Download to read offline
Uploaded byВячеслав Пырков
0 характеристика основных числовых множеств
Документ содержит вводную лекцию о числовых множествах и операциях с ними, охватывающую натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные и комплексные числа. Основные темы включают свойства чисел, операции над множествами, наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК). Также представлен материал о делимости и характеристиках чисел.
More Related Content
Similar to 0 характеристика основных числовых множеств
0 характеристика основных числовых множеств
- 1. Характеристика основных числовыхмножеств. Операции над числовыми множествами. ЭМ и ПРМЗ, Лекция вводная к.п.н., доц. Пырков Вячеслав Евгеньевич pyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.rupyrkov-professor.ru pyrkovve@yandex.ru
- 2. План 1. Натуральные числаи их свойства 2. Десятичная система счисления 3. Простые и составные числа 4. НОД и НОК 5. Признаки делимости 6. Целые числа и их свойства 7. Рациональные числа и их свойства 8. Иррациональные числа и их свойства 9. Действительные числа и их свойства 10. Комплексные числа и их свойства
- 3. 1. Натуральные числаи их свойства Натуральные числа – это числа предназначенные для счета предметов. N = {1, 2, 3, 4, …} Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N (от лат. naturalis — естественный). Свойства множества натуральных чисел 1о Минимальный элемент - 1; 2о Максимальный элемент отсутствует; 3о Множество N упорядочено; 4o Множество N дискретно; 5о Множество N замкнуто относительно операций сложения и умножения; 6о Множество N не замкнуто относительно операций вычитания и деления.
- 4. Свойства операций, замкнутыхна N КоммутативностьКоммутативность сложения умножения АссоциативностьАссоциативность сложения умножения ДистрибутивностьДистрибутивность умножения относительно сложения.
- 5. 2. Десятичная системасчисления Число x в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10: , где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра в десятичном представлении x была также ненулевой. Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:
- 6. 3. Простые исоставные числа Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя. Если натуральное число делится толькотолько на 1 и на само себя, то оно называется простым. Число 2 - наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа - нечётные. Простых чисел бесконечно много. Некоторые натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа. Например 12 делится на {1; 2; 3; 4; 6; 12} Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
- 7. 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, Вычеркиваем числа, кратные 2Вычеркиваем числа, кратные 2Вычеркиваем числа, кратные 3Вычеркиваем числа, кратные 3Вычеркиваем числа, кратные 5Вычеркиваем числа, кратные 5Вычеркиваем числа, кратные 7Вычеркиваем числа, кратные 7ВычеркиваемВычеркиваем числа, кратные 11числа, кратные 11?? 22
- 8. 4. Наибольший общийделитель (НОД) Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b. Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b - это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка. Пример: НОД (12; 36) = 12. Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой "Д". Д (7) = {1, 7}; Д (9) = {1, 9}; НОД (7; 9) = 1 Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель - число 1. Такие числа называют взаимно простыми числами. Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1. Их НОД равен 1.
- 9. Наибольший общий делитель(НОД) Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно: 1. Разложить числа на простые множители. 2. Подчеркнуть одинаковые простые множители в обоих числах. 3. Найти произведение одинаковых простых множителей и записать ответ. НОД (48; 36) = 2 • 2 • 3 = 12 Д (10) = {1, 2, 5, 10} Д (15) = {1, 3, 5, 15} Д (10, 15) = {1, 5} НОД (10; 15) = 5 Д (10) = {1, 2, 5, 10} Д (15) = {1, 3, 5, 15} Д (10, 15) = {1, 5} НОД (10; 15) = 5
- 10. Алгоритм Евклида дляНОД Алгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть НОД исходной пары. Евклид, 325 – 265 гг до н.э. 66 42 18 6 12 6 24 24 24 18 6 6 НОД (66, 24) = 6 66:24= 2 (ост. 18) 24:18=1 (ост.6) 18:6=3 (ост.0) НОД (66, 24) = 6 Д/з: НОД (42628, 33124)
- 11. 4. Наименьшее общеекратное (НОК) Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшеенаименьшее натуральное число, которое самосамо делитсяделится нацело на каждое из этих чисел. Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело. Первый способ нахождения НОК Выписать кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для них обоих. Пример. Найти НОК (6 , 8). К (6) = {12, 18, 24, 30, ...} К (8) = {8, 16, 24, 32, ...} НОК (6, 8) = 24НОК (6, 8) = 24 Первый способ нахождения НОК Выписать кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для них обоих. Пример. Найти НОК (6 , 8). К (6) = {12, 18, 24, 30, ...} К (8) = {8, 16, 24, 32, ...} НОК (6, 8) = 24НОК (6, 8) = 24 Второй способ нахождения НОК 1. Разложить числа на простые множители. 2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним - разложение остальных чисел. 3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. 4. Полученное произведение записать в ответ. Второй способ нахождения НОК 1. Разложить числа на простые множители. 2. Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним - разложение остальных чисел. 3. Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение бóльшего числа. 4. Полученное произведение записать в ответ.
- 12. Особые случаи нахожденияНОК Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу. Например, НОК (60, 15) = 60 Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, НОК (8, 9) = 72 Д/з: НОК (112, 96)
- 13.
- 14. 5. Признаки делимости Д/з:Дайте «характеристику» числа 2520
- 15. 5. Признаки делимости Д/з:Сформулируйте признаки делимости на 12, на14, на 15, на 16, на 18, на 20.
- 16. 6. Целые числаи их свойства Целые числа – это множество чисел N U{0}UN— . Множество всех целых чисел обозначают знаком Z (от нем. Zahlen — числа). Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …} Свойства множества целых чисел 1о Минимальный и максимальный элементы отсутствуют; 2о Множество упорядочено; 3о Множество Z дискретно; 4o Множество Z замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения; 5о Множество Z не замкнуто относительно операций деления. 6о Не существует взаимно-однозначного соответствия Z с точками прямой. Д/з: Выписать в тетрадь правила выполнения арифметических действий на Z.
- 17.
- 18. 7. Рациональные числа.Понятие дроби. сократимая / несократимая периодическая / непериодическая
- 19. 7. Рациональные числаи их свойства
- 20. 7. Рациональные числаи их свойства Способы перевода десятичной дроби в обыкновенную Д/з: Выполнить перевод тремя способами дроби 0,3(56).
- 21.
- 22. 8. Иррациональные числаи их свойства Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. (I=RQ)
- 23. 9. Действительные числаи их свойства Множество действительных чисел обозначается R от лат. realis — действительный.
- 24. 10. Комплексные числаи их свойства
- 25. 10. Комплексные числаи их свойства
Editor's Notes
- #4 2. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число. 3. На множестве введено отношение порядка
- #6 Десяти́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.
- #7 Пример: для чисел 70 и 105 наибольший общий делитель равен 35. Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел.
- #8 Например: число 36 делится на {1; 2; 3; 4; 6; 12; 18; 36}. Числа, на которые число делится нацело называются делителями числа.
- #9 Решето Эратосфена
- #10 Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12.
- #11 Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа - делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64. Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или "в строчку".
- #12 Алгоритм Евклида применяется к паре положительных целых чисел и формирует новую пару, которая состоит из меньшего числа и разницы между большим и меньшим числом. Процесс повторяется, пока числа не станут равными. Найденное число и есть наибольший общий делитель исходной пары. Ответ на д/з: 4
- #13 Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК). Кратное числу "a" - это число, которое само делится на число "a" без остатка. Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 ... Кратные 9: 18, 27, 36, 45 ... Чисел, кратных данному числу "a" бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей - конечное количество. НОК можно найти и записать двумя способами. Первый способ нахождения НОК для небольших чисел. Второй способ удобен для трех и более чисел.
- #14 Формула показывает связь между НОД и НОК
- #15 4. Например число 14676 его последние цифры 76, а число 76 делится на 4: 76:4=19. Например, число 42 не делится на 4, так как не делится на 4.
- #16 7. Например, 138689257 делится на 7, так как на 7 делится |138-689+257|=294. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15*3+4=49. Другой пример — число 1001 делится на 7, так как на 7 делятся 100*3+1=301, 30*3+1=91, 9*3+1=28, 2*3+8=14, 1*3+4=7. 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится 9. Например, сумма цифр числа 12345678 делится на 9, следовательно и само число делится на 9.
- #17 11. Например, 9163627 делится на 11, так как |9-1+6-3+6-2+7|=22 делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как |9-9+0-7+7|=0 делится на 11. Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся 10+37+85=132 и 01+32=33 13. Например 845 делится 13, так как на 13 делятся 84+5*4=104 и 10+4*4=26 Например 845 делится 13, так как на 13 делятся 84-9*5=39. 17. Например, 221 делится на 17, так как |22-5*1|=17 делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как |22+12*1|=34 делится на 17. 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся 64+2*6=76 и 7+2*6=19.
- #18 Для каждого nϵN ∃! число –n. Числа N – положительные целые числа, N- - отрицательные целые числа Множество целых чисел — , определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (−). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел дает снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3…), чисел вида и числа ноль. Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения. Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445—1500).
- #19 Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным. Для целых чисел справедливы следующие соотношения: 1) если a < b и c < d, тогда a + c < b + d. 2) если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)
- #20 Теорема: Несократимую обыкновенную дробь можно привести к конечной десятичной дроби в том и только в том случае, если канонический вид знаменателя не содержит других простых множителей кроме 2 и 5. Две дроби 𝑎/𝑏 и 𝑐/𝑑 являются равными, если выполняется ad=bc. Основное свойство дроби: Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же не равное нулю число, при этом величина дроби не изменится.
- #22 3 способ: Чтобы бесконечную периодическую десятичную дробь перевести в обыкновенную надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода и записать эту разность в числителе. В знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде и приписать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. 0, 35656.. (356−3)/990=353/990
- #23 Правила действий над рациональными числами сводятся к правилам действий над целыми числами. Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй.
- #24 т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел. Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным. Извлечение корня приводит к алгебраическим I-числам: √2, √3 Нахождение значений логарифма по положительному основанию, тригонометрических функций – приводит к образованию иррациональных трансцендентных чисел log25, sin2, …
- #25 Веще́ственное, или действи́тельное число — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений. Числовая прямая Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами. Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.
- #26 Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач во всех областях математики и физики, в частности, в теории чисел, многие задачи которой, касающиеся натуральных чисел, получили решение только с использованием понятия комплексного числа.
- #27 Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу z=x+iy сопоставим точку плоскости с координатами {x; y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями. Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже. В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза». Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.