Φυσική Γ' Λυκείου

1. ΒΑΓΓΕΛΗ΢ ΢ΣΕΡΓΙΟΤ 1
ΑΣΚΗΣΗ 4
Επίπεδο δυσκολίας : ΘΕΜΑ Γ
Εκτιμώμενος χρόνος επίλυσης : Δt = 45 min
Σώκα 1
 κάδαο 
1
0, 3
m K g αλαξηάηαη ζην θάησ άθξν θαηαθόξπθνπ ηδαληθνύ ειαηεξίνπ,
ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη δεκέλν ζε αθιόλεην ζεκείν. Όηαλ ην ζώκα ηζνξξνπεί, ε
επηκήθπλζε ηνπ ειαηεξίνπ είλαη 0,25 m. Δεύηεξν ζώκα 2
 , κάδαο 
2
0, 4 5
m K g ,
βάιιεηαη θαηαθόξπθα από ην έδαθνο θαη ζηελ πνξεία ηνπ ζπλαληάεη ην 1
 θαη
ζπγθξνύεηαη κ’ απηό. Τν ζπζζσκάησκα πνπ πξνέθπςε από ηελ θξνύζε θηάλεη κέρξη ηε
ζέζε ζηελ νπνία ην ειαηήξην έρεη ην θπζηθό ηνπ κήθνο.
Α. Να απνδείμεηε όηη ην ζπζζσκάησκα εθηειεί απιή αξκνληθή ηαιάλησζε.
Β. Πνηά είλαη ε ηαρύηεηα ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο κεηά ηελ θξνύζε ; Πνηά είλαη ε κέγηζηε
ηαρύηεηα πνπ απνθηά ην ζπζζσκάησκα θαηά ηελ άλνδό ηνπ ;
Γ. Μεηά από πόζν ρξόλν, από ηε ζηηγκή πνπ ην ζπζζσκάησκα θηάλεη ζηελ άλσ αθξαία
ζέζε, ε ηαρύηεηά ηνπ γίλεηαη γηα πξώηε θνξά κέγηζηε ;
Γ. Πόζν ςειά έγηλε ε θξνύζε, αλ ην ζώκα 2
 εθηνμεύηεθε από ην έδαθνο κε ηαρύηεηα
ηξηπιάζηνπ κέηξνπ ζε ζρέζε κε ην κέηξν ηεο ηαρύηεηάο ηνπ ιίγν πξηλ ηελ θξνύζε κε ην
1
 ;
Δ. Να βξεζεί ην κέηξν ηεο δύλακεο πνπ αζθεί ην ειαηήξην ζην ζπζζσκάησκα ακέζσο
κεηά ηελ θξνύζε, θαζώο θαη ην κέηξν ηεο δύλακεο επαλαθνξάο ζηε ζέζε απηή.
Στ. Να βξεζεί ην κέηξν ηεο κέγηζηεο θαη ηεο ειάρηζηεο δύλακεο επαλαθνξάο, θαζώο θαη
ηεο κέγηζηεο θαη ηεο ειάρηζηεο δύλακεο ηνπ ειαηεξίνπ.
Ε. Να βξεζεί ε κέγηζηε θαη ε ειάρηζηε δπλακηθή ελέξγεηα ηεο ηαιάλησζεο θαη ε κέγηζηε θαη
ε ειάρηζηε δπλακηθή ελέξγεηα ηνπ ειαηεξίνπ.
Ζ. Να βξεζεί ην έξγν ηνπ βάξνπο γηα κεηαθίλεζε ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο από ηελ θάησ
αθξαία ζέζε ζηελ άλσ αθξαία ζέζε ηεο ηαιάλησζεο.
Θ. Να βξεζεί ε ζηαζεξά επαλαθνξάο ηνπ θάζε ζώκαηνο πνπ απνηειεί ην ζπζζσκάησκα.
Θετικά επιλέξτε μαζί με τη υοπά τηρ επιτάσςνσηρ τηρ βαπύτηταρ.
Δίλεηαη : 
2
1 0 /
g m s

2. ΒΑΓΓΕΛΗ΢ ΢ΣΕΡΓΙΟΤ 2
ΛΥΣΖ : A. (Ανεξϊρτητο ερώτημα θεωρύασ. Έχει δικό του ςχόμα.)
H ταλϊντωςη του ςυςςωματώματοσ 1 2
( )
m m
 γύνεται μετϊ την πλαςτικό κρούςη.
 Θέση ισορροπίας τοσ σσσσωματώματος :
1 2 1 2
0 ( ) ( )
F F m m g k l m m g

         (1)
 Τσταία θέση y της ταλάντωσης τοσ σσσσωματώματος :
'
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
F m m g F m m g k l y m m g k l ky

             
θαη ιόγσ ηεο (1) : ,
F ky F D y D k
        , άρα το σσσσωμάτωμα εκτελεί απλή
αρμονική ταλάντωση.
B.
Σχόλια : 1. Λόγω πλαςτικόσ κρούςησ γύνεται ςυςςωμϊτωμα, ϊρα αλλϊζει η μϊζα του ςώματοσ που
εύναι δεμϋνο ςτο ελατόριο, οπότε αλλϊζει και το βϊροσ του. Αφού το ςώμα βαραύνει, η νϋα θϋςη
ιςορροπύασ (ΝΘΙ) μετατοπύζεται πιο κϊτω από την παλιϊ θϋςη ιςορροπύασ (ΘΙ).
Αν εύχαμε διϊςπαςη και η μϊζα γινόταν μικρότερη, η ΝΘΙ θα όταν πιο πϊνω από τη ΘΙ.
Άρα η νϋα ταλϊντωςη γύνεται με κϋντρο τη ΝΘΙ και η παλιϊ ΘΙ εύναι μια τυχαύα θϋςη 0
y τησ
νϋασ ταλϊντωςησ που μετρϊει από τη ΝΘΙ.
2. Αλλαγό τησ θϋςησ ιςορροπύασ όταν αλλϊζει η μϊζα (π.χ λόγω πλαςτικόσ κρούςησ ό ϋκρηξησ) γύνεται
και ςτο πλϊγιο ελατόριο. Προςοχό : Αν το ελατόριο όταν οριζόντιο (δεσ ϊςκηςη 2), η θϋςη ιςορροπύασ
δεν θα ϊλλαζε (και θα ταυτιζόταν με τη ΘΦΜ) μετϊ την αλλαγό τησ μϊζασ λόγω κρούςησ (ό διϊςπαςησ).
Οδηγύα : Στισ αςκόςεισ αυτού του εύδουσ πρϋπει να φτιϊχνεισ καλό ςχόμα, ςτο οπούο πρϋπει να
φαύνονται :
1. οι δύο θϋςεισ ιςορροπύασ ΘΙ και ΝΘΙ πριν και μετϊ την πλαςτικό κρούςη ό τη διϊςπαςη
(π.χ. κόψιμο νόματοσ ό ϋκρηξη).
2. Το ‘’πριν’’ και το ‘’μετα’’ τησ κρουςησ ό τησ διϊςπαςησ (αν υπϊρχουν).
3. οι δυνϊμεισ ςτισ ΘΙ και ΝΘΙ και οι αποςτϊςεισ 1 2
,
l l
  των θϋςεων αυτών από τη ΘΦΜ του
ελατηρύου, καθώσ και η απομϊκρυνςη 0
y (ό 0
x ) (από τη ΝΘΙ) ςτην οπούα γύνεται η
κρούςη ό η διϊςπαςη κι από την οπούα ξεκινϊει η νϋα ταλϊντωςη.

3. ΒΑΓΓΕΛΗ΢ ΢ΣΕΡΓΙΟΤ 3
4. η θετικό φορϊ (που πολλϋσ φορϋσ καθορύζεται από την ϊςκηςη, όπωσ εδώ).
5. Αν εύναι δυνατόν , ϋνασ απλόσ ϊξονασ ταλϊντωςησ ςτον οπούο να φαύνεται το πλϊτοσ, για να
ϋχουμε καλύτερη θϋαςη του φαινομϋνου.
Οδηγύα : Καλό θα εύναι να ξεκινϊσ γρϊφοντασ τισ ςχϋςεισ ιςορροπύασ (ΣF = 0) ςτη ΘΙ και ςτη ΝΘΙ και να
βρύςκεισ από κει κϊποια χρόςιμα ςτοιχεύα. Ακόμη, γρϊψε την ΑΔΟ (αν υπϊρχει κρούςη ό διϊςπαςη) και
την ΑΔΕΤ ςτο ςημεύο τησ κρούςησ ό τησ διϊςπαςησ, διότι οι ςχϋςεισ αυτϋσ ςτισ αςκόςεισ αυτού του
εύδουσ, χρειϊζονται. Έτςι :
ΘΗ : 1 1
1 3
0 0, 2 5 0, 3 1 0 1 0 1 2 /
4 1 0
F k l m g k k k N m
            
ΝΘΗ : 2 1 2 2 2
0 ( ) 1 2 (0, 3 0, 4 5) 1 0 1 2 0, 7 5 1 0
F k l m m g l l
              
2 2 2
3 3 1 0 1 0 1 0 5
1 2 1 0
4 4 1 2 4 4 1 6 8
l l l m

          
 
Άξα : 0 2 1 0
5 1 5 2 3
8 4 8 8 8
y l l y m
         
θαη αθνύ ην ζπζζσκάησκα ζηακαηά ζηε ΘΦΜ : 2
5
8
A l m
  
Η θξνύζε γίλεηαη ζηε ΘΙ θαη έρεη ακειεηέα ρξνληθή δηάξθεηα.

4. ΒΑΓΓΕΛΗ΢ ΢ΣΕΡΓΙΟΤ 4
Έζησ 2
 ε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο 2
 ειάρηζηα πξηλ ηελ θξνύζε θαη 0
 ε δεηνύκελε ηαρύηεηα
ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο ειάρηζηα κεηά ηελ θξνύζε. Γηα λα εθαξκόζσ ηελ ΑΔΟ επηιέγσ ζεηηθά πξνο
ηα πάλσ.
Σχόλιο : Για την ΑΔΟ μπορώ επιλϋξω θετικϊ ανεξϊρτητα από το τι επιβϊλλει η εκφώνηςη.
ΑΓΟ στην κρούση :Αιγεβξηθά 2 2 1 2 0 2 0
( ) 0, 4 5 0, 7 5
p p m m m
   
   
      (2)
ΑΓΔΤ για το σσσσωμάτωμα στη ΘΗ ( ΘΗ = θέση 0
y ποσ μετράει από τη ΝΘΗ ) :
2 2 2 2 2 2
0 0 1 2 0 0 1 2 0 0
1 1 1
( ) ( )
2 2 2
K U E m m ky kA m m ky kA
 
         
2 2
2 2 2
0 0 0
3 5 3 2 5 9 3 1 6
0, 7 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
8 8 4 6 4 6 4 4 6 4
  
   
       
   
   
2
0
4 1 2 1 6
3 6 4

 
 

4 4 1 6
6 4
 
 0
4 4 1 6 2 2 4
6 4 8

   
    0
2 /
m s
 
Γηα ην κέηξν ηεο κέγηζηεο ηαρύηεηαο πεξλώληαο ην ζπζζσκάησκα από ηε ΝΘΙ (ηόζν ζηελ άλνδν
όζν θαη ζηελ θάζνδν,) έρνπκε :
m ax
1 2
1 2
1 2 1 2 4
1 4 4 4 /
3
0, 7 5 1 3
4
A
k
ra d s
m m
 

 




       
 


m ax
5
4 /
8
m s

  
m ax
5
/ 2, 5 /
2
m s m s
   

   
     , αθνύ έρσ επηιέμεη ζεηηθά πξνο ηα θάησ θαη καο
δεηάεη ηε κέγηζηε ηαρύηεηα ζηελ άλνδν.
Οδηγύα : Να προςϋχεισ τισ εκφωνόςεισ. Μόνο αν ζητϊει ‘’μϋτρο’’ δεν εμφανύζω αλγεβρικό τιμό (μϋτρο με
πρόςημο), η οπούα εδώ ϋχει τη φυςικό ςημαςύα τησ κατεύθυνςησ κύνηςησ.
Γ.
Ο δεηνύκελνο ρξόλνο είλαη :
4
T
t
  , όπνπ
2 2
4 2
T s
  

  
άξα : 2
4
t

  
8
t s

 
Γ. Α’ τρόπος : Με ΘΜΚΔ
Σχόλιο : Το ΘΜΚΕ μπορώ να το εφαρμόζω πϊντα, για οποιοδόποτε εύδοσ δυνϊμεων.
Έζησ 
 ε ηαρύηεηα εθηόμεπζεο ηνπ 2
 από ην έδαθνο, γηα ηελ νπνία ηζρύεη 2
3

 


5. ΒΑΓΓΕΛΗ΢ ΢ΣΕΡΓΙΟΤ 5
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1
2
2 2
 
   
 
   
             
  
m g
K W K K W m m m g h g h (3)
2 2 2 2 2
9 3 9 3 2 0 3 3 0 1 0
(2 ) 2 /
2 0 4 2 0 2 2 9 9 3
m s
    

          

2
2
10 10
, 3 10
2
3 3
1 0 1 0 0 1 0 0 9 0 0
(3) 1 0 2 1 0 1 0 0 2 0 2 0
3 9 9 9
h h h

 
     
                 
 
 
8 0 0 8 0 0
2 0
9 9 2 0
h h
      

4 0
9
h m

Β’ τρόπος : Με ΑΓΜΔ
Σχόλιο : Εδώ μπορώ να εφαρμόςω ΑΔΜΕ, γιατύ κατϊ την ϊνοδο του 2
 αςκεύται μόνο το βϊροσ του,
που εύναι δύναμη ςυντηρητικό.
Ωο επίπεδν κεδεληθήο βαξπηηθήο δπλακηθήο ελέξγεηαο ( 0
U   
 ) επηιέγσ ην έδαθνο.
, , , ,
           
 
   
    
  
A B A A
E E K U K U
2 2
2 2 2 2
1 1 4 0
0 ...
2 2 9
m m m g h h m

 
      
Δ.
Οδηγύα : Για να βρω το μϋτρο τησ δύναμησ που αςκεύ το ελατόριο, γρϊφω : F kd

 και όπου d
βϊζω την απόςταςη από τη ΘΦΜ.
Σηε ΘΙ, όπνπ γίλεηαη ε θξνύζε θαη μεθηλάεη ε ηαιάλησζε, είλαη : 1
0, 2 5
d l m
   , άξα :

6. ΒΑΓΓΕΛΗ΢ ΢ΣΕΡΓΙΟΤ 6
1
1 2 0, 2 5 1 2
4
F kd

     3
F N


Οδηγύα : Για να βρω το μϋτρο τησ δύναμησ επαναφορϊσ, γρϊφω : F ky
  και όπου y βϊζω την
απομϊκρυνςη από τη θϋςη ιςορροπύασ, γύρω από την οπούα γύνεται η ταλϊντωςη (εδώ εύναι η
ΝΘΙ).
Σηε ΘΙ, όπνπ γίλεηαη ε θξνύζε θαη μεθηλάεη ε ηαιάλησζε, είλαη : 0
3
8
y y m
  , άξα :
3 3 9
1 2 3
8 2 2
F ky
      4, 5
F N
 
Σχόλιο :Επειδό η δύναμη επαναφορϊσ εύναι ςυνιςταμϋνη τησ δύναμησ του ελατηρύου και του βϊρουσ
του ςυςςωματώματοσ, μπορεύ να βρεθεύ και ωσ εξόσ:
1 2
( ) 0, 7 5 1 0 3 7 , 5 3 4, 5
F m m g F F

            
Αφαύρεςα από τη δύναμη που «κερδύζει» τη δύναμη που «χϊνει» και ςτη ΘΙ= 0
y «κερδύζει» το βϊροσ και
«χϊνει» η δύναμη του ελατηρύου, αφού το ςυςςωμϊτωμα εύναι πϊνω από τη ΝΘΙ και πρϋπει να
ξαναγυρύςει ς’αυτό.
Στ.
Οδηγύα : Για να βρω το μϋτρο τησ μϋγιςτησ δύναμησ επαναφορϊσ, γρϊφω : F ky
  και όπου y
βϊζω το πλϊτοσ A (που εύναι το μϋγιςτο y), δηλαδό μϋτρο m ax
F kA
  (ακραύεσ θϋςεισ).
Προφανώσ, το μϋτρο τησ ελϊχιςτησ δύναμησ επαναφορϊσ εύναι για y = 0, ϊρα
m in m in
0 0
F k F
      (θϋςη ιςορροπύασ τησ ταλϊντωςησ, ςτην ϊςκηςό μασ η ΝΘΙ).
m ax
5 5 1 5
1 2 3
8 2 2
F kA
       m ax
7 , 5
F N
 
m in
0
F k
    m in
0
F
 
Οδηγύα : Για να βρω το μϋτρο τησ μϋγιςτησ δύναμησ του ελατηρύου, γρϊφω : F kd

 και όπου d
βϊζω τη μεγαλύτερη απόςταςη από τη ΘΦΜ που βρύςκω ςτην ϊςκηςη.
,m ax 2
( ) ( ) 2
F kd F k l A k A A kA
 
         ,m ax
15
F N


Οδηγύα : Για να βρω το μϋτρο τησ ελϊχιςτησ δύναμησ του ελατηρύου, γρϊφω : F kd

 και όπου d
βϊζω τη μικρότερη απόςταςη από τη ΘΦΜ που βρύςκω ςτην ϊςκηςη.
,m in
0
F kd F k
 
     ,m in
0
F


7. ΒΑΓΓΕΛΗ΢ ΢ΣΕΡΓΙΟΤ 7
Σχόλιο : Στη ςυγκεκριμϋνη ϊςκηςη ϋτυχε το ςυςςωμϊτωμα να περνϊει από τη ΘΦΜ (και μϊλιςτα
να ςταματϊει εκεύ), όπου επειδό εύμαςτε ςτο φυςικό μόκοσ η δύναμη από το ελατόριο εύναι μηδενικό.
Αυτό όμωσ δε ςυμβαύνει ςε όλεσ τισ αςκόςεισ. Η ταλϊντωςη μπορεύ να ϋχει λϊβει αρχικϊ τϋτοια
ενϋργεια από την κρούςη (ό τη διϊςπαςη) που να μη φτϊνει καν το ςώμα ςτη ΘΦΜ. Τότε η ελϊχιςτη
δύναμη από το ελατόριο ϋχει μη μηδενικό τιμό.
Μπορεύ βϋβαια να περνϊει πϊνω από τη ΘΦΜ, οπότε πϊλι η ελϊχιςτη τιμό εύναι μηδεν (τη ςτιγμό που
περνϊει από τη ΘΦΜ).
Ε.
Οδηγύα : Για να βρω το μϋγιςτη δυναμικό ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ, γρϊφω :
2
1
2
U ky
 και όπου y
βϊζω το πλϊτοσ A (που εύναι το μϋγιςτο y), δηλαδό
2
m ax
1
2
U kA
 (ακραύεσ θϋςεισ).
Προφανώσ, η ελϊχιςτη δυναμικό ενϋργεια τησ ταλϊντωςησ εύναι για y = 0, ϊρα
2
m in m in
1
0 0
2
U k U
    (θϋςη ιςορροπύασ τησ ταλϊντωςησ, ςτην ϊςκηςό μασ η ΝΘΙ).
2
2
m ax
1 1 5 2 5 3 2 5
1 2 6
2 2 8 6 4 3 2
U kA

 
      
 
 

m a x
7 5
3 2
U J
2
m in
1
0
2
U k
   
m in
0
U
Οδηγύα: Για να βρω τη μϋγιςτη δυναμικό ενϋργεια του ελατηρύου, γρϊφω :
2
1
2
U kd

 και όπου
d βϊζω τη μεγαλύτερη απόςταςη από τη ΘΦΜ που βρύςκω ςτην ϊςκηςη.
2 2 2 2 2
,m ax 2
1 1 1 1 1 7 5
( ) ( ) (2 ) 4 4
2 2 2 2 2 3 2
U kd U k l A k A A k A kA
 
          


,m a x
7 5
8
U J
Οδηγύα : Για να βρω την ελϊχιςτη δυναμικό ενϋργεια του ελατηρύου, γρϊφω :
2
1
2
U kd

 και
όπου d βϊζω τη μικρότερη απόςταςη από τη ΘΦΜ που βρύςκω ςτην ϊςκηςη.
2 2
,m in
1 1
1 2 0
2 2
U kd U
 
     

,m in
0
U
Σχόλιο : Στη ςυγκεκριμϋνη ϊςκηςη ϋτυχε το ςυςςωμϊτωμα να περνϊει από τη ΘΦΜ (και μϊλιςτα
να ςταματϊει εκεύ), όπου επειδό εύμαςτε ςτο φυςικό μόκοσ η δυναμικό ενϋργεια του ελατηρύου εύναι
μηδενικό. Αυτό όμωσ δε ςυμβαύνει ςε όλεσ τισ αςκόςεισ. Η ταλϊντωςη μπορεύ να ϋχει λϊβει αρχικϊ
τϋτοια ενϋργεια από την κρούςη (ό τη διϊςπαςη) που να μη φτϊνει καν το ςώμα ςτη ΘΦΜ. Τότε η
ελϊχιςτη δυναμικό ενϋργεια του ελατηρύου ϋχει μη μηδενικό τιμό.

8. ΒΑΓΓΕΛΗ΢ ΢ΣΕΡΓΙΟΤ 8
Μπορεύ βϋβαια να περνϊει πϊνω από τη ΘΦΜ, οπότε πϊλι η ελϊχιςτη τιμό εύναι μηδεν (τη ςτιγμό που
περνϊει από τη ΘΦΜ).
Σχόλια : 1. Παρατόρηςε ότι η ύδια λογικό που διϋπει τισ δυνϊμεισ, διϋπει και τισ δυναμικϋσ ενϋργειεσ. Οι
τύποι εύναι βϋβαια διαφορετικού.
2. Επαναλαμβϊνω ότι αν το ελατόριο όταν οριζόντιο, θα ύςχυε :       , F F
  και U U 
 ,
οπότε η λύςη τησ ϊςκηςησ θα όταν λιγότερο χρονοβόρα.
H. Γηα ην έξγν ηνπ βάξνπο ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο από ηελ θάησ ζηελ πάλσ αθξαία ζέζε ηεο
ηαιάλησζεο έρνπκε : m g
W m g h
  , όπνπ h ε πςνκεηξηθή δηαθνξά καεηαμύ ησλ δύν αθξαίσλ
ζέζεσλ ηεο ηαιάλησζεο ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο, άξα h = 2A θαη όπνπ 1 2
m m m
  ιόγσ
ζπζζσκαηώκαηνο.
1 2
( ) 1 2
5 3 5 3 5
( ) 2 0, 7 5 1 0 2 1 0 5
8 4 4 4 2

              
m m g
W m m g A
( )
1 2
7 5
8
m m g
W J

 
Σχόλιο : Το αρνητικό πρόςημο ςτο ϋργο του βϊρουσ υπϊρχει λόγω τησ ανόδου του ςυςςωματώματοσ
από την κϊτω ςτην ϊνω ακραύα θϋςη τησ ταλϊντωςησ (το βϊροσ «δε βοηθϊει»). Αν όταν κϊθοδοσ, θα
όταν θετικό το πρόςημο ( m g
W m g h
  ), γιατύ το βϊροσ θα «βοηθούςε».Το βϊροσ εύναι
ςυντηρητικό δύναμη, ϊρα για να υπολογύςω το ϋργο του, αρκεύ να ξϋρω την υψομετρικό
διαφορϊ (h) μεταξύ αρχικόσ και τελικόσ θϋςησ τησ διαδρομόσ του ςώματοσ.

9. ΒΑΓΓΕΛΗ΢ ΢ΣΕΡΓΙΟΤ 9
Θ.
Θεωρύα :
 Όταν πολλϊ ςώματα μαζύ εκτελούν κοινό απλό αρμονικό ταλϊντωςη ( όπωσ για παρϊδειγμα
ςτην περύπτωςη ενόσ ςυςςωματώματοσ) κϊθε ςώμα ξεχωριςτϊ ϋχει τη δικό του ςταθερϊ
επαναφορϊσ, ακόμη και αν τα ςώματα εύναι κολλημϋνα.
Άρα αν ϋχω τα ςώματα μαζών 1 2
, ,..., v
m m m να εκτελούν όλα μαζύ απλό αρμονικό ταλϊντωςη, τότε
για το κϊθε ςώμα ξεχωριςτϊ μπορώ να γρϊψω τισ ςυνθόκεσ :
1 1 2 2
, , ...,
F D x F D x F D x
 
         , όπου :
 1 2
, ,...,
F F F
   η δύναμη επαναφορϊσ πϊνω ςτην κϊθε ξεχωριςτό μϊζα,
 1 2
, ,...,
D D D
η ςταθερϊ επαναφορϊσ τησ κϊθε ξεχωριςτόσ μϊζασ.
 X (ό y) η απομϊκρυνςη από την κοινό θϋςη ιςορροπύασ.
 Η γωνιακό (ό κυκλικό) ςυχνότητα (ω) εύναι κοινό για όλεσ τισ μϊζεσ, αφού όλεσ
εκτελούν την ύδια ταλϊντωςη. Αν D η ςταθερϊ επαναφορϊσ του ςυςτόματοσ των μαζών μπορώ
να γρϊψω :
1 2
1 2 1 2
...
... v
D D D D
m m m m m m


     
  
,
ϊρα εύναι :
2 2 2
1 1 2 2
, ,...,
D m D m D m
 
  
  
 Παρατηρώ επύςησ ότι :
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ... ) ... ...
v
D m m m m m m D D D D
 
   
            
 Αν ϋχουμε ελατόριο εύναι D = k, ϊρα : 1 2
...
k D D D
   
και 1 2
1 2 1 2
...
... v
k D D D
m m m m m m


     
  
Άρα το ςώμα 1
 έχει ςταθερά επαναφοράσ :
2 2
1 1
3 4 8
0, 3 4 1 6
1 0 1 0
D m 
      
1
4 ,8 /
D N m
και το 2
 έχει ςταθερά επαναφοράσ :
2 2
2 2
9 9 8 7 2
0, 4 5 4 1 6
2 0 1 0 1 0
D m 

       
2
7,2 /
D N m
Παρατηρώ ότι 4,8+7,2=12 (λογικό αφού : 1 2
D D D k
   )