Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT

1.1 Metode Numerik Fibonacci
1.2 Algoritma Fibonacci
1.3 Contoh Soal
METODE NUMERIK FIBONACCI
Tugas Kelompok UTS
Asidikri Ferdiansyah
Eko Wahyu Wulandari
Ike Mudrika
Selvi Kusdwi Lestari
Wiwin Novianti
6A1
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Matematika
Univesitas Muhammadiyah Tangerang
March 7, 2016
Asidikri Ferdiansyah Eko Wahyu Wulandari Ike Mudrika Selvi Kusdwi Lestari Wiwin NoviantiMETODE NUMERIK FIBONACCI

1.3 Contoh Soal
Metode Numerik Fibonacci
1 1.1 Metode Numerik Fibonacci
2 1.2 Algoritma Fibonacci
3 1.3 Contoh Soal

1.3 Contoh Soal
Deﬁnisi
Barisan f0, f1, f2, f3, ..., fn − 2, fn − 1, fn disebut Fibonacci jika untuk
f0 = 1, f1 = 0 + f0, f2 = f0 + f1,f3 = f2 + f1,...,fn = fn − 2 + fn − 1

1.3 Contoh Soal
Deﬁnisi
Barisan f0, f1, f2, f3, ..., fn − 2, fn − 1, fn disebut Fibonacci jika untuk
f0 = 1, f1 = 0 + f0, f2 = f0 + f1,f3 = f2 + f1,...,fn = fn − 2 + fn − 1
contoh barisan ﬁbonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

1.3 Contoh Soal
Algoritma nilai optimal dengan Metode Fibonacci
Dicari nilai n terkecil
1
Fn+1
<
2δ
L

1.3 Contoh Soal
1
Fn+1
<
2δ
L
dibentuk
L0 = Fn+1Ln

1.3 Contoh Soal
1
Fn+1
<
2δ
L
dibentuk
L0 = Fn+1Ln
dibentuk
λi = ai +
F(n+1)−i−1
F(n+1)−i+1
(bi − ai )

1.3 Contoh Soal
lanjutan
dicari
µi = ai +
F(n+1)−i
F(n+1)−i+1
(bi − ai )

1.3 Contoh Soal
lanjutan
dicari
µi = ai +
F(n+1)−i
F(n+1)−i+1
(bi − ai )
untuk mencari x yang memaksimumkan maka gunakan :
Kondisi 1 : Jika f (λk)>f (µk) , ambil µi =bi+1 dan ai = ai+1
Kondisi 2 : Jika f (µk)>f (λk) , ambil λi =ai+1 dan bi = bi+1

1.3 Contoh Soal
lanjutan
dicari
µi = ai +
F(n+1)−i
F(n+1)−i+1
(bi − ai )
untuk mencari x yang memaksimumkan maka gunakan :
Kondisi 1 : Jika f (λk)>f (µk) , ambil µi =bi+1 dan ai = ai+1
Kondisi 2 : Jika f (µk)>f (λk) , ambil λi =ai+1 dan bi = bi+1
iterasi berhenti ketika bi − ai < 2δ

1.3 Contoh Soal
Contoh Soal
Maksimalkan
f (x) = 4x − x2
dengan δ = 0, 1 dengan selang −3 <= x <= 4

1.3 Contoh Soal
Jawaban
Cara Analitik
Jika melalui perhitungan secara alalitik maka nilai x=2
Bukti : Carilah turunan pertama dari fungsi f (x)= 4x - x2
f (x) = 4 − 2x
⇔ 0 = 4 − 2x
⇔ 2x = 4
⇔ x = 2

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Jawaban
Untuk membuktikan apakah x=2 adalah nilai x yang
memaksimalkan maka akan dicari turunan ke-2 dari fungsi
f (x)= 4x - x2
jika f ”(x)>0 maka x meminimalkan fungsi f (x)
jika f ”(x)<0 maka x memaksimalkan fungsi f (x)

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Jawaban
turunan ke-2 dari fungsi f (x)= 4x - x2
f (x) = −2 < 0
Terlihat bahwa f ”(x)<0 sehingga x=2 memaksimalkan fungsi f (x)

1.3 Contoh Soal
Jawaban (Metode Fibonacci)
1
Fn+1
<
2δ
L
=
2(0, 1)
4 − (−3)
=
0, 2
7
=
1
35

1.3 Contoh Soal
Jawaban (Metode Fibonacci)
1
Fn+1
<
2δ
L
=
2(0, 1)
4 − (−3)
=
0, 2
7
=
1
35
maka nilai n=8 dikarenakan
1
F8+1
=
1
F9
=
1
55
<
2δ
L
=
1
35

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Jawaban (Metode Fibonacci)
dibentuk
L0 = F9Ln = 55Ln
L1 = F8Ln = 34Ln
L2 = F7Ln = 21Ln
L3 = F6Ln = 13Ln
L4 = F5Ln = 8Ln
L5 = F4Ln = 5Ln
L6 = F3Ln = 3Ln
L7 = F2Ln = 2Ln
L8 = F1Ln = 1Ln
L9 = F0Ln = 1Ln

1.3 Contoh Soal
Iterasi 1
Dicari Nilai λ1
λ1 = a1 +
F9−1−1
F9−1+1
(b1 − a1)
λ1 = −3 +
F7
F9
(4 − (−3))
λ1 = −3 +
21
55
(7)
λ1 = −0, 327

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 1
Dicari Nilai µ1
µ1 = a1 +
F9−1
F9−1+1
(b1 − a1)
µ1 = a1 +
F8
F9
(b1 − a1)
µ1 = −3 +
34
55
(4 − (−3))
µ1 = 1, 327

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 1
Subtitusikan nilai λ1=−0, 327 ke fungsi f (λ1)
f (λ1) = 4λ1 − λ1
2
f (−0, 327) = 4(−0, 327) − (−0, 327)2
= −1, 415

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 1
f (λ1) = 4λ1 − λ1
2
f (−0, 327) = 4(−0, 327) − (−0, 327)2
= −1, 415
Subtitusikan nilai µ1=1, 327 ke fungsi f (µ1)
f (µ1) = 4µ1 − µ1
2
f (1, 327) = 4(1, 327) − (1, 327)2
= 3, 547

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 1
f (λ1) = 4λ1 − λ1
2
f (−0, 327) = 4(−0, 327) − (−0, 327)2
= −1, 415
f (µ1) = 4µ1 − µ1
2
f (1, 327) = 4(1, 327) − (1, 327)2
= 3, 547
Terlihat bahwa f (µ1)>f (λ1) maka untuk memperoleh nilai x
yang memaksimalkan ambil λ1=a2 dan b1=b2 untuk Iterasi 2

1.3 Contoh Soal
Iterasi 2
Dicari Nilai λ2
dengan λ1=−0, 327=a2 dan b1=4=b2
λ2 = a2 +
F9−2−1
F9−2+1
(b2 − a2)
λ2 = −0, 327 +
F6
F8
(4 − (−0, 327))
λ2 = −0, 327 +
13
34
(4, 327)
λ2 = 1, 327

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 2
Dicari Nilai µ2
µ2 = a2 +
F9−2
F9−2+1
(b2 − a2)
µ2 = a2 +
F7
F8
(b2 − a2)
µ2 = −0, 327 +
21
34
(4 − (−0, 327))
µ2 = 2, 346

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 2
Subtitusikan nilai λ2=1, 327 ke fungsi f (λ2)
f (λ2) = 4λ2 − λ2
2
f (1, 327) = 4(1, 327) − (1, 327)2
= 3, 547

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 2
f (λ2) = 4λ2 − λ2
2
f (1, 327) = 4(1, 327) − (1, 327)2
= 3, 547
f (µ2) = 4µ2 − µ2
2
f (2, 346) = 4(2, 346) − (2, 346)2
= 3, 88

1.3 Contoh Soal
Iterasi 3
Dicari Nilai λ3
dengan λ2=1, 327=a3 dan b2=4=b3
λ3 = a3 +
F9−3−1
F9−3+1
(b3 − a3)
λ3 = 1, 327 +
F5
F7
(4 − 1, 327)
λ3 = 1, 327 +
8
21
(2, 763)
λ3 = 2, 38

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 3
Dicari Nilai µ3
µ3 = a3 +
F9−3
F9−3+1
(b3 − a3)
µ3 = a3 +
F6
F7
(b3 − a3)
µ3 = 1, 327 +
13
21
(4 − 1, 327)
µ3 = 3, 037

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 3
f (λ3) = 4λ3 − λ3
2
f (2, 38) = 4(2, 38) − (2, 38)2
= 3, 856

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 3
f (λ3) = 4λ3 − λ3
2
f (2, 38) = 4(2, 38) − (2, 38)2
= 3, 856
f (µ3) = 4µ3 − µ3
2
f (3, 037) = 4(3, 037) − (3, 037)2
= 2, 925

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 3
f (λ3) = 4λ3 − λ3
2
f (2, 38) = 4(2, 38) − (2, 38)2
= 3, 856
f (µ3) = 4µ3 − µ3
2
f (3, 037) = 4(3, 037) − (3, 037)2
= 2, 925
Terlihat bahwa f (λ3)>f (µ3) maka untuk memperoleh nilai x
yang memaksimalkan ambil µ3=b4 dan a3=a4 untuk Iterasi 4

1.3 Contoh Soal
Iterasi 4
Dicari Nilai λ4
dengan µ3=3, 037=b4 dan a3=1, 327=a4
λ4 = a4 +
F9−4−1
F9−4+1
(b4 − a4)
λ4 = 1, 327 +
F4
F6
(3, 037 − 1, 327)
λ4 = 1, 327 +
5
13
(1, 71)
λ4 = 1, 985

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 4
Dicari Nilai µ4
µ4 = a4 +
F9−4
F9−4+1
(b4 − a4)
µ4 = a4 +
F5
F6
(b4 − a4)
µ4 = 1, 327 +
8
13
(3, 037 − 1, 327)
µ4 = 2, 379

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 4
f (λ4) = 4λ4 − λ4
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 4
f (λ4) = 4λ4 − λ4
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4
f (µ4) = 4µ4 − µ4
2
f (2, 379) = 4(2, 379) − (2, 379)2
= 3, 856

1.3 Contoh Soal
Iterasi 5
Dicari Nilai λ5
dengan µ4=2, 379=b5 dan a4=1, 327=a5
λ5 = a5 +
F9−5−1
F9−5+1
(b5 − a5)
λ5 = 1, 327 +
F3
F5
(2, 379 − 1, 327)
λ5 = 1, 327 +
3
8
()
λ5 = 1, 722

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 5
Dicari Nilai µ5
µ5 = a5 +
F9−5
F9−5+1
(b5 − a5)
µ5 = a5 +
F4
F5
(b5 − a5)
µ5 = 1, 327 +
5
8
(2, 379 − 1, 327)
µ5 = 1, 985

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 5
f (λ5) = 4λ5 − λ5
2
f (1, 722) = 4(1, 722) − (1, 722)2
= 3, 923

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 5
f (λ5) = 4λ5 − λ5
2
f (1, 722) = 4(1, 722) − (1, 722)2
= 3, 923
Subtitusikan nilai µ5=1.985 ke fungsi f (µ5)
f (µ5) = 4µ5 − µ5
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 5
f (λ5) = 4λ5 − λ5
2
f (1, 722) = 4(1, 722) − (1, 722)2
= 3, 923
f (µ5) = 4µ5 − µ5
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4

1.3 Contoh Soal
Iterasi 6
Dicari Nilai λ6
dengan λ5=1, 722=a6 dan b5=2, 379=b6
λ6 = a6 +
F9−6−1
F9−6+1
(b6 − a6)
λ6 = 1, 722 +
F2
F4
(2, 379 − 1, 722)
λ6 = 1, 722 +
2
5
(0, 657)
λ6 = 1, 985

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 6
Dicari Nilai µ6
µ6 = a6 +
F9−6
F9−6+1
(b6 − a6)
µ6 = a6 +
F3
F4
(b6 − a6)
µ6 = 1, 722 +
3
5
(2, 379 − 1, 722)
µ6 = 2, 116

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 6
f (λ6) = 4λ6 − λ6
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 6
f (λ6) = 4λ6 − λ6
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4
f (µ6) = 4µ6 − µ6
2
f (2, 116) = 4(2, 116) − (2, 116)2
= 3, 987

1.3 Contoh Soal
Iterasi 7
Dicari Nilai λ7
dengan µ6=2, 116=b7 dan a6=1, 722=a7
λ7 = a7 +
F9−7−1
F9−7+1
(b7 − a7)
λ7 = 1, 722 +
F1
F3
(2, 116 − 1, 722)
λ7 = 1, 722 +
1
3
(0, 394)
λ7 = 1, 853

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 7
Dicari Nilai µ7
µ7 = a7 +
F9−7
F9−7+1
(b7 − a7)
µ7 = a7 +
F2
F3
(b7 − a7)
µ7 = 1, 722 +
2
3
(2, 116 − 1, 722)
µ7 = 1, 985

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 7
f (λ7) = 4λ7 − λ7
2
f (1, 853) = 4(1, 853) − (1, 853)2
= 3, 978

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 7
f (λ7) = 4λ7 − λ7
2
f (1, 853) = 4(1, 853) − (1, 853)2
= 3, 978
f (µ7) = 4µ7 − µ7
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4

1.3 Contoh Soal
Iterasi 8
Dicari Nilai λ8
dengan λ7=1, 853=a8 dan b7=2, 116=b8
λ8 = a8 +
F9−8−1
F9−8+1
(b8 − a8)
λ8 = 1, 853 +
F0
F2
(2, 116 − 1, 853)
λ8 = 1, 853 +
1
2
(0, 263)
λ8 = 1, 985

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 8
Dicari Nilai µ8
µ8 = a8 +
F9−8
F9−8+1
(b8 − a8)
µ8 = a8 +
F1
F2
(b8 − a8)
µ8 = 1, 853 +
1
2
(2, 116 − 1, 853)
µ8 = 1, 985

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 8
f (λ8) = 4λ8 − λ8
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 8
f (λ8) = 4λ8 − λ8
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4
f (µ8) = 4µ8 − µ8
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 8
f (λ8) = 4λ8 − λ8
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4
f (µ8) = 4µ8 − µ8
2
f (1, 985) = 4(1, 985) − (1, 985)2
= 4
Terlihat bahwa f (λ8)=f (µ8)

1.3 Contoh Soal
Lanjutan Iterasi 8
karena f (λ8)=f (µ8)maka untuk memperoleh nilai x yang
memaksimalkan kita mencoba dua kondisi dimana
kondisi perama : µ8=b9 dan a8=a9
kondisi kedua : λ8=a9 dan b8=b9
untuk Iterasi 8

1.3 Contoh Soal
Iterasi 9 (Kondisi 1)
dengan µ8=1, 985=b9 dan a8=1, 853=a9
b9 − a9 < 2δ
1, 985 − 1, 853 < 0, 2
0, 132 < 0, 2
karena b9 - a9<2delta maka iterasi berhenti pada iterasi 9

1.3 Contoh Soal
Iterasi 9 (Kondisi 2)
dengan λ8=1, 985=a9 dan b8=2, 116=b9
b9 − a9 < 2δ
2, 116 − 1, 985 < 0, 2
0, 131 < 0, 2
karena b9 - a9<2delta maka iterasi berhenti pada iterasi 9

1.3 Contoh Soal
Lanjutan
Dengan konsep algoritma Fibonaccii yang telah dijelaskan di atas,
maka perhitungan disajikan dalam tabel dibawah ini
Iterasi ak bk λk µk f (λk) f (µk) bk-ak
1 -3 4 -0,327 1,327 -1,415 3,547 7
2 -0,327 4 1,327 2,346 3,547 3,88 4,327
3 1,327 4 2,38 3,037 3,856 2,925 2,763
4 1,327 3,037 1,985 2,379 4 3,856 1,71
5 1,327 2,379 1,722 1,985 3,923 4 1,052
6 1,722 2,379 1,985 2,116 4 3,987 0,657
7 1,722 2,116 1,853 1,985 3,978 4 0,394
8 1,853 2,116 1,985 1,985 4 4 0,263
9 1,985 2,116 ... ... ... ... 0,131

1.3 Contoh Soal
Estimasi
Jika menggunakan Kondisi 1 dengan demikian diperoleh
x∗
= ak +
bk − ak
2
= 1, 985 +
1, 853 − 1, 985
2
= 1, 919
Maka
x∗
= 1.919 ≈ 2
Estimasi
Jika menggunakan Kondisi 2 dengan demikian diperoleh
x∗
= ak +
bk − ak
2
= 1, 985 +
2, 116 − 1, 985
2
= 2, 051
Maka
x∗
= 2, 051 ≈ 2

Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

More from rukmono budi utomo

More from rukmono budi utomo (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (7)

Tugas Metode Numerik Pendidikan Matematika UMT