111

1. КЛАСС
, о . » * « « * • 1
*t ® ________
ПРОСВЕЩЕНИЕ
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О

2. ЛГЕБРА
КЛАСС
У Ч ЕБН И К
ДЛЯ О БЩ ЕО БРАЗО ВАТЕЛЬНЫ Х
О РГАНИ ЗАЦ ИЙ
с прилож ением
на электронном носителе
Под редакцией С.А. ТЕЛЯКОВСКОГО
Рекомендовано Министерством
образования и науки Российской Федерации
Москва
«Просвещение »
2013

3. У Д К 373.167.1:512
Б Б К 22.14я72
А45
Авторы:
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк,
К. И. Нешков, С. Б. Суворова
На учебник получены положительные заклю чения Российской
академии наук (№ 10106-5215/580 от 14.10.11)
и Российской академии образования (№ 01-5/7д-337 от 17.10.11)
Алгебра. 8 класс : учеб. для общеобразоват. организаций с
А45 прил. на электрон, носителе / [Ю . Н. М акарычев, Н . Г. М ин­
дюк, К . И. Неш ков, С. Б. Суворова] ; под ред. С. А . Теляков-
ского. — М. : Просвещение, 2013. — 287 с. : ил. — IS B N
978-5-09-022881-7.
Данный учебник является частью трёхлетнего курса алгебры для об­
щеобразовательных школ. Новое издание учебника дополнено и перера­
ботано. Его математическое содержание позволяет достичь планируе­
мых результатов обучения, предусмотренных ФГОС. В задачный
материал включены новые по форме задания: задания для работы в па­
рах и задачи-исследования. В конце учебника приводится список лите­
ратуры, дополняющей его.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
ISBN 978-5-09-022881-7 © Издательство «Просвещение*, 2013
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2013
Все права защищены

4. Дорогие восьмиклассники!
В этом году вы продолжите изучение
алгебры. Ваш и представления о выражени­
ях, числах, ф ункциях, уравнениях и нера­
венствах пополнятся и расш ирятся. Если
в 7 классе вы занимались преобразованием
целых выражений, то теперь познакоми­
тесь с преобразованием дробей. Вы впервые
встретитесь с иррациональными числами,
изучите свойства новых функций: обрат­
ной пропорциональности у = — и функции
у = 4х — и научитесь строить их графики.
В ы познакомитесь с некоторыми способа­
ми решения квадратных и дробных рацио­
нальных уравнений, неравенств с одной
переменной и их систем. Вам предстоит
сделать новые шаги в изучении статисти­
ки. Наглядное представление статистиче­
ской информации поможет вам в вос­
приятии сведений экономического и соци­
ального характера из газет, журналов,
теленовостей.
Весь новый материал подробно разъ­
ясняется в объяснительных текстах учеб­
ника, приводятся решения различных за­
дач. Правила и свойства, которые нужно
запомнить, даны на цветном фоне, чтобы
вы обратили на них внимание. Если вы
забыли что-то из ранее изученного, то мо­
жете обратиться к разделу «Сведения из
курса алгебры 7 класса». Контрольные во­
просы и задания помогут вам проверить,
как вы усвоили изученный материал.
В учебнике вам предлагаются разно­
образные упражнения. Надеемся, что вы
примете активное участие в выполнении
упражнений под названием «задача-иссле-
дование», рассчитанных на коллективное
обсуждение приёмов решения, а такж е в
выполнении заданий, предназначенных для

5. работы в парах. Вы полняя такие задания, вы научитесь прислуш и­
ваться к мнению товарищей и отстаивать свою позицию. При работе с
учебником рекомендуем использовать специальный диск, где предла­
гаются упражнения, которые вы можете выполнить на компьютере.
Если вы интересуетесь математикой, то ваше внимание, безус­
ловно, привлечёт материал под рубрикой «Для тех, кто хочет знать
больше», помещённый в конце каждой главы. Специально для
учащ ихся, находящих радость в решении непростых задач, в учеб­
нике даны «Задачи повышенной трудности». Решение таких задач
поможет не только расширить кругозор, но и подготовиться к уча­
стию в математических олимпиадах.
Конечно, многим из вас любопытно узнать, как и почему зарож­
дался и затем развивался тот или иной раздел алгебры. Д ля ответов
на эти вопросы в учебнике приведены «Исторические сведения».
Ж елаем вам успехов в изучении алгебры.
В учебнике используются следующие условные обозначения:
— текст, который нужно запомнить
— материал, который важно знать
т т т л
► — начало решения задачи
<] — окончание решения задачи
• — начало обоснования утверждения или вывода формулы
— окончание обоснования или вывода
11. — задание обязательного уровня
19. — задание повышенной трудности
ш упражнения для повторения

6. В курсе алгебры 7 класса вы много занимались преобразова­
ниями целых выражений. Теперь вы перейдёте к преобразованиям
дробных выражений. Вы узнаете, как выполняются сложение, вычита­
ние, умножение и деление рациональных дробей, возведение дроби
в степень, познакомитесь с новым понятием среднего гармонического
чисел.
В этой главе рассматривается функция, которая задаётся фор-
k
мулой у = — при k ф О и называется обратной пропорционально­
стью. Вас, конечно, удивит вид её графика, который существенно
отличается от графиков известных вам функций — линейной функции
у = kx + ft, функций у = х2 и у - х3. Советуем обратить внимание на
расположение графика обратной пропорциональности при различных
значениях k. Здесь вам существенную помощь окажет использование
компьютера.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА
1. Рациональны е вы раж ения
В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями це­
лых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и перемен­
ных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а так­
же деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являю тся
выражения
7а 2Ь, т 3+ п3, (х - у)(х2+у 2),
х 4у + 2х2у 2 +8 у, т 8 + п6 + т 2п2,
М°- ±±1, 2х:9.
§ 1. Рациональные дроби и их свойства

7. В отличие от них выражения
Ь х + у
4а -
2а + 1 ’ х2-3ху + у2 ’
п 5
3 п2+ 1
, 2p :q ,
помимо действии сложения, вы читания и умножения, содержат де­
ление на выражение с переменными. Такие выражения называют
дробными выражениями.
Целые и дробные выражения называют рациональными выра­
жениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входя­
щих в него переменных, так как для нахождения значения це­
лого выражения нужно выполнить действия, которые всегда воз­
можны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных мо­
ж ет не иметь смысла. Например, выражение 10 + —не имеет смысла
а
при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет
смысл. Выражение х + ^ имеет смысл при тех значениях х и у,
когда х * у.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл,
называют допустимыми значениями переменных.
Выражение вида — называется, как известно, дробью.
Ъ
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют
рациональной дробью.
Примерами рациональных дробей служ ат дроби
5 Ь - 3 х + у 3
а ’ 10 ’ х2- ху + у2' т 2- п2’
В рациональной дроби допустимыми являю тся те значения перемен­
ных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
ИСААК НЬЮТОН (1643—1727) — английский физик, ме­
ханик, математик и астроном. Сформулировал основные
законы классической механики, открыл закон всемир­
ного тяготения, разработал, независимо от Лейбница,
основы математического анализа.
Глава I Рациональные дроби

8. COіTf|
П р и м е р 1. Найдём допустимые значения переменной в дроби
5
а(а - 9)
► Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обра­
щ ается в нуль, нужно решить уравнение а(а - 9) = 0.
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допус­
тимыми значениями переменной а являю тся все числа, кроме
0 и 9. <
(х —2)2—25
П р и м е р 2. При каком значении х значение дроби — 2х~+"б— ^аВ
но нулю ?
► Дробь — равна нулю тогда и только тогда, когда а - 0 и Ь Ф 0.
b
(х —2)2—25
Числитель дроби — равен нулю, если (х - 2)2 = 25, т. е.
2х + 6
х - 2 = 5 или х —2 — -5. И так, числитель дроби равен нулю при
х = 7 и х = -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если
х Ф -3. Значит, данная дробь равна нулю при х = 7. <1
Упражнения
1. Какие из выражений а 2Ъ, (х - у)2- 4ху,
т + 3 8
а2- 2аЬ , . 2 . 2
о , V* iff „ > о і ,,2 ’о т —о х + у
, (с + З)2+ - являю тся целыми, какие — дробными?
12 £
а 12
2. Из рациональных выражений 7х2- 2 х у , —, — , а(а — ,
— 9 о За
1 о 1 о CL 0
-тп'1 п , ------ 8 выпиш ите те, которые являю тся:
4 3 а + 3
а) целыми выражениями;
б) дробными выражениями.
Найдите значение дроби 1 при у - 3; 1; -5; і ; —1,6; 100.
Найдите значение дроби:
ч а - 8 0 ft2+6 t o
а) - -- ■■■при а = -2; б) — при Ь = 3.
2а + 5 2Ь
к х , й (а + b)2- 1
5. Чем у равно значение дроби т при:
аг + 1
а) а = - З, Ь = -1; б) а = 1 ^, Ъ = 0,5?
§ 1. Рациональные дроби и их свойства

9. 6. Заполните таблицу:
X -13 -5 -0,2 0
1
17
1 5—
3
7
х + 5
х - 3
g
7. а) Из формулы и = - выразите: переменную s через v и t; пере­
менную t через s и и.
б) Из формулы р = ^ выразите переменную V через р и т .
8. Из городов А и В , расстояние между которыми s км, выш ли
в одно и то же время навстречу друг другу два поезда. Первый
шёл со скоростью Uj км /ч, а второй — со скоростью v2 км /ч. Ч е­
рез t ч они встретились. Выразите переменную t через s, и у2.
Найдите значение t, если известно, что:
а) s = 250, Uj= 60, v2- 40;
б) s = 310, Uj = 75, v2= 80.
9. Составьте дробь:
а) числитель которой — произведение переменных х и у, а зна­
менатель — их сумма;
б) числитель которой — разность переменных а и Ь, а знамена­
тель — их произведение;
в) числитель которой — сумма переменных с и d, а знамена­
тель — их разность.
10. При каких значениях переменной имеет смысл рациональное
выражение:
. х ft + 4 . у2- 1 у . а + 10
а ) — о ; б) в ) — + - ^ ; г ) — - - 1 ?х - 2 £г+7 у у - 3 a(a - 1)
11. Укаж ите допустимые значения переменной в выражении:
ч 2 о ґ чЗх - 6 . X - 5
а) х2- 8х + 9; в) — -— ; д) - — - З х ;
7 Xі + 25
1 ч ' х2- 8 х х - 8
б> я о ’ г> л , е> о+ ----*6х - 3 4х(х + 1) х + 8 х
12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
. 5у - 8 . у2+ 1 . у 15
а) Л т — ; в) ~ — — ; д) —^ +
11 ’ у2 - 2у’ м/ у - 6 у + 6 ’
^ 25 . _ч —10 32 у+ 1
б) — г) -р ; е)
Глава I
У - 9 у2+ 3 ' у у + 7
Рациональные дроби

10. 13. Найдите область определения функции:
1 2х + 3 . 1
3 б>!, = ^ о Г Г ч ; в) S = I + T T 5 -
„ . _ „ - х - 3
14. При каком значении переменной значение дроби —-— равно:
а) 1 ; б) 0; в) - 1 ; г) 3?
15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:
а У л А . 61 2у + 3 - в) Х (Х ~ 1}- г) х{х + 3 )?
} 8 ’ 3 10 ’ ’ х + 4 ’ } 2 х + 6 ‘
16. Определите знак дроби —, если известно, что:
b
а) а > 0 и 6 > 0; в) а < О и fc > 0;
б) а > 0 и й < 0; г) а < 0 и ft < 0.
17. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:
V 3 . (а - I f
а) —х-- положительно; в) —z— — неотрицательно;
дг + 1 аг + 10
-5 . ф - S f
б) -х отрицательно; г) — 5 неположительно.
у* + 4 - Ь - 1
18. При каком значенииа принимает наибольшее значение дробь:
„ч 4 10 о
^ а2 + 5 ’ (а - Z f + 1'
19. При каком значении Ъ принимает наименьшее значение дробь:
18
20. Чем у равно наибольшее значение дроби — 5------ 5------? Выбе-
4х2 + 9 + у2 + 4ху
рите верный ответ.
1. Равно 0 2. Равно 1 3. Равно 2 4. Равно 3
21. Преобразуйте в многочлен:
а) (2а + 3)(2а - 3); г) (6 + 0,5)2;
б) (у - 5Ь)(у + 56); д) (а - 2*)2;
в) (0,8х + у)(у - 0,8х); е) (ab - I)2.
22. Разложите на множители:
а) х2- 25; в) а 2- 6а + 9; д) а 3- 8;
б) 16- с 2; г) * 2+ 8х + 16; е ) 63 + 27.
§ 1. Рациональные дроби и их свойства

11. 2. Основное свойство дроби.
Сокращ ение дробей
М ы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следую­
щее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на
одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится.
Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, Ь и с верно ра-
а ас
венство —= — .
b Ьс
Докажем, что это равенство верно не только при натуральных,
но и при любых других значениях a, b vie, при которых знаменатель
отличен от нуля, т. е. при Ъ Ф 0 и с Ф 0.
П усть —= т . Тогда по определению частного а = Ь т . Умножим
о
обе части этого равенства на с:
ас = (Ъ т )с .
Н а основании сочетательного и переместительного свойств ум ­
ножения имеем:
ас = (Ьс) т .
Так как Ьс Ф 0, то по определению частного
ас
Значит,
= т .
Ьс
а ас _
ъ = ы - °
М ы показали, что для любых числовых значений переменных
а, Ъ и с, где Ь Ф 0 и с Ф 0, верно равенство
Т = Г - (1)Ъ Ьс
Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами
а, Ь и с понимают многочлены, причём Ь и с — ненулевые многочле­
ны, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.
Равенство (1) выражает основное свой ство рациональной дроби:
если числитель и знаменатель рациональной дроби умно­
ж ить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится
равная ей дробь.
Например,
х + 2 _ (х + 2)(х + у)
х - 3 (х - 3)(х + у)'
Глава I Рациональные дроби

12. Это равенство верно при всех допустимых значениях перемен­
ных. Такие равенства будем называть то ж д ествам и . Ранее тож ­
дествами мы называли равенства, верные при всех значениях пере­
менных. Теперь мы расширяем понятие тождества.
1
і О п р е д е л е и и е. Тождеством назы вается равенство,
верное при всех допустимых значениях входящих в него
переменных.
*■.■■ч.'-igg-)» — я — и
Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять
приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей.
Приведём примеры.
2Х
П р и м е р 1. Приведём дробь — к знаменателю 35у 3.
7у
► Так как 35у 3= 7у-5у2, то, умножив числитель и знаменатель
_ 2х _ о 2х 2х • 5у2 0ху2 .
дроби — на оу , получим: — — ^
7у ’ --- J 7у 7у •5у2 35у3 *
М ножитель Ъу2 называют дополнительным множителем к чис-
2ос
лителю и знаменателю дроби — .
7У
5
П р и м е р 2. Приведём дробь к знаменателю х - 2у.
2у - х
► Д ля этого числитель и знаменатель данной дроби умножим
на -1:
5 _ 5 •(-1) _ -5
2 у- х (2у - х) ■(-1) х - 2у '
—5
Д робь можно заменить тождественно равным выражени-
х - 2у
е м — , поставив знак «минус» перед дробью и изменив
х - 2у
-5 5
знак в числителе:
х - 2у х - 2у
Вообще
Р " 1
если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дро­
би и знак перед дробью, то получим выражение, тождест­
венно равное данному.
l-_ Ш — -___ !
§ 1. Рациональные дроби и их свойства

13. П р и м е р 3. Сократим дробь
а2- 9
ab + 3b
► Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
а2 - 9 _ (а + 3)(а - 3)
аЪ + 3Ь Ь(а + 3)
Сократим полученную дробь на общий множитель а + 3:
(а + 3)(а - 3)
И так,
а - 3
Ь(а + 3) “ Ь
а2- 9 а - 3
П р и м е р 4. Построим
X2—16
функции у =
ab + 3b Ь
график
2х - 8
► Область определения функции
х2 - 16
у = — множество всех
* 2х - 8
чисел, кроме числа 4. Сократим
_ х2 - 16
ДРОбЬ 2Ї Г 8 1
х2 - 16 (х - 4)(х +4) х + 4
2х - 8 2(х- 4)
Графиком функции у =
х + 4 Рис. 1
х2 - 16
У 1
' о ~|
-
4
>«*и
1
3
S '
-
2
- 1
I
4 - 3 2 1 0
— г -
і -
X
- 1
1
является прямая, а графиком функции у = ^ g
мая, но с «выколотой» точкой (4; 4) (рис. 1). <1
— та ж е пря-
Упражнения
23. Укаж ите общий множитель числителя и знаменателя и сократи­
те дробь:
а) *£■ б) — • в) — • г) — • д) ~2ХУ • е) 8х2у2
} З х ’ } 25i/ ’ } 24а’ } 216с’ Д> 5х2у ’ } 24ху '
24. Сократите дробь:
10х£. 6a * , 2 V . . 2 4 o V . 6 3 * Y
’ Ibyz' } 96с2 ’ ' -4a V } -2д3 ’ Д) 36ас ’ } 42х<У '
I________
Рациональные дробиГлава I

14. 25. Представьте частное в виде дроби и сократите её:
а) 4а 2Ь3 : (2а 4Ь2); г)36пг2п : (18т п );
б) 3ху2 : (6* V ) ; д) -32Ь5с : (12Ь4с2);
в) 2p4q4 : (48p 2q2); е) - 6 ах : (-18ах).
26. Сократите дробь:
4а2 7 х2у 56 т 2п5 25p4q
a ) I — > б) 77І— 2 ’ в) -s' ’ г)бас’ 21ху2 ’ 35т п & ' 100p5q
27. Найдите значение выражения:
ч 816 8125
а) 1612’ ' 2733 '
28. Сократите дробь:
. а(Ъ- 2) 3(х+4) , ab(y + 3) 15а (а - Ь )
а) 5(£>- 2) ’ * с ( х + 4 ) ; В) а2Ь(у + 3) ’ Г) 20Ъ(а - Ь)'
29. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и со­
кратите её:
. За + 12Ь . 2а - 4 . а - ЗЬ
а) — г г — ;в) ^ ; д)6аЪ ’ * 3(а - 2) ’ а2- 3ab'
15Ь - 20с _ч 5х(у + 2) Зх2+1Ьху
) 106 ’ Г) 6у + 12 ; 8) х + 5у '
30. Сократите дробь:
у2- 16. (с + 2? . а2+ 10а + 25
} Зі/ -і-12 ' 7с2+ 14с ’ Ю а2- 25
5д: —15г/ 6cd - 18с . у2- 9
б) ... г) ; е)
х2-9у2 ’ ' (d - 3 f ’ у2- 6у + 9
31. Сократите дробь:
. а2—аЪ + Ъ2 а3- Ь3 (а+Ь)3 а3- Ь3
8 - ) о > б ) Г J В ) п , о » Г ) л Г о ” *
а 3 + Ь 3 а - Ь а 3 + Ьг а* - tr
32. Найдите значение дроби:
. 15а2- 10аЬ
а) Ш - 2Ь2 при “ = -2- 6 = - 0’1-
9с2- 4d2 2 1
б) 18c2d - 2cd? ПрИ С = 3 ’ 2 ’
. 6х2+ 12ху 2
в ) к Г Т ЇГ Т ПР И х = о ’ У = - 0 ’4;5ху + 10у 3
х2+ бху + 9у2 „
г) л 2 і 19 ПРИ * = -0’2’ У = ~°>6-4хz+ 12л:і/
§ 1. Рациональные дроби и их свойства

15. 33. Сократите дробь:
. х2- 4х + 4 . а2+ а + 1
а) * ‘ - 2* ; в) 1 Г Г Г '
8) г, 6 + 2
у2+ 16г/+ 64 ’ ft3+ 8
34. Представьте частное в виде дроби и сократите её:
а) (9х2- у 2) : (Зх + у); в) (х2+ 2х + 4): (х3 - 8);
б) (2аЪ - а ) : (4Ь2- 4 b + 1); г) (1 + а 3) : (1 + а).
35. Сократите дробь:
ч 2х + Ьх - 2у - by ^ ху - х +у - у2
/ W П > В} 9 0 У
7х —7у х2- у2
8а + 4Ь а2+ 2ас + с2
б) г)
2аЪ + Ъ2- 2ad, - bd’ а2+ ас - ах - ex'
36. (Д ля работы в парах.) Постройте график функции:
х2 - 25 х3 - 9х
a)1 , = w б> » = - ? т у
1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в задани­
ях а) и б). К ак надо учиты вать эту особенность при построении
графиков?
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б),
и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание.
Исправьте замеченные ошибки.
тх „ -X -X X -X
37. Из выражении — , — , — , выпиш ите те, которые:
-У У -У У
а) тождественно равны дроби —;
У
X
б) противоположны дроби —.
У
38. Упростите выражение:
’ а - Ь . f e - J * H j - *
о - a b - а а + b
( a -ft)2 . } } (а + Ъ?
} (ft- а ) 2 ’ ’ ( b - a f ' ’ ( - а - Ь ) 2 '
1 ____
Глава I Рациональные дроби

16. [39.| Какой из графиков, изображённых на рисунке 2, является гра-
(1 - х)2
фиком функции у = ---- — ?
Рис. 2
а)
б)
в)
а(х - 2у)
г)
7Ь - 14Ь2
ж )
8&2- 8а2
Ь(2у - х) ’ 42Ъ2- 2Ь ' а2 - 2аЬ + Ь2 ’
5х(х - у) _
х3(у - х) ’
д)
25 - а2
За - 15’
3)
№ - 2)3
(2 - bf •
СО
&
I
со
05
е)
3 - Зх
12fe- ab’ х2- 2х + 1 ’
41. Сократите дробь:
„ ах + Ьх - ац - by ab - 3b —2а + 6
а) bx-by ’ б) 15 - 5а.....
42. Упростите выражение:
а)
х° + х‘
X4 + X2
U6 - U8
б) V - V
У ~ У
в)
ь7 - ъ10
Ьь ;
г)
с3 - с 2
§ 1. Рациональные дроби и их свойства

17. 43. Найдите значение выражения:
V а8+ а5 1 , ч ь10- Ь8
а) Ts- —2 ПРИ а = ~ о ; б) Тя— ПРИ & = -ОД-аа + сг b8-be
44. Сократите дробь:
а)
(2а - 2ft)2
а - Ь
б)
(Зс + 9d)2
с + 3d
в)
(3* + бу)2 .
5 х + 10у ’
г)
4х2- у2
(10* + byf '
45. (Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях а,
о2—4
отличных от -2 и 2, значение дроби 5 г является отрица-
12 + az- а*
тельным числом?
1) Выберите произвольное значение а, отличное от -2 и 2,
и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ
на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.
46. Докажите, что значение дроби не зависит от п, где п — нату­
ральное число:
Зп+2 - Зп 16" +1 - 2" +4
а) о— -о- * , . о., I б)+ 3 + 3" ’ 4•2п(23п - 1) ’
47. Приведите к знаменателю 24а 3Ь2 следующие дроби:
5Ь 7а 1 2
8а3 ’ 3Ъ2’ 2аЬ ’ а2Ь2'
48. Представьте выражение 2а + Ъ в виде дроби со знаменателем,
равным:
а) 6; б) 5; в) За; г) 2а - Ь.
49. Приведите дробь:
а)
б)
а - Ь
У
х - а
к знаменателю (a - Ь)2;
к знаменателю х2- а 2;
в)
г)
а
а - 10
Р
р - 2
к знаменателю 10 —а;
к знаменателю 4 - р2.
50. Реш ите уравнение:
а) -Ъх = 16;
1
б) 2х =
5 ’
В) з * = 4;
г) 4х = -2;
д) 0,6х = 3;
е) -0,7х = 5.
Глава I Рациональные дроби

18. 51. Разложите на множители:
а) 5 Ь с- 5 с; г) Ьу - Ьх + у 2- ху, ж ) у 2- 2 у + 1;
б) Ю л + 15л2; д) а 2- 9; з) а 3 + 64;
в) 8аЬ + 12Ьс; е) х2+ 10х + 2Ъ", и) 63 -1 .
52. Расположите выражения:
5 5 5
а) — : 6, -0 ,1 ,------ (-7) впорядкевозрастания их значений;
16 16 16
б) 0,8•(-0,4),0,8 : (-0,4), 0,8- (-0,4), 0,8 + (-0,4) в порядке
убывания их значений.
Контрольные вопросы и задания
■
Приведите примеры целых выражений; дробных выражений.
Какую дробь называют рациональной? Приведите пример.
Дайте определение тождества. Приведите пример.
Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.
Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.
l ¥ l СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ
3. Сложение и вы читание дробей
с одинаковыми знам енателям и
При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменате­
лями складывают их числители, а знаменатель оставляют преж­
ним. Например:
2 3 2 + 3 5
7 + 7 ~ 7 ~ 7 '
Таким же образом складывают любые рациональные дроби
с одинаковыми знаменателями:
a b а + b
— I-—= -----,
с с с
где а, b и с — многочлены, причём с — ненулевой многочлен.
§ 2. Сумма и разность дробей

19. Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаме­
нателями, надо сложить их числители, а знаменатель оста­
вить тем же.
Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сло­
жению:
a b _ а - Ь
с с с
Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одина­
ковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби
вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить
тем же.
l ______________________________________________ :________________________ !
тт _ За - 7Ъ 2а + 2Ь
П р и м е р 1.Сложим дроои------- и ------- .
15ab 15ab
За - 7 Ь 2а + 2Ь _ За - 7Ь + 2а + 2Ь _
15ab + 15ab 15ab
5а - ЪЬ _ 5(а - b) _ а - b
~ ЬаЬ ~ 1ЬаЪ ~ ЗаЬ ’ <;
П р и м е р 2. Вы чтем из дроби - ■ дробь — —— .
5а 15 5а 15
а2+ 9 6а а2+ 9 - 6а(а - З)2 а - 3
^ 5а - 15 ~ 5а - 15 “ 5а - 15 “ 5(а - 3) _ 5 '
П р и м е р 3. Упростим выражение
х2- 3 2________ 2х - 1
х2+ 2х х2 + 2х х2+ 2х '
^ Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не после­
довательно, а совместно:
х2- 3 2 2х - 1 _ х2- 3 + 2 -(2х - 1) _
х2+ 2х х2+ 2х х2+ 2х х2 + 2х
_ хг - 1 - 2х + 1 _ х2 - 2х _ х(х - 2) _ х - 2
х2 + 2х х2 + 2х х(х + 2) х +2'
I
Глава I Рациональные дроби

20. П р и м е р 4. Сложим дроби —^—— и 6*
2х - а а - 2х
► Знаменатели дробей являю тся противоположными выражения­
ми. Изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой
дробью. Получим
6* _ 6х
а - 2х 2х - а
Теперь можно применить правило вычитания дробей с одинако­
выми знаменателями:
За 6х
2х - а а - 2х
За 6х _ За - 6х _ -3 (2 * - а) _ ^
2х - а 2х - а 2х - а 2х - а
Упражнения
53. Выполните сложение или вычитание:
. х у 5Ь2 1362 . х + у х . 2с —х х
а) 3 + | ; 1 В> Г ) — + б'
54. Представьте в виде дроби:
. т т - р Т у -13 2у + 3
а) 2р 2 ^ ~ ; 10і/ Юг/ ;
а + b а - 2Ъ 8с + 25 5 - 2с
б>і т - ; +
55. Преобразуйте выражение, представив его в виде дроби:
2х - Зу y-2x а - 2 2а+5 3 - а
a Аху 4ху ’ 8а + 8а 8а
5а + б5 5а - 7Ь5 11а - 26 2а - ЗЪ а - Ь
8Ь 86 4а + 4а 4а
56. Упростите выражение:
. 17 - 12л: 1 0 - х 3d - а 2d + 6а р - 4а
а) -------- + -------; г) . — ~ + , »
х х Ьр эр ор
12р-1 1 - 3 р . 5 с-2d 3d d - 5с
б> “ Г З ----д)Зр2 3/г 4с 4с 4с
у - 3 у + 2 2а 1 - 6а 13 —&
5у 5у b Ь + Ъ
§ 2. Сумма и разность дробей

21. 57. Упростите выражение:
. 16 х2 За - 1 36-1 2а + 6 26 - 5а
&) х - 4 х - 4 ; В) а2 -Ъ 2 а2- Ь2’’ Ю (а - bf + (а - bf '
25 а2 х - 3 11 13£jL6 y _ U ^ j: 4y
а + 5 а + 5 ’ х2- 64 + х2- 64 ’ 6 (х + i/)2 (х + y f '
58. Докажите, что:
. (а + б)2 (а - 6)2
а) вы раж ение тождественно равно 4;
ab ab
йч (а + б)2 (а - б)2
о) выражение —т-5-+ —г 5- тождественно равно 2.
а2 + 62 а2 + 62
59. Найдите значение выражения:
ч а2 - 43 7 96- 1 66- 10 , с% е
а) — -^ - + _ п р и а = 10,25; 6) при 6 = 3,5.
СП и *> а2 - 126 Заб - 4а
60. Наидите значение выражения --------- 5------ при а = -0,8,
аг - Заб аг - Заб
Ь = -1,75. Нет ли в задаче лиш них данных?
61. Упростите выражение:
. х 5 2 т 2п . а2+ 16 8а
а) - + - ; в) ---- + ------; д) ---- — +1 1 * ' 9 А А 9
у - 1 1 - у т - п п - т а - 4 4 - а
г) _ 5£ _ + _ 1» £ _ ; е)
с - 3 3 - с ’ 2q - p р —2q' х - 3 у 3у - х
62. Выполните сложение или вычитание дробей:
а) -™£_ + -®£— в) Х ~ 3 2 • дч а | 3 ■
Р - 9 Я ~ р ’ х - 1 1 - х ’ а2 - 9 9 - а 2 ’
5а 56 а За - 6 г/2 1
б) г + 7--- ; г) - + -— — ; е) у -
а - Ь 6 - а ’ 2а - 6 6- 2а ’ г/- 1 1 - у
63. Докажите, что при всех допустимых значениях л: значение вы ­
ражения не зависит от х:
Заг + 5 7л: + 3 5л: + 1 л; + 17
а ) 1-------; б ) ---------1-------- .
2л - 1 1-2х ’ 5л:- 20 20 - 5л:
64. Упростите выражение:
л:2 25 л:2 + 25 Юл:
а> 7---—TZ S’! б) - —?■+
(х - 5)2 (5 - x f ’ (л - 5)3 (5 - x f ‘
65. Преобразуйте выражение:
л:2 8(л: - 2) 64 - 2а6 2аЬ - а2
Э) л:2 - 16 л:2 - 16 ’ (а - 8)2 + (8 - а)2'
I________
Рациональные дробиГлава I

22. 66. П ользуясь тождеством -----= - + -, представьте дробь в виде
с с с
суммы дробей:
. а + Ь 2а2 + а х2+ 6у2 . 12а + у2
а) ; б) ; в) г) и .
х у 2* 1/ баг/
67. Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:
х2+ у2 2х - у . а2 + 1 . а2- 3ab
а) 6) в) Г> - г ~ -
68. Представьте дробь + Зга + 6 ^ виде С у М М Ы двучлена и дроби.
п
Вы ясните, при каких натуральных л данная дробь принимает
натуральные значения.
( т - l)(m + 1) - 10
69. При каких целых значениях т дробь ---------------- прини-
т
мает целые значения?
70. Реш ите уравнение:
а) 3(5х - 4) - 8х = 4х + 9;
б) 19х - 8 (х - 3) = 66 - Зх;
в) 0,2(0,7х - 5) + 0,02 = 1,4(х - 1,6);
г ) 2,7(ОДх + 3,2) + 0,6(1,3 - х) = 16,02.
71. Разложите на множители:
а) 8х4-16х3у; г) 18Ь2- 9 8 а 2; ж ) аЪ + 8а + 9Ь + 72;
б) 15ху5+ 10у2; д) х 3-125; з) 6 т - 12 - 2л + т п .
в) 8а 2- 50у2; е ) у 3 + 8;
72. Укаж ите допустимые значения переменной в выражении:
. За 2у . 5х . 7 а
a) , o r’ б) 2 ^ В) г)2а + 25 ’ 9 + у2 ' 'З х ( х + 1 2 ) ’ '( а + 1 ) ( а - 4 ) ‘
4. Сложение и вы читание дробей
с разны м и знам енателям и
Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаме­
нателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей
с одинаковыми знаменателями. Д ля этого данные дроби приводят к
общему знаменателю.
§ 2. Сумма и разность дробей

23. П р и м е р 1. Сложим дроби --5- й г.
4а36 6аб4
► Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее
простым общим знаменателем является одночлен 12а 3Ь4. Коэф­
фициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному
коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взя­
та с наибольшим показателем, с которым она входит в знамена­
тели дробей. Дополнительные множители к числителям и зна­
менателям этих дробей соответственно равны 363 и 2а2.
Имеем
_ х _ 5 х •Зб3 + 5 •2а2 _ Зб3* + 10а2
4а3б + баб4 12а3б4 12а364
П р и м е р 2. Преобразуем разность + 3---- -— .
az+ ab ab + bz
► Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель ка ж ­
дой дроби на множители:
а + 3 6 - 3 а + 3 6 - 3
а2+ аб аб + б2 а (а + 6) 6(а + 6)'
Простейшим общим знаменателем служ ит выражение ab(a + b).
Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих
дробей соответственно равны Ъ и а.
Имеем
а + 3 6 - 3 а + 3 6 - 3
а2+ аб аб + б2 а(а + 6) 6(а + 6)
(а + 3)6 - (6 - 3)а _ аб + 36 - аб + За _ 3(а + 6) _ 3
аб(а + 6) а6(а + 6) аб(а + 6) аб '
Преобразование рационального выражения, которое является
суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преоб­
разованию суммы или разности дробей.
а2—3
П р и м е р 3. Упростим выражение а - 1 ------- .
а + 1
► Представим выражение а - 1 в виде дроби со знаменателем 1
и выполним вычитание дробей:
а2 - 3 а - 1 а2 - 3 (а - 1)(а + 1) - (а2 - 3)
а - 1
а+ 1 1 а + 1 а+ 1
<
Глава I
а + 1 а + 1
Рациональные дроби

24. Упражнения
73. Представьте в виде дроби:
' • > f + £i « ) ! - - : д) ? + f ;2 3 b a Sy 4у 5а 25а
б) £_-Ё_. Г) І 1 . е ) 1 І Е _ 2 5 ї / .
4 12’ 2х З х ’ ^ 24с 36с’ ' 4с 26 ‘
74. Выполните сложение или вычитание:
5у - 3 у + 2 6+2 Зс-5
а) -2- h- ; в ) ------------- ;
6у 4у 15б 45с
Зх + 5 ( х - 3 _ 86 + у 6г/+ б
35х + 21х ’ 406 30у '
75. Преобразуйте в дробь выражение:
. 15а - 6 а - 46 7х + 4 Зх - 1
а) ; б ) --------------.
12а 9а 8у 6у
76.Выполните сложение или вычитание:
. 6 1 1 4 - 2а3 2а - ЗЬ 4а - 56
а) - Y - - ; в) —т + ---; д) ---5^— + т г ~5
az а 2а7 а10 а2Ь аЬ2
_ч 1 - х 1 а + 6 а - Ь . х - 2у 2у —х
б) — — + — ; г) — 2~ + — — ; е) --- Т - - — 0— •
х3 Xі a2 ab ху2 х2у
77. Представьте в виде дроби:
2xi/- 1 3 у - х 1 2
’ 4х3 6х2 ; Bj За3 5а5 ;
1 - Ь2 2Ь3- 1 б2____ь_
Заб баб2’ 6х5 Зх6
78. Преобразуйте в дробь выражение:
. 1 , 1 1 . Ь - а с - Ь с - а
а) —-н---- ь — ; в) — — + — --------- ;
аб ас be ab Ьс ас
ab - Ь аЪ - а а2 - Ъ2 . ЗаЪ + 2Ь2 а + 2Ь а - 2Ь
б) — ; г) + — -— .
a b ab ab а Ъ
79. Выполните вычитание дробей:
а) - ————; в) £ f l - £ f e ;
ху XZ paq‘ piq6
а - 26 Ь - 2а Зтп- п 2п - m
ЗЬ За ’ 3т 2п 2т п 2
§ 2. Сумма и разность дробей

25. 80. Преобразуйте в дробь выражение:
Ч . 1 ч о а а2+ 6 (a - bf
а) х + ~; в) З а - - ; д ) ------- а; ж ) - — + Ь;
у 4 а 2а
б) “ - а ; г> 5Ь - р е) 2 з
а о &р
81. Преобразуйте в дробь выражение:
е с ч , а - 3
а) 5 - - ; в) а + Ь --- — ;
_ 2 15у2- 1 2Ъ2- 1 , _
б) 5у г ---; г) — --6 + 5.
О О
82. Представьте в виде дроби:
. л a b а - 1 а + 2
— б — 4’ г ) 4 « - — ------— і
б) 12 - і —і ; д) І І І - а + і;
a b 4
ч а - 2 а - 3 а2 + 62
в ) — -- 1 -----— ; е) а + Ь ---------.
і 6 а
83. Упростите выражение:
а) Х - ^ У . + ^ У ; в ) 3 - ^ і ' + ^ і ^ ;
' 2 4 7 4 12
3 5 6а - 46 b + 7а
б ) - - 2 - - : г ) — --------— 2.
84. Представьте в виде дроби:
. b —с b т п а а
а) —г~ + 1— ; в) ------------ ; д)
b b + с ’ т - п т + п ’ а + 2 а - 2 ’
х + 1 х + 3 . 2 а 1 . р р
б) « ------- ; г) - -; е)
х - 2 х 2а - 1 2а + 1’ З р - 1 1+Зр
85. Преобразуйте в дробь выражение:
ч Зх 2у . 3 2
а) -----------------; в ) -------- 1--------;
5(х + у) 3(х + у) ах - ау Ъу-Ъх
а2 Ь2 . 13с 126
б) 77 гг —— гг; г)
5(а - Ь ) 4(а - Ь )’ bm-bn сп —ст.
86. Выполните сложение или вычитание дробей:
в) - ^ — + а -
2х + 1 Зх - 2 ’ } 5 х - 1 0 6х - 12 ’
6а 2а . 5 6 6
б) — ^ + — ; г)
24
х - 2у х + у ’ 12а - 36 48 - 16а
1 ________
Рациональные дробиГлава і

26. 87. Докажите, что при всех допустимых значениях у значение вы ­
ражения не зависит от у.
ч 5у+3 Ту + 4 Н у +13 1Ьу + 17
а ) ------------- ; о) + -------- .
2у+ 2 Зу + 3 ’ Зу - 3 4-4 у
88. Упростите выражение:
а) — ——=•+ —-— ; б ) Ь‘ - 4Ьу
ах - х2 х - а * 2у2 - by b - 2у
89. Упростите выражение:
ч 1 1 1 1
а) 75— ГГ + ТГ— Г ?; б)а2+ ab ab + Ь2 ' b2—ab ab - а2 '
90. Преобразуйте в дробь выражение:
ч 1 а + ь ч я 2 ч 9 о
а) 1 в) т - п + ----- ; д) х ------- - 3;
а -b т + п х - 3
а2+ Ь2 а2 + Ь2 о а4 + 1
б) г— а; г) а + Ь ------ — ; е) а £-- 5— - + 1 .
a - b a + b а* - 1
91. Выполните вычитание дробей:
а2+ За а у Зу
а) “ I — гг—5--- 777- 7— -! б)
ab - ЪЬ + 8а —40 Ъ + 8 Зх - 2 бху + 9х —4у - 6
92. Выполните сложение или вычитание дробей:
. с Ь2 - ЗЬс ^ а + з 1
а> I + Т і— ~лГ' б) -з — 2 .Ь —с Ь* - <г а* —1 а“ + а
93. Преобразуйте в дробь выражение:
6 - 6 2 х - 12а 4а
&) 4 - Ь2 + 2Ь - Ь2 ; В) х2 - 16а2 4а* - * 2 ’
Ь 156 - 25а а - 30г/ Юу
' _и и2 2 ’ Г*ab - 5а2 Ь2 —25а2 * а2 - ЮОу2 10аг/ - а2 "
94. Упростите выражение:
а а+ 4 а ■ вч (a + Ь)2 (Q ~ Ь)2 .
а2 - 2а а2 - 4 ’ а2 + ab а.2 - ab'
4 - х 2 х +1 » я 2 - 4 х2 + 4лг+ 4
б) То — Г ! Г)16 —х2 х + 4 ’ 5;е - 10 5л: + 10
95. Упростите выражение и найдите его значение при х = -1,5:
х + 1 х + 2 х + 2 1 + х
’ х2+ 3 х ~ 1 ^ 9 '
§ 2. Сумма и разность дробей

27. 96. Представьте в виде дроби:
. 4 3 12 х2 х + у
а) — гг ^ + -о— т; в) у
у + 2 у - 2 у2- 4 ’ ( x - y f 2х - 2у ’
_ а 3 а2 ft а + Ь
а - 6 а + 6 36 - а2 ’ Г (а - ft)2 ft2 - aft ’
97. Преобразуйте в дробь выражение:
2a + ft 16а 2а - Ь
3 2а2 - aft 4а2 - ft2 2а2 + aft ’
1 2 1
б) 7— -7^Г-" ^ 7 +(а - З)2 а2 - 9 (а +З)2 ’
х - 2 6х 1
В) о . » . , , - “ я--- 77+
Г)
* 2+ 2х + 4 х3 - 8 х - 2 ’
2а2 + 7а + З 1 —2а 3
а3 - 1 а2 + а + 1 а - 1
98. Упростите выражение:
1 1 2а
а)
a - 4ft a + 4ft 16ft2- a2’
1 1 "2
б) 77— 7Г + 77— 7 - +
2ft - 2a 2ft + 2a a2ft - ft3 ‘
99. Докажите, что тождественно равны выражения:
. 3 а2 _ 9а + 3
а) —о— ~— і---- 7 и а + Зн— 5— ——;
а2 - За а -3 а2- За
„V а3 а 2
б) -5 и а - 1 .
а2—4 а - 2 а + 2
ЦбО.] (Д ля работы в парах.) Докажите, что при любых допустимых
значениях переменной значение выражения:
. *3+Зд: 3x 2- 1 4 jc +16 0
а ) 1-2х является положительным числом;
х + 2 Xі - 4
2у2 + Зу+ 1 у 3 + 2у
У2 - 1 У - 1
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б),
и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразо­
вания.
3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются
допустимые значения переменных. Укаж ите допустимые зна­
чения переменной в заданиях а) и б).
|_________
Рациональные дроби
СлU Т &U "Г X U "Г Cj су
б) у + — — 2 ——Л
-
т2- явл яется отрицательным числом.
Глава I

28. 101. Учащ имся была поставлена задача: «Представить дробь
х2 + 7х —25
в виде суммы целого выражения и дроби». Бы ли
х - 5
получены ответы:
7х _ 35 0 2 *-2 5 , 12л: —25
1.JC+5H 2 .Х + 12 + ---- 3 .- х + ------- 4.х н--------
х - 5 х - 5 х - 5 х - 5
Укаж ите неверный ответ.
102.j Докажите тождество
1 1 1
X + п X + п + 1 (х + п)(х + п + 1)
Используя это тождество, упростите выражение
1 1 1
( х + 1)(л: + 2) (л: + 2 )(л: + 3 ) ( х + 3 )(л: + 4)
103. Две речные пристани А и Б расположены на расстоянии s км друг
от друга. М ежду ними курсирует катер, скорость которого в сто­
ячей воде равна v км/ч. Сколь­
ко времени t (ч) потребуется ка­
теру на путь от А до Б и обратно,
если скорость течения реки рав­
на 5 км /ч? Найдите t при:
а) s = 50, v = 25;
б) s = 105, v = 40.
104. Туристы прошли s км по шоссе со скоростью V км/ч и вдвое
больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t (ч) за­
тратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они
шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите
t при s = 10, v = 6.
п
105. Ф ун кц и я задана формулой у = — -— . Найдите значение функ-
О
ции при х, равном -2; 0; 16. При каком х значение функции
равно 3; 0; -9?
106. Постройте графики функций у = -4х + 1 и у = 2х - 3 и найдите
координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без по­
строения графиков. Сравните полученные ответы.
107. В одну силосную ям у заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т.
Когда из первой ям ы взяли силоса в 3 раза больше, чем из вто­
рой, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во вто­
рой. Сколько тонн силоса взяли из первой ям ы ?
§ 2. Сумма и разность дробей

29. Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаме­
нателями.
Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми зна­
менателями.
Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знамена­
телями? Поясните свой ответ на примерах:
а + 2 b - 2 ^ 8 4
3 а2- ab + 62- ab' а2- 16 а2- 4а
ПРОИЗВЕД ЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ
5. Умножение дробей.
Возвед ение дроби в степень
При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно
их числители и их знаменатели и первое произведение записывают
в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например:
2 4 2-4 8
3 ' 5 " 3 -5 _ 15’
Таким ж е образом перемножают любые рациональные дроби:
а с _ ас
b " d ~ bd’
где а, Ь, с и d — некоторые многочлены, причём b и d — ненулевые
многочлены.
Чтобы ум нож ить дробь на дробь, нужно перемножить их
числители и перемножить их знаменатели и первое про­
изведение записать числителем, а второе — знаменателем
дроби.
і
Q3 6Ь
П р и м е р 1. У м н о ж и м дробь -г- на дробь — .
46 а
► Воспользуемся правилом умножения дробей:
а3 66 _ а3•66 _ За
462 а2 462•а2 26
|_________
Рациональные дробиГлава I

30. П р и м е р 2. Умножим дробь р т + 2р на дробь р т
т пг - 4
Имеем Р ™ ± 2 Р . Pf = р(тп + 2) •р т г = _рЬп_^ <
т пс - 4 т •(т - 2)(т + 2) т - 2
X —1 х 4* 1
П р и м е р 3. Представим произведение ---- в виде рацио-
х + 2 х
нальной дроби.
тт х - 1 * + 1 (х - 1) •(х + 1) х2-1
^ И м е е м -----= — ---- = —-----.
х + 2 х (х + 2) •х хг + 2х
П р и м е р 4. Умножим дробь х + а на многочлен х2 - а 2.
х - а
У При умножении дроби на многочлен этот многочлен записы­
вают в виде дроби со знаменателем 1 и затем применяют прави­
ло умножения дробей:
Х + а і 2 2ч
(х2- а 2) = =
х - а х - а 1
_ ( « 4- а ){х - а )(х + а) = 2
х - а
Правило умножения дробей распространяется на произведение
трёх и более рациональных дробей. Например:
а с т ас т а с т
b d ті bd ті bdn
Вы ясним теперь, как выполняется возведение рациональной
дроби в степень.
а
Рассмотрим выражение
Ъ
являю щ ееся п-и степенью
рациональной дроби ^ и докажем, что
Ъ
' а У _ ап
Ъ ) ~ Ь " '
По определению степени имеем
/ пa і _ а а а
ъ ) ъ ' ъ ' " ' ' ъ '
п раз
§ 3. Произведение и частное дробей

31. Применяя правило умножения рациональных дробей и опреде­
ление степени, получим
п раз
а а а аа- ... •а ап
Ь Ь Ь ЪЪ- ... Ь Ьп
п Раз п раз
Следовательно, | ^ I = • О
Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень
числитель и знаменатель и первый результат записать
в числителе, а второй — в знаменателе дроби.
l _____________ JLili
2а2
П р и м е р 5. Возведём дробь —7- в третью степень.
Ь
► Воспользуемся правилом возведения в степень:
2а2} * _ (2а2)3 _ 8а^
Ь4 ) (б4)3 Ь12
Упражнения
108. Выполните умножение:
. 5 2Ь 5а 7 . Ь2 5 . 18 с3
a ) 5 i ' ¥ ; б ) % ' ї о : В ) І 0 Ї ; с*" 2 4 '
109. Представьте в виде дроби:
. Зх 10 .. 2,5 4а3 . 7а3 , . , 1
“> 4 ^ 3 ^ В ) 2Ї6'8Ь; Г) ЫаЬ Ш -
110. Выполните умножение:
. 12 х3 ^ 8с2 1 . 11а4 126 . Ап2 9т
а ) 5 * '1 2 а ; } 15/га 4с2 ’ В ) 6 ' а5 J Г ) 3/га2 ' 2 ’
111. Преобразуйте в дробь выражение:
a ) 15 * 2 s ? ; б ) 1 § 7 '2*'!; в ) 6 о т 2 - ^ ; г> I ? 1® *2-
112. Упростите выражение:
ч 48х5 7у2 ч 72х4 ( 2,5у4
а) Л ‘ , „ Я Ї В)49у4 16х3 ’ 7 25у 5 ^ 27х5
18/га3 22га4 35а х 2 8ab
11га3 9 т 2 ’ Г 12Ь 2у 21ху
Глава I Рациональные дроби

32. 113. Выполните умножение:
10х2у2 21а3 . 13х . о
а) ТП; ^ 5 в) Тп Т ‘ 4 т л;
б)
9а2
2т.3
35а3Ъ2 '
5ху ’
7a2b
6 т J’
12т п 2
г)
114. Упростите выражение:
а)
2а2b 3х2у бах
3ху АаЬ2 15Ь2’
б)
6 т 3п2 49п4 5 т4р2
35р3 ' т 5р3 ' 42п6
115. Возведите в степень:
*> (*)' •>(т)‘ в)
3
Ю т
116. Возведите в степень:
а)
2а
p2q3
б)
( За2& |
I” J5
в) -
2агЬ }
3т п 3
г)
г)
9а^У
2Ь2) '
Зх2V
2у3 )-
117. Представьте в виде дроби:
( 5а3 V (2 х 2Ъ
. « И ; б) кv
а) в)
Ю т 2У .
п2р ) ’
г) -
Ъ3с2
118^] Зная, что а = 2, найдите значение выражения а 2 +
а
119. Выполните умножение:
8 а3
25
■,2’
4ab
За ab + Ь2
б) Ь* ' 9
в)
т - п 2т п
т п т п —т ‘
Д)
е)
ах + Ъх
сх + dx 2ab
т а - mb 2 т
120. Выполните умножение:
а)
2х
Зп2 пЪ - п а ’
ах —ау ( Ъху
Ъх2у2 by - Ьх
в)
б) (х2- 4) •
(х + 2)2’
г)
Зу2- 12
2аЪ
а2 - 6ab + 9Ь2
(;у2- 4у + 4);
•(а2- 962).
121. Представьте в виде дроби:
а)
ху а + а*
а* + а°
б)
6а
х* - х
2х - 2
Sax
§ 3. Произведение и частное дробей

33. 122. Упростите выражение:
у2 - 16 5у b - а 3ab
б)
123. Представьте в виде дроби:
. а2 - 1 7а - 7Ъ
а) z - —r -L— і в)а - Ь аг + а
Ь2 + 2Ьс ЪЬ + 15
б)
а а2 - ъ 2 '
(х + З)2 д:2- 4
2х —4 Зх + 9 ’
СЛ
1
to
У 2 - 36
Ъ+ 3 Ь2 - 4с2 ' ’ 2у + 12 2у - 10 '
124. Найдите значение выражения:
. Ьтп - т 16т 2—п2 1
а) лт I »------ л— ’если т = 1 ’ П = ~3;4 т + п on —1 4
(д; + 2)z 2jc + 6
б) — — если х = 0,5; -1,5.
Зх + 9 х —4
125. Выполните умножение:
а2- Ъ2 2а - 6
а) а2- За ' Ь2+ 2аЪ + а2 5 }
126. Представьте в виде дроби:
. т х 2 - т у 2 3т + 12
а) ------- — -; в)
2 т + 8 т у + т х
ах + ау х2- ху .
х2- 2xi/+ і/2 7х + 7 у’
127. Упростите выражение:
ч х2- 10* + 25 х2 - 16
а) г— ——--- ---- — ; в)
Ьх + 3Ь 25 - 10х + х2
х 2 - 2 5 ах + За
х3- у3 х2- у2
х + у х2 + ху + у2 ’
а2 - 1 а2- а + 1
а3+ 1 а2 + 2а + 1'
у2 - 25 Зу + 18
Зх + 12 2х - 10 ’ у2 + 12у + 36 2у + 10 ’
1 - а 2 а2 + 4а6 + 4&2 ч Ь3 + 8 2Ь + 3
6) : ■-~0------ =— т---- ; г)
4 а+ 86 З - З а ’ ' 18Ь2+ 27Ь Ь2 - 2Ь + 4 ‘
і128. Докажите, что если дробь ^ является квадратом дроби, то
О
и произведение аЪ можно представить в виде квадрата некото­
рого выражения.
п129. Упростите выражение:
а2 - 4ас + 3Ьс ^ а + ЗЬ + а + 2с
а2- ab + Ъс - ас Ь - а а - с
Глава I Рациональные дроби

34. п
130. Первые 30 км велосипедист ехал со скоростью v км /ч, а ос­
тальные 17 км — со скоростью, на 2 км/ч большей. Сколько
времени t (ч) затратил велосипедист на весь путь? Найдите t,
если: a) v = 15; б) v = 18.
131. Выразите х через а и Ь:
X X
а) 3х + b = а; б) Ь - 7х = а - Ь; в) — +1 = 6; г) &---- = а.
а 10
6. Д еление дробей
При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на
дробь, обратную второй. Например:
3 2 3 5 _ 15
8 5 8 2 16’
Так же поступают при делении любых рациональных дробей:
а с а d
b 'd ~ b " c ’
где а, Ь, с и d — некоторые многочлены, причём Ь, с и d — ненуле­
вые многочлены.
Это равенство выражает правило деления рациональных дробей:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь
умножить на дробь, обратную второй.
і--------------------------------- і Л І — : ________ - _ .i
П р и м е р 1. Разделим дробь на дробь .
b b
► Воспользуемся правилом деления дробей:
7а2 ш14а _ 7а2 b _ а
Ь3 b Ь3 14а 2Ь2
^ 2 х 1
П р и м е р 2. Разделим дробь на дробь .
х х + 2
х —2 х + 1 х - 2 х +2 х2- 4
> И м еем : ----- = —т-- . <]
хх + 2 х х +1 Xй+ х
§ 3. Произведение и частное дробей
33

35. — Q
П р и м е р 3. Разделим дробь на многочлен а + 3.
Зі/
► При делении дроби на многочлен этот многочлен записывают
в виде дроби и затем применяют правило деления дробей:
а2- 9 . а2 - 9 а + 3 а2 - 9 1 а - 3
: (а + 3) = -----: ------------ = --.
Зу 3у 1 Зу а + 3 Зу
Упражнения
132. Выполните деление:
а) : ~1Г” ’ д* ~ГТ '•<22* 2): ж ) : (9c2d);6га 8 12 Ь 36 4у* 7а
14 7х ч Зл: 1 ч огт ч 18с[4 ч ос 5 7x3
б) 9 ? : V ; Є) 270 : W ’ 3) : Ж
133. Упростите выражение:
ч 6л:2 З х . Зай Г 21а2Ь
a) Т : ТТГТ? в)Ъу Юг/3 ’ 4ху ^ 10х2у
„ 8с 6с2 ч 18a2b2 ( 9аЬ3
б) 7ГГ35- : ^ГГ; г) —21d2 ’ Id bed ‘ I 5c2dA
134. Выполните деление:
ч б*2 х . 8m*2 .. 9 .
а) ~ T-: q 2 ’ в) — з- : (4mzx);
т лп 3m r Зу
35х2у 7ху ч 2 ь. а3^2
б) г) 15а2Ьх : ——г.
12аі> 8а62 ЗОх2
135. Представьте в виде дроби:
Зх2 . 9х3 Ъу _ 7р4 Ъд . 3р
3 5у3 ’ 2у2 3* ’ 10д3 14р2 4q*
136. Упростите выражение:
11т4 5т 11га3 8х? . 4х4 _7*
3 6га2 6га3 ' 12т3 ’ Іу 3 49і/2 *у2
137. Представьте выражение в виде дроби и сократите её:
а) (х + Зу) : (х2- 9у2);
б) (а2- баб + 9Ь2) : (а2- 962);
в) (х2 - 49у2) : (49у2 + 14ху + х2)
г) (т - 4п)2 : (32л2 - 2 т 2).
Глава I Рациональные дроби

36. 138. Выполните деление:
Л) Ц ^ : ( 7 а - 2 1 Ь ) ;
е) (X2- 4у 2): — — — ;
х
4а3- ab2
8х2 ' 8х ’
5а2 а3
6 Ь3 ab - Ь2 '
X 2 + X3 4 + 4х
1 1 а2 ' а3 ’
6ах 8ах
в) -т;--f : ж > (2° - Ь)2 :
г) Z 2— : о~~ ё > з) (1 0 т-1 5 л):
3
(2/га - Зга)2
/га2—2/га 3/га—6 2/га
139. Выполните действие:
х2 - ху 2х 2 2 3/га + 12га
а) Q л : — ; в) (/л-2- 16л^): ---------;
9у* 3у т п
2а3 - а2Ь 2а - b 9р2 - 1 1- Зр
’ 36Ъ2 : ~9Ь3~ ; Г) p q - 2 q : 3 ^ 6 '
140. Найдите значение выражения:
а) — -— ~ ~ : (2х - 2), если х = 2,5; -1;
х + 3
Оп2 — Я/i2
б) (За + 66): — ——— , если а = 26, Ь = —12.
а + Ъ
141. Выполните деление:
Зх + 6г/ 5х + 10
х2- у2 х2- 2ху + у2’ 16 - fc4 4 + b2
л Зх + 6у 5х + 10у а2 + 4а + 4 4 - а2
Гг-*І2 .....2» "
142. Упростите выражение:
. а2+ ах + х2 а3- х3 ар2 - 9 а р + 3
а) * - і : ? г т ; б ) ^ г : 2 7 ^ і '
143. Из формулы —+ і = - выразите:
а b с
а) переменную с через а и Ь; б) переменную Ь через а и с
144. Выполните действия:
. 2Ь 5 4Ь2+ 9
а)
б)
2Ъ + 3 3 - 2 Ь 4Ъ2 —9 ’
с + 6Ь 2Ъ
ас + 2be - 6аЬ - За2 а2 + 2afc ас - За2 '
§ 3. Произведение и частное дробей

37. п145. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка,
собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 мин после вы ­
хода лодки у неё испортился мотор, и её течением через 3 ч
принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?
146. Из формулы у = ^ выразите:
ctC
а) переменную с через а, b и у;
б) переменную а через Ь, с и у.
147. В каких координатных четвертях расположен график функции
у = kx, если k > 0? если k < 0 ?
7. П реобразование рациональных выражений
Рациональное выражение ( —— - + 2у- ) : (х2- 3у 2) представ-
х + у х —у )
ляет собой частное от деления суммы рациональных дробей на
многочлен. Деление на х2- 3у 2 можно заменить умножением на
дробь - — г. Поэтому преобразование данного выражения сводит-
хг - 3jr
_ „ х - и 2у
ся к сложению дробей —, ---- и умножению результата на
X + у х - у
дробь -----т. Вообще преобразование любого рационального выра-
Xі - 3{г
ж ения можно свести к сложению, вычитанию , умножению или де­
лению рациональных дробей.
Из правил действий с дробями следует, что сумму, разность,
произведение и частное рациональных дробей всегда можно предста­
вить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное вы ­
ражение можно представить в виде рациональной дроби.
П р и м е р 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение
1 х2 - 4
X + 1 ------ .
х + 2 х
► Сначала выполним умножение дробей, затем полученный ре­
зультат вычтем из многочлена х + 1 :
1 х2 - 4 (х - 2)(х + 2) х - 2
1)
х + 2 х (х + 2) х
оч і х - 2 х(х + 1) - (х - 2) х2 + х - х + 2 _ х2 + 2
Z) X 1. — — — •
20 И>іМ:1I I Рациональные дроби

38. Запись можно вести иначе:
1 х2 - 4 л (х - 2)(х + 2) , х - 2
х + 1 ----- = х + 1- - = х +1 -------
х + 2 х (х + 2) х х
х2 + х - х + 2 х2 + 2
П р и м е р 2. Представим выражение
b а ^ a2b + ab2
а2 + Ь2
+ 1
в виде рациональной дроби.
► Сначала сложим дроби, заключённые в скобки, затем найден-
а2Ъ + ab2
ныи результат умножим на дробь —5— -г— и, наконец, к полу-
аі + 0і
ченному произведению прибавим 1 :
b а Ь а Ь2 + а2
1 )
2)
а2- ab аЪ - Ъ2 а(а - b) b(a - b) ab(a - Ь) ’
b2+ а2 а2Ъ + ab2 _ (а2 + Ь2) •ab(a + b) _ а + b
ab(a - Ь) а2 + Ъ2 ab(a - Ь) ■(а2+ b2) а - b'
а + Ь , а + Ъ + а - b 2а
3) г + 1 =
а - b а - Ь а - Ь
П р и м е р 3. Представим выражение
х_
У
У_
х
в виде рациональной
У
дроби.
► Преобразование можно вести по-разному. Можно представить
в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель,
а затем разделить первый результат на второй. А можно умно­
ж ить числитель и знаменатель на ху, воспользовавшись основ­
ным свойством дроби:
X
У
У_
х _ V
X
У
ху
(
X у
— ху - — -хц
У У X у
^ •ху + ^ •ху - 2ху
х2- у 2
х2+ у2 - 2ху
ху
(jc - у)(х + у) х + у
(.х - y f х - У
§ 3. Произведение и частное дробей

39. П р и м е р 4. Пешеход отправился из посёлка А на станцию В со
скоростью км /ч. Придя на станцию, он обнаружил, что оста­
вил дома необходимые документы, и возвратился обратно в по­
сёлок со скоростью и2 км /ч. Взяв документы, он снова пошёл на
станцию со скоростью vs км /ч. Вы ясните, какой была средняя
скорость пешехода на всём пройденном им пути.
► П усть расстояние А В равно s км. Тогда на путь от А до Б пеше-
S S
ход затратил сначала — ч, на путь от В до А ч, а на повтор­
ні °2
g
ное прохождение пути от А до В ч. Н а весь путь пешеход
Чз
S S S
затратил — н 1 ч. За это время он прошёл 3s км. Теперь
v1 v2 v3
можно найти среднюю скорость vcp пешехода на всём пути:
3s
° СР ~ s s s '
— + — + —
Ul v2 L>3
Сократив данную дробь на s, найдём, что
— + — + —
1>1 v2 v3
М ы получили формулу для вычисления средней скорости, если
известны скорости vl7 v2, v3 на каждом из трёх участков одинаковой
длины. Из полученного равенства видно, что средняя скорость дви­
жения пешехода не равна среднему арифметическому скоростей ог,
v2 и i>3. Она вы числяется по более сложной формуле, которую назы­
вают формулой среднего гармонического трёх чисел.
Средняя скорость движения на двух участках пути одинаковой
длины вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел:
2
«І и2
где и v2 — скорости на этих участках.
Средняя скорость движения на четырёх участках пути одинако­
вой длины вычисляется по формуле среднего гармонического четы ­
рёх чисел:
где Vi, v2, v3, v4 — скорости на этих участках.
1_________
Глава I Рациональные дроби

40. I-------------------------------------------------------------- 1
Вообще если мы имеем некоторый ряд положительных чи ­
сел а 1г а 2, ... , ап, то среднее гармоническое этого ряда вы- |
числяется по формуле
п
Эту формулу иногда записывают в другом виде:
1 1 1
1 _ °1 02_______ (^п_
асР П
Из этой записи видно, что величина, обратная среднему гармо­
ническому нескольких положительных чисел, равна среднему ариф­
метическому чисел, им обратных.
Упражнения
148. Выполните действия:
х 1
а)
У2 х.
Г1 0
1=,У + х )
ab + Ъ2 b3 а + Ъ
в) — г ~ 1
( 4 +4 ) : т 2 т 3)
« і » , - і . ) --2 , "і I. х —у Ъу х2 - ху
в) I — + — I -1 + — J ; о —
149. Выполните действия:
v ( х ^Л 1н- jc . | 4 a 'l а + 2
2 - а І а - 2
х - 2 f
о • I х
х - 3 v1-J/2 V 1 - у У x - 3 v 2 - х
150. Упростите выражение:
. f 2 т + 1 2/п - 1^1 4т х + 3 ( х + 3 х - 3
а) 7Г— 7 - 7Г— Т : в ; б) Т5Г-Г~ +2т. - 1 2 т + 1 ) Ю т - 5 х2 + 9 v * - 3 х + 3
151. Выполните действия:
а2 - 9 ( 6а + 1 6 a - l') ( Ьх + у 5х - у х2 + у2
а) тз-г-7-кг-г- + ^-=- ; б) — -f + . у '• у
2а2 + 1 ^ 0 - 3 а + 3 J ’ х — 5у х + 5у ) х2 —25у
§ 3. Произведение и частное дробей

41. 152. Выполните действия:
. а2- 25 1 а + 5
а)
а + 3 а2 + 5а а2 - За ’
1- 2х х2+ Зх 3 + х
б) г г +
2х + 1 4х2 - 1 ' 4х + 2 ’
153. Упростите выражение:
в)
г)
а + Ь а2 - ас а2- Ь2>
а2 - 4 а2 - 2а 2 -і/
х2- 9 ' ху + Зу х - 3 '
а) (а 2+ 2а + 1) ■ +
а + 1 а2 - 1 а —1 j
в) + 2
а -
г) ( у 2- 4)
У + 2 у -2
+ 5.
154. Выполните действия:
4 < 1 2а) - + х -
У х - у
2аЬ
б) + Ъ -
в) (х2- 1)
г) | т. + 1 —
а + Ь
1
х2 + у2
X + у
а - b Ь
а + Ь + а
1
х - 1 х + 1
1
+ 1 ;
1 - т
т -
пг
т - 1
155. Упростите выражение:
4ху . Г 1 1
й) г/2 - х2 * U 2 - ^ ’ *2+ 2хг/ + у2
б)
х - 2у________1 ________
х2 + 2xi/ х2 - 4г/2 ’ (2і/ - х):
х + 2г/ ^ (х + 2у)2
4у2
156. Представьте в виде дроби:
х + 2 Зх - З 3
а)
б)
х2 - 2х + 1 х2 - 4 х - 2 ’
а - 2 [ а а2+ 4
4а2 + 16а + 16 ’ І2 а - 4 2а2 - 8 а2+ 2а У
40
Глава I Рациональные дроби

42. 157. При каком значении а выражение
.9 чг>. |а + 5 а —7
(0,5 (а - I )2 - 18) I г +
а - 7 а + 5
принимает наименьшее значение? Найдите это значение.
81
158. При каком значении Ь вы раж ение , -
(0,56 + 9)2 + (0,5Ь - 9)2
мает наибольшее значение? Найдите это значение.
прини-
159. Докажите тождество:
2p - q 1 ( p__q_
Я Р
а)
б)
PQ
а + b
p + q
а - b
1
У
Я
b2 - аЪ
2(а - Ь ) 2(а + Ъ) а - Ъ а2 - Ь2 '
Докажите тождество:
. 1,2х2- ху 20х
а)
0,36л:2 - 0,25у2 6х + Ъу *
б)
4,5а + 4лг 50
0,81а2 - 0,64л:2 9а - 8х
161. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение выражения не зависит от значений входящих в него
переменных:
ч , 2ab а -b ] 2а Ь
а)
б)
а2- b2
У
а ~ Ъ
а + 2Ь) а2а
х3 - ху2
+ Ь
х
Ь - а
х2- у 2
162.
X - у X2+ у2 (х - у)2
Докажите, что при любом натуральном п значение выражения
/
9 п
ґ
3
1 1
п2
+ з"
/
•
л2
п 3
/
является натуральным числом.
163. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:
а) п + —
п
в) ^ + 1
2
(X ,
^ + Ь - 1)
б)
а _ И 2.
b a J ’
164. Упростите выражение:
2а —b
а)
1 - і
X
X
б)
2а + b
+ 1
- 1
в)
^ + J L
у2 X2
X У
г)
1 1 1
— + — + —
а о с
_1_ J_ J_
ab be ас
§ 3. Произведение и частное дробей

43. 165. Представьте в виде отношения многочленов дробь:
2-« 5—^+3 - + -
а) — тг'* б) ттт— ; в) -— г; г)
у г . х - у
2+— а+b _ J А_1 £_£*
* с х г/ «/ *
166.] Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
а
х
. х - а аЪ ь а - Ь
а) -, если х - б) ----- , если х = ---- .
х - Ъ а + b Ь а + Ь
- + х
а
167.! Выполните подстановку и упростите полученное выражение:
. а + Ь 1 1
а) если а = ---- , Ъ = ;
а - b 1 - х 1+д:
ах Ьх ab
б) ------- , если х =J V v i/Хді «V •
а + х о - х а - b
168. Найдите значение выражения:
Ъ—
4 9 2 І 0,2 а - Ь _ ,
а) — приа = - , Ь = - ~ ; б) — при а = - 8, b = 0,6.
а b 3 2 аг ,,
— +— Ъ2
12 18 25
169.; (Д ля работы в парах.) При каких значениях х имеет смысл
выражение:
ч 1 6х ~
а) — ; б) — ?
3 2+
х —2 х + 8
1) Обсудите, о каких значениях переменной х в заданиях а)
и б) можно сказать сразу, что они не являю тся допустимыми.
Что надо сделать, чтобы найти другие значения х, которые не
являю тся допустимыми?
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б),
и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразо­
вания. Исправьте замеченные ошибки.
170. Найдите среднее гармоническое чисел:
а) 3, 5; б) 2, 4, 8; в) 5, 10, 15, 20.
171. Из пункта А в пункт В автобус ехал со скоростью 90 км/ч. На
обратном пути из-за непогоды он снизил скорость до 60 км/ч.
Какова средняя скорость автобуса на всём пути следования?
172. Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4 ч,
а его ученик — за 6 ч. За какое время они смогут выполнить
два заказа, работая совместно?
Глава I Рациональные дроби

44. 173. Готовясь к соревнованиям, ш кольник трижды прошёл на лы ­
жах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью 9 км/ч, за­
тем со скоростью 12 км/ч и, наконец, со скоростью 10 км/ч.
Какова была средняя скорость ш кольника на всём пути?
п
174. Найдите координаты точек пересечения с осью х и осью у гра­
фика функции: а) у = - х - 2; б) у = -0,4х + 2. Постройте гра-
фик этой функции.
175. Напиш ите уравнение прямой: а) проходящей через точку
(0; 4) и параллельной прямой у = Зх; б) проходящей через
начало координат и параллельной прямой у = - - х - 8.
176. Изобразите схематически график функции, заданной форму­
лой вида у = kx + Ь, если:
а) k > 0, Ъ > 0; в) k < 0, Ь < 0;
б) k < 0, b > 0; г) k = 0, Ь > 0.
177. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если
меньшую сторону увеличить вдвое, а большую — втрое, то пе­
риметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Н ай­
дите стороны данного прямоугольника.
178. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу
с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый
поезд выш ел на час раньше пассажирского и идёт со скоростью
110 км /ч. Через сколько часов после своего отправления он
встретится с пассажирским поездом, если скорость пассажир­
ского поезда равна 90 км /ч?
8. Ф ункц ия у = — и её график
П усть площадь прямоугольника, длина которого х см, а ширина
у см, равна 24 см2. Тогда зависимость у от х выражается формулой
24
В этой задаче переменные х н у принимали лиш ь положитель­
ные значения. В дальнейшем мы будем рассматривать функции, за­
даваемые формулой вида у = —, в которой переменные х и у могут
принимать как положительные, так и отрицательные значения,
причём k 0. Такие функции называют обратными пропорциональ­
ностям и.
§ 3. Произведение и частное дробей

45. О п р е д е л е н и Обратной пропорциональностью на­
зывается ф ункция, которую можно задать формулой вида
у = —, где х — независимая переменная и k — не равное
нулю число.
Областью определения функции у = — является множество всех
„ * k
чисел, отличных от нуля. Это следует из того, что выражение —
имеет смысл при всех X Ф 0.
Рассмотрим свойство обратной пропорциональности. П усть х г
и х2 — значения аргумента (X j Ф 0, х 2 Ф 0), а у х и у 2 — соответ­
ствующие им значения функции. Так как k Ф 0, то г/хФ 0 и у 2 Ф 0.
k
Из формулы у = — следует, Ч Т О Х 1у 1 = k И Х 2у 2 = к, и потому верна
Х У2
пропорция — = — , т. е. отнош ение двух произвольных значений
*2 Ух
а р гум е н та равно обратном у о тнош ению с о о т в е т с т в у ю щ и х значе­
ний ф ункции. С этим связано название функции — обратная про­
порциональность.
В повседневной ж изни мы часто встречаемся со случаям и, когда
зависимость между переменными является обратной пропорцио­
нальностью.
Приведём примеры.
П р и м е р 1. Время t (ч), которое автомобиль, двигаясь со ско­
ростью v км /ч, затрачивает на путь, равный 450 км, вы числя­
ется по формуле t = —— , т. е. зависимость t от v является обрат­
ной пропорциональностью.
П р и м е р 2. Масса т (кг) м уки, которую можно купить на 85 р.
85
по цене р р. за килограмм, вычисляется по формуле т = — ,
т. е. зависимость т от р является обратной пропорциональ­
ностью.
12
Построим график функции у = — . Д ля этого найдём значе­
ния у, соответствующие некоторым положительным значениям
и противоположным им отрицательным значениям х:
X 1 1,5 2 3 4 5 6 8 12
У 12 8 6 4 3 2,4 2 1,5 1
Глава I Рациональные дроби

46. X -1 -1,5 -2 -3 -4 -5 -6 -8 -12
У -12 -8 -6 -4 -3 -2,4 -2 -1,5 -1
Отметим в координатной плоскости
точки, координаты которых помещены
в таблице (рис. 3).
Выясним некоторые особенности гра­
фика функции у - ~ . Так как число нуль
не входит в область определения ф унк­
ции, то на графике нет точки с абсцис­
сой 0, т. е. график не пересекает ось у.
Так как ни при каком jc значение у не
равно нулю, то график не пересекает
ось х. Положительным значениям х со­
ответствуют положительные значения у.
Чем больше положительное значение х,
тем меньше соответствующее значение у.
Например,
если х = 10, то у = 1 ,2;
если х = 100, то у = 0,12;
если х = 1000, то у = 0,012.
Значит, чем больше положительная
абсцисса точки графика, тем ближе эта
точка к оси абсцисс. Д ля достаточно
больших значений х это расстояние мо­
жет стать как угодно малым. Чем ближе
положительная абсцисса точки графика
к нулю, тем больше ордината этой точ­
ки. Например,
если х = 0,03, то у = 400;
если х= 0,0001, то у = 120 000.
12
График функции у = — показан на
рисунке 4. Он состоит из двух ветвей,
симметричных относительно начала коор­
динат. Одна из этих ветвей расположена
в первой координатной четверти, а дру­
гая — в третьей. Такой ж е вид имеет
k
график функции У ~ ~ при любом k > 0.
Н а рисунке 5 построен график
функции у = Он так же, как и гра­
фик функции у = представляет со-
I !У-1
|
О ‘
4
-8L i . 4 ' *
» !
f
г ■
о і
1
і 2
X
Пr.i
* с
4
о
~ г12
•[ _ _ L Г I
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
§ 3. Произведение и частное дробей

47. бой кривую , состоящую из двух ветвей, симметричных относитель-
12
но начала координат. Однако в отличие от графика функции у = —
одна из них леж ит во второй, а другая — в четвёртой координатной
четверти.
k
График функции у = — при любом k < 0 имеет такой же вид, что
и график функции у = —~~-
Кривую , являю щ ую ся графиком обратной пропорциональ­
ности, называю т гиперболой. Гипербола состоит из двух
ветвей.
L ______________ ;____________ !
Упражнения
g
179. Ф ун кц и я задана формулой у = —. Заполните таблицу.
180.
181. Двигаясь со скоростью v км /ч, поезд проходит расстояние ме­
жду городами А и В , равное 600 км, за t ч. Запиш ите формулу,
выражающ ую зависимость: a) v от t; б) t от v.
182. Обратная пропорциональность задана формулой у - Н ай­
дите значение функции, соответствующее значению аргумента,
равному 100; 1000; 0,1; 0,02. Определите, принадлежит ли гра­
ф ику этой функции точка А (-0,05;-200), В (-0,1; 100),
С (400; 0,025), £>(500; -0,02).
183. Известно, что некоторая ф ункция — обратная пропорциональ­
ность. Задайте её формулой, зная, что значению аргумента, рав­
ному 2, соответствует значение функции, равное 1 2 .
I__________
X -4 -0,25 2 5 16
У -4 0,4
Обратная пропорциональность задана формулой у = — . За­
полните таблицу.
X -1200 -600 75 120 1000
У -0,5 -1 0,4
Глава I Рациональные дроби

48. 184. Н а рисунке 6 построен график функ-
— g
ции, заданной формулой у = —. Най­
дите по графику:
а) значение у , соответствующее зна­
чению х, равному 2; 4; -1; -4; -5;
б) значение х, которому соответст­
вует значение у, равное -4; —2; 8.
185. Постройте график функции, задан-
—8
ной формулой у = — . Найдите по
графику:
а) значение у, соответствующее зна­
чению х, равному 4; 2,5; 1,5; -1; -2,5;
б) значение х, которому соответст­
вует значение у, равное 8; - 2.
0
186. Постройте график функции у = — и, используя его, решите
ч 6 6 д
уравнение: а) — = х; б) — = -х + 6.
8 8
187. Реш ите графически уравнение: а) — = х2; б) — = х 3.
188. (Д л я работы в парах.) Используя графические представления,
выясните, сколько решений имеет уравнение:
h k
а) — = х2, где к >0; в)— = х3, где k > 0;
б) = х2, где к <0; г) = х 3, где к < 0.
1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — зада­
ния б) и в), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функ-
k
ции у = - .
3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений
уравнения.
189. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см
и Ь см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см3. Выразите
формулой зависимость Ъ от а. Является ли эта зависимость
обратной пропорциональностью? Какова область определения
этой ф ункции? Постройте график.
190. Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что её
график проходит через точку:
а) А (8; 0,125); б) В ^ | ; l | j ; в) С(-25; -0,2).
I
-Й- Q
У =—
*
-
4
L S
-1 2-к
Ї
Г -<5
X
'А >
к "к
|
-
О “
О
Рис. 6
§ 3. Произведение и частное дробей

49. 191. На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачи­
ваемого на путь из пункта А в пункт В , от скорости движения.
С помощью графика ответьте на вопросы:
а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости
движения 80 км /ч? 25 км /ч? 40 км /ч?
б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из
пункта А в пункт В за 1 ч ? за 4 ч? за 8 ч ? за 16 ч?
в) Каково расстояние между пунктами А и В ?
k
192. Определите знак числа k, зная, что график функции у = — рас­
положен:
а) в первой и третьей координатных четвертях;
б) во второй и четвёртой координатных четвертях.
193. На рисунке 8 построен график одной из следующих функций:
і 5 о 3 _ 3 . 5
1. у = ----- 2.у= -- 3. у = — 4. у = —
а х 3 х а х я х
Укаж ите эту функцию.
194. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение дроби не зависит от значений этих переменных:
Ь (х - У )2 . «ч (3 * - 6 у)2
а)
(Зу - Зх) 2 ’ б)
4(2і/ - х)2
Глава I Рациональные дроби

50. (Задача-исследование.) При каких значениях а и Ь является
Ъх + 31 а b _
тождеством равенство — = + с
(х - 5)(х + 2) х - 5 х + 2
а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким
условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему
уравнений и решите её.
в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.
196. Упростите выражение
12 Ї х + 7
х + 2 х - 2 4 - х 2 ) х - 2
Контрольные вопросы и задания
Сформулируйте правила умножения и деления дробей.
Сформулируйте правило возведения дроби в степень.
Какая функция называется обратной пропорциональностью?
В каких координатных четвертях расположен график функции
у = ^ при k > 0? при k < О?
Д ля тех, кто хочет знать больше
9. П редставление дроби
в виде сум м ы дробей
Сумму двух рациональных дробей, как известно, всегда можно
представить в виде несократимой дроби, у которой числитель и зна­
менатель — многочлены с переменными или числа (в частности,
число 1). Обратная задача — представление дроби в виде суммы
двух дробей — неопределённая.
4х2 - 16* + 1
Так, например, дробь ------ ^---- можно представить в виде
4х
суммы (или разности) двух слагаемых разными способами:
4л;2 - 16л; + 1 _ 4х2 1 - 16* _ 1- 16х
4 *2 4хг + 4х2 + 4х2
4х2 - 16х+ 1 _ 4х2 + 1 _ 16л; _ 4л:2 + 1 _ 4
4л;2 4л;2 4л:2 4л;2 л;'
Для тех, кто хочет знать больше

51. Вообще задача представления дроби в виде суммы дробей допус­
кает сколь угодно много решений. Действительно, если требуется
представить дробь —в виде суммы двух дробей, то в качестве одного
Ь
с
из слагаемых можно взять произвольную дробь —. Тогда вторая
d
_ _ а с _ ad - be
дробь будет равна разности —, т. е. равна дроби------ .
Ъ d bd
Д ля представления дроби в виде суммы дробей можно восполь­
зоваться методом неопределённых коэффициентов. Разъясним на
примере, в чём состоит этот метод.
7хП р и м е р 1. Представим дробь ------------ в виде суммы дробей
(х - 3)(х + 4)
со знаменателями х - 3 и х + 4.
► Допустим, что
7х а b
(х - 3)(х + 4) х - 3 х + 4
Сложим дроби в правой части равенства:
a i b _ а(х + 4) + Ь(х - 3) _ (а + Ь)х + (4а - ЗЬ)
х - 3 х + 4 ~ (х - 3)(х + 4) " (х - 3)(х + 4)
„ 7х (а + Ь) х + (4а - ЗЬ)
Получаем, ч т о ------------ = ----------------- .
(х - 3)(х + 4) (х - 3)(х + 4)
Это равенство будет тождеством, если а + b = 7 и 4а - ЗЬ = 0.
Реш ив систему уравнений
а + Ь = 7,
[4 а - ЗЬ = 0,
найдём, что а = 3, b = 4.
Следовательно,
7х 3 4
+ г- О
(х - 3)(х +4) х - 3 х + 4
Приведём теперь примеры задач, при решении которых ис­
пользуется представление дроби в виде суммы целого выражения
и дроби.
П р и м е р 2. Найдём все пары целых чисел, удовлетворяющие урав­
нению х - ху + Зу = 5.
► Выразим из уравнения переменную х через у:
х —ху = 5 —Зу, х(1 - у) = 5 - Зу, х = ^ ^— , х = Зу_ ^ .
Рациональные дроби