cac bai so phuc on thi dai hoc

1. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC GV: Phan Văn Ngạn
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Khaùi nieäm soá phöùc
• Taäp hôïp soá phöùc: £
• Soá phöùc (daïng ñaïi soá) : z a bi= +
(a, b∈¡ , a laø phaàn thöïc, b laø phaàn aûo, i laø ñôn vò aûo, i2
= –1)
• z laø soá thöïc ⇔ phaàn aûo cuûa z baèng 0 (b = 0)
z laø thuaàn aûo ⇔ phaàn thöïc cuûa z baèng 0 (a = 0)
Soá 0 vöøa laø soá thöïc vöøa laø soá aûo.
• Hai soá phöùc baèng nhau:
 =
+ = + ⇔ ∈
=
¡
'
’ ’ ( , , ', ' )
'
a a
a bi a b i a b a b
b b
2. Bieåu dieãn hình hoïc: Soá phöùc z = a + bi (a, b )∈¡ ñöôïc bieåu dieãn
bôûi ñieåm M(a; b) hay bôûi ( ; )u a b=
r
trong mp(Oxy) (mp phöùc)
3. Coäng vaø tröø soá phöùc:
• ( ) ( ) ( ) ( )’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i+ + + = + + + • ( ) ( ) ( ) ( )’ ’ ’ ’a bi a b i a a b b i+ − + = − + −
• Soá ñoái cuûa z = a + bi laø –z = –a – bi
• u
r
bieåu dieãn z, 'u
r
bieåu dieãn z' thì 'u u+
r r
bieåu dieãn z + z’ vaø 'u u−
r r
bieåu dieãn z – z’.
4. Nhaân hai soá phöùc :
• ( ) ( ) ( ) ( )' ' ’ – ’ ’ ’a bi a b i aa bb ab ba i+ + = + + • + = + ∈( ) ( )k a bi ka kbi k ¡
5. Soá phöùc lieân hôïp cuûa soá phöùc z = a + bi laø z a bi= −
•
 
= ± = ± = = ÷
 
1 1
2 2
; ' '; . ' . ';
z z
z z z z z z z z z z
z z
; = = +
2 2 2
.z z z a b
• z laø soá thöïc ⇔ z z= ; z laø soá aûo ⇔ z z= −
6. Moâñun cuûa soá phöùc : z = a + bi
• 2 2
z a b zz OM= + = =
uuuur
• 0, , 0 0≥ ∀ ∈ = ⇔ =£z z z z
• . ' . 'z z z z= • ' '
z z
z z
= • ' ' 'z z z z z z− ≤ ± ≤ +
7. Chia hai soá phöùc:
•
1
2
1
z z
z
−
= (z ≠ 0) •
1
2
' '. '.
'
.
z z z z z
z z
z z zz
−
= = = •
'
'
z
w z wz
z
= ⇔ =
8. Caên baäc hai cuûa soá phöùc:
• Hai caên baäc hai cuûa a > 0 laø a± • Hai caên baäc hai cuûa a < 0 laø .a i± −
9. Phöông trình baäc hai Az2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C laø caùc soá thực cho tröôùc, A 0≠ ).
2
4B AC∆ = −
• ∆ < 0: (*) coù hai nghieäm phaân bieät
− ± ∆
=1,2
2
B i
z
A
,
1
O x
y
b
a
M(a;b)
Trục thực
Trục ảo

2. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC GV: Phan Văn Ngạn
• ∆ > 0 : (*) coù hai nghieäm phaân bieät
− ± ∆
=1,2
2
B
z
A
,
• 0∆ = : (*) coù 1 nghieäm keùp: 1 2
2
B
z z
A
= = − .
Chuù yù: Neáu z0 ∈ £ laø moät nghieäm cuûa (*) thì 0z cuõng laø moät nghieäm cuûa (*).
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên, nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối,
kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.
B. BÀI TẬP (DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC)
VẤN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa số phức.
Khi tính toán về số phức ta cũng có thể sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ như trong số thực. Chẳng
hạn bình phương của tổng hoặc hiệu, lập phương của tổng hoặc hiệu 2 số phức…
Dạng 1. Tìm phần thực, phần ảo của một số phức
Bài 1: Tìm phần ảo của số phức z, biết ( ) ( )
2
2 1 2z i i= + − ĐS: Phần ảo của số phức z bằng: 2.−
Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( )
2
2 3 4 1 3i z i z i− + + = − + . Tìm phần thực và phần ảo của z.
ĐS: Phần thực là –2, phần ảo là 5.
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn ( ) ( ) ( )
2
1 2 8 1 2i i z i i z+ − = + + + . Tìm phần thực và phần ảo của z.
ĐS: Phần thực là 2, phần ảo là –3.
Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
30
15
(1 )
(1 3)
i
z
i
+
=
+
ĐS: Phần thực là 0, phần ảo là 30
1
2
.
Bài 5: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i) + (1+i)2
+ (1+i)3
+ … + (1+i)20
.
ĐS: Phần thực −210
, phần ảo: 210
+1.
Dạng 2. Tìm môđun của số phức
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn ( )
3
1 3
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm môđun của số phức z iz+ ĐS: 8 2.z iz+ =
Bài 2: Tìm môđun của số phức
(1 )(2 )
1 2
i i
z
i
+ −
=
+
. ĐS: 2.z =
Bài 3: Tìm môđun của số phức
2 2
2
( ) 2
x y i xy
z
x y i xy
+ +
=
− +
ĐS: 1.z =
Dạng 3. Tính giá trị biểu thức
 i4n
= 1; i4n+1
= i; i4n+2
= –1; i4n+3
= – i; ∀n∈¥ *
. Vậy in
∈{–1; 1; – i; i}, ∀n∈¥ .
Nếu n nguyên âm: ( ) ( )1 1
n
n nn
i i i
i
−
− −−  
= = − ÷
 
Bài 1: Tính giá trị biểu thức: 1 3 1 3A i i= + + − ĐS: 6A = .
Bài 2: Tính giá trị biểu thức: a)
2 4 2008
2 3 2009
...
...
i i i
P
i i i i
+ + +
=
+ + + +
; b)
5 7 9 2009
2
4 5 6 2010
...
( 1)
...
i i i i
Q i
i i i i
+ + + +
= = −
+ + +
ĐS: a) 0P = ; b)
1 1
.
2 2
Q i= +
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
0 2 4 2008 2010
2010 2010 2010 2010 2010... .A C C C C C= − + − + − ĐS: A = 0.
Bài 4: Tính 1 2 3
( )n n n n
s i i i i n+ + +
= + + + ∈¥ .
2

3. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC GV: Phan Văn Ngạn
Tìm phần thực, phần ảo của số phức 2 2010
1 ...z i i i= + + + + HD: 0s = ; z i=
Bài 5: Tính: S = i105
+ i23
+ i20
– i34
. ĐS: S = 2.
Dạng 4. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

2
2 (1 )i i= + ;
2
2 (1 )i i− = −
Bài 1: Tìm số phức z thỏa mãn 2
2z i= − ĐS: 2
(1 ).
2
z i= ± −
Bài 2: Tìm số phức z thỏa mãn: 2z = và 2
z là số thuần ảo.
ĐS: z = 1 + i; z = 1 – i; z = –1 + i; z = –1 – i.
Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: ( )2 10z i− + = và . 25z z = . ĐS: 3 4z i= + hoặc 5z = .
Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn:
2
0z z+ = ĐS: 0; ;z z i z i= = = − .
Bài 5: Tính số phức sau: z = (1+ i)15
. ĐS: z = 128 – 128i.
Bài 6: Tính số phức sau: z =
16 8
1 1
.
1 1
i i
i i
+ −   
+ ÷  ÷
− +   
ĐS: z = 2.
Bài 7: Tìm số phức z thoả mãn hệ:
1
1
3
1
z
z i
z i
z i
 −
= −

− =
 +
ĐS: z =1+ i.
VẤN ĐỀ 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Phương trình 3
1 0x − = có mấy nghiệm?
Cho phương trình bậc hai: Az2
+Bz +C = 0 (1) (A, B, C ∈¡ , A ≠ 0) (*)
Phương pháp: Tính ∆ = B2
– 4AC
• ∆ < 0: Phương trình (*) coù hai nghieäm ph cứ phaân bieät
− ± ∆
=1,2
2
B i
z
A
,
• ∆ > 0 : Phương trình (*) coù hai nghieäm th cự phaân bieät
− ± ∆
=1,2
2
B
z
A
,
• ∆ = 0 : Phương trình (*) có nghiệm kép: 1 2
2
B
z z
A
= = − .
Dạng 1: Phương trình bậc hai
Bài 1: (CĐ2010) Giải phương trình ( )2
1 6 3 0z i z i− + + + = trên tập hợp các số phức.
ĐS: 1 2z i= − và 3 .z i=
Bài 2: (A2009) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2
2 10 0z z+ + = .
Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2A z z= + . ĐS:
2 2
1 2 20A z z= + = .
Bài 3: (CĐA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức:
4 3 7
2
z i
z i
z i
− −
= −
−
ĐS: 1 2z i= + và 3 .z i= +
Bài 4: Giải phương trình : z2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0. ĐS: z1 2i= ; z2 1 .i= − +
Dạng 2: Phương trình quy về bậc hai
Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy
được về bậc hai.
Đối với phương trình bậc 3 (hoặc cao hơn), về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để
đưa về phương trình tích) từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai.
Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải.
2.1. Phương pháp phân tích thành nhân tử.
3

4. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC GV: Phan Văn Ngạn
Bài 1: Cho phương trình sau: z3
+ (2 – 2i)z2
+ (5 – 4i)z – 10i = 0 (1)
1) Chứng minh rằng (1) nhận một nghiệm thuần ảo. 2) Giải phương trình (1).
ĐS: 1) (1) có nghiệm thuần ảo z = 2i ; 2) 2 ; 1 2 ; 1 2 .z i z i z i= = − − = − +
Bài 2: Giải phương trình: z3
= 18 + 26i, trong đó z = x + yi ; x, y ∈ ¢ ĐS: z = 3 + i.
Bài 3: 1) Tìm các số thực a, b để có phân tích: z3
+ 3z2
+ 3z – 63 = (z – 3)(z2
+az + b)
2) Giải phương trình: z3
+ 3z2
+ 3z – 63 =0
ĐS: 1) 6; 21a b= = ; 2) 3; 3 2 3 ; 3 2 3 .z z i z i= = − + = − −
Bài 4: Giải phương trình: z4
– 4z3
+7z2
– 16z + 12 = 0 (1) ĐS: 1; 3; 2 ; 2 .z z z i z i= = = = −
Bài 5: Giải phương trình: z5
+ z4
+ z3
+ z2
+ z + 1 = 0. ĐS:
1 3 1 3
1, , .
2 2 2 2
z z i z i= − = ± = − ±
Bài 6: Giải phương trình 3 2
(1 2 ) (1 ) 2 0z i z i z i+ − + − − = , biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.
HD: Giả sử nghiệm thuần ảo là z yi= . Thay vào phương trình 1.y⇒ =
Bài 7: Giải phương trình 3 2
(5 ) 4( 1) 12 12 0z i z i z i− + + − − + = , biết rằng phương trình có một nghiệm thực.
HD: 2
( 6)( (1 ) 2 2) 0z z i z i− + − − + = .
2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ.
Đối với các bài toán về số phức, thông thường cách giải gọi số phức z = a + bi (a, b thực) và coi i
như một tham số trong bài toán thực. Sau khi biến phức tạp thành đơn giản ta lại giải bài toán
phức. Đây được coi như phương pháp vạn năng nhất cho mọi bài.
Bài 1: Giải phương trình: (z2
+ z)2
+ 4(z2
+ z) –12 = 0
ĐS:
1 23 1 23
; ; 1; 2.
2 2
i i
z z z z
− + − −
= = = = −
Bài 2: Giải phương trình: (z2
+ 3z + 6)2
+ 2z(z2
+ 3z + 6) – 3z2
= 0
ĐS: 1 5 ; 1 5 ; 3 3; 3 3.z i z i z z= − + = − − = − + = − −
Bài 3: Giải phương trình: z4
– 2z3
– z2
– 2z + 1 = 0
ĐS: z =
1 3
2
i− ±
; z =
3 5
2
±
.
Bài 4: Giải phương trình: z4
– z3
+
2
2
z
+ z + 1 = 0
ĐS: z1 = 1+ i ; z2 =
1
2
− +
1
2
i ; z3 = 1– i ; z4 =
1
2
− –
1
2
i.
Bài 5: Giải phương trình:
3
1
z i
i z
+ 
= ÷
− 
ĐS: 0; 3.z z= = ±
Dạng 3: Hệ phương trình
Bài 1: Giải hệ phương trình sau:
1 2
1 2
1
2
2 3
z z
z z

=

 + =
ĐS: (
3 3
;
4 2
i i− +
) và (
3 3
;
4 2
i i+ −
)
Bài 2: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
x y
y
x y
−
+ =
+
∈
+ − =
 +
¡( , )
4

5. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC GV: Phan Văn Ngạn
ĐS: 2 1 1 1x y = −( , ) ( , );( , ).
Bài 3: Giải hệ phương trình: 2 2
w w 8
w 1
z z
z
− − =

+ = −
ĐS:
5 3 3 5 3 3 3 29 3 29
( ;w) ; ; ( ;w) ;
2 2 2 2
i i
z z
   − ± − ±
= = ÷  ÷ ÷  ÷
   
m m
Bài 4: Tìm tất cả các số phức sao cho mỗi số liên hợp với lập phương của nó.
ĐS: có 5 số phức : 0; 1; .z z z i= = ± = ±
VẤN ĐỀ 3: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH – CỰC TRỊ
Trong dạng này ta gặp các bài toán chứng minh một tính chất, hoặc một đẳng thức về số phức.
Để giải các bài toán dạng trên, ta áp dụng các tính chất của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp,
môđun của số phức đã được chứng minh.
 z laø soá thöïc ⇔ z z= ; z laø soá aûo ⇔ z z= −
Bài 1: Cho z1, z2 ∈ £ . CMR: E = 1 2 1 2.z z z z+ ∈¡ HD: z ∈¡ ⇔ z = z
Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu |z1| = |z2 | = 1, z1.z2 ≠ 1 thì A =
1 2
1 21
z z
z z
+
+
∈¡
Bài 3: Cho số phức 0z ≠ thoả mãn
3
3
1
2z
z
+ ≤ . Chứng minh rằng:
1
2z
z
+ ≤ . HD: 1 2 1 2z z z z+ ≤ +
Bài 4: Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra:
1
1
2
z + ≥ hoặc
2
1 1z + ≥ HD: Chứng minh phản chứng.
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của z nếu 2 2 1z i− + = ĐS: min 2 2 1.z = −
VẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu
diễn một số phức z trong đó số phức z thoả mãn một hệ thức nào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của
số phức). Khi đó, ta giải bài toán này như sau:
Giả sử z = x + yi (x,y∈¡ ). Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi điểm M(x;y). Ta có: OM
= 2 2
x y+ = z
Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ra tập hợp điểm M.
Cơ bản cần biết:
 Với số thực dương R, tập hợp các số phức với z = R biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn tâm
O, bán kính R.
 Các số phức z, z < R là các điểm nằm trong đường tròn (O;R)
 Các số phức z, z >R là các điểm nằm ngoài đường tròn (O;R)
Bài 1: (D2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện
5

6. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC GV: Phan Văn Ngạn
( )3 4 2z i− − = . ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, –4), bán kính R= 2.
Bài 2: (B2010) Trong mp tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: ( )1z i i z− = + .
ĐS: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, –1), bán kính R= 2 .
Bài 3: Giả sử M là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn một
trong các điều kiện sau đây:
1) 1z i− + =2 2) 2 1z i+ = − 3) 2 2z z+ > − 4) 4 4 10z i z i− + + = 5) 1≤ 1 2z i+ − ≤
ĐS: 1) đường tròn có tâm tại I(1; –1) và bán kính R = 2. 2) đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0.
3) nửa mặt phẳng bên phải trục tung. 4) Elip (E) là:
2 2
1
9 16
x y
+ = .
5) hình vành khăn tâm A(–1;1) và các bán kính lớn và nhỏ lần lượt là 2 và 1.
Bài 4: Xác định các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện
sau đây:
1) |z + z +3| = 4 ; 2) |z + z + 1 – i| = 2; 3) 2|z – i| = |z – z +2i| ;
ĐS: 1) hai đường thẳng song song với trục tung:
1 7
; .
2 2
x x= = −
2) hai đường thẳng song song với trục hoành y =
1 3
2
±
. 3) parabol y =
2
4
x
.
Bài 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| =
3
2
. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
HD: * Gọi z = x+yi.
3
2 3
2
z i− + = ⇒ … ⇒( ) ( )2 2 9
2 3
4
x y− + + = . * Vẽ hình ⇒|z|min ⇒ z.
ĐS:
26 3 13 78 9 13
13 26
z i
− −
= + .
Bài 6: Cho z1 =1+ i; z2 = –1– i. Tìm z3∈£ sao cho các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 tạo thành tam giác đều.
HD: Áp dụng kiến thức sau:
Giả sử M1(x1; y1) biểu diễn số phức z1 = x1 + y1i; M2(x2;y2) biểu diễn số phức z2 = x2 + y2i
Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M1M2 bằng môđun của số phức z1 – z2 .
Vậy: M1M2 = |z1 – z2| = ( ) ( )
2 2
1 2 1 2x x y y− + −
ĐS: có hai số phức thoả mãn là: z3 = 3 (1+ i) hoặc z3 = – 3 (1– i).
Bài 7: Cho các điểm A, B, C, A’, B’, C’ biểu diễn các số phức: 1 ; 2 3 ; 3 ; 3 ; 3 2 ; 3 2i i i i i i− + + − + . Chứng
minh rằng ∆ ABC và ∆ A’B’C’ có cùng trọng tâm G. Tìm số phức biểu diễn G.
ĐS: G(2; 1) → z = 2 + i.
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z = 3 – 4i; M’ là điểm biểu diễn cho số
phức
/ 1
2
i
z z
+
= . Tính diện tích tam giác OMM’. ĐS: '
25
4
OMMS∆ = .
C. BÀI TẬP ÔN
Dạng 1:Bài toán liên quan đến biến đổi số phức.
6

7. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC GV: Phan Văn Ngạn
Bài 1.A10. Cho z thỏa ( )
3
1 3.i
z
1 i
-
=
-
. Tìm z iz+
Bài 2.A11. Tìm tất cả các số phức z thỏa
22
z z z= +
Bài 3.CĐ11.Cho số phức z thỏa ( )
2
1 2i .z z 4i 20+ + = - . Tính z .
Bài 4. D11.Tìm z thỏa ( )z 2 3i .z 1 9i- + = -
Bài 5. Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của pt z2
+ 2z +10 = 0. Tính
2 2 4 4
1 2 1 2
z z ; z z+ + .ĐS: 20, 200.
Bài 6.Cho hai số phức z1 và z2 thỏa 1 2 1 2
z z 1; z z 3= = + = . Tính 1 2
z z- . ĐS: 1.
Bài 7. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa 1 2 1 2
z 3; z 4; z z 37= = - = .Tìm số phức
1
2
z
z
.
Bài 8.B11. Tìm số phức z biết
5 i 3
z 1 0
z
+
- - = .
Bài 9.B11.Tìm phần thực và phần ảo z biết
21
1 i 3
z
1 i
æ ö+ ÷ç ÷=ç ÷ç ÷÷ç +è ø
.
Bài 10.D12. Cho số phức z thỏa mãn ( )
( )2 1 2
2 7 8
1
i
i Z i
i
+
+ + = +
+
.Tìm mô đun của số phức 1w z i= + +
Bài 11.A12. Cho số phức z thỏa
( )5
2
1
z i
i
z
+
= −
+
.Tính mô đun của số phức 2
1w z z= + + .
Dạng 2:Bài toán liên quan đến phương trình nghiệm phức.
Bài 1.CĐ11. Cho số phức z thỏa ( )2
z 2 1 i .z 2i 0- + + = . Tìm phần thực và phần ảo của
1
z
.
Bài 2. Tìm x, y R∈ thỏa ( ) ( )2 2 2 2
2 3 4 11x y x y i xy xy i+ + + = + + + .
Bài 3. Tìm x, y R∈ thỏa ( )2 5
3 1x xy x y i x i
x
 
+ + + = + + − ÷
 
.
Bài 4. Tìm x, y R∈ thỏa ( ) ( )1 2 3 2 1x y x i xy y i+ + + − = + + − + .
Bài 5.CĐ10. Cho số phức z thỏa ( ) ( ) ( )
2
2 3i .z 4 i .z 1 3i- + + =- + . Tìm phần thực và phần ảo của z.
Bài 6. Tìm 2 số thực x, y thỏa mãn ( ) ( )
3
x 3 5i y 1 2i 9 14i+ + - = + ĐS: x= 172/61, y = -3/61
. Bài 7. a/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa 2
z 4 6 5i= + . ĐS: x = ± 3 ; y = 5±
b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa 2
z 33 56i= + . ĐS: x = ± 7 ; y = 4m
Bài 8 a/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa 3
z 18 26i= + . ĐS: x = 3 ; y = 1
b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + iy thỏa 3
z 11 2i=- - . ĐS: x = 1 ; y = 2
Bài 9.Giải các phương trình sau trên tập số phức. a) 8z2
- 4z + 1 = 0 b) 2z2
– iz + 1 = 0 c) z2
– 4z + 7 = 0
Bài 10.Giải pt ( ) ( )3 2
z 2 1 i z 4 1 i .z 8i 0- + + + - = biết phương trình có 1 nghiệm thuần ảo. ĐS: 2i, 1 i 3±
Bài 11. D2012. Viết dạng lượng giác các nghiệm của phương trình 2
2 3 4 0z iz− − =
7

8. CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC GV: Phan Văn Ngạn
Bài 12: CDD2012. Gọi 1 2z z, là các nghiệm của phương trình 2
2 1 2 0z z i− + + = . Tính 1 2z z+ .
Bài 13.Giải phương trình nghiệm phức 2
z z= . ĐS: 0, 1,
1 3
i
2 2
- ±
Bài 14. D2012. Giải phương trình ( )2
3 1 5 0z i z i+ + + = .
Bài 15. Tìm số phức z thỏa mãn
2
1
z i z
z i z
 − =

− = −
.
Bài 16.Tìm số phức z biết: a) 3
z z= b) 3 4z z i+ = +
Bài 17. Biết 1 2z z, là các nghiệm phương trình 2
2 3 3 0z z+ + = . Tính
a)
2 2
1 2z z+ b)
3 3
1 2z z+ c)
4 4
1 2z z+ d)
1 2
2 1
z z
z z
+
Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện cho trước.
Bài 1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa:
a) 2 1z i− = b) 1
z i
z i
−
=
+
c) 3 4z z i= − +
d) 3 5z z+ + = e) 1 2z z i− + − = f) 2 2z i z z i− = − +
Bài 2: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức z thỏa 2
z
z i
=
−
.
Bài 3.Cho số phức z thỏa ( ) ( )
2
1 2 3
1
i
i z i z
i
−
− − = −
+
. Tìm tọa độ điểm biểu diễn của z trong Oxy.
Bài 4. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi ( ),x y R∈ thỏa mãn
điều kiện ( )
2
2
0z z+ =
Bài 5. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn:
a) 2 2z z+ < − b) 2 1 2 3z i≤ − + < c) 1z z i+ = − d)
2
3 3 0z z z+ + =
Bài 6: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a) z2
là số thực âm b) 2 9z i z i− + + + = . ĐS: a)Trục thực Ox từ gốc O. b) Elip
c) ( )
2
2
0z z+ = ĐS: tập hợp cần tìm là hai đường thẳng : y = ± x
8