + 3 = 0 ⇔ t =
∨ t=3



5
3
3

 2


 5t − 2t − 3 = 0

3



1 − 3t = 5 t2 − 7 t





t = 1 ∨ t = − 5


3
3





 x 1


3 =
t = 1
 x = log 1
3
⇔
5 ⇔ 
5 ⇔ 
5.

x
t=1
x=0
 3 = 1


● Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 0 ∨ x = log3
Thí dụ 55.

Giải bất phương trình: 2x + 23−x ≤ 9

1
.
5

(1)
Đại học Kỹ Thuật Công Nghệ năm 1998


(1) ⇔ 2

x

+

8
−9 ≤ 0
2x

x


t = 2 > 0
⇔ 2
t − 9t + 8 ≤ 0




t = 2x > 0

⇔

1 ≤ t ≤ 8




⇔ 1 ≤ 2x ≤ 8
⇔ 0 ≤ x ≤ 3.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; 3 .
2

Thí dụ 56.


x2 −2x

 1 2x−x

− 2 
≤3
 
3
 

(1)
Dự bị 2 – Đại học khối D năm 2005


Page - 37 -

www.MATHVN.com


(1) ⇔ 9

x2 −2x

(

2

2

− 2.3x −2x − 3 ≤ 0

⇔ 3x −2x

2

) − 2.3

x2 −2x

−3 ≤ 0

(2)

2

● Đặt: t = 3x −2x > 0 .

t > 0


(2) ⇔ t



2
 − 2t − 3 ≤ 0



t > 0

⇔

−1 ≤ t ≤ 3


⇔ 0 < t ≤ 3.
2

● Với 0 < t ≤ 3 ⇒ 0 < 3x −2x ≤ 3

⇔ x2 − 2x ≤ 1
⇔ x ∈ 1 − 2; 1 + 2  .


● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 1 − 2; 1 + 2  .


Thí dụ 57.

1
1
>
3 − 1 1 − 3x−1


x

(1)


3 x − 1 ≠ 0
3x ≠ 1
x ≠ 0




● Điều kiện: 
⇔  x−1
⇔


1 − 3x−1 ≠ 0
3 ≠ 1
x ≠ 1









(1) ⇔ 3
⇔

x

1
1
−
>0
− 1 1 − 3x−1

1 − 3x−1 − 3x + 1

(3

x

)(

− 1 1 − 3x−1

)

>0

3x
− 3x
3
⇔
>0
x

x
1 − 3 

3 −1 




3

2−

(

(2)

)

● Đặt t = 3 x > 0 .
t > 0


t > 0





4
 2− t


3

⇔
t−
(2) ⇔ 

3
>0


2


>0

t


(t − 1)1 − 
(t − 1)(4 − t)









3





Page - 38 -


www.MATHVN.com




 


 0 < x < log  3 
1 < 3x < 3
1 < t < 3

3 
2 .
⇔
 
2 ⇔ 
2 ⇔ 


t>4
4 < 3x


 x > log 3 4


● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0; log 3



Thí dụ 58.

x


− 21−

x


3

 ∪ (log 3 4; +∞) .
2


(1)

<1



(1) ⇔ 2

x

−

2
2

(2)

<1

x

● Đặt t = 2 x . Do x ≥ 0 ⇒ t ≥ 1 .


t ≥ 1

t ≥ 1

2) ⇔ 
⇔ 2
(

2
t − < 1
t − t − 2 < 0





t


⇔1≤ t<2 ⇔1≤2

x

< 2 ⇔ 0 ≤ x < 1.

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0;1) .
Thí dụ 59.

Giải bất phương trình: 3.9

x 2 −2x −x

− 49.3

x 2 −2x −x −1

≤6


● Điều kiện: x2 − 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2 .
x2 −2x −x

(1) ⇔ 3.9

● Đặt t = 3

− 7.3

x2 −2x −x

x2 −2x −x

≤6

(2)

> 0.

t > 0


(2) ⇔ 3t






2

− 7t − 6 ≤ 0

t > 0


⇔ 2

− ≤ t ≤ 3

 3



⇔ t≤3 ⇔ 3

x2 −2x −x

≤3

⇔ x 2 − 2x − x ≤ 1 ⇔ x 2 − 2x ≤ x + 1

 2


x ≤ 0 ∨ x ≥ 2
x − 2x ≥ 0
 1



− ≤ x ≤ 0

x + 1 ≥ 0
x ≥ − 1
⇔
⇔
⇔ 4
.



4
 2

2
x≥2

x − 2x ≤ (x + 1)
x ≥ −1








Page - 39 -

(1)

www.MATHVN.com



 1 
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ − ; 0 ∪ 2; +∞) .
 4  



Thí dụ 60.


x

+5<5

x +1

+5

x

(∗)

Đại học Dân Lập Ngoại Ngữ – Tin Học năm 1998

● Điều kiện: x ≥ 0 ⇒ Tập xác định: D = 0; +∞) .

(∗) ⇔ (5

x

2

) − 6.5

x

+5<0

x


t = 5 > 0
⇔ 2
t − 6t + 5 < 0




t = 5 x > 0


⇔
1 < t < 5




⇔1< t<5
⇔1<5

x

<5

⇔ 0 < x <1
⇔ 0 < x < 1.
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;1) .
Thí dụ 61.

8 + 21+x − 4 x + 21+x > 5


(1)
Cao đẳng Giao Thông năm 2004


(1) ⇔

2

( )

8 + 2.2 x − 2x

> 5 − 2.2x

t = 2 x > 0


⇔

 8 + 2t − t2 > 5 − 2.t









t > 0
t > 0


5 − 2t < 0

⇔
∨ 5 − 2t ≥ 0




2
2
2


8 + 2t − t ≥ 0
8 + 2t − t > (5 − 2t)





t > 0
t > 0








5
5
⇔ t >
∨ t ≤




2
2


−2 ≤ t ≤ 4


1 < t < 17





5



Page - 40 -

www.MATHVN.com


⇔


5
5
< t≤4 ∨ 1< t≤
2
2

⇔1< t≤4

⇔ 1 < 2x ≤ 4
⇔ 20 < 2x ≤ 22
⇔ 0<x ≤2
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0;2 .
Thí dụ 62.

(

2

)(

2

) (

Giải phương trình: 2x − 2 < 2x + 2 1 − 2x − 1

)

(∗)


● Điều kiện: 2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 .
● Đặt: t = 2x − 1, (t ≥ 0) ⇒ t2 = 2 x − 1 ⇒ 2 x = t2 + 1 .

(∗) ⇔ (t

2

(

2

) (

2

)

+ 1 − 2 < t2 + 1 + 2 (1 − t)
2

) (

2

)

⇔ t2 − 1 < t2 + 3 (t − 1)
2

(

)

2

(

)

2
⇔ (t − 1)(t + 1) − t2 + 3 (t − 1) < 0



2

2

⇔ (t − 1) (t + 1) − t2 + 3 (t − 1) < 0
2 
2
2
⇔ (t − 1) (t + 1) − (t + 3)  < 0



2

⇔ (t − 1) (2t − 2) < 0
3

⇔ 2 (t − 1) < 0 ⇔ t < 1 .
● V ới t < 1 ⇒ 2 x − 1 < 1 ⇔ 2 x < 2 ⇔ x < 1 .
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ 0;1) .
Thí dụ 63.

x

(

Giải phương trình: 9 3 + 11 2

)

x

(

+2 5+2 6

)

−2

(

x

3− 2

)

(∗)

<1

x


x
3



 9 3 + 11 2 =  3 + 2  =  3 + 2







x
2

x
2
x




● Nhận thấy rằng:  5 + 2 6 =  3 + 2  =  3 + 2 







x
x


 3+ 2
3− 2 = 3+ 2
3−








(
(
(

) (

) (
)(

)

)

) (

Page - 41 -

(

(

x

)





3

)

)(

.
x


2  =1


)

www.MATHVN.com


● Đặt t =

x

(

3+ 2

)

>0⇒

(

x

3− 2

)

=

1
.
t

 3

t + 2t2 − 2 1 < 1

t
(∗) ⇔ 

x

t = 3 + 2 > 0




(

)

t4 + 2t3 − t − 2 < 1


x
⇔

t = 3 + 2 > 0




(

)

(t − 1)(t + 2) t2 + t + 1 < 0


⇔
x

t = 3 + 2 > 0





(

(

)

)

−2 < t < 1


⇔


t = 3 + 2



(

x

)

>0

⇔ 0< t<1
x

(

⇔ 2+ 3

)

<1

⇔ x < 0.
● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) .
Thí dụ 64.

Giải phương trình: 5 x +

2.5x
52x − 4

>3 5

(∗)


● Điều kiện: 52x − 4 > 0 ⇔ 2x > log5 4 ⇔ x > log5 2 .
● Đặt u = 5 x > 0 .

(∗) ⇔ u +
⇔ u2 +

⇔

2u
u2 − 4

>3 5

4u2
4u2
+
> 45
u2 − 4
u2 − 4

u2
u2
+ 4.
> 45
u2 − 4
u2 − 4



u2
t =
>0

⇔

u2 − 4
2
t + 4t − 45 > 0




Page - 42 -



www.MATHVN.com




u2
t =
>0

⇔

u2 − 4

t > 5



⇔

u2
u2 − 4

>5

⇔ u2 > 5 u2 − 4
⇔ u 4 − 25u2 + 100 > 0
⇔ u 2 > 20 ∨ u 2 < 5

⇔ u > 20 ∨ u < 5
⇔ 5x > 20 ∨ 5x < 5
⇔ x > log5 20 ∨ x <

1
.
2


1

● So với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈ log5 2;  ∪ log5 20; +∞ .




2


(

)

f (x )
2.f x
2.f x
Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 2: α.a ( ) + β. (a.b ) + λ.b ( ) = 0 .

 Chia hai vế cho b
→
PP

Thí dụ 65.

2.f (x )

a f (x )
> 0 (chia cơ số lớn hoặc nhỏ nhất).
, rồi đặt ẩn phụ t =  
 
b 
 

(∗)

Giải phương trình: 8 x + 18 x = 2.27 x

Cao đẳng Sư Phạm Quãng Ngãi năm 2006

2x

3x

 3
 3
 
 
(∗) ⇔ 1 +  2  = 2. 2 

 
 

 
 

x
x




3

 
x



  >0
 3 > 0
 3
t = 
t = 



  = 1 ⇔ x = 0.


2
2
⇔

⇔

⇔ t= 

 3  2
 3  2
2

2t − t − 1 = 0
2t − t − 1 = 0







Thí dụ 66.

(∗)

Giải phương trình: 6.4 x − 13.6x + 6.9x = 0

Đại học Dân Lập Bình Dương năm 2001


Page - 43 -

www.MATHVN.com

x


2x

3

 
 
3

(∗) ⇔ 6 − 13. 2  + 6. 2  = 0
 
 
 
 
x


 


 3 > 0
t = 
2
⇔

⇔

 2 
6.t − 13t + 6 = 0




 x
2
 3 

 
  =
3
 2 
⇔ x = ±1 .
 x
 
 3 
3
  =

 2 
2
 

● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 .
Thí dụ 67.

(∗)

Giải phương trình: 25x + 15x = 2.9x

Đại học Dân Lập Hải Phòng khối A năm 2000


 5 2x  5 x
 
 
(∗) ⇔  3  +  3  − 2 = 0

 
 

 
 


 t = 1
t2 + t − 2 = 0


x

 t = −2
5


x


  = 1 ⇔ x = 0.
⇔
⇔
⇔ 
 
x
t =  5  > 0

3
5
 

 


  >0
3

t =  
 





 3

 



● Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 .
Thí dụ 68.


1
x
2.4

+

1
x
6

=

1
x
9

(∗)


1

1

 4 x  6 x


 
 
(∗) ⇔ 2. 9  +  9  − 1 = 0
 
 
 
 
2

 1
x
 2 x 
 
   +  2  − 1 = 0


⇔ 2.  
 
3
 3  

 




x

2
x



  = −1

 

t =  
 3
t =  2  > 0
 
 



3
⇔
⇔
 
x

2

1
2t2 + t − 1 = 0

t =   =
 



 3

2
 


(L )

x

2
1
1
⇔   = ⇔ x = log 2 .
 

 3
2
2
 
3

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = log 2
3

Thí dụ 69.

Giải phương trình: 9x + 6x = 22x +1

1
.
2

(∗)

Page - 44 -

www.MATHVN.com



Cao đẳng Bán Công Hoa Sen khối D năm 2006


(∗) ⇔ 9

x

+ 6x − 2.4 x = 0

2x

x

 3
 3
 
 
⇔   + 
 
 


2
2

x


 

t =  3  > 0

 
x

 
3

2

  = 1 ⇔ x = 0.
− 2 = 0 ⇔ 
⇔ 
 


2
 t = 1

 t = −2 ( L )




● Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 .
Thí dụ 70.

(∗)

Giải phương trình: 3.8 x + 4.12x − 18 x − 2.27 x = 0

Đại học khối A năm 2006

 3 x  3 2x
 3x
  −   − 2.  3  = 0
 
 

(∗) ⇔ 3 + 4. 2   2 
 


 
 
 
2


 x

3 > 0
t =  

2 

⇔
⇔
 3  3


2t + t − 4t − 3 = 0




 x

3 = 3

t =  
2
2

 
⇔ x = 1.

x

3

 


 t =  2  = − 1 ( L)
 



● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Thí dụ 71.

2

Giải phương trình: 42x − 2.4 x

2

+x

+ 42x = 0

(∗)

Cao đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Công Nghiệp II năm 2006


(∗) ⇔ 4

(

2x2 −2x

2

⇔ 4 x −x

2

− 2.4 x −x + 1 = 0 (chia hai vế cho 42x > 0 )
2

) − 2.4

x2 −x

+1 = 0

t = 4 x2 −x > 0

2

⇔ 2
⇔ t = 4 x −x = 1 ⇔ x 2 − x = 0 ⇔
t − 2t + 1 = 0





x = 0 .
x = 1


● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 2 .
Thí dụ 72.


3 x + 5 +1

+ 2.2

3 x +5 + x

= 2.4 x

(∗)

Dự bị – Cao đẳng Sư Phạm Hà Nam khối A năm 2006


Page - 45 -

www.MATHVN.com


(∗) ⇔

4

3

3

x +5 +1

⇔ 4.2

3

2.2 x +5 +x
−2 = 0
22x

+

4x

x +5 −x

+ 2.2

(

⇔ 4.4

)

2

3


x +5 −x

3

x +5 −x

+ 2.2

3

−2 = 0

x +5 −x

2 3 x+5 −x = t > 0


⇔ 2
⇔
4t + 2t − 2 = 0




−2 = 0

 3
2 x+5−x = t = 1 = 2−1

2
 3 x+5−x
2
= t = −1 (L)


⇔ 3 x + 5 − x = −1
⇔ 3 x + 5 = x −1
⇔ x + 5 = x 3 − 3x 2 + 3x − 1 .

⇔ x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3 .
Thí dụ 73.

2

Giải phương trình: 22x +1 − 9.2x

2

+x

+ 22x +2 = 0

(∗)

Đại học Thủy Lợi cơ sở II – Hệ chưa phân ban năm 2000

2x2

(∗) ⇔ 2.2

2

− 9.2 x +x + 4.22x = 0

2

2

⇔ 2.22x −2x − 9.2x −x + 4 = 0
⇔ 2.2

(

2 x2 −x

)

2

− 9.2x −x + 4 = 0

x 2 −x


>0
t = 2
⇔ 2
⇔
2t − 9t + 4 = 0




 x2 − x = 2
⇔  2
⇔
 x − x = −1

 x 2 −x = 4
2

2 x 2 − x = 1

2



 x = −1 .
x = 2


● Vậy phương trình có hai nghiệm là: x = −1 ∨ x = 2 .
Thí dụ 74.


log2 2x

−x

log2 6

= 2.3

log2 4x2

(∗)

Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh khối A năm 2001

x > 0

⇔ x > 0 ⇒ Tập xác định: D = (0; +∞) .

x ≠ 0



(∗) ⇔ 4

1+ log2 x

−6

log2 x

−6

⇔ 4.4

log2 x

− 2.3

2 log2 2x

=0

log2 x

− 2.9

1+log2 x

=0

Page - 46 -


⇔ 4.4

log2 x

−6
log2 x

 3
 
⇔ 4 − 
2
 


log2 x

− 18.9

log2 x

www.MATHVN.com


=0
2

 log2 x 
 3 

− 18.  
 =0

2
 




18t2 + t − 4 = 0



log x
⇔
  2

t =  3 

>0



2
 



log x

 3 2
4

 
=
t =  

2
9
 

⇔
log2 x
 3

1
t =  
=−
 

2


2



(N )
(L )

⇔ log2 x = −2
⇔x=

1
.
4

● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là x =
Thí dụ 75.

Giải bất phương trình: 32x + 4 + 45.6x − 9.22x +2 ≤ 0

1
.
4

(∗)

Cao đẳng Cộng Đồng Hà Tây năm 2005

● Tập xác định D = » .

(∗) ⇔ 81.9

x

+ 45.6x − 36.4 x ≤ 0
2x

x

3
 3
⇔ 81.  + 45.  − 36 ≤ 0
 
 
2
 
 

2

x


3


  >0
t = 
2
⇔


 2 
81t + 45t − 36 ≤ 0




t > 0


⇔

−1 ≤ t ≤ 4


9



4
9

⇔0<t≤
x

 3
4
⇔ 0<  <
 
2
9
 

⇔ x ≤ log 3
2

4
= −2 .
9

Page - 47 -

www.MATHVN.com



● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; −2 .

Thí dụ 76.

(∗)

Giải bất phương trình: 9 x − 10.6x + 6.4 x > 0

Đại học Dân Lập Văn Lang năm 1998
2

x
 x 
 3
 3  
 


∗) ⇔    − 10.   + 6 > 0
(
 
 
2
 2  


x


 

 
t =  3  > 0
2
⇔


2  
t − 10t + 6 > 0




t > 0


⇔
t < 5 − 19 ∨ t > 5 + 19



x

x

3

 
 
3

⇔   < 5 − 19 ∨   > 5 + 19
2
2
 
 

(

⇔ x < log 3 5 − 19

)

(

)

∨ x > log 3 5 + 19 .

2

2


 

 


● Vậy tập nghiệm cần tìm là x ∈ −∞; log 3 5 − 19  ∪ log 3 5 + 19 ; +∞ .
 


 

  2





2

(

1

Thí dụ 77.

1

1

Giải phương trình: 9.25 x − 16.15 x ≥ 25.9 x

)

(1)


2

1

 5 x
 5 x
 
 
(1) ⇔ 9. 3  − 16. 3  − 25 ≥ 0

 

 
 
 

(2)

1

 5 x
● Đặt t =   > 0 .
 
 3
 


t > 0

2) ⇔  2
(

9t − 16t − 25 ≥ 0



t > 0



  t ≤ −1
25
⇔ 
⇔ t≥


9
25

t≥


9


Page - 48 -

(

)

1

www.MATHVN.com


2

 5 x
25  5 
⇔  ≥
= 
 
 
 3
 

9
 

 3

⇔

1
1
1 − 2x
1
≥ 2 ⇔ −2 ≥ 0 ⇔
≥0⇔0<x≤ .
x
x
x
2

 1
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ 0;  .

 2 


Thí dụ 78.

Giải phương trình: 2x + 4.5x − 4 < 10x

(1)


(1) ⇔ 2

x

− 10x + 4.5x − 4 < 0

(

)

(

)

⇔ 2x 1 − 5x − 4 1 − 5x < 0

(

)(

)

⇔ 1 − 5x 2x − 4 < 0

1 − 5 x < 0


 x
2 − 4 > 0


⇔ 
⇔

1 − 5 x > 0


 x

2 − 4 < 0


5x


 x
2


 x

5


2x




>1
x > 2
⇔ 
⇔ x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞) .
<1
 x < 0
<4

>4

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (2; +∞) .
Thí dụ 79.

Giải bất phương trình: 8.3x +

x

+9

x +1

≥ 9x

(∗)

Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Hà Huy Tập – Hà Tỉnh


(∗) ⇔ 8.3

x+ x

⇔ 8.3

x −x

+ 9.3

(

)

⇔ 9.3

2

+ 9.32

x −x

x

≥ 32x

(

x −x

+ 8.3

x −x

2

)

≥1
−1 ≥ 0

 t = 3 x −x > 0


⇔ 2

9t + 8t − 1 ≥ 0



t = 3 x −x > 0



⇔
1

t ≤ −1 ∨ t ≥

9


⇔ t=3

x −x

≥

1
= 3−2
9

⇔ x − x ≥ −2

Page - 49 -

www.MATHVN.com



⇔ x ≥ x −2

x − 2 ≤ 0
x − 2 ≥ 0

⇔
∨ 


2


x ≥ 0
x ≥ x − 4x + 4



x ≥ 2

⇔ 0≤x ≤2 ∨ 

1 ≤ x ≤ 4


⇔ 0≤ x ≤2 ∨ 2≤ x ≤4.
⇔ 0≤ x ≤ 4.
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x ∈  0; 4 .
 
Thí dụ 80.

Giải bất phương trình: 2.3

x +4 x

4

+9

x+

1
2

≥9

(1)

x


x +4 x

(1) ⇔ 2.3
⇔ 2.

3

⇔ 2.3

x +4 x

32
4

+ 3.9

+ 3.

x

x− x

● Đặt t = 3

4

x

9

4

9

+ 3.9

x− x

4

4

≥9

x

(chia hai vế cho 9 x )

x
x

≥1

x− x

(2)

≥1

> 0.

t = 3 4 x − x > 0


2) ⇔  2
(

3t + 2t − 1 ≥ 0



⇔ t≥

4
1
⇔ 3 x−
3

x

≥ 3−1

⇔ 4 x − x ≥ −1
x − 4 x −1 ≤ 0

⇔
⇔

4

x≤

1+ 5
2

⇔0≤x≤

7+3 5
.
2

 7 + 3 5
.
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈  0;

2



Thí dụ 81.

Giải bất phương trình: 32x − 8.3x+

x +4

− 9.9

x +4

>0

(1)

Đại học Sư Phạm Hà Nội khối B, D năm 2000

Page - 50 -


www.MATHVN.com


● Điều kiện: x ≥ −4 .

(1) ⇔ 3
⇔

2x

− 8.3x+

32x
3

− 8.

2 x +4

(

2 x − x +4

⇔3

)

● Đặt t = 3x−

x +4

− 9.9

3x+

x+4

3

2 x +4

− 8.3x−
x +4

x+4

>0
(Chia hai vế cho 9

−9> 0

x +4

x +4

)

(2)

−9 > 0

> 0.

t = 3 x − x + 4 > 0


(2) ⇔ t2 − 8t − 9 > 0





⇔ t>9
⇔ 3 x−

x +4

> 32

⇔ x− x+4 >2
⇔ x +4 < x +2

x > −2


x + 2 > 0
⇔
⇔ 2
⇔ x > 0.


2
(x + 2) > x + 4
x + 3x > 0







● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (0; +∞) .
Thí dụ 82.

(

)

(∗)

Giải bất phương trình: log2 7.10x − 5.25x > 2x + 1

Đại học Thủy Sản năm 1999
x

 10 
5
5
● Điều kiện: 7.10 − 5.25 > 0 ⇔ 7.10 > 5.25 ⇔   > ⇔ x < log 10 .
 

 25 
7
7
 
25
x

(∗) ⇔ 7.10

x

x

x

x

− 5.25x > 22x +1
(Chia hai vế cho 4 x )

⇔ 7.10 x − 5.25 x − 2.4 x > 0
2

x
 x 
 
 5  − 5.  5   − 2 > 0
⇔ 7.  
  

2
 

 
 2  


x


 

t =  5  > 0
 

2
⇔

 


− 2
 5t + 7t − 2 > 0

x


 

t =  5  > 0

 

2
 
⇔

2

 < t<1


5

Page - 51 -

www.MATHVN.com



x

2 5
⇔ <  <1
 
5 2
 

⇔ −1 < x < 0 .
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ (−1; 0) .
Thí dụ 83.

Giải bất phương trình: 4 x − 3.2x+

x 2 −2x −3

− 41+

x 2 −2x −3

>0

(1)

Cao đẳng khối A, B, D năm 2011

● Điều kiện: x2 − 2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ∨ x ≥ 3 .

(∗) ⇔ 2

2x

− 3.2x.2

⇔ 1 − 3.2

x2 −2x−3

x2 −2x−3 −x

x2 −2x−3

− 4.22

x2 −2x−3 −x

− 4.22

>0

>0

(chia hai vế cho 22x )


t = 2 x2 −2x−3 −x > 0

⇔ 2

4t + 3t − 1 < 0





t = 2 x2 −2x−3 −x > 0


⇔

−1 < t < 1


4


⇔ 0<2

x2 −2x−3 −x

<

1
4

⇔ x 2 − 2x − 3 − x < −2
⇔ x 2 − 2x − 3 < x − 2


x − 2 > 0
 2
7
⇔ x − 2x − 3 ≥ 0
⇔ 3≤x< .

 2
2
x − 2x − 3 < x 2 − 4x + 4



 7
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: x ∈ 3;  .
 2



Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 3: a
PP
 Đặt t = a
→

Thí dụ 84.

f (x )


(

⇒b

f (x )

x

f (x )

=

f (x )

= c với a.b = 1

1
.
t

) +(

2 −1

+b

x

)

2 +1 −2 2 = 0

(∗)
Đại học khối B năm 2007



Page - 52 -

www.MATHVN.com


● Ta có:

(

● Đặt t =

)(

)

2 −1

(

2 +1 = 1 ⇔
x

)

1

(∗) ⇔ t + t − 2

x

)(

)

2 −1
x

(

2 +1 > 0 ⇒

x

(

2 +1


= 1x = 1 .

1
= .
t

)

2 −1

2 = 0 ⇔ t2 − 2 2 + 1 = 0







(
(

t = 2 + 1

⇔
⇔
t = 2 − 1


x

)
2 + 1)

x = 1
.
⇔ 
 x = −1
= 2 −1

2 +1

= 2 +1

x

Thí dụ 85.

x

(

Giải phương trình: 2 + 3

x

) (

+ 2− 3

)

(1)

=4

Đại học Tổng Hợp Tp. HCM khối D năm 1994 – Đại học Quốc Gia Tp. HCM năm 1996


(

)(

(

)

x

x

(

●

Ta có : 2 + 3 . 2 − 3 = 1 ⇔ 2 + 3

●

Đặt t = 2 + 3

(1) ⇔ t +

)

x

(

> 0 ⇒ 2− 3

)

1
= 4 ⇔ t2 − 4t + 1 = 0 ⇔
t

=

x

) (

. 2− 3

1
x

(2 + 3 )

=

)

= 1x = 1 .

1
> 0.
t

t = 2 + 3 > 0 N
( )


 t = 2 − 3 > 0 ( N)


x

(

)

(

)

● Với t = 2 + 3 ⇒ 2 + 3

= 2 + 3 ⇔ x = 1.

−x

● Với t = 2 − 3 ⇒ 2 − 3

= 2 − 3 ⇔ x = −1 .

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 .
Thí dụ 86.

3
x 
x
 5 + 2 6  +  3 5 − 2 6  = 10
Giải phương trình: 












(∗)






● Ta có:  3 5 + 2 6  3 5 − 2 6  =









x

3

(5 + 2 6 )(5 − 2 6 ) = 1 .

x

x


 



1
⇒  3 5 + 2 6  .  3 5 − 2 6  = 1x = 1 ⇔  3 5 − 2 6  =
.
 




x
 





 



3


 5−2 6






Page - 53 -

www.MATHVN.com

x


x





1




● Đặt t =  3 5 + 2 6  > 0 ⇒  3 5 − 2 6  = .








t

t = 5 + 2 6 > 0 N
( )


 t = 5 − 2 6 > 0 (N )


(∗) ⇔ t + 1 − 10 = 0 ⇔ t2 − 10t + 1 = 0 ⇔
t

x


t =  3 5 + 2 6  = 5 + 2 6


x = 3






.
⇔
⇔ 
x

3

 x = −3




t =  5 + 2 6  = 5 − 2 6





Thí dụ 87.

x

(

Giải phương trình: 5 − 21

)

x

(

+ 7 5 + 21

)

(∗)

= 2x + 3

Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1997


(

)(

)

x

(

x

) (

● Nhận xét: 5 + 21 . 5 − 21 = 4 ⇔ 5 + 21 . 5 − 21
x

(

● Đặt: t = 5 + 21

(∗) ⇔

)

(

)

= 4x .

4x
> 0.
t

x

> 0 ⇒ 5 − 21

)

=

4x
+ 7.t = 2x +3
t

⇔ 7t2 − 8.2x t + 4 x = 0

(

∆ ' = 16.4 x − 7.4 x = 9.4 x = 3.2x

x

2

)

x
x

 t = 4.2 + 3.2 = 2x > 0

7
⇒

2x
t =
>0
7


(N )

x

x

(

● Với t = 2 ⇒ 5 + 21

(


=2 ⇔





x



2x
2



=
⇔

 = 7 ⇔ x = log 2  7 .



 5 + 21 

7





 5+ 21 



)

2x
● Vớ i t =
⇒ 5 + 21
7

x


 = 1 ⇔ x = 0.



5 + 21 
2

x

)

● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = log


 2 





 5+ 21 


Thí dụ 88.

(N )

sin x

(


)

(

+ 8−3 7

sin x

)

= 16



Page - 54 -

(∗)

7.

.

www.MATHVN.com


(

)(

(

)

)

sin x

(

● Ta có : 8 + 3 7 . 8 − 3 7 = 1 ⇔ 8 + 3 7
sin x

● Đặt t = 8 + 3 7

(∗) ⇔ t +

sin x

(

> 0 ⇒ 8−3 7

1
= 16 ⇔ t2 − 16t + 1 = 0 ⇔
t


)

=

sin x

) . (8 − 3 7 )
1
⇒ 8−3 7
t

(

= 1sin x = 1 .

− sin x

)

t = 8 + 3 7 > 0 N
( )


 t = 8 − 3 7 > 0 (N)


sin x

(

● Vớ i t = 8 + 3 7 ⇒ 8 + 3 7

)

= 8 + 3 7 ⇔ sin x = 1 ⇔ x =

− sin x

(

● Vớ i t = 8 − 3 7 ⇒ 8 − 3 7

)

= t.

π
+ k2π, (k ∈ ») .
2

π
= 8 − 3 7 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − + lπ, (l ∈ ») .
2

● Vậy phương trình có hai tập nghiệm: x =

π
π
+ k2π ∨ x = − + l π, (k, l ∈ ») .
2
2

 f (x ) g (x )
f (x )+g (x )
=a
a .a

f (x )
g (x )
Các thí dụ về đặt ẩn phụ dạng 4: α.a
+  a f (x )
+ β.a
+b =0 .
f (x )−g (x )

=a
 g (x )
 a
f (x )


u = a

đưa về phương trình tích số hoặc phương trình thuần nhất hoặc hệ.
 Đặt 
→
v = a g (x )



PP

Thí dụ 89.

2


+x

− 4.2x

2

−x

− 22x + 4 = 0

(∗)
Đại học khối D năm 2006

Cách giải 1. Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích số
2
u = 2x2 +x > 0

2
u 2x +x

● Đặt 
⇒ = 2x = 2 x −x .
2x

v
2
v = 2 > 0



u

(∗) ⇔ u − 4. v − v + 4 = 0
⇔ uv − v2 − 4u + 4v = 0
⇔ v ( u − v ) − 4 (u − v ) = 0
⇔ (u − v )(v − 4) = 0
2x2 + x = 22x
 x 2 + x = 2x
u = v
x = 0

⇔
⇔  2x
⇔ 
⇔ 
.
2 = 4
2x = 2
 v = 4
 x = 1

Cách giải 2. Đưa về phương trình tích số

Page - 55 -


www.MATHVN.com

2

2

(∗) ⇔ 2x .2x − 2x.2x − 4.

2x
+4=0
2x

x
 x2
2
2 − 2 
= 0
⇔ 2x 2x − 2x − 4 



 2x 



(

)


2
4

⇔ 2x − 2x 2x − x  = 0




2 


(

)

x
 x2
 2

2 = 2
x = x ⇔ x = 0 .

⇔ x
⇔ x
4


4 = 4
 x = 1
2 = x
2


Thí dụ 90.

Giải phương trình: 25.2x − 10x + 5x = 25

(∗)


(∗) ⇔ 25.2

x

− 25 − 2x.5x + 5x = 0

(

)

(

)

⇔ 25 2x − 1 − 5x 2x − 1 = 0

(

)(

)

⇔ 2x − 1 25 − 5 x = 0
2 x − 1 = 0
2 x = 1
x = 0
⇔ 
⇔  x
⇔ 
.
x
25 − 5 = 0
5 = 25
 x = 2

● Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0 ∨ x = 2 .
Thí dụ 91.

(∗)

Giải phương trình: 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20

(∗) ⇔ 3.3 (4 + 5 ) − 5 (5
x

(

x

)(

x

)

+4 =0

)

⇔ 5x + 4 3.3 x − 5 = 0
5x + 4 = 0 : Vô nghiêm do 5x + 4 > 0, ∀x ∈ »
⇔  x
3.3 − 5 = 0

⇔ 3x =

5
5
⇔ x = log3 .
3
3

● Vậy phương trình có một nghiệm: x = log3
Thí dụ 92.

Giải phương trình: 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20

5
.
3

(∗)


Page - 56 -



www.MATHVN.com


Cách 1. Nghiệm của phương trình bậc hai (theo x)

(∗) ⇔ 2x

2

(

)

− 3 1 − 4.3x .x − 6.3x + 1 = 0

(

)

(

)

(

x

 x = 3 − 12.3

⇒
3 − 12.3 x

x =



+ 12.3x − 1
x = 1
=1

4
2
⇔
x
− 12.3 + 1
 3x = 1 − x
= 1 − 6.3x

6 6
4


2

)

∆ = 9 1 − 8.3x + 16.9x − 8 −6.3x + 1 = 144.9x − 24.3 x + 1 = 12.3x − 1

(1)

● Ta có: x = −1 là một nghiệm của phương trình (1)
Hàm số f (x ) = 3x đồng biến ∀x ∈ » .
Hàm số y =

1 x
− nghịch biến ∀x ∈ » .
6 6

⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x =

1
.
2

Cách 2. Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử

(∗) ⇔ 2x

2

− 3x + 1 + 6.3x. (2x − 1) = 0



1


⇔ 2 (x − 1)x −  + 6.3x. (2x − 1) = 0

2



(

⇔ (2x − 1) x − 1 + 6.3x

)


x = 1

2
=0⇔
3 x = 1 − x

6 6


(1)

● Ta có: x = −1 là một nghiệm của phương trình (1)
Hàm số f (x ) = 3x đồng biến ∀x ∈ » .
Hàm số y =

1 x
− nghịch biến ∀x ∈ » .
6 6

⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x =
Thí dụ 93.

Giải phương trình : 4x2 + x.3 x + 31+x = 2x2 .3 x + 2x + 6

1
.
2

(∗)

Học Viện Chính Trị Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh – Hệ chưa phân ban năm 2000


(∗) ⇔ (4x

2

) (

) (

)

− 2x 2 .3x + x.3 x − 2x + 3.3x − 6 = 0

Page - 57 -

www.MATHVN.com


(

)

(

)

(


)

⇔ 2x2 2 − 3 x − x 2 − 3 x − 3 2 − 3x = 0

(

)(

)

⇔ 2 − 3x 2x 2 − x − 3 = 0
x

3
2 − 3 = 0
⇔ 2
⇔ x = log 3 2 ∨ x = −1 ∨ x = .
2
2x − x − 3 = 0

● Vậy phương trình có ba nghiệm là x = −1 ∨ x = log3 2 ∨ x =
Thí dụ 94.

(

)

Giải phương trình: x 2 .5x−1 − 3x − 3.5x−1 x + 2.5x−1 − 3x = 0

●

Tập xác định D = » .

Cách 1. Nghiệm của phương trình bậc hai (theo x)

(∗) ⇔ 5 .x
x

2

(

)

− 5.3x − 3.5x .x + 2.5x − 5.3x = 0

(

∆ = 5.3 x − 3.5x

2

)

(


 x = −1
 3 ⇔
⇒ 
 

 x = −2 + 5.  5 
 
 

●

) (

− 4.5x. 2.5 x − 5.3 x = 5.3x − 5x

 x = −1
 x
x +2
 3 
  =


5
5


2

)

(1)

Phương trình (1) có một nghiệm là x = 1 .
x

3
Hàm số f (x ) =   nghịch biến ∀x ∈ » .
 

5
 
Hàm số g (x ) =

1
2
x + đồng biến ∀x ∈ » .
5
5

⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
●

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 .
Cách 2. Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử

(∗) ⇔ (x

2

)

+ 3x + 2 .5x − 5 (x + 1).3x = 0

 x = −1

⇔ (x + 1) (x + 2).5x − 5.3x  = 0 ⇔  3 x

x +2



  =


5
5

●

Phương trình (1) có một nghiệm là x = 1 .
x

3
Hàm số f (x ) =   nghịch biến ∀x ∈ » .
 

5
 

Page - 58 -

(1)

3
.
2

(∗)

www.MATHVN.com


Hàm số g (x ) =


1
2
x + đồng biến ∀x ∈ » .
5
5

⇒ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
●
Thí dụ 95.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = −1 ∨ x = 1 .

Giải phương trình: 5cos

2

x

(∗)

= sin x


●

●

Tập xác định D = » .

2

Ta có: cos2 x ≥ 0 ⇔ 5cos

5cos2 x ≥ 1


 2

0
≥ 5 ⇔ 5cos x = sin x .


sin x ≤ 1





x

 cos2 x = 1
cos2 x = 0


π
5
⇒
⇔
⇔ x = + kπ,

sin x = 1
sin x = 1
2







●
Thí dụ 96.

Vậy phương trình có một tập nghiệm: x =

Giải phương trình: sin1999 x + cos1999 x = 1

(k ∈ » ) .

π
+ kπ,
2

(k ∈ » ) .

(∗)
Đại học Y Tp. Hồ Chí Minh năm 1999


(∗) ⇔ 1 − sin

1999

x − cos1999 x = 0

⇔ sin2 x + cos2 x − sin2 x sin1997 x − cos2 x cos1997 x = 0

(

)

(

)

⇔ sin 2 x 1 − sin1997 x + cos2 x 1 − cos1997 x = 0

sin2 x 1 − sin1997 x ≥ 0


● Ta có:  2

cos x 1 − cos1997 x ≥ 0




(
(

)
)

(1)

(2)

sin2 x 1 − sin1997 x = 0


● Từ (1), (2) ⇒  2

cos x 1 − cos1997 x = 0




(
(

)
)

 x = k2π
sin x = 0
cos x = 0





⇔
∨ 
⇔
.
 x = π + k2π


cos x = 1
sin x = 1



2

● Vậy phương trình có hai tập nghiệm: x = k2π ∨ x =
Thí dụ 97.

Giải phương trình: 4 sin

2

x

2

+ 4 cos

x

= 6 + cos 2x

(1)



Page - 59 -

π
+ k2π .
2

Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com

Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com

Similar to Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

Chuyên đề mũ - Logarit ôn thi đại học - levietthuat.com