127_1

Минск «Народная асвета» 2014
Учебное пособие для 9 класса
учреждений общего среднего образования
с русским языком обучения
Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
4-е издание, исправленное и дополненное
Л. А. Латотин Б. Д. Чеботаревский
Правообладатель Народная асвета
Народная
асвета

УДК 51(075.3=161.1)
ББК 22.1я721
Л27
ISBN 978-985-03-2197-8 © Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д.,
2005
© Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д.,
2014, с изменениями
© Латотина Л. В., перевод на русский
язык, 2014
© Оформление. УП «Народная асвета»,
2014
Перевод с белорусского языка Л. В. Латотиной
Рецензент
доктор педагогических наук,
профессор кафедры математической кибернетики
Белорусского государственного университета
О. И. Мельников
Народная
асвета

3
Дорогие друзья!
Девятый класс является в определенном смысле
этапным в вашем обучении. Вас ожидают экзамены,
после которых вы будете выбирать свой дальнейший
путь.
Это учебное пособие обеспечивает изучение мате-
матики в соответствии с программой обучения. Под-
ведению итогов того, что изучалось ранее, дополнению
и обобщению ваших знаний посвящен последний раз-
дел учебного пособия, а также справочный материал.
Сведения последнего раздела дадут вам представле-
ние о том, как устроена школьная математика. Зна-
чительное внимание при этом уделяется итоговому по-
вторению.
Это учебное пособие организовано так же, как и в
предыдущих классах. Каждый параграф начинается
с обсуждения вопроса, обозначенного в названии па-
раграфа. Смысловые блоки в параграфах отмечены
буквами А, Б, В, Г, Д. Наиболее важное выделено спе-
циальными шрифтами. Новые понятия выделяются по-
лужирным шрифтом, правила и утверждения — по-
лужирным курсивом, а понятия и факты, на которые
стоит обратить внимание, но не обязательно запоми-
нать, — курсивом.
Материал, не предназначенный для обязательного кон-
троля, выделен с двух сторон .
После объяснительного текста идут контрольные во-
просы, отмеченные знаком ?. Они предназначены для про-
верки того, как вы усвоили содержание объяснительного
текста. Если на тот или иной вопрос вы не смогли ответить,
нужно вернуться к объяснительному тексту и с его помо-
щью попробовать ответить на этот вопрос вновь.
Упражнения, идущие после контрольных вопросов,
разделены на три группы.
Упражнения первой группы посвящены тем вопро-
сам, которые обсуждались в объяснительном тексте.
Народная
асвета

Они имеют в основном тренировочный характер, хотя
среди них могут встретиться и более сложные.
Вторую группу после разделительной горизонталь-
ной черты составляют разнообразные упражнения
на повторение. При их выполнении вам нужно будет
применить знания, полученные ранее, в том числе и в
предыдущих классах.
Задачи третьей группы, идущие после трех раздели-
тельных звездочек, являются в чем-то нестандартны-
ми. Они потребуют творческого подхода, самостоятель-
ности в рассуждениях. Вместе с тем для их решения у
вас достаточно знаний.
Те упражнения, номера которых набраны полужир-
ным курсивом, предназначены для углубления ваших
знаний.
Желаем вам успехов!
Авторы
Народная
асвета

5
1. Функция
А) Вы уже неоднократно встречались с зависимостями
между величинами.
Пример 1. Площадь квадрата зависит от длины его сто-
роны. Каждому значению a длины стороны квадрата соот-
ветствует единственное значение S его площади (рис. 1), что
коротко выражается формулой
S = a2
.
Рис. 1
Пример 2. Масса медного стержня зависит от его объема.
Каждому значению объема V стержня соответствует един-
ственное значение его массы m (рис. 2), что выражается фор-
мулой
m = 8,96V.
Рис. 2
Народная
асвета

6
Пример 3. Каждому значению переменной c соответствует
единственное значение u выражения 2c − 3. Например,
если c = 4, то u = 2 4 − 3 = 5;
если c = −5, то u = 2 (−5) − 3 = −13;
если c = −4,7, то u = 2 (−4,7) − 3 = −12,4.
Зависимость переменной u от переменной c записывается
формулой
u = 2c − 3.
Зависимость одной переменной y от другой x, при кото-
рой каждому значению переменной x из определенного мно-
жества D соответствует единственное значение переменной y,
называется функциональной зависимостью или функцией
переменной x.
Если переменная y является функцией переменной x, то
переменную x называют независимой переменной или аргу-
ментом, а переменную y — зависимой переменной.
Множество тех значений, которые может принимать аргу-
мент функции, называется областью определения функции, а
множество тех значений, которые может получать зависимая
переменная, — областью значений функции.
Например, площадь S квадрата является функцией дли-
ны a его стороны. Областью определения этой функции яв-
ляется множество положительных действительных чисел.
Масса m медного стержня является функцией его объ-
ема V. Область определения этой функции — также множество
положительных действительных чисел.
Переменная u из примера 3 является функцией перемен-
ной c. Ее область определения — множество всех действи-
тельных чисел.
Б) Функции могут задаваться различными способами. Ча-
сто это делают с помощью формулы. Мы уже указывали на
функциональные зависимости, заданные формулами:
S = a2
, m = 8,96V, u = 2c − 3.
Формула дает возможность для любого значения аргумен-
та из области определения найти соответствующее значение
функции.
Пример 4. Найдем значения функции S = a2
для значений
аргумента a, равных 7 и 32:
если a = 7, то S = 72
= 49;
если a = 32, то S = 322
= 1024.
Народная
асвета

7
Результаты подобных вычислений удобно оформлять в ви-
де таблицы. Составим таблицу значений функции S = a2
для
значений a из промежутка [0; 2] с шагом 0,2.
a 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
S 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1 1,44 1,96 2,56 3,24 4
Формульное задание функции позволяет находить зна-
чения аргумента, которым соответствует данное значение
функции.
Пример 5. Функция задана формулой r = 2b2
− b − 10. Най-
дем, при каком значении аргумента b функция r принимает
значение, равное 5. Для этого в формулу r = 2b2
− b − 10 вместо
r подставим число 5. Получаем уравнение с переменной b:
5 = 2b2
− b − 10.
Решим его:
b =
±1 1 120
4
+
;
b = −2 1
2
или b = 3.
Значит, r = 5 при b = −2 1
2
и при b = 3.
Если функция задана формулой и при этом не указана об-
ласть ее определения, то считают, что этой областью является
множество всех значений аргумента, при которых выражение
в правой части формулы имеет значение. Например, область
определения функции y
t
=
−
7
4
— это множество всех поло-
жительных чисел, кроме числа 4.
Пример 6. Найдем область определения функции:
а) y t= + 3;
б) z x x
x
= + −
−
3 12
1
.
а) Поскольку выражение A имеет значения при не-
отрицательных значениях A, то для нахождения области
определения нужно решить неравенство t + 3 0. Его ре-
шения можно записать неравенством −3 t. Значит, облас-
тью определения функции y t= + 3 является промежуток
[−3; + ).
Народная
асвета

8
б) Учтем, что подкоренное вы-
ражение 3x + 12 должно быть не-
отрицательным, а подкоренное
выражение 1 − x — положитель-
ным, так как оно стоит не только под корнем, но и в зна-
менателе дроби. Это означает, что для нахождения области
определения нужно решить систему неравенств
3 12 0
1 0
x
x
+
−
⎧
⎨
⎩
,
.
Поскольку x −4 и x 1, то областью определения является
промежуток [−4; 1) (рис. 3).
В) Функция может задаваться таблицей.
Пример 7. В следующей таблице указаны среднемесяч-
ные температуры воздуха в столице нашей страны городе
Минске.
n I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
t,
°C
−6,9 −6,4 −2,2 5,3 12,6 16,0 17,8 16,2 11,6 5,6 0,0 −4,5
Здесь аргументом является порядковый номер месяца, а
значением функции — температура воздуха в градусах Цель-
сия. Например, из этой таблицы мы узнаем, что в апреле сред-
немесячная температура воздуха составляет 5,3 °C.
Функциональная зависимость может быть задана гра-
фиком.
На рисунке 4 представлен график движения тела, брошен-
ного под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 20 м/с.
С помощью графика функции можно по значению аргу-
мента найти соответствующее значение функции. По графику
на рисунке 5 определяем, что, например, через 2 с от начала
движения тело находилось на высоте 15 м, а через 3 с — на
высоте 7,8 м.
Можно также решить и обратную задачу: по данному зна-
чению a функции найти те значения аргумента, при которых
функция принимает значение a. Например, по графику на
рисунке 6 определяем, что на высоте 10 м тело находилось
через 0,7 с и через 2,8 с от начала движения.
Есть приборы, которые вычерчивают графики зависимо-
стей между величинами. Это барографы — приборы для
фиксации зависимости атмосферного давления от времени,
термографы — приборы для фиксации зависимости тем-
Рис. 3
Народная
асвета

9
пературы от времени, кардиографы — приборы для графи-
ческой регистрации деятельности сердца и др. На рисунке 7
схематически изображен термограф. Его барабан равномерно
вращается. Самописец, который в зависимости от темпера-
туры поднимается и опускается, касается бумаги, намотан-
ной на барабан, и рисует на ней
определенную линию.
Г) По представлению функ-
ции формулой можно составить
таблицу ее значений для со-
ответствующих значений аргу-
мента. Данная таблица поможет
получить графическое представ-
ление функции. Рис. 7
Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6
Народная
асвета

10
Пример 8. Функция задана формулой p
t
=
+
10
12
. Составим
таблицу значений этой функции.
t −5 −4 −3 −2 −1 −0,5 0 0,5 1 2 3 4 5
p 0,38 0,59 1 2 5 8 10 8 5 2 1 0,59 0,38
Например, если t = −5, то p = = = ≈
− +
10
5 1
10
25 1
10
262
0 38
( )
, .
+
Найденные пары значений переменных t и p отметим на
координатной плоскости (рис. 8). Если аргументу t давать
другие значения и отмечать на координатной плоскости со-
ответствующие точки, то все эти точки образуют определен-
ную линию. Эта линия является графиком функции p
t
=
+
10
12
(рис. 9).
Графиком функции называется множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых равны значе-
ниям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям
функции.
Рис. 8
Народная
асвета

11
Пример 9. Построим график функции z t= − −1
3
3.
Это линейная функция. Ее графиком является прямая ли-
ния. Поэтому для построения этой прямой найдем координа-
ты двух точек графика:
если t = −3,
то z = − − −1
3
3( ) 3 = −2;
если t = 3,
то z = − − = −1
3
3 3 4.
Отметив на координатной
плоскости точки M(−3; −2) и
N(3; −4), проводим через них
прямую MN (рис. 10), кото-
рая является графиком функции z t= − −1
3
3.
? 1. Приведите примеры зависимостей между величинами.
2. Какая зависимость между величинами называется функцией?
3. Что называют независимой переменной или аргументом; зависимой
переменной?
Рис. 10
Рис. 9
Народная
асвета

12
4. Какое множество называют областью определения функции?
5. Какими способами можно задавать функции?
6. Что называют графиком функции?
7. Какая функция называется линейной?
8. Какая линия является графиком линейной функции?
1. Соответствие между однозначными нечетными числами
и их квадратами на рисунке 11 задано стрелочной диаграм-
мой. Определите, является ли это соответствие функцией. За-
пишите ее область определения.
2. На рисунке 12 представлено соответствие между числа-
ми 0, 1, 4, 9, 16, 25 и их квадратными корнями. Определите,
является ли это соответствие функцией.
3. Запишите формулу, выражающую тот факт, что:
а) периметр P квадрата является функцией длины a его сто-
роны;
б) длина С окружности является функцией ее диаметра d;
в) площадь S круга является функцией его радиуса r;
г) объем V куба является функцией длины его ребра x.
4. Пусть площадь прямоугольника с измерениями 7 м и
x м равна S. Запишите формулой зависимость S от x. Найдите
значение этой функции для значения аргумента x, равного:
а) 6 м; б) 8,2 дм; в) 3 2
7
км.
5. Машина двигалась со скоростью 75 км/ч и за t ч проеха-
ла s км. Задайте формулой зависимость s от t. Найдите зна-
чение этой функции для значения аргумента t, равного:
а) 2 ч; б) 3,6 ч; в) 1 ч 15 мин.
6. Плотность серебра 10,5 г/см3
. Запишите формулой за-
висимость массы m слитка серебра от его объема V. Найди-
те значение записанной функции для значения аргумента V,
равного:
а) 12 см3
; б) 58 мм3
; в) 1 см3
350 мм3
.
7. Пусть величины смежных углов равны α и β. Задайте
формулой зависимость β от α. Найдите значение записанной
функции для аргумента α, равного:
а) 70°; б) 92°45′; в) 110°32′50″.
8. Пусть величины острых углов прямоугольного тре-
угольника равны δ и ε. Задайте формулой зависимость δ от ε.
Народная
асвета

13
Найдите значение записанной функции для аргумента ε,
равного:
а) 36°; б) 89°32′; в) 50°2′5″.
9. Функция задана формулой f = 5 − 3k. Составьте табли-
цу значений этой функции для значений аргумента k, ука-
занных в таблице.
k −10 −5 −2,5 −1 − 5
9
0
5
6
2 32
3
5 7,6 12 15 20
10. Составьте таблицу значений функции q
z
= 12
для зна-
чений аргумента z из промежутка −24 z 24 с шагом 4.
11. В таблице приведены среднемесячные температуры
воздуха в городе Бресте.
t, °C −4,4 −3,6 0,6 7,3 14,2 17,0 18,8 17,6 13,4 7,7 2,4 −2,2
Назовите аргумент этой функции. Какое значение имеет
функция, если аргумент n равен II; VII; XI? Назовите номера
самого теплого и самого холодного месяцев в Бресте.
12. В таблице приведены данные об атмосферных осадках
в течение года в городе Пинске.
p, мм 30 32 31 41 54 65 83 67 49 43 41 37
Назовите аргумент этой функции. Какое значение имеет
функция, если аргумент n равен II; VII; XI? Назовите номера
самого дождливого и самого сухого месяцев в Пинске.
Рис. 11 Рис. 12
Народная
асвета

14
13. По графику функции на рисунке 13 определите, какое
значение имеет функция при значении аргумента a, равном:
а) −12; в) −6; д) −1; ж) 4; и) 7;
б) −9; г) −3; е) 0; з) 5; к) 9.
14. По графику функции на рисунке 13 определите, при ка-
ком значении аргумента a функция K имеет значение, равное:
а) −6; б) −3; в) −2; г) 0; д) 1; е) 2; ж) 4.
Рис. 13
15. Из квадрата со стороной 12 см вырезали круг с ради-
усом r см (рис. 14). Запишите формулу, выражающую зави-
симость площади полученной фигуры от переменной r. Ука-
жите область определения этой функции.
16. Из равнобедренной трапеции с основаниями, равными
13 см и 31 см, и боковой стороной 17 см вырезали круг с ра-
диусом r см (рис. 15). Запишите формулу, выражающую за-
висимость площади полученной фигуры от
переменной r. Укажите область определе-
ния этой функции.
Рис. 14
Рис. 15
Народная
асвета

15
17. Используя график функции, приведенный на рисун-
ке 16, заполните таблицу.
c −5 −4 −2 0 2 3 5
S 0,35 1 1,4 4,9 7
Рис. 16
18. Графиком функциональной зависимости перемен-
ной z от переменной u является отрезок с концами в точках
A(−4; −2) и B(4; 2). Начертите график этой функции и по
нему заполните таблицу.
u −4 −3,5 −2 −0,5 0 2,5
z −2 −1,5 0,5 1 1,5 2
Народная
асвета

16
19. Определите, принадлежит ли графику функции
A = 8 − 6l точка:
а) М(−5; 38); г) D(0,5; 6); ж) G − 11
12
3 5; , ;
б) N(−4; −16); д) E 2
3
4; ; з) H 2
3
4 5; , ;
в) C(0; 8); е) F − 5
6
11; ; и) K − −1 151
6
; .
20. На рисунке 17 приведен график зависимости y2
= 2x.
Определите, является ли эта зависимость функцией. Найдите
значение переменной y, если значение переменной x равно
0; 0,5; 1; 2; 4; 8. Определите, принадлежит ли графику этой
зависимости точка: A(8; −4); B(−8; 4); C(−8; −4); D(8; 4).
Рис. 17
21. Пусть областью определения функции C y= −1
3
4 яв-
ляется множество целых чисел, не больших 8. Постройте гра-
фик этой функции.
22. Найдите область определения функции, заданной фор-
мулой:
а) y x= − 5
6
; г) f
m
m m
=
− 2
3( )
;
+
ж) t y= −2 20;
б) z
t
= − 5
6
; д) g
h
h h
=
−
−
1
2 1( )( )
;
+
з) S l
l
l
= − −
−
3 9
12
2
4
+
;
в) p
l
=
−
1
6
; е) r
a a
= −
−
1
5
2
; и) F x x= + + +−
( ) .1 21
23. Определите, при каких значениях переменной x функ-
ция y = x2
− 10x − 2 принимает значение, равное:
Народная
асвета

17
а) −11; в) −26; д) 22; ж) 25;
б) −23; г) 9; е) 41; з) −9.
24. Определите, при каких значениях переменной t функ-
ция u t= +2 7 принимает значение, равное:
а) 1; в) 4; д) 7
9
; ж) 5;
б) 2; г) 10; е) 1 3
11
; з) 1 3
11
.
44444
25. Решите уравнение:
а) x2
− 6x − 40 = 0; в) 3x2
+ 8x − 3 = 0; д) 3x2
− 6x − 1 = 0;
б) x2
− 9x − 70 = 0; г) 2x2
+ 9x − 34 = 0; е) 2x2
− 5x − 3 = 0.
26. Найдите сумму и произведение корней уравнения:
а)
x
x
+ 2
5
16
2
4+ = −
−
; в)
z
z
−
− = −
4
9
5
2
4
9+
;
б)
y
y
−
+ =
2
7
5
2
4
+
; г)
y
y
−
− = −
2
7
5
2
2
7+
.
27. Найдите площадь треугольника, стороны которого
равны:
а) 19 см, 20 см и 37 см; б) 12 см, 35 см и 37 см.
28. Найдите высоту равнобедренного треугольника, про-
веденную к его основанию, учитывая, что стороны треуголь-
ника равны:
а) 18 м и 41 м; б) 32 дм и 65 дм.
29. Найдите площадь равнобедренного треугольника, сто-
роны которого равны:
а) 22 м и 61 м; б) 26 м и 85 м.
30. Найдите высоты равнобедренного треугольника, учи-
тывая, что его стороны равны:
а) 40 м и 101 м; б) 36 мм и 82 мм.
31. Сторона BC параллелограмма ABCD равна 12 м, что со-
ставляет 30 % его периметра. Найдите сторону АВ.
32. Одна из сторон параллелограмма равна 7 см. Опреде-
лите, могут ли его диагонали быть равными:
а) 6 см и 10 см; в) 18 см и 4 см;
б) 10 см и 4 см; г) 13 см и 25 см.
Народная
асвета

18
33. Периметр параллелограмма QRST равен 16 м и отли-
чается от периметра треугольника QRT на 1 м. Найдите сто-
роны параллелограмма и его диагональ RT, учитывая, что
одна сторона параллелограмма больше другой на 2 м.
34. Стороны треугольника UVW относятся как 7 : 10 : 13,
а периметр треугольника ABC, вершины которого являются
серединами сторон треугольника UVW, равен 330 см. Най-
дите периметр и стороны треугольника UVW.
35. Углы A, B, C, D четырехугольника ABCD относятся
как 2 : 4 : 1 : 5, диагональ BD перпендикулярна стороне AD,
а сторона BC равна 10 см. Найдите:
а) другие стороны и диагонали четырехугольника;
б) расстояния между серединами противоположных сторон
четырехугольника и серединами его диагоналей.
* * *
36. Докажите, что не существует такого целого числа п,
для которого число 7п + 3 есть квадрат натурального числа.
37. Установите, существует ли четыре таких разных на-
туральных числа, каждое из которых
делится на разность любых двух остав-
шихся.
38. Даны два квадрата: один — со
стороной 6 клеток, второй — со сторо-
ной 3 клетки (рис. 18). Как, сделав три
прямолинейных разреза, из пяти полу-
ченных частей сложить один квадрат?
2. Функции y = a
x
, y == x3
, y = x
А) Площадь, равную 12 см2
, могут иметь прямоугольники
с разными измерениями x и y (рис. 19). Эти измерения свя-
заны зависимостью xy = 12, которая позволяет заметить, что
увеличение значения переменной x в несколько раз влечет за
собой уменьшение соответствующего значения переменной y
во столько же раз. Выразив y из формулы xy = 12, получаем
y
x
= 12
. Говорят, что переменная y обратно пропорциональна
переменной x.
Функция, которую можно задать формулой y a
x
= , где
x — аргумент, a — определенное не равное нулю число, на-
зывается обратной пропорциональностью.
Рис. 18
Народная
асвета

19
Областью определения функции y a
x
= является множе-
ство всех действительных чисел, кроме числа 0. В самом де-
ле, если значение переменной x удовлетворяет условию x ≠ 0,
то выражение a
x
имеет значение.
Построим график обратной пропорциональности y
x
= 12
.
Соответствующие значения переменных x и y приведены в
таблице.
x −12 −8 −6 −5 −4 −3 −2,4 −2 −1,5 −1,2
y −1 −1,5 −2 −2,4 −3 −4 −5 −6 −8 −10
x 1,2 1,5 2 2,4 3 4 5 6 8 12
y 10 8 6 5 4 3 2,4 2 1,5 1
Отметим на координатной плоскости точки, координаты
которых указаны в таблице. Получим рисунок 20.
Обратим внимание на то, что поскольку число 0 не входит
в область определения функции y
x
= 12
, то графику не при-
надлежит точка с абсциссой, равной нулю, т. е. график не пе-
ресекает ось ординат. Поскольку ни при каком значении ар-
гумента x значение функции y не равно нулю, то график не
пересекает и ось абсцисс.
Рис. 19
Народная
асвета

20
Если значения аргумента x положительны, то и значения
функции y также положительны. При этом с увеличением
положительного значения аргумента x значение функции y
уменьшается и может стать меньше любого заранее выбран-
ного малого числа. Например, если x = 100, то y = 0,12; если
x = 1000, то y = 0,012; если x = 100 000, то y = 0,00012. Это
означает, что с ростом положительного значения аргумента x
точка на графике функции все ближе и ближе подходит к оси
абсцисс, но никогда ее не пересекает.
Приближение положительной абсциссы к нулю делает
значение функции все большим и большим. Например, если
x = 0,02, то y = 600; если x = 0,0003, то y = 40 000. Это озна-
чает, что с уменьшением значения аргумента x точка на гра-
фике функции все ближе и ближе подходит к оси ординат, но
никогда ее не пересекает.
Подобным образом ведет себя график и при отрицатель-
ных значениях аргумента. Если значения аргумента x от-
рицательны, то и значения функции y также отрицательны.
При этом с увеличением модуля отрицательного значения ар-
гумента x модуль значения функции y уменьшается и может
стать меньше любого заранее выбранного малого числа. Это
означает, что с увеличением модуля отрицательного значения
аргумента x точка на графике функции все ближе и ближе
подходит к оси абсцисс, но никогда ее не пересекает.
Приближение отрицательной абсциссы к нулю делает мо-
дуль значения функции все большим и большим. Это озна-
Рис. 20
Народная
асвета

21
чает, что с уменьшением модуля значения аргумента x точка
на графике функции все ближе и ближе подходит к оси ор-
динат, но никогда ее не пересекает.
График функции y
x
= 12
изображен на рисунке 21.
График обратной пропорциональности называют гипер-
болой. Гипербола состоит из двух частей, которые называют
ветвями гиперболы.
Гипербола, являющаяся графиком обратной пропорцио-
нальности y
x
= − 12
, изображена на рисунке 22.
Рис. 21
Рис. 22
Народная
асвета

22
Таким образом, графиком
функции y a
x
= является ги-
пербола; областью определе-
ния, как и областью значений
этой функции, является мно-
жество всех действитель-
ных чисел, кроме числа 0;
противоположным значениям
аргумента соответствуют
противоположные значения
функции; начало координат
является центром симметрии графика (рис. 23); если
a 0, то ветви гиперболы находятся в первой и третьей
координатных четвертях (рис. 24), а если a 0, то ветви
гиперболы находятся во второй и четвертой координат-
ных четвертях (рис. 25).
Рис. 23
Б) Рассмотрим функцию y = x3
. Для построения ее графи-
ка составим таблицу соответствующих значений переменных
x и y, проведя округление значений переменной y до сотых.
x −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2
y −8 −3,38 −1 −0,13 0 0,13 1 3,38 8
Народная
асвета

23
Отметим точки, координаты которых записаны в таблице,
на координатной плоскости (рис. 26).
Для уточнения прохождения графика функции в окрестно-
сти начала координат проведем дополнительные вычисления.
x −0,4 −0,3 −0,2 −0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4
y −0,064 −0,027 −0,008 −0,001 0 0,001 0,008 0,027 0,064
Поскольку x3
x2
при 0 х 1, то в окрестности начала
координат график функции y = x3
подходит к оси абсцисс еще
ближе, чем график функции y = x2
.
График функции y = x3
изображен на рисунке 27. Этот
график неограниченно продолжается справа от оси ординат
вверх и слева от этой оси вниз.
График функции y = x3
называется кубической параболой.
Кубическая парабола состоит из двух бесконечных ветвей,
Народная
асвета

24
которые расположены в первой и третьей ко-
ординатных четвертях. Эти ветви плавно схо-
дятся в точке (0; 0).
По построенному графику выясним свой-
ства функции y = x3
.
Если x == 0, то y == 0; если x 0, то y 0;
если x 0, то y 0; график функции проходит
через начало координат и расположен в первой
и третьей координатных четвертях.
Противоположным значениям аргумен-
та соответствуют противоположные зна-
чения функции; начало координат является
центром симметрии графика (рис. 28).
В) Рассмотрим функцию y x= . Областью
определения этой функции является множе-
ство неотрицательных действительных чисел,
так как выражение x имеет значение только
при x 0.
Построим график функции y x= . Для
составления таблицы ее значений используем
калькулятор, округляя значения функции до
десятых.
x 0 0,2 0,5 0,8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 0 0,4 0,7 0,9 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2
Если нанести на координатную плоскость точки, коор-
динаты которых указаны в таблице, получится рисунок 29.
Рис. 29
Рис. 28
Народная
асвета

25
Проведя через эти точки плавную линию, получим график
функции y x= (рис. 30).
Построенный график позволяет сформулировать некото-
рые свойства функции y x= .
Если x == 0, то y == 0; если x 0, то y 0; начало коорди-
нат принадлежит графику функции; остальные точки графи-
ка расположены в первой координатной четверти.
Теорема 1. График функции y = x симметричен отно-
сительно прямой y == x графику функции y == x2
при x 0.
Доказательство. Графиком функции y = x2
, где x 0,
является ветвь параболы, расположенная в первой координат-
ной четверти (рис. 31). Пусть точка P(a; b) — произвольная
точка этого графика. Тогда истинно равенство b = a2
. Посколь-
ку по условию число a неотрицательное, то истинно также и
равенство a = b. А это означает, что координаты точки Q(b; a)
превращают формулу y x= в истинное равенство, или, ина-
че, точка Q(b; a) принадлежит графику функции y x= .
Так же доказывается, что если точка M(c; d) принадлежит
графику функции y x= , то точка N(d; c) принадлежит гра-
фику функции y = x2
, где x 0. Проведите это рассуждение са-
мостоятельно.
Таким образом, каждой точке P(a; b) графика функции
y = x2
, где x 0, соответствует единственная точка Q(b; a) гра-
фика функции y x= , и наоборот.
Остается доказать, что точки P(a; b) и Q(b; a) симметричны
относительно прямой y = x. Опустив перпендикуляры на ко-
ординатные оси из точек P и Q, получим на этих осях точки
Рис. 30
Народная
асвета

26
E(a; 0), D(0; b), F(b; 0), C(0; a). Точка R пересечения перпен-
дикуляров PE и QC имеет координаты (a; a), поэтому при-
надлежит прямой y = x. Треугольник PRQ является равнобе-
дренным, так как его стороны RP и RQ равны каждая b a− .
Прямая y = x делит пополам как угол DOF, так и угол PRQ
и пересекает отрезок PQ в определенной точке S. Поэтому
отрезок RS является биссектрисой треугольника PRQ. По-
скольку биссектриса равнобедренного треугольника является
его высотой и медианой, то PQ ⊥ RS и PS = QS. А это озна-
чает, что точки P(a; b) и Q(b; a) симметричны относительно
прямой y = x.
Поскольку график функции y x= симметричен графику
функции y = x2
при x 0 относительно прямой y = x, то гра-
фиком функции y x= является ветвь параболы.
? 1. Какая функция называется прямой пропорциональностью; обратной
пропорциональностью?
2. Как называется график обратной пропорциональности?
3. Как расположен график обратной пропорциональности y a
x
= при
a 0; при a 0?
4. Сформулируйте свойства функции y = x3
. Как эти свойства отража-
ются на графике функции y = x3
?
5. Какова область определения функции y x= ?
Рис. 31
Народная
асвета

27
6. Сформулируйте свойства функции y x= . Как эти свойства отража-
ются на графике функции y x= ?
7. Как получается график функции y x= из графика функции
y = x2
?
8. Какая линия является графиком функции y x= ?
39. Стороны прямоугольника равны a и b, а его пло-
щадь — 60 м2
. Запишите формулу, выражающую зависи-
мость:
а) переменной a от переменной b;
б) переменной b от переменной a.
40. Велосипедист за время t со скоростью v проехал 54 км.
Запишите формулу, выражающую зависимость:
а) переменной t от переменной v;
б) переменной v от переменной t.
41. Функция задана формулой h
S
= 24
. Найдите значение:
а) функции h, если значение аргумента S равно 8; −12; 2,4;
б) аргумента S, которому соответствует значение функции h,
равное 4; −6; 0,6.
42. Для функции y
t
= 8
заполните таблицу.
t −16 −3,2 −1,6 −0,32 0,64 2,4 20
y −10 −12 −0,8 0,4 40 64
43. Найдите область определения функции:
а) M
r
= 0 1,
; б) t
a
= 17
2
; в) z
x
=
4 3+
; г) U
x
=
+
2 5
2
.
44. Обратная пропорциональность задана формулой
f
g
= 100
. Определите, принадлежит ли графику этой функ-
ции точка:
а) A(0,05; 2000); г) D(400; 0,25);
б) B(−0,2; 500); д) E − −90 11
9
; ;
в) C(−0,02; −5000); е) F 7 5 13 1
3
, ; .−
45. Функциональная зависимость переменной Q от пере-
менной z является обратной пропорциональностью. Запишите
Народная
асвета

28
эту зависимость формулой, учитывая, что значению аргумен-
та z, равному:
а) 3, соответствует значение функции Q, равное 13;
б) 0,4, соответствует значение функции Q, равное 15.
46. Найдите обратную пропорциональность, график ко-
торой проходит через точку G(−3; −3). Определите, принад-
лежит ли графику этой функции точка:
а) A(1; 9); б) B(−1; −9); в) C(2; −4,5); г) D(−2; −4,5).
47. Определите, график какой обратной пропорциональ-
ности y a
x
= проходит через точку:
а) M(1; 2); б) N(−1; 2); в) P(1; −2); г) Q(−1; −2).
48. На рисунке 32 изображен график обратной пропорцио-
нальности y
x
= 10
. Найдите по графику значения:
а) функции y при значениях аргумента x, равных −6,2; −4,4;
1,6; 2,3;
б) аргумента x, которым соответствуют значения функции,
равные −5,1; −3,4; 6,1; 1,1.
Рис. 32
0 2
2
4
4
6
6
8
8
10$2
$2
$4
$6
$8
$4$6$8$10 x
Народная
асвета

29
49. Из курса физики вы знаете, что абсолютная погреш-
ность измерения показывает отклонение приближенного зна-
чения определенной величины от ее точного значения, а отно-
сительная погрешность характеризует качество измерения.
Высчитав точные значения по формуле y
x
= 10
, определите
абсолютную и относительную погрешности для каждого из
значений:
а) функции y, найденных при выполнении упражнения 48, а;
б) аргумента x, найденных при выполнении упражнения 48, б.
50. Постройте график функции, заданной формулой:
а) T
a
= 1
; б) R
b
= − 1
; в) Q
c
= 36
; г) V
d
= 36
.
51. На рисунке 33 показан график зависимости времени t,
которое нужно затратить на путь от Сморгони до Вилейки
(рис. 34), от скорости движения v. Используя график, опре-
делите:
Рис. 33
Сморгонь
Нарочь
Вилейка
Рис. 34
Народная
асвета

30
а) сколько времени понадобится на путь от Сморгони до
Вилейки, если двигаться со скоростью 10 км/ч; 15 км/ч;
20 км/ч; 40 км/ч; 50 км/ч; 60 км/ч; 80 км/ч;
б) с какой скоростью нужно двигаться, чтобы доехать из
Сморгони в Вилейку за 0,5 ч; 1 ч; 3 1
3
ч; 4 ч;
в) расстояние по шоссе между Сморгонью
и Вилейкой.
52. Используя график функции y = x3
,
приведенный на рисунке 27, найдите:
а) значения переменной y, которые соот-
ветствуют значениям переменной x, рав-
ным −1,7; −1,5; −1,25; 1,2; 1,9;
б) значения переменной x, которым соот-
ветствуют значения переменной y, равные
−7; −6; −5; −4; −3; −2; 2; 3; 4; 5; 6; 7.
53. На рисунке 35 представлен график
зависимости объема V куба от длины a его
ребра. По этому графику найдите:
а) объем V куба, ребро a которого равно
0,2 м; 0,9 м; 1,25 м; 1,7 м; 1,8 м; 1,9 м;
б) ребро a куба, объем V которого равен
0,7 м3
; 0,9 м3
; 2 м3
; 3 м3
; 4 м3
; 5 м3
; 6 м3
;
7 м3
; 9 м3
; 10 м3
; 11 м3
; 12 м3
; 13 м3
;
14 м3
; 15 м3
.
54. Используя график, приведенный
на рисунке 35, найдите целые значения
переменной:
а) V, которые соответствуют значениям
переменной a из промежутков [0,4; 2];
[1,1; 2,6]; [1,5; 2,5];
б) a, которым соответствуют значения
переменной S из промежутков [1; 13];
[4; 14]; [10; 15].
55. Как изменится объем куба, если
его ребро:
а) увеличить в 3 раза;
б) уменьшить в 5 раз;
в) увеличить в 11
3
раза;Рис. 35
Народная
асвета

31
г) уменьшить в 3,7 раза;
д) увеличить на 120 %;
е) уменьшить на 20 %?
56. Определите, проходит ли график функции W = m3
через точку:
а) A(−4; −64); г) D(0,15; 0,003375);
б) B(−3; 27); д) E(1,5; −3,375);
в) C(10; 1000); е) F(−41; −68 921).
57. Постройте график функции, которая задана формулой:
а) V = a3
; д) V = (a – 2)3
;
б) V = 2a3
; е) V = a3
+ 2;
в) V = 1
2
a3
; ж) V = a3
– 2.
г) V = (a + 2)3
;
58. Площадь круга S вычисляется по фор-
муле S = πr2
, где r — радиус круга, или по
формуле S d
= π 2
4
, где d — диаметр круга
(рис. 36). Запишите формулу, которая вы-
ражает зависимость переменной:
а) r от переменной S; б) d от переменной S.
59. Площадь поверхности шара вычисля-
ется по формуле S = 4πr2
, где r — радиус шара
(рис. 37). Запишите формулу, выражающую
зависимость переменной r от переменной S.
60. Запишите формулу, которая выражает зависимость:
а) площади поверхности S куба от длины a его ребра;
б) длины a ребра куба от площади S его поверхности.
61. Используя график функции y x= − , приведенный на
рисунке 38, найдите:
а) значения выражения − x, если значения переменной x
равны 2,5; 4,1; 5,6; 7,5; 8,8;
Рис. 36
Рис. 37
Рис. 38
Народная
асвета

32
б) значения переменной x, которым соответствуют значения
выражения − x, равные −1,1; −1,6; −2,3; −2,5; −2,8.
62. Используя график функции y x= − , приведенный на
рисунке 38, найдите целые значения переменной:
а) y, которые соответствуют значениям переменной x из про-
межутков [0,5; 9,3]; [1; 9]; [2; 8];
б) x, которым соответствуют значения переменной y из про-
межутков [–2; –1]; [–3; –2]; (–2,9; –0,1).
63. На рисунке 39 представлен график зависимости дли-
ны a стороны квадрата от его площади S. По этому графику
найдите:
а) сторону a квадрата, площадь S которого равна 0,5 см2
;
0,8 см2
; 2 см2
; 5 см2
; 7 см2
; 11 см2
; 13 см2
; 15 см2
; 17 см2
;
б) площадь S квадрата, сторона a которого равна 0,2 см;
1,5 см; 2,4 см; 2,8 см; 3,4 см; 3,8 см; 4,1 см.
Рис. 39
64. Определите, проходит ли график функции g m=
через точку:
а) A(4; 2); в) C(−100; 10); д) E(25; −5);
б) B(81; 9); г) D(2,25; 1,15); е) F(0,0001; 0,01).
65. Постройте график функции I u= , если значения пе-
ременной u принадлежат промежутку:
а) [1; 4]; б) [0; 1]; в) [4; 9]; г) [1; 16].
66. Пересекает ли график функции y x= прямая:
а) y = 1; в) y = 100; д) y = 0,00001;
б) y = 10; г) y = 2345; е) y = −1?
67. Постройте график функции, которая задана формулой:
а) a = V; в) a = 1
2
V;
б) a = 2 V; г) a = V +( )2 ;
Народная
асвета

33
д) a = V −( )2 ; ж) a = V – 2.
е) a = V + 2;
68. С помощью графика функции y x= сравните числа:
а) 0 3, и 0 7, ; в) 5 и 4 9, ;
б) 3 2, и 5 7, ; г) 8 и 7.
69. Сравните значения выражений:
а) 13 и 12; в) 50 и 60; д) 80 и 9;
б) 0 13, и 0 12, ; г) 7 и 50; е) 1,7 и 3.
70. Сравните значения выражений:
а) 132 и 125; в) 120 и 11; д) 1
3
и 1
3
;
б) 1 6, и 1 62, ; г) 1,9 и 3 61, ; е) 0,33 и 1
10
.
71. Запишите по возрастанию значений выражения:
а) 10 6, , 1 7, и 16; в) 1
2
, 1
3
, 1
2
и 1
3
;
б) 19, 13 и 4; г) 6
7
, 5
6
, 5
6
и 6
7
.
72. Докажите, что графики функций y = x2
, где x 0,
и y x= − (рис. 40) симметричны относительно прямой y = x.
Рис. 40
Народная
асвета

34
44444
73. Найдите значение выражения:
а)
11 13
18 24
−
−
; в)
11 13
18 24
−
−
; д)
11 13
18 24
−
−
;
б)
11 13
18 24
−
−
; г)
11 13
18 24
−
−
; е)
11 13
18 24
+
−
.
74. Разложите на множители выражение:
а) x5
− x3
− x2
+ x; в) x2
+ xy − 2y2
;
б) x5
+ 3x4
− 4x3
− 12x2
; г) x3
+ xy2
− 2y3
.
75. Решите неравенство:
а)
1
4
2
3
9 2
+ x
x− −( );
б)
6 5
5
3 1
2
2
− −
+ +
x x
x;
в) 0 5 3 4 3 0 3 4 3 22, , ;+ + + +x x
г) 0 2 3 4 5 0 3 2 3 5, , .− − − −x x
76. Четырехугольник ABCD на рисунке 41 — трапеция
с основаниями DA и CB. Учитывая это и другие данные, приве-
денные на рисунке, докажите, что:
а) луч DB — биссектриса угла
ADC;
б) треугольник BCD является
равнобедренным.
77. На стороне AD квадрата
ABCD внутрь его построен рав-
носторонний треугольник ADE
(рис. 42). Диагональ AC пере-
секает сторону ED этого тре-
угольника в точке F. Найдите
углы треугольника:
а) ADF; б) AEF; в) CEF.
78. Биссектриса PT равно-
бедренного треугольника PQR с
основанием PQ образует со сто-
роной QR угол величиной 30°
(рис. 43). Найдите углы тре-
угольника PQT.
Рис. 41
Рис. 42
Народная
асвета

35
79. Найдите внешние углы равнобедренного
треугольника, учитывая, что один из его углов
равен:
а) 40°; б) 100°.
80. Боковая сторона трапеции разделена на че-
тыре доли, и через точки деления проведены пря-
мые, параллельные основаниям. Найдите отрезки
этих прямых, заключенные между боковыми сто-
ронами, учитывая, что основания трапеции рав-
ны 27 см и 33 см.
81. Найдите углы трапеции IJKL с основани-
ем IL, учитывая, что:
а) угол I в 2 раза больше угла J, а угол L в 2,6
раза больше угла K;
б) угол I в 3 раза больше угла J, а угол L в 3,5
раза меньше угла K;
в) угол I в 4 раза больше угла J, а угол L в 11
4
раза меньше угла K;
г) угол I в 5 раз больше угла J, а угол L в 11
9
раза больше угла K.
82. Биссектриса угла P параллелограмма PQRS пересе-
кает сторону QR в точке B. Найдите длины отрезков QB и
RB, учитывая, что стороны PQ и PS соответственно равны
10 м и 14 м.
83. На плоскости выбрали 10 точек так, что никакие три
из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых опре-
деляют эти точки?
84. На плоскости выбрали несколько точек так, что ни-
какие три из них не лежат на одной прямой. Когда через каж-
дые две точки провели прямые, то их оказалось 55. Сколько
было выбрано точек?
* * *
85. Докажите, что существует число вида 20062006…2006,
делящееся без остатка на 2007.
86. Пронумеровали все записанные по возрастанию простые
числа, начиная с числа 5:
5 = p1; 7 = p2; 11 = p3; 13 = p4; 17 = p5; … .
Рис. 43
Народная
асвета

36
Докажите, что при такой нумерации каждое простое чис-
ло больше своего утроенного номера:
pk 3k.
87. На прямой l последовательно на одинаковых расстоя-
ниях друг от друга отмечены точки A, B, C, D, E, F (рис. 44).
Точка M выбрана так, что MC ⊥ AF и MC = AB. Докажите, что
∠AMF = 135°.
Рис. 44
3. Свойства функций
А) Напомним, что зависимость одной переменной y от
другой переменной x, при которой каждому значению пере-
менной x из определенного множества D соответствует един-
ственное значение переменной y, называется функцией.
Функциональную зависимость переменной y от x часто
акцентируют записью y(x), которую читают игрек от икс.
Например, если функция задана формулой v
t
= 100
, то нахож-
дение ее значений при значениях t, равных 25 и 80, оформ-
ляют записями:
v(25) = 100
25
= 4; v(80) = 100
80
= 1,25.
Область определения функции y(x), т. е. множество зна-
чений ее аргумента x, обозначают символом D(y), который
читают дэ от игрек.
Область значений функции y(x), т. е. множество значе-
ний, которые принимает функция y, обозначают символом
E(y), который читают е от игрек.
Если функция y(x) задана графиком, то область ее опре-
деления D(y) есть проекция графика на ось абсцисс, а область
значений E(y) — проекция графика на ось ординат (рис. 45).
Если функция задана формулой, то область ее определения
составляют все те значения аргумента, при которых выраже-
ние, записанное в правой части формулы, имеет значения.
Например, область определения функции g(t), заданной
графиком на рисунке 46, — это числовой промежуток [−4; 4],
а область значений — промежуток [0; 4]:
D(g) = [−4; 4]; E(g) = [0; 4].
Народная
асвета

37
Для функции S = a2
(рис. 47)
область определения и множество
значений следующие:
D(S) = R = (− ; + );
E(S) = [0; + ),
а для функции l s= (рис. 48) —
такие:
D(l) = [0; + ); E(l) = [0; + ).
Б) Функция y называется воз-
растающей на множестве K, если
большему значению аргумента из
этого множества соответствует боль-
шее значение функции (рис. 49).
Функция y называется убывающей на множестве K, если
большему значению аргумента из этого множества соответ-
ствует меньшее значение функции (рис. 50).
Например, функция z = 1,8x (рис. 51) возрастает на всей
области определения R, а функция r = −1,8t + 3 (рис. 52) убы-
вает на R.
Функция S = a2
(см. рис. 47) на промежутке (− ; 0] — убы-
вающая, а на промежутке [0; + ) — возрастающая.
Рис. 45
Рис. 46
Рис. 47
Рис. 48
Народная
асвета

38
Рис. 49
Рис. 50
Рис. 51
Рис. 52
Народная
асвета

39
Докажем, например, первую часть последнего утвержде-
ния. Выберем произвольно два отрицательных значения a1 и a2
аргумента a так, что a2 a1. Тогда a2 − a1 0.
Найдем S(a1) и S(a2):
S a a( ) ;1 1
2
= S a a( ) .2 2
2
=
Рассмотрим разность S(a2) − S(a1):
S(a2) − S(a1) = a a2
2
1
2
− = (a2 − a1)(a2 + a1).
Поскольку a1 0 и a2 0, то a2 + a1 0. Учитывая, что
a2 − a1 0, получаем, что (a2 − a1)(a2 + a1) 0. Это означает,
что S(a2) − S(a1) 0, или S(a2) S(a1). Учитывая определение,
утверждаем, что функция S = a2
на промежутке (− ; 0] —
убывающая.
Если функция возрастает или убывает на множестве K, то
она называется монотонной на множестве K.
Функция S = a2
(см. рис. 47) монотонная как на промежут-
ке (– ; 0], так и на промежутке [0; + ), но она не является
монотонной, например, на промежутке [–3; 5].
В) Наибольшим значением f(x) функции y = f(x) на
множестве K называется такое число f(x0), что для любого
значения аргумента x из множества K выполняется неравен-
ство f(x) m f(x0).
Наименьшим значением f(x) функции y = f(x) на мно-
жестве K называется такое число f(x0), что для любого зна-
чения аргумента x из множества K выполняется неравенство
f(x) f(x0).
Например, наибольшим значением функции, представлен-
ной графиком на рисунке 53, на промежутке [–3; 0] является
число 4,5, т. е. max
– ;3 0[ ]
y = 4,5. Для промежутка [–1; 0] получа-
ем, что max
– ;1 0[ ]
y = 3. Для этих промежутков также получаем,
что min
– ;3 0[ ]
y = 1 и min
– ;1 0[ ]
y = 1. На всей области определения этой
функции получаем, что max
– ;5 5[ ]
y = 4,5 и min
– ;5 5[ ]
y = –5.
Г) Те значения аргумента из области определения, при ко-
торых значения функции равны нулю, называются нулями
функции.
Если функция задана формулой y = f(x), то нули этой
функции — корни уравнения f(x) = 0. Поскольку уравнение
a
x
= 0 не имеет корней, то функция y a
x
= не имеет нулей.
Народная
асвета

40
Если функция задана гра-
фиком, то ее нули — абсцис-
сы точек пересечения графика
с осью абсцисс. Для функции,
заданной графиком на рисун-
ке 53, нулями функции являют-
ся числа –4 и
1
2
.
Д) Промежутки знакопосто-
янства функции y = f(x) — это
такие промежутки значений ар-
гумента x, на которых функция
сохраняет свой знак, т. е. f(x) 0
или f(x) 0.
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции,
нужно решить неравенства f(x) 0 и f(x) 0.
Для функции, заданной графиком на рисунке 53, получаем,
что y 0 на промежутке – ;4 1
2( ) и y 0 на промежутках
(–5; –4) и 1
2
5;( ).
Свойства функций y a
x
= , y = x3
, y x= следующие.
Функ-
ция
D(y) E(y)
Промежутки
монотонности
График Нули
y a
x
=
(− ; 0)
(0; + )
(− ; 0)
(0; + )
При a > 0 убывает на
(− ; 0) и на (0; + );
при a < 0 возрастает на
(− ; 0) и на (0; + )
Рис. 54
Рис. 55
Нет
y = x3
R R Возрастает Рис. 56 0
y x= [0; + ) [0; + ) Возрастает Рис. 57 0
Рис. 53
Рис. 54
Рис. 55
Народная
асвета

41
? 1. Какую зависимость называют функцией?
2. Какое множество называют областью определе-
ния функции; областью значений функции?
3. Какая функция называется возрастающей на
множестве K; убывающей на множестве K?
4. Какую функцию называют монотонной на мно-
жестве K?
5. Что называют наибольшим значением функции
на множестве K; наименьшим значением функции
на множестве K?
6. Что называют нулем функции? Как найти нули
функции?
7. Что называют промежутками знакопостоянства
функции?
88. Функция задана формулой y x
x
= + 1
.
Найдите:
а) y(−1); в) y(−4); д) y(−10);
б) y(1); г) y(4); е) y(10).
89. Найдите область определения функ-
ции, заданной формулой:
а) k = −12; г) t
i i
=
−
1
4 212
+
;
б) y = 2s3
− 5s2
+ 3s − 1; д) f j= − 12 ;
в) d c
c
= 2
13
+
; е) g
w
w w
=
−
−
4
7 122
+
.
90. Найдите область значений функции, заданной фор-
мулой:
а) t = 13; г) x t= − 2; ж) s c= ;
б) y = x; д) d s= +2
1; з) m c= − ;
в) z a= ; е) l = −k2
; и) p t= +3 .
Рис. 57
Рис. 56
Народная
асвета

42
91. Найдите область определения и область значений
функции, заданной графиком, изображенным на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
92. Найдите область значений функции h t= − 1
7
, заданной
на промежутке:
а) [−14; 35]; б) (−49; 70]; в) [−112; −7); г) (350; 847).
93. Найдите область значений функции y = x2
, заданной
на промежутке:
а) (0; 5); б) (−4; 0]; в) [−2; 6); г) [−3; 8].
94. Определите, какой — возрастающей или убывающей —
является функция:
а) y = −12,1x; г) g h= +5
9
2
3
3 ; ж) q m= +2 ;
б) z l= 5
9
; д) h r= ; з) t s= −2 ;
в) f = −12,1t − 8
9
; е) x k= − ; и) u = 1 − x3
.
95. Определите, какой — возрастающей или убываю-
щей — является функция:
а) y x=
3
на [3; 14]; в) f t= −
3
на [0; 0,1];
б) z u= −
3
на [−7; −3]; г) g s=
3
на [−0,01; 0].
96. Укажите промежутки возрастания и промежутки убы-
вания функции, график которой изображен на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
97. Укажите промежутки возрастания и промежутки убы-
вания функции:
а) y = x2
; в) h
l
= 1
; д) f t= − ; ж) x r=
3
;
б) z = −u2
; г) p
v
= − 1
; е) g s= ; з) g i= −
3
.
98. Установите, является ли монотонной функция, пред-
ставленная на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
99. Установите, является ли монотонной функция, пред-
ставленная на рисунке 60, на промежутке:
а) [–5; –2]; б) [–3; –1]; в) [–1; 1]; г) [0; 3]; д) [3; 5].
Народная
асвета

43
100. Найдите нули функции:
а) y = 3x − 2; г) p = −3c2
+ 2c − 11; ж) y = ax + b;
б) z = 5 + 2u; д) f x= −3 2 ; з) g
x
x
=
−
3 1
4
+
;
в) h = 2t2
+ 5t − 18; е) g s= − +2 1 3; и) u = x4
+ x2
.
101. Найдите нули функции:
а) y = −3x − 7; д) y
x x
x
=
−
5 4 1
3
2
+ +
;
б) f = 7s + 2; е) g y= − −2 1 3;
в) h = −2t2
+ 3t − 5; ж) z x x= − −3 2 52
;
г) x = 3a2
− 2a − 16; з) g
x
x
=
−
−
5 2
3
.
102. Укажите нули функции, график которой представлен
на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
Рис. 58
Рис. 59
Народная
асвета

44
103. Укажите наибольшее и наименьшее значение функ-
ции, представленной на рисунке 60, на промежутке:
а) [–5; –3,5]; г) [1; 5];
б) [–4; –1]; д) [4; 5].
в) [–3; 2];
104. Укажите промежутки знакопостоянства функции,
график которой представлен на рисунке:
а) 58; б) 59; в) 60; г) 61.
105. Укажите промежутки знакопостоянства функции:
а) z = 2g – 2; г) s = 4k + 1,6;
б) q = 12l + 18; д) u = 3
5
t – 1;
в) t = 3a – 11; е) y = 3x
4
– x – 2.
106. Докажите, что функция:
а) y = x2
возрастающая на промежутке [0; + );
б) z = y3
возрастающая на R;
в) t = −l3
убывающая на R;
г) h
p
= 1
убывающая на (− ; 0);
д) r
d
= 1
убывающая на (0; + );
е) f t= убывающая на промежутке (− ; 0];
ж) h s= − возрастающая на промежутке (− ; 0].
44444
107. Вычислите:
а) 1
3
10−
27−3
+ 0,2−4
25−2
+ (2−1
)−2
; б) 2
10 5
5
10 2
7
10+
+ −
−
.
а)
a
a
a
a
2
1 2 1
3
−
+ =
+
; в) 1 2
1
6
1
3
12
+ − =
− −c c c +
;
б) b
b
b
b
2
2
2
2
4
− −
− =
+
; г)
d
d
d
d
d
d
+
+
2
2 2 1
7 2
2 2− −
−
= + .
а) x x− = +1 2 3; в) x x x2
3 3 0+ + + = ;
б) 3 5 5− = +x x ; г) x x− + =1 3 2
.
Народная
асвета

45
110. Синус одного острого угла прямоугольного треуголь-
ника равен 3
109
. Найдите синус, косинус и тангенс внешних
непрямых углов этого треугольника.
111. Точки M и N соответственно на сторонах AB и AC
треугольника ABC расположены так, что BM = 3AM и CN =
= 3AN. Учитывая, что BC = 32:
а) докажите, что MN || BC; б) найдите MN.
112. Углы K и L треугольника KLM соответственно равны
42° и 60° (рис. 62). На луче KL от точки L отложен отрезок LB,
равный отрезку LM, а на луче LK от точки K — отрезок KA,
равный отрезку KM. Найдите углы треугольника AMB.
Рис. 62
113. Есть треугольник со сторонами, равными 24 см, 36 см
и 42 см. Найдите периметр треугольника, у которого:
а) вершины являются серединами сторон данного треуголь-
ника;
б) одна вершина совпадает с вершиной большего угла данного
треугольника, а вторая и третья вершины разделяют сторо-
ны, выходящие из этой вершины, в отношении 2 : 1, если счи-
тать от нее;
в) одна вершина совпадает с вершиной меньшего угла дан-
ного треугольника, а вторая и третья вершины разделяют сто-
роны, выходящие из этой вершины, в отношении 5 : 7, если
считать от нее.
114. Длина отрезка CD равна 18 см. На прямой CD выбра-
ны точки K и L так, что CK : KL : LD = 2 : 3 : 4. Найдите дли-
ны отрезков CK, KL, LD.
115. Диагональ разделяет трапецию на два треугольника,
площади которых относятся как 3 : 7. Найдите отношение
площадей четырехугольников, на которые данную трапецию
разделяет ее средняя линия.
Народная
асвета

116. Через произвольную точку X основания AC равнобе-
дренного треугольника ABC параллельно боковым сторонам
AB и BC проведены прямые, пересекающие эти стороны в точ-
ках Y и Z соответственно. Докажите, что периметр четырех-
угольника BYXZ равен сумме боковых сторон треугольни-
ка ABC.
* * *
117. В турнире, в котором каждый из пяти участников
играет с каждым один раз, только Михась и Алесь провели
одинаковое количество встреч, а все остальные участники —
разное количество. Сколько встреч провел Михась?
118. Все числа от 1 до 2007 должны быть записаны крас-
ным или черным цветом так, чтобы выполнялись условия:
если число А записано красным цветом, то и число А + 6
должно быть записано красным; если число В записано чер-
ным цветом, то и число В + 15 должно быть записано черным.
Может ли так случиться, что среди записанных чисел точно
1000 черных?
119. В таблице размерами 5 на 7 клеток записаны 1 отри-
цательное и 34 положительных числа. За один ход разреша-
ется изменять знаки чисел, находящихся в выбранной стро-
ке или столбце, на противоположные. Можно ли за несколько
таких ходов все числа сделать положительными?
Народная
асвета

47
4. Окружность и угол
Рассмотрим взаимное расположение на плоскости окруж-
ности и угла, каждая сторона которого имеет с этой окруж-
ностью хотя бы одну общую точку.
А) Угол, вершина которого находится в центре круга,
называется центральным углом.
На рисунке 63 угол AOB — централь-
ный угол, так как его вершина O совпадает
с центром окружности. Этот угол высекает
из окружности дугу АВ. Говорят, что цен-
тральный угол AOB опирается на дугу AB.
Угол, вершина которого принадлежит
окружности, а стороны имеют с этой окруж-
ностью общие точки, называется вписан-
ным углом.
На рисунке 64 угол CDE — вписанный,
так как его вершина D лежит на окружно-
сти, а стороны пересекают эту окружность
в точках C и E.
Угол CDE высекает из окружности ду-
гу CE. Говорят, что вписанный угол CDE
опирается на дугу CE.
При измерении углов, связанных с окружностью, поль-
зуются понятием градусной меры дуги. С градусным измере-
нием дуг вы уже встречались в географии. Например, вам по-
нятно, что означает утверждение: «Координаты города Мин-
ска — 53°54′ северной широты и 27°35′ восточной долготы».
Градусной мерой дуги окружности называется градусная
мера соответствующего центрального угла.
Например, градусная мера четверти окружности равна 90°,
полуокружности — 180°, трех четвертей окружности — 270°,
Рис. 64
Рис. 63
Народная
асвета

48
всей окружности — 360° (рис. 65).
На рисунке 66 градусная мера дуги
UV, содержащей точку W, равна 67°,
а дуги UV, содержащей точку T, рав-
на 293°. Это записывают так:
UWV = 67°; UTV = 293°. (1)
Понятно, что центральный угол
измеряется дугой, на которую он опи-
рается. Учитывая равенства (1), мо-
жем записать, что
∠USV = 67°.
Б) Теорема 1. Вписанный угол из-
меряется половиной дуги, на кото-
рую он опирается.
Доказательство. Вписанный угол
по отношению к центру окружности
может располагаться так, что этот
центр лежит: а) на одной из сторон
угла; б) внутри угла; в) вне угла.
а) Пусть центр Q окружности принадлежит стороне угла
LMN (рис. 67). Докажем, что величина угла LMN равна по-
ловине градусной меры дуги LN.
Угол LQN как внешний угол треугольника LQM равен
сумме углов LMQ и QLM. Но эти углы равны друг другу как
углы при основании равнобедренного треугольника LMQ.
Значит, ∠LQN = 2∠LMQ, или ∠LMN = 1
2
∠LQN. Поскольку
градусные меры центрального угла LQN и дуги LN равны, то
градусная мера в два раза меньшего вписанного угла равна
половине градусной меры дуги LN: ∠LMN = 1
2
LN.
б) Пусть центр Q окружности лежит внутри угла LMN
(рис. 68). Докажем, что величина угла LMN равна половине
градусной меры дуги LN.
Проведем диаметр MP. Тогда луч MP разбивает угол LMN
на два угла LMP и PMN, в каждом из которых одна сторона
проходит через центр. Используем доказанное в а) и получим:
∠LMN = ∠LMP + ∠PMN = 1
2
LP +
+ 1
2
PN = 1
2
( LP + PN) = 1
2
LN.
Рис. 66
Рис. 65
Народная
асвета

49
Получили, что, как и в предыдущем случае, градусная
мера угла LMN равна половине градусной меры дуги LN.
в) Пусть центр Q окружности лежит вне угла LMN
(рис. 69). Докажем, что величина угла LMN и в этом случае
равна половине градусной меры дуги LN.
Проведем диаметр MP. Тогда угол LMN равен разности
углов LMP и NMP, в каждом из которых одна сторона про-
ходит через центр. Используем доказанное в а) и получим:
∠LMN = ∠LMP − ∠NMP = 1
2
LP − 1
2
NP =
= 1
2
( LP − NP) = 1
2
LN.
Получили, что и в этом случае градусная мера угла LMN
равна половине градусной меры дуги LN.
Таким образом, градусная мера вписанного угла равна
половине градусной меры дуги, на которую этот угол опи-
рается.
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу,
равны.
Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,
является прямым.
В) Задача 1. Докажем, что угол, вершина которого
находится вне круга, а стороны пересекают окружность,
измеряется полуразностью дуг, которые данный угол вы-
секает из окружности.
Доказательство. Пусть вершина K угла MKN находится
вне круга, его сторона KM пересекает окружность в точках
M и M1, а сторона KN — в точках N и N1 (рис. 70). Докажем,
что ∠MKN = 1
2
( MN − M1N1).
Угол MM1N — внешний угол треугольника NKM1. Поэто-
му ∠MM1N = ∠M1KN + ∠M1NK. Значит, ∠M1KN = ∠MM1N −
Рис. 68Рис. 67 Рис. 69
Народная
асвета

50
− ∠M1NK, или ∠MKN = ∠MM1N − ∠M1NK. В соответствии
с теоремой 1 истинны утверждения
∠MM1N = 1
2
MN и ∠M1NK = 1
2
M1N1.
Поэтому
∠MKN = 1
2
MN − 1
2
M1N1 = 1
2
( MN − M1N1).
Г) Задача 2. Докажем, что угол с вершиной внутри кру-
га измеряется полусуммой дуг, одна из которых заключе-
на между сторонами данного угла, а другая — между сто-
ронами угла, вертикального данному.
Доказательство. Пусть вершина M угла AMB находит-
ся внутри круга, его стороны пересекают окружность в точ-
ках A и B, а продолжения этих сторон — в точках A1 и B1
(рис. 71). Докажем, что ∠AMB = 1
2
( AB + A1B1).
Угол AMB — внешний угол треугольника AMB1. Поэтому
∠AMB = ∠AB1M + ∠MAB1. В соответствии с теоремой 1 мож-
но утверждать, что ∠AB1M = 1
2
AB, а ∠MAB1 = 1
2
A1B1.
Поэтому ∠AMB = 1
2
AB + 1
2
A1B1 = 1
2
( AB + A1B1).
? 1. Какой угол называют центральным углом; вписанным углом?
2. Что называется градусной мерой дуги окружности?
3. Сформулируйте утверждение об измерении центрального угла.
4. Сформулируйте утверждение об измерении вписанного угла.
5. Какова величина угла, опирающегося на диаметр окружности?
6. Какое свойство имеют вписанные углы, опирающиеся на одну
дугу?
7. Сформулируйте утверждение об измерении угла с вершиной вне
круга.
8. Сформулируйте утверждение об измерении угла с вершиной внут-
ри круга.
Рис. 71Рис. 70
Народная
асвета

51
120. Начертите окружность с центром O и отметьте на ней
точку X. Постройте дугу XY этой окружности, градусная мера
которой равна:
а) 90°; в) 35°; д) 180°; ж) 290°;
б) 60°; г) 140°; е) 200°; з) 345°.
121. Дуги AB и CD окружности с центром O равны. Точ-
ка N — внутренняя точка дуги CD, а точка P не принадлежит
этой дуге. Градусная мера дуги AB равна 100°. Найдите гра-
дусные меры дуг CND и CPD.
122. Учитывая, что длина дуги окружности пропорцио-
нальна ее градусной мере, найдите с точностью до милли-
метра длину дуги окружности с радиусом 10 см, градусная
мера которой равна:
а) 90°; в) 75°; д) 180°; ж) 330°;
б) 30°; г) 150°; е) 225°; з) 355°.
123. Учитывая, что длина дуги окружности пропорцио-
нальна ее градусной мере, найдите с точностью до градуса
градусную меру дуги окружности с радиусом 15 м, длина ко-
торой равна:
а) 5 м; в) 32 м; д) 60 м; ж) 89 м;
б) 15 м; г) 47 м; е) 71 м; з) 94 м.
124. Отрезки AB и CD — взаимно перпендикулярные диа-
метры окружности с центром O. Найдите градусную меру дуги
CD окружности, центром которой является точка B (рис. 72).
125. Дуги PQ и RS окружности с центром O равны. Точ-
ка A — внутренняя точка дуги PQ, точка B — внутренняя точ-
ка дуги RS, а точка C не принадлежит ни одной из этих дуг
(рис. 73). Докажите, что:
а) хорда PQ равна хорде RS, а дуга PCQ равна дуге RCS;
б) дуга PQS равна дуге RSQ, а дуга PCS равна дуге RCQ.
Народная
асвета

52
126. Найдите вписанный угол DFH, учитывая, что ду-
га DH, на которую он опирается, равна:
а) 38°; в) 90°; д) 180°; ж) 77°16′;
б) 64°; г) 149°; е) 277°; з) 217°57′.
127. Найдите угол AKB или дугу AB по
сведениям, приведенным на рисунке:
а) 74; б) 75; в) 76; г) 77.
128. Точки U и V выделяют из окруж-
ности дугу в 150°, а точка W разделяет
другую дугу на части UW и VW, которые
относятся как 3 : 4. Найдите углы треуголь-
ника UVW.
Рис. 75 Рис. 76 Рис. 77
129. Точки A, M, B, N расположены по окружности в ука-
занном порядке. Докажите, что сумма углов AMB и ANB не
зависит от положения точек M и N на тех дугах, на которых
они находятся.
130. Прямые AB и CD пересекаются в точке K внутри кру-
га с центром O и пересекают окружность в точках A, B, C, D,
при этом углы AKC и AKD равны α и β соответственно, а ду-
ги AC, CB, BD, DA — ε, γ, ω, δ соот-
ветственно (рис. 78). Найдите:
а) α, β, ω, если γ = 40°, δ = 170°, ε = 85°;
б) α, β, ε, если γ = 40°, δ = 170°, ω = 85°;
в) α, δ, ω, если γ = 36°, β = 130°, ε = 70°;
г) β, γ, ω, если ε = 55°, α = 80°, δ = 160°;
д) β, δ, ε, если ω = 100°, α = 50°, γ = 30°;
е) β, γ, ε, если δ = 98°, α = 64°, ω = 102°.
131. Два луча, выходящие из точ-
ки P, пересекают окружность: один —Рис. 78
Рис. 74
Народная
асвета

53
в точках R и Q, другой — в точ-
ках T и S (рис. 79), при этом угол
QPS равен α, а дуги RT, TS, SQ,
QR — β, γ, δ, ε соответственно.
Найдите:
а) α, ε, если β = 20°, δ = 80°, γ =
= 65°;
б) δ, ε, если α = 30°, β = 34°, γ =
= 70°;
в) β, ε, если α = 18°, δ = 86°, γ = 58°;
г) α, δ, если γ = 60°, ε = 115°, β = 85°.
132. Два луча, выходящие из одной точки, высекают из
окружности две дуги величиной 62° и 162°. Найдите угол
между лучами и две другие дуги окружности, учитывая, что
одна из них на 10° меньше другой.
133. Два луча, образующие угол величиной 46°, высека-
ют из окружности две дуги, большая из которых равна 132°.
Найдите меньшую дугу и две другие дуги окружности, учи-
тывая, что они относятся как 1 : 3.
134. Найдите угол γ по сведениям, приведенным на ри-
сунке:
а) 80; б) 81; в) 82; г) 83; д) 84; е) 85.
Рис. 79
Рис. 80 Рис. 81 Рис. 82
Рис. 83 Рис. 84 Рис. 85
Народная
асвета

54
135. Установите, верно ли утвержде-
ние:
а) равные хорды одной окружности стя-
гивают равные дуги;
б) равные дуги одной окружности стяги-
ваются равными хордами.
136. Найдите градусные меры дуг MQN
и MBN, учитывая, что центр A первой из
этих дуг лежит на окружности, которой
принадлежит вторая дуга, а центр второй дуги принадлежит
первой дуге (рис. 86).
137. Точка C делит пополам полуокружность AB, O — се-
редина отрезка AB, X — точка луча OC. Определите:
а) положение точки X, учитывая, что прямая AX делит по-
полам дугу BC;
б) градусные меры дуг AL и BL, где L — точка пересечения
прямой AX с полуокружностью и угол OXA равен α.
138. Точка M находится в плоскости круга с диамет-
ром AB. Докажите, что угол AMB является:
а) острым, если точка M лежит вне круга;
б) прямым, если точка M лежит на окружности;
в) тупым, если точка M лежит внутри круга, но не на диа-
метре AB.
139. Точка C находится на окружности с диаметром AB,
а точка D — ее проекция на AB. Пусть длины отрезков AB,
BC, CA, CD, AD, BD и радиус окружности соответственно
равны c, a, b, h, c1, c2, r. Выразите переменные:
а) c, h, c1, c2, r через переменные a и b;
б) b, c, c1, c2, r через переменные a и h;
в) b, c, h, c2, r через переменные a и c1;
г) b, c, h, c1, c2 через переменные a и r;
д) a, c, h, c2, r через переменные b и c1;
е) a, c, h, c1, c2 через переменные b и r;
ж) a, b, c1, c2, r через переменные c и h;
з) a, b, h, c1, r через переменные c и c2;
и) a, b, h, c1, c2 через переменные c и r;
к) a, b, c, c1, r через переменные h и c2;
л) a, b, c, h, c2 через переменные c1 и r.
Рис. 86
Народная
асвета

55
140. Хорда AB длиной l и перпендикулярный ей диа-
метр MN круга с центром O пересекаются в точке K. Найдите
радиус этого круга, учитывая, что отрезок NK:
а) составляет четверть диаметра; б) равен m.
141. На основании MN равнобедренного треугольни-
ка MKN как на диаметре построена полуокружность, пере-
секающая боковые стороны MK и NK в точках A и B соот-
ветственно. Установите:
а) взаимное расположение прямых MN и AB;
б) отношение площадей четырехугольника MABN и тре-
угольника MKN, учитывая, что угол MKN равен α;
в) величину угла MKN, при которой площадь четырех-
угольника MABN составляет половину площади треугольни-
ка MKN;
г) градусные меры дуг MA, AB, BN, учитывая, что угол MKN
равен α;
д) величину угла MKN, при которой дуги MA, AB, BN
равны.
142. Точки A и B дуги MN, равной трем четвертям окруж-
ности с центром O и радиусом 24 см, выбраны так, что дуга
MA равна 68°, а дуга NB — 82° (рис. 87). Найдите:
а) дугу AB; б) хорду AB.
143. Точки F и G на полуокружности DE с центром Q
и радиусом 18 м выбраны так, что дуга DF равна 41°, а дуга
EG — 17°. Найдите:
а) дугу FG; б) хорду FG с точностью до дециметра.
144. Докажите, что дуги окружности, заключенные меж-
ду двумя параллельными хордами, равны.
145. По ребру одной монеты катится
край другой такой же монеты. Найдите,
на какой угол повернулась вторая мо-
нета, учитывая, что она прокатилась по
дуге α.
146. Дан сегмент. Как с помощью цир-
куля и линейки найти центр круга, ко-
торому принадлежит этот сегмент?
147. Как, пользуясь только циркулем,
удвоить данный отрезок? Рис. 87
Народная
асвета

56
44444
а) x2
− 8 x + 12 = 0; в) x2
+ 4 x − 12 = 0;
б) x2
− x − 12 = 0; г) x2
+ 8 x + 12 = 0.
а) 4
1 2
1
x
x
+ −
= + ; б) 2 2x + = (x + 2)2
− 3.
150. Средняя линия треугольника равна половине одной
из сторон, которые она соединяет. Докажите, что этот тре-
угольник является равнобедренным.
151. Через середину одной стороны треугольника проведены
прямые, параллельные двум другим сторонам, которые равны
p и q. Найдите периметр полученного четырехугольника.
152. Найдите площадь трапеции, которую отсекает от тре-
угольника одна из его средних линий, учитывая, что площадь
самого треугольника равна 20 м2
.
153. В равнобедренном треугольнике CDE
с основанием CE проведена биссектриса CC1
(рис. 88). Учитывая, что угол CDE равен 36°:
а) найдите углы треугольников DCC1 и ECC1;
б) докажите, что EC = DC1.
154. Острый угол ромба равен 30°, а мень-
шая диагональ — 6. Найдите площадь ромба.
155. Если развернуть на плоскости шести-
угольную пирамиду, то получится двенадца-
тиугольник APBQCRDSETFU (рис. 89). Осно-
вание пирамиды — шестиугольник
ABCDEF с равными сторонами и
углами, а боковые грани — равно-
бедренные треугольники, у которых
угол при основании вдвое больше
угла при вершине. Найдите углы
этого двенадцатиугольника.
156. Касабланка, Рабат, Фес,
Марракеш — крупнейшие города
Марокко. На рисунке 90 показаны
соотношения между числом жите-
лей этих городов. Составьте задачу
и решите ее.
Рис. 88
Рис. 89
Народная
асвета

57
Рис. 90
* * *
157. Установите, каких натуральных чисел от 1 до 1 000 000
больше: тех, которые делятся на 11 и не делятся на 13, или
тех, которые делятся на 13 и не делятся на 11?
158. Вершины треугольника находятся в вершинах ква-
дратной сетки. Как с помощью одной линейки построить точ-
ку пересечения медиан этого треугольника?
159. Положительное число a удовлетворяет условию a2
+
+ 1
2
a
= 7. Найдите число a и докажите, что число a
a
5
5
1
+ явля-
ется натуральным.
5. Угол и его меры
А) Геометрический угол есть часть плоскости, ограничен-
ная двумя лучами, выходящими из одной точки (рис. 91).
До этого мы рассматривали углы, не превышающие пол-
ный, который равен 360°. Вместе с этим мы встречались с
угловыми величинами, большими 360°. Например, углы пя-
тиугольника (рис. 92) вместе составляют 540°. Как можно
представить себе угол такой величины? Сложим величины
Народная
асвета

58
углов, откладывая их последовательно друг за другом, начав
от луча OM (рис. 93). Мы замечаем, что углы 1, 2, 3 вместе да-
ют угол меньше полного, угол 4 уже частично накладывается
на угол 1, а другая сторона угла 5 образует с лучом OM раз-
вернутый угол. В результате процесс последовательного от-
кладывания дает полный угол, дополненный еще разверну-
тым углом, т. е. получается угол величиной 360° + 180°, или
угол величиной 540°.
Описанный процесс подсказывает, что угол можно рассма-
тривать как меру поворота луча OM вокруг своего начала O от
определенного начального положения OM0. Четверть полного
оборота дает прямой угол (рис. 94), половина оборота — раз-
вернутый угол (рис. 95), три четверти оборота — угол вели-
чиной 270° (рис. 96), полный оборот — угол величиной 360°
(рис. 97), 9
8
оборота — угол величиной 405° (рис. 98), два пол-
ных оборота — угол величиной 720° (рис. 99). Подобные углы
описывают, например, лопасти вентилятора (рис. 100).
Б) Углы можно измерять в различных единицах. Вы зна-
ете градусное измерение углов, когда за единицу измерения
Рис. 98
Рис. 97
Рис. 96
Рис. 95Рис. 94Рис. 93
Народная
асвета

59
принимается угол в 1 градус, который равен стовосьмидеся-
той доле развернутого угла. Единица измерения может быть
и иной. На передней панели калькулятора, кроме градусов,
указаны еще грады и радианы. Град является метрической
единицей величины угла, он равен сотой доле прямого угла.
Большое значение в математике имеет радианное измере-
ние углов. Пусть зафиксирована одна из сторон угла. Если
вращать вторую его сторону вокруг вершины, то образуется
определенный угол. Выберем на стороне, которая вращается,
точку M на расстоянии R от вершины (рис. 101). При враще-
нии эта точка движется по окружности с радиусом R. Пусть
угол поворота равен α. Тогда путь s, пройденный точкой M,
равен 2
360
π
αR
, т. е. π αR
180
, а отношение пути к радиусу равно
πα
180
, т. е. не зависит от радиуса. Поэтому данное отношение
может быть взято в качестве меры угла. Количественно она
равна пути, пройденному точкой по единичной окружности.
Развернутому углу соответствует половина длины единичной
окружности, т. е. число π (рис. 102). Прямой угол равен π
2
(рис. 103), угол правильного треугольника — π
3
(рис. 104).
Угол, мера которого равна числу 1, называется радианом
(рис. 105).
Угол в 1 радиан вырезает из окружности дугу, равную ра-
диусу этой окружности (рис. 106).
Рис. 103Рис. 102Рис. 101
Рис. 105Рис. 104 Рис. 106
Народная
асвета

60
В) На практике используются
как градусная, так и радианная
мера угла. Установим связь меж-
ду градусом и радианом. Для это-
го используем тот факт, что раз-
вернутый угол с одной стороны
равен 180°, а с другой — π ра-
дианам:
180° = π радиан.
Значит,
1° = π
180
радиан ≈ 0,017453 радиана;
1 радиан = 180°
π
≈ 57,2958° ≈ 57°17′45″.
Обозначение радиана в записи меры угла принято опу-
скать. Запись вида α = 1,23 означает, что величина угла α
равна 1,23 радиана.
Для практического измерения углов в радианной мере мо-
жет служить специальный радианный транспортир, на полу-
окружности которого отмечены радианы и доли радиан (рис. 107).
Соответствие между градусной и радианной мерами для
часто используемых углов приводится в следующей таблице.
Ее полезно запомнить.
Градусы 30 45 60 90 120 135 150 180
Радианы
π
6
π
4
π
3
π
2
2
3
π 3
4
π 5
6
π π
Градусы 210 225 240 270 300 315 330 360
Радианы
7
6
π 5
4
π 4
3
π 3
2
π 5
3
π 7
4
π 11
6
π
2π
Движение точки по окружности во многом напоминает
движение точки по прямой. Чтобы определить местоположе-
ние точки на прямой, недостаточно знать путь, пройденный
ею от начальной точки, нужно еще указать направление дви-
жения. Если зафиксировано положительное направление дви-
жения, то местоположение точки на прямой определяется:
положительным числом, если движение происходит в поло-
жительном направлении, и отрицательным числом, если дви-
жение происходит в отрицательном направлении, т. е. в на-
правлении, противоположном положительному. Аналогично
Рис. 107
Народная
асвета

61
поступают и при описании движения тела по окружности.
В качестве положительного направления движения выбирает-
ся движение против часовой стрелки. Угол задается числом x,
которое может быть любым действительным числом.
Чтобы построить угол x, нужно на единичной окружности
от неподвижной точки отложить путь, равный x , в направ-
лении, которое определяется знаком числа x.
Пример 1. Построим угол, мера которого равна:
а) 2,5; б) −4; в) −13.
а) Число 2,5 положительное, поэтому в направлении против
часовой стрелки по окружности откладываем 2,5 единицы
(рис. 108).
б) Число −4 отрицательное, поэтому по окружности в направ-
лении по часовой стрелке откладываем 4 единицы (рис. 109).
в) Число −13 отрицательное, поэтому по окружности в направ-
лении по часовой стрелке откладываем 13 единиц (рис. 110).
Пример 2. Найдем градусную меру угла, радианная мера
которого равна 13.
Поскольку 1 радиан = 180°
π
и π ≈ 3,14159, то
13 = 180°
π
13 ≈ 744,84576 = 744° + 60′ 0,84576 =
= 744° + 50,7456′ = 744°50′ + 60″ 0,7456 ≈ 744°50′45″.
Пример 3. Найдем радианную меру угла, градусная мера
которого равна 132°50′49″.
Выразим сначала количество минут и секунд в десятич-
ных долях градуса, учитывая, что 1′ = 1
60
°
, 1″ = 1
3600
°
:
50′49″ = 50
60
49
3600
50 60 49
3600
° ° ° + °
+ = ≈ 0,847°.
Рис. 108 Рис. 110Рис. 109
Народная
асвета

62
Значит,
132°50′49″ ≈ 132° + 0,847° = 132,847° =
π 132 847
180
,
≈ 2,32.
Г) Теорема 2. Длина l дуги окружности с радиусом R и
радианной мерой α определяется формулой
l == Rα.
Доказательство. Пусть центральный
угол окружности с радиусом R имеет ра-
дианную меру α (рис. 111).
Центральный угол величиной 1 радиан
ограничивает дугу окружности длиной R.
Поэтому длина l дуги, которая ограничена
углом величиной α радиан, определяется
формулой l = Rα.
Теорема 3. Площадь S сектора с ради-
усом R и центральным углом, радианная
мера которого равна α, 0 α 2π, опре-
деляется формулой
S == 1
2
R2
α.
Доказательство. Пусть центральный
угол окружности с радиусом R имеет ра-
дианную меру α (рис. 112). Площадь полу-
круга, т. е. кругового сектора, образован-
ного углом π радиан, равна πR2
2
. Поэтому площадь S сектора
в 1 радиан в π раз меньше, т. е. равна π
πR2
2
: , или 1
2
R2
. Зна-
чит, площадь сектора в α радиан равна 1
2
R2
α.
? 1. Что такое геометрический угол?
2. Как можно образовать угол вращением вокруг точки?
3. Почему отношение пути, пройденного точкой по окружности, к ра-
диусу этой окружности может быть взято в качестве меры угла?
4. Какой угол имеет величину 1 радиан?
5. Как радиан связан с градусом?
6. Как найти длину дуги окружности по величине угла, соответствую-
щего этой дуге?
7. Как найти площадь сектора с данным радиусом по величине его цент-
рального угла?
Рис. 111
Рис. 112
Народная
асвета

63
160. Найдите градусные меры углов, которые описывают
минутная и часовая стрелки часов за:
а) 1 с; б) 1 мин; в) 1 ч; г) 1 сут.
161. Определите, в какой координатной четверти оканчи-
вается угол с градусной мерой, равной:
а) 80°; в) 150°; д) 920°; ж) 1780°;
б) −80°; г) −150°; е) −920°; з) −1780°.
162. Могут ли углы α и −α оканчиваться в одной коорди-
натной четверти?
163. Запишите формулу, задающую углы, которые окан-
чиваются на:
а) положительной полуоси абсцисс;
б) отрицательной полуоси абсцисс;
в) положительной полуоси ординат;
г) отрицательной полуоси ординат;
д) биссектрисе первого координатного угла;
е) биссектрисе второго координатного угла;
ж) биссектрисе третьего координатного угла;
з) биссектрисе четвертого координатного угла;
и) оси абсцисс;
к) оси ординат;
л) прямой y = x;
м) прямой y = −x.
164. Выразите в радианах угол, градусная мера которого
равна:
а) 40°; в) 315°; д) 3900°;
б) 140°; г) 1000°; е) 7000°.
165. Выразите в градусах угол, радианная мера которого
равна:
а) π
8
; б) π
5
; в) 2
9
π
; г) 3
5
π
; д) 7
18
π
; е) 11
20
π
.
166. Выразите в градусах угол, радианная мера которого
равна:
а) 2; б) 2,7; в) 4,8; г) 13
5
; д) 7
18
; е) 11
20
.
Народная
асвета

64
167. Определите, в какой координатной четверти оканчи-
вается угол с радианной мерой, равной:
а) π
8
; г) 3
5
π
; ж) 7
18
; к) 12,7;
б) π
5
; д) 7
18
π
; з) 2; л) 13
5
;
в) 2
9
π
; е) 11
20
π
; и) 48; м) 113
20
.
168. Найдите градусную и радианную меры углов:
а) прямоугольного равнобедренного треугольника;
б) прямоугольного треугольника, острые углы которого от-
носятся как 2 : 3;
в) равнобедренного треугольника, разные углы которого от-
носятся как 1 : 2;
г) четырехугольника, которые относятся как 4 : 7 : 9 : 16;
д) трапеции, острые углы которой относятся как 4 : 5, а
остальные — как 8 : 7;
е) равнобедренной трапеции, разные углы которой относятся
как 4 : 5;
ж) прямоугольной трапеции, непрямые углы которой отно-
сятся как 5 : 7;
з) параллелограмма, разные углы которого относятся как
1 : 11.
169. Найдите в радианах в секунду угловую скорость про-
пеллера, который делает в минуту:
а) 90 оборотов; в) 660 оборотов;
б) 300 оборотов; г) 1000 оборотов.
170. Найдите в радианах в час угловую скорость:
а) секундной стрелки часов;
б) минутной стрелки часов;
в) часовой стрелки часов.
171. С помощью калькулятора найдите радианную меру
угла, градусная мера которого равна:
а) 35°; в) 237°; д) 405°6′;
б) 142°; г) 375°36′; е) 35°26′39″.
172. С помощью калькулятора найдите градусную меру уг-
ла, радианная мера которого равна:
а) 0,3543; в) 2,376; д) 3,1416;
б) 0,9142; г) 3,7536; е) 35,2639.
Народная
асвета

65
173. Окружность морского компаса
(рис. 113) делится на 32 доли, которые на-
зываются румбами. Найдите в градусах и
радианах величину румба.
174. На единичной окружности найдите
точку M1, на которую отображается точка
M0(1; 0) при повороте на угол α, равный:
а) 35°; в) 235°; д) 405°;
б) −130°; г) −305°; е) 735°.
175. На единичной окружности найдите точку M1, на ко-
торую отображается точка M0(1; 0) при повороте на угол α,
равный:
а) π
8
; б) − π
8
; в) 7
8
π
; г) − 7
8
π
; д) 17
8
π
; е) − 17
8
π
.
176. Найдите длину дуги, учитывая, что ее радиус равен
3 м, а угловая мера составляет:
а) 2
3
π
; б) 3
2
π
; в) 5
6
π
; г) 11
12
π
.
177. Найдите радиус дуги, учитывая, что ее длина равна
10 м, а угловая мера составляет:
а) 2
3
π
; б) 3
2
π
; в) 5
6
π
; г) 11
12
π
.
178. Найдите радианную меру дуги, учитывая, что ее дли-
на равна 15 м, а радиус составляет:
а) 3 м; б) 10 м; в) 2,39 м; г) 4,92 м.
179. Найдите длину дуги единичной окружности, учиты-
вая, что ее радианная мера составляет:
а) π
3
; б) 3
4
π
; в) 3,2; г) 6,2.
180. Найдите площадь сектора, учитывая, что его радиус
равен 15 см, а радианная мера дуги составляет:
а) π
12
; б) 3
8
π
; в) 1,2; г) 2,2.
181. Найдите площадь сектора, учитывая, что его радиус
равен 20 м, а длина дуги составляет:
а) 3 м; б) 10 м; в) 23,9 м; г) 49,2 м.
Рис. 113
Народная
асвета

66
182. Найдите радиус сектора, учитывая, что его площадь
равна 256 м2
, а радианная мера дуги составляет:
а) π
12
; б) 3
8
π
; в) 4
5
π
; г) 0,92.
183. Найдите радиус сектора, учитывая, что радианная
мера его дуги составляет 4
5
π
, а его площадь равна:
а) 2,5 м2
; б) 16 м2
; в) 25 м2
; г) 121 м2
.
184. Найдите радианную меру дуги сектора, учитывая, что
его радиус равен 50 м, а площадь составляет:
а) 2,5 м2
; б) 16 м2
; в) 250 м2
; г) 980 м2
.
185. Найдите радианную меру дуги сектора, учитывая, что
его площадь составляет 3500 м2
, а радиус равен:
а) 2,5 м; б) 7 м; в) 16 м; г) 29 м.
186. Найдите радианные меры углов треугольника, сто-
роны которого равны:
а) 3, 4, 5; б) 5, 12, 13; в) 7, 24, 25; г) 12, 35, 37.
187. Найдите радианную меру
угла правильного n-угольника, учи-
тывая, что n равно:
а) 5; б) 6; в) 12; г) 18.
44444
188. Определите, является ли
функцией зависимость, представ-
ленная графиком на рисунке:
а) 114; б) 115; в) 116.Рис. 114
Рис. 116Рис. 115
Народная
асвета

67
189. Постройте график функции:
а) S = 4a2
− 3a + 4; б) y
t
= 4
.
а) d + = −1 17; в) 4 5 8x + = ;
б) 14 21 0s − = ; г) 3 11 6a − = .
а) d + −1 17; в) 4 5 8x + ;
б) 14 21 0s − ; г) 3 11 6a − .
192. Три равных треугольника разрезали по разным
медианам (рис. 117). Установите, можно ли из полученных
шести треугольников составить один треугольник и если
можно, то как.
193. Основание биссектрисы треугольника разделяет его
сторону на части длиной 16 см и 36 см, а еще одна сторона
равна 24 см. Найдите периметр треугольника.
194. Основания и боковая сторона равнобедренной трапе-
ции относятся как 13 : 7 : 5, а ее площадь равна 360 м2
. Най-
дите периметр трапеции.
195. Диагонали трапеции являются биссектрисами ее
острых углов, и одна из них делит среднюю линию на части,
равные 12 см и 16 см. Найдите периметр трапеции.
196. На окружности с центром O и радиусом r последо-
вательно выбраны точки A, B, C, D, E так, что центральные
углы AOB, BOC, COD, DOE соответственно равны 30°, 60°,
90°, 120° (рис. 118). Найдите:
а) площадь части круга, не занятой
пятиугольником ABCDE;
б) расстояние между прямыми BC и DE;
в) угол между прямыми DC и AE.
* * *
197. Четыре луча с общей верши-
ной O пересекают определенную пря-
мую в точках A, B, C, D (рис. 119).
Найдите площади треугольников AOD Рис. 118
Рис. 117
Народная
асвета

68
и BOC, учитывая, что площади треуголь-
ников AOC и BOD равны S1 и S2, углы
AOC и BOD прямые, а угол BOC равен α.
198. Серединный перпендикуляр к
биссектрисе AL треугольника ABC пере-
секает прямую BC в точке F. Докажите,
что FB FC = FL2
.
199. Число 20052006
представили сум-
мой нескольких целых слагаемых, каж-
дое из которых возвели в куб, и результа-
ты сложили. Какой остаток при делении
на 6 даст полученная сумма?
6. Окружность и прямая
Рассмотрим взаимное расположение на плоскости окруж-
ности и прямой.
А) Теорема 4. Окружность и прямая не могут иметь
больше двух общих точек.
Доказательство. Допустим, что это не так. Пусть A,
B, C — общие точки окружности с центром O и прямой a
(рис. 120). Поскольку эти точки принадлежат окружности
с центром O, то OA = OB = OC и медианы OM и ON равнобе-
дренных треугольников AOB и BOC являются и их высотами.
Получается, что к прямой a через точку O проведены два пер-
пендикуляра OM и ON. Но такое невозможно. Поэтому наше
допущение ошибочно.
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, на-
зывается секущей.
Прямая l на рисунке 121 — секущая, а точки M1 и M2 —
общие точки прямой и окружности.
Рис. 119
Рис. 120 Рис. 121
Народная
асвета

69
Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку,
называется касательной, а эта точка — точкой касания.
Прямая l на рисунке 122 — касательная, а точка M —
точка касания.
Б) Теорема 5. Если прямая касается окружности, то она
перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Доказательство. Пусть прямая l касается окружности с
центром Q в точке A. Тогда по определению касательной точ-
ка A — единственная общая точка прямой и окружности.
Докажем, что прямая l перпендикулярна радиусу QA, про-
веденному в точку касания.
Допустим, что прямая l не перпендикулярна радиусу QA.
Построим перпендикуляр QP и от его основания P на прямой
l отложим в другую сторону отрезок PB, равный отрезку PA
(рис. 123). Прямоугольные треугольники QPA и QPB равны по
двум катетам. Значит, равны гипотенузы QA и QB этих тре-
угольников. Иными словами, отрезок QB, как и отрезок QA,
равен радиусу окружности. А это означает, что точка B лежит
на окружности. Поскольку по построению точка B лежит на
прямой l, то прямая l и окружность имеют две общие точки A
и B. Но это противоречит условию о том, что прямая l является
касательной к окружности. Поэтому сделанное допущение сле-
дует отклонить и принять его отрицание: прямая l перпенди-
кулярна радиусу QA, проведенному в точку касания.
Теорема 5 выражает свойство
касательной.
Теорема 6. Если прямая про-
ходит через точку окружности
и перпендикулярна радиусу, про-
веденному в эту точку, то она яв-
ляется касательной.
Доказательство. Пусть прямая k
проходит через точку S окружности
с центром R и перпендикулярна ее
Рис. 123Рис. 122
Рис. 124
Народная
асвета

70
радиусу RS (рис. 124). Докажем, что прямая k является ка-
сательной к окружности.
Выберем произвольную точку T на прямой k, отличную от
точки S. Поскольку гипотенуза прямоугольного треугольни-
ка больше его катета, то расстояние RT от точки T до центра R
окружности больше радиуса RS. Поэтому точка T расположе-
на вне круга с центром R. Получается, что точка S — един-
ственная общая точка прямой k и окружности, т. е. прямая
k касается окружности в точке S.
Теорема 6 выражает признак касательной.
Следствие 1. Если расстояние от центра окружности
до прямой равно радиусу окружности, то окружность
и прямая имеют одну общую точку (рис. 125).
до прямой меньше радиуса окружности, то окружность
и прямая имеют две общие точки (рис. 126).
до прямой больше радиуса окружности, то окружность
и прямая не имеют общих точек (рис. 127).
В) Касательную к окружности можно рассматривать как
предельное положение секущей (рис. 128, 129, 130). Поэтому
можно ожидать, что свойства углов, стороны которых пере-
Рис. 125
Рис. 128 Рис. 129 Рис. 130
Рис. 126 Рис. 127
Народная
асвета

71
секают окружность, остаются в силе и
для тех случаев, когда одна или обе се-
кущие являются касательными.
Задача 3. Докажем, что угол меж-
ду касательной и секущей, проведен-
ной через точку касания, измеряется
половиной дуги, которую этот угол
заключает.
Доказательство. Пусть угол ABC
образован касательной BC и про-
веденной через точку касания B се-
кущей BA окружности с центром O
(рис. 131). Пусть ∠ABC = α. Докажем,
что величина дуги AB равна 2α.
Поскольку радиус, проведенный
в точку касания, перпендикулярен
касательной (OB ⊥ BC), то ∠ ABO =
= 90° − α. Дуга AD, которую высекает
из окружности вписанный в нее угол
ABO, в два раза больше этого угла
и равна 2 (90° − α). Поэтому AB =
= 180° − AD = 180° − 2(90° − α) = 2α.
Задача 4. Докажем, что для различных хорд, про-
ходящих через точку внутри круга, произведение отрез-
ков, на которые хорды разделяются этой точкой, есть
величина постоянная и равная r2
− a2
, где r — радиус круга,
a — расстояние от центра до выбранной точки.
Доказательство. Пусть через точку M, взятую внутри кру-
га с радиусом r на расстоянии а от центра, проведена хорда
АВ. Докажем, что MA MB = r2
− a2
. Проведем через точку M
диаметр PQ и соединим точки A и P, B и Q (рис. 132). Посколь-
ку углы AMP и QMB равны как вертикальные, углы РАМ
и ВQМ равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу PB,
то треугольники MAP и MQB подобны. Значит, MA
MP
MQ
MB
= ,
или MA MB = MP MQ = (r + a)(r − a) = r2
− a2
.
Задача 5. Докажем, что для различных секущих,
проходящих через точку вне круга, произведение от-
резков, которые соединяют эту точку с точками пере-
сечения, есть величина постоянная и равная a2
− r2
, где
r — радиус круга, a — расстояние от центра до выбранной
точки.
Рис. 131
Рис. 132
Народная
асвета

72
Доказательство. Пусть через точку M, взятую вне круга
с радиусом r на расстоянии a от центра, проведена секущая
AB. Докажем, что AM MB = a2
− r2
. Через точку M и центр
круга проведем еще одну секущую. Соединим точки пере-
сечения P и Q с точками B и A соответственно (рис. 133).
Поскольку углы MAQ и MPB равны как вписанные, опираю-
щиеся на одну дугу QB, то треугольники MAQ и MPB подоб-
ны по второму признаку. Значит, AM
MQ
PM
MB
= , или AM MB =
= PM MQ = (a + r)(a − r) = a2
− r2
.
Следствие 4. Если секущая и касательная проходят че-
рез данную точку вне окружности, то произведение от-
резков секущей, соединяющих эту точку с точками пере-
сечения секущей с окружностью, равно квадрату отрезка
касательной с концами в данной точке и точке касания.
Действительно, отрезок касательной MT с концами в дан-
ной точке M и в точке касания T является катетом прямо-
угольного треугольника MTO, гипотенуза OM которого со-
единяет центр окружности O с данной точкой M, а другой
катет OT соединяет центр окружности O с точкой касания T.
Тогда MT2
= a2
− r2
= PM MQ (рис. 134).
Следствие 5. Отрезки двух касательных, проведенных
через одну точку, заключенные между этой точкой и точ-
ками касания, равны.
? 1. Сколько общих точек могут иметь окружность и прямая?
2. Какая прямая называется секущей; касательной?
3. Какая точка называется точкой касания окружности и прямой?
4. Сформулируйте свойство касательной к окружности.
5. Сформулируйте признак касательной к окружности.
6. Сформулируйте свойство касательных, проведенных к одной
окружности через данную точку.
7. Сформулируйте свойство угла между касательной и секущей, про-
веденной через точку касания.
Рис. 134Рис. 133
Народная
асвета

73
8. Сформулируйте свойство отрезков хорды, проведенной через точку
внутри круга.
9. Сформулируйте свойство отрезков секущей, которые соединяют
точку секущей, находящуюся вне круга, с точками ее пересечения с
окружностью.
10. Сформулируйте свойство таких отрезков секущей и касательной,
проведенных через одну точку вне круга, которые соединяют эту точку
с точками пересечения секущей с окружностью и точкой касания.
200. Определите взаимное расположение окружности с ра-
диусом r и прямой, отстоящей от центра окружности на a,
учитывая, что пара (a; r) равна:
а) (7 см; 9 см); г) (7 см; 77 мм);
б) (9 см; 7 см); д) (77 мм; 7 см);
в) (7 см; 7 см); е) (7 м; 700 мм).
201. Через точку B, отстоящую на 5 см
от центра O окружности, проведена пря-
мая, которая касается этой окружности
в точке A (рис. 135). Найдите расстояние
от точки B до точки C, в которой прямая
BO пересекает окружность, учитывая,
что AB = 4 см.
202. Прямая проходит через точку A окружности с цен-
тром O и радиусом, равным 6 см, а точка B находится на рас-
стоянии 10 см от центра O и на расстоянии 8 см от точки A
(см. рис. 135). Установите, имеет ли прямая AB другие общие
точки с этой окружностью.
203. Постройте:
а) касательную к данной окружности, проходящую через
данную точку на окружности;
б) окружность с данным радиусом, касающуюся данной
прямой.
204. Прямая l касается окружности с центром O. Найдите
расстояние от точки O до прямой l, учитывая, что диаметр
окружности равен 12 см.
205. Найдите фигуру, образованную центрами окружно-
стей с данным радиусом, касающихся данной прямой.
206. Радиус окружности с центром O равен 3 см. Прямая a
проходит через точку K и касается окружности в точке M.
Найдите длину отрезка KM, учитывая, что KO = 5 см.
207. Докажите, что если прямые MA и MB касаются
окружности с центром O в точках A и B, то MAO = MBO.
Рис. 135
Народная
асвета

74
208. Прямая KL касается окруж-
ности с центром Q в точке L, а луч KQ
пересекает ее в точке M (рис. 136).
Найдите углы треугольника LKM,
учитывая, что дуга LM равна 116°.
209. Хорда MN видна из центра
окружности под углом β. Найдите
угол между этой хордой и касатель-
ной к окружности в точке M. По результату решения сформу-
лируйте соответствующее утверждение и обратное ему. Уста-
новите, верно ли обратное утверждение.
210. Через точки R и T окружности проведена секущая,
через точки R и U этой окружности — еще одна секущая, ко-
торой принадлежит центр окружности. Касательная RS про-
ведена так, что угол SRT острый. Докажите, что углы SRT
и RUT равны.
211. Докажите, что секущая, параллельная касательной,
отсекает от окружности такую дугу, которая точкой касания
делится пополам.
212. Докажите, что угол между секущей и касательной,
проведенными из одной точки вне окружности, измеряется
полуразностью дуг, заключенных между точкой касания и
точками пересечения секущей с окружностью.
213. Докажите, что угол между касательными, проведен-
ными из одной точки, равен полуразности дуг, на которые
разделяют окружность точки касания.
214. Окружность проходит через вершину A треугольника
ABC, касается стороны BC в точке B, пересекает сторону AC в
точке D, а ее центр расположен на стороне AC. Найдите углы:
а) A и B, учитывая, что C = 20°;
б) B и C, учитывая, что A = 30°;
в) треугольника, учитывая, что AB = 130°.
215. Окружность, центр O которой расположен на сторо-
не AC равнобедренного треугольника ABC, касается сторон
AB и BC в точках M и N. Найдите углы и стороны треуголь-
ника ABC, учитывая, что OM = MB = 6 см.
216. Точки M, N и K выбраны на окружности так, что
MN = 80°, MK = 140°. Найдите углы треугольника ABC,
стороны которого касаются окружности в точках M, N и K.
217. Точки M, N и K выбраны на окружности так, что
углы треугольника MNK равны 50°, 60°, 70°. Найдите углы
Рис. 136
Народная
асвета

75
треугольника ABC, стороны которого касаются окружности
в точках M, N и K.
218. Найдите три такие точки данной окружности, чтобы
касательные к окружности в этих точках ограничивали:
а) равносторонний треугольник;
б) равнобедренный треугольник;
в) прямоугольный треугольник;
г) треугольник с данными углами.
219. Хорды FG и HI одной окружности пересекаются
в точке A. Найдите AI, учитывая, что:
а) FA = 50, GA = 20, HA = 25;
б) FA = 160, GA = 90, HA = AI;
в) FA = 1,6, GA = 0,9, HA : AI = 5 : 7;
г) FA = 2, GA = 5, HA = 4.
220. Хорда AB окружности делит перпендикулярный ей диа-
метр MN на отрезки MC и NC, равные 8 и 18. Найдите AB.
221. Через точку C проведены касательная CD и секущая
CF, D — точка касания, F и G — точки пересечения секущей
с окружностью. Найдите хорду FG, учитывая, что:
а) CD = 10, CG = 5; б) CD = 6, CF = 18.
222. Через точку K, расположенную на расстоянии a от
центра окружности с радиусом r, равным 13 см, проведена
хорда AB. Найдите ее длину, учитывая, что:
а) a = 8 см, AK − KB = 8 см; б) a = 11 см, AK − KB = 1 см.
223. Через точку K, расположенную на расстоянии a от
центра окружности с радиусом r, равным 13 см, проведена
секущая AB, A и B — точки пересечения секущей с окруж-
ностью. Найдите KA и KB, учитывая, что:
а) a = 15 см, AB = 10 см;
б) a = 17 см, AB = 2 см.
224. Постройте окружность с данным радиусом, касающую-
ся данной окружности и данной прямой.
225. Отрезок M1N1 является проекцией
диаметра MN окружности с центром O и
радиусом R на касательную к этой окруж-
ности (рис. 137). Найдите границы изме-
нения площади:
а) четырехугольника MM1N1N;
б) части круга, ограниченной диаметром
MN и отрезками MM1 и NN1. Рис. 137
Народная
асвета

76
226. Из концов диаметра окружности на ее секущую опу-
щены перпендикуляры. Докажите, что расстояния от осно-
ваний этих перпендикуляров до соответствующих точек пе-
ресечения с окружностью равны.
44444
227. Преобразуйте степень:
а) 125−3
в степень с основанием 5;
б) 1
81
3
в) 163
г) 1
32
2−
в степень с основанием 2.
228. Постройте график функции:
а) z = 2
3x −
− 1; б) D = 1
3
(y − 4)2
+ 1,5.
229. Найдите значение:
а) углового коэффициента a и постройте график функции
y = ax − 3, учитывая, что точка M(2; 7) принадлежит этому
графику;
б) параметра b и постройте график функции y = 0,5x − b, учи-
тывая, что точка N(−2; 1) принадлежит этому графику.
230. Определите, при каких значениях переменной зна-
чение квадратного трехчлена:
а) 2a2
− 7a + 13 равно 5; б) 3b2
+ 5b − 10 равно 12.
а) 2 2 10x x+ − ; в) 2 5 1x x+ − ;
б) x x− +3 3 2; г) 5 2 3 10x x+ − .
232. Стороны треугольника равны 60 см, 70 см и 65 см.
Найдите отрезки, на которые основание биссектрисы тре-
угольника разделяет:
а) большую сторону; б) меньшую сторону.
233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине
равнобедренного треугольника параллельна его основанию.
234. Из Дубоя в Боричевичи (рис. 138) одновременно вышли
два путешественника. Найдите скорости путешественников,
учитывая, что один из них пришел на час раньше из-за того,
что в час он проходил больше на:
а) 1 км; б) 1
2
км.
Народная
асвета

77
235. Из Люсино в Боль-
шие Чучевичи выехал велоси-
педист со скоростью 14 1
2
км/ч
(рис. 139). Через час после этого
из Лунинца выехал другой ве-
лосипедист. С какой скоростью
он должен ехать, чтобы догнать
первого велосипедиста до его
приезда в Большие Чучевичи?
* * *
236. На ребрах AA1 и BB1
куба ABCDA1B1C1D1 выбраны точ-
ки M и N так, что их расстояния
от точки C равны 1,5 и 1,25 со-
ответственно. Найдите длину от-
резка MN, учитывая, что AB = 1.
237. Докажите, что если пе-
ред произвольно взятым числом
написать цифру 3, а в его конце
приписать цифру 7, то получен-
ное число при делении на 37 ни-
когда не даст исходного числа.
238. В квадрате, разделенном
на 36 одинаковых клеток, часть
клеток закрашена черным цве-
том. За один ход разрешается из-
менить цвет любых трех соседних
клеток, расположенных «угол-
ком» (черный — на белый, а бе-
лый — на черный). Докажите, что
через несколько таких ходов все
клетки можно сделать белыми.
7. Окружность и треугольник
А) Мы исследовали взаимное расположение окружности
с углом и прямой. Теперь рассмотрим сочетание окружности с
многоугольником. Из возможных случаев взаимного располо-
жения окружности и многоугольника рассмотрим те, когда
окружность касается всех сторон многоугольника (рис. 140)
Рис. 138
Рис. 139
Народная
асвета

78
или проходит через все его вершины (рис. 141). В первом
случае говорят, что окружность вписана в многоугольник,
или что многоугольник описан около окружности, во вто-
ром — что окружность описана около многоугольника, или
что многоугольник вписан в окружность.
Понятно, что в многоугольник можно вписать окруж-
ность, если найдется точка, равноотстоящая от всех его сто-
рон (рис. 142), а около многоугольника можно описать окруж-
ность, если найдется точка, равноотстоящая от всех его вер-
шин (рис. 143).
Б) Теорема 7. Биссектрисы внутренних углов треуголь-
ника пересекаются в одной точке, являющейся центром
вписанной окружности.
Доказательство. Пусть DD1 и EE1 —
биссектрисы треугольника DEF (рис. 144).
Тогда они пересекаются в некоторой
точке I, поскольку углы FDD1 и DFF1
как половины углов FDE и DFE тре-
угольника DEF вместе составляют мень-
ше 90°. А потому прямые DD1 и EE1 не
являются параллельными, т. е. пересе-
каются.
Рис. 141Рис. 140
Рис. 144Рис. 143
Рис. 142
Народная
асвета

79
Точка I как точка биссектрисы DD1 угла FDE равноуда-
лена от прямых DE и DF. Эта же точка как точка биссектри-
сы FF1 угла DFE равноудалена от прямых FD и FE. Значит,
точка I равноудалена и от прямых DE и FE. Это означает, что
она принадлежит биссектрисе EE1 угла DEF, иными словами,
биссектриса EE1 проходит через точку I. Таким образом, все
три биссектрисы DD1, EE1, FF1 треугольника DEF пересека-
ются в одной точке I.
Поскольку точка I равноудалена от сторон DE, EF,
DF треугольника DEF, то окружность с центром I и ради-
усом IJ, где J — основание перпендикуляра, опущенного
из точки I на сторону DE, касается всех трех сторон этого
треугольника, т. е. является окружностью, вписанной в тре-
угольник DEF.
Для нахождения радиуса r вписанной в треугольник
окружности (см. рис. 144) можно использовать его связь с пло-
щадью S треугольника и его полупериметром p:
S = pr. (1)
В) Теорема 8. Серединные перпендикуляры к сторонам
треугольника пересекаются в одной точке, являющейся
центром описанной окружности.
Доказательство. Пусть прямые k и l — серединные перпен-
дикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC (рис. 145).
Допустим, что прямые k и l не пересекаются, т. е. параллель-
ны, тогда должны быть параллельными и прямые AB и AC
как прямые, перпендикулярные параллельным прямым: пер-
вая — прямой k, вторая — прямой l. Но прямые AB и AC
пересекаются, так как на них лежат стороны треугольника.
Пусть O — точка пересечения
прямых k и l. Точка O как точка се-
рединного перпендикуляра k равно-
удалена от вершин A и B. Эта же точ-
ка как точка серединного перпенди-
куляра l равноудалена от вершин A
и C. Значит, точка O равноудалена
и от вершин B и C. Это означает,
что она принадлежит серединному
перпендикуляру m к стороне BC,
иными словами, серединный пер-
пендикуляр к стороне BC проходит Рис. 145
Народная
асвета

80
через точку O. Таким образом, все три серединных перпенди-
куляра k, l, m к сторонам треугольника пересекаются в одной
точке O.
Поскольку точка O равноудалена от вершин A, B, C тре-
угольника ABC, то окружность с центром O и радиусом OA
проходит через все три эти вершины, т. е. является окруж-
ностью, описанной около треугольника ABC.
Следствие. Две различные окружности не могут иметь
более двух общих точек.
Действительно, если окружности S1 и S2 имеют общие точ-
ки A, B и C, то эти точки не лежат на одной прямой по тео-
реме 4. Из доказанной теоремы 8 следует, что через точки
A, B и C проходит единственная окружность. Получили, что
окружности S1 и S2 совпадают.
Мы нашли две точки треугольника — центр O описанной
окружности и центр I вписанной окружности, которые имеют
общее свойство. Именно в каждой из них пересекаются по три
прямые, связанные с треугольником: в точке O — серединные
перпендикуляры к сторонам треугольника; в точке I — пря-
мые, на которых лежат биссектрисы треугольника. Ранее бы-
ло доказано, что в одной точке пересекаются медианы тре-
угольника (рис. 146).
Точку G пересечения медиан треугольника называют цен-
троидом или центром тяжести треугольника. Это название
связано с тем, что именно в этой точке находится центр тяже-
сти однородной треугольной пластины. Такая пластина, го-
ризонтально положенная центром тяжести на вертикальный
стержень, находится в равновесии (рис. 147).
Г) Теорема 9. Прямые, содержащие высоты треуголь-
ника, пересекаются в одной точке.
Рис. 147Рис. 146
Народная
асвета

81
Доказательство. Пусть прямые AA1, CC1, EE1 содержат вы-
соты треугольника ACE (рис. 148). Докажем, что эти прямые
пересекаются в одной точке.
Пусть прямые, проведенные через вершины треугольника
ACE параллельно его противоположным сторонам, пересека-
ются в точках A2, С2, Е2. Вершины A, C, E данного треуголь-
ника в образованном треугольнике A2C2E2 являются середи-
нами сторон. Действительно, отрезки AC2 и AE2 оба равны от-
резку EC как противоположные стороны параллелограммов
ECAC2 и ECE2A соответственно, поэтому равны друг другу.
Так же отрезки CA2 и CE2 оба равны отрезку AE как противо-
положные стороны параллелограммов AEA2C и AECE2, а от-
резки EA2 и EC2 оба равны отрезку AC как противоположные
стороны параллелограммов ACA2E и ACEC2.
По условию прямые AA1, CC1, EE1 перпендикулярны сто-
ронам CE, EA, AC треугольника ACE. Тогда эти прямые пер-
пендикулярны и сторонам C2E2, E2A2, A2C2 треугольника
A2C2E2, так как отрезки C2E2, E2A2, A2C2 соответственно па-
раллельны отрезкам CE, EA, AC. Это означает, что прямые
AA1, CC1, EE1 являются серединными перпендикулярами к
сторонам треугольника A2C2E2. В соответствии с теоремой 8
прямые AA1, CC1, EE1 пересекаются в одной точке.
Точку H пересечения прямых, содержащих высоты тре-
угольника, называют ортоцентром треугольника.
Точку G и точки O, I, H, удовлетворяющие условиям тео-
рем 7, 8, 9, называют замечательными точками треугольника.
Д) Треугольник имеет и другие замечательные точки.
Такими точками являются, например, точки Ia, Ib, Ic пере-
сечения биссектрис двух внешних углов треугольника и бис-
сектрисы третьего внутреннего угла. Эти точки являются
Рис. 148
Народная
асвета

82
центрами трех окружностей, каждая из которых касает-
ся одной из сторон треугольника и продолжений двух дру-
гих его сторон (рис. 149). Такие окружности называются вне-
вписанными окружностями треугольника.
Замечательные точки треугольника определенным об-
разом связаны. Например, центр O описанной окружности,
центроид G и ортоцентр H лежат на одной прямой, которая
называется прямой Эйлера (рис. 150). Прямой Эйлера при-
надлежит еще одна интересная точка — центр Q окружности
девяти точек, которая проходит через середины A1, B1, C1
сторон треугольника ABC, основания A2, B2, C2 его высот и
середины A3, B3, C3 отрезков, соединяющих ортоцентр H тре-
угольника ABC с его вершинами. Точка Q является серединой
Рис. 149
Рис. 150
Народная
асвета

83
отрезка OH, а точка G делит этот отрезок в отношении 1 : 2,
если считать от точки O. Окружность девяти точек касается
сразу четырех окружностей — вписанной и трех вневписан-
ных (рис. 151). Мы затронули здесь только некоторые факты
геометрии треугольника — этой простейшей геометрической
фигуры, теория которой очень богата и интересна.
? 1. Какая окружность называется окружностью, вписанной в много-
угольник; окружностью, описанной около многоугольника?
2. Какой многоугольник называется многоугольником, описанным
около окружности; многоугольником, вписанным в окружность?
3. Какое свойство имеют три серединных перпендикуляра к сторонам
треугольника; три биссектрисы треугольника; три медианы треуголь-
ника; три прямые, содержащие высоты треугольника?
4. Какая точка является центром описанной около треугольника
окружности; центром вписанной в треугольник окружности?
5. Какое свойство имеет точка пересечения медиан треугольника?
239. На биссектрисе угла T, который меньше развернуто-
го, выбрана точка A, и из нее опущены перпендикуляры AM
и AN на стороны этого угла. Найдите угол между прямыми TA
и MN.
240. Стороны угла B касаются окружности с центром O
в точках N1 и N2. Докажите, что прямые BO и N1N2 перпен-
дикулярны.
Рис. 151
Народная
асвета

84
241. Две окружности с общей каса-
тельной в точке C касаются каждая сто-
рон угла D (рис. 152). Докажите, что
центры этих окружностей принадлежат
прямой CD.
242. Стороны угла K касаются окруж-
ности с центром Q в точках B1 и B2. Най-
дите:
а) KQ, учитывая, что угол K равен 60°,
а радиус QB1 — 10 см;
б) радиус QB1, учитывая, что угол K
равен 90°, а отрезок KQ — 16 см;
в) угол K, учитывая, что радиус QB1
равен 12 дм, а отрезок KQ — 15 дм;
г) отрезок B1B2, учитывая, что радиус
QB1 равен 7 м, а отрезок KQ — 25 м;
д) угол K, учитывая, что радиус QB1
равен 9 м, а отрезок B1B2 — 3 3 м.
243. Биссектрисы внешних углов N и K треугольника
MNK пересекаются в точке I (рис. 153). Докажите, что точ-
ка I является центром окружности, касающейся стороны NK
и лучей MN и MK.
244. Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересека-
ются в точке O. Найдите углы AOB, AOC и BOC, учитывая,
что ∠A = 50° и ∠B = 60°.
245. Пусть биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пе-
ресекаются в точке O. Докажите, что величина угла AOB за-
висит только от величины угла ACB.
246. Биссектрисы CC1 и DD1 треугольника BCD пересекают-
ся в точке Q. Найдите угол CQD, учитывая, что ∠CBD = 40°.
247. Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пе-
ресекаются в точке O. Найдите угол AOC, учитывая, что
∠ABC = 140°.
248. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямо-
угольный треугольник, гипотенуза которого равна c, а сум-
ма катетов — k.
249. Вписанная в треугольник PQR окружность касается
его сторон PQ, QR, RP в точках A, B, C соответственно. Учи-
тывая, что эти стороны соответственно равны 20, 24 и 10, най-
дите отрезки AP, AQ, BQ, BR, CR, CP.
Рис. 153
Рис. 152
Народная
асвета

85
250. Точка Ja пересечения биссектри-
сы внутреннего угла A треугольника ABC
и биссектрисы несмежного с ним внеш-
него угла равноудалена от прямых, со-
держащих стороны треугольника. По-
этому существует окружность — ее на-
зывают вневписанной — с центром Ja,
которая касается трех прямых, содержа-
щих стороны этого треугольника.
Вневписанная окружность треуголь-
ника ABC касается его стороны BC в точ-
ке N и продолжений сторон AB и AC в
точках M и K соответственно (рис. 154).
Найдите длины отрезков AM, BN, CK,
учитывая, что BC = a, AC = b, AB = c.
251. Найдите основание равнобедренного треугольника,
учитывая, что проведенная к нему высота делится центром
вписанной в треугольник окружности в отношении 12 : 5,
если считать от вершины, а боковая сторона равна 30.
252. Найдите периметр равнобедренного треугольника,
боковая сторона которого точкой касания с вписанной в тре-
угольник окружностью разделяется на отрезки 6 м и 8 м,
если считать от основания.
253. В прямоугольный треугольник вписана окружность.
Найдите периметр треугольника, учитывая, что:
а) его гипотенуза равна 260 мм, а радиус вписанной окруж-
ности — 40 мм;
б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 50 мм
и 120 мм.
254. Серединный перпендикуляр к стороне LM треуголь-
ника KLM пересекает сторону KL в точке B. Найдите:
а) KL, учитывая, что BK = 30 мм и BM = 72 мм;
б) KB, учитывая, что KL = 90 см и
BM = 63 см.
255. Серединные перпендикуляры
к сторонам SR и ST треугольника RST
пересекаются в точке E стороны RT
(рис. 155). Докажите, что:
а) точка E — середина стороны RT;
б) угол S равен сумме углов R и T;
в) треугольник RST — прямоугольный.
Рис. 154
Рис. 155
Народная
асвета

86
256. Серединный перпендикуляр к стороне TU равнобед-
ренного треугольника с основанием TV пересекает сторону UV
в точке W. Найдите сторону TV, учитывая, что сторона TU
равна 30 м, а периметр треугольника TVW — 40 м.
257. Основание равнобедренного треугольника равно 16,
а боковая сторона — 17. Найдите радиусы окружностей, впи-
санной в этот треугольник и описанной около него.
258. Постройте треугольник со сторонами 6,5 см, 7 см,
7,5 см, опишите около него окружность и измерьте радиус
этой окружности.
259. Когда около треугольника ABC описали окружность,
то оказалось, что сторона AB является диаметром этой окруж-
ности. Найдите углы треугольника, учитывая, что дуга:
а) BC равна 140°; б) AC равна 68°.
260. Найдите углы равнобедренного треугольника MNP с
основанием MP, вписанного в окружность, учитывая, что дуга:
а) MP равна 108°; б) MN равна 130°.
261. Докажите, что центр окружности, описанной около
прямоугольного треугольника, совпадает с серединой его ги-
потенузы.
262. Найдите стороны прямоугольного треугольника, учи-
тывая, что один из его острых углов равен β, а диаметр опи-
санной около него окружности — d.
263. Найдите радиус описанной около прямоугольного
треугольника окружности, учитывая, что:
а) его катеты равны 11 и 60;
б) один из углов равен 60°, а один из катетов — 10;
в) высота, проведенная к гипотенузе, равна 12, а тангенс
одного из углов — 1,25.
264. Найдите сторону равностороннего треугольника, учи-
тывая, что радиус описанной около него окружности равен 12.
265. Найдите:
а) сторону равностороннего треугольника, вписанного в окруж-
ность с радиусом 1;
б) радиус окружности, описанной около равностороннего тре-
угольника со стороной 1.
266. Найдите зависимость между радиусом R окружности
и стороной a описанного около нее равностороннего треуголь-
ника.
Народная
асвета

87
267. Найдите диаметр окружности, описанной около рав-
нобедренного треугольника, в котором угол против основания
равен 120°, а боковая сторона — 24.
268. Докажите, что центр описанной около треугольника
окружности находится:
а) внутри треугольника, если треугольник остроугольный;
б) на его стороне, если треугольник прямоугольный;
в) вне треугольника, если треугольник тупоугольный.
269. Установите вид треугольника, учитывая, что центр:
а) вписанной окружности лежит на одной из его высот;
б) описанной около него окружности лежит на высоте или
на ее продолжении.
270. Равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC, равным b, и боковой сто-
роной AB, равной c, вписан в окружность
с центром Q и радиусом r (рис. 156). Высо-
та BT треугольника равна h, а высота UT
сегмента AUC равна k. Докажите, что:
а) c2
= 2rh; б) b2
= 4hk.
271. Около разностороннего треуголь-
ника ABC, у которого стороны AB, BC,
CA соответственно равны c, a, b, описана
окружность с центром O. Сравните углы AOB, BOC, AOC, учи-
тывая, что a b c.
272. Восстановите равнобедренный треугольник по центру
описанной около него окружности и его:
а) основанию; б) боковой стороне.
273. Докажите, что треугольник, у которого совпадают
центры описанной и вписанной окружностей, является рав-
носторонним.
274. Окружность с радиусом R, описанная около треуголь-
ника, его вершинами разделяется на дуги, градусные меры
которых равны α, β, γ. Найдите стороны треугольника.
275. Найдите радиус окружности, вписанной в прямо-
угольный треугольник, учитывая, что его:
а) катеты равны m и n;
б) гипотенуза и острый угол соответственно равны k и α;
в) площадь и острый угол соответственно равны S и α;
г) периметр и острый угол соответственно равны P и α.
Рис. 156
Народная
асвета

88
276. Найдите радиус r окружности, вписанной в равно-
бедренный треугольник, учитывая, что его:
а) боковая сторона и угол при вершине соответственно рав-
ны a и α;
б) основание и боковая сторона соответственно равны a и b;
в) основание и угол против него соответственно равны a и α;
г) высота и угол при основании соответственно равны h и β;
д) площадь и угол против основания соответственно равны
S и α;
е) периметр и угол при основании соответственно равны P и β;
ж) радиус описанной окружности и угол против основания
соответственно равны R и α;
з) высоты равны h1 и h2.
44444
277. Начертите два произвольных отрезка. Найдите точку,
равноудаленную как от концов одного отрезка, так и от кон-
цов другого отрезка. Всегда ли:
а) существует такая точка; б) такая точка единственная?
278. Можно ли утверждать, что четырехугольник ABCD,
диагонали которого пересекаются в точке O, является парал-
лелограммом, если его:
а) стороны AD и BC параллельны, а отрезки BO и DO равны;
б) стороны AD и BC равны и отрезки BO и DO равны;
в) отрезки BO и DO равны и углы BAD и BCD равны?
279. Через концы дуги в 200° проведены две касательные
к соответствующей окружности. Найдите угол между этими
касательными.
280. Два луча, выходящие из точки P, пересекают окруж-
ность — один в точках R и Q, другой — в точках T и S
(рис. 157). При этом угол QPS равен α, а дуги RT, TS, SQ,
QR — β, γ, δ, ε соответственно. Найдите:
а) α, γ, если β = 26°, δ = 74°, ε = 110°;
б) δ, γ, если α = 36°, β = 41°, ε = 130°;
в) β, γ, если α = 29°, δ = 69°, ε = 120°;
г) α, β, если γ = 54°, ε = 126°, δ = 95°.
а) (12 + a)(a2
+ 1) − (a + 4)3
= 89;
б) (2b + 1)(5 − 2b)2
− (2b − 3)3
= 4;Рис. 157
Народная
асвета

89
в) c(11 − 3c)2
− c(3 − c)2
− (2c − 5)3
= 87;
г) (d + 5)(1 − d)2
− (5 − 3d)2
− (d − 2)3
+ 21 = 0.
а) ординату точки параболы, являющейся графиком уравне-
ния 2x2
− y = 0, если абсцисса этой точки равна −1,5;
б) абсциссы точек параболы, являющейся графиком уравне-
ния 3x2
− 4y = 0, если ордината каждой из них равна 3.
283. Расстояние O1O2 между центрами O1 и O2 двух равных
пересекающихся окружностей больше радиуса этих окруж-
ностей. Луч с началом в точке O1, проведенный через точку C
пересечения окружностей, пересекает другую окружность
в точке A, а луч O1O2 пересекает эту окружность в точке B
(рис. 158). Докажите, что угол AO2B в три раза больше угла
CO1O2.
A
C
B
O O
Рис. 158
284. По схеме на рисунке 159, которая показывает тира-
жи книг, изданных государственными издательствами нашей
страны, составьте задачу и решите ее.
* * *
285. Числа a и b удовлетворяют равенству 2
2a
a b
b
a b+ −
+ = .
Найдите все возможные значения выражения
3
5
a b
a b
−
+
.
Рис. 159
Народная
асвета

90
286. Три прямые расположены на координатной плоско-
сти так, как показано на рисунке 160. Установите, можно ли
числа a, b, c выбрать так, чтобы уравнениями трех начерчен-
ных прямых были y = ax + b, y = bx + c, y = cx + a.
287. Параллелограмм разделен двумя парами прямых, па-
раллельных его сторонам, на 9 параллелограммов (рис. 161).
Найдите площадь четырехугольника ABCD, учитывая, что
площадь всего параллелограмма равна S0, а площадь закра-
шенного параллелограмма — S1.
8. Окружность и четырехугольник
Исследуем сочетание окружности с четырехугольником.
А) Теорема 10. Если четырехугольник является опи-
санным около окружности, то у него равны суммы про-
тивоположных сторон.
Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD описан
около окружности и его стороны AB, BC, CD, DA касаются
окружности в точках P, Q, R, S соответственно (рис. 162).
Докажем, что AB + CD = AD + BC.
Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной
точки, заключенные между этой точкой и точками касания,
равны, то:
AP = AS = k, BP = BQ = l, CQ = CR = m, DR = DS = n,
AB + CD = k + l + m + n,
BC + AD = l + m + k + n.
Значит,
AB + CD = BC + AD.
Рис. 160
Рис. 161
Народная
асвета

91
В предыдущем параграфе было установлено, что окруж-
ность можно вписать в любой треугольник. Но не каждый
четырехугольник имеет такое свойство.
Теорема 11. Четырехугольник является описанным
около окружности, если у него равны суммы противопо-
ложных сторон.
Доказательство. Пусть у четырехугольника MNPK сум-
мы MN + PK и MK + NP противоположных сторон равны
(рис. 163). Докажем, что в этот четырехугольник можно впи-
сать окружность, т. е. что существует точка I, которая рав-
ноудалена от всех сторон этого четырехугольника.
Чтобы доказать существование точки, равноудаленной от
всех четырех сторон, достаточно установить, что биссектрисы
трех углов четырехугольника MNPK пересекаются в одной
точке.
Пусть для определенности NP MN, тогда из условия
MN + PK = MK + NP получается, что PK MK.
На лучах NP и KP отложим отрезки NA и KB, соответ-
ственно равные сторонам NM и MK. Тогда PA = NP − MN и
PB = PK − MK. Теперь обратим внимание на то, что усло-
вие MN + PK = MK + NP равносильно условию PK − MK =
= NP − MN. Значит, PB = PA.
Треугольники MNA, MKB и PAB являются равнобедрен-
ными с основаниями MA, MB и AB соответственно. Поэтому
их биссектрисы, проведенные из углов N, K и P, являются ме-
дианами и высотами соответствующих треугольников. Ины-
ми словами, прямые, содержащие биссектрисы, проведенные
из углов N, K и P треугольников MNP, MKP и PAB, явля-
ются серединными перпендикулярами к отрезкам MA, MB
Рис. 162 Рис. 163
Народная
асвета

92
и AB, которые являются сторонами треугольника MAB. Но,
как было доказано в теореме 8, серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Мы установили, что биссектрисы углов N, K и P четырех-
угольника MNPK пересекаются в одной точке. Эта точка и
является центром окружности, вписанной в четырехугольник
MNPK.
Б) Теорема 12. Если четырехугольник является вписан-
ным в окружность, то суммы его противоположных углов
равны 180°.
Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD вписан
в окружность (рис. 164). Докажем, что сумма противопо-
ложных углов четырехугольника ABCD равна 180°.
Рассмотрим углы BCD и BAD. Первый из них измеряется
половиной дуги BAD, второй — половиной дуги BCD. Вме-
сте эти дуги составляют окружность, градусная мера кото-
рой равна 360°. Значит, ∠BCD + ∠BAD = 1
2
( BAD + BCD) =
= 1
2
360° = 180°.
Задача 6. Докажем, что если четырехугольник вписан
в окружность, то произведение его диагоналей равно сум-
ме произведений противоположных сторон.
Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD вписан в
окружность. Докажем, что
AC BD = AB CD + AD BC.
Если от луча BA отложим угол ABF, равный углу CBD,
где точка F принадлежит диагонали AC, то получим две па-
ры подобных треугольников — треугольники ABF и DBC,
а также CBF и DBA (рис. 165). Треугольники первой пары
подобны, так как их углы BAF и BDC равны как вписанные
Рис. 165Рис. 164
Народная
асвета

93
и опирающиеся на дугу BC, а углы ABF
и DBC равны по построению. Треуголь-
ники второй пары подобны, так как их
углы BCF и BDA вписанные и опираю-
щиеся на дугу BA, а углы CBF и DBA
состоят из равных углов ABF и DBC
и общей части — угла DBF.
Подобие ABF DBC позволяет
записать пропорцию AB
AF
BD
CD
= , а подобие
CBF DBA — пропорцию BC
CF
BD
AD
= .
Значит, AB CD = BD AF и BC AD = BD CF. Сложив эти
равенства, получим AB CD + BC AD = BD AF + BD CF, или
AB CD + BC AD = BD(AF + CF). Но AF + CF = AC. Значит,
AB CD + BC AD = BD AC, или BD AC = AB CD + BC AD.
Доказанное здесь свойство вписанного четырехугольника
называют теоремой Птолемея. Клавдий Птолемей (около
100 — около 178) — древнегреческий астроном, математик,
географ (рис. 166).
Теорема 13. Четырехугольник является вписанным в
окружность, если:
а) сумма противоположных углов равна 180°;
б) углы, каждый из которых образован стороной и диа-
гональю и которые опираются на одну сторону, равны.
Доказательство. а) Пусть в четырехугольнике ABCD проти-
воположные углы вместе составляют 180°. Докажем, что око-
ло такого четырехугольника можно
описать окружность (рис. 167).
Рассмотрим, например, углы BAD
и BCD, сумма которых в соответ-
ствии с условием равна 180°. Через
точки B, A, D проведем окружность.
Это всегда можно сделать в соответ-
ствии с теоремой 8.
По отношению к этой окруж-
ности четвертая вершина C четы-
рехугольника ABCD может нахо-
диться или вне построенного круга,
или внутри круга, или на окруж-
ности.
Рис. 166
1
2
0
2
1
Рис. 167
Народная
асвета

94
Если вершина C находится вне круга, т. е. занимает неко-
торое положение C1, и стороны BC1 и DC1 пересекают окруж-
ность в точках F1 и C0, то ∠BC1D = 1
2
( BD − F1C0) 1
2
BD.
Поэтому ∠BC1D ∠BCD и сумма углов BAD и BC1D меньше
180°. Получили противоречие с условием.
Если вершина C находится внутри круга, т. е. занима-
ет некоторое положение C2, и продолжения сторон BC2 и
DC2 пересекают окружность в точках F2 и C0, то ∠BC2D =
= 1
2
( BD + F2C0) 1
2
BD. Поэтому ∠BC2D ∠BCD и сум-
ма углов BAD и BC2D больше 180°. Снова получили противо-
речие с условием.
Таким образом, вершина C не может находиться ни вне
круга, ни внутри круга, она должна лежать на окружности,
проходящей через вершины B, A, D. А это и означает, что
четырехугольник ABCD является вписанным в окружность.
б) Доказательство этого утверждения повторяет с соответ-
ствующими изменениями приведенное выше доказательство
первого утверждения.
Пусть, например, в четырехугольнике ABCD углы ACB
и ADB, опирающиеся на сторону AB и заключенные между
его стороной и диагональю, равны друг другу. Докажем, что
около такого четырехугольника можно описать окружность
(рис. 168).
Через точки A, C, B проведем окружность. Четвертая вер-
шина D может находиться или вне построенного круга, или
внутри круга, или на окружности.
Если вершина D находится вне круга, т. е. занимает неко-
торое положение D1, и отрезки AD1 и BD1 пересекают окруж-
ность в точках D0 и F1, то ∠AD1B =
= 1
2
( AB – D0F1) 1
2
AB. Поэто-
му ∠AD1B ∠ACB, и это противо-
речит условию.
Если вершина D находится вну-
три круга, т. е. занимает некото-
рое положение D2, и продолжения
отрезков AD2 и BD2 пересекают
окружность в точках D0 и F2, то
1
2
2
1
0
Рис. 168
Народная
асвета

95
∠AD2B = 1
2
( AB + D0F2) 1
2
AB. Поэтому ∠AD2B ∠ACB,
а это снова противоречит условию.
Таким образом, вершина D не может находиться ни вне
круга, ни внутри круга, она должна лежать на окружности,
проходящей через вершины A, B, C. А это и означает, что че-
тырехугольник ABCD является вписанным в окружность.
В) Доказанная теорема дает достаточные условия принад-
лежности четырех точек плоскости одной окружности.
Следствие. Четыре точки A, B, X, Y плоскости лежат
на одной окружности, если:
а) точки X и Y расположены по разные стороны от
прямой AB и углы AXB и AYB вместе составляют 180°;
б) точки X и Y расположены по одну сторону от пря-
мой AB и углы AXB и AYB равны.
Это следствие лежит в основе метода вспомогательной
окружности, сущность которого видна из решения следую-
щей задачи.
Задача 7. Докажем, что прямые, содержащие высоты
треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть AA1 и BB1 — высоты треугольника
ACB, H — точка пересечения прямых AA1 и BB1 (рис. 169).
Пусть прямая CH пересекает сторону AB в точке C1. Докажем,
что угол CC1A является прямым.
Поскольку углы AA1B и BB1A оба прямые, то точки A, A1,
B, B1 лежат на одной окружности с диаметром AB. Углы
ABA1 и AB1A1 вписаны в эту окружность и опираются на одну
дугу AA1. Значит, эти углы равны.
Углы HA1C и HB1C оба прямые, значит, точки C, A1, H, B1
лежат на одной окружности с диаметром HC. Поэтому впи-
санные в эту окружность углы
CB1A1 и CHA1 равны, так как опи-
раются на одну дугу CA1.
Рассмотрим треугольники ABA1
и AHC1. Они имеют общий угол A,
углы ABA1 и AHC1, в отдельности
равные углу A1B1C, равны. Поэто-
му у треугольников равны и третьи
углы: ∠AA1B = ∠HC1A. А посколь-
ку угол AA1B прямой, то и равный
ему угол HC1A также прямой. Рис. 169
Народная
асвета

96
? 1. Сформулируйте свойство сторон описанного четырехугольника.
2. Сформулируйте признак описанного четырехугольника.
3. Сформулируйте свойство углов, образованных стороной и диагона-
лью вписанного четырехугольника.
4. Сформулируйте свойство противоположных углов вписанного че-
тырехугольника.
5. Сформулируйте признаки вписанного четырехугольника.
6. Укажите условия принадлежности четырех точек плоскости одной
окружности.
288. Найдите периметр описанного около окружности
четырехугольника, у которого сумма двух противоположных
сторон равна 120 мм.
289. Четырехугольник ABCD описан около окружности.
Найдите сторону DA, учитывая, что:
а) AB + CD = 180 мм и BC = 150 мм;
б) AB = 39 см, BC = 34 см, CD = 51 см;
в) AB + BC = 63 м, BC – AB = 7 м и CD = 25 м;
г) AB – CD = 9 дм, AB : CD = 5 : 4 и BC = 20 дм.
290. Установите, можно ли около четырехугольника ABCD
описать окружность, учитывая, что:
а) AB = 44 см, BC = 42 см, CD = 84 см, DA = 86 см;
б) AB = 72 м, BC = 90 м, CD = 48 м, DA = 28 м;
в) AB : BC = 17 : 8, AB – BC = 36 м, DA – CD = 36 м и DA = 1,3CD;
г) AB + BC = 133 мм, BC : AB = 8 : 11, CD + DA = 89 мм и CD –
– DA = 21 мм;
д) AB + CD = 140 дм, AB : CD = 3 : 4, BC – DA = 60 дм и BC +
+ DA = 140 дм.
291. Укажите возможные пары длин противоположных
сторон четырехугольника, описанного около окружности,
учитывая, что длины трех сторон равны:
а) 6 см, 10 см, 17 см; б) 48 см, 64 см, 196 см.
292. Укажите последовательные углы четырехугольника,
вписанного в окружность, учитывая, что:
а) два его противоположных угла относятся как 7 : 8, а еще
один угол равен 105°;
б) три его последовательных угла относятся как 3 : 7 : 5;
в) два его противоположных угла отличаются на 30°, а тре-
тий угол больше четвертого в четыре раза.
293. Последовательные стороны четырехугольника, впи-
санного в окружность, равны 112 см, 152 см, 35 см, 95 см.
Найдите диагонали четырехугольника, учитывая, что они от-
носятся как 40 : 51.
Народная
асвета

97
294. Используя теорему Птолемея, докажите:
а) теорему Пифагора;
б) что квадрат диагонали равнобедренной трапеции равен сум-
ме квадрата ее боковой стороны и произведения оснований.
295. Установите, можно ли около четырехугольника опи-
сать окружность, учитывая, что:
а) три его последовательных угла равны 37°, 96°, 143°;
б) два его противоположных угла равны 101° и 79°;
в) два его противоположных угла равны 113° и 77°.
296. Установите, при каком условии можно описать окруж-
ность около:
а) параллелограмма; в) трапеции;
б) ромба; г) дельтоида (рис. 170).
297. Найдите радиус окружности, вписанной в четырех-
угольник, сумма двух противоположных сторон которого и
его площадь соответственно равны 10 м и 12 м2
.
298. Две смежные стороны четырехугольника, описанного
около окружности, равны 18 см и 34 см, а две другие относят-
ся как 3 : 2. Найдите периметр четырехугольника.
299. Периметр четырехугольника, описанного около
окружности, равен 56 см. Найдите стороны четырехугольни-
ка, учитывая, что две его смежные стороны относятся как
2 : 3, а две другие — как 5 : 8.
300. Докажите, что площадь S
четырехугольника, описанного
около окружности с радиусом r,
и его полупериметр p связаны
равенством S = pr.
301. Сумма двух противопо-
ложных сторон описанного четы-
рехугольника и радиус вписан-
ной в него окружности соответ-
ственно равны 24 и 5. Найдите
площадь четырехугольника.
302. В окружность вписан
четырехугольник ABCD. Точки
M и N выбраны на окружности
так, что прямые AM и CN делят
углы A и C пополам. Докажите,
что MN — диаметр. Рис. 170
Народная
асвета

98
303. Найдите основания равнобедренной трапеции, опи-
санной около окружности, учитывая, что:
а) ее боковая сторона равна 5, а диагональ — 7;
б) радиус окружности равен 2 6, а диагональ — 14;
в) радиус окружности равен 7,5, а площадь трапеции — 255;
г) периметр трапеции равен 100, а ее площадь — 600.
304. Около окружности описана трапеция, боковые сто-
роны которой равны 13 и 15, а площадь — 168. Найдите осно-
вания трапеции.
305. Сторона AD вписанного в окружность четырехуголь-
ника ABCD является диаметром этой окружности. Докажите,
что проекции BA1 и CD1 сторон AB и DC на прямую BC рав-
ны друг другу.
306. Докажите, что:
а) если четырехугольник является описанным около окруж-
ности, то у него равны суммы углов, под которыми видны из
центра круга противоположные стороны;
б) если равны суммы углов, под которыми видны из некото-
рой точки противоположные стороны четырехугольника, то
такой четырехугольник не обязательно является описанным
около окружности.
307. Докажите, что окружность можно описать около:
а) прямоугольника;
б) равнобедренной трапеции.
а) если четырехугольник ABCD не является выпуклым, то
условие равенства углов ABD и ACD не является достаточ-
ным для того, чтобы четырехугольник был вписанным;
б) если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот
параллелограмм — ромб.
309. Докажите, что окружность можно вписать в:
а) квадрат; б) ромб; в) дельтоид (см. рис. 170).
310. Найдите радиус окружности, вписанной в:
а) ромб со стороной a и углом α;
б) дельтоид (см. рис. 170) со сторонами m и n и углом β меж-
ду ними.
311. Докажите, что если четырехугольник можно разбить
на два вписанных четырехугольника, то этот четырехуголь-
ник является трапецией.
Народная
асвета

99
312. Найдите наименьший диаметр
бревна, из которого можно выпилить
брус шириной 24 см и толщиной 10 см.
а) наибольшую площадь прямоугольни-
ка, вписанного в круг с радиусом R;
б) четырехугольник с наибольшей пло-
щадью, вписанный в круг с радиусом R.
314. В окружности с диаметром AB,
равным d, построены параллельные хор-
ды AC и BD. Установите:
а) вид четырехугольника ACBD;
б) площадь четырехугольника ACBD, учитывая, что AC = a;
в) границы изменения площади четырехугольника ACBD.
315. Высоты KK1, PP1, UU1 треугольника KPU пересека-
ются в точке H (рис. 171). Укажите все четырехугольники
с вершинами в точках K, P, U, K1, P1, U1, H, которые
являются вписанными.
316. Докажите, что если можно описать окружность около:
а) параллелограмма, то этот параллелограмм — прямоуголь-
ник;
б) трапеции, то эта трапеция равнобедренная.
317. Отрезки BB1 и CC1 — биссектрисы треугольника ABC.
Докажите, что если четырехугольник BC1B1C вписанный, то
треугольник ABC равнобедренный.
318. Докажите, что если у двух четырехугольников соот-
ветственно равны стороны и один из них является описанным
около окружности, то таким является и другой четырех-
угольник.
319. Прямая, перпендикулярная большей стороне паралле-
лограмма, разделяет его на два четырехугольника, в каждый
из которых можно вписать окружность. Найдите меньший
угол параллелограмма, учитывая, что стороны параллело-
грамма равны 4 и 6.
320. Найдите радиус окружности, описанной около рав-
нобедренной трапеции, учитывая, что ее:
а) большее и меньшее основания и высота соответственно рав-
ны 11, 5 и 4;
б) большее и меньшее основания и боковая сторона соответ-
ственно равны 7, 1 и 5;
Рис. 171
Народная
асвета

100
в) большее и меньшее основания и диагональ соответственно
равны 17, 7 и 13;
г) большее основание a, боковая сторона k и угол α между
ними таковы, что a = 14, k = 13 и tg α = 2,4.
321. Найдите радиус наименьшего круга, содержащего
равнобедренную трапецию с основаниями a и b и боковой сто-
роной c.
322. Найдите, если возможно, углы и стороны трапеции
по данным на рисунке:
а) 172; б) 173; в) 174; г) 175.
323. Докажите, что точки пересечения пар биссектрис со-
седних углов выпуклого четырехугольника лежат на одной
324. Каждая из четырех окружностей плоскости с центрами
O1, O2, O3, O4 касается внешним образом двух других окруж-
ностей (рис. 176). Докажите, что точки A1, A2, A3, A4 попар-
ного касания этих окружностей лежат на одной окружности.
325. Известно, что произведение диагоналей вписанного в
окружность четырехугольника равно сумме произведений его
противоположных сторон. Какой вид принимает это свойство,
если вписанный четырехугольник является:
а) прямоугольником;
б) равнобедренной трапецией?
Рис. 174
Рис. 172
Рис. 173
Рис. 175
Народная
асвета

101
326. Известно, что произведение
диагоналей вписанного в окруж-
ность четырехугольника равно сум-
ме произведений его противопо-
ложных сторон. Сформулируйте об-
ратное утверждение и установите,
верно ли оно.
327. Стороны AD и BC вписан-
ного четырехугольника ABCD рав-
ны k и l, а точка Q пересечения
диагоналей этого четырехугольни-
ка отсекает от них отрезки QA и
QD длиной m и n соответственно
(рис. 177). Найдите стороны QB и
QC треугольника BQC.
44444
328. Найдите координаты цен-
тра симметрии X, относительно ко-
торого симметричны точки:
а) A(0) и A1(8);
б) A(17) и A1(1);
в) A(−4) и A1(10);
г) A(−1) и A1(−17).
329. Медианы AA1, BB1 и CC1
прямоугольного треугольника ABC пересекаются в точке M,
а его катеты AB и AC равны 12 м и 18 м. Найдите:
а) стороны треугольников AMB, AMC, BMC;
б) диагонали четырехугольников AC1MB1, BC1MA1, CA1MB1.
330. Найдите площадь равнобедренного треугольника, в
котором высота, проведенная к основанию, равна 10 см, а вы-
сота, проведенная к боковой стороне, — 12 см.
331. Две стороны треугольника и угол между ними соот-
ветственно равны 31 м, 224 м и 120°. Найдите площадь тре-
угольника и высоту, проведенную к большей стороне.
332. Решите систему неравенств:
а)
3 4 22 4
7 2 9 2
b b
b b
− −
+ −
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
2 1 3 4
5 1 8 17
y y
y y
+ +
− +
⎧
⎨
⎩
,
;
Рис. 177
Рис. 176
Народная
асвета

в)
3 4 2 1 3
3 1 2 5 92
( ) ( ) ,
( )( ) ;
x x x
x x x x
− − −
− + − − −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
г)
2 3 5 1 2 3 3 28
0 3 4 3
13
2
( )( ) ( )( ) ( ),
, ( ).
x x x x x
x
x
+ − + − − +
+
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
+
333. Постройте график функции y = x2
− x − 6. Запишите,
используя неравенства и промежутки, множество значений
аргумента x, при которых значение функции y:
а) меньше нуля; г) не меньше нуля;
б) равно нулю; д) не равно нулю;
в) больше нуля; е) не больше нуля.
334. Постройте график функции y = −x2
+ 5x + 6. Запишите,
а) меньше нуля; г) не меньше нуля;
б) равно нулю; д) не равно нулю;
в) больше нуля; е) не больше нуля.
335. Делимое увеличили на 40 %, а делитель уменьшили
на 25 %. На сколько процентов изменилось частное?
336. Рабочий за определенный срок должен был изго-
товить 3600 деталей. Поскольку в день он изготавливал на
20 деталей больше, чем рассчитывал, то выполнил заказ на
6 дней раньше. За сколько дней был выполнен заказ?
* * *
337. Докажите, что если произведение неотрицатель-
ных чисел a1, a2, …, an равно 1, то (1 + a1) (1 + a2) … (1 +
+ an) 2n
.
338. Сумма пяти натуральных чисел равна 2007. Какое
наибольшее значение может принимать их НОД?
339. На сторонах треугольника ABC взяты точки A1,
B1, C1. Отрезки A1B1, A1C1, B1C1 разбили треугольник на четы-
ре равновеликих треугольника. Докажите, что A1, B1, C1 — се-
редины сторон треугольника ABC.
Народная
асвета

103
9. Квадратные неравенства.
Рациональные неравенства
А) Вы уже умеете решать линейные неравенства с одной
переменной. Теперь научимся решать квадратные неравен-
ства с одной переменной, т. е. неравенства вида:
ax2
+ bx + c 0, ax2
+ bx + c 0,
ax2
+ bx + c 0, ax2
+ bx + c 0, ax2
+ bx + c ≠ 0,
где a, b, c — некоторые числа, x — переменная и a ≠ 0.
Теорема. Если дискриминант D квадратного трехчлена
ax2
++ bx ++ c:
а) отрицателен, то его значение имеет тот же знак,
что и старший коэффициент a, при всех значениях пере-
менной x;
б) равен нулю, то его значение имеет тот же знак, что и
старший коэффициент a, при всех значениях переменной x,
отличных от корня трехчлена;
в) положителен, то его значение имеет тот же знак,
что и старший коэффициент a, при значениях переменной x,
меньших меньшего корня трехчлена и больших большего
его корня, и имеет знак, противоположный знаку старше-
го коэффициента a, если значение переменной x заключено
между корнями трехчлена.
Доказательство. Пусть дан квадратный трехчлен ax2
+ bx + c
с переменной x, старшим коэффициентом a, который не равен
нулю, вторым коэффициентом b и свободным членом c.
а) Пусть дискриминант D квадратного трехчлена ax2
+
+ bx + c отрицателен. В квадратном трехчлене ax2
+ bx + c вы-
делим полный квадрат и получим:
ax2
+ bx + c = a x b
a
b ac
a
+ −
−
2
4
4
2 2
2
.
По условию значение выражения b2
− 4ac отрицательно. Тог-
да значение дроби
b ac
a
2
2
4
4
−
также отрицательно, так как ее зна-
Народная
асвета

104
менатель 4a2
положителен, а поэтому значение выражения
−
b ac
a
2
2
4
4
−
положительно.Значениевыражения x b
a
+
2
2
−
b ac
a
2
2
4
4
−
положительно, так как первое слагаемое x b
a
+
2
2
этой алгебраи-
ческой суммы неотрицательно, а второе ее слагаемое −
b ac
a
2
2
4
4
−
положительно.
Получается, что значение выражения a x b
a
b ac
a
+ −
−
2
4
4
2 2
2
,
которое является произведением старшего коэффициента a и
положительного множителя x b
a
+
2
2
−
b ac
a
2
2
4
4
−
, имеет тот же
знак, что и коэффициент a. Поэтому и значение квадратно-
го трехчлена ax2
+ bx + c совпадает по знаку со значением его
старшего коэффициента a.
б) Пусть дискриминант D квадратного трехчлена ax2
+ bx + c
равен нулю и x1 — его единственный корень. Тогда этот трех-
член можно разложить на множители:
ax2
+ bx + c = a(x − x1)2
.
Значение выражения (x − x1)2
при значениях переменной x,
не равных x1, положительно. Поэтому при таких значениях
переменной x значение выражения a(x − x1)2
, а значит, и зна-
чение равного ему квадратного трехчлена ax2
+ bx + c совпа-
дает по знаку со значением старшего коэффициента a этого
трехчлена.
в) Пусть дискриминант D квадратного трехчлена ax2
+ bx + c
положителен, x1 и x2 — его корни и x1 x2. Тогда этот трехчлен
можно разложить на множители:
ax2
+ bx + c = a(x − x1)(x − x2).
Пусть значение переменной x меньше x1, т. е. истинно не-
равенство x x1. Учитывая, что x1 x2, получаем, что x x2.
Поэтому разности x − x1 и x − x2 обе отрицательны, а их про-
изведение (x − x1)(x − x2) положительно. В этом случае знак
произведения a(x − x1)(x − x2) совпадает со знаком a.
Пусть значение переменной x больше x2, т. е. истинно не-
равенство x x2. Учитывая, что x2 x1, получаем, что x x1.
Поэтому разности x − x1 и x − x2 обе положительны, а их произ-
ведение (x − x1)(x − x2) также положительно. В этом случае знак
произведения a(x − x1)(x − x2) также совпадает со знаком a.
Народная
асвета

105
Пусть значение переменной x удовлетворяет неравенству
x1 x x2, т. е. истинны неравенства x x1 и x x2. Тогда
разность x − x1 положительна, а разность x − x2 отрицательна,
и их произведение (x − x1)(x − x2) отрицательно. В этом случае
знак произведения a(x − x1)(x − x2) противоположен знаку a.
Б) Рассмотренной теореме можно дать геометрическую интер-
претацию, если учесть, что квадратный трехчлен ax2
+ bx + c
задает квадратичную функцию y = ax2
+ bx + c, которая графи-
чески изображается параболой. Эта парабола имеет вершину
в точке − −
−b
a
b ac
a2
4
4
2
; , ветви параболы направлены вверх,
если старший коэффициент a 0, и вниз, если a 0.
Пусть D 0, тогда квадратный трехчлен ax2
+ bx + c не
имеет корней. Это означает, что соответствующая парабола не
пересекает ось абсцисс, т. е. она целиком расположена в верх-
ней или нижней полуплоскости в зависимости от знака стар-
шего коэффициента a. Если a 0, то значения квадратного
трехчлена положительны при всех значениях переменной x, а
соответствующая парабола находится в верхней полуплоскости
(рис. 178). Если a 0, то значения квадратного трехчлена от-
рицательны при всех значениях переменной x, а соответству-
ющая парабола находится в нижней полуплоскости (рис. 179).
Пусть D = 0, тогда квадратный трехчлен ax2
+ bx + c име-
ет единственный корень x1 = − b
a2
. Это означает, что соот-
ветствующая парабола касается оси абсцисс своей верши-
ной. Поэтому все точки параболы, за исключением вершины,
расположены в верхней или нижней полуплоскости в зави-
симости от знака старшего коэффициента a. Если a 0, то
значения квадратного трехчлена положительны при всех
значениях переменной x, кроме значения, равного − b
a2
,
а соответствующая парабола находится в верхней полупло-
Рис. 178 Рис. 179
Народная
асвета

106
скости, касаясь вершиной оси абсцисс (рис. 180). Если a 0,
то значения квадратного трехчлена отрицательны при всех зна-
чениях переменной x, кроме значения − b
a2
, а соответствующая
парабола находится в нижней полуплоскости, касаясь верши-
ной оси абсцисс (рис. 181).
Пусть D 0, тогда квадратный трехчлен ax2
+ bx + c имеет
два корня x1 и x2, где x1 x2. Это означает, что соответствующая
парабола пересекает ось абсцисс в точках x1 и x2. Если a 0, то
значения квадратного трехчлена положительны при значениях
переменной x, меньших меньшего корня x1 и больших больше-
го корня x2, и отрицательны при значениях переменной x, за-
ключенных между корнями x1 и x2. Соответствующая парабола
расположена так, как показано на рисунке 182. Если a 0, то
значения квадратного трехчлена положительны при значени-
ях переменной x, заключенных между корнями x1 и x2, и от-
рицательны при значениях переменной x, меньших меньшего
корня x1 и больших большего корня x2, а соответствующая па-
рабола расположена так, как показано на рисунке 183.
Результаты проведенного исследования наглядно представ-
лены схемой на рисунке 184.
Рассмотренная теорема лежит в основе алгоритма реше-
ния квадратного неравенства, который можно сформулиро-
вать так:
найти корни соответствующего квадратного трехчле-
на ax2
++ bx ++ c или установить, что их нет;
Рис. 180 Рис. 181
Рис. 182 Рис. 183
Народная
асвета

107
Рис. 184
Народная
асвета

108
по знаку старшего коэффициента a определить, как
направлены ветви параболы — вверх или вниз;
на схематическом рисунке показать расположение со-
ответствующей параболы — графика квадратного трех-
члена;
по полученному рисунку записать ответ.
Пример 1. Решим неравенство 3x2
− 7x + 5 0.
Найдем корни квадратного трехчлена 3x2
− 7x + 5:
3x2
− 7x + 5 = 0;
D = 72
− 4 3 5 = −11;
корней нет.
Определим, как направлены ветви па-
раболы: поскольку a = 3 и 3 0, то ветви
параболы направлены вверх.
Схематически покажем расположе-
ние параболы y = 3x2
− 7x + 5 относитель-
но оси абсцисс, как это сделано на ри-
сунке 185.
По полученному рисунку записываем ответ. Рисунок 185
показывает, что значения квадратного трехчлена 3x2
− 7x + 5
положительны при всех значениях переменной x. Это озна-
чает, что неравенство 3x2
− 7x + 5 0 истинно при всех зна-
чениях переменной x, т. е. решениями неравенства являются
все действительные числа.
Ответ. (− ; + ).
Пример 2. Решим неравенство −3t2
− 7t − 4 0.
Найдем корни квадратного трехчлена −3t2
− 7t − 4:
−3t2
− 7t − 4 = 0;
D = 72
− 4 (−3) (−4) = 1;
t1 = − 4
3
; t1 = −1.
раболы. Поскольку a = −3 и −3 0, то вет-
ви параболы направлены вниз.
Схематически покажем расположение
параболы y = −3t2
− 7t − 4 относительно
оси абсцисс, как это сделано на рисун-
ке 186.
По полученному рисунку записываем
ответ. Рисунок 186 показывает, что
Рис. 185
Рис. 186
Народная
асвета

109
значения квадратного трехчлена −3t2
− 7t − 4 неположитель-
ны при значениях переменной t, расположенных вне проме-
жутка − −4
3
1; . Это означает, что неравенство −3t2
− 7t − 4 0
истинно при таких значениях переменной t, которые удовлетво-
ряют условию: t − 4
3
или t −1.
Ответ. − −; 4
3
[−1; + ).
Пример 3. Решим неравенство 3a2
+ 7a − 6 0.
Найдем корни квадратного трехчлена 3a2
+ 7a − 6:
3a2
+ 7a − 6 = 0;
D = 72
+ 4 3 (−6) = 121;
a1 = −3; a2 = 2
3
.
раболы. Поскольку a = 3 и 3 0, то ветви
параболы направлены вверх.
Схематически покажем расположе-
ние параболы y = 3a2
+ 7a − 6 относитель-
но оси абсцисс, как это сделано на ри-
сунке 187.
По полученному рисунку записываем ответ. Рисунок 187
показывает, что значения квадратного трехчлена 3a2
+ 7a − 6
положительны при значениях переменной a, расположенных
левее числа −3 или правее числа 2
3
. Это означает, что нера-
венство 3a2
+ 7a − 6 0 истинно при таких значениях перемен-
ной a, что a −3 или a 2
3
.
Ответ. (− ; −3) 2
3
; .+
Пример 4. Решим неравенство 4m2
− 28m + 49 0.
Корнем квадратного трехчлена 4m2
− 28m + 49 является
число 7
2
.
Ветви параболы направлены вверх.
Парабола y = 4m2
− 28m + 49 относи-
тельно оси абсцисс расположена так, как
показано на рисунке 188, из которого вид-
но, что значения квадратного трехчлена
4m2
− 28m + 49 положительны при всех зна-
чениях переменной m, кроме значения 7
2
,
при котором этот трехчлен равен нулю.
Ответ. 7
2
.
Рис. 187
Рис. 188
Народная
асвета

110
Пример 5. Найдем область определения функции z =
=
3 8
2 3 352
l
l l
−
− −
.
В выражении
3 8
2 3 352
l
l l
−
− −
всегда выполнимыми являют-
ся все действия, кроме деления на выражение 2l2
– 3l – 35,
которое невыполнимо при тех значениях переменной l,
при которых значение выражения 2l2
– 3l – 35 равно нулю.
Поэтому область определения функции z определяется усло-
вием 2l2
– 3l – 35 0.
Решим данное неравенство. Получим:
2l2
– 3l – 35 0 l 3 9 4 2 35
2 2
± + • •
•
l 3 17
4
± l –3,5 и l 5.
Ответ. (–∞; –3,5) ∪ (–3,5; 5) ∪ (5; +∞).
? 1. В каких случаях квадратный трехчлен ax2
+ bx + c с отрицательным
дискриминантом имеет положительные значения; отрицательные зна-
чения?
2. В каких случаях квадратный трехчлен ax2
+ bx + c с положитель-
ным дискриминантом имеет положительные значения; отрицательные
значения; неположительные значения; неотрицательные значения?
3. В каких случаях квадратный трехчлен ax2
+ bx + c с нулевым диск-
риминантом имеет положительные значения; отрицательные значе-
ния; неположительные значения; неотрицательные значения?
4. Сформулируйте алгоритм решения квадратного неравенства.
340. Постройте в тетради следующую таблицу исследова-
ния знака квадратного трехчлена ax2
+ bx + c и заполните ее
в соответствии с изученной теоремой (с. 103).
Дискрими-
нант, D
Старший
коэффи-
циент, a
Графиче-
ское изоб-
ражение
Значения переменной,
при которых значение
квадратного трехчлена
ax2
+ bx + c
положительно отрицательно
D 0 a 0
D 0 a 0
D = 0 a 0
D = 0 a 0
D 0 a 0
D 0 a 0
Народная
асвета

111
341. Используя график функции T = 2a2
− 2a − 4, изобра-
женный на рисунке 189, укажите те значения аргумента a,
при которых значение функции T:
а) равно 0; ж) равно −4;
б) меньше 0; з) меньше −4;
в) больше 0; и) больше −4;
г) равно 8; к) равно − 5;
д) меньше 8; л) меньше −5;
е) больше 8; м) больше −5.
342. Используя график функции y = −x2
+ 6x − 5, изобра-
женный на рисунке 190, укажите те значения аргумента x,
при которых значение функции y:
а) равно 0; д) меньше 3; и) больше −5;
б) меньше 0; е) больше 3; к) равно 4;
в) больше 0; ж) равно −5; л) меньше 4;
г) равно 3; з) меньше −5; м) больше 4.
343. Используя график функции s = 2
9
t2
+ 8
9
t − 10
9
, изобра-
женный на рисунке 191, решите неравенство:
а) 2
9
t2
+ 8
9
t − 10
9
0; б) 2
9
t2
+ 8
9
t − 10
9
0;
Рис. 189 Рис. 190
Народная
асвета

112
в) 2
9
t2
+ 8
9
t − 10
9
0;
г) 2
9
t2
+ 8
9
t − 10
9
0.
344. Используя график функ-
ции C = − 1
8
z2
− z − 2,изображен-
ный на рисунке 192, решите не-
равенство:
а) − 1
8
z2
− z − 2 0; в) − 1
8
z2
− z − 2 0;
б) − 1
8
z2
− z − 2 0; г) − 1
8
z2
− z − 2 0.
345. Постройте график функции T = −2a2
+ 2a + 4 и ука-
жите по нему те значения переменной a, при которых зна-
чения функции T:
а) отрицательны; в) неотрицательны;
б) положительны; г) неположительны.
346. Найдите те значения переменной t, при которых не
больше нуля значения функции:
а) h = −t2
+ 6t − 9; в) k = − 1
2
t2
− 3t − 9
2
;
б) g = t2
− 4t + 4; г) l = − 1
3
t2
− 4t − 12.
347. Запишите какое-либо квадратное неравенство, мно-
жество решений которого:
а) состоит из одного числа 7;
б) состоит из всех действительных чисел, кроме числа 7;
Рис. 192
Рис. 191
Народная
асвета

113
в) состоит из всех действительных чисел;
г) не содержит ни одного числа.
348. Запишите какое-либо квадратное неравенство, мно-
жеством решений которого является:
а) промежуток (1; 5);
б) промежуток [1; 5];
в) множество (− ; 1) (5; + );
г) множество (− ; 1] [5; + ).
а) u2
+ 10 0; г) (e + 5)2
+ 3 1;
б) d2
+ 9 0; д) −(w + 1)2
− 2 0;
в) (v − 1)2
+ 1 0; е) −(f − 2)2
− 4 0.
а) 4u2
− 9 0; д) 2a2
− 4a + 9 0;
б) 9d2
− 25 0; е) 3q2
+ 2q + 4 0;
в) x2
− 3x + 2 0; ж) 1
2
m2
− 4m −8;
г) y2
− 3y − 4 0; з) 1
3
z2
+ 2z −3.
а) r2
− 14r + 45 0; д) x2
+ 105 22x;
б) a2
− 11a + 30 0; е) t2
− 5t + 4 0;
в) s2
+ 11s + 30 0; ж) m2
− 6m + 9 0;
г) b2
− 4b + 3 0; з) z2
− 8z + 7 0.
а) 3c2
− 5c − 2 0; е) a2
− 4a + 3 ≠ 0;
б) 5k2
− 7k + 2 0; ж) 3e2
− 4e + 5 0;
в) 3m2
− 7m − 6 0; з) 3l2
− 11l − 4 0;
г) 3r2
− 2r + 5 0; и) 5v2
− 8v − 4 0;
д) 2u2
− 3u + 7 0; к) 2b2
+ 9b − 56 ≠ 0.
а) a2
− 2a + 3 0; е) t2
− t ≠ 6;
б) 4b − b2
5; ж) d(d + 5) 2(d2
+ 2);
в) x2
+ 9 6x; з) 11 − (z + 1)2
z;
г) (2 − y)y 1; и) (u + 4)(u + 5) − u 5;
д) c(c + 5) − 2 4c; к) 2v3
− 9v2
≠ 35v.
Народная
асвета

114
а) −2 + d − 3d2
0; е) n2
+ 2 3n − 1
8
n2
;
б) −5 + 4s − 3s2
0; ж) 6p2
+ 1 5p − 1
4
p2
;
в) 2a2
− 3a + 4 a2
+ 2a − 2; з) 2z(z − 1) 3(z + 1);
г) 2x2
− 2x − 7 x2
+ 5x − 17; и) 5
3
y − 1
6
y2
y + 1;
д) m(m + 1) 2(1 − 2m − m2
); к) 1
6
y2
+ 2
3
y − 1.
а) y = 2 2
− −t t ;
б) z = 2
9 3 22
a a− −
;
в) t = 2 3 5 2
b b− − ;
г) u = 7
7 48 72
c c− −
.
а) P = 2 3 52
x x− + ; в) R = j j2
4 4− + ;
б) Q =
2 7
12 3 12
n
n n
−
− − −
; г) S = 37
4 42
s s− +
.
а)
3 5
4
i +
− 1 i i−
+
2
3 2
2
; г) (m − 1)(4 − m) 0;
б)
32 8
2
− j
+ 4
2 3
4
j −
− 2j2
; д)
2
5
−
−
k
k
0;
в) (n − 3)(4 − n) 0; е)
l
l
−
−
5
8
0.
а) решениями неравенства x2
− 2x + a 0 являются все дей-
ствительные числа, если a 1;
б) неравенство y2
+ 2y + b 0 не имеет решений, если b 1.
359. Найдите все значения переменной s, при которых для
всех действительных чисел выполняется неравенство:
а) x2
− (s + 2)x + 4 0; б) (s2
− 1)t2
+ 2(s − 1)t + 2 0.
Народная
асвета

115
360. Установите, какими могут быть измерения прямо-
угольника, которые отличаются на 5, учитывая, что площадь
прямоугольника не меньше:
а) 14; б) 36; в) 66.
361. Одно основание трапеции равно 7. Установите, ка-
кими могут быть второе основание и высота, которая мень-
ше его на 1, учитывая, что площадь трапеции должна быть
не меньше:
а) 64; б) 154; в) 192.
362. Один из углов параллелограмма равен 150°. Определите,
какими могут быть его стороны, отличающиеся друг от друга
на 3, если площадь параллелограмма не меньше:
а) 2; б) 20; в) 252.
363. Велосипедист должен проехать 12 км по шоссе и затем
столько же по грунтовой дороге. Какой может быть скорость
велосипедиста по грунтовой дороге, если она на 2 км/ч мень-
ше скорости по шоссе, а время движения не должно превышать
1 ч 25 мин?
44444
364. Упростите выражение:
а) 9 5 1
2
а b
c
−
: 6 4 2
2
а c
b
−
; б)
14
15
5 1
2
x y
z
− −
−
18
7
6 3
4
x z
y
−
−
.
а)
0 04 125 0 2
4 25
2 4 1
8
, ,
;
− −
б)
3 7
1
9
1
21
49
10 5
2
8
−
−
.
366. Стороны вписанного в окружность угла отсекают от
нее дуги в 111° и 41°. Найдите этот вписанный угол.
367. Высота AB дуги XAY окружности с радиусом 15 м, ко-
торой ограничена ферма моста, равна 3 м (рис. 193). Найдите
длину XY пролета моста.
368. Один из углов равнобедренной трапеции равен 30°, а
высота, проведенная из вершины другого угла, делит большее
основание на отрезки, равные 5 см и 25 см. Найдите стороны
и площадь трапеции.
369. Диагональ трапеции является биссектрисой угла при
большем основании, образует с этим основанием угол, рав-
Народная
асвета

116
ный 45°, и перпендикулярна другой бо-
ковой стороне. Найдите периметр трапе-
ции, учитывая, что ее меньшая боковая
сторона равна 35 см.
370. Основания равнобедренной тра-
пеции и один из ее углов равны соответ-
ственно m, n и β. Найдите периметр и
площадь трапеции, учитывая, что:
а) m = 6 см, n = 8 см, β = 60°;
б) m = 12 дм, n = 8 дм, β = 30°;
в) m = 4 м, n = 8 м, β = 45°;
г) m = 40 мм, n = 90 мм, β = 150°.
371. На отрезке MN длиной 50 см выбрана точка Q, и
на полученных отрезках-частях MQ и NQ построены тре-
угольники MQP и NQR (рис. 194) с площадями 300 см2
и
705 см2
соответственно. Найдите основания этих треугольни-
ков, учитывая, что отрезок PR перпендикулярен прямой MN
и его конец P на 17 см ближе к этой прямой по сравнению
с концом R.
* * *
372. Натуральные числа a, b, c таковы, что числа a + b,
b + c, c + a все простые. Докажите, что среди чисел a, b, c есть
равные.
373. Отрезки AK и BM — медианы треугольника ABC. До-
кажите, что если ∠ CAK = ∠ CBM = 30°, то треугольник ABC
равносторонний.
Рис. 194
Рис. 193
Народная
асвета

117
374. Числа 5, 6, 7, 8 имеют то свойство, что каждое из
них представляется произведением различных простых чи-
сел в нечетных степенях: 5 = 51
, 6 = 21
31
, 7 = 71
, 8 = 23
. Какое
наибольшее количество последовательных натуральных чисел
имеет это свойство?
10. Системы неравенств
Ранее мы решали системы линейных неравенств. Теперь
будем рассматривать системы линейного и квадратного не-
равенств, квадратных неравенств.
Напомним, что требование Решить систему неравенств
(уравнений или уравнения и неравенства) означает Найти
все те значения переменных, при которых все условия,
записанные в системе, будут истинными.
А) Пример 1. Решим систему:
а)
24 2 0
5 4 3
2
+ −
− −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
a a
a a
,
;
б)
b b
b b
2
2
3 4
5 24
+
+
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
Как и при решении систем линейных неравенств, будем
использовать преобразования равносильности, т. е. такие
преобразования, при которых не изменяется множество ре-
шений системы. Для обозначения равносильных условий бу-
дем использовать знак ≡.
а) Имеем
24 2 0
5 4 3
2
+ −
− −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
a a
a a
,
;
≡
a a
a
2
2 24 0
2 1
− −
−
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
≡
( )( ) ,
.
a a
a
+ −
−
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
4 6 0
1
2
Представив решения каждо-
го неравенства рисунком 195,
выберем те значения перемен-
ной, которые удовлетворяют
каждому из условий системы,
и запишем ответ:
− −4 1
2
; .
б) Имеем
b b
b b
2
2
3 4
5 24
+
+
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
≡
b b
b b
2
2
4 3 0
5 24 0
− +
− −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
≡
( )( ) ,
( )( ) .
b b
b b
− −
+ −
⎧
⎨
⎩
1 3 0
3 8 0
Рис. 195
Народная
асвета

118
По рисунку 196, на котором
представлены решения первого
и второго неравенств последней
системы, записываем ответ:
(−3; 1] [3; 8).
Б) К системам неравенств сводятся и более сложные не-
равенства.
Пример 2. Решим неравенство
t t
t
2
2 15
2
+ −
−
0.
Дробь неположительна, когда ее числитель неположителен,
а знаменатель положителен или когда числитель неотрицате-
лен, а знаменатель отрицателен, т. е. когда истинна система
t t
t
2
2 15 0
2 0
+ −
−
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
или система
t t
t
2
2 15 0
2 0
+ −
−
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
Решим первую систему:
t t
t
2
2 15 0
2 0
+ −
−
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
≡
( )( ) ,
.
t t
t
+ −
−
⎧
⎨
⎩
5 3 0
2 0
Рисунок 197 позволяет записать решение системы: (2; 3].
Решим теперь вторую систему:
t t
t
2
2 15 0
2 0
+ −
−
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
≡
( )( ) ,
.
t t
t
+ −
−
⎧
⎨
⎩
5 3 0
2 0
Из рисунка 198 видно, что решением второй системы яв-
ляется промежуток (− ; −5].
Решениями исходного неравенства являются числа как
промежутка (2; 3], так и промежутка (− ; −5].
Ответ. (− ; −5] (2; 3].
В) Пример 3. Решим неравенство
t t
t t
2
2
2 15
4 2
+ −
− −( )( )
0.
Рис. 196
–5 2 3
Рис. 197
–5 2 3
Рис. 198
Народная
асвета

119
Это неравенство можно решать,
как и в примере 2, перебором слу-
чаев. Рассмотрим здесь иной способ
решения данного неравенства. Его
можно записать так:
( )( )
( ) ( )
t t
t t
− +
− +
3 5
2 22
0.
Числа 3, –5, 2, и –2, при которых значения числителя или
знаменателя выражения в левой части равны нулю, разделя-
ют координатную прямую на 5 промежутков (рис. 199). Уста-
новим, какой знак имеет значение функции y =
( )( )
( ) ( )
t t
t t
− +
− +
3 5
2 22
на
каждом из них. Этот знак определяется знаками значений
выражений t – 3, t + 5, t – 2 и t + 2.
Пусть значение переменной t принадлежит самому право-
му промежутку (3; + ), т. е. истинно неравенство t 3. Тогда
все двучлены t − 3, t + 5, t + 2 и t − 2 положительны, а поэтому
на промежутке (3; + ) значения функции y положительны
(рис. 200).
Пусть переменная t переходит из промежутка (3; + ) в со-
седний слева промежуток (2; 3) (рис. 201). Тогда значение дву-
члена t − 3 с положительного через нулевое становится отри-
цательным (рис. 202), а остальные двучлены своих знаков не
меняют. Поскольку в произведении
( )( )
( ) ( )
t t
t t
− +
− +
3 5
2 22
только один
множитель меняет свой знак на противоположный, то знак
произведения меняется на противоположный. Поэтому на про-
межутке (2; 3) значения функции y отрицательны (рис. 203).
Пусть переменная t переходит через точку t = 2 из проме-
жутка (2; 3) в соседний слева промежуток (−2; 2) (рис. 204). Тог-
да значение двучлена t − 2 с положительного через нулевое ста-
Рис. 200
Рис. 201
Рис. 202
Рис. 203
Рис. 199
Народная
асвета

120
новится отрицательным (рис. 205), остальные двучлены t + 5,
t + 2 и t − 3 при этом сохраняют свои знаки. Однако при этом
выражение
( )( )
( ) ( )
t t
t t
− +
− +
3 5
2 22 своего знака не изменяет, поскольку
в нем присутствует два множителя t – 2. Поэтому на промежутке
(–2; 2) значения функции y остаются отрицательными (рис. 206).
Если переменная t переходит через точку t = –2 из
промежутка (–2; 2) в соседний слева промежуток (–5; –2),
то значение двучлена t + 2 с положительного через нулевое
становится отрицательным (рис. 207). В выражении
( )( )
( ) ( )
t t
t t
− +
− +
3 5
2 22
только один множитель меняет свой знак на противополож-
ный. Поэтому на промежутках (–5; –2) и (–2; 2) значения
выражения
( )( )
( ) ( )
t t
t t
− +
− +
3 5
2 22
имеют противоположные знаки (рис. 208).
Пусть теперь переменная t переходит через точку t = –5 из
промежутка(–5;–2)всоседнийслевапромежуток(– ;–5).При
этом значение только одного двучлена t + 5 из положительного
через нулевое становится отрицательным, остальные двучлены
t – 3, t – 2 и t + 2 своих знаков не изменяют. Снова только
один множитель в выражении
( )( )
( ) ( )
t t
t t
− +
− +
3 5
2 22
меняет свой знак.
Поэтому и значения выражения на промежутках (– ; –5) и
(–5; –2) имеют противоположные знаки (рис. 209).
Учитывая, что в соответствии с условием нас интересуют
те промежутки, на которых функция y принимает значения
не больше нуля, по окончательному рисунку 209 выписываем
ответ: (– ; –5] (–2; 2) (2; 3].
Рис. 208
Рис. 209Рис. 206
Рис. 207Рис. 204
Рис. 205
Народная
асвета

121
Обобщение проведенных здесь рассуждений позволяет
обосновать один из методов решения неравенств, который на-
зывают методом интервалов.
Г) При решении задач бывает полезно использовать гео-
метрические представления.
Пример 4. Найдем, при каких значениях переменной p
один корень квадратного трехчлена s2
− (2p + 3)s + 3p − 2 мень-
ше 2, а другой — больше 2.
Обратим внимание на то, что графиком
функции z = s2
− (2p + 3)s + 3p − 2 являет-
ся парабола с ветвями, направленными
вверх. В соответствии с условием этот гра-
фик должен пересекать ось абсцисс в двух
точках с абсциссами s1 и s2, причем про-
межуток (s1; s2) должен содержать число 2
(рис. 210). Поэтому при значении пере-
менной s, равном 2, квадратный трех-
член s2
− (2p + 3)s + 3p − 2 должен прини-
мать отрицательное значение. Понятно, что и наоборот, ес-
ли при s, равном 2, квадратный трехчлен s2
− (2p + 3)s + 3p − 2
принимает отрицательное значение, то одна ветвь парабо-
лы пересечет ось абсцисс в точке s1, меньшей 2, а вторая —
в точке s2, большей 2. Значит, искомые значения перемен-
ной p — это решения неравенства 22
− (2p + 3) 2 + 3p − 2 0,
т. е. числа промежутка (−4; + ).
Ответ. При p −4.
? 1. Какое число называют решением системы неравенств?
2. Что означает требование Решить систему неравенств?
3. Какие преобразования используются при решении системы нера-
венств?
а)
x x
x x
− −
− − +
⎧
⎨
⎩
5 7 2
5 2 1
,
;
г)
2 1 5 4
7 3 3
x x
x x
− +
+ − +
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
2 3 7 3
3 2 3
x x
x x
+ −
+ − +
⎧
⎨
⎩
,
;
д)
− − −
− − −
⎧
⎨
⎩
x x
x x
3 1 2
3 2 9 5
,
;
в)
3 5 6 7
1 2 5
x x
x x
+ −
− − +
⎧
⎨
⎩
,
;
е)
2 1 1 2
3 1 2
( ) ,
.
x x
x x
+ +
+ − +
⎧
⎨
⎩
Рис. 210
Народная
асвета

122
а)
− +
− − +
⎧
⎨
⎩
5 7 2 1
5 2 7
x
x x
,
;
г)
− +
− − +
⎧
⎨
⎩
1 3 4 11
2 3 6
x
x x
,
;
б)
2 3 1
3 2 3
− + −
− − +
⎧
⎨
⎩
x
x x
,
;
д)
5 2 3 1
3 2 9 5
− +
− − −
⎧
⎨
⎩
x
x x
,
;
в)
4 3 5 10
3 2 6
x
x x
−
− − +
⎧
⎨
⎩
,
;
е)
3 1 2 5
1 3 5
+ −
+ − +
⎧
⎨
⎩
x
x x
,
.
а)
x x
x x
2
5 6 0
5 3 9
− +
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
− − +
+ − −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
x x
x x
2
12 0
7 2 8
,
;
б)
x x
x x
2
6 0
3 2 9
− −
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
д)
− + −
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 5 2 0
5 4 2
2
x x
x x
,
;
в)
2 5 7 0
5 2 4
2
x x
x x
− +
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
е)
− − +
+ − −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
x x
x x
2
6 0
7 2 2
,
.
а)
x x
x x
2
2
5 6 0
2 8 0
+ +
+ −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
2 5 18 0
9 0
2
2
x x
x
+ −
− +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
− − +
+ −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
x x
x x
2
2
3 10 0
2 3 0
,
;
д)
− − +
− + +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 10 0
5 6 0
2
2
x x
x x
,
;
в)
− + −
− + +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 5 3 0
5 14 0
2
2
x x
x x
,
;
е)
3 5 2 0
5 4 0
2
2
x x
x x
− −
− + −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
а)
2 4
1
3 5
1
6 9 2
x
x
x
x
x x
+
−
−
−
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
x x
x
x x
x
x x
2 2
5 2
2
2 5 5
2
3 2 5 4
− +
−
− +
−
+ − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
x x
x
x x
x
x x
2 2
2 4
1
5 5
1
6 9 4
− +
−
− +
−
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
д)
2
1
3
2
2 3 5 4
x x
x x
− −
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
в)
2 3 6
2
3 5
2
2 2
3 2 6
x x
x
x x
x
x x
− +
+
− +
+
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
е)
2 1
1
4 3
1 2
1 2 9 5
x
x
x
x
x x
−
+
− +
−
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
Народная
асвета

123
а)
2 4
1
2
3 2 7 2
x
x
x x
+
−
+ −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
2 3
2
2 5
1
0
3 2 4 3
x
x
x
x
x x
−
−
+
+
−
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
6 1
2 1
3 4
2
5 8 4
x
x
x
x
x x
+
−
+
+
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
д)
2 3
1
3 1
2
1
2 3 5 4
x
x
x
x
x x
+
−
−
−
+
− − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
в)
2
3
3
2
3 2 2 3
x x
x x
−
−
+
+ − +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
е)
x
x
x
x
x x
−
+
− +
+
+
+ +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1
1
4 3
3 2
3
2 3 8 5
,
.
а) (x + 3)(x − 5) 0; г) (x + 3)(x − 5) 0;
б) (x + 3)(x − 5) 0; д) (x + 3)(x − 5) ≠ 0;
в) (x + 3)(x − 5) 0; е) (x − 3)(x − 5) 0.
а)
a
a
+
−
3
5
0; г)
1 2 4
2
, d
d
+
−
0; ж)
( )( )
( )
2 1 1
2
g g
g
+ +
−
0;
б)
b
b
−
+
1
4
0; д)
3 6
4 12
e
e
+
−
0; з)
( )( )
( )
h h
h
+ −
+
1 3
2
0;
в)
1
3
1
7
c
c
+
+
0; е)
3 1
4 3
f
f
−
−
0; и)
2 1
2 1
i
i i
−
− −( )( )
0.
а)
3 2
3
x
x
+
−
1; г)
5 4
2 3
x
x
−
−
2; ж)
6 1
5 3
x
x
+
+
7
8
;
б)
5 4
2
x
x
+
−
1; д)
7 9
2 6
x
x
−
+
−1; з)
3 2
5 1
x
x
−
+
2;
в)
0 5 7
2 3
, x
x
+
+
1; е)
3 1
5
x
x
−
−
2; и)
− +
+
x
x
3
2 1
− 3
4
.
384. Укажите те значения аргумента x, при которых
график функции:
а) y =
3 1
3 1
x
x
−
+
расположен выше графика функции y =
x
x
+
+
9
3
;
б) y =
3 1
3 1
x
x
+
−
−
3 1
3 1
x
x
−
+
расположен не выше графика функции
y = 12
1 9 2
− x
.
Народная
асвета

124
а)
− + +⎧
⎨
⎪
⎩⎪
5 3 2 0
0
2
m m
m
,
;
в)
p p
p p
2
2
6 0
2 3 0
+ −
− + +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
2 5 4 0
0
2
n n
n
+ +⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
g g
g g
2
2
4 5 0
2 8 0
+ −
− −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
а)
a a
a a
2
2
6 0
6 5 0
+ −
+ +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
в)
c c
c c
2
2
2 35 0
10 9 0
− −
+ +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
b b
b b
2
2
8 7 0
2 8 0
− +
− −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
d d
d d
2
2
9 8 0
7 18 0
+ +
+ −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
а) 0 4a2
+ 4a 3; в) 0 c2
− 3c + 2 6;
б) 8 b2
− 6b + 8 15; г) 5 d2
− 8d + 25 18.
а)
x x
x x
2
2
2 3 0
11 28 0
− −
− +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
в)
3 4 1 0
3 5 2 0
2
2
y y
y y
− +
− +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
2
1
2
1
1
2
−
+
−
+
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
z
z
z
z
,
;
г)
3 7 8
1
3 7 8
1
2
2
2
2
1
2
w w
w
w w
w
− +
+
− +
+
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
,
.
а) g4
− 12g2
+ 36 0; в) e4
− 13e2
+ 36 0;
б) 16h4
− 24h2
+ 9 0; г) f4
− 2f2
− 15 0.
а)
x x
x
2 2
2
1
−
+
0; в) (t − 3)2
+ 1
6 92
t t− +
2;
б) 1
2 2
( )t −
− 6
2t −
+ 9 0; г) a2
+
a a
a a
2
2
8 16
2 1
− +
− +
8 2
1
2
a a
a
−
−
.
а) (b + 4)(b − 5)(b − 9) 0; г) (b + 4)b(b − 9) 0;
б) (b + 4)(b − 5)(b − 10) 0; д) (b + 3)(b + 1)(b − 4) ≠ 0;
в) (b + 4)(b − 1)(b − 9) 0; е) (b + 8)(b + 5)(b + 1) 0.
Народная
асвета

125
а)
( )( )k k
k
+ −
−
3 2
1
0; г)
( )( )
( )
n n
n
+ −
+
3 2
2 2
0;
б)
( )
( )( )
e
e e
+
− −
1
3 5
3
0; д)
( ) ( )
( )( )
p p
p p
+ −
+ −
8 1
5 2
4 3
2
0;
в)
( ) ( )
( )
m m
m
+ −
−
6 4
7
3
5
0; е)
− +
−
( )
( )
g
g g
4
4
4
2 6
0.
а)
a a
a
2
2
2 3
2
− +
−( )
0; в)
c c
c
2
2
9
−
−
0; д)
l
l l
3
2
8
5 6
−
− +
0;
б)
( )b
b b
+
− +
4
2 3 1
2
2
0; г)
9 4
2
2
2
d
d d
−
−
0; е)
f
f f
3
2
27
2 3 9
+
− −
0.
а) a
a − 2
+ 3
a
3
2a −
; г) b
b b
2
2
3+
+
2
3
−
+
b
b
5 − b
b
;
б) 2
2c −
3
2c +
; д) 3
3 2
− d
2
3 − d
;
в) 9
2 2e +
+ e
e − 1
1 3
2 2
−
−
e
e
; е) 3
12
f −
− 1
2
3
2 2f −
.
395. Укажите те значения аргумента x, при которых зна-
чения функции y = (x + 3)(x − 2)2
(x + 1)3
(x − 4)4
являются:
а) отрицательными; г) не отрицательными;
б) положительными; д) не положительными;
в) равными нулю; е) не равными нулю.
а) (a + 1)2
(a − 6) 0; г) (a + 1)2
(a − 6) 0;
б) (a + 1)3
(a − 6) 0; д) (a + 1)3
(a − 6)2
0;
в) (a + 1)2
(a − 6) ≠ 0; е) (a + 1)3
(a − 6)2
0.
а) (j − 7)(j − 2)(j2
− 9) 0; г) (m + 6)m(m3
− 216) 0;
б) (k + 3)(k − 4)(k2
− 16) 0; д) (n2
− 169)(n + 13)(n − 13) 0;
в) (l − 4)(l + 7)(l2
− 49) 0; е) (q3
− 8)(q2
− 2)(q + 2) 0.
398. Найдите те значения переменной b, при которых урав-
нение (b + 7)z2
+ 2(b − 1)z + 4 = 0 имеет не более одного корня.
Народная
асвета

126
399. Найдите, при каких значениях переменной g урав-
нение gy2
− 2(g − 1)y + 5 − 3g = 0 имеет единственный корень
меньше 1.
400. Найдите, при каких значениях переменной b один
корень уравнения y2
− (3b + 5)y + 2b − 1 = 0 меньше 1, а другой
больше 1.
401. Найдите те значения переменной n, при которых
один корень уравнения 2nz2
− 2z − (3n + 2) больше 2, а дру-
гой меньше 2.
402. Найдите те значения переменной c, при которых урав-
нение z2
− 2(c + 3)z − c2
+ 2c − 2 = 0 имеет два корня, и установи-
те, какие знаки имеют эти корни в зависимости от значения
переменной c.
403. Найдите, при каких значениях переменной a оба кор-
ня уравнения (a + 2)s2
− (4a + 6)s − 3a − 6 = 0 больше 1.
404. Найдите множество значений функции y =
t t
t t
2
2
5 6
1
+ −
− +
.
44444
405. Докажите, что рациональным числом является зна-
чение выражения:
а) 5 2 6
2
+ + 5 2 6
2
− ;
б) 7 2 10 7 2 10
2
+ + − .
406. Используя тождество a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
), до-
кажите, что значение выражения:
а) 173
− 113
кратно 6; д) 663
+ 343
кратно 400;
б) 613
+ 193
кратно 16; е) 543
− 243
кратно 1080;
в) 413
+ 193
кратно 60; ж) 2195
− 1085
кратно 37;
г) 793
− 293
не кратно 100; з) 347
+ 417
кратно 25.
а) 3 sin 60° ctg 45° tg 30° – 2sin 30°;
б) 3cos 45° ctg 60° tg 60° – 3sin 45°;
в)
6 30 30
30 302 2
sin cos
cos sin
;
° °
° − °
г)
1 2 60
2 60 1
2
2
− sin
cos
.
°
° −
Народная
асвета

а) tg(90° – α) tg(180° – α) – cos(90° + α) sin(180° – α);
б) сtg(90° + β) ctg(180° – β) – ctg(90° – β) tg(180° – β);
в) cos(90° + λ) sinλ + sin2
(180° – λ) + tg(180° – λ) tg(90° + λ);
г) cos(180° – ω) ctg(90° + ω) + cos(90° + ω) ctg(180° – ω).
409. Найдите вписанный угол AMB, который на 47° мень-
ше соответствующего центрального угла AOB.
410. Точки A, B, C и D окружности делят ее на дуги, ко-
торые относятся как 1 : 2 : 3 : 4. Найдите возможные значения
угла между прямыми AB и CD.
411. Основания PS и QR трапеции PQRS соответственно рав-
ны 11 и 5. Через точку A боковой стороны PQ, которая делит ее
в отношении 7 : 5, если считать от точки P, проведена прямая,
параллельная основаниям. Найдите отрезок AB этой прямой, за-
ключенный внутри трапеции.
412. Стороны треугольника равны 29 м, 616 м и 631 м.
Найдите больший угол треугольника и высоту, проведенную
к большей стороне.
* * *
413. На сторонах треугольника ABC взяты точки M,
N, K так, что ∠ BMN = ∠CKN, ∠BNM = ∠AKM, ∠AMK =
= ∠CNK (рис. 211). Докажите, что точки M, N, K — середи-
ны сторон.
414. Докажите, что если на-
туральные числа m и n удовлетво-
ряют неравенству m
n
5, то они
удовлетворяют и неравенству 5 −
− m
n
1
4mn
.
415. На поверхности куба проведена замкнутая ломаная
из восьми звеньев, вершины которой совпадают с вершинами
куба. Какое наименьшее количество звеньев этой ломаной мо-
жет совпадать с ребрами куба?
Рис. 211
Народная
асвета

128
11. Свойства треугольника
А) С треугольником, который является простейшей из
многоугольных фигур, связаны многие методы доказатель-
ства в геометрии. Любой многоугольник можно разделить
на треугольники, поэтому при установлении свойств много-
угольника используются свойства треугольника. Для доказа-
тельства равенства отрезков или углов бывает удобно вклю-
чить их в некоторые треугольники и доказать равенство этих
треугольников. Сочетание треугольника еще с одной фигу-
рой — окружностью — дает ряд новых свойств, имеющих раз-
нообразные применения.
Вы уже знаете многие свойства треугольника. Напом-
ним их.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°;
внешний угол треугольника равен сумме двух внутрен-
них углов, не смежных с ним;
каждая сторона треугольника меньше суммы и больше
разности двух других сторон;
против большей стороны треугольника лежит больший
угол, а против большего угла лежит большая сторона;
средняя линия треугольника параллельна одной из его
сторон и равна ее половине;
медианы треугольника пересекаются в одной точке, кото-
рая делит их в отношении 2 : 1, если считать от вершины;
биссектриса треугольника делит противолежащую сто-
рону на части, пропорциональные прилежащим сторонам;
площадь треугольника равна половине произведения сто-
роны и проведенной к ней высоты, или половине произведения
двух его сторон и синуса угла между ними, или квадратному
корню из произведения полупериметра и трех разностей
Народная
асвета

129
полупериметра с каждой стороной, или произведению полу-
периметра и радиуса вписанной окружности.
Установим новые свойства треугольника.
Б) Теорема 1. Стороны треугольника пропорциональны
синусам противоположных углов.
Доказательство. Пусть a, b, c — длины сторон BC, CA,
AB треугольника ABC (рис. 212). Докажем, что a
Asin
= b
Bsin
=
= c
Csin
.
В соответствии с теоремой о площади треугольника для
этой площади S получаем:
S = 1
2
bcsin A; S = 1
2
acsinB;
S = 1
2
absinC.
Два первых равенства дают ра-
венство
1
2
bcsinA = 1
2
acsinB,
откуда
a
Asin
= b
Bsin
.
Так же из второго и третьего равенств получаем:
b
Bsin
= c
Csin
.
Значит,
a
Asin
= b
Bsin
= c
Csin
.
Доказанное утверждение называют теоремой синусов.
В некоторых книгах теоремой синусов называют более силь-
ное утверждение, которое выражается равенством
a
Asin
= b
Bsin
= c
Csin
= 2R,
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Теорема 2. Отношение стороны треугольника к синусу
противолежащего угла равно диаметру окружности, опи-
санной около этого треугольника.
Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, O —
центр описанной около него окружности (рис. 213). Докажем,
что каждое из трех отношений a
Asin
, b
Bsin
и c
Csin
равно
Рис. 212
Народная
асвета

130
диаметру этой окружности. Проведем диаметр BK и рассмо-
трим прямоугольный треугольник KBC, который с данным
треугольником ABC имеет общую сторону BC. Если вершины A
и K этих треугольников лежат по одну сторону от прямой BC
(см. рис. 213), то углы A и K равны, а если по разные стороны
(рис. 214), то углы A и K вместе дают 180°. В обоих случа-
ях sin ∠A = sin ∠K. Поэтому BC
BACsin
= BC
BKCsin
. А поскольку
BC = BK sin BKC, то BC
BACsin
= BK = 2R.
Тогда, поскольку по теореме 1 BC
A
AC
B
AB
Csin sin sin
,= = то AC
Bsin
=
=2R и AB
Csin
= 2R.
В) Теорема 3. Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного
произведения этих сторон и косинуса угла между ними.
Доказательство. Пусть a, b, c — длины сторон BC, CA, AB
треугольника ABC (рис. 215). Докажем, что
c2
= a2
+ b2
– 2abcosC.
Введем систему координат.
Вершину C возьмем за начало
координат, прямую, которая со-
держит сторону AC, — в качестве
оси абсцисс. Положительное на-
правление на осях выберем та-
ким образом, чтобы треугольник
ABC оказался в верхней полупло-
скости. Единичный отрезок вы-
Рис. 213 Рис. 214
Рис. 215
Народная
асвета

131
берем с учетом того, что длина отрезка AC равна b. Тогда
получим: A(b; 0), B(acosC; asinC).
По формуле расстояния между точками можем записать:
AB2
= (b – acos C)2
+ (0 – asinC)2
.
Проведем тождественные преобразования этой формулы,
учитывая, что AB = c:
c2
= b2
− 2abcosC + a2
cos2
C +
+ a2
sin2
C = b2
+ a2
(cos2
C + sin2
C) −
− 2abcosC = a2
+ b2
− 2abcosC.
Теорему 3 называют теоремой
косинусов. Эта теорема обобща-
ет теорему Пифагора. Действи-
тельно, если угол C треугольника
ABC прямой (рис. 216), то cos C =
= cos 90° = 0, и поэтому формула
c2
= a2
+ b2
− 2ab cos C превращает-
ся в формулу c2
= a2
+ b2
.
Следствие. Данный угол треугольника является:
а) прямым, если квадрат противолежащей стороны
равен сумме квадратов двух других сторон;
б) острым, если квадрат противолежащей стороны
меньше суммы квадратов двух других сторон;
в) тупым, если квадрат противолежащей стороны
больше суммы квадратов двух других сторон.
Доказательство. Пусть a, b, c — длины сторон BC, CA, AB
треугольника ABC. Тогда теорема косинусов позволяет запи-
сать:
c2
= a2
+ b2
– 2abcos C. (1)
а) Если c2
= a2
+ b2
, то из этого равенства и равенства (1)
получим, что 2abcosC = 0. Значит, cosC = 0, или C = 90°.
б) Если c2
a2
+ b2
, то из равенства (1) получим, что
2abcosC 0, или cosC 0, значит, 0° C 90°.
в) Если c2
a2
+ b2
, то из равенства (1) получим, что
2abcosC 0, или cos C 0, значит, 90° C 180°.
Установленные теоремы синусов и косинусов позволяют
решать треугольник, т. е. находить его неизвестные сторо-
ны и углы по трем данным элементам, определяющим тре-
угольник. Рассмотрим некоторые примеры, в которых сто-
Рис. 216
Народная
асвета

132
роны AB, BC, CA против углов C, A, B обозначаются c, a, b
соответственно.
Г) Пример 1. Решим треугольник, у которого известны две
стороны и угол между ними: a = 47, b = 56, ∠ C = 82°.
Сначала, используя теорему косинусов, найдем третью
сторону c:
c = a b ab C2 2
2+ − cos = 47 56 2 47 56 822 2
+ − °cos ≈
≈ 2209 3136 5264 0 1392+ − , ≈ 5345 732 7− , =
= 4612 3, ≈ 67,9.
Теперь, используя теорему синусов, найдем углы A и B:
sin A =
a C
c
sin
=
47 82
67 9
sin
,
°
≈
47 0 9903
67 9
,
,
≈ 0,6855;
∠A ≈ 43,273° ≈ 43°16′;
sin B =
b C
c
sin
=
56 82
67 9
sin
,
°
≈
56 0 9903
67 9
,
,
≈ 0,8167;
∠B ≈ 54,760° ≈ 54°46′.
Для проверки вычислений найдем сумму внутренних
углов треугольника:
∠A + ∠B + ∠C = 43°16′ + 54°46′ + 82° = 179°62′ = 180°2′.
Расхождение в 2′ с ожидаемой суммой в 180° вызвано
округлениями, которые проводились при вычислениях.
Отметим, что после того, как была найдена третья сто-
рона, углы A и B можно найти и по теореме косинусов:
cos A =
b c a
bc
2 2 2
2
+ −
=
56 67 9 47
2 56 67 9
2 2 2
+ −,
,
≈ 0,7281; A ≈ 43°16′;
cos B =
a c b
ac
2 2 2
2
+ −
=
47 67 9 56
2 47 67 9
2 2 2
+ −,
,
≈ 0,5771; B ≈ 54°45′.
Д) Пример 2. Решим треугольник, у которого известны
сторона и прилежащие к ней углы: a = 73, ∠B = 110°36′,
∠C = 37°9′.
Сначала, используя свойство внутренних углов треуголь-
ника, найдем третий угол A:
∠A = 180° − (∠B + ∠C) = 180° − (110°36′ + 37°9′) = 32°15′.
Народная
асвета

133
Далее по теореме синусов находим стороны b и c:
b =
a B
A
sin
sin
=
73 110 36
32 15
sin
sin
°
°
=
73 110 6
32 25
sin ,
sin ,
°
°
≈
73 0 9361
0 5336
,
,
≈ 128;
c =
a C
A
sin
sin
=
73 37 9
32 15
sin
sin
°
°
=
73 37 15
32 25
sin ,
sin ,
°
°
≈
73 0 6039
0 5336
,
,
≈ 82,6.
Отметим, что после того, как была вычислена сторона b,
сторону c можно найти и по теореме косинусов:
c = a b ab C2 2
2+ − cos = 73 128 2 73 128 37 92 2
+ − °cos ≈
≈ 21713 18 688 0 7971− , ≈ 6816 8, ≈ 82,6.
Е) Задача 1. Докажем, что для острых углов α и β вер-
ны формулы
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsin ββ и
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinββ (при α β).
Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC, в котором
высота CD, равная 1, образует углы α и β со сторонами, меж-
ду которыми она проведена (рис. 217). Имеем:
AC BC AD BD= = = =1 1
cos cos
, , ,
α β
α βtg tg и AB = +tg tgα β.
Найдем удвоенную площадь треугольника ABC двумя спо-
собами:
2S AB CD= = +tg tgα β;
2 1 1
S AC BC ACB= = +sin sin( ).
cos cos
∠
α β
α β
Поэтому
1 1
cos cos
sin( ) .
α β
α β α β+ = +tg tg
Если обе части этого равенства домножить на cosα cosβ и
учесть, что tgαcosα = sinα, а tgβcosβ = sinβ, то получим, что
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ.
Проведите аналогичные рассуждения и, используя рису-
нок 218, обоснуйте вторую формулу.
Рис. 217 Рис. 218
Народная
асвета

134
? 1. Сформулируйте свойство внутренних углов треугольника; внешнего
угла треугольника.
2. Сформулируйте свойство сторон треугольника.
3. Что можно сказать об углах треугольника, если: противолежащие им
стороны равны; одна из противолежащих им сторон больше другой?
4. Что можно сказать о сторонах треугольника, если: противоле-
жащие им углы равны; один из противолежащих им углов больше
другого?
5. Сформулируйте свойства средней линии треугольника; свойство точ-
ки пересечения медиан треугольника; свойство биссектрисы треуголь-
ника.
6. Запишите формульное выражение площади треугольника через сто-
рону и проведенную к ней высоту; через две стороны и угол между ними;
через стороны; через полупериметр и радиус вписанной окружности.
7. Сформулируйте теорему синусов.
8. Как связаны между собой сторона треугольни-
ка, противолежащий ей угол и радиус окружности,
описанной около этого треугольника?
9. Сформулируйте теорему косинусов.
10. Как по длинам сторон треугольника определить
вид того или иного его угла?
11. Что означает задание Решить треугольник?
416. Углы A и B треугольника ABC
соответственно равны 30° и 45°. Найдите
отношение сторон AC : BC.
417. Найдите периметр треугольника,
одна сторона которого равна 6 см, а при-
лежащие к ней углы — 45° и 60°.
418. Найдите отмеченные красным
цветом сторону или угол треугольника по
сведениям, указаным на рисунке:
а) 219; в) 221;
б) 220; г) 222.
419. Найдите отмеченные красным
цветом стороны или углы треугольника
по сведениям, указаным на рисунке:
а) 223; г) 226;
б) 224; д) 227.
в) 225;
Рис. 222
Рис. 219
Рис. 220
Рис. 221
Народная
асвета

135
420. Две стороны треугольника и угол между ними соот-
ветственно равны 23 м, 120 м и 120°. Найдите:
а) третью сторону и два других угла треугольника;
б) площадь треугольника;
в) высоты треугольника;
г) биссектрису, проведенную к большей стороне.
421. Найдите радиус окружности, описанной около тре-
угольника, у которого:
а) сторона равна 10, а противолежащий угол — 120°;
б) сторона равна m, а прилежащие к ней углы — α и β;
в) две стороны равны a и b, а высота, проведенная к третьей
стороне, — h.
422. С помощью калькулятора или таблиц найдите неиз-
вестные стороны треугольника ABC, учитывая, что:
а) ∠B = 40°; ∠C = 80°; a = 36;
б) ∠A = 50°; ∠B = 70°; a = 4,2;
в) ∠A = 50°; ∠B = 68°; c = 28;
г) ∠A = 37°; ∠C = 71°; c = 4,8.
423. Для определения высоты GH дерева, основание кото-
рого недоступно, выбрали две точки E и F на расстоянии 10 м
одна от другой и измерили углы γ и δ, под которыми видна
Рис. 223 Рис. 224 Рис. 225
Рис. 226
Рис. 227
Народная
асвета

136
вершина G дерева из этих точек
(рис. 228). Найдите высоту дере-
ва, учитывая, что:
а) γ = 25° и δ = 20°;
б) γ = 33° и δ = 25°;
в) γ = 15° и δ = 11°;
г) γ = 35° и δ = 27°.
424. Найдите третью сторону
треугольника ABC, учитывая,
что:
а) AB = 3, AC = 5 и ∠A = 120°;
б) AB = 22, AC = 7 3 и ∠A = 30°;
в) AB = 3 2, AC = 7 и ∠A = 45°;
г) AB = 1, AC = 7 3 и ∠A = 150°.
425. Установите вид треугольника по величине его углов,
учитывая, что стороны треугольника равны:
а) 2; 3; 4; в) 5; 6; 7; д) 1
3
; 1
4
; 1
5
;
б) 3; 4; 5; г) 5; 6; 8; е) 5; 6; 8.
426. Найдите углы треугольника со сторонами:
а) 5; 7; 8; в) 7; 13; 5 3;
б) 7; 17; 8 2; г) 5; 7; 2 3.
427. Найдите углы треугольника со сторонами:
а) 6; 3 2; 24; в) 1; 5; 3 2;
б) 7; 13; 15; г) 9; 2 3; 7 3.
428. С помощью калькулятора или таблиц найдите неиз-
вестные стороны и углы треугольника ABC, учитывая, что:
а) a = 630; b = 630; ∠C = 52°54′;
б) ∠A = 87°20′; a = 49,7; b = 26,2;
в) ∠B = 48°15′; ∠C = 67°48′; a = 73,9;
г) ∠C = 62°48′; b = 102; c = 77,8;
д) b = 320; c = 230; ∠A = 86°42′;
е) a = 6,37; b = 7,48; c = 8,59.
429. Сторона AB треугольника ABC равна 6, а синусы
углов B и C — 0,8 и 0,6 соответственно. Найдите длины дру-
гих сторон треугольника.
Рис. 228
Народная
асвета

137
430. Одна сторона треугольника равна 2, а прилежащие
к ней углы — α и β. Найдите периметр треугольника, учи-
тывая, что:
а) cosα = 0,8 и cosβ = –0,5;
б) sinα = 0,5 и cosβ = 0,6;
в) sinα = 0,6 и sinβ = 0,5.
431. Два угла треугольника равны 30° и 45°, а высота, про-
веденная из вершины большего из них, — 6 м. Найдите сто-
роны и две другие высоты треугольника.
432. Используя теорему Птолемея, докажите:
а) теорему косинусов;
б) формулы синуса суммы и синуса разности.
433. В равнобедренном треугольнике основание равно а, бо-
ковая сторона — b, а высота, проведенная к основанию, — h.
Выразите радиус окружности, описанной около треугольни-
ка, через каждые две из трех данных величин.
434. Измерения прямоугольника равны 4 и 6. Найдите ра-
диус окружности, которая проходит через две противополож-
ные вершины и середину:
а) большей стороны; б) меньшей стороны.
435. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5.
Найдите радиус окружности, которая проходит через вер-
шины острых углов и середину
большего катета.
436. Гипотенуза и острый угол
прямоугольного треугольника рав-
ны c и ϕ. Найдите биссектрисы
углов треугольника.
437. Дима находится на рас-
стоянии 45 м от башни, высо-
ту которой он хочет определить
(рис. 229). Основание башни он
видит под углом 2°, а верши-
ну — под углом 48°. Какова вы-
сота башни?
438. На горе находится выш-
ка высотой 89 м (рис. 230). Не-
который предмет P около горы Рис. 229
Народная
асвета

138
наблюдают с вершины A выш-
ки, затем с ее основания B и в
результате получают величины
56° и 27° соответственно. Най-
дите высоту h горы.
439. Чтобы определить шири-
ну реки, на одном берегу выбра-
ли две точки A и B на расстоянии
60 м одну от другой и измерили
углы, которые составляет на-
правление AB с направлениями
AC и BC. Они оказались равными
12°30′ и 72°42′ (рис. 231). Какова
ширина реки?
440. Дан квадрат со сторо-
ной a. Найдите радиус окруж-
ности, проходящей через его
центр, вершину и середину сто-
роны, которая не выходит из
этой вершины.
441. Вычислите:
а) sin 15°; б) sin 75°.
442. Найдите биссектрисы
треугольника, учитывая, что
одна его сторона равна a, а при-
лежащие к этой стороне углы —
β и γ.
443. На основании AB равнобедренного треугольника ABC
отметили точку K. Докажите, что окружности, описанные
около треугольников ACK и BCK, равны.
444. В непрямоугольном треугольнике ABC высоты пере-
секаются в точке H. Докажите, что окружности, описанные
около треугольников ABC и ABH, симметричны относительно
прямой AB.
445. Из точки K опущены перпендикуляры KM и KN на
стороны угла ABC величиной 60°. Найдите длину отрезка
MN, учитывая, что KB = a.
446. В окружность вписан треугольник ABC, у которого
AB = 2 3. Найдите величину угла C, учитывая, что центр
окружности находится на расстоянии 1 от стороны AB:
а) внутри треугольника; б) вне треугольника.
Рис. 230
Рис. 231
Народная
асвета

139
447. Сторона треугольника и прилежащие к ней углы рав-
ны 121 мм, 75° и 64°. С помощью калькулятора или таблиц
найдите другие стороны и площадь треугольника.
448. Найдите наибольшую медиану и наименьшую бис-
сектрису треугольника со сторонами 40, 50 и 60.
449. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна
меньшему основанию и составляет угол 70° с большим осно-
ванием, равным 20. Найдите периметр и площадь трапеции.
450. Решите треугольник, у которого:
а) два угла равны 65° и 45°, а сторона против меньшего из
них — 10;
б) два угла равны 100° и 15°, а сторона против меньшего из
них — 10;
в) две стороны равны 25 и 50, а угол против большей из
них — 30°;
г) две стороны равны 24 и 80, угол против меньшей из
них — 10°, а угол против большей из них тупой;
д) две стороны равны 24 и 80, а угол против большей из
них — 10°.
451. Углы T и U треугольника TUV соответственно рав-
ны 60° и ϕ, а сумма сторон TU и TV равна 1. Найдите сто-
рону UV.
452. Равносторонний треугольник R1S1T1 вписан в равно-
сторонний треугольник RST так, что вершины R1, S1, T1 ле-
жат соответственно на сторонах ST, TR, RS, а углы RT1S1,
SR1T1, TS1R1 равны друг другу. Найдите:
а) отношение сторон треугольников R1S1T1 и RST, учитывая,
что угол RT1S1 равен α;
б) отношение сторон треугольников R1S1T1 и RST, учитывая,
что угол RT1S1 равен 90°.
а) если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то
суммы квадратов его противоположных сторон равны;
б) если суммы квадратов противоположных сторон четырех-
угольника равны, то диагонали этого четырехугольника пер-
пендикулярны.
454. Смежные стороны параллелограмма равны m и n, а
его меньший угол — α. Найдите диагонали параллелограмма
и угол между ними.
455. Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле-
лограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Народная
асвета

140
456. Докажите, что медиана треугольника равна квадрат-
ному корню из полусуммы квадратов сторон треугольника,
заключающих медиану, уменьшенной на квадрат половины
третьей стороны.
44444
а)
97 83
180
3 3
97 83
+
− : (352
− 282
);
б)
79 41
38
3 3
79 41
−
+ : (133,52
− 58,52
).
458. Упростите выражение, учитывая тождество
a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
):
а)
p
p
3
8
2
−
−
; г)
n n
n n
−
+ +
10 10
10 10
;
б)
c c
c
+ +
−
1
13
; д)
a
a a
−
−
25
125
;
в)
x x y y
x xy y
+
− +
; е)
b b c c
b c bc
+
− +
2
.
459. Определите вид треугольника в зависимости от величи-
ны его большего угла, учитывая, что одна из медиан треуголь-
ника равна той его средней линии, которую она пересекает.
460. Определите вид треугольника в зависимости от вели-
чины его большего угла, учитывая, что его стороны равны:
а) 10; 12; 14; г) 0,3; 0,4; 0,5;
б) 10; 12; 20; д) l; l + 1; l + 2.
в) 15; 30; 30;
461. В трапеции ABCD основание BC равно AB и в 2 раза
меньше AD. Найдите площадь трапеции, учитывая, что
AC = 12, CD = 15.
462. Руда содержит 40 % примесей, а выплавленный из нее
металл — 4 %. Сколько металла получится из 24 т руды?
463. Есть два слитка, содержащие медь. В первом слит-
ке меди 10 %, во втором — 40 %. После того как их спла-
вили вместе, получили слиток, в котором меди 30 %. Опре-
делите массу полученного слитка, учитывая, что первый из
использованных слитков на 3 кг легче второго.
Народная
асвета

141
Рис. 232
464. Над выполнением заказа 3,5 дня работала одна бри-
гада, затем она была заменена другой, которая заканчивала
выполнение заказа еще 6 дней. Найдите время, за которое
каждая бригада выполнила бы заказ, учитывая, что второй
бригаде для этого нужно на 5 дней больше.
465. При изменении скорости велосипедиста на 4 км/ч
его кинетическая энергия уменьшилась на 43,75 %. Найдите
большую скорость велосипедиста.
466. На территории нашей страны гнездятся три вида не-
ясытей — птиц отряда совообразных: неясыть серая, неясыть
длиннохвостая, неясыть бородатая. Если массу неясыти длин-
нохвостой взять в качестве доли, то массы неясыти бородатой
и неясыти серой составят соответственно 1,2 и 0,73 этой
доли. Найдите массы птиц, учитывая, что масса самой боль-
шой из них — неясыти бородатой — на 530 г меньше общей
массы двух других птиц.
467. На схеме, приведенной на рисунке 232, представлены
соотношения между длиной тела неясытей — серой, длиннохво-
стой, бородатой. По этой схеме составьте задачу и решите ее.
* * *
468. Выпуклый четырехугольник ABCD такой, что радиу-
сы окружностей, вписанных в треугольники ABC, ABD, ACD,
BCD, равны. Докажите, что его диагонали AC и BD равны.
469. На полке стоит в произвольном порядке собрание со-
чинений Янки Купалы в 10 томах. Разрешается брать любую
книгу и ставить ее на третье место слева. Можно ли такими
перестановками упорядочить расстановку томов собрания со-
чинений?
470. Найдите наименьшее целое число m, для которого
неравенство x4
+ 2x2
+ m 4x истинно при всех значениях пе-
ременной x.
Народная
асвета

142
12. Площади треугольника и четырехугольника
А) Вы уже знаете ряд формул для нахождения площади
треугольника и различных четырехугольников.
Если a — основание треугольника, h — проведенная к нему
высота, S — площадь треугольника, то S = 1
2
ah (рис. 233);
если a и b — стороны треугольника, γ — угол между ни-
ми, S — площадь треугольника, то S = 1
2
absinγ (рис. 234);
если a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр,
S — площадь треугольника, то S = p p a p b p c( )( )( )− − −
(формула Герона) (рис. 235);
если a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр,
r — радиус вписанной окружности, S — площадь треуголь-
ника, то S = pr (рис. 236);
если a и b — основания трапеции, h — ее высота, S — пло-
щадь трапеции, то S =
a b+
2
h (рис. 237);
если a — основание параллелограмма, h — проведенная
к нему высота, S — площадь параллелограмма, то S = ah
(рис. 238).
Б) Установим еще некоторые формулы.
Рис. 233 Рис. 235Рис. 234
Рис. 236 Рис. 237 Рис. 238
Народная
асвета

143
Задача 2. Докажем, что если a, b, c — стороны тре-
угольника ABC, противоположные его углам A, B, C соот-
ветственно, R — радиус описанной окружности, S — пло-
щадь треугольника, то:
S ==
a B C
A
2
sin sin
2sin
;
S == 2R2
sinAsinBsinC;
S == abc
R4
.
Доказательство. Пусть a, b, c — стороны треугольни-
ка ABC, противоположные его углам A, B, C (рис. 239).
Тогда можем записать
S = 1
2
absinC. (1)
Теорема синусов позволяет записать равенство
a
Asin
= b
Bsin
,
откуда
b =
a B
A
sin
sin
.
Значит, формулу (1) можно записать так:
S = 1
2
a
a B
A
sin
sin
sinC,
или
S =
a B C
A
2
2
sin sin
sin
.
Докажем вторую формулу. Пусть a, b, c — стороны
треугольника ABC, противоположные его углам A, B, C,
а R — радиус окружности, описанной около треугольни-
ка ABC (рис. 240). Тогда
S =
a B C
A
2
2
sin sin
sin
.
Рис. 239 Рис. 240
Народная
асвета

144
А по следствию из теоремы 2 можно записать
a
Asin
= 2R,
или
a = 2RsinA.
Поэтому
S =
( sin ) sin sin
sin
2
2
2
R A B C
A
=
=
4
2
2 2
R A B C
A
sin sin sin
sin
= 2R2
sinAsinBsinC.
Докажем третью формулу (см. рис. 240). Поскольку
a
Asin
= 2R, то R = a
A2 sin
. Умножим числитель и знаменатель
правой части полученного равенства на bc:
R = abc
bc A2 sin
,
или
R = abc
bc A4 1
2
sin
.
Теперь учтем, что выражение 1
2
bcsinA выражает площадь
треугольника ABC:
R = abc
S4
.
Значит,
S = abc
R4
.
Пример 1. Найдем радиусы окружностей, вписанной в
треугольник и описанной около треугольника со сторонами
40, 51, 77 (рис. 241). Имеем:
p =
a b c+ +
2
=
40 51 77
2
+ +
= 84;
S = p p a p b p c( )( )( )− − − = 84 84 40 84 51 84 77( )( )( )− − − =
= 84 44 33 7 = 924; r = S
p
= 924
84
= 11;
R = abc
S4
=
40 51 77
4 924
= 42,5.
Народная
асвета

145
В) Теорема 4. Если d1 и d2 — диагонали четырехугольни-
ка, γ — угол между ними, S — площадь четырехугольника,
то S == 1
2
d1d2 sin γ.
Доказательство. Пусть диагонали PR и QT четырехуголь-
ника PQRT пересекаются в точке A и равны d1 и d2 соответ-
ственно, а угол между ними равен γ (рис. 242).
Пусть QQ1 и TT1 — высоты треугольников PQR и PTR со-
ответственно. Тогда
QQ1 = AQ sin γ и TT1 = AT sin γ.
Учитывая, что диагональ PR разделяет четырехугольник
PQRT на треугольники PQR и PTR, для площади S этого че-
тырехугольника получим:
S = SPQR + SPTR = 1
2
PR QQ1 + 1
2
PR TT1 = 1
2
PR(QQ1 + TT1) =
= 1
2
d1(AQ sin γ + AT sin γ) = 1
2
d1(AQ + AT) sin γ =
= 1
2
d1 QT sin γ = 1
2
d1d2 sin γ.
Г) Фигуры на рисунке 243 объединяет то, что все они име-
ют одну и ту же площадь.
Фигуры, площади которых равны, называют равновели-
кими фигурами.
Рис. 241 Рис. 242
Рис. 243
Народная
асвета

146
Задача 3. Докажем, что из треугольников, на которые
диагонали разделяют трапецию, треугольники, прилежа-
щие к ее основаниям, подобны, а треугольники, прилежа-
щие к боковым сторонам, равновелики.
Доказательство. Пусть диагонали KM и LN трапеции KLMN
с основаниями KN и LM пересекаются в точке O (рис. 244).
Докажем, что треугольники KON и LOM подобны, а площади
треугольников KOL и NOM равны.
Углы OKN и OML, а также углы ONK и OLM равны, так
как это внутренние накрест лежащие углы при параллельных
KN и LM, пересеченных соответственно прямыми KM и LN.
Поэтому треугольники KON и LOM подобны.
Поскольку треугольники KLN и KMN имеют общую сто-
рону KN и равные высоты LL1 и MM1, то их площади рав-
ны. Но треугольники KLN и KMN имеют общую часть — тре-
угольник KON. Поэтому если его площадь вычесть из равных
площадей треугольников KLN и KMN, то получатся равные
площади, т. е. треугольники KOL и MNO равновелики.
Задача 4. Докажем, что если из четырех треугольни-
ков, на которые диагонали разделяют четырехугольник,
два треугольника, прилежащие к противоположным сто-
ронам, равновелики, то такой четырехугольник является
трапецией или параллелограммом.
Доказательство. Пусть диагонали AC и BD четырехуголь-
ника ABCD пересекаются в точке Q и площади треугольников
AQD и BQC равны (рис. 245). Докажем, что стороны AB и DC
параллельны.
Обратим внимание на то, что площади треугольников ABC
и ABD равны, так как эти треугольники получаются присо-
единением треугольника ABQ к равновеликим треугольникам
AQD и BQC. Но треугольники ABC и ABD имеют общую сторо-
ну AB. Поэтому у них равны высоты CC1 и DD1, проведенные
к этой стороне. Вместе с этим отрезки CC1 и DD1 параллельны
Рис. 244 Рис. 245
Народная
асвета

147
как перпендикуляры, проведенные к одной прямой AB.
Поэтому четырехугольник CC1D1D — параллелограмм. А это
позволяет утверждать, что его стороны CD и C1D1, а значит,
и отрезки AB и DC параллельны.
? 1. Запишите формулу, выражающую связь между стороной треуголь-
ника, проведенной к ней высотой и площадью треугольника.
2. Запишите формулу, выражающую связь между двумя сторонами
треугольника, углом между ними и площадью треугольника.
3. Запишите формулу, выражающую связь между сторонами треуголь-
ника и его площадью.
4. Запишите формулу, выражающую связь между полупериметром
треугольника, его площадью и радиусом вписанной окружности.
5. Запишите формулу, выражающую связь между стороной треуголь-
ника, его углами и площадью.
6. Запишите формулу, выражающую связь между углами треугольни-
ка, радиусом описанной окружности и площадью треугольника.
7. Запишите формулу, выражающую связь между сторонами треуголь-
ника, радиусом описанной окружности и площадью треугольника.
8. Запишите формулу, выражающую связь между основаниями
трапеции, ее высотой и площадью.
9. Запишите формулу, выражающую связь между площадью паралле-
лограмма, его стороной и проведенной к ней высотой.
10. Запишите формулу, выражающую связь между диагоналями че-
тырехугольника, углом между ними и площадью четырехугольника.
11. Какие фигуры называют равновеликими?
471. Объясните, почему формулу площади:
а) треугольника можно считать частным случаем формулы
площади трапеции;
б) трапеции можно считать обобщением формулы площади
прямоугольника.
472. Точки A, B, C, D являются серединами сторон KL,
LM, MN, NK прямоугольника KLMN (рис. 246). Определите,
какую часть площади этого прямоуголь-
ника составляет площадь:
а) треугольника KLN;
б) треугольника KLD;
в) четырехугольника KLCN;
г) пятиугольника KLBCN;
д) пятиугольника KLBCD;
е) четырехугольника ABCD;
ж) пересечения треугольников KBN
и LDM;
з) пересечения четырехугольников
KABN и MCDL. Рис. 246
Народная
асвета

148
473. Опишите способ разделения треугольника на два рав-
новеликих треугольника одним прямолинейным разрезом.
474. Как должна проходить прямая, разделяющая данный
прямоугольник на равновеликие фигуры? Будут ли равными
периметры полученных фигур-частей?
475. Укажите способ разрезания фигуры на части, из ко-
торых можно составить прямоугольник, если фигура явля-
ется:
а) треугольником; б) трапецией; в) параллелограммом.
476. Куб разрезали на два одинаковых прямоугольных па-
раллелепипеда. Найдите:
а) какую часть составляет площадь поверхности одного из по-
лученных прямоугольных параллелепипедов от площади по-
верхности куба;
б) можно ли куб с ребром длиной 1 см разбить на такие ку-
бики, общая площадь поверхности которых больше квадрат-
ного километра.
477. Стороны прямоугольника равны 4 см и 48 см. Найди-
те измерения равновеликого ему прямоугольника, учитывая,
что они относятся как 3 : 4.
478. Найдите площадь прямоугольника, одна сторона ко-
торого равна 12 см, а косинус угла между другой стороной и
диагональю — 0,6.
479. На боковых сторонах равнобедренного треугольника
PQR с основанием QR выбрали точки A и B, равноудаленные
от вершины P, и нашли точку C пересечения отрезков QB и
RA. Докажите, что равны площади треугольников:
а) PQB и ARA; б) QCA и RCB; в) AQB и BRA.
480. Два равных равнобедренных прямоугольных треуголь-
ника с катетом а расположены так, что вершина прямого
угла одного из них принадлежит гипотенузе другого. Най-
дите площади их пересечения и объединения, учитывая, что
пересечением является:
а) квадрат;
б) прямоугольник, измерения которого относятся как 1 : 2;
в) прямоугольник, измерения которого относятся как 2 : 3.
481. Докажите, что стороны a и b треугольника и про-
веденные к ним высоты ha и hb связаны формулой aha = bhb.
482. Докажите, что если у двух треугольников есть пара
равных:
Народная
асвета

149
а) сторон, то их площади относятся как проведенные к ним
высоты;
б) высот, то их площади относятся как стороны, к которым
проведены эти высоты.
483. Найдите в треугольнике такую точку, чтобы отрезки,
соединяющие ее с вершинами, делили этот треугольник на
три равновеликие части.
484. Установите, верно ли, что площадь первого треуголь-
ника больше площади второго, если:
а) периметр первого треугольника больше периметра второго;
б) каждая сторона первого треугольника больше соответству-
ющей стороны второго;
в) каждая сторона первого треугольника больше каждой сто-
роны второго.
485. Есть прямоугольный треугольник с единичной гипо-
тенузой. Докажите, что:
а) высота, проведенная к гипотенузе, не больше 1
2
;
б) площадь треугольника не больше 1
4
.
486. Среди треугольников, у которых две стороны равны
m и n, найдите треугольник с наибольшей площадью.
487. Докажите, что из всех прямоугольников:
а) с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат;
б) с данной площадью наименьший периметр имеет квадрат.
488. Докажите, что площадь прямоугольника не больше
половины площади квадрата, построенного на его диагонали.
489. Докажите, что площадь треугольника, который яв-
ляется частью данного квадрата, не больше половины пло-
щади этого квадрата.
490. Точка B принадлежит отрезку
UA, соединяющему вершину U треуголь-
ника TUV с произвольной точкой A его
стороны TV (рис. 247). Найдите отноше-
ние площадей треугольников TBV и TUV,
учитывая, что:
а) UB BA = 2 1;
б) B — середина отрезка UA;
в) UB BA = 3 1;
г) UB UA = 3 4. Рис. 247
Народная
асвета

150
491. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите пло-
щадь закрашенного треугольника, который связан с тре-
угольником ABC так, как показано на рисунке:
а) 248; б) 249; в) 250; г) 251.
492. Как функцию переменной x выразите площадь части
единичного квадрата, закрашенной на рисунке:
а) 252; б) 253; в) 254; г) 255; д) 256; е) 257.
Рис. 248
Рис. 251
Рис. 250
Рис. 249
Рис. 252 Рис. 253 Рис. 254
Рис. 255 Рис. 256 Рис. 257
Народная
асвета

151
493. Точки K, L, M, N являются серединами сторон DA,
AB, BC, CD квадрата ABCD (рис. 258). Установите, какую
часть площади этого квадрата составляет площадь:
а) четырехугольника AKCM;
б) пересечения четырехугольников AKCM и BLDN;
в) объединения четырехугольников AKCM и BLDN;
г) дополнения до объединения четырехугольников AKCM и
BLDN.
494. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b.
Найдите:
а) приращение площади треугольника при увеличении каж-
дого его катета на x;
б) уменьшение площади треугольника при уменьшении одно-
го его катета на x, а другого на y;
в) приращение площади треугольника при увеличении одно-
го его катета на 10 %, другого на 8 %.
495. Используя рисунок 259, докажите формулу синуса
двойного угла:
sin 2α = 2sin α cos α.
496. Ребра OA, OB, OC треугольной пирамиды OABC пер-
пендикулярны друг другу и равны соответственно 10, 20, 30
(рис. 260). Найдите полную поверхность пирамиды.
497. Ребра OA, OB, OC треугольной пирамиды OABC пер-
пендикулярны друг другу (см. рис. 260). Докажите, что ква-
драт площади грани ABC равен сумме квадратов площадей
трех остальных граней (теорема Пифагора для треугольной
пирамиды).
498. Докажите, что сумма расстояний от точки X равно-
стороннего треугольника до его сторон не зависит от выбора
точки X.
Рис. 260Рис. 259Рис. 258
Народная
асвета

152
499. Точки A и B — середины сторон PQ и RS выпуклого
четырехугольника PQRS. Определите, какую часть площади
четырехугольника PQRS составляет площадь четырехуголь-
ника PARB.
500. Установите, какую часть площади параллелограмма
составляет его часть, закрашенная на рисунке:
а) 261; б) 262; в) 263; г) 264.
501. Найдите площадь трапеции, у которой:
а) основания равны 6 см и 9 см, а диагонали — 13 см
и 14 см;
б) основания равны 8 см и 23 см, а боковые стороны —
13 см и 14 см.
502. Докажите, что площадь четырехугольника, верши-
нами которого являются середины сторон данного выпуклого
четырехугольника, равна половине его площади.
503. Докажите, что если диагонали AC и BD четырех-
угольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в
точке Q, то AQ
CQ
=
AB AD
CB CD
.
504. Отрезки, соединяющие середины противоположных
сторон выпуклого четырехугольника, разделяют его на че-
тыре части, площади трех из них равны S1, S2, S3. Найдите
площадь S4 четвертой четырехугольной части.
505. Диагонали выпуклого четырехугольника разделяют
его на четыре треугольника. Докажите, что произведения
площадей несоседних треугольных частей четырехугольника
одинаковы.
506. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в
точке Q, а площади треугольников ABD, ACD, AQD равны k, l, m
соответственно. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
Рис. 263Рис. 262Рис. 261 Рис. 264
Народная
асвета

153
507. Разделите данную трапецию на равновеликие части,
которых всего:
а) 2; б) 3.
а) отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, раз-
деляет ее на равновеликие части;
б) если отрезок, соединяющий середины противоположных
сторон четырехугольника, разделяет этот четырехугольник
на равновеликие части, то этот четырехугольник является
трапецией;
в) если каждый из двух отрезков, соединяющих середины
противоположных сторон четырехугольника, разделяет этот
четырехугольник на равновеликие части, то этот четырех-
угольник является параллелограммом.
а) концы каждой боковой стороны трапеции и произвольная
точка отрезка, соединяющего середины оснований трапеции,
являются вершинами равновеликих треугольников;
б) концы каждой диагонали трапеции и произвольная точ-
ка отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, яв-
ляются вершинами равновеликих треугольников.
510. Найдите длину отрезка с концами на боковых сторо-
нах трапеции и параллельного ее основаниям, равным а и b,
разделяющего трапецию на равновеликие части.
511. Докажите, что если два треугольника имеют общую
вершину, а другие их вершины расположены на двух прямых,
проходящих через нее, то площади треугольников относятся
как произведения их сторон, лежащих на этих прямых.
512. Из середины медианы, проведенной к гипотенузе пря-
моугольного треугольника, опущены перпендикуляры на его
стороны. Найдите, какую часть площади данного треугольни-
ка составляет площадь треугольника, вершины которого со-
впадают с основаниями этих перпендикуляров.
513. На сторонах треугольника ABC отмечены такие точ-
ки X, Y, Z, что AX : XB = 1 : 2, BY : YC = 2 : 3, CZ : ZA = 3 : 4.
Установите, какую часть составляет площадь треугольника
XYZ от площади треугольника ABC.
514. На сторонах треугольника ABC выбраны точки K, L, M
так, что AK : KB = 3 : 7, BL : LC = 5 : 3, а треугольники AKM
Народная
асвета

154
и CLM равновелики. Найдите, в каком отношении точка M
делит сторону AC.
515. Точки T, X, Y, Z — такие точки на сторонах че-
тырехугольника ABCD, что AT : TB = 3 : 1, BX : XC = 1 : 2,
CY : YD = 1 : 1, DZ : ZA = 1 : 5. Установите, какую часть пло-
щадь шестиугольника ATXCYZ составляет от площади че-
тырехугольника ABCD.
516. Вершины E, F, G, H параллелограмма EFGH соеди-
нены отрезками с серединами сторон FG, GH, HE, EF соот-
ветственно. Найдите, какую часть площади параллелограмма
EFGH составляет площадь параллелограмма, ограниченного
этими отрезками.
517. Точки A, B, C на сторонах треугольника KLM вы-
браны так, что KA : LA = LM : MB = MC : KC = 1 : 2. Дока-
жите, что площадь треугольника, ограниченного прямыми
KB, LC, MA, составляет седьмую долю площади треуголь-
ника KLM.
518. На сторонах прямого угла C выбраны такие точки A
и B, что CA = 12, CB = 35, а на луче, выходящем из точки C
и проходящем внутри угла под углом 60° к лучу CB, —
такая точка D, что CD = 50. Найдите площади треугольников
ACD, BCD, ABD.
519. На сторонах угла A величиной 75° выбраны такие
точки K и L, что AK = 2 и AL = 3, а на луче, выходя-
щем из точки A и проходящем внутри угла под углом 45° к
лучу AL, — такая точка M, что AM = 3
2
. Докажите, что точки
K, L, M лежат на одной прямой.
520. В треугольнике KLM проведены его высота LC и че-
рез середину A стороны KM перпендикулярно этой стороне
прямая, которая пересекает сторону KL в точке B (рис. 265).
Докажите, что треугольник KBC равно-
велик четырехугольнику CBLM.
521. Через точки A1, A2, A3, разде-
ляющие сторону NP треугольника NOP
на четыре доли, проведены перпендику-
лярные этой стороне прямые, которые
пересекают еще одну сторону или обе сто-
роны в точках B, C, D (рис. 266, 267).
Докажите, что прямые, проходящие че-
рез эти точки и основание R высоты OR,Рис. 265
Народная
асвета

155
разделяют треугольник на равновеликие
многоугольники.
522. Через середину A диагонали PR
четырехугольника PQRS проведена пря-
мая, параллельная второй диагонали QS
этого четырехугольника, и точка B пе-
ресечения этой прямой со стороной RS
соединена с вершиной Q (рис. 268). До-
кажите, что четырехугольник PQBS рав-
новелик треугольнику QRB.
523. Найдите площадь треугольника, две стороны кото-
рого и радиус вписанной окружности соответственно равны
30, 40 и 10.
44444
524. Уравнение mx = n − 2 имеет такое решение:
а) если m ≠ 0 и n — любое число, то x =
n
m
− 2
;
б) если m = 0 и n = 2, то корнем уравнения является любое
число;
в) если m = 0 и n ≠ 2, то уравнение не имеет корней.
Укажите, по какой строке этого решения вы будете за-
писывать ответ при решении уравнения, которое получается
из данного уравнения, если пара (m; n) равна:
а) (3; 4); в) (0; −14,3); д) 7
12
5
7
3; ; ж) 0 5 14
39
; ;
б) (−7,1; 2); г) (0; −2); е) 5 4 8
9
; ; з) (0; 2).
Рис. 266 Рис. 267
Рис. 268
Народная
асвета

156
525. При каких значениях переменных m и n уравнение
mx = n − 2 превращается в уравнение:
а) 3x = 12; в) 0 x = −1,3; д) 5
14
x = 2,8;
б) −x = −2; г) 0 x = 0; е) 5
14
x = 5
14
?
526. Запишите и решите уравнение, которое получается из
уравнения mx = n − 2, если пара (m; n) равна:
а) (−2; 5); в) (0; −1,39); д) 7
11
2 2; , ; ж) 0 214
339
; ;
б) (0,1; −2); г) (0; 2); е) 7 6; 11
12
; з) (0; 0).
527. Постройте график функции y = x2
− 5x − 6. Запишите,
а) меньше 0; г) не меньше 0;
б) равно 0; д) не равно 0;
в) больше 0; е) не больше 0.
528. Постройте график функции y = −x2
+ x + 6. Запишите,
а) меньше 0; г) не меньше 0;
б) равно 0; д) не равно 0;
в) больше 0; е) не больше 0.
а)
r r
r
2
12
1
− −
−
0; д)
q q
q
2
4 12
2
− −
−
0;
б)
r r
r r
2
2
3 10
2
+ −
+ −
0; е)
s s
s s
2
2
3 4
6
− −
+ −
0;
в)
3 5 8
2 5 3
2
2
t t
t t
− −
− −
0; ж)
4 3
5 9 2
2
2
u u
u u
+ −
+ −
0;
г)
2 7 4
3 2 1
2
2
+ −
+ −
v v
v v
0; з)
2 9 5
3 2 1
2
2
+ −
− −
w w
w w
0.
530. Найдите коэффициенты a, b, c квадратного трехчлена
ax2
+ bx + c, учитывая, что:
а) его корнем является число 6 и при значении переменной x,
равном 4, он достигает наименьшего значения −8;
Народная
асвета

157
б) при значении переменной x, равном 1
2
, он достигает наи-
большего значения 24, а при значении переменной x, равном
нулю, он принимает значение 23;
в) график функции, которая задается трехчленом, пересекает
ось абсцисс в точке B(8; 0), а его вершина находится в точ-
ке A(6; −12);
г) график функции, заданной трехчленом, пересекает ось ор-
динат в точке с ординатой 15, а его вершина находится в точ-
ке C(−2; 7).
531. Найдите значения:
а) старшего коэффициента a и второго коэффициента b и по-
стройте график функции y = ax2
+ bx + 4, учитывая, что точ-
ки R(−1; 9) и S(1; 3) принадлежат этому графику;
б) старшего коэффициента a и свободного члена c и постройте
график функции y = ax2
+ 2x + c, учитывая, что точки T(2; −9)
и U(−2; −17) принадлежат этому графику;
в) второго коэффициента b и свободного члена c и постройте
график функции y = 3x2
+ bx + c, учитывая, что точки V(3; 16)
и W(−3; 40) принадлежат этому графику.
532. На основании AC равнобедренного треугольника ABC
произвольно выбрана точка D (рис. 269). Докажите, что ради-
усы O1B и O2B окружностей, описанных около треугольни-
ков DBA и DBC, равны друг другу.
533. Пассажирский поезд из Урумчи до Ланьчжоу шел со
скоростью, которая была на 12 км/ч меньше, чем скорость
Рис. 269
Народная
асвета

на другой части железной дороги от Ланьчжоу до Пекина
через Сиань (рис. 270). Найдите скорости поезда на каждом
из участков, учитывая, что вторую часть пути он прошел на
6,6 ч быстрее.
* * *
534. Докажите, что если a b c 0, то истинно неравен-
ство a
b
b
c
c
a
+ + a
c
c
b
b
a
+ + .
535. Установите, каких треугольников с целочисленны-
ми сторонами больше: с периметром 2007 или с перимет-
ром 2010.
536. Найдите все целые числа n, при которых уравнение
x2
+ nx + n = 0 имеет целый корень.
Рис. 270
Народная
асвета

159
13. Рациональные уравнения
Вы уже можете решать разные классы уравнений (рис. 271).
В этом параграфе мы обобщим знания о рациональных урав-
нениях, т. е. таких уравнениях, левая и правая части ко-
торых являются выражениями, образованными из чисел
и переменной с помощью действий сложения, вычитания,
умножения, деления и возведения в целую степень. Видом
рациональных уравнений являются целые уравнения, из ко-
торых вы умеете решать линейные (ax + b = 0) и квадратные
(ax2
+ bx + c = 0) уравнения.
А) Пример 1. Решим дробно-рациональное уравнение
l
l
−
−
3
5
+ 1
l
=
l
l l
+
−
5
52
.
Умножим левую и правую части уравнения на общий зна-
менатель l2
− 5l входящих в него дробей. Получим:
Да Нет
Да Нет
Рис. 271
на выражение с переменнойна выражение с переменной
из выражения с переменнойиз выражения с переменной
Иррациональное
Народная
асвета

160
l
l
−
−
3
5
+ 1
l
=
l
l l
+
−
5
52
≡
l
l
l
−
−
3
5
(
+ 1
5l
l
−
=
l
l l
+
−
5
5
1
2
(
≡ l(l − 3) + (l − 5) = l + 5 ≡
≡ l2
− 3l + l − 5 = l + 5 ≡ l2
− 3l − 10 = 0.
Каждый корень исходного уравнения является также кор-
нем уравнения l2
− 3l − 10 = 0. Но не обязательно каждый ко-
рень уравнения l2
− 3l − 10 = 0 будет корнем исходного уравне-
ния. Причина этого в том, что обе части исходного уравнения
были умножены на выражение l2
− 5l с переменной l, которое
при некоторых значениях этой переменной принимает ну-
левое значение. Корнями уравнения l2
− 3l − 10 = 0 являются
числа −2 и 5.
Теперь проверим, обращается ли в нуль хотя бы один из
знаменателей дробей данного уравнения при найденных значе-
ниях переменной l. При l = −2 ни один из знаменателей l − 5, l,
l2
− 5l не равен нулю, а при l = 5 знаменатели l − 5 и l2
− 5l
равны нулю. Поэтому число 5 не является корнем данного
уравнения. Его называют посторонним корнем.
Ответ. l = −2.
Б) Решение некоторых других рациональных уравнений
сводится к решению линейных и квадратных уравнений по-
сле выделения множителей или введения вспомогательной
переменной.
Рассмотрим уравнения вида ax3
+ bx2
+ bx + a = 0, которые
называют симметричными уравнениями третьей степени.
Поскольку
ax3
+ bx2
+ bx + a = (ax3
+ a) + (bx2
+ bx) = a(x3
+ 1) + bx(x + 1) =
≡ a(x + 1)(x2
− x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1)(ax2
+ (b − a)x + a),
то решение уравнения ax3
+ bx2
+ bx + a = 0 сводится к реше-
нию линейного уравнения x + 1 = 0 и квадратного уравнения
ax2
+ (b − a)x + a = 0.
Аналогично решается и уравнение ax3
+ bx2
− bx − a = 0.
Пример 2. Решим уравнение 2x3
+ 3x2
− 3x − 2 = 0. Полу-
чим:
2x3
+ 3x2
− 3x − 2 = 0 ≡ (2x3
− 2) + (3x2
− 3x) = 0 ≡
≡ 2(x3
− 1) + 3x(x − 1) = 0 ≡ 2(x − 1)(x2
+ x + 1) + 3x(x − 1) = 0 ≡
≡ (x − 1)(2x2
+ 2x + 2 + 3x) = 0 ≡ (x − 1)(2x2
+ 5x + 2) = 0 ≡
≡ x − 1 = 0 или 2x2
+ 5x + 2 = 0 ≡
≡ x = 1, или x = −2, или x = − 1
2
.
Ответ. − −{ }2 11
2
; ; .
Народная
асвета

161
В) Пример 3. Решим уравнение a2
+ 4a +⏐a + 2⏐− 8 = 0.
Чтобы ввести вспомогательную переменную, в выражении
a2
+ 4a − 8 выделим квадрат двучлена a + 2:
a2
+ 4a − 8 = (a2
+ 2 2a + 22
) − 22
− 8 = (a + 2)2
− 12.
Поэтому данное уравнение равносильно уравнению (a + 2)2
+
+ ⏐a + 2⏐ − 12 = 0.
Пусть ⏐a + 2⏐ = z. Тогда z2
= ⏐a + 2⏐2
= (a + 2)2
. Это дает
возможность от данного уравнения перейти к уравнению
z2
+ z − 12 = 0, которое имеет корнями числа −4 и 3. Вернув-
шись к исходной переменной, получаем, что
⏐a + 2⏐ = −4 или ⏐a + 2⏐ = 3.
Уравнение ⏐a + 2⏐ = −4 не имеет корней, так как выражение
⏐a + 2⏐ принимает неотрицательные значения при любых зна-
чениях переменной a. Уравнение ⏐a + 2⏐ = 3 решим, используя
геометрический смысл модуля:
⏐a + 2⏐ = 3 ≡ a + 2 = −3 или a + 2 = 3 ≡ a = −5 или a = 1.
Ответ. −5; 1.
Г) Биквадратным уравнением называется уравнение вида
ax4
+ bx2
+ c = 0, где a, b, c — действительные числа и a ≠ 0.
Такое уравнение сводится к квадратному подстановкой x2
= t,
t 0.
Пример 4. Решим уравнение y4
+ 15y2
− 16 = 0.
Пусть y2
= t, тогда t2
+ 15t − 16 = 0. Решим полученное квад-
ратное уравнение:
t2
+ 15t − 16 = 0 ≡ t =
− +15 15 4 1 16
2
2
≡
≡ t =
− ±15 17
2
≡ t = −16 или t = 1.
Вернемся к исходной переменной y:
y2
= −16 или y2
= 1.
Уравнение y2
= −16 не имеет корней, а уравнение y2
= 1
корнями имеет числа −1 и 1.
Ответ. y1 = −1, y2 = 1.
Д) Рассмотрим уравнения вида ax4
+ bx3
+ cx2
+ bx + a = 0,
которые называют симметричными уравнениями четвертой
степени.
Уравнение ax4
+ bx3
+ cx2
+ bx + a = 0 решается так. Пос-
кольку число 0 не является корнем уравнения, то левую и
правую части уравнения можно разделить на x2
. Выполнив
это и последующую группировку, получаем:
Народная
асвета

162
ax4
+ bx3
+ cx2
+ bx + a = 0 ≡ ax2
+ bx + c + b
x
1
+ a
x
1
2
= 0 ≡
≡ a x
x
2
2
1
+ + b x
x
+ 1
+ c = 0.
Теперь введем вспомогательную переменную: x + 1
x
= u.
Тогда
u2
= x
x
+ 1 2
= x2
+ 1
2
x
+ 2x 1
x
= x2
+ 1
2
x
+ 2.
Значит,
x2
+ 1
2
x
= x
x
+ 1 2
− 2 = u2
− 2.
Поэтому данное уравнение заменяется уравнением
a(u2
− 2) + bu + c = 0, которое равносильно квадратному уравне-
нию au2
+ bu − (2a − c) = 0. Остается решить полученное квад-
ратное уравнение и перейти к исходной переменной.
Аналогично решаются и уравнения вида
ax4
+ bx3
+ cx2
− bx + a = 0.
Пример 5. Решим уравнение 6a4
+ 7a3
− 36a2
− 7a + 6 = 0.
6a4
+ 7a3
− 36a2
− 7a + 6 = 0 ≡ 6a2
+ 7a − 36 − 7 1
a
+ 6 1
2
a
= 0 ≡
≡ 6 2
2
1
a
a
+ + 7 1
a
a
− − 36 = 0.
Пусть a − 1
a
= x, тогда x2
= a
a
− 1 2
= a2
+ 1
2
a
− 2. Значит,
a2
+ 1
2
a
= x2
+ 2. С учетом этого получаем уравнение 6(x2
+ 2) +
+ 7x − 36 = 0, которое равносильно уравнению 6x2
+ 7x − 24 = 0.
Корнями последнего уравнения являются числа − 8
3
и 3
2
.
Перейдя к исходной переменной a, получаем, что
a − 1
a
= − 8
3
или a − 1
a
= 3
2
.
Решим эту совокупность уравнений:
a − 1
a
= − 8
3
или a − 1
a
= 3
2
≡ 3a2
+ 8a − 3 = 0
или 2a2
− 3a − 2 = 0 ≡ a = −3, или a = 1
3
,
или a = − 1
2
, или a = 2.
Ответ. − −{ }3 21
2
1
3
; ; ; .
Е) Симметричность может иметь и другие проявления.
Пример 6. Решим уравнение
(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) − 36 = 0.
Народная
асвета

163
Для решения здесь целесообразно перемножить первый
двучлен с третьим, а второй — с четвертым. Получаем:
(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) − 36 = 0 ≡
≡ ((x − 1)(x + 3))((x − 2)(x + 4)) − 36 = 0 ≡
≡ (x2
+ 2x − 3)(x2
+ 2x − 8) − 36 = 0.
Пусть x2
+ 2x = y, тогда данное уравнение заменяется уравне-
нием (y − 3)(y − 8) − 36 = 0, которое имеет корнями числа −1 и 12.
Переход к исходной переменной порождает совокупность
уравнений
x2
+ 2x = −1 или x2
+ 2x = 12.
Первое уравнение совокупности имеет корнем число –1, а
второе — числа −1 − 13 и −1 + 13.
Ответ. {−1 − 13; −1; −1 + 13 }.
Ж) Иногда для удачного введения переменной данное
уравнение предварительно нужно преобразовать.
Пример 7. Решим уравнение (х2
+ х + 2)(х2
+ 2х + 2) = 2х2
.
Число 0 не является корнем уравнения, поэтому, разделив
левую и правую части на х2
, получаем равносильное уравне-
ние x
x
+ +1 2
x
x
+ +2 2
= 2. Теперь введем вспомогательную
переменную x + 1 + 2
x
= t. В результате получаем уравнение
t(t + 1) = 2, корнями которого являются числа −2 и 1. Переход
к исходной переменной дает совокупность уравнений
x + 1 + 2
x
= −2 или x + 1 + 2
x
= 1,
которая равносильна совокупности
x2
+ 3x + 2 = 0 или x2
+ 2 = 0.
Первое уравнение совокупности имеет корнями числа –2
и –1, а второе не имеет корней.
Ответ. −2 и –1.
? 1. Почему при решении дробно-рационального уравнения обязательна
проверка?
2. Какие корни имеет уравнение ⏐t⏐= a?
3. Какое уравнение называется биквадратным? Как оно решается?
4. Как решают симметричные уравнения третьей степени; четвертой
степени?
537. Решите биквадратное уравнение:
а) a4
− 9a2
= 0; д) p4
+ p2
− 2 = 0; и) 2f4
− 9f2
+ 4 = 0;
б) 4b4
− b2
= 0; е) q4
− 3q2
− 4 = 0; к) g4
− 17g2
+ 16 = 0;
в) c4
+ 1
4
2
c = 0; ж) 9r4
+ 8r2
− 1 = 0; л) h4
− 3h2
+ 2 = 0;
г) 2d4
+ 5d2
= 0; з) 20s4
− s2
− 1 = 0; м) e4
− 10e2
+ 1 = 0.
Народная
асвета

164
538. Решите биквадратное уравнение:
а) t4
− 26t2
+ 25 = 0; ж) k4
− 8k2
+ 20 = 0;
б) 4x4
− 5x2
+ 1 = 0; з) 5l4
− 4s2
+ 1 = 0;
в) y4
− 40y2
+ 144 = 0; и) 2m 4
+ 4m2
− 21 = 0;
г) 4z4
− 17z2
+ 4 = 0; к) 4n4
+ 12n2
− 16 = 0;
д) i4
− 18i2
+ 81 = 0; л) 16u4
− 265u2
+ 144 = 0;
е) 256j4
− 32j2
+ 20 = 0; м) 225v4
− 34v2
+ 1 = 0.
а) уравнение х4
+ 10х2
+ 9 = 0 не имеет корней, не решая само
уравнение;
б) если биквадратное уравнение имеет корень a, то оно также
имеет корень −a.
540. Составьте биквадратное уравнение, учитывая, что:
а) один из его корней равен 3, а другой — 2;
б) сумма квадратов его корней равна 26, а их произведе-
ние — 36.
541. Разложите на множители многочлен:
а) х4
− 12х2
+ 32; в) 25w4
+ 74w2
− 3; д) m4
− 32m2
+ 60;
б) s4
− 20s2
+ 96; г) 64y4
+ 140y2
− 9; е) 30z4
+ 61z2
+ 30.
542. Учитывая, что m и n — определенные числа, решите
уравнение:
а) х4
− (n2
+ 1)х2
+ n2
= 0; г) т2
п2
t4
− (т4
+ n4
)t2
+ m2
n2
= 0;
б) y4
+ 16т2
= 16y2
+ m2
y2
; д) u4
− (mn + 1)u2
+ тn = 0;
в) z4
+ n2
m2
= (n2
+ m2
)z2
; е) v4
+ mn = (т + n)v2
.
543. Разложите на множители многочлен
х4
− (1 − 2а + 2а2
)х2
+ а2
(а − 1)2
.
544. Сократите дробь:
а)
a a
a a
4 2
4 2
11 24
17 72
− +
− +
; в)
x m n x m n
x m n x m n
4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
2 4
2 2
− + +
− + +
( )
( )
;
б)
t a t a a
t a a t a
4 2 2 2
4 2 2
2 1 1
2 1
+ + − +
+ + − +
( ) ( )
( ) ( )
; г)
36 9 4
9 9
4 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 2
z p q z p q
z p q z p q
− + +
− + +
( )
( )
.
а) (z2
− 8)2
+ 4(z2
− 8) − 5 = 0;
б) (a2
+ 6a)2
+ 8(a2
+ 6a)2
− 9 = 0;
в) y
y
+ 1 2
− 3 1
y
y
+ − 4 = 0;
г) 1
2 32
b b+ −
+ 18
2 22
b b+ +
= 18
2 12
b b+ +
.
Народная
асвета

165
а) 6х4
− 5х2
+ 1 = 0; г) q4
− 4q + 1 = 0;
б) y4
− 20y2
+ 64 = 0; д) r4
− 4r2
+ 1 = 0;
в) z4
− 13z2
+ 36 = 0; е) 30t4
− 37t2
+ 10 = 0.
547. Установите, в какой системе счисления число:
а) 100 запишется в виде 10 201;
б) 801 запишется в виде 30 201;
в) 2504 запишется в виде 10 205;
г) 680 запишется в виде 10 205.
548. Составьте биквадратное уравнение, учитывая, что его
корнями являются числа:
а) 2 и 3; б) −2 и −3; в) −2 и 3; г) −3 и 2; д) m и n.
а) u
u3 22
( )−
+ 2
3 1 4
u
u( )−
= 1
1 2
u u( )
;
+
б) 1
2 12
( )v +
+
71
2
12 4
v v( )−
= 9
2 12 2
v v( )
;
−
в) (t + 5)4
− 13(t + 5)2
t2
+ 36t4
= 0;
г) w
w − 1
2
+ w
w + 1
2
= 1 1
9
.
550. Есть два квадрата, площади которых вместе состав-
ляют 4 1
4
м2
, а стороны в метрах выражаются взаимно об-
ратными числами. Найдите коэффициент подобия этих квад-
ратов.
551. Найдите радиус окружности, которая проходит через
центр другой окружности с радиусом R, пересекает ее в точ-
ках, отстоящих друг от друга на a, причем a < 2R.
а) (x2
− 2x)2
− 2(x2
− 2x) − 3 = 0;
б) a
a
a
a1
3
2 1
2
1
− −
− = ;
в) y2
− 3y + 2 = 8
32
y y−
;
г) (2t2
+ 3t)2
= 3(2t2
+ 3t − 9) + 37;
д) 3 2
1
2 1
2 1
1
b
b
b
b
−
+
+
−
− = ;
е) (2v + 3)(2v + 5)(2v + 7)(2v + 9) = 384.
Народная
асвета

166
а) x2
− 6⏐x⏐+ 5 = 0; и) d − 1
2
2
− 10 1
2
d − + 9 = 0;
б) a2
+ 5⏐a⏐− 24 = 0; к) u − 7
2
2
− 3 7
2
u − − 7
4
= 0;
в) y2
+ 2⏐y⏐− 1 = 0; л) 3 2
3
2
l − + 4 2
3
l − − 4 = 0;
г) b2
+ ⏐b⏐− 2 = 0; м) r2
− 4⏐r − 2⏐ − 4r = 17;
д) z2
+ 2⏐z⏐− 3 = 0; н)18i2
− 15⏐3i + 2⏐+ 24i + 15 = 0;
е) c2
− 7⏐c⏐+ 6 = 0; о) ⏐2j2
− 5j + 4⏐ − 3j + 2 = 0;
ж) (t − 2)2
− 8⏐t − 2⏐+ 15 = 0; п) ⏐3v2
− 2v + 10⏐− 4v − 34 = 0.
з) (2k − 3)2
− 5⏐2k − 3⏐− 6 = 0;
а) (w − 9)2
− 8(w − 9) + 7 = 0;
б) (y2
+ 2y + 4)2
− 7(y2
+ 2y + 4) + 12 = 0;
в) (w2
+ w + 4)2
+ 8w(w2
+ w + 4) + 15w2
= 0;
г) (d + 2)(d + 3)(d + 8)(d + 12) = 4d2
;
д) (a2
+ 2a)2
− (a + 1)2
= 55;
е) 4
4 8 72
m
m m− +
+ 3
4 10 72
m
m m− +
= 1;
ж) (u2
+ u + 1)2
− 3u2
− 3u − 3 = 0;
з) (v2
− 5v + 7)2
− (v − 2)(v − 3) = 0;
и) (2c − 3)(2c − 1)(c + 1)(c + 2) = 36;
к) (x − 1)(x − 7)(x − 4)(x + 2) = 40;
л) 6l4
− 35l3
+ 62l2
− 35l + 6 = 0;
м)
p p
p p
2
2
2 2
2 3
+ +
+ +
+ 1
2 22
p p+ +
= 1
6
.
а)
19 2
5 42
−
+ +
z
z z
−
2 9
3 22
z
z z
+
+ +
= 4
6 82
z
z z+ +
;
б)
5 7 2
4 5
2
2
c c
c c
− +
+ −
=
( )
;
4 5
16 25
2
2
c
c
−
−
в) 1 + 4
2 2
( )y +
= 5
2
y
;
г) d2
+ 4
2
d
− 8 − d − 2
d
;
д) x
x x2
1− +
+ 3
12
x
x x+ +
= 2;
е) 1
2 42
e e+ +
− 1
2 52
e e+ +
= 1
12
;
Народная
асвета

167
ж)
( )a
a a
+ −
+
1 6
2
2
2
+ 4 = 0;
з) w2
+ 81
9
2
2
w
w( )+
= 40;
и) 4f2
+ 12f + 12
f
+ 4
2
f
= 47;
к)
b b
b b
2
2
2 2
2
+ −
+
−
b b
b b
2
2
2 3
2 2
+ +
+ +
= 1;
л)
v
v v
−
+ +
3
4 92
+
v v
v
2
4 9
3
+ +
−
= −2;
м) 2
2 5 32
g
g g− +
+ 13
2 32
g
g g+ +
= 6.
а) 21
4 102
p p− +
− p2
+ 4p = 6; д) m3
+ 4m2
+ 4m + 3 = 0;
б) 2 2
3q
q
− = 2
2
q
+
q2
18
+ 11
3
; е) n4
− 5n3
+ 10n2
− 10n + 4 = 0;
в)
( )
( )
r
r r
2 2
2
1
1
+
+
= 5 65
112
; ж) х3
+ 2х2
+ 3х + 6 = 0;
г)
s s
s s
2
2
3
1
− +
− +
+
s s
s s
2
2
4
2
− +
− +
= 5; з) l4
− 3l3
− 8l2
+ 12l + 16 = 0.
а) x3
+ 2x2
+ 2x + 1 = 0;
б) 2s4
− 7s3
+ 9s2
− 7s + 2 = 0;
в) a4
− 2a3
− a2
− 2a + 1 = 0;
г) 2t4
+ t3
− 17t2
+ t + 2 = 0;
д) (1 + y2
)2
= 4y(1 + y)2
;
е) 25b4
− 100b3
− 106b2
− 100b + 25 = 0;
ж) 2f4
− 80
21
3
f − 4 2
f + 80
21
f + 2 = 0;
з) l7
− 2l6
+ 3l5
− l4
− l3
+ 3l2
− 2l + 1 = 0.
а) 6a4
− 13a3
+ 12a2
− 13a + 6 = 0;
б) b4
+ 5b3
+ 2b2
+ 5b + 1 = 0;
в) c4
− 10c3
+ 26c2
− 10c + 1 = 0;
г) 2d4
+ 3d3
− 4d2
− 3d + 2 = 0;
д) 6e4
− 13e3
− 12e2
+ 13e + 6 = 0;
е) 30f4
− 17f3
− 228f2
+ 17f + 30 = 0;
ж) 3g4
+ 7g3
+ 7g + 3 = 0;
з) 2h4
− 9h3
+ 9h + 2 = 0.
Народная
асвета

168
559. Найдите значение выражения 3
x y
x
+
− 1
, учитывая, что
пара (x; y) равна:
а) (2; 7); б) (3; 9); в) (12; 27); г) (18; 54).
560. Найдите значение выражения
2 3
3 2
a b
a c
+
−
, учитывая, что
тройка (a; b; c) равна:
а) (1; 1; 1); д) (−1; −1; 1);
б) (−1; 1; 1); е) (−1; 1; −1);
в) (1; −1; 1); ж) (1; −1; −1);
г) (1; 1; −1); з) (−1; −1; −1).
561. Установите, какое — истинное или ложное — выска-
зывание получается из уравнения х3
− 6х2
+ 11х − 6 = 0, учи-
тывая, что переменная x имеет значение, равное:
а) 3; б) −3; в) 2; г) −2; д) 1; е) −1; ж) 0 .
562. Установите, какое — истинное или ложное —
высказывание получается из неравенства a
b
3
1−
0, учиты-
вая, что пара (a; b) равна:
а) (2; 7); б) (2; −7); в) (7; −2); г) (−7; −2).
563. Установите, какое — истинное или ложное — вы-
сказывание получается из неравенства k
l
3
1−
m, учитывая,
что тройка (k; l; m) равна:
а) (1; 0; 1); в) (1; −1; 1); д) (−1; −1; 1); ж) (1; −1; −1);
б) (−1; 0; 1); г) (1; 0; −1); е) (−1; 0; −1); з) (−1; −1; −1).
564. Найдите сумму целых решений системы линейных
неравенств:
а)
2 3 4 3 4 3 16
4 1 3 5
( ) ( )
( ) ;
a a
a a
− − +
+ +
⎧
⎨
⎩
,
в)
b b b
b
b b
− − −
− −
− −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1
2
2
3
3
4
1 0 5 4
,
, ;
б)
3 2
7
2 13
11
6
2
3
3 20
9
x
x
x
x x
+
+ −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
−
−
,
( ) ;
г)
y
y y
y y y
− −
−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
− + −1
2
2
3
3
4
1
20
1 5 5
,
, .
565. Докажите, что диагонали:
а) четырехугольника разделяют его на такие четыре треуголь-
ника, что произведение площадей двух из них, прилежащих
к противоположным сторонам, равно произведению площа-
дей двух других треугольников (рис. 272);
Народная
асвета

169
б) трапеции разделяют ее на такие четыре треугольника, что
два из них, прилежащих к основаниям, подобны, а два дру-
гих — равновелики (рис. 273);
в) параллелограмма разделяют его на две пары равных треуголь-
ников, причем все эти треугольники равновелики (рис. 274);
г) ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных тре-
угольника (рис. 275);
д) прямоугольника разделяют его на две пары равных рав-
нобедренных треугольников (рис. 276);
е) квадрата разделяют его на четыре равных прямоугольных
равнобедренных треугольника (рис. 277).
566. Есть треугольник со сторонами 17 см и 208 см и углом
между ними в 120 . Найдите:
а) третью сторону треугольника и два других его угла;
б) площадь треугольника и его высоты.
567. Есть треугольник ABC, у которого углы A и B равны
30 и 135 , а сторона BC — 5 (рис. 278). Найдите:
а) его биссектрису AA1;
б) периметр треугольника BAA1, где A1 — основание биссек-
трисы AA1.
568. С первого и второго полей, площади которых вместе
составляют 94 га, собрали ржи соответственно 2256 ц и 2254 ц.
Найдите урожайности полей, учитывая, что в сумме они со-
ставляют 96 ц/га.
569. С первого поля собрали 3162 ц ячменя, а со второго
поля, площадь которого на 8 га больше, — 3150 ц. Найдите
урожайности полей, учитывая, что в сумме они составляют
96 ц/га.
570. С первого и второго полей, площади которых вместе
составляют 136 га, собрали соответственно 3360 ц и 3300 ц
тритикале. Найдите урожайность первого поля, учитывая,
что она на 2 ц/га меньше урожайности второго.
* * *
571. В выражении (x − 1)(x − 2)(x − 3) … (x − 99)(x − 100)
раскрыли скобки и привели подобные члены. Найдите коэф-
фициент при x99
.
Народная
асвета

170
Рис. 272
Рис. 275Рис. 274
Рис. 276
Рис. 277
Рис. 278
Рис. 273
Народная
асвета

171
572. На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC с площа-
дью 4 выбраны точки A1, B1, C1 соответственно. Докажите,
что площадь хотя бы одного из треугольников AB1C1, A1BC,
A1B1C не больше единицы.
573. Докажите, что если числа a, b, c попарно различны,
то среди чисел (a − b)(ab − c2
), (b − c)(bc − a2
), (c − a)(ac − b2
) есть
числа с противоположными знаками.
14. Уравнение с двумя переменными
А) Пример 1. Известно, что брат младше сестры на 3 го-
да. Если обозначить возраст брата и сестры буквами x и y со-
ответственно, то зависимость между переменными x и y мож-
но записать формулой
y − x = 3.
Мы получили уравнение с двумя переменными.
Формулы 3x + 5y = 13; 4 − 6m + n = 0; a3
+ 2b2
= 1; x2
= 19 + y2
;
kl = 20 дают другие примеры уравнений с двумя переменными.
В уравнении 3x + 5y = 13 слагаемые 3x и 5y с переменными
x и y, как и в уравнении 4 − 6m + n = 0 слагаемые −6m и n с
переменными m и n, имеют первую степень. Это уравнения
первой степени.
В третьем уравнении a3
+ 2b2
= 1 слагаемые a3
и 2b2
с пе-
ременными a и b имеют третью и вторую степени. Это урав-
нение третьей степени. Степень уравнения определяется
наибольшей степенью его слагаемых.
В четвертом уравнении x2
= 19 + y2
его слагаемые x2
и y2
с переменными оба имеют вторую степень. Это уравнение вто-
рой степени. Пятое уравнение kl = 20 также является урав-
нением второй степени, так как его слагаемое kl имеет вто-
рую степень.
Если x = 10 и y = 9, то уравнение x2
− y2
= 19 обращается
в истинное высказывание 102
− 92
= 19. В таком случае гово-
рят, что пара (10; 9) значений переменных x и y является ре-
шением уравнения x2
− y2
= 19.
Пара (9; 10) значений переменных x и y не является ре-
шением этого уравнения, так как равенство 92
− 102
= 19 не
является истинным высказыванием.
Решением уравнения с двумя переменными называется
пара значений этих переменных, при которых уравнение об-
ращается в истинное высказывание.
Народная
асвета

172
Уравнение x2
− y2
= 19 имеет и другие решения, ими явля-
ются, например, следующие пары: (−10; 9); (10; −9); (−10; −9);
(5,75; 3,75); (−5,75; 3,75). Вообще это уравнение имеет бес-
конечно много решений.
Уравнения с двумя переменными называют равносильны-
ми, если они имеют одни и те же решения.
Уравнения с двумя переменными имеют те же свойства,
что и уравнения с одной переменной:
если в уравнении любое слагаемое перенести из одной ча-
сти в другую, изменив его знак, то получится уравнение, рав-
носильное исходному;
если обе части уравнения умножить или разделить на од-
но и то же не равное нулю число, то получится уравнение,
равносильное исходному.
Рассмотрим уравнение 3x + 2y = 10.
Используя указанные свойства, выразим переменную y че-
рез переменную x:
y = −1,5x + 5.
Уравнение 3x + 2y = 10 равносильно уравнению y = −1,5x + 5.
По полученной формуле y = −1,5x + 5 можно найти любое
количество решений уравнения 3x + 2y = 10. Для этого доста-
точно взять произвольное значение переменной x и вы-
числить соответствующее значение переменной y:
если x = −4, то y = 11;
если x = 6, то y = −4;
если x = 0, то y = 5.
Пары чисел (−4; 11), (6; −4), (0; 5) являются решениями
уравнения 3x + 2y = 10. Это уравнение имеет бесконечно мно-
го решений.
Каждая пара чисел, которая является решением уравне-
ния с двумя переменными x и y, на координатной плоскости
изображается точкой с абсциссой, равной значению перемен-
ной x, и ординатой, равной значению переменной y. Все та-
кие точки составляют график уравнения.
Графиком уравнения с двумя переменными называется
множество всех точек координатной плоскости, координаты
которых являются решениями этого уравнения.
Пример 2. Построим график уравнения 3x + 2y − 10 = 0.
Оно равносильно уравнению y = −1,5x + 5. Мы знаем, что
формула y = −1,5x + 5 задает линейную функцию, графиком
Народная
асвета

173
которой является прямая, изобра-
женная на рисунке 279. Посколь-
ку уравнение y = −1,5x + 5 рав-
носильно уравнению 3x + 2y = 10,
то эта прямая и есть график урав-
нения 3x + 2y = 10.
Б) Уравнения первой степени
называют еще линейными уравне-
ниями.
Линейным уравнением с дву-
мя переменными x и y называется
уравнение вида ax + by + c = 0, где
a, b и c — некоторые числа, при-
чем хотя бы одно из чисел a и b от-
лично от нуля.
Линейное уравнение, в котором
коэффициент при переменной y не
равен нулю, приводится к виду y = kx + m, где k a
b
= − , m c
b
= − .
Графиком такого уравнения является прямая линия.
Графиком любого линейного уравнения с переменными x
и y, в котором коэффициент при переменной y не равен ну-
лю, является прямая.
Пример 3. Построим график линейного уравнения
3x + 0 y = 12,
в котором коэффициент при переменной y равен нулю.
Его решениями являются все пары чисел (x; y), в которых
x = 4, а y — любое число, например пары:
(4; −5); (4; 0); (4; −3,8).
График этого уравнения состоит
из всех точек плоскости, абсциссы
которых равны 4. Такие точки обра-
зуют прямую, проходящую через точ-
ку (4; 0) параллельно оси ординат
(рис. 280).
Графиком линейного уравнения
с двумя переменными, в котором
хотя бы один из коэффициентов
при переменных не равен нулю, яв-
ляется прямая.
Рис. 279
Рис. 280
Народная
асвета

174
Докажем теперь, что пря-
мая задается линейным
уравнением.
Пусть на координатной
плоскости есть прямая l.
Выберем точки A(x1; y1) и
B(x2; y2) так, чтобы пря-
мая l была серединным пер-
пендикуляром к отрезку
AB (рис. 281). Если точка
M(x; y) принадлежит пря-
мой l, то она равноудалена
от точек A и B, т. е. AM = BM, или AM2
= BM2
. Последнее
равенство в координатах имеет вид
(x − x1)2
+ (y − y1)2
= (x − x2)2
+ (y − y2)2
. (1)
Если точка M(x; y) не принадлежит прямой l, то AM ≠ BM
и координаты точки M не удовлетворяют условию (1). Таким
образом, уравнение (1) является уравнением прямой l.
После раскрытия скобок и приведения подобных уравне-
ние (1) приводится к виду
ax + by + c = 0, (2)
где a = 2(x2 − x1), b = 2(y2 − y1), c x y x y= + − −1
2
1
2
1
2
2
2
.
Поскольку точки A и B различны, то хотя бы одна из раз-
ностей x2 − x1, y2 − y1 отлична от нуля. Значит, уравнение (2)
является линейным.
Уравнение ax + by + c = 0 называют общим уравнением
прямой.
Если b ≠ 0, то это уравнение можно привести к виду
y = kx + m.
Уравнение вида y = kx + m называют уравнением прямой с
угловым коэффициентом.
В) Пример 4. Установим, что уравнение
x x
x x
−
−
1
2 1
=
y y
y y
−
−
1
2 1
яв-
ляется уравнением прямой, проходящей через точки A(x1; y1)
и B(x2; y2).
Подставив в уравнение
x x
x x
−
−
1
2 1
=
y y
y y
−
−
1
2 1
координаты точ-
ки A, получим равенство
x x
x x
1 1
2 1
−
−
=
y y
y y
1 1
2 1
−
−
, которое является
Рис. 281
Народная
асвета

175
истинным. А это означает, что прямая
x x
x x
−
−
1
2 1
=
y y
y y
−
−
1
2 1
про-
ходит через точку A(x1; y1).
Подставив в уравнение
x x
x x
−
−
1
2 1
=
y y
y y
−
−
1
2 1
координаты точки
B, получим равенство
x x
x x
2 1
2 1
−
−
=
y y
y y
2 1
2 1
−
−
, которое также явля-
ется истинным. Значит, прямая
x x
x x
−
−
1
2 1
=
y y
y y
−
−
1
2 1
проходит и
через точку B(x2; y2).
Г) Пример 5. Получим уравне-
ние окружности с центром в точке
N(a; b) и радиусом r (рис. 282).
Напомним, что окружностью с
центром N и радиусом r называют
линию плоскости, все точки кото-
рой удалены от центра N на рас-
стояние r.
Пусть M(x; y) — произвольная
точка окружности. Расстояние
между точками N и M, с одной
стороны, равно r. С другой стороны, квадрат этого расстояния
представляется выражением (x − a)2
+ (y − b)2
. Поэтому
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
.
Значит, если точка M(x; y) принадлежит окружности с
радиусом r и центром N(a; b), то его координаты x и y удо-
влетворяют уравнению
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
.
Пусть теперь координаты (x; y) точки K удовлетворяют
уравнению
(x − a)2
+ (y − b)2
= r2
.
Докажем, что сама точка принадлежит окружности, цен-
тром которой является точка N(a; b) и радиус равен r. Для
этого сравним расстояние от N до K с радиусом r. Имеем:
NK x a y b r r r= − + − = = =( ) ( ) .2 2 2
Поскольку расстояние от центра N окружности до точ-
ки K равно радиусу r, то точка K принадлежит этой окружности.
Таким образом, если координаты x и y точки K удовлет-
воряют уравнению (x − a)2
+ (y − b)2
= r2
, где N(a; b) — центр
данной окружности, r — ее радиус, то точка K принадлежит
этой окружности.
Рис. 282
Народная
асвета

176
? 1. Приведите примеры уравнений с двумя переменными.
2. Что называют решением уравнения с двумя переменными?
3. Какое уравнение с двумя переменными называют линейным?
4. Какие уравнения с двумя переменными называют равносильными?
5. Какие преобразования уравнения приводят к получению равносиль-
ных уравнений?
6. Что называют графиком уравнения с двумя переменными?
7. Какая линия является графиком линейного уравнения с двумя пе-
ременными?
8. Каким уравнением задается прямая?
9. Какое уравнение называется общим уравнением прямой; уравнени-
ем прямой с угловым коэффициентом?
10. Запишите уравнение окружности с центромN(a; b) и радиусом r.
574. Определите степень уравнения с двумя переменными:
а) 2x + 8y = 15; в) az − 7a = 4;
б) x + z = 1; г) 7u − u2
v = 1,2.
575. Определите, является ли решением уравнения s + t = 5
пара чисел:
а) (2; 3); в) 1 33
7
4
7
; ;
б) (−2,2; 7,2); г) 10 55
7
5
7
; .−
576. Определите, является ли решением уравнения ik = 6
пара чисел:
а) (2; 3); в) 2 24
7
1
3
; ;−
б) (−2; 3); г) − −2 24
7
1
3
; .
577. Определите, какие из пар значений переменных x и y,
приведенных в таблице, являются решениями уравнения.
x −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
y 4 3 −5,5 −0,5 1 1
3
1 −5 7 3,5 −9,5 6,5
а) 2x + 3y = 2; в) 2x − 3y = −17;
б) 3x + 2y = −7; г) 3x − 2y = 2.
578. Составьте уравнение с двумя переменными, имеющее
решением пару:
а) (2; 1); б) (2; −1); в) (2; 0,3); г) 2
3
1; .−
579. Из уравнения 4b − 7c = 14 выразите:
а) переменную b через переменную c;
б) переменную c через переменную b.
Народная
асвета

177
580. Из уравнения x2
+ y = 2 выразите:
а) переменную y через переменную x;
б) переменную x через переменную y.
581. Выразив каждую переменную через другую, найдите
область определения каждой из функций, которые задаются
уравнением:
а) 3a − 5b = 15; г) 1
6
ml = 2;
б) 7
8
p + 12q = 14; д) s2
− r = 1;
в) uv = 1,8; е) 9
16
y2
+ z = 3.
582. Выразите одну переменную через другую и найдите
четыре решения уравнения:
а) c + d = 17; в) 3y − 4z = 12;
б) 2x − y = 11; г) 5p + 2q = 2.
583. Найдите коэффициент k уравнения:
а) 3x − ky = −7, учитывая, что пара (1; 2) — решение этого
уравнения;
б) kxy = 28, учитывая, что пара (−0,5; −8) — решение этого
уравнения;
в) 2x2
− ky = 29, учитывая, что пара (−5; 7) — решение этого
уравнения.
584. Определите, принадлежит ли графику уравнения
l2
+ 3m = 15 точка:
а) A(−3; 2); б) B(3; 2); в) C(−3; −2); г) D(3; −2).
585. Докажите, что графики уравнений 4x − 3y = 11,
1
3
2
3
xy = − , x2
− 7y = 11 проходят через точку A(2; −1).
586. Постройте график уравнения:
а) 2x + y = 5; в) −mn = 1;
б) a − 5b = 0; г) 1,2uv = 6.
а) x2
− y = 0; в) 0 a − 5b = 0;
б) a3
− b = 0; г) u v+ = 0.
а) x − y − 2 = 0; в) 3(x − y) − 2y = 3;
б) 2x = y − 3; г) (x − y) + (x + y) = 3.
Народная
асвета

178
589. Запишите общее уравнение прямой, проходящей че-
рез точки:
а) A(−1; 1) и B(3; −2); г) G(−3; 6) и H(0; 0);
б) C(5; 3) и D(3; 5); д) I(−4; 1) и J(4; 1);
в) E(−2; 0) и F(−5; −3); е) K(5; 2) и L(5; 11).
590. Найдите координаты точки пересечения прямой
2с − 5d = 10 с осью:
а) абсцисс; б) ординат.
591. Запишите уравнение прямой, проходящей через точ-
ку N(−2; 7) параллельно оси:
а) абсцисс; б) ординат.
592. Найдите ординату точки M прямой, проходящей че-
рез точки A(−8; 4) и B(4; 1), если абсцисса этой точки равна:
а) −12; б) −6; в) 0; г) 20; д) 122.
593. Начертите окружность, заданную уравнением:
а) x2
+ y2
= 16; г) (p + 4)2
+ (q + 3)2
= 4;
б) (a − 2)2
+ (b − 5)2
= 9; д) l2
+ (k − 6)2
= 25;
в) (u + 3)2
+ (v − 1)2
= 1; е) (c + 7)2
+ d2
= 36.
594. Запишите уравнение окружности с центром в точке
S и радиусом r, учитывая, что:
а) S(0; 5), r = 3; в) S(−5; −7), r = 5
9
;
б) S(−2; 6), r = 7; г) S(7; −16), r = 7.
595. Запишите уравнение окружности, изображенной на
рисунке:
а) 283; б) 284; в) 285; г) 286.
596. Окружность задана уравнением (a + 4)2
+ (b − 1)2
= 25.
Определите, какие из точек K(−1; −3), L(−2; −4), M(−2; 5),
N(1; 3), P(0; 4), Q(0; 0) лежат:
а) на окружности;
б) внутри круга, ограниченного окружностью;
в) вне круга, ограниченного окружностью.
597. Докажите:
а) что отрезок с концами в точках C(−5; 12) и D(5; −12) явля-
ется хордой окружности, заданной уравнением x2
+ y2
= 169;
б) что уравнение x2
+ y2
− 2x + 6y − 15 = 0 задает на плоскости
окружность;
в) что уравнение x2
+ y2
− 12x + 6y + 9 = 0 задает на плоскости
окружность, касающуюся оси ординат и пересекающую ось
абсцисс.
Народная
асвета

179
598. Запишите уравнение окружности с центром в:
а) начале координат, если известно, что данной окружности
принадлежит точка T(−4; 2);
б) точке M(0; 7), если известно, что данной окружности при-
надлежит точка N(−1; 5).
599. Запишите уравнение окружности с диаметром PQ,
а) P(−3; 7), Q(7; −3); б) P(4; −3), Q(2; 5).
44444
600. Может ли линейное неравенство с одной переменной:
а) быть противоречивым;
б) удовлетворяться любым значением переменной;
в) иметь единственное решение?
а) 5 − a2
0; в) −6c2
− c + 12 0;
б) −z2
+ 7 0; г) −3x2
− 6x + 45 0.
Рис. 283
Рис. 285
Рис. 284
Рис. 286
Народная
асвета

180
а) e3
− 25e 0; е) (j − 3)(j2
− 121) 0;
б) 9f3
− f 0; ж) (k3
− 1)(k + 4) 0;
в) 108g3
− 3g 0; з) (l3
+ 8)(l − 3) 0;
г) (h2
− 1)(h + 3) 0; и) (m3
+ 27)(m + 6) 0.
д) (i2
− 49)(i − 5) 0;
а)
( )( )
;
x x
x
− −
−
1 2
3
0 в)
v v
v v
2
2
2 3
2 8
0
+ −
− −
;
б)
( )( )
;
y y
y
− −
−
3 5
2
0 г)
u u
u u
2
2
5 4
5 6
0
+ +
− −
.
604. Найдите значение выражения sin4
α − sin2
α + cos2
α,
а) sinα = a; б) cosα = b.
605. Учитывая, что tgα = 0,5, найдите значение выра-
жения:
а) 2
1 2
+
+
sin cos
cos
;α α
α
в) 2 5
42 2
+
+
sin cos
sin cos
;α α
α α
б) 3
22 2
−
−
sin cos
sin cos
;α α
α α
г)
sin sin cos
sin cos
.
2
2 2
3
4
α α α
α α
+
+
606. В трапецию с боковыми сторонами 8 см и 12 см можно
вписать окружность. Найдите большее основание трапеции, учи-
тывая, что ее средняя линия делит площадь в отношении 3 : 5.
607. В трапеции основания равны 25 см и 40 см, а диаго-
нали — 16 см и 63 см. Найдите площадь этой трапеции.
608. Докажите, что точка пересечения биссектрис тре-
угольника разделяет каждую биссектрису в отношении, пер-
вый компонент которого есть сумма сторон, заключающих
биссектрису, а второй компонент равен третьей стороне, если
считать от вершины.
* * *
609. В каких местах на сторо-
нах треугольной картонки ABC
нужно выбрать точки M, N, P, Q
(рис. 287), чтобы треугольники,
которые получатся после разре-
зания по ломаной MNPQB, име-
ли равные площади?Рис. 287
Народная
асвета

181
610. Восстановите квадрат по точке пересечения его ди-
агоналей и двум точкам на смежных сторонах.
611. Докажите, что если x1 и x2 — корни уравнения
x2
− 6x + 1 = 0, то при любом натуральном n значение выраже-
ния x xn n
1 2+ — целое число, не кратное пяти.
15. Система уравнений с двумя переменными
А) Пример 1. Когда сторону AB треугольника ABC (рис. 288)
уменьшили на 10 мм, а проведенную к ней высоту CH уве-
личили на 15 мм, то получился новый треугольник A1B1C1
(рис. 289), площадь которого оказалась больше площади
данного треугольника ABC на 100 мм2
. Найдите отрезки AB
и CH, учитывая, что первый отрезок на 10 мм длиннее.
Пусть отрезки AB и CH соот-
ветственно равны a мм и b мм.
Тогда
S abABC = 1
2
.
Для треугольника A1B1C1
его сторона A1B1 и проведен-
ная к ней высота C1H1 равны
a − 10 мм и b + 15 мм соответ-
ственно. Значит,
S a bA B C1 1 1
1
2
10 15= − +( )( ).
В соответствии с условием
задачи связь между площадя-
ми SABC и SA B C1 1 1
выражается
уравнением
1
2
1
2
10 15 100( )( ) ,a b ab− + − =
а между a и b — уравнением
a − b = 10.
Мы получили два урав-
нения с двумя переменны-
ми a и b. Решение задачи тре-
бует найти такие значения
этих переменных, которые пре-
вращают в истинное высказы-
вание как уравнение
1
2
1
2
10 15 100( )( ) ,a b ab− + − =
Рис. 288
Рис. 289
Народная
асвета

182
так и уравнение a − b = 10, т. е. найти общие решения ука-
занных уравнений.
Системой уравнений называется утверждение, которое со-
стоит из двух или большего числа уравнений и которое истин-
но при тех и только тех наборах значений входящих в уравне-
ния переменных, при которых истинно каждое из уравнений.
Составленную систему уравнений записывают так:
1
2
1
2
( )( ) ,
.
a b ab
a b
− + − =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
10 15 100
10
Решением системы уравнений с двумя переменными на-
зывается пара значений переменных, которая является ре-
шением каждого из уравнений системы.
Решить систему уравнений означает найти все ее решения
или установить, что их нет.
Например, пара (50; 40) является решением записанной
системы, так как истинно как равенство 1
2
(50 − 10)(40 + 15) −
− 1
2
50 40 = 100, так и равенство 50 − 40 = 10. Пара (15; 5)
не является решением этой системы, так как равенство
1
2
(15 − 10)(5 + 15) − 1
2
15 5 = 100 не является истинным.
Б) Пример 2. Решим систему
2 3 9
3 8
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
.
Для этого построим графики уравнений 2x − 3y = 9 и
3x + y = 8. Графиком первого уравнения является прямая AB,
графиком второго — прямая CD (рис. 290).
Координаты любой точки
прямой AB дают решение урав-
нения 2x − y = 9, а координаты
любой точки прямой CD — ре-
шение уравнения 3x + y = 8. Точ-
ка пересечения этих прямых
принадлежит обеим прямым AB
и CD, поэтому координаты этой
точки удовлетворяют как урав-
нению 2x − y = 9, так и уравне-
нию 3x + y = 8, т. е. составляют
решение системы. Посколь-Рис. 290
Народная
асвета

183
ку прямые AB и CD пересекаются в точке P(3; −1), то пара
(3; −1) — решение системы.
Способ, которым мы решили систему уравнений, называ-
ется графическим. Решение системы, найденное графическим
способом, обычно приближенное.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя
переменными, причем в каждом уравнении минимум один
коэффициент при переменных не равен нулю. Прямые, ко-
торые являются графиками уравнений системы, могут пере-
секаться, быть параллельными или совпадать. Это означает,
что система двух линейных уравнений с двумя переменными
может иметь единственное решение, не иметь решений или
иметь бесконечно много решений.
Пример 3. Выясним, сколько решений имеет система
5 4 20
16 17 190
a b
a b
− = −
− + =
⎧
⎨
⎩
,
.
Для этого определим взаимное расположение графиков
уравнений данной системы. Выразим из каждого уравнения
переменную b через переменную a:
b a
b a
= +
= +
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
5
4
16
17
190
17
5,
.
Уравнения b a= +5
4
5 и
b a= +16
17
190
17
задают линей-
ные функции. Угловые коэф-
фициенты 5
4
и 16
17
прямых,
которые являются графика-
ми этих функций (рис. 291),
различны. Ранее было дока-
зано, что такие прямые пере-
секаются. А это означает, что
система имеет единственное
решение.
Пример 4. Ответим на во-
прос о количестве решений
системы
10 20 7
2 4 13
k l
k l
+ =
+ = −
⎧
⎨
⎩
,
. Рис. 291
Народная
асвета

184
Выразив из каждого уравнения системы переменную l че-
рез переменную k, получим
l k
l k
= − +
= − −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1
2
7
20
1
2
13
4
,
.
Прямые, являющиеся графиками линейных функций
l k= − +1
2
7
20
и l k= − −1
2
13
4
, параллельны (рис. 292), так как
их угловые коэффициенты равны − 1
2
, а точки A 0 7
20
; и
B 0 13
4
; − пересечения с осью ординат различны. Это означа-
ет, что рассматриваемая система уравнений не имеет решений.
Пример 5. Установим, сколько решений имеет система
3 7 14
15 35 70
p q
p q
− =
− =
⎧
⎨
⎩
,
.
Если выразить из каждого уравнения системы перемен-
ную q через переменную p, получим:
q p
q p
= −
= −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3
7
3
7
2
2
,
.
Видим, что графики уравнений 3p − 7q = 14 и 15p − 35q = 70
совпадают (рис. 293). Это означает, что система имеет бес-
конечное множество решений, которое составляют все пары
чисел (p; q), где p — произвольное число, а q p= −3
7
2.
В) Графическое решение систем уравнений требует пред-
варительного построения графиков уравнений, составляю-
щих систему, и чаще всего дает приближенный результат.
Рассмотрим аналитические способы решения систем уравне-
ний — способ алгебраического сложения и способ подстановки.
Рис. 293Рис. 292
Народная
асвета

185
Пример 6. Решим способом алгебраического сложения си-
стему уравнений
2 7 8
4 7 2
m n
m n
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
.
(1)
Обратим внимание на то, что левые части 2m + 7n и 4m + 7n
уравнений системы отличаются своими первыми слагаемыми
и это отличие выражает разность (4m + 7n) − (2m + 7n), т. е.
2m. Это отличие левых частей влечет за собой отличие пра-
вых частей на 2 − 8, т. е. на −6. Таким образом, 2m = −6. Зна-
чит, m = −3. Знание значения переменной m позволяет най-
ти соответствующее значение другой переменной n через под-
становку найденного значения переменной m в первое или
второе уравнение:
2 (−3) + 7n = 8;
−6 + 7n = 8;
7n = 14;
n = 2.
4 (−3) + 7n = 2;
−12 + 7n = 2;
7n = 14;
n = 2.
Значит, решением системы является пара (m; n), равная
(−3; 2).
Подытожим рассуждения, которые мы провели при реше-
нии системы. Заметив, что коэффициенты при переменной m
одинаковы, мы из компонентов первого уравнения вычли со-
ответствующие компоненты второго уравнения. Можно ска-
зать и иначе: умножили компоненты первого уравнения на
−1 и полученное уравнение покомпонентно сложили со вто-
рым уравнением. Получили новое уравнение 2m = −6 с одной
переменной, используя которое и еще одно из уравнений дан-
ной системы нашли решение системы. Другими словами, дан-
ную систему (1) мы заменили новой системой
2 6
2 7 8
m
m n
= −
+ =
⎧
⎨
⎩
,
(2)
или системой
2 6
4 7 2
m
m n
= −
+ =
⎧
⎨
⎩
,
,
в которой первое уравнение содержит только одну переменную.
При решении системы (1) мы заменили ее системой (2), ис-
пользуя то, что эти системы имеют одни и те же решения.
Системы уравнений с двумя переменными, которые имеют
одни и те же решения, называют равносильными системами.
Народная
асвета

186
Геометрически равносиль-
ность систем (1) и (2) озна-
чает, что графики уравнений
2m + 7n = 8 и 4m + 7n = 2 пере-
секаются в той же точке, что
и графики уравнений 2m = −6
и 4m + 7n = 2, иными слова-
ми, все три прямые пересека-
ются в одной точке A(−3; 2)
(рис. 294).
Пример 7. Решим систему уравнений
8 21 50
6 17 28
y z
y z
− =
+ = −
⎧
⎨
⎩
,
.
В этой системе, перед тем как проводить покомпонентное
сложение уравнений, нужно коэффициенты при одной из пе-
ременных сделать противоположными числами. Это проще
сделать для коэффициентов при переменной y. Умножив пер-
вое уравнение на 3, а второе — на −4, придем к системе
24 63 150
24 68 112
y z
y z
− =
− − =
⎧
⎨
⎩
,
.
После покомпонентного сложения уравнений получим си-
стему
− =
− =
⎧
⎨
⎩
131 262
24 63 150
z
y z
,
.
Из уравнения −131z = 262 находим, что z = −2. Подставив
найденное значение z в уравнение 8y − 21z = 50, найдем, что
y = 1.
Ответ. (1; −2).
При решении системы двух линейных уравнений с дву-
мя переменными способом алгебраического сложения мож-
но придерживаться такого порядка действий:
умножением на соответствующие числа сделать ко-
эффициенты при одной переменной противоположными
числами;
сложить покомпонентно уравнения новой системы;
решить полученное уравнение с одной переменной;
найти соответствующее значение другой переменной.
Рис. 294
Народная
асвета

187
Г) Пример 8. Решим систему уравнений
2 5 19
3 3
r s
r s
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
(3)
новым способом подстановки.
Из второго уравнения выразим переменную s через пере-
менную r:
s = 3 − 3r.
Равенство s = 3 − 3r означает, что значение переменной s
такое же, как и значение выражения 3 − 3r. Поэтому в пер-
вом уравнении заменим переменную s выражением 3 − 3r:
2 5 3 3 19
3 3
r r
r s
− − =
+ =
⎧
⎨
⎩
( ) ,
.
(4)
Система (3) и система (4),
полученная указанным пре-
образованием, имеют од-
ни и те же решения. Рав-
носильность систем (3) и (4)
выражается в том, что все
три прямые, которые явля-
ются графиками уравнений
2r − 5s = 19, 3r + s = 3,
2r − 5(3 − 3r) = 19,
пересекаются в одной точ-
ке B(2; −3) (рис. 295).
Уравнение
2r − 5(3 − 3r) = 19
содержит только одну переменную r. Решим его:
2r − 15 + 15r = 19;
17r = 34;
r = 2.
Подставив в равенство s = 3 − 3r вместо переменной r ее
значение 2, найдем соответствующее значение переменной s:
s = 3 − 3 2;
s = −3.
Пара (2; −3) является решением системы (4), а поэтому и
решением данной системы (3).
Рис. 295
Народная
асвета

188
Пример 9. Решим способом подстановки систему урав-
нений
7 6 6
3 8 27
u v
u v
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
.
Из первого уравнения выразим переменную u через пере-
менную v:
7u = 6 − 6v;
u v
= −6 6
7
.
Во втором уравнении переменную u заменим выражением
6 6
7
− v
:
3 6 6
7
− v
+ 8v = 27.
Решим это уравнение с переменной v:
3 (6 − 6v) + 7 8v = 7 27;
18 − 18v + 56v = 189;
38v = 171;
v = 4,5.
Подставив это значение v в уравнение u =
6 6
7
− v
, найдем со-
ответствующее значение u:
u = −6 6 4 5
7
,
;
u = −3.
Ответ. u = −3; v = 4,5.
При решении системы двух линейных уравнений с дву-
мя переменными способом подстановки можно придержи-
ваться такого порядка действий:
выразить из какого-нибудь уравнения одну переменную
через другую;
подставить во второе уравнение системы вместо этой
переменной полученное выражение;
решить полученное уравнение с одной переменной;
найти соответствующее значение другой переменной.
? 1. Что называют системой уравнений?
2. Что называют решением системы уравнений с двумя переменными?
3. Что означает задание Решить систему уравнений?
4. При каких условиях система двух линейных уравнений с двумя
переменными имеет единственное решение?
переменными не имеет решений?
Народная
асвета

189
переменными имеет бесконечно много решений?
7. Как система уравнений решается графическим способом?
8. Каков порядок решения системы двух уравнений с двумя перемен-
ными способом алгебраического сложения?
9. Каков порядок решения системы двух уравнений с двумя перемен-
ными способом подстановки?
612. Определите, является ли решением системы уравне-
ний
a b
a b
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
5
3 3
,
пара:
а) (3; −1); б) (2; 2); в) (2; −3); г) (2; 3).
613. Определите, какая из приведенных пар (−2; 4),
(−2; −4), (2; −4), (2; 4) является решением системы:
а)
− + = −
+ = −
⎧
⎨
⎩
m n
m n
6
2 7 20
,
;
в)
14 4 44
22 3 56
r s
r s
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
7 8 46
2 17 64
e f
e f
− = −
− − =
⎧
⎨
⎩
,
;
г)
11 41 142
21 13 10
a x
a x
− =
− =
⎧
⎨
⎩
,
.
614. Составьте какую-либо систему уравнений с двумя пе-
ременными, решением которой является пара:
а) (4; 2) б) (−4; 2) в) (2; −4); г) (−2; −4).
615. Используя рисунок 296, решите систему уравнений:
Рис. 296
Народная
асвета

190
а)
2 6
2 0
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
е)
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
3
5 9
,
;
л)
11 8 21
5 9
x y
x y
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
2 0
3
,
;
ж)
2 6
2 5 18
x y
x y
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
,
;
м)
x y
x y
+ 2 0,
2 5 18;
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ − −
в)
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
2 0
5 9
,
;
з)
2 6
11 8 21
x y
x y
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
,
;
н)
x y
x y
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
2 0
11 8 21
,
;
г)
2 6
3
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
и)
2 5 18
11 8 21
x y
x y
− = −
− = −
⎧
⎨
⎩
,
;
о)
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
3
0 3
,
;
д)
2 6
5 9
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
к)
2 5 18
5 9
x y
x y
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
п)
0 + 9,
5 + 9.
x y
x y
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
616. Прямая x − y = 3 пересекает прямые 2x − 5y = −18
и 11x − 8y = −21. Но на рисунке 296 это не отражено. Пред-
ложите сами способ нахождения точек пересечения прямой
x – y = 3 с каждой из прямых 2x − 5y = −18 и 11x − 8y = −21
и найдите координаты этих точек.
617. Решите графически систему уравнений:
а)
4 0
6
k l
k l
− =
− = −
⎧
⎨
⎩
,
;
в)
3 6 2
2 4 5
m n
m n
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
5 3 6
2 5 10
a b
a b
+ = −
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
г)
3 4 6
2 0
x y
x
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
.
а)
b c
b c
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
1
3 9
,
;
в)
a x
a x
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
0
3 4 14
,
;
б)
y z
y z
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
2 4
2 5 10
,
;
г)
3 2 6
3 10 12
b y
b y
− =
+ = −
⎧
⎨
⎩
,
.
а)
3 2 11
4 5 7
x y
x y
+ = −
− = −
⎧
⎨
⎩
,
;
в)
2 7 10
3 5
m n
n m
+ = −
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
2 6 0
3 12 0
a
b
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
г)
4 6 10
6 9 15
u v
u v
− =
− =
⎧
⎨
⎩
,
.
Народная
асвета

191
620. Найдите координаты точки пересечения прямых:
а) 2m + y = 8 и 2m − y = 1; в) 2p + q = 1 и q − p = 4;
б) 3r + s = 2 и r + 2s = −6; г) 4k + 3l = 6 и 2k + l = 4.
а)
x z
x z
− =
− =
⎧
⎨
⎩
2
3 3 6
,
;
в)
15 8 19
3 2 13
a c
a c
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
2 7
4 2 14
t y
t y
− =
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
г)
5 14 24
19 21 17
b d
b d
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
,
.
622. Определите, сколько решений имеет система:
а)
4 12
3 3
a b
b a
− =
+ = −
⎧
⎨
⎩
,
;
в)
1 5 1
3 2 2
, ,
;
m
m n
=
− + = −
⎧
⎨
⎩
б)
p q
q p
− =
− =
⎧
⎨
⎩
3 0
3 6
,
;
г)
x y
y x
+ =
= −
⎧
⎨
⎩
2 3
0 5
,
, .
623. Определите, сколько решений имеет система:
а)
12 3 5
6 24 10
m n
n m
− =
− = −
⎧
⎨
⎩
,
;
в)
a b
a b
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
0
2 2 0
,
;
б)
x y
y x
=
− =
⎧
⎨
⎩
3
6 2 3
,
;
г)
2 3 13
3 13
c d
c d
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
,
.
624. Способом алгебраического сложения решите систему
уравнений:
а)
2 5 13
3 5 18
a b
a b
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
,
;
в)
3 2 304
2 3 296
c d
c d
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
2 3 8
2 5 8
x y
x y
− =
+ = −
⎧
⎨
⎩
,
;
г)
5 9 17
3 7 15
t z
t z
− =
− =
⎧
⎨
⎩
,
.
625. Решите систему:
а)
40 3 10
20 7 5
r s
r s
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
г)
13 12 14
11 4 18
b d
b d
− =
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
5 2 1
15 3 3
t u
t u
− =
− = −
⎧
⎨
⎩
,
;
д)
10 9 8
21 15 0 5
k m
m k
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
, ;
в)
33 42 10
9 14 4
a c
a c
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
е)
9 8 2
5 4 11
l n
n l
+ = −
= − −
⎧
⎨
⎩
,
.
Народная
асвета

192
626. Составьте уравнение с угловым коэффициентом пря-
мой, которая проходит через точки:
а) A(7; −2) и B(−6; 11); в) C(4; 2) и D(−5; 5);
б) P(7; 6) и Q(−27; −17); г) M(−16; 19) и N(−12; 7).
627. Запишите формулу, задающую линейную функцию,
график которой пересекает оси координат в точках:
а) A(0; 11) и B(−5; 0); б) M(4; 0) и N(0; −7).
628. Способом подстановки решите систему уравнений:
а)
r s
r s
= +
− =
⎧
⎨
⎩
2
5 3 4
,
;
в)
l m
l m
= −
+ =
⎧
⎨
⎩
2 6
4 7 6
,
;
б)
k n
n k
= −
+ =
⎧
⎨
⎩
3 4
6 5 1
,
;
г)
p t
p t
= +
− =
⎧
⎨
⎩
4 7
2 9 13
,
.
629. Решите систему уравнений:
а)
p q
q p
= +
+ =
⎧
⎨
⎩
1
5 2 16
,
;
в)
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
4
2 13
,
;
б)
r s
r s
= −
− − =
⎧
⎨
⎩
2
3 2 11 0
,
;
г)
3 4
3 2
a b
a b
+ =
− + = −
⎧
⎨
⎩
,
.
а)
a b
b a
− =
− =
⎧
⎨
⎩
2 1
6 7
,
;
г)
4 11
6 2 13
m n
m n
− =
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
7 3 13
2 5
p q
p q
− =
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
д)
c d
d c
− =
− = −
⎧
⎨
⎩
20
2 15 1
,
;
в)
k l
k l
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
6
3 5 2
,
;
е)
25 4
3 2 30
− = −
− =
⎧
⎨
⎩
e f
e f
,
.
а)
3 4 0
2 3 1
j k
j k
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
в)
5 6 20
9 2 25
q r
r q
+ = −
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
7 2 0
4 9 10
n p
p n
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
,
;
г)
3 1 8
11 3 11
a b
b a
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
,
.
632. Найдите координаты точки пересечения графиков
уравнений:
а) 5a + 3b = 140 и 11a − 6b = 245;
б) 11x + 2y = −5 и −13x − 6y = 115;
Народная
асвета

193
в) 17j + 4k = 35 и 19j − k = −125;
г) 23m − 5n = 35 и −3m + n = −15.
а)
m n
m n
2 3
2
3 3
6
1
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
;
в)
a b
a b
2 3
3 4
8
11
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
;
б)
r s
r s
3 2
2 3
5
1
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
;
г)
d e
d e
2 3
3 5
1
2
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
.
634. Запишите формулу, задающую линейную функцию,
график которой представлен на рисунке:
а) 297; в) 299;
б) 298; г) 300.
а)
5 1 2 6
3 1 3 6
( ) ,
( ) ;
x z
x z
+ = +
− = −
⎧
⎨
⎩
б)
1 3 2 2
1 3 3 2
− = −
− = −
⎧
⎨
⎩
t y
y t
( ),
;
в)
4 2 3 3 1
3 2 2 5
( ) ( ) ,
( ) ( ) ;
a c
a a c
− − + =
+ − − =
⎧
⎨
⎩
г)
7 2 5 3 6
3 2 2 3 6
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
b d b d
b d b d
+ − + =
+ − + = −
⎧
⎨
⎩
Рис. 297
Рис. 298 Рис. 299 Рис. 300
Народная
асвета

194
а)
x y
x y
+ −
− +
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3
2
2
3
1
4
1
3
2
4
,
;
в)
m n n
m
n
+
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2
2
3
5
2
3
2
2 0
,
;
б)
a b a b
a b a b
+ −
+ −
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2 3
4 3
6
6
,
;
г)
2 5 2
2
3 2
3
2 3
4 3
,
,
.
p v
p v
p
p
−
−
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
44444
637. Преобразуйте степень:
а) 125−3
б) 1
81
3
в) 163
г) 1
32
2−
в степень с основанием 2.
638. Используя представленный на ри-
сунке 301 график функции A = 4c2
− 12c + 9,
решите неравенство:
а) 4c2
− 12c + 9 0; в) 4c2
− 12c + 9 0;
б) 4c2
− 12c + 9 0; г) 4c2
− 12c + 9 0.
а)
4 1 3 3
5 2
2
3
1
3
8
2
3 12
5
a a
a a
− +
− −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
− +
,
;
б)
15 2
9
1
5 3
19 2
2
11 2
4
2
+ −
− −
−
−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
c c c
c c
c
,
.
640. Докажите, что все точки графика
функции, заданной формулой:
а) y = x2
− 5x + 7, находятся в верхней полуплоскости;
б) k = −a2
+ 7a − 13, находятся в нижней полуплоскости.
641. Определите вид треугольника в зависимости от вели-
чины его большего угла, учитывая, что его стороны равны:
а) 10; 12; 16; в) 19; 23; 29; д) l; l + 1; l − 7.
б) 20; 21; 29; г) 15 1 15 15 1− +; ; ;
Рис. 301
Народная
асвета

195
642. Начертите отрезок EF так, как показано на рисунке
302. Найдите такую точку X этого отрезка, что:
а) EX
XF
= 2
3
; б) FX
XE
= 2
3
.
643. Угол против основания равнобедренного треугольни-
ка равен 120°. Найдите:
а) основание треугольника, учитывая, что боковая сторона
равна единице;
б) боковую сторону треугольника, учитывая, что основание
равно единице.
644. Двое рабочих выполнили определенный заказ за
12 дней. Если бы сначала первый выполнил половину заказа, а
потом второй заканчивал работу, то это заняло бы 25 дней. За
сколько дней каждый рабочий мог бы выполнить весь заказ?
645. Два токаря должны были обработать определенное
количество деталей. После того как 3 ч они работали вместе,
второй работал один еще 4 ч. В результате задание оказалось
перевыполненным на 12,5 %. Определите, за какое время мог
бы выполнить все задание каждый токарь, учитывая, что вто-
рому для этого потребовалось бы на 4 ч меньше.
646. Турист прошел путь от A до B со скоростью 6 км/ч, а за-
тем от B до C — со скоростью 3 км/ч. Найдите отношение AB : BC,
учитывая, что средняя скорость движения составила 5 км/ч.
647. Катер по течению реки проходит путь от A до B за
5 ч, а назад возвращается за 7 ч. Определите, сколько часов
будет плыть плот от A до B.
648. Время движения автобуса от Минска до Бреста
(рис. 303) в новом расписании сокращено на 45 мин, и поэ-
тому новая средняя скорость движения должна быть на
13,5 км/ч больше прежней. Найдите среднюю скорость дви-
жения автобуса по новому расписанию.
Рис. 303Рис. 302
Народная
асвета

196
649. По шоссе со скоростью 60 км/ч движется колонна
машин, растянувшаяся на 1 км. Проезжая мимо поста ГАИ,
каждая машина снижает скорость до 40 км/ч. Определите,
какую длину будет иметь эта колонна после того, как все ма-
шины проедут пост ГАИ.
* * *
650. Среди двадцати пяти монет есть одна фальшивая, ко-
торая немножко легче настоящей. Как за три взвешивания на
чашечных весах найти фальшивую монету?
651. Данная прямая не проходит ни через одну из вершин
2009-угольника. Может ли она пересекать все его стороны?
652. Докажите, что не существует такого натурального
числа п, что число 6п + 2 является квадратом целого числа.
16. Нелинейные системы уравнений
Рассмотрим более сложные системы уравнений.
А) Пример 1. Решим систему уравнений
p q
p q
2 2
169
7
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
(1)
Графики уравнений p2
+ q2
= 169 и p + q = 7 представлены
на рисунке 304. Эти графики — окружность и прямая — пе-
ресеклись в двух точках A(12; −5) и B(−5; 12). Координаты
этих точек удовлетворяют как уравнению p2
+ q2
= 169, так
Рис. 304
Народная
асвета

197
и уравнению p + q = 7. Поэтому данная система имеет два ре-
шения: (12; −5) и (−5; 12).
Мы решили данную систему графически. Теперь решим ее
способом подстановки. Для этого выразим из второго урав-
нения переменную p через переменную q:
p = 7 − q.
Это выражение переменной p через переменную q подста-
вим в первое уравнение:
(7 − q)2
+ q2
= 169.
В результате получили новую систему
( ) ,
.
7 169
7
2 2
− + =
= −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
q q
p q
(2)
Первое уравнение новой системы истинно, если
q = −5 или q = 12.
Поэтому система (2), а значит, и система (1) равносильна
утверждению:
q
p q
= −
= −
⎧
⎨
⎩
5
7
,
или
q
p q
=
= −
⎧
⎨
⎩
12
7
,
.
Тогда
q
p
= −
=
⎧
⎨
⎩
5
12
,
или
q
p
=
= −
⎧
⎨
⎩
12
5
,
.
Ответ. (12; −5); (−5; 12).
Способом подстановки можно решить любую систему двух
уравнений с двумя переменными, в которой одно уравнение
имеет вторую степень, а другое — первую.
Пример 2. Решим систему уравнений
2 3
2
2 1
a b
a b
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
Выразив из второго уравнения b через a и выполнив соот-
ветствующую подстановку в первое уравнение, получим рав-
носильную систему
b a
a a
= −
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ −
2 1
22 3
2 1
,
,
Народная
асвета

198
или
b a
a a
a a
= −
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
− +
−
2 1
0
4 9 2
2 1
2
,
.
( )
Числитель дроби
4 9 2
2 1
2
a a
a a
− +
−( )
обращается в нуль при a1 = 1
4
и при a2 = 2. Вместе с этим знаменатель этой дроби при най-
денных значениях переменной a не равен нулю. Поэтому чис-
ла 1
4
и 2 — решения уравнения
4 9 2
2 1
2
0
a a
a a
− +
−
=
( )
. Этим значени-
ям переменной a соответствуют такие значения переменной
b: b1
1
2
= − и b2 = 3.
Ответ. 1
4
1
2
; ;− (2; 3).
Б) Пример 3. Решим систему уравнений
3
4
5
6
1
2
2
3
1
3
u v
u v
− = −
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
.
Если эту систему тождественно преобразовать так:
3
4
1 5
6
1
1
2
1 2
3
1
1
3
u v
u v
− = −
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
,
то можно заметить, что новая система является линейной от-
носительно 1
u
и 1
v
. Обозначим эти выражения r и s:
1
u
r= ; 1
v
s=
и будем считать r и s новыми переменными. Тогда получим
систему
3
4
5
6
1
2
2
3
1
3
r s
r s
− = −
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
,
которая равносильна системе
9 10 12
3 4 18
r s
r s
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
,
.
Решив ее, найдем, что (r; s) = (2; 3).
Народная
асвета

199
Теперь вернемся к основным переменным u и v:
1
2
u
= ; 1
3
v
= .
Значит, u = 1
2
и v = 1
3
.
Поскольку при этих значениях переменных u и v знамена-
тели дробей исходной системы не обращаются в нуль, то па-
ра 1
2
1
3
; — ее решение.
Ответ. 1
2
1
3
; .
Способ, использованный при решении системы в примере 3,
называют способом введения вспомогательной переменной.
? 1. Как способом подстановки решается система уравнений с двумя пе-
ременными, в которой одно уравнение имеет первую степень, а дру-
гое — вторую?
2. В чем при решении систем уравнений заключается способ введения
вспомогательной переменной?
а)
f c
f c
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
0
2 3
,
;
в)
f c
c f
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
0
4 3
,
;
б)
f c
c f
− =
− = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
0
6
,
;
г)
f c
c f
− =
+ = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
0
5 6
,
.
654. Используя рисунок 306, со-
ставьте систему, компонентами кото-
рой являются окружность и прямая:
а) AB; в) CD; д) AC;
б) BC; г) DA; е) BD.
655. Решите графически систему
уравнений:
а)
x y
x y
2 2
25
1
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
x y
x y
2 2
25
7 25
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
x y
x y
2 2
25
1
+ =
+ = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
д)
x y
x y
2 2
25
7 25
+ =
− = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
в)
x y
x y
2 2
25
7 25
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
е)
x y
x y
2 2
25
7 25
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
. Рис. 305
Народная
асвета

200
а)
kl
l k
= −
+ =
⎧
⎨
⎩
8
4 4
,
;
в)
kl
l k
= −
+ = −
⎧
⎨
⎩
8
7
,
;
б)
kl
l k
= −
− =
⎧
⎨
⎩
8
2 10
,
;
г)
kl
l k
= −
+ =
⎧
⎨
⎩
8
8 0
,
.
а)
k l
k l
2 2
2 7
2
− =
= +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
в)
q qv
q v
2
5 10
5 1
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
b bc
b c
2
2 7
3 2
− =
= +
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
5 9
2 3
2
ad d
a d
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
а)
i j
ij
j i
2 2
4
2
1 5
10 9
−
=
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
, ,
;
в)
m mn n
m n
2 2
7
1
− + =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
k kl l
k l
2 2
13
4
+ + =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
p q p q
p q
2 2
2 3 2 10 0
2 1 0
+ − − − =
− − =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
Рис. 306
Народная
асвета

201
а)
x
y
y
x
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
5
6
5
,
;
в)
a c
a ac c
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
5
72 2
,
;−
б)
k
l
l
k
k l
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
13
1
6
2 2
,
;
г)
m n mn
m n
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
202 2
,
.
а)
a x
a x
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
10
1 1 5
12
,
;
в)
c z
c z
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
6
1 21 1
,
, ;
б)
b y
y b
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
6
1 1 3
20
,
;
г)
d t
d t
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 3
0 11 1
,
, .
а)
r
s
s
r
r s
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
25
12
2 2
25
,
;
в)
a
c
c
a
a c
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
3
72
1
3
2 2
,
;
б)
m
n
n
m
m n
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
16
15
2 2
16
,
;
г)
2
2
17
4
2 2
20
k
l
l
k
k l
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
Рис. 307
Народная
асвета

202
662. Введя вспомогательные переменные, решите систему
уравнений:
а)
20 3
6 4
20
43
x y
x y
− = −
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
;
в)
2 4 7
12
10 6 5
6
1
t z
t z
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
;
б)
4 5
7 3
32
9
a b
a b
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
;
г)
2
3
10 7
3
1
3
5 5
6
c d
c d
− = −
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
.
44444
663. Решите двойное неравенство:
а) 32 3x − 11 76; в) −7 8z + 17 81;
б) −37 4y + 11 77; г) 0 10z + 23 183.
а) a − 2 3
a
; в) n − 1
n
4;
б)
y
y3
4 4
3
− ; г) m − 3 3
1m −
.
а)
14 2 3
1
a a
a
( )+
+
( )( )
;
9 30 2 3
4
a a
a
− +
−
б)
( )( )5 4 3 2
3
c c
c
+ −
+
( )( )
;
3 2 2
1
c c
c
− +
−
в)
( )( )e e e
e e
+ − +
− +
5 3 3 1
6 9
2
2
( )( )
;
e e e
e e
+ + −
− +
5 2 1
6 9
2
2
г)
( )( )g g g g
g
2 2
6 9 3 2 1
5
− + − −
−
( )( )
.
g g g g
g
2 2
6 9 2 2 4− + + −
−
666. На координатной плоскости начертите линию, зада-
ваемую уравнением:
а) 4x − 6y = 9; б) (x + 2)2
+ (y − 2)2
= 4.
667. Окружность x2
+ y2
= 169 пересекает прямую y = x − 7
в точках A и B, расположенных соответственно в третьей и
первой координатных четвертях (рис. 308). Найдите:
а) угол, образованный лучом OB с осью абсцисс;
б) угол, образованный лучом OA с осью ординат;
Народная
асвета

203
в) угол между лучами OA и OB;
г) площадь треугольника AOB;
д) длину дуги ACB, где C — точ-
ка окружности, расположенная
в четвертой четверти;
е) площадь сектора OACB;
ж) площадь сегмента ABC.
668. Над заказом некото-
рое время работал мастер с
производительностью 16 дета-
лей в час, а затем выполне-
ние заказа заканчивал ученик,
работавший с производитель-
ностью 7 деталей в час. Найди-
те время работы над заказом мастера и ученика в отдель-
ности, учитывая, что средняя производительность оказалась
равной 11 деталям в час и мастер обработал на 29 деталей
больше.
669. Один цех от оказания услуг населению получает
27 % своей прибыли, а другой — 37 %. Известно, что оказа-
ние услуг населению приносит 31 % их суммарной прибыли.
Определите, какой цех получает больший доход и во сколь-
ко раз.
670. Букинистический магазин про-
дал книгу со скидкой 10 % от пер-
воначально назначенной цены и по-
лучил при этом 8 % прибыли. Опре-
делите, какой процент прибыли пла-
нировал получить магазин вначале.
671. Из Городка в Езерище (рис. 309)
выехал велосипедист, который до Дро-
жаков ехал 1 ч 45 мин, а от Дрожаков
до Езерища 48 мин. Найдите время,
за которое велосипедист проехал бы
весь путь с той и с другой скоростью,
учитывая, что при езде со скоростью,
которая была на первом участке, ве-
лосипедист затратил бы на 10 мин
меньше.Рис. 309
Рис. 308
Народная
асвета

204
672. Мумбаи, Дели, Колката, Бангалор, Мадрас — круп-
нейшие города Индии. Численность населения Бангалора от-
носится к уменьшенной на 163 тыс. человек численности на-
селения Дели как 4 : 9. Численность населения Колкаты, а
также уменьшенная на 5 тыс. человек численность населения
Мумбаи и увеличенная на 371 тыс. человек численность на-
селения Мадраса — как 5 : 13 : 5. Найдите численность на-
селения этих городов Индии, учитывая, что численность на-
селения Колкаты на 294 тыс. человек больше численности
населения Бангалора и относится к увеличенной на 4 тыс.
человек численности населения Бангалора как 467 : 438.
* * *
673. Докажите, что высота треугольника, проведенная к
его большей стороне, не больше суммы длин перпендикуля-
ров, проведенных из некоторой точки этой наибольшей сто-
роны к двум другим сторонам тре-
угольника.
674. В прямоугольном треуголь-
нике катет AB больше катета BC. На
них выбраны точки M и N так, что
AM = BC и CN = BM (рис. 310). Дока-
жите, что угол между прямыми AN
и CM равен 45°.
675. Найдите все многочлены f(x), для которых верно тож-
дество
xf(x − 1) = (x − 5)f(x).
17. Решение задач с помощью систем уравнений
А) Системы уравнений можно использовать при решении
текстовых задач.
Схема решения задачи с помощью системы уравнений по-
хожа на схему решения задачи с помощью уравнения и вклю-
чает следующие этапы:
некоторые неизвестные величины обозначить буквами-
переменными, а другие величины, о которых говорится в
условии задачи, выразить через эти переменные;
зависимости между величинами, описанные условием за-
дачи, выразить уравнениями, которые вместе составляют
систему уравнений;
Рис. 310
Народная
асвета

205
решить полученную систему;
сопоставить полученные решения системы с условием и
сформулировать ответ на вопрос задачи.
Задача 1. Тысячерублевую купюру разменяли 29 купю-
рами достоинством 20 р. и 50 р. Сколько было тех и других
купюр?
Пусть двадцатирублевых купюр было m, а пятидесятируб-
левых — n. Тогда двадцатирублевыми купюрами выражена
сумма 20m р., а пятидесятирублевыми — сумма 50n р.
Общее количество купюр m + n по условию равно 29, по-
этому должно быть истинным равенство
m + n = 29.
Выраженная этими купюрами сумма 20m р. + 50n р. пред-
ставляет достоинство тысячерублевой купюры, поэтому
20m + 50n = 1000.
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно найти такие зна-
чения переменных m и n, которые удовлетворяют как пер-
вому, так и второму уравнению. Иными словами, нужно най-
ти решение системы уравнений
m n
m n
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
29
20 50 1000
,
.
Сделаем это:
m n
n n
= −
− + =
⎧
⎨
⎩
29
20 29 50 1000
,
( ) ;
m n
n n
= −
− + =
⎧
⎨
⎩
29
58 2 5 100
,
;
m n
n
= −
=
⎧
⎨
⎩
29
3 42
,
;
n
m
=
=
⎧
⎨
⎩
14
15
,
.
Ответ. Двадцатирублевых купюр было 15, пятидесятируб-
левых — 14.
Задача 2. Тысячерублевую купюру нужно разменять ку-
пюрами достоинством 20 р. и 50 р. Определите, возможен ли
такой размен, чтобы общее количество тех и других купюр
было равно:
а) 14; б) 30.
Народная
асвета

206
а) Решая эту задачу, как и задачу 1, получим систему
m n
m n
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
14
20 50 1000
,
,
которая имеет единственное решение (m; n), равное (−10; 24).
Но это решение системы не удовлетворяет условию задачи,
так как количество купюр не может быть отрицательным.
Ответ. Разменять тысячерублевую купюру указанным спо-
собом нельзя.
б) Решая эту задачу, как и задачу 1, получим систему
m n
m n
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
30
20 50 1000
,
,
которая имеет единственное решение (m; n), равное 16 132
3
1
3
; .
Но это решение системы не удовлетворяет условию задачи,
так как количество купюр не может быть дробным.
Ответ. Разменять тысячерублевую купюру указанным
способом нельзя.
Б) Задача 3. Велосипедист двигался со
скоростью, на 10 км/ч большей, чем пе-
шеход, и поэтому на путь из Белыничей
до Дручанов (рис. 311) затратил на 4 ч
меньше. Найдите скорости пешехода и
велосипедиста.
По схеме, приведенной на рисунке 311,
определяем, что путь от Белыничей до
Дручанов равен 30 км.
Пусть vп км/ч и vв км/ ч — скорости пе-
шехода и велосипедиста соответственно.
Тогда на этот путь пешеход затратил 30
vп
ч,
а велосипедист — 30
vв
ч.
В соответствии с условиями задачи ско-
рости связаны равенством vв − vп = 10, а время — равенством
30
vп
− 30
vв
= 4. Это позволяет записать систему
v v
v v
в п
п в
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
10
430 30
,
.
Рис. 311
Народная
асвета

207
Решим ее:
v v
v v
в п
п п
= +
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ +
10
430 30
10
,
;
v v
v v
в п
п п
= +
+ − =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
10
4 40 300 02
,
;
v v
v v
в п
п пили
= +
= − =
⎧
⎨
⎩
10
15 51 2
,
;
v v
v v
в в
п п
или
или
1 2
1 2
5 15
15 5
= − =
= − =
⎧
⎨
⎩
,
.
Из двух полученных решений (vп; vв) = (−15; −5) и
(vп; vв) = (5; 15) условию задачи удовлетворяет только второе,
так как по смыслу задачи скорости должны быть положи-
тельными.
Ответ. 5 км/ч; 15 км/ч.
? 1. Из каких этапов состоит решение текстовой задачи с помощью
системы уравнений?
2. Как вы объясните, почему не всегда полученные решения системы
являются решением задачи?
676. На четыре мужских и два детских пальто расходуется
14 м ткани, а на два мужских и шесть детских пальто — 15 м.
Определите расходы ткани на мужское и на детское пальто
в отдельности.
677. С первого и второго полей площадью 47 га и 39 га
соответственно вместе собрали 2220 ц ржи. Найдите урожай-
ность ржи на каждом из полей, учитывая, что на первом по-
ле она была на 4 ц/га меньше.
678. Над заказом по изготовлению 433 деталей работало
двое рабочих: первый — 15 дней, второй — 14 дней. Найдите,
сколько деталей изготовил каждый рабочий, учитывая, что
недельная (за пять рабочих дней) выработка первого из них
на 20 деталей меньше второго.
679. Основание равнобедренного треугольника на 3 м ко-
роче боковой стороны. Найдите стороны треугольника, учи-
тывая, что его периметр равен 27 м.
680. Теплоход прошел 84 км по течению реки и вернулся
назад, затратив на весь путь 7 ч 42 мин. В другой день на путь
длиной 72 км по течению и 60 км против течения он затратил
6 ч. Определите скорость теплохода по озеру.
681. Если одно число разделить на другое, то получится част-
ное 6 и остаток 1. Найдите эти числа, если их разность равна 56.
682. Когда числитель дроби увеличили на 3, а знамена-
тель на 2, то получили 2
3
, а если бы числитель и знаменатель
дроби уменьшили на 1, то получили бы 1
2
. Какая это дробь?
Народная
асвета

208
683. Если числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель
увеличить на 9, то получится 1
2
, а если к числителю при-
бавить знаменатель дроби, а знаменатель уменьшить на 3, то
получится 2. Какая это дробь?
684. Книг на одной полке на 72 меньше, чем на другой,
а отношение количеств этих книг равно 5
9
. Сколько книг на
каждой полке?
685. С первого и второго полей, площадь которых вместе
составляет 95 га, а урожайность вместе — 76 ц/га, собрали
по 1800 ц ячменя. Найдите площадь каждого поля, учитывая,
что они выражаются целым количеством гектаров.
686. а) С первого поля собрали 1680 ц пшеницы, а со второ-
го, площадь которого на 10 га меньше, — 1470 ц. Найдите уро-
жайности полей, учитывая, что в сумме они составляют 91 ц/га.
б) С первого поля собрали 1260 ц ржи, а со второго, уро-
жайность которого на 7 ц/га больше, — 1470 ц. Найдите пло-
щадь каждого поля, учитывая, что они вместе занимают 71 га.
687. За 5 ч лодка проплыла 14 км по течению и 15 км про-
тив течения. Найдите скорость лодки по озеру и скорость те-
чения реки, учитывая, что на то, чтобы проплыть по течению
10,5 км и вернуться назад, лодке нужно затратить 3 ч 36 мин.
688. Найдите такое двузначное число, сумма цифр кото-
рого равна 10, а если переставить цифры этого числа, то по-
лучится число, на 36 большее.
689. За 7 ручек уплатили на 1410 р. меньше, чем за 15 те-
традей. Определите цену одной ручки и одной тетради, учи-
тывая, что 5 ручек стоят столько же, сколько 4 тетради.
690. В 2 кг ячменя и 3 кг овса содержится 143,75 тыс.
штук семян, а в 3 кг ячменя и 2 кг овса содержится 137,5 тыс.
штук. Определите, сколько штук семян в 100 г той и другой
злаковой культуры.
691. Смешали два вида конфет по цене 7500 р. и 3700 р. за
килограмм и получили 10 кг смеси по цене 4840 р. за кило-
грамм. Определите, сколько конфет каждого вида было взято.
692. Если бы средняя скорость автобуса была больше рас-
четной на 6 км/ч, то он прибыл бы в пункт назначения на
36 мин раньше срока, а если бы скорость была на 6 км/ч
меньше расчетной, то прибытие состоялось бы на 45 мин
позже. Найдите скорость автобуса и время движения.
Народная
асвета

209
693. Некоторый заказ двое рабочих могут выполнить за
24 ч. После 16 ч совместной работы второй рабочий трудился
над заказом еще 14 ч. За какое время каждый рабочий в от-
дельности мог бы выполнить заказ?
694. Если меньшее измерение прямоугольника увеличить
на 13 м, а большее на 13 м уменьшить, то площадь нового
прямоугольника будет равна площади данного, а если мень-
шее измерение прямоугольника уменьшить на 8 м, а большее
на 12 м увеличить, то площадь полученного прямоугольника
будет меньше площади данного на 96 м2
. Найдите измерения
данного прямоугольника.
44444
а)
z
z z
−
+ +
1
4 22
0; в)
t t
t
2
6 18
4
0
− +
−
;
б)
u u
u
2
2
3 1
1
1
− +
−
; г)
y
y y
y
y y2 2
3 2 7 12+ + + +
.
а) (x + 3)3
(x − 7)2
(x − 1) 0; г) (v + 4)3
v4
(v − 9)5
0;
б) (y + 4)(y − 5)4
(y − 10)2
0; д) (u + 3)2
(u + 1)4
(u − 4)6
0;
в) (z + 4)2
(z − 1)3
(z − 9)4
0; е) (w + 8)3
(w + 5)5
(w + 1)7
0.
697. Треугольник задан координатами своих вершин:
M(−2; 3); N(3; −2); P(6; 4). Составьте уравнение прямой, со-
держащей его сторону:
а) MN; б) NP; в) MP.
698. В равнобедренный треугольник с периметром 20 см
вписана окружность. Отрезок, концы которого принадлежат
боковым сторонам треугольника, параллелен основанию, ка-
сается окружности и имеет длину 2,4 см. Найдите длину осно-
вания треугольника.
699. Автомобиль выезжает из А, доезжает до В и сразу по-
ворачивает обратно. Через 1 ч после выхода из А автомобиль
был в 80 км от В, а еще через 3 ч — в 80 км от А. Найдите
расстояние между А и В, учитывая, что на весь путь из А в В
и обратно до А автомобиль затратил менее 9 ч.
700. Из городов А и В одновременно навстречу выехали две
машины и встретились через 8 ч. Встреча произошла бы через
7 ч, если бы одна машина увеличила свою скорость на 14 %,
Народная
асвета

а другая — на 15 %. Во сколько раз скорость одной машины
больше скорости другой?
701. В 9 ч из города А со скоростью 42 км/ч выехал мо-
тоциклист. В 9 ч 40 мин в том же направлении со скоростью
71 км/ч выехал автомобиль. Когда расстояние между этим
автомобилем и мотоциклистом станет равным 30 км?
702. Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск, Нижний
Новгород, Екатеринбург — крупнейшие города России.
Численность населения Санкт-Петербурга такова, что она от-
носится к численности населения Екатеринбурга как 11 : 3,
к численности населения Новосибирска — как 420 : 127,
к численности населения Москвы — как 385 : 698. Най-
дите численность населения этих городов России, учиты-
вая, что численность населения Москвы в 6 раз больше уве-
личенной на 50 тыс. человек численности населения Ниж-
него Новгорода, а численность населения Санкт-Петербурга
на 582 тыс. человек больше утроенной численности населе-
ния Нижнего Новгорода.
703. Есть два прямоугольных параллелепипеда, у одного
площадь основания равна 20 см2
, у другого высота 8 см, а
объем на 140 см3
больше объема первого. Найдите площадь
основания второго параллелепипеда, учитывая, что третий
параллелепипед с объемом, равным суммарному объему пер-
вого и второго параллелепипедов, и высотой, равной сумме
высот первого и второго параллелепипедов, имеет площадь
основания, равную 28 см2
.
* * *
704. Докажите, что если число p — простое и больше 3, то
число p2
− 1 кратно 24.
705. Существует ли замкнутая ломаная линия, которая
пересекает каждое свое звено точно 1 раз, если звеньев:
а) 6; б) 7; в) 8?
706. Внутри выпуклого многоугольника с четным коли-
чеством сторон взята точка, и через нее и каждую вершину
многоугольника проведены прямые. Докажите, что найдется
сторона, которую не пересекает во внутренней точке ни одна
из проведенных прямых.
Народная
асвета

211
18. Числовая последовательность
А) Пример 1. Древняя легенда гласит, что индийскому
принцу Сираму (VI в.) очень понравилась игра в шахматы и
он захотел щедро вознаградить изобретателя игры: «Проси
что хочешь. Я достаточно богат, чтобы выполнить твое самое
смелое желание». Изобретатель попросил положить на первую
клетку шахматной доски зернышко риса, на вторую — два
зернышка, на третью — 4 зернышка и так далее до 64-й клет-
ки, увеличивая количество зерен на каждой следующей клет-
ке в два раза. Принц рассмеялся такому, как он посчитал, ми-
зерному вознаграждению и приказал незамедлительно выдать
рис. Но вознаграждение не было выдано, так как это больше,
чем было собрано во всех урожаях за историю человечества.
Выпишем числа, соответствующие нескольким первым
клеткам доски, оформив это таблицей.
Номер
клетки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Коли-
чество
зерен
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
Здесь каждому натуральному числу от 1 до 64 ставится в
соответствие определенное натуральное число. Это означает,
что задана функция, область определения которой составля-
ют первые 64 натуральных числа. Если обозначить эту функ-
цию f, то можно записать:
f(1) = 1, f(2) = 2, f(10) = 512,
f(15) = 16 384, f(30) = 536 870 912.
Пример 2. Упорядочим по убыванию доли, т. е. дроби с
числителем 1. Получим:
1
2
, 1
3
, 1
4
, 1
5
, 1
6
, 1
7
, … .
Народная
асвета

212
Здесь явно выписаны только первые шесть долей. По-
нятно, что на седьмом месте находится доля 1
8
, на сороко-
вом — доля 1
41
, на сотом — доля 1
101
. Вообще каждому на-
туральному числу соответствует определенная доля. Иными
словами, здесь задана функция, областью определения кото-
рой является множество натуральных чисел. Если обозначить
эту функцию a, то можно записать:
a(1) = 1
2
, a(2) = 1
3
, a(10) = 1
11
,
a(15) = 1
16
, a(30) = 1
31
, a(n) = 1
1n +
.
Функция, областью определения которой является множе-
ство натуральных чисел или множество первых n натураль-
ных чисел, называется последовательностью.
Таким образом, последовательность — это функция, час-
то числовая, натурального аргумента. Если последователь-
ность определена на множестве всех натуральных чисел, то
она называется бесконечной последовательностью, а если
на множестве первых n натуральных чисел, то конечной по-
следовательностью.
Числа, образующие последовательность, называют члена-
ми последовательности. Обычно члены последовательности
обозначают малыми латинскими буквами с индексами, т. е.
вместо a(1) пишут a1, вместо a(2) — a2, вместо a(3) — a3 и т. д.
Понятно, что можно использовать другие буквы — b, c, d и т. д.
Запись an читают а энное. Саму последовательность с членами
an обозначают (an) (рис. 312).
Последовательность, являющаяся возрастающей функци-
ей, называется возрастающей последовательностью. Каждый
член возрастающей последовательности, начиная со второго,
больше предыдущего.
Рис. 312
Народная
асвета

213
Последовательность, являющаяся убывающей функцией,
называется убывающей последовательностью. Каждый член
убывающей последовательности, начиная со второго, меньше
предыдущего.
Последовательность из примера 1 — возрастающая, из
примера 2 — убывающая.
Пример 3. Последовательность
−2, 4, −8, 16, −32, 64, −128, 256, …,
знаки членов которой чередуются, а модуль каждого следую-
щего члена в два раза больше модуля предыдущего члена, не
является возрастающей и не является убывающей.
Б) Как и любая функция, последовательность может за-
даваться разными способами.
Последовательность в примере 1 задана описанием, а по-
том и таблицей.
Последовательность может быть задана формулой ее n-го
члена. Например, последовательность в примере 2 мы сна-
чала задали описанием, а затем по этому описанию получи-
ли формулу an = 1
1n +
ее n-го члена. По описанию последо-
вательности в примере 3 можно получить такую формулу:
bn = (−2)n
.
Последовательность как фун-
кция может быть представлена
графиком. Например, на рисун-
ке 313 изображен график после-
довательности, заданной фор-
мулой cn =
6 1( )n
n
−
ее n-го члена
для значений переменной n из
промежутка [1; 12].
Иной раз последовательность задают формулой, которая
дает возможность найти n-й ее член через предыдущие члены.
Пример 4. Последовательность (dn) зададим условиями:
d1 = 1, d2 = 1,
dn = dn − 1 + dn − 2 при n 2,
явно указав первый и второй члены и правило-формулу для
получения каждого следующего члена через два предыдущих.
Рис. 313
Народная
асвета

214
Такую формулу называют рекуррентной формулой, а ра-
венства, которыми задаются первые члены последовательно-
сти, — начальными условиями.
Члены последовательности (dn) называют числами Фибо-
наччи в честь Леонардо Пизанского (Ф и б он ач ч и; 1180—1240),
в рукописи которого она впервые появилась. Числа Фибонач-
чи имеют много применений в математике и в программиро-
вании.
Пример 5. Рассмотрим последовательность (en), задан-
ную начальным условием e1 = 1 и рекуррентной формулой
en = en − 1 n.
Найдем несколько первых членов этой последовательности:
e1 = 1;
e2 = e1 2 = 1 2 = 2;
e3 = e2 3 = 1 2 3 = 6;
e4 = e3 4 = 1 2 3 4 = 24;
e5 = e4 5 = 1 2 3 4 5 = 120.
Можно заметить, что в этой последовательности n-й член
равен произведению 1 2 3 … n всех натуральных чисел от
1 до n.
Произведение 1 2 3 … n обозначают n!, называют
факториалом числа n и читают эн факториал.
Используя введенное обозначение, можно рассматривае-
мую последовательность задать следующей формулой ее n-го
члена:
en = n!.
? 1. Какая функция называется последовательностью? Как называют
числа, образующие последовательность?
2. Как обозначают члены последовательности; саму последователь-
ность?
3. Какая последовательность называется бесконечной последователь-
ностью; конечной последовательностью?
4. Какая последовательность называется возрастающей; убывающей?
5. Назовите способы задания последовательности.
6. Какой способ задания последовательности называют рекуррент-
ным?
7. Какое выражение называют факториалом натурального числа n?
Как его обозначают?
707. Таблицей, в которой приведено расписание занятий
в 9-м классе на один учебный день, задана конечная после-
довательность.
Народная
асвета

215
Номер урока Учебный предмет
1
2
3
4
5
6
Всемирная история
Биология
Математика
Белорусская литература
Информатика
Физкультура
Назовите:
а) количество членов этой последовательности;
б) номер члена последовательности со значением Информа-
тика;
в) номер члена последовательности со значением Белорусская
литература;
г) значение члена последовательности с номером 2;
д) значение члена последовательности с номером 6.
708. Запишите область определения и область значений
функции, являющейся конечной последовательностью:
а) 1, 3, 5, 7, 9;
б) 40, 10, 30, 40, 10, 30;
в) 1, −1, 1, −1, 1, −1.
Задайте эту функцию перечислением пар.
709. Установите, какой — возрастающей, убывающей, не
возрастающей и не убывающей — является последователь-
ность:
а) (an): 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002;
б) (bn): 0,2; 0,22; 0,222; 0,2222; 0,22222;
в) (cn): 1, 1
2
, 1
3
, 1
4
, 1
5
, 1
6
, 1
7
;
г) (dn): 1
2
, 2
3
, 3
4
, 4
5
, 5
6
, 6
7
, 7
8
, 8
9
, 9
10
;
д) (xn): −1, 2, −3, 4, −5, 6, −7, 8, −9, 10;
е) (yn): 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7.
710. Есть последовательность (xn), членами которой яв-
ляются последовательные десятичные знаки представления
обыкновенной дроби 4
7
бесконечной десятичной дробью.
Найдите x1, x2, x3, x10, x13, x14, x15, x22. Установите:
а) есть ли среди членов этой последовательности одинаковые;
б) является ли эта последовательность возрастающей или
убывающей.
Народная
асвета

216
711. Есть последовательность (tn), членами которой яв-
ляются последовательные десятичные приближения обык-
новенной дроби 4
7
с точностью до десятых, сотых, тысячных
и т. д. Найдите t1, t2, t3, t10, t13, t14, t15, t22. Установите:
а) есть ли среди членов этой последовательности одинаковые;
б) является ли эта последовательность возрастающей или
убывающей.
712. Установите, какой — возрастающей, убывающей,
не возрастающей и не убывающей — является последователь-
ность, график которой представлен на рисунке:
а) 314; б) 315; в) 316; г) 317.
Рис. 314 Рис. 315
Рис. 317Рис. 316
Народная
асвета

217
713. Запишите последовательность (uп), членами которой
являются:
а) записанные по возрастанию все двузначные числа, образо-
ванные с помощью цифр 0, 3, 9;
б) записанные по убыванию все двузначные числа, образован-
ные с помощью цифр 1, 3, 7.
714. Запишите пять первых членов последовательности,
заданной формулой:
а) xп = 3п + 2; в) tп = 12
1п +
; д) wп = (−1)п
7;
б) yп = 2 3− n ; г) uп = 2п − 1
; е) cп =
1 1
2
+ −( )
.
п
715. Последовательность (un) задана формулой un = 3п − 4.
Найдите член последовательности с номером, равным:
а) 7; б) 11; в) k; г) k + 1.
716. Последовательность (tn) задана формулой tп = 4п + 1.
Найдите номер члена последовательности, значение которого
равно:
а) 93; б) 397; в) 1113; г) 33 333.
717. Установите, являются ли членами последовательно-
сти (wn), заданной формулой wп = п2
+ 2п + 1, числа:
а) 289; б) 1000; в) 841; г) 1025.
718. Установите, начиная с какого номера члены последо-
вательности (уп), заданной формулой уп = п2
, больше:
а) 10; б) 100; в) 1000; г) 10 000.
719. Установите, начиная с какого номера члены последо-
вательности (ап), заданной формулой:
а) ап = п2
− п − 6, положительны;
б) bn = −n2
+ 8n, отрицательны.
720. Выпишите пять первых членов последовательности,
а) первый ее член равен 3, а каждый член, начиная со вто-
рого, получается увеличением предыдущего члена на 11;
б) первый член равен 8, а каждый член, начиная со второго,
получается увеличением предыдущего в три раза;
в) первый член последовательности равен 16, а каждый член,
начиная со второго, получается уменьшением предыдущего в
два раза;
Народная
асвета

218
г) первый член равен 1, а каждый член, начиная со второго,
получается делением предыдущего члена на номер искомого
члена.
721. Найдите первые пять членов последовательности (cп),
а) c1 = −1, c2 = 1 и cп = cп − 1 + cп − 2 при n 2;
б) c1 = 10, c2 = 4 и cп + 2 = cп − cп + 1.
722. Выпишите первые шесть членов последовательности
(zn) и задайте ее формулой п-го члена, учитывая, что:
а) z1 = 10, zn + 1 = zn + 10; в) z1 = 2, zn + 1 = zn + 2;
б) z1 = 10, zn + 1 = zn 10; г) z1 = 2, zn + 1 = zn 2.
723. Подберите какую-либо формулу п-го члена последова-
тельности, первые четыре члена которой следующие:
а) 1, 4, 9, 16; в) 2, 5, 10, 17;
б) 4
3
, 5
4
, 6
5
, 7
6
; г) 1, 8, 27, 64.
724. Вычислите первые пять членов последовательности,
а) а1 = 2, а2 = 5, ап + 2 = 2ап + 1 + ап;
б) b1 = 2, b2 = 5, bп + 2 = 3bп + 1 + 2bп;
в) c1 = 1, c2 = 3, cп + 2 = 4cп + 1 + 3cп;
г) d1 = 1, d2 = 3, dп + 2 = 2dп + 1 + 5dп.
725. Вычислите первые пять членов последовательности,
а) x1 = 3, x2 = 4, x3 = 6, xп + 3 = 3xп + 2 + xп + 1 + 2xп;
б) z1 = 2, z2 = 3, z3 = 7, zп + 3 = 3zп + 2 + zп + 1 + 2zп.
726. Докажите, что последовательность с общим членом:
а) an = 2
2 1
n
n +
является возрастающей;
б) bn =
2 3
6 5
n
n
+
−
является убывающей.
727. Найдите условия, которым должны удовлетворять
положительные числа a, b, c и d, чтобы последовательность
с общим членом an =
an b
cn d
+
+
была:
а) убывающей; б) возрастающей.
Народная
асвета

219
728. Найдите шесть первых членов и составьте формулу об-
щего члена последовательности, заданной таким описанием:
а) последовательность чисел, кратных 7;
б) последовательность четных чисел, кратных 7;
в) последовательность нечетных чисел, кратных 7;
г) последовательность нечетных чисел, которые при делении
на 7 дают остаток 4.
729. Найдите шесть первых членов последовательности де-
сятичных приближений с точностью до целых, десятых, со-
тых и т. д. числа:
а) π; в) 12; д) cos 45°; ж) ctg 120°.
б) 3; г) sin 60°; е) tg 60°;
730. Есть последовательность, заданная формулой
cn =
2 1
3
n
n
+
. Определите:
а) на сколько сотый член этой последовательности отличается
от числа 2
3
;
б) при каких значениях переменной n истинно неравенство
cn − 2
3
10−3
;
в) при каких значениях переменной n истинно неравенство
cn − 2
3
10−10
.
731. Найдите все трехзначные числа, сумма цифр которых
равна 3. Запишите последовательность, которая составлена из
этих чисел, расположенных по возрастанию.
732. Есть последовательность (yn), каждый член которой
равен разности его утроенного номера и единицы. Найдите:
а) y5; в) y10; д) yk;
б) y8; г) y501; е) y3k − 1.
733. Последовательность задана формулой an = 5n − n2
.
Найдите номер члена этой последовательности, значение ко-
торого равно:
а) −36; в) 6; д) 0;
б) 4; г) −500; е) −9500.
734. Запишите пять первых членов и формулу n-го члена
последовательности:
а) натуральных чисел, кратных 3 и 5;
б) натуральных чисел, кратных 6 и 9.
Народная
асвета

220
735. Запишите формулу n-го члена последовательности:
а) трехзначных чисел, кратных 37;
б) трехзначных чисел, записанных с использованием одной
цифры и кратных 37.
736. Запишите какую-либо формулу n-го члена последо-
вательности:
а) 5, 10, 15, 20, 25, …; б) 25, 20, 15, 10, 5, … .
737. Есть две последовательности (an) и (bn), заданные фор-
мулами an = 4n − 1 и bn = 4n + 1. Запишите n-й член такой по-
следовательности (cn), чтобы cn = an + bn.
738. Количество dn диагоналей выпуклого многоугольника
определяется формулой dn =
п п( )
,
− 3
2
где n — количество сто-
рон и n 4. Установите, существует ли многоугольник, ко-
личество диагоналей которого равно:
а) 9; в) 35; д) 200;
б) 14; г) 152; е) 275.
739. Установите, у каких многоугольников количество ди-
агоналей не больше:
а) 20; в) 42; д) 200;
б) 36; г) 152; е) 376.
740. Есть последовательность (an), заданная формулой n-го
члена. Найдите, при каких значениях переменной n истинно
неравенство:
а) an
2
3
, если an = 1 − 1
п
; б) an 5, если an =
8 17п
п
−
.
741. Есть последовательность (bn), заданная формулой
bn = n + 1
п
. Установите, при каких значениях переменной n
истинно неравенство:
а) bn 2; б) bn 5; в) bn 6; г) 3 bn 20.
742. Установите, какой — возрастающей, убывающей,
не возрастающей и не убывающей — является последователь-
ность, заданная формулой n-го члена:
а) an = 10 − n; г) dn = 1
п
; ж) tn = (n − 6)2
;
б) bn =
п + 3
2
; д) en = 1 + 2
п
; з) xn = 1 − 1
п
;
в) cn = 3 − п ; е) un =
п п
п
+
+
2
1
; и) zn = n − 1
п
.
Народная
асвета

221
743. Найдите, если возможно, наибольший и наименьший
члены последовательности, заданной формулой n-го члена:
а) yn = −n2
+ 6n + 3; в) zn = 1
3 5п − ,
;
б) an = n2
− 8n + 1; г) bn =
5 12п
п
−
.
744. Есть последовательность xn =
5 1п
п
−
. Найдите:
а) семь ее первых членов;
б) какая это последовательность — возрастающая или убы-
вающая.
745. Есть последовательность xn =
5 1п
п
−
. Составьте раз-
ность 5 − xn и найдите множество значений переменной n,
при которых:
а) 5 − xn
1
8
; б) 5 − xn 0,1; в) 5 − xn 0,001.
746. Есть последовательность xn = 1
п
. Найдите множество
значений переменной n, при которых значение xn:
а) принадлежит промежутку [0; 1];
б) принадлежит промежутку [0,01; 1,01];
в) принадлежит промежутку [0,001; 0,01];
г) принадлежит промежутку [−0,1; 0,1];
д) не принадлежит промежутку 0 1
30
; ;
е) не принадлежит промежутку 1
20
1; .
747. Установите, существует ли числовой промежуток, ко-
торому принадлежат все члены последовательности:
а) 3, 5
2
, 7
3
, …,
2 1п
п
+
, …;
б) 1, 1
2
, 2, 1
3
, 3, 1
4
, …, 2n − 1, 1
2п
, … .
748. Запишите шесть первых членов и формулу n-го члена
последовательности, заданной рекуррентной формулой:
а) c1 = −4, cn + 1 = cn − 4; в) x1 = 2, xn + 1 = 1
2
xn + 1;
б) d1 = 4, dn + 1 = 1
3
dn; г) y1 = 1, yn + 1 = −nyn.
749. Задайте рекуррентно последовательность:
а) 2
3
, 6, 2
3
, 6, 2
3
, 6, 2
3
, 6; б) 1, 3, 5, 1, 3, 5, 1, 3, 5.
Народная
асвета

222
750. Вычислите три первых члена последовательности:
а) an = n(n + 3); в) an = 5 2n
;
б) an = 4n
; г) an = sin .π
n
751. Вычислите десятый и тридцать третий члены после-
довательности:
а) an =
n
n
−
+
1
1
; в) an = n − −15 5;
б) an =
n
n
+
−
9
2 1
; г) an = 10 20− −n .
752. Вычислите седьмой член числовой последовательно-
сти, заданной рекуррентной формулой an + 1 = 1 − 0,5an и усло-
вием a1 = 2.
44444
а)
x y
x y
2 2
2 14
2 3 1
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
в)
x
y
y
y
x
x
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
+
−
−
−
2 3
3 2
4
11 2
,
;
б)
3 2 30
3 2 10
2
ab b
a b
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
1 2
2
1
2
x y
x
x y
x
−
−
+ =
= −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
.
754. Найдите два натуральных числа, сумма которых рав-
на 168, а наименьшее общее кратное — 1001.
755. Найдите все трехзначные числа, которые в 25 раз
больше суммы своих цифр.
756. Если рабочий будет работать с прежней производи-
тельностью, то для выполнения задания по изготовлению
360 деталей к назначенному сроку ему не хватит 4 дней, а ес-
ли он увеличит производительность труда на 3 детали в день,
то задание будет выполнено в срок. Определите производи-
тельность труда рабочего.
757. В гостинице есть два вида номеров, количество мест
в которых отличается на 1. В номерах с меньшим количе-
ством мест может быть поселено 72 человека, а в других но-
мерах — 42 человека. Найдите количество номеров с боль-
шим количеством мест, учитывая, что их на 22 меньше.
Народная
асвета

223
758. Велосипедист из Кати-
чева до Брагина ехал со скорос-
тью на 2,5 км/ч большей, чем из
Брагина до Хойников (рис. 318).
Найдите время, затраченное ве-
лосипедистом на первую и вто-
рую части пути, учитывая, что
средняя скорость движения на
всем пути составила 16 2
3
км/ч.
* * *
759. Найдите те целые значения переменной a, при кото-
рых выражение (x + a)(x − 7) + 2 записывается произведением
двух линейных множителей с целыми коэффициентами.
760. Докажите, что для целых чисел n и k истинно тож-
дество n
k
+ n
k
+ 1 + … + n k
k
+ − 1 = n.
Здесь [a] обозначает целую часть числа a, т. е. наибольшее
целое число, не превосходящее числа a.
761. Из острого угла A треугольника ABC проведена бис-
сектриса AL, а из вершины B — высота BH. Найдите угол
LHC, учитывая, что ∠ALB = 45°.
19. Арифметическая прогрессия
А) Пример 1. Продолжительность календарного года при-
нимается равной 365 суткам. Вместе с этим астрономический
год, т. е. промежуток времени, за который Земля делает полный
оборот вокруг Солнца, приближенно равен 365 1
4
сут (рис. 319).
По этой причине каждые четыре года «набегает» погрешность
Рис. 318
Рис. 319
Народная
асвета

224
в одни сутки, для учета которой к каждому четвертому году
прибавляются сутки, и увеличенный год называют високос-
ным. Високосными годами в третьем тысячелетии являются,
например, годы
2004, 2008, 2012, 2016, 2020, 2024, 2028.
Получили последовательность чисел, каждый член кото-
рой, начиная со второго, больше предыдущего на 4.
Числовая последовательность
a1, a2, a3, …, an, …,
у которой для любого значения переменной n истинно
равенство
an + 1 = an + d, (1)
где d — определенное число, называется арифметической
прогрессией.
Число d называется разностью арифметической про-
грессии.
Последовательность в примере 1 — арифметическая про-
грессия с разностью 4.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, нужно знать
ее первый член a1, разность d и количество всех членов.
Поскольку an + 1 − an = d, то понятно, что если разность
d — положительное число, то арифметическая прогрессия (an)
является возрастающей последовательностью, а если d — от-
рицательное число, то убывающей.
Теорема 1. Последовательность (an) является арифме-
тической прогрессией тогда и только тогда, когда любой
ее член, начиная со второго, равен среднему арифметиче-
скому двух соседних членов.
Доказательство. Пусть последовательность (an) — ариф-
метическая прогрессия с разностью d. Тогда по определению
арифметической прогрессии истинны равенства:
an − 1 = an − d и an + 1 = an + d,
сложив которые покомпонентно получим:
an − 1 + an + 1 = an + an − d + d,
или
an − 1 + an + 1 = 2an.
Отсюда
an =
a an n− ++1 1
2
.
Народная
асвета

225
Пусть последовательность (bn) такова, что для любых ее
трех последовательных членов bn − 1, bn и bn + 1, где n 2, ис-
тинно равенство
bn =
b bn n− ++1 1
2
.
Тогда
2bn = bn − 1 + bn + 1,
или
bn − bn − 1 = bn + 1 − bn,
т. е. разность между любым членом последовательности (bn) и
предыдущим членом равна одному и тому же числу. А такая
последовательность является арифметической прогрессией.
Пример 2. От вершины C данного угла на одной его сто-
роне отложены равные друг другу отрезки CA1, A1A2, A2A3, …,
An − 1An, AnAn + 1, …, на другой стороне этого угла также отло-
жены равные друг другу отрезки CB1, B1B2, B2B3, …, Bn − 1Bn,
BnBn + 1, …, и соответствующие концы отложенных отрезков
соединены отрезками A1B1, A2B2, A3B3, …, An − 1Bn − 1, AnBn,
An + 1Bn + 1, … (рис. 320). Докажем, что эти отрезки образуют
арифметическую прогрессию.
Рассмотрим четырехугольник An − 1Bn − 1Bn + 1An + 1, который
из-за параллельности сторон An − 1Bn − 1 и An + 1Bn + 1 является
трапецией, причем отрезок AnBn — его средняя линия. По
свойству средней линии трапеции истинно равенство
AnBn =
A B A Bn n n n− − + ++1 1 1 1
2
.
В соответствии с теоремой 1 последовательность отрезков
A1B1, A2B2, A3B3, …, An − 1Bn − 1, AnBn, An + 1Bn + 1, … является
арифметической прогрессией.
Б) Теорема 2. n-й член ариф-
метической прогрессии равен ее
первому члену, увеличенному на
произведение ее разности и коли-
чества предыдущих членов.
Доказательство. Пусть (an) —
арифметическая прогрессия с раз-
ностью d. Тогда истинны равенства:
a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d,
a4 = a3 + d,
. . . . . . .
an = an − 1 + d. Рис. 320
Народная
асвета

226
Сложим покомпонентно эти n − 1 равенства:
a2 + a3 + a4 + ... + an = a1 + a2 + a3 + ... + an − 1 + (n − 1)d.
Заметим, что в обеих частях равенства есть одна и та же
сумма a2 + a3 + ... + an − 1. Поэтому
an = a1 + (n − 1)d.
Пример 3. Определим, является ли число 101 членом
арифметической прогрессии
−42, −31, −20, −9, 2, … .
Первый член этой прогрессии равен −42. Найдем ее раз-
ность:
−31 − (−42) = 11.
Число 101 является членом прогрессии, если для не-
которого натурального значения переменной n истинно
равенство
101 = −42 + (n − 1) 11.
Решим полученное уравнение:
101 = −42 + (n − 1) 11;
101 = −42 + 11n − 11;
11n = 154;
n = 14.
Полученное значение переменной n — действительно на-
туральное число. Значит, число 101 является членом данной
прогрессии, причем этот член имеет номер 14.
Следствие. Суммы любых пар членов арифметической
прогрессии равны, если равны суммы их номеров.
Действительно, пусть есть арифметическая прогрес-
сия (an) с разностью d. Докажем, что если m + p = k + s, то
am + ap = ak + as. Имеем:
am + ap = a1 + d (m − 1) + a1 + d (p − 1) = 2a1 + d (m + p − 2);
ak + as = a1 + d (k − 1) + a1 + d (s − 1) = 2a1 + d (k + s − 2).
Поскольку по условию m + p = k + s, то правые части ра-
венств одинаковы, значит, одинаковы и левые части.
В) Теорема 3. Сумма n первых членов арифметической
прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной
на количество всех членов.
Народная
асвета

227
Доказательство. Обозначим Sn сумму n первых членов
арифметической прогрессии. Запишем прогрессию один раз
по возрастанию номеров ее членов, другой раз — по убыванию
этих номеров:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an − 2 + an − 1 + an;
Sn = an + an − 1 + an − 2 + … + a3 + a2 + a1.
Сложим покомпонентно эти равенства:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an − 1) + (a3 + an − 2) + … + (an − 2 + a3) +
+ (an − 1 + a2) + (an + a1).
Учитывая следствие из теоремы 2, получим, что суммы в
каждой из n скобок одинаковы и равны a1 + an. Поэтому
2Sn = (a1 + an)n
и
Sn =
a an1
2
+
n.
Пример 4. Построим восьмиугольник, учитывая, что если
его углы записать по возрастанию, то каждый следующий бу-
дет больше предыдущего на 32°.
Найдем сначала сумму S8 углов восьмиугольника:
S8 = 180° (8 − 2) = 1080°.
Теперь обратим внимание на то, что записанные по воз-
растанию углы восьмиугольника образуют конечную ариф-
метическую прогрессию, количество n членов которой рав-
но 8.
Пусть самый меньший угол равен x°. Тогда самый боль-
ший угол равен x° + (8 − 1) 32°. Используя формулу суммы n
первых членов арифметической прогрессии, можем записать
уравнение
1080 =
2 8 1 32
2
x + −( )
8.
Решим его:
1080 =
2 8 1 32
2
x + −( )
8;
135 = x + 112;
x = 23.
Значит, меньший угол восьмиугольника равен 23°. Осталь-
ные углы найдем, учитывая, что они являются членами ариф-
метической прогрессии с первым членом a1, равным 23°, и
разностью d, равной 32°:
Народная
асвета

228
a2 = 23° + 32° = 55°; a3 = 55° + 32° = 87°;
a4 = 87° + 32° = 119°; a5 = 119° + 32° = 151°;
a6 = 151° + 32° = 183°; a7 = 183° + 32° = 215°;
a8 = 215° + 32° = 247°.
Найденные величины определяют бесконечно много восьми-
угольников, два из которых приведены на рисунках 321 и 322.
? 1. Какая числовая последовательность называется арифметической
прогрессией?
2. Какое число называется разностью арифметической прогрессии?
3. Как можно задать арифметическую прогрессию?
4. При каком условии арифметическая прогрессия является возраста-
ющей последовательностью; убывающей последовательностью?
5. Какой зависимостью связаны три последовательных члена ариф-
метической прогрессии?
6. Сформулируйте признаки арифметической прогрессии.
7. Запишите формулу для n-го члена арифметической прогрессии.
8. Сформулируйте свойство членов арифметической прогрессии.
9. Запишите формулу для суммы нескольких первых членов ариф-
метической прогрессии.
762. Установите, является ли арифметической прогресси-
ей конечная последовательность:
а) 17, 27, 37, 47, 57; г) 2, 13, 24, 35;
б) −19, −9, 9, 19, 29, 39; д) 1
5
, 3
5
, 1, 7
5
;
в) 2, 22, 222; е) 4
3
, 4
5
, 4
7
, 4
9
.
763. Выпишите первые шесть членов арифметической про-
грессии, у которой:
а) a1 = 10, d = 5; б) b1 = 34, d = −5.
764. Докажите, что если углы треугольника образуют
арифметическую прогрессию, то один из них равен 60°.
Рис. 321
Рис. 322
Народная
асвета

229
765. Найдите разность и седьмой член арифметической
прогрессии, учитывая, что первый и второй ее члены соот-
ветственно равны:
а) 50, 110; б) −20, −15; в) 3
7
, 11
14
.
766. Выразите разность d арифметической прогрессии (хп)
через:
а) x11 и x12; б) x7 и x9; в) x20 и x23; г) x14 и x18.
767. В арифметической прогрессии (uп) известны два ее
члена:
а) u6 = 19 и u8 = 25. Найдите u4, u10, u17;
б) u11 = 16 и u13 = 6. Найдите u8, u12, u47.
768. Найдите пятнадцатый, сорок седьмой и п-й члены
арифметической прогрессии:
а) 5, 9, …; в) 7
12
, 1, …;
б) −8, −3, …; г) − 7
12
, −1, ….
769. Арифметическая прогрессия (yп) состоит из тридцати
членов, причем y1 = −3,2 и d = 0,4. Найдите сумму:
а) первого и последнего членов;
б) второго и предпоследнего членов;
в) седьмого члена от начала и седьмого от конца;
г) двух средних членов.
770. Найдите первый член c1 арифметической прогрессии
(cn), у которой:
а) c10 = 142, d = 12; б) c56 = −240, d = −4.
771. Найдите разность d арифметической прогрессии (bn),
у которой:
а) b1 = 2, b10 = 184; б) b1 = −7, b32 = 8.
772. Найдите первый член и разность арифметической
прогрессии, у которой:
а) t5 = 27, t27 = 93; в) v20 = 0, v66 = −138;
б) u47 = 74, u74 = 47; г) h8 = 1, h25 = 11,9.
773. Докажите, что d =
а а
т п
т п−
−
, где d — разность ариф-
метической прогрессии, aт и an — ее члены, причем т ≠ n.
Народная
асвета

230
774. Докажите, что если (an) — арифметическая прогрес-
сия, то an =
а aп k n k− ++
2
, где n k.
775. Между числами −10 и 5 вставьте число так, чтобы по-
лучились три последовательных члена арифметической про-
грессии.
776. Между числами:
а) 2 и 17 вставьте четыре таких числа, чтобы они вместе с дан-
ными числами образовывали арифметическую прогрессию;
б) 8 и 40 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с дан-
ными числами образовывали арифметическую прогрессию.
777. Найдите первый член a1 и разность d арифметической
прогрессии, учитывая, что:
а)
a a
a a
1 7
10 3
42
21
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
в)
a a
a a
1 5
2 3
24
60
+ =
=
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
a a
a a
5 11
4 10
0 2
2 6
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
, ,
, ;
г)
a a a
a a
2 3 4
2 4
3
8
+ + =
= −
⎧
⎨
⎩
,
.
778. Есть арифметическая прогрессия 3, 10, … . Установи-
те, является ли ее членом число:
а) 122; в) 551; д) 701;
б) 143; г) 682; е) 733.
779. Для арифметической прогрессии (xп) известно, что
x1 = 1,7 и d = 0,3. Установите:
а) формулу ее п-го члена;
б) номера ее членов со значениями 32 и 46,7;
в) что число 62,7 не является ее членом.
780. Найдите первый:
а) отрицательный член арифметической прогрессии 5,4;
5,15; …;
б) положительный член арифметической прогрессии −11,3;
−9,76; ….
781. Найдите последний член и сумму членов арифмети-
ческой прогрессии, для которой:
а) a1 = 163, d = −13, n = 12; в) a1 = 36, d = 9, n = 14;
б) d = −11, a16 = −15, n = 20; г) d = −11, a12 = −15, n = 15.
Народная
асвета

231
782. Используя рисунок 323,
объясните формулу Sn =
( )a a nn1
2
+
для суммы n первых членов ариф-
метической прогрессии.
783. Докажите, что сумма лю-
бых n последовательных членов
арифметической прогрессии рав-
на полусумме крайних членов,
умноженной на их количество.
784. Докажите, что сумму пер-
вых n членов арифметической
прогрессии через ее первый член
и разность можно найти по фор-
муле
Sn =
2 1
2
1a d n+ −( )
n.
785. Найдите сумму всех несократимых дробей со зна-
менателем 7, заключенных между целыми положительными
числами т и п, где т п.
786. Найдите сумму первых двадцати членов арифметиче-
ской прогрессии, учитывая, что
а6 + а9 + а12 + а15 = 20.
787. Найдите количество и сумму членов арифметической
а) a1 = 15, aп = −65, d = −4;
б) a1 = 23, aп = 45, d = 2.
а) S9 = 135, a9 = 32; б) S25 = 1675, a25 = 127.
789. Найдите разность и количество членов арифметиче-
ской прогрессии, учитывая, что:
а) a1 = 27, aп = 69, Sп = 1056;
б) a1 = 35, aп = −135, Sп = −900.
790. Найдите первый и последний члены арифметической
а) d = 3, S27 = 594; б) d = 2,5, S15 = 607,5.
Рис. 323
Народная
асвета

232
791. Найдите количество членов арифметической прогрес-
сии и ее первый член, учитывая, что:
а) d = 4, an = 51, Sn = 296; б) d = −2, an = 41, Sn = 624.
792. Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел от 1 до 200;
б) первых п четных чисел;
в) первых п нечетных чисел;
г) трехзначных чисел, кратных 4.
а) первых девяти членов арифметической прогрессии, учи-
тывая, что сумма ее третьего и седьмого членов равна 36;
б) первых одиннадцати членов арифметической прогрессии,
учитывая, что сумма ее четвертого и восьмого членов равна 66.
а) первых семидесяти натуральных чисел;
б) всех трехзначных чисел;
в) всех нечетных чисел, меньших 160;
г) всех четырехзначных чисел, кратных 7;
д) всех трехзначных чисел, не кратных 10;
е) всех трехзначных чисел, не кратных 5 и 7.
795. По шоссе в одном направлении движутся грузовой
и легковой автомобили. Их разделяет 297 м, и их скорости
составляют 10 м/с и 12 м/с соответственно. Установите, че-
рез какое время машины поравняются, учитывая, что ско-
рость грузового автомобиля возрастает за секунду на 0,1 м/с,
а ускорение легкового равно 0,2 м/с2
.
796. Шары сложены треугольни-
ком так, что в первом ряду 1 шар,
во втором — 2, в третьем — 3 и т. д.
(рис. 324). Найдите:
а) в скольких рядах расположены
шары, если их всего 120;
б) сколько нужно шаров, чтобы
сложить треугольник из тридцати
рядов.
797. Поезд, отходя от станции,
равномерно увеличивает скорость, и через 20 мин она ста-
новится равной 60 км/ч. Найдите ускорение поезда.
798. Боковая сторона трапеции с основаниями, равными
26 см и 11 см, разделена на 10 долей, и через точки деления
проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите сум-
Рис. 324
Народная
асвета

233
му длин всех параллельных отрезков, заключенных между
боковыми сторонами трапеции.
а) через сколько секунд свободного падения камень упадет на
дно шахты глубиной 80 м;
б) глубину шахты, учитывая, что свободно падающее тело до-
стигло ее дна через 5 с после начала падения.
800. Найдите сумму 502
− 492
+ 482
− 472
+ … + 22
− 1.
801. Найдите сумму первых двадцати нечетных чисел, ко-
торые при делении на 3 дают в остатке 1.
802. Докажите, что выражения (a + b)2
, a2
+ b2
, (a − b)2
являются тремя последовательными членами арифметиче-
ской прогрессии, и найдите сумму ее п членов.
803. Найдите, при каких значениях переменной тремя по-
следовательными членами арифметической прогрессии явля-
ются числа:
а) п − 5, 2п + 3 и 5п − 1; в) 2k − 4, 3k + 3 и 6k − 3;
б) 3m + 1, 2m − 3 и 5m + 1; г) 3 − t, 3t + 3 и 4t − 2 3.
804. Если к членам одной арифметической прогрессии
прибавить удвоенные соответствующие по номерам члены
другой арифметической прогрессии, то будет ли полученная
последовательность арифметической прогрессией?
805. Есть арифметическая прогрессия a1, a2, a3, …, an, … .
Установите, является ли арифметической прогрессией после-
довательность:
а) a1, a3, …, a2n − 1, …; г) −2a1, −2a2, …, −2an, …;
б) a4, a8, …, a4n, …; д) 1
1а
, 1
2а
, …, 1
ап
, …;
в) a1 + 1, a2 + 1, …, an + 1, …; е) а1
2
, а2
2
, …, ап
2
, … .
806. Сумма первых n членов арифметической прогрессии
(an) равна Sn. Найдите:
а) первые четыре члена прогрессии, учитывая, что
Sn = n2
4
− n;
б) первый член и разность прогрессии, учитывая, что
Sn = 2n2
+ 3n.
Народная
асвета

234
а) если числа а2
, b2
, c2
образуют арифметическую прогрессию,
то числа 1
b c+
, 1
a c+
, 1
a b+
также образуют арифметическую
прогрессию;
б) если числа 1
b c+
, 1
c a+
, 1
b a+
образуют арифметическую
прогрессию, то числа a2
, b2
, c2
также образуют арифметиче-
скую прогрессию.
808. Докажите, что если a, b и c являются тремя последо-
вательными членами арифметической прогрессии, то истинно
равенство 2
9
(a + b + c)3
= a2
(b + c) + c2
(a + b).
809. Докажите тождество
1
1a an
+ 1
2 1a an −
+ 1
3 2a an −
+ … + 1
1 2a an −
+ 1
1a an
=
= 2
1a an+
1 1 1 1 1
1 2 3 1a a a a an n
+ + + + +
−
... ,
где a1, a2, a3, …, aп — члены арифметической прогрессии.
810. Найдите сумму первых 50 общих членов арифметиче-
ских прогрессий 9, 12, 15, 18, … и 8, 12, 16, 20, … .
прогрессии, учитывая, что a1 + a2 + a3 = 15 и a1 a2 a3 = 80.
прогрессии, учитывая, что a1 + a2 + a3 = 0 и a1
2
+ a2
2
+ a3
2
= 50.
813. Установите, могут ли числа 1, 3, 3 быть членами
арифметической прогрессии.
814. Докажите, что никакие три последовательных чле-
на последовательности (an) не образуют арифметическую про-
грессию, если:
а) an = n2
; б) an = п ; в) an = 1
п
.
44444
815. Найдите координаты точки:
а) сумма координат которой равна 5 и через которую про-
ходит график уравнения х2
+ х + у = 30;
б) ордината которой равна удвоенной абсциссе и через ко-
торую проходит график уравнения х2
+ 4у = 20.
Народная
асвета

235
816. Запишите уравнение параболы на рисунке:
а) 325; б) 326.
а)
m n
m n
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
3
212 2
,
;
в)
c d
c d
+ = −
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
102 2
,
;
б)
a b
ab
− = −
=
⎧
⎨
⎩
1
6
,
;
г)
e f
e f
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
342 2
,
.
а)
( ) ( )
( )
1 2 3 2
2 5
3 4
5
− −
−
s s
s
0; в)
f f f
f
2 3
5
6 4
7
( ) ( )
( )
− +
+
0;
б)
( )
( ) ( )
r
r r
−
+ − −
1
5 10 1 3
3
2
0; г)
3 10 3
3 4
2
2 2
e e
e e
+ +
− −( ) ( )
0.
819. Найдите радиус окружности, описанной около равно-
бедренного треугольника с боковой стороной 32 см, учитывая,
что ее центр отстоит от этой стороны на 12 см.
Рис. 326Рис. 325
Народная
асвета

236
820. Найдите сумму квадратов диагоналей трапеции с
основаниями 4 и 8 и боковыми сторонами 2 и 3.
821. Если переставить цифры единиц и сотен данного трех-
значного числа, то от этого число уменьшится на 396. Най-
дите число, учитывая, что сумма его цифр равна 15, а ко-
личество сотен в три раза больше количества единиц.
822. В 300 г фасоли и 500 г гороха содержится 3400 штук
семян, а в 500 г фасоли и 300 г гороха содержится 3000 штук.
Сколько штук семян содержится в 100 г той и другой культуры?
823. Сидней, Мельбурн, Брисбен, Перт, Аделаида — круп-
нейшие города Австралийского Союза. Население Перта от-
носится к населению Брисбена как 85 : 96, а к увеличенному
на 2 тыс. человек населению Аделаиды как 80 : 63. Население
Брисбена, уменьшенное на 114 тыс. человек население Сид-
нея и увеличенное на 219 тыс. человек население Мельбурна
относятся как 3 : 8 : 7. Найдите численность населения этих
городов, учитывая, что население Сиднея на 245 тыс. чело-
век больше общего населения Брисбена, Перта и Аделаиды.
* * *
824. Решите уравнение 20{x} = 7[x], где [x] обозначает наи-
большее целое число, не превосходящее x, а {x} = x − [x].
825. Найдите все функции f, для которых условие
f(x − y) = f(x) + f(y) − 2xy истинно при всех действительных
значениях переменных x и y.
826. В треугольнике ABC проведена биссектриса BM. Че-
рез точку M к описанной около треугольника BMC окруж-
ности проведена касательная, которая пересекает сторону AB
в точке N. Докажите, что прямая AC касается описанной око-
ло треугольника BMN окружности.
20. Геометрическая прогрессия
А) Числовая последовательность (an), у которой каждый
следующий член получается из предыдущего умножением на
определенное, не равное нулю число q, называется геометри-
ческой прогрессией.
Число q называется знаменателем геометрической про-
грессии.
Геометрическая прогрессия определена, если известен ее
первый член a1, знаменатель q и количество членов. Члены
геометрической прогрессии связаны условием
an + 1 = an q,
где q — определенное число.
Народная
асвета

237
Пример 1. В окружность впи-
сан квадрат, в который вписана
вторая окружность. Во вторую
окружность вписан квадрат, а в
него — третья окружность и т. д.
(рис. 327). Докажем, что ради-
усы окружностей являются по-
следовательными членами гео-
метрической прогрессии.
Обозначим r1, r2, …, rn, rn + 1, …
радиусы первой, второй и сле-
дующих окружностей. Радиусы
rn и rn + 1 n-й и (n + 1)-й окруж-
ностей и половина стороны n-го
квадрата, проведенные так, как показано на рисунке 327, об-
разуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэто-
му по теореме Пифагора получим, что
rn +1
2
+ rn +1
2
= rn
2
.
Отсюда
rn +1
2
= 1
2
2
rn , или rn +1 = 2
2
rn .
Видим, что радиус каждой следующей окружности по-
лучается из радиуса предыдущей умножением на число 2
2
.
Поэтому утверждаем, что последовательность r1, r2, …, rn,
rn + 1, … радиусов окружностей является геометрической про-
грессией.
Теорема 4. Последовательность (an) является геоме-
трической прогрессией тогда и только тогда, когда ква-
драт каждого ее члена, начиная со второго, равен произ-
ведению двух соседних с ним членов.
Доказательство. Пусть последовательность (an) является
геометрической прогрессией со знаменателем q. Тогда с уче-
том определения геометрической прогрессии будем иметь:
an − 1an + 1 =
a
q
n
anq = an
2
.
Пусть последовательность (bn) такова, что для любых ее
трех последовательных членов bn − 1, bn и bn + 1, где n 2,
истинно равенство
bn
2
= bn − 1bn + 1.
Тогда b
b
n
n −1
=
b
b
n
n
+1
.
Рис. 327
Народная
асвета

238
Поскольку отношение любого члена последовательности
к предыдущему члену одно и то же, то такая последователь-
ность является геометрической прогрессией.
Б) Теорема 5. n-й член геометрической прогрессии равен
произведению ее первого члена и степени знаменателя, по-
казатель которой равен количеству предыдущих членов.
Доказательство. Пусть (an) — геометрическая прогрессия
со знаменателем q. Тогда истинны равенства:
a2 = a1 q,
a3 = a2 q,
a4 = a3 q,
. . . . . . .
an = an − 1 q.
После покомпонентного умножения этих n − 1 равенств
получим
a2 a3 a4 … an = a1 a2 a3 … an − 1 qn − 1
,
или после сокращения на общий множитель a2 a3 … an − 1
an = a1 qn − 1
.
Пример 2. Известно, что число 1701 — член геометриче-
ской прогрессии
7, 21, 63, ….
Найдем номер этого члена. По первому и второму членам
прогрессии находим ее знаменатель:
21 : 7 = 3.
Теперь используем установленную формулу n-го члена
геометрической прогрессии:
1701 = 7 3n − 1
.
Далее получим:
3n − 1
= 1701 : 7;
3n − 1
= 243;
3n − 1
= 35
;
n − 1 = 5;
n = 6.
Полученное значение переменной n — натуральное чис-
ло. Значит, число 1701 является членом данной прогрессии
с номером 6.
Следствие. Произведения пар членов геометрической
прогрессии равны, если равны суммы их номеров.
Народная
асвета

239
Действительно, пусть (an) — геометрическая прогрессия
со знаменателем q и m + p = k + s. Докажем, что am ap = ak as.
С учетом теоремы 5 имеем:
am ap = (a1 qm − 1
) (a1 qp − 1
) = a1
2
q m + p − 2
,
ak as = (a1 qk − 1
) (a1 qs − 1
) = a1
2
q k + s − 2
.
В) Теорема 6. Если знаменатель q геометрической про-
грессии (an) не равен единице, то сумму Sn первых n ее чле-
нов можно найти по формуле
Sn == a1
q
q
n
−−
−−
1
1
,
т. е. сумма n ее первых членов равна произведению первого
члена и дроби, числитель которой есть уменьшенная на
единицу n-я степень знаменателя прогрессии, а знамена-
тель — уменьшенный на единицу знаменатель прогрессии.
Доказательство. Обозначим Sn сумму первых n членов гео-
метрической прогрессии:
Sn = a1 + a1q + a1q2
+ … + a1qn − 3
+ a1qn − 2
+ a1qn − 1
.
Умножим обе части этого равенства на q:
Snq = a1q + a1q2
+ a1q3
+ … + a1qn − 2
+ a1qn − 1
+ a1qn
.
Вычтем покомпонентно из второго равенства первое:
Snq − Sn = a1qn
− a1.
Значит,
Sn(q − 1) = a1(qn
− 1).
Если q ≠ 1, то
Sn = a1
q
q
n
−
−
1
1
.
? 1. Какая числовая последовательность называется геометрической
прогрессией?
2. Какое число называется знаменателем геометрической прогрессии?
3. Какими условиями задается геометрическая прогрессия?
4. Какой зависимостью связаны три последовательных члена геомет-
рической прогрессии?
5. Сформулируйте признаки геометрической прогрессии.
6. Запишите формулу для n-го члена геометрической прогрессии.
7. Сформулируйте свойство членов геометрической прогрессии.
8. Запишите формулу для суммы нескольких первых членов геомет-
рической прогрессии.
Народная
асвета

240
827. Определите, является ли геометрической прогрессией
конечная последовательность:
а) 1000; 100; 10; 1; 0,1; г) −1, 10, −100, 1000;
б) 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; д) 1; 1,1; 1,11; 1,111;
в) 1
81
, 1
27
, 1
3
, 3, 27, 81; е) 7−2
, 7−1
, 70
, 71
, 72
.
Если является, то чему равен ее знаменатель?
828. Найдите первые шесть членов геометрической про-
грессии, у которой:
а) a1 = 7, q = 2; б) a1 = 3
8
, q = 2
3
; в) a1 = 0,8, q = 2.
829. Установите, какой прогрессией — арифметической или
геометрической — является последовательность, у которой:
а) a1 = 4, an + 1 = 5an; в) c1 = −81, cn + 1 = 2
3
+ cn;
б) b1 = 4, bn + 1 = 5 + bn; г) z1 = −81, zn + 1 = 2
3
zn.
830. Найдите знаменатель и четвертый член геомет-
рической прогрессии, первых два члена которой следующие:
а) 3, 18; в) 7, −14; д) 3 3, 9;
б) 20, 4; г) −30, −15; е) 1
5 5
, 1.
831. Найдите два первых члена геометрической прогрес-
сии, третий и четвертый члены которой следующие:
а) 24, 36; б) 225, −135.
832. Первый член геометрической прогрессии (tn) и ее зна-
менатель соответственно равны 512 и 2−1
. Найдите:
а) t5; в) t12; д) tn; ж) t5k;
б) t7; г) t16; е) tk − 6; з) t5k − 6.
833. Запишите n-й член геометрической прогрессии, пер-
вый член и знаменатель которой, а также номер члена n со-
ответственно равны:
а) 162, 1
3
и 7; в) 0,625, −2 и 7;
б) 8 2, − 2
2
и 9; г) 0,03, 10 и 8.
834. Найдите сумму, в которую превратится вклад в
1 млн р., положенный в банк на 4 года под 5 % годовых.
Народная
асвета

241
835. Некоторые бактерии, помещенные в питательную
среду, делятся пополам каждые 20 мин. Установите, сколь-
ко из одной бактерии будет бактерий через:
а) 1 ч; б) 10 ч; в) 20 ч; г) сутки.
836. На опытном лесном участке ежегодный прирост дре-
весины составляет 10 %. Теперь на участке 3,0 104
м3
дре-
весины. Найдите, сколько будет древесины через:
а) 3 года; б) 6 лет; в) 9 лет; г) 12 лет.
837. Задайте геометрическую прогрессию, выписав фор-
мулу ее n-го члена, учитывая, что:
а) y1 = 5, yn + 1 = 3yn; в) z1 = 49, zn + 1 = 7zn;
б) a1 = 3, an + 1 = −3an; г) u1 = 24, un + 1 = 1
2
un.
838. Найдите геометрическую прогрессию, учитывая, что:
а)
a a
a a
2 1
3 1
4
8
− = −
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
a a
a a a
4 1
3 2 1
7
16
7
8
+ =
− + =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
.
839. Докажите, что последовательность является геоме-
трической прогрессией, если ее n-й член задан формулой:
а) cn = 7n
; б) sn = 7 3n
; в) rn = 8 7n + 3
.
840. Установите, в каких случаях геометрическая прогрес-
сия будет возрастающей последовательностью, в каких — убы-
вающей, в каких — не возрастающей и не убывающей.
841. Найдите номер члена геометрической прогрессии,
у которой:
а) a1 = 2, q = 3, an = 486; в) c1 = 1, q = 2
3
, cn = 16
81
;
б) b1 = 1280, q = 1
2
, bn = 10; г) e1 = 3, q = 0,1, en = 0,000003.
842. Найдите произведение:
а) первых пяти членов геометрической прогрессии, учитывая,
что произведение ее второго и четвертого членов равно 144;
б) первых девяти членов геометрической прогрессии, учиты-
вая, что произведение ее четвертого и восьмого членов рав-
но 4096.
843. Между числами:
а) 1 и 16 вставьте такие три числа, чтобы они вместе с дан-
ными числами образовали геометрическую прогрессию;
б) 60 и 15
16
вставьте таких пять чисел, чтобы они вместе с дан-
ными числами образовали геометрическую прогрессию.
Народная
асвета

242
844. Установите, будет ли геометрической прогрессией по-
следовательность, полученная умножением членов одной гео-
метрической прогрессии на соответствующие по номерам чле-
ны другой геометрической прогрессии.
845. Установите, в каком случае последовательность, по-
лученная сложением членов одной геометрической прогрес-
сии с соответствующими по номерам членами другой геомет-
рической прогрессии, также будет являться геометрической
прогрессией.
846. Найдите сумму шести первых членов геометричес-
кой прогрессии, для которой:
а) x1 = 16, q = 1
2
; в) y1 = −18, q = 1
3
;
б) a1 = 5, q = −2; г) b1 = −1, q = −10.
847. Найдите произведение:
а) первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой
третий член равен 15;
б) первых девяти членов геометрической прогрессии, у ко-
торой пятый член равен 11.
848. Есть геометрическая прогрессия (bn). Установите, бу-
дет ли геометрической прогрессией последовательность:
а) 2b1, 2b2, …, 2bn, …; г) b1 − 1, b2 − 1, …, bn − 1, …;
б) b1, b3, …, b2n − 1, …; д) 1
1b
, 1
2b
, …, 1
bn
, …;
в) b1, b5, …, b4n − 3, …; е) b1
3
, b2
3
, …, bn
3
, ….
849. Установите, могут ли три последовательных члена
геометрической прогрессии образовывать арифметическую
прогрессию.
850. Найдите сумму п первых членов геометрической про-
грессии, для которой:
а) b1 = −3, q = 4, n = 6; б) t1 = −64, q = − 1
2
, n = 11.
851. Есть геометрическая прогрессия (bn). Найдите bk, учи-
тывая, что:
а) b1 = 16, b5 = 1 и k = 3;
б) b2 = 6, b10 = 24 и k = 6;
в) b7 = 48, b13 = 6 и k = 10.
852. Докажите, что сумму Sn первых n членов геометриче-
ской прогрессии (an) со знаменателем q можно найти по формуле
Sn =
a q a
q
n −
−
1
1
.
Народная
асвета

243
853. Представьте дробью выражение:
а) 1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ x5
+ x6
, где x ≠ 1;
б) 1 − y + y2
− y3
+ y4
− y5
+ y6
, где y ≠ − 1.
854. Найдите две неизвестные характеристики геометри-
ческой прогрессии по трем ее характеристикам, данным в
каждой строчке следующей таблицы:
a1 q n an Sn
а) 180 1
3
5
б) 2 7 1458
в) −2 6 −486
г) − 1
2
8 121
64
д) 9
64
81
2534
81
е) −2 −1
1
2
8 5
16
ж) −3 4 121,5
з) 2 96 189
и)
1
2
2 254
к) 15 3 212
3
л) 3 18 26
м) 11
2
6 217
32
а) 1 + 2 + 22
+ … + 210
; г) 1 − 2 + 22
− 23
+ … + 212
;
б) 1
2
− 1
22
+ 1
23
− … − 1
210
; д) 1 + a + a2
+ … + a100
;
в) 1
3
+ 1
32
+ 1
33
+ … + 1
310
; е) b − b3
+ b5
− … + b13
.
856. Есть три числа, образующие арифметическую про-
грессию, и их сумма равна 30. Если из первого из них вы-
честь 5, из второго — 4, а третье оставить без изменения,
то полученные числа образуют геометрическую прогрессию.
Найдите эти числа.
Народная
асвета

244
857. Числа, выражающие в метрах длину, ширину и вы-
соту прямоугольного параллелепипеда, являются последо-
вательными членами геометрической прогрессии. Площадь
основания параллелепипеда равна 108 м2
, а площадь по-
верхности — 312 м2
. Найдите измерения параллелепипеда.
858. Есть геометрическая прогрессия (bn). Найдите:
а) b1 и n, учитывая, что q = 0,5, bn = 2, Sn = 254;
б) b5 и n, учитывая, что q = 3, bn = 567, Sn = 847;
в) b1 и bn, учитывая, что q = 2, n = 8, Sn = 765;
г) q и n, учитывая, что b1 = 2, bn = 1
8
, Sn = 3 7
8
.
859. Докажите, что последовательность (xn) является гео-
метрической прогрессией, если:
а) xn = 4 1
3
n
; в) xn = 0,1 10n
;
б) xn = −3n
; г) xn = 2bn
, где b ≠ 0.
860. Докажите, что если q — знаменатель геометрической
прогрессии (cn), то
c
c
p
r
= q p − r
.
861. Есть геометрическая прогрессия (yn), сумму n первых
членов которой можно вычислить по формуле:
а) Sn = 2(5n
− 1). Найдите S4, y1, y4;
б) Sn = 3,5(4n
− 1). Найдите y1, q, S5.
862. Докажите, что если сумму n первых членов после-
довательности (an) можно найти по формуле Sn = 3n
− 1, то
(an) — геометрическая прогрессия.
863. Установите, является ли геометрической прогрессией
последовательность, сумму первых n членов которой можно
найти по формуле:
а) Sn = n2
− 1; б) Sn = 2n
− 1; в) Sn = 3n
+ 1.
а)
x x x x x
x x
5 4 3 2
2
1
1
+ + + + +
+ +
; б)
a a a a
a a a a a
11 10 9
5 4 3 2
1
1
+ + + + +
+ + + + +
...
.
а)
1
1
2 3 4
10
+ + + +
−
a a a a
a
; в)
1
1
2 4 20
2 21
+ + + +
+ + + +
x x x
x x x
...
...
;
б)
t
t t t t t t
14
6 5 4 3 2
1
1
−
+ + + + + +
; г)
b b b b b b
b b b b
6 5 4 3 2
13 12 11
1
1
− + − + − +
+ + + + +...
.
Народная
асвета

245
а)
1
1
2 13 14
2 3 4
+ + + + +
+ + + +
a a a a
a a a a
...
; б)
1
1
2 18 19 20
2 3 4 5 6
− + − + − +
− + − + − +
y y y y y
y y y y y y
...
.
867. Найдите три числа, которые образуют:
а) арифметическую прогрессию, сумма членов которой равна
30, а если из второго ее члена вычесть 2, оставив остальные
без изменения, то получится геометрическая прогрессия;
б) геометрическую прогрессию, сумма членов которой равна
93, а если из первого ее члена вычесть 48, оставив остальные
без изменения, то получится арифметическая прогрессия.
868. Установите, образуют ли геометрическую прогрессию
выражения:
а) 2х
, 22х
, 23х
; б) 2
2х
, 22 2х
, 23 2х
.
869. Докажите, что значения функции:
а) tg α от углов 30°, 45°, 60° образуют возрастающую геоме-
трическую прогрессию;
б) ctg α от углов 30°, 45°, 60° образуют убывающую геоме-
трическую прогрессию.
870. Установите, могут ли быть членами (не обязательно
последовательными):
а) одной арифметической прогрессии числа 2; 4,5; 6;
б) одной геометрической прогрессии числа 64
27
; 8; 18.
871. Определите, начиная с какого номера члены гео-
метрической прогрессии −8, 4, −2, … по модулю меньше
0,001.
872. Найдите первый член и знаменатель геометрической
а)
a a
a a
4 2
5 3
18
36
− =
− =
⎧
⎨
⎩
,
;
б)
a a a
a a
1 3 5
1 7
65
325
− + = −
+ = −
⎧
⎨
⎩
,
.
873. Найдите первый член, знаменатель и количество
членов геометрической прогрессии, учитывая, что:
а) a7 − a4 = −216, a5 − a4 = −72 и Sn = 1023;
б) a1 + a5 = 17, a2 + a6 = 34 и Sn = 127.
874. Есть геометрическая прогрессия с положительными
членами, причем S2 = 4, а S3 = 13. Найдите S5.
875. Разность шестого и четвертого членов геометрической
прогрессии равна 72, а третьего и первого — 9. Найдите сум-
му восьми членов этой прогрессии.
Народная
асвета

246
876. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, ко-
торая состоит из шести членов, учитывая, что сумма трех пер-
вых членов в 8 раз меньше суммы трех последних членов.
877. Найдите четыре числа, которые образуют убывающую
геометрическую прогрессию, учитывая, что сумма ее крайних
членов равна 112
3
, а сумма средних — 10.
878. Найдите геометрическую прогрессию, которая состо-
ит из шести членов, учитывая, что сумма членов, стоящих на
четных местах, равна 99,75, а сумма членов, стоящих на не-
четных местах, — 66,5.
879. Докажите, что если числа a, b, c и d образуют геоме-
трическую прогрессию, то они удовлетворяют равенству:
а) (a2
+ b2
+ c2
)(b2
+ c2
+ d2
) = (ab + bc + cd)2
;
б) (a − d)2
= (a − c)2
+ (b − c)2
+ (b − d)2
;
в) (a + b + c)(a − b + c) = a2
+ b2
+ c2
.
880. Найдите геометрическую прогрессию, сумма первых
трех членов которой равна:
а) 13, а сумма квадратов тех же членов — 91;
б) 13, а их произведение — 27.
881. Найдите три числа, которые образуют:
а) арифметическую прогрессию, их сумма равна 57, а если из
второго числа вычесть единицу, к третьему прибавить еди-
ницу, то числа образуют геометрическую прогрессию;
б) геометрическую прогрессию, их сумма равна 28, а если
большее из чисел уменьшить на 4, то числа образуют ариф-
метическую прогрессию;
в) геометрическую прогрессию, их сумма равна 42, и они
являются первым, вторым и шестым членами возрастающей
арифметической прогрессии.
882. Три числа, сумма которых равна 19,5, являются тре-
мя последовательными членами геометрической прогрессии
и вместе с тем — вторым, восьмым и двадцать третьим чле-
нами арифметической прогрессии. Найдите сумму пяти чле-
нов геометрической прогрессии.
883. Первый и третий члены арифметической прогрес-
сии соответственно равны первому и третьему членам гео-
метрической прогрессии, а второй член арифметической про-
грессии превышает второй член геометрической прогрессии
на 0,25. Найдите сумму первых пяти членов арифметической
прогрессии, учитывая, что первый ее член равен 2.
Народная
асвета

247
884. Сумма трех чисел, которые образуют возрастающую
арифметическую прогрессию, равна 51. Если из них вычесть
соответственно 1, 7 и 8, то получатся три числа, которые обра-
зуют геометрическую прогрессию. Определите, сколько чле-
нов арифметической прогрессии нужно взять, чтобы их сум-
ма была равной 555.
885. Сумма трех чисел, которые образуют геометрическую
возрастающую прогрессию, равна 65. Если из этих чисел вы-
честь соответственно 1, 8, 35, то получатся три числа, ко-
торые образуют арифметическую прогрессию. Определите,
сколько членов геометрической прогрессии нужно взять, что-
бы их сумма была равной 200.
886. Три числа, сумма которых равна 76, можно рассма-
тривать как три последовательных члена геометрической про-
грессии или как первый, четвертый и шестой члены ариф-
метической прогрессии. Определите, сколько членов ариф-
метической прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была
равной 176.
887. Сумма трех первых членов убывающей арифметиче-
ской прогрессии равна 54. Если ее первый член оставить без
изменения, второй уменьшить на 9, а третий — на 6, то по-
лученные числа составят геометрическую прогрессию. Най-
дите арифметическую прогрессию.
44444
а) r5
− r3
+ r2
− 1; е) 4a2
y2
− (t2
− a2
− y2
)2
;
б) p6
− p5
− p2
+ p; ж) y4
+ 2cy3
− c4
− 2yc3
;
в) r3
− r2
− r6
+ r5
; з) 2z4
+ 2z3
− 2z2
− 2z;
г) j2
h2
+ g2
f2
− g2
h2
− j2
f2
− 4jhgf; и) p5
− p4
− 2p3
+ 2p2
+ p − 1.
д) (h2
+ g2
− f2
)2
− 4h2
g2
;
а) x xy
x xy y
y
x
x
4 3
2 2
28
2 4
1 2−
+ +
− −: ;
б) ( ) : ;n n
n n n
n
n n
+ −
− −
−
− +
−2
3 3
4 3
2 1
2 2
2 2 2
в) x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
+
−
−
+
+
−
−
+
− −: ;
г) x m
xm
x n
xn
x m x n
xm xn
−
+
−
+
− −
+ +
− +
1 1 1 1
1: .( )( )
( )( )
Народная
асвета

248
а)
2 3
1
j
j
+
−
5; г)
3 7
2 5
e
e
−
−
−1; ж) 3
2 − p
1
3p +
;
б)
2 3
1
k
k
+
+
2; д) 2
2m +
1
3m −
; з) 2
3g +
1
2 1g −
.
в)
1 3
1 2
−
−
l
l
1; е) 1
1 − n
3
3n +
;
а) (2m + 3)2
(3m − 6)3
(4m − 1)2
0;
б) (3n + 4)3
(5n − 5)4
(10 − 5n)2
0;
в) (4 + 6p)2
(2p − 1)5
(6p − 9)4
0;
г) (3q + 4)(4 − 3q)3
(12q − 9)5
0;
д) (r + 3)2
(7r + 1)6
(6r − 12)6
0;
е) (8 − 4s)3
(3s + 5)7
(1 − 6s)3
0.
892. Установите, существует ли прямоугольный треуголь-
ник, сумма катетов и площадь которого соответственно равны:
а) 60 см и 500 см2
; б) 60 см и 400 см2
.
893. Угол CDE треугольника CDE равен α. Найдите угол
COE, где O — центр вписанной окружности.
894. В прямоугольном треугольнике с катетами, равны-
ми a и b, проведена биссектриса прямого угла. Найдите рас-
стояние между точками пересечения высот двух полученных
треугольников.
895. Через середину полуокружности, ограничивающей
полукруг с диаметром AB, проведены две прямые, которые
делят полукруг на три равновеликие части. Установите, в ка-
ком отношении эти прямые делят диаметр AB.
896. Найдите площадь пересечения двух кругов, один из
которых ограничен окружностью, целиком расположенной
внутри данного квадрата KLMN со стороной k, касается в точ-
ке A его стороны KL, а также касается стороны LM и диа-
гонали KM, второй — окружностью с центром в точке K, про-
ходящей через точку A.
897. Точка M выбрана на отрезке AB, и на его частях MA
и MB по одну сторону от прямой AB построены такие тре-
угольники MAP и MBQ, что площадь первого на 101 см2
мень-
ше площади другого. По другую сторону от прямой AB постро-
ен треугольник ABR с площадью, равной сумме площадей тре-
Народная
асвета

угольников MAP и MBQ (рис. 328).
Найдите длины отрезков MA и
MB, учитывая, что высоты тре-
угольников ABR, MAP и MBQ,
проведенные к прямой AB, соот-
ветственно равны 15 см, 8 см и
19 см.
898. Одно тело движется с уско-
рением 5 м/с2
, другое — с уско-
рением 4 м/с2
, при этом на пер-
вое тело действует сила на 5,6 Н
больше. Найдите массы тел, учи-
тывая, что если бы на третье
тело с массой, равной общей мас-
се данных тел, действовала си-
ла, равная сумме данных сил, то
третье тело двигалось бы с уско-
рением, равным 4,6 м/с2
.
* * *
899. Есть правильный треугольник ABC. На продолжении
стороны AC за точку C взята точка M, а на продолжении сто-
роны BC за точку C — точка N так, что BM = MN. Докажите,
что AM = CN.
900. Докажите, что число 1 5 1 5
100 100
+ + − является
целым.
901. Последовательность (an) задается своим первым чле-
ном a1 = 1 и условием an + 1 = an + a an n+ +1 . Найдите a2007.
Рис. 328
Народная
асвета

250
21. Правильные многоугольники
А) Правильным многоугольником называется многоуголь-
ник, у которого все стороны равны друг другу и все углы рав-
ны друг другу.
Правильным треугольником является равносторонний тре-
угольник (рис. 329), правильным четырехугольником — ква-
драт (рис. 330). На рисунке 331 изображен правильный пя-
тиугольник, на рисунке 332 — правильный шестиугольник.
Рис. 329 Рис. 330 Рис. 331 Рис. 332
Вы знаете, что любой треугольник имеет описанную и впи-
санную окружности, центр описанной окружности — точ-
ка пересечения серединных перпендикуляров, а центр впи-
санной окружности — точка пересечения
биссектрис (рис. 333). Для правильного
треугольника (рис. 334) центры этих
окружностей совпадают друг с другом и с
точкой пересечения биссектрис. Это свой-
ство имеет и правильный четырехуголь-
ник (рис. 335).
Теорема 1. Любой правильный мно-
гоугольник имеет описанную и вписан-
ную окружности, центры которых со-Рис. 333
Народная
асвета

251
впадают друг с другом и с точкой пересечения биссектрис
углов многоугольника.
Доказательство. Пусть A1A2A3…An − 1An — правильный
многоугольник (рис. 336). Проведем биссектрисы углов
A1 и A2, пусть они пересекаются в точке O. Треугольник
A1OA2 равнобедренный, так как его углы OA1A2 и OA2A1
равны друг другу как половины равных углов AnA1A2 и
A1A2A3. Значит, OA1 = OA2. Треугольники A1OA2 и A3OA2
равны, так как у них сторона OA2 общая, стороны A1A2 и
A3A2 равны, углы A1A2O и A3A2O также равны. Поэтому
OA3 = OA2. Так же докажем, что OA4 = OA3, OA5 = OA4, …,
OAn − 1 = OAn. Значит, OA1 = OA2 = OA3 = … = OAn − 1 = OAn.
Это означает, что точка O равноудалена от точек A1, A2,
A3, …, An − 1, An. Поэтому окружность с центром O и ра-
диусом OA1 является описанной около многоугольника
A1A2A3…An − 1An.
Поскольку треугольники OA1A2, OA2A3, OA3A4, …,
OAn − 1An, OAnA1 все равнобедренные и равны друг другу, то
равны и их высоты, проведенные к основаниям. Это означа-
ет, что точка O равноудалена от сторон многоугольника, она
является центром окружности, вписанной в многоугольник
A1A2A3…An − 1An.
Точка, которая является центром окружности, вписанной
в правильный многоугольник, называется центром правиль-
ного многоугольника.
Следствие 1. Вписанная в правильный многоугольник
окружность касается сторон этого многоугольника в их
серединах.
Рис. 334 Рис. 335 Рис. 336
Народная
асвета

252
Б) Теорема 2. Зависимость
между стороной an правильного
n-угольника и радиусом R опи-
санной около него окружности
выражается формулой
an == 2R sin 180°°
n
.
Доказательство. Пусть A1A2 —
сторона правильного n-уголь-
ника, а точка O — его центр
(рис. 337). Пусть A1A2 = an, OA1 = R. Тогда высота OC рав-
нобедренного треугольника OA1A2 является его биссектрисой
и медианой. Поскольку ∠A1OA2 = 360°
n
, то ∠A1OC = 180°
n
. По-
скольку A1C = OA1 sin A1OC, то an = A1A2 = 2A1C = 2R sin 180°
n
.
Следствие 2. Зависимость между радиусами r и R окруж-
ностей, вписанной в правильный n-угольник и описанной
около него, выражается формулой
r = Rcos 180°°
n
.
Действительно, этим равенством связаны катет OC, рав-
ный r, гипотенуза OA1, равная R, и прилежащий к катету OC
угол в прямоугольном треугольнике A1OC (см. рис. 337).
Следствие 3. Если a3, a4, a6 — стороны правильных тре-
угольника, четырехугольника, шестиугольника соответ-
ственно, то
a R3 3;== a R4 2;== a6 == R.
Следствие 4. Два правильных многоугольника с одина-
ковым количеством сторон подобны.
Следствие 5. Периметры правильных многоугольников
с одинаковым количеством сторон относятся как радиу-
сы описанных около них или как радиусы вписанных в них
окружностей.
В) Теорема 3. Зависимость между площадью S много-
угольника, его периметром P и радиусом r вписанной в него
окружности выражается формулой
S r== 1
2
P .
Доказательство. Пусть точка O — центр окружности с ра-
диусом r, вписанной в многоугольник A1A2A3…An − 1An с пери-
Рис. 337
Народная
асвета

253
метром P (рис. 338). Соединив с центром O вершины этого
многоугольника, получим его разбиение на n треугольников
A1OA2, A2OA3, A3OA4,…, An − 1OAn, AnOA1, высоты OC1, OC2,
OC3,…, OCn − 1, OCn которых, проведенные к сторонам A1A2,
A2A3, A3A4,…, An − 1An, AnA1, все равны r. Поэтому для пло-
щади S многоугольника A1A2A3An − 1…An получим:
S = 1
2
(A1A2 OC1 + A2A3 OC2 + A3A4 OC3 + … +
+ An − 1An OC n − 1 + AnA1 OCn) =
= 1
2
(A1A2 r + A2A3 r + A3A4 r + … + An − 1An r + AnA1 r) =
= 1
2
(A1A2 + A2A3 + A3A4 + … + An − 1An + AnA1) r = 1
2
Pr.
Следствие 6. Зависимость между площадью S правиль-
ного n-угольника, его стороной a и радиусом r вписанной
окружности выражается формулой
S nar== 1
2
.
Г) Напомним, как строить вписанные в окружность пра-
вильные четырехугольники, шестиугольники и треугольники.
Используем тот факт, что диагонали квадрата равны, вза-
имно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Поэтому, чтобы построить вписанный в окружность правиль-
ный четырехугольник, можно провести два взаимно перпенди-
кулярных ее диаметра и соединить последовательно их концы.
В соответствии со следствием 3 сторона правильного ше-
стиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу.
Поэтому если от произвольно выбранной точки окружности
последовательно строить хорды, равные радиусу, то концевые
точки этих хорд дадут вершины шестиугольника (рис. 339).
Рис. 339Рис. 338
Народная
асвета

254
Если же концевые точки шести
полученных хорд соединить через
одну, то получится правильный тре-
угольник.
Если построен правильный n-уголь-
ник, то, разделив дуги описанной
окружности, которые стягиваются сто-
ронами-хордами, пополам, получим
еще n точек, которые вместе с вер-
шинами n-угольника дают вершины
правильного 2n-угольника. На рисун-
ке 340 показано построение правильного восьмиугольника с
учетом того, что уже построен правильный четырехугольник.
Применяя указанный способ, можно с помощью линейки и
циркуля удваивать количество сторон у построенного пра-
вильного многоугольника.
Задача построения линейкой и цирку-
лем правильных многоугольников имеет ин-
тересную историю. В Древней Греции умели
строить правильные треугольник, четырех-
угольник, пятиугольник, шестиугольник.
А окончательное решение было получено в
возрасте 19 лет будущим великим математи-
ком Карлом Фридрихом Гауссом (1777—1855)
(рис. 341). Он установил, что циркулем и ли-
нейкой можно построить правильный n-уголь-
ник только тогда, когда число n можно пред-
ставить произведением 2m
p1 p2 … pk, где
m — неотрицательное целое число, p1, p2, …,
pk — различные простые числа вида 2 1
2( )
,
l
+
где l — целое неотрицательное число. Отсюда следует, что правильный пя-
тиугольник построить можно, так как 5 2 1
21
= +
( )
, а правильный семи-
угольник — нельзя. Следующим после пяти простым числом такого вида
является число 17, равное 2 1
22( )
.+ Именно задачу о построении правиль-
ного семнадцатиугольника решил сначала Гаусс. Это событие он посчитал
настолько значимым, что завещал высечь правильный семнадцатиуголь-
ник на своем надмогильном памятнике.
Вместе с этим приближенное деление окружности на произвольное ко-
личество долей с любой нужной точностью всегда возможно, что и делают
на практике при изготовлении циферблатных часов (рис. 342), компасов
(рис. 343), разработке круговых орнаментов (рис. 344).
Рис. 340
Рис. 341
Народная
асвета

255
? 1. Какой многоугольник называется правильным?
2. Сформулируйте утверждение о существовании окружностей, опи-
санной около правильного многоугольника и вписанной в него.
3. Какая точка называется центром правильного многоугольника?
4. Какой зависимостью связаны сторона правильного n-угольника и
радиус описанной около него окружности?
5. Какой зависимостью связаны радиусы окружностей, описанной око-
ло правильного n-угольника и вписанной в него?
6. Как через радиус описанной окружности выражается сторона пра-
вильного треугольника; четырехугольника; шестиугольника?
7. Сформулируйте утверждение об отношении периметров правильных
многоугольников.
8. Какой зависимостью связаны площадь, периметр многоугольника
и радиус вписанной в него окружности?
9. Какой зависимостью связаны площадь, сторона правильного мно-
гоугольника и радиус вписанной в него окружности?
10. Как построить правильный треугольник; правильный четырех-
угольник; правильный шестиугольник?
902. Известно, что:
а) все углы многоугольника равны друг другу. Следует ли из
этого, что данный многоугольник правильный?
б) все стороны многоугольника равны друг другу. Следует ли
из этого, что данный многоугольник правильный?
903. Установите, верно ли утверждение:
а) любой правильный многоугольник является выпуклым;
б) любой выпуклый многоугольник является правильным;
в) многоугольник является правильным, если он выпуклый
и все его стороны равны;
г) треугольник является правильным, если все его углы
равны;
д) любой равносторонний треугольник является правильным;
е) любой равносторонний четырехугольник является пра-
вильным.
Рис. 343 Рис. 344Рис. 342
Народная
асвета

256
904. Докажите, что любой правильный четырехугольник
является квадратом.
а) взятые через одну вершины правильного 2п-угольника яв-
ляются вершинами правильного п-угольника;
б) середины сторон правильного п-угольника являются вер-
шинами другого правильного п-угольника.
906. Докажите, что радиус окружности, вписанной в пра-
вильный треугольник, в два раза меньше радиуса окружно-
сти, описанной около этого треугольника.
907. Докажите, что хорда, перпенди-
кулярная радиусу и проходящая через
его середину, равна стороне правильно-
го вписанного треугольника (рис. 345).
908. Найдите углы правильного
п-угольника, учитывая, что:
а) п = 3; в) п = 6; д) п = 18;
б) п = 5; г) п = 10; е) п = 36.
909. Установите, сколько сторон
имеет правильный многоугольник, учи-
тывая, что его угол равен:
а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°.
910. Установите, сколько сторон имеет правильный впи-
санный многоугольник, учитывая, что дуга описанной
окружности, стягиваемая его стороной, равна:
а) 60°; в) 90°; д) 18°;
б) 30°; г) 36°; е) 72°.
а) серединные перпендикуляры к любым двум сторонам пра-
вильного многоугольника или пересекаются, или совпадают;
б) прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов пра-
вильного многоугольника, или пересекаются, или совпадают.
912. Докажите, что для любого многоугольника существу-
ет не более одной окружности, описанной около него, и не бо-
лее одной окружности, вписанной в него.
913. Через сторону an правильного n-угольника выразите
радиусы окружностей, описанной около него и вписанной в
него, если значение п равно:
а) 3; б) 4; в) 6; г) 5.
Рис. 345
Народная
асвета

257
914. Начертите окружность и постройте вписанный в нее
правильный:
а) треугольник;
б) четырехугольник;
в) шестиугольник.
915. Начертите окружность и постройте описанный око-
ло нее правильный:
а) треугольник;
б) четырехугольник;
в) шестиугольник.
916. Как правильный шестиугольник разрезать на ромбы?
917. Учитывая, что на рисунке 346 изображен квадрат,
вписанный в окружность с радиусом R, а4 — сторона квадра-
та, Р — периметр квадрата, S — площадь квадрата, r —
радиус вписанной окружности, найдите числа, отсутствую-
щие в таблице.
R r a4 P S
а) 12
б) 6
в) 12
г) 56
д) 48
918. Учитывая, что на рисунке 347 изображен правиль-
ный треугольник, вписанный в окружность с радиусом R,
а3 — сторона треугольника, Р — периметр треугольника,
S — площадь треугольника, r — радиус вписанной окруж-
ности, найдите числа, отсутствующие в таблице.
R r a3 P S
а) 9
б) 40
в) 4
г) 10
д) 18
Рис. 347
Рис. 346
Народная
асвета

258
919. Найдите сторону квадрата, впи-
санного в окружность, учитывая, что
периметр правильного треугольника,
вписанного в эту же окружность, равен
18 см.
920. Сечение головки газового вен-
тиля имеет форму правильного тре-
угольника со стороной 3 см. Установи-
те, каким должен быть минимальный
диаметр круглого железного стержня, из которого изготав-
ливают вентиль.
921. Расстояние между параллельными гранями шести-
гранной головки болта (рис. 348), верхнее основание которо-
го имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см.
Найдите площадь верхнего основания.
922. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, ко-
торый можно выточить из деревянного бруса, поперечное се-
чение которого является квадратом со стороной 6 см.
923. Около окружности описан квадрат и правильный ше-
стиугольник. Найдите периметр квадрата, учитывая, что пе-
риметр шестиугольника равен 60 см.
924. Выразите сторону, периметр и площадь правильного
треугольника через радиус:
а) вписанной окружности;
б) описанной окружности.
925. Найдите площадь S правильного п-угольника, учи-
тывая, что:
а) п = 4, R = 6 2 см; в) п = 6, r = 18 дм;
б) п = 3, P = 48 м; г) п = 8, r = 15 3 мм.
926. Найдите отношение площадей двух правильных ше-
стиугольников — вписанного в окружность и описанного око-
ло нее.
927. С помощью циркуля и линейки в данную окружность
впишите:
а) правильный шестиугольник;
б) правильный треугольник;
в) квадрат;
г) правильный восьмиугольник.
Рис. 348
Народная
асвета

259
928. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность,
учитывая, что сторона правильного треугольника, вписанно-
го в эту окружность, равна a.
929. В окружность, радиус которой равен 4 м, впи-
сан правильный треугольник, на стороне которого постро-
ен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около
квадрата.
930. Найдите радиус окружности, вписанной в правиль-
ный многоугольник, учитывая, что его сторона равна а, а ра-
диус описанной окружности — R.
931. В окружность с радиусом R вписан правильный мно-
гоугольник со стороной а. Найдите сторону b правильного
многоугольника с тем же количеством сторон, описанного
около этой окружности.
932. Около одного правильного n-угольника описали
окружность и вписали в него окружность, радиусы кото-
рых оказались равными R1 и r1. Радиус окружности, впи-
санной в другой правильный п-угольник, равен r2. Най-
дите радиус окружности, описанной около другого п-уголь-
ника.
933. Периметры двух правильных п-угольников относятся
как p : q. Найдите отношение радиусов окружностей:
а) вписанных в эти п-угольники;
б) описанных около этих п-угольников.
934. Есть правильный шестиугольник. Найдите:
а) угол между его диагоналями, выходящими из одной вер-
шины;
б) угол между его наименьшими пересекающимися диагона-
лями;
в) отношение его наибольшей и наименьшей диагоналей;
г) отношение частей большей диагонали, на которые ее де-
лит меньшая диагональ;
д) отношение частей, на которые делят друг друга две мень-
шие диагонали;
е) отношение площади шестиугольника к площади треуголь-
ника, ограниченного меньшими диагоналями.
935. Есть правильный шестиугольник. Докажите, что:
а) для каждой его диагонали есть равная ей другая диаго-
наль;
б) среди его диагоналей есть параллельные;
в) среди его диагоналей есть перпендикулярные.
Народная
асвета

260
936. Докажите, что в правильном многоугольнике:
а) диагонали, соединяющие его вершины через одну,
равны;
б) все стороны видны из центра многоугольника под одним
углом;
в) из любой его вершины каждая сторона, кроме тех, кото-
рым эта вершина принадлежит, видна под одним и тем же
углом;
г) все треугольники, вершины которых находятся в верши-
нах данного многоугольника, имеют равные радиусы опи-
санной окружности;
д) его наибольшая диагональ проходит через центр много-
угольника, если количество его сторон четно, и не проходит
через этот центр, если количество сторон нечетно.
937. Докажите, что сторона an правильного n-угольника,
вписанного в окружность с радиусом R, вычисляется по фор-
муле:
а) а8 = R 2 2− , если n = 8;
б) а12 = R 2 3− , если n = 12.
938. Правильный восьмиугольник А1А2А3А4А5А6А7А8 впи-
сан в окружность с радиусом R. Докажите, что четырехуголь-
ник А3А4А7А8 является прямоугольником, и выразите его пло-
щадь через R.
939. Установите, является ли описанный многоугольник
правильным, если:
а) все его стороны равны; б) все его углы равны.
940. Установите, является ли вписанный многоугольник
правильным, если:
а) все его стороны равны; б) все его углы равны.
941. Есть правильный пятиугольник. Установите:
а) что все его диагонали равны;
б) что каждая диагональ параллельна какой-либо стороне;
в) в каком отношении каждая диагональ делится точкой пе-
ресечения с другой диагональю;
г) вид многоугольника, ограниченного всеми диагоналями;
д) какую часть составляет площадь многоугольника, огра-
ниченного всеми диагоналями, от площади данного много-
угольника.
Народная
асвета

261
44444
942. Докажите тождество:
а) 1
3 2
3
1 2 3 1 2 32
x x x x x
x
x x x+ + + + + + + +
− =
( )( )( ) ( )( )( )
;
б)
x
x
x
x x
x x x
x x x
x
x
+
−
−
− +
− − −
− + −
+
−
− − =
3
2 1
5
4 4 1
2 1 5 1
8 12 6 1
2 1
2 1
2
2
3
3 2
( )
( )22
;
в) x
x
x x
x x x
x x
x x x
x
x
x
x2
2
3 2
2
3 2
3
4 2
1
1
1
1
1
2
1 1−
+ −
− + −
− −
+ + + − −
+ + − = ;
г)
a x b x c
a b a c
b x a x c
b a b c
c x a x b2 2 2
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )− −
− −
− −
− −
− −
+ +
(( )( )
.
c a c b
x
− −
= 2
а) (x2
− 5x + 6)(x2
− 1) 0; г) (e2
− 3e − 4)(e2
− 2e − 15) 0;
б) (j + 2)(j2
+ j − 12) 0; д) (m − 2)3
(m + 1)(2 − m)2
0;
в) (k2
− 7k + 12)(k2
− k + 2) 0; е) (n + 3)2
(n − 2)(5 + n)3
0.
а) x + 3 = 2(2 − x); г) x x x2
4 2 2+ + = − − ;
б) x x+ − − =1 1 2; д) x x x2
4 2 2+ + = + ;
в) x2
+ x − 1 = 1; е) x x x x2 2
4 2 4 2+ + = − − − .
945. Прямая, перпендикулярная двум сторонам паралле-
лограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых
можно вписать окружность. Найдите синус угла параллело-
грамма, учитывая, что его стороны равны a и b, причем a b.
946. Найдите площадь части правильного шестиугольника
со стороной a, расположенной вне шести окружностей с ра-
диусами a
2
и с центрами в вершинах шестиугольника.
947. Длина одного прямо-
угольного участка равна 60 м,
другого — 75 м. Если каждый
из участков при прежней шири-
не нарастить так, чтобы его пло-
щадь стала равной суммарной
площади исходных участков, то
первый нарощенный участок бу-
дет на 25 м длиннее второго
(рис. 349). Найдите длины наро-
щенных участков. Рис. 349
Народная
асвета

262
948. Есть две коробки для укладки конфет, причем в пер-
вой из них в одном ряду укладывается 9 конфет, во второй —
6 конфет и вторая коробка вмещает на 9 конфет больше. Най-
дите вместимости коробок, учитывая, что все конфеты из пер-
вой и второй коробок в точности укладываются в третью ко-
робку, в которой в одном ряду 7 конфет, и что в трех коробках
вместе содержится меньше 150 конфет.
* * *
949. Найдите множество значений функции
y
x
x x
=
−
− +
2 5
4 52
.
950. Докажите, что число 1 3+ нельзя представить сум-
мой квадратов чисел вида a b+ 3, где a и b — рациональные
числа.
951. Докажите, что в записи числа 6 37
999
+ десятич-
ной дробью первые 999 цифр после запятой — нули.
22. Длина окружности
Длину не очень большого пути между двумя точками, на-
пример длину тропинки, можно измерить мерным циркулем
(рис. 350). Длину кривой линии, например длину реки по
карте, можно измерить циркулем с постоянным небольшим
раствором (рис. 351). В этих примерах кривая заменяется
ломаной, длина которой дает приближенное значение длины
кривой, причем оно находится тем более точно, чем чаще вер-
шины ломаной располагаются на кривой.
Рис. 350
Народная
асвета

263
Рассмотрим окружность и
последовательность вписан-
ных в нее правильных много-
угольников с возрастающим
количеством сторон (рис. 352).
Нетрудно заметить, что с уве-
личением количества сто-
рон эти многоугольники при-
ближаются к кругу, а их гра-
ница-ломаная прижимается к
окружности. Для достаточно
больших значений перемен-
ной n граница n-угольника
практически не отличается от
окружности, а его периметр
приближенно равен длине окружности. Примерно так рас-
суждали геометры древности. Сделаем это и мы.
Можно доказать, что если Pn — периметр правильного
вписанного в окружность n-угольника, Qn — периметр пра-
вильного описанного около этой окружности n-угольника, то
верны так называемые формулы удвоения
P2n = knPn, Q2n = knP2n,
где kn
P
nR
n
=
+ −
1
1
2
1 1
2
2
.
Используя их, найдем последовательно значения полупе-
риметров pn и qn, один раз начиная с p4, второй раз — на-
Рис. 351
Рис. 352
Народная
асвета

264
чиная с p6. При этом учтем, что a4 = R 2 и a6 = R. Поэтому
p4 = 2 2R и p6 = 3R. Для упрощения вычислений будем рас-
сматривать единичную окружность, у которой R = 1. Тогда
p4 = 2 2 ≈ 2 1,4142 = 2,8284, p6 = 3.
Для p8, q8, p12, q12 с использованием формул удвоения
будем последовательно получать:
p8
2
1
1
2
1 1
2 8284
4
2 8284 3 0614= =
+ −
,
, , ;
q8
2
1
1
2
1 1
2 8284
4
3 0614 3 3136=
+ −
,
, , ;=
p12
2
1
1
2
1 1 3
6
3 3 1058= =
+ −
, ;
q12
2
1
1
2
1 1 3
6
3 1058 3 2154=
+ −
=, , .
В результате дальнейших вычислений получим следую-
щую таблицу.
n pn qn n pn qn
8 3,0614 3,3136 48 3,1393 3,1461
12 3,1058 3,2154 64 3,1403 3,1441
16 3,1214 3,1825 96 3,1410 3,1427
24 3,1326 3,1596 128 3,1412 3,1422
32 3,1365 3,1517 192 3,1414 3,1418
Анализ таблицы показывает, что с ростом значений пе-
ременной n значения выражений pn и qn сближаются, при
этом значения pn возрастают, значения qn убывают. Можно
заметить, что у соответствующих значений pn и qn сначала со-
впадают цифры целых (при n = 8), затем десятых (при n = 16),
затем сотых (при n = 64). Понятно, что дальнейшие вычисле-
Народная
асвета

265
ния с большей точностью приведут к совпадению цифр в сле-
дующих разрядах. Число, которое является результатом опи-
санного процесса, и есть число π.
Число π — одна из важнейших констант математики и природоведе-
ния. Это число является иррациональным. Нужды практических расчетов
заставляли уже в глубокой древности искать его приближения рациональ-
ными числами. Древнегреческий ученый Архимед (около 287—212 до н. э.)
(рис. 353) установил, что 3 3 1
7
10
71
π .
Китайский математик Цзу Чунчжи (около 430 — около 501) (рис. 354)
доказал, что число π заключено между рациональными числами 3,1415926
и 3,1415927, и предложил приближение π ≈ 355
113
.
Китайский математик Лю Хуэй (около 220 — около 280) получил прос-
той и точный алгоритм для вычисления числа π с любой степенью точности
(около 265) и с его помощью определил, что π ≈ 3,14159.
Нидерландский математик Лудольф ван Цейлен (1540—1610) (рис. 355)
вычислил значение числа π с 32 десятичными знаками, это число называют
лудольфовым числом.
Обозначение π стало общепринятым после работы Леонарда Эйлера
(1707—1783) (рис. 356), написанной в 1736 г. Эйлер нашел для числа π
приближение со 153 десятичными знаками.
В соответствии со следствием 5 па-
раграфа 21 периметры P1n и P2n правиль-
ных вписанных в окружности n-угольни-
ков относятся как радиусы R1 и R2 этих
окружностей:
P
P
R
R
n
n
1
2
1
2
= . Это равенство
истинно при всех значениях перемен-
ной n. Но при неограниченном увеличе-
нии количества сторон вписанных много-
угольников их периметры будут неогра-
Рис. 353
Рис. 356
Рис. 354 Рис. 355
Народная
асвета

266
ниченно приближаться к длинам C1 и C2 окружностей. По-
этому равенство
C
C
R
R
1
2
1
2
= истинно. Тогда истинно равенство
C
R
C
R
1
1
2
2
= , а значит, и равенство
C
R
C
R
1
1
2
22 2
= .
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4. Отношение длины окружности к ее диаме-
тру есть постоянная величина, равная числу π:
C
R2
== ππ.
Из этого равенства получаем, что
C = 2πR.
Пользуясь формулой C = 2πR, можно находить длину дуги
окружности, соответствующей центральному углу величи-
ной α. Сначала найдем дугу с1, соответствующую централь-
ному углу в 1°, а затем искомую дугу:
c R R
1
2
360 180
= =π π
; c RR
α = α = ππ α
180 180
.
? 1. Запишите формулу, выражающую связь длины окружности с ее
диаметром.
2. Как можно найти дугу окружности, соответствующей центральному
углу величиной α?
952. Найдите величину центрального угла, учитывая, что
от окружности соответствующая дуга составляет:
а) 1
3
; в) 1
5
; д) 2
3
;
б) 1
4
; г) 1
6
; е) 3
4
.
953. Найдите радиус окружности, у которой дуга в 1° име-
ет длину 1 м.
954. Перепишите таблицу в тетрадь и, приняв число 3,14
в качестве значения числа π, заполните пустые клетки табли-
цы, в которой С обозначает длину окружности, R — ее радиус.
C 164 24π 6,28 2 2
R 4 6 0,71 304,5 31
7
Народная
асвета

267
955. Определите, как изменится длина C окружности,
если ее радиус R:
а) увеличить в 3 раза; в) увеличить в 1,3 раза;
б) уменьшить в 2 раза; г) уменьшить в 7
3
раза.
956. Определите, как изменится длина окружности, если
ее радиус:
а) увеличить на a; в) увеличить в a раз;
б) уменьшить на a; г) уменьшить в a раз.
957. Установите, как изменится радиус окружности, если
ее длину:
а) увеличить в 5 раз; в) увеличить в 5,2 раза;
б) уменьшить в 11 раз; г) уменьшить в 2 2
3
раза.
958. Найдите длину окружности, описанной около:
а) прямоугольного треугольника с гипотенузой 12 см;
б) равнобедренного треугольника с основанием 6 см и углом
30° при основании;
в) прямоугольника со стороной 18 см и углом 60° между диа-
гоналями;
г) равнобедренной трапеции с диагональю 30 см и углом 30°
при основании.
959. Найдите длину окружности, описанной около:
а) прямоугольного треугольника с гипотенузой c;
б) равнобедренного треугольника с основанием a и углом α
против него;
в) прямоугольника со стороной a и углом β между его диа-
гоналями;
г) равнобедренной трапеции с диагональю d и углом γ при
основании.
960. Найдите длину окружности, вписанной в:
а) прямоугольный треугольник с катетом 12 см и углом 40°
против него;
б) равнобедренный треугольник с высотой 6 см, проведенной
к основанию, и углом 50° при основании;
в) ромб с диагоналями 10 см и 24 см.
961. Найдите длину окружности, вписанной в:
а) прямоугольный треугольник с катетом b и углом δ про-
тив него;
Народная
асвета

268
б) равнобедренный треугольник с высотой h, проведенной к
основанию, и углом ϕ против нее;
в) ромб с диагоналями c и d;
г) прямоугольную трапецию, у которой основание равно бо-
ковой стороне и равно l.
962. Есть две концентрические окружности, т. е. окруж-
ности с общим центром, ограничивающие кольцо шириной l
(рис. 357). Найдите зависимость этой ширины от длин C1 и
C2 окружностей.
963. Найдите зависимость между радиусом r колеса, ко-
торое катится по прямой, количеством n сделанных оборотов
и длиной s пройденного пути.
964. Вычислите длину круговой орбиты искусственного
спутника Земли, учитывая, что спутник обращается вокруг
Земли на расстоянии 320 км от нее, а радиус Земли равен
6371 км.
965. Есть два сцепленных между собой резиновых ко-
леса с радиусами r1 и r2 (рис. 358). Найдите, сколько обо-
ротов сделало большее колесо, учитывая, что меньшее ко-
лесо сделало n оборотов.
966. Есть три резиновых колеса с радиусами r1, r2 и r3, сце-
пленные так, как показано на рисунке 359. Найдите, сколь-
ко оборотов сделало третье колесо, учитывая, что первое ко-
лесо сделало n оборотов.
967. Метр приближенно составляет
сорокамиллионную долю земного эква-
тора. Найдите диаметр Земли в кило-
метрах, приняв, что Земля имеет фор-
му шара.
968. Установите, на сколько удли-
нился бы земной экватор, если бы ра-
диус Земли увеличился на:
а) 1 см; б) 1 км.
Рис. 358 Рис. 359
Рис. 357
Народная
асвета

269
969. Представим себе, что Зем-
лю по экватору обтянули веревкой,
а затем ее длину увеличили на 1 м.
Определите, может ли в зазор:
а) который образует экватор с
окружностью из удлиненной верев-
ки, концентрической с экватором,
пролезть мышь (рис. 360);
б) между поверхностью Земли и мак-
симально оттянутой в каком-либо
месте удлиненной веревкой пройти
слон (рис. 361).
970. Найдите отношение длин
окружностей, вписанной в данный
правильный n-угольник и описан-
ной около него.
а) длина l дуги окружности пропор-
циональна соответствующему цен-
тральному углу α при одном и том
же радиусе R;
б) длина l дуги окружности пропор-
циональна радиусу R при одном и
том же центральном угле α;
в) длины l1 и l2 двух дуг одной
окружности относятся как их гра-
дусные меры.
972. Конус с радиусом основа-
ния R и высотой H положили боком
на плоскость и покатили (рис. 362).
Установите, сколько оборотов сде-
лает основание конуса, пока конус
вернется в исходное положение.
973. В окружности с радиусом
R проведена хорда длиной R. Най-
дите длины дуг, стягиваемых этой
хордой.
974. Найдите, под каким углом
видна из центра окружности с ра-
диусом r ее дуга длиной l. Рис. 362
Рис. 361
Рис. 360
Народная
асвета

270
975. Найдите величину центрального угла, который опи-
рается на дугу, равную радиусу окружности.
976. В окружности с радиусом R найдите хорду, концы ко-
торой разделяют окружность на такие дуги, что:
а) одна из них в два раза больше другой;
б) длина одной из них составляет 20 % длины другой;
в) длина одной из них составляет 125 % длины другой.
977. Учитывая, что радиусы всех окружностей равны r,
найдите длину сплошной линии на рисунке:
а) 363; б) 364; в) 365.
Рис. 364 Рис. 365Рис. 363
978. Учитывая, что сторона квадрата O1O2O3O4 равна a, а
радиусы всех дуг равны этой стороне, найдите длину сплош-
ной линии на рисунке 366.
979. Из точки проведены две касательные к данной окруж-
ности. Найдите длины дуг, на которые точки касания раз-
деляют окружность, учитывая, что точка касания отстоит от
данной точки на a, а угол между касательными равен ω.
980. На часах 12.00. Найдите путь, который пройдет конец
минутной стрелки длиной l, пока она догонит часовую стрелку.
981. Есть отрезок MN. Нужно из точки M попасть в точку
N, двигаясь только по полуокружностям, диаметры которых
лежат на отрезке MN, причем соседние
диаметры не накладываются друг на дру-
га. Найдите кратчайший путь.
982. Автомобиль едет по дуге окруж-
ности. Объясните, почему его внеш-
ние колеса едут с большей скоростью по
сравнению с внутренними. Найдите за-
висимость отношения их скоростей от
радиуса поворота.Рис. 366
Народная
асвета

271
983. Найдите длину дуги окруж-
ности с радиусом 18 см, учитывая,
что ее градусная мера равна:
а) 30°; д) 120°;
б) 45°; е) 135°;
в) 60°; ж) 150°;
г) 90°; з) 175°.
984. Шлифовальный камень в
форме диска находится в защитном
кожухе (рис. 367). Найдите длину
дуги незащищенной части камня,
учитывая, что диаметр камня равен
36 см, а дуга незащищенной его ча-
сти составляет 115°.
985. Найдите длину маятника на-
стенных часов (рис. 368), учитывая,
что угол его колебаний составляет
36°, а длина дуги, которую описы-
вает конец маятника, равна 16 см.
986. Найдите градусную меру ду-
ги закругления железнодорожного
полотна, радиус которого равен 4 км,
а длина — 400 м.
987. Шкив диаметром 1,4 м дела-
ет 100 оборотов в минуту. Найдите
скорость точки на окружности шкива.
988. Учитывая, что радиус Зем-
ли равен 6371 км, установите, какой угол ограничивают ра-
диусы Земли, проведенные в две точки на ее поверхности, от-
стоящие на:
а) 1 км; в) 100 км; д) 10 000 км;
б) 10 км; г) 1000 км; е) 20 000 км.
989. Радиус окружности равен 1 м. Найдите длину ее ду-
ги, градусная мера которой равна:
а) 45°; в) 120°; д) 60°30′;
б) 30°; г) 45°45′; е) 150°36′45″.
Рис. 368
Рис. 367
Народная
асвета

272
990. Хорда окружности равна а. Найдите длину ее дуги,
градусная мера которой равна:
а) 60°; б) 90°; в) 120°; г) 176°.
991. Дуга окружности равна l. Найдите ее хорду, учиты-
вая, что градусная мера дуги равна:
а) 60°; б) 90°; в) 120°; г) 176°.
992. В единичной окружности проведены хорды длиной
2 и 3. Найдите отношение меньших дуг, соответствую-
щих этим хордам.
993. Расстояние между серединами зубьев зубчатого коле-
са, измеренное по дуге окружности, равно 9,42 мм. Диаметр
колеса равен 900 мм. Найдите количество зубьев колеса.
994. Центр меньшей окружности с радиусом r находит-
ся на большей окружности с радиусом R. Найдите длину ду-
ги большей окружности внутри меньшей окружности, учи-
тывая, что длина дуги меньшей окружности внутри большей
окружности равна l.
995. Из курса физики вы знаете, что качество измерения
или вычисления характеризует относительная погрешность.
Найдите отношение периметра правильного вписанного
n-угольника к диаметру описанной окружности и установите
относительную погрешность замены числа π этим отношени-
ем, учитывая, что значение переменной n равно:
а) 6; б) 8; в) 12.
996. В древности в качестве приближенного значения чис-
ла π использовали числа 10, 22
7
, 355
113
. Оцените эти прибли-
жения, сравнив их относительные погрешности.
997. Внутри окружности с радиусом R расположена це-
почка из п равных окружностей, которые касаются друг дру-
га и данной окружности. Найдите радиус этих окружностей,
учитывая, что этих окружностей:
а) 3 (рис. 369); б) 4 (рис. 370); в) 6 (рис. 371).
Рис. 371Рис. 370Рис. 369
Народная
асвета

273
998. Вне окружности с радиусом R расположена цепочка
из п равных окружностей, которые касаются друг друга и
данной окружности. Найдите радиус этих окружностей, учи-
тывая, что этих окружностей:
а) 3 (рис. 372); б) 4 (рис. 373); в) 6 (рис. 374).
_________
а) 1 1 2 4 8
2 2
3
4 4
7
8 8z c z c
z
z c
z
z c
z
z c− + + + +
+ + + + ;
б) 1
1
1
1 2
1
2 3
1
3 4s s s s s s s s( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
;
+ + + + + + +
+ + +
в)
q q
q q
q q
q q
q q
q q
4 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
4
1
1
1
1 1
1 1
1
− −
+ −
− −
+ −
− −
− +
+ +
( )
( )
( )
( )
( )
( ))
;2
г)
d
f g
f
g d
g
d f
d
fg
g f
f
dg
d g
g
df
f d
2 2 21 1 1 1 1 1− + − + −
− + − + −( ) ( ) ( )
.
а)
y y
y
2
2
7 8
64
− −
−
0; в)
2 5 2
4 4 1
2
2
c c
c c
− +
+ +
0; д)
b
b b
2
2
16
2 5 12
−
+ −
0;
б)
5 3 2
1
2
2
a a
a
− −
−
0; г)
z z
z
2
2
7 10
4
+ +
−
0; е)
d d
d d
2
2
2 35
12 11 2
− −
− +
0.
а) (2x + 8)(3x − 2)(5 − 2x)(3 + 3x) 0;
б) (2y + 8)(3y − 2)3
(5 − 2y)5
(3 + 3y)7
0;
в) (2z + 8)2
(3z − 2)4
(5 − 2z)6
(3 + 3z)8
0;
г) (2a + 8)2
(3a − 2)3
(5 − 2a)4
(3 + 3a)5
0;
д) (2c + 8)3
(3c − 2)5
(5 − 2c)2
(3 + 3c)8
0;
е) (2e + 8)6
(3e − 2)(5 − 2e)3
(3 + 3e) 0.
Рис. 374Рис. 373Рис. 372
Народная
асвета

274
1002. Установите, существует ли прямоугольник, у кото-
рого периметр и площадь соответственно равны:
а) 40 см и 84 см2
; б) 40 см и 105 см2
.
1003. Через точку A, взятую вне окружности с радиусом R,
одна секущая проведена через центр, другая — на расстоянии
R
2
от центра. Найдите площадь части круга, заключенной
между этими секущими.
1004. Есть четырехугольник TUVX, в котором углы XTU и
XUV прямые, а стороны XU и XV соответственно равны a и b.
Найдите расстояние между центрами двух окружностей, од-
на из которых проходит через точки X, T и U, а другая — че-
рез точки U, V и X.
* * *
1005. Запишите трехзначное число, первая цифра которо-
го превышает последнюю не меньше чем на 2. Найдите раз-
ность его и обращенного числа и прибавьте число, обращен-
ное полученному. Объясните, почему в результате получает-
ся 1089.
1006. Прямая l пересекает стороны AB, AD и диагональ AC
параллелограмма ABCD в точках M, N и K соответственно.
Докажите, что AB
AM
AD
AN
AC
AK
+ = .
1007. Докажите, что сумма 1 1
2
1
3
1
4
1
5
1
+ + + + + +...
n
ни при
каком натуральном n больше 1 не является целым числом.
23. Площадь круга
Формулу для нахождения площади круга можно полу-
чить, используя формулу S = 1
2
Pr, связывающую площадь S
многоугольника, его периметр P и радиус r вписанной в не-
го окружности, и формулу C = 2πr, которая длину C окруж-
ности выражает через ее радиус r.
А) Теорема 5. Площадь S круга с радиусом r выража-
ется формулой
S == πr2
.
Доказательство. Пусть есть круг с радиусом r. Опишем
около него правильный n-угольник (рис. 375). Тогда его пло-
Народная
асвета

275
щадь Sn выразится через его периметр Pn
и радиус r круга формулой
Sn = 1
2
Pn r.
Если значение переменной n возрас-
тает, то площадь Sn многоугольника при-
ближается к площади S круга, значение
переменной Pn убывает и стремится к
длине C окружности, которая равна 2πr.
Значит,
S = 1
2
2πr r = πr2
.
Б) Теорема 6. Площадь Sα сектора с
радиусом r и центральным углом с гра-
дусной мерой α выражается формулой
Sα == αα
360
πr2
.
Доказательство. Пусть есть сектор с
радиусом r, ограниченный дугой с градус-
ной мерой α (рис. 376). Площадь секто-
ра, ограниченного дугой в 1°, составляет
360-ю долю площади всего круга с радиу-
сом r, т. е. равна 1
360
πr2
. Поэтому для
площади Sα данного сектора получим:
Sα = 1
360
πr2
α = α
360
πr2
.
Поскольку площадь Qα сегмента с
радиусом r, ограниченного дугой с гра-
дусной мерой α, можно найти, если из
площади сектора вычесть площадь треугольника, ограни-
ченного радиусами и хордой (рис. 377), то верна формула
Q r
α
πα
α= −
2
2 180
sin .
Чтобы найти длину окружности и площадь круга, нужно знать зна-
чение числа π. Для его вычисления делалось много попыток. Одну из них
мы обсуждали в параграфе 22, когда находили значение числа π через
правильные многоугольники, вписанные в окружность и описанные око-
ло нее. Эту проблему пытались решить еще в Древней Греции через по-
строение линейкой и циркулем квадрата, площадь которого была бы рав-
ной площади круга. Проблема получила название квадратуры круга.
Рис. 375
Рис. 376
Рис. 377
Народная
асвета

276
Ее долго не удавалось решить, и только в 1882 г.,
примерно через две тысячи лет после возникно-
вения этой проблемы, немецким математиком
Ф. Линдеманом (рис. 378) было доказано, что это
вообще невозможно сделать. Теперь словосочета-
ние квадратура круга часто означает неразреши-
мую задачу.
С правильными многоугольниками связана
так называемая изопериметрическая задача по
нахождению фигур наибольшей площади при
заданном периметре. Доказано, что из всех фи-
гур, ограниченных замкнутой линией данной
длины, круг имеет наибольшую площадь, а сре-
ди всех n-угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет
правильный n-угольник.
? 1. Запишите формулу площади круга и объясните, что означает каж-
дая ее буква.
2. Какая часть круга называется сектором? Как найти площадь сек-
тора?
1008. Перечертите таблицу в тетрадь и, взяв число 3,14 в
качестве значения числа π, заполните ее пустые клетки, где
S обозначает площадь круга, а R — его радиус.
S 90 64π 6,25
R 12 50 2
7
108,6 3
1009. Найдите площадь круга, ограниченного окружнос-
тью с длиной C.
1010. Найдите площадь кругового кольца, ограниченного
концентрическими окружностями с радиусами:
а) 40 мм и 60 мм;
б) 55 мм и 65 мм;
в) а и b, причем а b.
1011. Установите, во сколько раз увеличится площадь
круга, если его диаметр увеличить:
а) в 2 раза; б) в 5 раз; в) в k раз.
1012. Установите, может ли сумма радиусов некоторо-
го количества кругов быть больше 100, а сумма их площа-
дей — меньше 0,01.
Рис. 378
Народная
асвета

277
1013. Используя формулу площади круга:
а) укажите, пропорциональность каких величин она выра-
жает;
б) докажите, что площади кругов относятся как квадраты их
радиусов;
в) найдите зависимость площади круга от длины соответству-
ющей окружности.
1014. Найдите площадь круга, описанного около:
а) равностороннего треугольника со стороной 6;
б) прямоугольного треугольника с катетом a и острым углом α;
в) равнобедренного треугольника с основанием c и высотой h;
г) равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 30 и боковой
стороной 10;
д) равнобедренной трапеции с основанием 10, которое состав-
ляет с боковой стороной и с диагональю углы β и γ соответ-
ственно.
1015. Найдите площадь круга, вписанного в:
а) равносторонний треугольник со стороной, равной 3;
б) прямоугольный треугольник с гипотенузой c и острым
углом ϕ;
в) равнобедренный треугольник с боковой стороной a и
высотой h;
г) равнобедренную трапецию с основаниями 30 и 70;
д) равнобедренную трапецию с основанием 40 и углом β при
основании.
1016. Найдите площадь кольца, радиусы ограничиваю-
щих окружностей которого равны R1 и R2, учитывая, что R1
и R2 соответственно равны:
а) 15 см и 25 см; б) 2,3 м и 4 м; в) 240 мм и 2,8 дм.
1017. Найдите, какой радиус имеет окружность, цели-
ком принадлежащая кругу и разделяющая его площадь по-
полам.
1018. Учитывая, что круг и квадрат имеют одинаковые:
а) периметры, сравните их площади;
б) площади, сравните их периметры.
1019. Кольцо ограничивают две концентрические окруж-
ности, отношение радиусов которых равно 0,9. Определите,
какая часть большего круга лежит в кольце.
Народная
асвета

278
1020. Найдите формулу, связываю-
щую площадь S кольца, его ширину d
(рис. 379) и длину C окружности, равно-
удаленной от границ кольца.
1021. На мишени есть четыре окруж-
ности с общим центром, радиусы которых
равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наи-
меньшего круга, а также площадь каж-
дого из трех колец мишени.
1022. Укажите, как круг с радиусом R
разделить концентрическими окружно-
стями на 5 равновеликих фигур.
1023. Найдите толщину слоя, который нужно снять с
круглой медной проволоки с площадью поперечного сечения
314 мм2
, чтобы она прошла через отверстие диаметром 18,5 мм.
1024. Докажите, что площадь полукруга, построенного на
гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площа-
дей полукругов, построенных на катетах этого треугольника.
1025. Постройте круг, площадь которого равна сумме пло-
щадей двух данных кругов.
1026. Найдите отношение площади круга к площади впи-
санного в него:
а) квадрата;
б) правильного треугольника;
в) правильного шестиугольника.
1027. На рисунке 380 представлена фигура, граница кото-
рой состоит из трех полуокружностей, причем диаметры AM и
AN меньших полуокружностей вместе составляют диаметр MN
большей полуокружности. Такая фигура называется арбе-
лосом Архимеда. Докажите, что площадь этой фигуры рав-
на 1
4
π AB2
, где отрезок AB — та часть общей касательной к
меньшим полуокружностям в точке их касания, которая при-
надлежит арбелосу.
1028. На прямой p выбрали точки
А, В, С, D в указанном порядке, причем
отрезки AD и ВС оказались равными k и
l соответственно. Найдите площадь фи-
гуры, ограниченной полуокружностями
с диаметрами АВ, АС, BD и CD, учиты-
вая, что две первые полуокружности рас-
Рис. 379
Рис. 380
Народная
асвета

279
положены по одну сторону от прямой p, а две другие — по
другую сторону.
1029. Определите, какую часть площади круга составляет
площадь его сектора, ограниченного дугой с градусной мерой в:
а) 15°; в) 60°; д) 120°; ж) 270°;
б) 45°; г) 90°; е) 180°; з) 315°.
1030. Определите, какую часть площади круга составля-
ет площадь его сектора, ограниченного дугой, длина которой
равна:
а) радиусу круга;
б) диаметру круга;
в) числовому значению площади сектора.
1031. Из круга, радиус которого равен 10 см, вырезан
сектор с дугой в 60°. Найдите площадь оставшейся части
круга.
1032. Найдите радиус сектора с цен-
тральным углом 72°, площадь которого
равна S.
1033. Найдите площадь закрашенной
части квадрата со стороной а, показан-
ного на рисунке 381.
1034. Найдите площади частей, на
которые круг с радиусом R разделяется
его хордой, видной под углом α из цен-
тра круга.
1035. Две параллельные хорды стя-
гивают дуги в 150°. Какую часть круга
они ограничивают?
1036. Две параллельные хорды AB и
CD отсекают от окружности дуги по 90°
(рис. 382), а еще две хорды PQ и RS, па-
раллельные хорде AB, разделяют остав-
шиеся дуги на доли. Определите, в каком
отношении эти хорды разделяют круг.
1037. Прямая делит окружность на дуги в отношении 5 : 7.
Найдите отношение площадей образовавшихся частей круга.
1038. Найдите площадь части круга, заключенной между
двумя его параллельными хордами длиной a и b.
Рис. 382
Рис. 381
Народная
асвета

280
1039. Когда в единичном круге провели хорду длиной 1, то
площадь меньшего из полученных сегментов оказалась рав-
ной S. Найдите угол сектора, площадь которого также равна S.
1040. В единичном круге проведены две непересекающи-
еся хорды длиной 2 и 3, которые разделили круг на три
части, причем площадь наибольшей части оказалась больше
2,3. Найдите площадь меньшей части.
1041. Найдите площадь пересечения и объединения двух
кругов с радиусами 1 и 3, расстояние между центрами ко-
торых равно 2.
1042. Найдите площадь общей части четырех единичных
кругов, центры которых находятся в вершинах единичного
квадрата.
1043. Найдите радиусы равных кругов, целиком накры-
вающих данный единичный круг, учитывая, что всего ис-
пользовано кругов:
а) 3; б) 4; в) 5; г) 6.
1044. Есть отрезок MN и перпендикулярная ему прямая l.
Пусть A — произвольная точка прямой l. Докажите, что пло-
щадь фигуры, образованной при вращении отрезка МN во-
круг точки А, не зависит от положения точки A.
1045. Вершины правильного шестиугольника со стороной 2
являются центрами кругов с радиусом 2. Найдите пло-
щадь расположенной вне этих кругов части шестиугольника.
44444
а) 1
4
4
1
2
3
4
2
2
2 2
2 2 2 2
+ + −
+
− − − +
x y
x y x y
y
y x x y
;
б)
x y
y z z x
y z
z x x y
z x
x y y z
+
− −
+
− −
+
− −
+ +
( )( ) ( )( ) ( )( )
;
в) 1
1
1
1 2
1
2 3
1
3 4a a a a a a a a( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
;
+ + + + + + +
+ + +
г) 1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
.
s d s f d f d s f s f d− − − − − −
+ +
а) z4
− 4z2
+ 4 0; в)
5
2
− u
u
− u2
1;
б) v
v
v
v
−
+
−
−
2
2
2 3
4 1
; г) a
a a
a
a a2 2
3 1 3 1− + + +
.
Народная
асвета

281
а) (r − 1)2
(r2
− 2) (r − 1)2
(6 − 2r);
б) (s − 1)3
(s − 2)(2s − 3) (s − 1)3
(s − 2)2
;
в) (t − 4)3
(t2
− 10t + 25) (t − 4)3
(5 − t);
г) (u − 1)(2u − 4)(u − 3)2
(u2
− 3u + 2)(u − 3)2
;
д) (v2
− 4v + 4)(3v2
− 2v − 1) 0;
е) (9w2
− 6w + 1)(w2
− 6w + 8) 0;
ж) (x2
+ x)2
(7x2
− 5x − 2) 0;
з) (5y2
+ 6y + 1)(y4
− 4y3
+ 4y2
) 0.
а) x x x+ + − + =3 2 1 42
; б) 2 3 2 12
+ − − + =x x x.
1050. Через один конец хорды длиной 10 см проведена ка-
сательная к окружности, а через другой — секущая, парал-
лельная этой касательной. Найдите радиус окружности, учи-
тывая, что отрезок секущей внутри окружности имеет дли-
ну 12 см.
1051. Через точки M и N, выбранные на стороне AB тре-
угольника ABC так, что AM : MN : NB = 1 : 2 : 3, проведены
прямые, параллельные стороне AC. Найдите площадь части
треугольника, заключенной между этими прямыми, учиты-
вая, что площадь треугольника ABC равна S.
1052. Углы BAH и ABH, где H — точка пересечения вы-
сот треугольника ABC, соответственно равны α и β. Найдите
углы треугольника ABC.
1053. Когда два прута с квадратными сечениями объемами
720 см3
и 480 см3
сплавили в один с площадью сечения, рав-
ной сумме площадей сечения исходных прутов, то получился
прут длиной 48 см. Найдите размеры прутов, учитывая, что
длина первого из них была на 50 см больше, чем длина вто-
рого.
1054. Когда из двух прямоугольников с площадями
2546 мм2
и 5529 мм2
образовали их перекраиванием прямо-
угольный треугольник, один из катетов которого равен сумме
меньших измерений прямоугольников, то другой катет ока-
зался равным 170 мм. Найдите измерения исходных прямо-
угольников, учитывая, что большее измерение прямоуголь-
ника с большей площадью было на 30 мм больше большего
измерения другого прямоугольника.
Народная
асвета

* * *
1055. Докажите, что для любой точки M, взятой внутри пра-
вильного n-угольника, найдутся такие его вершины A и B, что
1 1
−
n
180° ∠AMB 180°.
1056. Докажите, что числа 49, 4489, 444 889 и все другие, кото-
рые получаются после вписывания в середину предыдущего числа
цифр 4 и 8 в указанном порядке, являются точными квадратами.
1057. Докажите неравенство
2500π − 100 1 199 2 198+ + … + 99 101 2500 π.
Народная
асвета

283
24. Аксиоматический метод
Результатом изучения вами одной из самых древних
наук — математики — стало усвоение основных фактов, каса-
ющихся чисел, выражений с переменными, геометрических
фигур. Пришло время ответить на вопрос о том, как устро-
ена математика.
Основу математической теории составляют математиче-
ские утверждения, которые выражают свойства понятий или
отношения между ними.
Понятие вводится в теорию с помощью определения. На-
пример, понятие квадрата можно ввести таким определени-
ем: Квадратом называется прямоугольник, у которого все
стороны равны. Чтобы дать такое определение, нужно пред-
варительно определить те понятия, которые в нем исполь-
зованы: прямоугольник, равные стороны. Понятие прямо-
угольника вводится определением с определяющим «Парал-
лелограмм, у которого есть прямой угол». Параллелограмм
определяется как четырехугольник, у которого противопо-
ложные стороны параллельны. Определение четырехуголь-
ника имеет определяющим словосочетание «Простая замкну-
тая ломаная вместе с внутренней областью». Понятие про-
стой замкнутой ломаной вводится через понятие ломаной,
которое, в свою очередь, опирается на понятие отрезка. От-
резок определяется как множество, состоящее из двух точек
прямой и всех точек, лежащих между ними. В результате
мы дошли до понятий точки и прямой, которые уже не сво-
дятся к другим. Таким образом, процесс введения понятий
определениями должен иметь свое начало — определенный
набор понятий, которые не вводятся через другие понятия.
Их так и называют — неопределяемые понятия теории.
К таким понятиям относятся уже указанные понятия точки и
прямой.
Народная
асвета

284
Утверждение становится ком-
понентом теории после того,
как оно доказано. При дока-
зательстве некоторого утверж-
дения мы ссылаемся на опре-
деления и ранее доказанные
утверждения (рис. 383). Дока-
зывание этих утверждений по-
требует использования утверж-
дений, доказанных еще раньше.
Понятно, что этот процесс не
может быть бесконечным. Про-
цесс последовательного доказы-
вания утверждений, как и про-
цесс последовательного опре-
деления понятий, должен иметь
свое начало — определенный
набор утверждений, которые не доказываются. Такие утверж-
дения называют аксиомами. Аксиомы, в которых формули-
руются основные свойства неопределяемых понятий, дают
их косвенное определение и составляют основу доказательств
теорем.
При изучении геометрии мы через две данные точки про-
водили прямую и считали, что такая прямая есть только од-
на. Однако почему нельзя допустить, что через эти две точ-
ки можно провести еще одну прямую (рис. 384)? Такое не-
возможно, говорим мы, так как прямая не имеет изгибов,
она ровная, одинаково расположенная относительно всех сво-
их точек. Но это наше представление нужно явно и точно вы-
разить, т. е. нужна специальная аксиома.
Мы часто пользовались тем, что прямая, проходящая че-
рез внутреннюю точку круга, пересекает его окружность в
двух точках. Мол, это очевидно (рис. 385). Однако почему
нельзя допустить, что как раз там, где прямая должна пе-
ресечь окружность, на ней нет никакой точки, там будто бы
«дыра» и окружность переходит с одной стороны прямой на
Рис. 384
Рис. 383
Народная
асвета

285
другую, не пересекая прямую? Мы го-
ворим, что такое невозможно, так как
прямая сплошная, непрерывная, в ней
нет «дырок». Но это наше представле-
ние о прямой нужно «узаконить» спе-
циальной аксиомой, которая называет-
ся аксиомой непрерывности.
При измерении отрезков мы счи-
таем, что данным отрезком, принятым
в качестве единицы измерения, можно
измерить любой другой отрезок. А почему нельзя допустить,
что найдется такой длинный отрезок, что сколько бы раз мы
ни откладывали на нем принятую единицу измерения, все
еще будет оставаться часть отрезка, большая единичного от-
резка? Мы считаем, что такое невозможно. Но тогда соот-
ветствующее утверждение нужно доказать или принять в ка-
честве аксиомы. Это поняли еще древние греки и высказали
аксиому «Для любых двух отрезков a и b найдется такое на-
туральное число n, что na b», которая теперь называется
аксиомой Архимеда.
После выделения основных понятий теории и формули-
рования ее аксиом все дальнейшие утверждения выводятся
логическим путем, т. е. являются следствиями из аксиом.
Такой способ построения научной теории называют аксио-
матическим методом. В математике аксиоматический метод
оформился в работах древнегреческих геометров. Блестящим
образцом его применения стала геоме-
трическая теория Евклида, изложенная
под названием «Начала» (около 300 до
н. э.).
Евклид (рис. 386) подытожил пред-
шествующее развитие греческой ма-
тематики и создал фундамент ее даль-
нейшего развития. По его «Началам»
на протяжении многих столетий изуча-
ли геометрию во всех школах, влияние
«Начал» ощущается и в современных
школьных учебниках.
? 1. Какие понятия теории называют неопределяемыми понятиями?
2. Какое утверждение теории называется ее аксиомой; теоремой?
3. Какой метод построения теории называют аксиоматическим методом?
Рис. 385
Рис. 386
Народная
асвета

286
1058. В определении Отрезком называется множество,
состоящее из двух точек прямой и всех ее точек, лежащих
между ними определяемым является понятие отрезок и опре-
деляющим — понятие множество, состоящее из двух точек
прямой и всех ее точек, лежащих между ними (рис. 387),
причем определяющее использует понятия: множество, точ-
ка, прямая, точка лежит между двумя другими точками.
Выделите понятия, использованные в определяющем опре-
деления:
а) угол, вершина которого принадлежит окружности, а сто-
роны имеют с окружностью общие точки, называется впи-
санным углом;
б) точку пересечения медиан треугольника называют центрои-
дом треугольника;
в) рациональным неравенством называется неравенство вида
q(x) 0, где символ обозначает один из знаков неравенства
, , , , ≠, а q(x) — некоторое рациональное выражение;
г) правильным многоугольником называется многоугольник,
у которого все стороны равны друг другу и все углы равны
друг другу;
д) последовательность, которая является убывающей функ-
цией, называется убывающей последовательностью;
е) числовая последовательность, у которой любой ее член, на-
чиная со второго, получается из предыдущего члена прибав-
лением одного и того же числа, называется арифметической
прогрессией;
ж) неотрицательный корень из неотрицательного числа на-
зывают арифметическим корнем;
з) рациональные и иррациональные выражения вместе со-
ставляют множество алгебраических выражений;
.
Рис. 387
Народная
асвета

287
и) иррациональным неравенством называется неравенство,
которое содержит действие извлечения корня из выражения
с переменной.
1059. Выделите понятия, использованные в определяю-
щем определения:
а) точку пересечения прямых, содержащих высоты треуголь-
ника, называют ортоцентром треугольника;
б) функция, областью определения которой является множе-
ство натуральных чисел или множество первых n натураль-
ных чисел, называется последовательностью;
в) способ задания последовательности, при котором явно ука-
зывается первый член или несколько первых членов и фор-
мула, позволяющая найти любой член последовательности по
известным предыдущим членам, называют рекуррентным за-
данием последовательности;
г) числовая последовательность с не равным нулю первым
членом, в которой любой ее член, начиная со второго, по-
лучается из предыдущего члена умножением на определен-
ное, не равное нулю число, называется геометрической про-
грессией;
д) квадратным корнем из числа a называется такое число,
квадрат которого равен a;
е) выражение с переменными называется иррациональным
выражением, если оно содержит хотя бы одно действие из-
влечения корня из выражения с переменными;
ж) иррациональным уравнением называется уравнение, со-
держащее действие извлечения корня из выражения с пе-
ременной.
1060. Выделите условие и заключение в теореме:
а) если прямая касается окружности, то она перпендикуляр-
на радиусу окружности, проведенному в точку касания;
б) если четырехугольник является описанным около окруж-
ности, то у него равны суммы противоположных сторон;
в) если дискриминант квадратного трехчлена ax2
+ bx + c от-
рицателен, то его значения при всех значениях переменной x
имеют тот же знак, что и старший коэффициент a;
г) если дискриминант квадратного трехчлена ax2
+ bx + c ра-
вен нулю, то его значения при всех значениях переменной x,
отличных от корня трехчлена, имеют тот же знак, что и стар-
ший коэффициент a;
Народная
асвета

288
д) если число a — наибольший корень многочлена q(x), то
значение функции y = q(x) при значении переменной x, боль-
шем a, совпадает по знаку со значением старшего коэффици-
ента этого многочлена;
е) если любой член некоторой последовательности, начиная
со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним
членов, то такая последовательность является арифметиче-
ской прогрессией.
1061. Выделите условие и заключение в теореме:
а) вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую
опирается;
б) вписанный угол, который опирается на диаметр, является
прямым;
в) отрезки двух касательных, проведенных через одну точку,
заключенные между этой точкой и точками касания, равны
друг другу;
г) биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются
в одной точке, которая является центром вписанной окруж-
ности;
д) внешний угол треугольника равен сумме двух его внутрен-
них углов, не смежных с ним;
е) биссектриса треугольника делит противолежащую сторону
на части, пропорциональные прилежащим сторонам;
ж) стороны треугольника пропорциональны синусам про-
тивоположных углов;
з) из треугольников, на которые диагонали разделяют тра-
пецию, треугольники, прилежащие к ее основаниям, подоб-
ны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, рав-
новелики;
и) при n 1 и n1 n2 если 0 x 1, то xn1
xn2
, а если x 1,
то xn1
xn2
;
к) произведения любой пары членов конечной геометрической
прогрессии, равноудаленные от ее концов, равны друг другу.
1062. Рассмотрим теорему «Если a b, то b a» и ее до-
казательство. Пусть a b. Тогда по определению отношения
меньше можно записать, что a − b 0. Это означает, что раз-
ность a − b есть отрицательное число. Значит, число −(a − b),
противоположное этой разности, есть положительное число:
−(a − b) 0. Учитывая, что −(a − b) = −a + b = b − a, получим
Народная
асвета

289
b − a 0. А это в соответствии с определением отношения
позволяет записать: b a. Рисунок 388 явно показыва-
ет структуру доказательства, здесь отчетливо видно, как,
исходя из условия a b, происходит последовательный пере-
ход к новым утверждениям-следствиям с явным указанием
тех утверждений, на основании которых происходит соответ-
ствующий переход, пока не получится заключение b a.
Рис. 388
Народная
асвета

290
Проанализируйте таким же образом доказательство теоре-
мы «Если a b и c — произвольное число, то a + c b + c».
Пусть a b. Тогда в соответствии с определением отноше-
ния меньше истинно условие a − b 0, т. е. a − b является от-
рицательным числом. Поскольку a − b = (a + c) − (b + c), то чис-
ло (a + c) − (b + c) также отрицательное. Это означает, что не-
равенство a + c b + c истинно.
1063. Проанализируйте доказательство теоремы.
а) «Если a b и c — отрицательное число, то ac bc»:
Пусть a b и c — произвольное отрицательное число.
Тогда в соответствии с определением отношения истинно
условие a − b 0, т. е. a − b является отрицательным чис-
лом. Поскольку ac − bc = (a − b)c, то число ac − bc положи-
тельное как произведение двух отрицательных чисел. Это
означает, что неравенство ac bc истинно;
б) «График функции y = −f(x) получается из графика функ-
ции y = f(x) симметричным отражением относительно оси
абсцисс»:
Пусть точка M(a; b) принадлежит гра-
фику функции y = f(x), т. е. b = f(a). Тог-
да точка N(a; −b) принадлежит графику
функции y = −f(x), поскольку −f(a) = −b.
Точки M(a; f(a)) и N(a; −f(a)) симмет-
ричны друг другу относительно оси абс-
цисс (рис. 389). Это означает, что график
функции y = −f(x) получается из графика
функции y = f(x) симметричным отраже-
нием относительно оси абсцисс.
1064. Рассмотрим теорему «Если в
треугольнике биссектриса и высота, про-
веденные из одной вершины, совпадают,
то такой треугольник является равнобе-
дренным» и ее доказательство.
Пусть отрезок OO1 — биссектриса и вы-
сота треугольника NOP (рис. 390). Тогда
∠NOO1 = ∠POO1, а ∠NO1O = ∠PO1O = 90°.
Учитывая, что отрезок OO1 — общая сто-
рона треугольников NO1O и PO1O, по вто-
рому признаку равенства треугольников
получим, что NO1O = PO1O. Поэтому
NO = PO. Рисунок 391 представляет струк-
туру этого доказательства.
Рис. 389
Рис. 390
Народная
асвета

291
Проанализируйте таким же образом доказательство теоремы
«Если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной
вершины, совпадают, то такой тре-
угольник является равнобедренным».
Пусть в треугольнике KLM отрезок
LL1 — медиана и высота (рис. 392). Тог-
да KL1 = ML1, а ∠KL1L = ∠ML1L = 90°.
Учитывая, что отрезок LL1 — общая
сторона треугольников KL1L и ML1L, по
первому признаку равенства треуголь-
ников получим, что KL1L = ML1L.
Поэтому KL = LM.
:
Рис. 391
Рис. 392
Народная
асвета

292
44444
а) 40 137
20
7
10
− : 2 + 23
40
4;
б) 2 3
4
: 11
2
2
5
− + 3
4
5
6
+ : 6 1
3
;
в) 4 35
12
13
24
− 4
7
+ 3 21
18
7
12
− 3 3
17
;
г) 29 282
5
9
40
+ : 28 13
16
− 4 3
8
.
1066. Представьте многочленом стандартного вида выра-
жение:
а) (x + 2)(x2
− 5x + 6) + (2 − x)(x2
− x − 2);
б) (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c);
в) (3l − 5k + 8j)(2l − 3k) + (2l − 5k + 6j)(3k − 2l);
г) (2h − 3g + 4f)(5h + 4g) − (3h − 2g)(3g − 2h − 4f).
1067. Учитывая тождество a3
+ b3
= (a + b)(a2
− ab + b2
), раз-
ложите на множители выражение:
а) c3
− 216; г) 0,008 + y6
; ж) (2c + 1)3
− 27;
б) k3
+ 512; д) x6
+ 0,625; з) 8 − (3 − k)3
;
в) 0,001 − a3
b3
; е) x12
− y12
; и) 8x3
− (5x − 3)3
.
а) 6er − 2tr − 3e + t; ж) m2
+ 2mn − 15n2
;
б) 9s2
− 6sd + d2
− f2
; з) 10g2
− 29gf + 10f2
;
в) p3
− p2
− p + 1; и) j2
− 2jh + h2
− g2
;
г) c2
− c − 12; к) h5
− h3
+ h2
− 1;
д) (q + z)2
− (q − z)2
; л) 27l3
− 8k3
;
е) a4
+ a3
+ a + 1; м) t6
− c6
.
а) x3
− 4x2
+ 20x − 125; в) (x3
− 27)2
− 81x2
(x − 3)2
;
б) 27y3
− 3y2
+ 2y − 8; г) 9a2
b2
(a + b)2
− (a3
+ b3
)2
.
1070. Докажите, что при любом натуральном значении k
значение выражения
( )2 1 1
4 4 2
4
2
k
k k
+ −
+ +
кратно 8.
а)
kl km nl mn
kl km nl mn
+ − −
− − +
; в)
e r et rt
er et r t
2 2
2 2
− − +
+ + −
; д)
q r s qs
q r s rs
2 2 2
2 2 2
2
2
− + +
+ − +
;
б)
m n b m nb
m bm nm nb
2
2
− − −
+ + +
( )
; г)
2 3
2 5 3
2 2
2 2
z zy y
z zy y
− −
+ +
; е)
s d f sd
s d f sf
2 2 2
2 2 2
2
2
+ − +
− + +
;
Народная
асвета

293
ж)
g gh gj hj
h gh hj gj
2
2
− − +
− − +
; и)
m m
m n m n
4 2
2 2 2 2
2 1
1
− +
− − +
;
з)
x xy z zy
y y y
− + −
− + −3 2
3 3 1
; к)
p p
p p
2
2
42
30
− −
+ −
.
а) x2
+ xz + z2
+ 2 3
z
x z−
; д)
2 3
3 3
m
m
−
−
−
3 1
4 4
m
m
−
+
−
m
m
+
−
2
12
;
б) r3
− cr + c − 2 3
c
r c+
; е)
5 4
2
a
a
+
−
−
3 2
3
a
a
−
−
−
a a
a a
2
2
2 14
5 6
− −
− +
;
в)
5 1
2 32
b
b b
−
− +
+ 2b + 1; ж)
s
s s
+
− −
1
122
+
s
s s
+
+ +
4
4 32
−
2 6
3 42
s
s s
−
− −
;
г) 1 − 2n +
3
1 3 2
2 3
2
n n
n n
+
− +
; з)
d
d
−
−
4
2 1
−
3 5
2
d
d
−
+
+
5 9 14
2 3 2
2
2
d d
d d
+ +
+ −
.
а) 6q +
q
q
q
q− +
−
2 2
:
4
2 8 164 3
q
q q q− + −
при q = −2,5;
б)
s
s
s
s
−
+
+
−
−
1
1
1
1
1
2 4
1
4
− −s
s
при s = −3 3
4
;
в)
z
z
z z z
z z
+
−
+ +
− +
2
2
4 4
3 12 12
3 3 2
2
: z
3
при z = −0,5;
г)
p
p d
p
p pd d
2 3
2 2
2+ + +
− :
p
p d
p
p d+ −
−
2
2 2
при p = −2,5; d = −0,5.
а)
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+
+
−
−
+
q q
q q
; д) 1 + a
a
a
1
2
−
+
; и)
e
e
e e
− +
+ +
2 3
1 1 1
2
;
б)
e
e
e
e
e
e
e
e
−
−
+
+
−
−
1
1
1
1
; е) 1 − z
z
z
1
1
−
+
; к)
1 2 2
2
− +
−
k
l
k
l
l k
;
в)
s d
s d
s d
s d
+
−
+
−
( )
;2
2 2
ж) 1 + 1
2 1
3 1
+
+
q
; л)
j
h
h
j
j
h
h
j
− −
+ −
2 3
3 4
;
г)
f g
f g
f g
f g
f
g
g
f
−
+
+
+
−
+
; з)
p
p
p
p
p
−
−
−
1
1
; м)
c
c
c
c
4
1 3
4
2
6 1
2
− +
− +
.
Народная
асвета

294
а) 1
4
(qz−1
− zq−1
)
z q
z q
z q
z q
− −
− −
− −
− −
−
+
+
−
−
1 1
1 1
1 1
1 1
;
б)
n mn
m m n
n m n
m mn m n
2 1 2
1 2
2 2 2
1 1
1
1
( )
( )
( )
( )
−
−
− −
− −
−
+
+
−
:
1
1
1
1
−
+
−
−
m n
mn
;
в)
1 1
1 1
1 1
1 1
+ −
−
−
− −
− −
− −
kl
k l
k l
k l kl
: kl
l k
−
−
1
;
г)
s d s d
s d
− − − −
− −
+
−
2 1 1 2
2 2
+ s(s2
− 2sd + d2
)−1
.
1076. Упростите выражение
e t
e e t t
r r
r r r r
− −
− − − −
−
−
− +2 2
1
+
+
e t
e e t t
r r
r r r r
− −
− − − −
−
+
+ +2 2
1
и найдите его значение при e = 0,1;
t = 1
8
и r = 1.
а)
p
p3 12
( )−
+
2
3 1 4
p
p( )−
= 1
1 2
p p( )
;
+
б) 1
2 12
( )y +
+ 7 5
12 4
,
( )y y−
= 9
2 12 2
y y( )
;
−
в) (t + 5)4
− 13(t + 5)2
t2
+ 36t4
= 0;
г) f
f − 1
2
+ f
f + 1
2
= 10
9
.
1078. Докажите неравенство:
а) (x + y)2
4xy; в) 4m2
− 6mn + 5n2
0;
б) 2
12
1a
a +
; г) a2
+ b2
+ c2
+ 3 2(a + b + c).
а) (q + 1)(q − 2) 0; д) (e − 1)(e + 2) e + 2;
б) a(3 − a) 0; е) (d + 4)(d + 6) 6(d + 6);
в) (z − 4)(1 − 3z) 0; ж) (2c + 3)(3c − 2)(c2
+ 2) 0;
г) (1 − s)(6 − s) 0; з) (r − 8)(8 − 5r)(r − 2)2
0.
а) 12x4
+ 4x3
− 41x2
+ 4x + 12 0;
б) x5
+ 7x4
+ 15x3
+ 9x2
− 49x − 49 0;
в)
x x
x x
( )
( )
−
− +
1
1
2
2 2
2
9
;
Народная
асвета

295
г) x
x
− 1
2
+ 4 1
x
x
− + 3 0;
д) 24
22
x x−
12
2
x x−
+ x2
− x;
е)
4 7
1
x
x
+
+
+
1 3
2
−
+
x
x
8 2
1
−
−
x
x
+ 3.
а)
7 3 5 2 27 0
5
2 2
q e qe q
q e
− + − − =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
б)
2 5 10 12 100
2 3 1
2 2
r rt t r t
r t
− + + + =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
в)
2 2 2 6 0
1
2 2
a as s a s
s a
− − + − + =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
;
г)
d df f d f
d f
2 2
2 3 48 4 4 0
3 2
+ + − + − =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
.
а) x7
− x = 0; б) 8y4
+ y = 0.
1083. На одной стороне прямого угла на расстояниях a
и b от его вершины отмечены две точки. Найдите радиус
окружности, проходящей через эти точки и касающейся дру-
гой стороны угла.
1084. Окружность с радиусом 13 касается двух смежных
сторон квадрата. Определите, в каком отношении она делит
другие стороны, учитывая, что сторона квадрата равна 18.
1085. В прямоугольный треугольник с катетами a и b впи-
сана окружность. Найдите наименьшее расстояние от точек
окружности до вершины прямого угла.
1086. Найдите сторону квадрата, две вершины которого
лежат на окружности с радиусом r, а две другие — на ка-
сательной к этой окружности.
1087. В треугольнике ABC известны стороны: BC = a,
CB = b, AB = c. Найдите отношение, в котором биссектриса
угла B делится точкой пересечения с другой биссектрисой.
1088. Точки касания сторон ромба с вписанной в него
окружностью делят стороны в отношении 2 : 3. Найдите
синус угла ромба.
1089. На основании KM равнобедренного треугольника
KLM взята такая точка X, что KX = a, XM = b, и в треуголь-
Народная
асвета

296
ники KLX и MLX вписаны окружности. Найдите расстояние
между точками касания этих окружностей c отрезком LX.
1090. Париж, Марсель, Лион, Тулуза, Ницца — крупней-
шие города Франции. Население Лиона относится к умень-
шенному на 1 тыс. человек населению Марселя как 6 : 11, а
к увеличенному на 2 тыс. человек населению Тулузы — как
37 : 34. Население Тулузы относится к уменьшенному на
5 тыс. человек населению Ниццы как 58 : 47, а население
Марселя к увеличенному на 6 тыс. человек населению Па-
рижа — как 13 : 5. Найдите население этих городов Франции,
учитывая, что население Парижа на 114 тыс. человек больше
общего населения остальных городов.
1091. В первый рабочий день месяца магазин радиотехни-
ки продал 105 телевизоров. Каждый следующий день днев-
ная продажа увеличивалась на 10 телевизоров, и месячный
план — 4000 телевизоров — был выполнен досрочно в конце
одного из дней. После этого ежедневно продавалось на 13 те-
левизоров меньше, чем в последний день выполнения плана.
На сколько процентов был выполнен месячный план продаж
телевизоров, если в этом месяце было 26 рабочих дней?
1092. Хозяйка за 1 кг одного продукта и 10 кг другого
уплатила 200 тыс. р. Сезонное изменение цен привело к тому,
что первый продукт подорожал на 15 %, а второй подешевел
на 25 %, и в результате та же покупка стала стоить 182 000 р.
Какова теперь цена каждого продукта?
1093. Есть два разных экскаватора. Первый за 3 раза вы-
нимает столько же грунта, сколько второй за 5 раз, но за вре-
мя, пока первый забирает грунт 4 раза, второй успевает сделать
это 7 раз. Вместе экскаваторы выкопали котлован под дом за
6 дней, работая ежедневно по 7 ч. Сколько времени понадоби-
лось бы на выполнение всей работы первому экскаватору?
1094. На одинаковых станках, установленных в первом це-
хе, за смену можно обработать 7440 деталей, а на таких стан-
ках, стоящих во втором цехе (их на 3 больше), за смену мож-
но обработать 11 160 деталей. Сколько станков в первом цехе?
* * *
1095. Запишите уравнение с целыми коэффициентами,
корнем которого является число 2 + 3.
1096. Есть треугольник ABC, в котором AB BC. На сто-
роне AB выбрана такая точка K, что BK = BC. Биссектриса BL
Народная
асвета

297
пересекает описанную около треугольника ABC окружность
в точке N. Докажите, что точки A, K, L и N лежат на одной
1097. Докажите, что если целые числа x и y при некото-
ром целом n удовлетворяют равенству x + y 5 = 9 4 5+
n
,
то они удовлетворяют и равенству x2
− 5y2
= 1, и наоборот.
25. Логические основы арифметики
Арифметика — часть математики, которая вместе с гео-
метрией и алгеброй является древнейшей отраслью этой на-
уки. Арифметика изучает разные числовые множества, из ко-
торых исходным является множество натуральных чисел.
А) Арифметика возникла в глубокой древности в ответ на
нужды счета и простейших измерений. Сначала счет был воз-
можентолькодлямножествснеболь-
шим количеством предметов, а ин-
струментами счета служили зарубки
на деревянной палочке (рис. 393),
счетные камешки, пальцы рук и т. п.
Словесный порядковый счет —
один, два, три, ... — впоследствии
дополняется счетом группами, со-
держащими определенное количество предметов, чаще всего 10,
что объясняется использованием при счете пальцев рук, кото-
рых как раз 10. Встречаются, однако, группировки по 5, 20, 12,
60, а у аборигенов Новой Зеландии даже по 11 предметов.
Первые точные сведения о состоянии арифметических
знаний во времена древних цивилизаций получены из ма-
тематических папирусов Древнего Египта, которые содержат
задачи с решениями, правила действий над целыми числами
и дробями.
На рисунке 394 показан фрагмент папируса Ринда (около
2000 до н. э.), который содержит вычисление площади тре-
угольника. Об уровне арифметической культуры в Древнем
Рис. 393
Рис. 394
Народная
асвета

298
Вавилоне свидетельствуют клинописные математические тек-
сты. Эти тексты показывают, что вавилоняне пользовались
шестидесятеричной системой счета, в которой единица сле-
дующего разряда содержит не 10, как в десятичной, а 60 еди-
ниц предыдущего разряда, техника выполнения арифметиче-
ских действий была аналогична обыкновенным приемам вы-
числений в десятичной системе.
На рисунке 395 показан пример клинописного мате-
матического текста. На нем изображен квадрат с диаго-
налью, сторона которого равна 30. На диагонали написа-
но число 1; 24, 51, 10, что означает 1 + 24
60
+ 51
602
+ 10
603
≈
≈ 1 + 0,4 + 0,014167 + 0,000046 ≈ 1,414213 ≈ 2, т. е. число,
которое выражает отношение диагонали квадрата к его сто-
роне, и число 42; 25, 36, т. е. 42 + 25
60
+ 36
602
, которое выра-
жает длину диагонали.
Математики Древней Греции положили начало теорети-
ческой разработке арифметики. В «Началах» Евклида, соз-
данных около 300 г. до н. э., доказана бесконечность мно-
жества простых чисел, установлен алгоритм нахождения
НОД двух натуральных чисел, иррациональность числа 2.
Древнегреческие математики рассматривали задачи о совер-
шенных и пифагоровых числах, нашли алгоритмы нахож-
дения простых чисел. Диофант (вероятно, III в.) (рис. 396)
рассматривал решение задач, которые сводил к уравнениям,
и искал решения этих уравнений в целых или рациональ-
ных числах. Позже такие уравнения стали называть дио-
фантовыми уравнениями. Примером такого уравнения
Рис. 395
Народная
асвета

299
является уравнение x2
+ y2
= z2
, реше-
ния которого дают длины сторон прямо-
угольного треугольника. Поэтому та-
кие тройки чисел называют пифагоро-
выми числами. Архимед (около 287—
212 до н. э.) описал извлечение ква-
дратного корня из многозначных чи-
сел, нахождение рациональных при-
ближений для иррациональных чисел,
например:
3 ≈ 265
153
, 310
71
π 3 1
7
.
В Средние века арифметика раз-
вивалась слабо, но в начале XVII в.
в связи с запросами практики — море-
ходной астрономии, механики, коммер-
ции — стали быстро совершенствоваться
приемы вычислений. В 1427 г. аль-Ка-
ши, который работал в Самаркандской
обсерватории Улугбека, подробно опи-
сал систему десятичных дробей и пра-
вила выполнения действий над ними.
К концу XVII в. было осознано фунда-
ментальное значение арифметики для
математической науки.
Аксиоматическое построение ариф-
метики относится к XIX в., в середи-
не которого немецкому математику
Г. Грассману (1809—1877) (рис. 397)
удалось выбрать систему аксиом, опре-
деляющих действия сложения и вычи-
тания. Исследования, начатые Г. Грас-
сманом, были завершены итальянским математиком Дж. Пеано
(1858—1932) (рис. 398), который отчетливо выделил систе-
му основных, неопределяемых понятий и сформулировал
исходные свойства этих понятий, которые принимаются
в качестве аксиом.
Рис. 396
Рис. 397
Рис. 398
Народная
асвета

300
Б) Неопределяемыми понятиями теории натуральных чи-
сел являются: число 1; натуральное число; отношение непо-
средственного следования; сложение натуральных чисел; умно-
жение натуральных чисел. Отношение непосредственного сле-
дования выражает наши представления о том, что каждое на-
туральное число имеет следующее, т. е. число, которое при сче-
те называется следующим после очередного названного числа.
Например, непосредственно следующим за числом 1 является
число 2, непосредственно следующим за числом 2 — число 3,
непосредственно следующим за числом 123 — число 124.
Непосредственно следующее за натуральным числом a обо-
значается как a′, сумма чисел a и b — как a + b, произведение
чисел a и b — как a b.
Основные понятия описываются их следующими исходны-
ми свойствами (аксиомами).
1. Число 1 — натуральное число, которое непосредственно
не следует ни за каким натуральным числом a, т. е. a′ ≠ 1.
2. Каждое натуральное число a имеет непосредственно сле-
дующее за ним, и это непосредственно следующее число един-
ственное, т. е. если b = a′ и c = a′, то b = c.
3. Каждое натуральное число a непосредственно следует
не более чем за одним натуральным числом, т. е. если b′ = a
и c′ = a, то b = c.
4. Число, непосредственно следующее за натуральным
числом, получается прибавлением к этому числу единицы,
т. е. a + 1 = a′.
5. Прибавление к натуральному числу a непосредственно
следующего числа за другим натуральным числом b можно
заменить нахождением непосредственно следующего за сум-
мой a + b числа, т. е. a + b′ = (a + b)′.
6. При умножении натурального числа a на число 1 по-
лучается число a, т. е. a 1 = a.
7. Умножение натурального числа a на число, непосред-
ственно следующее за другим натуральным числом b, можно
заменить нахождением суммы произведения a b и числа a,
т. е. a b′ = a b + a.
8. Если утверждение P(n) истинно для натурального числа 1
и из того, что утверждение P(n) истинно для натурального
числа k, следует истинность утверждения P(n) для натураль-
ного числа k + 1, то утверждение P(n) истинно для любого на-
турального числа n.
Народная
асвета

127_1

More Related Content

What's hot

Similar to 127_1

More from fderfwr

127_1