127_1

Минск «Народная асвета» 2014
Учебное пособие для 9 класса
учреждений общего среднего образования
с русским языком обучения
Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
4-е издание, исправленное и дополненное
Л. А. Латотин Б. Д. Чеботаревский
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

УДК 51(075.3=161.1)
ББК 22.1я721
Л27
ISBN 978-985-03-2197-8 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д.,
2005
© Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д.,
2014, с изменениями
© Латотина Л. В., перевод на русский
язык, 2014
© Оформление. УП «Народная асвета»,
2014
Перевод с белорусского языка Л. В. Латотиной
Рецензент
доктор педагогических наук,
профессор кафедры математической кибернетики
Белорусского государственного университета
О. И. Мельников
Народная
асвета

3
Дорогие друзья!
Девятый класс является в определенном смысле
этапным в вашем обучении. Вас ожидают экзамены,
после которых вы будете выбирать свой дальнейший
путь.
Это учебное пособие обеспечивает изучение мате-
матики в соответствии с программой обучения. Под-
ведению итогов того, что изучалось ранее, дополнению
и обобщению ваших знаний посвящен последний раз-
дел учебного пособия, а также справочный материал.
Сведения последнего раздела дадут вам представле-
ние о том, как устроена школьная математика. Зна-
чительное внимание при этом уделяется итоговому по-
вторению.
Это учебное пособие организовано так же, как и в
предыдущих классах. Каждый параграф начинается
с обсуждения вопроса, обозначенного в названии па-
раграфа. Смысловые блоки в параграфах отмечены
буквами А, Б, В, Г, Д. Наиболее важное выделено спе-
циальными шрифтами. Новые понятия выделяются по-
лужирным шрифтом, правила и утверждения — по-
лужирным курсивом, а понятия и факты, на которые
стоит обратить внимание, но не обязательно запоми-
нать, — курсивом.
Материал, не предназначенный для обязательного кон-
троля, выделен с двух сторон .
После объяснительного текста идут контрольные во-
просы, отмеченные знаком ?. Они предназначены для про-
верки того, как вы усвоили содержание объяснительного
текста. Если на тот или иной вопрос вы не смогли ответить,
нужно вернуться к объяснительному тексту и с его помо-
щью попробовать ответить на этот вопрос вновь.
Упражнения, идущие после контрольных вопросов,
разделены на три группы.
Упражнения первой группы посвящены тем вопро-
сам, которые обсуждались в объяснительном тексте.
Народная
асвета

Они имеют в основном тренировочный характер, хотя
среди них могут встретиться и более сложные.
Вторую группу после разделительной горизонталь-
ной черты составляют разнообразные упражнения
на повторение. При их выполнении вам нужно будет
применить знания, полученные ранее, в том числе и в
предыдущих классах.
Задачи третьей группы, идущие после трех раздели-
тельных звездочек, являются в чем-то нестандартны-
ми. Они потребуют творческого подхода, самостоятель-
ности в рассуждениях. Вместе с тем для их решения у
вас достаточно знаний.
Те упражнения, номера которых набраны полужир-
ным курсивом, предназначены для углубления ваших
знаний.
Желаем вам успехов!
Авторы
Народная
асвета

5
1. Функция
А) Вы уже неоднократно встречались с зависимостями
между величинами.
Пример 1. Площадь квадрата зависит от длины его сто-
роны. Каждому значению a длины стороны квадрата соот-
ветствует единственное значение S его площади (рис. 1), что
коротко выражается формулой
S = a2
.
Рис. 1
Пример 2. Масса медного стержня зависит от его объема.
Каждому значению объема V стержня соответствует един-
ственное значение его массы m (рис. 2), что выражается фор-
мулой
m = 8,96V.
Рис. 2
Народная
асвета

6
Пример 3. Каждому значению переменной c соответствует
единственное значение u выражения 2c − 3. Например,
если c = 4, то u = 2 4 − 3 = 5;
если c = −5, то u = 2 (−5) − 3 = −13;
если c = −4,7, то u = 2 (−4,7) − 3 = −12,4.
Зависимость переменной u от переменной c записывается
формулой
u = 2c − 3.
Зависимость одной переменной y от другой x, при кото-
рой каждому значению переменной x из определенного мно-
жества D соответствует единственное значение переменной y,
называется функциональной зависимостью или функцией
переменной x.
Если переменная y является функцией переменной x, то
переменную x называют независимой переменной или аргу-
ментом, а переменную y — зависимой переменной.
Множество тех значений, которые может принимать аргу-
мент функции, называется областью определения функции, а
множество тех значений, которые может получать зависимая
переменная, — областью значений функции.
Например, площадь S квадрата является функцией дли-
ны a его стороны. Областью определения этой функции яв-
ляется множество положительных действительных чисел.
Масса m медного стержня является функцией его объ-
ема V. Область определения этой функции — также множество
положительных действительных чисел.
Переменная u из примера 3 является функцией перемен-
ной c. Ее область определения — множество всех действи-
тельных чисел.
Б) Функции могут задаваться различными способами. Ча-
сто это делают с помощью формулы. Мы уже указывали на
функциональные зависимости, заданные формулами:
S = a2
, m = 8,96V, u = 2c − 3.
Формула дает возможность для любого значения аргумен-
та из области определения найти соответствующее значение
функции.
Пример 4. Найдем значения функции S = a2
для значений
аргумента a, равных 7 и 32:
если a = 7, то S = 72
= 49;
если a = 32, то S = 322
= 1024.
Народная
асвета

7
Результаты подобных вычислений удобно оформлять в ви-
де таблицы. Составим таблицу значений функции S = a2
для
значений a из промежутка [0; 2] с шагом 0,2.
a 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
S 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1 1,44 1,96 2,56 3,24 4
Формульное задание функции позволяет находить зна-
чения аргумента, которым соответствует данное значение
функции.
Пример 5. Функция задана формулой r = 2b2
− b − 10. Най-
дем, при каком значении аргумента b функция r принимает
значение, равное 5. Для этого в формулу r = 2b2
− b − 10 вместо
r подставим число 5. Получаем уравнение с переменной b:
5 = 2b2
− b − 10.
Решим его:
b =
±1 1 120
4
+
;
b = −2 1
2
или b = 3.
Значит, r = 5 при b = −2 1
2
и при b = 3.
Если функция задана формулой и при этом не указана об-
ласть ее определения, то считают, что этой областью является
множество всех значений аргумента, при которых выражение
в правой части формулы имеет значение. Например, область
определения функции y
t
=
−
7
4
— это множество всех поло-
жительных чисел, кроме числа 4.
Пример 6. Найдем область определения функции:
а) y t= + 3;
б) z x x
x
= + −
−
3 12
1
.
а) Поскольку выражение A имеет значения при не-
отрицательных значениях A, то для нахождения области
определения нужно решить неравенство t + 3 0. Его ре-
шения можно записать неравенством −3 t. Значит, облас-
тью определения функции y t= + 3 является промежуток
[−3; + ).
Народная
асвета

8
б) Учтем, что подкоренное вы-
ражение 3x + 12 должно быть не-
отрицательным, а подкоренное
выражение 1 − x — положитель-
ным, так как оно стоит не только под корнем, но и в зна-
менателе дроби. Это означает, что для нахождения области
определения нужно решить систему неравенств
3 12 0
1 0
x
x
+
−
⎧
⎨
⎩
,
.
Поскольку x −4 и x 1, то областью определения является
промежуток [−4; 1) (рис. 3).
В) Функция может задаваться таблицей.
Пример 7. В следующей таблице указаны среднемесяч-
ные температуры воздуха в столице нашей страны городе
Минске.
n I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
t,
°C
−6,9 −6,4 −2,2 5,3 12,6 16,0 17,8 16,2 11,6 5,6 0,0 −4,5
Здесь аргументом является порядковый номер месяца, а
значением функции — температура воздуха в градусах Цель-
сия. Например, из этой таблицы мы узнаем, что в апреле сред-
немесячная температура воздуха составляет 5,3 °C.
Функциональная зависимость может быть задана гра-
фиком.
На рисунке 4 представлен график движения тела, брошен-
ного под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с.
С помощью графика функции можно по значению аргу-
мента найти соответствующее значение функции. По графику
на рисунке 5 определяем, что, например, через 2 с от начала
движения тело находилось на высоте 15 м, а через 3 с — на
высоте 7,8 м.
Можно также решить и обратную задачу: по данному зна-
чению a функции найти те значения аргумента, при которых
функция принимает значение a. Например, по графику на
рисунке 6 определяем, что на высоте 10 м тело находилось
через 0,7 с и через 2,8 с от начала движения.
Есть приборы, которые вычерчивают графики зависимо-
стей между величинами. Это барографы — приборы для
фиксации зависимости атмосферного давления от времени,
термографы — приборы для фиксации зависимости тем-
Рис. 3
Народная
асвета

9
пературы от времени, кардиографы — приборы для графи-
ческой регистрации деятельности сердца и др. На рисунке 7
схематически изображен термограф. Его барабан равномерно
вращается. Самописец, который в зависимости от темпера-
туры поднимается и опускается, касается бумаги, намотан-
ной на барабан, и рисует на ней
определенную линию.
Г) По представлению функ-
ции формулой можно составить
таблицу ее значений для со-
ответствующих значений аргу-
мента. Данная таблица поможет
получить графическое представ-
ление функции. Рис. 7
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
Народная
асвета

10
Пример 8. Функция задана формулой p
t
=
+
10
12
. Составим
таблицу значений этой функции.
t −5 −4 −3 −2 −1 −0,5 0 0,5 1 2 3 4 5
p 0,38 0,59 1 2 5 8 10 8 5 2 1 0,59 0,38
Например, если t = −5, то p = = = ≈
− +
10
5 1
10
25 1
10
262
0 38
( )
, .
+
Найденные пары значений переменных t и p отметим на
координатной плоскости (рис. 8). Если аргументу t давать
другие значения и отмечать на координатной плоскости со-
ответствующие точки, то все эти точки образуют определен-
ную линию. Эта линия является графиком функции p
t
=
+
10
12
(рис. 9).
Графиком функции называется множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых равны значе-
ниям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям
функции.
Рис. 8
Народная
асвета

11
Пример 9. Построим график функции z t= − −1
3
3.
Это линейная функция. Ее графиком является прямая ли-
ния. Поэтому для построения этой прямой найдем координа-
ты двух точек графика:
если t = −3,
то z = − − −1
3
3( ) 3 = −2;
если t = 3,
то z = − − = −1
3
3 3 4.
Отметив на координатной
плоскости точки M(−3; −2) и
N(3; −4), проводим через них
прямую MN (рис. 10), кото-
рая является графиком функции z t= − −1
3
3.
? 1. Приведите примеры зависимостей между величинами.
2. Какая зависимость между величинами называется функцией?
3. Что называют независимой переменной или аргументом; зависимой
переменной?
Рис. 10
Рис. 9
Народная
асвета

12
4. Какое множество называют областью определения функции?
5. Какими способами можно задавать функции?
6. Что называют графиком функции?
7. Какая функция называется линейной?
8. Какая линия является графиком линейной функции?
1. Соответствие между однозначными нечетными числами
и их квадратами на рисунке 11 задано стрелочной диаграм-
мой. Определите, является ли это соответствие функцией. За-
пишите ее область определения.
2. На рисунке 12 представлено соответствие между числа-
ми 0, 1, 4, 9, 16, 25 и их квадратными корнями. Определите,
является ли это соответствие функцией.
3. Запишите формулу, выражающую тот факт, что:
а) периметр P квадрата является функцией длины a его сто-
роны;
б) длина С окружности является функцией ее диаметра d;
в) площадь S круга является функцией его радиуса r;
г) объем V куба является функцией длины его ребра x.
4. Пусть площадь прямоугольника с измерениями 7 м и
x м равна S. Запишите формулой зависимость S от x. Найдите
значение этой функции для значения аргумента x, равного:
а) 6 м; б) 8,2 дм; в) 3 2
7
км.
5. Машина двигалась со скоростью 75 км/ч и за t ч проеха-
ла s км. Задайте формулой зависимость s от t. Найдите зна-
чение этой функции для значения аргумента t, равного:
а) 2 ч; б) 3,6 ч; в) 1 ч 15 мин.
6. Плотность серебра 10,5 г/см3
. Запишите формулой за-
висимость массы m слитка серебра от его объема V. Найди-
те значение записанной функции для значения аргумента V,
равного:
а) 12 см3
; б) 58 мм3
; в) 1 см3
350 мм3
.
7. Пусть величины смежных углов равны α и β. Задайте
формулой зависимость β от α. Найдите значение записанной
функции для аргумента α, равного:
а) 70°; б) 92°45′; в) 110°32′50″.
8. Пусть величины острых углов прямоугольного тре-
угольника равны δ и ε. Задайте формулой зависимость δ от ε.
Народная
асвета

13
Найдите значение записанной функции для аргумента ε,
равного:
а) 36°; б) 89°32′; в) 50°2′5″.
9. Функция задана формулой f = 5 − 3k. Составьте табли-
цу значений этой функции для значений аргумента k, ука-
занных в таблице.
k −10 −5 −2,5 −1 − 5
9
0
5
6
2 32
3
5 7,6 12 15 20
10. Составьте таблицу значений функции q
z
= 12
для зна-
чений аргумента z из промежутка −24 z 24 с шагом 4.
11. В таблице приведены среднемесячные температуры
воздуха в городе Бресте.
t, °C −4,4 −3,6 0,6 7,3 14,2 17,0 18,8 17,6 13,4 7,7 2,4 −2,2
Назовите аргумент этой функции. Какое значение имеет
функция, если аргумент n равен II; VII; XI? Назовите номера
самого теплого и самого холодного месяцев в Бресте.
12. В таблице приведены данные об атмосферных осадках
в течение года в городе Пинске.
p, мм 30 32 31 41 54 65 83 67 49 43 41 37
Назовите аргумент этой функции. Какое значение имеет
функция, если аргумент n равен II; VII; XI? Назовите номера
самого дождливого и самого сухого месяцев в Пинске.
Рис. 11 Рис. 12
Народная
асвета

14
13. По графику функции на рисунке 13 определите, какое
значение имеет функция при значении аргумента a, равном:
а) −12; в) −6; д) −1; ж) 4; и) 7;
б) −9; г) −3; е) 0; з) 5; к) 9.
14. По графику функции на рисунке 13 определите, при ка-
ком значении аргумента a функция K имеет значение, равное:
а) −6; б) −3; в) −2; г) 0; д) 1; е) 2; ж) 4.
Рис. 13
15. Из квадрата со стороной 12 см вырезали круг с ради-
усом r см (рис. 14). Запишите формулу, выражающую зави-
симость площади полученной фигуры от переменной r. Ука-
жите область определения этой функции.
16. Из равнобедренной трапеции с основаниями, равными
13 см и 31 см, и боковой стороной 17 см вырезали круг с ра-
диусом r см (рис. 15). Запишите формулу, выражающую за-
висимость площади полученной фигуры от
переменной r. Укажите область определе-
ния этой функции.
Рис. 14
Рис. 15
Народная
асвета

15
17. Используя график функции, приведенный на рисун-
ке 16, заполните таблицу.
c −5 −4 −2 0 2 3 5
S 0,35 1 1,4 4,9 7
Рис. 16
18. Графиком функциональной зависимости перемен-
ной z от переменной u является отрезок с концами в точках
A(−4; −2) и B(4; 2). Начертите график этой функции и по
нему заполните таблицу.
u −4 −3,5 −2 −0,5 0 2,5
z −2 −1,5 0,5 1 1,5 2
Народная
асвета

16
19. Определите, принадлежит ли графику функции
A = 8 − 6l точка:
а) М(−5; 38); г) D(0,5; 6); ж) G − 11
12
3 5; , ;
б) N(−4; −16); д) E 2
3
4; ; з) H 2
3
4 5; , ;
в) C(0; 8); е) F − 5
6
11; ; и) K − −1 151
6
; .
20. На рисунке 17 приведен график зависимости y2
= 2x.
Определите, является ли эта зависимость функцией. Найдите
значение переменной y, если значение переменной x равно
0; 0,5; 1; 2; 4; 8. Определите, принадлежит ли графику этой
зависимости точка: A(8; −4); B(−8; 4); C(−8; −4); D(8; 4).
Рис. 17
21. Пусть областью определения функции C y= −1
3
4 яв-
ляется множество целых чисел, не больших 8. Постройте гра-
фик этой функции.
22. Найдите область определения функции, заданной фор-
мулой:
а) y x= − 5
6
; г) f
m
m m
=
− 2
3( )
;
+
ж) t y= −2 20;
б) z
t
= − 5
6
; д) g
h
h h
=
−
−
1
2 1( )( )
;
+
з) S l
l
l
= − −
−
3 9
12
2
4
+
;
в) p
l
=
−
1
6
; е) r
a a
= −
−
1
5
2
; и) F x x= + + +−
( ) .1 21
23. Определите, при каких значениях переменной x функ-
ция y = x2
− 10x − 2 принимает значение, равное:
Народная
асвета

17
а) −11; в) −26; д) 22; ж) 25;
б) −23; г) 9; е) 41; з) −9.
24. Определите, при каких значениях переменной t функ-
ция u t= +2 7 принимает значение, равное:
а) 1; в) 4; д) 7
9
; ж) 5;
б) 2; г) 10; е) 1 3
11
; з) 1 3
11
.
44444
25. Решите уравнение:
а) x2
− 6x − 40 = 0; в) 3x2
+ 8x − 3 = 0; д) 3x2
− 6x − 1 = 0;
б) x2
− 9x − 70 = 0; г) 2x2
+ 9x − 34 = 0; е) 2x2
− 5x − 3 = 0.
26. Найдите сумму и произведение корней уравнения:
а)
x
x
+ 2
5
16
2
4+ = −
−
; в)
z
z
−
− = −
4
9
5
2
4
9+
;
б)
y
y
−
+ =
2
7
5
2
4
+
; г)
y
y
−
− = −
2
7
5
2
2
7+
.
27. Найдите площадь треугольника, стороны которого
равны:
а) 19 см, 20 см и 37 см; б) 12 см, 35 см и 37 см.
28. Найдите высоту равнобедренного треугольника, про-
веденную к его основанию, учитывая, что стороны треуголь-
ника равны:
а) 18 м и 41 м; б) 32 дм и 65 дм.
29. Найдите площадь равнобедренного треугольника, сто-
роны которого равны:
а) 22 м и 61 м; б) 26 м и 85 м.
30. Найдите высоты равнобедренного треугольника, учи-
тывая, что его стороны равны:
а) 40 м и 101 м; б) 36 мм и 82 мм.
31. Сторона BC параллелограмма ABCD равна 12 м, что со-
ставляет 30 % его периметра. Найдите сторону АВ.
32. Одна из сторон параллелограмма равна 7 см. Опреде-
лите, могут ли его диагонали быть равными:
а) 6 см и 10 см; в) 18 см и 4 см;
б) 10 см и 4 см; г) 13 см и 25 см.
Народная
асвета

18
33. Периметр параллелограмма QRST равен 16 м и отли-
чается от периметра треугольника QRT на 1 м. Найдите сто-
роны параллелограмма и его диагональ RT, учитывая, что
одна сторона параллелограмма больше другой на 2 м.
34. Стороны треугольника UVW относятся как 7 : 10 : 13,
а периметр треугольника ABC, вершины которого являются
серединами сторон треугольника UVW, равен 330 см. Най-
дите периметр и стороны треугольника UVW.
35. Углы A, B, C, D четырехугольника ABCD относятся
как 2 : 4 : 1 : 5, диагональ BD перпендикулярна стороне AD,
а сторона BC равна 10 см. Найдите:
а) другие стороны и диагонали четырехугольника;
б) расстояния между серединами противоположных сторон
четырехугольника и серединами его диагоналей.
* * *
36. Докажите, что не существует такого целого числа п,
для которого число 7п + 3 есть квадрат натурального числа.
37. Установите, существует ли четыре таких разных на-
туральных числа, каждое из которых
делится на разность любых двух остав-
шихся.
38. Даны два квадрата: один — со
стороной 6 клеток, второй — со сторо-
ной 3 клетки (рис. 18). Как, сделав три
прямолинейных разреза, из пяти полу-
ченных частей сложить один квадрат?
2. Функции y = a
x
, y == x3
, y = x
А) Площадь, равную 12 см2
, могут иметь прямоугольники
с разными измерениями x и y (рис. 19). Эти измерения свя-
заны зависимостью xy = 12, которая позволяет заметить, что
увеличение значения переменной x в несколько раз влечет за
собой уменьшение соответствующего значения переменной y
во столько же раз. Выразив y из формулы xy = 12, получаем
y
x
= 12
. Говорят, что переменная y обратно пропорциональна
переменной x.
Функция, которую можно задать формулой y a
x
= , где
x — аргумент, a — определенное не равное нулю число, на-
зывается обратной пропорциональностью.
Рис. 18
Народная
асвета

19
Областью определения функции y a
x
= является множе-
ство всех действительных чисел, кроме числа 0. В самом де-
ле, если значение переменной x удовлетворяет условию x ≠ 0,
то выражение a
x
имеет значение.
Построим график обратной пропорциональности y
x
= 12
.
Соответствующие значения переменных x и y приведены в
таблице.
x −12 −8 −6 −5 −4 −3 −2,4 −2 −1,5 −1,2
y −1 −1,5 −2 −2,4 −3 −4 −5 −6 −8 −10
x 1,2 1,5 2 2,4 3 4 5 6 8 12
y 10 8 6 5 4 3 2,4 2 1,5 1
Отметим на координатной плоскости точки, координаты
которых указаны в таблице. Получим рисунок 20.
Обратим внимание на то, что поскольку число 0 не входит
в область определения функции y
x
= 12
, то графику не при-
надлежит точка с абсциссой, равной нулю, т. е. график не пе-
ресекает ось ординат. Поскольку ни при каком значении ар-
гумента x значение функции y не равно нулю, то график не
пересекает и ось абсцисс.
Рис. 19
Народная
асвета

20
Если значения аргумента x положительны, то и значения
функции y также положительны. При этом с увеличением
положительного значения аргумента x значение функции y
уменьшается и может стать меньше любого заранее выбран-
ного малого числа. Например, если x = 100, то y = 0,12; если
x = 1000, то y = 0,012; если x = 100 000, то y = 0,00012. Это
означает, что с ростом положительного значения аргумента x
точка на графике функции все ближе и ближе подходит к оси
абсцисс, но никогда ее не пересекает.
Приближение положительной абсциссы к нулю делает
значение функции все большим и большим. Например, если
x = 0,02, то y = 600; если x = 0,0003, то y = 40 000. Это озна-
чает, что с уменьшением значения аргумента x точка на гра-
фике функции все ближе и ближе подходит к оси ординат, но
никогда ее не пересекает.
Подобным образом ведет себя график и при отрицатель-
ных значениях аргумента. Если значения аргумента x от-
рицательны, то и значения функции y также отрицательны.
При этом с увеличением модуля отрицательного значения ар-
гумента x модуль значения функции y уменьшается и может
стать меньше любого заранее выбранного малого числа. Это
означает, что с увеличением модуля отрицательного значения
аргумента x точка на графике функции все ближе и ближе
подходит к оси абсцисс, но никогда ее не пересекает.
Приближение отрицательной абсциссы к нулю делает мо-
дуль значения функции все большим и большим. Это озна-
Рис. 20
Народная
асвета

21
чает, что с уменьшением модуля значения аргумента x точка
на графике функции все ближе и ближе подходит к оси ор-
динат, но никогда ее не пересекает.
График функции y
x
= 12
изображен на рисунке 21.
График обратной пропорциональности называют гипер-
болой. Гипербола состоит из двух частей, которые называют
ветвями гиперболы.
Гипербола, являющаяся графиком обратной пропорцио-
нальности y
x
= − 12
, изображена на рисунке 22.
Рис. 21
Рис. 22
Народная
асвета

22
Таким образом, графиком
функции y a
x
= является ги-
пербола; областью определе-
ния, как и областью значений
этой функции, является мно-
жество всех действитель-
ных чисел, кроме числа 0;
противоположным значениям
аргумента соответствуют
противоположные значения
функции; начало координат
является центром симметрии графика (рис. 23); если
a 0, то ветви гиперболы находятся в первой и третьей
координатных четвертях (рис. 24), а если a 0, то ветви
гиперболы находятся во второй и четвертой координат-
ных четвертях (рис. 25).
Рис. 23
Б) Рассмотрим функцию y = x3
. Для построения ее графи-
ка составим таблицу соответствующих значений переменных
x и y, проведя округление значений переменной y до сотых.
x −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2
y −8 −3,38 −1 −0,13 0 0,13 1 3,38 8
Народная
асвета

23
Отметим точки, координаты которых записаны в таблице,
на координатной плоскости (рис. 26).
Для уточнения прохождения графика функции в окрестно-
сти начала координат проведем дополнительные вычисления.
x −0,4 −0,3 −0,2 −0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4
y −0,064 −0,027 −0,008 −0,001 0 0,001 0,008 0,027 0,064
Поскольку x3
x2
при 0 х 1, то в окрестности начала
координат график функции y = x3
подходит к оси абсцисс еще
ближе, чем график функции y = x2
.
График функции y = x3
изображен на рисунке 27. Этот
график неограниченно продолжается справа от оси ординат
вверх и слева от этой оси вниз.
График функции y = x3
называется кубической параболой.
Кубическая парабола состоит из двух бесконечных ветвей,
Народная
асвета

24
которые расположены в первой и третьей ко-
ординатных четвертях. Эти ветви плавно схо-
дятся в точке (0; 0).
По построенному графику выясним свой-
ства функции y = x3
.
Если x == 0, то y == 0; если x 0, то y 0;
если x 0, то y 0; график функции проходит
через начало координат и расположен в первой
и третьей координатных четвертях.
Противоположным значениям аргумен-
та соответствуют противоположные зна-
чения функции; начало координат является
центром симметрии графика (рис. 28).
В) Рассмотрим функцию y x= . Областью
определения этой функции является множе-
ство неотрицательных действительных чисел,
так как выражение x имеет значение только
при x 0.
Построим график функции y x= . Для
составления таблицы ее значений используем
калькулятор, округляя значения функции до
десятых.
x 0 0,2 0,5 0,8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 0 0,4 0,7 0,9 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2
Если нанести на координатную плоскость точки, коор-
динаты которых указаны в таблице, получится рисунок 29.
Рис. 29
Рис. 28
Народная
асвета

25
Проведя через эти точки плавную линию, получим график
функции y x= (рис. 30).
Построенный график позволяет сформулировать некото-
рые свойства функции y x= .
Если x == 0, то y == 0; если x 0, то y 0; начало коорди-
нат принадлежит графику функции; остальные точки графи-
ка расположены в первой координатной четверти.
Теорема 1. График функции y = x симметричен отно-
сительно прямой y == x графику функции y == x2
при x 0.
Доказательство. Графиком функции y = x2
, где x 0,
является ветвь параболы, расположенная в первой координат-
ной четверти (рис. 31). Пусть точка P(a; b) — произвольная
точка этого графика. Тогда истинно равенство b = a2
. Посколь-
ку по условию число a неотрицательное, то истинно также и
равенство a = b. А это означает, что координаты точки Q(b; a)
превращают формулу y x= в истинное равенство, или, ина-
че, точка Q(b; a) принадлежит графику функции y x= .
Так же доказывается, что если точка M(c; d) принадлежит
графику функции y x= , то точка N(d; c) принадлежит гра-
фику функции y = x2
, где x 0. Проведите это рассуждение са-
мостоятельно.
Таким образом, каждой точке P(a; b) графика функции
y = x2
, где x 0, соответствует единственная точка Q(b; a) гра-
фика функции y x= , и наоборот.
Остается доказать, что точки P(a; b) и Q(b; a) симметричны
относительно прямой y = x. Опустив перпендикуляры на ко-
ординатные оси из точек P и Q, получим на этих осях точки
Рис. 30
Народная
асвета

26
E(a; 0), D(0; b), F(b; 0), C(0; a). Точка R пересечения перпен-
дикуляров PE и QC имеет координаты (a; a), поэтому при-
надлежит прямой y = x. Треугольник PRQ является равнобе-
дренным, так как его стороны RP и RQ равны каждая b a− .
Прямая y = x делит пополам как угол DOF, так и угол PRQ
и пересекает отрезок PQ в определенной точке S. Поэтому
отрезок RS является биссектрисой треугольника PRQ. По-
скольку биссектриса равнобедренного треугольника является
его высотой и медианой, то PQ ⊥ RS и PS = QS. А это озна-
чает, что точки P(a; b) и Q(b; a) симметричны относительно
прямой y = x.
Поскольку график функции y x= симметричен графику
функции y = x2
при x 0 относительно прямой y = x, то гра-
фиком функции y x= является ветвь параболы.
? 1. Какая функция называется прямой пропорциональностью; обратной
пропорциональностью?
2. Как называется график обратной пропорциональности?
3. Как расположен график обратной пропорциональности y a
x
= при
a 0; при a 0?
4. Сформулируйте свойства функции y = x3
. Как эти свойства отража-
ются на графике функции y = x3
?
5. Какова область определения функции y x= ?
Рис. 31
Народная
асвета

27
6. Сформулируйте свойства функции y x= . Как эти свойства отража-
ются на графике функции y x= ?
7. Как получается график функции y x= из графика функции
y = x2
?
8. Какая линия является графиком функции y x= ?
39. Стороны прямоугольника равны a и b, а его пло-
щадь — 60 м2
. Запишите формулу, выражающую зависи-
мость:
а) переменной a от переменной b;
б) переменной b от переменной a.
40. Велосипедист за время t со скоростью v проехал 54 км.
Запишите формулу, выражающую зависимость:
а) переменной t от переменной v;
б) переменной v от переменной t.
41. Функция задана формулой h
S
= 24
. Найдите значение:
а) функции h, если значение аргумента S равно 8; −12; 2,4;
б) аргумента S, которому соответствует значение функции h,
равное 4; −6; 0,6.
42. Для функции y
t
= 8
заполните таблицу.
t −16 −3,2 −1,6 −0,32 0,64 2,4 20
y −10 −12 −0,8 0,4 40 64
43. Найдите область определения функции:
а) M
r
= 0 1,
; б) t
a
= 17
2
; в) z
x
=
4 3+
; г) U
x
=
+
2 5
2
.
44. Обратная пропорциональность задана формулой
f
g
= 100
. Определите, принадлежит ли графику этой функ-
ции точка:
а) A(0,05; 2000); г) D(400; 0,25);
б) B(−0,2; 500); д) E − −90 11
9
; ;
в) C(−0,02; −5000); е) F 7 5 13 1
3
, ; .−
45. Функциональная зависимость переменной Q от пере-
менной z является обратной пропорциональностью. Запишите
Народная
асвета

28
эту зависимость формулой, учитывая, что значению аргумен-
та z, равному:
а) 3, соответствует значение функции Q, равное 13;
б) 0,4, соответствует значение функции Q, равное 15.
46. Найдите обратную пропорциональность, график ко-
торой проходит через точку G(−3; −3). Определите, принад-
лежит ли графику этой функции точка:
а) A(1; 9); б) B(−1; −9); в) C(2; −4,5); г) D(−2; −4,5).
47. Определите, график какой обратной пропорциональ-
ности y a
x
= проходит через точку:
а) M(1; 2); б) N(−1; 2); в) P(1; −2); г) Q(−1; −2).
48. На рисунке 32 изображен график обратной пропорцио-
нальности y
x
= 10
. Найдите по графику значения:
а) функции y при значениях аргумента x, равных −6,2; −4,4;
1,6; 2,3;
б) аргумента x, которым соответствуют значения функции,
равные −5,1; −3,4; 6,1; 1,1.
Рис. 32
0 2
2
4
4
6
6
8
8
10$2
$2
$4
$6
$8
$4$6$8$10 x
Народная
асвета

29
49. Из курса физики вы знаете, что абсолютная погреш-
ность измерения показывает отклонение приближенного зна-
чения определенной величины от ее точного значения, а отно-
сительная погрешность характеризует качество измерения.
Высчитав точные значения по формуле y
x
= 10
, определите
абсолютную и относительную погрешности для каждого из
значений:
а) функции y, найденных при выполнении упражнения 48, а;
б) аргумента x, найденных при выполнении упражнения 48, б.
50. Постройте график функции, заданной формулой:
а) T
a
= 1
; б) R
b
= − 1
; в) Q
c
= 36
; г) V
d
= 36
.
51. На рисунке 33 показан график зависимости времени t,
которое нужно затратить на путь от Сморгони до Вилейки
(рис. 34), от скорости движения v. Используя график, опре-
делите:
Рис. 33
Сморгонь
Нарочь
Вилейка
Рис. 34
Народная
асвета

30
а) сколько времени понадобится на путь от Сморгони до
Вилейки, если двигаться со скоростью 10 км/ч; 15 км/ч;
20 км/ч; 40 км/ч; 50 км/ч; 60 км/ч; 80 км/ч;
б) с какой скоростью нужно двигаться, чтобы доехать из
Сморгони в Вилейку за 0,5 ч; 1 ч; 3 1
3
ч; 4 ч;
в) расстояние по шоссе между Сморгонью
и Вилейкой.
52. Используя график функции y = x3
,
приведенный на рисунке 27, найдите:
а) значения переменной y, которые соот-
ветствуют значениям переменной x, рав-
ным −1,7; −1,5; −1,25; 1,2; 1,9;
б) значения переменной x, которым соот-
ветствуют значения переменной y, равные
−7; −6; −5; −4; −3; −2; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
53. На рисунке 35 представлен график
зависимости объема V куба от длины a его
ребра. По этому графику найдите:
а) объем V куба, ребро a которого равно
0,2 м; 0,9 м; 1,25 м; 1,7 м; 1,8 м; 1,9 м;
б) ребро a куба, объем V которого равен
0,7 м3
; 0,9 м3
; 2 м3
; 3 м3
; 4 м3
; 5 м3
; 6 м3
;
7 м3
; 9 м3
; 10 м3
; 11 м3
; 12 м3
; 13 м3
;
14 м3
; 15 м3
.
54. Используя график, приведенный
на рисунке 35, найдите целые значения
переменной:
а) V, которые соответствуют значениям
переменной a из промежутков [0,4; 2];
[1,1; 2,6]; [1,5; 2,5];
б) a, которым соответствуют значения
переменной S из промежутков [1; 13];
[4; 14]; [10; 15].
55. Как изменится объем куба, если
его ребро:
а) увеличить в 3 раза;
б) уменьшить в 5 раз;
в) увеличить в 11
3
раза;Рис. 35
Народная
асвета

31
г) уменьшить в 3,7 раза;
д) увеличить на 120 %;
е) уменьшить на 20 %?
56. Определите, проходит ли график функции W = m3
через точку:
а) A(−4; −64); г) D(0,15; 0,003375);
б) B(−3; 27); д) E(1,5; −3,375);
в) C(10; 1000); е) F(−41; −68 921).
57. Постройте график функции, которая задана формулой:
а) V = a3
; д) V = (a – 2)3
;
б) V = 2a3
; е) V = a3
+ 2;
в) V = 1
2
a3
; ж) V = a3
– 2.
г) V = (a + 2)3
;
58. Площадь круга S вычисляется по фор-
муле S = πr2
, где r — радиус круга, или по
формуле S d
= π 2
4
, где d — диаметр круга
(рис. 36). Запишите формулу, которая вы-
ражает зависимость переменной:
а) r от переменной S; б) d от переменной S.
59. Площадь поверхности шара вычисля-
ется по формуле S = 4πr2
, где r — радиус шара
(рис. 37). Запишите формулу, выражающую
зависимость переменной r от переменной S.
60. Запишите формулу, которая выражает зависимость:
а) площади поверхности S куба от длины a его ребра;
б) длины a ребра куба от площади S его поверхности.
61. Используя график функции y x= − , приведенный на
рисунке 38, найдите:
а) значения выражения − x, если значения переменной x
равны 2,5; 4,1; 5,6; 7,5; 8,8;
Рис. 36
Рис. 37
Рис. 38
Народная
асвета

32
б) значения переменной x, которым соответствуют значения
выражения − x, равные −1,1; −1,6; −2,3; −2,5; −2,8.
62. Используя график функции y x= − , приведенный на
рисунке 38, найдите целые значения переменной:
а) y, которые соответствуют значениям переменной x из про-
межутков [0,5; 9,3]; [1; 9]; [2; 8];
б) x, которым соответствуют значения переменной y из про-
межутков [–2; –1]; [–3; –2]; (–2,9; –0,1).
63. На рисунке 39 представлен график зависимости дли-
ны a стороны квадрата от его площади S. По этому графику
найдите:
а) сторону a квадрата, площадь S которого равна 0,5 см2
;
0,8 см2
; 2 см2
; 5 см2
; 7 см2
; 11 см2
; 13 см2
; 15 см2
; 17 см2
;
б) площадь S квадрата, сторона a которого равна 0,2 см;
1,5 см; 2,4 см; 2,8 см; 3,4 см; 3,8 см; 4,1 см.
Рис. 39
64. Определите, проходит ли график функции g m=
через точку:
а) A(4; 2); в) C(−100; 10); д) E(25; −5);
б) B(81; 9); г) D(2,25; 1,15); е) F(0,0001; 0,01).
65. Постройте график функции I u= , если значения пе-
ременной u принадлежат промежутку:
а) [1; 4]; б) [0; 1]; в) [4; 9]; г) [1; 16].
66. Пересекает ли график функции y x= прямая:
а) y = 1; в) y = 100; д) y = 0,00001;
б) y = 10; г) y = 2345; е) y = −1?
67. Постройте график функции, которая задана формулой:
а) a = V; в) a = 1
2
V;
б) a = 2 V; г) a = V +( )2 ;
Народная
асвета

33
д) a = V −( )2 ; ж) a = V – 2.
е) a = V + 2;
68. С помощью графика функции y x= сравните числа:
а) 0 3, и 0 7, ; в) 5 и 4 9, ;
б) 3 2, и 5 7, ; г) 8 и 7.
69. Сравните значения выражений:
а) 13 и 12; в) 50 и 60; д) 80 и 9;
б) 0 13, и 0 12, ; г) 7 и 50; е) 1,7 и 3.
70. Сравните значения выражений:
а) 132 и 125; в) 120 и 11; д) 1
3
и 1
3
;
б) 1 6, и 1 62, ; г) 1,9 и 3 61, ; е) 0,33 и 1
10
.
71. Запишите по возрастанию значений выражения:
а) 10 6, , 1 7, и 16; в) 1
2
, 1
3
, 1
2
и 1
3
;
б) 19, 13 и 4; г) 6
7
, 5
6
, 5
6
и 6
7
.
72. Докажите, что графики функций y = x2
, где x 0,
и y x= − (рис. 40) симметричны относительно прямой y = x.
Рис. 40
Народная
асвета

34
44444
73. Найдите значение выражения:
а)
11 13
18 24
−
−
; в)
11 13
18 24
−
−
; д)
11 13
18 24
−
−
;
б)
11 13
18 24
−
−
; г)
11 13
18 24
−
−
; е)
11 13
18 24
+
−
.
74. Разложите на множители выражение:
а) x5
− x3
− x2
+ x; в) x2
+ xy − 2y2
;
б) x5
+ 3x4
− 4x3
− 12x2
; г) x3
+ xy2
− 2y3
.
75. Решите неравенство:
а)
1
4
2
3
9 2
+ x
x− −( );
б)
6 5
5
3 1
2
2
− −
+ +
x x
x;
в) 0 5 3 4 3 0 3 4 3 22, , ;+ + + +x x
г) 0 2 3 4 5 0 3 2 3 5, , .− − − −x x
76. Четырехугольник ABCD на рисунке 41 — трапеция
с основаниями DA и CB. Учитывая это и другие данные, приве-
денные на рисунке, докажите, что:
а) луч DB — биссектриса угла
ADC;
б) треугольник BCD является
равнобедренным.
77. На стороне AD квадрата
ABCD внутрь его построен рав-
носторонний треугольник ADE
(рис. 42). Диагональ AC пере-
секает сторону ED этого тре-
угольника в точке F. Найдите
углы треугольника:
а) ADF; б) AEF; в) CEF.
78. Биссектриса PT равно-
бедренного треугольника PQR с
основанием PQ образует со сто-
роной QR угол величиной 30°
(рис. 43). Найдите углы тре-
угольника PQT.
Рис. 41
Рис. 42
Народная
асвета

35
79. Найдите внешние углы равнобедренного
треугольника, учитывая, что один из его углов
равен:
а) 40°; б) 100°.
80. Боковая сторона трапеции разделена на че-
тыре доли, и через точки деления проведены пря-
мые, параллельные основаниям. Найдите отрезки
этих прямых, заключенные между боковыми сто-
ронами, учитывая, что основания трапеции рав-
ны 27 см и 33 см.
81. Найдите углы трапеции IJKL с основани-
ем IL, учитывая, что:
а) угол I в 2 раза больше угла J, а угол L в 2,6
раза больше угла K;
б) угол I в 3 раза больше угла J, а угол L в 3,5
раза меньше угла K;
в) угол I в 4 раза больше угла J, а угол L в 11
4
раза меньше угла K;
г) угол I в 5 раз больше угла J, а угол L в 11
9
раза больше угла K.
82. Биссектриса угла P параллелограмма PQRS пересе-
кает сторону QR в точке B. Найдите длины отрезков QB и
RB, учитывая, что стороны PQ и PS соответственно равны
10 м и 14 м.
83. На плоскости выбрали 10 точек так, что никакие три
из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых опре-
деляют эти точки?
84. На плоскости выбрали несколько точек так, что ни-
какие три из них не лежат на одной прямой. Когда через каж-
дые две точки провели прямые, то их оказалось 55. Сколько
было выбрано точек?
* * *
85. Докажите, что существует число вида 20062006…2006,
делящееся без остатка на 2007.
86. Пронумеровали все записанные по возрастанию простые
числа, начиная с числа 5:
5 = p1; 7 = p2; 11 = p3; 13 = p4; 17 = p5; … .
Рис. 43
Народная
асвета

36
Докажите, что при такой нумерации каждое простое чис-
ло больше своего утроенного номера:
pk 3k.
87. На прямой l последовательно на одинаковых расстоя-
ниях друг от друга отмечены точки A, B, C, D, E, F (рис. 44).
Точка M выбрана так, что MC ⊥ AF и MC = AB. Докажите, что
∠AMF = 135°.
Рис. 44
3. Свойства функций
А) Напомним, что зависимость одной переменной y от
другой переменной x, при которой каждому значению пере-
менной x из определенного множества D соответствует един-
ственное значение переменной y, называется функцией.
Функциональную зависимость переменной y от x часто
акцентируют записью y(x), которую читают игрек от икс.
Например, если функция задана формулой v
t
= 100
, то нахож-
дение ее значений при значениях t, равных 25 и 80, оформ-
ляют записями:
v(25) = 100
25
= 4; v(80) = 100
80
= 1,25.
Область определения функции y(x), т. е. множество зна-
чений ее аргумента x, обозначают символом D(y), который
читают дэ от игрек.
Область значений функции y(x), т. е. множество значе-
ний, которые принимает функция y, обозначают символом
E(y), который читают е от игрек.
Если функция y(x) задана графиком, то область ее опре-
деления D(y) есть проекция графика на ось абсцисс, а область
значений E(y) — проекция графика на ось ординат (рис. 45).
Если функция задана формулой, то область ее определения
составляют все те значения аргумента, при которых выраже-
ние, записанное в правой части формулы, имеет значения.
Например, область определения функции g(t), заданной
графиком на рисунке 46, — это числовой промежуток [−4; 4],
а область значений — промежуток [0; 4]:
D(g) = [−4; 4]; E(g) = [0; 4].
Народная
асвета

37
Для функции S = a2
(рис. 47)
область определения и множество
значений следующие:
D(S) = R = (− ; + );
E(S) = [0; + ),
а для функции l s= (рис. 48) —
такие:
D(l) = [0; + ); E(l) = [0; + ).
Б) Функция y называется воз-
растающей на множестве K, если
большему значению аргумента из
этого множества соответствует боль-
шее значение функции (рис. 49).
Функция y называется убывающей на множестве K, если
большему значению аргумента из этого множества соответ-
ствует меньшее значение функции (рис. 50).
Например, функция z = 1,8x (рис. 51) возрастает на всей
области определения R, а функция r = −1,8t + 3 (рис. 52) убы-
вает на R.
Функция S = a2
(см. рис. 47) на промежутке (− ; 0] — убы-
вающая, а на промежутке [0; + ) — возрастающая.
Рис. 45
Рис. 46
Рис. 47
Рис. 48
Народная
асвета

38
Рис. 49
Рис. 50
Рис. 51
Рис. 52
Народная
асвета

39
Докажем, например, первую часть последнего утвержде-
ния. Выберем произвольно два отрицательных значения a1 и a2
аргумента a так, что a2 a1. Тогда a2 − a1 0.
Найдем S(a1) и S(a2):
S a a( ) ;1 1
2
= S a a( ) .2 2
2
=
Рассмотрим разность S(a2) − S(a1):
S(a2) − S(a1) = a a2
2
1
2
− = (a2 − a1)(a2 + a1).
Поскольку a1 0 и a2 0, то a2 + a1 0. Учитывая, что
a2 − a1 0, получаем, что (a2 − a1)(a2 + a1) 0. Это означает,
что S(a2) − S(a1) 0, или S(a2) S(a1). Учитывая определение,
утверждаем, что функция S = a2
на промежутке (− ; 0] —
убывающая.
Если функция возрастает или убывает на множестве K, то
она называется монотонной на множестве K.
Функция S = a2
(см. рис. 47) монотонная как на промежут-
ке (– ; 0], так и на промежутке [0; + ), но она не является
монотонной, например, на промежутке [–3; 5].
В) Наибольшим значением f(x) функции y = f(x) на
множестве K называется такое число f(x0), что для любого
значения аргумента x из множества K выполняется неравен-
ство f(x) m f(x0).
Наименьшим значением f(x) функции y = f(x) на мно-
жестве K называется такое число f(x0), что для любого зна-
чения аргумента x из множества K выполняется неравенство
f(x) f(x0).
Например, наибольшим значением функции, представлен-
ной графиком на рисунке 53, на промежутке [–3; 0] является
число 4,5, т. е. max
– ;3 0[ ]
y = 4,5. Для промежутка [–1; 0] получа-
ем, что max
– ;1 0[ ]
y = 3. Для этих промежутков также получаем,
что min
– ;3 0[ ]
y = 1 и min
– ;1 0[ ]
y = 1. На всей области определения этой
функции получаем, что max
– ;5 5[ ]
y = 4,5 и min
– ;5 5[ ]
y = –5.
Г) Те значения аргумента из области определения, при ко-
торых значения функции равны нулю, называются нулями
функции.
Если функция задана формулой y = f(x), то нули этой
функции — корни уравнения f(x) = 0. Поскольку уравнение
a
x
= 0 не имеет корней, то функция y a
x
= не имеет нулей.
Народная
асвета

40
Если функция задана гра-
фиком, то ее нули — абсцис-
сы точек пересечения графика
с осью абсцисс. Для функции,
заданной графиком на рисун-
ке 53, нулями функции являют-
ся числа –4 и
1
2
.
Д) Промежутки знакопосто-
янства функции y = f(x) — это
такие промежутки значений ар-
гумента x, на которых функция
сохраняет свой знак, т. е. f(x) 0
или f(x) 0.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции,
нужно решить неравенства f(x) 0 и f(x) 0.
Для функции, заданной графиком на рисунке 53, получаем,
что y 0 на промежутке – ;4 1
2( ) и y 0 на промежутках
(–5; –4) и 1
2
5;( ).
Свойства функций y a
x
= , y = x3
, y x= следующие.
Функ-
ция
D(y) E(y)
Промежутки
монотонности
График Нули
y a
x
=
(− ; 0)
(0; + )
(− ; 0)
(0; + )
При a > 0 убывает на
(− ; 0) и на (0; + );
при a < 0 возрастает на
(− ; 0) и на (0; + )
Рис. 54
Рис. 55
Нет
y = x3
R R Возрастает Рис. 56 0
y x= [0; + ) [0; + ) Возрастает Рис. 57 0
Рис. 53
Рис. 54
Рис. 55
Народная
асвета

41
? 1. Какую зависимость называют функцией?
2. Какое множество называют областью определе-
ния функции; областью значений функции?
3. Какая функция называется возрастающей на
множестве K; убывающей на множестве K?
4. Какую функцию называют монотонной на мно-
жестве K?
5. Что называют наибольшим значением функции
на множестве K; наименьшим значением функции
на множестве K?
6. Что называют нулем функции? Как найти нули
функции?
7. Что называют промежутками знакопостоянства
функции?
88. Функция задана формулой y x
x
= + 1
.
Найдите:
а) y(−1); в) y(−4); д) y(−10);
б) y(1); г) y(4); е) y(10).
89. Найдите область определения функ-
ции, заданной формулой:
а) k = −12; г) t
i i
=
−
1
4 212
+
;
б) y = 2s3
− 5s2
+ 3s − 1; д) f j= − 12 ;
в) d c
c
= 2
13
+
; е) g
w
w w
=
−
−
4
7 122
+
.
90. Найдите область значений функции, заданной фор-
мулой:
а) t = 13; г) x t= − 2; ж) s c= ;
б) y = x; д) d s= +2
1; з) m c= − ;
в) z a= ; е) l = −k2
; и) p t= +3 .
Рис. 57
Рис. 56
Народная
асвета

42
91. Найдите область определения и область значений
функции, заданной графиком, изображенным на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
92. Найдите область значений функции h t= − 1
7
, заданной
на промежутке:
а) [−14; 35]; б) (−49; 70]; в) [−112; −7); г) (350; 847).
93. Найдите область значений функции y = x2
, заданной
на промежутке:
а) (0; 5); б) (−4; 0]; в) [−2; 6); г) [−3; 8].
94. Определите, какой — возрастающей или убывающей —
является функция:
а) y = −12,1x; г) g h= +5
9
2
3
3 ; ж) q m= +2 ;
б) z l= 5
9
; д) h r= ; з) t s= −2 ;
в) f = −12,1t − 8
9
; е) x k= − ; и) u = 1 − x3
.
95. Определите, какой — возрастающей или убываю-
щей — является функция:
а) y x=
3
на [3; 14]; в) f t= −
3
на [0; 0,1];
б) z u= −
3
на [−7; −3]; г) g s=
3
на [−0,01; 0].
96. Укажите промежутки возрастания и промежутки убы-
вания функции, график которой изображен на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
97. Укажите промежутки возрастания и промежутки убы-
вания функции:
а) y = x2
; в) h
l
= 1
; д) f t= − ; ж) x r=
3
;
б) z = −u2
; г) p
v
= − 1
; е) g s= ; з) g i= −
3
.
98. Установите, является ли монотонной функция, пред-
ставленная на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
99. Установите, является ли монотонной функция, пред-
ставленная на рисунке 60, на промежутке:
а) [–5; –2]; б) [–3; –1]; в) [–1; 1]; г) [0; 3]; д) [3; 5].
Народная
асвета

43
100. Найдите нули функции:
а) y = 3x − 2; г) p = −3c2
+ 2c − 11; ж) y = ax + b;
б) z = 5 + 2u; д) f x= −3 2 ; з) g
x
x
=
−
3 1
4
+
;
в) h = 2t2
+ 5t − 18; е) g s= − +2 1 3; и) u = x4
+ x2
.
101. Найдите нули функции:
а) y = −3x − 7; д) y
x x
x
=
−
5 4 1
3
2
+ +
;
б) f = 7s + 2; е) g y= − −2 1 3;
в) h = −2t2
+ 3t − 5; ж) z x x= − −3 2 52
;
г) x = 3a2
− 2a − 16; з) g
x
x
=
−
−
5 2
3
.
102. Укажите нули функции, график которой представлен
на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
Рис. 58
Рис. 59
Народная
асвета

44
103. Укажите наибольшее и наименьшее значение функ-
ции, представленной на рисунке 60, на промежутке:
а) [–5; –3,5]; г) [1; 5];
б) [–4; –1]; д) [4; 5].
в) [–3; 2];
104. Укажите промежутки знакопостоянства функции,
график которой представлен на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
105. Укажите промежутки знакопостоянства функции:
а) z = 2g – 2; г) s = 4k + 1,6;
б) q = 12l + 18; д) u = 3
5
t – 1;
в) t = 3a – 11; е) y = 3x
4
– x – 2.
106. Докажите, что функция:
а) y = x2
возрастающая на промежутке [0; + );
б) z = y3
возрастающая на R;
в) t = −l3
убывающая на R;
г) h
p
= 1
убывающая на (− ; 0);
д) r
d
= 1
убывающая на (0; + );
е) f t= убывающая на промежутке (− ; 0];
ж) h s= − возрастающая на промежутке (− ; 0].
44444
107. Вычислите:
а) 1
3
10−
27−3
+ 0,2−4
25−2
+ (2−1
)−2
; б) 2
10 5
5
10 2
7
10+
+ −
−
.
а)
a
a
a
a
2
1 2 1
3
−
+ =
+
; в) 1 2
1
6
1
3
12
+ − =
− −c c c +
;
б) b
b
b
b
2
2
2
2
4
− −
− =
+
; г)
d
d
d
d
d
d
+
+
2
2 2 1
7 2
2 2− −
−
= + .
а) x x− = +1 2 3; в) x x x2
3 3 0+ + + = ;
б) 3 5 5− = +x x ; г) x x− + =1 3 2
.
Народная
асвета

45
110. Синус одного острого угла прямоугольного треуголь-
ника равен 3
109
. Найдите синус, косинус и тангенс внешних
непрямых углов этого треугольника.
111. Точки M и N соответственно на сторонах AB и AC
треугольника ABC расположены так, что BM = 3AM и CN =
= 3AN. Учитывая, что BC = 32:
а) докажите, что MN || BC; б) найдите MN.
112. Углы K и L треугольника KLM соответственно равны
42° и 60° (рис. 62). На луче KL от точки L отложен отрезок LB,
равный отрезку LM, а на луче LK от точки K — отрезок KA,
равный отрезку KM. Найдите углы треугольника AMB.
Рис. 62
113. Есть треугольник со сторонами, равными 24 см, 36 см
и 42 см. Найдите периметр треугольника, у которого:
а) вершины являются серединами сторон данного треуголь-
ника;
б) одна вершина совпадает с вершиной большего угла данного
треугольника, а вторая и третья вершины разделяют сторо-
ны, выходящие из этой вершины, в отношении 2 : 1, если счи-
тать от нее;
в) одна вершина совпадает с вершиной меньшего угла дан-
ного треугольника, а вторая и третья вершины разделяют сто-
роны, выходящие из этой вершины, в отношении 5 : 7, если
считать от нее.
114. Длина отрезка CD равна 18 см. На прямой CD выбра-
ны точки K и L так, что CK : KL : LD = 2 : 3 : 4. Найдите дли-
ны отрезков CK, KL, LD.
115. Диагональ разделяет трапецию на два треугольника,
площади которых относятся как 3 : 7. Найдите отношение
площадей четырехугольников, на которые данную трапецию
разделяет ее средняя линия.
Народная
асвета

116. Через произвольную точку X основания AC равнобе-
дренного треугольника ABC параллельно боковым сторонам
AB и BC проведены прямые, пересекающие эти стороны в точ-
ках Y и Z соответственно. Докажите, что периметр четырех-
угольника BYXZ равен сумме боковых сторон треугольни-
ка ABC.
* * *
117. В турнире, в котором каждый из пяти участников
играет с каждым один раз, только Михась и Алесь провели
одинаковое количество встреч, а все остальные участники —
разное количество. Сколько встреч провел Михась?
118. Все числа от 1 до 2007 должны быть записаны крас-
ным или черным цветом так, чтобы выполнялись условия:
если число А записано красным цветом, то и число А + 6
должно быть записано красным; если число В записано чер-
ным цветом, то и число В + 15 должно быть записано черным.
Может ли так случиться, что среди записанных чисел точно
1000 черных?
119. В таблице размерами 5 на 7 клеток записаны 1 отри-
цательное и 34 положительных числа. За один ход разреша-
ется изменять знаки чисел, находящихся в выбранной стро-
ке или столбце, на противоположные. Можно ли за несколько
таких ходов все числа сделать положительными?
Народная
асвета

47
4. Окружность и угол
Рассмотрим взаимное расположение на плоскости окруж-
ности и угла, каждая сторона которого имеет с этой окруж-
ностью хотя бы одну общую точку.
А) Угол, вершина которого находится в центре круга,
называется центральным углом.
На рисунке 63 угол AOB — централь-
ный угол, так как его вершина O совпадает
с центром окружности. Этот угол высекает
из окружности дугу АВ. Говорят, что цен-
тральный угол AOB опирается на дугу AB.
Угол, вершина которого принадлежит
окружности, а стороны имеют с этой окруж-
ностью общие точки, называется вписан-
ным углом.
На рисунке 64 угол CDE — вписанный,
так как его вершина D лежит на окружно-
сти, а стороны пересекают эту окружность
в точках C и E.
Угол CDE высекает из окружности ду-
гу CE. Говорят, что вписанный угол CDE
опирается на дугу CE.
При измерении углов, связанных с окружностью, поль-
зуются понятием градусной меры дуги. С градусным измере-
нием дуг вы уже встречались в географии. Например, вам по-
нятно, что означает утверждение: «Координаты города Мин-
ска — 53°54′ северной широты и 27°35′ восточной долготы».
Градусной мерой дуги окружности называется градусная
мера соответствующего центрального угла.
Например, градусная мера четверти окружности равна 90°,
полуокружности — 180°, трех четвертей окружности — 270°,
Рис. 64
Рис. 63
Народная
асвета

48
всей окружности — 360° (рис. 65).
На рисунке 66 градусная мера дуги
UV, содержащей точку W, равна 67°,
а дуги UV, содержащей точку T, рав-
на 293°. Это записывают так:
UWV = 67°; UTV = 293°. (1)
Понятно, что центральный угол
измеряется дугой, на которую он опи-
рается. Учитывая равенства (1), мо-
жем записать, что
∠USV = 67°.
Б) Теорема 1. Вписанный угол из-
меряется половиной дуги, на кото-
рую он опирается.
Доказательство. Вписанный угол
по отношению к центру окружности
может располагаться так, что этот
центр лежит: а) на одной из сторон
угла; б) внутри угла; в) вне угла.
а) Пусть центр Q окружности принадлежит стороне угла
LMN (рис. 67). Докажем, что величина угла LMN равна по-
ловине градусной меры дуги LN.
Угол LQN как внешний угол треугольника LQM равен
сумме углов LMQ и QLM. Но эти углы равны друг другу как
углы при основании равнобедренного треугольника LMQ.
Значит, ∠LQN = 2∠LMQ, или ∠LMN = 1
2
∠LQN. Поскольку
градусные меры центрального угла LQN и дуги LN равны, то
градусная мера в два раза меньшего вписанного угла равна
половине градусной меры дуги LN: ∠LMN = 1
2
LN.
б) Пусть центр Q окружности лежит внутри угла LMN
(рис. 68). Докажем, что величина угла LMN равна половине
градусной меры дуги LN.
Проведем диаметр MP. Тогда луч MP разбивает угол LMN
на два угла LMP и PMN, в каждом из которых одна сторона
проходит через центр. Используем доказанное в а) и получим:
∠LMN = ∠LMP + ∠PMN = 1
2
LP +
+ 1
2
PN = 1
2
( LP + PN) = 1
2
LN.
Рис. 66
Рис. 65
Народная
асвета

49
Получили, что, как и в предыдущем случае, градусная
мера угла LMN равна половине градусной меры дуги LN.
в) Пусть центр Q окружности лежит вне угла LMN
(рис. 69). Докажем, что величина угла LMN и в этом случае
равна половине градусной меры дуги LN.
Проведем диаметр MP. Тогда угол LMN равен разности
углов LMP и NMP, в каждом из которых одна сторона про-
ходит через центр. Используем доказанное в а) и получим:
∠LMN = ∠LMP − ∠NMP = 1
2
LP − 1
2
NP =
= 1
2
( LP − NP) = 1
2
LN.
Получили, что и в этом случае градусная мера угла LMN
равна половине градусной меры дуги LN.
Таким образом, градусная мера вписанного угла равна
половине градусной меры дуги, на которую этот угол опи-
рается.
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу,
равны.
Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,
является прямым.
В) Задача 1. Докажем, что угол, вершина которого
находится вне круга, а стороны пересекают окружность,
измеряется полуразностью дуг, которые данный угол вы-
секает из окружности.
Доказательство. Пусть вершина K угла MKN находится
вне круга, его сторона KM пересекает окружность в точках
M и M1, а сторона KN — в точках N и N1 (рис. 70). Докажем,
что ∠MKN = 1
2
( MN − M1N1).
Угол MM1N — внешний угол треугольника NKM1. Поэто-
му ∠MM1N = ∠M1KN + ∠M1NK. Значит, ∠M1KN = ∠MM1N −
Рис. 68Рис. 67 Рис. 69
Народная
асвета

50
− ∠M1NK, или ∠MKN = ∠MM1N − ∠M1NK. В соответствии
с теоремой 1 истинны утверждения
∠MM1N = 1
2
MN и ∠M1NK = 1
2
M1N1.
Поэтому
∠MKN = 1
2
MN − 1
2
M1N1 = 1
2
( MN − M1N1).
Г) Задача 2. Докажем, что угол с вершиной внутри кру-
га измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключе-
на между сторонами данного угла, а другая — между сто-
ронами угла, вертикального данному.
Доказательство. Пусть вершина M угла AMB находит-
ся внутри круга, его стороны пересекают окружность в точ-
ках A и B, а продолжения этих сторон — в точках A1 и B1
(рис. 71). Докажем, что ∠AMB = 1
2
( AB + A1B1).
Угол AMB — внешний угол треугольника AMB1. Поэтому
∠AMB = ∠AB1M + ∠MAB1. В соответствии с теоремой 1 мож-
но утверждать, что ∠AB1M = 1
2
AB, а ∠MAB1 = 1
2
A1B1.
Поэтому ∠AMB = 1
2
AB + 1
2
A1B1 = 1
2
( AB + A1B1).
? 1. Какой угол называют центральным углом; вписанным углом?
2. Что называется градусной мерой дуги окружности?
3. Сформулируйте утверждение об измерении центрального угла.
4. Сформулируйте утверждение об измерении вписанного угла.
5. Какова величина угла, опирающегося на диаметр окружности?
6. Какое свойство имеют вписанные углы, опирающиеся на одну
дугу?
7. Сформулируйте утверждение об измерении угла с вершиной вне
круга.
8. Сформулируйте утверждение об измерении угла с вершиной внут-
ри круга.
Рис. 71Рис. 70
Народная
асвета

51
120. Начертите окружность с центром O и отметьте на ней
точку X. Постройте дугу XY этой окружности, градусная мера
которой равна:
а) 90°; в) 35°; д) 180°; ж) 290°;
б) 60°; г) 140°; е) 200°; з) 345°.
121. Дуги AB и CD окружности с центром O равны. Точ-
ка N — внутренняя точка дуги CD, а точка P не принадлежит
этой дуге. Градусная мера дуги AB равна 100°. Найдите гра-
дусные меры дуг CND и CPD.
122. Учитывая, что длина дуги окружности пропорцио-
нальна ее градусной мере, найдите с точностью до милли-
метра длину дуги окружности с радиусом 10 см, градусная
мера которой равна:
а) 90°; в) 75°; д) 180°; ж) 330°;
б) 30°; г) 150°; е) 225°; з) 355°.
123. Учитывая, что длина дуги окружности пропорцио-
нальна ее градусной мере, найдите с точностью до градуса
градусную меру дуги окружности с радиусом 15 м, длина ко-
торой равна:
а) 5 м; в) 32 м; д) 60 м; ж) 89 м;
б) 15 м; г) 47 м; е) 71 м; з) 94 м.
124. Отрезки AB и CD — взаимно перпендикулярные диа-
метры окружности с центром O. Найдите градусную меру дуги
CD окружности, центром которой является точка B (рис. 72).
125. Дуги PQ и RS окружности с центром O равны. Точ-
ка A — внутренняя точка дуги PQ, точка B — внутренняя точ-
ка дуги RS, а точка C не принадлежит ни одной из этих дуг
(рис. 73). Докажите, что:
а) хорда PQ равна хорде RS, а дуга PCQ равна дуге RCS;
б) дуга PQS равна дуге RSQ, а дуга PCS равна дуге RCQ.
Народная
асвета

52
126. Найдите вписанный угол DFH, учитывая, что ду-
га DH, на которую он опирается, равна:
а) 38°; в) 90°; д) 180°; ж) 77°16′;
б) 64°; г) 149°; е) 277°; з) 217°57′.
127. Найдите угол AKB или дугу AB по
сведениям, приведенным на рисунке:
а) 74; б) 75; в) 76; г) 77.
128. Точки U и V выделяют из окруж-
ности дугу в 150°, а точка W разделяет
другую дугу на части UW и VW, которые
относятся как 3 : 4. Найдите углы треуголь-
ника UVW.
Рис. 75 Рис. 76 Рис. 77
129. Точки A, M, B, N расположены по окружности в ука-
занном порядке. Докажите, что сумма углов AMB и ANB не
зависит от положения точек M и N на тех дугах, на которых
они находятся.
130. Прямые AB и CD пересекаются в точке K внутри кру-
га с центром O и пересекают окружность в точках A, B, C, D,
при этом углы AKC и AKD равны α и β соответственно, а ду-
ги AC, CB, BD, DA — ε, γ, ω, δ соот-
ветственно (рис. 78). Найдите:
а) α, β, ω, если γ = 40°, δ = 170°, ε = 85°;
б) α, β, ε, если γ = 40°, δ = 170°, ω = 85°;
в) α, δ, ω, если γ = 36°, β = 130°, ε = 70°;
г) β, γ, ω, если ε = 55°, α = 80°, δ = 160°;
д) β, δ, ε, если ω = 100°, α = 50°, γ = 30°;
е) β, γ, ε, если δ = 98°, α = 64°, ω = 102°.
131. Два луча, выходящие из точ-
ки P, пересекают окружность: один —Рис. 78
Рис. 74
Народная
асвета

53
в точках R и Q, другой — в точ-
ках T и S (рис. 79), при этом угол
QPS равен α, а дуги RT, TS, SQ,
QR — β, γ, δ, ε соответственно.
Найдите:
а) α, ε, если β = 20°, δ = 80°, γ =
= 65°;
б) δ, ε, если α = 30°, β = 34°, γ =
= 70°;
в) β, ε, если α = 18°, δ = 86°, γ = 58°;
г) α, δ, если γ = 60°, ε = 115°, β = 85°.
132. Два луча, выходящие из одной точки, высекают из
окружности две дуги величиной 62° и 162°. Найдите угол
между лучами и две другие дуги окружности, учитывая, что
одна из них на 10° меньше другой.
133. Два луча, образующие угол величиной 46°, высека-
ют из окружности две дуги, большая из которых равна 132°.
Найдите меньшую дугу и две другие дуги окружности, учи-
тывая, что они относятся как 1 : 3.
134. Найдите угол γ по сведениям, приведенным на ри-
сунке:
а) 80; б) 81; в) 82; г) 83; д) 84; е) 85.
Рис. 79
Рис. 80 Рис. 81 Рис. 82
Рис. 83 Рис. 84 Рис. 85
Народная
асвета

127_1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (16)

Similar to 127_1

Similar to 127_1 (20)

More from fderfwr

More from fderfwr (20)

127_1